Manual de Fisica I

Instituto Tecnologico del Cibao Oriental(ITECO)

Manual de Fısica I

Lic. Efrain Martinez GabinoLic. Jose Miguel Gomez Guzman

Octubre 2013cotuı, Sanchez Ramırez, Rep. Dom.

Indice general

Introduccion 7

1. Mediciones Fısicas 9

1.1. Conversion de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Notacion Cientıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Cifras Significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Operaciones con Notacion Cientıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Funciones y Proporciones 19

2.1. Relaciones entre variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Proporcionalidad Directa(PD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Proporcionalidad Directa con el Cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4. Proporcionalidad inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5. Variacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Vectores 29

3.1. Representacion de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2. Operaciones con Vectores y Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1. Vectores negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2. Multiplicacion de un vector por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.3. Sumas de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.4. Metodo Grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3. Vectores Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3

4 INDICE GENERAL

4. Cinematica 45

4.1. Conceptos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2. Movimiento Rectilıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.1. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3. Movimiento de Caıda Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


4.4. Movimiento de proyectiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5. Movimiento Circular Uniforme(mcu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5. Dinamica 59

5.1. Conceptos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


5.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6. Trabajo, Potenciay Energıa 65

6.1. Concepto Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.1.1. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7. Calor y Temperatura 73

7.1. Concepto Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Apendice 79

Bibliografıa 80

Presentacion 5

Instituto Tecnologico del Cibao Oriental(ITECO)

Universidad Patrimonio de la Comunidad

Escuela de Matematica y Fısica

Manual de Practicas de Fısica I

Nombre y Apellidos:

Matrıcula:

Profesor:

Trimestre:

Seccion:

6 Presentacion

Introduccion

El estudio de la fısica es importante porque es una de las ciencias mas fundamentalespara el entendimiento de los fenomenos naturales. Los cientıficos de todas las discipli-nas utilizan las ideas de la fısica, como los quımicos que estudian las estructuras de lasmoleculas, los paleontologos que intentan reconstruir la forma de andar de los dinosauriosy los climatologos que estudian como las actividades afectan la atmosfera y los oceanos.

Asımismo, la fısica es la base de toda la ingenierıa y la tecnologıa, ningun ingeniero podrıadisenar un televisor, una nave espacial interplanetaria ni incluso mejor trampa de ratonessin antes haber comprendido las leyes de la fısica.

El estudio de esta area se puede considerar una aventura que se encontrara desafiante y,en ocasiones, frustrantes, pero esta con frecuencia le brindara satisfaccion y beneficio atodo aquel que decida tomarse un poco de tiempo para escudrinar el mundo de la fısica.

¿Como estudiar fısica?

Con frecuencia se le pregunta a los profesores como se debe estudiar fısica y como preparsepara un examen? No hay respuesta simple para esta interrogante, pero sı se puede hacersugerencias de acuerdo a la experiencia en el aprendizaje y la ensenanza a traves de losanos. Lo mejor es, ante todo, mantener una actitud positiva hacia el tema de estudio,teniendo en cuenta que la fısica es la mas esencial de todas las Ciencias Naturales. Enotros trimestres mas adenlante se usaran los mismos principios fısicos, de modo que esimportante que se entienda y se sea capaz de aplicar los diversos conceptos y teorıasexplicadas tanto en las clases como en este manual.

7

8 Introduccion

Capıtulo 1

Mediciones Fısicas

Objetivos

Diferenciar las medidas fundamentales de las derivadas.

Estudiar los diferentes sistemas de medidas.

Analizar las caracterısticas de medidas.

Realizar operaciones con notacion cientıfica.

Medir es comparar una longitud con otra que se ha dado y analizar las veces que laprimera contiene a la segunda. Magnutud, en fısica, es todo aquello que puede dar la ideade tamano, ejemplos: Longitud, superficie, volumen, peso, velocidad y otras, estas recibenel nombre de Magnitudes. De esas magnitudes hay algunas que se derivan de otras; porej., la superficie es derivada de la longitud, pues se puede representar por el productode dos longitudes; el peso se deriva de la masa; la velocidad es longitud por unidad detiempo, estas son denomindas Magnitudes Derivadas.

El Sistema Internacional de Unidades, SI, es el sistema desarrollado por la ConferenciaGeneral de Pesos y Medidas, este es adoptado por casi todas las naciones industriales delmundo. El mismo describe cada magnitud con su correspondiente unidad de medida dela siguiente manera:

Magnitud Unidad SımboloLongitud metro m

Masa kilogramo kgTiempo segundo s

Corriente electrica ampere ACantidad de sustancia mol molIntensidad luminosa candela cd

Temperatura termodinamica kelvin K

9

10 1.1. Conversion de Unidades

1.1. Conversion de Unidades

Las unidades son cantidades algebraicas que pueden multiplicarse y dividirse entre sı.Para convertir una cantidad expresada en determinada unidad, a su equivalente en unidaddiferente de la misma clase, se basa en el hecho de que multiplicar o dividir una cantidadpor 1 no afecta su valor. Por ejmplo, si 1 m = 10 cm, entonces 1

100m/cm = 1, y se

puede convertir una distancia s expresada en centımetros a su valor en metros con solomultiplicar s (asignandole un valor de 4 cm ) por 1

100m/cm:

4 cm = (4 cm)

(1

100· mcm

)=

4

100= 0. 04 m

Ejemplo no. 1: Un profesor del ITECO trabaja 8 horas a la semana, ¿cuantos minutostrabaja en dicha semana?

Se desea convertir 8 horas a minutos, para ello se hace el siguiente procedimiento: Primero

se analiza que 1 hora es equivalente a 60 minutos. Despues se hace la siguiente relacion(conocida como regla de tres):

1 h = 60 min8 h = x min

Se expresa con la variable x el valor desconocido, es decir, a lo que se quiere llevar laconrversion. Luego, se hace una multiplicacion cruzada.

(1 h)(x ) =8 h(60 min) Se hace la operacion indicada xh = 480 h(60 min), luego se

divide por la cantidad o incognita que acompana a la variable x, es decir, x =480hmin

h

Se realiza la division de las cantidades numericas (en este caso el denominador es iguala 1, por lo que el numerador quedara igual) y como las horas estan multiplicando y a lavez dividiendo, se eliminan quedando solo los minutos, esto esx = 480min. Se concluye que el profesor trabaja 480 minutos en la semana.

Ejemplo no. 2: Un estudiante de Informatica recorre 390 m desde su casa hasta elparqueo frente al edificio de las G del ITECO, una companera de clases le pregunta porcuriosidad que cuantos kilometros debe recorrer para llegar a la Universidad, pero el sequeda pensando y no sabe que responder. ¿Cuantos kilometros debe recorrer el estudiante?

Este ejercicio es semejante al anterior, por lo que se hace la siguiente relacion:

1 km = 1000 mx km = 390 m. Luego se hace una multiplicacion cruzada.

(km )(390 m) =x(1000 m) luego se divide por la cantidad o incognita que acompana a la

variable x, es decir, x =390(m) (km)

1000 m


Se realiza la division de las cantidades numericas y como los metros estan multiplicandoy a la vez dividiendo, se eliminan quedando km, esto es x = 0. 39 km. Se concluye que elestudiante debe recorrer 0.039 km.

12 1.2. Notacion Cientıfica

1.2. Notacion Cientıfica

En ciencia e ingenierıa son comunes los numeros muy pequenos o muy grandes, que seexpresan mejor con la ayuda de potencias. Un numero en forma decimal puede escribirsecomo un numero entre 1 y 10, multiplicado por una potencia de 10, dicha potencia ha de serpositiva o negativa dependiendo el lugar recorrido por el punto (si el punto recorre lugareshacia la derecha, la potencia es negativa y si recorre lugares hacia la izquierda es positiva).Este procedimiento es conocido como Notacion Cientıfica. Por ejemplo, 345 = 3. 45× 102

(el punto ha recorrido dos lugares hacia la izquierda, por tanto la potencia es dos positivo)y 0,00021 = 2. 1×10−4 (el punto ha recorrido cuatro lugares hacia la derecha, por lo que lapotencia es cuatro nagativo). Algunos ejemplos de las potencias de 10 son las siguientes:

107 = 10, 000, 000 10−1 = 0. 1106 = 1, 000, 000 10−2 = 0. 01105 = 100, 000 10−3 = 0. 001104 = 10, 000 10−4 = 0. 0001103 = 1, 000 10−5 = 0. 00001102 = 100 10−6 = 0. 000001101 = 10 10−7 = 0. 0000001100 = 1 10−8 = 0. 00000001

Ejemplo no. 1: Los ingenieros encargados de la reparacion de la carretera Cotuı-Pimentelinformaron a Obras Publicas que necesitan 20,000,000 de pesos para dicha reparacion.Como se puede representar esta cifra en notacion cientıfica?

Para poder representar 20,000,000 en notacion cientıfica, se debe tomar en cuenta quedespues del ultimo cero de la cantidad, hay un punto, el cual debera hacer un recorrido(contando los pasos dados)de derecha a izquierda hasta llegar al medio del primer ceroy del dos, es decir, desde el ultimo cero hasta el dos hay que dar 7 pasos, entonces seexpresa como 107 (positivo porque se recorre de derecha a izquierda), esta expresion debeser multiplicada por el numero que esta delante de la cantidad inicial 2, es decir, 2× 107

millones de pesos.

Ejemplo no. 2: El ano pasado fue encontrado un tinaco abandonado en el patio tracero deuna casa del barrio de la Estancia, este tena 0.0000045 bacterias en el agua que contenıa.Exprese esta cantidad en notacion cientıfica.

Se hace el recorrido de izquierda a derecha contando los pasos dados hasta llegar a unacantidad expresada en numeros del 1 al 10, en este caso sera 4. 5 y los pasos son 6 (elcual sera negativo debido al tipo de recorrido), por tanto, la expresion es equivalente a4. 5× 10−6 bacterias.


1.3. Cifras Significativas

Se ha dado el nombre de cifras significativas de un numero a los dıgitos que se conocen concerteza mas un dıgito incierto en un valor medido. Los ceros al final de un numero puedenser significativos o indicar solamente la posicion del punto decimal. Por ejemplo, si unalongitud esta dada como 563 m entonces los tres dıgitos, 5, 6 y 3 deben ser significativos.No obstante, si otra longitud esta dada como 2950 m, no se tiene claro si las cuatrocifras son significativas o unicamente las tres primeras. La notacion en potencia de 10permite eliminar esta ambiguedad. Si las cifras significativas son unicamente 2, 9 y 5, seescribe 2. 95× 103 m. Por otra parte, si el ultimo cero tamben es significativo, se escribe2. 950× 103 m.

Cuando las cantidades se combinan aritmeticamente, el resultado no puede ser mas exactoque la cantidad que posee la menor certeza; por lo tanto,

82 kg + 0. 13 kg = 82 kg82. 0 kg + 0. 13 kg = 82. 1 kg

82. 00 kg + 0. 13 kg = 82. 13 kg82. 000 kg + 0. 13 kg = 82. 13 kg

Criterios para contar las cifras significativas en una medida

Son cifras significativas en una medida, todos los dıgitos diferentes de cero, los ceros queestan entre dıgitos diferentes de cero y los ceros a la derecha de un dıgito diferente decero.

Ejemplo: Decir la cantidad de cifras significativas que tienen las siguientes medidas.

1. 0. 0034 kg0. 0034 kg0. 0034 kg Hay 2 cifras significativas porque los ceros ni estan entre dıgitos diferentesde cero ni a la derecha de estos.

2. 2. 0056m2. 0056m2. 0056m Hay 5 cifras significativas porque los ceros estan comprendidos entredıgitos diferentes de cero.

