UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE MECNICA

EXPERIMENTO 1PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER

Integrantes:Vivas Santa Cruz, Ricardo Manuel 20142504CCrdenas Gonzales, Wilber 20141038ICurso: Fsica 2 MB224Profesor: PACHAS JosSeccin: EPeriodo acadmico: 2015-1

14 de abril de 2015

PRLOGOEl presente informe est destinado a dar a conocer una de las muchas aplicaciones del pndulo fsico, es fascinante darse cuenta que con la ayuda de esta mecanismo tan simple es posible encontrar una de la caractersticas relativamente difcil de calcular directamente, el momento de inercia.Con la ayuda del periodo, que es algo caracterstico en el movimiento del pndulo fsico que muestra en cuerpo, y con la ayuda del teorema de Steiner seremos capaces de calcular el momento de inercia para ejes paralelos para cualquier cuerpo que pueda oscilar respecto a un punto.La forma en que se obtiene el periodo ser de forma experimental y mediante aproximaciones ser posible calcular los momentos de inercia de forma indirecta para el cuerpo en cuestin.El presente informe contendr el marco terico para poder evaluar los periodos experimentales, adems de los diferentes datos obtenidos en el laboratorio, as como imgenes y la redaccin del procedimiento seguido.Esperamos que el lector pueda apreciar la utilidad de esta experiencia y alimente el inters en la ciencia fsica tanto como nosotros disfrutamos en esta experiencia.

LOS AUTORES

NDICE

I. Cartula......1II. Prlogo........................................................................................2III. ndice..............3IV. Objetivos4V. Representacin esquemtica..5VI. Fundamento terico..7VII. Clculos y Resultados..121 Tabla de datos 1.132. a. Grfica T vs l..152. b. Clculo del valor l para que el periodo sea mnimo..162. c. Comparacin de l obtenido162. d. Periodo para l terico..162. e. Puntos de oscilacin con los mismos periodos..163. Tabla de datos 2174. grfico i1 vs l2.195. IG y M206. Comparacin IG terico y experimental.217. Longitud pndulo simple equivalente.218. Demostraciones.21IIX. Conclusiones y recomendaciones24IX. Bibliografa25

OBJETIVOS

Determinar experimentalmente los periodos de oscilacin de un pndulo fsico.

Calcular los momentos de inercia de cuerpos de forma indirecta, utilizando sus periodos de oscilacin.

Demostrar la aplicacin experimental de la teora trabajada en clase.

REPRESENTACIN ESQUEMTICA

FUNDAMENTACIN TERICA

PENDULO FSICOUn pndulo fsico es cualquier pndulo real que usa un cuerpo de tamao finito, en contraste con el modelo idealizado de pndulo simple en el que toda la masa se concentra en un punto. Si las oscilaciones son pequeas, el anlisis del movimiento de un pndulo real es tan sencillo como el de uno simple. La figura muestra un cuerpo de forma irregular que puede girar sin friccin alrededor de un eje que pasa por el punto O. En la posicin de equilibrio, el centro de gravedad est directamente abajo del pivote; en la posicin mostrada en la figura, el cuerpo est desplazado del equilibrio un ngulo que usamos como coordenada para el sistema. La distancia de O al centro de gravedad es d, el momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotacin es I y la masa total es m. Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra, el peso mg causa un torque de restitucin:rz = -mg (dsen)El signo negativo indica que el torque de restitucin es en sentido horario, si el desplazamiento es en sentido antihoriario, y viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posicin de equilibrio. El movimiento no es armnico simple porque el torque rz es proporcional a sen , no a . No obstante, si es pequeo, podemos aproximar sen con en radianes, tal como lo hicimos al analizar el pndulo simple. De esta manera, el movimiento es aproximadamente armnico simple. Con esta aproximacin:rz = -(mgd) La ecuacin de movimiento es: rz = Iz-(mgd) = Iz = I(d2 /dt2)(d2 /dt2) = -(mgd/I).

MOMENTO DE INERCIAElmomento de inercia(smboloI) es una medida de lainerciarotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de losejes principalesde inercia, la inercia rotacional puede ser representada como unamagnitud escalarllamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso ms general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamadotensor de inercia. La descripcin tensorial es necesaria para el anlisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscpicos.El momento de inercia refleja la distribucin de masa de un cuerpo o de un sistema de partculas en rotacin, respecto a un eje de giro. El momento de inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.Dado un sistema de partculas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partculas por el cuadrado de la distanciarde cada partcula a dicho eje.

Matemticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (medio continuo), se generaliza como:

El subndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a travs de unaintegral triple.Este concepto desempea en el movimiento de rotacin un papel anlogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. La masa inercial es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslacin y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin. As, por ejemplo, lasegunda ley de Newton:Tiene como equivalente para la rotacin:

Donde: es elmomentoaplicado al cuerpo. es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotacin y es laaceleracin angular.Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.

TEOREMA DE STEINEREl teorema de Steiner (denominado en honor aJakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa ms el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

Dnde:Ieje: es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa.I (CM) eje: es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa.M: Masa Total H: Distancia entre los dos ejes paralelos considerados

La demostracin de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposicin de coordenadas relativa al centro de masas inmediata:

Donde el segundo trmino es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definicin de centro de masa.El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa slo depende de la geometra del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que est inmerso dicho cuerpo.

