lecture acyclic 2 · 2015. 10. 15. · ideal-fluid aerodynamics“-Karamcheti K. ... Μόνιμη...

ΕΘΝΙΚΟΜΕΤΣΟΒΙΟΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΤΜΗΜΑΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣΚΑΙΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣΕΡΕΥΝΑΣ

ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΔιδάσκων:Δρ.ΡιζιώτηςΒασίλης

ΜόνιμηΆκυκληΡοή

ΆδειαΧρήσης

ΤοπαρόνεκπαιδευτικόυλικόυπόκειταισεάδειεςχρήσηςCreativeCommons.Γιαεκπαιδευτικόυλικό,όπωςεικόνες,πουυπόκειταισεάδειαχρήσηςάλλουτύπου,αυτήπρέπεινααναφέρεταιρητώς.

Μόνιμη Άκυκλη Ροή

Αστρόβιλη ροή – Δυναμικό της ταχύτητας

0= ∇× =Ω u αστρόβιλο πεδίο

= ∇Φ( )u r

2( Φ) Φ 0∇ ⋅ ∇ = ∇ = συνθήκη ασυμπίεστου ρευστού

εξίσωση Bernoulli+ − =ρ

2u p U c2

οριακές συνθήκες

⋅ ∇ = ∇ ⋅∇ = ∈ =Φ F Φ 0 στερεό σώμα, F( ) 0n r r

∇ → → ∞Φ U r

=Φ Φ( )r


Αστρόβιλη ροή – Δυναμικό της ταχύτητας

0= ∇× =Ω u αστρόβιλο πεδίο

=φ φ( )r =∇φ( )q r

∇ ⋅ ∇ = ∇ =2( φ) φ 0 συνθήκη ασυμπίεστου ρευστού

εξίσωση Bernoulli+ − =ρ

2u p U c2


⋅ ∇ = ∇ ⋅∇ = −∇ ⋅ ∈ =φ F φ F στερεό σώμα, F( ) 0n U r r

∇ → → ∞φ 0 r

= + = +∇φ( )u U q U r

πεδίο διαταραχής


Δυναμικό πηγής

= =Af( ) rr

r r

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = ∇ = ∇ ∇ = →⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2 23

A A 0 0f( ) r 0r r 0r

r

Δ →

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ ∇ = ∇ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫D 0S

A 1 Alim dSr D r

n θεώρημα Gauss

ολοκληρώνοντας σε μια σφαίρα όπου⋅⎛ ⎞

∇ = − = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

3 2

A A Ar r r r

r e

Δ →→

⎡ ⎤⎛ ⎞∇ = − ⋅ ⋅ = −∞⎜ ⎟⎢ ⎥ Δ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫22D 0

spherer 0

A 1 Alim dSr D r r re e



=Aφ( )r

r

⋅⎛ ⎞= ∇ − = = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠3 2

A A A( )r r r r

ru r e

Έστω ή = −Aφ( )r

r

= πq 4 Aη παροχή ρευστού που εξέρχεται από όγκο που περιλαμβάνει το κέντρο της πηγής

= −π

q 1φ( )4 r

rκαι αν το κέντρο της πηγής δεν ορίζεται στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων

= −π −

q 1φ( )4 0

rr r

0r το κέντρο της πηγής

−= ⋅

π −3

q( )4

0

0

r ru rr r

= ⋅π 3

q( )4 r

ru r



= − ⋅π ⎡ ⎤− + − + −⎣ ⎦

1/22 2 20 0 0

q 1φ(x,y,z)4 (x x ) (y y ) (z z )

Σε καρτεσιανές συντεταγμένες

0 0 0(x ,y ,z )0r

(x ,y ,z )r−

= ⋅π ⎡ ⎤− + − + −⎣ ⎦

0x 3/22 2 2

0 0 0

x xqu (x,y,z)4 (x x ) (y y ) (z z )