3. 30. 67 pul30. 67 pul30. 67 pul Hay 4 cifras significativas por la razon anterior.

14 1.4. Operaciones con Notacion Cientıfica

1.4. Operaciones con Notacion Cientıfica

Suma y Resta

Para sumar o restar numeros escritos en notacion de potencia de 10, estos deberan expre-sarse en terminos de la misma potencia de 10, es decir, el exponente debe ser el mismonumero.

Ejemplos: Las siguientes expresiones tienen igual potencia, por lo que se procede a sumarnormalmente los coeficientes,

(2× 108) + (6× 108) = 8× 108

(−5× 104) + (−3× 104) = −8× 104

(2× 108)− (−4× 108) = 6× 108

Cuando las expresiones tienen diferentes exponentes, estos deben igualarse y luego sumarse

(3× 102) + (4× 103) = (0. 3× 103) + (4× 103),

se han igualado las potencias haciendo que el pundo de la primera expresion se muevaun paso hacia la izquierda y por ser positivo, se le suma 1 al exponente inicial (102+1),entonces sı pueden sumarse, por lo que se obtiene:

(0. 3× 103) + (4× 103) = 4. 3× 103

Otros ejemplos son los siguientes:

(3× 105) + (6× 103) = (3× 105) + (0. 06× 105) = 3. 006× 105

(4. 46× 10−5)− (2. 43× 10−9) = (4. 4× 105)− (0. 000243× 105) = 4. 459757× 10−5

Multiplicacion

Para realizar el producto de potencias de igual base, se han de multiplicar los coeficientesy se suman los exponentes.

Ejemplos:

(0. 23× 10−8)(3× 106) = 0. 69× 10(−8+6) = 0. 69× 10−2 = 6. 9× 10−3

(−5× 107)(6× 106) = −30× 10(7+6) = −30× 1013 = −3× 1014

(7× 104)(1. 4× 10−2) = 9. 8× 10(4+[−2]) = 9. 8× 102

Division

Para dividir potencias de igual base, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.

Ejemplos:


20× 105

4× 103= 5× 10(5−3) = 5× 102

9× 10−3

3× 103= 3× 10(−3−3) = 3× 10−6

49× 104

7× 10−2= 7× 10(4−[−2]) = 7× 106

Potenciacion

Para elevar una potencia a un numero, se evela el coeficiente al numero y se multiplica elexponente a dicho numero.

Ejemplos:

(7× 102)3 = (7)3 × 102(3) = 343× 106 = 3. 43× 108

(−5× 10−3)2 = (−5)2 × 10−3(2) = 25× 10−6 = 2. 5× 10−5

(4 × 103)−4 = (4)−4 × 103(−4) = 144× 10−12 = 1

64× 10−12 = 0. 015625 × 10−12 =

1. 5625× 10−14

Radicacion

Para extraer la raız n-esima de una potencia, se extrae la raız del coeficiente y se divideel exponente de la potencia entre n. Si queremos saber el resultado de

4√

16× 1012, solo

debemos buscar la raız cuarta de 16 y dividir el exponente (12) entre el ındice de la raız

(4), ası:4√

16 × 10( 124) , la raız cuarta de 16 es 2 y 12 entre 4 es 3, el resultado queda

expresado de la siguiente manera: 2× 103.

Ejemplos:

3√

64× 103 =3√

64× 10( 33) = 4× 101 = 40

√4× 10−8 =

√4× 10(− 8

2) = 2× 10−4

Dos casos que te pueden confundir:

√20× 105

5× 1015= 2×10−5 →

Primero se debe realizar la division,(20/5)× 105−15 = 4× 10−10,

y luego se extraela raız cuadrada de esta expresion,√

4× 10−10 = 2× 10−5

16 1.4. Operaciones con Notacion Cientıfica

5√

3. 2× 109 = 2× 102 →

En esta ocasion se debe convertir laparte decimal en un numero entero,

corriendo el punto un paso hacia la izquierday sumarle 1 al exponente (9 + 1)

5√

32× 1010 =5√

32× 10( 105) = 2× 102


1.5. Ejercicios

Conversion de Unidades

Utilizar la siguiente tabla para realizar los ejercicios asignados.

1km = 1000 m 1h = 60 min 1h = 3600 s 1kg = 1000 g1 plg = 2. 54 cm 1 pie = 0. 3048m 1 kg = 2. 20 lb 1 mi = 1. 61 km

1. Un maestro constructor solicito comprar 50 kg de cemento blanco para hacer undiseno en el exterior de la pared frontal de la Universidad ITECO. Si en la ferreterıavenden el cemento en libras, ¿cuantas libras se deben comprar para satisfacer elmandato del albanil?

2. Efraın necesita llegar a tiempo a Rectorıa porque tiene una reunion importantecon Herminio Vasquez, el decide correr a una velocidad constante de 97 km/h. SiBenjamın, el watchman de Rectorıa le pregunta a Efraın que cual fue su velocidaden m/s, ¿que debe responder el?

3. Cada empleado de las oficinas de Registro debe trabajar 36 horas a la semana,¿cuantos segundos trabajan en un mes?

4. Un estudiante escucho de un maestro de geografıa que el diametro de la tierra es deaproximadamente 7,900 millas, pero este no entendio debido a que desconocıa esaunidad de medida. Si el estudiante le pregunto al profesor que a cuantos kilometrosequivalen esas millas, a) ¿que debe responder el maestro? b) Y si otro estudiantequiere saber ese resultado en metros, ¿como se debe responder?

5. El edificio de las aulas G tiene aproximadamente 345 pie de alto, ¿a cuantos metrosequivale dicha medida?

6. Normalmente, las mesas de las aulas tiene 60 cm de largo, ¿a cuantas pulgadasequivale dicha medida?

Notacion Cientıfica

Convierta las siguientes cantidades en notacion cientıfica:

7. 4560000

8. 0. 000927

9. 0. 001

10. 34280000

11. 20800000000

18 1.5. Ejercicios

Cifras Significativas

Escriba el numero de cifras significativas que contiene cada expresion numerica:

12. 12. 0927

13. 0. 0032

14. 1. 7435

15. 0. 859

Operaciones con Notacion Cientıfica

Realice las operaciones correspondientes a cada caso.

16. (7× 105) + (4× 104) =

17. (9× 10−2) + (3× 103) =

18. (02× 10−3) + (6× 10−4) =

19. (5× 108)− (7× 105) =

20. (8× 107)− (2× 104) =

21. (9× 10−5)(2. 2× 107) =

22. (6× 10−4)(4× 108) =

23. (3× 10−3)(8× 10−6) =

24.35× 10−9

5× 102=

25.12× 105

4× 103=

26.(3× 10−9)(8× 10−2)

6× 102=

27. (9× 103)3 =

28. (0. 5× 107)4 =

29.3√

243× 106 =

30.

√(2× 105) + (7× 105)

3× 102=

31.(2× 102)(0. 00004)

(0. 00003)(4× 104)=

Capıtulo 2

Funciones y Proporciones

2.1. Relaciones entre variables

Se denomina funcion a la regla o ley que asigna a cada elemento de un conjunto A, almenos, un elemento correspondiente en otro conjunto B.

Si en un intervalo los elementos de un conjunto van cambiando se dice que son variables,de no cambiar se dice que son constantes. Las funciones no necesariamente son sencillas.Estas dependen del tipo de correspondencia que existe entre los elementos de los conjuntosdados. Si denotamos a la variable del segundo conjunto con la letra yyy y la variable delprimer conjunto con la letra xxx, decimos que: yyy es una funcion de xxx. En este caso decimosque hay una funcion de una sola variable, y se expresa de la siguiente forma: y = f(x).

A x se le llama variable independiente y a y variable dependiente. Al conjunto de valoresque puede tomar x se le llama dominio y al que puede tomar y se llama codominio orango.

2.2. Proporcionalidad Directa(PD)

Se designa como proporcionalidad directa a la funcion en la cual el cociente (o razon)de los valores correspondientes a dos variables xxx y yyy es una constante, es decir,

y1x1

=y2x2

= · · · = ynxn

= constante

De lo anterior se deduce que:y

x= k

A kkk se le denomina constante de proporcionalidad y no es mas que la razon a la quecambia y con respecto a x.

19

20 2.2. Proporcionalidad Directa(PD)

La grafica de este tipo de funcion es una lınea recta inclinadasubiendo hacia la derecha que pasa por el origen.

figura 2.1: PD

Ejemplo Para hacer una reaccion quımica como experimento de laboratorio, hay quemezclar 250 gramos de hierro por cada 100 gr de azufre. Si se hace una tabla con algunascantidades se obtiene: La grafica obtenidad es:

x (gr azufre) y (gr hierro)25 62. 550 12575 187. 5100 250125 312. 5150 375

figura 2.2: PD(azufre-hierro)

Aquı se puede observar que:

k =y

x=

62. 5

25=

125

50=

250

100= 2. 5

La ecuacion corespondiente esta definidad como:

k =y

xo y = kx

es decir,y = 2. 5x


2.3. Proporcionalidad Directa con el Cuadrado

Se llama proporcionalidad directa con el cuadrado a la funcion en la cual el cocientede los valores correspondientes a dos variables x2 y y es una contante. La expresionmatematica que relaciona estas variables es:

y

x2= k o y = kx2

La grafica de este tipo de relacion es una curva llamada parabola, la cual tiene su verticeen el origen.

figura 2.3: Proporcionalidad con el cuadrado

Ejemplo En un experimento hecho por los estudiantes de ingenerıa del ITECO se en-cuentran los siguientes resultados: a) Grafico correspondiente

x(m) x2(m2) y(m2)1 1 52 4 203 9 454 16 805 25 125

figura 2.4: PD con el cuadrado

b) El valor de la constante de proporcionalidad es:

k =y

x2=

5

1=

20

4

45

9=

80

16= 5

22 2.4. Proporcionalidad inversa

c) De lo anterior se produce la ecuacion

k =y

x2o y = kx2

y = 5x2

2.4. Proporcionalidad inversa

Se conoce como proporcionalidad inversa a la funcion en la cual el producto de los valorescorrespondientes a dos variables x y y es una constante.

De lo anterior se concluye que:

k = yx o y =k

x

La grafica de esta funcion es una curva llamada hiperbola

figura 2.5: Proporcionalidad inversa

Ejemplo: Para que los estudiantes de Fantino puedan viajar hacia la Universidad ITECO,deben alquilar un autobus que les cuesta 1,200 pesos. Segun el numero de estudiantes,tendran que pagar distintos precios por el ticket de viaje. Si se hace una tabla con algunosvalores, se tiene que:

x(numero de estudiantes) y(precios)5 24010 12020 6030 4040 3050 24

Expresando los resultados en un eje coordenado se tiene la siguiente grafica (una parabo-la):


figura 2.6: Proporcionalidad inversa(Estudiantes-Ticker)

Es posible observar que a mayor numero de viajeros se tiene menor precio por el ticketdel autobus. Expresando esto en terminos matematicos, se tiene:

k = xy = 1200

Al sustituir a k por su valor y despejar a y, se obtiene la ecuacion matematica:

y =1200

x

2.5. Variacion Lineal

Se designa como variacion lineal a la funcion en la cual la ecuacion matematica querelaciona las variables es y = kx + b. En esta ecuacion k y b son constantes. Al valorde k se le denomina pendiente o constante de proporcionalidad y al valor b se le llamaconstante aditiva. La grafica de esta relacion es una lınea recta que no pasa por el origen.

figura 2.7: Variacion Lineal

Para determinar la constante de proporcionalidad, se toman dos puntos cualesquiera de

24 2.5. Variacion Lineal

la grafica (o de la tabla), y se realiza la siguiente operacion:

k =y2 − y1x2 − x1

El valor de la constante aditiva es el valor de y cuando x = 0

Ejemplo: En un experimento hecho en el laboratorio de Fısica, se considera la longitud deun resorte en estado de reposo cuando ninguna fuerza actua sobre el, cuando actua algunafuerza sobre el, este se deforma. La siguiente tabla y grafico muestran los resultados:

x(F (n)) y(longitud)0 41 62 83 104 125 14

figura 2.8: variacion Resorte

Tomando dos puntos, se puede calcular la constante de proporcionalidad:

k =y2 − y1x2 − x1

=12− 8

4− 2=

4

2= 2

Luego k = 2. Nuestra constante aditiva esta en la interceccion con el eje y, por lo queb = 4.

