Ligjeratat Sinjalet Dhe Sistemet

Lnda: Sinjalet dhe sistemetLiteratura1. Shnime t shtypura dhe transparencat e ligjratave.2. Schaum's Outline of Theory and Problems of Signals

and Systems, Hwei P. Hsu, 1995, McGraw-Hill.3 Si l d S t Alan V Oppenheim 2nd ed

Ligj. 1 1

3. Signals and Systems, Alan V. Oppenheim, 2nd ed., 1996, Prentice Hall.

4. Fundamentals of Signals and Systems-Using Matlab, E. Kamen and B. Heck; 3rd ed., 2006, Prentice Hall.

Sinjale&Sisteme

Sinjalet dhe sistemet(Konceptet themelore)

Ligj. 1 2

Sinjalet

Sinjale&Sisteme

1.1. Sinjalet dhe klasifikimi i tyre Sinjali prcjell informatn pr zhvillimin e nj dukurie. E shprehur matematikisht: sinjali sht funksion i nj apo m

shum variablve t pavarura.

Ligj. 1 3

N grafik sht treguar sinjali i tensionit n dalje t mikrofonit me rastin e shqiptimit t fjals sinjal.

Ky sht sinjal njdimensional, ku variabli i pavarur sht koha.Sinjale&Sisteme

Ligj. 1 4

Sinjali i formuar si funksion i t hirts t bashksis s pikave t fotografis n funksion t variablve hapsinor x dhe y.

Ky sht sinjal dydimensional, ku asnjra nga varablat nuk sht koh

Klasifikimi i par i sinjaleve: Sinjalet njdimensionale Sinjalet shumdimensionale

Sinjale&Sisteme

Klasifikimi i dyt i sinjaleve: Sinjalet e prcaktuara (deterministike) Sinjalet e rastit (stokastike)Sinjalet e prcaktuara Sinjalet e prcaktuara jan ato sinjale, vlera e t cilave sht e

njohur pr do vler t variablit t pavarur. Vlerat e sinjalit mund t shprehen me ndonj shprehje

matematikore, paraqitje grafike, apo me ndonj list tabelore.

Sinjalet e rastit

Ligj. 1 5

Sinjalet e rastit Te sinjalet e rastit vlerat e sinjalit n nj moment t caktuar

kohor nuk mund t dihet paraprakisht n mnyr t sigurt. Kto sinjale prshkruhen prmes funksioneve t shprndarjes

s gjass. Vetm sinjalet e rastit prcjellin informacion. Edhe pse n kt lnd do t trajtohen vetm sinjalet e

prcaktuara, ne do t supozojm se edhe kto prcjellininformacion.

Sinjale&Sisteme

Klasifikimi i tret i sinjaleve: Sinjalet e vazhduara Sinjalet diskreteSinjalet e vazhduara Sinjali i vazhduar (kontinual) x(t) sht funksion i variablit

t vazhduar t. Nse pos variablit t, edhe vlerat e sinjalit i prkasin numrave

real, ather ky sinjal quhet sinjal analog. Prndryshe, sinjali mund t jet i vazhduar n t, por diskret n

Ligj. 1 6

y , j j , pvlera. N kt rast vlerat e sinjalit i prkasin nj bashksie tnumrueshme, e jo asaj t numrave real.

Sinjalet diskrete Sinjali diskret x[n] prkufizohet vetm pr vlera diskrete t

kohs n, q do t thot se n merr vlera nga bashksia enumrave t plot.

Deri sa te sinjali i vazhduar koha ka njsi n sekonda, tesinjali diskret koha diskrete n sht numrator i termit tsinjalit dhe sht pa njsi.

Sinjale&Sisteme

Paraqitja grafike e sinjalit t vazhduar (a) dhe sinjalit diskret (b)Prfitimi i sinjalit diskret nga ai i vazhduar Sinjali diskret mund t prfitohet nga sinjali analog duke i

Ligj. 1 7

Sinjali diskret mund t prfitohet nga sinjali analog duke iveuar vlerat e ktij t fundit n intervale t njtrajtshmekohore.

Procesi i veimit t vlerave t sinjalit t vazhdueshm n astet caktuara kohore quhet mostrim (kampionim).

t0

xa(t)x[nT]

nTT 2T-T-2T

xa(t) x[nT]=x[n]

tn=nT

Mostruesi ideal

0t Sinjale&Sisteme

Intervali kohor T n t cilin merren mostrat nga sinjali analogxa(t) quhet period e mostrimit.

Vetm nj element i sinjalit diskret x[n], pr shembull x[-1],quhet mostr (kampion) i sinjalit.

Sinjali digjital N qoft se vlerat e sinjalit diskret kuantizohen duke marr

vlera nga nj bashksi e fundme e numrave ather sinjali itill i diskretizuar jo vetm n koh por edhe n vlera quhetsinjal digjital (shifror).

Ligj. 1 8

Sinjali pjes-pjes i vazhdueshm N qoft se sinjali i vazhduar ka hope (diskontinuitete) n

numr t numrueshm t pikave t kohs t, ather ai sinjalquhet pjs-pjes i vazhdueshm.

Sinjale&Sisteme

Klasifikimi i katrt i sinjaleve: Sinjalet shkaksore Sinjalet kundrshkaksore

Sinjali sht shkaksor (kauzal) n qoft se t gjitha vlerat e tijjan zero pr vlera negative t kohs t.

N t kundrtn, nse vlerat jo zero t sinjalit paraqiten vetmpr t

Ngjashm mund shnohet edhe pr sinjalin diskret

dhe s s as asx n x n x n x n do sinjal mund t zbrthehet n komponentin e vet ift dhe

tek. dhe s as s asx t x t x t x n x n x n

T vrtetohet!Klasifikimi i shtat i sinjaleve: Sinjalet periodike

Ligj. 1 11

Sinjalet periodike Sinjalet jo periodike (aperiodike) Sinjali i vazhduar x(t) sht periodik n qoft se mund t

gjendet s paku nj T, pr t cilin vlen x t x t T

Sinjali diskret x[n] sht periodik nse mund t gjendet spaku nj numr i plot N ashtu q t vlej

x n x n N Sinjale&Sisteme

Nse sinjali sht periodik pr nj T, apo N, ather ai shtperiodik edhe pr shumfishin e tyre.

Vlera m e vogl e T, apo N, quhet period themelore e sinjalitperiodik.

Nse sinjalit nuk mund ti caktohet perioda ather ai shtaperiodik.

Ligj. 1 12

Sinjali periodik mund t formohet nga sinjali aperiodik, duke eprsritur kt t fundit me shumfishet e periods themelorenga t dy ant e boshit kohor.

k

x t y t kT

Kjo mnyre e prfitimit t sinjalit periodik x(t) nga aiaperiodik y(t) quhet zgjatje periodike e sinjalit y(t).

Sinjale&Sisteme

Vlen edhe anasjella, sinjali aperiodik mund t prfitohet mecungim t sinjali periodik brenda nj periode

, 00, 0 dhe

x t t Ty t

t t T

Por gjithashtu, sinjali aperiodik mund t kuptohet si nj sinjalperiodik, prsritja periodike e t cilit shtyhet n pafundsi

lim limT T

y t x t y t kT

Ligj. 1 13

T T k Komentet e ngjashme vlejn edhe pr sinjale diskrete.

Sinjale&Sisteme

Klasifikimi i tet i sinjaleve: Sinjalet e energjis Sinjalet e fuqis Energjia (E) e sinjalit t vazhduar x(t) prkufizohet me formuln:

2E x t dt ndrsa fuqia e sinjalit (P) me relacionin:

21lim2

T

TTP x t dt

T

Ligj. 1 14

2 TT T

Pr sinjalet diskrete vlejn shprehjet:

2n

E x n

21lim 2 1

N

N n NP x n

N

N qoft se sinjali ka energji E t fundme ather ai hyn n klasne sinjaleve t energjis.

N rast se sinjali ka fuqi P t fundme ather ai i takon sinjalevet fuqis.

Sinjale&Sisteme

Disa komente lidhur me sinjalet e energjis dhe t fuqis Sinjalet e energjis kan fuqi zero, P=0. Sinjalet e fuqis kan energji t pafundme, E. Nuk mund t ndodh q sinjali t jet njherazi i energjis dhe i

fuqis. Ndrsa, mund t ndodh q nj sinjal t mos jet as i energjis, e

as i fuqis. Sinjalet periodike mund t jen vetm sinjale t fuqis. Fuqia e

tyre llogaritet brenda nj periode me shprehjet:

Ligj. 1 15

20

1 TP x t dtT

1 2

0

1 N

nP x n

N

ku T dhe N jan periodat themelore t sinjalit t vazhduar,prkatsisht e atij diskret.

Sinjale&Sisteme

1.2. Sinjalet e vazhduara themelorea. Sinjalet eksponenciale dhe sinusoidale Sinjali kompleks eksponencial, me zgjatje t pafundme nga t dy

ant prkufizohet me ,atx t Ae t

Ku konstantat A dhe a, n rastin e prgjithshm kan vlerakomplekse, A,a.

Nse t dy parametrat A dhe a marrin vlera reale ather sinjali

Ligj. 1 16

Nse t dy parametrat, A dhe a, marrin vlera reale, ather sinjalix(t) quhet eksponenciali real.

atx t Ae atx t Ae

Sinjale&Sisteme

Kur parametri a merr vler t pastr imagjinare, a=j0, nga sinjalieksponencial sajohet sinusoida komplekse.

0j tx t Ae Prkundr eksponencialit real i cili qartazi sht nj sinjal

aperiodik, sinusoida komplekse sht sinjal periodik. 00 0 0j t Tj t j t j TAe Ae Ae e

Ky barazim plotsohet pr0 2 21 , 1, 2, , , 1, 2,j T j ke e k T k k

Ligj. 1 17

0

1 , 1, 2, , , 1, 2,e e k T k k Pr k=1 fitohet vlera m e vogl e T prkatsisht perioda

themelore e sinjalit sinusoidal

0

2T Po t merret se edhe parametri A ka vler komplekse

jA A e Sinjale&Sisteme

Ather sinusoida komplekse zbrthehet n komponenttsinusoidal, real dhe imagjinar,

00 0 0cos sinj tj tAe A e A t j A t Sinjali real sinusoidal i prkufizuar me

0cosx t A t e trashgon periodicitetin e sinusoids komplekse T.

0cosx t A t 2T

Ligj. 1 18

0cosA

2T

Sinjale&Sisteme

Nse parametrin a ka vler komplekse0 0a j

ather eksponenciali kompleks merr trajtn

0 0 0 0 0 00 0cos sinj t t j t t tatx t Ae Ae Ae e Ae t jAe t 0 0costAe t 0 0costAe t

Ligj. 1 19

0tAe0tAe

Sinjale&Sisteme

b. Sinc funksioni Sinc (lexo sink) funksioni prfitohet si rezultat i integrimit t

sinusoids komplekse n domen t parametrit , n kufijt [-,] sin1 1 12 2j t j t j t te d e ejt t

sinsinc ,tx t t tt

Ligj. 1 20Sinjale&Sisteme

c. Sinjali shkall njsi

Prmes sinjalit shkall njsi mund t veohet pjesa shkaksore efardo sinjali

0, 01, 0

tu t

t

t0

u(t)

1a)

0, 0t

Ligj. 1 21

0, 0

, 0shkt

x t x t u tx t t

d. Sinjali puls drejtkndsh

1, / 20, / 2

tp t

t

Sinjale&Sisteme

d. Sinjali impulsi njsi Impulsi njsi ose delta impulsi, q shpesh quhet edhe impulsi i

Dirakut, sht njri ndr sinjalet m t rndsishme q prdorenn analizn e sinjaleve dhe t sistemeve.

Ky sinjal nuk i takon klass s funksioneve t zakonshme, sishumica e sinjaleve t tjera q kan zbatim t gjer.

1/ t

Ligj. 1 22

/ 2t / 2t

0t

/ 2/ 20 0

/ 2 / 21lim limt

tt t

X t X tx t t dt x t dt

t t

00

/ 2 / 2lim 0

tt

X t X t dX tx

t dt

Sinjale&Sisteme

Prkufizimi i (t) 0x t t dt x

Sinjali impuls njsi mund t prkufizohet vetm prmes integralit. Disa veti dhe relacione t rndsishme t delta impulsit

0x t t x t 0t t 0 0 0x t t t x t t t 0 0x t t t dt x t

t t

Ligj. 1 23

0 0 0x t t t x t t t 0 0 0 0x t t t dt x t 0 0 0x t t t x t t t

Sinjale&Sisteme

1.3. Sinjalet diskrete themelore

Vlerat reale t parametrave A dhe a.

