LIBRO 8° MATEMATICAS

7/29/2019 LIBRO 8 MATEMATICAS

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EDICIN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACINPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIN AO 2012

TEXTO DEL ESTUDIANTE

Pablo Len Velasco

Paula Olivares Muoz

Paz Parra Riveros

Pablo Len Velasco

Paula Olivares Muoz

Paz Parra Riveros


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TexTo del esTudianTe

Autores:

Pablo Len VelascoLicenciado en Ciencias de la Ingeniera, mencin Industrial, Universidad de Chile

Paula Olivares Muoz

Profesora de Educacin General Bsica, Universidad Metropolitana de Ciencias de la EducacinLicenciada en Educacin, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educacin

Paz Parra Riveros

Ingeniero Civil Qumico, Universidad de ChileLicenciada en Ciencias de la Ingeniera, mencin Qumica, Universidad de Chile

Magster en Ciencias de la Ingeniera, mencin Qumica, Universidad de Chile


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La presentacin y disposicin de la obra, son propiedad del editor. Reservados todos los derechos para todos los pases. Ningunaparte de esta publicacin puede ser reproducida, almacenada o transmitida de ninguna forma, ni por ningn medio, sea este

electrnico, fotocopia o cualquier otro, sin la previa autorizacin escrita por parte de los titulares de los derechos.

Es una marca registrada de MN Editorial Ltda.

MN Editorial Ltda.Avda. Eliodoro Yez 2416, Providencia, Santiago, Chile

Telfono: 233 5101Fax: 234 4869

E-mail: [email protected]

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Edicin: Daniel Cataln Navarrete

Asistencia editorial: Deysma Coll Herrera Diseo: Equipo editorial

Diagramacin: Marcela Ojeda AmpueroIlustracin: Margarita Valds Ruiz

Correccin de estilo: Norma Guerra GonzlezArchivos grfcos: MN Editorial Ltda.

N de registro: 198.295ISBN: 978-956-294-289-8

Impreso en Chile por

Se termin de imprimir esta X Edicin de XXXXX ejemplares, en el mes de XXXXX de 20XX.

Matemtica 8 BsicoTexto del Estudiante

Autores:Pablo Len Velasco

Paula Olivares MuozPaz Parra Riveros


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BienvenidaEn este el ltimo curso de la

Educacin bsica profundizars y

completars el estudio de una serie de

temas que cimentarn tus aprendizajes de la

Educacin media.

El producto de nmeros positivos y negativos y el desa-

rrollo de las potencias con exponente negativo, sumado al

uso del concepto de proporcionalidad para describir el com-

portamiento de variables relacionadas entre s, te permitirn

profundizar y aplicar plenamente muchos temas vistos en

cursos anteriores.

La descripcin de crculos y circunferencias y de cuerpos

redondos ampliar la comprensin del entorno sico en el que

te desenvuelves. La insercin en la geometra de las transfor-

maciones isomtricas te mostrar el dinamismo del espacio

fsico y te presentar el mundo material como un universo

sometido a permanentes cambios.

El anlisis de conjuntos de datos que se hace necesario

agrupar y la formalizacin del concepto de probabilidad, te

entregarn nuevas herramientas descriptivas para caracterizar

y comprender informacin real.

Tras la adquisicin de los conocimientos que te

ofrece este texto cerrars un ciclo de aprendi-

zaje y comenzars a prepararte para el que

iniciars el ao venidero.

Este es el desao que te propone-

mos y para el que, confamos,ests preparado.

Bienvenida 3


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Cuadro de denicin de loscontenidos undamentales.

Ejercicios individuales paraque apliques lo que acabas deaprender en orma individual.

Ejercicios grupales de anlisis

y refexin o de carcterldico para que resuelvascon uno o ms compaeros ycompaeras.

Problemas que planteansituaciones matemticascontextualizadas en dierentestemas y que puedes resolveren orma individual o grupal.

Ejemplo explicativo quecontiene una situacin

problemtica, que esresuelta paso a paso a

modo de ejemplicacin.

Estructura didctica

Historieta que te proponeuna situacin que debesobservar y analizar con

detencin.

Actividades que podrn serutilizadas como evaluacindiagnstica de materiasvistas en cursos anteriores y

que servirn para la revisinde los temas de la unidad.

Actividad inicial

Pginas de contenido

El Texto del Estudiante de Matemtica de 8 Bsico contiene 6 unidades didcticas. El cuerpo de cada unidad

est conormado por pginas binarias de contenido que se articulan en torno a un tema que contextualizalos objetivos de aprendizaje de cada una de ellas. Al inicio de cada unidad existen pginas que contienenactividades introductorias y como cierre se plantea el uso de recursos tecnolgicos, un resumen de la unidady una evaluacin sumativa fnal. Adems, se incorpora cuando corresponde, el cono que enlaza los conte-nidos del texto con las actividades multimediales del Hipertexto. La estructura detallada de cada unidad deeste texto es la siguiente:

Estructura didctica4

Aprendizajes que se esperaadquieras tras la revisin dela unidad.

Red conceptual con loscontenidos de la unidad.

Imagen alusiva al tematransversal de la unidad.

Entrada de unidad

Actividad motivadora parainiciar el estudio de launidad.


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Ejemplicacin del uso de

herramientas tecnolgicaspara resolver actividadesrelacionadas con los temas

vistos en la unidad.

Actividades propuestas para

que apliques la herramientatecnolgica descrita.

Tecnologaactiva

Problema modelo que tepropone un mtodo de

cinco pasos para que loapliques en la resolucin de

problemas de diversa ndole.

Problemas propuestos quedebes resolver aplicando elmtodo.

Resolucin de problemas

Cuadros con las denicionesque resumen los contenidos

tratados en la unidad.

Tres pginas en las que se

evalan los temas vistos en launidad. Dos de ellas te proponenejercicios de desarrollo y unaejercicios con alternativas.

Sntesis de la unidad Evaluacin

Adems, en las pginas del texto se incluyen cuatro tipos de apartados y el cono de Hipertexto:

cono que relaciona el Texto del Estudiante con las actividades del Hipertexto.

Actividades ldicas que

requieren del ingenio

matemtico para surealizacin.

Desafoal ingenioIndicacin prctica o

nota recordatoria parauna mejor comprensin

del tema tratado.

Matemtica

HIPERTEXTO

Estructura didctica 5

Deniciones y concep-tos directamente liga-dos con los temas dela pgina.

Archvalo

Breve vinculacin deltema tratado en la pgi-na con otras ramas delconocimiento.

Enlace con


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ndice de contenidosProductos y cocientes1

Unidad

Entrada de unidad ........................................... 8 y 9

Actividad inicial ............................................ 10 y 11

Multiplicacin y divisin de enteros positivos ..12 y 13

Multiplicacin y divisin de enteros de

dierente signo ........................................... 14 y 15

Multiplicacin y divisin de enteros negativos ................................................... 16 y 17

Propiedades de la multiplicacin en ..... 18 y 19

Operaciones combinadas en ................20 y 21

Resolucin de problemas .......................... 22 y 23

Tecnologa activa ........................................ 24 y 25

Sntesis de la unidad .......................................... 26

Evaluacin.................................................... 27 a 29

Potencias y susaplicaciones2

Unidad

Entrada de unidad ....................................... 30 y 31

Actividad inicial ........................................... 32 y 33

Potencias de base entera y exponentenatural ....................................................... 34 y 35

Interpretacin de potencias conexponente entero ...................................... 36 y 37

Multiplicacin y divisin de potencias deigual base .................................................. 38 y 39

Crecimiento exponencial ............................40 y 41

Decrecimiento exponencial ....................... 42 y 43

Ecuaciones yproporcionalidad3

Unidad

Entrada de unidad ....................................... 58 y 59Actividad inicial ........................................... 60 y 61

Variables dependientes e independientes .. 62 y 63

Relacin directamente proporcional ......... 64 y 65

Representacin de una relacindirectamente proporcional......................... 66 y 67

Relacin inversamente proporcional ......... 68 y 69

Representacin de una relacininversamente proporcional .........................70 y 71

Modelos matemticos de proporcionalidaddirecta ........................................................ 72 y 73

Modelos matemticos de proporcionalidadinversa ........................................................74 y 75

Funciones .................................................. 76 y 77

Resolucin de problemas .......................... 78 y 79



Evaluacin.................................................... 83 a 85

Potencias de exponente 2 y racescuadradas.................................................. 44 y 45

Teorema de Pitgoras ............................... 46 y 47

Tros pitagricos ........................................ 48 y 49

Resolucin de problemas ...........................50 y 51



Evaluacin.................................................... 55 a 57

ndice de contenidos6


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Entrada de unidad .................................... 140 y 141

Actividad inicial ........................................142 y 143

Datos cuantitativos discretos y

continuos ................................................144 y 145

Intervalo de clase ................................... 146 y 147

Marca de clase .......................................148 y 149

Media aritmtica y moda para datosagrupados ..............................................150 y 151

Construccin de grcos con datos

agrupados ..............................................152 y 153Mtodos de muestreo ............................154 y 155

Experimentos aleatorios equiprobables .156 y 157

Regla de Laplace ...................................158 y 159

Vericacin de una probabilidad ............160 y 161

Resolucin de problemas .......................162 y 163

Tecnologa activa .....................................164 y 165

Sntesis de la unidad ........................................ 166

Evaluacin................................................ 167 a 169

Solucionario..............................................170 a 173ndice temtico ...................................................174

Bibliograa y pginas web ............................... 175

Evaluacin modelo............................................ 176

Datos agrupados y

probabilidades6Unidad

4Unidad

Entrada de unidad ....................................... 86 y 87

Actividad inicial ........................................... 88 y 89

Traslacin .................................................. 90 y 91

Refexin ................................................... 92 y 93

Rotacin .................................................... 94 y 95

Teselaciones ............................................. 96 y 97

Denicin de circunerencia y crculo

....... 98 y 99Elementos lineales de unacircunerencia .........................................100 y 101

Elementos angulares de circunerenciasy crculos .................................................102 y 103

Permetro de una circunerencia ............104 y 105

rea de un crculo ..................................106 y 107


Tecnologa activa ......................................110 y 111

Sntesis de la unidad .........................................112

Evaluacin................................................. 113 a 115

Transformaciones

isomtricas,

circunferencia y crculo

Entrada de unidad .................................... 116 y 117

Actividad inicial ........................................ 118 y 119 Cuerpos redondos ..................................120 y 121

El cilindro ................................................122 y 123

El cono ................................................... 124 y 125

La esera ................................................126 y 127

rea de cuerpos redondos .....................128 y 129

Volumen de cuerpo redondos ................130 y 131

Cuerpos redondos5Unidad


Tecnologa activa .....................................134 y 135Sntesis de la unidad ........................................ 136

Evaluacin.................................................137 a 139

ndice de contenidos 7


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1Unidad Productos y

cocientes

Red conceptual

8

Propiedades de la multiplicacin

Operaciones combinadas

aplicacin de

resolucin de

Multiplicaciny divisin

Enterospositivos

Enteros dedierente signo

Enterosnegativos

Entrada de unidad


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9

Por qu no hay que abusar de la comida chatarra?

