~ISTEM FUNGSI ITERASI DAN EKSISTENSI INTERPOLASI

download ~ISTEM FUNGSI ITERASI DAN EKSISTENSI INTERPOLASI

of 8

  • date post

    25-Jan-2017
  • Category

    Documents

  • view

    225
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of ~ISTEM FUNGSI ITERASI DAN EKSISTENSI INTERPOLASI

  • 'istem Fungsi lterasi ... (Widodo) /29

    ~ISTEM FUNGSI ITERASI DAN EKSISTENSI INTERPOLASI FRAKT AL

    [TERATED FUNCTION SYSTEMS AND THE EXISTENCE OF FRACTAL INTERPOLATION

    )leh: Widodofurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta

    Abstrak

    Dalam makalah ini dipelajari Sistem Fungsi Iterasi (SFI) pada suatu ruang metrik lengkap (X,d). Beberapa.ifat penting SFI, khususnya Teorema Titik Tetap pada ~ng ftaktal H(X) digunakan untuk membuktikan teoremaeksistensi interpolasi ftaktal suatu data yang terdiri dari pasangan bilangan real {(xj,Fj):i=O,1,2,.. .,N}. Pembahasandalam makalah ini ditekankan pada aspek teon yang didasari oleh pemahaman analisis real dan konstruksi ftaktal,kemudian pembuktian teorema eksistensi interpolasi fraktal.

    Kata kunci: Ruang metrik, ruang fraktal, pemetaan kontraksi, sistem fungsi iterasi, interpolasi ftaktal.

    Abstract

    In this paper, the Iterated Function Systems (IFS) acting on a complete metric space (X,d) is studied.Several importantproperties of the IFS. in particular Fixed Point Theoremon thefractal space H(X)are usedtoprove the existence of fractal interpolation of the data consisting of ordered pair real numbers((xi,FJ:i=O,1,2, N). The discussion in this paper is stressed on the theoretical aspects based on real analysisunderstanding and fractal construction, and then theorem of existence of fractal interpolation is proven.

    Keywords: metric space, fractal space,contraction mapping.Iterated Function Systems. fractal interpolation.

    PENDAHULUAN

    Pada rnasa lalu, rnaternatika rnernberikanperhatian sangat besar pada hirnpunan danfungsi yang rnulus (smooth), yang dapatdipelajari dengan kalkulus klasik. SedaQ.gkanhirnpunan dan fungsi yang tidak rnulus dantidak teratur (irregular) cenderung diabaikandan dijauhkan dari pernbicaraan. Narnun pada 2dasawarsa terakhir ini anggapan tersebut telahberubah. Perhatian orang rnulai ditujukan pulakepada hirnpunan-hirnpunan yang tak rnulus.Lebih jauh lagi, hirnpunan yang tidak teraturrnernberikan penyajian yang lebih baik untukfenornena alarn dibandingkan dengan garnbar-gambar dalarn geornetri klasik (tradisional).Geornetri fraktal rnernberikan kerangka urnurnuntuk rnernpelajari hirnpunan yang tidak teratur(irregular sets). Obyek-obyek alam, seperti

    .

    gunung, pantai, awan dan pohon tidak dapatdigarnbarkan dengan baik secara tradisional,yaitu dengan rnenggunakan Geornetri Euclides.Akhimya disadari bahwa Geornetri Euclideshanya rnarnpu rnernpresentasikan obyek-obyekbuatan rnanusia, seperti garis, segitiga,segiernpat, lingkaran, dU. Sedangkan Geornetri-Fraktal dapat rnernpresentasikan obyek-obyekyang rnuncul dalarn alarn dengan baik (Susanta,et.al, 1993:1-2).

    Sebagai ilrnu yang baru di Indonesia,banyak orang yang belurn rnarnaharni danbertallya "Apakah Fraktal itu ? ". "ApakahdimellsiJraktal itu ? ", dan "Bagaimanacaramenghitwlg dimensi Jraktal ? ", "Apakahinterpolasi Jraktal itu?". Kata fraktaldikernukakan oleh Mandelbrot (1982:5) dalamrnakalahnya, The Fractal Geometry oj Nature.