Sinjalet eksponenciale dhe sinusoidale

,nx n Aa n , 1nx n Aa a , 0 1nx n Aa a


n n

n

, 1nx n Aa a

n

, 1 0nx n Aa a

0 0 0 0cos sinj n njx n Ae A e e A n j n 0 0 dhe j ja e A A e

0 0 0 00 0cos sinj n n njx n A e e A e n j A e n /6 /10 cos /6n /10cos /6n

Vlera e parametrit a=exp(j0) .

Vlerat komplekse t parametrave A dhe a.

Ligj. 1 25

cos /6x n n

n n n

/ cos /6x n e n / cos /6x n e n

Sinjale&Sisteme

Sinjali shkall njsi

0, 01, 0

nu n

n

1, 0 10, pr t tjeraN

n Np n

n

Sinjali drejtkndsh

Sinjali impuls njsi

1, 00, 0

nn

n

Impulsi njsiShkall njsi Puls drejtkndsh

Ligj. 1 26

n0

u[n]

1 2-1-2 3 4 n0

pN[n]

1 2-1 N-2 N-1 N n0

[n]

1 2-1-2

1 1 1

Sinjale&Sisteme

Disa relacione me sinjalin impuls njsi

0x n n x n 1n u n u n

0mu n n m

nu n k

Ligj. 1 27

k

u n k

fardo sinjali mund t prshkruhet prmes [n].

nk

x n x k n k

Sinjale&Sisteme

Periodiciteti i sinjaleve sinusoidale

Sinjali i vazhduar sinusoidal sht periodik pr do vler t 0. 0j tx t e

0 0 01

j t T j t j Tx t T e e e x t

00

22T k T k Sinjali diskret sinusoidal nuk sht periodik pr do vler t 0.

Ligj. 1 28

j p p 0 0j nx n e

0 0 01

j n N j n j Nx n N e e e x n

00

22N k N k 0 (numr racional)

2kN

Sinjale&Sisteme

1x t Ax t

t0 t

Ax(t)

t

A>1

A

t0 t

x(t)

t

1

t0 t t

Ax(t)A

A0

Sinjale&Sisteme

Pasqyrimi n koh px t x t

x(t)(a)

Ligj. 1 30

x(t0-t)

0 t

0 t

(b)x(t+t0)

-t0 t-t0+

t0

0(c)

t0t0-

t0

Sinjale&Sisteme

Shkallzimi i boshtit kohor shx t x at

t0

x(t)

t

x(at)

t /a-t /a

a>1 a

Sinjalet dhe sistemet(Konceptet themelore)

Ligj. 2 1

Sistemet dhe vetit themelore t tyre

Sinjale&Sisteme

Sistemet dhe vetit e tyre Sistemi prbhet nga nj bashksi fizike apo

matematike e komponentve i cili n nj ngacmimhyrs prgjigjet me nj sinjal n dalje t tij.

Sistemet mund t jen: Me nj hyrje dhe nj dalje (SISO)

Ligj. 2 2

j y j j j ( )(nga Single Input Single Output)Me shum hyrje dhe shum dalje (MIMO)(nga Multiple Input Multiple Output)

N kt lnd do t trajtohen vetm sistemet SISO !

Sinjale&Sisteme

Prkufizim: Sistemi me nj hyrje dhe nj dalje prkufizohet matematikisht si nj pasqyrim, ku hyrjes x(t) i bashkngjitet dalja apo prgjigjja e sistemit y(t).

Sistemet e vazhduara x t y tSistemet diskrete x n y n

Ligj. 2 3

Mnyra operatorike e shnimit

dhey t S x t y n S x n Simboli grafik

Sistemi kontinual

Sx(t) y(t)

(a)

Sistemi diskret

Sx[n] y[n]

(b)

Sinjale&Sisteme

y I x x Ix y=x

(a) Lidhja serike

Nj sistem i veant Sistemi njsi (Identiteti)

Lidhja e sistemeve

Ligj. 2 4

S1

S2

+

(b)Lidhja paralele

x

x

x

1S x

2S x

1 2y S x S x

S2x 2 1y S S x 1S xS1

S1

S2

(c) Lidhja me riveprim

2x S y+x

2S y

1 2y S x S y -

Sinjale&Sisteme

2 1y S S x

2 1ey S x S S x 2 1eS S S

Lidhja serike

Interpretim: S1 vepron i pari n x, e pastaj S2 vepron n prgjigjen e sistemit t par, q rezulton me prgjigjen e prgjithshme y.

Sistemi ekuivalent

Ligj. 2 5

2 1 1 2S S S S

2 1 1 2S S S S

Vrejtje: N rastin e prgjithshm nuk vlen vetia e komutacionit

Pr sistemet q ne do ti analizojm (lineare dhe invariante n zhvendosje) vlen:

Sinjale&Sisteme

1 2 1 2 ey S x S x S S x S x 1 2 2 1eS S S S S

Lidhja paralele:

Lidhja me riveprim:

S S

Ligj. 2 6

1 2y S x S y Vrejtje: Kjo lidhje mbshtet parimin fundamental t funksionimit t sistemeve t rregullimit automatik.

Sinjale&Sisteme

Vetit e sistemeve1. Kujtesa

Nj sistem konsiderohet se nuk ka kujtes n qoft se dalja n nj moment t caktuar kohor varet vetm nga vlera e sinjalit hyrs n at moment, e jo nga vlerat e mparshme apo t ardhshme t sinjalit hyrs.Nse sistemi nuk e ka kt veti, ather ai sht me

Ligj. 2 7

Nse sistemi nuk e ka kt veti, ather ai sht me kujtes.

Sistemi me kujtes Sistem dinamikSistemi pa kujtes Sistem statik

Sistemet pa kujtes(statike)

22y n nx n x n 4y t x tSinjale&Sisteme

Sistemet me kujtes (dinamik)

1 ty t x dC

33 1y n nx n x n 1y n y n x n

Thellsia (rendi) e kujtess?

Ligj. 2 8

( ) j

Sinjale&Sisteme

2. Shkaksia (Kauzaliteti)

Sistemi sht shkaksor apo kauzal n qoft se dalja n kohn e aktuale varet vetm nga hyrja n kt koh dhe nga hyrja n kohn e mparshme, e jo edhe nga hyrja n kohn e ardhshme.

Sistemi shkaksor nuk ka aftsi pr ta parashikuar

Ligj. 2 9

Sistemi shkaksor nuk ka aftsi pr ta parashikuar t ardhmen.

1 2, , ,y t f x t x t t x t t , 1 , 2 ,y n f x n x n x n

Prgjigjja e sistemeve shkaksore mund t shprehet vetm n trajtn:

Sinjale&Sisteme

1y n x n x n 1y n x n x n

Sistem shkaksor:

Sistem joshkaksor:


S-1x

Sistemi invers

S y=S[x]x=S-1{S[x]}

Sistemi invertibil

3. InvertibilitetiSistemi sht invertibil (i kthyeshm) n qoft se hyrjet e ndryshme shkaktojn dalje t ndryshme.

Ligj. 2 11

1 1 1,x S y S S x I x I S S

2y n S x n x n y t S x t a n

ky n S x n x k

Sisteme joinvertibile:

Sistem invertibil:Sinjale&Sisteme

0 0y t S x t y t t S x t t

4. Pandryshueshmria n koh (invarianca n zhvendosje)

Prkufizimi:

Sistemi sht i pandryshueshm n koh n qoft se ai n hyrjen e vonuar prgjigjet me dalje t vonuar pr t njjtn vones kohore.

Sistemi i vazhduar

Ligj. 2 12

y n S x n y n k S x n k Sistemi diskret

y t t x t 1y n S x n x n x n i pandryshueshm n koh (invariant n zhvendosje)

i ndryshueshm n koh (joinvariant n zhvendosje)

Sinjale&Sisteme

5. Lineariteti

Sistemi sht linear n qoft se ai sht homogjen dhe aditiv.Sistemi sht homogjen nse n hyrjen e shkallzuar me konstant ai prgjigjet me dalje t shkallzuar me t njjtin konstant t shkallzimit.

Ligj. 2 13

S ax aS xSistemi homogjen n hyrjen zero prgjigjet me dalje zero

0 0 0S x S x

Sinjale&Sisteme

1 2 1 2S x x S x S x

1 1 2 2 1 1 2 2S a x a x a S x a S x

Sistemi sht aditiv nse n shumn e hyrjeve prgjigjet me shumn e daljeve.

Pr t qen sistemi linear ai duhet t jet njkohsisht homogjen dhe aditiv.

Ligj. 2 14

Parimi i mbishtrimit mund t zgjerohet edhe pr numr arbitrar t hyrjeve.

Kjo shprehje prkufizon parimin e mbishtrimit (superpozicionimit) q sht veti e t gjitha sistemeve lineare.

k k k kk k

S a x a S x Sinjale&Sisteme

Sax S[ax]=aS[x] S+

x1

x2

x1+x2 S[x1+x2]=S[x1]+S[x2]

Sistemi homogjen Sistemi aditiv

a1x1a1x1+a2x2 S[a1x1+a2x2]=a1S[x1]+a2S[x2]

Ilustrimi grafik i parimit t mbishtrimit.

Ligj. 2 15

S+a1x1 a2x2 S[a1x1 a2x2] a1S[x1] a2S[x2]

Sistem homogjen dhe aditiv = Sistem linear

a2x2

y t S x t ax t y t S x t ax t b

Sistem linear:

Sistem jolinear:

Sinjale&Sisteme

6. StabilitetiN qoft se sistemi n hyrjen e kufizuar prgjigjet me dalje t kufizuar ather ai sht stabil.

Sistemi sht stabil nse pohimi vijues sht i sakt

x yx B y B ku Bx sht kufiri i sinjalit n hyrje, ndrsa By sht kufiri i sinjalit n dalje t sistemit.

Ligj. 2 16

Ky prkufizim i stabilitetit njihet me emrtimin BIBO (Bounded Input Bounded Output)

2y t S x t x t Sisteme stabile: x ny n S x n e Sisteme jostabile: ty t S x t e x t

n

ky n x k

Sinjale&Sisteme

Prshkrimi i sistemeve prmes ekuacioneve diferenciale ose

t diferencs

Modelet e sistemeve reale fizike d l

Sinjale&Sisteme Ligj. 3 1

Modelet e sistemeve me natyra t tjera Diskretizimi i ekuacioneve diferenciale Zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale dhe t

diferencs Vetit

Vendosja e varsis hyrje-dalje t sistemit prmes ekuacionevediferenciale/t diferencs

x(t) y(t)SSistemi kontinual

( ) ( )0 0

k kN M

k kk kk k

dy t dx ta b

dt dt=

Ekuacioni diferencial me koeficiente konstant


x[n] SSistemi diskret

y[n]

0 0k kdt dt= =

[ ] [ ]0 0

N M

k kk k

a y n k b x n k= =

= Ekuacioni i diferencs me

koeficiente konstant

N Rendi i sistemit; ak, bk-koeficientet e ekuacionit ose parametrat e sistemit. T dy ekuacionet paraqesin modele parametrike t sistemit!

Modelet e sistemeve reale fizike10 Qarqet elektrike

Elementet: Kondensatori (C) dhe induktiviteti (L) jan akumulator t energjis, ndrsa (R) sht shndrrues (shpenzues) i energjis


( ) ( )u t Ri t= ( ) ( )

( ) ( )

1 tu t i d

Cdu t

i t Cdt

=

=

( ) ( )( ) ( )1 t

di tu t L

dt

i t u dL

=

=

i(t)

u(t)

R

C

+

uc(t)=y(t)x(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 0 0

;

, 1, 1

dy tRi t y t x t i t C

dtdy t

RC y t x tdt

a RC a b

+ = =

+ =

= = =

Shembull:


Rendi i sistemit t siprm sht N=1, q tregon numrin e akumulueseve t pavarur t energjis n nj qark elektrik.