El trmino comida basura o comida chatarra se usa para reerirse a la comida con pocovalor nutritivo, no porque no contenga nutrientes sino porque los presenta en orma no equi-librada. Potencialmente todos los alimentos son perjudiciales para la salud si se abusa de su

consumo, pero los que se consideran comida basura no requieren ser consumidos en gran-des cantidades para producir eectos adversos. Este tipo de comidas contiene generalmentealtos niveles de grasas, sal, azcares y condimentos; y es decitaria en protenas, vitaminas,minerales y otros nutrientes esenciales para un organismo en desarrollo. Adicionalmente, elconsumo de comida chatarra est recuentemente relacionado con problemas de salud talescomo obesidad, enermedades al corazn, diabetes y caries. Estudios recientes demuestranque las personas que consumen habitualmente comida chatarra engordan casi 5 kilogramosms que las personas que solo lo hacen espordicamente y tienen el doble de probabilidades

de padecer desrdenes de insulina que pueden llegar a generar diabetes.

Consumes habitualmente comida chatarra?

Ests consciente de que el exceso de comida chatarra puede perjudicar tu salud?

Enestaunidadaprender

sa:

Multiplicarydividirnmerosenterospositivos.

Multiplicarydividirnmerosenterosdedie

rentessignos.

Multiplicarydividirnmerosenterosnegativ

os.

Identifcarlaspropiedadesdelamultiplicaci

nenelconjuntoZ.

Resolveroperacionescombinadasenelconj

untoZ.

Puedes resolver?Fabiola era asidua consumidora de comida chatarra. Tras aumentar

excesivamente de peso y presentar algunos problemas de salud, decidi

comenzar a comer sano y cambi sus hbitos alimenticios, abandonando

la comida chatarra. Es as como comenz a disminuir 2 kg por mes y tras 10 meses de dieta,pudo recuperar el peso ideal para su estatura, edad y contextura.

Cmo puedes representar la variacin de su masa corporal cada uno de los meses que

dur la dieta?

Si al comenzar la dieta su masa corporal era de 84 kg, cunto registr la pesa al pesarse

tras los 10 meses de dieta?

Motivacin

HIPERTEXTO


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10

Actividad inicial

Unidad 1

La necesidad de trabajar con nmeros se puede percibir en muchas situaciones de

la vida diaria, como por ejemplo, al hacer las compras, al distribuir el dinero de lamesada entregada por nuestros padres o al intentar interpretar inormacin escrita de

diarios y revistas. Dependiendo de cada situacin podemos encontrarnos con nmeros

positivos, negativos, raccionarios y decimales.

Formen grupos de tres personas y luego realicen las actividades que se presentan

a continuacin.

Lean la historieta y luego contesten las preguntas de la pgina siguiente:A


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11

Unidad

Productos y cocientes

Cmo pueden representar el descenso de temperatura de 3 C?a)

Cul ue la variacin de temperatura en la montaa entre las 8 y las 12 deb)la noche mencionada por Carlos?

Si a las 8 de la noche haba 4 C de temperatura en la montaa, qu tempe-c)

ratura marc el termmetro a las 12 de la noche?En un juego de azar, cada jugador debe sacar 6 bolitas desde una bolsa con bolitasBverdes y azules. Una bola verde equivale a 3 puntos y una azul a -5 puntos.

Si Argelia sac 6 verdes, qu puntaje obtuvo?a)

Si Felipe sac 3 verdes y 3 azules, qu puntaje obtuvo?b)

Si Raquel sac 6 azules, qu puntaje obtuvo?c)

Si el juego lo gana aquel que obtenga el menor puntaje, cul de los tres parti-d)cipantes gan esta primera ronda?

La suerte de don Jos Miguel, un destacado empresario, ue muy dispar el aoCpasado. El primer trimestre tuvo prdidas por 2 000 dlares, el segundo trimestre

tuvo prdidas por una cantidad equivalente a la cuarta parte de las del primer

trimestre, el tercer trimestre obtuvo ganancias por 4 000 dlares y el ltimo tri-

mestre obtuvo ganancias por una cantidad equivalente a las tres octavas partes

de las del trimestre anterior.

Cules ueron las ganancias o prdidas trimestrales que tuvo el empresarioa)el ao pasado?

Qu operaciones deben realizar para determinar la ganancia o prdida deb)don Jos Miguel durante el ao pasado? Cul es este valor?

Producto de las altas temperaturas registradas, el agua de una pequea lagunaDse evapora a una tasa de 204 L diarios.

Cmo pueden representar esta disminucin?a)

Cul ser la reduccin del contenido de agua de la laguna tras 3 das deb)evaporacin?

En cunto se reduce el contenido de agua tras 2 semanas de evaporacin?c)

Si el contenido inicial de la laguna era de 890 000 L, cul ser su contenidod)tras 6 meses (de 30 das cada uno) de evaporacin?

Observen las siguientes adiciones de nmeros enteros. Escrbanlas como mul-Etiplicaciones y luego indiquen el resultado:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = ___ ___ =a)

-1 + -1 = ___ ___ =b)

-4 + -4 + -4 = ____ ____ =c)

-12 + -12 + -12 + -12 + -12 + -12 = ___ ___ =d)

Diagnstico

HIPERTEXTO


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Unidad 112

Cuando escribimos unnmero entero positivono es necesario escribir

el signo +. Sin embargo,en estas pginas se ha es-crito para hacer evidentela condicin de nmeropositivo.

Multiplicacin y divisin de enteros

positivos

A la enermera de un colegio llegaron 32 cajas cada una con 12vacunas contra la infuenza. Estas cajas deben ser distribuidas equita-

tivamente entre 8 cursos.

Cuntas vacunas contra la infuenza llegaron al colegio?f

Para calcular cuantas vacunas llegaron, es necesario multiplicar el

nmero de cajas existentes por el nmero de vacunas que vienen en

cada una.

+12 +32 = +384

Tanto 12 como 32 son nmeros positivos y su producto tambin lo es.

Al colegio llegaron 384 vacunas.

Cuntas cajas correspondern a cada curso?f

Para calcular la cantidad de cajas por curso, es necesario dividir el

total de cajas por el nmero de cursos:+32 : +8 = +4

Tanto 32 como 8 son nmeros positivos y su cociente tambin lo es.

A cada curso le correspondern 4 cajas.

Cuando se multiplican dos nmeros enteros positivos, el resulta-do tambin es un nmero entero positivo.

Cuando se dividen dos nmeros enteros positivos, el resultado esun nmero positivo.

El desarrollo de la multipli-cacin de 12 por 32 es:

12 32

24

+ 36384

La infuenza es una ener-medad respiratoria con-tagiosa causada por unvirus. Puede provocar unestado de malestar general,

llegando, en los caso msgraves y mal cuidados, aprovocar la muerte.

La Salud

Enlace con


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Productos y cocientes 13

Unidad

Ejercicios individuales

Resuelve las siguientes multiplicaciones de nmeros enteros positivos:A.

+4 +39 =a)

+35 +43 =b)+35 +12 =c)

+103 +12 =d)

+19 +133 =e)+203 +304 =)

Resuelve las siguientes divisiones de nmeros enteros positivos:B.

+45 : +9 =a)

+329 : +7 =b)

+2c) 032 : +8 =

+10d) 387 : +13 =

+153 : +3 =e)

+1) 675 : +25 =

Problemas

Un hospital tiene 20 piezas individuales, 40 piezas dobles, 401.piezas triples, 20 piezas cudruples y 30 piezas para ochopersonas.

Por cada cama del hospital hay dos juegos de sbanas, dosalmohadas, 1 colchn y 3 razadas.Cuntas camas hay en el hospital?a)

Cuntos juegos de sbanas hay en total?b)

Cuntas razadas hay en total?c)

Supn que se construye un nuevo hospital en la ciudadd)con el mismo nmero de camas que el anterior, pero solocon piezas cudruples. Cuntas piezas debe tener estehospital?

Una fota consta de 18 barcos. 10 de ellos transportan cada uno2.

900 toneladas de carga y los otros 8, ms grandes, transportan1 200 toneladas cada uno.

Cuntas toneladas de carga transportan los diez barcosa)pequeos?

Cuntas toneladas de carga transportan los ocho barcosb)grandes?

Cuntas toneladas de carga transporta la fota completa?c)


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Unidad 114

Cuando se multiplican dos nmeros enteros de distinto signo, elresultado es un nmero entero negativo.


de diferente signo

En la ltima clase de Educacin Fsica los estudiantes practicaronun juego cuyas reglas son:

Seformanequiposde5integrantescadauno.

Losintegrantesdeunequipolanzanunarodeljuegodelula-ula

hacia un par de estacas clavadas en el piso desde una distancia de

unos 5 metros.

Siunestudianteaciertasobrelasdosestacas,suequipoespre-

miado con +3 puntos.

Siunestudianteaciertasoloaunadelasestacas,suequipoescastigado con -1 puntos.

Siunestudiantenoaciertaaningunaestaca,suequipoescastigado

con -2 puntos.

En la primera ronda los cinco integrantes de uno de los equiposf

all todos sus lanzamientos. Qu puntaje obtuvo este equipo tras

esta primera ronda?

Como allar recibe una puntuacin de -2, y cada equipo tiene cinco

integrantes, el puntaje del equipo ue:

+5 -2 = -10

El juego del ula-ula esmuy antiguo. Se hacenreerencias a l en las ci-

vilizaciones egipcia, griegay romana.

Los aros se fabricabancon ramas de parra y los

nios y nias los hacangirar en dierentes partesde sus cuerpos. En algu-nas culturas aborgenesde Amrica tambin se

construyeron aros para serutilizados en los juegos delos infantes, ocupndosecomo material de abrica-

cin principalmente la caade azcar.

La Historia

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Unidad

Si tras 3 rondas el puntaje de un equipo es de -15 puntos y en cadaf

ronda obtuvo el mismo puntaje, qu puntaje consigui en cada

ronda?

Como son tres rondas y el puntaje acumulado en ellas ue de -15,

entonces el puntaje obtenido en cada ronda ue:-15 : +3 = -5

Cuando se dividen dos nmeros enteros de distinto signo, el re-sultado es un nmero negativo.

Ejercicios grupales

La rmula de la Fsica que relaciona la uerza que acta sobre un cuerpo con su masa y con laA.aceleracin que se produce en l es F = m a.