Sustituyendo a k y b por los valores correspondientes, se obtiene la ecuacion Matematica:

y = kx+ b

Por tanto,y = 2x+ 4


2.6. Ejercicios

1. Un hombre salio de su casa para vender un artefacto antiguo que para el tenıamucho valor. Cuando fue a la primero tienda, no quisieron comprarlo; en la segundale ofrecieron 100 pesos por el utensilio; en una tercera, le ofrecieron 200, en una cuarta300 y en un quinto lugar le ofrecieron 400, entonces decidio vender el artefacto por400 pesos. Esta variacion de precios se muestra en la siguiente tabla:

x(lugares) 0 1 2 3 4y(precios) 0 100 200 300 400

a) Construya el grafico f(x).b) ¿Que tipo de relacion existe entre f(x) y x?c) Calcule la constante de proporcionalidad.d) Escriba la ecuacion matematica correspondiente.

2. Las distancias del carro mas veloz del mundo fueron tomadas por medio de unsensor ubicado a 50m de este. Dichas distancias se presentan en la siguiente tablacon relacion al tiempo:

d(m) 50 100 150 200 250t(s) 0 1 2 3 4

a) Construya el grafico d = f(t).b) ¿Que tipo de relacion existe entre f y t?c) Calcule la constante de proporcionalidad.d) Escriba la ecuacion matematica correspondiente.

26 2.6. Ejercicios

3. Los estudiantes de mecanica del Politecnico Juan Sanchez Ramırez, midieron diver-sos objetos de forma circular y calcularon sus areas, estos obtuvieron las siguientesmedidas:

r(cm) r2(cm2) A(cm2)1 1 3. 14152 4 12. 5663 9 28. 2744 16 50. 2655 25 78. 539

a) Construya el grafico A = f(r2).b) ¿Que tipo de relacion existe entre r2 y A?c) Calcule la constante de proporcionalidad.d) Escriba la ecuacion matematica correspondiente.

4. En un experimento hecho en el Lab. de Quımica del ITECO se midieron a tempe-ratura constante los volumenes y preciones de un gas, los cuales se presentan en lasiguiente tabla:

P (pa) 100 50 25 20 5 2V (m3) 2 4 8 10 40 100

a) Construya el grafico P = f(V ).b) ¿Cual es la relacion entre las varibles?c) Calcule la constante de proporcionalidad.d) Escriba la ecuacion matematica correspondiente.e) ¿Que nombre recibe este grafico?f) Dtermine el valor de P para V = 400


5. Los estudiantes de Mantenimiento y Reparacion del Computador del area de in-formatica de la Universidad ITECO, sometieron una resistencia a diferentes corrien-tes, midiendo en cada caso el voltaje. Los resultados obtenidos por ellos se muestranen la siguiente tabla:

V (volt) 0 10 20 30 40 50I(amp) 0 2 4 6 8 10

a) Construya el grafico V = f(I).b) ¿Cual es la relacion entre las variables?c) Calcule la constante de proporcionalidad.d) Escriba la ecuacion matematica correspondiente.

6. El autobus del transporte de los empleados del ITECO se ubica frente a BellasArtes en Cotui, es decir 20m del semaforo del parque, Este empieza a moverse conel tiempo decribiendo una ecuacion d = 20m+ (5m/s2)t2

a) Complete la tabla d = f(t).

t(s) 0 2 4 6 8 10t2(s)d

b) ¿Cual es la relacion entre las variables?c) ¿Cual es la constante de proporcionalidad y aditiva.d) Construya el grafico d = f(t)

28 2.6. Ejercicios

7. Bajo la accion de una fuerza constante horizontal de 12 N, se mueven por separadoscuerpos de masas: 2kg, 3kg, 4kg, 6kg y 10kg

a) Complete la siguiente tabla usando la 2da ley de Newton

(F = ma→ a =

F

m

):

m(kg) 2 3 4 6 10a(m/s2)

b) Construya el grafico a = f(m)c) ¿Que nombre recibe el grafico?

Capıtulo 3

Vectores

Objetivos

Identificar los componentes de un vector.

Definir y diferenciar una magnitud escalar y una vectorial.

Analizar las estrategias de operar vectores.

Determinar las componentes de un vector especıfico.

Encontrar la resultante de dos o mas vectores.

Algunas cantidades fısicas como tiempo, temperatura, masa y densidad se pueden describircon un numero y una unidad. No obstante, en fısica, muchas cantidades importantes estanasociadas a una direccion y no pueden describirse con un solo numero, es por eso que seclasifican en Magnitudes escalares y Vectoriales.

Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud que consta de un umero yuna unidad. Por ejemplo, rapidez(20 m/s), distancia(30 km), volumen (2m3), entre otras.Las cantidades escalares se miden en las mismas unidades y pueden sumarse o restarse.

Algunas cantidades fısicas como la fuerza, la velocidad, tienen direccion y ademas mag-nitud. A este tipo cantidad se le llama cantidades vectoriales. La direccion debe formarparte de cualquier calculo en el que intervengan dichas cantidades. Una cantidad vecto-rial se especifica por una magnitud, una direccion y un sentido dados sobre la recta quedetermina la direccion(ver figura 3.2). Por ejemplo, desplazamiento (29 m, N), velocidad(50 km/h, 30◦ N del O).

Definicion de vector Un vector es un segmento de recta dirigida que tiene magnitud,diraccion y sentido.

29

30 3.1. Representacion de un vector

figura 3.1: Vectores

3.1. Representacion de un vector

a) Magnitud y direccion: conciste en indicar el vector ~A, mediante su magnitud A,y su angulo de orientacion θA, medido respecto a la parte derecha del eje horizontal (eje

polar). Esta forma es ~A = A, θA. Por ejemplo, ~v = 5.00 m/s, 60◦.

b) Forma Grafica: Consiste en indicar el vector mediante un segmento de recta dirigida(una flecha). La longitud de la flecha debe ser proporcional a la magnitud del vector, portal razon, es necesario el uso de una escala. La orientacion del vector, esta dada por elangulo de inclinacion de la flecha, medido desde la parte derecja del eje horizontal, y ensentido contrario a las agujas del reloj.

c) Coordenadas Rectangulares (Componentes en el plano XY): Si se considera

el vector ~A, se precisa como el par ordenado AX , AY si es en el plano XY . Los elementosdentro del parentesis se llaman componentes rectangulares. Estas se corresponden con lasproyecciones del vector ~A sobre los ejes de coordenadas. Es decir, la proyeccion de ~A,sobre el eje x, se corresponde con la componente AX . Esta forma es ~A = AX , AY . Porejemplo, ~F = (5N, 6N).

3.2. Operaciones con Vectores y Escalares

3.2.1. Vectores negativos

El negativo de un vector ~A se define como un vector, que al sumarse con ~A se tiene comoresultado cero. Para la suma vectorial esto es: ~A+ (− ~A) = 0. Los vectores ~A y − ~A tienenla misma magnitud y sentido opuesto.

figura 3.2: Vectores opuestos

3. Vectores 31

3.2.2. Multiplicacion de un vector por un escalar

Si un vector se multiplica por un escalar (k) positivo el producto es un vector que tiene lamisma direccion que el original pero magnitud diferente. En cambio si se multiplica porun escalar (k) negativo tiene direccion opuesta al vector original.

Ejemplo Si

~A = 4m para k = 2 se tiene que k ~A = 8m~A = 4m para k = −1 se tiene que k ~A = −4m

Forma grafica

figura 3.3: Multiplicacion por un escalar

3.2.3. Sumas de Vectores

La suma de vectores esta definida en componentes rectangulares. Si se tiene ~A y ~B, lasuma de estos tendra como resultado otro vector cuyas componentes se consiguen comola suma de las componentes correspondientes de ~A y ~B. Si se llama ~C a la suma de ~A y~B, entonces:

Cx = Ax +Bx

Cy = Ay +By

Ejemplo Dado los dos desplazamientos~D = (6i+ 3j)m y ~E = (4i− 5j)m

Obtenga la magnitud del deplazamiento de 2 ~D − ~E.

Procedimiento:Primero multiplicamos el vector ~D por 2(escalar) y luego restamo el

vector ~E del resultado obtenido.solucion

Si ~F = 2 ~D − ~E~F = 2((6i+ 3j))m− (4i− 5j)m

=[(12− 4) i+ (6 + 5) j

]m

=(

8i+ 11j)m

32 3.2.4. Metodo Grafico

3.2.4. Metodo Grafico

En la forma grafica existen diferentes metodos, como son:

a) Metodo del polıgono: Este metodo consiste en colocar los vectores uno a continua-cion de otro, hasta llegar al ultimo, y el vector resultante sera el que va desde el origendel primero hasta el extremo del ultimo.

Ejemplo Un barco recorre 100 km hacia el Norte durante el primer dıa de viaje, 60 km alnoreste el segundo dıa y 120 km hacia el Este el tercer dıa. Encuentre el desplazamientoresultante por el metodo del polıgono.

Se toma como punto de inicio el origen del viaje y se escoge una escala apropiada. Esconveniente usar un transportador y una regla para dibujar la longitud de cada vector demanera que sea proporcional a su magnitud. El desplazamiento resultante sera un vectordibujado desde el origen a la punta del ultimo vector.

figura 3.4: Metodo del polıgono para sumar vectores.

Si se mide el angulo θ con un transportador, resulta que la direccion es de 41◦. Por tanto,el desplazamiento resultante es R = (216 km, 41◦)

b) Metodo del paralelogramo: Este metodo consiste en hacer coincidir los vectoresorigen con origen, luego se trazan paralelas a cada uno de los vectores. La resultante es larecta que se traza desde el origen de los vectores hasta la interseccion de las paralelas. Elmetodo del paralelogramo es conveniente para sumar solo dos vectores a la vez. En amboscasos, la magnitud de un vector se indica a escala mediante la longitud de un segmentode recta.

Nota: Para obtener la resultante en este metodo, hay que tomar en cuenta el anguloque se forma en el origen de los vectores. Si el angulo es de 90◦, se utiliza el teorema dePitagoras

(R =

√A2 +B2

). Si el angulo es diferente de 90◦, entonces se utiliza la ley del

coseno(R =

√A2 +B2 + 2AB cos θ

).

3. Vectores 33

Ejemplo: Encuentre la fuerza resultante sobre el burro de la figura 3.6, si el angulo entrelas dos cuerdas es de 120◦. En un extremo se jala con una fuerza de 60 Ib y, en el otro,con una fuerza de 20 Ib. Use el metodo del paralelogramo para sumar los vectores.

figura 3.5: Metodo del paralelogramo para sumar vectores.

Se puede observar que el angulo comprendido entre los vectores es diferente de 90◦, porlo que se debe usar la ley del coseno.

