Isabel Maria Maciel de Aguiar - repositorium.sdum.uminho.pt · Doutor Ricardo José Mendes Severino...

Isabel Maria Maciel de Aguiar

outubro de 2014

Sobre a Classificação dos Autómatos Celulares Elementares Finitos

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Universidade do Minho

Escola de Ciências


outubro de 2014

Dissertação de Mestrado Mestrado em Ciências – Formação Contínua de Professores

Sobre a Classificação dos Autómatos Celulares Elementares Finitos


Escola de Ciências

Trabalho realizado sob a orientação doDoutor Ricardo José Mendes Severino

Nome


Endereço electrónico: [email protected]

Número do Bilhete de Identidade: 8188416

Título dissertação

Sobre a Classificação dos Autómatos Celulares Elementares

Orientador:

Doutor Ricardo José Mendes Severino

Ano de conclusão: 2014

Designação do Mestrado:

Mestrado em Ciências – Formação Contínua de Professores

É AUTORIZADA A REPRODUÇÃO INTEGRAL DESTA DISSERTAÇÃO APENAS PARA EFEITOS DE INVESTIGAÇÃO, MEDIANTE DECLARAÇÃO ESCRITA DO INTERESSADO, QUE A TAL SE COMPROMETE;

Universidade do Minho, ___/10/2014 Assinatura: ________________________________________________


Sobre a Classificacao dos Automatos

Celulares Elementares Finitos

Dissertacao de Mestrado

Mestrado em Ciencias – Formacao Contınua de Professores


outubro 2014

Agradecimentos

Expresso o meu profundo agradecimento ao orientador, Professor Doutor Ricardo Se-

verino, pela disponibilidade e apoio demonstrados desde o primeiro dia. Realco a forma

entusiastica como partilhou o seu saber acerca do tema, as atitudes assertivas e palavras

incentivadoras, contribuindo decisivamente para a minha motivacao, desempenho e apren-

dizagem. Foi um enorme privilegio ter sido por ele acompanhada!

A minha famılia, pela paciencia e dedicacao durante este perıodo. De uma forma espe-

cial, aos meus filhos Joana e Pedro, pelo carinho e curiosidade demonstrados.

ii

Mestrado: em Ciencias – Formacao Contınua de Professores

Nome do aluno: Isabel Maria Maciel de Aguiar

Dissertacao: Sobre a classificacao dos automatos celulares elementares finitos

Resumo

Os automatos celulares elementares sao os modelos de evolucao temporal mais simples

com capacidade para exibir comportamento complicado. Por isso, e muito facil de aceitar

a importancia do seu estudo, quando se procura entender a complexidade que vemos surgir

de uma forma transversal em todas as Ciencias Naturais e Humanas.

A classificacao dos automatos celulares elementares, apresentada por Stephen Wolfram,

na decada de 1980, foi construıda a partir da simulacao computacional de sistemas finitos,

com condicoes de fronteira periodicas. Neste trabalho sao consideradas outras escolhas para

condicoes de fronteira, por reflexao e fixas, sendo estudadas as equivalencias dinamicas dos

automatos celulares finitos nesse contexto mais alargado. A partir desse estudo, mostramos

que, com pouquıssimas excecoes, a distribuicao dos automatos celulares elementares pelas

quatro classes propostas por Wolfram vale igualmente quando se consideram condicoes de

fronteira por reflexao e fixas.

Mais interessante porem, foram os resultados obtidos no estudo de duas dessas excecoes,

onde se encontrou um tipo de comportamento para automatos celulares elementares de

caraterısticas nao antecipadas por Wolfram na sua classificacao.

iii

Master Degree in: Science — Mathematics Teaching in Secondary School

Name of the student: Isabel Maria Maciel de Aguiar

Dissertation: On the classification of finite elementary cellular automata

Abstract

Elementary cellular automata are the simplest temporal evolution models still capable

of displaying complex behaviour. So it is easy to accept the importance of its study, when

looking to understand the intricacy we find throughought all Natural and Social Sciences.

The elementary cellular automata classification proposed by Stephen Wolfram, in the

1980s, was built from the computer simulation of finite systems, with periodic boundary

conditions. In this paper, other choices for boudary conditions are considered, by reflexion

and fixed, and the finite cellular automata’s dynamic equivalences are analysed regarding this

broader context. From this study, we show, with very few exceptions, that the distribution

of the elementar cellular automata by the four classes presented by Wolfram is consistent

when considering reflexion and fixed boundary conditions.

The most interesting though, were the results found in the study of two of those ex-

ceptions, where it was found a kind of behaviour for elementary cellular automata with

characteristics not predicted by Wolfram in his classification.

iv

Conteudo

1 Introducao 1

2 Automatos Celulares Elementares 6

2.1 Conceitos basicos sobre automatos celulares elementares . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Configuracao de um automato celular elementar . . . . . . . . . . . 6

2.1.2 Dinamica de um automato celular elementar . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3 Condicoes de fronteira para automatos celulares elementares finitos 10

2.1.4 Atratores e bacias de atracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.5 Representacao de Wolfram de uma regra de transicao . . . . . . . . 17

2.2 Diagramas de Wuensche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Equivalencia dinamica entre automatos celulares elementares . . . . . . . . 24

2.3.1 Simetria por conjugacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 Simetria especular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.3 Composicao da simetria por conjugacao com a simetria especular . 39

3 As Dinamicas dos Automatos Celulares Elementares 44

3.1 Dinamicas para diferentes escolhas da condicao de fronteira . . . . . . . . . 44

3.2 As regras de transicao Nφ = 30, Nφ = 45 e Nφ = 106 . . . . . . . . . . . 133

3.3 As regras de transicao Nφ = 26 e Nφ = 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4 Classificacao dos Automatos Celulares Elementares 135

4.1 A classificacao de Wolfram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

v

4.1.1 Classe I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.1.2 Classe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.1.3 Classe III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.1.4 Classe IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.1.5 Outras caraterizacoes da classificacao de Wolfram . . . . . . . . . . 161

4.2 Uma outra classificacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.3 Os automatos celulares 2600, 2610, 15400 e 15410 . . . . . . . . . . . . . 166

5 Conclusoes 192

Bibliografia 194

vi

Capıtulo 1

Introducao

Nos primordios, o Homem olhava para a natureza como uma fonte de recursos que

provia a sua alimentacao e protecao. Pouca a compreendia, mas respeitava-a. O seu fraco

entendimento cimentava-se, na maioria das vezes, na propria experiencia de vida ou no

misticismo. Mais tarde, na ansia de a controlar em seu proveito, comecou a adotar formas

de a modificar produzindo plantas, criando animais, construindo artefactos, controlando o

fogo e a agua, etc.

Desde ha muitos seculos que o Homem passou a interpretar e racionalizar a natureza

num contexto chamado de Ciencia, comecando a observar e estudar os fenomenos fısicos,

quımicos e biologicos. Inicialmente, o desejo de a compreender baseava-se na busca do

simples, do regular e do equilıbrio estavel. Deste modo, a natureza revelava-se simples e ao

alcance do entendimento humano. Com o estudo da dinamica, iniciado por Isaac Newton,

por volta de 1665, cria-se um novo ramo da Matematica. Formalizam-se e estudam-se

modelos matematicos para sistemas que evoluem no tempo de acordo com uma regra,

expressa analiticamente na forma de um sistema de equacoes diferenciais ordinarias. A

partir do final do seculo dezanove, alguns matematicos e fısicos, continuando a olhar para

a natureza, viram que o simples, por vezes, torna-se complicado. Deste modo, o estudo do

simples deu lugar ao estudo do complexo, o do regular ao do irregular e o do periodico ao

do aperiodico.

De forma simplificada, a geometria da natureza pode ser vista como a geometria frac-

tal1, com toda a sua irregularidade e estruturas complexas e fragmentadas. Em 1963, o

matematico ucraniano A.N. Sharkovsky apresentou uma nova ordem dos numeros naturais,

a ordem do caos. E a ordem que aparece nos sistemas simbolicos que descrevem os fluxos

1O termo fractal foi adotado por Benoit Mandelbrot, para identificar uma famılia de formas que descrevempadroes irregulares e fragmentados da natureza.

1

de informacao, nos sistemas de codificacao e nos sistemas inteligentes. Com o novo seculo

surge tambem a sociedade da tecnologia, da informacao e comunicacao. Alan Turing, ma-

tematico britanico, introduz, em 1936, novas ”maquinas”, hoje conhecidas por maquinas

de Turing, inicia a teoria da computabilidade e formaliza a computabilidade das funcoes. A

natureza vai servir entao de fonte de inspiracao para o desenvolvimento de tecnicas: mode-

lar, simular e emular fenomenos e mecanismos naturais em computador. Mas, para isso, foi

fundamental o trabalho de um dos mais importantes matematicos do seculo XX, John von

Neumann.

John von Neumann, matematico norte-americano, de origem hungara, nascido em 1903,

foi, de multiplas formas, pioneiro na forma de pensar o computador. De facto, para alem do

conhecido envolvimento na construcao do computador digital de alta velocidade EDVAC,

von Neumann foi tambem um grande promotor da utilizacao do computador como uma

valiosa ferramenta matematica: segundo o proprio, as solucoes computacionais ajudariam

na descoberta de conceitos uteis, na formulacao de princıpios gerais e na construcao de

teorias. O ”uso heurıstico” dos computadores seria semelhante e poderia ser combinado

com o tradicional metodo hipotetico, dedutivo e experimental das Ciencias Naturais. Nas

palavras de von Neumann,

”many branches of both pure or applied mathematics are in great need of

computing instruments to break the present stalemate created by failure of the

purely analytical approach to non-linear problems. (. . . ) really efficient

high-speed computing devices may, in the field of non-linear partial differential

equations as well as in many other fields, which are now difficult or entirely

denied access, provide us with those heuristic hints which are needed in all

parts of mathematics for genuine progress.”

Se nos lembrarmos o que, na altura, era um computador, um sistema gigantesco a base de

valvulas, com uma fraquıssima fiabilidade e uma velocidade de processamento incompara-

velmente inferior a dos atuais, nao deixa de ser surpreendente a visao de von Neumann e

como profeticas foram as suas palavras2. De certa forma, von Neumann conseguiu prever

que, no futuro, a Matematica, e as Ciencias em geral, iriam conseguir abordar problemas de

cariz completamente diferente, sendo que os computadores providenciariam uma excelente

oportunidade para esse tipo de estudos.

2Sobretudo se pensarmos que, para a sua concretizacao, foi necessario esperar tres decadas, pela cons-trucao de sistemas computacionais simbolicos.

2

Nas suas pesquisas, relacionadas com o desenvolvimento de computadores mais potentes

e a sua programacao, von Neumann aceitou uma sugestao do seu amigo Stanislaw Ulam.

Este matematico, que estudava a formacao de cristais utilizando como modelo uma grelha,

que apelidava de espaco celular, tinha como paixao a criacao de jogos matematicos que

produziam padroes geometricos, por vezes estranhos. A sugestao foi entao no sentido de

von Neumann usar um sistema discreto, um espaco celular, para procurar criar um modelo

de autorreplicacao. Deste modo, surgiu o ”copiador e construtor universal”, isto e, uma

”maquina”capaz de reproduzir qualquer outra ”maquina”, inclusive a ela propria. A copia,

deste modo obtida, teria as mesmas caraterısticas do original, sendo por isso tambem capaz

de se autorreproduzir. A ideia passou por considerar um conjunto fixo e bastante universal

de conexoes, ou circuitos, na ”maquina”, um ”fluxograma”e um ”codigo”. Von Neumann

resolveu este problema, de regressao infinita, da seguinte forma: a descricao agiria primeiro

como um genoma, sendo interpretado, a fim de construir uma copia do construtor univer-

sal; a descricao seria entao literalmente copiada. Deste modo, foi introduzido o primeiro

automato celular, tendo por base uma grelha bidimensional, constituıda por 200 000 celulas,

onde cada celula do sistema podia assumir um de 29 estados. Estes estados variavam ao

longo do tempo de acordo com regras deterministas, eram descritos por sımbolos indicati-

vos da sua funcionalidade. Assim, o estado de uma celula, num instante t, seria obtido em

funcao do estado, no instante anterior, de um numero finito de celulas na sua vizinhanca.

Essa vizinhanca, hoje conhecida por vizinhanca de von Neumann, corresponde ao conjunto

de quatro celulas adjacentes, ou cinco, se incluirmos a propria. Embora as regras referidas

fossem as mesmas para todos os componentes do sistema, o estado das celulas do sistema

poderia variar de forma muito complexa com o tempo, podendo originar novos sistemas e

chegando ate a sua autorreproducao.

Para von Neumann, a teoria dos automatos celulares tinha como objectivo construir

um corpo coerente de conceitos e princıpios relacionados com a estrutura e organizacao

de sistemas naturais e artificiais, com o papel da linguagem e informacao nesses sistemas

e com a sua programacao e controlo. Seria entao uma area intermedia entre a logica, a

teoria da comunicacao e a fisiologia. Nesse sentido, podemos afirmar que a concecao de von

Neumann sobre a teoria dos automatos celulares estava muito proxima da concecao de ci-

bernetica de Norbert Wiener3, tendo sido mutuamente influenciadas4. No entanto, a teoria

3Norbert Wiener, matematico nascido, em 1894, nos Estados Unidos da America, foi um dos impulsionado-res da Cibernetica, tendo publicado, em 1948, o importante livro Cybernetics: Or Control and Communicationin the Animal and the Machine.

4Ambos participaram nas Conferencias Macy, realizadas em Nova York, em finais da decada de 1950.

3

dos automatos celulares dava mais enfase a logica e aos computadores digitais, enquanto a

cibernetica orientava-se mais para a fisiologia e engenharia de controlo. Entende-se, deste

modo, o vincado carater interdisciplinar da teoria dos automatos e, nesse contexto, importa

vincar a distincao entre os dois tipos de automatos celulares, artificiais e naturais, apre-

sentada por von Neumann. Segundo von Neumann, os computadores analogicos e digitais

representavam os automatos celulares artificiais mais importantes, podendo-se tambem in-

cluir nessa categoria outros sistemas, desenvolvidos por seres humanos, de comunicacao e

processamento de informacao, tais como, o telefone e o radio. Como exemplos de automatos

celulares naturais von Neumann apresenta o sistema nervoso, o sistema imunologico, siste-

mas autorreprodutivos e sistemas que envolvem evolucao e adaptacao de organismos vivos.

Em 1970, o matematico John Conway, inventou o conhecido Jogo da Vida, um automato

celular bidimensional que simula a evolucao temporal de sistemas de celulas biologicas.

Divulgado, pela primeira vez, na popular coluna de jogos matematicos que Martin Gardner,

durante muitos anos, manteve na revista de divulgacao cientıfica, Scientific American, o Jogo

da Vida chamou novamente a atencao dos meios academicos para os automatos celulares.

A ideia base do jogo parte de uma configuracao simples de celulas vivas (organismos), a

que se aplicam quatro ”leis geneticas”para nascimentos, mortes e sobrevivencia. Deste

modo, a cada instante, surge uma nova geracao de celulas. Estas regras ou leis podem ser

descritas do seguinte modo: uma celula viva, com menos de dois vizinhos vivos, morre; uma

celula viva, com mais de tres vizinhos vivos, morre; uma celula morta, com exatamente tres

vizinhos vivos, torna-se uma celula viva e, finalmente, uma celula viva, com dois ou tres

vizinhos vivos, continua no mesmo estado para a proxima geracao. Este automato celular,

embora simples, e capaz de revelar uma evolucao temporal com padroes surpreendentes

e complexos, tendo sido essa complexidade, a partir do nada, que fascinou um numeroso

grupo de seguidores, ao longo de varias decadas.