En grupos de dos integrantes completen los trminos que altan en la siguiente tabla aplicandola rmula anterior:

Masa [kg] Aceleracin [m/s2

] Fuerza [N]

5 -20

4 -4

7 -10

8 -16

5 -25

-30 -90


Resuelve las siguientes multiplicaciones de nmeros enteros:A.

-53 +32 =a)+7 -38 =b)

-18 +9 =c)

-105 +15 =d)+1e) 249 -8 =

-1) 047 +10 =

+24 : -8 =a)

+138 : -3 =b)

-35 : +7 =c)

+84 : +6 =d)

-360 : +90 =e)

+10) 000 : -100 =

Resuelve las siguientes divisiones de nmeros enteros:B.


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Unidad 116

Cuando se dividen dos nmeros enteros negativos, el resultadoes un nmero positivo.

Para que en el ejemplode esta pgina A seaigual a 1 en la frmulade la ley de Coulomb,las dos cargas elctricasconsideradas deben estara una distancia de casi 95kilmetros.


negativos

La ley de Coulomb es una ley undamental que permite determi-nar la uerza F con la que se atraen o repelen dos cargas elctricas.

La rmula que representa matemticamente esta ley para dos cargas

inmviles puede escribirse como:

F = A q1 q2

F es la uerza con que se atraen o repelen las cargas. Se mide en

Newton (N).

q1 y q2 son las dos cargas elctricas (pueden ser positivas o negati-

vas). Se miden en Coulomb (C).

A es una constante para dos cargas cuya distancia de separacin

no cambia.

Si F es positiva signica que las dos cargas elctricas se repelen y

si es negativa signica que se atraen.

Supongamos que A = 1, entonces: F = q1 q2

Con qu uerza se atraern o repelern una carga de -20 C y otraf

de -15 C?

Si q1

= -20 C y q2

= -15 C, entonces:

F = -20 -15 = 300

La dos cargas se repelen con una uerza de 300 N.

Dos cargas elctricas se atraen con una uerza de -24 N. Si una def

las cargas vale -6 C, cul es el valor de la otra carga?

F = q1 q2 q2 =F

q1=

-24

-6= 4

La carga q2 es positiva y vale 4 C.

Cuando se multiplicandos nmeros enteros negativos, el resulta-do es un nmero entero positivo.

La Ley de Coulomb llevaeste nombre en honor alsico e ingeniero rancsCharles August de Coulombquien fue el primero en

describir y caracterizar lasfuerzas existentes entredos partculas cargadaselctricamente. Adems,sus estudios sentaron las

bases para el desarrollo deuna teora matemtica quepermiti explicar las fuerzasde origen magntico.

La Fsica

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Unidad


Resuelve las siguientes multiplicaciones de nmeros enteros negativos:A.

-9 -3 =a)

-81 -6 =b)

-9 -41 =c)

-47 -12 =d)

-18 -21 =e)

-24 -5 =)

Ejercicios grupales

Renanse en grupos de tres integrantes y, aplicando la rmula de la Ley de Coulomb para elA.caso que se present en la pgina anterior (A = 1), determinen el valor desconocido:

F [N] Q1 [C] Q2 [C]

-1 1

-1 1

9 -3

-8 -2

12 -9

-64 -4

Copia el valor de cada una de las uerzas determinadas en el ejercicio anterior y seala medianteB.un visto () si se trata de una uerza atractiva o repulsiva:

F [N] Atraccin Repulsin

Resuelve las siguientes divisiones de nmeros enteros negativos:B.

-12 : -2 =a)

-99 : -11 =b)

-180 : -9 =c)

-960 : -4 =d)

-e) 1088 : -16 =

-189 : -3 =)

Desarrollo

HIPERTEXTO


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Unidad 118

Propiedades de la multiplicacin en Z

Las propiedades de la multiplicacin de nmeros enteros son las mis-

mas que ya se defnieron para nmeros naturales, vale decir, clausura,

conmutatividad, asociatividad, existencia de elementos neutro y absorbentey distributividad sobre la adicin. Repasemos cada una de ellas:

1 Clausura:

3 -4 = -12 -5 -11 = 55 7 -9 = -63

2 Conmutatividad:

+2 -5 = -10

-5 +2 = -10

3Asociatividad:

-3 (-4 +2) = -3 (-8) = +24

(-3 -4 ) +2 = (+12) +2 = +24

4Elementos neutro y absorbente:

-8 1 = 1 -8 = -8 4 0 = 0 4 = 0

Recuerda cmo se leenalgunos smbolos mate-mticos:

: para todo.

: existe.

!: existe un nico.

/: tal que.

: y.

: entonces.

Cuando se multiplican dos o ms nmeros enteros, se dice queexiste clausura dentro del conjunto, ya que el producto tambines un nmero entero:

a, b a b = c c

La multiplicacin en el conjunto es conmutativa, es decir, secumple:

a b = b a; a, b

La multiplicacin en el conjunto es asociativa, es decir, se cumple:

a (b c) = (a b) c; a, b, c

Para la multiplicacin en el conjunto existe el elemento neutrob = 1, tal que:

a, ! b / a b = b a = a

Para la multiplicacin en el conjunto existe el elementoabsor-bente c = 0, tal que:

a, ! c/ a c= c a = c

Algunas reglas prcticaspara la multiplicacin deenteros son:

+ + = +

+ =

+ =

= +


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Unidad

En el conjunto se verifca la propiedad de distributividad de la

multiplicacinsobre la adicin:a (b + c) = a b + a c; a, b, c


Resuelve las siguientes operaciones, anota el resultado y la propiedad que se evidencia. GuateA.por el ejemplo:

Operaciones Resultado Propiedad

-7 4 = 4 -7 -28 Conmutatividad

1 -33 = -33 1

-12 5 + -12 7 = -12 (5 + 7)

15 (8 + -5) = (8 + -5) 15

12 0 = 0 12

1 (-17 -9) = (-17 -9) 1

(-101 4) -5 = -101 (4 -5)

-9 (-6 + 3 + -12) = -9 -6 + -9 3 + -9 -12

0 (-17 4) = (-17 4) 0

Escribe dos ejemplos numricos que muestren algunas de las propiedades de la multiplicacinB.de nmeros enteros:

Propiedad Ejemplos

Conmutatividad

Asociatividad

Existencia de elemento neutro

Existencia de elemento absor-

bente

Distributividad sobre la adicin

5Distributividad sobre la adicin:

-4 (-3 + 7) = -4 -3 + -4 7 = 12 + -28 = -16


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Unidad 120

Recuerda que:

Sumarunnmerone-gativo equivale a restarsu opuesto aditivo:

6 + -4 = 6 4 = 2

Restarunnmerone -

gativo equivale a sumarsu opuesto aditivo:

9 -3 = 9 + 3 = 12

Operaciones combinadas en

Acabas de revisar las reglas que hacen posible la multiplicacin y

divisin de nmeros enteros. A continuacin desarrollaremos ejercicios

que contienen las cuatro operaciones: adicin, sustraccin, multipli-

cacin y divisin.

Observa:

-12 (9 -3) + (8 + -1 11) : -4

Cmo resolvemos este ejercicio?f

Cuando en un ejercicio existen muchas operaciones debemos aplicar

los pasos siguientes en el orden que se indica:

1Resolver de izquierda a derecha las operaciones que estn dentrode los parntesis.

2Resolver de izquierda a derecha las operaciones de multiplicacin

y divisin.

3 Resolver de izquierda a derecha las operaciones de adicin y

sustraccin.

Entonces:

1 -12 (12) + (-4) : -4

-12 12 + -4 : -4

2 -144 + 1

3 -143

El resultado es -143.

Cmo resuelves -9 [4 + -17 (-6 -13) + 6 + -18 : (-21 + 12)]?f

Aplicando los pasos anteriores la resolucin queda como sigue:

-9 [4 + -17 (7) + 6 + -18 : (-9)]

-9 [4 + -17 7 + 6 + -18 : -9 ]

-9 [4 + -119 + 6 + 2 ]

-9 [ -107 ]

-9 + 107

98

El resultado es 98.

Cuando maana sea ayerestaremos tan cerca delsbado como ahora loestamos del domingo.

A qu da de la semanase refiere la afirmacin

anterior?

Desafoal ingenio

Cuando multiplicamos o

dividimos fraccioneso n-meros decimales positivosy negativos las reglas parael signo del producto o el

cociente son las mismasque se indicaron para losnmeros enteros.

Archvalo


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Unidad


Resuelve los siguientes ejercicios. No olvides respetar el orden en que se deben realizar lasA.operaciones:

-4 8 + 17 + -3 -2 =a)

-25 : 5 + -25 4 =b)

-3 + 8 + -9 + -10 -1 -13 =c)

(-40 : 8) [(81 -3) -9] =d)

(-8 + -22) (4 : -3) =e)

(48 -2) : (-4 + 17) =)

-38 + 17 -2 12 : -3 =g)

(23 + 8) (24 -8) + (-4 3 -11) =h)

Observa los siguientes desarrollos, identica dnde est el error y resuelve correctamente:B.

15 : -3 + 12 -4 2 11 -18a)-5 + 16 2 11 + 18

-5 + 32 + 7

34

23 [8 + 12 -3 -8 (16 : -4 4) + 4]b)23 [8 + -36 + 8 (16 : -8 ) + 4]

23 [ -28 + 8 ( -2 ) + 4]

23 [ -28 + -16 + 4]

23 [ -40 ]

23 + 40

63

Resolucin correcta: Resolucin correcta:


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22 Unidad 1

Resolucin de problemasProblema modelo

Un in de azure S-2 posee una carga elctrica de -2. Supn que sedispone de tres disoluciones A, B y C que contienen dierentes canti-dades de este in.

Cul es la carga que posee la disolucin A si contiene 2 iones de Sa) -2?Cul es la carga que posee la disolucin B si contiene 9 iones de Sb) -2?Cul es la carga que posee la disolucin C si contiene 15 iones dec)S-2?

a) Entiende: qu sabes del problema?

La carga de cada disolucin est dada por el aporte individual que realizan los iones pre-

sentes en ella.Cada disolucin posee una carga distinta ya que contiene dierentes cantidades del in S -2.

b) Planifca tu estrategia: cmo puedes resolver el problema?

La carga neta de cada disolucin la podemos calcular multiplicando la cantidad de iones

presentes en ella por la carga del in de S-2 (-2).

c) Resuelve: desarrolla el problema para llegar a una respuesta

Disolucin A: 2 -2 = -4Disolucin B: 9 -2 = -18

Disolucin C: 15 -2 = -30

d) Responde: contesta las preguntas del problema

La carga de la solucin A producto de la presencia de los iones S -2 es -4.

La carga de la solucin B producto de la presencia de los iones S -2 es -18.