LLamaremos A al primer vector (60 Ib) y B al segundo (20 Ib), sabiendo que contamoscon un angulo de 120◦ , procedemos a sustutir cada componente por su respectivo valor:

R =(√

A2 +B2 + 2AB cos θ)Ib

=(√

(60)2 + (20)2 + 2(60)(20) cos 120)Ib

=(√

3600 + 400− 1200)Ib

=(√

2800)Ib

= 52. 92Ib

c) Metodo Analıtico (tambien conocido como metodo de las componentes):Este metodo consiste en hacer coincidir los vectores en el origen del plano carteciano yluego sumar todas las componentes.

Para determinar la resultante en este metodo se procede de la siguiente manera:

a) Graficar los vectores en el plano con sus respectivas direcciones.

34 3.2.4. Metodo Grafico

b) Calcular las componentes de cada vector ~A, es decir, Ax y Ay, de la siguiente manera:

Ax = A cos θ, Ay = A senθ

c) Realizar la sumatoria de las componentes de x y las componentes de y.

d) Encontrar la resultante por Pitagoras(R =

√(Σx)2 + (Σy)2

).

e) Determinar la direccion del vector θ = tan−1(

Σy

Σx

).

Ejemplo: Tres sogas estan atadas a una estaca, y sobre ella actuan tres fuerzas: A = 20N, E; B = 30 N, 30◦ N del O y C = 40 N, 52◦ S del O. Determine la fuerza resultanteusando el metodo de las componentes.Hacer un bosquejo aproximado del problema. Las fuerzas se representan como vectoresproporcionales y sus direcciones se indican por medio de angulos con respecto al eje x. Portanto, obtendremos la fuerza resultante por medio de la estrategia para resolver problemas.

figura 3.6: Metodo Analıtico

Vector Angulo (θ) Componente (x) Componente (y)

A = 20N 0◦ Ax = +20N Ay = 0B = 30N 30◦ Bx = −30N cos 30◦ = −26N By = 30N sen30◦ = 15NC = 40N 40◦ Cx = −40N cos 52◦ = −24. 6N Cy = −40N sen52◦ = −31. 5N

Cuadro 3.1: Componentes de los Fuerzas

Sumar las componentes x para obtener Rx : Rx = Ax +Bx + Cx

Rx = 20. 0N − 26. 0N − 24. 6N

Rx = −30. 6N

3. Vectores 35

Sumar las componentes y para obtener Ry : Ry = Ay +By + Cy

Ry = 0N + 15. 0N − 31. 5N

Ry = −16. 5N

Ahora se procede a encontrar la resultante y la direccion (θ) partiendo de Rx y Ry:

R =√

(Rx)2 + (Ry)2

=√

(−30. 6N)2 + (−16. 5N)2

= 34. 8N

θ = tan−1(Ry

Rx

)= tan−1

(−16. 5

−30. 6

)= tan−1(0. 539)

= 28. 32◦

28. 32◦ S del O o 180◦ + 28. 32◦ = 208. 32◦

Por consiguiente, la fuerza resultante es 34. 8N a 208. 32◦

figura 3.7: Resultante

3.3. Vectores Unitarios

Una herramienta util para muchas aplicaciones de vectores es la especificacion de la di-reccion por medio de un vector unitario. Este metodo separa claramente la magnitudde un vector de su direccion.Vector unitario: Un vector sin dimensiones cuya magnitud es exactamente 1 y cuyadireccion esta dada por definicion.Los sımbolos i, j, k se usan para describir vectores unitarios en las direcciones x, y, zpositivas.

36 3.3. Vectores Unitarios

Por ejemplo, un desplazamiento de 40 m, E podrıa expresarse simplemente como +40 i,y un desplazamiento de 40 m, O podrıa darse como -40 i. Por conveniencia, las unidadesgeneralmente se omiten cuando se usa la notacion i, j.

Considere el vector A de la figura 3.8 que se ubica sobre el plano xy y tiene componentesAx y Ay. Podemos representar las componentes x y y del vector A usando los productosde sus magnitudes y el vector unitario adecuado. Por tanto, el vector A se puede expresaren lo que llamamos notacion de vectores unitarios:

Axi+ Ayj

figura 3.8: Resultante

La magnitud del vector A es igual a 50 m y el angulo es 36. 9◦,las componentes sonAx = +40m y Ay = +30m. El vector ahora puede escribirse de dos maneras:

A = (50m, 36. 9◦) o A = 40i+ 30j

3. Vectores 37

3.4. Ejercicios

Dados los siguientes vectores:

Dertemine:

1) La multiplicacion por el escalar:

a) 2 ~A

b) 3 ~B

c) 4~C

d) − ~D

e) −4 ~B

f) −2~C

g) 3 ~D

38 3.4. Ejercicios

2) La reusltante por el metodo del polıgono de:

a) ~A+ ~B + ~C

b) ~D + ~B − ~C

c) ~A− ~D + ~C

3) La reusltante por el metodo del paralelogramo:

a) ~B + ~C

b) ~D − ~B

c) ~A− ~C

3. Vectores 39

4) La reusltante por el metodo analıtico:

a) ~B + ~C

b) ~A+ ~B + ~D

40 3.4. Ejercicios

Resolucion de problemas

1) Una mujer camina 4 km hacia el Este y despues camina 8 km hacia el Norte.a) Aplique el metodo del polıgono para hallar la resultante. (b) Compruebe el resul-tado de la parte (a) con el metodo del paralelogramo.

2) Un topografo inicia su tarea en la esquina sureste de una parcela y registra lossiguientes desplazamientos: A = 600 m, N; B = 400 m, O; C = 200 m, S, y D = 100m, E. ¿Cual es el desplazamiento neto desde el punto de partida?

3) Las tres fuerzas siguientes actuan simultaneamente sobre el mismo objeto: A = 300N, 30◦ N del E; B = 600 N, 270◦; y C = 100 N hacia el Este. Halle la fuerza resultantemediante el metodo del polıgono.

3. Vectores 41

4) Dos cuerdas A y B estan atadas a un gancho de amarre, de manera que se ha formadoun angulo de 60◦ entre las dos cuerdas. La tension sobre la cuerda A es de 80 N yla tension sobre la cuerda B es de 120 N. Utilice el me todo del paralelogramo parahallar la fuerza resultante sobre el gancho.

5) Dos fuerzas actuan sobre el automovil ilustrado en la figura. La fuerza A es igual a120 N, hacia el Oeste, y la fuerza B es igual a 200 N a 60◦ N del O. ¿Cuales son lamagnitud y la direccion de la fuerza resultante sobre el automovil?

6) Un bote se dirige hacia el norte con una rapidez de 80 km/h. Sopla un viento fuertecuya presion sobre la estructura del bote lo empuja hacia un lado en direccion oestecon una rapidez de 20 km/h. Si el angulo que barre el bote es de 30 grados, endireccion al viento, determine la velocidad del bote con respecto a la superficie porel metodo del paralelogramo.

42 3.4. Ejercicios

7) Dos obreros del ITECO estan halando un burro que se encuentra en los alrededoresdel edificio H, como se ilustra en la figura. Encuentre la fuerza resultante por elmetodo analıtico.

8) Tres embarcaciones ejercen fuerzas sobre un gancho de amarre como muestra lafigura. Halle la resultante de esas tres fuerzas.

3. Vectores 43

9) Calcule la resultante de las fuerzas ilustradas en la siguiente figura.

10) Calcule la fuerza resultante que actua sobre la argolla de la siguiente figura.

44 3.4. Ejercicios

Capıtulo 4

Cinematica

Objetivos:

Definir y aplicar las definiciones de velocidad media y aceleracion media.

Resolver problemas que incluyan tiempo, desplazamiento, velocidad y aceleracionmedias.

Aplicar una de las cinco ecuaciones generales del movimiento uniformemente acele-rado para determinar algunos de los cinco parametros: velocidad inicial, velocidadfinal, aceleracion, tiempo y desplazamiento.

Resolver problemas generales relacionados con cuerpos en caıda libre en un campogravitacional.

Determinar el alcance de un proyectil cuando se conocen su velocidad inicial y suposicion.

4.1. Conceptos Generales

La cinemetica se ocupa de la descripcion del movimiento.

El desplazamiento es la cantidadad vectorial con que se precisa el cambio de posicionque experimenta un cuerpo en un tiempo dado.

Trayectoria es la ruta seguida por un objebto.

velocidad es el desplazamiento que experimenta un cuerpo en un tiempo determinado.

Velocidad Media se define como el desplazamiento total entre dos puntos y el tiempo.

Velocidad Instantanea es la velocidad que tiene un objeto en un instante de tiempodado.

45

46 4.1. Conceptos Generales

Aceleracion Media se define el cambio de velocidades entre dos puntos el cambio en eltiempo.

Distancia es la longitud de la trayectoria seguida por una partıcula en un intervalo detiempo dado.

posicion es el segmento dirigido que va del origen del sistema de coordenada hasta elpunto en que esta la partıcula en un instante dado.

figura 4.1: posicion

Movimiento retilıneo uniforme (MRU) es el movimiento en el que la velocidades constante en magnitud, en direccion (movimiento en lınea recta) y sentido. Es unmovimiento con aceleracion nula.

Movimiento retilıneo uniformemente variado (MRUV) se le denomina ası al mo-vimiento en lınea recta con aceleracıon constante. En este movimiento se consideran dosposible caso:

a) Movimiento retilıneo uniformemente acelerado (MRUA) cuando aumenta la magnitudde la velocidad.

b) Movimiento retilıneo uniformemente retardado (MRUR) cuando disminuye la magni-tud de la velocidad.

4. Cinematica 47

4.2. Movimiento Rectilıneo

Tipos de movimientorectilıneo

Caracterısticas del movi-miento

Formulas

Uniforme

Su velocidad es constante, ladistancia es proporcional altiempo.

d = vt

Uniformemente varia-do

Uniformemente Acelera-do, la velocidad aumenta pro-porcionalmente con el tiempo.La aceleracion es constante ypositiva.

d = vit+1

2at2

2ad = v2f + v2i

vf = vi + at

Uniformemente Retarda-do, la velocidad disminu-ye proporcionalmente con eltiempo. La aceleracion esconstante y negativa.

d =(vi + vf )

2t

Variado

La velocidad varıa de cual-quier manera. v =

∆x

∆t=xf − xitf − ti

a =∆v

∆t=vf − vitf − ti

4.2.1. Problemas resueltos

1) La velocidad de la luz es de 3 × 108 m/s. ¿Cuanto tiempo le toma a la luz de solllegar a la tierra si recorre una distancia de 1. 5× 1011m?

d = vt→ t =d

v→ 3× 108 m/s

1. 5× 1011 m= 500 s

2) Un automovil recorre 270 km en 4. 5 h. a) ¿Cual es su velocidad promedio? b)¿Que distancia recorrera en 7 h a esta velocidad promedio? c) ¿En cuanto tiemporecorrera 300 km a esta velocidad promedio?

a)

v =d

t=

270 km

4. 5 h= 60 km/h

b)d = vt = (60 km/h)(7 h) = 420 km

c)

t =d

v=

300 km

60 km/h= 5 h

48 4.2.1. Problemas resueltos

3) Un avion cuya velocidad en el aire es de 640 km/h tiene un viento de cola de 200km/h. ¿Cuanto tiempo tardara en cubrir una distancia de 1600 km con respecto ala tierra?

Primero se debe buscar la velocidad del avion con respecto a la tierra

v = 640 km/h+ 200 km/h = 840 km/h

Por lo tanto, el tiempo requerido para cubrir 1600 km sobre la tierra es:

t =d

v=

1600 km

840 km/h= 1. 9 h

4) Un automovil viaja durante 2 h a 100 km/h, durante las siguientes 2 h viaja a 60km/h y, finalmente, durante 1 h viaja a 80 km/h. ¿Cual es la velocidad promediodel automovil durante el viaje completo?

