Simposio de Fisica

El Centro de Estudiantes de la Facultad de Fısica,de la Pontificia Universidad Catolica de Chile.Presenta:

Segundo Simposio Nacionalde Estudiantes de Fısica

Libro de Resumenes

Patrocina: Fondo de Desarrollo Institucional del Ministerio de Educacion

SESINEF 1

SESINEF 2

INDICE GENERAL

Indice general

1. Plenaristas 11. Estrellas de Neutrones como Laboratorios de Fısica

Andreas Reisenegger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Fenomenos Robustos: Formacion de estructuras disipativas.

Marcel Clerc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. ¿En cuantas dimensiones vivimos ?

Jorge Zanelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. Fısica de Plasmas Densos en Dispositivos Experimentales Grandes y Pequenos

Leopoldo Soto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Fısica de Plasmas en el Laboratorio.Felipe Veloso 4

3. Switching de Solitones Opticos Discretos en arreglos de guıas de ondas nolinealesRodrigo A. Vicencio 7

4. Simulacion Metropolis-Montecarlo del Modelo Ising en Dos DimensionesPaul Blackburn 11

5. Dinamica Molecular: Choque de PartıculasMarıa Teresa Cerda y Pedro Maldonado 15

6. Caracterizacion y estudio Material particulado PM10-PM2,5, en Macul.Jaime Arancibia Monreal y Pablo Gutierrez Matus 19

7. Diagnosticos de Rayos-X en Experimentos del tipo X-Pinch en LlampudkenFrancisco Suzuki 24

8. Estructura Electronica en el Espacio Real.Xavier Andrade 29

9. Estudio de descargas capilares, con metodos transientes.A.P. Pernas 33

10.Caracterizacion de un Jet de Plasma Producido por una Descarga CapilarPulsada.L.S. Caballero B. 37

11.Colapso de una Burbuja de Falso Vacıo.J. Diaz 40

SESINEF i

INDICE GENERAL

12.Solucion Numerica de la Ecuacion de Laplace con el Metodo de DiferenciasFinitas.Pablo Navarro 45

13.Distribucion Estadıstica en Textos Literarios.C. Trejo, F. Cuevas y S. Curilef 47

14.Planetas Extrasolares: Presente y FuturoJose Gallardo 50

15.Variabilidad estelar en cumulos globulares asociados a Sagittarius dSph.R. Salinas 51

16.Solucion de ecuaciones de fluidos en 1D y 2D usando elementos finitosmovilesPablo Munoz 54

17.Forma normal de van der Waals para un modelo hidrodinamico unidimen-sionalCarlos Cartes 60

18.Propiedades de transporte electrico en laminas delgadas de AuSimon Oyarzun, Adan Ramırez, Marco Suarez 61

19.Aerodinamica de un Disco NodalRoberto Troncoso y Rodrigo Ferrer 62

20.Un laser pulsado de Nitrogeno de facil construccion para realizar diagnosti-cos optico-refractivos en descargas transientes de muy corta duracionAriel Tarifeno 67

21.Deteccion Fotoacustica.P. Coelho 69

22.Estudio de Pelıculas Delgadas de Alcanos con Metodos Dinamicos de AFM.Edgardo Cisternas Jara 73

23.Rol de las Coordenadas No-Conmutativas en el Problema de LandauRamon Becar 77

Programa 83

Organizacion 84

SESINEF ii

CAPITULO 1. PLENARISTAS

Capıtulo 1

Plenaristas

1. Estrellas de Neutrones como Laboratorios de FısicaAndreas Reisenegger

Facultad de Fısica, Departamento de AstronomıaPontificia Universidad Catolica de Chile

Las estrellas de neutrones son aglomeraciones de fermiones degenerados que constituyen lamateria mas densa del Universo accesible a nuestras observaciones. Para construir un modelorealista de una estrella de neutrones se requiere Relatividad General y una descripcion de lasinteracciones entre un gran numero de hadrones. Esta ultima es un problema muy difıcil, aunsolo parcialmente resuelto. La fenomenologıa de las estrellas de neutrones depende fuertementede su “pelo”, es decir, ingredientes adicionales tales como su rotacion, un campo magnetico muyintenso y la eventual presencia de una segunda estrella en un sistema binario. Esto determinaque la estrella de neutrones se manifieste como pulsar, binaria de rayos X, magnetar o sim-plemente como una fuente de radiacion termica. Las observaciones de estos objetos permitenverificar Relatividad General y modelos de materia densa. En conjunto con Rodrigo Fernandez,propongo una nueva conexion entre teorıa y observacion, a traves de lo que denominamos “ca-lentamiento rotoquımico”: Al ir gradualmente disminuyendo su momento angular, una estrellade neutrones se va contrayendo, lo que obliga a la materia en su interior a adaptarse a un nue-vo estado de equilibrio quımico, que se alcanza mediante interacciones debiles (que provocanla emision de neutrinos). Estas reacciones proceden siempre ligeramente fuera del equilibrio,generando entropıa en el interior de la estrella, la cual se libera principalmente mediante laemision de fotones. En los pulsares de milisegundos (estrellas de neutrones antiguas, pero derotacion muy rapida), este proceso llevarıa a un estado de cuasi-quilibrio en el cual la estrellabrillarıa persistentemente, debido a la disipacion interna de energıa. Es posible que observa-ciones recientes de un pulsar con el Telescopio Espacial Hubble (Kargaltsev et al. 2003) hayandetectado la radiacion predicha.

2. Fenomenos Robustos: Formacion de estructuras disipativas.Marcel Clerc

Departamento de Fısica, Universidad de Chile.

Resumen:

El entendimiento de la diversidad de patrones exhibidos en el mundo que nos rodea es unproblema complejo y aun no completamente resuelto. Es notable el hecho que esta diversidad

de patrones sean universales: Patrones hexagonales en la piel de una jirafa y estructuras

SESINEF 1


hexagonales emergentes en la conveccion de una capa de fluido; patrones aislados en coloniasde micro organismos y solitones disipativos en fluidos, optica no linear, medios granulares,

reaccion quımicas; Espirales caoticas en fibrilacion del musculos del corazon y espiralesturbulentas en reacciones quımicas; por mencionar algunos ejemplos. El estudio de formacionde patrones ha sido enormemente beneficiada por controlados experimentos, el desarrollo denuevos conceptos y herramientas analıticas y numericas, las cuales han sido inspiradas por eldesarrollo de la teorıa de los sistemas dinamicos y los avances en mecanica estadıstica. Unarevision de los recientes progresos en el entendimiento de la formacion de patrones en los

sistemas fuera del equilibrio sera presentada.

3. ¿En cuantas dimensiones vivimos ?Jorge Zanelli

Centro de Estudios Cientıficos,Valdıvia. Chile

Resumen:

La verdad es que, por extrano que parezca, nadie sabe. Aparentemente vivimos en ununiverso de tres dimensiones espaciales mas el tiempo, pero eso puede ser solo una ilusion,

pura apariencia.Lo que ocurre es que la dimension de las cosas reales es algo no muy bien definido en general.Es algo que depende de la escala en que se observa, de como interactuamos con esos objetos.Una hoja de papel puede ser considerada bidimensional, pero eso es solo una aproximacion

valida cuando la observamos a una distancia mucho mayor que el grosor del papel. Ladimension no es una propiedad independiente de la experiencia, es algo efectivo, y en el mejor

de los casos, es algo aproximado.Eso tambien es valido para nuestro espacio-tiempo. A una escala microscopica, del orden delos 10−32cm, el espacio posiblemente sea un objeto muy extrano, de 10, 11, 12, 26, o tal vez

mas dimensiones.¿Como podemos saberlo? ¿Por que no vemos las dimensiones extras? ¿Por que el espacio

tiene que comportarse de esta manera?

4. Fısica de Plasmas Densos en Dispositivos Experimentales Grandes y PequenosLeopoldo Soto

Comision Chilena de Energıa Nuclear

Resumen:

La forma mas comun de generar un plasma en un laboratorio es produciendo una descargaelectrica entre dos electrodos en una atmosfera gaseosa. Con pulsos de corriente del orden

100kA a algunos MA se produce plasmas densos. Para obtener corrientes de esa magnitud se

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usan bancos de condensadores que almacenan energıas que van desde algunos kJ a algunosMJ . El tiempo de vida de estos plasmas es del orden de decenas de nanosegundos o menor.

Un plasma denso transiente reproduce escenarios de alta densidad de energıa y materia,emite luz visible, ultravioleta, rayos X, haces de iones y electrones. Cuando se usa deuterio

como gas el plasma produce neutrones de fusion. El interes de los estudios en plasmas densostransientes va desde la fusion termonuclear controlada pasando por experimentos a escala defenomenos de interes astrofısico, hasta el desarrollo de aparatos portatiles de radiacion paraaplicaciones (tratamiento de materiales, radiografıa flash, deteccion de sustancias, efecto de

radiaciones pulsadas en biologıa, etc.). En los ultimos anos en la Comision Chilena de EnergıaNuclear se ha desarrollado estudios usando dispositivos experimentales grandes y pequenos endescargas tipo plasma focus. Por un lado se esta trabajando con el generador SPEED2 quealmacena 100kJ y produce una corriente de 3MA en 400ns, siendo el dispositivo de mayor

potencia del hemisferio sur. Por otro lado hemos extendido los estudios en plasma focus a unaregion de muy baja energıa no explorada anteriormente, disenando y construyendo un equipode 400J y un equipo de 50J . En estos equipos, PF-400J y PF-50J, se genera un plasma denso

similar al que producen los equipos de mayor energıa, generando flashes de rayos X yneutrones. En este trabajo se presentan resultados obtenidos en el SPEED2, PF-400J yPF-50J. Ademas se discute la posibilidad de escalar a un equipo ultra miniaturizado que

opere con energıas menores a 1J .Este trabajo es financiado por los proyectos FONDECYT 1030062 y 1040231. El SPEED2 es

una donacion de la Universidad de Dusseldorf, Alemania.

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CAPITULO 2. FISICA DE PLASMAS EN EL LABORATORIO.FELIPE VELOSO

Capıtulo 2

Fısica de Plasmas en el Laboratorio.Felipe Veloso

Grupo de Optica y Plasma, Facultad de Fısica,Pontificia Universidad Catolica de Chile.

Resumen:

Con el fin de dar a conocer las actividades de investigacion en el Laboratorio de Optica yPlasma de la PUC, se presenta una breve introduccion a la fısica de plasmas y los

experimentos en curso en nuestro laboratorio. Los experimentos que se realizan tienenmotivaciones tanto en la investigacion fundamental (estudio del area de Z pinch) como en las

aplicaciones. Como caso particular, se muestran resultados de una descarga en forma demanto cilindrico tipo Z pinch

Introduccion

Por definicion, el plasma es un gas cuasi neutral de partıculas neutras y cargadas que pre-sentan un comportamiento colectivo y se encuentra en el 99 % del universo visible. Pueden servistos en el espacio interestelar, las estrellas mismas, en la llama de una vela o en un tubopublicitario de neon, por lo que su estudio se hace esperable. Su descripcion se hace medianteparametros macroscopicos como su densidad y temperatura, y su estudio es posible realizarlocombinando la fı sica de fluidos con electrodinamica en un area conocida como la magneto-hidrodinamica. Como el plasma esta compuesto de partıculas cargadas, es sensible a los camposelectromagneticos externos. La generacion de plasmas en un laboratorio puede ser usada paraentender comportamientos de fenomenos astronomicos, como tambien su uso en la vida cotid-iana.

Para producir el plasma en el laboratorio se aplica un voltaje a un medio (puede ser solido,lıquido o gaseoso) y se produce una “ruptura electrica” que genera el plasma y, como conse-cuencia, radiacion electromagnetica. Las aplicaciones, tanto del plasma como de la radiaciones ampliamente usada en tratamiento de materiales, en aplicaciones medicas, como fuente deiluminacion, en purificacion, en esterilizacion, o incluso en decoracion.

En lo que es investigacion propiamente tal, existen proyectos internacionales que pretendenobtener energıa utilizable de reacciones de fusion de nucleos livianos (tıpicamente deuterio,tritio). Para esto, es necesario tener un plasma cuyo ”producto triple” de densidad, temperaturay tiempo de confinamiento sea el mayor posible. En esta categorıa se encuentra el confinamientodel tipo Z pinch y recibe este nombre debido al eje preferencial que tiene la descarga. Secaracteriza por ser de tiempos cortos de duracion (∼ 100ns) y de altas corrientes (∼ kA−MA).

Nuestro Laboratorio

Diferentes experimentos se llevan a cabo en la actualidad en nuestro laboratorio con diversosobjetivos, ya sea aplicaciones de plasmas o en investigacion fundamental; con un grupo de gente

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CAPITULO 2. FISICA DE PLASMAS EN EL LABORATORIO.FELIPE VELOSO

conformado por 4 profesores, 1 investigador asociado, 1 postdoc, 4 estudiantes de postgrado,4 estudiantes de pregrado y 2 tecnicos. Se cuenta con un laboratorio de electronica, un cuartooscuro, un laboratorio de optica, un plasma foco, una descarga capilar[1], dos generadores depotencia pulsada[2, 3] y diversos diagnosticos. Los experimentos que actualmente se llevan acabo son:

Arreglos de alambresEste experimento se esta enmarcado en un proyecto FONDECYT [4] cuyo objetivo esestudiar la produccion de rayos x y la creacion de “hot spots” en plasmas provenientesde alambres sometidos a pulsos de alta corriente; y es llevado a cabo en el generadorLlampudken [2]Descargas capilares de alta corrienteUsando el generador GEPOPU [3] se estudia la produccion de plasmas metalicos encapilares de alta corriente. Actualmente se estudia un plasma de titanio proveniente dela ablacion de paredes del capilar y pertenece a un proyecto FONDECYT [5].Jet de plasma en descargas capilaresEl objetivo de este experimento es estudiar el jet de plasma que produce una descargacapilar pulsada como fuente para producir implatacion de iones sobre una muestra. Lafase actual en que se encuentra este experimento es la caracterizacion del jet mediantetecnicas opticas refractivas y electricas y es parte de un proyecto FONDECYT [6]Construccion de un aparato de descargas de tipo RFLas descargas de radiofrecuencias (RF) consisten en la aplicacion de un voltaje a unafrecuencia de 13, 56MHz que produce una “nube” de plasma entre los electrodos. Eneste experimento, se aplicara un voltaje negativo en uno de los electrodos para “atraer”los iones del plasma hacia una superficie, produciendo su implantacion. Es parte de unproyecto FONDECYT [6]Generacion de iones en Plasma FocoLos iones emitidos en una descarga de Plasma Foco son medidos a distintas distancias,mostrando tiempos de vuelo variables segun la masa del ion. Luego, es posible hacer unacaracterizacion de los iones emitidos del plasma para aplicaciones diversas.Produccion de ozono en barrera dielectrica.Mediante pulsos cortos de voltaje a traves de una barrera dielectrica en aire es posibleproducir ozono. Este experimento estudia las condiciones de voltaje, tiempos, largos depulso, etc. que permitan producir ozono en cantidades mayores a las formas de produccionactualmente existentes.Holografıa como diagnostico de plasmasLa determinacion de la densidad electronica y el campo magnetico presente en un plasmapuede ser medida mediante el cambio en la polarizacion de un haz de luz que pasa a travesde el. Lamentablemente, aun no se ha podido tener un metodo confiable para medir talesrotaciones por ser muy pequenas. Este experimento busca mediante holografı a medirtales rotaciones.Z pinch con centro neutroSi bien, el confinamiento de plasmas del tipo Z pinch es el mas simple de lograr hademostrado ser altamente inestable bajo el punto de vista de la magnetohidrodinamica.El objetivo de este experimento es lograr que la descarga en desarrollo tenga un tiempo

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BIBLIOGRAFIA

menor al tiempo de crecimiento de las mas frecuentes inestabilidades. Se ha llevado a caboen el generador GEPOPU [3] y tambien es parte de un proyecto FONDECYT [7]. Estudiospreliminares han mostrado que la creacion de un cilindro hueco de plasma rodeado por ungas lograrıa el objetivo buscado. El manto cilindrico es generado mediante la incidenciade un haz laser en forma de anillo sobre la superficie del anodo seguida de una descargaprincipal de 120kA. Los resultados preliminares hechos en un gas de H2 a 1

3atm, largo de10mm con un radio inicial de 4mm han mostrado que no existe una buena compresion delcilindro, debido probablemente a que la fuerza de compresion magnetica no es suficientepara contrarrestar la presion. Ademas, se han medido densidades electronicas del ordende 1019cm−3.

A modo de cierre

Un considerable numero de experimentos se estan llevando a cabo en nuestro laboratorio,involucrando cuatro proyectos FONDECYT en ellos, demostrando el activo entusiasmo en estaarea de investigacion. Sobre el experimento descrito, fue posible crear una descarga hueca deplasma tipo z pinch en hidrogeno, pero sin una compresion adecuada, para lo cual se estudi-ara cilindro de radio menor. El proyecto incluye en una fase posterior realizar el experimentoen el generador de mayor corriente (Llampudken[2]), en una atmosfera de deuterio, incluyendouna fibra de plastico deuterado en el eje; para obtener reacciones de fusion. El autor quisieraagradecer al proyecto MECESUP No00006 por el financiamiento aportado

Bibliografıa

[1] P. Choi, M.Favre, Review of Scientific Instruments, 69(9), 3118-3122 (1998)[2] Chuaqui,H. ,Wyndham, E., Friedli, C. and Favre, M.; Laser and Particle Beams, 15,

241-248 (1997)[3] Favre, M., Small Plasma Physics Experiments II, 170-186, Trieste (1989)[4] Proyecto FONDECYT No1020835: The Experimental Investigation of Nested Wire Ar-

rays; I. Mitchell; (2002-2006)[5] Proyecto FONDECYT No1030968: The Dynamics of Metal and Argon Plasmas in High

Current capillary Discharges; E. Wyndham and M. Favre; (2003-2006)[6] Proyecto FONDECYT No1030970: Experimental Investigations of Novel Plasma Sources

for Ion Immersion Implantation; M. Favre and E. Wyndham; (2003-2007)[7] Proyecto FONDECYT No1030958: Study of a ”Shell”Type Z-pinch Discharge; H.

Chuaqui; (2003-2007)

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CAPITULO 3. SWITCHING DE SOLITONES OPTICOS DISCRETOS EN ARREGLOS DE GUIASDE ONDAS NO LINEALESRODRIGO A. VICENCIO

Capıtulo 3

Switching de Solitones Opticos Discretos en arreglos de guıas deondas no linealesRodrigo A. Vicencio

Departamento de Fısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.

Resumen:

Sugerimos un mecanismo simple y efectivo para controlar la salida de haces opticos tiposoliton discreto, inicialmente muy estrechos, en arreglos de guıas de ondas opticas no lineales.

Introduccion

La optica nolineal ha experimentado un rapido desarrollo recientemente, debido en parte a ladisponibilidad de mejores y mas potentes fuentes de luz laser. La alta potencia de estos laseresha hecho posible observar como la luz intensa puede cambiar el ındice de refraccion o absorcionde un material. Este cambio en las propiedades opticas actua sobre la luz misma, de manera no-lineal. Al mismo tiempo, avances en ciencia de materiales continuan proveyendonos con nuevosmateriales con susceptibilidades opticas cada vez mayores. Por lo tanto, en optica nolineal, laluz y la materia se hallan ıntimamente conectados.Una de las metas mas ambiciosas de la optica nolineal de nuestros dıas es el diseno de uncomputador completamente optico, por cuanto representarıa una tremenda ganancia en veloci-dad y paralelismo. Esto requiere del diseno de componentes basicos como switches y puertaslogicas completamente opticas. El uso de solitones discretos propagandose en arreglos de guıasnolineales, podrıa proveer de una respuesta a este problema. Estos solitones discretos, pare-cen ser genericos de muchos sistemas nolineales de interes actual, y se conocen tambien como“breathers” o modos intrınsecamente localizados[?].Krolikowski et al. [2], mostraron que el control de modos discretos localizados es posible enarreglos homogeneos de guıas de ondas cubicas, aplicando una fase inicial en la guıa excitada. Enotro estudio [3], una guıa de onda impureza con un acoplamiento lineal diferente, es insertadaen un arreglo no lineal homogeneo para atrapar, reflejar, y refractar un soliton discreto queincide sobre esta impureza. Otros estudios [4,5,6] demostraron que en arreglos homogeneos, unbarrido de la salida (output) como una funcion de la intensidad inicial o del angulo inicial delhaz, dan como resultado posiciones output caoticas para intensidades cercanas.En contraste, en el presente trabajo proponemos una solucion simple y efectiva para el problemade switching controlado empleando una modificacion optimizada del acoplamiento lineal entrelas guıas de ondas con el fin de obtener una seleccion digital del output del haz, util paraaplicaciones tecnologicas, como la computacion optica. El presente trabajo es un acopio dedistintos trabajos [7,8,9].

Modelo y resultados

Consideremos un arreglo de guıas de ondas no lineales cubicas debilmente acopladas. Usandoteorıa de modos acoplados, la ecuacion de evolucion para las amplitudes de los modos, viene

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CAPITULO 3. SWITCHING DE SOLITONES OPTICOS DISCRETOS EN ARREGLOS DE GUIASDE ONDAS NO LINEALES

RODRIGO A. VICENCIO

dada por la ecuacion de Schrodinger no lineal discreta (DNLSE):

idun

dz+ Vn+1,nun+1 + Vn−1,nun−1 + γ|un|2un = 0, (3.1)

donde un es la amplitud del campo electrico normalizado en la n-esima guıa, z es la coordenadaa lo largo de la direccion de propagacion, Vn,n′ describe el acoplamiento entre dos guıas vecinasn y n′, y γ es el parametro no lineal proporcional al coeficiente Kerr n2 del material.