La carga de la solucin C producto de la presencia de los iones S -2 es -30.

e) Comprueba: aplica otra estrategia para comprobar el resultado

Para cada disolucin podemos realizar la adicin de las cargas individuales aportadas por

los iones de S-2: Disolucin A: -2 + -2 = -4 Disolucin B: -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 = -18 Disolucin C: -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 = -30


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23

Unidad


Problema 1Una empresa decidi implementar incentivos para fomentar lapuntualidad de sus trabajadores. Estos incentivos consisten enbeneciarlos con $ 1000 por cada da que lleguen a la hora a sutrabajo y castigar los atrasos en un monto que depender de losminutos de atraso, segn el siguiente criterio:$ 500 si el atraso es menor o igual a 15 minutos.$ 1000 si el atraso es mayor a 15 minutos.La tabla del costado contiene el detalle de la puntualidad de trestrabajadores durante el mes pasado.

Cul es el benecio o la prdida del trabajador A?a)Cul es el benecio o la prdida del trabajador B?b)Cul es el benecio o la prdida del trabajador C?c)

Trabajador A B C

N de das que

lleg puntual20 14 6

N de das quelleg con un

atraso menor o

igual a 15 min

0 2 12

N de das que

lleg con un

atraso mayor a

15 min

0 4 2

Problema 2Un mueblista tiene un inventario de 40 sillas cuyo costo de pro-duccin es de $ 20000 por cada una. De estas sillas, en enerovendi 15 a un precio de $ 25000 cada una. En ebrero vendi elresto de las sillas solo a $ 18000 cada una, debido a una crisis enel mercado de muebles.

Cunto dinero recaud el mueblista por la venta de las sillas?a)Cunto dinero gan o perdi por la fabricacin de estas 40b)sillas?

Problema 3El calor especco c de una sustancia es la cantidad de energatransferida para variar en un 1 C su temperatura (su unidad demedida es [cal/C]) y se calcula mediante la rmula que est alcostado.En ella Q es la energa transerida (se mide en caloras [cal]).Si Q es positivo, la sustancia ha absorbido energa; y si es negativo,

la ha liberado. La temperatura inicial es la temperatura que tiene lasustancia antes de absorber o liberar energa y la temperatura nal

es la temperatura que tiene despus.Si la temperatura inicial de una sustancia es 20 C, la nal 15 Ca)y la energa liberada -10 000 cal, cul es su calor especco?El calor especco de una sustancia es 800 cal/C, la temperaturab)inicial 3 C y la nal 12 C. Cunta energa se transri? Fueabsorbida o liberada?El calor especco de una sustancia es 1c) 120 cal/C, la tempera-tura inicial 22 C y la nal 12 C. Cunta energa se transri?Fue absorbida o liberada?

C =Q

T. fnal T. inicial

Desarrollo

HIPERTEXTO


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24 Unidad 1

Tecnologa activaMultiplicando y dividiendo nmeros positivos y negativos

Utilizaremos algunos recursos que orece Excel para multiplicar y dividir nmeros enteros,

racciones (positivas y negativas) y nmeros decimales (positivos y negativos).

Construccin de la planilla de clculos.1.

Crea un nuevo libro en Excel y llmalo Productos y cocientes.f

Pon ttulo a las columnas que ocupars. En las celdas A1, E1 e I1 escribe N. enteros,f

N. decimales y Fracciones, respectivamente. En las celdas A2, E2 e I2 escribe

Multiplicacin. En las celdas A4, E4 e I4 escribe Divisin. En las celdas C2, G2 y

K2 escribe Resultado.

Tu planilla debe verse as:

En las celdas A3 y B3 escribe los nmeros enteros que sern los actores de la multipli-f

cacin. En la celda C3 escribe =A3*B3 y aparecer el producto.

En las celdas A5 y B5 escribe los nmeros enteros que sern el dividendo y el divisorf

de la divisin. En la celda C5 escribe =A5/B5 y aparecer el cociente.

En las celdas E3 y F3 escribe los nmeros decimales que sern los actores de la multi-f

plicacin. En la celda G3 escribe =E3*F3 y aparecer el producto.

En las celdas E5 y F5 escribe los nmeros decimales que sern el dividendo y el divisorf

de la divisin. En la celda G5 escribe =E5/F5 y aparecer el cociente.

Para las racciones primero debes cambiar el ormato de las celdas asociadas a raccio-fnes. Para esto, selecciona las columnas I, J y K. Luego, presiona Formato Celdas,

selecciona Fracciones y, inalmente, Fracciones de ms de tres dgitos.

En las celdas I3 y J3 escribe las racciones que sern los actores de la multiplicacin.f

En la celda K3 escribe =I3*J3 y aparecer el producto.

En las celdas I5 y J5 escribe las racciones que sern el dividendo y el divisor de laf

divisin. En la celda K5 escribe =I5/J5 y aparecer el cociente.


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25

Unidad


Si quieres calcular 3 -12; -32 : -4; -3,23 2,01; -0,12 : -0,01;2

3 -1 y

-2

3: -1; tu planilla debe

verse as:

Si quieres calcular 6 -3; -45 : 20; -0,05 -1,04; 3,8 : -2,5;-3

5

2

7y

-5

4:

-1

3; tu planilla debe

verse as:

Aplicando lo aprendido.2.

Usa la planilla que acabas de construir para calcular los siguientes productos y cocientes

de nmeros enteros, decimales y raccionarios:

7 -4 =a)

-6 -5 =b)

10 -12 =c)

-21

13d)

10

7=

-2113e) -21

13 =

0,34 -1,67 =f)

-3,27g) 0,5 =

-8,03h) 4,2 =

-18 19 =i)

-23 -76 =j)

-64 44 =k)

-9

2l)

-2

15=

129m) -1

3 =

-6,87 : -3,54 =n)

) 0,04 : -0,2 =

9,85o) : 4,8 =

-244p) : -45 =

599q) : -377 =

-1 020 : -108 =r)

-7

8s) :

6

5=

185t) :-81

15 =

-9,35 : -1,2 =u)

-6,4 : 6,6 =v)

-9,47w) : 8,7 =


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26 Unidad 1

Sntesis de la unidad

Ficha 1

Cuando se multiplican o dividen dos nme-ros enteros del mismo signo, el resultadoes un nmero positivo.

Por ejemplo:

35 = 15 -4-6 = 24

12 : 2 = 6 -24 : -4 = 6 Ficha 2

Cuando se multiplican o dividen dos nme-ros enteros de diferente signo, el resultadoes un nmero negativo.

Por ejemplo:

4-5= -20 -62 = -12

36:-12 = -3 -9:3 = -3

Ficha 3

Algunas propiedades de la multiplicacin en el conjunto; dados a, b y c nmeros enteros,son:

- Conmutatividad:a b = b a

- Asociatividad: (a b) c = a (b c)

- Distributividad con respecto a la suma:a (b + c) = (a b) + (a c)

- Neutro multiplicativo:a 1 = 1 a = a

- Absorbente multiplicativo:a 0 = 0 a = 0

Ficha 4

Para realizar operaciones combinadas en es necesario aplicar las propiedades de lasoperaciones en los nmeros enteros y respetarlos signos y parntesis.

Sntesis

HIPERTEXTO


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27

Unidad


Evaluacin

Expresa las siguientes adiciones como una multiplicacin y calcula su valor:A.-4 + -4 + -4 + -4 = ____ ____ =a)

-3 + -3 + -3 + -3 + -3 = ____ ____ =b)

-11 + -11 + -11 = ____ ____ =c)

-15 + -15 + -15 + -15 + -15 + -15 + -15 = ____ ____ =d)

-1 + -1 + -1 + -1 + -1 + -1 + -1 + -1 = ____ ____ =e)

Expresa las siguientes multiplicaciones como la suma de un mismo nmero y calcula su valor:B.

-6 7 =a) _______________________ =

4 9 =b) _______________________ =

2 -18 =c) ______________________ =

-21 5 =d) ______________________ =

7 -2 =e) _______________________ =

Seala si las siguientes armaciones son verdaderas o alsas:C.

____ El producto de dos nmeros enteros negativos es siempre un entero positivo.a)____ El nmero -1 es el elemento neutro de la multiplicacin en el conjuntob) .

____ El absorbente multiplicativo en el conjuntoc) es el nmero 1.____ Si multiplicamos dos enteros, el producto es negativo si uno de los actores es positivod)

y el otro es negativo.

____ Si dividimos dos nmeros enteros negativos el resultado es un nmero negativo.e)____ La propiedad distributiva de la multiplicacin en el conjunto) nos permite asegurar,

por ejemplo, que (-2 + 5) -2 = -2 -2 + 5 -2.

____ La divisin de un nmero entero negativo por un nmero entero positivo es un nmerog)entero negativo.

Resuelve las siguientes multiplicaciones. A partir de los resultados enuncia, en la siguiente pgi-D.na, la regularidad existente en la multiplicacin de nmeros negativos segn haya una cantidadpar o impar de actores:

-1 -1 =a) _________ (Dos actores)

-1 -1 -1 =b) _________ (Tres actores)-1 -1 -1 -1 =c) _________ (Cuatro actores)

-1 -1 -1 -1 -1 =d) _________ (Cinco actores)

I Ejercicios de desarrollo


30/180

28 Unidad 1

8.Resuelve las siguientes multiplicaciones de nmeros enteros:

(-23 + -5) -8 =a)8 2 + 5 -3 + 9 -5 =b)

(-8 + -6 + 12) : 2 =c)

-15 : 3 + -9 : 3 + 6 6 =d)

(-14 + 25 + 60) (8 : 2) =e)

7 (5 + -7 + -4) =)-16 : 8 + -24 12 =g)

3 : (9 + -8) + 5 -5 =h)

-1 -2 -4 + 27 2 =i)

10 -11 + -5 -7 =j)

. Regularidad: ________________________________________________________________

. __________________________________________________________________________

.. __________________________________________________________________________

6.Resuelve las siguientes divisiones de nmeros enteros:

-345 : 9 =a)

-15 : -15 =b)

-98 : 30 =c)

-2 100 : 100 =d)

130 : -130 =e)

-75 : 15 =)

-35 : 28 =g)

-95 : 5 =h)

-7 -10 =a)

25 4 =b)

7 -10 =c)

-3 -12 =d)

-9 18 =e)

-320 -111 =)

-9 -18 =g)

-860 -112 =h)

5.Resuelve las siguientes multiplicaciones de nmeros enteros:

7.Completa con el nmero que corresponde:

-1 -1 ____ -1 = 0a)

-2 -2 ____ 2 = 16b)

-1 -1 -1 ____ -1 = -1c)

-7 -7 7 -7 = ____d)

3 -3 ____ = -36e)

-4 -4 -4 ____ -4 = -256)

1 -2 3 -4 ____ -6 = 720g)

-4 -1 1 4 ____ -5 = 400h)


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29

Unidad


a.Cul es el cociente de -120 : 40?

a) -3b) 3

c) -30

d) 30

6 La adicin -7 + -7 + -7 + -7 + -7 se puede

representar por la multiplicacin:-5 -7a)

5 -7b)

-7 -7c)

7 -7d)

b.Cul es resultado de multiplicar -44 por-12?

a) 480

b) -480

c) 528d) -528

7.Si multiplicas 23400 por -12252, el resultadoes:

a) Un nmero decimal negativo.

b) Un nmero entero negativo.

c) Un nmero entero positivo.d) Un nmero decimal positivo.