La velocidad promedio del automovil es igual a la distancia total que cubre divididaentre el tiempo total. Por tanto,

v =d1 + d2 + d3t1 + t2 + t3

=v1t1 + v2t2 + v3t3

t1 + t2 + t3

=(100 km/h)(2 h) + (60 km/h)(2 h) + (80 km/h)(1 h)

2 h+ 2 h+ 1 h

=400 km

5 h= 80 km/h

5) Un carro parte del reposo y en 10 s alcanza una velocidad de 40 m/s. a) ¿Cual es suaceleracion? b) Si su aceleracion permanece igual, ¿cual sera su velocidad despuesde 15 s?

Aquı v0 = 0. Por lo tanto,

a)

a =v

t=

40m/s

10 s= 4m/s2

b)

v = at = (4m/s2)(15 s) = 60m/s

6) a) ¿Cual es la aceleracion de un vehıculo que en 1. 5 s aumenta su velocidad de20 a 30 km/h? b) Con la misma aceleracion, ¿cuanto tiempo le tomara cambiar suvelocidad de 30 a 36 km/h?

4. Cinematica 49

a)

a =v − v0t

=30 km/h− 20km/h

1. 5 s= 6. 7 (km/h)/s

b)

t =v − v0a

=36 km/h− 30km/h

6. 7 (km/h)/s= 0. 9 s

7) Un automovil tiene una aceleracion de 8 m/s2. a) ¿Cuanto tiempo necesitara paraalcanzar una velocidad de 24 m/s si parte del reposo? b) ¿Que distancia recorredurante ese tiempo?

a)

t =v

a=

24m/s

8m/s2= 3 s

b) Como el automovil parte del reposo, v0 y

d =1

2at2 =

1

2(8m/s2)(3 s)2 = 36m

8) A una camioneta cuya velocidad inicial es de 30 m/s se le aplican los frenos, con loque adquiere una aceleracion de -2m/s2. ¿Que distancia habra recorrido cuando a)su velocidad haya disminuido a 15 m/s y b) alcance el reposo?

a) Como v2 = v20 + 2ad,

d =v2 − v20

2a=

(15m/s)2 − (30m/s)2

2(−2m/s)= 169m

b) En esta caso v = o, por lo que

d =v2 − v20

2a=

(0)− (30m/s)2

2(−2m/s)= 225m

9) Dado el siguiente Grafico

Determine:

50 4.3. Movimiento de Caıda Libre

a) La aceleracion en cada tramo:

a1 =vf − vitf − ti

=30m/s− 10m/s

40s− 0s= 0. 5m/s2


=30m/s− 30m/s

90s− 40s= 0


=0m/s− 30m/s

100s− 90s= −30m/s2

b) El deplazamiento en cada tramo:

v1 =vi + vf

2(tf − ti) =

10m/s+ 30m/s

2(40s− 0s) = 800m

v2 =vf + vi

2tf − ti =

30m/s+ 30m/s

2(90s− 40s) = 1500m

v3 =vf + vitf − ti

=30m/s+ 0m/s

2(100s− 90s) = 150m

c) Tipo de movimiento en cada tramo:

Tramo1 movimiento rectilıneo uniforme aceleradoTramo2 movimiento rectilıneo uniformeTramo3 movimiento rectilıneo uniforme retardado

4.3. Movimiento de Caıda Libre

Aceleracion de la gravedad

Todos los cuerpos en caıda libre cerca de la superficie terrestre experimentan la mismaaceleracion dirigida hacia el centro de la Tierra cuya magnitud es

g = 9. 8m/s2 = 32 ft/s2

Por lo tanto, un cuerpo que cae en el vacıo partiendo del reposo tiene una velocidad de9. 8 m/s2 al final del primer segundo, una velocidd de 19. 6 m/s al termino del segundosiguiente, y ası sucesivamente. La rapidez del cuerpo es mayor a medida que aumenta ladistancia que ha descendido.

Formulas a usar en este movimiento

vf = vi + gt

v2f = v2i + 2gh

h =vi + vf

2(t)

h = vit+1

2gt2

4. Cinematica 51


1) Desde un puente se deja caer una piedra que llega al agua 2.5 s despues a) ¿Cuales la velocidad final de la piedra en metros por segundo? b) ¿Cual es la altura delpuente?

a)v = gt = (9. 8m/s2)(2. 5 s) = 24. 5m/s

b)

h =1

2gt2 =

1

2(9. 8m/s2)(2. 5 s)2 = 30. 6m

2) Se deja caer una pelota desde una ventana que se encuentra a 19.6 m del piso. a)¿Cuanto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? b) ¿Cual es su velocidad final?

a) Como h = 12(g)(t2), despejando a t se tiene:

t =

√2h

g=

√2(19. 6m)

9. 8m/s2=√

4 s2 = 2 s

b)v = gt = (9. 8m/s2)(2 s) = 19. 6m/s

3) Se lanza una pelota hacia abajo con una velocidad inicial de 6 m/s. a) ¿Que veloci-dad alcanza despues de 2 s? b) ¿Que distancia desciende en esos 2 s?

a)

v = v0 + gt = 6m/s+ (9. 8m/s2)(2 s) = 6m/s+ 19. 6m/s = 25. 6m/s

b)

d = v0t+1

2(g)(t2) = (6m/s)(2 s) +

1

2(9. 8m/s2)(2 s)2

12m+ 19. 6m = 31. 6m

4) Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 6 m/s. a) ¿Cuales sonla magnitud y direccion de su velocidad despues de transcurrido 1

2s? b) ¿Cuales son

la magnitud y direccon despus de 4 s?

a) Se considera la direccion hacia arriba con signo positivo (+) y la direccion haciaabajo con signo negativo (-). Por lo tanto, v0 = 6m/s y g = −9. 8m/s2, detal manera que

v = v0 + gt = (6m/s)− (9. 8m/s2)(1

2)(s)

= (6m/s)− 4. 9m/s

= 1. 1m/s

52 4.4. Movimiento de proyectiles

es positiva, por lo que se dirige hacia arriba.

b) Despues de 4 s:

v = v0 + gt = (6m/s)− (9. 8m/s2)(4 s)

= (6m/s)− 39. 2m/s

= −33. 2m/s

es negtiva, por lo que se dirige hacia abajo.

4.4. Movimiento de proyectiles

Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial ~V0 de direccionarbitraria, se mueve describiendo una trayectoria curva en un plano. Un proyectil es unobjeto al cual se ha comunicado una velocidad inicial y se ha dejado en libertad para querealice un movimiento bajo la accion de la gravedad. Los proyectiles que estan cerca dela Tierra siguen una trayectoria curva muy simple que se conoce como parabola. Paradescribir el movimiento es util separarlo en sus componentes horizontal y vertical.

figura 4.2: Movimiento Parabolico

Formulas a usar en este movimiento

R =v2i sen2θ

g

T =2visenθ

g

h =v2i sen

2θ

2g

4. Cinematica 53

Nota: Los angulos con valores mayores o menores que 45◦ proporcionan alcances mascortos. Cuando θ = 45◦, entonces

Rmax =v20g

Ejemplo: Un atleta que participa en salto de longitud deja el suelo a un angulo de 20◦

sobre la horizontal y con una rapidez de 11.0 m/s. Determine:

a) ¿Que distancia salta en la direccion horizontal?b) Cual es la altura maxima que alcanza?c) ¿Que tiempo tarda para tocar el suelo?

a) R =v2i sen2θ

g=

(11m/s)2sen2(20◦)

9. 8m/s2= 7. 94m

b) h =v2i sen

2θ

2g=

(11m/s)2(sen20◦)2

2(9. 8m/s2)= 0. 722m

c) T =2visenθ

g=

(11m/s)sen20◦

9. 8m/s2= 0. 77s

4.5. Movimiento Circular Uniforme(mcu)

Se dice que un cuerpo esta en movimiento circular uniforme cuando se mueve sobre unatrayectoria circular con una velocidad cuya magnitud es constante. Las magnitudes queintervienen en este movimiento son:

Perıodo: es el tiempo que tarda una partıcula en dar una vuelta completa. T =t

n, donde

n es igual al numero de vuelta.

Frecuencia: es el numero de vuelta en unidad de tiempo. f =n

ty f =

1

t

Deplazamiento Lineal: es la longitud del arco en un perıodo de tiempo determinado.S = 2πr, su unidad de medida es el metro.

Desplazamiento angular: es el angulo que se barre en un perıodo del tiempo.θ = 2π.

Velocidad Lineal: es la relacion entre el deplazmiento lineal y el tiempo transcurrido.

v =2πr

T, v = 2πrf y v = ωr

Velocidad angular: es la razon entre el deplazamiento angualar y el tiempo trancurrido.

ω =2π

T, su unidad de medida es el rad/s.

Aceleracion centripeta: es el cambio del vector velocidadlineal para un instate consi-

derado. ac =v2

r

Ejemplos Una rueda de 25cm de radios gira con una velocidad angular de 50 rad/s.Determinar a) Su perıodo y frecuencia b) La velocidad lineal de una partıcula al borde.

54 4.6. Ejercicios propuestos

a) La formula a utilizar es ω = 2πf . Se quiere determinar la frecuencia de la rueda, porlo que se necesita despejar a f , por lo tanto

f =ω

2π=

50 rad/s

2(3. 14)=

50 rad/s

6. 28= 7. 96 s−1

b) Como v = ωR, entonces

v = ωR = (50 rad/s)(0. 25m) = 8Hertz = 12. 5m/s

Note que los 25 cm han sido convertidos en 0.25 m.

La luna gira alrededor de la tierra efectuando una revolucion en 27.3 dıas. Suponiendoque la orbita es circular y que tiene un radio de 385,000 km. Calcular a) su velocidadtangencial o lineal b) la aceleracion centrıpeta de la luna hacia la tierra.

a) Sabiendo que T= 23.7 dıas = 2. 35873 × 106 s y R=385,000 km = 3. 85 × 108 m, sepuede determinar el valor de V :

V =2πr

T=

2(3. 14)(3. 85× 108 m)

2. 36× 106 s=

24. 2× 108 m

2. 36× 106 s= 1025m/s

b)

ac =V 2

r=

(1025m/s)2

3. 85× 108 m=

1050625m2/s2

3. 85× 108 m= 0. 00272m/s2

4.6. Ejercicios propuestos

1) Un barco navega a una velocidad constante de 15 km/h. a) ¿Que distancia recorreen un dıa? b) ¿Cuanto tiempo tarda en recorrer 500 m?

2) Un avion cuya velocidad en el aire es de 600 km/h cubre una distancia de 1000 kmen 21

2h. ¿Cual es la velocidad del viento de frente que tuvo que vencer el avion?

3) ¿Cuanto tiempo tarda en regresar el eco de una montana hasta una mujer que seencuentra a 92 m de distancia? La velocidad del sonido es de 335 m/s aproximada-mente.

4. Cinematica 55

4) Un lanzador tarda 0.1 s en lanzar una pelota de beisbol, que sale de su mano a unavelocidd de 28 m/s. ¿Cual es la acelaracion de la pelota durante el lanzamiento?

5) Un objeto inicialmente en reposo adquiere una aceleracion de 10 m/s2. a) ¿Que dis-tancia recorre en 0.5 s? b) Cual es su velocidad despues de 0.5 s?

6) Se aplican los frenos a un automovil que se desplaza a 14 m/s y se detiene en 4 s.¿Que distancia recorre el vehıculo mientras disminuye su velocidad de 14 a 10 m/s?

7) Un automovil deportivo tiene una aceleracion de 3 m/s2. a)¿Que distancia recorremientras su velocidad aumenta de 0 a 9 m/s? b) Y de 9 a 30 m/s?

