SUPLEMENTOS III/ll

STEPHAN KORNER

LA MATEMÁTICA GODELIANA

y SUS IMPLICACIONES

FILOSÓFICAS

Traducción de

EL! DE CORTAR!

PROBLEMAS CIENTíFICOS y FILOSOFICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE M~XICO

1972

Título original:

"On the Relevance of Post-Güde1ian Mathematics to Philosophy", Proceedings of the International colloquium in the Philosophy of Science

(Londres, 1965), Amsterdam, North-Holland Publishing Company, 1967

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Primera edición en español: 1972

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTO NOMA DE MÉXICO

Dirección General de Publicaciones

Impreso y hecho en México

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EL CONFLICTO que muchas veces se plantea entre los resulta­dos de una disciplina científica y las implicaciones filosóficas que se establecen a partir de ellos, ya sean de carácter ana­lítico o programático, puede basarse en diversos factores, que van desde incompatibilidades reales o aparentes hasta diver­gencias implausibles o, inclusive inadecuadas. La filosofía de la matemática, en cuanto analiza la estructura del pensa­miento matemático, puede entrar en conflicto con la mate­mática no sólo por estar equivocada, sino también por haber perdido, por ejemplo, el contacto con la propia matemática o por haberse quedado a la zaga con respecto a su desarrollo reaL En cuanto a los programas que la filosofía de la matemá­tica le sugiere a la matemática, puede suceder que sean imposibles de ejecutar matemáticamente, o bien, que simple­mente se les ignore y sigan siendo meros programas. La filo­sofía de la matemática comparte estas características con 13 filosofía de cualquiera otra ciencia. Sin embargo, la filosofía de la matemática difiere de la filosofía de las otras disciplinas en un aspecto importante: en tanto que las teorías físicas, por ejemplo, no se pueden convertir en cuestiones a tratar por las teorías físicas, en cambio, las teorías matemáticas se caracterizan por el hecho de que son susceptibles de conver­tirse en cuestiones a tratar por las mismas teorías matemá­ticas_ De esa manera es como es posible, en principio, que las teorías matemáticas y l~s teorías filosóficas acerca de la mate­mática sean incompatibles. Aun cuando semejantes conflictos -por ejemplo, el suscitado entre las tesis matemáticas y las tesis filosóficas acerca de la geometría han atraído la atención de los filósofos durante un tiempo considerable, cuando han surgido en una forma más general, y por 10 tanto más aguda, es a partir del descubrimiento de los llamados teoremas limi-

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tativos, como los de Skolem, Cadel, Tarski, Church y otros y, más todavía, a partir del reciente descubrimiento hecho por P. J. Cohen, acerca de la independencia de la hipótesis del continuo.

En esta ponencia, después de hacer algunas observaciones en torno a las concepciones filosóficas de la matemática hasta el descubrimiento de las geometrías no-euclidianas, inclusive, discutiré algunos de los problemas filosóficos que se han originado, en este siglo de descubrimientos matemáticos, con respecto a las teorías matemáticas, para concluir ofre­ciendo tentativa mente algunas sugestiones para su solución.

l. Sobre la filosofía de las teorías matemáticas que no entran en conflicto

Sin suscitar demasiadas cuestiones podemos decir, adop· tanda y adaptando ligeramente el conveniente lenguaje de Leibniz, que una proposición es verdadera o es falsa en el mundo real, aunque no en cualquier mundo posible; o bien, que es verdadera o falsa en cualquier mundo posible y, por ende, en el mundo real. Por supuesto, el mundo real ha sido concebido de muy diferentes maneras; por ejemplo, como el mundo de la experiencia sensible, como el mundo que contiene a dicha experiencia, como el mundo indepen­diente de la mente de las Formas platónicas, o como el universo parcialmente independiente de la mente de los fenómenos kantianos. Pero, en todos los casos, el mundo real es considerado, al menos, como intersubjetiva. Las "proposiciones" que son "verdaderas o falsas solamente en uno de los mundos posibles", tal como el mundo de Dic­kens, son, no obstante, susceptibles de entrar en relaciones lógicas mutuas y de quedar unificadas en sistemas deduc­tivos, independientemente de que dichos sistemas resulten interesantes o no. Ésta es una de las razones que tenemos para definir las proposiciones, no en función de los valores de verdad que tienen, sino en función de su capacidad para entrar en relaciones lógicas. Otra de esas razones es la de que, por ejemplo, ciertas reglas o normas de diversos tipos que implican lógicamente otras reglas o normas, aunque no

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posean valores de verdad, son consideradas comúnmente como proposiciones. En fin -y ésta es la razón principal que tengo para aceptarla- la definición más amplia deja abiertas varias cuestiones acerca de las llamadas proposiciones teóricas de las ciencias naturales y acerca de los postulados y los teoremas matemáticos; mientras que dichas cuestiones son fácilmente consideradas con prejuicio o son subestima· das, cuando se utiliza la definición más estrecha de las pro­posiciones con valor de verdad y, por consiguiente, la divi­sión dicotómica de todas ,las proposiciones verdaderas en pr~posiciones empíricas y proposiciones lógicamente nece­sanas.

Todos los grandes filósofos, desde Platón hasta Kant y la mayoría de los posteriores, consideran que los postulados y los teoremas de las teorías matemáticas son verdaderos en el mundo real, no obstante que difieran grandemente en sus concepciones de dicho mundo. Además del propio Platón y de Kant mismo, lo anterior se aplica también a Mill y, muy probablemente, a muchos empiristas preplatónicos des­conocidos para nosotros que, al igual que MilI, parecen haber sostenido que las verdades matemáticas describen características muy generales de la experiencia. Aristóteles que, por decirlo así, colocó las formas platónicas en los objetos físicos, se mantuvo fiel a la doctrina de la verdad' de los postulados y los teoremas matemáticos al no admitir, o por 10 menos no considerar, la posibilidad de que se pu­dieran extraer de la experiencia, con igual corrección, teorías matemáticas que entraran en conflicto. Análogamente, la tesis de Leibniz y de sus sucesores logicistas, en el sentido de que la matemática es reducible a la lógica, también implica la doctrina de una (y sólo una) verdad matemática.

Esta doctrina general de la singularidad se encuentra combinada, y vinculada íntimamente, con otras doctrinas filosóficas. Así, generalmente, esos filósofos admiten que cada verdad matemática es, en principio, accesible al pen­samiento humano. Lo cual no significa que toda verdad matemática pueda ser descubierta efectivamente o que, incluso, todo matemático adiestrado pueda ser capaz de

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descubrirla, aunque sí pueda ser capaz de comprender su prueba correspondiente.