Para arreglos no lineales cubicos tomamos como input una forma discretizada de la solucionanalıtica de la version contınua de la DNLSE [2] y truncada a tres sitios: un(0) = A sech[A(n−nc)/

√2] exp[−ik(n− nc)],

para n− nc = 0,±1, y un(0) = 0 para las demas guıas. A es la amplitud del haz, nc es el sitiodel arreglo en el cual el input esta centrado, y k es el impulso o angulo inicial que permite alhaz moverse en la direccion transversal. El sistema posee dos cantidades conservadas que nossirven de control para nuestras simulaciones numericas [2], la potencia (P) y el Hamiltoniano(H):

P =∑

n

|un(z)|2, H = −∑

n

V (unu∗n+1 + u∗nun+1) +

γ

2|un|4

. (3.2)

Figura 3.1. Izq., A = 1.7, switch a 2 guıas. Der., A = 1.4, switch a 10 guıas

Para amplitudes bajas, se observa lo que se conoce como difraccion discreta [6]: La en-ergıa se acopla linealmente entre las guıas vecinas, dispersando al haz a traves del arreglo.Para amplitudes medias, el haz es capaz de viajar en forma de soliton discreto a traves delarreglo manteniendo su forma por medio de un balance entre la difraccion y la no linealidad[2]. Para amplitudes altas, las guıas iluminadas se desacoplan del resto del arreglo debido aque el termino no lineal se hace preponderante y el soliton discreto viaja en forma longitudi-nal, independiente del angulo. Nosotros hemos observado que para amplitudes medias-altas elsoliton discreto termina atrapado en una guıa vecina luego de propagarse durante una ciertadistancia (Fig.1). Este tipo de dinamica puede ser muy util para el diseno de un multi-puertoopticos, ya que permitirıa obtener una senal optica en un lugar de salida deseado, variandounos pocos parametros del haz inicial. Para observar como se comporta este sistema hacemosbarridos numericos cambiando la amplitud (angulo) inicial del haz input, manteniendo el (la)angulo (amplitud) inicial fijo (a). Para arreglos homogeneos se observa en la Figura 2 una salidacontrolada hasta la guıa 6 (4), y en adelante una region no controlada y no util desde el puntode vista aplicado. Nuestro trabajo consiste en mejorar el resultado presentado en la Figura

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CAPITULO 3. SWITCHING DE SOLITONES OPTICOS DISCRETOS EN ARREGLOS DE GUIASDE ONDAS NO LINEALESRODRIGO A. VICENCIO

Figura 3.2. Arreglo homogeneo, V = γ = 1. Izq., Desplazamiento v/s Amplitud (A). Der.,Desplazamiento v/s Angulo (k).

2. La no linealidad es un parametro constante, pero el acoplamiento depende de la distanciaentre guıas, la cual no es difıcil de variar [6]. Una alteracion en el acoplamiento produce queel haz opte por saltar a un sitio mas lejano, evitando esa dinamica caotica observada en laFigura 2. Teoricamente hablando, estariamos disminuyendo la barrera de Peierls-Nabarro, lacual es la barrera o potencial efectivo que un soliton discreto “ve” y que debe superar parapropagarse [9,10]. Lo que hacemos, en resumen, es ayudar al soliton discreto a desplazarse maslejos transversalmente, y como consecuencia lograr un switching controlado de mas guıas. Enla Figura 3, se observan los resultados de nuestro trabajo para dos tipos de esquemas. A laizquierda se observa un barrido de la amplitud para un angulo fijo controlado hasta la guıa11. A la derecha se observa un barrido del angulo para una amplitud fija controlado hasta laguıa 9. En el recuadro de ambas figuras se observa la ‘ingenierıa’ necesaria del coeficiente deacoplamiento para cada caso.

Figura 3.3. Arreglo optimizado, γ = 1. Izq., Desplazamiento v/s Amplitud (A). Der., De-splazamiento v/s Angulo (k).

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BIBLIOGRAFIA

Agradecimientos

Rodrigo Vicencio agradece a Conicyt por una Beca Doctoral y a Mario Molina su tutor elcual agradece a los Proyectos Fondecyt 1020139 y 7020139.

Bibliografıa

[1] D. K. Campbell, S. Flach y Y. S. Kivshar, Physics Today, pp.43-48, January (2004).[2] W. Krolikowsi, U. trutschel, M. Cronin-Golomb, y C. Schmidt-Hattenberger, Opt. Lett.

19, 320-322 (1994).[3] W. Krolikowsi y Yuri Kivshar, JOSA B 13, 876-886 (1996).[4] O. Bang y P. Miller, Opt. Lett. 21, 1105-1107 (1996).[5] A. Aceves, C. De Angelis, T. Peschel, R. Muschall, F. Lederer, S. Trillo, y S. Wabnitz,

Phys. Rev. E 53, 1172-1188 (1996).[6] U. Peschel, R. Morandotti, J. Arnold. J. S. Aitchison, H. Eisenberg, Y. Silberberg, T.

Pertsch, y F. Lederer, JOSA B 19, 2637-2644 (2002).[7] Rodrigo A. Vicencio, Mario I. Molina, y Yuri S. Kivshar, Opt. Lett. 28, 1942-1944 (2003).[8] Rodrigo A. Vicencio, Mario I. Molina, y Yuri S. Kivshar, presentado en el congreso

Nonlinear Guided Waves and Their Applications de la Optical Society of America MC37,28-31 Marzo, Toronto, Canada.

[9] Rodrigo A. Vicencio, Mario I. Molina, y Yuri S. Kivshar, aceptado en Physical ReviewE, Mayo 2004.

[10] Yuri S. Kivshar y D. K. Campbell, Phys. Rev. E 48, 3077-3081 (1993).

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CAPITULO 4. SIMULACION METROPOLIS-MONTECARLO DEL MODELO ISING EN DOSDIMENSIONESPAUL BLACKBURN

Capıtulo 4

Simulacion Metropolis-Montecarlo del Modelo Ising en DosDimensionesPaul Blackburn

Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica de Chile

Resumen:

Pese a que este modelo lleva el nombre de Ernst Ising, fue propuesto por primera vez en 1920por W. Lenz, el supervisor de tesis de Ising. Este se lo asigno en 1922, con el objetivo de

estudiar el fenomeno del ferromagnetismo. La importancia de este modelo se debe al hecho deque por mucho tiempo fue uno de los pocos modelos matematicamente solubles que exhibıantransiciones de fases. La solucion exacta del modelo en dos dimensiones por Lars Onsager, en

1944, fue visto como un hito de especial importancia en la Mecanica Estadıstica. Comoejemplo de esto, mencionamos una carta escrita por Pauli y dirigida a Casimir

inmediatamente despues del termino de la Segunda Guerra Mundial. En ella, Casimirexpreso su preocupacion por haber estado tan aislado de la fısica teorica de los paıses aliados.

En su respuesta, Pauli dijo que “nada mucho de interes ha sucedido excepto la solucionexacta por Onsager del Modelo de Ising en Dos Dimensiones.” Actualmente el Modelo de

Ising encuentra aplicacion en un gran numero de modelos, no solo en el area del magnetismoy el estudio de los materiales, sino tambien en la microbiologıa, ethologıa, y sociologıa, entreotras. En efecto, entre 1969 y 1997, se han publicado mas de 12,000 papers que utilizan el

modelo de Ising.La sesion oral que propongo realizar tiene como objetivo final comunicar a los estudiantes unespıritu de emprendimiento y “manos a la obra”, mostrando que hay muchas areas de la fısicaen las cuales es posible investigar y experimentar sin tener necesariamente que esperar a tener

un grado academico o un estudio cabal y riguroso.

Trabajo Realizado

El trabajo realizado consistio en simular un medio ferromagnetico mediante el modelo deIsing bidimensional. Aquı, la energıa de cada nodo en un lattice cuadrado viene dado exclu-sivamente por la configuracion de sus vecinos mas cercanos, y la energıa total del sistemaes:

E = −hN∑

i=1

si − JN∑

i=1

4∑j=1

sijsj

La sumatoria sobre j se realiza sobre los 4 vecinos al spin i. Hemos asumido aquı que la

constante de acoplamiento entre spines es isotropico, es decir, Jij ≡ J .Utilizamos un algoritmo Metropolis-Montecarlo, iterando sobre un lattice de 400× 400 con

condiciones de borde periodicas. La simulacion se implemento en C++ y todo el codigo fue escritoespecialmente para este proposito, incluyendo una clase especial de generacion de numerosaleatorios con distribucion gaussiana, dada la ya conocida pesima calidad del generador de

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CAPITULO 4. SIMULACION METROPOLIS-MONTECARLO DEL MODELO ISING EN DOSDIMENSIONES

PAUL BLACKBURN

numeros aleatorios del stdlib. Los estados iniciales y finales del lattice se graficaron facilmenteusando la clase PNGwriter, tambien escrito por el autor.

Se registraron datos de magnetizacion, energıa y temperatura, lo que permitio hacer unanalisis de la transicion de fases, histeresis y calor especıfico del lattice. Ademas, se pudoobtener:

- Curvas de magnetizacion vs. temperatura (sin campo externo),- Energıa vs. temperatura (sin campo externo),- Curvas de magnetizacion vs. campo magnetico aplicado,- Energıa vs. campo magnetico aplicado,- Curva de histeresis.Ademas, se calculo experimentalmente la temperatura crıtica de transicion de fases

T experimentalc = 2,27J/k. Esto es sorprendentemente cercano al valor de Tc = 2,269J/k,

obtenido de la solucion exacta de Onsager.En las paginas siguientes se muestran algunos resultados seleccionados. Se dividen en dos

grupos principales:- Estados del lattice, dominios magneticos: Figuras 4.1 y 4.2.- Graficos de magnetizacion y energıa vs. temperatura: Figuras 4.3 y 4.4.

Figura 4.1. Un cierto estado final de 400 × 400 con magnetizacion cercana a cero pero conclara presencia de dominios magneticos. Se ha repetido la misma imagen en los 4 cuadrantes dela figura para mostrar su naturaleza periodica. Las lıneas rojas denotan los bordes del lattice.

Figura 4.2. Estado inicial y final del lattice. h = 0,0, T = 3,0. 400 × 400. 9 × 106

iteraciones.〈M〉 = 0,00, 〈E〉 = −1,3× 105

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BIBLIOGRAFIA

Figura 4.3. Magnetizacion vs. Temperatura para un lattice de 500×500 y 9×106 iteraciones.Los datos se grafican en negro, la solucion de Onsager en rojo. La curva azul punteada es unasuavizacion de FFT.

Figura 4.4. Magnetizacion vs. Campo Magnetico para varias Temperaturas.

Conclusiones

Concluimos que es factible explorar el modelo de Ising bidimensional numericamente, yque no requiere de conocimientos avanzados para ser entendido o implementado. Este proyectotiene un gran potencial para motivar e incentivar al estudiante a explorar por cuenta propia,dado el acuerdo experimental que se obtiene con la solucion exacta de Onsager, en cuantoa las caracterısticas generales del comportamiento del lattice y a datos medibles, como latemperatura crıtica. Es por esto, entonces, que proponemos exponer el presente trabajo comouna Sesion Oral en el Segundo Simposio Nacional de Estudiantes de Fsica.

Esta presentacion oral esta basada principalmente en un proyecto independiente realizadodurante el curso de Electrodinamica (dado por Dr. Alejandro Valdivia), en el Departamento deFısica de la Facultad de Ciencias, Universidad de Chile. El trabajo completo puede ser descar-gado desde http://ket.dyndns.org/electro/ect3/t3ec.pdf (1.1 MB). A continuacion se detallanlas referencias usadas en la confeccion de este trabajo.

Bibliografıa

[1] Metropolis N., Rosenbluth M., Teller A. and Teller E. Journal of Chemical Physics 211087-1092 (1953).

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BIBLIOGRAFIA

[2] Bhattacharjee S. M. and Khare, A., “Fifty Years of the Exact Solution of the Two-Dimensional Ising Model by Onsager”, arXiv:cond-mat/9511003 v2 (10 Nov 1995).

[3] Physics Today, Feb. 1977, p 77.[4] Ising E., Z. Phys. 31 253-258 (1925)[5] Bragg W. L. and Williams E. J., Proc. Roy. Soc. A145 199 (1934); A151 540 (1935);[6] Onsager L., “Crystal statistics I. A two dimensional model with an order-disorder transi-

tion”, Phys. Rev. 65, 177 (1944)[7] Yang, C. N., Phys. Rev. 85, 808-816 (1952)[8] Chang-Hong Chien, “Monte Carlo Simulations of the Two Dimensional Ising Model”,

http:www.science.gmu.edu cchienstmisingising.html

[9] Blackburn, P., Sand 1.0.1, escribir al autor para obtenerlo, [email protected] (Feb 2003)

[10] Blackburn P., PNGwriter 0.3.4, pngwriter.sourceforge.net (Feb 2003)[11] New Scientist 175 issue 2357, page 42 (24E AugustE 2002)[12] New Scientist 159 issue 2147, page 40 (15 AugustE 1998)[13] Bernardes A. T., Stauffer D., Kertesz J., “Election results and the Sznajd model on

Barabasi network”, European Physical Journal B 25 199 (1934); A151 Iss 1, pp 123- 127 (2002);

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CAPITULO 5. DINAMICA MOLECULAR: CHOQUE DE PARTICULASMARIA TERESA CERDA Y PEDRO MALDONADO

Capıtulo 5

Dinamica Molecular: Choque de PartıculasMarıa Teresa Cerda y Pedro Maldonado

Departamento de Fısica, Universidad de Chile

Resumen:

Desarrollamos un programa en C++ que simula el choque de partıculas de masas igualesencerradas en un cubo de dimensiones conocidas. Las posiciones y velocidades iniciales fueron

escogidas arbitrariamente, y corriendo el programa con mil partıculas se encuentran lasrealciones de la teorıa cinetica de los gases.

Introduccion

La simulacion que desarrollamos en este proyecto tiene muchas aplicaciones, en este tra-bajo hemos empezado por verificar la presion y temperatura de un gas ideal, ya que tenemosun numero bajo de partıculas en comparacion al volumen de la caja, por lo cual tenemosuna distancia libre media grande, asumimos ası de aquı en adelante que poseemos un gas ideal.Hecho el trabajo de programacion, comparamos los datos entregados con las ecuaciones del gas.

Graficamos la distribucion de las velocidades, calculando la promedio y la mas probable, ygraficando pudimos obtener la distribucion de Boltzmann para las velocidades. Estas ecuacionesson:

dNw

dw=

4N√π

(m

2kBT

) 32

w2 exp− mw2

2kBT(5.1)

< w2 >=1N

∫ ∞

0

dNw

dww2dw (5.2)

w =∫ ∞

0

w

NdNw (5.3)

La ecuacion (1) es la distribucion de Maxwell-Boltzmann, la raız de la ecuacion (2) es lavelocidad cuadratica media, y la (3) es la velocidad promedio.

Desarrollo del programa

Para hacer chocar las partıculas definimos la recta que une los centros de masa de laspartıculas y un plano en donde chocan. Cuando se acercan dos partıculas, definimos un planojusto en el momento en que estas chocan, como el centro de masa se debe conservar, podemosconcluir que la unica componente que cambia es la que se encuentra en la direccion radial.Las partıculas llegan con vectores de velocidad de tres componentes, pero estas las podemosdescomponer tal que tengamos dos vectores, uno radial, y por lo tanto, perpendicular al plano(en la figura 5.1A, es la componente Vl), y otro paralelo al mismo. La funcion choque del

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Figura 5.1. A.-) Partıculas chocando en 2 y en 3 dimensiones. B.-) Partıculas chocando dentrode la caja

programa deja igual la componente paralela de ambas, pero las componentes radiales cambiansegun la conservacion de energıa, es decir:

V′1‖ = V1‖ V′

2‖ = V2‖

m1V1r + m2V2r = m1V′1r + m2V′

1r

12m1V2

1r +12m2V2

2r =12m1V′2

1r +12m2V′2

1r

donde las velocidades primadas son las que existen despues del choque.

Ademas se puede apreciar que en la conservacion de momentum y de energıa es solo delas velocidades radiales, ya que las velocidades paralelas se anulan; luego de un ligero calculoobtenemos el las siguente relaciones de velocidades:

V′1r =

2m2V2r + (m1 −m2)V1r

(m1 + m2)

V′2r =

2m1V1r + (m2 −m1)V2r

(m1 + m2)

Este algoritmo podemos argumentarlo, diciendo que el momentum es un vector axial, esdecir, que su componente paralela se mantiene igual despues del choque y la perpendicular no.

Por otro lado el algoritmo para el choque con las paredes es:

V⊥ = −V⊥

V′‖ = V‖

Tenemos definidas tres clases que implementamos en el programa :

Clase de vectores de tres componentes: Esta clase tiene todas las funciones que se utilizanen operaciones vectoriales, como el producto punto, etc.

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Clase de cajas: Determina las dimensiones de una caja rectangular o cubica.Clase de partıculas: Inicializa las partıculas con masa, radio, posiciones y velocidades.Ademas se implementan las funciones de choque.

El programa inicializa las partıculas al azar o con posiciones y velocidades determinadas, ytiene como parametro de medicion la cantidad de tiempo que transcurre.

Inicializamos cien partıculas al azar y las dejamos chocando como por una hora, luegolo hicimos con mil partıculas, y ordenando los datos, conseguimos a “grosso modo” la formade una maxwelliana al graficar. Si lo pensamos, mil partıculas son pocas comparadas con lacantidad que debieramos hacer, que serıan 1023 partıculas (un mol), pero calcular mil se demorauna noche entera. El diametro que le dimos a las partıculas fue de :

D = 1, 3 [m] m = 103 [g] L = 100 [m]

donde m fue la masa usada para todas, y L es el largo de la caja cubica.

En la figura 5.1B a continuacion podemos ver el programa corriendo en xmakemol con docepelotas de muestra.

Analizando Datos

Usando los datos del programa, que son las posiciones y velocidades en cada intervalo detiempo pequeno ( τ = 0, 01 ), donde consideramos que las velocidades cumplen la relacionvτ << D, podemos encontrar la presion de un gas “ideal”, y su temperatura; comprobandolas leyes de la termodinamica para gases ideales.

E =32NKBT =

N

2m < Vcm >=

32PV (5.4)

P =2m

At

N∑i=0

v⊥i (5.5)

donde Vcm es la velocidad cuadratica media y v⊥ son las velocidades perpendiculares a lasparedes de la caja.

Con las formulas (4) y (5), y conociendo el volumen y area de la caja, obtenemos que lavelocidad cuadratica media resulta ser:

V = 1, 8976 · 1010[m3]

A = 7,114 · 106[m2]

por lo tanto,< Vcm >= 15, 87[m2/s2]

donde A es el area de la pared de la caja y V el volumen de la misma.

Ya teniendo la presion, podemos encontrar la temperatura de un gas ideal con:

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PV = NKBT (5.6)

Los graficos obtenidos con cien y mil partıculas se ven a continuacion en las figuras 5.2A y5.2B.

Figura 5.2. A.-) Grafico para cien partıculas respectivamente B.-) Grafico para mil partıculas.

Se puede apreciar que la maxwelliana mejora considerablemente aumentando el numero departıculas.

El grafico cuatro se puede mejorar calculando el promedio entre cada intervalo, ası nosqueda mas suave la funcion.

Resultados Esperados

Estamos tabajando en optimizar el programa para introducir muchas mas partıculas demasas distintas, ası mejoraremos los resultados y graficos obtenidos arriba, acercandonosmas a un gas.Queremos encontrar las variables termodinamicas extensivas para un gas real, y no sola-mente tratar el caso de un gas ideal.Inicializaremos una pared del cubo con un aumento de su temperatura, y veremos comose comporta el gas, dado que tiene la temperatura que surge de sus propias interacciones,y luego dejaremos de proporcionarle dicha temperatura. Analizaremos como cambia elsistema.Crearemos paredes permeables para ciertas partıculas, para poder analizar el potencialquımico del gas. Ası observaremos el fenomeno de osmosis.

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CAPITULO 6. CARACTERIZACION Y ESTUDIO MATERIAL PARTICULADO PM10-PM2,5, ENMACUL.JAIME ARANCIBIA MONREAL Y PABLO GUTIERREZ MATUS

Capıtulo 6

Caracterizacion y estudio Material particulado PM10-PM2,5, en Macul.Jaime Arancibia Monreal y Pablo Gutierrez Matus

Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.

Resumen:

Este proyecto tiene por ”Objeto” determinar el comportamiento de la calidad del aire, en lacomuna de Macul, en un periodo de una semana del mes de Junio, determinando las

concentraciones ”Elementales” presentes en la atmosfera urbana, a traves del filtrado conPM10 y PM2,5 fig(6.1A).

Detalles Experimentales

El Modus Operandis del experimento, consiste en ”Filtrar”(6.1) aire, usando una bombaextractora. Los dispositivos de filtraje (PM10, PM2,5), hechos de Policarbonato, capturan laspartıculas en suspension, discriminandolas en dos rangos, segun el diametro de estas. PM10

retiene en un rango de 10 [µmt] y menores, Y PM2,5 contiene a particulas con diametros de2.5µ [mt] hacia abajo.

El muestreo se realiza por 6 horas una vez al dıa, a fin de observar, mas adelante, las posiblesvariaciones de las concentraciones de los elementos, a traves de la semana.

La determinacion de los elementos y sus proporciones presentes en las muestras, se hace atraves de PIXE (Proton Induced X-ray Emision). Este es un metodo en el cual se irradian

Figura 6.1. A.-) Conducto de Filtraje. B.-) Camara de irradiacion de muestras con aerosoles.