No inıcio da decada de 1980, o fısico ingles Stephen Wolfram procurava responder a

certas questoes relacionadas com acontecimentos quotidianos ou fenomenos naturais, tais

como: qual e a origem dos padroes complicados que se observam nos fluıdos dinamicos?

Como sao produzidos os padroes sofisticados dos flocos de neve? Qual e o mecanismo basico

que esta na origem no modo de crescimento complexo de certas plantas e animais?

A partir das experiencias computacionais realizadas, Wolfram mostrou que automatos

celulares extremamente simples, neste caso, cadeias unidimensionais de elementos em in-

teracao com os seus vizinhos diretos, assumindo cada celula o estado zero ou um, tinham

4

ainda capacidade de exibir comportamentos muito complicados. Mais tarde, na obra que

publicou em 2002, A New Kind of Science, Wolfram argumenta que, a constatacao de que

sistemas muito simples, cuja evolucao temporal e determinada por regras igualmente sim-

ples, a partir de configuracoes iniciais sem qualquer estrutura, podem exibir comportamentos

complicados, e o fenomeno basico responsavel pela maioria da complexidade verificavel na

natureza.

Hoje em dia, podemos dizer que o estudo dos automatos celulares ocupa um lugar de

destaque na Matematica e em diversificadas areas cientıficas. Devido a sua capacidade

de gerar uma ampla variedade de padroes comportamentais, por vezes complexos, apesar

das suas muito simples regras de evolucao temporal, algumas das dinamicas exibidas pelos

automatos celulares mostram grandes semelhancas com comportamentos, auto-organizados

e complexos, observados na Natureza. Desta forma, temos que os automatos celulares provi-

denciam um modelo, matematicamente rigoroso, mas simultaneamente muito simples, para

estudar sistemas dinamicos discretos, que envolvam componentes que interagem localmente,

gerando, na sua evolucao, complexidade e comportamentos imprevisıveis.

O conceito de automato celular elementar, proposto por Wolfram, encontra-se desen-

volvido ao longo do Capıtulo 2, onde essencialmente se abordam conceitos basicos e a

equivalencia dinamica entre automatos celulares elementares. No Capıtulo 3, o estudo recai

sobre as dinamicas dos automatos celulares elementares finitos, para diferentes escolhas da

condicao de fronteira. Finalmente, no Capıtulo 4, propomos uma classificacao das regras

de transicao independentemente das condicoes de fronteira escolhidas para os automatos

celulares elementares finitos. Ao estudar as cinco regras de transicao que nao se enquadram

na classificacao proposta por nos, mostramos que duas delas exibem comportamentos muito

diversos, com diferentes escolhas para as condicoes de fronteira.

5

Capıtulo 2

Automatos Celulares Elementares

Stephen Wolfram, na decada de 80, introduziu os automatos celulares elementares como

modelos matematicos simples de sistemas naturais. Segundo Wolfram, os automatos celu-

lares podem ser considerados como idealizacao discreta das equacoes diferenciais parciais

frequentemente utilizadas para descrever sistemas naturais. Essa natureza discreta tambem

permite a analogia com computadores digitais, pois os automatos celulares podem ser vistos

como computadores de processamento paralelo (ou seja, o processamento dos elementos de

um sistema evolui simultaneamente e independentemente) e de construcao simplificada.

Hoje em dia existem muitas generalizacoes do conceito de automato celular inicialmente

proposto por Wolfram. Neste capıtulo iremos apresentar uma abordagem aos automatos

celulares por ele estudados, habitualmente designados por automatos celulares elementares.

2.1 Conceitos basicos sobre automatos celulares elementares

Um automato celular elementar e um sistema dinamico discreto no espaco, no tempo e

nos estados que cada um dos seus elementos pode assumir. De seguida, importa pormeno-

rizar o significado desta afirmacao.

2.1.1 Configuracao de um automato celular elementar

Um automato celular elementar consiste num conjunto infinito ou finito de elementos,

habitualmente designados por celulas, dispostos ao longo de uma linha reta, podendo cada

um desses elementos estar num de dois estados, descritos pelos valores 0 e 1.

6

Definicao 2.1 Dado um automato celular elementar, vamos chamar configuracao do sis-

tema ao conjunto dos estados que cada uma das suas celulas assume.

Caso o numero de celulas do sistema seja finito, a configuracao do sistema vai ser represen-

tada por

A = a1 a2 . . . an, (2.1)

onde por ai se denota o estado em que se encontra a celula na posicao i. Se o numero de

celulas do sistema e infinito, entao a configuracao do sistema vai ser representada por

A = . . . a−2 a−1 a0 a1 a2 . . . . (2.2)

Por exemplo, para um automato celular elementar composto por vinte celulas, temos que

A = 01001011100101001001 (2.3)

e uma configuracao possıvel. Na figura seguinte, apresenta-se essa configuracao grafica-

mente, onde as celulas do sistema sao representadas por quadrados dispostos ao longo de

um segmento de reta e a configuracao do sistema e obtida pintando cada celula de acordo

com o seu estado: um quadrado branco representa uma celula no estado 0 e um quadrado

preto uma celula no estado 1.

Figura 2.1: Configuracao de um automato celular elementar com vinte celulas, onde ascelulas no estado 0 sao representadas por quadrados brancos e as celulas no estado 1 saorepresentadas por quadrados pretos.

Neste trabalho vamos estudar apenas automatos celulares com um numero finito de

elementos. Por isso, muito embora alguns resultados sejam validos para ambos os tipos de

sistemas, estes serao apresentados apenas no contexto mais restrito que nos interessa.

Os automatos celulares elementares sao modelos de evolucao temporal. Vejamos de

seguida de que forma se permite que um automato modifique a sua configuracao com o

passar do tempo.

2.1.2 Dinamica de um automato celular elementar

Num automato celular elementar, o estado de cada celula evolui em instantes discretos

de tempo, de acordo com uma certa regra de transicao, comum para todas as celulas do

sistema, sendo esta aplicada de forma sıncrona para todas elas.

7

Por definicao, para automatos celulares elementares, a regra que determina o estado de

cada celula, no instante seguinte, depende do estado de tres celulas: a propria celula, a

celula a sua esquerda e a celula a sua direita. Temos assim que uma regra de transicao e

uma funcao booleana com tres variaveis φ : {0, 1}3 → {0, 1}.

Como vimos, a regra de transicao determina, a partir da configuracao do sistema num

instante t, qual sera a configuracao que o sistema assumira no instante t+ 1. Localmente, a

transicao e feita a partir do conhecimento do estado da propria celula e do estado das suas

celulas vizinhas. Deste modo, existem 23 = 8 configuracoes distintas para os estados dessas

tres celulas e assim explicitar uma regra de transicao significa estabelecer uma resposta para

cada uma dessas configuracoes. Uma vez que essa resposta e um valor booleano, podemos

concluir que existem apenas 28 = 256 regras de transicao diferentes, ou seja, 256 automatos

celulares elementares distintos. Por curiosidade, vejamos qual o numero de regras que se

obtem quando alteramos alguns destes parametros.

Para automatos celulares elementares considera-se que a regra de transicao depende do

estado de um conjunto de tres celulas. Se, por exemplo, considerarmos vizinhancas com-

postas por 5 celulas, o numero de regras distintas sobe imediatamente para 4 294 967 296,

uma vez que agora estamos perante uma funcao booleana com cinco variaveis, logo existem

25 = 32 configuracoes distintas para o conjunto de celulas consideradas, e assim temos que

o numero de funcoes diferentes e dado por 232. Por outro lado, se, em vez de automatos

celulares onde o estado de cada celula assume um valor booleano, considerarmos automatos

com estados tomando valores num conjunto um pouco maior, por exemplo, em {0, 1, 2},

conservando ainda a sua dependencia na configuracao de um conjunto de tres vizinhos, o

numero de regras atinge numeros inacreditavelmente grandes! De facto, nesse caso existem

33 = 27 configuracoes possıveis para os conjuntos de tres celulas e assim, temos que exis-

tem 327 regras de transicao distintas, um numero bem superior ao anterior, sendo dado por

7 625 597 484 987 ≈ 7.6× 1012.

No caso geral, se denotarmos por d o numero de estados que cada celula do sistema

pode assumir e por k o numero de celulas que influenciam a evolucao temporal de cada

celula, temos que existem dk configuracoes possıveis para os conjuntos de k celulas, daı que

o numero de regras de transicao distintas venha dado por ddk.

Existem varias formas de explicitar uma regra de transicao para um automato celular

elementar. De seguida, vamos apresentar tres dessas representacoes. Tratando-se de uma

funcao booleana, e sempre possıvel escrever o seu resultado a partir das operacoes booleanas

8

mais simples. Por exemplo, se escrevermos

φ(x, y, z) = (x+ y + z) mod 2, (2.4)

temos perfeitamente explicitado o resultado da funcao para qualquer valor dos seus argu-

mentos1. Contudo, este tipo de representacao de uma funcao booleana nem sempre e tao

simples como o exemplo mostrado. Por essa razao, e por vezes conveniente usar um outro

tipo de explicitacao, neste caso, atraves de uma tabela.

A regra de transicao local de um automato celular elementar pode ser apresentada da

seguinte forma:

111 110 101 100 011 010 001 000

d7 d6 d5 d4 d3 d2 d1 d0

Tabela 2.1: Representacao tabular de uma funcao booleana com tres variaveis.

onde numa primeira linha sao apresentadas todas as oito configuracoes possıveis para o

conjunto de tres celulas, colocando-se imediatamente por baixo o valor di = φ(x, y, z), com

i = 4x+2y+z, que a funcao determina para cada uma dessas configuracoes. A justificacao

para o modo de escrita de cada uma das respostas sera evidente mais tarde. Voltando a

funcao booleana explicitada em (2.4), temos que a sua representacao tabular e dada por:

111 110 101 100 011 010 001 000

1 0 0 1 0 1 1 0

Tabela 2.2: Representacao tabular da funcao booleana descrita em (2.4).

Por fim, a terceira e ultima das representacoes que vamos apresentar para uma funcao

booleana passa por utilizar um grafico.

A representacao grafica da funcao booleana, que determina a evolucao temporal de um

automato celular elementar, passa fundamentalmente por atribuir uma cor a cada um dos

valores do estado de uma celula e seguir a representacao tabular proposta anteriormente.

Assim, tal como referimos anteriormente, vamos comecar por fazer corresponder uma celula

a um quadrado, que se apresentara pintado de branco, se o estado dessa celula for zero, e

pintado de preto, caso esse estado seja igual a um. Deste modo, podemos mostrar num

grafico as oito configuracoes possıveis para os conjuntos de tres celulas, acrescentando por

1A escrita de cada uma das 256 funcoes booleanas em termos de operacoes booleanas elementares, podeser vista no livro de Stephen Wolfram, A New Kind of Science.

9

baixo da celula central, o estado que a funcao booleana determina para ela, no instante

seguinte.

d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7

Figura 2.2: Representacao grafica de uma funcao booleana. Neste caso, os quadradoscorrespondentes ao estado da celula central no instante seguinte virao pintados de branco,caso di seja nulo, ou de preto, caso contrario.

Para o exemplo de funcao booleana anterior, temos que a sua representacao grafica e

dada da seguinte forma:

Figura 2.3: Representacao grafica da funcao booleana explicitada em (2.4).

No caso de sistemas com um numero infinito de elementos, verifica-se facilmente que

a regra de transicao local φ determina a evolucao da totalidade do sistema: de facto, se,

num certo instante o sistema assume a configuracao A = (ai), com i ∈ Z, entao assumira

a configuracao A′ = (a′i), com i ∈ Z no instante seguinte, onde

a′i = φ(ai−1, ai, ai+1), i ∈ Z. (2.5)

Deste modo, vamos poder falar de um automato celular elementar φ e dizer que existem 256

automatos celulares elementares distintos, tantos quantas as funcoes booleanas φ diferentes.

Contudo, quando estamos a estudar a dinamica de sistemas com um numero finito de

elementos, surge um problema adicional que e preciso resolver: como definir as vizinhancas

para a primeira e a ultima celulas do sistema. Desse modo, e evidente que a dinamica do

automato celular elementar nao vai ficar definida apenas atraves da explicitacao de uma

regra de transicao local φ, sendo tambem necessario escolher condicoes de fronteira para o

sistema.

2.1.3 Condicoes de fronteira para automatos celulares elementares finitos

Como ja foi referido, num automato celular elementar, a regra de transicao que determina

o estado de cada celula, no instante seguinte, depende do estado da propria celula e do

10

estado das duas celulas que lhe sao adjacentes. Ora, para sistemas com um numero finito

de elementos, e evidente que o primeiro parametro da regra de transicao local para a primeira

celula do sistema esta indefinido, assim como o terceiro parametro da regra de transicao local

para a ultima das celulas do sistema. De seguida, iremos resolver esta questao apresentando

seis diferentes condicoes de fronteira para o sistema2.

Condicoes de fronteira periodicas

Num automato celular elementar com um numero finito de elementos, dizemos que as

condicoes de fronteira sao periodicas quando escolhemos como vizinha esquerda da primeira

celula a ultima celula do sistema e para vizinha direita da ultima a primeira celula do sistema.

Desta forma, se o sistema assume a configuracao A = (ai), com i = 1, . . . , n, num certo

instante, temos que a configuracao A′ = (a′i), com i = 1, . . . , n, que assumira no instante

seguinte e dada por a′1 = φ(an, a1, a2)

a′i = φ(ai−1, ai, ai+1), i = 2, . . . , n− 1

a′n = φ(an−1, an, a1)

(2.6)

Esta escolha para condicoes de fronteira determina que o sistema assuma uma estrutura

cıclica, fechada sobre si mesma, a partir da continuidade na forma como as celulas estao

dispostas ao longo de uma circunferencia. Na figura seguinte mostramos a configuracao de

um sistema com vinte celulas apresentada anteriormente em (2.3), considerando condicoes

de fronteira periodicas.

Figura 2.4: Representacao grafica da configuracao considerada em (2.3), considerandocondicoes de fronteira periodicas para o sistema.

Como facilmente se percebe, esta forma de apresentar o sistema, sendo verdadeira, nao e

de todo a que nos mostra de forma clara a configuracao que o sistema assume naquele

2Naturalmente que as seis condicoes para a fronteira do sistema que vamos considerar nao esgotam todasas possibilidades, mas podemos dizer que, de certa forma, sao as mais importantes.

11

instante. Por essa razao, as configuracoes com estrutura cıclica, correspondentes a sistemas

com condicoes de fronteira periodicas, passaram a ser representadas da forma que de seguida

se descreve.

Consideremos uma configuracao correspondente a um sistema com condicoes de fronteira

periodicas e imaginemos que e efetuado um corte na configuracao de modo a separar duas

das suas celulas. Com este procedimento, vamos de novo obter um conjunto de celulas

dispostas ao longo de um segmento de reta, onde as celulas que foram separadas vao surgir

como pertencentes a uma fronteira meramente virtual, gerada pelo nosso corte. Na figura

seguinte apresentamos um exemplo, onde, para alem da configuracao do sistema, se incluem

a ultima celula do sistema, colocada a esquerda, e a primeira celula do sistema, colocada a

direita, por forma a nao so relembrar o carater cıclico do sistema, mas tambem para facilitar

o calculo do estado das celulas da fronteira do sistema no instante seguinte.