Además, generalmente, o casi generalmente, se supone que, en principio, cs posible hallar métodos rutinarios -apli­cables por parte de cualquier persona inteligente- que puedan llevar a encontrar la solución de cualquier problema matemático. Platón alimentó semejantes esperanzas con su dialéctica, o con una dialéctica mejorada. Leibniz las expresó en su famoso imperativo "Calculemos". Kant pudo haberlas expresado diciendo "Construyamos los conceptos pertinentes", y Mill, afirmando, "Apliquemos los cánones de la inducción con la mayor generalidad".

Otra suposición común aceptada por todos los filósofos mencionados, se refiere a la relación entre la realidad ma­temática y el pensamiento o el lenguaje. Todos ellos su· ponen que es posible, para todas las proposiciones o aseve­raciones matemáticas, reflejar de manera conceptual o lin­güística el objeto al que se refieren, de un modo inequí­voco y exhaustivo. A este respecto, el objeto de la mate­mática difiere, especialmente de acuerdo con Platón y con Kant, de la experiencia sensible y de la experiencia estética, las cuales, por así decirlo, siempre desbordan cualquier in­tento de reflejarlas en proposiciones o en formulaciones lingüísticas.

Hasta el descubrimiento de las geometrías no-euclidianas, las doctrinas de la singularidad de la realidad matemática o de la intuición intersubjetiva, de su accesibilidad, de la capacidad para resolver los problemas matemáticos de cual­quier clase y de la posibilidad de reflejar, de una manera inequívoca y exhaustiva, la realidad matemática en formu­laciones conceptuales o lingüísticas, nunca fueron puestas a discusión ni se consideró necesario someterlas a un aná­lisis más preciso. Para que se pusieran a discusión y se efectuara ese análisis, hubo que esperar a que surgieran conflictos entre diversas teorías matemáticas, lo mismo que entre teorías filosóficas y teorías matemáticas. Desde lue­go, aparte de las doctrinas que les eran comunes, había conflictos entre las diversas concepciones filosóficas de la matemática, y entre los correspondientes programas para

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la matemática; como, por ejemplo, los conflictos existentes entre los leibnizianos y los kantianos. Y, casi desde el ca· mienzo mismo de la matemática, existieron las doctrinas filosóficas opuestas del infinito real y del infinito potencial.

2. Cambios en la concepción de la intuición geométrica

Kant define la geometría -es decir, la geometría eucli­diana- como la ciencia "que determina las propiedades del espacio de una manera sintética y, sin embargo, a priori". 1 Para Kant, lo mismo que para sus predecesores, solamente existe una geometría y únicamente un espacio "empíricamente real"; y lo que requiere explicación y justi­fición no es la singularidad de la geometría, sino la natura­leza sintética a priori de sus proposiciones. Contrariamente a una opinión repetida con frecuencia, el descubrimiento de que el quinto postulado euclidiano puede ser sustituido por su negación, sin incurrir en inconsistencia, no constituye una refutación sino, por lo contrario, es una confirmación de que la tesis es una proposición sintética. Tampoco cons­tituye una refutación de que la tesis es una proposición a priori, en el sentido de que es "independiente de la expe­riencia e inclusive de todas las impresiones de los senti­dos",2 puesto que lo que es susceptible de someterse em­píricamente a prueba, no es la geometría por sí misma, sino la geometría conjuntamente con ciertas hipótesis em­píricas.

El descubrimiento de las geometrías no-euclidianas en­tró en conflicto, sin embargo, con la suposición hasta en­tonces no discutida de la singularidad de la geometría eucli­diana, al menos en la medida en que suscitó su discusión. Por consiguient~, la tesis de su singularidad tuvo que ser defendida o abandonada. Felix Klein adoptó la segunda alternativa. Klein advirtió que la percepción de las relacio­nes espaciales es inexacta y se encuentra idealizada en los axiomas de la teoría geométrica: "Los resultados de cuales­quiera observaciones son válidos únicamente dentro de cier-

1 Crítica de la razón pura, L. 40. 2 Op. cit., L. 2.

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tos límites de exactitud y bajo condiciones particulares; al establecer los axiomas, sustituimos esos resultados por aseveraciones de absoluta precisión y universalidad." 3

La tesis de Klein implica algo más que una contracción de la esfera de la realidad geométrica, o de la intuición intersubjetiva, al dominio de la geometría euclidiana menos el quinto postulado. Solamente esa contracción estaría jus­tificada si los otros postulados fuesen evidentes por sí mis­mos; puesto que, entonces, la prueba de independencia hubiese mostrado simplemente que su verdad no se puede extender por deducción al quinto postulado, cuya verdad, si es que dicho postulado es verdadero, no sería evidente por sí misma. Sin embargo, la tesis de Klein afecta a todos los postulados y teoremas de la geometría euclidiana, ya que la distinción que él hace entre los resultados inexactos de las observaciones y la precisión absoluta de los axiomas, se encuentra justificada incluso por nociones tan elemen­tales como la coincidencia y el estar "entre", de acuerdo con la percepción y desde el punto de vista matemático.

La. tesis no es refutada, sino que es compatible con ella, por la objeción de que, aun cuando las geometrías sola­mente son "verdaderas en los mundos posibles", un cientí­fico podrá escoger efectivamente la geometría del mundo posible que él considere que es más similar al mundo real, en aquellos aspectos que son pertinentes (para sus propó­sitos). Tampoco ha sido refutada por la objeción de Nelson 4

de que "toda idealización presupone un ideal", el cual "no puede ser tomado de la experiencia, puesto que sirve de norma para la corrección de la experiencia". Porque lo que se encuentra a discusión no es que el ideal sea no-empírico, sino que se trata solamente de un ideal, esto es, del ideal caracterizado por los axiomas de la geometría euclidiana.

a Math. Annalen, 50, 1898; citado por L. Nelson, "Bemerkungen über die Nicht-Euklidische Geometrie und den Ursprung der mathematischen Gewissheit", 1905-6; reimpreso en Beitriíge zur PhilosoPhie der Logik und Mathematik, Francfort del Meno, 1959, p. 34.