20 Sistemet mekanike me lvizje drejtvizore

Elementet: Masa dhe susta jan akumulator t energjis, ndrsa shuarsi sht

( ) ( )1 2c c cF k y y k y t= = ( ) ( )1 2d d dd y y dy tF k kd dt

= =

( )22i

d y tF m

dt=

( ) ( )cF t F t= ( ) ( )dF t F t= ( ) ( )iF t F t=


shndrrues i enrgjis.

Parametrat: m masa, kc koeficienti i ngurtsis s susts kd koeficienti i shuarjes.

Shnim: Ekuacionet q prshkruajn sistemet mekanike shtrohen n baz t ligjitmbi ruajtjen e impulsit apo t energjis. Ky parim reduktohet n ligjin Newton-it:Forcs s veprimit i kundrshton forca e kundrveprimit.

Shembull: Sistemi i amortizimit t automobilit

Sistemi prbhet nga susta dhe shuarsi (amortizatori). Pr shkak t simetris, e tr makina sht reduktuar n e saj.y(t) - dridhjet e automjetitx(t)- valzimet e rrugs.


i c dmg F F F= + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 c ddy t dy t dx t

mg m k y t x t kdt dt dt

= + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 c d cdy t dy t dx t

m k y t k k x t mgdt dt dt

+ + = + +

Rendi i sistemit?

Sistemet me natyra t tjeraShembull: Kredia bankare (Financa)

n Numri i muajit rrjedhs s kredisI Interesi vjetorx[n] Ksti mujor i kthimit t kredisy[n] Bilanci i huas (kredis) n muajin e n-t

[ ] [ ] [ ] [ ]1 112Iy n y n y n x n= +

Bilanci paraprak

Shtesa e huas pr nj muaj

[ ] [ ] [ ]1 1Iy n y n x n + [ ] [ ] [ ]1y n ay n x n=


[ ] [ ] [ ]1 112

a

Iy n y n x n + = [ ] [ ] [ ]1y n ay n x n=

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ] ( )

2

2 3 2

1 0 1

2 1 2

3 2 3

y ay x aK R

y ay x a aK R R a K aR R

y ay x a a K aR R R a K a R aR R

= =

= = =

= = =

[ ]1

, 1n

n n k

ky n Ka R a n

=

=

Zgjidhja me rekursion:

Zgjidhja e prgjithshme:

Diskretizimi i ekuacioneve diferenciale

y(t)

T

y[n]y[n+1]

Mnyra m e thjesht e shndrrimit sht ajo sipas prafrimit t Euler-it.

( ) ( ) ( )t nT

dy t y nT T y nTdt T

=

+ =

( ) [ ] ( ) [ ]; 1y nT y n y nT T y n + +

1y n y ndy t


tnT+TnTHapi i mostrimit

( ) [ ] [ ]1t nT

y n y ndy tdt T

=

+ =

( ) [ ] [ ] [ ]22 2

2 2 1

t nT

y n y n y nd y tdt T

=

+ + +=Derivati i dyt:

Shembull:

( ) ( ) ( ) ( )dy t dx tay t bx tdt dt

+ = + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 1y n y n x n x nay n bx nT T

+ + + = +

Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale dhe t diferencs

o Zakonisht zgjidhja krkohet pr n0o Pr prcaktimin e zgjidhjes nevojitet edhe njohja e kushteve fillestare

Pr ekuacionin e rendit t N-t nevojiten N kushte fillestare

( ) ( ) ( ) ( )1 2

0, , , ,

N N

t

d y t d y t dy ty t

dt dt dt

Kushtet fillestare pr k i i dif i l


( ) 000 0

, , , ,t

tt t

y tdt dt dt =

== =

( ) ( ) [ ] [ ]1 , 2 , , 1 , 0y N y N y y

ekuacionin diferencial

Kushtet fillestare pr ekuacionin e diferencs

Zgjidhja e ekuacioneve shtrohet si shum e dy komponentve:

( ) ( ) ( ) , 0n fy t y t y t t= + [ ] [ ] [ ], 0n fy n y n y n n= + Zgjidhja e ekuacionit diferencial Zgjidhja e ekuacionit t diferencs

( ) [ ],n ny t y n Zgjidhja e natyrshme (homogjene)( ) [ ],f fy t y n Zgjidhja e detyruar

Ku:

Zgjidhja e natyrshme Prcakton prgjigjen e sistemit kur nuk ka sinjal hyrs dhe tregon se si


Prcakton prgjigjen e sistemit kur nuk ka sinjal hyrs dhe tregon se si sistemi lirohet nga energjia paraprakisht e akumuluar n t.

Zgjidhja e detyruar Prcakton prgjigjen e sistemit t shkaktuar vetm nga sinjali hyrs duke supozuar se sistemi fillimisht ka qen i relaksuar, q do t thot se t gjitha kushtet fillestare merren me vler zero.

Prcaktimi i prgjigjes s natyrshme

( )0

0kN

n

k kk

d y ta

dt=

= [ ]0

0N

k nk

a y n k=

=Sistemi kontinual: Sistemi diskret:

Zgjidhja e natyrshme supozohet n trajtn:

( ) [ ] dhe rt nn hy t e y n r= =


( ) [ ] dhe k

n k rt n knk

d y tr e y n k r

dt

= =

Me rrjedhime:

Bhet zvendsimi n ekuacionin diferencial:0 0

0N N

k rt rt kk k

k ka r e e a r

= =

= =

00

Nk

kk

a r=

=Ekuacioni karakteristik i sistemit kontinual:

00

Nn k

kk

a r

=

=Ekuacioni karakteristik i sistemit diskret::Ekuacionet karakteristike jan polinome t r

0 1 10 1 1

00

Nk N N

k N Nk

a r a r a r a r a r

=

= + + + + = 1 1 0

0 1 10

0N

n k N Nk N N

ka r a r a r a r a r

=

= + + + + = Sistemi diskret:

Sistemi kontinual:


0k =

Sistemi kontinual:

o Ekuacionet karakteristike kan N rrnj: r1,r2,...,rN.o T gjitha kto rrnj quhen vlera karakteristike t ekuacioneve.

Prgjigja e natyrshme e sistemit

( )1

i

Nr t

n ii

y t c e=

= [ ]1

Nn

n i ii

y n c r=

=Sistemi diskret:

Vlerat e konstanteve ci prcaktohen nga kushtet fillestare.

Nse ndonj rrnj e ekuacionit karakteristik sht e shumfisht, ta zm se rrnja e j-t sht e p-fisht ather n termin prkats t prgjigjes s natyrshme lajmrohen kto terme:

1, , ,

j j jr t r t r tpe te t e 1, , ,n n p nj j jr nr n r

Rrnjt e shumfishta t ekuacionit karakteristik

Prgjigja e natyrshme e sistemit kontinual


( ) 11 11 1 j j j Nr t r t r t r tr t pn j j j p Ny t c e c e c e c t e c e += + + + + + +

[ ] 11 1 1 1n n n p n nn j j j j j p j N Ny n c r c r c r c n r c r += + + + + + +

Prgjigja e natyrshme e sistemit kontinual

Prgjigja e natyrshme e sistemit diskret

Shembulli 1:T prcaktohet prgjigja e natyrshme e sistemit. Kushtet fillestare jan y[-1]=1 dhe y[-2]=0, ndrsa sistemi sht prkufizuar si n vijim:

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 3 14

y n y n x n x n = +

Vrejm se rendi i sistemit sht N=2. Zgjidhja:

Prgjigja e natyrshme prcaktohet kur x[n]=0, duke supozuar:

[ ] nny n r=


[ ]ny n rZvendsojm n ekuacionin e diferencs:

( ) ( )2 2 21/ 4 1/ 4 0n n nr r r r = = Ekuacioni karakteristik ( )2 1/ 4 0r = i ka rrnjt (vlerat karakteristike) r1=1/2, r2=-1/2. Prgjigja e natyrshme sht n trajtn:

[ ] ( ) ( )1 21/ 2 1/ 2 , 0n nny n c c n= +

Pr caktimin e c1 dhe c2 nevojiten dy ekuacione:

[ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ]1/ 4 2 , 0 1/ 4 2 0, 1 1/ 4 1 1/ 4y n y n y y y y= = = = =[ ] ( ) ( )0 01 2 1 20 1/ 2 1/ 2 0y c c c c= + = + =

[ ] ( ) ( )1 11 2 1 21 1/ 2 1/ 2 / 2 / 2 1/ 4y c c c c= + = + =Pas zgjidhjes s dy ekuacioneve t siprme, fitohet: 1 21/ 4, 1/ 4c c= =


Prgjigja e natyrshme e sistemit sht:

[ ] ( )( ) ( )( )1/ 4 1/ 2 1/ 4 1/ 2 , 0n nny n n= + Shembulli 2: ( ) ( ) ( )

2

2 3 2 0d y t dy t

y tdt dt

+ + =

Kushtet fillestare: ( ) ( )0 1, 0 / 0y dy dt= =

Prgjigja e natyrshme supozohet n trajtn: ( ) rtny t e=

1 21, 2r r= =

( )2 23 2 3 2 0rt rt rt rtr e re e e r+ + = + + =zvendsohet n ekuacion:Fitohet ekuacioni karakteristik: 2 3 2 0r + + = me vl.karakteristike:

( ) 21 2 , 0t tny t c e c e t = + Prgjigja e natyrshme sht n trajtn:Prcaktohen konstantet: ( ) 21 2/ 2t tndy t dt c e c e =


1 2

1 1 1 2

12 0; 2, 1

c c

c c c c

+ =

= = =

Q rezulton me:( ) 22 , 0t tny t e e t =

Prgjigja e detyruar formohet nga termat e prgjigjes s natyrshme, t cilave ishtohet edhe zgjidhja e veant.T gjitha kushtet fillestare jan zero.

Prcaktimi i prgjigjes s detyruar

Zgjidhja e veant yp(t), yp[n] i prshtatet sinjalit hyrs

( ) ( )x t t= ( ) 0py t =( ) ( )x t u t= ( ) ( )y t cu t=

Sinjali hyrs Zgjidhja e veant


( ) ( )x t u t= ( ) ( )py t cu t=( ) ( )atx t e u t= ( ) ( )atpy t ce u t=

( ) ( ) ( )0cosx t t u t= ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 0cos sinpy t c t c t u t = + Zgjidhja e veant yp(t) apo yp[n] i prshtatet sinjalit hyrs x(t) apo x[n].

Nse sinjali hyrs ka trajt t njjt me ndonjrin nga termat e prgj. s natyrshmeather zgjidhja e veant formohet duke shumzuar sinjalin hyrs me t apo n.

Shembulli 3:T caktohet prgjigja e detyruar e sistemit, me kushte fillestare y[-1]=1 dhe y[-2]=0.

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 3 14

y n y n x n x n = +

Zgjidhja:

Kur sinjali hyrs sht: (a) x[n]=(1/3)nu(n) dhe (b) x[n]=(1/2)nu(n).

(a) Nga shembulli 1 kemi: [ ] 1 21 1 , 02 2n n

ny n c c n

= + n


Prgjigja e veant i prshtatet hyrjes: [ ] ( )1/3 , 0npy n c n= [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 3 1

4p py n y n x n x n = +

2n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 2 11/3 1/ 4 1/3 3 1/3 1/3 , / 9 / 4 1/3 1/3c c c c = + = +24/5c =

[ ] 24 1 , 05 3n

py n n

=

(b) N kt rast trajta e sinjali hyrs prputhet me njrin nga termat e yn[n]

Prandaj prgjigja e veant prve prshtatjes me hyrje duhet shumzuar me n.