3.Cul de las siguientes frases no tienesentido sico?

a) Un joven camin -5 metros.

b) El furgn descendi hasta el estacio-

namiento -3.

c) La temperatura actual es de -8 gradosCelsius.

d) El saldo de la cuenta corriente de Ral

es de -$ 8000.

8.Cul es el resultado de la siguiente ope-racin?

. -1 1 1 -1 1 = ?a) -1

b) 1

c) 3

d) 5

4.Qu propiedad de la multiplicacin ue usadapara resolver las siguientes operaciones?

-4 (2 3) = -8 3 = -24a) Conmutatividad.

b) Asociatividad.

c) Distributividad.

d) Existencia de neutro multiplicativo.

9.Resuelve:

. 3 (18 -7) : [5 (-12 + 9)]a) -5

b) 5

c) -7

d) 7

5.Cul es el resultado del siguiente ejerciciocombinado?

. -2 (15 : -5) -7 = ?a) 29

b) 42

c) -42

d) -21

.Si en la multiplicacin -1 -1 -1 -1 ;el factor -1 aparece repetido 87 veces, elproducto es:

87a)

-87b)

1c)

-1d)

II Ejercicios con alternativas

Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dar el docente y completa latabla que all aparece.

Evaluacin

HIPERTEXTO


32/180

Red conceptual

30

Red conceptual

2Unidad

Potencias

y susaplicaciones

Potencias

resolucin usando

anlisis de

realizacin de su

Base entera yexponente natural

Caracterizacin y

descripcin

Crecimiento ydecrecimiento exponencial

Propiedades

Raz cuadrada

Base entera y

exponente entero

Base raccionaria odecimal y exponente entero

Multiplicacin y divisin

Aplicaciones

deinicin de

Entrada de unidad


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31

Enestaunidadaprendersa:

Defnirycalcularelvalordepotenciasconb

aseyexponenteentero.

Aplicarpropiedadesdelamultiplicacinydiv

isindepotenciasconbaseyexponenteentero.

Identifcarvariablesquecrecenodecrecenl

inealoexponencialmente.

AplicarelteoremadePitgorasyusartros

pitagricosdenmerospararesolverproble-

masgeomtricos.

Por qu debemos reciclar?

Debido a los elevados volmenes de produccin industrial actuales, tanto de productos

consumidos directamente por la poblacin como de insumos para la propia industria, lacantidad de desechos generados aumenta permanentemente. Este aumento atenta contra

el equilibrio de la naturaleza y contra el bienestar del propio ser humano. Es por esto que elreciclaje ha cobrado cada vez mayor relevancia en las polticas pblicas y privadas, y en lasconductas individuales de la poblacin.

El reciclaje consiste en devolver al ciclo productivo desechos para que puedan ser reutili-zados como materias primas de diversos procesos industriales, disminuyendo as los costosde produccin.

Pero la justifcacin del reciclaje no es solo econmica sino tambin ambiental. Esto debi-do a que algunos desechos no deben ser acumulados ya que representan un peligro real opotencial para nuestra salud y para la preservacin de nuestro entorno natural.

Cules son los desechos ms comunes que son reciclados? Nombra tres.

De qu orma crees que puedes ayudar en el reciclaje?Piensas que hay una verdadera conciencia de reciclaje en nuestro pas?

Puedes resolver?

Los integrantes del 8 B juntaron a lo largo de todo el ao latas de be-

bidas para poder venderlas a una empresa que se dedica a reciclar metales.Con el dinero pretenden organizar el paseo de in de ao. Las latas aplastadas las disponenen el patio del colegio ordenadas en tres cuadrados. Uno de ellos contiene 81 latas, otro324 y el tercero 676 latas.

El 8 A no se queda atrs y tambin reuni latas para su iesta de in de ao. Sus integran-tes ordenaron las latas en 2 cuadrados de 18 y 29 latas por lado.

Cuntas latas posee cada uno de los cuadrados ormados por el 8 A?

Cuntas latas por lado tiene cada uno de los cuadrados ormados por el 8 B?

Motivacin

HIPERTEXTO


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Actividad inicial

Unidad 232

Actividad inicialLa presidenta de curso del 8 C ha decidido comenzar una campaa contra la

caza de ballenas en las costas de Sudamrica. Para contactarse con sus compaerosy compaeras de curso y el resto del colegio ha decido escribir un e-mail a cuatroestudiantes del colegio, pidindole a cada uno que escriba, al da siguiente, un e-mail

similar a cuatro estudiantes ms, pidindoles que estos le escriban a cuatro estudian-

tes ms al siguiente, y as sucesivamente. Habr alguna orma sintetizada de sabercuntos integrantes del colegio han recibido el e-mail cada da?

Formen grupos de tres personas y luego realicen las actividades que se presentana continuacin.

Observen la historieta y luego respondan las preguntas de la pgina siguiente:a


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UnidadUnidad

Potencias y sus aplicaciones 33

Cmo podemos saber cuntos estudiantes reciben el e-mail de la campaa cada da?a)

En qu da se escribirn 64 correos electrnicos? Es posible que se escriban 8 e-mailsb)

en un da? Por qu?

A cuntas personas debera escribirle cada persona para que en el segundo da sec)

escriban 36 e-mails?A cuntas personas debera escribirle cada persona para que en el cuarto da se escri-d)ban 625 e-mails?

Un alumno del colegio opina que es mejor que cada miembro de la directiva (Presiden-e)ta, Vicepresidente, Tesorero y Secretaria) enve 10 e-mails a una persona distinta cadada. Es mejor esta idea para propagar de manera ms rpida la noticia si la campaadurar 6 das?

Cul es la dierencia entre el nmero de personas que recibira el e-mail segn el primer)

mtodo y segn el segundo mtodo ideado por el alumno?

Una organizacin de proteccin de animales en peligro de extincin pretende construir nue-bvos corrales en su reserva ecolgica para guardar diversas especies. Estos corrales tendrnorma cuadrada.

Si uno de los corrales que se construir medir 576 ma) 2, cunto debern medir los lados

de este corral?

Si otro corral medir 900 mb) 2, cunto debern medir los lados de este corral?

Indiquen las medidas de los lados (que midan una cantidad entera de metros) y el reac)de dos corrales cuya rea sea mayor que 900 m2.

Tomen una hoja de cuaderno, hagan un doblez e indiquen cuntos rectngulos quedanCdeterminados. Luego hagan otro doblez e indiquen cuantos rectngulos se orman en total.Sigan haciendo esto y completen la siguiente tabla:

Nmero de dobleces Nmero de rectngulos

0

1

2

3

4

56

Indiquen cul es la regularidad que existe entre el nmero de dobleces y el nmero dea)rectngulos.

Usando la regularidad identifcada calculen cuntos rectngulos quedaran determinadosb)

en el doblez 10 y en el doblez 20.

Diagnstico

HIPERTEXTO


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Unidad 234

Potencias de base entera y exponente

natural

Una potencia es una expresin matemtica que representa la multi-plicacin sucesiva de un mismo actor. Por ejemplo:

2 2 2 2 2 2

El actor de las multiplicaciones es la base de la potencia y el nme-ro de veces que se repite este actor es el exponente. Por lo tanto, en elejemplo anterior, la base es el nmero 2 y el exponente es el nmero 6.

Las operaciones anteriores se pueden resumir como la potencia 26,cuya lectura es dos elevado a seis. Para hallar el valor de esta potencia

muchas veces es til agrupar los actores:

26 = 2 2 2 2 2 2123 123 123

4 4 4 14243

16 41442443

64

La base de una potencia tambin puede ser un nmero negativo.

Por ejemplo:

(-5)3 = -5 -5 -5 = -125 (-3)4 = -3 -3 -3 -3 = 81

(-1)5 = -1 -1 -1 -1 -1= -1 (-2)6 = -2 -2 -2 -2 -2 -2 = 64

Puedes notar dos casos:

Silabaseesnegativayelexponenteesimparelresultadosiempre

es negativo.

Silabaseesnegativayelexponenteesparelresultadosiempre

es positivo.

Recuerda que el resultadode la multiplicacin de dosnmeros del mismo signoes un nmero positivo yel de la multiplicacin dedos nmeros de dieren-te signo es un nmeronegativo.

Es muy importante queen una potencia con basenegativa, esta aparezca

encerrada en un parnte-sis para as indicar que elnmero con su signo debeser multiplicado:

(-3)4 -34

ya que:

(-3)4 = -3 -3 -3 -3 = 81

-34 = -(3 3 3 3) = -81

Una potencia representa la multiplicacin de un nmero por smismo un determinado nmero de veces. El nmero que se mul-tiplica por s mismo es la base y las veces que aparece la basecomo actor es el exponente.

b factores

644444474444448

Ab= A A A A

Exponente

Base


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UnidadUnidad


Expresa en orma de potencia las siguientes expresiones:a.

Tres veces tres por tres.a)

7 7 7 7 7 7b)

Menos dos elevado a cinco.c)

(-9) (-9) (-9) (-9)d)

Once por once por once por once.e)

Menos siete al cuadrado.)

Menos tres elevado a la quinta potencia.g)

8h) 2 + 42 + 1

Ejercicios grupales

En grupos de dos personas respondan las siguientes preguntas:a.

(-5)a) 2n, donde n es un nmero natural, es positivo o negativo?

Cul es el signo de (-234b) 647)7398?

De cuntas maneras se puede escribir como potencia el nmero 64? Y -64?c)

Desarrollo

HIPERTEXTO

Problemas

Javiera y Pedro se entretienen en un juego consistente en tirar dos1.

dados. El puntaje en cada tirada lo calculan como lo obtenido enel lanzamiento menos 7, y luego el resultado de esta sustraccinla elevan al cuadrado. Gana la tirada el jugador que obtenga elmayor puntaje. En las dos primeras tiradas el resultado de loslanzamientos ue:

Javiera PedroTirada 1 3 12

Tirada 2 10 5

Quin gan cada tirada?a)

Si cambiaran las reglas del juego y en lugar de elevar alb)cuadrado la sustraccin, se elevar al cubo. Quin habraganado?


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Unidad 236

Interpretacin de potencias con

exponente entero

Una encuesta realizada en un colegio de Santiago arroj como re-sultado que a

15

de sus estudiantes les gustara vivir uera de la ciudad.

De estos, a la quinta parte le gustara hacerlo para mejorar su calidadde vida, y de estos, a 1 de cada 5 le gustara irse de la capital porquequieren vivir en un lugar donde el aire sea ms puro.