−= ⋅

π ⎡ ⎤− + − + −⎣ ⎦

0y 3/22 2 2

0 0 0

y yqu (x,y,z)4 (x x ) (y y ) (z z )

−= ⋅

π ⎡ ⎤− + − + −⎣ ⎦

0z 3/22 2 2

0 0 0

z zqu (x,y,z)4 (x x ) (y y ) (z z )


Επαλληλία Παράλληλης ροής Πηγής (ημιάπειρο σώμα)

θ = π =π

q, R4 U

σημείο ανακοπής

πθ = =

πT2q, r

2 4 U

θ = =πLq0, r 24 U μέγιστη ακτίνα


Επαλληλία Παράλληλης ροής Πηγής-Καταβόθρας (αξονοσυμμετρικό σώμα)

δύο σημεία ανακοπής

+ = ⋅ ⋅2 2 2c c

Ar a r 4 aU⎛ ⎞

= = + ⋅ ⋅⎜ ⎟ +⎝ ⎠

2max c

2c

V r1 1x 0 , 1U 2 a 1 (r / a)

crcr


Δυναμικό διπόλου

⎛ ⎞ −= − =⎜ ⎟

π π ⋅⎝ ⎠

1

1 1

r rq 1 1 qΦ(P)4 r r 4 r r

→→∞→µ

−=

π ⋅1

l 0 1qql

r rqΦ(P) lim4 r r

− → ⋅ θ

⋅ →

12

1

r r l cos

r r r

⋅ θ θ= − = −

π π2 2q l cos μ cosΦ(P)4 4r r

⋅=μ μμ e διάνυσμα στην κατεύθυνση l

⋅ θ ⋅= − = −

π π3 3μ r cos 1Φ(P)4 4r r

μ r


Δυναμικό διπόλου

⋅ −= −

π −3

( )1Φ( )4

0

0

μ r rrr r

⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟= − ∇⎜ ⎟π −⎝ ⎠

3

( )1( )4

0

0

μ r ru rr r

( )= −

π + +3/22 2 2

μ xΦ(x,y,z)4 x y z

= −π 2

μ cosθΦ(R,θ,φ)4 R

= −π +2 2 3/2

μ xΦ(r,θ,x)4 (x r )


Δίπολο σε παράλληλη ροή (ροή γύρω από σφαίρα)

⎛ ⎞= ⎜ ⎟π⎝ ⎠

1/3

sμR2 U

δύο σημεία ανακοπής

⎛ ⎞θ = π = ⎜ ⎟π⎝ ⎠

1/3

s sμ0, , R2 U


Ροή γύρω από σφαίρα

Πηγή: “Principlesofideal-fluidaerodynamics“-Karamcheti K.,Wiley


Παράλληλη και κάθετη άκυκλη ροή


Άκυκλη ροή γύρω από σώματα

Πηγή: “Principlesofideal-fluidaerodynamics“-Karamcheti K.,Wiley


Γραμμική θεωρία μικρών διαταραχών

=φ φ( )r=∇φ( )q r

∞ ∞= + = +∇φ( )u U q U r

∇ ⋅ ∇ = ∇ =2( φ) φ 0


∞⋅∇ = ∇ ⋅∇ = −∇ ⋅ ∈ = − =φ F φ F στερεό σώμα, F( ) r R(x) 0n U r r

∇ → → ∞φ 0 r

∂ ϕ ∂ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ+ ⋅ + ⋅ + =

∂∂ ∂θ ∂

2 2 2

2 2 2 2

1 1 0r rr r x


Γραμμική θεωρία μικρών διαταραχών

θ

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ= ∇ = =

∂ ∂θ ∂r x1φ( ) (u , u , u ) ( , , )

r r xq r

∞ ∞ ∞ ∞= ⋅ ⋅(U sinα sinθ,U sinα cosθ,U cosα)U


Γραμμική θεωρία μικρών διαταραχών – Εύρος ισχύος

∞ ∞

∂ϕ= = ⋅ − ⋅

∂ rdRu U cosα U sinα sinθ

r dx

γραμμικοποιημένη έκφραση συνοριακής συνθήκης

Ισχύει για:

λεπτό σώμα (slender body) <<dRdx<<

RL

L το μήκος του σώματος

∞<<r xu ,u U

επομένως ∂⋅ <<∂xFux


Γραμμική θεωρία μικρών διαταραχών – Εύρος ισχύος

Δεν ισχύει:

• κοντά σε σημεία ανακοπής

• σε στρογγυλεμένα άκρα

∞= −xu U

↑dRdx

dRdx

dRdx


Αξονοσυμμετρική ροή γύρω από λεπτό αξονοσυμμετρικό σώμα

∂ϕ= = ⋅

∂ rdRu U

r dx

γραμμικοποιημένη συνοριακή συνθήκη

μη εισχώρησης

ϕ = − ⋅π − +∫

L

2 20

1 dξ(r,x) q(ξ)4 (x ξ) r

( )∂ϕ ⋅

= = ⋅∂ π − +∫

L

r 3/22 20

1 r dξu (r,x) (r,x) q(ξ)r 4 (x ξ) r

( )∂ϕ − ⋅

= = ⋅∂ π − +∫

L

x 3/22 20

1 (x ξ) dξu (r,x) (r,x) q(ξ)x 4 (x ξ) r



∂ϕ= = ⋅

∂ rdRu U

r dxγραμμικοποιημένη

συνοριακή συνθήκη μη εισχώρησης

( )L

r3/22 20r R(x)

1 r dξ dRq(ξ) u U4 dx(x ξ) r

=

⎧ ⎫⋅⎪ ⎪

⋅ = = ⋅⎨ ⎬π − +⎪ ⎪⎩ ⎭∫

με βάση τις υποθέσεις λεπτού σώματος μεταφέρουμε τη συνοριακή

συνθήκη στον άξονα x. Το ολοκλήρωμα της συνοριακής

συνθήκης απειρίζεται όταν και καθώς

L

0

q(ξ) dξ 0⋅ =∫συνθήκη δημιουργίας

κλειστού σώματος

ξ x→r 0→



αποδεικνύεται ότι

( )r r 0

q(x)r u2π→

⋅ =

οπότε

( ) ( )r rr 0 r R(x)

q(x) dRr u r u U R2π dx→ =

⋅ ≈ ⋅ = = ⋅ ⋅

dR dSq(x) 2π U R Udx dx

= ⋅ ⋅ ⋅ ≡ ⋅ 2S π R= ⋅


Κάθετη ροή γύρω από λεπτό αξονοσυμμετρικό σώμα

συνοριακή συνθήκη κάθετης ροής

L

3/22 20

1 r sinθ dξφ(r,x,θ) μ(ξ)4π (x ξ) r

⋅ ⋅= ⋅

⎡ ⎤− +⎣ ⎦∫

L

r 3/22 20

2L

5/22 20

φ 1 sinθ dξu (r,x,θ) μ(ξ)r 4π (x ξ) r

3 r sinθ dξμ(ξ)4π (x ξ) r

∂ ⋅= = ⋅∂ ⎡ ⎤− +⎣ ⎦

⋅ ⋅− ⋅

⎡ ⎤− +⎣ ⎦

∫

∫L

θ 3/22 20

1 φ 1 cosθ dξu (r,x,θ) μ(ξ)r θ 4π (x ξ) r

∂ ⋅= = ⋅

∂ ⎡ ⎤− +⎣ ⎦∫L

x 5/22 20

φ 3 (x ξ) r sinθ dξu (r,x,θ) μ(ξ)x 4π (x ξ) r

∂ − ⋅ ⋅ ⋅= = − ⋅∂ ⎡ ⎤− +⎣ ⎦

∫

rφ u W sinθr

∂= = − ⋅

∂



συνοριακή συνθήκη κάθετης ροής

2L L

3/2 5/22 2 2 20 0r R(x)