[ ] ( )1/ 2 , 0npy n n n= ( ) ( )( ) ( ) ( )2 111/ 2 2 1/ 2 3 1/ 2 1/ 2

4n n n n

cn c n

= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 2 12 1/ 2 1/ 4 0 1/ 2 3 1/ 2 1/ 2 , 5 / 2c c = + =[ ] 5 1 , 0

2 2

n

py n n n

=


2 2p [ ] [ ] [ ]f n py n y n y n= +Prgjigja e detyruar formohet si n vijim:

Rasti (a) [ ] 1 224 1 1 1 , 05 3 2 2n n n

fy n c c n

= + +

[ ] 3 45 1 1 1 , 02 2 2 2n n n

fy n n c c n

= + + Rasti (b)

Koeficientet c1, c2, c3 dhe c4 prcaktohen nga kushtet fillestare zero

[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]0 1/ 4 2 3 0 1 0 3 0 3y y x x= + + = + + =[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]1 1/ 4 1 3 1 0 0 1 1 2y y x x= + + = + + =Rasti (a)

[ ] [ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] [ ] ( )( ) ( ) ( )

0 0 01 2

1 1 11 2

0 0 3 24 /5 1/3 1/ 2 1/ 2

1 1 2 24 /5 1/3 1/ 2 1/ 2f

f

y y c c

y y c c

= = = + +

= = = + +

Kto vlera zvendsohen n shprehjen pr yf[n]

Q rezulton me:


1 2

1 2 1 2

39 /536/5 , 15/ 2, 3/10

c c

c c c c

= +

= = =

Q rezulton me:

Pas prcaktimit t koeficienteve mund t shtrohet shprehja pr prgjigje t detyruar

[ ] 24 1 15 1 3 1 , 05 3 2 2 10 2n n n

fy n n

= + +

Rasti (b)

Me ecuri t ngjashme si n rastin e mparshm, fitohet

[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]0 1/ 4 2 3 0 1 0 3 0 3y y x x= + + = + + =

[ ] ( ) [ ] [ ] [ ] ( )1 1/ 4 1 3 1 0 0 3/ 2 1 5/ 2y y x x= + + = + + =[ ] ( ) ( ) ( ) ( )0 0 03 40 3 5/ 2 0 1/ 2 1/ 2 1/ 2y c c= = + +

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )1 1 13 41 5/ 2 5/ 2 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2y c c= = + + 3 4 3c c+ =


3 4

3 4 3 4

35/ 2, 11/ 4, 1/ 4

c c

c c c c

+

= = =

[ ] 5 1 11 1 1 1 , 02 2 4 2 4 2

n n n

fy n n n

= + +

Q jep prgjigjen e detyruar

VetitLineariteti:

Ekuacioni diferencial dhe ai i diferencs me koeficiente konstant kan vetin e linearitetit.

( )( ) ( )( )0 0

k kN M

k kk kk k

d cy t d cx ta b

dt dt= =

= [ ] [ ]

0 0

N M

k kk k

a cy n k b cx n k= =

= Homogjeniteti:


0 0k k= =

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 20 0

k kN M

k kk kk k

d y t y t d x t x ta b

dt dt= =

+ +=

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 20 0

N M

k kk k

a y n k y n k b x n k x n k= =

+ = + Aditiviteti:

o Vetia e linearitetit vlen vetm kur t gjitha kushtet fillestare jan zero.o Kur ky nuk sht rasti ather sistemi nuk sht linear n kuptimin eprkufizimit ton t linearitetit.

Pandryshueshmria n koho Kur kushtet fillestare jan zero dhe koeficientet ak dhe bk kan vlera konstantesistemi sht invariant n zhvendosje (i pandryshueshm n koh).o Nse sistemi nuk ka qen n qetsi fillestare ather sistemi nuk e ka kt veti,pavarsisht nga pandryshueshmria e koeficienteve.


Kujtesao Sistemet e prshkruara me ekuacione diferenciale apo t diferencs kankujtes.

( ) ( ) ( )0

limh

dy t y t h y tdt h

+ =

Shkaksiao Kur sistemet paraqesin procese reale fizike q sipas natyrs s tyre janshkaksore.oSistemet e prshkruara me ekuacione t diferencs mund t paraqesin edhealgoritme kompjuterike t cilat zhvillohen jasht kohs reale, prandaj ato jo rrallparaqesin sisteme joshkaksore.

StabilitetiLe t jet sinjali hyrs i kufizuar. Sistemi do t jet stabil n qoft se vlen:


j j y j q

( )1

, 0iN

r tn i

iy t c e t

=

= < < [ ]1

, 0N

n

n i ii

y n c r n=

= < < Meq koeficientet ci kan vlera t fundme, kto dy kushte shndrrohen n.

, 1,2, , ; 0ir te i N t< = < 1, 1,2, , ; 0nir i N n< = <

Sistemi kontinual

i i i ir t t j t ti i ir j e e e e = + = = <

0i =

Shembulli 2: Prcakto prmes thurjes sinjalin n dalje tsistemit, nse x[n] dhe h[n] duken si n figur.


sistemit, nse x[n] dhe h[n] duken si n figur.

N llogaritjen e thurjes sipas shprehjes s siprme dallohen kto tri raste karakteristike:

[ ] [ ] [ ]k

y n x k h n k

=

=

[ ] [ ] [ ]0, 0 0n x k h n k y n< = =10


kh[n-k]

0

1

0n

11

1

Na

a

Prgjigja e sistemit y[n] n ngacmimin x[n] duket si n figur.


Vetit e thurjes10 Vetia e asociativitetit

[ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ]1 2 1 2x n h n h n x n h n h n =

[ ]x n [ ] [ ]x n h n [ ] [ ]{ } [ ]x n h n h n


[ ]x n [ ] [ ]1x n h n [ ] [ ]{ } [ ]1 2x n h n h n

[ ]x n [ ] [ ] [ ]{ }1 2x n h n h n

Vrtetimi:[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2e

kh n h n h n h k h n k

=

= = [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 2

l k l kx n h n h n x l h k h n l k x l h k h n l k

= = = =

= = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1

m

y n x n h n x m h n m

=

= =


,m l i m k= =

[ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 2i i m

x n h n h n y i h n i x m h i m h n i= = =

= =

[ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2l k

x n h n h n x l h k h n l k

= =

=

20 Vetia e komutacionit[ ] [ ] [ ] [ ]x n h n h n x n =

Vrtetimi:

[ ]x n [ ] [ ]x n h n[ ] [ ] [ ] [ ]k

x n h n x k h n k

=

=


[ ]h n [ ] [ ]h n x n[ ] [ ] [ ] [ ]

kx n h n x k h n k

=

= n l k =

[ ] [ ] [ ] [ ]k

h n x n h n k x k

=

=

30 Distributiviteti ndaj mbledhjes

[ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2x n h n h n x n h n x n h n + = +

[ ]x n[ ] [ ]1x n h n

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2x n h n x n h n +


[ ] [ ]2x n h n

[ ] [ ] [ ]{ }1 2x n h n h n +

40 Vetia e zhvendosjes

[ ]x n [ ] [ ]x n h n l

N daljen e vonuar y[n-l] t dy termat e thurjes kontribuojn njsoj.


[ ]x n l [ ] [ ]x n l h n

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]y n l x n l h n x n h n l = =

50 Thurja me impuls njsi dhe me impuls njsi t vonuar

[ ]x n

[ ]x n

[ ]x n

[ ]x n l

Impulsi njsi d[n] sht element identiteti i thurjes.

[ ] [ ] [ ]x n x n n= vlen edhe:


vlen edhe:

[ ] [ ] [ ]x n l x n n l = Sistemi me prgjigje impulsive h[n] sht invertibil nse mund

t gjendet nj h-1[n] pr t cilin vlen:[ ] [ ] [ ]1h n h n n =

III. 2 Sistemet kontinuale Sinjalet kontinuale, ngjashm si sinjalet diskrete, mund t

prshkruhet si integral (jo shum) i peshuar i delta impulseve.

t

(t- )


t

x( ) (t- )

( ) ( ) ( )x t x t d

=

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }y t S x t S x t d x S t d

= = = Duke supozuar linearitetin, prgjigja y(t) e sistemit ne hyrjen

x(t) do t jet:

N qoft se prgjigja impulsive e sistemit sht h(t)=S{d(t)} dhe supozojm invariancn e sistemit n zhvendosje, do t vlej:

( ) ( ){ } ( ){ } ( )h t S t S t h t = = Prgjigja e sistemit y(t) llogaritet si thurje e sinjalit hyrs x(t) me


Prgjigja e sistemit y(t) llogaritet si thurje e sinjalit hyrs x(t) me prgjigjen impulsive t sistemit h(t), sipas shprehjes:

( ) ( ) ( )y t x h t d

= Q mund t shnohet shkurtimisht edhe n trajtn:

( ) ( ) ( )y t x t h t=

Shembulli 3: Prcakto prmes thurjes sinjalin n dalje t sistemit, nse x(t) dhe h(t) duken si n figur.


( ) ( ) ( ) 0 0y t x h t d d

= = =

( ) ( ) ( ) ( )0

1t t ty t x h t d e d e

= = =


( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 20

1t ty t x h t d e d e e

= = =

Vetit e thurjes s sinjaleve kontinuale: Vetit themelore jan t njjta me ato t sinjaleve

diskrete.10 Vetia e asociativitetit


1 Vetia e asociativitetit( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( )1 2 1 2x t h t h t x t h t h t =

Interpretimi: Prgjigja impulsive e sistemit q ekuivalenton dy

sisteme t lidhura n seri sht e barabart me thurjen e prgjigjeve t veanta impulsive, h1(t)*h2(t).

20 Vetia e komutacionit( ) ( ) ( ) ( )x t h t h t x t =

Interpretimi: Renditja e termave t thurjes nuk sht e rndsishme.

30 Vetia e distributivitetit ndaj mbledhjes


( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2x t h t h t x t h t x t h t + = + Interpretimi: Prgjigja impulsive e sistemit q ekuivalenton dy

sisteme t lidhura paralel sht e barabart me shumn e prgjigjeve t veanta impulsive, h1(t)+h2(t).

40 Vetia e zhvendosjes( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0y t t x t t h t x t h t t = =

Interpretimi: Zhvendosja e cilitdo term t thurjes pr kohn t0

shkakton zhvendosjen e daljes pr t njjtin interval.

50 Thurja e sinjalit me delta impulse, d(t) dhe d(t-t )


50 Thurja e sinjalit me delta impulse, d(t) dhe d(t-t0) ( ) ( ) ( )x t x t t=

Interpretimi: Sistemi me prgjigje impulsive (t) e prcjell t

pandryshuar sinjalin nga hyrja n dalje, ndrsa ai me prgjigje impulsive (t-t0) e vonon sinjalin pr t0.

( ) ( ) ( )0 0x t t x t t t =

III. 2 Prgjigja impulsive dhe vetit e sistemeve(a) Lineariteti dhe invarianca n zhvendosje Pr t qen t vlefshme shprehjet vijuese t thurjes:

( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] ose y t x h t d y n x k x n k


( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] ose k

y t x h t d y n x k x n k

=

= = Lineariteti dhe invarinaca n zhvendosje e sistemit

nnkuptohen.

(b) Kujtesa Sistemi nuk ka kujtes vetm dhe vetm nse prgjigja

e tij impulseve sht n trajtn:( ) ( ) [ ] [ ] ose h t C t h n C n = =

Ky pohim sht rrjedhim i shprehjeve pr thurje. N veanti, vetis s thurjes s sinjalit me impuls.

ku C sht nj konstant arbitrare.


veanti, vetis s thurjes s sinjalit me impuls. (c) Shkaksia Sistemi sht shkaksor vetm dhe vetm nse prgjigja

e tij impulseve sht zero pr vlerat negative t variablit t pavarur t ose n.

( ) [ ]0, 0 ose 0, 0h t t h n n= < =

(d) Invertibiliteti Sistemi me prgjigje impulsive h(t) ose h[n] sht

invertibil vetm dhe vetm nse mund t gjendet prgjigja impulsive e sistemit t kundrt h-1(t) ose h-1[n]q knaq barazimin:

( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]1 1 ose h t h t t h n h n n = =


( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]

Procedura e prcaktimi t h-1(t) ose h-1[n] nga barazimet e siprme quhet shthurje (dekonvolucion).

(e) Stabiliteti Sistemi me prgjigje impulsive h(t) ose h[n] sht stabil

vetm dhe vetm n qoft se prgjigja impulsive e sistemit sht e integrueshme (mbledhshme) sipas modulit.