A qu parte del total de estudiantes del colegio le gustara vivirfuera de Santiago porque buscan mejorar su calidad de vida en unlugar donde el aire sea ms puro?

Preerencias Parte del total

Estudiantes que quisieran vivir uera de Santiago15

Estudiantes que quisieran vivir uera de Santiago paramejorar su calidad de vida

15

15

Estudiantes que quisieran vivir uera de Santiago bus-cando un lugar donde el aire sea ms puro

15

15

15

1

5

1

5

1

5

del total de estudiantes del colegio le gustara radicarse uera

de Santiago porque quieren vivir en un lugar donde el aire sea mspuro. Estas multiplicaciones las podemos desarrollar de la siguientemanera:

15

15

15

=1

5 5 5=

153

= c15m3

La raccin c15m3 tambin la puedes escribir como 5-3, es decir, como

el denominador de la raccin elevado al mismo exponente, pero con

signo opuesto.

Una potencia con exponente entero se puede escribir como elinverso multiplicativo de su base elevado al mismo exponente,pero con signo opuesto:

Ax= f 1A

p-x; con A y x

Observa que si la basees un nmero negativoy el valor absoluto delexponente es par, el n-mero ser positivo. Porejemplo:

(-5)-4 = a-15k4 = a1

5k4

De igual manera puedesdeducir que si la base

es negativa y el valorabsoluto del exponentees impar el nmero sernegativo.

Las iguras que indicanla duracin de una notamusical son siete: la re-donda, la blanca, la negra,la corchea, la semicorchea,la usa y la semiusa. Laduracin de cada una deestas fguras es la mitadde la anterior. Una blanca

es igual a 12

redonda. Una

negra es igual a1

2blanca

e igual a 2-2 redondas. Una

corchea es igual a1

2negra,

2-2 blanca y 2-3 redonda yas sucesivamente.

La Msica

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UnidadUnidad


Escribe el desarrollo de las siguientes potencias y con una calculadora obtn el valor de cadaa.una ellas:

7a) -7 = ______________________________________________________ =

10b) -4 = ______________________________________________________ =

9c) -3 = ______________________________________________________ =

100d) -8 = ______________________________________________________ =

Expresa como una sola potencia de base y exponente entero las siguientes expresiones:b.

1

83a)

729b)

La mitad de la mitad de la mitad.c)

-216d)

La dcima parte de la centsima parte.e)

b) -15l7

0,0625g)

Indica usando potencias a qu parte del total corresponde la parte roja:C.

a) b)

Ejercicios grupales

Jntense en grupos de tres estudiantes y discutan si las siguientes afrmaciones son verdaderasa.o alsas:

a) ____ b16l4 > b1

6l

b) ____ (-3)-5 < (-3)-7

c) ____ 24 = 42

d) ____ Ab = bA

Potencia: Potencia:


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Unidad 238

Multiplicacin y divisin de potencias

de igual base

Las propiedades de la multiplicacin y la divisin de potenciascuya base y exponente son nmeros enteros, son similares a las queya conoces de cursos anteriores, cuando solo trabajaste con potenciasde base y exponente natural.

1 Multiplicacin de potencias de igual base:

Cmo calculamos (-5)f -3 (-5)4?

Para resolver esta multiplicacin de potencias debemos mantener la

base y sumar los exponentes:

(-5)

-3

(-5)

4

= (-5)

-3 + 4

= (-5)

1

= -5Otro ejemplo:

(-2)-4 (-2)-6 (-2)-1 = (-2)-4 + -6 + -1 = (-2)-11 = c-12m11 = ]-1g11]2g11 =

-12048

2 Divisin de potencias de igual base:

Cmo calculamos (-4)f -5 : (-4)-2?

Para resolver esta divisin de potencias debemos mantener la basey restar los exponentes:

(-4)-5 : (-4)-2 = (-4)-5 -2 = (-4)-5 + 2 = (-4)-3 = c-1

4 m3

=]-1g3

]4g3 =-164

Otro ejemplo:

(-9)-3 (-9)-2 = (-9)-3 -2 = (-9)-3 + 2 = (-9)-1 = c-19m1 = -1

9

Cualquier nmero distintode cero elevado a cero esigual a 1. Esto se puedeconcluir cilmente:

ax a-x= ax + -x= a0

ax a-x= ax

ax= 1

Entonces:

ax a-x= a0 = 1

Al multiplicar potencias de igual base, el producto corresponde auna nueva potencia cuya base es la base comn de los actores ycuyo exponente es la suma de sus exponentes:

a

x

a

y

= a

x + y

Al dividir potencias de igual base, el cociente corresponde a unanueva potencia cuya base es la base comn del dividendo y di-visor y cuyo exponente es la dierencia entre el exponente deldividendo y el del divisor:

ax

ay= ax y


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UnidadUnidad

Ejercicios grupales

Formen grupos de cuatro estudiantes y justifquen las siguientes afrmaciones:a.

Una multiplicacin de 2 nmeros enteros elevada a un exponente entero es equivalente a laa)multiplicacin de uno de los 2 actores elevado a dicho exponente, multiplicado por el otroactor, tambin elevado a dicho exponente. Por ejemplo:

(5 3)4 = 54 34

(-2 5)-2 = (-2)-2 5-2

Al elevar una potencia a un exponente se conserva la base y se multiplican los exponentes.b)Por ejemplo:

(32)4 = 32 4 = 38

[(-8)5]-3 = (-8)-15

Aplicando las propiedades anteriores desarrollen los siguientes ejercicios:b.

(3 (-6)a) -3 24)-1 =

db)

4-1 16

2 n-2

=

(11c) -7 133 40)0 =

dd) 14-314-3

n1024=

e) [52 (-6)2 d 130n-2

]-3

=

) (3-3 6-3 9-3)-2 =

g)

d26

36

n

-12

=

h) (92 3-2 81)3 =

i) {[(3)-2]3}-1 =

j) [(-2)-4]-4 =


Desarrolla las siguientes multiplicaciones de racciones simplifcando el resultado:a.

-4 2a) 5 2-5 =

52 25

5b) =

5c) 3 23 10 =

]-7g -2 3 1426 2

d) =

1

3e) c1

3m5 c1

3m5=

2324501

2324500) =

(-g) 0,2) (-0,2) (-0,2) 103 =

900 3h) 5 10-2 =

72

65i) 3-2 =

3242

28j) =


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Unidad 240

Crecimiento exponencial

Rolando Buenaortuna invertir los 2000 dlares que gan en unconcurso de azar. Su banco le orece duplicar el dinero cada 10 aos.

Buscando lo ms conveniente, Buenaventura decide analizar detalla-damente la propuesta de su banco.

Cunto dinero tendr el Sr. Buenaortuna si desea retirar sus aho-frros en 20 aos ms?

Cunto si desea retirar sus ahorros en 40 aos ms?f

Lo primero que haremos es hacer una tabla que muestre cmo evo-lucionara el dinero en su banco:

Tiempo 0 aos 10 aos 20 aos 30 aos 40 aos

Dinero QUS$] 2 000 4 000 8 000 16 000 32 000

Si el Sr. Buenaortuna retira su dinero a los 20 aos tendr 8 000dlares y si los retira en 40 aos tendr 32 000 dlares.

El aumento de la inversin lo podemos ver ms claramente en elsiguiente grfco:

Al crecimiento exponen-cial se le llama as debido aque se puede representarpor una potencia. Llaman-do Y a la variable que varaen orma exponencial yX a la variable tiempo,tenemos que:

Y = A BxDonde A y B son valoresconocidos y constantes.

Por ejemplo, asignemoslos valores A = 10 y B = 2.Entonces, una tabla conlos valores de X e Y es:

X Y

0 10

1 20

2 40

3 80

Comprueba que Y varaexponencialmente graf-cando su variacin en tucuaderno.

Decimos que el dinero del Sr. Buenaortuna crece exponencialmente.

Una variable crece exponencialmente cuando su valor en cadaetapa corresponde al de la etapa anterior multiplicada por un n-mero fjo mayor que 1, llamado razn de crecimiento. Su grfcaes una curva ascendente.

Tiempo [aos]

Dinero[dlares]

0 10 20 30 40

3500030000

25000

20000

15000

10000

5000

0

Dinero del Sr. Buenafortuna

Muchos enmenos de lanaturaleza siguen un creci-miento exponencial como,por ejemplo, el nmero declulas de un eto mientrasse desarrolla en el teromaterno, los precios enel mercado, el nmero debacterias que se reproducenpor mitosis, etc.

La Ciencia

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UnidadUnidad


Determina en qu orma evolucionan las siguientes series de nmeros.a.

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4 Etapa 5

200 210 220 230 240

72

72

2273

2374

2475

25

300 600 1 200 2 400 4 800

Observa el siguiente grfco que muestra la evolucin en el tiempo de dos variables A y B:b.

Los puntos de color azul corresponden a los valores de una variable que crece exponencialmente(B) y los puntos de color rojo a una variable que crece linealmente (A).

Une los puntos de cada color para obtener las lneas que grafcan el crecimiento de A y B.a)

Cuando B vale aproximadamente 1b) 000, cul magnitud es mayor, A o B?

Aproximadamente entre qu valores de tiempo B es mayor que A?c)

Aproximadamente entre qu valores de tiempo A es mayor que B?d)

Aproximadamente para qu valor de tiempo A y B tienen el mismo valor?e)

Ejercicios grupales

Formen grupos de tres integrantes y respondan las siguientes preguntas:a.

Consideren un grupo de clulas que cada 15 minutos se biparticiona, es decir, que cada clulaa)se divide en dos cada 15 minutos. Si inicialmente hay 200 clulas, cuntas habr al cabo de1 hora? Grafca la variacin en el tiempo del nmero de clulas.

Hay una antigua leyenda persa sobre un cortesano que orend a su rey un bello tablero deb)ajedrez y le solicit a su seor que le diera a cambio un grano de arroz por el primer cuadra-do, dos granos por el segundo, cuatro por el tercero, y as sucesivamente. Calcula cuntosgranos de arroz debera haberle dado el rey. Recordando que un tablero de ajedrez posee64 casillas, crees que el rey pudo cumplir con el pedido de su cortesano?

Serie 1

Serie 2

Serie 3

Tiempo [aos]

Valorde

varia

ble

0 1 2 3 4

900080007000600050004000300020001000

0

Variacin en el tiempo de A y BA B


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Unidad 242

Decrecimiento exponencial

Un incendio orestal alcanz a 80 hectreas de un bosque. Gracias a

la rpida accin de los brigadistas de CONAF el uego se logr controlar

cuando quedaban 5 hectreas bajo uego. La siguiente tabla muestra laevolucin del incendio desde la llegada de los brigadistas:

Tiempo[minutos]

Superfcie bajo uego[hectreas]

0 80

15 40

30 20

45 10

60 5

75 2,5

Segn la tabla, cunto tiempo necesitaron los brigadistas paraf

controlar el incendio?