Figura 2.5: Representacao grafica da configuracao considerada em onde se mostra, tambem,as duas celulas que representam as condicoes de fronteira periodicas do sistema.

Condicoes de fronteira por reflexao

A segunda solucao para definir as vizinhancas das celulas, situadas na fronteira de siste-

mas com um numero finito de elementos, tem a sua origem em condicoes de fronteira que

habitualmente se consideram em equacoes diferenciais. Neste caso, cada uma das celulas da

fronteira do sistema vai tomar para parametro em falta uma copia de si propria: sao por isso

chamadas condicoes de fronteira por reflexao. Assim, se o sistema assume a configuracao

A = (ai), com i = 1, . . . , n, num certo instante, temos que a configuracao A′ = (a′i), com

i = 1, . . . , n, que assumira no instante seguinte e dada por:a′1 = φ(a1, a1, a2)

a′i = φ(ai−1, ai, ai+1), i = 2, . . . , n− 1

a′n = φ(an−1, an, an)

(2.7)

Neste caso, ao contrario dos sistemas com condicoes de fronteira periodicas, os sistemas

vao conservar a geometria inicial de um conjunto de celulas dispostas ao longo de um

segmento de reta. As condicoes de fronteira, agora, impoem apenas a nao variacao do

estado a esquerda e a direita, respetivamente, da primeira e da ultima celulas. Assim

sendo, a representacao grafica destes sistemas e muito semelhante ao que foi anteriormente

12

mostrado: a figura seguinte mostra a configuracao (2.3), onde desta vez se incluem tambem

as celulas, que nao pertencendo ao sistema, correspondem a escolha de condicoes de fronteira

por reflexao.

Figura 2.6: Representacao grafica da configuracao apresentada em (2.3), onde se mostra,tambem, as celulas virtuais a esquerda e a direita cujos estados correspondem a condicoesde fronteira por reflexao.

Condicoes de fronteira fixas

Por fim, vamos apresentar a situacao, tambem ela comum em condicoes de fronteira para

equacoes diferenciais, em que se consideram condicoes de fronteira fixas para os sistemas.

Por outras palavras, esta escolha corresponde a considerar duas celulas virtuais, a esquerda

e a direita do sistema, cujo estado, ae e ad, respetivamente, permanece invariante com o

tempo. Deste modo, se o sistema assume a configuracao A = (ai), com i = 1, . . . , n, num

certo instante, temos que a configuracao A′ = (a′i), com i = 1, . . . , n, que assumira no

instante seguinte e dada por:a′1 = φ(ae, a1, a2)

a′i = φ(ai−1, ai, ai+1), i = 2, . . . , n− 1

a′n = φ(an−1, an, ad)

(2.8)

onde ae, ad ∈ {0, 1}. Tal como no caso anterior, a representacao grafica da configuracao

de um sistema com estas condicoes de fronteira fixas corresponde exatamente a colocacao

de um conjunto de celulas ao longo de um segmento de reta. Na figura seguinte, vamos

representar o sistema assumindo a configuracao apresentada em (2.3) e as duas celulas

virtuais correspondentes a condicoes de fronteira fixas, neste caso para valores ae = ad = 0.

Figura 2.7: Representacao grafica da configuracao apresentada em (2.3), onde se mostram,tambem, as duas celulas virtuais cujos estados correspondem a escolha de condicoes defronteira fixas nulas.

Estas sao as escolhas de condicoes de fronteira para os sistemas que vamos considerar

neste trabalho. Por outras palavras, iremos estudar automatos celulares elementares finitos

(φ, α), onde α ∈ {p, r, 00, 01, 10, 11} explicita a condicao de fronteira escolhida para o

13

sistema. Para facilitar a notacao, a partir de agora um automato celular elementar finito

sera denotado pela regra de transicao global Φα, que determina a configuracao, no instante

seguinte, a partir da configuracao assumida pelo sistema num determinado instante. Assim,

supondo que o sistema assume a configuracao A = (ai), com i = 1, . . . , n, teremos que

no instante seguinte sera levado a assumir a configuracao A′ = (a′i) dada por (2.6), caso

α = p, ou dada por (2.7), caso α = r, ou ainda por (2.8), caso α = aead.

2.1.4 Atratores e bacias de atracao

Como ficou desde logo patente com os primeiros trabalhos de Wolfram, a representacao

grafica da dinamica de um automato celular tem um papel fundamental no seu estudo:

chamaremos diagrama espaco-tempo a representacao grafica do conjunto das configuracoes

que o sistema assume durante um certo intervalo de tempo.

Consideremos a dinamica do automato celular elementar Φp composto por 20 celulas,

ao longo de tres instantes de tempo, a partir da configuracao inicial

A = 01001011100101001001

cuja evolucao temporal se faz de acordo com a regra de transicao apresentada em (2.4). O

diagrama espaco-tempo, que vai representar a dinamica do sistema, vai ser obtido apresen-

tando as configuracoes assumidas para valores de t crescentes por baixo umas das outras.

Dessa forma, a figura construıda tem o espaco, isto e, o conjunto de celulas dispostas ao

longo de um segmento de reta, no eixo horizontal, e o tempo no eixo vertical, com valores

crescentes de t de cima para baixo. A figura seguinte mostra-nos o diagrama espaco-tempo

da dinamica nos primeiros tres instantes de tempo.

(t = 0)

(t = 1)

(t = 2)

(t = 3)

Figura 2.8: Diagrama espaco-tempo da evolucao temporal de um automato celular elementarcomposto por 20 celulas, para os tres primeiros instantes de tempo, com condicoes defronteira periodicas, de acordo com a regra de transicao φ descrita em (2.4).

14

Contrariamente ao que e habitual, neste diagrama espaco-tempo estamos a acrescentar, a

esquerda e a direita das configuracoes assumidas pelo sistema em cada instante, as celulas

virtuais correspondentes a escolha de condicoes de fronteira periodicas, tal como a indicacao

dos instantes correspondentes. Naturalmente que, em querendo construir estes diagramas

para sistemas com maior numero de celulas e para intervalos de tempo mais longos, seremos

levados a simplificar, mostrando apenas as configuracoes assumidas pelo sistema, uma vez

que a restante informacao e redundante. Estes diagramas sao muitas vezes suficientes para

apreender alguns dos aspetos mais importantes da dinamica do automato celular.

Consideremos agora um sistema constituıdo por 12 celulas, cuja evolucao temporal e uma

vez mais determinada pela regra de transicao (2.4), escolhendo ainda condicoes de fronteira

periodicas. Na figura seguinte e apresentado o diagrama espaco-tempo da dinamica que se

observa a partir da configuracao inicial A = 111011100101.

Figura 2.9: Diagrama espaco-tempo da evolucao temporal do automato celular elementarconstituıdo por 12 celulas, ao longo de seis instantes de tempo, cuja regra de transicao edada por (2.4), com condicoes de fronteira periodicas.

A partir deste diagrama espaco-tempo, e facilmente percetıvel que, apos alguns escassos

instantes, o sistema vai repetir para sempre uma mesma configuracao, neste caso a confi-

guracao A′ = 010101010101. A repeticao para sempre desta configuracao pode ser forma-

lizada como Φp(A′) = A′, sendo por isso natural designar esta configuracao por ponto fixo

do automato.

Definicao 2.2 Uma configuracao A diz-se um ponto fixo de um automato celular elementar

Φα se Φα(A) = A.

Contudo, este nao e o unico destino possıvel para a dinamica de um automato celular

elementar, senao vejamos: ainda para um sistema composto por 12 celulas, cuja dinamica

e determinada pela regra de transicao (2.4), mas desta vez considerando condicoes de

fronteira por reflexao, atentemos no diagrama espaco-tempo que descreve a dinamica a

partir da configuracao inicial A = 111010110001.

15

Figura 2.10: Diagrama espaco-tempo da evolucao temporal do automato celular elementarconstituıdo por 12 celulas, ao longo de seis instantes de tempo, cuja regra de transicao edada por (2.4), com condicoes de fronteira por reflexao.

Como podemos observar, o diagrama espaco-tempo mostra-nos claramente que desta vez o

sistema vai acabar por repetir ciclicamente um conjunto de quatro configuracoes. Tal como

fizemos anteriormente, podemos formalizar esse facto da seguinte forma: denotemos por

B, C, D, E as configuracoes que o sistema assume nos instantes t = 2, 3, 4, 5, respetiva-

mente; entao, verifica-se que Φr(B) = C, Φr(C) = D, Φr(D) = E e Φr(E) = B. Uma vez

que estamos perante uma repeticao cıclica de um conjunto de quatro configuracoes, vamos

dizer que o sistema tem como destino um ciclo de configuracoes.

Definicao 2.3 Dado um automato celular Φα, dizemos que um conjunto {A1,A2, . . . ,Ap}

de configuracoes e um ciclo para Φα se

Φα(A1) = A2

...

Φα(Ap−1) = Ap

Φα(Ap) = A1

O numero de elementos de um ciclo diz-se o seu perıodo. No exemplo anterior, temos que

o destino da dinamica e um ciclo de perıodo 4. Muitas vezes, com um abuso de linguagem,

tambem se diz que um ponto fixo e um ciclo de perıodo um.

Quando consideramos automatos celulares finitos temos imediatamente que o numero

de configuracoes, que o sistema pode assumir, e tambem em numero finito. Este facto

permite concluir que, qualquer que seja a configuracao inicial, o destino da dinamica de

um automato celular, com um numero finito de elementos, e sempre um ponto fixo ou um

ciclo. Por outras palavras, a dinamica de um automato celular com um numero finito de

elementos acaba sempre com a repeticao de uma configuracao, um ponto fixo, ou com a

repeticao cıclica de um conjunto de configuracoes, um ciclo. Por influencia da Teoria dos

16

Sistemas Dinamicos, os possıveis destinos para as dinamicas de um automato celular sao

chamados os atratores do automato.

Definicao 2.4 Diz-se que um conjunto de configuracoes A = {A1, . . . ,Am}, com m ≥ 1,

e um atrator do automato celular Φα, se Φα(Ak) ∈ A, para todo Ak ∈ A, mas o mesmo ja

nao acontece para qualquer subconjunto proprio e nao vazio de A.

Associado a cada atrator de um automato celular vamos ter o conjunto das configuracoes

cujas dinamicas tem esse atrator como destino.

Definicao 2.5 Dado um atrator A de um automato celular elementar, chama-se bacia de

atracao de A, B(A), ao conjunto das configuracoes a partir das quais e possıvel ao sistema

chegar a uma configuracao pertencente a A.

Escolhida uma configuracao inicial para o sistema, o numero de instantes necessarios para o

sistema chegar ao atrator traduz uma medida da sua distancia ao atrator. E nesse sentido

que vamos poder dizer que uma configuracao se encontra mais proxima que outra do atrator.

Naturalmente, de uma configuracao pertencente ao atrator, diremos que se encontra a uma

distancia zero.

Escolhido um automato celular elementar, o conhecimento de todas as suas bacias de

atracao e equivalente a conhecer com todo o detalhe as dinamicas admissıveis por esse

automato. Por isso, para sistemas com um numero razoavel de celulas, estaremos sempre

perante uma gigantesca quantidade de informacao que dificilmente teremos capacidade de

apreender, o que limita o estudo de todas as dinamicas possıveis para um automato celular.

2.1.5 Representacao de Wolfram de uma regra de transicao

Logo nos seus primeiros trabalhos, Wolfram introduziu uma forma muito sucinta de

representar uma regra de transicao local por um numero inteiro.

Definicao 2.6 Dada uma regra de transicao local φ, chama-se representacao de Wolfram

de φ, ao numero inteiro Nφ dado por

Nφ = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2 =7∑

k=0

dk2k, (2.9)

onde os dıgitos dk sao dados pela Tabela 2.1.

17

Para o exemplo apresentado em (2.4), temos que

d0 = 0 d1 = 1 d2 = 1 d3 = 0

d4 = 1 d5 = 0 d6 = 0 d7 = 1

pelo que a representacao de Wolfram da regra de transicao local φ descrita em (2.4) e dada

por Nφ = (10010110)2 = 150.

Inversamente, dada a representacao de Wolfram de uma regra de transicao local, facil-

mente se chega a sua explicitacao. Por exemplo, seja Nφ = 30 a representacao de Wolfram

de uma regra de transicao local. Entao, uma vez que 30 = (00011110)2, conclui-se imedi-

atamente que a sua regra de transicao e dada por

Figura 2.11: Representacao grafica da regra de transicao local φ com representacao deWolfram Nφ = 30.

Neste caso, e como e habitual, apresentamos as diferentes configuracoes da vizinhanca

do automato celular elementar por ordem decrescente, por forma a que a leitura dos dıgitos

da representacao binaria seja direta.

Esta ideia de representar os elementos de uma famılia de regras de transicao local por

um numero inteiro pode ser generalizada: definido o conjunto de todas as configuracoes

para a vizinhanca de cada celula do sistema, basta assumir uma certa ordem para elas e

imediatamente a representacao por um numero inteiro surge da escrita, na base k, das

respostas que a regra assume para cada uma dessas configuracoes, sendo k o numero de

estados distintos que um elemento do automato celular pode assumir.

De seguida, vamos introduzir uma representacao grafica das bacias de atracao, logo, de

todas as dinamicas admissıveis, de um automato celular elementar. Como foi mencionado

anteriormente, estes graficos pretendem facilitar a assimilacao de uma quantidade muito

grande de informacao, muito embora a sua eficacia esteja limitada a valores baixos para o

numero de elementos do sistema.

18

2.2 Diagramas de Wuensche

Em 1992, Andrew Wuensche propos uma representacao grafica para a totalidade das

dinamicas admissıveis para os automatos celulares com um numero finito de elementos.

Como nesse grafico vamos querer incluir todas as configuracoes do sistema, facilmente se

depreende que se trata de algo so praticavel para sistemas com um numero muito pequeno

de elementos.

De seguida, vamos construir o diagrama de Wuensche para o automato celular elementar

composto por n = 5 celulas, cuja evolucao temporal e determinada pela regra de transicao

com representacao de Wolfram Nφ = 143, assumindo-se condicoes de fronteira periodicas.

Para tal, vamos comecar por encontrar qual a configuracao do sistema apos um instante

de tempo, considerando todas as configuracoes iniciais possıveis para o sistema. A tabela

seguinte mostra, graficamente, o resultado desse estudo.

Tabela 2.3: Evolucao temporal determinada pela regra com representacao de WolframNφ = 143, a partir de todas as possıveis configuracoes de um sistema com n = 5 celulas,consideradas condicoes de fronteira periodicas.

Observando a tabela anterior, verifica-se que a configuracao A = 11111 se mantem inva-

riante, isto e, que Φp(A) = A, logo estamos perante um atrator do sistema, que passaremos

a designar por A1.

A informacao apresentada na Tabela 2.3, muito embora diga apenas respeito a evolucao

temporal do sistema apos um instante de tempo, permite conhecer a totalidade das dinamicas

do automato, qualquer que seja a configuracao inicial escolhida e para qualquer intervalo

de tempo. Assim sendo, com uma analise mais detalhada dessa tabela e possıvel cons-

tatar existirem dois conjuntos, formados, respetivamente, por cinco e dez configuracoes,

onde e patente uma repeticao cıclica entre elas, logo sao tambem atratores para o sistema.

Graficamente, esses ciclos de configuracoes podem ser apresentados do seguinte modo: o

primeiro dos ciclos, que designaremos por A2, e formado pelo seguinte conjunto de cinco

19

configuracoes:

Figura 2.12: Atractor A2 do automato.

O segundo ciclo, de perıodo p = 10, sera designado por A3 e tem por elementos as seguintes

configuracoes:

Figura 2.13: Atractor A3 do automato.