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CAPITULO 6. CARACTERIZACION Y ESTUDIO MATERIAL PARTICULADO PM10-PM2,5, ENMACUL.

JAIME ARANCIBIA MONREAL Y PABLO GUTIERREZ MATUS

las muestras en un acelerador de partıculas, figura (6.1B). De esta manera, y con los flujos deaire conocidos, se determina las concentraciones respectivas a cada elemento observado en lamuestra.

Asi pues, obtendremos una serie de graficas que nos mostraran los comportamientos en eldıa y durante la semana de las mencionadas concentraciones. Con esta informacion pretende-mos mostrar la magnitud de la incidencia de los factores mas imporatntes que aportan a lacontaminacion de nuestra ciudad.

Otro Resultado que esperamos obtener, es encontrar las posibles relaciones existentes delas concentraciones versus las variables climaticas, para lo cual contamos con la informaciondiaria y fidedigna de la estacion meteorologica de nuestro departamento.

Problematica, Enfoque, Fundamento.

La calidad del aire en Santiago, ha sido un fenomeno que nos ha preocupado desde hacealgun tiempo, debido al alto impacto en la salud de la poblacion, provocada por la contamian-cion.

Generalmente en la epoca de Otono-Invierno se produce un incremento considerable en elmaterial particulado del aire provocado por el desenso del nivel de la capa de inversion termica,lo cual, combiando con las restricciones geograficas de nuestro valle (rodeado enteramente porcerros y montanas), imposibilita la ventilacion de los aerosoles, generando el problema depolucion mencionado.

Es por eso que la medicion y determinacion de los componentes ”elementales” en el aire deSantiago, y por consiguiente la posible modelacion del fenomeno, adquiere gran importanciaen la elaboracion de las polıticas y estrategias que tiendan a la solucion parcial o total delproblema.

Ası pues, desde nuestra perspectiva, lo interesante del fenomeno, es separar a las partıculassegun su grado de respirabilidad, es decir el grado asimilacion por los albeolos pulmonares.Esta discriminacion se puede llevar a cabo usando el sistema de filtraje con dos tipos de filtro(PM2,5 y PM10), ver cuadro (6.1).

Respiranilidad(%) 0 25 50 75 100Tamano [µmt.] 10.0 5.0 3.5 2.5 2.0

Cuadro 6.1. Porcentaje de respirabilidad de los aerosoles atmosfericos en funcion del tamanoaerodinamico de la partıcula[1].

Por otra parte, para el analisis de las muestras, se escogio PIXE por sus grandes ventajascomo: el gran rango de deteccion de elementos (Sodio a Uranio), no necesita separacion de lamuestra del colector, mejor sensibilidad que otras tecnicas de emision de rayos-X (EDS), y nodestruccion de las muestras.

La bibliografıa base de este proyecto, son una serie de papers, nacionales e internacionales,donde se hacen estudios para determinar, caracterizar(tamano) los elementos y sus concentra-ciones presentes en los aerosoles, ademas de mostrar el comportamiento de estos ultimos bajodistintas variables: temporales, geograficas, climatologicas, antropogenicas y otras.

El analisis ”elemental” utilizada en los papers, es a traves de PIXE, y en uno se hacecon un metodo que combina el nombrado anteriormente con PESA (Proton Elastic Scattered

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Analisis), el cual analiza contenido de Hidrogeno, y LIPM (Laser Integrating Plate Metod)que es usado para determinar el contenido de fracciones finas de ollın.

Publicaciones y Bibliografıa base del proyecto.[1] ”Caracterizacion de Aerosoles Atmosfericos mediante PIXE”, J.R.Morales P., Univer-

sidad de Chile

[2] ”A study of the particulate matter PM10 composition in the atmosphere of Chillan,Chile”.J.E.Celis, J.R.Morales, C.A.Zaror, J.C.Inzunza, U.Concepcion, U.Chile.

[3] Heavy metals in the atmosphere coming from a copper smelter in Chile”. C.M.Romo-Kroger, J.R.Morales, M.I.Dinator, F.LLona and L.C.Eaton. U.Chile.

[4] ”Efecto de traslado y embarque de minerales sobre la calidad del aire en una ciudadpuerto de Chile”. L.R.Vallejo, J.W.Fuenteseca, C.M.Romo-Froger, J.R.Morales y F.LLona.U.Antofagasta, U.Chile.

[5] ”Seasonal study of the composition of atmospheric aerosols in Mexico City”. F.Aldape,J.Flores, R.V.Diaz, J.R.Morales, T.A.Cahill and L.Saravia. I.Nacional Inv. Nucleares (Mexi-co), U.C.Davis.

[6] ”Determination of elemental concentrations in atmospheric aerosols en Mexico Cityusing Proton Induced X-Ray Emision, Proton Elastic Scattering, and Laser Absorption”.J.Miranda, T.A.Cahill J.R.Morales, F.Aldape, J.Flores and R.V. Dıaz. U.C.Davis, I.Nac. Inv.Nucleares.

[7] ”A study of Atmospheric aerosols from five sites in Mexico city using PIXE”. J.Miranda,A.Lopez-Suarez, R.Paredes-Gutierrez, S.Gonzalez, O.G. de Lucio, J.R.Morales, M.J.Avila-Sobarzo. UNAM, U.Chile.

Hipotesis de Trabajo

Nuestro trabajo parte de la suposicion de que efectivamente hay cierta correspondenciaentre las concentraciones del material particulado, y las variables climaticas, como tambien,por supuesto, de las condiciones particulares de la ciudad en los momentos en que obtengamosla medicion.

Objetivos

En resumen, podemos decir que trabajaremos en funcion de :

Objetivo General

Determinar el comportamiento -la variacion- del material particulado (la calidad del aire)a lo largo de una semana.

Objetivos especıficos

Encontrar las concentraciones de PM10 y de PM2,5.

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CAPITULO 6. CARACTERIZACION Y ESTUDIO MATERIAL PARTICULADO PM10-PM2,5, ENMACUL.

JAIME ARANCIBIA MONREAL Y PABLO GUTIERREZ MATUS

Reacondicionar, y comprobar el correcto funcionamiento de la estacion metereologica dela facultad.Medir, u obtener mediciones de las variables climatologicas y antropogenicas que incidenen las concentraciones.Ver como es tal incidencia.Resolver problemas de instrumentacion.Hacer aportes a la linea de trabajo del Centro de Fısica Experimental.

Metodologıa

Podemos separar las areas en que debemos vincularnos para llevar a cabo este trabajo, enlas siguientes:

Coleccion y Estudio de masasEsta parte del trabajo consiste en la captura misma de los aerosoles presentes en el ambiente

durante los periodos que determinamos para el muestreo. La forma de hacerlo es mediante losfiltros, mencionados con anterioridad, en los pasos siguientes:

En primer lugar la masa neta de los filtros debe ser medida con mucha presicion, dado locompacto de los filtros.

Con esta informacion registrada y bien catalogada, los filtros son puestos (a medida queavanza el trabajo) en un montaje conectado a una bomba, de manera tal que el aire que esaspirado por la bomba pasa por los filtros. Para obtener mediciones al respecto, contamos conun medidor del flujo de aire filtrado, y un timer, que ademas permite una mayor autonomıa alequipo.

Despues de ser utilizados los filtros, su masa es medida nuevamente, y con esto se obtienendatos precisos de la masa de material particulado en cada uno (PM10 y PM2,5).

Cabe notar que aun nada se sabe acerca de la composicion elemental de este material, peroesto ya es bastante informacion por si misma.

Irradiacion de las muestras, y analisis de datosComo nos interesa ver las concetraciones de material presentes en el ambiente, debemos usar

una tecnica que nos entrege tal informancion. Nosotros usaremos PIXE, por varias ventajascompativas, como por ejemplo el que sea un metodo no destructivo, de gran barrido sobre losdistintos z, y que no requiere mucho tiempo de irradiacion. Con PIXE, otendremos un espectrode rayos X caracterısticos, en que podremos identificar, via tablas sobre todo, los elementospresentes, para luego jugar con otras variables asociadas.

Es interesante mencionar que para lograr estos espectros, debemos disponer de una elec-tronica y un detector apropiados. Generalmente se usa un detector de silicio dopado con litio.

En cuanto a la electronica, esta se encarga de trasmitir las cuentas hechas por el detector(en general a distinta energıa) a un multicanal conectado a un computador, que traspasa estainformacion al espectro tangible que buscamos. El programa que usamos es MAESTRO, queademas contiene herramientas que facilitan el analisis de los espectros, sobre todo diciendomucho de los peaks.

Obtencion de variables presentesComo mencionamos, es interesante cruzar la informacion tanto de las masas como de las

composiciones, con variables climaticas y antropogenicas.

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Para obtener la informacion climatica contamos con las entregas de la estacion metereologicade nuestra facultad, que directamente registra los datos de variables como (aunque no todas nosresultaran relevantes) rapidez y direccion del viento, temperatura, humedad, radiacion solar yU.V. y cantidad de agua caida.

Ademas, tendremos en consideracion la incidencia de variables que no estamos en condi-ciones de medir cuantitativamente por nosotros mismos, como los niveles generales de la con-taminacion de santiago (particularmente la ocurrencia de preemergencias o emergencias am-bientales), y existencia de otros factores que vallan a insidir naturalmente, ya sea incendios,o incluso protestas. Para tener en cuenta esto, solo podemos estar pendientes del acontecerdurante nuestros tiempos de muestreo, como tambien de los informes periodicos que entreganlos organismos guvernamentales vinculados al tema ambiental.

Plan de Trabajo.

A continuacion se presentan las etapas del experimento

Puesta a punto y Calibracion de bomba de extraccion y Estacion Meteorogica. (mes deMayo)Coleccion de las muestras a traves del sistema de bombeo de aire.(3-9 Junio).Calibracion del acelerador (haz de particulas, acumulacion de carga). (3-10 Junio).Irradiacion de las muestras. (11-15 Junio)Obtencion y tratamiento de datos. (16-30 Junio)Analisis de los resultados y Conclusiones. (1-10 Julio)

Resultados Esperados.

En primer lugar esperamos ver que existe variaciones de las concentraciones de los ele-mentos de origen antropogenicos a traves de una semana. Los motivos que se ven a priori,es la gran combustion, provocada por la gran circulacion de vehıculos a horas pics; ademasdel funcionamiento de las industrias que contribuyen a la polucion del aire en ese perıodo detiempo.

Otro resultado que esperamos obtener, es la posible relacion entre la temperatura del am-biente y las concentraciones de los elementos a determinar. Esta hipotesis la podemos planteardevido a que a medida que la temperatura baja, la capa de inversion termica desciende en al-tura, lo que implica que el volumen donde se encuentran los aerosoles disminuye, por lo tanto esfactible observar en las mediciones un alza o disminucion de las concentraciones, en la medidaque baje o aumente la temperatura, siempre y cuando las condiciones o factores de contami-nacion y atmosfera se mantengan constantes, es decir, que no haya restriccion vehicular, ceseparcial o total de la actividad industrial, lluvias, etc. Por otra parte hay que recordar, que lacapa de inversion termica, basicamente es un tapon que no permite la salida de los aerosolesni tampoco la ventilacion de la cuenca del Mapocho.

Publicaciones comprometidas

Es necesario que, dentro de los margenes de un curso de Fısica Experimental, presentemoslos resultados obtenidos de esta experiencia, y sobre todo las respuestas a los objetivos quenos planteamos. Por lo tanto generaremos, conforme obtengamos resultados, una publicacioninterna, es decir en el contexto del curso.

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CAPITULO 7. DIAGNOSTICOS DE RAYOS-X EN EXPERIMENTOS DEL TIPO X-PINCH ENLLAMPUDKEN

FRANCISCO SUZUKI

Capıtulo 7

Diagnosticos de Rayos-X en Experimentos del tipo X-Pinch enLlampudkenFrancisco Suzuki

Facultad de Fısica, Grupo de Optica y Plasma Pontificia Universidad Catolica de Chile

Resumen:

Con el uso del generador de potencia pulsada Llampudken (1 MA corriente, 250 nsrise-time), perteneciente al grupo de Optica y Plasma de la Pontificia Universidad Catolica,se han realizado experimentos del tipo x-pinch usando alambres de Aluminio de diametro

φ=125 µm. Una de las caracterısticas principales de esta descarga es la aparicion de fuentespuntuales muy densas y calientes durante la formacion del plasma en los alambres,

denominados “hotspots”, los cuales emiten radiacion en forma de rayos-x. Se implementarondiagnosticos de diodos PIN , interferometrıa, camara pinhole y camara slit-wire para

caracterizar la radiacion emitida. Se presentan resultados de dichos diagnosticos,evidenciando la presencia de hotspots.

El Generador Llampudken

Llampudken es un generador de potencia pulsada capaz de entregar una corriente de 1MA en un rise-time de 250 ns. La forma de producir un pulso tal es con el uso de lıneasde transmision, con la caracterıstica principal y unica de poseer lıneas de transmision conforma exponencial (impedancia variable), cuya funcion es la de poder acoplar la energıa quees reflejada por el plasma en los primeros instantes de la descarga, cuando el plasma aun seencuentra mas frıo y menos denso.

Figura 7.1. El generador Llampudken.

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CAPITULO 7. DIAGNOSTICOS DE RAYOS-X EN EXPERIMENTOS DEL TIPO X-PINCH ENLLAMPUDKENFRANCISCO SUZUKI

El generador se compone de dos segmentos identicos (“alas”), formados por las lıneas detransmision mencionadas anteriormente, para poder duplicar ası la energıa utilizada durante ladescarga. La corriente pasa, en una primera fase de la descarga, por una lınea de transmisionde impedancia uniforme, pasando hacia las lıneas exponenciales por medio de interruptoresgaseosos (spark-gaps), los cuales son activados simultaneamente en ambas alas. La corrientedesde ambas alas llegara, en una instancia final, hacia una camara de descarga donde se pro-ducira el plasma en experimentos del tipo x-pinch. La energıa reflejada pasa hacia lıneas expo-nenciales auxiliares, en paralelo con el plasma, para acoplarse nuevamente al plasma cuandoya esta caliente y presenta menos resistencia.

La Configuracion X-Pinch

La configuracion x-pinch se basa en el uso de alambres delgados (cientos de micrones dediametro o menores), colocados formando una “x.entre los electrodos de la camara de descarga.Con la alta corriente, se formara un plasma caracterizado por varias etapas:

1. La rapida subida de corriente hace que se ionice y evapore material de la superficie delos alambres, produciendose un plasma superficial de baja densidad (“plasma corona”),el cual se expande radialmente.

2. Se forma un pequeno z-pinch en el punto de cruce de los alambres, junto con un jet deplasma axial que se dirige hacia los electrodos.

3. En el punto de cruce se forman puntos muy densos y calientes, denominados “hotspots”,los cuales se caracterizan por la emision de radiacion en forma de rayos-x en tiempos muycortos (∼ ns), y acompanados por la abertura de un gap en el punto de cruce.

La finalidad de este trabajo es presentar resultados de diagnosticos de los rayos-x producidospor los hot-spots en el arreglo x-pinch.

Diagnosticos

Diodos PINLos diodos PIN nos permitiran obtener la intensidad, en funcion del tiempo, de los rayos-x

emitidos durante la descarga. El uso de varios diodos PIN con distintos materiales delgados co-mo filtros de transmision para la radiacion incidente sobre los diodos PIN nos permitira obtenerinformacion espectral de los rayos-x, y ası su temperatura. Sin embargo, este diagnostico nonos provee informacion sobre la posicion espacial de los hotspots.

EspectrometrıaEste diagnostico nos permitira obtener el espectro de la radiacion proveniente de los hotspots

de la descarga x-pinch. Utilizamos un espectrometro de cristal del tipo “defocussing”, el cualposee un cristal curvado de Mica en forma de seccion cilındrica, cuya funcion es producirdifraccion de los rayos incidentes. Solamente la radiacion con longitud de onda en el rangode los rayos-x cumplira la condicion de Bragg, pudiendo difractarse en el cristal y llegar aldetector (pelıcula fotografica).

Midiendo la posicion espacial relativa de las lıneas en la pelıcula, podemos obtener la lon-gitud de onda asociada a cada una de ellas usando una calibracion geometrica dada por elfabricante. Con el espectro ya obtenido, podemos asociar las longitudes de onda a transicioneselectronicas de las capas internas del Aluminio ionizado (capas K,L).

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CAPITULO 7. DIAGNOSTICOS DE RAYOS-X EN EXPERIMENTOS DEL TIPO X-PINCH ENLLAMPUDKEN

FRANCISCO SUZUKI

Figura 7.2. Intensidad de la emision de hotspots, detectadas por 2 diodos PIN filtrados. Seaprecian fuentes de rayos-x intensas y rapidas (rise-time ∼ 5ns). Ademas, puede apreciarseque los pulsos se producen cerca del maximo de corriente en la camara de descarga.

Figura 7.3. IZQ: Lıneas obtenidas con el espectrometro en la pelıcula fotografica. DER: Es-pectro de las lıneas obtenidas, caracterizadas a transiciones del tipo Helio e Hidrogeno de ionesde Aluminio.

Camara Pinhole

Con el uso de pinholes (aberturas de diametro 75 µm), y una combinacion de filtros detransmision, obtendremos imagenes de la emision de rayos-x para poder ası estimar el tamanode los hotspots. Las curvas de transmision de los filtros usados derivan en una cota para laenergıa de los fotones incidentes.

Para el caso de los filtros mas “duros”, como el Titanio, se observa la aparicion de dospuntos asociados a hotspots provenientes del x-pinch. En el caso contrario (Berilio), no distin-guimos los hotspots debido a que la transmision de este filtro deja pasar rayos muy energeticos.Aca notamos una limitacion del diagnostico al ser del tipo “time-integrated”. El hecho de quelos puntos aparezcan muy juntos evidencia la presencia de los hotspots en la zona del puntode cruce.

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CAPITULO 7. DIAGNOSTICOS DE RAYOS-X EN EXPERIMENTOS DEL TIPO X-PINCH ENLLAMPUDKENFRANCISCO SUZUKI

Figura 7.4. IZQ: Diagrama esquematico del funcionamiento de la camara pinhole. DER:Transmision con respecto a la longitud de onda (energıa), de los fotones para diferentes mate-riales usados en varios diagnosticos.

Figura 7.5. Resultados de la camara pinhole en funcion de los filtros de transmision usados.

Camara Slit-wire

Con el uso de alambres delgados de diferentes diametros, pero compuestos de algun materialque bloquee el paso de los rayos-x, podremos estimar el tamano de las fuentes emisoras enfuncion de la luz que ha sido bloqueada. La resolucion de este diagnostico es limitada debido ala aparicion de varios hotspots en los experimentos, lo que produce superposicion de imagenes(“spatially integrated”).

Conclusiones y Futuro

Los diagnosticos realizados hasta la fecha evidencian la presencia de varios hotspots, pro-ducidos en la region de cruce del x-pinch, como muestran los resultados de la camara pinhole.Los diodos PIN corroboran la presencia de varias fuentes emisoras de rayos-x intensos y decorta duracion (∼ 5 ns). Con la obtencion de espectros, se asociaron las longitudes de ondaa transiciones electronicas de los tipos Hidrogeno y Helio de las capas interiores de iones deAluminio (material usado en el arreglo x-pinch), que pertenecen al rango de los rayos-x. A cortoplazo, se espera obtener una estimacion del tamano de los hotspots (analisis de los resultadosde la camara pinhole), y tambien la temperatura asociada e ellos. Se espera obtener resultadoscon la adicion de nuevos diagnosticos: espectrometrıa de alta resolucion y camara multicuadro

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BIBLIOGRAFIA

Figura 7.6. Resultado obtenido con la camara slit-wire. A la izquierda se aprecia como la luzde la descarga es bloqueada por el arreglo de alambres de Tungsteno de diferentes diametros.Esta camara posee tambien 2 pinholes filtrados con aberturas de 10 µm y 50 µm (Derecha).

(MCP ), para analisis de la evolucion temporal de los hot-spots.

Bibliografıa

[1] J.A.Gomez: Experimentos del tipo X-pinch en Llampudken. 2002. PUC.[2] I.H.Mitchell, R. Aliaga-Rossel, R. Saavedra, H. Chuaqui, M. Favre and E.S. Wyndham:

Investigation of the plasma jet formation in X-pinch plasmas using laser interferometry.2000.

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CAPITULO 8. ESTRUCTURA ELECTRONICA EN EL ESPACIO REAL.XAVIER ANDRADE

Capıtulo 8

Estructura Electronica en el Espacio Real.Xavier Andrade

Departamento de Fısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.

Resumen:

Se desarrollo un codigo para la solucion de las ecuaciones de la teorıa del funcional de ladensidad usando grillas de puntos en el espacio real. Se discute el metodo utilizado y se

muestran los resultados para sistemas simples y se comparan los resultados con otros codigosobteniendo valores dentro de un 2 % de diferencia.

Introduccion

Un solido o una molecula es un sistema que forman los atomos al agruparse de manera quese generen enlaces entre ellos. Las propiedades que identifican al sistema en cuestion dependenprincipalmente del comportamiento electronico que es netamente cuantico. Una forma de tratareste sistema cuantico es a traves de la teorıa del funcional de la densidad, que describe la energıadel sistema electronico de manera unıvoca como un funcional de la densidad electronica.