8) Se deja caer una piedra desde el borde de un acantilado. a) ¿Cual es su velocidaddespues de trancurridos 3 s? b) ¿Qua distancia recorre en el segundo siguiente?

9) Un hombre lanza verticalmente una pelota que alcanza una altura de 18 m. a)¿Cuanto tiempo tiene que esperar para atrapar la pelota a su regreso? b) ¿Cual esla velocidad inicial de la pelota? c) ¿Cual es la velocidad final?


10) Un cuerpo en caıda libre llega al piso en 5 s. a) ¿Desde que altura, expresada en me-tros, se dejo caer? b) ¿Cual es su velocidad final? c) ¿Que distancia recorrio duranteel ultimo segundo de su descenso?

11) La aceleracion de la gravedad sobre la superficie de Marte es de 3.7 m/s2. Si unapelota se arroja verticalmente desde un acantilado en Marte, imprimiendole unavelocidad inicial hacia abajo de 10 m/s, a) ¿Que velocidad tendra despues de 1 s?b)¿Despues de 3 s?

12) Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 12 m/s. a)¿Aque altura se encontrara la pelota despues de 4 s? b) ¿Cual es la altura maxima quealcanza la pelota?

13) Se dispara un proyectil con una velocidad de 300 m/s formando un angulo de 40◦

por encima de la horizontal. a) ¿Cual es su alcance? b) ¿Cual es su tiempo de vuelo?

14) Una flecha sale de un arco a 25 m/s. a) ¿Cual es su alcalnce maximo? b) ¿Cualesson los dos angulos que la flecha debe formar por encima de la horizontal cuando eslanzada para que alcance un barco a 50 m de distancia?

15) Se hace girar una cuerda de tal manera que su extremo quede libre describiendoun cırculo horizontal de 1.5 m de radio. Si cada revolucion de la cuerda tarda 4 s,encuentre la aceleracion centrıpeta de su extremo.

4. Cinematica 57

16) Dado el siguiente grafico:

a) La aceleracion en cada tramo:

b) El deplazamiento en cada tramo:

c) Tipo de movimiento en cada tramo:

Capıtulo 5

Dinamica

Objetivos

Analizar las fuerzas desconocidas aplicando las leyes de newton.

Demostrar mediante ejemplos practicos la comprension de la primera y la terceraley de Newton sobre el movimiento.

5.1. Conceptos Generales

Dinamica es la rama de la mecanica clsica que estudia las causas fundamentales delmovimiento.

Fuerza es la cantidad fısica con que expresamos la capacidad de cambiar el estado dereposo o movimiento de un cuerpo. Esta se denota con ~F .

Primera ley de newton establece que un cuerpo que se encuentre en estado de reposoo de movimiento permanecera en ese estado mientras no haya una fuerza real que actuesobre el.

Equilibrio. Un cuerpo se mantiene en equilibrio cuando no actua una fuerza neta sobreel.

Masa de un cuerpo es una cantidad fısica escalar. Esta no cambia cuando el cuerpocambia de lugar o de forma.

Segunda ley de newton establece que la aceleracion de un cuerpo es directamenteproporcional a la fuerza neta que actua sobre el, e inversamente proporcional a su masa.

Peso de un cuerpo es la fuerza con que la tierra atrae hacia su centro los cuerposcolocados cerca de la superficie.

Tercera ley de Newton establece que cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otrocuerpo, este ejerce sobre el primero una fuerza igual pero en direccion contraria. Es decir,

59


que para cada fuerza de accion existe una fuerza de reacion de magnitud pero en sentidocontrario.

Fuerza de friccion es una fuerza que se opone al movimiento de los cuerpos. Esta siempreactua en sentido contrario al movimiento de un objeto.

Fuerza centrıpeta es la responsable de que un objeto se mueva con movimiento circularuniforme.

Formulas a utilizar

Segunda ley de Newton ~Fneta = m~aPeso de un cuerpo w = mg

Tercera ley de Newton ~F12 = −~F12

Fuerza de friccion fc = µn

Fuerza centrıpeta Fc =mv2

R


1) a) ¿Cual es el peso de un objeto cuya masa es 5 kg? b) ¿Que aceleracion experimenteacuando actua sobre este una fuerza neta de 100 N?

a) w = mg = (5kg)(9. 8m/s2) = 49Nb) De la segunda ley del movimiento F = ma, se tiene

a =F

m=

100N

5 kg= 20m/s2

2) Se observa que un cuerpo de 10 kg tiene una aceleracion de 5 m/s2, ¿Cual es lafuerza neta que actua sobre el?

F = ma = (10 kg)(5m/s2) = 50N

3) Una fuerza de 80 N le produce una aceleracion de 20 m/s2 a un cuerpo de masadesconocida. ¿Cual es su masa?

m =F

a=

80N

20m/s2= 4 kg

4) Un auto de 1000 kg cambia su velocidad de 10 a 20 m/s en 5 s. a) ¿Cual es la fuerzaque actua sobre el? b) ¿Cual es el origen de esta fuerza?

a) Primero se debe conocer la aceleracion, por lo que:

a =v − v0t

=(20− 10)m/s

5 s= 2m/s2

F = ma = (1000 kg)(2m/s2) = 2000N

b) La fuerza de reaccion de la carretera sobre las llantas del automovil.

5. Dinamica 61

5) La fuerza que ejercen los frenos de un automovil de 1000 kg sobre este es de 3000N. a) ¿Cuanto tiempo tardara el automovil en detenerse desde una velocidad de 30m/s? b) ¿Que distancia recorrera en ese tiempo?

a) La aceleracion que pueden pproducir los frenos es:

a =F

m=

3000N

1000 kg= 3m/s2

En este caso, la velocidad inicial es v0 = 30 m/s, la velocidad final es v = 0 y laaceleracion es de −3 m/s2, que es negativa puesto a que el automovil disminuye suvelocidad. Por tanto,

v = v0 + at

0 = 30m/s+ [(−3m/s2)(t)]

−30m/s = −(3m/s2)(t)

t =30m/s

3m/s2= 10 s

b) d = v0t+1

2at2 = (30m/s)(10 s)− 1

2(3m/s2)(10 s)2 = (300− 150)m = 150m

6) a) ¿Cual es el peso de un objeto cuya masa es de 90 kg? b) ¿Cual es la masa de unobjeto cuyo peso es de 90 N?

a) w = mg = (90 kg)(9. 8m/s2) = 882N

b) m =w

g=

90N

9. 18m/s2= 9. 8 kg

7) Se empuja una caja de madera de 100 N a lo largo de un piso de madera con unafuerza de 40 N. Si µ = 0. 3, encuentre la aceleracion de la caja.La fueza de friccion que se opone a la fueza aplicada (FA = 40N) es de

Ff = µN = µw = (0. 3)(100N) = 30N

Por lo tanto, la fuerza neta sobre la caja es

F = FA − Ff = 40N − 30N = 10N

La masa de la caja

m =w

g=

100N

9. 8m/s2= 10. 204 kg

y su aceleracion es por consiguiente,

a =F

m=

10N

10. 204 kg= 0. 98m/s2


8) Un automovil, cuyo peso es de 10780 N, tiene unos frenos que pueden ejercer unafuerza maxima de 3300 N. a) ¿Cual es el tiempo mınimo necesario para disminuirla velocidad del automovil de 18 m/s a 6 m/s? b) ¿Que distancia recorre el auto enese tiempo?

a) La masa del automovil es

m =w

g=

10,780N

9. 8m/s2= 1100N

Por lo tanto, su aceleracion maxima es

a =F

m=

3300N

1100 kg= 3m/s2

En este caso v0 = 18m/s, v = 6m/s y a = −3m/s2. Debido a que a = (v − v0)/t,

t =(v − v0)

a=

(6− 18)m/s

−3m/s2=−12m/s

−3m/s2= 4 s

5. Dinamica 63

5.2. Ejercicios Propuestos

1) ¿Cual es el peso de 8 kg de papas que seran utilizadas en la preparacion del desayunode los estudiantes del Politecnico Juan sanchez Ramırez?

2) Se aplica una fuerza de 10 N a un cuerpo cuya masa es de 5 kg, encuentre suaceleracion.

3) a) ¿Que fuerza se necesita para aumentar la velocidad de un camion de 28,000 N de6 a 9 m/s en un tiempo de 5 s? b) ¿Que distancia recorre el camion en ese tiempo?

4) Una pelota de futbol de 430 g que se mueve hacia un jugador con una velocidad de8 m/s recibe una patada y vuela en direccion opuesta a 12 m/s. Si la pelota esta encontacto con el pie del jugador durante 0.01 s, ¿Cual es la fuerza promedio ejercidasobre la pelota?

5) Para mantener una caja de 50 kg en movimiento a velocidad constante sobre un pisode madera es suficiente una fuerza de 200 N, ¿cual es el coeficiente de friccion?

6) Dos bloques, cuyas masas son de 20 kg y 30 kg, se deslizan hacia abajo por un planoinclinado sin friccion, que forma un angulo de 25◦ con la horizontal. Encuentre susrespectivas aceleraciones.

7) Cuando un rifle de peso de 36 N dispara una bala de 0.09N, esta recibe una acele-racion de 3× 104 m/s2 mientras se encuentra en el canon. a) ¿Cual es la magnitudde la fuerza que actua sobre la bala? b) ¿Actua alguna fuerza sobre el rifle? En casoafirmativo, ¿Cual es la magnitud y direccion? c) La bala se acelera durante 0.007 s.¿A que velocidad sale del canon del rifle?

64 5.2. Ejercicios Propuestos

8) El auto de Samuel tiene un peso de 8800 N, este cuenta con unos frenos que puedenejercer una fuerza maxima de 2000 N. a) ¿Cual es el tiempo mınimo necesario paradisminuir la velocidad del auto de 18 m/s a 6 m/s? b) ¿Que distancia recorre el autoen ese tiempo?

9) Una fuerza neta de 12 N proporciona a un objeto una aceleracion de 4m/s2. a) ¿Cuales la fuerza neta que se necesita para proporcionarle una aceleracion de 1m/s2? b)

¿Cul es la fuerza requerida para darle una aceleracion de 10m/s2?

10) Un caracol de 0. 05 kg parte del reposo hasta alcanzar una velocidad de 0.01 m/sen un tiempo de 5 s. a) ¿Cual es la fuerza que ejerce el caracol? b) ¿Que distanciarecorre durante ese tiempo?

11) Sobre un piso horizontal se madera descansa una caja de madera de 300 N. Si elcoeficiente de friccion estatica es de 0.5, ¿que fuerza se requiere para poner la cajaen movimiento?

12) Se aplica una fuerza de 1000 N a un automovil de 1200 kg. Si el coeficiente de friccionpor rodamiento es 0.04, ¿cual es la aceleracion del automovil?

Capıtulo 6

Trabajo, Potenciay Energıa

Objetivos

Definir y escribir las formulas matematicas para el trabajo , la energıa potencial, laenergıa cinetica y la potencia.

Aplicar los conceptos de trabajo , energıa cinetica y potencial para resolver problemassimilares a los presentados como ejemplos.

Escribir y aplicar la Ley Hooke

6.1. Concepto Generales

El Trabajo es una medida de la cantidad de cambio que una fuerza produce cuandoactua sobre un cuerpo. El trabajo realizado por una fuerza que actua sobre un cuerpoes igual al producto de la fuerza por el deplazamiento en que la fuerza actua, siempre ycuando F y s esten en la misma direccion. Es decir

W = Fs

Si F y s no son paralelos, pero forman un angulo θ entre si, entonces

W = Fs cos θ

En el sistema de unidades SI, la unidad del trabajo es el joule (J) y en unidades inglesases pie-libra.