    - - -

  • /30

    Kata 'fraktal' berasal dari kata latinfractus yangartinya patah atau putus untuk menyatakanbenda-benda yang sangat tidak teratur.Mandelbrot mengatakan bahwa fraktal adalahhimpunan yang mempunyai dimensi tak bulatatau dimensi Hausdorffnya lebih besar daripadadimensi topologisnya. Dimensi topologis suatuhimpunan selalu bulat, bernilai 0 jika himpunanitu tak terhubung total (totally disconnected),dan bernilai I jika setiap titiknya mempunyaisuatu persekitaran dengan perbatasan yangberdimensi 0, dst (Devaney, 1992:186).Falconer (1990:xx) lebih suka memberikandefinisi fraktal secara deskriptif, dan tidakmemberikan definisi secara eksplisit. Falconermendefinisikan fraktal sebagai suatu himpunandengan sifat-sifat sbb :(i) mempunyai struktur halus (fine structure),

    yakni terinci pada skala yang sembarangkecilnya,

    (ii) terlalu tak teratur untuk dinyatakan dalamgeometri tradisional,

    (iii) sering mempunyai bentuk yangberkesebangunan diri (self similarity),

    (iv) dimensi fraktal biasanya lebih besardaripada dimensi topologisnya, dan

    (v) dalam banyak hal fraktal didefinisikansangat sederhana, sering secara rekursif.

    Diberikan bilangan asli N> I dan data{(Xi,Fi):i = 0, I, 2, ..., N}. Interpolasi adalahsuatu proses menentukan suatu fungsi kontinu fyang grafiknya melewati data {(xj,Fi):i= 0, 1,2,..., N}. Metode interpolasi paling sederhanaadalah dengan menarik garis lurus dari masing-masing data, tersebut ke titik yang berdekatan.Selain metode sederhana diatas, kitamempunyai . metode lain yaitu dengaumembentuk polinomial dengan derajat yangterendah sehingga polinomial tersebutmerupakan grafik yang paling sesuai dengangrafik data dalam selang [XO,XN].

    Dalam makalah ini dipelajari SistemFungsi Iterasi (SFI) pada suatu ruang metriklengkap (X,d). Beberapa sifat penting SFI,khususnya Teorema Titik Tetap pada ruangfraktal H(X) digunakan untuk membuktikanteorema eksistensi interpolasi fraktal suatu dataterdiri dari pasangan bilangan real{(xj,Fj):i=O,l,2,. ..,N}. Pembahasan dalam

    JUrl/al Pendidikan Matematika dan Sains, Edisi 3 Tahun VIII, 20G

    makalah ini diktekankan pada aspek teori yandidasari oleh pemahaman analisis real dakonstruksi fraktal, kemudian membuktikateorema eksistensi interpolasi fraktal.

    PENGERTIAN DASAR

    2.1 Konstruksi Ruang Fraktal (Barns ley da:Demko, 1985:244-250)

    Diberikan ruang metrik (X,d). Ruan,metrik (X,d) dikatakan lengkap jika setia'barisan Cauchy dari titik-titik di dalam (X,akonvergen ke suatu titik di dalam X. Diberika(X,d) ruang metrik lengkap. Didefinisikan H().sebagai koleksi semua subhimpunan kompatak kosong dari X, i.e.

    H (X):= {A: A c X,A * 0 dan A kompak}.

    Didefinisikan d(a,B)= Min{d(a,b) : bE Badalah jarak titik a ke himpunan B dan d(A,B):Maks{Min{d(a,b): b EB} : aEA}:Maks{d(a,B) : aEA} adalah jarak himpunan jke himpunan B. Disini d(A,B) belum tentu samdengan d(B,A).Untuk semua A,B,C E H (X) berlaku :

    (i) A *B => d(A,B) * 0 dan d(B,A) * 0(ii) Ac B => d(A,B)= 0(iii) Ac B => d(C,B)~ d(C,A)(iv) d(A u B,C) = d(A,C)vd(B,C), dengan

    v y = maks{x,y}.Metrik Hausdorff h(A,B) dengan A dan Idalam H (X) didefinisikan sebagai

    Iz(A,B) = Maks {d(A,B), d(B,A)}.

    Untuk A,B,C ,D E H (X) berlaku

    h(AuB,CuD) ~ h(A,C)vh(B,D).

    Mudah dibuktikan bahwa fung!Iz:H(X)xH(X)~R di atas merupakan metri~sehingga (H(X),h) adalah suatu ruang metri~Metrik Iz yang didefinisikan pada H(X) irdisebut metrik Hausdorff . Dalam hal ir(H(X),!l) disebut ruang fraktal dan setiaanggolanya disebut fraktal.

