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C o n n e x i o n s m o d u l e : m 4 2 1 2 4 1

V e c t o r s , S c a l a r s , a n d C o o r d i n a t e

S y s t e m s

O p e n S t a x C o l l e g e

T h i s w o r k i s p r o d u c e d b y T h e C o n n e x i o n s P r o j e c t a n d l i c e n s e d u n d e r t h e

C r e a t i v e C o m m o n s A t t r i b u t i o n L i c e n s e

A b s t r a c t

D e n e a n d d i s t i n g u i s h b e t w e e n s c a l a r a n d v e c t o r q u a n t i t i e s .

A s s i g n a c o o r d i n a t e s y s t e m f o r a s c e n a r i o i n v o l v i n g o n e - d i m e n s i o n a l m o t i o n .

F i g u r e 1 : T h e m o t i o n o f t h i s E c l i p s e C o n c e p t j e t c a n b e d e s c r i b e d i n t e r m s o f t h e d i s t a n c e i t h a s

t r a v e l e d ( a s c a l a r q u a n t i t y ) o r i t s d i s p l a c e m e n t i n a s p e c i c d i r e c t i o n ( a v e c t o r q u a n t i t y ) . I n o r d e r t o

s p e c i f y t h e d i r e c t i o n o f m o t i o n , i t s d i s p l a c e m e n t m u s t b e d e s c r i b e d b a s e d o n a c o o r d i n a t e s y s t e m . I n

t h i s c a s e , i t m a y b e c o n v e n i e n t t o c h o o s e m o t i o n t o w a r d t h e l e f t a s p o s i t i v e m o t i o n ( i t i s t h e f o r w a r d

d i r e c t i o n f o r t h e p l a n e ) , a l t h o u g h i n m a n y c a s e s , t h e

x- c o o r d i n a t e r u n s f r o m l e f t t o r i g h t , w i t h m o t i o n

t o t h e r i g h t a s p o s i t i v e a n d m o t i o n t o t h e l e f t a s n e g a t i v e . ( c r e d i t : A r m c h a i r A v i a t o r , F l i c k r )

V e r s i o n 1 . 2 : J u n 1 3 , 2 0 1 2 4 : 0 3 p m - 0 5 0 0

h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 3 . 0 /

h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 4 2 1 2 4 / 1 . 2 /

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W h a t i s t h e d i e r e n c e b e t w e e n d i s t a n c e a n d d i s p l a c e m e n t ? W h e r e a s d i s p l a c e m e n t i s d e n e d b y b o t h

d i r e c t i o n a n d m a g n i t u d e , d i s t a n c e i s d e n e d o n l y b y m a g n i t u d e . D i s p l a c e m e n t i s a n e x a m p l e o f a v e c t o r

q u a n t i t y . D i s t a n c e i s a n e x a m p l e o f a s c a l a r q u a n t i t y . A v e c t o r i s a n y q u a n t i t y w i t h b o t h m a g n i t u d e a n d

d i r e c t i o n . O t h e r e x a m p l e s o f v e c t o r s i n c l u d e a v e l o c i t y o f 9 0 k m / h e a s t a n d a f o r c e o f 5 0 0 n e w t o n s s t r a i g h t

d o w n .

T h e d i r e c t i o n o f a v e c t o r i n o n e - d i m e n s i o n a l m o t i o n i s g i v e n s i m p l y b y a p l u s (+) o r m i n u s () s i g n .V e c t o r s a r e r e p r e s e n t e d g r a p h i c a l l y b y a r r o w s . A n a r r o w u s e d t o r e p r e s e n t a v e c t o r h a s a l e n g t h p r o p o r t i o n a l

t o t h e v e c t o r ' s m a g n i t u d e ( e . g . , t h e l a r g e r t h e m a g n i t u d e , t h e l o n g e r t h e l e n g t h o f t h e v e c t o r ) a n d p o i n t s i n

t h e s a m e d i r e c t i o n a s t h e v e c t o r .

S o m e p h y s i c a l q u a n t i t i e s , l i k e d i s t a n c e , e i t h e r h a v e n o d i r e c t i o n o r n o n e i s s p e c i e d . A s c a l a r i s a n y

q u a n t i t y t h a t h a s a m a g n i t u d e , b u t n o d i r e c t i o n . F o r e x a m p l e , a 2 0 C t e m p e r a t u r e , t h e 2 5 0 k i l o c a l o r i e s ( 2 5 0

C a l o r i e s ) o f e n e r g y i n a c a n d y b a r , a 9 0 k m / h s p e e d l i m i t , a p e r s o n ' s 1 . 8 m h e i g h t , a n d a d i s t a n c e o f 2 . 0

m a r e a l l s c a l a r s q u a n t i t i e s w i t h n o s p e c i e d d i r e c t i o n . N o t e , h o w e v e r , t h a t a s c a l a r c a n b e n e g a t i v e , s u c h

a s a

2 0 C t e m p e r a t u r e . I n t h i s c a s e , t h e m i n u s s i g n i n d i c a t e s a p o i n t o n a s c a l e r a t h e r t h a n a d i r e c t i o n .

S c a l a r s a r e n e v e r r e p r e s e n t e d b y a r r o w s .