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3. Cambios en la concepción de la intuición de la teoría de los conjuntos

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Las controversias filosóficas en torno del significado que tiene el descubrimiento de las geometrías no-euclidianas, al principio no se extendieron a la teoría de los conjuntos ni a la aritmética. Las concepciones dominantes en esas disciplinas matemáticas implican la existencia de un fuerte núcleo de realidad matemática, o de intuición intersubjetiva, aun cuando su análisis filosófico y la demarcación de los que se consideran como agregados meramente auxiliares y ficticios de ese núcleo, difiere de una escuela a otra. Además, el hecho, reconocido en la filosofía de la geometría, de que los individuos empíricos no se encuentran separados de una manera rigurosa de su marco espacio-temporal y de que su clasificación siempre produce clases imprecisas, es un hecho ignorado casi por completo en esas disciplinas. Por lo tanto, el descubrimiento de los llamados teoremas limi­tativos es considerado, principalmente, como un apoyo pres­tado a la adopción de una actitud cautelosa en la demar­cación de la esfera de la realidad matemática y como una ayuda para analizarla. No obstante, el reciente descubrimiento hecho por P. J. Cohen 5 de la independencia de la hipótesis del continuo, nos obliga a considerar más seriamente la aparente analogía entre el dominio de la geometría y el dominio de la teoría de los conjuntos. En virtud de la gran cantidad de literatura filosófica acerca de los teoremas limi­tativos de que disponemos, tal vez será suficiente con hacer aquí unas breves observaciones sobre el teorema de U:iwen­heim-Skolem, el teorema de la incompletud de GOdel y el teorema de Church.

De acuerdo con el teorema de Lowenheim-Skolem, toda teoría axiomática formulada dentro del marco de la teoría de la cuantificación, si es satisfactible de alguna manera, entonces también es satis factible por un modelo denumerable. Por lo tanto, ninguna teoría axiomática que pretenda expresar

11 Véase P. J. Cohen, "The Independence of the Continuum Hypothesis", Proc. Nat. Acad. Scí., 50, 1963-64.

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relaciones entre totalidades no-denumerables puede ser mono­mórfica (categórica). Así, el teorema nos obliga a volver a examinar la tesis filosófica de que la realidad matemática, o la intuición intersubjetiva, es susceptible de ser reflejada de manera inequívoca y exhaustiva por medio de formulaciones conceptuales o lingüísticas y, en particular, por medio de sistemas axiomáticos; y, también, nos obliga a distinguir entre las reflexiones que son monomórficas y las que no lo son.

En virtud de esa distinción, noS vemos constreñidos a escoger entre las tres posiciones filosóficas siguientes:

i) la esfera de la matemática es independiente de la mente o es intersubjetiva, pero solamente es suscep­tible de ser reflejada monomórficamente por medio de teorías axiomáticas, en sus partes de numerables;

ii) la matemática de las totalidades de numerables no constituye una descripción de la realidad matemática o de la intuición intersubjetiva, sino que "únicamente es verdadera en un mundo posible"; y

iii) no se han descubierto todavía todos los medios para establecer una axiomatización monomórfica de la matemática.

De esa manera, la pertinencia filosófica del teorema C011-

siste, por lo menos, en haber suministrado esa tricotomía, como una nueva premisa filosófica que, conjuntamente con otros supuestos filosóficos, conduce a nuevas conclusiones acerca de la esfera de la matemática; por ejemplo, a una doctrina (no-kantiana, no-platónica y no-leibniziana) de que la realidad matemática tiene diferentes niveles,

Con respecto al significado filosófico del teorema de la incompletud de Códel y del teorema de Church, la situa­ción es análoga. El teorema de Cadel en la forma re­forzada establecida por Rosser, establece que toda teoría axiomática, que sea suficientemente rica para contener una formalización de la aritmética, entonces es inconsistente o contiene una fórmula tal, que ni dicha fórmula ni su negación son demostrables dentro de la teoría y que su ver­dad puede ser demostrada empleando argumentos extraños

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a la teoría. El teorema de Church establece que la teoría de la cuantificación es indecidible, en el sentido de que el conjunto de sus teoremas, aun cuando sea enumerable recur­sivamente, no es recursivo, Por consiguiente, los teoremas en cuestión nos obligan a debilitar la concepción de la realidad matemática o de la intuición intersubjetiva, o bien, a contraer su esfera, en caso de concebirla como susceptible de ser reflejada por una teoría decidible completa, construida por los medios que tuvo a su disposición Cadel. y el punto que es filosóficamente importante es, justamente, que la realidad matemática fue concebida de csa manera por Leibniz, por Kant, por Russell, tal vez por Platón y, agregándole algunas calificaciones, por Hilbert. Si dicha concepción filo­sófica es una exageración, entonces los teoremas a que nos referimos nos suministran nuevas razones para considerarla asÍ.

Debido a que toda fórmula indecidible que se construya mediante los métodos de Cadel, es verdadera, siempre que el sistema al cual pertenezca sea consistente, entonces estaría fuera de razón el considerar igualmente justificadas las extensiones de la teoría original, establecidas agregando, por una parte, la fórmula indecidible y, en otro de sus axiomas, su negación. Pero éste no es el caso en lo que respecta a la hipótesis del continuo. La prueba de la independencia de la hipótesis del continuo conduce -por 10 menos desde el punto de vista del conocimiento matemático contempo­ráneo- a una "bifurcación" de la teoría de los conjuntos.

En su artículo sobre el problema del continuo, 6 Cadel expone razones matemáticas y epistemológicas para rechazar la tesis de que, si se llegara a probar la independencia de la hipótesis del continuo, entonces "los problemas suscitados en torno a su verdad perderían su significado, exactamente de la misma manera como la verdad del quinto postulado de Euclides carece ahora de significado para los matemáticos". 7

En 10 que respecta a las objeciones matemáticas, en su

6 "\Vhat is Cantor's Continl1um Problem?", Am. Math. Monthly, 54, 1947; reimpreso (con adiciones) en Philosophy of Mathematics, editado por P. Benacerraf y H. Putnam, Nueva Jersey, 1964.

70p. cít., p. 270.

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mayoría son destruidas en una postdata a dicho artículo, que fue agregada por Godel después de tener conocimiento de la prueba de Cohen. y ahora volvamos a las observa­ciones filosóficas.

4. El enfoque filosófico de Güdel sobre el postulado del continuo

Las observaciones filosóficas hechas por Cadel acerca de los fundamentos de la teoría de los conjuntos son bastante escasas, especialmente porque advierte claramente la necesi­dad de realizar "un análisis más profundo (del que los matemáticos están acostumbrados a hacer)" de los términos y los axiomas de la teoría de los conjuntos; análisis que Cadel considera, al menos parcialmente, de carácter filosófico y, de manera particular, epistemológico. 8 Su propio enfoque, y así 10 reconoce Cadel, 11 es similar al de Kant. Por lo tanto, es interesante comparar el "kantismo" de Cadel con el de Brouwer y con el de Hilbert. Brouwer adopta la doctrina de la Estética Trascendental, al considerar la intuición pura del tiempo y de la existencia matemática como una construc­tibilidad en la intuición pura. Hilbert no solamente acepta la doctrina de la Estética Trascendental, al menos en la medida en que supone un dominio intuitivamente indu­bitable para las proposiciones sintéticas (combinatorias); sino que también acepta la doctrina de la Dialéctica Tras­cendental, de que las nociones de las totalidades reales, infinitas, son Ideas de Razón. De acuerdo con Kant, Hilbert considera que esas Ideas no son abstraídas de la experiencia sensible ni de la intuición y tampoco son aplicables a ellas. Y, también siguiendo a Kant, sostiene que las proposiciones que tienen como constituyentes a las Ideas de Razón, pueden ser asociadas, sin inconsistencia, a las proposiciones objetivas, las cuales no tienen como constituyentes a las Ideas. Teniendo en cuenta que Kant considera a la noción de libertad moral como una Idea de Razón, entonces su

80p. cit., p. 262. 11 op. cit., notas al pie de las páginas 14 y 40.