Para alem da identificacao dos atratores do automato celular, a Tabela 2.3 mostra-nos

tambem que as dinamicas, a partir de qualquer outra configuracao, vao encontrar o atrator

logo apos um ou dois instantes de tempo. De seguida, vamos descrever, ainda a partir da

mesma tabela, como as restantes configuracoes se distribuem pelas bacias de atracao de

cada um dos atratores.

Como facilmente se observa, logo apos um instante de tempo, a configuracao 00000

encontra o ponto fixo atrator A1. Assim, esta configuracao pertence a bacia de atracao

B(A1). A partir da Tabela 2.3 e tambem possıvel concluir que nenhuma outra configuracao

encontra, quer a configuracao 11111, quer a configuracao 00000, pelo que a bacia de atracao

B(A1) tem apenas dois elementos:

B(A1) = {11111, 00000}.

Ainda pela Tabela 2.3, verificamos que o sistema, partindo de uma das configuracoes 00011,

00110, 01100, 01111, 10001, 10111, 11000, 11011, 11101 ou 11110 assume, logo no instante

seguinte, uma das configuracoes do atrator A2; e que o sistema, partindo de uma das

20

configuracoes 00001, 00010, 00100, 01000 ou 10000, assume, apos dois instantes de tempo,

uma das configuracoes do mesmo ciclo atrator. Resumindo, temos que

B(A2) = {00111, 01110, 11100, 11001, 10011, 00011, 00110, 01100, 01111, 10001,

10111, 11000, 11011, 11101, 11110, 00001, 00010, 00100, 01000, 10000}.

Por fim, tambem e possıvel concluir, a partir da Tabela 2.3, que nenhuma outra configuracao

que nao as do atrator A3 pertencem a sua bacia de atracao, isto e, que

B(A3) = {11010, 10010, 10110, 10100, 10101, 00101, 01101, 01001, 01011, 01010}.

Identificadas as tres bacias de atracao do automato celular vamos de imediato construir o

respetivo diagrama de Wuensche, tendo em conta as seguintes convencoes:

• o atrator deve ser colocado no centro da correspondente bacia de atracao;

• um ponto fixo atrator do automato representa-se por um vertice; caso nao seja evidente

que esse vertice ocupa o centro da bacia, acrescenta-se um lacete para lembrar a

evolucao para si proprio;

• um ciclo atrator do automato representa-se por um conjunto de vertices, unidos por

arestas; esses vertices devem ser dispostos numa circunferencia imaginaria, estipulando-

se que a evolucao temporal da-se no sentido negativo, isto e, sentido dos ponteiros

do relogio;

• qualquer uma das restantes configuracoes representa-se por um vertice que e ligado,

por uma aresta, ao vertice correspondente a configuracao que de seguida vai encontrar;

• configuracoes situadas a uma mesma distancia do atrator devem ser dispostas numa

circunferencia com o atrator como centro; deste modo, a bacia de atracao, vira re-

presentada por vertices colocados em circunferencias concentricas relativamente ao

atrator;

• caso essa informacao nao seja relevante, deve-se simplificar o diagrama omitindo as

configuracoes a que cada vertice corresponde; desse modo, o grafico que se obtem

apresenta apenas uma informacao qualitativa relativamente as dinamicas admissıveis

para o automato em causa.

Atendendo ao que foi anteriormente descrito, observemos na imagem seguinte o diagrama

de Wuensche relativo as dinamicas possıveis para o automato celular elementar Nφ = 143,

com condicoes de fronteira periodicas e n = 5 elementos.

21

Figura 2.14: Diagrama de Wuensche do automato celular elementar Nφ = 143, comcondicoes de fronteira periodicas, para sistemas com n = 5 elementos.

Como se pode observar, neste caso optamos por incluir um lacete para salientar qual das

duas configuracoes da bacia e o ponto fixo atrator.

Para entendermos a eficacia com que um diagrama de Wuensche descreve as dinamicas

de um automato celular, vamos de seguida mostrar, sem a respetiva construcao, o diagrama

de Wuensche para o automato celular elementar Nφ = 130, com condicoes de fronteira

periodicas e n = 6 celulas. O desafio consiste em ler, a partir da figura, alguns dos aspetos

mais importantes das dinamicas do automato. Por exemplo, quantos atratores tem, se

alguma das bacias e muito maior que as outras ou qual a distancia maxima aos atratores

em cada uma das bacias.

22

Figura 2.15: Diagrama de Wuensche do automato celular elementar Nφ = 130, comcondicoes de fronteira periodicas, para sistemas com n = 6 elementos.

Por observacao, conclui-se que o diagrama apresenta quatro atratores, dois pontos fixos,

as duas configuracoes homogeneas, 000000 e 111111, e dois ciclos, um de perıodo 3 e outro

de perıodo 6.

Relativamente ao ponto fixo 000000, apos um instante de tempo, cinco configuracoes

vao repetir para sempre a configuracao desse ponto fixo. Estas configuracoes compoem,

juntamente com o ponto fixo, a sua bacia de atracao.

Verifica-se tambem que um dos ciclos tem perıodo tres, sendo unicamente composto

pelas configuracoes 100100, 010010 e 001001.

O outro ciclo tem perıodo seis e, neste caso, sao as configuracoes 100000, 010000,

001000, 000100, 000010 e 000001, que sao repetidas interminavelmente. No entanto, neste

caso existem estados transitorios para o atrator, isto e, configuracoes a partir das quais,

apos alguns instantes de tempo, o sistema vai encontrar o ciclo atrator. Assim, podemos

concluir que a bacia de atracao deste ciclo atrator e dada por: 18 configuracoes a um

instante do ciclo, 12 configuracoes a dois instantes do ciclo, 12 a tres instantes do ciclo,

6 a quatro instantes do ciclo e, claro esta, as 6 configuracoes do ciclo atrator. Atendendo

ao numero de elementos da bacia de atracao, podemos dizer que, escolhida aleatoriamente

uma configuracao inicial para o sistema, este vai, com probabilidade aproximadamente igual

a 84%, acabar por repetir as configuracoes deste ciclo atrator.

23

Resumidamente, verificamos que, por vezes, as condicoes iniciais de um sistema podem-

-nos levar a resultados muito diferentes. Noutras vezes, variadas condicoes iniciais e ate

mesmo diferentes dinamicas transitorias, podem de facto levar ao mesmo atrator. Ou

seja, uma analise baseada em apenas algumas configuracoes iniciais podem nao explorar

adequadamente o comportamento do sistema. A utilizacao do poder de uma imagem e a

arquitetura inerente aos diagramas de Wuensche, permitem comunicar com maior eficacia

e clareza a dinamica global do automato celular.

2.3 Equivalencia dinamica entre automatos celulares elemen-tares

Como ja referimos, neste trabalho consideramos automatos celulares elementares finitos

correspondentes a 256 regras de transicao local distintas e seis escolhas para condicoes

de fronteira, isto e, 1 536 automatos celulares elementares finitos. No entanto, apesar de

distintos, isso nao significa que todos eles apresentem dinamicas que devam ser consideradas

diferentes. Atentemos nos seguintes diagramas espaco-tempo correspondentes a regras de

transicao local distintas, escolhidas condicoes de fronteira periodicas em ambos os casos.

Figura 2.16: Diagramas espaco-tempo para regras de transicao local distintas, com condicoesde fronteira periodicas, onde e patente que as configuracoes mostram, em cada instante,uma simetria branco-preto.

Apesar de, em cada instante, termos configuracoes distintas em cada um dos diagramas, e

notoria a alternancia dos estados das celulas correspondentes, desde as suas configuracoes

iniciais. De alguma forma, aquilo que esta imagem nos sugere e que o conhecimento de

uma das dinamicas nos vai permitir deduzir, sem qualquer ambiguidade, a outra, bastando

para tal inverter o estado de cada celula. Neste sentido, poderemos antecipar que sera

redundante estudar ambas as dinamicas, sendo lıcito dizer, entao, que as dinamicas sao

equivalentes.

Introduzindo algumas transformacoes de simetria no espaco das configuracoes, e possıvel

considerar como dinamicamente equivalentes aqueles automatos celulares que preservam es-

24

sas transformacoes ao longo do tempo. No caso dos automatos celulares elementares finitos,

onde as celulas do sistema sao disposta ao longo de uma linha reta, essas transformacoes vao

ser a conjugacao e a simetria especular. Como veremos, o uso dessas duas transformacoes

e da sua composicao vai-nos permitir reduzir significativamente o numero de automatos

celulares a estudar, uma vez que alguns deles sao dinamicamente equivalentes. E isso que a

seguir pretendemos comprovar, comecando por estudar cada uma das transformacoes acima

referidas.

2.3.1 Simetria por conjugacao

A primeira das simetrias que vamos apresentar e aquela que ficou patente na Figura

2.16. Vejamos como e possıvel formalizar essa ideia.

Definicao 2.7 Duas configuracoes A = (ai) e A′ = (a′i) de um automato celular elementar

com n celulas dizem-se conjugadas, denotando-se por A ∼c A′, se a′i = ai, para i = 1, . . . , n,

com 0 = 1 e 1 = 0.

Para simplificar, vamos escrever A como sendo a configuracao conjugada de A. Olhando

para os diagramas espaco-tempo apresentados na Figura 2.16, vemos que foram escolhidas

configuracoes conjugadas para iniciar cada uma das dinamicas:

Figura 2.17: As duas configuracoes iniciais dos diagramas espaco-tempo da Figura 2.16,onde se reconhece serem configuracoes conjugadas.

Voltando a Figura 2.16, aquilo que se observa e que as regras de transicao escolhidas foram

tais que essa simetria se preservou ao longo do intervalo de tempo considerado. Essa e a

ideia-chave para a equivalencia entre regras de transicao.

Definicao 2.8 Dois automatos celulares elementares finitos Φα e Φ′α′ dizem-se conjugados

se, para toda a configuracao A, for valida a igualdade

Φ′α′(A) = Φα(A). (2.10)

Se Φ′α′ e um automato celular conjugado de Φα vamos escrever Φ′α′ = Γc(Φα). Uma

outra forma de escrever a igualdade (2.10), onde nos parece ficar mais explıcita a ideia

que a dinamica de Φ′α′ se obtem a partir do conhecimento da dinamica de Φα, pode ser

25

Φ′α′(A) = Φα(A), para toda a configuracao A. O resultado seguinte apresenta condicoes

suficientes para que dois automatos celulares elementares finitos sejam conjugados.

Lema 2.1 Sejam Φα e Φ′α′ automatos celulares elementares finitos, com regras de transicao

local Nφ = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2 e Nφ′ = (d′7d′6d′5d′4d′3d′2d′1d′0)2, respectivamente, tais que

Nφ′ = (d0d1d2d3d4d5d6d7)2

α′ = α = p ∨ α′ = α = r ∨

{α′ = aead

α = aead

(2.11)

Entao, Φα e Φ′α′ sao automatos celulares elementares finitos conjugados, ou seja, tem-se

que Φ′α′ = Γc(Φα).

Prova: Da primeira igualdade de (2.11), temos que

d′7 = φ′(1, 1, 1) = φ′(0, 0, 0) = d0 = φ(0, 0, 0)

d′6 = φ′(1, 1, 0) = φ′(0, 0, 1) = d1 = φ(0, 0, 1)

d′5 = φ′(1, 0, 1) = φ′(0, 1, 0) = d2 = φ(0, 1, 0)

d′4 = φ′(1, 0, 0) = φ′(0, 1, 1) = d3 = φ(0, 1, 1)

d′3 = φ′(0, 1, 1) = φ′(1, 0, 0) = d4 = φ(1, 0, 0)

d′2 = φ′(0, 1, 0) = φ′(1, 0, 1) = d5 = φ(1, 0, 1)

d′1 = φ′(0, 0, 1) = φ′(1, 1, 0) = d6 = φ(1, 1, 0)

d′0 = φ′(0, 0, 0) = φ′(1, 1, 1) = d7 = φ(1, 1, 1)

ficando estabelecida a igualdade (2.10) para toda a celula do sistema que nao esteja na sua

fronteira. Mas, considerando as condicoes impostas a α e α′, retira-se imediatamente que

tambem as primeira e ultima celulas do sistema satisfazem analogas igualdades, pelo que se

conclui que os automatos celulares elementares finitos Φα e Φ′α′ sao conjugados. �

Voltando a Figura 2.16, uma analise do diagrama espaco-tempo da direita leva-nos a

concluir que a regra de transicao local em causa e caraterizada por

d′7 = φ′(1, 1, 1) = 0 d′6 = φ′(1, 1, 0) = 1

d′5 = φ′(1, 0, 1) = 1 d′4 = φ′(1, 0, 0) = 1

d′3 = φ′(0, 1, 1) = 1 d′2 = φ′(0, 1, 0) = 1

d′1 = φ′(0, 0, 1) = 0 d′0 = φ′(0, 0, 0) = 1

Ora, recordando a representacao de Wolfram da regra de transicao local correspondente ao

diagrama espaco-tempo da esquerda, Nφ = 130 = (10000010)2, e que ambas as dinamicas

26

foram obtidas com escolha de condicoes de fronteira periodicas, verificamos que as hipoteses

do resultado anterior sao validas, pelo que podemos concluir que os automatos celulares ele-

mentares finitos que geraram os diagramas espaco-tempo sao conjugados, 190p = Γc(130p).

Deste modo, a simetria branco-preto que as dinamicas iniciais mostram, e valida para todo

instante.

Quando olhamos para os diagramas espaco-tempo de automatos celulares elementares

conjugados a partir de configuracoes iniciais conjugadas, Figura 2.16, dissemos que seria

natural considerar esses automatos celulares como equivalentes. Mas o que significa exata-

mente essa ideia de equivalencia entre as dinamicas de dois automatos celulares? Para nos

ajudar a responder a essa questao, vamos apresentar os diagramas de Wuensche de ambos

os automatos celulares, 130p e 190p, para sistemas com n = 5 celulas.

Figura 2.18: Diagramas de Wuensche dos automatos conjugados 130p, a esquerda, e 190p,a direita.

Comparando estes diagramas de Wuensche, e patente a existencia de uma corres-

pondencia entre eles: de facto, para alem de atratores do mesmo tipo, as respetivas bacias

de atracao sao identicas no que respeita a forma e, assim, tambem quanto ao numero de

configuracoes. Como e expetavel, a unica diferenca reside na configuracao associada a cada

vertice, surgindo configuracoes conjugadas em posicoes correspondentes nos diagramas.

Se tivermos em conta o Lema 2.1, podemos escrever outras cinco conjugacoes, para

alem daquela acima encontrada. De facto, dos argumentos anteriores, facilmente se conclui,

27

tambem, que:

190r = Γc(130r)

19000 = Γc(13011)

19001 = Γc(13010)

19010 = Γc(13001)

19011 = Γc(13000)

De igual modo, todas estas equivalencias vao ser refletidas nos diagramas de Wuensche

de cada um dos automatos celulares. Nas figuras seguintes apresentamos os diagramas de

Wuensche para os automatos celulares conjugados, sendo uma vez mais evidente que estes

mostram, em cada caso, dinamicas iguais.

Figura 2.19: Diagramas de Wuensche dos automatos conjugados 130r, a esquerda, e 190r,a direita.

28

Figura 2.20: Diagramas de Wuensche dos automatos conjugados 13000, a esquerda, e19011, a direita.


29



30

O conjunto das seis equivalencias entre automatos celulares elementares finitos leva-nos

a introduzir o seguinte conceito.