La potencia es la rapidez con la cual una fuerza realiza un trabajo. Por consiguiente,

P =W

t

65

66 6.1. Concepto Generales

Entre mayor sea la potencia de un objeto, mayor sera el trabajo que pueda realizar enun tiempo dado. Las dos unidades especiales de potencia que se utilizan son el watt y elcaballo de potencia (hp), donde un

1 watt (W ) = 1 J/s = 1. 34× 10−3 hp

Energıa es una propiedad asociadad con la capacidad de realizar trabajo. La cual seclasifica en energıa cinetica, potencial y de la masa en reposo. Las unidades de energıason las mismas que el trabajo, es decir: joule y el pie-libra.

Energıa cinetica es la energıa que un cuerpo posee en virtud de su moviemiento. Si lamasa de un cuerpo es m y su velocidad v, la energia cinetica es:

Ek =1

2mv2

Energıa Potencial es la que un cuerpo posee en virtud de su pocicion. La energıa de uncuerpo de masa m y que esta a una altura h por encima de determinado nivel de referenciaes:

Ep = mgh

donde g es la aceleracion de la gravedad. En termino del peso w del cuerpo,

Ep = wh

La ley de Hooke establece que una fuerza F actua sobre un resorte (figura 6.1) produceen el un alargamientos que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza. Laley de Hooke se representa como

F = ks

La constante de proporcionalidad k varıa mucho de acuerdo con el tipo de material yrecibe el nombre de constante elastica.

k =F

s

figura 6.1: Relacion entre la fuerza F aplicada y la elongacion que produce.


Energıa Potencial Elastica para estirar o comprimir un objeto la fuerza aplicada deberealizar trabajo, el objeto posee energıa ptencial elastica, como resultado de esto se tieneque:

Ep =1

2ks2

donde k es la consntante del resorte y s es el deplazamiento. Cuando se libera un objetoelastico deformado, su energıa potencial elastica se convierte en energıa cinetica o entrabajo realizado sobre algun otro cuerpo.

Movimiento Armonico Simple es un movimiento periodico que ocurre cuando la fuerzarestauradora que actua sobre un cuerpo desplazado de posicion de equilibrio es propor-cional al desplazamiento y apunta en direccion opuesta.

figura 6.2: Un bloque unido a un resorte movil sobre una superficie sin friccion. a) Cuando elbloque se desplaza hacia la derecha del equilibrio (x > 0), la fuerza que ejerce el resorte actuahacia la izquierda. b) Cuando el bloque esta en su posicion de equilibrio (x = 0), la fuerza queejerce el resorte es cero. c) Cuando el bloque se desplaza hacia la izquierda del equilibrio (x < 0),la fuerza que ejerce el resorte actua hacia la derecha.

Conservacion de la energıa. De acuerdo con la ley de la conservacion de la energıa,esta no puede crearse ni destruirse, aunque una forma de energıa sı puede transformarseen otra. La cantidad total de energıa en el universo es constante. Por ejemplo, el agua quese encuentra en la presa de Hatillo esta en reposo, por lo que esta tiene energıa potencialgravitatoria, la cual se transforma en energıa cinetica al desplazarse por el tunel, que luegose transforma en enrgıa mecanica al actuar sobre el aspa de la turbina, la que a su vezla transforma en energıa electrica y, de esa manera, dicha energıa puede llegar hasta loshogares.

68 6.1.1. Problemas Resueltos

6.1.1. Problemas Resueltos

1) Se utiliza una fuerza de 60 N al empujar una caja de 150 N a una distancia de 10 msobre el piso horizontal de un almacen. a) ¿Cual es el trabajo realizado? b) ¿Cual esel cambio en la energıa potencial de la caja?a) En este caso no importa el peso de la caja puesto que la altura no cambia. Eltrabajo realizado es:

W = Fs = (60N)(10m) = 600 J

b) Como la altura de la caja no cambia, su energıa potencial permanece igual.

2) Un hombre que limpia un piso jala una aspiradora con una fuerza de magnitud F =50 N en un A¡ngulo de 30◦ con la horizontal. Calcule el trabajo consumido por lafuerza sobre la aspiradora a medida que esta se desplaza 3 m hacia la derecha.

W = Fs cos θ = (50N)(3m)(cos 30◦) = 130 J

3) Que trabajo se se realiza al levantar un libro de 2 kg desde el piso a una altura de1.5 m?

W = Fs = mgh = (2 kg)(9. 8m/s2)(1. 5m

4) Cuando se levanta una estatua de bronce de 200 kg se realiza un trabajo de 10,000J. ¿A que altura se levanto?

Puesto que W = Fs = mgh,

h =W

mg=

104 J

(200 kg)(9. 8m/s2)= 5. 1m

5) Un hombre empuja una caja con una fuerza horizontal de 200 N para subirla por unarampa de 8 m de longitud que forma un angulo de 20◦ por encima de la horizontal. a)¿Que trabajo realiza el hombre? b) Si tarda 12 s en subirla, ¿que potencia desarrollaen watts y en caballos de potencia?

a) W = Fs cos θ = (200N)(8m)(cos 20◦) = 1504 J

b) P =W

t=

1504 J

12 s= 125W

Puesto que 1 hp= 746 W,

P =382W

746W/hp= 0. 17 hp


6) Calcule la energıa cinetica de un automovil de 1000 kg que viaja a 20 m/s.

Ek =1

2mv2 =

(1

2

)(1000 kg)(20m/s)2 = 2× 105 J

7) ¿Cual es la velocidad de un objeto de 2 kg que posee una energıa cinetica de 4 J?

Como Ek = 12mv2,

v =

√2(Ek)

m=

√2(4 J)

2 kg=√

4m/s = 2m/s

8) Se usa un martillo de 1.5 kg para introducir un clavo en una tabla de madera. Siel martillo se mueve con una velocidad de 4.5 m/s cuando golpea el clavo y estepenetra 1 cm en la tabla, encuentrese la fuerza promedio que el martillo ejerce sobreel clavo.

Para encontrar la fuerza F que el martillo ejerce sobre el clavo se procede comosigue, con s = 1 cm = 0.01 m:

Ek del martillo = trabajo realizado sobre el clavo

9) A un resorte se le aplica una fuerza de 5 N y se comprime 5 cm. a) Encuentre laconstante de fuerza del resorte. b) Calcule la energıa potencial elastica del resortecomprimido.

a) 5 cm = 0.05 m, por lo que

k =5N

0,05 cm= 100N/m

b)

Ek =

(1

2

)(100N/m)(0. 05m)2 = 0. 125 J

10) Un resorte cuya constante de fuerza es 180 N/m se comprime 7.6 cm. Se coloca unapelota de 45 g contra el extremo del resorte, el que a continuacion se libera. ¿Cuales la velocidad de la pelota cuando abandona el resorte?

La energıa cinetica de la pelota es igual a la energıa potencial elastica del resortecomprimido. Por lo tanto,

Ek = Ep −→ 1

2mv2 =

1

2ks2

El (1/2) se cancela debido a que esta multiplicando en ambos lados de la igualdad,por lo que

v2 =ks2

m

Luego despejando a v se tiene: v =

√ks

m=

√180N/m(0. 076m)

0. 045 kg= 4. 8m/s

70 6.2. Ejercicios

6.2. Ejercicios

1) ¿Que trabajo debe realizarse para levantar 2 m sobre el piso un automovil de 1100kg?

2) Un nino jala un vagon con una fuerza de 60 N por medio de una cuerda que forma unangulo de 40◦ con el piso. ¿Que trabajo realiza para mover el vagon a una distanciade 15 m?

3) Un caballo ejerce una fuerza de 900 N al jalar un trineo a una distancia de 5 km. a)¿Cuanto trabajo realiza el caballo? b) Si el viaje tarda 30 min, ¿cual es la potenciadesarrollada por el caballo en caballos de potencia?

4) Un alpinista de 80 kg desarrolla una potencia promedio de 0.1 hp. a) ¿Cuanto trabajorealiza al escalar una montana de 2000 m de altura? b) ¿Que tiempo le lleva escalarla montana? c) ¿Cual es su energıa potencial en la cima?

5) Calcule la energıa cinetica de un insecto de 2 g (0.002 kg) cuando vuela a 0.4 m/s.

6) Los electrones en un tubo de television, cuyos impactos en la pantalla producenlos puntos luminosos que forman la imagen, tienen una masa de 9.1 ×10−31 kg yvelocidades tıpicas de 3× 107 m/s. ¿Cual es la energıa cinetica de estos electrones?


7) a) ¿Cual es la energıa cinetica de un automovil de 1500 kg que viaja a 30 m/s (108km/h)? b) Si el auto puede alcanzar esta velocidad en 12 s partiendo del reposo,¿cual es la potencia que desarrolla su motor?

8) ¿Desde que altura debe caer un auto al piso de madera que realice ek nusni trabajo(es decir, que sufra el mismo dano) que auto que se estrella contra un muro a 27m/s (97.2 km/h)?

9) Un auto de 800 kg que viaja a 6 m/s empieza a descender por una colina de 40 mde altura con el motor apagado. El conductor utiliza los frenos de manera que lavelocidad del auto al final de la colina es de 20 m/s. ¿Cuanta energıa perdio debidoa la friccion?

10) Desde una altura de 2 m se deja caer un objeto de 0.5 kg sobre un resorte vertical.Si la campresion maxima del resorte es de 10 cm, encuentre su constante de fuerza.

11) Un canon de juguete utiliza un resorte cuya constante de fuerza es 100 N/m paradisparar una pelota de goma de 8 g. Si el resorte se comprime 5 cm al accionar elgatillo, ¿cual es la velociidad inicial de la pelota?

12) De un resorte con constante de fuerza de 600 N/m se suspende un objeto de 2.5 kg.Calcule a) el alargamiento del resorte y b)la energıa potencial.

72 6.2. Ejercicios

13) De un resorte cuya constante de fuerza de 20 N/m se suspende una masa de 30 g.Determine a) el alargamiento del resorte y b) la energıa potencial del resorte estirado.

14) La constante elastica de un resorte resulto ser de 3000 N/m. ¿Que fuerza se requierepara comprimir el resorte hasta una distancia de 5 cm?

15) Batman, cuya masa es de 80 kg, esta colgado en el extremo libre de una soga de 12m, el otro extremo esta fijo de la rama de un arbol arriba de el. Al flexionar repe-tidamente la cintura, hace que la soga se ponga en movimiento, y eventualmente lahace balancear lo suficiente para que pueda llegar a una repisa cuando la soga formaun angulo de 60◦ con la vertical. ¿Cuanto trabajo invirtio la fuerza gravitacional enBatman en esta maniobra?

Capıtulo 7

Calor y Temperatura

Objetivos

Analizar el origen de las escalas de temperatura (Celsius, Fahrenheit, Kelvin).

Convertir temperaturas especıficas de una escala a sus temperaturas correspondien-tes en otra.

Distinguir entre temperaturas especfıcas e intervalos de temperatura.

Diferenciar el concepto de energıa interna y calor.

Efectuar calculos que incluyan flujo de calor, cambios de temperatura y cambios defase.

7.1. Concepto Generales

Energıa interna es toda la energıa de un sistema que se asocia con sus componentesmicroscopicos, atomos y moleculas, cuando se ve desde un marco de referencia en reposorespecto del centro de masa del sistema.L atemperatura del cuerpo es una medida de laenergıa cinetica promedio de sus particulas.

Calor es la transferencia de energıa a traves de la frontera de un sistema debido a unadiferencia de temperatura entre el sistema y sus alrededores. Este se puede considerarcomo energıa interna en transito.