La manera estandar de resolver numericamente las ecuaciones de la teorıa del funcional dela densidad es usando metodos espectrales. Sin embargo, en 1994 Chelikoswky, Troullier y Saad[3] presentaron un metodo en el cual las funciones de onda se representan directamente en elespacio real usando diferencias finitas sin usar una base, el cual presenta varias ventajas sobrelos metodos de expansion en bases. Por lo general es mas eficiente y altamente paralelizable,lo que significa que el numero de electrones que es posible tratar es mayor.

En este trabajo se desarrollo un codigo ab-initio basado en la teorıa del funcional de la den-sidad, para el calculo de estructura electronica de sistemas aislados como clusters o moleculas.Para resolver el problema de autovalores asociado se utilizo una variacion del metodo de multi-grid [4].

Teorıa del Funcional de La Densidad

En 1964 Hohenberg y Kohn [1] probaron que la energıa total de un sistema de electroneses un funcional de la densidad electronica. Para encontrar la densidad se resuelve el problemamonoelectronico dado por las ecuaciones de Kohn-Sham [2]

−∇2 + Veff [ρ] (r)

φi = εiφi (8.1)

cuyas autofunciones φi permiten calcular la densidad electronica como ρ = 2∑n/2

i=0 |φi|2. Elpotencial efectivo es

VeffH [ρ] (r) = Vion (r) +∫

d3r′ρ (r′)|r − r′|

+δEXC [ρ]

δρ (r). (8.2)

EXC es el funcional de energıa de intercambio y correlacion que corresponde a la parte cuanticade la interaccion entre electrones; este funcional no se conoce y debe ser aproximado.

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Solucion numerica

Discretizacion de Las Ecuaciones

Para poder tratar numericamente las ecuaciones de Kohn-Sham es necesario discretizar elproblema. En este caso utilizamos una representacion directa en el espacio real tomando losvalores de la funcion sobre una grilla cubica tridimensional de espaciado uniforme h. Paracalcular de manera precisa el laplaciano se utiliza la aproximacion en diferencias finitas a lasegunda derivada

∂2ui

∂2x=

1h2

n/2∑k=−n/2

Cnk ui+k + O (hn) . (8.3)

Ciclo de Autoconvergencia

La ecuacion 8.1 no corresponde a un problema de autovalores normal, ya que el operadordepende no linealmente de las autofunciones. Sin embargo es posible resolverla iterativamentehasta encontrar una solucion autoconsistente, donde el potencial generado por las autofuncioneses igual al potencial con las que estas fueron generadas. Un esquema de esta iteracion se muestraen la figura 8.1.

Figura 8.1. Esquema de la iteracion de autoconvergencia

La parte central de la iteracion de autoconvergencia es resolver un problema de autovaloresdiscreto de la forma

H |u〉 = e |u〉 , (8.4)

donde H es una matriz muy grande y dispersa, por lo que es muy ineficiente diagonalizarlamediante un metodo directo.

Solucion del problema de autovalores

Para solucionar la ecuacion 8.4 se utilizo el metodo de Rayleigh Quotient Multigrid [5] [6],que es una extension del metodo de multigrid a problemas de autovalores y cuya base es unmetodo iterativo conocido como relajacion de coordenadas.

La relajacion de coordenadas se basa en que la solucion de la ecuacion 8.4 minimiza elcuociente de Rayleigh R = 〈u|H |u〉/〈u |u〉. Cada paso de la iteracion consiste en recorrer lagrilla modificando el valor de la funcion en cada punto de manera que el cuociente de Rayleightome el menor valor posible.

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En el metodo de multigrid se utiliza una jerarquıa de grillas, cada grilla con la mitad depuntos por lado que la grilla anterior, hasta llegar a la grilla mas fina que solo tiene un punto. Encada nivel se realizan unos pocos pasos de relajacion de coordenadas y la solucion se transfiereal nivel con menos puntos, y ası hasta llegar al nivel superior donde se transfiere nuevamentea los niveles mas gruesos realizando otros pocos pasos de relajacion.

Figura 8.2. Esquema en 2D de la jerarquıa de grillas utilizada en el algoritmo de Multigrid.

Resultados

Se hicieron distintas pruebas para sistemas simples y se compararon con resultados cono-cidos dados por otros programas. La comprobacion mas simple que se realizo sobre el codigo,fue comparar con los resultados obtenidos para la energıa total de atomos individuales usandolos valores de referencia dados en [7].

Z Energıa Energıa Diferencia %Referencia [H] Obtenida [H]

1 -0.4457 -0.4457 0.002 -2.8348 -2.8350 0.004 -14.4472 -14.4496 0.026 -37.4257 -37.3945 0.088 -74.4731 -74.6025 0.1710 -128.2335 -128.5870 0.2818 -525.9462 -515.7360 1.94

Cuadro 8.1. Comparacion de los valores obtenidos por este trabajo y los valores de referenciapara atomos individuales

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BIBLIOGRAFIA

Figura 8.3. Isosuperficies de los orbitales 2p de un atomo de Argon

Conclusiones

Se implemento el metodo de solucion en el espacio real por medio de Multigrid y se obtu-vieron resultados que concuerdan con los valores que se obtienen en otros codigos.

Bibliografıa

[1] P. Hohenberg and W. Kohn, Phys. Rev. B 136, 864 (1964).[2] W. Kohn and L. J. Sham, Phys. Rev. A 140, 1133 (1965).[3] J. R. Chelikowsky, N. Troullier, K. Wu, and Y. Saad, Phys. Rev. B 50 11355-64 (1994).[4] A. Brandt, Math. Comp. 31 333-390 (1977).[5] J. Mandel, S. F. McCormick, J. Comp. Phys. 80, pp. 442-452, (1989).[6] Heiskanen, M., Torsti T., Puska, M. J., Nieminen, R. M., Physical Review B 63, 245106

(2001).[7] S. Kotochigova, Z. H. Levine, E. L. Shirley, M. D Stiles, and C. W. Clark, website:

http://physics.nist.gov/PhysRefData/DFTdata/contents.html/.

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CAPITULO 9. ESTUDIO DE DESCARGAS CAPILARES, CON METODOS TRANSIENTES.A.P. PERNAS

Capıtulo 9

Estudio de descargas capilares, con metodos transientes.A.P. Pernas

Departamento de Fısica, Universidad Catolica de Chile.

Resumen:

Un pequeno generador de potencia pulsada ∼ 100kA y ∼ 100ns, es usado para formar unplasma en un dispositivo capilar de 2,9 mm el menor diametro interior hecho de anillos dealumina y anillos de Titanio, enfocando un laser NdYag en una geometrıa de catodo hueco.

Fuertes haces de electrones son observados durante la fase de preionizacion. Especies deplasma son observadas usando espectroscopıa de rayos X. Son discutidas las implicancias dela inyeccion de plasma en el dispositivo capilar y vaporizacion de las paredes del dispositivo

capilar.

Introduccion

Las descargas capilares han sido el objeto de muchas investigaciones, principalmente porconsiderarse una fuente de rayos X blandos. Con esto se busca la construccion de un table topsoft X ray, o sea un pequeno Laser de rayos X. (Este tipo de laser existe en la actualidad, perosu tamano y costo lo hacen inalcanzable para cualquier uso practico).La implementacion de las descargas capilares, esta a cargo de GEPOPU (generador de potenciapulsada), a continuacion, un esquema de este y una descripcion de sus secciones mas relevantesa este trabajo y de las herramientas que lo acompanan:

Gepopu (Generador de potencia pulsada)

Basicamente es un juego de condensadores tipo Marx, una linea de transmision y unacamara de descarga.

MarxEn particular consta de 8 condensadores que se cargan a 35 kV en paralelo y se descargan

en serie, produciendo una diferencia de potencial de 250 kV que se descargan con un pulsosinusoidal de periodo ∼ 1µs. Para evitar la ruptura electrica de los condensadores de altovoltage, estos estan sumergidos en aceite de transformador

Canon de Plasma (lınea de transmicion)Se divide en 4 etapas como muestra la figura 9.1A. Las lıneas coaxiales son tal como las que

se ocupan en TV cable, un condensador coaxial con un material dielectrico entre sus capas. Eldielectrico usado es agua desionizada.Lıneas Coaxiales

Estas tienen propiedades interesantes; un retraso en la conduccion de electricidad asociadoa su geometrıa y una impedancia que nos habla de reflexion y transmision de una senal queviaje por esta lınea y se encuentre con otra geometrıa o lınea con impedancia propia. Estascualidades dan la forma de el pulso de corriente, junto con el rise time o dI

dt .

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Spark-GapsSon switchs basados en la fısica del plasma, un par de electrodos a una presion de 2,5 atm de

N2, uno al final del canon de plasma, el otro gatilla el Marx, o sea, descarga los condensadores;ambos producen un plasma por el cual se conduce la corriente.

Camara de descargaEsta camara es el final de el mencionado canon; se encuentra despues de el picking-gap

junto a la pre-ionizacion figura 9.1B . Aca es donde se produce la descarga capilar, o sea, elplasma con motivo de estudio. Tiene 8 ventanas simetricas, a las cuales se conectan bombas devacıo, diagnosticos, sensores de vacıo, entrada del laser Nd:Yag enfocado en el catodo hueco, ycualquier otra necesidad de un experimento en particular.

Catodo Hueco(Hollow-Cathod) dentro de la camara de descarga puesto antes del dispositivo capilar, es

el lugar fısico en el cual se enfoca el laser Nd:Yag y produce la preionizacion la cual guıa ladescarga dentro del dispositivo capilar, ya que es aquı donde se forma el inicio de la descargacapilar.

CapilarEs el dispositivo dentro del cual generamos la descarga capilar mediante el metodo de

Catodo Hueco. Consiste (para nuestro experimento en particular) en una serie de anillos dematerial aislante y anillos conductores; los materiales usados son alumina (ceramica aislantehecha a base de oxido de aluminio Al2O3) y Titanio (de alta pureza).

Experimento

Mostramos actividad de rayos X y haces de electrones (e-beams), iniciado por el laserNd:Yag, en un catodo hueco de titanio (figura 9.1C).

El proceso completo mostrado en el grafico es de el orden de ∼ 300ns, estos haces deelectrones son tıpicos en experimentos que usan el sistema de catodo hueco a estas bajaspresiones ∼ 10−4mbar. Este grafico corresponde a un disparo exitoso, con una buena senal derayos X y presencia de e-beams al comienzo de la corriente que alcanza un pick de ∼ 200kA,es interesante notar que la corriente en este caso tiene 2 etapas de subida, esto nos dice que enalgun momento la descarga fue inductiva (se opone a la variacion de corriente). Teniendo unabuena senal de rayos X como la mostrada, podemos hacer espectroscopıa de rayos X (figura9.1D).El primer espectro fue una descarga capilar hecha en un tubo de alumina, la segunda descargafue realizada en un tubo hecho de anillos de alumina y anillos de Titanio. Vemos que a pesarde ser disparos muy similares, los espectros son muy diferentes, de hecho, lıneas muy marcadasde O VI en el primer espectro se pierden completamente en el segundo, esto nos dice quelas condiciones del plasma cambiaron (Hablese de temperatura y densidad). En cuanto a laslimitaciones del instrumento de medida, la curvatura del grating del espectrometro permiteenfocar correctamente solo en una region de los espectros, es por esto que las lıneas mas alejadasse ven mas gruesas y pierden resolucion. Un analisis de las longitudes de onda muestra grancantidad de especies de Titanio (figura 9.2). Aca logramos apreciar el efecto de la preionizacionaplicada al Picking Gap, entre la 2a lınea de transmicion, y la camara de descarga (figura 9.1B),se aplica un voltage de -17 kV mediante una resistencia de TioSulfato de sodio, de ∼ 500Ω.

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Figura 9.1. A.-)Se cargan los condensadores Marx, luego se descargan por medio de la lınea detransmision hasta la camara de descarga en la cual se produce el plasma de interes B.-)El laserNd:Yag entra a la camara y es enfocado en el catodo hueco, creando un plasma en su interior,luego al llegar la corriente de la lınea de transmision, el plasma se va por el capilar hasta elanodo.C.-)Corriente medida con sensor Rogowsky, inserto en la geometrıa del anodo, e-beamsy rayos X, captados con una Faraday cup, pequeno cable coaxial en el eje del experimento aunos ∼ 20cm de la descarga y a la misma presion que esta ∼ 10−4mbar.D.-)El primer espectroes una descarga capilar hecha en un tubo de alumina (ceramica hecha de oxido de aluminioAl2O3). El 2o espectro es hecho en una configuracion de anillos de Titanio y anillos de Alumina[3].

Conclusiones

Hemos presentado evidencia de el metodo de catodo hueco en la formacion de descargascapilares, las cuales parten por la incidencia del laser Nd:Yag en el catodo hueco, y el efectode la preionizacion. Ademas es claro que la mayor parte de las especies en el plasma provienendel material extraıdo de las paredes del dispositivo capilar, lo cual deja trabajo a futuro enprobar disparos con diferentes dispositivos capilares, con diferentes configuraciones de anillosy si con esto logramos un mecanismo efectivo de transporte de plasma desde el catodo hueco,entonces la configuracion experimental presentada sera un posible candidato para la creacion

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BIBLIOGRAFIA

Figura 9.2. Parte de el espectro obtenido entre los 35 y 150 A, ambas imagenes muestrandiferencias cuando la preionizacion esta prendida (derecha) o apagada (izquierda)

de un laser de rayos X en un plasma metalico.

Bibliografıa

[1] E. Wyndham, R. Aliaga, H. Chuaqui, M. Favre, I. Mitchell, P. Choi.”X-Ray and PlasmaDynamics of an Intermediate Size Capillary Discharge”

[2] Renato A. Saavedra S. ”La configuracion X-pinch: Dinamica y Emision”[3] E. Wyndham, M. Favre, H. Chuaqui, R. Aliaga, I. Mitchell. ”Transient Hollow Cathode

Effects and Z pinch Formation in High Current Capillary Discharge with a metal plasma”

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CAPITULO 10. CARACTERIZACION DE UN JET DE PLASMA PRODUCIDO POR UNADESCARGA CAPILAR PULSADA.L.S. CABALLERO B.

Capıtulo 10

Caracterizacion de un Jet de Plasma Producido por una DescargaCapilar Pulsada.L.S. Caballero B.

Facultad de Fısica, Grupo de Optica y PlasmaPontifıcia Universidad Catolica de Chile

Resumen:

El trabajo a presentar, consiste en el estudio experimental de un jet de plasma producido poruna descarga capilar pulsada, asistida por el efecto catodo hueco; con la motivacion de

utilizar esta para aplicacion a ciencia de materiales, especıficamente en la implantacion deiones. Los diagnosticos implementados son opticos y electricos, interferometrıa y pruebas de

Langmuir respectivamente.

Motivacion del Proyecto

La motivacion del estudio en curso (el cual se enmarca en el proyecto FONDECYTNo1030970), es la implementacion de novedosos sistemas de la fısica de plasma aplicada aciencia de materiales, especificamente la implantacion de iones por inmersion en un plasma(PIII, Plasma Immersion Ion Implantation), utilizando 2 distintos experimentos, una descargaen radio frecuencia RF (en construccion) y una descarga capilar pulsada [1] en la cual he tra-bajado y discutire en esta presentacion.La idea basica es poner un substrato, al cual se le quiere modificar alguna caracterı stica(dureza, reflectividad, absorsion de radiacion etc), dentro de un ambiente de plasma, parahacer dicha modificacion. Lo queremos poner en este ambiente, ya que ası aprovecharemoslos procesos fısicos y quımicos que se producen aquı, los cuales, no se logran obtener bajocondiciones normales, (estados no ionizados) a bajas temperaturas.

Objetivos Especıficos

Los objetivos especı ficos en esta parte del proyecto, es la caracterizacion del jet de plasmaque sale expulsado de nuestra descarga capilar [2], determinando densidad electronica ne, tem-peratura electronica Te y velocidad de propagacion del jet vp. Para determinar estos parametrosse han implementados distintos diagnosticos tanto opticos como electricos. Dentro de los cualespodemos destacar interferometrı a y pruebas de Langmuir. Con la primera se obtiene ne y conla segunda vp. Combinando ambas se puede obtener Te.

Diagnosticos

InterferometrıaEl fenomeno de interferencia se explica bajo el principio de la comparacion de dos frentes

de onda que se propagan por caminos opticos diferentes y se hacen coincidir para ası pro-ducir un patron de interferencia. Ahora si nos ponemos en el caso, en que por uno de los doshaces, ponemos un medio no-homogeneo, como viene a ser el jet de plasma a estudiar, este

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CAPITULO 10. CARACTERIZACION DE UN JET DE PLASMA PRODUCIDO POR UNADESCARGA CAPILAR PULSADA.

L.S. CABALLERO B.

Figura 10.1. A.-) La figura muestra el borde del capilar con las lineas interferometricas sinplasma B.-) La figura muestra el borde del capilar con las lineas interferometricas perturbadaspor plasma C.-) La figura muestra dos curvas, una de la simulacion hecha en TOPSPICE y lasegunda de la senal obtenida experimentalmentade las pruebas de Langmuir

cambiara el camino optico, lo que trae como consecuencia que nuestro patron original de inter-ferencia sera perturbado. Esta perturbacion se vera reflejada por un corrimiento de nuestrasfranjas de interferencia, el cual mediremos.Existen distintas configuraciones para realizar interferometrıa; en este caso se utilizo el inter-ferometro de Michelson-Morley. La diferencia de camino optico entre ambos brazos del inter-ferometro en terminos del corrimiento de franjas ∆S en el patron de interferencia, se expresapor:

∆S =1λ

∫ z2

z1

(µ− µ0) dz (10.1)

Donde λ es la longitud de onda del haz de prueba, µo es el ındice de refraccion del gasdel gas de fondo, µ es el ındice de refraccion del medio no-homogeneo (el que buscamos), dzla diferencial de longitud, de la cuerda que subtiende al medio no-homogeneo que parte en z1termina en z2.Una vez obtenido µ, podremos obtener facilmente ne ya que ambos estan relacionados por:

ne =−2,22 ∗ 1015(µ− µ0)

λ2(10.2)

Las imagenes que observamos en las figuras, son ejemplos de como obtenemos los datos delpatron de interferencia y la perturbacion originada por el jet de plasma. Estas imagenes fueronobtenidas por una camara CCD.

Pruebas de LangmuirDentro de los muchos diagnosticos que se pueden realizar en fısica de plasma, uno de

los primeros y mas economicos son las conocidas sondas o pruebas de Langmuir, que debensu nombre al fısico estadounidense del mismo nombre. Estas consisten en poner un pequenoconductor dentro del plasma y ver la interaccion que se produce entre nuestro plasma y esteconductor. Dicha interaccion se vera reflejada en una corriente a traves de la prueba, la cualse observara en un osciloscopio, que en terminos generales en geometrıa cilındrica es:

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BIBLIOGRAFIA

Ie ∝ ne(kTe

2πme)

12 exp(

e(V − Vp)kTe

) (10.3)

Donde me es la masa del electron, V es el potencial al que se encuentra la prueba (ennuestro caso fue flotante), Vp es el potencial de plasma el resto de los parametros ya han sidomencionados anteriormente.En el presente trabajo, se presentaran los resultados obtenidos al poner una y dos pruebas enel eje de la descarga, en el mismo extremo del capilar que se hicieron los interferogramas; comotambien una comparacion de la simulacion del circuito equivalente a nuestra prueba realizadaen TOPSPICE, para un conductor inmerso en el plasma y las senales obtenidas en nuestroexperimento. Con dos pruebas obtenemos la vp, ya que sabemos que estas estan separadas por1 cm y podemos medir el desfase temporal en el osciloscopio.Como podemos apreciar de la ec. (2), esta corriente depende de ne y Te. Por lo tanto al combinarla densidad obtenida con el diagnostico anterior podemos estimar Te.

Bibliografıa

[1] Andre AndersBreakdown of the high-voltage sheath in metal plasmaimmertion ion implantationAppl. Phys. Lett. vol. 76, no. 1, 3 January 2000

[2] P. Choi and M. FavreFast pulsed hollow cathode capillary discharge deviceReview of Scientific Instruments vol 69, no. 9, September 1998

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CAPITULO 11. COLAPSO DE UNA BURBUJA DE FALSO VACIO.J. DIAZ

Capıtulo 11

Colapso de una Burbuja de Falso Vacıo.J. Diaz

Pontificia Universidad Catolica de Chile, Santiago, Chile.

Resumen:

La posibilidad de formacion de una pequena burbuja de falso vacıo debido a fluctuacionescuanticas y sus caracterısticas fundamentales son estudiadas cualitativamente. La geometrıa

fuera de ella tiene la forma de la metrica de Schwarzschild, mientras que la interna escalculada, obteniendose una metrica de de Sitter. Para estudiar el colapso de la burbujaproducido por las diferencias de presion entre las regiones de verdadero y falso vacıo, se

plantean y resuelven las ecuaciones de movimiento de la pared que separa ambas regiones.Analizando el potencial efectivo al que esta sometido el sistema, es posible verificar la

formacion de un agujero negro, que desaparecerıa por evaporacion cuantica.

Introduccion

El analisis cualitativo de la formacion y posterior colapso de una burbuja de falso vacıo enun agujero negro fue mostrado en un trabajo anterior [1]. El presente consiste en una correcciony extension del mismo, en la que se muestra un analisis mas detallado del colapso de la burbujaa traves de la forma del potencial efectivo, que fue realizado por Blau, Guendelman y Guth [2]al estudiar la posibilidad de que una porcion de falso vacıo evolucione para crear un universo.Dentro de las posibles soluciones que encontraron esta la descrita en [1], por lo que mostrarel desarrollo matematico que lleva a dicha solucion fortalece el analisis puramente cualitativorealizado anteriormente, el que se muestra nuevamente a continuacion.