( ) [ ]< ose n

h t dt h n

=

< Vrtetim:


Vrtetim:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h d y t x t h d

= Sinjali n hyrje duhet t jet me amplitud t kufizuar, prandaj

( ) , ,xx t B t < < ku Bx sht nj kufi i siprm q nuk tejkalohet nga asnj vler |x(t)|.Nga kjo kemi rrjedhimin:

( ) ( ) ( )x xy t B h t d B h t dt

= Nga ky jobarazim kemi implikimin:

( ) ( ) yh t dt y t B

< q do t thot se kushti:

( )h t dt

<


sht kusht i mjaftueshm pr stabilitet t sistemit. Se ky kusht sht edhe i nevojshm, mund t bindemi si n vijim: Le t kemi n hyrje t sistemit sinjalin e kufizuar n trajtn:

( ) ( )( ) ( )*

, 0h t

x t h th t

=

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

* *h hy t h t d h t d

h h

= = +

Prgjigja e sistemit n kt sinjal do t jet:

Pr t=0, vlera e sinjalit do t jet:

( ) ( )( ) ( )2

0h

y d h dh

= =


( )h Po t mos plotsohej kushti:

( )h t dt

< Ather y(0), q do t thot se ky kusht sht edhe i nevojshm. Ngjashm bhet vrtetimi edhe pr sisteme diskrete.

Zbrthimi i sinjaleve periodike n seri Furie


SERIA DHE TRANSFORMIMI FURIE

Nj klas shum e gjer e sinjaleve mund t shprehet si shum apo integral i peshuar i sinusoidave me frekuenca t ndryshme.

N kto raste thuhet se sinjali paraqitet prmes spektrit t tij Variabli i pavarur i spektrit sht


spektrit t tij. Variabli i pavarur i spektrit sht frekuenca .

Ky koncept i rndsishm i zbrthimit t sinjaleve sht emrtuar sipas inxhinierit francez Jean BaptiseFourier (1768-1830). Furie zbatoi kt koncept, n vitin 1807, n problemet e prcjelljes s energjis termike.

far dobie ka q sinjalet t zbrthehen n sinusoida e jo n ndonj familje tjetr t funksioneve?

Nj arsye e rndsishme:

0j tx t e Le t jet dhn nj sinusoid komplekse

Dhe nj sistem linear dhe invariant n zhvendosje me prgjigje


impulsive h(t). Prgjigja e ktij sistemi n x(t) do t jet:

0

0 0 0

0

0 0

j t

j t j j t

H

y t x t h d e h d

e h e d H e H x t

H(0), n rastin e prgjithshm, sht madhsi komplekse dhe me rndsi sht t vrehet se ai llogaritet nga h(t), por pr nj 0 t caktuar ka vler konstante.

Konstatimi i mparshm implikon prfundimin e rndsishm se sinusoida pas kalimit npr sistem linear dhe invariant n zhvendosje nuk e ndryshon trajtn e vet funksionale.

Pra, sinusoidat jan sinjale (funksione) karakteristike t sistemeve lineare dhe invariante n zhvendosje, pavarsisht se


a prshkruhen kto prmes ekuacioneve diferenciale/t diferencs apo prmes prgjigjes impulsive.

Rndsia e zbrthimit t sinjaleve n sinusoida komplekse qndron pikrisht n kt: Nse e zbrthejm nj sinjal hyrs n shum (integral) t sinusoidave komplekse dhe nse e dim prmes H() se si sistemi i modifikon amplitudat dhe fazat e sinusoids hyrse, ather sinjalin dals e prfitojm prsri duke mbledhur (integruar) sinusoidat n dalje.

Le t merret n trajtim nj sinjal periodik pr t cilin vlen:

III. 2 SERIA FURIE

x t T x t Ku T sht perioda themelore e sinjalit. Frekuenca themelore e sinjalit do t jet:

02


0 T Themi se ky sinjal mund t zbrthehet si shum e peshuar e

sinusoidave komplekse t trajts:

0 ,jn tne t e n n paraqet rendin e sinusoids komplekse q lidhet me

frekuencn e saj n0.

Nse e1(t) sht sinusoid me frekuenc themelore 0, ather komponenti i zbrthimit en(t) me frekuenc n0 paraqet harmonikun e n-t t sinjalit (zbrthimit).

Prandaj kjo mnyr e zbrthimit quhet analiz harmonike.

Duke iu kthyer pohimit ton paraprak shtrojm zbrthimin e sinjalit periodik si shum e komponentve harmonik:

0jn tnx t c e


nn

Ku cn paraqesin koeficientet pesh t zbrthimit Duhet t vrehet se trajta e siprme i ngjan zbrthimit, t njohur

nga matematika, t nj vektori n komponentt e veta baz.

Pr t ditur se a sht nj zbrthim i till i vlefshm, patjetr duhet t gjendet formula pr llogaritjen e koeficienteve cn n mnyr t vetme (unike).

Prcaktimi i formuls pr llogaritjen e koeficienteve pesh

0jn tnn

x t c e

Zbrthimi:

Shumzojm dy ant me 0 ,jk tke t e k integrojm brenda nj periode T dhe rezultatin e pjestojm me T.


0 0 0/ 2 / 2/ 2 / 2

1 1T Tjk t jn t jk tnT T

nx t e dt c e e dt

T T

00/ 2 / 2/ 2 / 2

1 1T T j n k tjk tnT T

nx t e dt c e dt

T T

0 0

/ 2 / 2

/ 20/ 2

2 22 2

0

1 1

sin 0,11,

T t Tj n k t j n k t

t TT

T Tj n k j n kT T

n k

e dt eT j n k T

n k n ke e

n kj n k T n k

0/ 2/ 2

1 T jk tn kT

nx t e dt c n k c

T

Barazimi i fundit na jep formuln pr llogaritjen e koeficienteve


Barazimi i fundit na jep formuln pr llogaritjen e koeficienteve cn.

2/

2/

0

0

1 T

T

tjnn

n

tjnn

dtetxT

c

ectx

Sinjali periodik x(t) mund t zbrthehet n seri Furie sipas formulave:

Seria Furie

Koeficientet e seris Furie

Sinteza

Analiza

Pr t qen nj sinjal i zbrthyeshm n seri Furie duhet t plotsohen tri kushtet e Dirichlet-it.

2/2/

T

T

dttx

10 Sinjali x(t) duhet t jet i integrueshm sipas vlers absolute

Kushtet e Dirichlet-it


2/T20 Brenda nj periode sinjali x(t) duhet t jet i kufizuar dhe t ketnumr t fundm t minimumeve dhe maksimumeve.

30 Brenda nj periode sinjali x(t) duhet t ket numr t fundm tdiskontinuiteteve dhe amplitudat e krcimeve t sinjalit n pikat ektyre diskontinuiteteve duhet t jen t fundme.

Prshkrimi i sinjalit periodik prmes koeficienteve cn quhet paraqitje spektrale e sinjalit, ose thjesht spektr i sinjalit

nn jn

cjnn ececc

nnn ccc 22 ImRe nnn cc

cReIm

arctan

Trajta polare e spektrit cn:

Spektri amplitudor:

Spektri fazor:


ncReShembull: T prcaktohet spektri i sinjalit n figur.

2

sin211

1111

0

0

22

0

5.0

5.00

5.0

5.0

2/

2/

00

000

nj

Tjnee

Tjn

eTjn

dteT

dtetxT

c

njnj

t

t

tjntjnT

T

tjnn

,3,2,1,0,2

sin2 00

nn

Tncn


Frekuenca themelore: 02T

Sink funksioni-nj funksion i dobishm:

xxxx ,sinsinc

xxx sinsinc


22

00 nxxn

2

sinc1 0n

Tcn

2

sinc1 0n

Tcn

,3,2,1,0,2

sin2 00

nn

Tncn

Spektri amplitudor:

0

Spektri i sinjalit periodik sht diskret!

022,2

T


5/20

025,5

T

Me rritjen e periods T spektri dendsohet dhe amplitudat shtypen. Mbshtjellsi i spektrit mbetet i njjt.

Mbshtjellsi i spektrit


Shnime shtes pr serin Furie1. Spektri i sinjaleve reale Spektri amplitudor i sinjaleve reale ka varsi ifte nga frekuenca

n0, ndrsa spektri fazor ka varsi teke. 0/ 2 *

/ 2

1 Re ImT

jn tn n n n

T

c x t e dt c c j cT


2 2Im

Re Im , arctanRe

nn n n n n n

n

cc c c c

c

2. Seria trigonometrike Furie Ndonjher spektri prcaktohet vetm pr frekuenca pozitive, t

cilave mund tju jepet interpretim i mirfillt fizik. N kto raste thuhet se sinjali sht shprehur si seri trigonometrike.

100

110

1

1

0

cos200

000

nnn

n

tjnjn

n

tjnjn

n

tjnn

n

tjnn

n

tjnn

tncceeceecc

ececcectx

nn

0 0 0 01

cos , , 2n n n nn

x t A A n t A c A c

Trajta e seris trigonometrike.

S kt i it t t f k iti


Spektri paraqitet vetm n frekuenca pozitive. A0=c0 paraqet komponentin njkahor t sinjalit.

3. Fuqia e sinjalit periodik

/ 2 2 2/ 2

1 Tn

nT

P x t dt cT

Teorema e Parseval-it:

Vrtetim:

0 0

0

*/ 2 / 2*

/ 2 / 2/ 2

2*

/ 2

1 1

1

T Tjn t jk t

n kn kT T

Tj n k t

n k nn k nT

n k

P x t x t dt c e c e dtT T

c c e dt cT

4. Fenomeni i Gibbs-it Kur sinjali periodik ka hope, n pikat e diskontinuitetit lajmrohen


Kur sinjali periodik ka hope, n pikat e diskontinuitetit lajmrohen oscilime q tejkalojn vlerat nominale t sinjalit.

Kjo dukuri quhet fenomeni i Gibbs-it dhe lajmrohet pr shkak t konvergjencs jouniforme t seris Furie.

Transformimi Furie dhe vetit e tij


III. 3 TRANSFORMIMI FURIE Spektri i sinjalit periodik sht diskret. Komponentt spektral

jan t prqendruar n shumfishin e frekuencs themelore, n pikat n0.

Shtrohet pyetja e natyrshme far spektri kan sinjalet aperiodike? Piknisje e trajtimit le t njohuria q kemi mbi spektrin e sinjalit

periodik


periodik. Themi se nj sinjal aperiodik mund t sajohet nga sinjali aperiodik,

ashtu q periodat fqinje largohen n pafundsi, T.

TT

txtx TT limku xT(t) sht sinjal periodik me period T dhe x(t) sht sinjali aperiodik.

Sinjali periodik xT(t) mund t shprehet prmes seris Furie

0jn tT nn

x t c e

0/ 21 T jn tt


0/ 2

jn tn T

T

c x t eT

Po t merrej drejtprsdrejti T ather cn0. Kjo do ta mbyllte diskutimin. Por mund t lejohet q prodhimi Tcn t ket kuptim (mos t jet zero).

0/ 2/ 2

Tjn t

n TT

Tc x t e dt

T shohim se far konsekuencash ka supozimi T.0lim limT T dT

Frekuenca themelore 0 shndrrohet n shtes infinitezimale d. Pasoj e supozimit sht se spektri ngjesht (0=d) dhe e ndrron

natyrn, nga ajo diskrete n at kontinuale. Edhe njher. Pikat diskrete n boshtin frekuencor n0 ngjeshn n

b hk i t hd t ik


Prandaj, mund t shnohet:

0/ 2/ 2

lim limT

jn t j tn TT T

T

Tc x t e dt x t e dt X

bashksi t vazhduar t pikave .

X() paraqet transformimin Furie (spektrin) e sinjalit x(t).

Si do t rimkmbet sinjali x(t) nga spektri i tij X()? Nisemi nga formula pr sinjale

periodike: 0jn tT nnx t c e

N prputhje me qasjen e deritashme marrim se vlen:

0lim , lim lim2 2n nT T T

X Xc T X c X d

T


Nga supozimi n0= rrjedh edhe: limT n

Me kt arrijm edhe deri te formula e sintezs (rimkmbjes):

12

j tx t X e d

q quhet transformimi i kundrt Furie i X().

Ngjashm si pr sinjale periodike ashtu edhe pr ato aperiodike, pr t pasur sinjali transformim Furie duhet ti plotsoj kushtet e Dirichlet-it

x t dt

10 Sinjali x(t) duhet t jet i integrueshm sipas vlers absolute

20 Sinjali x(t) duhet t jet i kufizuar dhe t ket numr t fundm t


2 Sinjali x(t) duhet t jet i kufizuar dhe t ket numr t fundm tminimumeve dhe maksimumeve.

30 Sinjali x(t) duhet t ket numr t fundm t diskontinuitetevedhe amplitudat e hopeve duhet t jen t fundme.

Ilustrimi grafik i kalimit nga spektri diskret n at t vazhduar.

