Kelompok 6 Bab 9 Analysis Differensial

Disusun oleh : NIM :

• Faiz Alfian 145060201111039• Ahmad Fahmi Irfanda 145060200111011• Try Yuda Yasman 135060200111037• Sena Ilham 125060202111005• Fathony Aziz 125060201111001

Kelompok 6Review Buku Cengel

Bab 9

Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 2

Analisis Diferensial Aliran Fluida

Tujuan :1.Memahami bagaimana diferensial persamaan massa

dan konservasi momentum.

2.Mengetahui fungsi arus dan bidang tekanan, dan plot

arus untuk diketahui medan kecepatan.

3.Mendapatkan solusi analitis dari persamaan gerak untuk

bidang aliran sederhana.


Pengantar

IngatControl volume (CV) versi hukum kekekalan massa dan energiCV versi konservasi momentum

CV, atau integral, bentuk persamaan yang berguna untuk menentukan efek keseluruhanNamun, kita tidak dapat memperoleh pengetahuan rinci tentang medan aliran di dalam motivasi CV untuk analisis diferensial


Pengantar

Contoh: Persamaan Incompressible Navier-Stokes


Konservasi Massa

Ingat kembali CV untuk Transformasi panas Reynolds (RTT)

Periksa kembali 2 metode untuk mendapatkan diferensial dari hukum kekekalan massa

Divergence teorema (Gauss’s)

Differential dari teorema CV dan hukum Taylor pada ekspansi


Konservasi MassaDivergence Theorem

Teorema divergensi memungkinkan kita untuk mengubah Integral volume yang berbeda dari vektor ke suatu persamaan yang tidak terintegralkan atas level yang mendefinisikan volume.


Konservasi MassaDivergence Theorem

Tulis kembali hukum kekekalan momentum

Menggunakan teorema divergence, ganti daerah integral dengan volume integral dan collect terms

Integral berlaku untuk CV, maka dari itu:


Conservation of MassDifferential CV and Taylor series

Pertama, menetapkan control volume (CV) dari volume yang sangat kecil dx x dy x dz

Berikutnya, kita dekati laju aliran massa masuk atau keluar dari masing-masing 6 sisi menggunakan persamaan Taylor ekspansi di sekitar titik pusat, misalnya, sisi yang tepat

Ignore terms higher than order dx


Konservasi MassaDiferensial CV dan seri Taylor

Infinitesimal control volumeof dimensions dx, dy, dz Area of right

face = dy dz

Mass flow rate throughthe right face of the control volume



Sekarang, mari kita jumlah tingkat aliran massa masuk dan keluar dari 6 sisi dari CV

Tempatkan ke konservasi integral dari persamaan massa

Net mass flow rate into CV:

Net mass flow rate out of CV:



setelah substitusi,

Membagi melalui volume dx dy dz

Atau, jika kita menerapkan definisi perbedaan dari vektor


Konservasi Massabentuk alternatif

Menggunakan aturan produk pada jangka divergence


Konservasi Massakoordinat silinder

Ada banyak cara yang lebih sederhana untuk menyelesaikan jika persamaan ditulis dalam koordinat silinder-polarCara termudah untuk mengkonversi dari Cartesian adalah dengan menggunakan bentuk vektor dan definisi operator divergensi di koordinat silinder


Konservasi Massakoordinat silinder


Konservasi MassaKasus khusus

Aliran kompresibel stabil

Cartesian

Cylindrical


Konservasi MassaKasus khusus

Aliran Incompressible

Cartesian

Cylindrical

and = constant


Konservasi Massa

Secara umum, persamaan kontinuitas tidak dapat digunakan dengan sendirinya untuk memecahkan medan aliran, namun dapat digunakan untuk

1. Menentukan apakah medan aliran kecepatan adalah mampat

2. Mencari komponen kecepatan


The Stream Function

Mempertimbangkan persamaan kontinuitas untuk aliran 2D mampat

Mengganti transformasi

memberikan This is true for any smoothfunction (x,y)


The Stream Function

Why do this?Variabel Tunggal menggantikan (u,v). Setelah diketahui, (u,v) dapat dihitung.