Falso Vacıo

Cuando el Universo tenıa apenas 10−36 segundos, su tamano crecio exponencialmente. Estoexplica la homogeneidad del Universo temprano y la planitud que se observa en su geometrıa. Laexpansion exponencial se deberıa a la particular naturaleza del espacio en esa fase primitiva.Cuando las fuerzas nucleares y electromagnetica estaban unificadas, el espacio vacıo habrıatenido una gran cantidad de energıa latente, que tenıa la propiedad de producir una presionnegativa, lo que genera un campo gravitatorio repulsivo. Este estado inestable del Universotemprano se conoce como falso vacıo y conduce a un crecimiento exponencial del parametrode expansion. Puesto que el falso vacıo corresponde a un equilibrio inestable en la curva delpotencial, la expansion crece de esta manera durante un tiempo finito. El potencial dependetanto del campo φ como de la temperatura [3], como muestra la FIG. 1. Para altas tempera-turas la simetrıa puede ser restaurada, ya que dejan de existir direcciones privilegiadas para elmınimo de potencial, que corresponde al estado de falso vacıo.

Al disminuir la temperatura por debajo de una temperatura crıtica Tc, la simetrıa se rompey el falso vacıo decae en verdadero vacıo. Esta dependencia del potencial de la temperatura,permite una restauracion en la simetrıa una vez que esta se ha roto, al elevar la temperatura

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Figura 11.1. Forma del potencial para diferentes temperaturas. Para una temperatura T ≥Tc, puede restaurarse la simetrıa y recuperar el estado de falso vacıo.

sobre Tc, lo que significa que si en el Universo algun fenomeno fuese capaz de elevar la tem-peratura lo suficiente como para restaurar la simetrıa, serıa posible la formacion de falso vacıo.Este mecanismo permitirıa formar una burbuja de falso vacıo a partir de vacıo ordinario. Cuan-do la burbuja se forma, la pared que separa la region de falso vacıo del resto del espacio sienteque la presion externa comienza a comprimirla. Si se forma con cierta energıa cinetica, la paredcrecera hasta un valor maximo y luego comenzara a colapsar. La presion interna de la burbujade falso vacıo genera un campo gravitatorio repulsivo, pero que solo actua en su interior, porlo que un observador en la region de verdadero vacıo observa una esfera gravitante que colapsadebido a la diferencia entre la presion negativa interna y la presion nula en el exterior. Esteefecto produce que la burbuja disminuya de tamano hasta llegar a su radio de Schwarzschild,formando un agujero negro. Para verificar este comportamiento primero veremos la forma delespaciotiempo en ambas regiones y la evolucion de la pared que las separa.

Geometrıa del espaciotiempo en una Burbuja de Falso Vacıo

La ecuacion de Einstein que describe la distribucion de materia-energıa y la geometrıa delespaciotiempo producida por dicha distribucion esta dada por

Rµν −12

gµνR = 8πG Tµν (11.1)

donde Tµν es el tensor de energıa-momentum, que tiene diferentes valores, dependiendo de laregion que se considere:

Tµν =−ρ0gµν en la region de falso vacıo

0 en la region de verdadero vacıo (11.2)

La densidad de energıa del falso vacıo esta expresada por ρ0. Para obtener la forma de lametrica dentro de la burbuja de falso vacıo se resuelve la ecuacion de Einstein (11.1), con loque se obtiene

ds2− = −

(1− χ2 r2

)dt2 +

(1− χ2 r2

)−1

dr2 + r2 dΩ2 (11.3)

mientras que fuera de la burbuja se tiene la metrica de Schwarzschild

SESINEF 41


ds2+ = −

(1− 2GM

r

)dt2 +

(1− 2GM

r

)−1

dr2 + r2 dΩ2 (11.4)

Volveremos a las metricas (11.3) y (11.4) cuando se escriban las ecuaciones de movimiento dela pared de la burbuja.

Discontinuidad del tensor de curvatura extrınseca

Las regiones de verdadero vacıo y falso vacıo estan separadas por la pared de la burbuja.Ambas regiones seran identificadas como de Schwarzschild (+) y de de Sitter (−), respectiva-mente, donde las metricas de cada region vienen dadas por (11.4) y (11.3). Para conocer laevolucion de la burbuja se puede introducir el sistema de coordenadas Gaussianas normalesen la vecindad de la pared. Denotando por Σ a la hipersuperficie espaciotemporal (2+1)-dimensional, se introduciran las coordenadas para Σ. La curvatura extrınseca que correspondea una hipersuperficie η =const. es un tensor tridimensional que viene dado por

Kij = ∂j ξi − Γλij ξλ (11.5)

donde ξµ(x) es un vector unitario normal a la hipersuperficie apuntando en la direccionpositiva. Tomando una de las relaciones de Gauss-Codazzi [4] y escribiendo el tensor de ener-gıa-momentum con una singularidad del tipo δ en la pared de la burbuja de la forma

Tij = Sij(xi) δ(η) (11.6)

la ecuacion de Einstein queda como

K+ij −K−

ij = −4πGσδij (11.7)

donde Sij se relaciona con la densidad de energıa en la superficie de la burbuja en la formaSij = −σδij .

Las ecuaciones (11.7) y (11.5) nos permitiran escribir la ecuacion de la energıa del sistemae identificar el potencial efectivo, para conocer las soluciones posibles.

Solucion a las ecuaciones de movimiento

Puede escribirse la ecuacion de movimiento a partir de (11.5) y (11.7) de la forma [5]

2GM = χ2+r3 + 2κr2β+ (11.8)

haciendo un cambio de variables, esta ecuacion puede ser escrita como( dz

dτ ′

)2

+ V (z) = E (11.9)

Pueden identificarse el termino cinetico ((dz/dτ ′)2) y el potencial V (z) de la energıa totalE. La FIG. 2 muestra la forma de este potencial y tres posibles soluciones dependiendo de laenergıa inicial. La primera solucion (A) describe una burbuja que se forma con una energıamenor que el valor maximo del potencial y corresponde a la descrita cualitativamente antes, esdecir, si la pared de la burbuja posee cierta energıa cinetica al formarse, se expandira hasta unvalor maximo, para luego colapsar en un agujero negro. La segunda solucion (B) corresponde a

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Figura 11.2. Posibles soluciones para diferentes energıas. La solucion B no esta permitida,mientras que que la C es muy poco probable; la solucion A corresponde a la estudiada antesen forma cualitativa.

una burbuja que se formarıa con una energıa mayor que el maximo del potencial, y se expandeindefinidamente. Sin embargo, esta solucion no esta permitida, ya que serıa necesario que laburbuja se forme a partir de una singularidad inicial, de acuerdo al Teorema de Penrose [6]. Laultima solucion (C) corresponde a una forma de eludir el Teorema de Penrose, mediante efectotunel, es decir, la burbuja podrıa formarse de la misma forma que la mostrada en la solucion A,pero podrıa atravesar la barrera de potencial por efecto tunel y ası expandirse indefinidamente.Este es el mecanismo que usan Blau, Guendelman y Guth en [2] para mostrar la posibilidad decrear un universo, ya que la burbuja comienza deformando el espaciotiempo hasta dar origena un agujero de gusano que separarıa al universo original de la region de falso vacıo que seexpande indefinidamente; luego esta coneccion se rompe, aislando el universo original del nuevouniverso que comienza a experimentar su propio perıodo inflacionario.

Esta solucion es permitida, sin embargo la probabilidad de que se produzca es muy baja.El coeficiente de transmision a traves de la barrera de potencial es |T |2 = 10−1013

. Un posibleobservador de este fenomeno evento no podrıa interactuar con este nuevo universo, ya que en eluniverso original solo se observara un agujero negro que se conecta temporalmente con el nuevouniverso a traves del agujero de gusano. El agujero negro, unico remanente de la formacion deeste nuevo universo, desaparecerıa por evaporacion cuantica.

Conclusion

El analisis del potencial encontrado a partir de las ecuaciones de movimiento permite de-terminar la forma de las soluciones. Este metodo es utilizado para el analisis de diferentes tiposde colapsos. En este caso fue posible encontrar la solucion descrita en forma cualitativa, loque permite validar los resultados obtenidos sin mucha formalidad matematica. Se calculo ladiscontinuidad del tensor de curvatura extrınseca, que se debe a la densidad de energıa en lasuperficie de la pared de dominio, de manera similar a la discontinuidad del campo electricoen presencia de una superficie conductora con cierta densidad de carga. Esta discontinuidadse utilizo posteriormente para resolver las ecuaciones de movimiento de la pared de la burbujamediante el metodo del analisis del potencial efectivo. Con este metodo pudo mostrarse quela formacion de un agujero negro a partir del colapso una burbuja de falso vacıo, debido alas diferencias de presion, es una solucion permitida de las ecuaciones de movimiento. Dichoagujero negro desaparecerıa posteriormente por evaporacion cuantica.

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BIBLIOGRAFIA

Agradecimientos

Agradezco al profesor Maximo Banados por su apoyo, paciencia y guıa en todo este tiempo,que posibilito el desarrollo de esta investigacion. A los profesores Rafael Benguria y MartinChuaqui por sus aclaraciones matematicas y a Rodrigo Olea por sus explicaciones en el metodode tratar el colapso. Por supuesto tambien a Marıa Jose Cordero por proponer la idea original dela formacion de burbujas de falso vacıo y su colaboracion en el desarrollo de ese trabajo [1]. Porultimo a Roberto Lineros y a todos los alumnos del postgrado de la PUC que nos permitieronpresentar este y el anterior trabajo en el marco del PUC Graduate Students Seminar Program2003.

Bibliografıa

[1] M. J. Cordero, J. S. Dıaz, Burbujas de Falso Vacıo y Expansion Acelerada del Universo,Presentado en la LIV International Science and Engineering Fair, Cleveland OH (2003).

[2] S. K. Blau, E. I. Guendelman and A. H. Guth, Phys. Rev. D 35, 1747 (1987).[3] E. W. Kolb and M. S. Turner, The Early Universe, Addison-Wesley Publishing Company,

1990.[4] C. W. Misner, K. S. Thorne and J. A. Wheeler, Gravitation, (Freeman, San Francisco,

1973).

[5] Aquı se ha usado las transformaciones β± =(A± + r2

)1/2, A± = 1± χ2 r2.[6] R. Penrose, Gravitational Collapse and Space-Time Singularities, Phys. Rev. Lett. 14, 57

(1965).

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CAPITULO 12. SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE LAPLACE CON EL METODODE DIFERENCIAS FINITAS.PABLO NAVARRO

Capıtulo 12

Solucion Numerica de la Ecuacion de Laplace con el Metodo deDiferencias Finitas.Pablo Navarro

Estudiante de Licenciatura en Fısica, Pontificia Universidad Catolica de Chile

Resumen:

Programacion en MATLAB del metodo de diferencias finitas para resolver la Ecuacion deLaplace en 2-D para distribuciones arbitrarias de carga. El programa grafica las curvasequipotenciales y los vectores de campo electrico en cada punto de la discretizacion.

Introduccion

La Ecuacion de Laplace en 2-D

∆u(x, y) = 0 en Ω (12.1)u(x, y) = g(x, y) en ∂Ω (12.2)

Permite calcular el potencial electrico para una distribucion de potencial dada por la condi-cion de borde. Sin embargo, esta ecuacion solo se puede resolver analıticamente en casos sen-cillos.

Uno de los metodos para resolver numericamente esta ecuacion es el metodo de diferenciasfinitas.

Metodo de Diferencias Finitas

El metodo de diferencias finitas se basa en una discretizacion de la segunda derivada, obteni-da al hacer una aproximacion de Taylor de primer orden a la solucion de (12.1).

Si discretizamos el dominio, haciendo una cuadrıcula con lıneas separadas por una distancia∆ entre ellas, y escogemos ∆ = ∆x = ∆y, obtenemos una formula para el laplaciano

∇2u(x, y) ≈ u(x + ∆, y) + u(x−∆, y) + u(x, y + ∆) + u(x, y −∆)− 4u(x, y)∆2

Reemplazando en la ecuacion (12.1), obtenemos una relacion entre el valor de u(x, y) y losvalores de u en sus cuatro puntos vecinos.

u(x, y) ≈ u(x + ∆, y) + u(x−∆, y) + u(x, y + ∆) + u(x, y −∆)4

Dando valores iniciales cualquiera a u(x, y) en los puntos dentro del dominio, e iterandola relacion anterior hasta obtener convergencia (excepto en los electrodos), obtenemos unasolucion aroximada de u.

SESINEF 45

CAPITULO 12. SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE LAPLACE CON EL METODODE DIFERENCIAS FINITAS.

PABLO NAVARRO

Aplicacion

Supongamos por ejemplo, que disponemos de la siguiente configuracion de electrodos. Eldominio Ω en solo la zona blanca, el borde de los electrodos es a su vez, el borde del dominio∂Ω, donde utilizamos las condiciones de borde.

Figura 12.1. A.-) Distribucion de electrodos. B.-) Curvas equipotenciales y vectores de campoelectrico.

Luego de aplicar el metodo programado en MATLAB, se obtiene la solucion para u(x, y), elmaximo de la diferencia entre dos soluciones sucesivas fue menor que 10−5. Este es el criteriopara terminar las iteraciones (test de convergencia). Una vez obenida la solucion, es simpleobtener el campo electrico, recordando que E = −∇V . El gradiente se calcula con la funciongrad de MATLAB.

Conclusion

El metodo de diferencias finitas es util en situaciones en las cuales las soluciones no cambianmuy rapido, y se utiliza principalmente en la resolucion de ecuaciones diferenciales parcialeselıpticas, donde el borde ∂Ω no es demasiado irregular.A pesar del surgimiento de metodos mucho mas potentes como el metodo de elementos finitos,el metodo de diferencias finitas no ha perdido vigencia, gracias a su simplicidad y a su facilimplementacion.

SESINEF 46

CAPITULO 13. DISTRIBUCION ESTADISTICA EN TEXTOS LITERARIOS.C. TREJO, F. CUEVAS Y S. CURILEF

Capıtulo 13

Distribucion Estadıstica en Textos Literarios.C. Trejo, F. Cuevas y S. Curilef

Departamento de Fısica, Universidad Catolica del Norte.

Resumen:

En el contexto de la linguıstica cuantitativa, revisaremos la ley de Zipf y Zipf-Mandelbrot.Discutiremos su validez en nuestro lenguaje y entorno literario.

Introduccion

En 1932, George Zipf [1, 2], propuso una ley que describıa el comportamiento estadıstico dela distribucion de las palabras en un texto. El descubrio que existıa una relacion matematicaentre, la frecuencia de repeticion de cada palabra y el lugar que ocupa en el listado de las usadasen el texto, ordenadas por su frecuencia decreciente. Identificaba una palabra en particular yle asignaba un ındice s, luego contaba el numero de repeticiones asignado una funcion f(s),que es la frecuencia de repeticiones de dicha palabra,

La ley de Zipf, sostiene la siguiente relacion matematica:

f(s) = A/sα. (13.1)

donde A es una constante y α es un valor diferente de 1. A pesar del buen modelo que es laley de Zipf, se observan algunas desviaciones con respecto de los resultados reales en estudioestadıstico de textos. Por eso, Mandelbrot [3, 4] realizo un nuevo analisis, de la relacion obtenidapor Zipf, y logro un mejor ajuste con una nueva expresion. Esta modificacion es denominadaLey de Zifp-Mandelbrot y esta expresada por:

F (s) = A/(1 + Cs)α (13.2)

Donde C e un nuevo parametro de ajuste para la curva dada por la Eq.(13.2). Nuestro principalobjetivo es poder verificar la validez de la ley de Zipf y de Zipf-Mandelbrot en textos en espanoly en particular de la escritora nacional Marcela Paz.

Descripcion

Los libros Papelucho fueron escaneados y llevados a formato de texto y analizado a travesde un programa computacional, el cual conto las palabras y las ordeno segun la frecuenciaen que aparecen en el texto. A continuacion se muestra una tabla con algunas palabras y sufrecuencia.

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CAPITULO 13. DISTRIBUCION ESTADISTICA EN TEXTOS LITERARIOS.C. TREJO, F. CUEVAS Y S. CURILEF

y 5313que 4015la 3470de 3370a 2805... ...

Domi 202Ji 179... ...

Papelucho 82... ...

Frecuencia de clasificacionde palabras en los libros Pa-pelucho de Marcela Paz

Figura 1. Se muestra el ajuste logrado con la leyde Zipf f(s) (lınea punteada) y Zipf-MandelbrotF (s) (lınea solida).

Luego, usando el mismo metodo de Zipf y Zipf-Mandelbrot se ajustaron curvas que semuestran en el grafico de la figura 1 asignamos a cada palabra un ındice s, correspondiente ala ubicacion.

Luego en la figura (13.1) se muestra la desviacion que tanto f(s) como F (s) tienen conrespecto de los datos.

Figura 13.1. Se muestra en escala logarıtmica el ajuste logrado con la ley de Zipf f(s) (lıneapunteada) y Zipf-Mandelbrot F (s) (lınea solida) y como esta se devıan con respecto de losdatos reales.

comparando esta curva a la ley de Zipf y a la ley de Zipf-Mandelbrot, tenemos que exitenparametros que ajustan la referidas leyes a nuestros datos, y en primera aproximacion vemosque una de ellas se ajusta mejor que la otra.

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BIBLIOGRAFIA

Conclusion

De lo anterior, notamos la curva obtenida en el analisis de los libros Papelucho la curvade Zipf-Mandelbrot se ajusta mejor que la de Zipf. Lo que indica que esta ley es un buenaaproximacion para este caso particular. Sin embargo, conviene ampliar nuestro estudio en elsentido de buscar un mejor ajuste como el que se sugieren en trabajos recientes[5, 6] Tambien,queremos ampliar el estudio a mas autores nacionales e ir haciendo analisis estadıstico de losdatos con el objetivo de entender algunos aspectos relacionados con la linguıstica..

Bibliografıa

[1] G. K. Zipf, Human Behavior and Principle of least Effort, Addison-Wesley, MA (1949).[2] G. K. Zipf, The Psycho-Biology of Language, An Introduction to Dynamic Philology,

MIT press, Cambridge, MA (1965).[3] B. Mandelbrot, Information theory and psycholinguistics: A theory of words frequencies,

MIT press, Cambridge, MA (1966).[4] B. Mandelbrot, The fractal structure of nature, Freeman, NY, (1983).[5] M. Montemurro, D. Zanette, Adv. Com. Sys. 5 (2002) 1.[6] M. Montemurro, Physica A 300 (2001) 567.

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CAPITULO 14. PLANETAS EXTRASOLARES: PRESENTE Y FUTUROJOSE GALLARDO

Capıtulo 14

Planetas Extrasolares: Presente y FuturoJose Gallardo

Ecole Normale Superieure de Lyon

Resumen:

Planetas Extrasolares: presente y futuro. Aproximadamente durante los ultimos 10 anos, lasciencias planetarias han sido un campo de investigacion recurrente en la astronomıa, debido

principalmente a dos hitos remarcables: el descubrimiento del primer planeta extrasolar(anunciado en el ano 1995 por M. Mayor, Nature, 378, 355M) y del primer transito planetario(realizado en el ano 2000 por D. Charbonneau et al., ApJ, 529, L45). Recientes trabajos sobre

curvas de luz de transitos (Seager et al. 2000, ApJ, 288, 618), atmosferas (Barman et al.,2001, ApJ, 556, 885), formacion de sistemas planetarios (Alibert, Y. et al., 2004, A&A, 417,

L25A), estabilidades (Burrows et al., 2001, RvMP, 73, 719B), etc. comprueban el masivointeres de la comunidad cientıfica sobre esta area. Existen ademas varios proyectos

internacionales focalizados en la busqueda de sistemas planetarios (Optical GravitationalLensing Ex- periment OGLE, STellar Astrophysics and Research on Exoplanets STARE,

Elodie) en diferentes direcciones de nuestra galaxia, como tambien misiones futurasrelacionadas con la busqueda de vida extraterrestre (The Darwin Proyect, Terrestrial PlanetFinder TPF ). A la fecha, 122 son los planetas descubiertos, la mayora de ellos, orbitando

estrella de secuencia principal, similares a nuestro Sol y dentro de la vecindad solar. Dos delas caracterısticas mas representativas son: (i) distancia orbital ∼ 1 AU y (ii) alta metalicidadde la estrella principal. Figura 1: Distribucion en masa (izq.) y en distancia orbital (der) de

los planetas extrasolares.El objetivo de esta charla sera dar una vision global de la investigacion actual de planetas

extrasolares.

SESINEF 50

CAPITULO 15. VARIABILIDAD ESTELAR EN CUMULOS GLOBULARES ASOCIADOS ASAGITTARIUS DSPH.R. SALINAS

Capıtulo 15

Variabilidad estelar en cumulos globulares asociados a SagittariusdSph.R. Salinas

Pontificia Universidad Catolica de Chile, Santiago, Chile.

Resumen:

Se ha realizado un profundo survey de variabilidad en los cumulos globulares NGC 5634, Arp2, Terzan 8 y Palomar 12. Todos ellos han sido asociados a la galaxia esferoidal enana

Sagittarius. Resultados preliminares nos dan cuenta del descubrimiento de 13 nuevas estrellasvariables en NGC 5634, 8 en Arp y 2 en Terzan 8. Todas ellas del tipo RR Lyrae.

Introduccion

El proceso a traves del cual nuestra Galaxia fue formada ha sido uno de los problemas masdebatidos de la astronomıa moderna. Solo en ella somos capaces de realizar estudios detalladosque nos ayuden a comprender procesos de enriquecimiento quımico, cinematica y diferenciacionde edad de poblaciones estelares.