1 sinθ dξ 3 r sinθ dξμ(ξ) μ(ξ) W sinθ4π 4π(x ξ) r (x ξ) r

=

⎧ ⎫⋅ ⋅ ⋅⎪ ⎪

⋅ − ⋅ = − ⋅⎨ ⎬⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

∫ ∫

rφ u W sinθr

∂= = − ⋅

∂

Όπως και στην περίπτωση της αξονικής ροής μεταφέρουμε τη συνοριακή συνθήκη στον άξονα του σώματος



r 0→για

αποδεικνύεται ότι

( )2r r 0

μ(x)r u sinθ2π→

⋅ = −

οπότε η συνοριακή συνθήκη γράφεται

( ) ( )2 2 2r rr 0 r R(x)

μ(x)r u r u sinθ W R sinθ2π→ =

⋅ ≈ ⋅ = − = − ⋅

2μ(x) 2π W R 2 W S(x)= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅


Κατανομή της πίεσης σε αξονοσυμμετρικά σώματα2

p 2 22

p p qC 2ρ U UU2

∞

∞ ∞∞

− ⋅= = − −

q∞U

αξονική ροή2

xp

r R(x)

u dRC (R,x) 2U dx=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

κάθετη ροή

( )2 2r θ

p r θr R(x)

u u2C (R,x,θ) u sinθ u cosθW W

=

⎛ ⎞+= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

ροή σε γωνία πρόσπτωσης ή γωνία απόκλισης α22

2 2 θ θxp

r R(x)

u u2 u dRC (R,x,θ) α sin θ 2 α cosθU dx U U∞ ∞ ∞

=

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − − + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠


Κατανομή των δυνάμεων σε αξονοσυμμετρικά σώματα

A A

p dA p R dθ dS= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫F n n

A A

p dA p R dθ dS= − × ⋅ ⋅ = − × ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫0 0M r n r n)( dθ

dS

Rx

y

z

dSψ

R

dx

dR

x

r

sinψ cosψ cosθ cosψ sinθdR dx dx dxcosθ sinθdx dS dS dS

= − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

x y z

x y z

n e e e

e e e


Κατανομή των δυνάμεων σε αξονοσυμμετρικά σώματα

2π2x

p

0

dF ρ dR dSU R C dθ pdx 2 dx dx∞ ∞= ⋅ ⋅ ⋅ +∫

dθ

dS

Rx

y

z

dSψ

R

dx

dR

x

r

2πy 2

p

0

dF ρU R C cosθ dθdx 2 ∞= − ⋅ ⋅ ⋅∫

2π2z

p

0

dF ρU R C sinθ dθdx 2 ∞= − ⋅ ⋅ ⋅∫

L 2π

y

0 0

dRM x R sinθ p R dθ dxdx

⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

Χρηματοδότηση

Τοπαρόνεκπαιδευτικόυλικόέχειαναπτυχθείσταπλαίσιατουεκπαιδευτικούέργουτουδιδάσκοντα.Τοέργο«ΑνοικτάΑκαδημαϊκάΜαθήματα»τουΕΜΠέχειχρηματοδοτήσειμόνοτηναναδιαμόρφωσητουυλικού.ΤοέργουλοποιείταιστοπλαίσιοτουΕπιχειρησιακούΠρογράμματος«ΕκπαίδευσηκαιΔιαΒίουΜάθηση»καισυγχρηματοδοτείταιαπότηνΕυρωπαϊκήΈνωση(ΕυρωπαϊκόΚοινωνικόΤαμείο)καιαπόεθνικούςπόρους.

lecture acyclic 2 · 2015. 10. 15. · ideal-fluid aerodynamics“-Karamcheti K. ... Μόνιμη...

Documents

Transcript of lecture acyclic 2 · 2015. 10. 15. · ideal-fluid aerodynamics“-Karamcheti K. ... Μόνιμη...