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intento de demostrar la consistencia de una ciencia determi­nista con base en la tesis de que el hombre es libre, viene a ser una anticipación del programa de Hilbert para demostrar la consistencia de las teorías matemáticas que, junto con las proposiciones finitistas, que son infinitamente libres, tam bién contienen proposiciones acerca de totalidades infi­nitas.

Lo que Cadel encuentra sugestivo en la filosofía kantiana, aparte de la Estética Trascendental, la cual supone una diversidad de intuiciones matemáticas inmediatamente dadas, es lo que constituye la idea central de la Analítica Tras­cendental, esto es, la constitución de los objetos físicos a partir de la diversidad de experiencias sensibles y de intui­ciones, por medio de la síntesis de la comprensión que es el fundamento de la aplicabilidad de las Categorías. GOdel insiste, lo mismo que Kant, en que la síntesis de una diver­sidad, su conexión en una nueva unidad, no se puede encontrar dentro de la propia diversidad. En lo que difiere de Kant es en la distinción que hace, por una parte, entre una síntesis específicamente matemática que unifica las diversidades matemáticas inmediatamente dadas y las diver­sidades constituidas por medio de síntesis matemáticas y, por otra parte, una síntesis que unifica la diversidad de la experiencia sensible en los objetos físicos. A mi parecer, Cadel se encuentra en un error al atribuir a Kant la tesis de que los "elementos abstractos de nuestras ideas empí­ricas", es decir, los datos de la intuición matemática, son "puramente subjetivos"; particularmente, porque Kant insiste mucho en la realidad empírica del espacio y el tiempo, lo mismo que en oponer su idealismo trascendental a cualquier idealismo subjetivo. Tampoco resulta muy claro saber si Godel considera cualquier concepto de conjunto 10 o sola­mente alguno en particular, como, por ejemplo, el concepto de conjuntos-de-orden-superior o el de conjuntos infinitos, como conceptos unificadores, puesto que afirma que "debemos hacer algo semejante a la percepción, también con respecto a los objetos de la teoría de los conjuntos". 11

lOOp. cit., nota al pie de la página 14. 11 Op. cit., p. 271.

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La razón de que Cadel suponga una síntesis específica­mente matemática de la comprensión, se encuentra en su suposición de que lo "dado" que se encuentra subyacente en la matemática, "está vinculado estrechamente con los elementos abstractos de nuestros datos empíricos" 12 y no es idéntico a ellos, como lo sostiene Kant. En este sentido, Godel se encuentra de acuerdo con Félix Klein, 13 no obstante que no comparte el relativismo que eso implica. Las obser­vaciones de Cadel acerca del aspecto epistemológico del postulado del continuo se pueden considerar justamente como el esbozo de una "exposición metafísica" del concepto de realidad matemática, es decir, del aislamiento de sus caracteres apriorísticos. 14 Cadel sugiere la posibilidad, aun­que no hace ningún intento en este sentido, de realÍzar una deducción trascendental del postulado del continuo, que vendría a justificarlo como una verdadera proposición sin­tética a priori.

Aquí tenemos, tal como Godel 10 advierte con toda claridad, una comparación entre las implicaciones filosóficas de la independencia del quinto postulado de Euclides, y las implicaciones filosóficas relativas a la independencia del postulado del continuo. Ambos postulados son proposiciones a priori y también los dos, de acuerdo con las respectivas pruebas de su independencia, son proposiciones sintéticas. Lo que todavía se encuentra en cuestión es la singularidad o la verdad de dichos postulados, ya que no se puede establecer con respecto a su aplicabilidad en alguna teoría empírica, ni tampoco por medio de argumentos psicológicos o pragmáticos. Godel parece sugerir que nos encontramos enfrentados a la alternativa de tener que suponer que el postulado del continuo es verdadero o que, en caso contrario, carece de significado para el matemático y probablemente, por lo tanto, para cualquier otra persona. Pero esta alternativa parece depender de una definición injustificable de "signifi­cado", porque las proposiciones que son verdaderas sola­mente en un mundo posible, especialmente en un mundo

120p. cit. 13 Nelson, op. cit. 14 Véase, por ejemplo, Crítica de la razón pura, L. 38.

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de imaginación poética o matemática, resultan ser, en un sentido no descarriado de lo que es "significado", justamente tan llenas de significado como lo son las proposiciones que son verdaderas en el mundo real o en la realidad.

No se puede argumentar, partiendo de una deducción trascendental supuestamente venturosa de las Categorías de Kant, la verosimilitud de una deducción trascendental ven­turosa de los conceptos unificadores de la teoría de los conjuntos, puesto que la deducción trascendental kantiana no puede ser considerada como venturosa. Esto se pone en claro si tomamos en cuenta, no tanto su dependen­cia explícita de la lógica tradicional, como su dependencia implícita respecto a la física clásica. De esa manera, las llamadas analogías de la experiencia, que implican la nece­sidad indispensable que tienen el sentido común y el pensamiento científico de la noción de una sustancia material y de las leyes deterministas de la naturaleza, resultan incom­patibles con las teorías físicas subsecuentes.

Se puede argumentar, y debemos estar preparados para hacerlo, que, no obstante, Kant pudo establecer venturo­samente algunos principios menos específicos como, por ejemplo, el principio de que todo discurso acerca de la experiencia objetiva, y en particular todo discurso científico, requiere de la aplicación de algunas Categorías (es decir, de conceptos que unifiquen la diversidad sensorial y, por ende, que sean aplicables a ella, pero sin que puedan ser abstraídos de ella), aun cuando no sean precisamente las categorías kantianas; igualmente, el principio de que todo discurso requiere de algún principio, o de algunos principios, de conservación, aunque no sea precisamente el principio de la conservación de la sustancia material; y, también, el principio de que todo discurso requiere de alguna conexión entre los diversos estados de un sistema, descritos en un vocabulario de sentido común o en un vocabulario cientí­fico, aun cuando dicha conexión pueda ser determinista o probabilística. Semejantes resultados de una deducción trascendental atenuada, podrían constituir un fundamento suficiente para rechazar una teoría positivista del conocimiento del tipo de la de Hume. Pero tal cosa no implica que el

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sentido común y el pensamiento científico se encuentren constreñidos por una estructura de conceptos y principios a priori; ni tampoco que la generación de la experiencia objetiva, a partir de la diversidad de los datos sensoriales y mediante la función sintética de la comprensión, solamente se pueda realizar de una manera única.