Dos modelos explicatorios han rivalizado durante anos; el primero (Eggen, Lynden-Bell& Sandage,1962) propone que la Galaxia se formo a partir del colapso rapido (∼ 200 Myr)de una fluctuacion de densidad primordial. El segundo modelo fue propuesto por Searle yZinn (1978, SZ). Ellos, estudiando cumulos globulares, establecen basicamente tres premisas:a) los cumulos no presentan una dispersion interna de metalicidad apreciable, b) no hay ungradiente de abundancia en la parte externa del halo y c) los cumulos externos presentanmas marcadamente el efecto de segundo parametro en sus ramas horizontales. A partir deellas, hipotetizan una formacion del halo Galactico debido a la acrecion caotica de pequenassub-estructuras a lo largo de varios Gyrs.

En este contexto el descubrimiento de la galaxia esferoidal enana Sagittarius (Ibata et al.1995) pareciera ser la encarnacion viva del modelo de SZ. Esta galaxia esta siendo efectivamentedespedazada y tragada por la nuestra.

Ante este escenario parecerıa que el modelo de SZ se impone facilmente, pero en los mismoscumulos globulares en los que SZ se basa es posible encontrar indicios de que la historia de laformacion Galactica esta lejos de ser resuelta.

La sospecha principal nace de la dicotomıa de Oosterhoff (Oosterhoff 1939) presente enlas estrellas RR Lyrae del halo Galactico. Si las galaxias enanas fueron las responsables de laformacion del halo Galactico, deberıan tambien, al menos, presentar el mismo fenomeno.

Pero esto no sucede. Las galaxias satelites a la nuestra presentan preferentemente RR Lyraescon perıodos ∼ 0,6 d, lo que las ubica en la clasificacion Oosterhoff intermedio. ¿Derrumbaesto al modelo de SZ? No necesariamente, pero es un topico que se esta investigando y que,esperemos, este en vıas de resolverse pronto (ver los nuevos datos aportados por Vivas y Zinn(2003) y esperar confirmacion de ellos (la esperada serie de trabajos por Vivas et al. para el2004)).

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CAPITULO 15. VARIABILIDAD ESTELAR EN CUMULOS GLOBULARES ASOCIADOS ASAGITTARIUS DSPH.

R. SALINAS

Figura 15.1. Diagrama color magnitud de NGC 5634 obtenido usando ALLFRAME. Notarla rama horiontal azul, tıpica de cumulos muy pobres en metales.

Es en este escenario donde este trabajo se produce. Creemos necesario hacer un estudiomas acabado de los cumulos globulares asociados a Sagittarius dSph que han sido poco estu-diados debido a su lejanıa. En esta ocasion presentare resultados preliminares de este trabajo,focalizandome en las estrellas variables descubiertas en estos cumulos.

Fotometrıa

Realizar fotometrıa en campos muy poblados ha sido uno de los problemas mas persistentesen la astronomıa observacional. En particular, poder detectar variaciones de brillo en las estrel-las en estos casos (por ejemplo, en el nucleo de un cumulo globular) es un problema realmentecomplejo y hasta hace algunos anos insoluble.

La nueva tecnica de sustraccion de imagenes disenada por C. Alard(1998, 2000) ha sido degran ayuda para la deteccion y fotometrıa de estrellas variables. El metodo consiste basicamenteen homologar el seeing de las imagenes. Para ello se toma una imagen de buena calidad y seconstruye un kernel con el cual esta imagen se convolucionara para transformarla a condicionessimilares que el resto de las imagenes. Teniendo las imagenes en un mismo seeing es posibleahora restarlas y encontrar las estrellas que experimentaron una variacion intrınseca.

La principal desventaja del metodo radica justamente en su fortaleza: al ser un metodorelativo, no se posee informacion de la variacion absoluta de las estrellas. Para ello es necesariousar otros softwares que nos permitan calibrar estos resultados. En este trabajo se privilegio eluso del paquete DAOPHOT II/ALLFRAME (Stetson 1994), por ser este de uso poco interactivo

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BIBLIOGRAFIA

(gran ventaja si se quiere analizar muchas imagenes) y por que ALLFRAME puede determinarla informacion posicional de las estrellas de manera excelente, lo que es invaluable al trabajarcon campos muy poblados.

Resultados y Conclusiones

Usando los softwares ISIS y DAOPHOT II/ALLFRAME hemos descubierto 13 nuevasvariables en NGC 5634, al parecer todas ellas del tipo RR Lyrae. Ademas se han re-descubiertolas 6 variables conocidas en este cumulo. En Arp 2 hemos descubierto 8 RR Lyrae, 7 del tipoab y una del tipo c. En Terzan 8 hemos descubierto 2 estrellas RR Lyrae. En Palomar 12 nohay estrellas RR Lyrae, algo de esperar por su roja rama horizontal, pero es posible que sehaya descubierto una binaria eclipsante.

Ademas hemos obtenido diagramas color-magnitud de gran calidad llegando a estrellas de3 mag bajo el TO (ver, como ejemplo, la figura 1).

Lamentablemente la calibracion de las curvas de luz generadas por ISIS es un tema que to-davıa se debate. Preliminarmente es posible decir, al construir un diagrama periodo-amplitud,que NGC 5634 serıa un cumulo del tipo Oosterhoff Intermedio y no Oosterhoff II como an-tiguamente se pensaba. Algo similar pasa con Arp 2, pero su escasa cantidad de RR Lyrae(solo 8) no permite ser conclusivo.

En este momento se continua trabajando en este tema. Los pasos a seguir incluyen calculode metalicidades, enrojecimiento y edades para los cumulos; y la construccion de diagramas deBailey para las RR Lyrae. Resultados que espero tener listos, al menos en parte, para presentaren este Simposio.

Agradecimientos

Agradezco en particular al profesor Marcio Catelan por haberme dado la oportunidad detrabajar con el. Agradezco tambien los sabios consejos de los Drs. Andrew Stephens y JuraBorissova.

Bibliografıa

[1] Alard, C. 1999, A&A, 34, 103[2] Alard, C. & Lupton, R.H. 1998, ApJ, 503, 325[3] Eggen, O. J., Lynden-Bell, D., Sandage, A. R. 1962, ApJ, 136, 748[4] Ibata, R., Gilmore, G., Irwin, M. 1995, MNRAS, 277, 781[5] Oosterhoff, P. T. 1939, The Observatory, 62, 104[6] Searle, L. & Zinn, R. 1978, ApJ, 225, 357[7] Stetson, P. B. 1994, PASP, 106, 250[8] Vivas, A. K. & Zinn, R. 2003, MmSAI, 74, 928

SESINEF 53

CAPITULO 16. SOLUCION DE ECUACIONES DE FLUIDOS EN 1D Y 2D USANDO ELEMENTOSFINITOS MOVILES

PABLO MUNOZ

Capıtulo 16

Solucion de ecuaciones de fluidos en 1D y 2D usando elementosfinitos movilesPablo Munoz

Facultad de Ciencias, departamento de Fısica, Universidad de Chile.

Resumen:

En general resolver las ecuciones asociadas a la dinamica de fluidos en forma analıtica escomplicado, puesto que estas son nolineales, ademas de poseer un alto grado de acoplamiento.Hoy la forma mas comun de atacar los problemas vinculados a ecuaciones nolineales, que en

general no tienen solucion analıtica, es mediante el calculo numerico. Gracias al grandesarrollo que ha tenido la computacion en los ultimos anos, el area de los metodos numericos

ha tenido a su vez un gran impulso. En el caso de la dinamica de fluidos, el desarrollo demetodos eficientes y que aseguren un buen grado de presicion toma gran importancia en

variadas areas, como son la aerodinamica, la metereologıa o la fısica espacial. Existen grancantidad de codigos basados en metodos estandar (diferencias finitas) que resuelven

ecuaciones de fluidos con presicion y eficiencia rasonables. Aun ası, exiten problemas para loscuales, dentro de los metodos tradicionales, no exiten soluciones satisfactorias. Uno de estos

es la posibilidad de tener bordes abiertos, que permitan la salida de materia si es queası ocurriese. Por otra parte, aunque cada dia exiten mejores computadores (mas memoria y

rapidez), el exito en un metodo pasa por su eficiencia, la que es independiente de lascaracterısticas del hardware. En este trabajo se mostrara el metodo de los elementos finitos

moviles, que esta disenado para el calculo de problemas hidrodinamicos que resuelve al menosuno de los problemas anteriores (bordes abiertos), y que parece tener ventajas comparativasen terminos de la eficiencia con otros esquemas. Ademas se resolveran problemas tıpicios en

una y dos dimensiones.

Elementos finitos moviles

FundamentosEl metodo de los elementos finitos moviles (MFE) esta basado en la posibilidad de poder

deformar la grilla espacial, esto pensando en que las ecuaciones de fluidos se pueden escribir enterminos de derivadas convectivas. La derivada convectiva de un campo representa el cambioen el tiempo de dicho campo en el sistema de referencia del fluido.

Consideremos la siguiente ecuacion:

∂A

∂t+ v · ∇A = F (x, t) (16.1)

El lado izquierdo de la ecuacion (16.1) es la derivada convectiva del campo A, mientras el ladoderecho es la taza de cambio del campo, pero sobre el sistema de referencia del fluido, lo quesignifica que si se considera al lado izquierdo como una derivada total del tiempo, y se conoce

SESINEF 54

CAPITULO 16. SOLUCION DE ECUACIONES DE FLUIDOS EN 1D Y 2D USANDO ELEMENTOSFINITOS MOVILESPABLO MUNOZ

el campo A y la velocidad v en un instante de tiempo t, numericamente se puede calcular elcampo en un instante t+∆t con algun metodo tıpico de integracion para condiciones iniciales,como Euler o Runge-Kutta, salvo que este valor se sabra sobre el sistema de referencia delfluido. Las caracterısticas se definen como:

drx

dλ= v((rx(λ), τ(λ)) (16.2)

dA

dλ= F (rx(λ), τ(λ)) (16.3)

dτ

dλ= 1 (16.4)

Luego, integrando de t a t + ∆t tenemos:

r(t + ∆t) = x +∫ t+∆t

t

v(r(λ), τ(λ)) dλ (16.5)

A(r(t + ∆t), t + ∆t) = A(x, t) +∫ t+∆t

t

F (r(λ), τ(λ)) dλ (16.6)

Como nos interesa saber el campo en x, solo basta hacer una interpolacion a partir de losvalores en r(t + ∆t) para conocer los valores en la grilla regular.Es claro que este metodo esta pensado para resolver ecuaciones escritas en terminos de derivadasconvectivas, en particular para problemas de fluidos.

Analisis de estabilidadPara construir la condicion de estabilidad de un metodo numerico se usa el criterio de von

Neumann [2], es decir, se asume una solucion del tipo:

Anj = Mn cos αxj

y se sustituye en el algoritmo de iteracion. La constante M ,llamada factor de magnificacion,debe satisfacer

|M | ≤ 1 ∀ α

Es claro que la condicion de estabilidad que se obtiene con este criterio depende de las ecuaciones usadas en cada caso particular.

En general, eso si, la condicion que se debe satisfacer siempre en EFM es:

∆t ≤ ∆x√N |v|max

donde N es la dimension del espacio. Esta condicion asegura que los puntos en la grilla no secrucen, evitando ası la propagacion de errores espureos.

Simulaciones en 1D

La ecuacion de BurgersLa ecuacion de Navier-Stokes en una dimension sin la presencia de un gradiente de presion

se conoce como la ecuacion de Burgers. Dicha ecuacion es:

∂v

∂t+ v

∂v

∂x= ν

∂2v

∂x2(16.7)

SESINEF 55

CAPITULO 16. SOLUCION DE ECUACIONES DE FLUIDOS EN 1D Y 2D USANDO ELEMENTOSFINITOS MOVILES

PABLO MUNOZ

La constante ν se conoce en fluidos como la viscosidad, y para efectos del caculo se uso ν = 0,2.La solucion analıtica de (16.7) [2] es:

v(x, t) =v1 + v2e

K(x−ct)

1 + eK(x−ct)(16.8)

donde v1 y v2 son las velocidades en −∞ y ∞ respectivamente. Ademas

K =12ν

(v1 − v2) y c =v1 + v2

2

En este caso se uso v1 = 10 en x = 0 y v2 = −10 en x = 1. El numero de puntos en la grillafue Nx = 100.

La Figura 16.1 muestra el resultado de la simulacion comparado con la solucion analiticade (16.7). Practicamente no hay diferencia entre ambas.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-10

-5

5

10

Figura 16.1. Solucion numerica de (16.7) vıa EFM (puntos) comparada con (16.8) (lınea)

Ondas de choque en MHDSi las ecuaciones de MHD se restringen a variaciones solo en una variable espacial x, pero se

permite la existencia de componentes en la direccion y para la velocidad y el campo magnetico,se obtienen las ecuaciones siguientes, en terminos de derivadas convectivas:

dρ

dt= −ρ

∂vx

∂x(16.9)

dvx

dt= −1

ρ

∂P

∂t−By

∂By

∂x(16.10)

dvy

dt=

1ρBx

∂By

∂x(16.11)

dBy

dt= Bx

∂vy

∂x−By

∂vx

∂x(16.12)

dP

dt= −γP

∂vx

∂x(16.13)

Se usaron las mismas condiciones iniciales que en [1], o sea:

ρ(x, 0) =

1 x ∈ [0, 0,5]0,125 x ∈ [0,5, 1]

SESINEF 56

CAPITULO 16. SOLUCION DE ECUACIONES DE FLUIDOS EN 1D Y 2D USANDO ELEMENTOSFINITOS MOVILESPABLO MUNOZ

vx(x, 0) = vy(x, 0) = 0

By(x, 0) =

1 x ∈ [0, 0,5]−1 x ∈ [0,5, 1]

P (x, 0) =

1,78125 x ∈ [0, 0,5]0,88125 x ∈ [0,5, 1]

Ademas γ = 2 y Bx = 0,75. Debido a los bruscos gradientes, es necesario agregar un terminodifusivo similar al de (16.7) a las ecuaciones (16.9)-(16.13), conocido como viscocidad numerica[?, PZ] En este caso νn = 0,003. Ademas, para el avance en al tiempo se utilizo el metodo deMacCormack [4] debido a que las ecuaciones de MHD son nolineales, y el metodo de Euler esinestable para este tipo de ecuaciones. La simulacion se corrio para t ∈ [0, 0,751], con Nx = 150.

La Figura 16.2 muestra la densidad y la componente x de la velocidad en t = 0,751.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

Figura 16.2. (a)Densidad. (b)Velocidad

Simulacion en 2D: obstaculo cilındrico en un flujo

Ecuaciones usadasLas ecuaciones que describen la dinamica de un fluido son:

∂ρ

∂t+ (v · ∇) ρ = −ρ∇ · v (16.14)

∂v∂t

+ (v · ∇)v = −∇P

ρ+ ν∇2v (16.15)

donde ρ es la densidad del fluido, v es la velocidad, P la presion y ν la viscosidad cinematica.Bajo un regimen adiabatico, la ecuacion para la presion es:

∂P

∂t+ (v · ∇) P = −γ∇ · v (16.16)

SESINEF 57

BIBLIOGRAFIA

Si el fluido es incompresible, de la ecuacion (16.14) se deduce que la divergencia de la velocidades 0, luego la ecuacion (16.16) se reduce a:

∂P

∂t+ (v · ∇) P = 0 (16.17)

Condiciones iniciales y de bordeLa ecuacion (16.15) es la ecuacion de Navier-Stokes, y sus condciones de borde son:

vborde = 0 (16.18)

Luego, se uso esta condicion en el borde del cilindro.La condicion de borde en el cilindro para la presion esta dada en [3], y esta representada

en la Figura 16.3a, donde se muestra la presion en funcion del angulo. Para la presion en losbordes externos se uso P∞ = −124,5

[Nm2

], que es el valor experimental de la presion en el flujo

constante.

1 2 3 4 5 6

-150

-100

-50

50

100

-0.2 0 0.2 0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Figura 16.3. (a) Valores de la presion en el borde del cilindro, en funcion del angulo.(b)Condicion inicial para la presion

La condicion inicial para la velocidad se observa en el primer cuadro de Fig. 16.4. Lasdimensiones de la grilla usada son Nx = 80 y Ny = 60, con xi = −0,3, xf = 0,5, yi =

−0,3 e yf = 0,3. La densidad del aire es ρaire = 1,205[

Kgm3

]y su viscosidad cinematica ν =

0,000015[

m2

s

].

En la Figura 16.4 se observa la evolucion de las lıneas de flujo en el tiempo, desde lacondicion inicial, dada por (??) y (??), hasta la aparicion de singularidades. La Figura 16.5muestra la evolucion de las lineas de flujo donde este choca con el cilindro.

Bibliografıa

[1] P. A. Zegeling and R. Keppens, Adaptative Method of Lines for Magneto-HydrodynamicPDE Models, a chapter in the book Adaptive Method of Lines, CRC Press (2001)

[2] J. David Logan, Applied Mathematics, A Contemporary Approach, John Wiley & Sons.(1987)

SESINEF 58

BIBLIOGRAFIA

-0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x

-0.2

-0.1

0.1

0.2

y t ® 0

-0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x

-0.2

-0.1

0.1

0.2

yt ® 0.00052425

-0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x

-0.2

-0.1

0.1

0.2

yt ® 0.00126496

-0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x

-0.2

-0.1

0.1

0.2

yt ® 0.00216703

-0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x

-0.2

-0.1

0.1

0.2

yt ® 0.00288263

-0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x

-0.2

-0.1

0.1

0.2

yt ® 0.00430451

Figura 16.4. Evolucion de las lineas de flujo

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12x

-0.1

-0.05

0.05

0.1

y t ® 0

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12x

-0.1

-0.05

0.05

0.1

y t ® 0.000150049

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12x

-0.1

-0.05

0.05

0.1

y t ® 0.000710867

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12x

-0.1

-0.05

0.05

0.1

y t ® 0.00144644

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12x

-0.1

-0.05

0.05

0.1

y t ® 0.00216703

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12x

-0.1

-0.05

0.05

0.1

y t ® 0.00288263

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12x

-0.1

-0.05

0.05

0.1

y t ® 0.00422497

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12x

-0.1

-0.05

0.05

0.1

y t ® 0.00473879

Figura 16.5. Lineas de flujo en la parte frontal del cilindro

[3] R. Ferrer, R. Troncoso and P. Munoz, Revisiting the cylinder in a subsonic wind tunnel,(preprint)

[4] C. A. Fletcher, Computational Techniques for Fluid Dynamics. Springer-Verlag, 2nd edi-tion (1997)

SESINEF 59

CAPITULO 17. FORMA NORMAL DE VAN DER WAALS PARA UN MODELOHIDRODINAMICO UNIDIMENSIONAL

CARLOS CARTES

Capıtulo 17

Forma normal de van der Waals para un modelo hidrodinamicounidimensionalCarlos Cartes

Facultad de Fısica, Departamento de FısicaPontificia Universidad Catolica de Chile

Resumen: Estudiamos la separacion de fases en un medio granular fluidizado. Utilizamos un

modelo hidrodinamico unidimensional que hace mımica un sistema granular fluidizado en dosdimensiones, con una pared vibrante y en ausencia de gravedad, el cual exhibe la separacionde fase. Deducimos la forma normal de van der Waals, cerca del punto crıtico, por medio de

la eliminacion adiabatica de la tempeatura. Esto nos permite entender el origen de laviscosidad efectiva y de la saturacion espacial en el origen de la bifurcacion. El modelo

hidrodinamico y la forma normal de van der Waals muestran un comportamiento similar a elobservado en las simulaciones de dinamica molecular.

SESINEF 60

CAPITULO 18. PROPIEDADES DE TRANSPORTE ELECTRICO EN LAMINAS DELGADAS DEAUSIMON OYARZUN, ADAN RAMIREZ, MARCO SUAREZ

Capıtulo 18

Propiedades de transporte electrico en laminas delgadas de AuSimon Oyarzun, Adan Ramırez, Marco Suarez

Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.

Resumen:

El crecimiento de la tecnologıa nos pone como uno de los nuevos topicos de interes, el estudiode las nanoestructuras. Nuestro grupo de trabajo se interesa en el comportamiento electrico

en laminas delgadas de oro. El trabajo consiste en la cuantificacion del cambio de laresistividad en laminas delgadas de Au al implantar iones de Xe en estas. Ademas se quierehacer mencion de las tecnicas experimentales utilizadas en este experimento. Se creo una

familia de tres laminas delgads oro de una pureza del 99,9999 % por medio de evaporacion enalto vacıo (10−6Torr).Estas son del orden de (40ηm) de espesor, los cuales fueron medidospor medio de dos metodos, R.B.S (Rutherford BackScatering Spectrometry) y a traves del

metodo optico de Tolansky. Las laminas se caracterizaron electricamente midiendo suresistividad en funcion de la temperatura (30[K]- 300[K]). Posterior a esto las laminas fueronimplantadas con iones de Xe, para posteriormente ser caracterizadas electricamente de igualforma que en un comienzo. El cambio obtenido en la resistividad despues de la implantacion

consistio en un aumento de un 57± 2 %, medido a temperatura ambiente.

SESINEF 61

CAPITULO 19. AERODINAMICA DE UN DISCO NODALROBERTO TRONCOSO Y RODRIGO FERRER

Capıtulo 19

Aerodinamica de un Disco NodalRoberto Troncoso y Rodrigo Ferrer

Facultad de Ciencias, Departamento de Fısica, Universidad de Chile.