signifikansi fisik1. Kurva konstan adalah arus aliran

2. Selisih antara arus sama dengan laju aliran volume antara arus


The Stream FunctionPhysical Significance

Ingat dari Bab. 4 bahwa seiring dari streamline

Change in along streamline is zero


The Stream FunctionPhysical Significance

Selisih antara arus sama dengan laju aliran volume antara arus


Conservation of Linear Momentum

Ingat kembali CV dari Chap. 6

Menggunakan teorema divergensi untuk mengkonversi integral

Body Force

Surface Force

ij = stress tensor



Mengganti integral volume,

Menyadari bahwa ini berlaku untuk setiap CV, integral dapat turun menjadi

This is Cauchy’s Equation

Can also be derived using infinitesimal CV and Newton’s 2nd Law (see text)



Bentuk alternatif dari Cauchy Persamaan dapat diturunkan dengan memperkenalkan

Memasukkan ini ke Persamaan Cauchy

(Chain Rule)



Sayangnya, persamaan ini tidak terlalu diperlukan

10 DiketahuiStress tensor, ij : 6 komponen independen

Massa jenis Kecepatan, V : 3 komponen independen

4 persamaan (kontinuitas + momentum)

6 persamaan diperlukan untuk menutup masalah!


Navier-Stokes Equation

Langkah pertama adalah untuk memisahkan ij ke tekanan

dan kental tekanan

Situasi belum membaik6 diketahui di ij 6 diketahui diij + 1 di P, yang berarti bahwa kami telah menambahkan 1!

ij xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

p 0 0

0 p 0

0 0 p

xx xy xz yx yy yz zx zy zz

Viscous (Deviatoric) Stress Tensor



(toothpaste)

(paint)

(quicksand)

Pengurangan jumlah variabel dicapai dengan berkaitan tegangan geser untuk regangan-tingkat tensor.

Untuk fluida Newtonian dengan sifat konstan

Newtonian fluid includes most commonfluids: air, other gases, water, gasoline

Newtonian closure is analogousto Hooke’s Law for elastic solids



Ganti ij ke persamaan Cauchy dengan memasukkan persamaan Navier-Stokes

Hal ini menyebabkan persamaan fluida pada sistem tertutup

4 persamaan (kontinuitas dan momentum)

4 temuan rumus (U, V, W, p)

Incompressible NSEwritten in vector form



Selain bentuk vektor, persamaan N-S incompressible dapat ditulis dalam beberapa bentuk lain

Cartesian coordinates

Cylindrical coordinates

Notasi tensor


Navier-Stokes EquationCartesian Coordinates

Kontinuitas

X-momentum

Y-momentum

Z-momentum

See page 431 for equations in cylindrical coordinates


Navier-Stokes EquationTensor and Vector Notation

Kontinuitas

Konservasi dari MomentumNotasi Tensor Notasi Vektor

Notasi VectorNotasi Tensor

Tensor dan notasi Vector menawarkan bentuk persamaan yang lebih ringkas.

Indeks berulang akan dijumlahkan lebih dari j (x1 = x, x2 = y, x3 = z, U1 = U, U2 = V, U3 = W)


Differential Analysis of Fluid Flow Problems

Sekarang kita memiliki beberapa persamaan yang mengatur persamaan diferensial parsial, ada 2 masalah yang kita dapat pecahkan

1. Perhitungan tekanan (P) untuk medan kecepatan diketahui

2. Menghitung kecepatan (U, V, W) dan tekanan (P) untuk geometri ang diketahui, kondisi batas (BC), dan kondisi awal (IC)


Exact Solutions of the NSE

Solusi juga dapat diklasifikasikan menurut jenis atau geometri1. Couette shear flows

2. Steady duct/pipe flows

3. Unsteady duct/pipe flows

4. Arus dengan batas-batas yang bergerak

5. solusi kesamaans

6. Hisapan aliran asitotik

7. Dorongan Angin arus Ekman

Ada sekitar 80 solusi yang tepat yang dikenal dengan NSE

Solusi itu dapat diklasifikasikan sebagai:

Solusi linear dimana nilai konvektifnya adalah nol

Solusi nonlinier di mana nilai konvektifnya tidak nol

ME33

ME421ME521


Exact Solutions of the NSE

1.Mengatur masalah dan geometri, mengidentifikasi semua dimensi dan parameter yang relevan

2.Daftar semua asumsi, perkiraan, penyederhanaan, dan kondisi batas yang sesuai

3.Menyederhanakan persamaan diferensial sesederhana mungkin

4. integrasikan persamaan5.Terapkan BC untuk memecahkan konstanta integrasi6.verifikasi hasil

Prosedur untuk pemecahan masalah dalam kontinuitas dan NSE


Boundary conditions

Kondisi batas sangat penting untuk membalas, perkiraan, dan solusi komputasi.