Sin embargo, en este caso, la analogía que establece Cadel entre la síntesis de los datos empíricos y la sín­tesis de los datos matemáticos, pierde su fuerza. La síntesis fundamental de la teoría de los conjuntos es la operación de formar el "conjunto de los elementos x", cuya libertad se encuentra limitada, en virtud de las antinomias, por los llamados axiomas de comprehensión. La situación en que se encuentra actualmente esta cuestión es explicada con admirable claridad por Quine,15 quien demuestra en par­ticular que algunos de los axiomas propuestos, no obstante que son "consistentes individualmente" y, podríamos agre­gar, aceptables intuitivamente, "resultan ser inconsistentes colectivamente y, debido a esta incompatibilidad entre los casos (del axioma de comprehensión irrestricto) que se pueden sostener por separado, resulta que se han podido proponer muchas teorías que radicalmente no son equiva­lentes; y, por consiguiente, no hay un 'óptimo evidente' ". 16 La comparación que establece Quine entre esas teorías, también pone de manifiesto que las diversas clasificaciones que se han hecho de las teorías de los conjuntos en finitistas, intuicionistas, predicativas, etcétera, no se puede considerar que se muestren como extensiones consistentes sucesivas de un núcleo común, lógico o intuitivo. El descubrimiento de la independencia del postulado del continuo y del axioma de selección, con respecto a los otros postulados de las teorías de los conjuntos que se utilizan más amplia­mente, incrementa la multiplicidad de las teorías de los conjuntos no-equivalentes. Cada una de estas teorías es verdadera en un mundo posible diferente, sin que haya razón alguna para considerarlo como el mundo real o como una intuición intersubjetiva.

1~ Set Theorv and its Logic, Cambridge, Mass., 1963. 160p. cit., pp. 37 Y 38, y Parte nr.

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En una observación que es citada con frecuencia, Cadel17 afirma que, en la forma en que los conjuntos se presentan en la matemática actual, es decir, como conjuntos de números enteros y como conjuntos de conjutos... de enteros, "los conceptos de la teoría de los conjuntos describen cierta realidad bien determinada, en la cual la conjetura de Cantor debe ser verdadera o falsa" y que, por lo tanto, "su indecibilidad a partir de los axiomas, tal como se supone actualmente, significa únicamente que dichos axiomas no contienen una descripción completa de la realidad". Un sistema incompleto de axiomas interpretados no puede des­cribir de una manera completa el mundo real, ni tampoco un mundo posible. Pero, ni siquiera cuando un conjunto de axiomas es completo se puede inferir, por eso, que lo que dicho conjunto de axiomas describe es el mundo real. Como ya lo hemos señalado anteriormente, el filósofo de la mate­mática no se encuentra enfrentado a la alternativa positivista de que un sistema de axiomas tiene que describir el mundo real (la realidad o la intuición intersubjetiva) o, en caso contrario, no describe absolutamente nada; puesto que, en rigor, existe una tercera posibilidad, consistente en que el sistema puede describir un mundo posible bien deter­minado. Si en la aseveración de Cadel, "alguna realidad bien determinada", se hace hincapié en la primera palabra, cntonces se admiten las tres posibilidades; pero, si se pone cl énfasis en la palabra "realidad", entonces solamente se admiten las dos primeras posibilidades. Esto último es lo que parece expresar, sin embargo, el punto de vista de Cadel.

5. Sobre la filosofía de las teorías matemáticas que entran en conflicto

El problema de las teorías matemáticas que se encuentran a primera vista en conflicto, surgido primero en relación con la geometría euclidiana y las geometrías no-euclidianas y, después, con respecto a la matemática clásica y la mate­mática intuicionista, es un problema que, como consecuencia

li Op. cit., p. 263.

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de los recientes desarrollos que se han realizado, ya no puede ser ignorado, ni siquiera por la teoría de los conjuntos y la aritmética clásicas. Si los números se construyen como clases de clases, entonces las diferencias entre los axiomas de comprehensión de dos teorías de los conjuntos cualesquiera, implican diferencias en su concepto de clase y esto, a su vez, implica diferencias en su concepto de número. El problema o la dificultad que se suscita en torno a dichas teorías, se puede expresar aproximadamente de la siguiente manera: Si esas teorías describen el mismo dominio, entonces todas ellas son mutuamente incompatibles; y, si esas teorías describen dominios diferentes, entonces todas ellas son mutua­mente compatibles. Sin embargo, ni su incompatibilidad, conforme a la primera interpretación, ni tampoco su compa­tibilidad, de acuerdo con la segunda interpretación, parecen explicar los aspectos en los cuales concuerdan ni los aspectos en los cuales se encuentran en conflicto.

Un criterio obvio para establecer su concordancia y su divergencia, recíprocas, es el de su aplicación o su aplica­bilidad a la experiencia. Este criterio sería, desde luego, inútil si la aseveración de que una teoría matemática es "aplicable" a la experiencia, fuese lógicamente equivalente a la aseveración que describe a la experiencia, puesto que, en tal caso, todas las teorías matemáticas volverían a tener en común el mismo dominio. Sin embargo, las teorías mate­máticas no describen a la experiencia, tal como fue reconocido por Klein, lo mismo que desde mucho tiempo atrás por Platón, y que es admitido por Cadel, quien sostiene que lo matemáticamente dado se encuentra vinculado estrechamente con lo dado empíricamente, pero sin que ambos sean idén­ticos. 18 Esta caracterización negativa del vínculo existente entre una teoría matemática, o al menos entre algunos de sus axiomas y teoremas, y la experiencia, ha conducido a los filósofos a considerar que una teoría matemática se encuentra conectada con la experiencia únicamente como parte del cuerpo entero de nuestras creencias y que solamente como un todo es que resulta verificable, falsificable, con­firmable o refutable. La mayoría de las versiones que existen

18 Véase 10 expuesto anteriormente.

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de este empmsmo o pragmatismo, implican la tesis de que no es posible establecer ninguna distinción legítima entre las proposiciones matemáticas y las proposiciones em­píricas.