  • Sistem FUI/gsiIterasi ... (Widodo)

    Teorema 2.1.1. (Barnsley, 1988:37)Jika (X,d) ruang metrik lengkap, maka ruangIraktal (H(X),h)juga ruang metrik lengkap, i.e.setiap barisan Cauchy (An) dalam H (X)

    terdapat A e H (X) sehingga A = Um An.n~oo

    2.2. Pemetaan Kontraktif dan Iterasi

    Definisi 2.2.1. (Barnsley, 1988:80)Pemetaan j- (X,d) ~ (X,d) disebut pemetaankontraktif jika terdapat suatu konstanta sdengan 05,s

  • /32

    Dalam pembahasan interpolasi fraktal akandikonstruksikan suatu SFI {R2:Wn,n =1, 2,...,N} sehingga eksistensi atraktomya terjamin danmerupakan grafik dari suatu fungsi kontinuf:[xo,xN]~R yang meng-interpolasikan data{(Xi,Fi): i= 0,1, 2, ..., N}. Disini dipilih suatuSFI {R2:wn,n=I,2,...,N}, dengan Wntranfonnasiaffine yang berbentuk khusus, i.e.

    (4.1) Wn(;)=(:: :)(;)+(~)yang dibatasi oleh

    (4.2) wn(

    Xo

    )=

    (Xn-l

    )dan

    Fo Fn_1

    Wn(;:) =(;:).untukn = 1,2, ..., N.

    bari (4.1) dan (4.2) diperoleh:

    untuk n ==1,2, ..., N.

    Kemudian dari (4.3) dan (4.4) diperoleh :

    untuk n = 1, 2, ..., N. Dan dari (4.5) dan (4.6)kita mendapatkan dua persamaan dengan 3variabel yang belum diketahui, denganmengambil dn sebagai varibel bebas, yangdisebut faktor penyekala vertikal dan diperoleh

    Jurna/ Pendidikan Maternatika dan Sains. Edisi 3 Tahun VIJ/. 2003

    Dari uraian diatas, dapat dipertanyakan berbagaimacam hal, seperti kenapa kita menggunakantransfonnasi affine dan mengapa kitamengambil dn sebagai parameter bebas.Penggunaan transfonnasi affine karenatransfonnasi affine tidak akan merubah bentukdan struktur, pemilihan transfonnasi affinediatas dan pengambil dn sebagai variabel bebaskedua pertanyaan tersebut akan terjawab setelahkita mempelajari dan membuktikan teorema-teorema dibawah ini.

    Teorema 4.3. Diberikan bilangan as/i N > 1 dan,SF! {R.: Wn. n = 1. 2. N} yang telahdikonstruksikall pada (4.1) dan (4.2). yangberkaitan dengan data {(Xn.F,J:n =0.1.2 N).Jika faktor penyekala vertikal dn memenuhi 0 ~Idnl~ I. untuk 11= 1. 2. N. maka terdapatsuatu metrik d pada k. yang equivalen denganmetrik Euclides. sehingga SFI-nya hiperbo/ikterhadap metrik d. Khususnya terdapat dengantunggal suatu atraktor G. i.e. G subhimpunankompak tak kosong dalam R2yang memenuhi

    N

    G =Uw)G).n=\

    Bukti: Didefinisikan suatu metrik d pada R2:dX"YI),(X2,Y2 = Ix,-x21 + S IY'-Y21,

    untuk semua (x"y,),(X2,Y2) E R2, dengan Ssuatu bilangan positif yang akan ditentukankemudian. Mudah dibuktikan d merupakanmetrik pada R2 yang equivalen dengan metrikEuclides. Ambil n E {I, 2, 3, ..., N} dan an, Cn,en, fn, yang telah ditentukan berdasarkan padapersamaan (4.7), (4.8), (4.9), (4.10). Makadiperoleh:d(wn(x"y,),Wn(X2,Y2 .=d( (anx I+en,c"x I+dny I+fo),( anX2+e,.,CoX2+d"Y2+fn

    = lanxl+en-(anX2+en)I+elcnx,+dnYI+fn-(cnx2+dnY2+fn)1

    = anlxl-X21 + Slcn(X,-X2) + dn(YI-Y2)1

    ::; lanllx,-X21+ Slcn(X,-X2)1+ Sldn(y'-Y2)1= lanllx,-X21+ Slcnllx,-X21+ SldnIIY'-Y21= (lanl+SlcnD IXI-X21+ SldnIIYI-Y21.Karena N2:2, diperoleh

    Ian 1=lxn -xn_1I/lxN -xol

  • Sistem Fungsi Iterasi ... (Widodo)

    s;(lanl+BlcnDIXI-xzl+ eldnll(YI-Yz)1= lanllxl-xzl+ IdnIICYI-Yz)1S;s dXI,Y.), (Xz,YZ,

    dengans = Maks{lanl,ldnl: n=I,2,..., N}

  • /34

    XN, dan a