Como se ve en la tabla, el uego se logr controlar a los 60 minutosde iniciado el trabajo de los brigadistas.

Si graicamos la supericie bajo uego versus el tiempo transcurrido

desde la llegada de los brigadistas, comprobamos que esta grica tiene

la orma de una curva que decae y se acerca al eje del tiempo:

La dierencia matemticaentre el crecimientoexponencial y decreci-miento exponencial parala ecuacin Y = A BXradica en el actor quemultiplica al valor inicial.Si B > 1, hablamos decrecimiento exponencialy si 0 < B < 1, habla-mos de decrecimiento

exponencial. Si B = 1 elvalor de la variable esconstante.

Una variable decrece exponencialmente cuando su valor en cadaetapa es el de la etapa anterior multiplicada por un nmero fjomayor que 0 pero menor que 1, llamado razn de decrecimiento.Su grfca es una curva descendente.

Tiempo [minutos]

Hectreasbajo

fuego

0 15 30 45 60 75

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Control de incendio forestal

La Corporacin NacionalForestal (CONAF) es unaentidad que depende delMinisterio de Agricultura,y cuya principal tarea esadministrar la poltica o-restal de Chile y omentar eldesarrollo de este sector.

El Medio Ambiente

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UnidadUnidad


Seala mediantea. cules de las siguientes secuencias corresponden a un decrecimiento ex-ponencial. Cuando as sea, indica la razn de decrecimiento:

a) 2 4 8 16 32

b) 25 20 15 10 5

c) 891 297 99 33 11

d) 2 4 16 256 65536

e) 3072 384 48 6 0,75

Marca con unb. los grfcos que representan un decrecimiento exponencial:

a)

A

Tiempo

C

Tiempo

B

Tiempo

b) c)

Ejercicios grupales

En grupos de 3 personas completen las tablas con los valores de la variable Y segn la ecuacina.Y = A BX para las condiciones que se indican. Grafquen sus resultados y observen las curvasobtenidas.

a) Y = 10 3X c) Y = 5 (0,5)X

X 0 1 2 3 4

Y

X 0 1 2 3 4

Y

b) Y = 2 2X d) Y = 1 (0,2)X

X 0 1 2 3 4

Y

X 0 1 2 3 4

Y


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Unidad 244

Potencias de exponente 2 y races

cuadradas

Debido a la escasez de reas verdes en una ciudad, el alcalde decidiconstruir un parque en la perieria. Este parque tendr orma cuadrada

y un rea de 6400 m2.

Cunto mide cada lado del parque?f

Recuerda que el rea de un cuadrado es la medida de su lado ele-vada al cuadrado. Por lo tanto, tenemos que pensar en un nmero quemultiplicado por s mismo sea igual a 6400. Observa:

80 80 = 6400 -80 -80 = 6400

Entonces 80 m y -80 m podran ser la medida del lado del cua-

drado. Como no tiene sentido que un cuadrado tenga lados negativos

descartamos -80 como solucin. Concluimos que los lados del parquemedirn 80 m.

Cuando un nmero positivo elevado al cuadrado es igual a otrose dice que es su raz cuadrada. El smbolo de la raz cuadrada es

. Matemticamente se defne como:

a = bb2= a

Entonces:

x se lee raz cuadrada de x y se cumple que x x = x.

A xse le llama radicando de la raz.

La raz cuadrada de 64 es 8, la de 4 es 2, la de 100 es 10, etc. Estose escribe as:

64 = 8 La raz cuadrada de 64 es 8, pues 8 8 = 64.

4 = 2 La raz cuadrada de 4 es 2, pues 2 2 = 4.

100 = 10 La raz cuadrada de 100 es 10, pues 10 10 =100.

Debes tener en cuentaque la raz cuadrada deun nmero no siemprees un nmero entero. La

raz cuadrada de 2, porejemplo, es un nmeroque ni siquiera se puedeescribir como raccin:

2 = 1,4142135...

A = 6400 m2

PARQUE

Las partes numricas deuna raz son dos, el ndicey el radicando:

42ndice

Radicando

Segn la Comisin Nacio-nal del Medio Ambiente(CONAMA), se consideranreas verdes a los espaciosocupados principalmentepor rboles, arbustos oplantas; y esos espaciospueden tener distintos usos,tales como esparcimiento,recreacin, ecologa, pro-teccin, rehabilitacin del

entorno, paisajismo, etc.

El Medio Ambiente

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UnidadUnidad

La raz cuadrada de un nmero tambin puede expresarse como una

potencia con exponente raccionario. Observa:

AB =B2A

Es decir, el exponente de la potencia equivalente a la raz es unaraccin cuyo denominador es el ndice de la raz y cuyo numeradores el exponente del radicando. Por ejemplo:

5 =125 243 = 35 =

523

Una raz cuadrada co-rresponde a una raz con

ndice dos, es decir: 9 = 9

2


Calcula el valor de las siguientes races cuadradas:a.

4a) =

144b) =

24 78 c) =

49 49d) =

4-2 410 e) =

27 2) =

8 2g) =

0,01h) =

100i) =

10.000j) =

66 k) =

400l) =

10-4 m) =

64

26 32n) =

Completa la siguiente tabla que contiene la medida del lado de diversos cuadrados y su rea:b.

Cuadrados

Medida del lado rea

16 cm2

100 m2

5 m

49 mm2

169 m2

Expresa como potencia la raz y viceversa, en los siguientes ejercicios:C.

13a) = 47

2

b) =


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Unidad 246

Teorema de Pitgoras

Pedro y Diego son dos amigos a los que les gusta disrutar de lavida al aire libre. Ellos discuten sobre cuntos kilmetros de camino

se ahorrarn en su viaje a un campamento en la precordillera si se vanpor un atajo que descubrieron. Anteriormente, se iban por un caminorecto hacia el sur recorriendo una distancia de 4 km, y luego doblabanen 90 hacia el Oeste, recorriendo otros 3 km. Ahora, por el atajo, sepueden ir directamente en lnea recta. Observa:

Cul es la distancia que recorren caminado por el atajo?f

Si comparas la distancia que recorran antes, con la que recorrenf ahora por el atajo, cunto ms corta es una que la otra?

Como puedes ver los dos caminos orman un tringulo rectngulo.Para averiguar la distancia que recorrern Pedro y Diego por el atajodebemos aplicar el teorema de Pitgoras.

Un tringulo rectnguloes aquel que posee unngulo recto, es decir,un ngulo de 90.

El teorema de Pitgoras relaciona las medidas de los lados de untringulo rectngulo. Indica que la suma de los cuadrados de loslados que orman el ngulo recto llamados catetos, debe serigual al cuadrado del lado opuesto al ngulo recto llamado hi-potenusa:

a2 +b2 =c2

o

c = a2 +b2

b

a

c

90

3 kmAtajo

4 km

Camino

antiguo

Partida

Campamento

Pitgoras ue un flsoo ymatemtico griego que vivientre los aos 582 a. de C.y 507 a. de C. Aunque sele conoce universalmentepor el teorema que lleva sunombre, no ue l quien lodemostr sino uno de susdiscpulos.

Pitgoras orm una escue-la en la que se afrmaba quela estructura del universoera esencialmente matem-tica, y en ella se hicieronaportes al conocimientohumano en campos tanamplios como la flosoa,la matemtica, la msica, latica y la astronoma.

La Historia

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UnidadUnidad

Ejercicios grupales

En grupos de dos estudiantes analicen y respondan las siguientes preguntas:a.Cunto mide la diagonal de un cuadrado cuya rea es de 2 cma) 2?

Si el rea del cuadrado de la parte anterior aumenta al doble, en cunto aumenta el valorb)de su diagonal?

Considera ahora un cuadrado cuyo lado midec) 8 m. Cul es su rea? Cul es la medidade su diagonal?

En el ejercicio de Pedro y Diego, se cumple que:

32 + 42 = Hipotenusa2

y

Hipotenusa = 32 +42 = 9+16 = 25 =5

El nuevo camino mide 5 km.

Como antes recorran 7 km (3 km + 4 km), entonces por el nuevocamino se ahorran 2 km (7 km 5 km).


Calcula la longitud del lado que alta en los siguientes tringulos rectngulos:a.

a) b) c)

12 m

9 m

30 km

18 km 10 m

26 m

x=

xx x

x= x=

Indica la longitud de la altura de cada uno de los siguientes tringulos:b.

a)

15 m 20 mh

9 m 16 m

b) 27m

48m

60 m

45 mh

h = h =

Tres expresiones del teo-rema de Pitgoras son:

c= a2+b2

a= c2 b2

b= c2 a2

Con ay blongitudes delos catetos de un tringulorectngulo; y c, de suhipotenusa.


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Unidad 248

Tros pitagricos

Existen tros de nmeros naturales que cumplen con el teorema dePitgoras, por lo que siempre es posible construir tringulos rectngulos

usndolos como medidas para sus lados.Calcula el lado que falta de los tringulos que se muestran af

continuacin:

En cul de estos tringulos las longitudes de sus tres lados corres-fponden a nmeros naturales?

Primero calculamos los lados que altan de cada tringulo:

Catetoa

Catetob

Hipotenusac

Operacin

3 4 5 a = 52 42 = 9 =3

2 3 13 c = 22 +32 = 13

6 8 10 c= 6

2 +

8

2 =

100 = 10

Los lados del primer tringulo miden 3 m, 4 m y 5 m.

Los lados del segundo tringulo miden 2 m, 3 m y 13 m. Como no

hay un nmero natural que multiplicado por s mismo d 13, entoncesqueda expresado como raz.

Los lados del tercer tringulo miden 6 m, 8 m y 10 m.

Por ejemplo, son tros pitagricos los conjuntos:

9, 12, y 15 92+ 122 = 152

5, 12 y 13 52 + 122 = 132

7, 24 y 25 72+ 242 = 252

Un tro pitagrico pri-mitivo es aquel que nose deriva de ningn otrotro pitagrico. Dicho deotra manera, es aqueltro pitagrico en el queel mximo comn divi-sor de sus elementos esigual a 1.

Se conoce con el nombre de tro pitagrico al conjunto de tres

nmeros naturales que satisacen el teorema de Pitgoras.

6 m

8 m

?5 m

4 m

? 2 m

3 m

?


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UnidadUnidad


Escribe tres conjuntos que se deriven de los siguientes tros pitagricos:a.