Mas de acuerdo con el uso de la matemática en las actividades de la vida ordinaria y con su empleo en las otras ciencias, es la consideración de que el vínculo entre la matemática y la experiencia se encuentra en la identificación de algunas proposiciones matemáticas con ciertas proposi­ciones empíricas que les corresponden dentro de un contexto más o menos especificado o bien, para utilizar la expresión de Klein, "dentro de ciertos límites de exactitud y bajo condiciones específicas". La naturaleza de esta identificación entre las proposiciones matemáticas exactas y las proposiciones empíricas inexactas, se advierte tal vez con la mayor claridad en el caso de la aplicación de la geometría. En este caso particular, es obvio que las asevcraciones identificatorias que relacionan cada proposición geométrica con una proposición empírica son, también, empíricas. 19

Si gl Y g2 son dos proposiciones geométricas que no pueden ser simultáneamente verdaderas en el mismo mundo posible, entonces podemos denominarlas "coidentificables" dentro de ciertos contextos (por ejemplo, dentro de todos los con­textos que hemos examinado hasta aquí), si, y sólo si, dichas proposiciones son identificables, dentro de esos contextos, con las mismas proposiciones empíricas u observacionales. Esas proposiciones se encuentran recíprocamente en con­flicto con respecto a un contexto de identificación, en tanto que no son coidentificables en tal contexto. Estas nociones de coidentificabilidad y de conflicto se pueden extender fácilmente de las parejas de proposiciones geomé­tricas a las geometrías enteras. Es claro que la coidentifica­bilidad es enteramente diferente del isomorfismo. Dos teorías

19 Una discusión más detallada de los fundamentos de la exactitud matemática y de la inexactitud empírica, en el marco de referencia lógico subyacente al discurso matemático yal disclUso empírico, 10 mismo que un análisis más estrecho de la estructura de las aseveraciones identificatorias, se encuentra en "An Empiricist Justificatian af Mathematics", Proceedings of the 1964 International Congress of Logic, Methodology, and Phi/o­sophy of Scíence.

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isomórficas -por ejemplo, dos teorías isomórficas cuyos domi­nios sean algo diferentes- no son necesariamente coiden­tificables; y dos teorías coidentificables -por ejemplo, la geometría de un círculo euclidiano y la geometría de un polígono regular con un número muy grande de lados­no necesariamente son isomórficas.

Hay dos razones para esta explicación de la concordancia y el conflicto entre las geometrías que son verdaderas en diferentes mundos posibles, que son: la multiplicidad de las teorías y el contraste entre las proposiciones geométricas idea­lizadas y sus contrapartidas, las proposiciones empíricas idealizadas. Como ya lo hemos visto, no puede caber duda acerca de la multiplicidad de las teorías de los conjuntos y de las aritméticas existentes. La aritmética aceptada gene­ralmente, que es intuitivamente clara hasta para los niños pequeños, no es otra cosa que un conjunto de proposiciones empíricas, con respecto al cual, aquellas partes de todas las diferentes teorías aritméticas, intuicionistas o clásicas, que se encuentran dentro de los contextos de la vida práctica, son coidentificables. Si esas diferentes aritméticas tuvieran uno y el mismo dominio (matemático o empírico), entonces serían mutuamente incompatibles, de tal manera que, a lo sumo, una de ellas sería verdadera.

Una somera reflexión pondrá de manifiesto que el con­traste entre las proposiciones matemáticas idealizadas y las proposiciones empíricas idealizadas, también se cumple para las nociones más elementales de la teoría de los conjuntos y de la aritmética. Los conjuntos de la teoría de los conjuntos se encuentran delimitados con exactitud y, como clases de individuos empíricos, no son inexactas ni tienen una "textura abierta". Por otra parte, los individuos empíricos se encuentran en un marco espacio-temporal del cual no están separados de una manera precisa, de tal modo que la cuestión de saber cuándo y dónde empieza o termina uno de esos individuos, no admite una respuesta precisa. En cambio, los individuos matemáticos, por ejemplo, los números indi­viduales, no se encuentran en un marco espacio-temporal y son distinguibles unos de otros con precisión. El principio de la inducción matemática se encuentra apoyado en la

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disponibilidad limitada de nuevos individuos matemáticos, pero no de nuevos individuos empíricos, etcétera.

Haciendo caso omiso de las apelaciones, siempre posibles, a alguna metafísica dogmática, debemos concluir que los descubrimientos matematemáticos del presente siglo, impli­can la falsedad de las doctrinas comunes compartidas por las filosofías clásicas de las teorías matemáticas que no entraban en conflicto; pero, sin que dichos descubrimientos impliquen la doctrina positivista de que, si la matemática no es verdadera o falsa en el mundo real o en todo mundo posible, entonces carece de significado. Por otra parte, esos descubrimientos apoyan la consideración de que las diversas teorías no-equivalentes y mutuamente compatibles tienen significado, o sea, que son verdaderas en diferentes mundos posibles, aunque ninguno de estos mundos sea el real; y de que su concordancia o su conflicto recíproco radica en su relación con la experiencia, es decir, en su ca identifica­bilidad, o bien, dicho de otra manera, en que, por 10 menos, algunos de sus axiomas o de sus teoremas son identificables con ciertas proposiciones empíricas.

Tal vez tiene algún interés la comparación de la expli­cación anterior con algunas otras explicaciones que parecen estar de moda. La doctrina positivista de la "carencia de significado de la matemática", ya ha sido discutida. La mayor parte de las otras explicaciones están basadas en una fusión de la "aplicabilidad", en el sentido fuerte de una descripción, y en el sentido débil de una descripción o identificación de lo idealizante con las proposiciones idea­lizadas (de la aplicación, en el sentido fuerte, de los con­ceptos a sus instancias de sustitución, y de su aplicación, en el sentido débil, a entidades que pueden ser, pero no lo son necesariamente, sus instancias de sustitución). La doc­trina platónica reconoce que las proposiciones matemáticas son idealizaciones de las proposiciones empíricas, pero ignora la multiplicidad de las diferentes idealizaciones coidenti­ficables, afirmando que una de eUas es verdadera, res­pecto a la realidad independiente de la mente. El concep­tualismo difiere de la doctrina platónica, por la sustitución que hace de una realidad independiente de la mente, por

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una intuición intersubjetiva independiente de la mente. El realismo, el materialismo y el nominalismo consideran que todas las proposiciones matemáticas, o algunas de ellas, son descriptivas de la experiencia; porque no distinguen, al considerar a dichas proposiciones, entre la aplicabilidad en el sentido fuerte y la aplicabilidad en el sentido débil (O sea, entre la aplicación de los conceptos matemáticos a sus instancias de sustitución, y su aplicación a los objetos empí­ricos, mediante una idealización). La decisión que se torne entre la explicación que hemos propuesto aquí y cualquiera de las otras explicaciones, difícilmente puede afectar el desarrollo del pensamiento matemático. Pero, recordemos que la tarea que nos propusimos consistía en examinar y discutir las implicaciones filosóficas de la matemática y no las implicaciones matemáticas de la filosofía.