1 C o o r d i n a t e S y s t e m s f o r O n e - D i m e n s i o n a l M o t i o n

I n o r d e r t o d e s c r i b e t h e d i r e c t i o n o f a v e c t o r q u a n t i t y , y o u m u s t d e s i g n a t e a c o o r d i n a t e s y s t e m w i t h i n

t h e r e f e r e n c e f r a m e . F o r o n e - d i m e n s i o n a l m o t i o n , t h i s i s a s i m p l e c o o r d i n a t e s y s t e m c o n s i s t i n g o f a o n e -

d i m e n s i o n a l c o o r d i n a t e l i n e . I n g e n e r a l , w h e n d e s c r i b i n g h o r i z o n t a l m o t i o n , m o t i o n t o t h e r i g h t i s u s u a l l y

c o n s i d e r e d p o s i t i v e , a n d m o t i o n t o t h e l e f t i s c o n s i d e r e d n e g a t i v e . W i t h v e r t i c a l m o t i o n , m o t i o n u p i s u s u a l l y

p o s i t i v e a n d m o t i o n d o w n i s n e g a t i v e . I n s o m e c a s e s , h o w e v e r , a s w i t h t h e j e t i n F i g u r e 1 , i t c a n b e m o r e

c o n v e n i e n t t o s w i t c h t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e d i r e c t i o n s . F o r e x a m p l e , i f y o u a r e a n a l y z i n g t h e m o t i o n o f

f a l l i n g o b j e c t s , i t c a n b e u s e f u l t o d e n e d o w n w a r d s a s t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n . I f p e o p l e i n a r a c e a r e r u n n i n g

t o t h e l e f t , i t i s u s e f u l t o d e n e l e f t a s t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n . I t d o e s n o t m a t t e r a s l o n g a s t h e s y s t e m i s

c l e a r a n d c o n s i s t e n t . O n c e y o u a s s i g n a p o s i t i v e d i r e c t i o n a n d s t a r t s o l v i n g a p r o b l e m , y o u c a n n o t c h a n g e i t .

F i g u r e 2 : I t i s u s u a l l y c o n v e n i e n t t o c o n s i d e r m o t i o n u p w a r d o r t o t h e r i g h t a s p o s i t i v e (+) a n d m o t i o n d o w n w a r d o r t o t h e l e f t a s n e g a t i v e

().


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1 : C h e c k Y o u r U n d e r s t a n d i n g

( S o l u t i o n o n p . 4 . )

A p e r s o n ' s s p e e d c a n s t a y t h e s a m e a s h e o r s h e r o u n d s a c o r n e r a n d c h a n g e s d i r e c t i o n . G i v e n t h i s

i n f o r m a t i o n , i s s p e e d a s c a l a r o r a v e c t o r q u a n t i t y ? E x p l a i n .

2 S e c t i o n S u m m a r y

A v e c t o r i s a n y q u a n t i t y t h a t h a s m a g n i t u d e a n d d i r e c t i o n .

A s c a l a r i s a n y q u a n t i t y t h a t h a s m a g n i t u d e b u t n o d i r e c t i o n .

D i s p l a c e m e n t a n d v e l o c i t y a r e v e c t o r s , w h e r e a s d i s t a n c e a n d s p e e d a r e s c a l a r s .

I n o n e - d i m e n s i o n a l m o t i o n , d i r e c t i o n i s s p e c i e d b y a p l u s o r m i n u s s i g n t o s i g n i f y l e f t o r r i g h t , u p o r

d o w n , a n d t h e l i k e .

3 C o n c e p t u a l Q u e s t i o n s

E x e r c i s e 2

A s t u d e n t w r i t e s , A b i r d t h a t i s d i v i n g f o r p r e y h a s a s p e e d o f

1 0

m/s. W h a t i s w r o n g w i t h

t h e s t u d e n t ' s s t a t e m e n t ? W h a t h a s t h e s t u d e n t a c t u a l l y d e s c r i b e d ? E x p l a i n .

E x e r c i s e 3

W h a t i s t h e s p e e d o f t h e b i r d i n E x e r c i s e ?

E x e r c i s e 4

A c c e l e r a t i o n i s t h e c h a n g e i n v e l o c i t y o v e r t i m e . G i v e n t h i s i n f o r m a t i o n , i s a c c e l e r a t i o n a v e c t o r

o r a s c a l a r q u a n t i t y ? E x p l a i n .

E x e r c i s e 5

A w e a t h e r f o r e c a s t s t a t e s t h a t t h e t e m p e r a t u r e i s p r e d i c t e d t o b e 5C t h e f o l l o w i n g d a y . I s t h i s t e m p e r a t u r e a v e c t o r o r a s c a l a r q u a n t i t y ? E x p l a i n .


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S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s i n t h i s M o d u l e

S o l u t i o n t o E x e r c i s e ( p . 3 )

S p e e d i s a s c a l a r q u a n t i t y . I t d o e s n o t c h a n g e a t a l l w i t h d i r e c t i o n c h a n g e s ; t h e r e f o r e , i t h a s m a g n i t u d e o n l y .

I f i t w e r e a v e c t o r q u a n t i t y , i t w o u l d c h a n g e a s d i r e c t i o n c h a n g e s ( e v e n i f i t s m a g n i t u d e r e m a i n e d c o n s t a n t ) .

G l o s s a r y

D e n i t i o n 1 : s c a l a r

a q u a n t i t y t h a t i s d e s c r i b e d b y m a g n i t u d e , b u t n o t d i r e c t i o n

D e n i t i o n 2 : v e c t o r

a q u a n t i t y t h a t i s d e s c r i b e d b y b o t h m a g n i t u d e a n d d i r e c t i o n


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