Dibahas dalam Bab 9 & 15Penggunaan BC dalam solusi analitis, dibahas di sini

Kondisi batas tanpa slip

Kondisi batas antar sisi

Ini digunakan dalam CFD juga, ditambah ada beberapa BC yang timbul karena hal tertentu dalam pemodelan CFD. Ini akan disajikan dalam Bab. 15.

Kondisi batas inflow dan outflow

Simetri serta kondisi batas periodik


No-slip boundary condition

Untuk cairan dalam kontak dengan dinding yang solid, kecepatan fluida harus setara dengan kecepatan pada dinding


Interface boundary condition

Ketika dua cairan bertemu di sebuah gesekan antar sisi, kecepatan dan geser stres harus sama di kedua sisi

Jika efek tegangan permukaan dapat diabaikan dan permukaan hampir rata


Interface boundary condition

Kasus merosot dari antar sisi BC terjadi pada permukaan bebas dari cairan.Diondisi yang sama terus

Saat air << water,

Seperti dengan antar sisi pada umumnya, jika efek tegangan permukaan dapat diabaikan dan permukaan hampir rata

Pwater = Pair


Example exact solution (Ex. 9-15)Fully Developed Couette Flow

Untuk geometri yang diberikan dan BC, menghitung bidang kecepatan dan tekanan, dan memperkirakan gaya geser per satuan luas yang bekerja pada pelat bawah

Step 1: Geometri, dimensi, dan sifat



Step 2: Asumsi dan BC yang diterapkanAsumsi1. Lempeng tak terbatas dalam x dan z

2. Arus stabil, /t = 0

3. Aliran paralel, V=0

4. Incompressible, Newtonian, laminar, bersifat konstan

5. Tidak ada tekanan gradien

6. 2D, W=0, /z = 0

7. Tindakan gravitasi di Pelat pada arah –z,

Kondisi batas1. Bottom plate (y=0) : u=0, v=0, w=0

2. Top plate (y=h) : u=V, v=0, w=0



Step 3: Penyederhanaan3 6

Note: these numbers referto the assumptions on the previous slide

This means the flow is “fully developed”or not changing in the direction of flow

Continuity

X-momentum

2 Cont. 3 6 5 7 Cont. 6



Step 3: Penyederhanaan,Kontinuitas.Y-momentum

2,3 3 3 3,6 7 3 33

Z-momentum

2,6 6 6 6 7 6 66



Step 4: Integrasi

Z-momentum

X-momentum

integrate integrate

integrate



Step 5: Pengaplikasian pada BCy=0, u=0=C1(0) + C2 C2 = 0

y=h, u=V=C1h C1 = V/h

Yang artinya

Untuk tekanan, tidak ada BC eksplisit, karena itu C3 bisa tetap konstanta sembarang (Ingat hanya P yang muncul pada NSE).

Let p = p0 at z = 0 (C3 renamed p0)1. Hydrostatic pressure2. Pressure acts independently of flow



Step 6: Verifikasi solusi yang telah didapat dengan mengembalikan penggantinya ke persamaan diferensial

Ingat pengkondisian rumus (u,v,w)=(Vy/h, 0, 0)

Kontinuitas (terpenuhi/terbukti)0 + 0 + 0 = 0

X-momentum (terbukti)



Finally, hitung shear force pada bawah pelat

Gaya geser per satuan luas yang bekerja pada dinding

Catatan w itu sama dan berlawanan padategangan geser yang bekerja pada fluida yx (Hukum ketiga Newton).

Kelompok 6 Bab 9 Analysis Differensial

Documents

Transcript of Kelompok 6 Bab 9 Analysis Differensial