{3, 4, 5}a) { } { } { }

{8, 15, 17}b) { } { } { }

{5, 12, 13}c) { } { } { }

{7, 24, 25}d) { } { } { }

Encuentra el tro pitagrico primitivo del que se derivan cada una de las siguientes ternas deb.nmeros pitagricos:

{300, 400, 500}a) { }

{25, 60, 65}b) { }

{21, 28, 35}c) { }

{32, 60, 68}d) { }

Cul de estos conjuntos de nmeros es un tro pitagrico primitivo? Dibuja tringulos cuyosC.lados tengan como medidas (en centmetros) los nmeros de cada conjunto y comprueba queson tringulos rectngulos.

{21, 28, 35}a){9, 40, 41}b)

{10, 24, 26}c){5, 12, 13}d)

Verifca con una calculadora los siguientes tros pitagricos primitivos:d.{1a) 248, 1265, 1777}

12482 =

12652 =

17772 =

c) {183, 244, 305}

1832 =

2442 =

3052 =

Si cada nmero de un tro pitagrico se multiplica por un mismonmero natural, se obtiene otro tro pitagrico. As, por ejemplo, deltro pitagrico 3, 4, 5 se desprenden los conjuntos de tros pitagricos6, 8, 10; 9, 12, 15; 12, 16, 20; etc.

Estos ltimos tros se dice que son tros pitagricos derivados.

+ +

b) {429, 460, 629}

4292 =

4602 =

6292 =

d) {616, 663, 905}

6162 =

6632 =

9052 =

+ +


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Unidad 250

Resolucin de problemas

a) Entiende: qu sabes del problema?

La concentracin inicial del cultivo A es de 4 bacterias/mm 2.La poblacin de bacterias crece exponencialmente.La concentracin del cultivo A tras 2 mediciones (40 minutos) es de 36 bacterias/mm 2.

Problema modelo

Una universidad est estudiando en su laboratorio un cultivo de bacte-rias. El cultivo A tiene inicialmente una concentracin de 4 bacterias pormilmetro cuadrado. Los cientfcos saben que la poblacin de bacteriascrece exponencialmente en el cultivo y realizan mediciones cada 20minutos. Despus de 40 minutos, comprueban que la concentracindel cultivo A es de 36 bacterias por milmetro cuadrado.

Cul es la razn de crecimiento del cultivo A cada 20 minutos?a)

Cul ser la concentracin de A despus de dos horas de iniciadob)el experimento?

b) Planifca tu estrategia: cmo puedes resolver el problema?

Conocemos la concentracin inicial y fnal del cultivo, entonces dejamos la razn de cre-cimiento como incgnita.Calculamos la razn de crecimiento del cultivo.Conociendo la razn de crecimiento del cultivo A, calculamos la concentracin de bacterias

tras dos horas de iniciado el cultivo.

c) Resuelve: desarrolla el problema para llegar a una respuesta

Cultivo A (tras dos mediciones): 4 R R = 36

R = 36 : 4 = 9 = 3

Tras dos horas (120 minutos) se habrn realizado 6 mediciones, por lo tanto, la concentra-cin de bacterias en el cultivo A ser:

CA = 4 3 3 3 3 3 3 = 4 36 = 2 916 bacterias/mm2.

d) Responde: contesta las preguntas del problema

La razn de crecimiento del cultivo A es 3. (Las bacterias se triplican cada 20 min).Tras 2 horas de iniciado el cultivo, el cultivo A contendr 2 916 bacterias/mm2.

e) Comprueba: aplica otra estrategia para comprobar el resultado

Puedes comprobar los resultados usando una calculadora.Puedes grafcar el crecimiento del cultivo de bacterias y usar el grfco para confrmar losresultados.


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Unidad


Problema 1

La rmula para calcular el periodo de oscilacin de un pndulo en

las proximidades de la Tierra es:

T = 2 L

g

Donde L es el largo del pndulo (medido en metros), g la aceleracinde gravedad (igual a 9,8 m/s2) y 3,14.

Calcula el perodo de oscilacin para un pndulo de 39,2 m dea)

longitud.

Calcula el perodo de oscilacin para un pndulo de 107,8 metrosb)

de longitud.

Problema 2

A partir de la rmula de conservacin de la energa mecnica se

puede deducir la siguiente relacin para la cada libre de un cuerpoen las proximidades de la Tierra:

v2 = 2gh

En donde ves la rapidez fnal del cuerpo al tocar tierra (medida en

[m/s]), g la aceleracin de gravedad (usa esta vez la aproximacin

g 10 m/s) y h la altura desde la que se dej caer el cuerpo (me-

dida en metros).

Calcula la rapidez fnal de una pelota que cae libremente desdea)una altura de 14,45 m.

Calcula la rapidez al tocar tierra de una pelota que se dej caerb)

desde una altura de 26,45 m.

Problema 3

Un estudiante ha conseguido modelar el nmero de vueltas que

da una bola de acero de 150 g en un gran aro que construy para

un trabajo de la universidad. La rmula que dedujo se puede ex-

presar por:

N = b 13H

l-12

Donde:

N: nmero de vueltas.

H: altura desde la que cae la bola (medida en centmetros).

Responde:

Cuntas vueltas da la bola si se deja caer sobre el aro desdea)una altura de 3 cm?

Desde qu altura debe ser dejada caer la bola para que d 6b)

vueltas?

Desarrollo

HIPERTEXTO


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52 Unidad 2

Tecnologa activaBuscando tros pitagricos

Aprovecharemos la rapidez con que un computador realiza clculos, para encontrar tros pi-tagricos. El computador veriicar uno por uno cada par de catetos posibles que sean menoresque 100, para ver cules dan origen a un tro pitagrico. Primero el 1 con el 1, despus el 1 con el2, luego el 1 con el 3, etc.; hasta el 1 con el 100. Despus el 2 con el 2, el 2 con el 3, etc.; hasta el2 con el 100, y as sucesivamente. Lo primero que har el computador ser calcular la hipotenusacorrespondiente a cada par de catetos. Luego, si la hipotenusa es un nmero entero, nos dir quees un tro pitagrico. Por ltimo, comprobar si el par de catetos y la hipotenusa orman un tropitagrico primitivo, calculando el mximo comn divisor de estos tres nmeros. Si el mximocomn divisor es igual a 1 entonces el computador nos dir que es un tro pitagrico primitivo.

Construccin de planilla de clculos.1.Crea un Libro nuevo. Llmalo Tros pitagricos.f

Escribe en cada celda lo que se indica:fA1 Cateto 1B1 Cateto 2C1 HipotenusaD1 Parte enteraE1 Es tro P?F1 MCD

G1 Es Tro PP?Estas celdas contienen el nombre de cada columna.A2 1B2 1Estas celdas contienen el primer par de catetos.A3 =SI(B2=100;A2+1;A2)B3 =SI(B2=100;A2+1;B2+1)Estas celdas generan catetos de valores menores o iguales a 100.Arrastra el contenido de estas celdas hasta la ila 5 051.

C2 =RAIZ(A2^2 + B2^2)Esta celda contiene el valor de la hipotenusa correspondiente a cada par de catetos,aplicando el teorema de Pitgoras.Arrastra el contenido de esta celda hasta la ila 5 051.D2 =ENTERO(C2)En esta celda se indica la parte entera de la hipotenusa.Arrastra el contenido de esta celda hasta la ila 5 051.E2 =SI(C2=D2;"S";"")


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Unidad

53Potencias y sus aplicaciones

En esta celda se compara la hipotenusa con su parte entera. Si son iguales signiica quees un tro pitagrico y despliega el mensaje S.Arrastra el contenido de esta celda hasta la ila 5 051.F3 =SI(C2=D2;M.C.D(A2;B2;C2);"")En esta celda se calcula el mximo comn divisor entre los dos catetos y la hipotenusaque orman tros pitagricos (si la uncin M.C.D no est instalada en tu Excel, debesbuscarla en la Ayuda del programa e instalarla).Arrastra el contenido de esta celda hasta la ila 5 051.G3 =SI(F2=1;"S","")En esta celda, si el mximo comn divisor es igual a 1, despliega el mensaje S.Arrastra el contenido de esta celda hasta la ila 5 051.

La primera pgina de tu planilla debe verse as:f

En la ila 202 encontrars el primer tro pitagrico, que adems es un tro pitagricofprimitivo (3, 4 y 5):

Aplicando lo aprendido.2.Copia en tu cuaderno los tros pitagricos identiicados en esta actividad.a)Copia en tu cuaderno los tros pitagricos primitivos identiicados.b)Crea una planilla semejante a la anterior pero ampliando el rango de medidas de losc)catetos a valores menores o iguales que 200. Identiica mediante ella tros pitagricosprimitivos y no primitivos.

Cateto 1 Cateto 2 Hipotenusa Parte entera Es tro P? MCD

1 1 1,4142 11 2 2,2361 21 3 3,1623 31 4 4,1231 41 5 5,0990 51 6 6,0828 61 7 7,0711 71 8 8,0623 81 9 9,0554 91 10 10,0499 101 11 11,0454 111 12 12,0416 12

2 94 94,0213 942 95 95,0211 952 96 96,0208 962 97 97,0206 972 98 98,0204 982 99 99,0202 992 100 100,0200 1003 3 4,2426 43 4 5,0000 5 S 1 S

3 5 5,8310 53 6 6,7082 6


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54 Unidad 2

Sntesis de la unidadFicha 1

Una potencia corresponde a una expresin que representa la multiplicacin de un nmero pors mismo, un determinado nmero de veces. Se expresa como Ab, donde A es el nmero que

se multiplica por s mismo llamado base, y b las veces que aparece como factor llamado

exponente.

Ficha 2

Una potencia con exponente

entero equivale al inverso mul-tiplicativo de su base, elevada alopuesto aditivo del exponente.

Ficha 3

Cuando se multiplican potencias de igual base seconserva la base y se suman los exponentes.

Cuando se dividen potencias de igual base se con-serva la base y el exponente es igual a la dierencia entre

el exponente del numerador y el del denominador.

Ficha 4

Una variable crece linealmente cuando su valor en cada etapa es igual al de la etapa anteriorms un nmero fjo positivo. Su grfca es una lnea recta.

Una variable crece exponencialmente cuando su valor en cada etapa es el de la etapa anteriormultiplicado por un nmero fjo mayor que 1.

Ficha 5

Una variable decrece linealmente cuando su valor en cada etapa es el de la etapa anteriormenos un nmero fjo positivo.

Una variable decrece exponencialmente cuando su valor en cada etapa es el de la etapaanterior multiplicada por un nmero fjo mayor que 0 y menor que 1.

La raz cuadrada de un nmero a esaquel nmero positivob que elevadoal cuadrado es igual a a, es decir:

a = b b2 = a

Ficha 6

Sntesis

HIPERTEXTO


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Unidad

55Potencias y sus aplicaciones

EvaluacinEscribe el nmero entero o fraccionario que es equivalente a cada una de las siguientes

a.potencias:

a)b12l -2 =

b)108 =

c) 62 =

d) b94l -1=

e) (-7)3 =

LIBRO 8° MATEMATICAS

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