STEPHAN KORNER

DISCUSIóN

UN ANTIGUO PROBLEMA FILOS6FICO y LOS RESULTADOS OBTENIDOS

RECIENTEMENTE EN TORNO A LOS FUNDAMENTOS DE LA MATEMATICA

TANTO LA HISTORIA de la filosofía como el análisis de la estructura de las ciencias ponen de manifiesto que, entre las ciencias naturales y las ciencias formales (la matemática y la lógica) existe una diferencia notable y, a la vez, una profunda conexión. Al considerar las ciencias formales, encon­tramos también una diferencia y, a la vez, una conexión análogas entre la matemática y la lógica. Se han hecho varias tentativas para describir o caracterizar esta relación antagónica en una forma dualista o en una forma monista. En último caso, siempre se advierte un dominio de una parte o de la otra (empirismo versus racionalismo), o bien, se utilizan principios ajenos (Kant). En todas esas tenta­tivas, que se vienen haciendo desde la época griega, prác­ticamente se. ha dado por supuesto que solamente hay una ciencia formal o, respectivamente, que únicamente hay una lógica. Esas suposiciones han sido puestas en duda, debido a los resultados que se han obtenido en los últimos 150 años en las investigaciones hechas en torno a los funda­mentos de la matemática y de la lógica. Por lo tanto, Kóner está en 10 justo al hablar de que se ha producido un cambio fundamental en el problema filosófico concerniente a su relación antagónica. En la actualidad, la unidad de la ciencia formal o de la lógica no constituye un hecho evi­dente por sí mismo, sino un problema.

Del modo griego de pensar hemos adquirido una concep­ción ideal de las ciencias que no acepta pluralidad alguna

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como definitiva. Este ideal tiene el carácter de una "idea regulativa" que implica la unidad de todas las ciencias, sin que parezca probable que podamos abandonar dicho ideal. Ahora bien, considero que podemos utilizar el concepto de Kórner de la coidentificabilidad, como punto de partida, para hacer un tratamientao filosófico de la relación antagó­nica antes mencionada, aun cuando así rechacemos o debi­litemos la suposición clásica de la unidad de la ciencia formal. Ciertamente, se presentan dificultades considerables para hacer preciso el concepto de coidentificabilidad de Kórner, pero es claro que algunos ejemplos científicos bien conocidos nos pueden ayudar a comprender dicho concepto. Conside­remos, por ejemplo, la compatibilidad de la geometría eucli­diana y de la geometría no-euclidiana, cuando son aplicadas a dominios pequeños (por ejemplo, a dominios terrestres); de la mecánica newtoniana y la mecánica einsteiniana en dominios también pequeños (por ejemplo, sistemas plane­tarios y tiempos cortos); de la mecánica clásica y la mecánica cuántica aplicadas a "grandes" masas; y así sucesivamente. Además, reconocemos esa misma compatibilidad entre la lógica clásica y la lógica intuicionista en relación con dominios finitos; de la teoría de los números clásica y de la teoría de los números intuicionista con respecto, al menos, a las funciones recursivas primitivas; y así sucesivamente.

Al considerar esas aseveraciones de compatibilidad, adver­timos que todas ellas son relativas a un dominio del conoci­miento que es externo a las teorías comparadas. (Kórner también destaca esta conexión con el contexto dado, en su introducción al concepto de coindentificabilidad). 1 Tales do­minios del conocimiento están determinados, generalmente, por la fuente del conocimiento o mejor, tal vez, por un do­minio de familiaridad (Vertrautheitsbereich), tal como nues­tra experiencia sensorial usual, por la finitud más o menos imaginable, por la inducción matemática, y por otras cosas semejantes. Entonces, esos dominios de familiaridad son uti­lizados en las teorías con las cuales juzgamos; ante todo, para refutar algunas teorías, pero también para definir algunos dominios de coidentificabilidad.

Véase la Sección 5 de su ponencia.

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(Debemos hacer notar que no prejuzgamos por anticipado acerca de la distinción fuerte entre la ciencia formal y la cien­cia empírica, es decir, entre la ciencia analítica y la ciencia sintética. Lo cual no significa que los dominios de familiari­dad sean considerados como absolutos o como no analiza­bles. )

Lo que se denomina "lo ontológico" es rigurosamente, y en primer lugar, una "Idea regulativa". El conocimiento de algunos dominios ontológicos lo adquirimos únicamente por medio de ciertos dominios de familiaridad y del papel que desempeñan en las alternativas que se nos ofrecen para juzgar. Un conflicto ontológico entre dos teorías (por ejemplo, entre la geometría euclidiana y la geometría no-euclidiana, o en­tre la teoría de los números clásica y la teoría de los números intuicionista) es algo que queda excluido, puesto que se encuentra excluido del dominio de coidentificabilidad deter­minado por el dominio de familiaridad dado; o bien, en otrás palabras, por definición, las teorías no encierran elementos ontológicos, fuera de los dominios de familiaridad. Es entera­mente claro que se trata de extensiones de los elementos ontológicos contenidos en las teorías (por ejemplo, en la geo­metrÍa), en virtud del desarrollo de nuestro conocimiento (por ejemplo, en la cosmología), pero eso significa que nues­tros dominios de familiaridad también se han extendido.

En la matemática, podemos definir estructuras "posibles", con ayuda del método postulativo usual. En cuanto nos en­contramos interesados en las teorías algebraicas, resulta desea­ble la existencia de una cierta riqueza de modelos; y el domi­nio de los modelos se encuentra definido por alguna teoría de los conjuntos. Pero, si estamos interesados en la teoría de los números, en el continuo o en la teoría de los conjuntos, entonces cambia la situación, puesto que consideramos que tenemos algún conocimiento previo del número, del continuo o de los conjuntos, por medio de la intuición (o de la imagina­ción) y, además, reconocemos que en tales casos una cierta forma normal de aplicabilidad constituye una propiedad de­finidora de los números, del continuo o de los conjuntos. De nueva cuenta utilizamos aquÍ algunos dominios de familiaridad (algunas fuentes de conocimiento) para juzgar

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las diferentes teorías postuladas acerca de los números y, aSÍ, sucesivamente. Por ejemplo, el "conocimiento previo" o la fa­miliaridad con "10 inductivo" puede ser utilizado paradelimi­tar la teoría de los números clásica y, posiblemente, para hacer un análisis denumerable (en el sentido de Lorenzen, Schütte, Wang.) Para modificar los métodos por medio de los cuales se demuestran los teoremas de la teoría de los números, nos servimos de la conocida diferencia entre la teoría de los nú­meros clásica y la teoría de los números intuicionista, de una manera natural. Es claro que podemos construir un conflicto ontológico profundo entre esas dos teorías de los números, pero solamente cuando utlizamos el concepto "ontológico" en un sentido que es mucho más fuerte que los principios que hemos empleado para comparar ambas teorías.