Definicao 2.9 Dada uma regra de transicao local φ, vamos denotar por Φ o conjunto de

automatos celulares elementares {Φα, α = p, r, 00, 01, 10, 11}.

Assim sendo, as seis equivalencias anteriores vao permitir-nos dizer que existe uma equi-

valencia entre os conjuntos 190 e 130, na medida em que as dinamicas dos elementos de

190 podem ser deduzidas a partir do conhecimento das dinamicas de elementos de 130.

Definicao 2.10 Dois conjuntos de automatos celulares elementares finitos Φ′ e Φ dizem-se

conjugados se qualquer elemento de Φ′ for conjugado com algum elemento de Φ.

Com algum abuso de linguagem, vamos escrever tambem Φ′ = Γc(Φ) para denotar conjuntos

conjugados. O resultado seguinte vai caraterizar a conjugacao entre conjuntos de automatos

celulares elementares finitos.

Proposicao 2.1 Dois conjuntos de automatos celulares elementares finitos Φ′ e Φ sao con-

jugados se e so se Nφ′ = (d0d1d2d3d4d5d6d7)2 e Nφ = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2, com Nφ′ , Nφ

as representacoes de Wolfram das regras de transicao dos automatos celulares pertencentes

a Φ′ e Φ, respetivamente.

Prova: A partir do Lema 2.1 temos que, se dois conjuntos de automatos celulares elementares

finitos Φ′ e Φ satisfazem Nφ′ = (d0d1d2d3d4d5d6d7)2 e Nφ = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2, entao

sao conjugados. De facto, esse resultado diz-nos que, qualquer que seja Φ′α′ ∈ Φ′, existe

sempre um elemento Φα de Φ tal que Φ′α′ = Γc(Φα). Vejamos agora como mostrar que o

recıproco e igualmente verdadeiro.

Sejam Φ′ e Φ conjuntos de automatos celulares elementares finitos conjugados. Entao,

pela arbitrariedade da configuracao A em (2.10), sao verdadeiras as seguintes igualdades:

φ′(1, 1, 1) = φ′(0, 0, 0) = φ(0, 0, 0) φ′(1, 1, 0) = φ′(0, 0, 1) = φ(0, 0, 1)

φ′(1, 0, 1) = φ′(0, 1, 0) = φ(0, 1, 0) φ′(1, 0, 0) = φ′(0, 1, 1) = φ(0, 1, 1)

φ′(0, 1, 1) = φ′(1, 0, 0) = φ(1, 0, 0) φ′(0, 1, 0) = φ′(1, 0, 1) = φ(1, 0, 1)

φ′(0, 0, 1) = φ′(1, 1, 0) = φ(1, 1, 0) φ′(0, 0, 0) = φ′(1, 1, 1) = φ(1, 1, 1)

donde resulta facilmente a relacao entre as regras de transicao local Nφ′ e Nφ dos elementos

de Φ′ e Φ, respetivamente. �

31

Seguindo um percurso analogo, vamos de seguida apresentar a segunda das simetrias,

desta vez uma simetria espacial, que duas configuracoes de celulas dispostas ao longo de

uma linha reta podem apresentar, para chegar a correspondente equivalencia entre conjuntos

de automatos celulares.

2.3.2 Simetria especular

Um outro tipo de transformacao que importa considerar e a simetria especular, isto

e, uma simetria de reflexao relativamente a um eixo vertical, a partir da qual se obtem a

inversao espacial esquerda-direita da configuracao do sistema.

Definicao 2.11 Duas configuracoes A = (ai) e A′ = (a′i) de um automato celular elementar

com n celulas dizem-se ter simetria especular, escrevendo-se A ∼e A′, se a′i = an+1−i, para

i = 1, . . . , n.

Para simplificar, vamos usar a notacao←−A para a configuracao obtida de A por simetria

especular. Na figura seguinte, apresentam-se duas configuracoes com simetria especular,

relativamente ao eixo vertical, onde a da esquerda volta a ser a configuracao anteriormente

considerada na apresentacao da simetria por conjugacao.

Figura 2.24: Duas configuracoes exibindo simetria especular relativamente ao eixo vertical.

Tal como ha pouco, vamos agora generalizar este conceito para automatos celulares ele-

mentares finitos.

Definicao 2.12 Dois automatos celulares elementares finitos Φα e Φ′α′ dizem-se com sime-

tria especular se, para toda a configuracao A, for valida a igualdade

Φ′α′(←−A ) =

←−−−−Φα(A). (2.12)

Se Φα e Φ′α′ sao automatos celulares elementares finitos com simetria especular, vamos

escrever que o segundo se obtem do primeiro como Φ′α′ = Γe(Φα). O resultado que va-

mos apresentar de seguida apresenta condicoes suficientes para que automatos celulares

elementares finitos tenham simetria especular.

32



Nφ′ = (d7d3d5d1d6d2d4d0)2

α′ = α = p ∨ α′ = α = r ∨

{α′ = adae

α = aead

(2.13)

Entao, Φα e Φ′α′ sao automatos celulares elementares finitos com simetria especular, ou

seja, tem-se que Φ′α′ = Γe(Φα).

Prova: A partir da relacao entre as regras de transicao local, assumida por hipotese, podemos

escrever:

d′7 = φ′(1, 1, 1) = d7 = φ(1, 1, 1) d′6 = φ′(1, 1, 0) = d3 = φ(0, 1, 1)

d′5 = φ′(1, 0, 1) = d5 = φ(1, 0, 1) d′4 = φ′(1, 0, 0) = d1 = φ(0, 0, 1)

d′3 = φ′(0, 1, 1) = d6 = φ(1, 1, 0) d′2 = φ′(0, 1, 0) = d2 = φ(0, 1, 0)

d′1 = φ′(0, 0, 1) = d4 = φ(1, 0, 0) d′0 = φ′(0, 0, 0) = d0 = φ(0, 0, 0)

Como se verifica facilmente, as igualdades anteriores podem ser resumidas numa unica,

expressa por φ′(a, b, c) = φ(c, b, a), para quaisquer a, b, c ∈ {0, 1}. Vejamos agora como e

que, a partir daqui, somos levados a concluir que a igualdade (2.12) e valida para qualquer

elemento do sistema que nao esteja na sua fronteira.

Sem perda de generalidade, admitamos que o sistema em causa e constituıdo por um

numero n maior que dois de elementos. Seja A = (ai) uma qualquer configuracao; para

facilitar, denotemos por [Φ′(←−A )]i o elemento i da configuracao Φ′(

←−A ). Ora, por definicao,

temos que, para i = 2, . . . , n− 1,

[Φ′(←−A )]i = φ′([

←−A ]i−1, [

←−A ]i, [

←−A ]i+1) = φ′(an−i+2, an−i+1, an−i).

Mas, sabendo que φ′(a, b, c) = φ(c, b, a), podemos escrever a igualdade

[Φ′(←−A )]i = φ′(an−i+2, an−i+1, an−i) = φ(an−i, an−i+1, an−i+2),

a partir da qual temos entao que

[Φ′(←−A )]i = φ(an−i, an−i+1, an−i+2) = [Φ(A)]n−i+1 = [

←−−−Φ(A)]i.

Estabecida a igualdade procurada entre todos os elementos das configuracoes Φ′(←−A ) e

←−−−Φ(A)

que nao estejam na fronteira, a sua estensao para os dois elementos da fronteira retira-se

33

facilmente pela hipotese assumida; vejamos, por exemplo, o caso de se assumirem condicoes

de fronteira α = 01 e α′ = 10. Entao, pelas igualdades anteriores, temos que

[Φ′(←−A )]1 = φ′(1, [

←−A ]1, [

←−A ]2) = φ′(1, an, an−1) = φ(an−1, an, 1) = [Φ(A)]n = [Φ(

←−A )]1.

De forma analoga se obtem semelhante igualdade para os elementos n das configuracoes

em causa. �

Voltando ao automato celular elementar com representacao de Wolfram Nφ = 130, sabemos

ja que 130 = (10000010)2. Deste modo, tendo em conta o resultado anterior, se escolher-

mos o automato celular Φ′ com representacao de Wolfram Nφ′ = (10010000)2 = 144,

sabemos que, se escolhermos condicoes de fronteira periodicas para ambos, estamos pe-

rante automatos celulares com simetria especular.

Existe uma outra forma de determinar esta regra obtida por simetria especular, a partir

da representacao grafica de um automato celular elementar: consideremos a representacao

grafica da regra Nφ = 130:

Figura 2.25: Representacao grafica da regra de transicao do automato celular elementarcom representacao de Wolfram Nφ = 130.

Atendendo a (2.12), temos que a representacao grafica da regra obtida de Nφ = 130 por

simetria especular se encontra efetuando a transformacao especular das oito configuracoes,

deixando invariante os resultados, isto e:

Figura 2.26: Representacao grafica da regra de transicao do automato celular elementarobtido da regra Nφ = 130 por simetria especular.

Voltando a forma canonica para a representacao grafica de uma regra, temos que a regra

obtida de Nφ = 130 por simetria especular e descrita por:

34

Figura 2.27: Representacao grafica, na sua forma canonica, da regra de transicao doautomato celular elementar obtido da regra Nφ = 130 por simetria especular.

Por fim, vamos comparar os dois diagramas espaco-tempo, para a evolucao temporal de-

terminada pelos automatos celulares 130p e 144p, a partir das configuracoes iniciais com

simetria especular, apresentadas na Figura 2.24:

Figura 2.28: Diagramas espaco-tempo para os automatos celulares elementares 130p e144p, a partir de configuracoes iniciais com simetria especular.

O calculo acima efetuado, permitiu-nos perceber que os automatos celulares 130p e 144p

tem simetria especular, mas tambem que outros cinco, com iguais regras de transicao, mas

distintas condicoes de fronteira, tambem exibem esse tipo de simetria, nomeadamente:

144r = Γe(130r)

14400 = Γe(13000)

14401 = Γe(13010)

14410 = Γe(13001)

14411 = Γe(13011)

Tal como fizemos anteriormente para a conjugacao, vamos agora mostrar os diagramas de

Wuensche relativamente as regras Nφ = 130 e Nφ′ = 144, para todas as seis condicoes de

fronteira consideradas, querendo com isso evidenciar que, uma vez mais, estamos perante

automatos celulares elementares finitos dinamicamente equivalentes.

35

Figura 2.29: Diagramas de Wuensche para os dois automatos celulares com simetria espe-cular 130p, a esquerda, e 144p, a direita.

Figura 2.30: Diagramas de Wuensche para os dois automatos celulares com simetria espe-cular 130r, a esquerda, e 144r, a direita.

36

Figura 2.31: Diagramas de Wuensche para os dois automatos celulares com simetria espe-cular 13000, a esquerda, e 14400, a direita.


37



38

De forma analoga, o Lema 2.4 vai permitir-nos generalizar o conceito de simetria especular

para conjuntos de automatos celulares.

Definicao 2.13 Dois conjuntos Φ′ e Φ dizem-se com simetria especular se qualquer ele-

mento de Φ′ tiver simetria especular com algum elemento de Φ.

Dados conjuntos Φ′ e Φ com simetria especular, vamos escrever Φ′ = Γe(Φ). Tambem

agora vai ser possıvel caraterizar conjuntos com simetria especular, num resultado analogo

ao anteriormente estabecido para a conjugacao, cuja prova segue de perto os argumentos

anteriores, que por isso sera omitida.

Proposicao 2.2 Conjuntos Φ′ e Φ tem simetria especular se e so seNφ′ = (d7d3d5d1d6d2d4d0)2

e Nφ = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2, com Nφ′ , Nφ as representacoes de Wolfram das regras de

transicao dos automatos celulares pertencentes a Φ′ e Φ, respetivamente.

Apresentadas as duas transformacoes de simetria basicas que podemos definir nas confi-

guracoes de celulas dispostas ao longo de uma linha reta, vamos de seguida tentar perceber

que composicoes destas transformacoes sao ainda transformacoes de simetria distintas.

2.3.3 Composicao da simetria por conjugacao com a simetria especular

Estudadas as duas simetrias que e possıvel definir em sistemas booleanos dispostos ao

longo de uma linha reta, a questao agora passa por identificar se uma sua composicao

corresponde a uma transformacao distinta. Para tal, vejamos o seguinte resultado, cuja

prova e muito simples, pelo que sera omitida.

Lema 2.3 Seja A uma qualquer configuracao. Entao, temos que,

(A) = A

←−−(←−A ) = A

←−(A) = (

←−A )

Como facilmente se reconhece, as duas primeiras igualdades dizem que a aplicacao de duas

transformacoes iguais resulta na identidade, enquanto a terceira estabelece que a composicao

de transformacoes e comutativa. A partir destas igualdades, vamos ver que apenas uma

composicao vai resultar numa transformacao de simetria distinta.

39

Sejam A e A′ configuracoes resultantes de uma qualquer composicao de m trans-

formacoes por conjugacao e imagem especular, que vamos escrever como,

A ∼u1 A1 ∼u2 A2 ∼u3 . . . ∼um−1 Am−1 ∼um A′ (2.14)

com ui = c ou ui = e e onde por Ai se designa a configuracao que se obtem de A por

aplicacao sucessiva das transformacoes u1, . . . , ui. Ora, aplicando a comutatividade das

transformacoes, estabelecida no Lema 2.3, podemos escrever a expressao anterior como

A ∼c B1 ∼c . . . ∼c Bm′ ∼e Bm′+1 ∼e . . . ∼e Bm−1 ∼e A′

onde m′ ≥ 0 e igual ao numero de transformacoes por conjugacao, se existir alguma,

presentes na composicao (2.14), sendo m−m′ ≥ 0 o numero de transformacoes por simetria

especular, se existir alguma, em (2.14), e onde Bi e agora a configuracao que se obtem de

A por aplicacao sucessiva das i transformacoes iniciais. O resultado que procuramos surge

imediatamente por aplicacao das duas primeiras igualdades do Lema 2.3:

1. m′ e m−m′ pares =⇒ A = A′

2. m′ par e m−m′ ımpar =⇒ A ∼e A′

3. m′ ımpar e m−m′ par =⇒ A ∼c A′

4. m′ e m−m′ ımpares =⇒ A ∼c A1 ∼e A′

Assim sendo, podemos concluir que existe uma unica composicao de transformacoes de

conjugacao e simetria especular que resulta numa transformacao distinta: vamos escolher

essa transformacao como sendo a composicao da imagem especular apos a conjugacao,

que vamos denotar simplesmente por A ∼ce A′. Para facilitar, vamos denotar por A◦ a

configuracao obtida de A por esta terceira transformacao.

Tal como foi feito relativamente as duas simetrias anteriores, tambem agora vamos

formalizar a correspondente simetria entre automatos celulares elementares finitos.

Definicao 2.14 Dois automatos celulares elementares finitos Φα e Φ′α′ dizem-se com sime-

tria conjugacao-especular se, para toda a configuracao A, for valida a igualdade

Φ′α′(A◦) = (Φα(A))◦, (2.15)

Se Φ′α′ e um automato celular elementar com simetria conjugacao-especular relativamente

a Φα vamos escrever Φ′α′ = Γce(Φα). O resultado seguinte vai uma vez mais mostrar que

40

automatos celulares elementares com certas caraterısticas tem sempre simetria conjugacao-

especular. Por ser facilmente obtida a partir de argumentos analogos aos apresentados nas

demonstracoes dos dois lemas anteriores, a sua prova sera omitida.