Resumen:

Mediciones de la presion sobre las superficies lisas expuestas a flujos laminares es unproblema de permanente interes debido a sus multiples aplicaciones tecnologicas ya que

presenta interesantes desafıos para la comprobacion de modelos matematicos ycomputacionales, por ejemplo el CFD (Computation Fluid Dynamics). Basta mencionar elapoyo que pueden dar estas mediciones a la solucion de las ecuaciones de Navier-Stokes.

Nuestro problema consiste en efectuar mediciones de estas presiones (del tipo pascalianas) enuna superficie con simetrıa axial originada por las lıneas nodales de las soluciones de unaecuacion diferencial no lineal unidimensional que aparece en el perfil de la figura 1(a). El

experimento lo realizamos en el Tunel de Viento en la Facultad de Ciencias utilizando comoparametro la velocidad del flujo. El disco nodal, figura 1(b), esta provisto de pequenas

perforaciones, las cuales se conectan a un tubo Pitot, el cual a su vez se conecta a un medidordiferencial de presion (DPD). Esto permite la adquisicion de los datos con un programa de la

PicoTechnology Data Adquisition.

Superficie nodal, fig.1(a) y Disco nodal, fig.1(b)

Medicion y Resultados

El disco se fue rotando sistematicamente con su eje axial perpendicular a la direccion delflujo de aire y los puntos enumerados en la fig,1(b) son donde se realizaron las mediciones.Rotando el disco entre los angulo 0 y π se mide, presion v/s angulo para distintas series develocidades, asumiendo simetrıa para angulos mayores por el teorema de Kelvin(ref.L.M. Thom-son: Theoretical Hydrodynamics)(cite.), ya que se considera un flujo inicialmente irrotacional

SESINEF 62


antes de que entre en contacto con el disco. Si bien la suma de las circulaciones es cero luegode que el flujo atraviese el obstaculo, hay que notar el desface que se produce entre los vorticesque se crean, ver foto 1. En base a la relacion entre la presion del flujo libre y la velocidad deeste, obtenemos los resultados que se muestran en las figuras posteriores.Observando la figura 2 se aprecia la similitud entre las curvas sobre el disco nodal y sobre elcilindro (ver fig.3), y con los mınimos de la presion desplazados sobre el disco, al igual que enel cilindro (con respecto a θ = π/2). Caracteristicas relevantes para el desarrollo de nuestromodelo.El aumento de la estabilidad del flujo se ve en la forma suave en como varıa la presion cuandocrece la velocidad, ademas de la similitud que adquiere hacia la distribucion sobre un cilindroideal. Debido a la geometrıa del disco se aprecia en la figura 2 una rapida desaceleracion cuandoel flujo se desplaza del tercer al segundo agujero, generando fuertes gradientes de presion (unbrusco aumento de la presion), siendo esta mayor para las diferentes velocidades, en un ciertorango angular. En la figura 4 se ve como se distribuyen las presiones, espacialmente sobre eldisco nodal.En la figura 5 se grafican las curvas de presion v/s angulo corespondientes al agujero numero5 pero normalizadas, es decir se grafica la presion del flujo menos la presion del flujo libre,al igual que en el caso del cilindro (ver fig.3). Notando la respectiva convergencia de los fitsrealizados, aprox. en los 30 grados, algo similar se observa en la fig.3 pero desfazadas.La figura 6 representa la misma distribucion de presiones que la fig. 4 pero se realizo un pro-grama que asocia un color a un determinado intervalo de presion, en el cual se puede apreciarzonas de mezclas de colores que visualmente, esta representado por la generacion de un vortice.Esta serie esta hecha para una velocidad de v = 12,38m/s.

Resultados:

Presiones v/s angulo, figura 2. Presiones v/s angulo, cilindro, figura 3 y Distibucion espacialde presiones, figura 4.

SESINEF 63


Presiones v/s angulo, normalizadas, figura 5.

Modelo y Objetivos

Nuestro experimento puede ser analizado por un simple modelo de Hidrodinamica Clasica,basado en las funciones complejas holomorfas f(z), con z = x+iy (ref.Revisiting the cilinder ina wind tunnel). Escribiendo la funcion f(z) = Φ(x, y) + iΨ(x, y), donde Φ(x, y) es el potencialde velocidades y las lineas de flujo descritas sobre el plano complejo por Ψ(x, y) = cte. llamadafuncion de corriente, y el campo de velocidades obtenido de V = −∇Φ. En esta teorıa f(z) esllamado el potencial complejo.Por lo tanto para nuestro caso consideraremos un flujo uniforme dado por f(z) = vz, donde laslineas de flujo estaran dadas por Ψ(x, y) = vy = cte. y como el flujo es homogeneo y paraleloal eje de las x obtenemos v = −vx.Introduciendo un cilindro de radio a, perpendicular al plano complejo, por el teorema del circulo(ref. L.M. Thomson: Theoretical Hydrodinamics), obtenemos el nuevo potencial complejo queesta dado por:

f(z) = v(z +a2

z) (19.1)

Donde las lineas de flujo estan dadas por:

Ψ(x, y) = (r − a2

r) sin θ = b, (19.2)

Y donde b se interpreta como el parametro de impacto.Para la velocidad sobre el cilindro la obtenemos

q(a, θ) = 2v sin θ (19.3)

Y usando la ecuacion de Bernoulli obtenemos las presiones en funcion del angulo:

p = p∞ +12ρv2(1− 4 sin2 θ). (19.4)

con p∞ la presion en el infinito y en nuestro caso la presion del flujo libre. En contraste conel cilindro ideal descrito por el potencial (1) donde el punto de separacion no esta presente y el

SESINEF 64


mınimo de la presion es en θ = π2 los resultados experimentales, correspondientes al cilindro,

muestra un mınimo en los 60 grados aprox.. Esto sugiere una modificacion del potencial (1).Por lo tanto si no hay vortices presentes (en realidad basta con que se cumpla el Teorema dekelvin) consideraremos el potencial complejo modificado:

wn =z1−n0 v

n(zn +

a2n

zn) = Φn + iΨn, (19.5)

Notando que Φn satisface ∇2Φn = 0 y donde z0 es una constante real de modulo 1 yn llamado parametro de separacion, y los puntos de estancacion se encuentran en θ = 0 yθ = π/n. El caso n = 1 corresponde al cilindro ideal. Y del nuevo potencial obtenemos elpotencial velocidad y la funcion de corriente:

Φn =z1−n0 v

ncos(nθ)(rn +

a2n

rn) (19.6)

Ψn =z1−n0 v

nsin(nθ)(rn − a2n

rn) (19.7)

Luego la trayectoria la expresamos en coordenadas cilındricas:

rn(θ) =

nb

2z1−n0 v sin(nθ)

1 +

√1 +

4a2nz2(1−n)0 v2 sin2(nθ)

n2b2

1n

(19.8)

El caso b = 0 corresponde a la trayectoria sobre el cilindro. La ecuacion (8) es valida paraθ en el intervalo [0,π/n].

Por lo tanto volviendo al disco nodal podemos entender la distribucion de las presiones enla superficie de este haciendo un corte axial (aprovechando la simetrıa) y reducir el problemaal del cilindro. En cuyo caso basandonos en la fig.2 ajustamos los mınimos de las presiones enfuncion del parametro n. Haciendo n = 1,45, para la primera serie de velocidades, hacemoscoincidir los minimos logrando una separacion del flujo descrita en la figura 7.Sin embargo el flujo con el que estamos tratando lo suponemos inviscido ya que este sobre elcilindro posee velocidad, a pesar de que la viscosidad del aire es muy pequena pero lo suficientecomo para producir la separacion de la capa limite, la cual podemos modelar con una buenaaprox. con el n ya mencionado.

Una de las falencias de este modelo, ademas de suponerlo inviscido, es que no explica larazon de la convergencia de las diferentes curvas de presion en el agujero 5 (fig.5) ni el desface enla generacion de vortices (foto 1), a pesar de que es posible introducir otro potencial complejoque describa al par de vortices, pero sın una dependencia temporal que en este caso es necesaria.Por ende el objetivo a futuro corresponde a la solucion de las ecuaciones de Navier-Stokes, queson las que representan toda la dinamica al interior de un fluido y en particular cuando loenfrentamos a diversos obstaculos, imponiendo condiciones de frontera semejantes a la de untunel de viento.

SESINEF 65


Modelo para un flujo con n = 1y n = 1,45 figura 7

Formacion de vortices, cilindro. foto 1

SESINEF 66

CAPITULO 20. UN LASER PULSADO DE NITROGENO DE FACIL CONSTRUCCION PARAREALIZAR DIAGNOSTICOS OPTICO-REFRACTIVOS EN DESCARGAS TRANSIENTES DEMUY CORTA DURACIONARIEL TARIFENO

Capıtulo 20

Un laser pulsado de Nitrogeno de facil construccion para realizardiagnosticos optico-refractivos en descargas transientes de muy cortaduracionAriel Tarifeno

Universidad de Chile Facultad de Ciencias Departamento de Fı[email protected]

Resumen:

Plasmas densos transientes son usualmente generados a traves de descargas electricas tran-sientes en dispositivos del tipo pinch tales como Z-Pinch, θ-Pinch, Descargas capilares y PlasmaFocus los cuales operan a traves de un par de electrodos conectados a un arreglo de conden-sadores. Los pinches de plasma muestran escenarios con altas densidades de energıa, emisionde radiaciones y fenomenos de inestabilidad, los que permiten investigacion en campos teoricosy aplicados a costos relativamente bajos. Desde la perspectiva tecnologica, dispositivos quegeneran plasmas transientes han sido estudiados por su capacidad de ser fuentes pulsadas deradiacion (rayos X, UV ), electrones, haces de iones y neutrones(cuando se usa Deuterio comogas ionizado).

Un pinch es una columna de plasma transiente que conduce una corriente electrica, dichacolumna es confinada por el campo magnetico asociado a la corriente. Los pinches de plasmarequieren de voltajes pulsados altos (kV a MV ), altas corrientes (kA a MA), temperaturasdel orden de decenas de eV a keV y densidades del orden de 1023m−3 a 1026m−3. Los procesosque tienen lugar en este tipo de experimentos poseen periodos de duracion del orden de ns a µs.

Desde el pasado hasta la fecha, varios dispositivos han sido disenados y construidos para elestudio de plasmas densos transientes en distintos laboratorios del mundo (Rusia, Inglaterra,Alemania, USA y otros). Estos dispositivos permiten obtener plasmas de densidades del ordende 1012 J

m (por ejemplo, en una columna de plasma de 1cm de radio y 1cm de altura se tienenalgunos MJ de energıa), lo cual es usualmente logrado por medio de grandes instalaciones talescomo el Z-Machine en Sandia National Laboratory en USA.

En los ultimos anos, el grupo de plasmas Termonucleares de la Comision Chilena de Nu-clear(CCHEN) ha volcado su interes en el estudio de las descargas electricas transientes enpequenos dispositivos[1]. Los cuales tienen la ventaja de reproducir fenomenos similares a losobservados en grandes aparatos, pero a costos comparativamente mas bajos y con el interestecnologico de poder construir fuentes portatiles de radiacion y neutrones. Entre los disposi-tivos estudiados se pueden mencionar una descarga capilar rapida(0,1 − 1,0J ,dI

dt ≥ 1012A/s).Un Z-Pinch quasi-estatico en un generador de potencia pulsada(300kV , dI

dt ≥ 1012A/s , 1,5Ω,120ns), un plasma focus de muy baja energıa (∼ 100J o menos, 30 − 40kV , 160nF , 5nH)[1-4]. Actualmente el grupo de plasmas se encuentra investigando distintos experimentos en el

SESINEF 67

BIBLIOGRAFIA

generador de potencia pulsada conocido como SPEED 2, transferido en el ano 2001 desde launiversidad de Dusseldorf a la CCHEN. Por otro lado, recientemente se ha desarrollando yconstruido un nuevo e innovador tipo de descarga tipo pinch-focus (nano focus) en el lımitede muy bajas energıas(0,25J , 10kV , 10kA, 5nF , 5nH, 1Ω)[5]. Una de las caracterısticas masimportantes de este dispositivo es el corto tiempo de subida de la corriente(8ns), lo cual exigeque cualquier diagnostico que se realice sobre el, tenga una alta resolucion temporal(∼ 1ns).Motivado por el estudio de la dinamica del pinch en el nano focus se construyo y caracterizo unlaser pulsado de Nitrogeno atmosferico transversalmente excitado(TEA). En este tipo de laserel medio activo corresponde a un plasma generado por una descarga transiente ultra rapidade alto voltaje en una atmosfera de Nitrogeno en flujo estacionario entre un par de barrasparalelas que son los electrodos.

En este trabajo reportamos la construccion, caracterizacion y funcionamiento de un laserpulsado de Nitrogeno(TEA) de facil construccion y relativamente bajo costo, basado en el dis-positivo propuesto por Kwek [6], ası como tambien los diagnosticos optico-refractivos en loscuales se utilizara este dispositivo para el estudio de la dinamica del nano focus.

El laser construido opera a 14kV y emite en el UV cercano a una longitud de onda de337,1nm. Experimentalmente se determino que el ancho temporal del pulso es menor que1,8ns, la energıa total del pulso es 955 J y posee un retardo interno entre el pulso de triggerexterno y la emision del haz laser que alcanza los 1.8s aproximadamente.

Se espera obtener informacion acerca de la dinamica del nano focus a traves de tecnicastales como interferometrıa, Schlieren y Shadowgrafıa.

Bibliografıa

[1] L. Soto, A. Esaulov, J. Moreno, P. Silva, G. Silvester, M. Zambra, A. Nazarenko and A.Clausse. Physics of Plasma 8, 2572 (2001).

[2] L. Soto, A. Esaulov, J. Moreno, P. Silva, G. Sylvester, M. Zambra, L. Altamirano. BrazilianJournal of Physics 32, 139 (2001).

[3] P. Silva, J. Moreno, L. Soto, L. Birstein, R. E. Mayer, and W. Kies, App. Phys. Lett. 16,3269 (2003).

[4] P. Silva, L. Soto, W. Kies, and J. Moreno, Plasma Sources Sci. and Technol. 13, 329(2004).

[5] An ultra miniature pinch focus device, nanofocus, a ser presentado en ICPP 2004 (Niza,Francia, Octubre 2004)

[6] Design and Construction of a TEA Nitrogen Laser. M. Sci. Thesis. K. H. Kwek. PlasmaResearch Laboratory. Physics Departament. University of Malaya. 59100 Kuala Lumpur.Malaysia.

SESINEF 68

CAPITULO 21. DETECCION FOTOACUSTICA.P. COELHO

Capıtulo 21

Deteccion Fotoacustica.P. Coelho

Universidad de Concepcion

Resumen:

Para conocer propiedades de la naturaleza debemos interactuar con esta. En este proceso elhombre crea metodos de analisis cada vez mas eficaces e incorpora la mejor tecnologıa a su

disposicion; pero en el intento de agregar o mejorar tecnicas experimentales surgencomplicaciones, ya que llevar a la practica la teorıa no siempre resulta facil.

En fotoacustica ocupamos un conjunto de elementos que actuan para capturar la respuestafısica de una muestra, producida por estımulos controlados. En este proceso de captura de

datos se utiliza un microfono detector de ondas de presion. Este transductor no responde enforma homogenea, especificamente para bajas frecuencias (1Hz a 30Hz). Este trabajopresenta un metodo para conocer la respuesta del microfono para bajas frecuencias.

Teorıa

De acuerdo al modelo de difusion termica propuesto por Rosencwaig and Gersho [1], parauna muestra termicamente fina, la senal observada en el microfono depende de la frecuenciade modulacion 21.1.

S = k0f−1,5 [V ] (21.1)

donde S es la senal observada y k0 son constantes del modelo. La senal S esta afectada por larespuesta del microfono. Dicha senal de respuesta del microfono de electreto a baja frecuencia,puede ser modelada mediante la tecnica de celda fotoacustica abierta (OPC) [4]:

V (t) = V0iωRC

1 + iωRC

δP

γP0eiωt (21.2)

La forma funcional de la parte real de V (t) se muestra en el grafico 21.1.El obtener directamente cada valor de los parametros constantes de la ecuacion 21.2 puede

ser una tarea complicada. Luego, en este trabajo exploramos formas alternativas para efectuaruna calibracion de la respuesta del microfono.

En particular, el microfono que necesitamos calibrar es el radioshack modelo 270−92 (Tabla1, Fig. 2).

SESINEF 69


Figura 21.1. Senal de Respuesta de Frecuencia para un microfono, segun modelo OPC

Datos tecnicos del microfono:

Supply 1.5 a 10 VcdCurrent 0.5 mA (Max)

Sensitivity -65 ± 4 dBRef 0 dB 1V/µbar

La fig.2 muestra que entre 20 y 2200 Hz la respuesta en la sensibilidad sera plana, pero abajas frecuencias no tenemos informacion especıfica.

El microfono de electreto tambien puede modelarse como un condensador de placas paralelasy ademas, de la teorıa de transduccion [3] se obtiene :

V =1

iωC0I +

V0

iωX0u (21.3)

siendo C0, ω,X0, I, u, V0, V la capacitancia, la frecuencia de la onda de presion, la reactanciamecanica, la corriente, la velocidad de las placas, el voltage inicial y la diferencia de potencialde salida respectivamente. Se define la sensibilidad de un microfono como :

M = (V/P )I=0 (21.4)

en donde V es la diferencia de potencial de salida del microfono y P es la presion incidente dela onda. Ademas el nivel de sensibilidad es :

ML = 20log(M/Mref ) (21.5)

en donde Mref es el nivel de referencia. Ahora supongamos que la presion acustica desplazael diafragma analogamente a las vibraciones de una membrana circular (a es el radio delmicrofono), tomando el promedio tenemos:

< ∆x >=eiωt

∫ a

0P

k2T (J0(kr)/J0(ka)− 1)2πrdr

πa2(21.6)

SESINEF 70


< ∆x >≈ Pa2

8T(1 +

(ka)2

6)eiωt (21.7)

a bajas fecuencias, de tal manera que ka < 1, esto es que la frecuencia de exitacion seapequena, obtenemos

< ∆x >=iωPa2eiωt

8T(21.8)

Ahora de la ecuaciones (2) y (3) se obtiene

M0 ≈V0a

2

X08T(21.9)

Esta ecuacion dice que la sensibilidad del microfono es independiente de la frecuencia. Loque concuerda con los datos tecnicos enteregados por el fabricante. Ademas, podemos conocerla frecuencia maxima donde se cumple esta hipotesis. (T es la tension superficial y ρ la densidadde la membrana)

f <1

2πa

√T

ρ(21.10)

y esta ecuacion nos dice por que la sesibilidad del microfono sera plana hasta esta frecuenciamaxima.

Podemos efectuar una calibracion relativa de un microfono, simplemente por comparaciondirecta con un microfono de sensibilidad conocida [3]. Si tenemos un transductor que produceun campo sonoro en un medio anecoico. Un receptor A de sensibilidad conocida M0A se colocaraen dicho campo sonoro y se obtendra un voltaje de salida VA en funcion de la frecuencia. Luegoel receptor A se mueve y el receptor X de sensibilidad desconocida M0x se coloca exactamenteen la misma posicion obteniendo Vx de salida, para las mismas frecuencias del paso anterior.Ası para cada frecuencia la sensibilidad del receptor estara dada por

M0x = M0AVx

VA(21.11)

para ocupar esta tecnica es necesario tener un microfono calibrado en funcionamiento.

Calibracion Ocupando una Muestra PatronPara efectuar la calibracion del microfono utilizamos una muestra de aluminio delgada (20

µm) y la sometimos a un analisis fotoacustico [2], la muestra respondio de acuerdo a la teorıade RG [1] para un regimen termodifusivo indicando que era una muestra opaca y termicamentefina. Entonces si S es la senal real y S0 la senal obtenida, ellas se relacionan como

S0 = χS (21.12)

en donde χ es la respuesta del microfono. Ahora de acuerdo a la ecuacion (1) la respuesta delmicrofono sera

χ = k−10 S0f

1,5 (21.13)

con f en el rango termicamente fino.

SESINEF 71

BIBLIOGRAFIA

Senal Fotoacustica Respuesta del Microfonode una muestra de aluminio en regimen de la muestra de aluminio

termicamente fino con la tecnica OPC

Conclusion

Luego de revisar la teorıa y encontrar un metodo para la calibracion se obtiene la respuetadel microfono en forma experimental. Con esta informacion se puede ajustar el programa decaptura de datos, ası estarıamos seguros que la informacion obtenida es solo una respuestafısica de la muestra a los estımulos de la luz.

Bibliografıa

[1] Theory of the Photoacoustic Effect with Solids Allan Rosencwaig and Allen Gersho, Jour-nal of Applied Physics, Vol 47, No 1, 1976

[2] Photoacoustic Measurement of the Thermal Diffusivityof Pb1−xSnx Te alloysS.O.Ferreira, C.Ying An, I.N.Bandeira, and L.C.Miranda, Physical Review B, Vol 39,No 11, 1989

[3] Fundamentos de Acustica Lawrence Kinsler, Editorial Limusa, 1995[4] Open photoacustics cell spectroscopy M.V. Marquezini, N Cella, A.M Mansanares. H.

Vargas, L.C.M. Miranda, 1990

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CAPITULO 22. ESTUDIO DE PELICULAS DELGADAS DE ALCANOS CON METODOSDINAMICOS DE AFM.EDGARDO CISTERNAS JARA

Capıtulo 22

Estudio de Pelıculas Delgadas de Alcanos con Metodos Dinamicos deAFM.Edgardo Cisternas Jara

Facultad de Fısica Pontificia Universidad Catolica de Chile

Resumen:

En este trabajo presentamos una breve explicacion de los fundamentos fısicos de AFM asicomo una exposicion de la configuracion necesaria para hacer AFM en un modo que mideparametros dinamicos llamado AFM de contacto intermitente (Tapping Mode) usando

un microscopio AFM construido en la Facultad de Fısica PUC.Presentamos resultados obtenidos al aplicar este metodo en pelıculas de alcanos de grosormolecular, los cuales presentan un gran interes tecnologico al usarse como lubricantes. Seobtuvo informacion topografica y se contrasto con resultados obtenidos anteriormente en

elipsometrıa.