0 2 /T


Prmbledhje:

Transformimi Furie: j tX x t e dt

1

2j tx t X e d

Transformimi i kundrt Furie:

ifti transformues Furie: x t X


Spektri amplitudor: 2 2Re ImX X X Spektri fazor:

Imarctan

ReXX

Trajta polare e transformimit jX X e

Vetit e transformimit Furie10 Lineariteti

1 1 2 2,F Fx t X x t X Nseather 1 2 1 2 ; ,Fax t bx t aX bX a b C


20 Zhvendosja n kohNse Xtx F ather pr nj zhvendosje kohore t0vlen Xettx tjF 00

Shembulli 1:

1 1 1 sin2 2 sincj t j t j jX e dt e e ej j


j j

2 1x t x t 2 1 2 sincj jX e X e

30 Shkallzimi n kohNse Xtx F ather vlen:

Koment: Ndrydhjes s sinjalit n domen kohor i prgjigjet zgjerimi i spektrit n domenin frekuencor dhe e anasjella.

1Fx at Xa a


Shembulli 2: T caktohet transformimi i sinjalit x(at), dhe at pr vlera t konstants a m e madhe dhe m e vogl se nj.

at

at

atxatat

atx0

,1ose

0,1

2 sincF x t

2 sinc2

F x t


2/ 2 4 sincF x t

40 Pasqyrimi n kohNse Xtx F ather vlen: Xtx FNse x(t) sht real ather: *Xtx F

Shembulli 3: Le t jet x(t)=e-btu(t). Prcakto transformimin e x(-t).

tjbtjbtjbttjbt dtdtdtttF 1


j

tjbtjbtjbttjbt

eXXjb

ejb

dtedteedtetuetxF

1

000

bb

X

arctandhe,122

ku


50 Shumzimi me fuqi t t-sNse Xtx F ather vlen: Xd

djtxt nn

nFn

Shembulli 4: Prcakto transformimin e x(t).

101,

ttt

tx

sinc21X 2 sincos2sin2

jddjX


|X( )|

60 Shumzimi me sinusoid komplekseNse Xtx F ather vlen: 00 Xetx Ftj

70 Shumzimi me sinusoid reale-Vetia e modulimitNse Xtx F ather vlen:

000 2sin XXjttx F


Shembulli 5: Prcakto transformimin e x(t).

000 2 000 2

1cos XXttx F

ststt

tx5.0,05.0,60sin

x(t) mund t shprehet si prodhim i sinjalit puls, me amplitud njsi dhe kohzgjatje prej 1s, me nj sinusoid me frekuenc 0=60(rad/s)

ttxtx 01 sin 01012 XX

jX 010121 XXX


80 Integrimi n domenin kohorNse Xtx F ather vlen:

01 XXj

dx Ft

90 Thurja n domenin kohorNse Xtx F ather vlen:


Nse tx

HXdthxthtx F

Ndrlidhja e daljes dhe hyrjes s sistemit n domenin frekuencor.

dtethH tjPrgjigja frekuencore

100 Shumzimi n domenin kohorNse Xtx F ather vlen:

YXtytx F 21

Koment pr vetit 9 dhe 10: Thurjes n domen kohor i prgjigjet prodhimi n domen frekuencor dhe e anasjella.

110 Teorema e Parseval it


110 Teorema e Parseval-it

dYXdttytx 2

1

Rrjedhim: Pr y(t)=x(t) vlen: 2 212x t dt X d

Q jep relacionin n mes t energjis s sinjalit n domenin kohor dhe at frekuencor.

120 Dualiteti n mes t domenit kohor dhe frekuencorVlen ekuivalenca:

xtXXtx FF 2Me fjal: Nse sinjalit x(t) i prket transformimi X(), ather sinjalit me varsi funksionale X(t) i prket transformimi me trajt funksionale x(-) i shumzuar me konstantn 2.

Vrtetim:


Vrtetim:

j tX x t e dt

1

2j tx t X e d

Fx t X

1Fx t X

2 j tx t X e d

Shprehjen e fundit e rregullojm duke riemruar variablet

2 jx X e d

zvendsojm =t

zvendsojm t=-


2 jt j tx X t e dt X t e dt

zvendsojm t

Vrtetohet: 2FX t x Ngjashm vrtetohet edhe e anasjella.

Shembulli 6: Prmes dualitetit t domeneve prcakto iftin dual t x(t).

tt

tx0,1

sincdteX tj

sincX


BB

Rx0,1

BtBtr sinc

2

BtBtr sinc

2

III.4 Transformimi i prgjithsuar Furie

Shum sinjale t rndsishme nuk kan transformim Furie sepse nuk e plotsojn kushtin:

x t dt


Prfaqsuesi m i shquar i ktyre sinjaleve aperiodike q nuk kan transformim Furie sht sinjali shkall njsi u(t).

Gjithashtu sinjalet periodike nuk kan transformim Furie n kuptimin e zakonshm,

Prfaqsues tipik i ktyre sinjaleve sht sinusoida.


Shtrohet pyetja: A mund t formohet nj korniz e prbashkt matematikore, e

atill q edhe ato sinjale q nuk e plotsojn kushtin e par t Dirichlet-it t ken transformim Furie?

N qoft se n domenin e transformimit Furie lejohen delta impulset, prgjigja n kt pyetje sht afirmative.

Prfshirja e delta impulsit () n shprehjen e transformimit Furie shpie deri te transformimi te prgjithsuar Furie.

Mbshtetja e transformimit t prgjithsuar Furie Shprehja pr transformim Furie t sinjalit x(t)=1 sht e papr-

caktuar n kuptimin e zakonshm.

, 1 e paprcaktuarF j tt e dt


Por, nse kemi parasysh transformimin e delta impulsit

0 1,F j t jt t e dt e

dhe vetin e dualitetit t transformimit Furie

xtXXtx FF 2

Kemi kt rrjedhim:

12 1 ose 2

j t j te dt e dt

1, , 1 2 2F Ft t Kemi kt rrjedhim:

Interpretimi:


Spektri i sinjalit me vler konstante sht plotsisht i prqendruar n frekuencn =0, me pesh 2.

x(t)=11

0 t

Themi: Transformimi i prgjithsuar Furie sinjalit x(t)=1 sht 2().

T rikujtojm: Ky sinjal nuk ka transformim Furie n kuptimin e zakonshm.

Me kt rezultat n dispozicion mund t gjendet edhe trans-formimi i prgjithsuar i sinusoids reale, cos(0t).

Le t jet x(t)=1, ather sipas vetis s modulimit vlen:


1 2Fx t 0 0 01 1cos 2 2Fx t t X X

Nga,

Kemi pr rrjedhoj: 0 0 0cos Ft


Spektri i sinjalit sinusoidal sht plotsisht i prqendruar n frekuencat =0 dhe =-0 me peshat .

Se spektri i fituar sht i sakt bindemi me transformim t kundrt:

0 0

0 0 0 0

0

1 1 12 2 2

1 1 cos2 2

j t j t j t

j t j t

e d e d e d

e e t

Transformimi i sinjalit shkall njsi u(t)Zbatimi i drejtprdrejt i shprehjes pr transformim n sinjalin shkall njsi u(t) nuk jep rezultat, sepse

0

e paprcaktuarF j tu t e dt

Por n qoft se sinjalin u(t) e zbrthejm n komponentin ift dhe tek

1 1


1 1,2 2s a

u t u t u t u t u t u t Fitohet,

1/ 2, 01 1, ; sgn1/ 2, 02 2s a

tu t t u t t

t

Sinjali sgn(t) lexohet signum dhe paraqet sinjalin e parashenjs.

us(t)

1/2

0

= +

Transformimi i us(t) sht i gatshm. 1/ 2 Fsu t Ndrsa pr prcaktimin e transformimit t u (t) vrejm se:


Ndrsa pr prcaktimin e transformimit t ua(t) vrejm se:

1 sgn 1,2

Fdt tdt

Nga vetia e derivatit kemi rrjedhimin:

1 1, sgn2

F Fdx t j X tdt j

Zbatojm vetin e linearitetit t transformimit dhe fitojm:

1Fu tj

u(t)1


0 t

Transformimi i prgjithsuar Furie i sinjaleve periodike

Le t jet dhn nj sinjal periodik x(t) me period T dhe frekuenc themelore 0=2/T.

Ky sinjal mund t zbrthehet n seri Furie.

0jn tnn

x t c e

Secili term i seris mund t shprehet n domenin frekuencor


Secili term i seris mund t shprehet n domenin frekuencor 0 02jn t Fn nc e c n

Duke marr n konsiderat vetin e linearitetit, fitohet:

0 02jn t Fn nn n

c e c n

Paraqitja grafike e spektrit t sinjalit periodik


Shihet se n spektrin e sinjalit periodik komponentt spektral jan t prqendruar vetm n shumfishet e frekuencs themelore 0.

Kjo paraqitje sht ekuivalente me at t spektrit diskret t paraqitur m par te serit Furie.

Zbatimet e transformimit Furie


Modulimi dhe mostrimi Analiza e sistemeve n domenin

frekuencor

Dy zbatime t analizs n domenin frekuencor(Modulimi dhe mostrimi)

Rndsia e analizs spektrale t sinjaleve vjen fuqishm n shprehje n shum situata t prpunimit t sinjaleve.

Pr ilustrim, ktu sht zgjedhur rasti i modulimit amplitudor dhe i mostrimit t sinjaleve t vazhduara.

Modulimi amplitudor


Le t supozojm se dshirojm t transmetojm me val elektromagnetike nj sinjal t t folurit me spektr q ka brez t kufizuar frekuencor n 3KHz.

Po t transmetohej ky sinjal drejtprsdrejti gjatsi valore minimale vals elektromagnetike do t ishte:

8

min 3 -1max

3 10 m/s 100 km3 10 s

c

f

= = =

Pr tu transmetuar me efikasitet kjo val nevojitet q gjatsia e antens t jet s paku /10.

Kjo do t thot se pr frekuencs maksimale n spektrin e sinjalit nevojitet gjatsia minimale e antens t jet 10 km. Pr komponentt spektral me frekuenca m t ulta, kjo gjatsi sht edhe m e madhe.

Pr shkak t prmasave t ekstreme t antens, transmetimi i drejtprdrejt i sinjalit sht i pamundur.

Ky problem mund t zgjidhet prmes modulimit amplitudor.Skema e ksaj mnyre t prpunimit t sinjalit sht treguar n vijim:


Sinjali modulues

Diagramet kohore t modulimit amplitudor

t

cos( 0t)

t

x(t)cos( 0t)

Informata Bartsi AM sinjali

Spektri i sinjalit me amplitud t moduluar prcaktohet me:


( ) ( ) ( ) ( )0 0 01 1cos 2 2Fx t t X X + +

Spektri i sinjalit t moduluar prbhet nga versionet e zhvendosura t spektrit origjinal t informats.

Ruajtja e trajts s spektrit origjinal ka pr rrjedhoj edhe ruajtjen e sinjalit t informacionit.

XAM(f)()X(f-f0)()X(f+f0)

Diagramet frekuencore t modulimit amplitudor

2f

=


fmax-fmax 0 f0-fmax f0+fmaxf0-f0-fmax -f0+fmax-f0 f

8

0 max 0 max 6 -10

3 10 m/s, p.sh. 1000 3MHz, 100m

3 10 scf f f f f

>> = = = =

far u fitua praktikisht me modulim amplitudor?

U rrit frekuenca e sinjalit q ka pr pasoj zvoglimin e gjatsis valore t valve elektromagnetike.

Antena me gjatsi /10=10m mund t realizohet!

Modulimi i amplituds s pulseve-Mostrimi

Te modulimi i amplituds s pulseve sinjali i informacionit sht i prmbajtur n amplitudat e vargut t pulseve me kohzgjatje shum t shkurt dhe period T.

Shkurtesa pr kt lloj t modulimit sht PAM nga anglishtja Pulse Amplitude Modulation.


Bllok-skema:

Prfitimi i sinjalit PAM mund t parafytyrohet edhe kshtu:Nj qels elektronik mbyllet do T sekonda dhe n pozit t mbyllur rrin sekonda.