Las nociones iniciales de calor se basaron en un fluido llamado calorico que fluıa deuna sustancia a otra y causaba cambios en la temperatura. A partir del nombre de estefluido mıtico salio una unidad de energıa relacionada con los procesos termicos, la calorıa(cal), que se define como la cantidad de transferencia de energıa necesaria para elevar latemperatura de 1 g de agua de 14. 5◦ a 15. 5◦ (La Calorıa, escrita con C mayuscula y que seusa para describir el contenido energetico de los alimentos, es en realidad una kilocalorıa.)La unidad de energıa en el sistema estadounidense es la unidad termica britanica (Btu),que es la cantidad de transferencia de energıa que se requiere para elevar la temperatura

73

74 7.1. Concepto Generales

de 1 lb de agua de 63◦F a 64◦F. Una cantidad de calor dada en el sistema de unidadespuede expresarse en el otro si se toma en cuenta que:

1 J = 2. 39× 10−4 kcal = 9. 48× 10−4 Btu1 kcal = 3. 97Btu = 4185 J = 3077 ft · lb1Btu = 0. 252 kcal = 758 ft · lb = 1054 J

Temperatura es una propiedad de los cuerpos, que entre cierto lımites, puede sentirsepor medio del tacto.La temperatura indica la direccion del flujo de energıa interna: cuandodos cuerpos estan en contacto, la energıa interna pasa del cuerpo de mayor temperatura alde menor temperatura, independiemtemente de la cantidad de energıa interna que poseacada uno.

Termometro es un dipositivo que sirve para medir la temperatura mediante una escalagraduada.

Escalas de temperatura son las marcas enumeradas que aparecen en el tubo de untermometro, las cuales se clasifican de acuerdo a su descubridor, estas son:La escala Celsius esta escala fue desarrollada por el astronomo sueco Anders Celsius(1701-1744). En la escala Celsius se asigno de forma arbitraria el numero 0 al punto decongelacion del agua y el numero 100 al de ebullicion. Ası, a presion atmosferica, hay100 divisiones entre el punto de congelacion y el punto de ebullicion del agua. Cadadivision o unidad de la escala recibe el nombre de grado (◦). Otra escala para medir latemperatura fue creada en 1714 por Gabriel Daniel Fahrenheit. El desarrollo de estaescala se baso en la eleccion de otros puntos fijos: Fahrenheit escogio la temperatura decongelacion de una solucion de agua salada como su punto fijo inferior y le asigno elnumero y unidad de 0◦ F. Para el punto fijo superior eligio la temperatura del cuerpohumano. Tambien existe la escala de temperatura Kelvin, ası llamada por el fısicoingles Lord Kelvin (1824-1907). Las unidades tienen el mismo tamano que las de la escalaCelsius, pero el cero se desplaza de modo que 0 k = −273. 15◦ C y 273. 15 k = 0◦ C

Nota: Para convertir temperatura Celsius a Fahrenheit, se usa:

TF =9

5TC + 32◦

Para convertir temperatura Fahrenheit a Celsius , se usa:

TC =5

9(TF − 32◦)

Para convertir temperatura Celsius a Kelvin, se utiliza:

TK = TC + 273. 15

Para convertir temperatura Kelvin a Celsius, se utiliza:

TC = TK − 273. 15◦

La capacidad termica C de una muestra particular se define como la cantidad de energıanecesaria para elevar la temperatura de dicha muestra en 1◦C. A partir de esta definicion,se ve que, si la energıa Q produce un cambio ∆T en la temperatura de una muestra,entonces:

Q = C∆T


donde Q es el Calor transferido, C es la capacidad termica y ∆T es el cambio de tempe-ratura.

El calor especıfico c de una sustancia es la capacidad termica por unidad de masa. Porlo tanto, si a una muestra de una sustancia con masa m se le transfiere energıa Q y latemperatura de la muestra cambia en ∆T , el calor especıfico de la sustancia es:

c ≡ Q

m∆T

donde c es el calor especıfico, Q es el Calor transferido, m la masa y ∆T es el cambio detemperatura.

Calor especıfico c Calor especıfico cSustancia J/kg◦C cal/g◦C Sustancia J/kg◦C cal/g◦C

Solidos elementales Otros solidosAluminio 900 0. 215 Laton 380 0. 092Berilio 1830 0. 436 Vidrio 837 0.200Cadmio 230 0. 055 Hielo (−5◦C) 2090 0.50Cobre 387 0. 0924 Marmol 860 0.21Germanio 322 0. 077 Madera 1700 0.41Oro 129 0. 0308 LıquidosHierro 448 0. 107 Alcohol 2400 0.58Plomo 128 0. 0305 Mercurio 140 0.033Silicio 703 0. 168 Agua (15◦C) 4186 1.00Plata 234 0. 56 Gas

0215 Vapor (100◦C) 2010 0.48

Cuadro 7.1: Calores especıficos de algunas sustancias a 25◦C y presion atmosferica

Cambio de estado: Cuando a un solido se le suministra calor continuamente, el solidose calienta cada vez mas hasta que finalmente empienza a fundirse. Mientras se esta fun-diendo, el material permanece a la misma temperatura y el calor que absorbe modificasu estado de solido a lıquido. Despues de que el solido se ha fundido, la temperatura dellıquido resultante aumenta comforme se le sumistra mas calor, hasta que entra en ebu-llicion. Ahora, el material permanece otra vez a temperatura constante hasta convertisetodo en gas, despues de lo cual la temperatura del gas aumenta.

Se llama calor de fusion a la cantidad que debe suministrarse a una cantidad unitaria deuna sustancia que esta en su punto de fusion, para pasar de un estado de solido a lıquido(Lf ).

Se llama calor de vaporizacion (Lv) a la cantidad que debe suministrarse a una cantidadunitaria de una sustancia que esta en su punto de ebullicion para cambiarla de lıquida agas.

Presion y punto de ebullicion: el punto de ebullicion de un lıquido depende de lapresion a la que este sometido, a mayor presion corresponde un punto de ebullicion mayor.



1) a) ¿Cual es el equivalente de 80 ◦F en la escala Celsius? b) ¿Cual es el equivalentede 80 ◦C en la escala Fahrenheit?

a) TC =5

9(TF − 32◦) =

5

9(80◦ − 32◦) = 26. 7◦C

b) TF =5

9TC + 32◦ =

5

9(80◦) + 32◦ = 176◦F

2) ¿Cuanto calor se le debe suministrar a 3 kg de agua para elevar su temperatura de20 a 80◦C?

Q = mc∆T = (3 kg)[4186 J(kg ·◦ C)](80◦ − 20◦)C = 753, 480 J

3) Un bloque de hielo de 25 kg, inicialmente tiene una temperatura de −4◦C y cede 50kcal de calor. ¿Cual es su temperatura final?

Q = mc∆T

∆T =Q

mc=

50 kcal

(25 kg)[0. 5kcal/(kg ·◦ C)]= 4◦C

como ∆T = Tfinal − Tinicial

Tfinal = 4◦C − 4◦C = 0◦C

4) Se suministran 10 kcal de calor a una muestra de madera de 1 kg y se encuentra quesu temperatura se eleva de 20 a 44◦C. ¿Cual es el calor especıfico de la madera?

c =Q

m∆T=

10 kcal

(1 kg)(44− 20)◦C= 0. 42 kcal/(kg ·◦ C)

5) Al preparar te, se vierten 600 g de agua a 90◦C en una tetera de porcelana china de200 g que esta a una temperatura de 20◦C. ¿Cual es la temperatura final del agua?

Calor absorbido = calor cedido

mteteractetera∆Ttetera = maguacagua∆Tagua

(0. 2 kg)[837 J/(kg ·◦ C)](T − 20◦C) = (0. 6 kg)[4186 J/(kg ·◦ C)](90◦C − T )

167. 4T − 3, 348 = 226, 990− 2, 511. 6T

2, 679T = 226, 044

T = 85◦C


7.2. Ejercicios

1) El alcohol etılico se funde a −144◦C y entra en ebullicion a 78◦C ¿Cuales son losequivalentes de esas temperaturas en grados Fahrenheit?

2) El bromo se funde a 19◦F y entra en ebullicion a 140◦F ¿Cuales son los equivalentesde esas temperaturas en grados Celsius?

3) ¿Que cantidad de calor debe extraerse de 2 kg de agua a 90◦C para reducir sutemperatura a 10◦C?

4) ¿Cuanto joule de calor debe extraerse de 2 kg de agua a 90◦C para reducir sutemperatura a 20◦C?

5) ¿Que cantidad de calor debe suministrarse a un bloque de hielo de 20 kg para elevarde -20 a −5◦C?

6) ¿Que cantidad de calor pierde una cuchara de plata de 50 g cuando se enfrıa de 20a 0◦C?

7) A una estatua de marmol de Isaac Newton que pesa 100 kg se le suministran 700kcal de calor cuando esta a una temperatura de 18◦C.¿Cual es su temperatura final?

78 7.2. Ejercicios

8) A un vaso de vidrio de 250 g se le suministran 0.5 kcal de calor cuando esta auna temperatura de 21◦C y se observa que esta se eleva a 32◦C. ¿Cual es el calorespecıfico del vidrio?

9) Un plato de cobre de 600 g contiene 1500 g de agua a 20◦C. Se deja caer en el aguauna barra de hierro de 100 g que se encuentra a 120◦C. ¿Cual es la temperaturafinal del agua?

10) Se vierten 2 kg de sopa a 60◦C en una sopera de porcelana de 2 kg que posee unatemperatura de 21◦C ¿Cual es la temperatura final de la sopa [csopa = 0. 9kcal/(kg ·◦C); csopera = 0. 2 kcal/(kg ·◦ C) ]

11) ¿Que cantidad de calor debe extraerse de 200 g de agua a 30◦C para convertirla enhielo a 0◦C?

12) ¿Cuanto hielo a 0◦C debe agregarse a 200 g de agua a 30◦C si se desea bajar bajarsu temperatura a 20◦C?

Apendice

Despeje de formulas

Una formula es una ecuacion literal en la cual se puede despejar cualquiera de loselementos que entran en ella, considerado como incognita, es decir, llegar a disponer deuna de las incognita de en forma explıcita.

Ejemplo 1 Dada la formula d = 12at2 despejar a t :

En este caso primero se debe suprimir el denominador (2), multiplicando por el mismoambos miembros de la igualdad:

2d = at2

Luego se divide por a la cual esta multiplicando a t2

t2 =2d

a

y finalmente se extrae la raız cuadrada en ambos miembros:

t =

√2d

a

Ejemplo 2 Dada la formula v =√

2gh despejar a h:Se elevan ambos miembros de la igualdad al cuadrado (puesto que es la operacion inversade la radicacion) para eliminar el radical,

v2 = 2gh

Luego dividiendo por 2g se tiene:

h =v2

2g

Ejemplo 3 En la formula1

f=

1

p+

1

p′despejar a p′.

El m.c.m de los denominadores es pp′f . Luego quitando denominadores se tiene:

pp′ = p′f + pf

79

80 Apendice

Transponiendo terminospp′ − p′f = pf

Factorizando:p′(p− f) = pf

Dividiendo por (p− f) se tiene que

p′ =pf

p− f

Ejemplo 4 En la formula d = v0t+1

2at2 despejar a v0

Lo primero es eliminar 12

para eso se multiplica todo por 2 y se tiene:

2d = 2v0t+ at2

Transponiendo Terminos:2d− at2 = 2v0t

Dividir por 2t

v0 =2d− at2

2t

Ejemplo 5 Dado T =2visenθ

gdespejar Vi:

En este caso lo primero es suprimir denominadores, es decir multiplicar por g:

gT = 2visenθ

Luego se divide por 2senθ

vi =gT

2senθ

Bibliografıa

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