Nφ′ = (d0d4d2d6d1d5d3d7)2 e as condicoes de fronteira α e α′ sao iguais, exceto se α = 00

ou α = 11, para as quais α′ = 11 e α′ = 00, respectivamente. Entao, Φα e Φ′α′ sao

automatos celulares elementares finitos com simetria conjugacao-especular, ou seja, tem-se

que Φ′α′ = Γce(Φα).

Para encontrar a regra de transicao que se obtem de Nφ = 130 por esta composicao de

transformacoes, temos apenas que determinar a regra que e equivalente por imagem espe-

cular a Nφ′ = 190, uma vez que concluimos ja ser esta a regra equivalente por conjugacao

a Nφ = 130. Um pequeno calculo leva-nos a dizer que a representacao de Wolfram desta

regra corresponde ao inteiro cuja representacao binaria e dada por (11110110)2, ou seja,

Nφ′′ = 246. Na figura seguinte mostramos diagramas espaco-tempo correspondentes as

dinamicas exibidas pelos automatos 130p, 190p e 246p.

Figura 2.35: Diagramas espaco-tempo para os automatos celulares elementares 130p, 190pe 246p, a partir de configuracoes iniciais com as simetria indicadas, sendo patente que asconfiguracoes que lhes sucedem tem essa mesma simetria.

Do Lema 2.4 resulta ser tambem possıvel definir este tipo de simetria relativamente a

conjuntos de automatos celulares finitos.

Definicao 2.15 Dois conjuntos Φ′ e Φ dizem-se com simetria conjugacao-especular se qual-

quer elemento de Φ′ tiverem simetria conjugacao-especular com algum elemento de Φ.

41

Dados conjuntos Φ′ e Φ com simetria conjugacao-especular, vamos escrever Φ′ = Γce(Φ).

Tambem agora vai ser possıvel caraterizar conjuntos Φ′ e Φ relacionados por este tipo de

simetria.

Proposicao 2.3 Dois conjuntos de automatos celulares elementares finitos Φ′ e Φ tem sime-

tria conjugacao-especular se e so seNφ′ = (d0d4d2d6d1d5d3d7)2 eNφ = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2,

com Nφ′ , Nφ as representacoes de Wolfram das regras de transicao dos automatos celulares

pertencentes a Φ′ e Φ, respetivamente.

Na tabela seguinte resumimos as equivalencias dinamicas do conjunto 130, indicando os

conjuntos obtidos por cada uma das tres transformacoes.

Φ Γc(Φ) Γe(Φ) Γce(Φ)

130 190 144 246

Tabela 2.4: Conjuntos de automatos celulares elementares dinamicamente equivalentes a130.

Encontrado o conjunto dos automatos celulares elementares dinamicamente equivalentes,

temos que escolher o seu representante: o criterio, que e habitual seguir-se, passa pela

escolha daquele de entre todos com menor representacao de Wolfram. Procedendo desse

modo, no caso anterior, somos levados a escolher a regra Nφ = 130 como representante da

classe descrita na tabela.

Em apendice, apresentamos uma tabela das regras equivalentes para todos os 256

automatos celulares elementares. Mais interessante, porem, sera listar todos os automatos

celulares elementares dinamicamente nao-equivalentes, pois serao apenas esses que devere-

mos estudar. Na tabela seguinte, sao apresentadas as 88 regras dinamicamente nao equi-

valentes, a partir das respetivas representacoes de Wolfram, que se obtem por uma analise

detalhada do resultado de todas as equivalencias dinamicas apresentadas em apendice.

42

0 1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15

18 19 22 23 24 25 26 27

28 29 30 32 33 34 35 36

37 38 40 41 42 43 44 45

46 50 51 54 56 57 58 60

62 72 73 74 76 77 78 90

94 104 105 106 108 110 122 126

128 130 132 134 136 138 140 142

146 150 152 154 156 160 162 164

168 170 172 178 184 200 204 232

Tabela 2.5: Representacao de Wolfram dos 88 automatos celulares elementares finitos di-namicamente nao-equivalentes.

Tendo apresentado um formalismo para o estudo das equivalencias dinamicas entre

automatos celulares elementares, quaisquer que sejam as condicoes de fronteira escolhidas,

vamos ver de seguida se cada um desses automatos celulares exibe um unico tipo de compor-

tamento, relativamente aos diferentes tipos identificados por Wolfram, quando se escolhem

as condicoes de fronteira apresentadas.

43

Capıtulo 3

As Dinamicas dos AutomatosCelulares Elementares

Tradicionalmente, os automatos celulares elementares sao apresentados a partir da esco-

lha de condicoes de fronteira periodicas. E nesse contexto que sao, muitas vezes, mostrados

exemplos dos diferentes tipos de comportamento que estes modelos discretos muito simples

sao capazes de exibir. De seguida, vamos tentar saber se as dinamicas mais significativas,

em termos estatısticos, que os automatos celulares elementares mostram sao independentes

da escolha efetuada para as condicoes de fronteira. Por outras palavras, fixada uma regra de

transicao φ, vamos comparar as dinamicas que se obtem para as seis diferentes escolhas para

as condicoes de fronteira. Este desafio e proposto antes mesmo de apresentarmos os quatro

tipos distintos de dinamicas identificadas por Wolfram, com o intuito de procurar, nos seis

diagramas espaco-tempo que vao ser mostrados, caraterısticas comuns, sem qualquer ideia

preconcebida.

3.1 Dinamicas para diferentes escolhas da condicao de fron-teira

Nas paginas que se seguem, sao mostrados diagramas espaco-tempo para cada conjunto

de automatos celulares elementares dinamicamente nao-equivalentes, apresentados na Ta-

bela 2.5, considerando as seis escolhas para as condicoes de fronteira. Todos os sistemas sao

compostos por n = 60 celulas e sao mostradas as configuracoes correspondentes aos pri-

meiros 62 instantes de tempo, a partir de uma configuracao inicial escolhida aleatoriamente,

mas a mesma para cada regra de transicao.

44

Nφ = 0

condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao

condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01


Figura 3.1: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 0, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.

45

Nφ = 1





46

Nφ = 2





47

Nφ = 3





48

Nφ = 4





49

Nφ = 5





50

Nφ = 6





51

Nφ = 7





52

Nφ = 8





53

Nφ = 9





54

Nφ = 10





55

Nφ = 11





56

Nφ = 12





57

Nφ = 13





58

Nφ = 14





59

Nφ = 15





60

Nφ = 18





61

Nφ = 19





62

Nφ = 22





63

Nφ = 23





64

Nφ = 24





65

Nφ = 25





66

Nφ = 26





67

Nφ = 27





68

Nφ = 28





69

Nφ = 29





70

Nφ = 30





71

Nφ = 32





72

Nφ = 33





73

Nφ = 34





74

Nφ = 35





75

Nφ = 36





76

Nφ = 37





77

Nφ = 38





78

Nφ = 40





79

Nφ = 41





80

Nφ = 42





81

Nφ = 43





82

Nφ = 44





83

Nφ = 45





84

Nφ = 46





85

Nφ = 50





86

Nφ = 51





87

Nφ = 54





88

Nφ = 56





89

Nφ = 57





90

Nφ = 58





91

Nφ = 60





92

Nφ = 62





93

Nφ = 72





94

Nφ = 73





95

Nφ = 74





96

Nφ = 76





97

Nφ = 77





98

Nφ = 78





99

Nφ = 90





100

Nφ = 94





101

Nφ = 104





102

Nφ = 105





103

Nφ = 106





104

Nφ = 108





105

Nφ = 110





106

Nφ = 122





107

Nφ = 126





108

Nφ = 128





109

Nφ = 130





110

Nφ = 132





111

Nφ = 134





112

Nφ = 136





113

Nφ = 138





114

Nφ = 140





115

Nφ = 142





116

Nφ = 146





117

Nφ = 150





118

Nφ = 152





119

Nφ = 154





120

Nφ = 156





121

Nφ = 160





122

Nφ = 162





123

Nφ = 164





124

Nφ = 168





125

Nφ = 170





126

Nφ = 172




Figura 3.83: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ172 =, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.

127

Nφ = 178





128

Nφ = 184





129

Nφ = 200





130

Nφ = 204





131

Nφ = 232





132

Do nosso ponto de vista, os diagramas anteriores mostram claramente que, para quase todos

os conjuntos de automatos celulares elementares finitos, as dinamicas obtidas a partir de

uma mesma configuracao inicial, apresentam caraterısticas comuns para os seus elementos.

Por outras palavras, fixada uma regra de transicao, os diagramas gerados por cada uma das

dinamicas, correspondentes a diferentes escolhas para as condicoes de fronteira, mostram

padroes muito semelhantes, de tal forma que somos levados a dizer que as dinamicas sao

independentes das condicoes de fronteira, ou seja, que existe um tipo de dinamica que

podemos associar a Φ, sendo irrelevante a condicao de fronteira que se escolha para obter o

diagrama espaco-tempo. Exemplos claros desta conjetura sao os diagramas espaco-tempo

obtidos para Φ = 1, ver a Figura 3.2, para Φ = 18, ver a Figura 3.17, e para Φ = 54,

ver a Figura 3.44. Para todos estes exemplos, parece-nos indiscutıvel que os seis diagramas

espaco-tempo mostram padroes muito semelhantes, podendo cada um deles servir para

representar a dinamica tıpica dos automatos celulares em causa.

No entanto, existem excecoes, isto e, existem regras de transicao φ em que a alteracao

das condicoes de fronteira assumidas para o sistema vai conferir uma variacao a dinamica

do automato celular, podendo mesmo levar o sistema a exibir um comportamento muito

diferente. E sobre essas excecoes que achamos importante analisar as dinamicas encontradas.

Por razoes que serao evidentes, vamos apresentar as excecoes em duas partes distintas.

3.2 As regras de transicao Nφ = 30, Nφ = 45 e Nφ = 106

Atentemos nos diagramas espaco-tempo apresentados para as regras Φ = 30, ver a

Figura 3.27, Φ = 45, ver a Figura 3.40, e Φ = 106, ver a Figura 3.60. Como se pode

observar, para algumas condicoes de fronteira a complicacao ou desordem inicial vai, com o

passar do tempo, dar origem a uma certa simplificacao, isto e, podemos dizer que uma certa

ordem se vai propagando a partir de uma determinada fronteira. Esta alteracao, verificada

na dinamica do automato, seria de certa forma expetavel, ou pelo menos nao nos surpreende,

uma vez que, ao fixar as fronteiras, ou mesmo ao considera-las reflexivas, se esta a impor

uma certa rigidez ao sistema, rigidez essa que julgamos passıvel de alterar as condicoes que

levam o sistema a evidenciar um comportamento complicado.

Naturalmente que a alteracao nos padroes exibidos pelos diagramas espaco-tempo cor-

responde a uma modificacao muito forte nas caraterısticas das dinamicas: para estas regras,

os ciclos de perıodo muito grande das dinamicas observadas com condicoes de fronteira

133

periodicas dao lugar a ciclos de perıodo pequeno, em alguns casos mesmo a ciclos de

perıodo 1, ou seja, a pontos fixos.

Como afirmamos acima, para estas tres regras a complicacao da dinamica para a escolha

de condicoes de fronteira periodicas, correspondente a sistemas fechados, surge fortemente

simplificada quando escolhidas outras condicoes para a fronteira do sistema. Uma vez

que qualquer escolha de condicoes de fronteira, que nao periodicas, conduz efetivamente

a existencia de uma fronteira para o sistema, consideramos natural que isso resulte numa

simplificacao. Contudo, pouco esperadas sao as alteracoes verificadas nas duas seguintes

excecoes, que passamos a estudar.

3.3 As regras de transicao Nφ = 26 e Nφ = 154

Observando os diagramas espaco-tempo correspondentes as dinamicas geradas pelas

regras de transicao Nφ = 26 e Nφ = 154, ver as Figuras 3.23 e 3.76, respetivamente,

constata-se que, para condicoes de fronteira periodicas, essas dinamicas nos mostram uma

certa ordem, uma vez que se observa que o sistema vai acabar por repetir um ciclo de

perıodo pequeno, sendo este rapidamente alcancado. No entanto, quando sao alteradas as

condicoes de fronteira, a situacao, por vezes, altera-se profundamente, uma vez que para

certas escolhas vemos surgir padroes mais complicados. Isto e evidente no caso das condicoes

fixas 00 e 10, ou seja, aquelas que consideram uma celula no estado zero na fronteira direita

do sistema. Ao contrario do que sucedeu para as tres regras de transicao anteriores, neste

caso estamos perante algo bastante bizarro: sao escolhas de condicoes de fronteira fixas

que vao complicar a dinamica que estas regras de transicao exibem para sistemas sujeitos

a condicoes de fronteira periodicas. No final do capıtulo seguinte, iremos detalhar o estudo

dos automatos celulares elementares 2600, 2610, 15400 e 15410, evidenciando algumas das

caraterısticas das suas dinamicas.

134

Capıtulo 4

Classificacao dos AutomatosCelulares Elementares

Desde sempre que nomear e classificar faz parte da condicao humana. Classifica-se de

modo a facilitar a compreensao da grande variedade do mundo que nos rodeia. No entanto,

o processo de classificar nao e nunca uma tarefa facil! Vejamos, de seguida, alguns exemplos

relacionados com areas distintas, que sao alvo de estudo pela comunidade cientıfica.

Qualquer taxinomia devera ser entendida como uma classificacao que se baseia em cara-

terısticas consideradas fundamentais dispensando, sempre que possıvel, as acessorias. Para

tal, utilizam-se criterios e identifica-se entre as caraterısticas fundamentais uma determinada

hierarquia. Das varias tentativas de classificacao dos seres vivos, a primeira e unanimemente

atribuıda a Aristoteles, com a criacao de dois grandes grupos: Animalia e Plantae. Esta

primeira distincao teve por base a mobilidade e o tipo de nutricao dos seres vivos: as plan-

tas sao imoveis e produzem o seu proprio alimento e os animais apresentam capacidade

de locomocao e capturam as suas presas. Para alem disso, Aristoteles classificou centenas

de especies animais de acordo com o tipo de reproducao, agrupando-os ainda em ”animais

com sangue e animais sem sangue”; quanto as plantas, um seu discıpulo, Teofrasto, criou

diversos grupos, sendo um dos criterios o tamanho, repartindo-as por ”arvores, arbustos,

subarbustos e ervas”, tendo tambem sugerido a divisao entre ”plantas com flores e plantas

sem flores”. Muitos anos mais tarde, outros criterios foram aplicados, tais como o tipo de

locomocao ou o ambiente onde vivem, levando ainda assim a que animais com muito poucas

semelhancas fossem agrupados na mesma categoria. No seculo dezoito, o naturalista sueco

Carolus Linnaeus, apresentou uma classificacao hierarquica, na qual se baseia a atual, sendo

a especie, um grupo de organismos que acasalam na natureza e cujos descendentes sao

ferteis, a unidade de classificacao, e definindo o reino como a categoria mais abrangente.

135

Curiosamente, ao propor a existencia de dois reinos, Animalia e Plantae, Linnaeus respei-

tou a classificacao aristotelica. No caso dos animais, Linnaeus baseou-se na sua aparencia

externa; quanto aos vegetais, utilizou as caraterısticas sexuais recentemente descobertas

nestes. Algumas decadas depois, sobretudo a partir dos trabalhos de Charles Darwin, com

a teoria da evolucao, as classificacoes procuraram agrupar os seres vivos tendo em conta

o estabelecimento de relacoes de parentesco evolutivo entre os mesmos, ou seja, todas as

especies atuais, ou mesmo as que ja se encontram extintas, surgiram de outras, adquirindo

novas caraterısticas e perdendo outras, de acordo com a adaptacao aos diversos ambientes

ao longo da historia do planeta Terra. Assim, as especies nao mais foram consideradas

como grupos estaticos de seres vivos. Mas os problemas da taxionomia nao se restringiram

somente ao nıvel das especies.