Sobre la base de la intuición geométrica (tal como lo sos­tiene algunas veces P. Bernays), podemos definir un dominio de familiaridad que nos asegure la existencia del continuo; y también llegamos al "mismo" continuo utilizando métodos combinatorios (Cantor). Pero, en cambio, con respecto al método aritmético de abordar el continuo (vía la clase del número segundo de Cantor), únicamente sabemos que pue­de ser identificado con el método combinatorio (G6del), pero que no necesariamente tiene que ser identificado así (Cohen). En realidad, en la teoría de los conjuntos de orden superior parece haber una diferencia profunda entre el méto­do combinatorio (vía postulados acerca de las álgebras boolea­nas) y el método aritmético iterativo. Sin embargo, nuestros dominios de familiaridad en la matemática contemporánea son demasiado pequeños como para que podamos juzgar acerca de los méritos relativos de los diferentes postulados, en tales casos.

Es claro que algunas hipótesis "globales" también pueden tener consecuencias en los dominios de familiaridad. Pero, hasta ahora, siempre ha sido posible superar semejantes difi­cultades, ya sea apelando a la prioridad de un dominio de familiaridad, o bien, familiarizándonos con algo nuevo.

GERT H. MÜLLER

SOBRE UNA FILOSOFíA DE LA MATEMATICA LIBERADA DE LA ONTOLOGlA QUE NO FUE

TOMADA EN CUENTA

RESULTA INTERESANTE que K6rner, que ha sido tan meticuloso para mencionar en su trabajo un buen número de filosofías de la matemática recientes, como el platonismo, el concep­tualismo, el realismo, el materialismo, el nominalismo y el positivismo, además de su propio punto de vista, haya dejado de mencionar la que, en mi opinión, es la filosofía de la ciencia más adecuada, o sea, la concepción estrictamente no­ontológica de la matemática formulada por Carnap, Kemeny y otros. (Desde luego, el nombre de Carnap ni siquiera es mencionado una sola vez en el artículo de K6rner.) Cierta­mente, la filosofía de la matemática de Carnap no es una rama de lo que K6rner llama "positivismo", puesto que en dicha filosofía no se tiene necesidad de considerar que la matemática "carece de sentido", aunque sí insista en que la aritmética, el análisis, la teoría de los conjuntos, etcétera (pero no la geometría), son disciplinas que, en ningún sen­tido, son interpretables directamente en términos observacio­nales. Su "relación con la experiencia" no consiste en una interpretabilidad directa, ni en una idealización, ni tampoco en una "coidentificabilidad", sino, justamente igual que en el caso de la lógica, en una interpretación indirecta, con respecto a la cual, los sistemas más formalizados de la arit­mética y de la teoría de los conjuntos se han vuelto incom­pletos. Admito que, actualmente, no existe una formulación satisfactoria y detallada de su concepción liberada de la onto­logía; y 10 único que puedo hacer es esperar que, tarde o temprano, alguien llegue a formularla.

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Por consiguiente, quiero insistir en que, además de las tres posiciones filosóficas mencionadas por Korner, respecto al dominio de la matemática, también merece nuestra atención otra posición, que es aquella conforme a la cual la matemá­tica no tiene dominio (lo cual, desde luego, no significa que "carezca dc significado", de la misma manera en que el hecho de que la lógica no tenga dominio -y espero que Korner se encuentre de acuerdo en esta formulación-, no significa que la lógica carezca de significado). Además de la doctrina de que la realidad matemática está constituida por diferentes niveles, me permito llamar la atención sobre el hecho de que también cntra en la palestra la doctrina de que el número de esos niveles de la realidad es cero.

y. BAR-HILLEL

RESPUESTA

AGRADEZCO a los profesores Müller y Bar-Hillel sus útiles comentarios. El profesor Bar-Hillel me hace la objeción de no haber discutido la filosofía de la matemática de Carnap, que se encuentra liberada de la ontología. Una explicación, si es que no es tal vez una excusa, es la de que muy recientemente he publicado una crítica respecto a una parte de las doctrinas generales de Carnap, que se encuentran estrechamente rela­cionadas con su filosofía de la matemática. Me refiero a su distinción entre las aseveraciones con significado cognitivo y las aseveraciones carentes de significado, a su dicotomía analítica-sintética, a su concepción de la explicación y a su tratamiento de las reglas de correspondencia entre el lengua­je teórico y el lenguaje observacional. 1 Sin embargo, de acuerdo con mi exposición, las teorías matemáticas también carecen de elementos ontológicos, esto es, en el sentido de que los conceptos matemáticos no son ejemplificados en la experiencia sensible, ni en el mundo físico, ni tampoco en alguna otra realidad. Aplicar los conceptos matemáticos a la experiencia significa identificarlos con conceptos empíricos que sí son ejemplificados en dicha experiencia. Las teorías matemáticas, como idealizaciones que "solamente son ver­daderas en mundos posibles", no nevan más cargas ontoló­gicas que las que puedan llevar las obras de imaginación li­teraria.

Me simpatizan mucho las sugestiones de Müller y espero que encontraremos alguna ocasión para desarrollarlas inde­pendientemente y de manera prolija. Dentro de las teorías

1 Véase el artículo que publiqué sobre el libro The Philosophy of Rudolf Carnap, ed. Schilpp, en Mind, 1966.

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matemáticas (yen otras teorías) existen analogías impor­tantes con respecto a la falta de conexión lógica entre los conceptos observacionales y los conceptos matemáticos, por una parte, y con respecto a su identificabilidad limitada, por otra parte. 2 El concepto de Müller acerca de un "domi­nio de familiaridad" (Vertrautheitsbereich) -empírico o no­empírico-, con respecto al cual son coidentificables diversas idealizaciones, dentro de ciertos límites, me parece útil no sólo para explorar esas analogías, sino también para examinar la manera en que se extiende el alcance de las teorías matemá­ticas (y de otras teorías). Sin embargo, sería deseable y considero que es posible definir ese concepto de un modo menos "psicologista".

STEPHAN KORNER

2 Véase, por ejemplo, Experience and Theory, Londres, 1966, cap. Xl.

En la Imprenta Universitaria, bajo la dirección de Jorge Curría Lacroix, se terminó la impresión de La matemá· tica godeliana y rus implicaciones filosóficas, el día 28 de febrero de 1972. La composición se paró en tipos Electra 1I: 12 y 8:9. Se tiraron 3,000

ejemplares.