Nse n njrin skaj t elsit zbatohet sinjali i informacionit x(t) n tjetrin skaj prfitohet PAM sinjali.

x(t) xPAM(t)=x(t) p(t)

Ky prshkrim i prfitimit t PAM sinjalit i prgjigjet procesit s marrjes s mostrave nga sinjali i vazhduar.


Ajo q ndodh n domenin kohor n kt proces sht ilustruar n vijim:

Lidhur me PAM sinjalin shtrohet pyetja themelore:A prcillet e tr informata e x(t) n sinjalin PAM?

Prgjigja n kt pyetje nuk mund t nxjerrt nga prshkrimi i procesit n domenin kohor, prandaj i referohemi atij frekuencor.

Pr t thjeshtuar trajtimin le t supozohet se 0 dhe (1/)=1. Me kt supozim vargu i pulseve p(t) prafrohet me vargun periodik t delta impulseve


( ) ( ) ( )Tn

p t t t nT

=

= ( ) ( )T

n

t t nT

=

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )PAM Tn n

x t x t t x t t nT x nT t nT

= =

= = = PAM sinjali mund t shtrohet n trajtn:

Pr t fituar njohuri m t thell pr kt sinjal t moduluar nevojitet q vargu periodik i delta impulseve t shprehet n domen frekuencor.

( ) ( ) mjn tT nn n

t t nT c e

= =

= =


Ku:

( )/ 2 0/ 2

1 1 1m m

T jn t jnn T

c t e dt eT T T

= = =

2m T

= paraqet frekuencn e mostrimit

dhe cn paraqesin koeficientet Furie t vargut periodik T(t)

M kt modifikim PAM sinjali mund t shprehte edhe si:

( ) ( ) ( ) ( )1 mjn tPAMn n

x t x t t nT x t eT

= =

= = N shprehjen e siprme zbatojm transformimin Furie, duke pasur parasysh vetin e

Kjo do t thot se vlen:

( ) ( ) 1 mjn tTn n

t t nT eT

= =

= =


shumzimit me sinusoid komplekse

( ) ( )01 1jn t F mn n

x t e X nT T

= =

Prfundojm se spektri i PAM sinjalit sht zgjerim periodik i spektrit t sinjalit x(t),

me period n domenin frekuencor m.

N vijim sht paraqitur spektri i PAM sinjalit

A/TXPAM( )

A/T A/T A/T

0

A

max- max

X( )


0 max- max

m/2

m maxm- maxm

- m max- m- max

- m - m/2 2 m

Prfundojm se: Informacioni i x(t) ruhet n PAM sinjal nse periodat fqinje t spektrit nuk prputhen, q do t thot:

max max

max

122 2

m f TT f

Prgjigja frekuencore e sistemit Shpesh analiza e sinjaleve dhe e sistemeve bhet drejtprsdrejti

n domenin frekuencor. Arsyet mund t jen kto:a) Nevoja q rezultatet e analizs t paraqiten drejtprsdrejti

n domen frekuencor.b) Interpretimi i rezultateve bhet m i kuptueshm n kt

domen.c) Prcaktimi i sinjalit dals n domen frekuencor bhet m


c) Prcaktimi i sinjalit dals n domen frekuencor bhet m thjesht n domenin kohor.

Prshkrimi i sistemit n domenin kohor dhe at frekuencor.

( )h t( )H

( )x t ( ) ( ) ( )y t h t x t= ( ) ( ) ( )Y H X =( )X

H() paraqet transformimin Furie t prgjigjes impulsive dhequhet prgjigje frekuencore e sistemit dhe prkufizohet me

( ) ( ) j tH h t e dt

= H() mund t prcaktohet edhe si raport i spektrit t sinjalit dals

ndaj atij hyrs.( ) ( )( )

YH

X

=


H() mund t paraqitet n trajt polare.( ) ( ) ( ) ( ) ( )j jH H e A e = =

ku ( ) ( ) ( ){ } ( ){ }2 2Re ImA H X X = = +( ) ( ){ }( ){ }

Imarctan

ReXX

=

A() paraqet karakteristikn apo prgjigjen amplitudore tsistemit, ndrsa () paraqet karakteristikn fazore t sistemit.

Kur prgjigja impulsive h(t) sht madhsi reale, prgjigjafrekuencore H() tregon veti t simetris.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ose j jH H A e A e = = Prfundojm se kur h(t) sht real karakteristika amplitudore e

sistemit do t jet funksion ift, ndrsa karakteristika fazore do tjet funksion tek i .


jet funksion tek i .( ) ( ) ( ) ( )dhe A A = =

Le t se marrim se spektrat e sinjalit dals dhe hyrs t shprehurn trajt polare, jan:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dhe yx jjX X e Y Y e = =

Me kalim t sinjalit npr sistemin me karakteristik amplitudoreA(), spektri i tij amplitudor ndryshon n pajtim me shprehjen:

( ) ( ) ( )Y A X = Spektri fazor i sinjalit dals fitohet ashtu q spektrit fazor t

sinjalit hyrs i shtohet karakteristika fazore e sistemit( ) ( ) ( )y x = +

Shembull 1: T prcaktohet prgjigja frekuencore e sistemit me


Shembull 1: T prcaktohet prgjigja frekuencore e sistemit meprgjigje impulsive:

( ) ( )a th t e u t=ku a paraqet nj konstant t fardoshme.

Zgjidhje:( ) ( )

0

1a t a tj t j tH e u t e dt e e dta j

= = =

+

Moduli i H() paraqet karakteristikn amplitudore t sistemit( )

2 2

1Aa

=

+

Deri sa karakteristika fazore e sistemit do t jet:

( ) arctan arctana a

= =


( )

0

- /2

/2A( )

0

1/|a|

Prgjigja e sistemit n sinusoidn komplekse Le t jet sinjali hyrs sinusoid komplekse me frekuenc 0

( ) 0j tx t e = Prgjigja e sistemit n domen t frekuencs n kt ngacmim

sht( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0 02 2 jjY H X A e A e = = =

Nse zbatojm transformimin e kundrt Furie n shprehjen esiprme prfitojm sinjalin dals n domenin kohor


siprme prfitojm sinjalin dals n domenin kohor( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )0

0 0

0 0

0

1 122 2

jj t j t

j t

y t Y e d A e e d

A e

+

= =

=

Sinusoida nuk e ndrron trajtn e vet me kalim npr sistem linear. Amplituda e sinusoids ndryshon duke u shumzuar me vlern e

karakteristiks amplitudore n pikn =0. Ndryshon edhe faza e sinusoidspr kndin t prcaktuar me (0).

( ) ( ) ( )00 02 jA e


Prgjigja e sistemit n sinusoidn reale Le t jet sinjali hyrs

( ) ( )0cosx t t=

Q mund t shprehet n trajt polare si:( ) ( ) 0 00 1 1cos 2 2

j t j tx t t e e = = +

Transformimi Furie i ktij sinjali sht( ) ( ) ( )0 0X = + +

Spektri i prgjigjes s sistemit Y() n kt ngacmim do t jet:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0j jY A e A e + +


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 0 0 0j jY A e A e = + +

( ) ( ) ( )00 0jA e ( ) ( ) ( )00 0jA e +

Sinjali dals y(t) prcaktohet prmes shprehjes

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0 0 00 0

0 0 0

12 2 2

cos

j t j tj t A Ay t Y e d e e

A t

+ +

= = +

= +

Prsri n dalje fitohet varsi sinusoidale e sinjalit, por meamplitud t modifikuar pr A(0) dhe shfazim (0).

( ) ( )cosx t t=


( ) ( )0cosx t t=

( ) ( )[ ]0 0cosy t t = +

Prgjigja e sistemit n sinjal t fardoshm periodik N hyrje t sistemit le t veproj nj sinjal periodik x(t) me

period T dhe le t jet ky sinjal i zbrthyeshm n seri Furie.( ) 0jn tn

n

x t c e

=

= Spektri i ktij sinjali mund t shprehet prmes transformimit t

prgjithsuar Furie si( ) ( )2X c n =


( ) ( )02 nn

X c n =

= Ku cn jan koeficientet e seris Furie t cilat n trajtn polare

mund t shprehen sinj

n nc c e

=

Spektri i sinjalit dals Y() n sistemin me prgjigje frekuencoreH() sht( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 02 2n n

n n

Y H X H c n H n c n

= =

= = =

N qoft se n shprehjen e siprme marrim se vlerat e funksionittransmetues mund t shprehen si

( ) ( ) ( )00 0 j nH n H n e = dhe me dn shnojm

( ) ( ) ( )00 0 n nj nn n n nd H n c H n c e d e + = = = do t fitohet shprehja e rregulluar pr spektr t sinjalit dals

( ) ( )02 nY d n

=


( ) ( )02 nn

Y d n=

Nga analogjia me shprehjen pr x(t) dhe spektrin e tij X(), mund

t prfundojm se vlen edhe( ) 0jn tn

n

y t d e

=

=

Shprehja e fundit tregon qartazi se edhe sinjali dals sht periodik, meperiod t njjt t prsritjes si sinjali x(t).

Natyra periodike e sinjalit nuk ndryshon me kalim t tij npr sistem lineardhe invariant n zhvendosje.

Por megjithkt ekziston nj dallim thelbsor n mes t ktyre dy rasteve. Nrastin e ngacmimit me sinjal t pastr sinusoidal trajta funksionale e sinjalitnuk ndryshon, ndrsa n rastin e sinjalit periodik kjo ndodh sepse pr rastin eprgjithshm nuk do t vlej dn=cn. Ilustrimi grafik sht dhn n figurnvijuese, ku trajta e spektrit sht diskrete, por jo e njjt pr shkak se dncn.


Zbatimet e transformimit Furie


Filtrimi dhe filtrat ideal Demodulimi dhe rimkmbja

Filtrimi dhe filtrat ideal Filtrat jan sistemet q vendosen n shtegun e sinjalit, me qllim

q prmes tyre t formsohet spektri i sinjalit. N kt aspekt do sistem, funksioni primar i t cilit prkufizohet

prmes vetive t prgjigjes frekuencore t tij mund tkonsiderohet filtr.

N t shumtn e rasteve filtri ka pr detyr q n nj interval tcaktuar t frekuencs, q quhet brez frekuencor, t lejoj apo mos


caktuar t frekuencs, q quhet brez frekuencor, t lejoj apo most lejoj prcjelljen e spektrit t sinjalit nga hyrja n dalje.

Filtr ideal konsiderohet ai sistem i cili prcjell pa asnjndryshim prmbajtjen spektrale t sinjalit n nj brez t caktuarfrekuencor dhe n nj brez tjetr frekuencor plotsisht e pengonkt prcjellje t spektrit.

Tipat themelor t filtrave ideal jan:1. Filtri ideal ult-lshues2. Filtri ideal lart-lshues3. Filtri ideal brez-lshues4. Filtri ideal brez pengues

Filtri ideal ult-lshues Karakteristika amplitudore e ktij filtri sht e prkufizuar si


Karakteristika amplitudore e ktij filtri sht e prkufizuar si

( ) 1,0,c

ulc

A

ku c parqet frekuencn e prerjes.

Filtri ideal lart-lshues

( ) 1,0,c

llc

A

>=

Karakteristikat amplitudore t filtrave ideal jan paraqitur nfigurn vijuese.


Karakteristika fazore e filtrave ideal Karakteristikat e rrafshta amplitudore t filtrave ideal nuk

shkaktojn shtrembrime amplitudore n brezin e tyre lshues. Pr tiu shmangur shtrembrimeve fazore nevojitet q

karakteristika fazore e filtrit t jet lineare. Le t marrim se n hyrje t filtrit ideal ult-lshues vepron nj

sinjal i prbr nga dy komponent sinusoidal( ) ( ) ( )cos cosx t t t


( ) ( ) ( )1 2cos cosx t t t = + Frekuencat e t dy komponentve le t gjenden brenda brezit

lshues t filtrit, q do t thot se 1

Ather me kalim t sinjalit npr filtr, sinusoidat do tshfazohen pr kndet:

1 1 0 2 2 0 dhe t t = = Amplitudat e sinusoidave n dalje t filtrit mbesin t njjta sepse

A(1)=A(2)=1. Prandaj drejtprsdrejti shnojm:( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 2 2 0 1 0 2 0cos +cos cos cosy t t t t t t t t t = = +

Amplitudat e sinusoidave n dalje t filtrit mbesin t njjta sepse


Amplitudat e sinusoidave n dalje t filtrit mbesin t njjta sepseA(1)=A(2)=1. Prandaj drejtprsdrejti shnojm:

( ) ( )0y t x t t= Kur karakteristika fazore sht lineare t dy komponentt

sinusoidal t sinjalit, edhe pse me frekuenca t ndryshme,vonohen pr zhvendosje t njjt kohore t0.