Ao longo dos tempos, o numero de reinos propostos tem sofrido algumas variacoes: ja

se considerou existirem somente dois reinos, mas ja se chegou a preconizar a existencia

de ate treze reinos. Atualmente, e quase consensual uma divisao em cinco reinos, pro-

posta, em 1969, por Robert Whittaker: Animalia, Plantae, Fungi, Monera e Protista. Para

a sua classificacao, este biologo norte-americano considerou tres criterios: o nıvel de or-

ganizacao celular, o modo de nutricao e a interacao com os ecossistemas. Quanto aos

grupos taxinomicos utilizados na classificacao sistematica dos seres vivos, e hoje aceite uma

hierarquia composta por Reino, Filo, Ordem, Classe e Genero.

Por fim, mais recentemente, o microbiologista Carl R. Woese sugeriu uma classificacao

dos reinos em tres grandes domınios, de acordo com a analise do RNA1 ribossomico en-

contrado em todos os seres vivos: Archaea, Bacteria e Eucarya. Contudo, esta distincao

primordial nao tem tido a concordancia de todos. Percebemos, deste modo, que existirao

sempre problemas relacionados com a classificacao dos seres vivos e que este objetivo sera

sempre alvo de novos desenvolvimentos e descobertas, impulsionados pela necessidade e/ou

curiosidade do Homem e tambem pelos avancos a nıvel tecnologico que sao postos a sua

disposicao.

Na area da antropologia, tambem se tem observado que a classificacao e uma necessidade

inerente a quem pretende estudar os varios sistemas locais, culturais e sociais. Citando

Jared Diamond2, do seu livro O mundo ate ontem, publicado em 2013, acerca da tarefa de

1Acido ribonucleico (a molecula que participa na producao dos ribossomos que por sua vez atuam nasıntese das proteınas).

2Cientista, zoologo de formacao, vencedor do premio Pulitzer e praticante de uma area a que o propriodesigna por ”biogeografia”, em que tenta explicar a evolucao das sociedades atraves de condicionantesbiologicas e evolutivas.

136

classificar a diversidade existente entre as sociedades tradicionais:

”Embora cada sociedade humana seja unica, existem tambem padroes transversais que

permitem algumas generalizacoes. Especificamente, temos tendencias interligadas em

pelo menos quatro aspetos das sociedades: dimensao da populacao, subsistencia,

centralizacao polıtica e estratificacao social. (. . . ) Tais correlacoes entre os diferentes

aspetos de uma sociedade nao sao rıgidas. No entanto, precisamos de algo que nos

ajude a identificar os diversos tipos de sociedades que surgem destas tendencias mais

vastas, ao mesmo tempo que reconhecemos as diversidades no meio dessas tendencias.

(. . . ) e vantajoso adotar categorias de referencia cujas imperfeicoes compreendemos”.

Tambem aqui, voltamos a ter a ideia de que a tarefa de reduzir a diversidade de um grande

numero de situacoes nunca e pacıfica, ou seja, quase sempre existirao dificuldades em qual-

quer tentativa de classificacao. Por curiosidade, gostarıamos de acrescentar que Diamond,

no mesmo trabalho, refere tambem que alguns cientistas se servem de numerosas catego-

rias de referencia alternativas para descrever a variacao entre as sociedades tradicionais,

contrariamente a outros que se indignam pelo facto de se usar sequer categorias.

De seguida, permitindo-nos a algum paralelismo, podemos referir que, embora cada

automato celular seja unico, como e evidente, existem caraterısticas comuns, tais como,

os padroes gerados nos diagrama espaco-tempo (embora de diversos tipos, apresentando

ordem ou desordem) ou mesmo a existencia de ciclos (alguns de perıodo 1 ou relativamente

pequeno e outros de perıodo extremamente elevado). As distincoes baseadas numa destas

caraterısticas poderao servir para agrupar os automatos celulares em diferentes classes e

reduzir a enorme diversidade de situacoes. Essas correlacoes entre os automatos celulares nao

sao rıgidas e, por isso, e natural esperar diferencas entre os automatos celulares pertencentes

a uma mesma classe. Contudo, e util adotar classes de referencia, reconhecendo sempre a

existencia de possıveis imperfeicoes e excecoes.

Stephen Wolfram teve o merito de, na decada de 1980, ser o primeiro a chamar a

atencao para algo muito inesperado: existem automatos celulares que, com as suas regras

de transicao extremamente simples, exibem dinamicas que nao sao, de modo algum, simples.

Wolfram apelidou de elementares aos mais simples dentre eles.

Baseando-se na observacao dos padroes espaco-tempo gerados pela evolucao temporal

de automatos celulares, Wolfram julgou ser possıvel identificar alguns, poucos, tipos de

dinamicas que poderiam ser associados a cada uma das regras, isto e, que tipicamente cada

137

automato celular apresentaria. E assim que e proposta uma classificacao qualitativa para

os automatos celulares elementares, distribuindo-os em quatro classes. Desde entao, outras

classificacoes tem sido propostas, algumas delas pequenas variacoes da apresentada por

Wolfram, como a classificacao de Li e Packard, mas outras muito diferentes, uma vez que

resultantes de olhar os automatos celulares num contexto diferente. Neste trabalho vamos

considerar apenas a classificacao de Wolfram, nao exatamente a original, mas aquela que

dela resultou, a partir dos trabalhos realizados desde entao.

4.1 A classificacao de Wolfram

Como o proprio reconhece, a classificacao dos automatos celulares elementares, proposta

por Wolfram, em 1984, teve como inspiracao a Teoria dos Sistemas Dinamicos contınuos

onde, para la de pontos fixos e orbitas periodicas, tinha sido ja identificada a possibilidade de

uma dinamica determinista exibir um comportamento caotico. A partir da simulacao de um

grande numero de automatos celulares, Wolfram vai sugerir entao que muitos, talvez todos3,

automatos celulares exibem dinamicas tıpicas classificaveis num numero muito reduzido

de classes: sendo as tres primeiras analogas as dinamicas identificadas pela Teoria dos

Sistemas Dinamicos contınuos, verifica-se contudo a necessidade de introduzir uma quarta,

pois algumas das dinamicas observadas nao se enquadravam exatamente em nenhuma dessas

tres classes4.

Antes de continuarmos, achamos conveniente fazer alguns comentarios: no seu trabalho,

Wolfram diz claramente que, no inıcio, todos os sistemas finitos foram construıdos com

escolha de condicoes de fronteira periodicas. Logo, quando e apresentada a classificacao

das dinamicas, a partir de configuracoes iniciais aleatorias, esta implıcito que e para essa

famılia de automatos celulares finitos. Acontece que, na literatura consultada, os autores

assumem a classificacao de Wolfram sem referir que esse resultado teve por base simulacoes

de sistemas finitos com uma das possıveis escolhas para as condicoes de fronteira, parecendo

com isso aceitar que as dinamicas tıpicas dos automatos celulares elementares nao dependem

dessa escolha. Como mostramos no capıtulo anterior, isso nao e verdade para todos os

automatos celulares elementares.

3Mais tarde, em Two-dimensional Cellular Automata, publicado logo em 1985, Wolfram vai estudar demodo analogo automatos celulares no plano, e sugerir que a classificacao apresentada a partir do estudode automatos celulares unidimensionais, ultrapassa esse ambito, conjeturando entao a sua validade paraquaisquer automatos celulares.

4Daı que as classes nao estejam ordenadas pela complexidade das dinamicas.

138

Na tabela seguinte, e mostrada a distribuicao pelas quatro classes dos 88 automatos ce-

lulares elementares dinamicamente nao equivalentes, com condicoes de fronteira periodicas.

Esta informacao foi obtida a partir da mais recente versao do sistema Wolfram Alpha, de

que Stephen Wolfram e responsavel.

Classe I

0p 8p 32p 40p 128p 136p 160p 168p

Classe II

1p 2p 3p 4p 5p 6p 7p 9p

10p 11p 12p 13p 14p 15p 19p 23p

24p 25p 26p 27p 28p 29p 33p 34p

35p 36p 37p 38p 42p 43p 44p 46p

50p 51p 56p 57p 58p 62p 72p 73p

74p 76p 77p 78p 94p 104p 108p 130p

132p 134p 138p 140p 142p 152p 154p 156p

162p 164p 170p 172p 178p 184p 200p 204p

232p

Classe III

18p 22p 30p 45p 60p 90p 105p 122p

126p 146p 150p

Classe IV

41p 54p 106p 110p

Tabela 4.1: Classificacao de Wolfram dos 88 automatos celulares elementares, com condicoesde fronteira periodicas, dinamicamente nao equivalentes.

De seguida, vamos apresentar a descricao habitualmente aceite para as caraterısticas dos

automatos celulares elementares correspondentes a cada uma das classes, nao sem antes

mostrar diagramas espaco-tempo tıpicos das dinamicas exibidas por cada um deles. Pre-

tendemos dessa forma evidenciar a diversidade de dinamicas que coexiste em algumas das

classes. Para sermos coerentes com a tabela acima, todos os diagramas foram obtidos com

condicoes de fronteira periodicas para os automatos celulares.

139

4.1.1 Classe I

Consideremos os automatos celulares elementares pertencentes a Classe I e, para uma

mesma configuracao inicial, aleatoriamente escolhida, vejamos o que nos mostra cada um

dos diagramas espaco-temporais, para sistemas com n = 40 celulas.

Φα = 0p Φα = 8p

Φα = 32p Φα = 40p

Φα = 128p Φα = 136p

Φα = 160p Φα = 168p

Figura 4.1: Diagramas espaco-tempo para os oito automatos celulares elementares perten-centes a Classe I, durante dez instantes de tempo, a partir de uma mesma configuracaoinicial, para sistemas com n = 40 elementos e escolha de condicoes de fronteira periodicas.

Os diagramas espaco-tempo apresentados na figura anterior ilustram claramente a ca-

raterıstica comum a todas as dinamicas: escolhida aleatoriamente uma configuracao inicial

para o sistema, o seu estado final e um ponto fixo com as celulas apresentando um mesmo

estado, neste caso, o estado zero. No entanto, como veremos de seguida, nao e a existencia

deste ponto fixo que e importante.

140

Habitualmente, as configuracoes cujas celulas se apresentam todas num mesmo estado

dizem-se homogeneas. Como facilmente se reconhece, para os automatos celulares ele-

mentares existem duas configuracoes homogeneas, que passaremos a denotar por C0 e C1,

correspondentes a todas as celulas assumirem o estado zero e o estado um, respetivamente5.

Ora, quando consideramos condicoes de fronteira periodicas para o sistema, verifica-se que

a regra de transicao local para todas as celulas de C0 e C1 apresenta exatamente o mesmo

valor, φ(0, 0, 0) e φ(1, 1, 1), respetivamente. Deste modo, podemos concluir que a confi-

guracao que se segue a uma configuracao homogenea, qualquer que ela seja, e necessaria-

mente uma configuracao homogenea, sendo esta C0 ou C1, de acordo com os dıgitos d0 e

d7 da representacao de Wolfram da regra de transicao. De facto, facilmente se reconhece a

validade do seguinte resultado.

Lema 4.1 Seja Φp um automato celular elementar cuja regra de transicao tem representacao

de Wolfram N(φ) = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2. Entao, temos que:

d0 = 0, d7 = 0 =⇒ Φp(C0) = C0 ∧ Φp(C1) = C0

d0 = 0, d7 = 1 =⇒ Φp(C0) = C0 ∧ Φp(C1) = C1

d0 = 1, d7 = 0 =⇒ Φp(C0) = C1 ∧ Φp(C1) = C0

d0 = 1, d7 = 1 =⇒ Φp(C0) = C1 ∧ Φp(C1) = C1

O resultado acima pode ser descrito da seguinte forma: se d0 = 0 e d7 = 0, entao C0 e um

ponto fixo do sistema e C1 esta na sua bacia de atracao; se d0 = 0 e d7 = 1, entao ambas

as configuracoes homogeneas sao pontos fixos do sistema; se d0 = 1 e d7 = 0, entao as

configuracoes C0 e C1 formam um ciclo limite de perıodo dois; por fim, se d0 = 1 e d7 = 1,

entao C1 e um ponto fixo do sistema e C0 esta na sua bacia de atracao. E importante fazer

notar que as dinamicas das configuracoes homogeneas acima enunciadas existem para todos

os automatos celulares elementares e nao apenas para aqueles pertencentes a Classe I. Aquilo

que vai distinguir as oito regras de transicao tabeladas como pertencentes a primeira das

classes de Wolfram e a forma como cresce a bacia de atracao do unico ponto fixo homogeneo,

ou as bacias dos dois pontos fixos homogeneos, ou a bacia do ciclo limite formado por

ambas as configuracoes homogeneas: se denotarmos por Bh o conjunto das configuracoes

do sistema cuja evolucao temporal passa por uma configuracao homogenea, por #Bh o

numero dessas configuracoes e por %Bh o tamanho relativo de #Bh, considerando o numero

total de configuracoes do sistema, podemos escrever que a caraterıstica comum as regras

5Para nao complicar a notacao, nao e habitual explicitar o numero de elementos da configuracao, devendotal numero ser evidente pelo contexto.

141

de transicao pertencentes a Classe I e que o tamanho relativo das configuracoes do sistema

que acabam por chegar a uma configuracao homogenea cresce para 1, com o numero de

elementos do sistema, isto e,

limn→∞

%Bh = 1.

Por curiosidade, apresentamos na tabela seguinte os valores de #Bh e %Bh, estes ultimos

dados em percentagem, para um automato celular pertencente a Classe I e para um outro

que nao pertence.

n #Bh(168p) %Bh(168p) #Bh(1p) %Bh(1p)

6 47 73.44 40 62.50

7 100 78.12 72 56.25

8 210 82.03 132 51.56

9 437 85.35 242 47.26

10 902 88.08 444 43.36

11 1 850 90.33 816 39.84

12 3 775 92.16 1 500 36.62

13 7 672 93.65 2 758 33.67

14 15 542 94.86 5 072 30.96

15 31 405 95.84 9 328 28.47

16 63 330 96.63 1 7156 26.18

17 127 502 97.28 31 554 24.07

18 256 367 97.80 58 036 22.14

19 514 940 98.22 106 744 20.36

20 1 033 450 98.56 196 332 18.72

21 2 072 677 98.83 361 110 17.22

22 4 154 702 99.06 664 184 15.84

23 8 324 507 99.24 1 221 624 14.56

24 16 673 007 99.38 2 246 916 13.39

Tabela 4.2: Valores de #Bh e %Bh, este ultimo em percentagem, para diferentes valores donumero de celulas do sistema, para o automato celular elementar Φα = 168p, pertencentea Classe I de Wolfram, e para o automato celular elementar Φα = 1p, que nao pertence.

E interessante perceber que, para o automato celular elementar Φα = 1p, a bacia de atracao

do ciclo limite formado por ambas as configuracoes homogeneas tambem cresce com n, so

que esse crescimento nao e suficiente, o que leva a que os valores para o tamanho relativo

da bacia de atracao %Bh se mostrem decrescentes com n, daı que Φα = 1p nao esteja

incluıdo na Classe I.

142

Como e possıvel verificar, para todos os oito automatos celulares elementares perten-

centes a Classe I de Wolfram uma ou ambas as configuracoes homogeneas sao pontos fixos.