AFM

El principio basico en AFM es la deteccion de interacciones de corto alcance entre la su-perficie de una muestra y una sonda. En general, la magnitud de la interaccion involucradadepende de la distancia, con lo que se puede establecer una directa relacion entre magnitudobtenida y separacion punta-muestra.El esquema basico de todo microscopio AFM es como se muestra en la figura 22.1. La punta(cantilever) se posiciona sobre la muestra mediante un mecanismo fino de acercamiento. Lamuestra se mueve bajo la punta (barrido XY) mientras se detecta la magnitud de la fuerza deinteraccion y con esta informacion el retroalimentador regula la posicion Z de la muestra (o lapunta) para mantener la interaccion constante durante el barrido. Estos datos se entregan aun computador que los interpreta y reconstruye la superficie.

Figura 22.1. Esquema de un microscopio AFM

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CAPITULO 22. ESTUDIO DE PELICULAS DELGADAS DE ALCANOS CON METODOSDINAMICOS DE AFM.

EDGARDO CISTERNAS JARA

Figura 22.2. Muestra C32. a) topografıa; b) canal de fase (zona negra abajo canal desconecta-do; c) zoom de la imagen a) donde se ve claramente la misma topografıa; d) cortes transversalesde la imagen a), las lıneas oblicuas indican lıneas de altura constante.

En el modo de contacto intermitente(tapping) se hace vibrar el cantilever a una frecuenciamuy cercana a su frecuencia de resonancia; al acercar el cantilever a la muestra la amplitud deoscilacion disminuye debido a que cambia la constante de elasticidad efectiva keff del sistema.La frecuencia de resonancia es proporcional a (keff )1/2, por lo que la curva de resonanciacambia (se corre) al variar la distancia entre la punta y la muestra, si es que hay un cambiodel gradiente de fuerza. En la practica, si se mantiene una frecuencia de estımulo fija, estecorrimiento de la curva de resonancia se ve reflejado en el cambio de la amplitud medida de laoscilacion.

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CAPITULO 22. ESTUDIO DE PELICULAS DELGADAS DE ALCANOS CON METODOSDINAMICOS DE AFM.EDGARDO CISTERNAS JARA

Pelıculas Delagadas de Alcanos

Los alcanos son hidrocarburos (moleculas de carbono e hidrogeno) saturados (enlaces sim-ples). Su formula molecular es CnH2n+2. Estas moleculas poseen baja polaridad, por lo queson muy poco solubles en agua. Ademas su punto de fusion aumenta al aumentar el numerode carbonos en la molecula. Tambien se ha descubierto que, en el caso de las pelıculas, lasmoleculas que estan en una interface con otro material elevan su punto de fusion con respectoa las demas moleculas. Este fenomeno es llamado surface freezing.Las moleculas de cadena larga son comunmente usadas en la industria como lubricantes. Enparticular alcanos muy largos o polımeros son usados ampliamente. Las propiedades de estaspelıculas dependen fuertemente de la ordenacion de las moleculas. Por esta razon es de graninteres el contar con modelos fısicos que puedan predecir el comportamiento de estas pelıculasbajo ciertas condiciones.En simulaciones y en experimentos se utilizan alcanos de largo intermedio (n ≤ 40) para mod-elar estas propiedades.Las tecnicas mas comunmente empleadas sobre estas pelıculas han sido la elipsometrıa, difrac-cion de rayos X, microscopıa electronica y microscopıa optica. Todas estas tecnicas obtieneninformacion promediada sobre toda el area de interaccion con la muestra, con una resolucionno mayor a la mitad de la longitud de onda asociada a la radiacion empleada.Los resultados anteriores en elipsometrıa sugieren que los alcanos se ordenan en varias capassobre el sustrato y en la superficie se encontrarıan partıculas mas gruesas del mismo material(bulk particles). Hay resultados que sugieren que en todas las capas las moleculas estan per-pendiculares a la superficie y otros que sugieren que las capas inferiores estan paralelas a lasuperficie y sobre estas se ordenarıan las capas perpendiculares.La importancia de aplicar microscopıa de fuerza atomica radica en que se obtiene informaciontopografica de la muestra con una resolucion de hasta decimas de Aen la direccion z y dealgunos Alateralmente. En este sentido la microscopıa AFM presenta la ventaja de ser muylocalizada y, cuando se aplica exitosamente, no danar ni modificar la muestra.

El Experimento

En nuestros experimentos usamos moleculas de dotriacontano (C32H66) diluidas en heptano(C7H16), sobre un sustrato de silicio con una capa superficial de oxido de silicio. Las muestraspueden tener un espesor inicial de entre 90 y 110 A, dependiendo de la concentracion en lasolucion original. El espesor de cada muestra se determina por elipsometrıa.Las imagenes de la figura 22.2 nos muestran los resultados obtenidos sobre una muestra dedotriacontano(al que llamaremos C32). Podemos ver una estructura de capas en la que se dis-tinguen claramente 3 niveles en la topografıa, con bordes bastante irregulares, pero solo doszonas en el canal de fase. Podemos distinguir tambien algunas islas de material. Vemos ademasque la topografıa es reproducible, pues al hacer zoom sobre la muestra podemos distinguirclaramente la region correspondiente. Este resultado nos disipa toda duda de dano sobre lamuestra y nos da confianza en nuestro metodo de tapping. El corte transversal en la imagen22.2 (d) nos permite estimar la diferencia en las alturas de los niveles, siendo del orden de 5nm, lo que esta dentro del rango del tamano de una molecula de C32.

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BIBLIOGRAFIA

Conclusiones

Los datos en microscopıa AFM referente a pelıculas de alcanos son escasos por lo que nue-stros resultados pueden ser de gran interes en esta area. Hemos obtenido informacion de latopografıa de manera reproducible y ademas hemos visto que nuestros resultados coincidencon los estudios de elipsometrıa en cuanto al grosor de las capas superiores de alcanos y encuanto a la existencia de partıculas en la superficie.La informacion del canal de fase nos dice que hay una interface en la que las propiedades elasti-cas de la superficie cambian. Una opcion es pensar que estamos en una region de la muestraque no fue cubierta totalmente por los alcanos y por ende estamos viendo un parte del sustratode silicio y sobre este un par de capas de C32. Como el silicio es mas duro vemos un cambio enla senal de fase. Otra opcion es interpretar esta informacion considerando 2 capas perpendicu-lares y debajo una (o mas) capas paralelas. Al estar las moleculas ordenadas de distinta formaobtenemos una constante elastica distinta, que se refleja en el cambio en el canal de fase.

Bibliografıa

[1] D. Sarid, Scanning Force Microscopy, Oxford University Press (1994).[2] R. Hermans, Diseno, Desarrollo y Construccion de un Microscopio de Fuerza Atomica

Versatil. Tesis PUC. (2001).[3] G. Binnig, C.F. Quate, Ch. Gerber, Phys. Rev. Lett. 56, 930 (1986).[4] C. Merkl, T. Pfohl, H. Riegler, Phys. Rev. Lett. 79, 4625 (1997).[5] U.G. Volkmann, M. Pino, L.A. Altamirano, H. Taub, F. Y. Hansen, J. Chem. Phys. 116,

2107 (2002).[6] A. Holzwarth, S. Leporatti, H. Riegler, Europhys. Lett., 52, 653 (2000).[7] F. Giessibl, Appl. Phys. Lett. 73, 3956 (1998).[8] F. Giessibl, Appl. Phys. Lett. 76, 1470 (2000).

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CAPITULO 23. ROL DE LAS COORDENADAS NO-CONMUTATIVAS EN EL PROBLEMA DELANDAURAMON BECAR

Capıtulo 23

Rol de las Coordenadas No-Conmutativas en el Problema de LandauRamon Becar

Instituto de Fısica, Pontificia Universidad Catolica de Valparaiso.

Resumen:

En el presente trabajo revisamos la cuantizacion del problema de Landau y mostramos comola no conmutatividad de la coordenadas espaciales aparece de forma natural en problemas

con un campo magnetico constante perpendicular al plano donde viven las partıculas.

Introduccion

Mecanica cuantica ha demostrado ser una de las teorıas mas completas de la fısica actual,con una amplia validez experimental y con un variado rango de aplicacion. El esquema decuantizacion mas utilizado es el llamado formalismo de la cuantizacion canonica, el cual se basaen la formulacion Hamiltoniana de la teorıa clasica (Hamiltoniano, Corchete de Poisson, etc...)mas el principio de correspondencia de Born se eleva al estatus de conmutador el corchete dePoisson. Estos nos lleva a introducir una preescrpcion de los operadores de interes en mecanicacuantica i.e p y q que respete el algebra de los corchetes de Poisson. Uno de los ejemplos maselegante y simple de aplicacion del formalismo canonico es el llamado problema de Landau, elcual fue propuesto por el gran fısico ruso Lev Landau en el ano [1]. Actualmente desde fısicade la materia condensada se ha encontrada una variada gama de aplicacion de este problemaa fısica del mundo real, por otro lado desde un punto de vista formal se ha encontrado elproblema de Landau es de interes en el contexto de geometrıa no-conmutativa.

En los ultimos anos el interes por geometrııa no-conmutativa en fısica ha crecido variosordenes de magnitud devido a su relevancia original en teorıa de cuerdas [2], donde la no-conmutatividad espacial aparece de forma natural teniendose un conmutador no nulo entre lascoordenadas dado por [

xi, xj]

= iΘij , (23.1)

donde Θij es un tensor antisimetrico constante. Esta inusual relacion de conmutacion entrelas coordenadas lleva encontrar relaciones de incerteza entre las coordenadas espaciales, dandocomo resultado un reticulado del espacio en si.

En el presente trabajo revisaremos la cuantizacion del problema de Landau y mostraremoscomo la no conmutatividad de la coordenadas espaciales aparece de forma natural en problemascon un campo magnetico constante perpendicular al plano donde viven las partıculas.

Cuantizacion del Problema de Landau

El movimiento de una partıcula cargada en presencia de un campo magnetico perpendicularal plano del movimiento es un viejo problema de la mecanica cuantica que se conoce con elnombre de problema de Landau [1]. Cabe notar que este problema tiene un variado espectro deaplicacion como por ejemplo problemas de astrofısica, efecto Hall cuantico [3]. El Lagrangianoque describe este sistema viene dado por

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CAPITULO 23. ROL DE LAS COORDENADAS NO-CONMUTATIVAS EN EL PROBLEMA DELANDAU

RAMON BECAR

L =12m

.r2 +

e

c

.r ·A(r), (23.2)

donde e y c corresponden a la carga del electron y la velocidad de la luz respectivamente. ElHamiltoniano asociado resulta ser del tipo

H =1

2m(p− e

cA)2, (23.3)

ademas si escogemos un potencial vectorial tal que el campo magnetico sea constante

A =B0

2(x1e2 − x2e1), (23.4)

el Hamiltoniano se escribe ahora como

H =1

2m(p2

1 + p22 + p2

3) +12mw2(x2

1 + x22)− wL3, (23.5)

donde w = eB02mc , y L3 = x1p2 − x2p1 es el momentum angular en el plano x1x2. Tal que el

sistema se ve como un oscilador armonico bidimensional con un potencial generalizado adicionaldado por −wL3(x1, x2, p1, p2), usando operadores de creacion y aniquilacion se pueden obtenerlos llamados niveles de Landau.

La cuantizacion de este problema se realizara a traves del formalismo canonico,introduciendolas siguientes reglas de conmutacion

[xj,xk] = [pj,pk] = 0, (23.6)

[xj , pk] = i~δjk. (23.7)

Estudiando las cantidades conservadas que presenta este problema encontramos que

[l3,H] = [p3,H] = 0, (23.8)

por lo tanto las cantidades l3 y p3 son conservadas. Las otras componentes del momento[pj ,H] 6= 0 (j = 1, 2.), esto ultimo implica aparentemente un rompimiento de la invarianzatraslacional a pesar que el campo magnetico es uniforme en todo el espacio y por ende elmomento se deberıa conservar, esta aparente contradiccion no sera abordada en este traba-jo,detalles de este problema se puede ver [4].

Para encontrar los auto-estados del Hamiltoniano introducimos los operadores de subida ybajada, dados por

xk =

√~

2mw

(ak − a+

k

), pk = −i

√~mw

2(ak − a+

k

), (23.9)

ademas definiendoa± =

1√2

(a1 ∓ ia2) , (23.10)

y sus relaciones de conmutacion:

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CAPITULO 23. ROL DE LAS COORDENADAS NO-CONMUTATIVAS EN EL PROBLEMA DELANDAURAMON BECAR

[aj , a

+k

]= δjk, [aj , ak] = [a±, a±] = [a∓, a±] = 0,

[a±, a+

±]

= 1, (23.11)

sustituyendo estos operadores en L3 y el Hamiltoniano entregado en (5)(23.5), obtenemos

L = ~(a++a+ − a+

−a−), (23.12)

H = ~wl

(a+−a− +

12

), (23.13)

definiendo un operador tipo numero N± = a+±a± . Tal que

N± | n+,n−〉 = n± | n+,n−〉. (23.14)

Los autoestados del Hamiltoniano se encuentran rotulados por los numeros cuanticos n+yn− (para el oscilador+ y −) respectivamente. Luego cada uno de los niveles de Landau esta in-finitamente degenerado en n+. Esto se debe a que los autoestados del Hamiltoniano (| n+, n−〉)y los autovalores del Hamiltoniano (Niveles de Landau) tienen dependencia en el numero cuanti-co discreto n−, esto da la posibilidad de ocupar el formalismo de estados coherentes para crearinfinitos estados en el oscilador (+) para un mismo nivel de Landau( Ej:| 0, n+〉)

Problema de Landau y no Conmutatividad

Recordemos que el problema de Landau surge del siguiente Hamiltoniano

H =1

2m

(p− e

cA

)2

, (23.15)

en este problema se puede ver la existencia de dos momenta dados por el momento canonicop, el cual no es una cantidad invariante de gauge, por tanto no es un observable fısico. Porotro lado, el momento mecanico π = m

.r= p − e

cA es una cantidad invariante de gaugecorrespondiendo a un observable fısico.

Si calculamos el conmutador de los momenta mecanico

[πi, πj

]= −i

eB0

cεij , (23.16)

aparece una no conmutatividad en el momento mecanico, es decir el espacio de fase de estesistema es manifiestamente no conmutativo. Es de esperar que para sistemas de partıculascargadas en presencia de un campo magnetico perpendicular al plano del movimiento, presentenun espacio de fase naturalmente no conmutativo. Sin embargo, se encuentra que el espacio esconmutativo, esto es [

ri, rj]

= 0. (23.17)

Si consideramos ademas un termino de campo electrico en (23.2), obtenemos el Hamiltoni-ano

H =1

2m(p− e

cA)2 + V (r),

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CAPITULO 23. ROL DE LAS COORDENADAS NO-CONMUTATIVAS EN EL PROBLEMA DELANDAU

RAMON BECAR

en el lımite de campo magnetico fuerte o equivalentemente el lımite de masa pequena, estesistema se proyecta al nivel de Landau mas bajo, que es justo la conexion con el efecto Hallcuantico y tambien con la geometrıa no conmutativa[5, 7, 8]

En este lımite y considerando el potencial vectorial como sigue

A = B0x1e2, (23.18)

el Lagrangiano viene dado por

L =eB0

cx1x2 − V (x1, x2), (23.19)

usando el programa de Dirac obtenemos que el parentesis de Dirac entre las coordenadas esdistinto de cero, esto es

xi, xj = −eB0

cεij . (23.20)

Esta discusion nos muestra que en los lımites anteriores, las coordenadas espaciales noconmutan (geometrıa no conmutativa). Para una discusion detallada ver [8][9]. Desde el puntode vista de la mecanica cuantica la separacion entre los estados | n−, n+〉 es proporcional a B0

my si el campo magnetico es fuerte, solo el nivel mas bajo de Landau es relevante, esto es | 0, n+〉.Siguiendo el programa de cuantizacion canonica consideramos el correspondiente conmutador

[x, y] = − ~c

eB0, (23.21)

claramente las coordenadas no conmutan, luego el Problema de Landau en el nivel mas bajose torna no-conmutativo.

Discusion y Comentarios

A traves de la revision que hemos hecho del problema de Landau y de la literatura asociada,es facil ver que el problema de Landau resulta ser un ejemplo sencillo donde la no conmuta-tividad aparece de forma natural. Esencialmente esta no conmutatividad se manifiesta en elespacio de fase de estos sistemas y surge del hecho que al definir los momenta canonicos, esnecesario hacer una redefinicion del momento canonico (p) ya que este no es invariante degauge y por lo tanto no es un observable fısico, este problema se salva definiendo un nuevomomento (π) el cual si es invariante de gauge, el cual exhibe una inusual caracterıstica, dondeel conmutador entre sus componentes es no nulo (

[πi, πj

]6= 0) , es decir su espacio de fase es

naturalmente no-conmutativo.Por otro lado, si consideramos el lımite de campo magnetico fuerte (B →∞), el sistema

se transforma en uno de primer orden, donde el espacio se torna no -conmutativo i.e. lascoordenadas no conmutan (

[xi, xj

]= iΘij). Esto ocurre en el nivel Landau mas bajo, donde

el espacio es naturalmente no conmutativo. Es de esperar que esta no-conmutatividad delespacio tenga consecuencias fısicas importantes en sistemas tales como el efecto Hall cuanticofraccionario. Por ultimo queremos notar que el sistema reducido de primer orden se puedenobtener tambien al considerar el lımite cuando la masa tiende a cero, obteniendo un sistemade excitaciones cargadas sin masa que interactuan con el campo magnetico en un espaciono-conmutativo.

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BIBLIOGRAFIA

Agradecimientos

A mi familia por el gran apoyo y comprension que me dieron en cada momento que lonecesitaba y por confiar en mi. A mi profesor guıa Joel Saavedra por ser un gran motivador yamigo, que estuvo en todo momento ya sea dandome consejos o conocimientos relevantes parami formacion profesional. Al profesor Dr. Ramon Herrera por la buena acogida que siempresentı de su parte. A Patricia Silva por sus conversaciones y gran apoyo.

Bibliografıa

[1] L. Landau and E. Lifshitz, Non-Relativistic Quantum Mechanics, Pergamon Press (1975).[2] N. Seiberg and E. Witten, “String theory and noncommutative geometry,” JHEP 9909,

032 (1999) [arXiv:hep-th/9908142].[3] R. B. Laughlin, The Quantum Hall Effect, R. R. Prange and S. M Girvin (Eds.).[4] R.L.Jaffe.Canonical quantization and application to a Charged Particle in a magnet-

ic field”. Lecture Notes For Quantum Physics III-8.059, Academic year 1997/1998”.http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Physics/8-06Quantum-Physics-IIISpring2003

[5] A. Connes Non Commutative Geometry, Academic Press.(1994)[6] G. V. Dunne, R. Jackiw and C. A. Trugenberger, Phys.Rev. D 41, 661, (1990).[7] J. Gamboa, M. Loewe, F. Mendez, J.C. Rojas, hep-th/0101081.[8] Y.S. Myung, H.W. Lee, hep-th/9910083.[9] R. Jackiw, hep-th/0110057.

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BIBLIOGRAFIA

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CAPITULO 23. PROGRAMA

Capıtulo 23

Programa

Hora / Dıa Miercoles 21 Jueves 22 Viernes 239:30 10:00 Inscripcion Libre Libre10:00 10:30 Discurso Inaugural L.S. Caballero P.37 R. Troncoso P.6210:30 11:00 F.Veloso P.4 J.S. Diaz P. P.40 A. Tarifeno P.6711:00 11:30 R. Vicencio P.7 P.Navarro P.45 P.Coelho P.6911:30 12:00 P. Blackburn P.11 F.Cuevas P.47 E.Ciesternas P.7312:00 12:30 Coffee Break Coffee Break Coffee Break & Poster12:30 13:00 M. Cerda P.15 J. Gallardo P.50 Coffee Break & Poster13:00 13:30 A. Reisenegger P.1 M. Clerc P.1 J. Zanelli P.213:30 14:00 A. Reisenegger M. Clerc J. Zanelli14:00 14:30 Almuerzo Almuerzo Almuerzo14:30 15:00 Almuerzo Almuerzo Almuerzo15:00 15:30 J. Arancibia P.19 R. Salinas P.51 R. Becar P. 7715:30 16:00 F. Suzuki P.24 P. Munoz P.54 L. Soto P.216:00 16:30 X. Andrade P.29 C. Cartes P.60 L. Soto16:30 17:00 A. Pernas P.33 M. Suarez P.61 Palabras al Cierre

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CAPITULO 23. ORGANIZACION

Capıtulo 23

Organizacion

Las personas que integraron el comite organizador del Segundo Simposio Nacional de Es-tudiantes de Fısica son:

Cesar A. Hidalgo R.Coordinador General

Ignacia Echeverrıa, Alejandra Castro y Paula Jofre.Coordinadoras Asociadas.

Jose Miguel Fernandez.Coordinador Asociado.

Ignacio Toledo, Marianne Muller, Pıa Amigo, Catalina Ureta, Paula Urrutia, PamelaPizarro y Timo Anguita.Coordinadores Asistentes.

La edicion de este libro estuvo a cargo de Cesar A. Hidalgo R.

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Simposio de Fisica

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