RELACIN PERIODO MOMENTO DE INERCIATodo cuerpo slido que puede oscilar alrededor de un eje cualquiera, paralelo al eje que pasa por el centro de masa del slido, tiene un periodo de oscilacin dado por la expresin:

Cuando las oscilaciones del cuerpo son de pequea amplitud angular.En la ecuacin I1 es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje que pasas por O, M es la masa del slido y es la distancia del centro de gravedad del cuerpo (CG) al eje que pasa por O.En el experimento, el cuerpo slido es una barra homognea con huecos y los momentos de inercia de sta con respecto a ejes perpendiculares a las barras que pasan por cada uno de los huecos se pueden determinar a partir de la expresin dada, sin embargo, el momento de inercia alrededor6de un eje que pasa por CG es imposible determinar por el mtodo de oscilaciones, y para calcular nos valemos de un mtodo indirecto, el Teorema de Steiner que se expresa de la siguiente igualdad:

Donde IG es el momento de inercia respecto al centro de masa, M la masa de la barra.

CALCULOS Y RESULTADOS1.

2.a) GRFICO T VS. L, (T EN EL EJE VERTICAL Y L EN EL EJE HORIZONTAL)

2.b) CLCULO DEL VALOR L PARA QUE EL PERIODO SEA MNIMOEcuacin (0) M: masa total de la barra, L: longitud total de la barra, b: base de la barra, l: longitud al centro de masaComo Entonces Ecuacin (1) Ecuacin (2) Reemplazando (1) en (2)

Derivando e igualando a 0 obtenemos el

Reemplazando en ecuacin (2)

2.c) COMPARACIN DE l OBTENIDOTerico= 32.05cmExperimental=40.8cm

2.d) PERIODO PARA l TERICOEl periodo para la distancia que origina un periodo mnimo es

2.e) PUNTOS DE OSCILACIN CON LOS MISMOS PERIODOSDe la grfica se aprecia que los puntos con mismo periodo son los simtricos respecto al centro de masa.

3.

4. GRFICO I1 kg.m2 VS l2

5.

6. COMPARACIN IG TERICO Y EXPERIMENTALAl comparar los Ig experimentales con el Ig terico existe un error experimental en un intervalo.

Al comparar la masa se observ que la masa de la barra calculada por balanza es menor que la encontrada por el mtodo de mnimos cuadrados.

7. LONGITUD PNDULO SIMPLE EQUIVALENTEPara el hueco nmero 1 el periodo es 1.695sUsando el mismo periodo para un pndulo simple en la ecuacin:

Donde l es la longitud del pndulo simple equivalente

8. DEMOSTRACIONES

DEMOSTRACIN RELACIN PERIODO, MOMENTO DE INERCIALlamaremos h a la distancia del centro de gravedad (G) del pndulo al eje de rotacin ZZ. Cuando el pndulo est desviado de su posicin de equilibrio (estable) un ngulo , actan sobre l dos fuerzas (y) cuyo momento resultante con respecto al punto O es un vector dirigido a lo largo del eje de rotacin ZZ, en el sentido negativo del mismo; i.e.,(1)Si esel momento de inercia del pndulo respecto al eje de suspensin ZZ y llamamosa la aceleracin angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuacin diferencial del movimiento de rotacin del pndulo:(2)

Que podemos escribir en la forma(3)Que es una ecuacin diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para elpndulo simple.En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequea, podemos ponersin()y la ecuacin [3] adopta la forma(4)Que corresponde a un movimiento armnico simple.El periodo de las oscilaciones es(5)

DEMOSTRACIN TEOREMA DE STEINERSe asumir, sin prdida de generalidad, que en unsistema de coordenadas cartesianola distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del ejexy que el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al ejez, que pasa a travs del centro de masas, es:

El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia perpendicularra lo largo del ejexdel centro de masas, es:

Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:

El primer trmino esIcm, el segundo trmino queda comomr2, y el ltimo trmino se anula, puesto que el origen est en el centro de masas. As, esta expresin queda como:

CONCLUSIONES

Al tomar la barra sin huecos existe un error en el clculo del momento de inercia, esto se evidencia en la masa terica ya que es mayor que la medida en balanza.

Queda demostrado que el periodo en un MAS ya est definido por el sistema y no depende del ngulo ni la longitud recorrida.

Segn teora el periodo no depende del ngulo en un MAS, como en los 3 ltimos puntos el ngulo fue mayor a 15, ya no es una MAS, entonces el periodo obtenido experimentalmente no cumple la tendencia de los otros puntos.

Para fines prcticos la barra puede considerarse sin espesor. Esto facilita los clculos.

La longitud que origina un periodo mnimo hallado tericamente y experimentalmente no difieren mucho, por lo tanto los periodos correspondientes son similares.

Se puede calcular los periodos de una barra por simetra.

RECOMENDACIONES

En todo momento hay que cerciorarse que el ngulo sea menor que 15 para asegurar un movimiento armnico simple.

Asegurarse de soltar la barra, de tal forma que describa un movimiento unidimensional.

Un solo observador debe tomar todas las medidas de tiempo para que el error humano sea nico y debe ser muy cuidadoso.

Evitar que choque de la barra con la mordaza simple.

Asegurar correctamente el soporte a la mesa.

BIBLIOGRAFAhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Steinerhttp://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_f%C3%ADsicoManual de laboratorio de fsica general pagRaymond A. Serway, Jhon W. Jewett: Fsica para ciencias e ingeniera. Vol 1. Pag 434,435.Sears F. W.,ZemanskyM., Young H., FreedmanR.: Fsica Universitaria,Vol. II Undcima edicin, Editorial Pearson Education; Pginas: 438,439

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