N kt rast thuhet se nuk ka shtrembrime fazore.

N rastin e kundrt, po t ishte karakteristika fazore jolineareather nuk do t mund t vendosej prpjesa lineare n mes tshfazimeve

1 1

2 2

q pr rrjedhoj do t kishte pashmangshm edhe( ) ( )0y t x t t


me prfundim se sinjali dals nuk i ngjan sinjalit hyrs pr arsyet shtrembrimeve t shkaktuara nga karakteristika jolinearefazore e filtrit.

Filtri ideal ult-lshues me karakteristik lineare fazore Le t jet filtri ideal ult-lshues me karakteristik t rrafsht

amplitudore dhe karakteristik lineare fazore, t treguara nfigur.


( ) 01 ,0,

j tc

ulc

eH

far prgjigje impulsive h(t) ka ky filtr?

( ) ( )( ) ( )

( )( )

0

0 0 0

0

1 12 2

sin1sinc

2

c

c

c

c

j tj t j tul

cj t t cc c

c

h t H e d e e d

t t t te d

t t

= =

= = =

hul(t)

t0+ / ct0- / c

c/


Prgjigja impulsive hul(t) sht me kohzgjatje t pakufizuar ngat dy ant q do t thot se filtri ideal sht joshkaksor dhefizikisht i parealizueshm.

0 tt0

2 / c

Shembull : T prcaktohet prgjigja e filtrit ideal ult-lshues mefrekuenc t prerjes c n sinjalin

( ) sinc tx t

=

Nga vetia e dualitetit t domenit kohor dhe t atij frekuencordim se spektri i x(t) ka trajt drejtkndshe si n figur.


Parametrat e spektrit llogariten nga shprehja e prgjithshme( ) 1 1sinc sinct tx t A

= =

Prej ktu rrjedh: 1=1, A=.

Spektri i sinjalit dals do t jet( ) ( ) ( )Y H X =

Prgjigja frekuencore e filtrit ideal ult-lshues sht e dhn me

( ) 01 ,0,

j tc

c

eH

Rasti (a) - frekuenca kufitare e spektrit t sinjalit hyrs sht m

e vogl se frekuenca e prerjes c, c>1.0, 1j te

Rasti (a) - frekuenca kufitare e spektrit t sinjalit hyrs sht me madhe se frekuenca e prerjes c, c

T shohim se far ndodh me procesin e demodulimit n t dydomenet, kohor dhe at frekuencor.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

20 0

0

cos cos

1 1 cos 22

AMy t x t t x t t

t x t

= =

= + ( ) ( ) ( ) ( )0 01 1 12 22 4 4Y X X X = + + +


Skema e plot e demodulatorit sinkron.

Multipleksimi i sinjaleve n frekuenc


Npr nj kanal (medium fizik) mund t transmetohennjkohsisht m shum sinjale t informacionit nse spektrat etyre palosen n frekuenc.

Kjo mnyr e prpunimit t sinjalit quhet multipleksimfrekuencor.

Le t jen N sinjale t informacionit x1(t), x2(t),...,xN(t) q t gjithq zn brezin e njjt frekuencor ||B.

N qoft se sinjalet e informacionit modulohen me barts t frekuencave nmes veti t zhvendosura pr 2B, ather spektrat e AM sinjaleve nukprputhen. Kjo situat sht ilustruar n figurn vijuese.


Skema parimore e multipleksimit dhe demlutipleksimit


2. Rimkmbja e PAM sinjalit PAM sinjali


( ) ( ) ( )PAMk

x t x t p t kT

=

= Nse vargu periodik i pulseve prafrohet me varg t delta

impulseve, ather vlen

( ) ( ) ( ) ( )1 mjk tPAMk k

x t x t t kT x t eT

= =

= =

( ) ( )1PAM mk

X X kT

=

=


Rimkmbja e sinjalit bhet duke veuar spektrin e sinjalit nbrezin themelor prmes nj filtri ult-lshues.

Le t jet prgjigja frekuencore e filtrit si n vijim

0 B

Hul( )T

-B

( ) ,0,ulT B

HB

=

> Prgjigja impulsive e filtrit.

( ) sincul BT Bth t

=


N dalje t filtrit kemi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ul PAM PAM uly t h t x t x h t d

= = ( ) ( ) ( )PAM

kx t x kT t kT

=

=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )ul

ulk

ulk

x kT h t kT

ulk

y t x kT kT h t d

x kT kT h t d

x kT h t kT

=

=

=

=

=

=


( ) ( ) ( ) ( ) sinck

BT By t x kT t kT x t

=

= =

Formula interpoluese (rimkmbse)

Rast i veant

,

2mB BT = =

( ) ( ) ( ) sinc2

m

ky t x kT t kT

=

=


Transformimi Furie i sinjaleve diskrete

Seria Diskrete Furie (SDF) Transformimi Furie n Koh Diskrete

(TFKD)

Sinjale&Sisteme 1Ligj. 9

1. Seria Diskrete Furie (SDF) Dihet se sinjali i vazhduar periodik, me period T, mund t

paraqitet prmes Seris Furie

( ) 0l jl tll

x t c e =

=

= Supozojm se edhe sinjali diskret periodik mund t paraqitet

prmes nj serie t trajts s ngjashme

[ ] 01 jk nkk

x n d eN

=


Le t evidentohen ngjashmrit dhe dallimet n mes t ktyre dyrasteve

t dhe T kan njsi n sekonda [s]Sinjali i vazhduar periodik

-10

2rad s

T

= Frekuenca themelore:

Sinjali diskret periodikn dhe N nuk kan njsi

Frekuenca themelore:

[ ]0 2 radN =

( ) 0jl tle t e = [ ] 0jk nke n e =

T

Sinusoidat baz t zbrthimit t sinjaleve t vazhduara periodike

Sinusoidat baz t zbrthimit t sinjaleve diskrete periodike

Kufijt e seris

l

=

Kufijt e seris

?

?k=


Sinusoida e vazhduar sht periodike vetm n varsi tvariablit t pavarur t, e jo edhe n varsi t indeksit l.

( ) ( ) ( )0 0 2jl t T jl t j ll le t T e e e e t ++ = = = Kjo ka pasoj q ( ) ( )

1 21 2 l ll l e t e t

Prandaj kufijt e shums te sinjalet e vazhduara e prshkojntr brezin e vlerave t indeksit l, -

Sinjali diskret periodik x[n] mund t paraqitet prmes seris[ ]

21

0

1 N jk nNk

kx n d e

N

=

= q quhet Seria Diskrete Furie (SDF). dk jan koeficientet e SDF. Prcaktimi i koeficienteve t SDF

[ ] ( )2 2 2 21 1 1 1 1

0 0 0 0 0

1 1N N N N Njm n jk n jm n j k m nN N N Nk k

n n k k nx n e d e e d e

N N

= = = = =

= =

( )

( )[ ]

21 1

20 0

1 1 1

1

j k mN N

k k mj k mk kN

e d N k m d dN N

e

= =

= = =

Pra, koeficientet e SDF llogariten nga shprehja

[ ]21

0

N jk nN

kn

d x n e

=

= Shumat e fundme nuk kan probleme me konvergjenc!


2. Transformimi Furie i kohs diskrete (TFKD)

Ngjashm si te transformimi Furie i kohs s vazhduar edhe teprkufizimi i TFKD, sinjali diskret aperiodik mund t merret sirast limit i sinjalit periodik kur N.

Kushti N implikon q edhe indekset e koeficienteve t SDFdk t marrin vlera nga intervali i pafundm, -

Transformimi Furie i nj sinjali diskret X(ej) i sinjalit x[n] sht iprkufizuar me: ( ) [ ]j j n

n

X e x n e

=

= () Cilat sinjale, sipas definicionit (), kan TFKD ?

a) T gjitha sinjalet me kohzgjatje t fundme dhe vlera t kufizuara.b) Vetm ato sinjale me kohzgjatje t pafundme q jan t mbledhshme

sipas modulit, domethn, q plotsojn kushtin:[ ]

n

x n

< n=

Ky sht kusht i mjaftueshm (por jo edhe i nevojshm) q sinjaletenergjis t ken TFKD, sepse:

[ ] [ ]2

2

n n

E x n x n

= =

=

Shembulli 1. Sinjali [ ] [ ]1 1x n u nn

=

sht sinjal i energjis, sepse: [ ]2

2

21 1

16n n

E x nn

= =

= = = por nuk sht i mbledhshm sipas modulit.


TFKD X(ej) quhet edhe spektr i sinjalit x[n]. X(ej) mund t paraqitet si:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )jj j j jR IX e X e jX e X e e = + =( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2, arctan

jIj j j

R I jR

X eX e X e X e

X e

= + =

|X(ej)| quhet spektr amplitudor i sinjalit x[n]. Madhsia () quhet spektr fazor i sinjalit x[n]. N qoft se x[n] sht sinjal real, ather |X(ej)| dhe [X (ej)] N qoft se x[n] sht sinjal real, ather |X(ej)| dhe [XR(ej)]

jan funksione ifte t , derisa () dhe [XI(ej)] janfunksione teke t . (T provohet kjo si detyr shtpie)

TFKD X(ej) sht funksion periodik variablit . Perioda e tij sht 2. ( )( ) [ ] ( ) [ ]

[ ] ( )

2 2 2j k j k n j n j kn

n n

j n j

n

X e x n e x n e e

x n e X e

+ +

= =

=

= =

= =


TFKD sht trsisht i prcaktuar brenda nj periode [-,]. Transformimi i sinjalit t vazhduar nuk sht periodik! Ky sht nj dallim i rndsishm n mes t transformimit t

domenit t vazhduar kohor dhe t atij diskret kohor. TFKD e bn zbrthimin e sinjalit x[n] n komponentt spektral,

( ) [ ]j j nn

X e x n e

=

= Prandaj shprehja e siprme quhet formul e analizs (spektrale). Prandaj shprehja e siprme quhet formul e analizs (spektrale). Formula pr transformim t kundrt Furie Nse sht i njohur X(ej), ather prmes transformimit t kundrt

prfitohet sinjali x[n].[ ] ( )12 j j nx n X e e d

=

Kjo sht formul e sintezs s x[n] nga X(ej).Sinjale&Sisteme 9Ligj. 9

Vrtetimi i formuls s sintezs:[ ] [ ] [ ] ( )

[ ] ( )( ) [ ] [ ] [ ]

1 12 2

sin

j n kj k j n

k k

k k

x n x k e e d x k e d

n kx k x k n k x n

n k

= =

= =

= =

= = =

Shembulli 2. Spektri i impulsit njsi [n].( ) [ ] [ ]0 1j j ne n e = = =( )

n=

Shembulli 3. Spektri i sinjaleve: x1[n]=anu[n] dhe x2[n]=-anu[-n-1]

( ) [ ] ( )10

1, 1

1nj n j n j

jn n

X e a e u n ae aae

= =

= = =

A jan t njjta rezultatet e fituara?Sinjale&Sisteme 10Ligj. 9

Transformimi i prgjithsuar Furie i sinjaleve diskrete. Shum sinjale t rndsishme nuk kan transformim Furie n

kuptimin e zakonshm. Pr shembull: x[n]=u[n] apo [ ] 0j nx n e = Transformimi i sinjalit t fundit sht:

( ) ( )02 2jk

X e k

=

= + Vrtetimi:

[ ] ( ) ( )( ) ( )0 0

0

0

2 20

1 1 2 22 2

1 2 22

j j n j n

k

j k n j nj n j k

kj n

x n X e e d k e d

k e d e e e

e

=

=

= = + = + = =

=


Vetit e TFKD Ndrlidhja n mes t domenit kohor dhe atij frek

Ligjeratat Sinjalet Dhe Sistemet

Documents

Transcript of Ligjeratat Sinjalet Dhe Sistemet