Essa circunstancia levou a que, no artigo original de Wolfram, e mesmo durante algum tempo

mais6, esta primeira classe fosse referida como a dos automatos celulares cujas dinamicas, a

partir de uma configuracao aleatoriamente escolhida, tivessem como estado final um ponto

fixo homogeneo. So mais tarde foi possıvel encontrar um automato celular, ja nao elemen-

tar, mas ainda com condicoes de fronteira periodicas, cujo estado assintotico e, para quase

todas as configuracoes iniciais, o ciclo composto por ambas as configuracoes homogeneas.

4.1.2 Classe II

Consideremos as 65 regras pertencentes a Classe II, ver Tabela 4.1. Tal como anterior-

mente, vamos escolher uma mesma configuracao inicial, aleatoriamente escolhida, e calcu-

lar a evolucao temporal dos sistemas. Vejamos o que nos mostra cada um dos diagramas

espaco-temporais.

Φα = 1p Φα = 2p

Φα = 3p Φα = 4p

Figura 4.2: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe II, para 20 ins-tantes de tempo, com escolha de condicoes de fronteira periodicas.

6Veja-se, por exemplo, o artigo de K. Sutner, Computational Classification of Cellular Automata, publicadoem 2012.

143

Φα = 5p Φα = 6p

Φα = 7p Φα = 9p

Φα = 10p Φα = 11p

Φα = 12p Φα = 13p


144

Φα = 14p Φα = 15p

Φα = 19p Φα = 23p

Φα = 24p Φα = 25p

Φα = 26p Φα = 27p

Φα = 28p Φα = 29p


145

Φα = 33p Φα = 34p

Φα = 35p Φα = 36p

Φα = 37p Φα = 38p

Φα = 42p Φα = 43p


146

Φα = 44p Φα = 46p

Φα = 50p Φα = 51p

Φα = 56p Φα = 57p

Φα = 58p Φα = 62p


147

Φα = 72p Φα = 73p

Φα = 74p Φα = 76p

Φα = 77p Φα = 78p

Φα = 94p Φα = 104p


148

Φα = 108p Φα = 130p

Φα = 132p Φα = 134p

Φα = 138p Φα = 140p

Φα = 142p Φα = 152p


149

Φα = 154p Φα = 156p

Φα = 162p Φα = 164p

Φα = 170p Φα = 172p

Φα = 178p Φα = 184p


150

Φα = 200p Φα = 204p

Φα = 232p

Figura 4.10: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe II, para 20instantes de tempo, com escolha de condicoes de fronteira periodicas. (cont.)

Olhando para os diagramas espaco-tempo caraterısticos das regras pertencentes a esta

classe, constata-se que existem dois tipos bem distintos de dinamicas: aquelas cujos ci-

clos limite tem perıodos diretamente relacionados com o numero de elementos do sistema,

quando os diagramas mostram um deslocamento, para a esquerda ou para a direita, de uma

certa configuracao ou conjunto de configuracoes, e as restantes, onde nao existe qualquer

deslocamento, sendo entao o perıodo dos seus ciclos limite bastante pequeno. Em qualquer

dos casos, as dinamicas exibem uma ordem muito significativa.

4.1.3 Classe III

Para visualizar, em diagramas espaco-tempo, as caraterısticas principais das dinamicas

exibidas pelos automatos celulares elementares pertencentes a Classe III, e preferıvel escolher

sistemas com um numero de celulas superior ao anteriormente considerado. De seguida,

vamos considerar sistemas com n = 80 elementos e apresentar diagramas espaco-tempo da

evolucao a partir de uma configuracao inicial aleatoriamente escolhida, para 250 instantes

de tempo.

151

Φα = 18p Φα = 22p

Figura 4.11: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe III, para 250instantes de tempo, escolhendo condicoes de fronteira periodicas.

152

Φα = 30p Φα = 45p

Figura 4.12: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a classe III, para 250instantes de tempo, escolhendo condicoes de fronteira periodicas. (cont)

153

Φα = 60p Φα = 90p

Figura 4.13: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe III, para 250instantes de tempo, escolhendo condicoes de fronteira periodicas. (cont.)

154

Φα = 105p Φα = 122p


155

Φα = 126p Φα = 146p


156

Φα = 150p


157

A partir dos diagramas espaco-tempo apresentados, facilmente se conclui ser a desordem a

caraterıstica fundamental comum a estes 11 automatos celulares. Ao inves das dinamicas

das duas classes anteriores, torna-se difıcil identificar qualquer ciclo, ou mesmo qualquer

tendencia para o sistema se organizar7. Muito pelo contrario, parece evidente que os sistemas

rapidamente atingem um certo regime desordenado, mantendo-o de uma forma consistente,

isto e, com as mesmas caraterısticas, durante os 250 instantes de tempo.

4.1.4 Classe IV

Esta e a classe onde Wolfram agrupou os automatos celulares elementares cujas dinamicas

nao se enquadravam naquilo que era conhecido no contexto da iteracao de funcoes no in-

tervalo. Basta efetuar algumas simulacoes para perceber que este tipo de dinamica e uma

propriedade emergente, quando se consideram valores crescentes para o seu numero de

elementos. Por outras palavras, a complexidade exibida por estes sistemas so e patente

quando consideramos um numero elevado de elementos. De certa forma, podemos dizer

que se trata de um tipo de dinamica exclusiva de sistemas com um grande numero de

elementos em interacao.

Os diagramas espaco-tempo que vamos apresentar de seguida foram novamente obtidos

para sistemas com n = 80 celulas, durante 250 instantes de tempo. Pensamos que estes

valores sao ja suficientes para termos uma ideia das caraterısticas principais deste tipo de

dinamica.

7Nos diagramas espaco-tempo apresentados, devido ao numero de celulas do sistema nao ser muitogrande, e possıvel identificar que para os automatos celulares 90p,105p e 150p o sistema ainda consegueatingir o ciclo final.

158

Φα = 41p Φα = 54p

Figura 4.17: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe IV, para 250instantes de tempo, escolhendo condicoes de fronteira periodicas.

159

Φα = 106p Φα = 110p

Figura 4.18: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe IV, para 250instantes de tempo, escolhendo condicoes de fronteira periodicas. (cont.)

160

A partir dos quatro diagramas apresentados, e possıvel estabelecer que os automatos perten-

centes a esta Classe IV exibem dinamicas caraterizadas por estruturas localmente complexas,

evoluindo com um elevado grau de imprevisibilidade, ora propagando-se e perdurando por

perıodos longos de tempo, ora gerando ou destruindo outras estruturas, num fundo muito

ordenado. De facto, sendo verdade que, globalmente, estas dinamicas nao apresentam qual-

quer regularidade, e evidente que, por alguns instantes de tempo, e para certas regioes do

sistema, e possıvel encontrar padroes proprios da Classe II.

4.1.5 Outras caraterizacoes da classificacao de Wolfram

As caraterısticas atras apresentadas para cada uma das classes da classificacao de Wol-

fram refletem o modo como se procurou analisar os diferentes comportamentos de automatos

celulares elementares, com condicoes de fronteira periodicas. Posteriormente, foram feitos

outros estudos que confirmaram a existencia de quatro classes, identificando outras cara-

terısticas para cada classe. De seguida vamos apresentar algumas dessas outras carate-

rizacoes das quatro classes de Wolfram.

Em 1986, Kunihiko Kaneko estudou as dinamicas dos automatos celulares elementares

finitos, com condicoes de fronteira periodicas, determinando o modo como o numero de

atratores e os respetivos perıodos variavam com n, o numero de elementos do sistema. Os

resultados obtidos levaram-no a propor a seguinte caraterizacao das classes de Wolfram:

• os automatos celulares pertencentes a Classe I tem um numero pequeno de atratores,

sempre de pequeno perıodo, mesmo para valores elevados de n;

• os automatos celulares pertencentes a Classe II tem um numero grande de atratores,

mas sempre de pequeno perıodo; o numero de atratores cresce exponencialmente com

n, i.e., exp(αn), com α tipicamente entre 0.2 e 0.4;

• os automatos celulares pertencentes a Classe III tem um numero pequeno de atratores,

de perıodos muito longos; o numero de atratores nao parece variar de uma forma

regular com n e, pelo menos para certas regras, parece depender de caraterısticas do

numero n; por exemplo, e possıvel mostrar que a regra 90 tem um unico atrator, a

configuracao homogenea C0, quando n = 2k, para k um inteiro positivo;

• os automatos celulares pertencentes a Classe IV tem um numero grande de atratores,

muito possivelmente com perıodos grandes; embora de forma nao muito regular, o

161

crescimento do numero de atratores com n aparenta ser igualmente de tipo exponen-

cial, tal como na Classe II.

Pelos argumentos expostos anteriormente, no Capıtulo 2, aquando da apresentacao dos dia-

gramas de Wuensche, facilmente se percebe a debilidade desta caraterizacao das dinamicas:

parte-se do princıpio que a variacao do numero de atratores e seus perıodos, observada para

valores muito pequenos de n, e generalizavel para valores muito superiores do numero de

elementos do sistema. Recordemos que conhecer com todo o detalhe a dinamica de um

sistema com apenas n = 100 celulas implica o conhecimento da dinamica de

1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376

configuracoes do sistema. Para regras de transicao nao triviais, esse estudo revela-se com-

putacionalmente muito difıcil.

Uma outra abordagem, nos antıpodas desta, passa pelo estudo da dinamica, nao de

todo o sistema, mas de um seu elemento, arbitrariamente escolhido8. A questao que se

coloca entao e a de saber se sera possıvel caraterizar as diferentes dinamicas classificadas

por Wolfram a partir da sequencia de estados, zeros e uns, que um elemento do sistema

sente com o passar do tempo. Olhando para os diagramas espaco-tempo apresentados para

os diferentes automatos celulares, pensamos ser possıvel uma descricao desse tipo.

Dado um sistema com um numero suficientemente grande de elementos, consideremos a

sequencia de estados de um desses elementos, para um intervalo de tempo suficientemente

grande, logo apos um numero suficientemente grande de instantes de tempo9.

• estaremos perante um automato celular pertencente a Classe I se a sequencia de

estados e constante, sendo igual para qualquer escolha de elementos do sistema;

• estaremos perante um automato celular pertencente a Classe II se a sequencia de es-

tados e constante ou periodica, sendo que no primeiro caso nao e igual para diferentes

escolhas para o elemento do sistema;

• estaremos perante um automato celular pertencente a Classe III se a sequencia de

estados nao e periodica;

8Este tipo de estudo difere de forma substancial do anterior, na medida em que aquele e feito por alguemde fora do sistema, acima do sistema, que, em todo o instante, consegue abarcar a totalidade dos estadosdos seus elementos, enquanto este se baseia na descricao de dentro do sistema, de alguem que regista, emcada instante, o estado em que se encontra.

9As indefinicoes sao inevitaveis, uma vez que estes dois parametros dependem do numero de elementosdo sistema.

162

• estaremos perante um automato celular pertencente a Classe IV se a sequencia de

estados e periodica durante certos intervalos de tempo, sendo esse regime interrompido

de forma nao regular.

Esta caraterizacao das dinamicas pertencentes as quatro classes definidas por Wolfram tem

um ponto fraco logo no inıcio, quando, para distinguir as primeiras duas classes, se exige

que se alargue o estudo a outros elementos do sistema, caso a sequencia de estados seja

constante, ficando sempre em aberto se o numero de elementos escolhidos foi suficiente para

declarar uma dinamica como sendo de Classe I. Por outro lado, uma sequencia de estados

pode-se revelar como nao periodica, ainda que para um automato celular pertencente a

Classe II, caso nao se tenha esperado o tempo necessario para deixar o sistema entrar

no regime regular que carateriza essas dinamicas. Por outras palavras, podera ser difıcil

perceber se estamos perante uma sequencia de estados reveladora de um automato celular

pertencente a Classe III, ou se tal acontece porque nao esperamos o tempo necessario para

que o sistema alcancasse o regime periodico que lhe e natural.

4.2 Uma outra classificacao

A classificacao de Wolfram das dinamicas exibidas por automatos celulares elementares

tem em si duas afirmacoes muito distintas: a primeira diz-nos que todas as dinamicas de

automatos celulares elementares podem ser catalogadas em apenas quatro tipos, facilmente

caraterizaveis; segundo, que as dinamicas tıpicas, isto e, provaveis perante uma escolha

aleatoria de uma configuracao inicial, de um automato celular, pertencem unicamente a um

desses tipos. Estes sao, na nossa opiniao, os pilares que sustentam a proposta de Wolfram

para as dinamicas exibidas por automatos celulares elementares.

Se atentarmos nos diagramas espaco-tempo, mostrados no Capıtulo 3, para cada uma

das escolhas de condicoes de fronteira, facilmente se conclui ser impossıvel generalizar a

classificacao de Wolfram para automatos celulares elementares finitos, qualquer que seja a

escolha de condicoes de fronteira. De facto, e evidente que muitos dos automatos celulares

pertencentes a Classe II, quando escolhidas condicoes de fronteira periodicas, mostram uma

configuracao homogenea, ponto fixo, como estado final da sua dinamica perante outras

escolhas: sao os casos das regras de transicao Nφ = 2, Nφ = 6, Nφ = 10, Nφ = 14,

Nφ = 24, Nφ = 34, Nφ = 38, Nφ = 42, Nφ = 46, Nφ = 56, Nφ = 130, Nφ = 134,

Nφ = 138, Nφ = 142, Nφ = 152, Nφ = 162, Nφ = 170 e Nφ = 184. Outras, como as

163

regras de transicao Nφ = 3, Nφ = 11, Nφ = 15, Nφ = 27 e Nφ = 43, tem como estado

final da sua dinamina um ciclo constituıdo por ambas as configuracoes homogeneas, quando

escolhidas outras condicoes de fronteira. Reciprocamente, existe uma regra de transicao,

Nφ = 40, pertencente a Classe I, quando escolhidas condicoes de fronteira periodicas, que

nao tem ja necessariamente um estado homogeneo como estado final, quando escolhidas

outras condicoes de fronteira. Como e obvio, isto nao significa que outras regras de transicao

pertencentes as Classe I e Classe II, para condicoes de fronteira periodicas, nao mostrem

outro tipo de dinamica perante uma escolha diferente de condicoes de fronteira. Estas sao

apenas as situacoes que e possıvel identificar a partir dos diagramas apresentados.

Valorizando a possibilidade de classificar as dinamicas que um automato celular elemen-

tar finito, qualquer que seja a escolha para as condicoes de fronteira10, pensamos ser valido

propor uma classificacao alternativa a introduzida por Wolfram. Assim sendo, propomos

que sejam consideradas tres classes, a Classe I & II, a Classe III e a Classe IV, descritas da

seguinte forma: para um sistema com um numero suficientemente grande de elementos e

considerando um intervalo de tempo suficientemente grande, logo apos um numero suficien-

temente grande de instantes de tempo, a partir de uma configuracao inicial aleatoriamente

escolhida, temos que:

• estaremos perante um automato celular pertencente a Classe I & II se a sequencia de

estados de um elemento arbitrario do sistema e constante ou periodica;

• estaremos perante um automato celular pertencente a Classe III se a sequencia de

estados de um elemento arbitrario nao e periodica;

• estaremos perante um automato celular pertencente a Classe IV se a sequencia de

estados de um elemento arbitrario e periodica durante certos intervalos de tempo,

sendo esse regime interrompido de forma nao regular.

Como facilmente se percebe, esta caraterizacao das tres classes agora propostas consegue

resolver o primeiro dos problemas anteriormente identificados, ficando, no entanto, ainda

por resolver a segunda das dificuldades.

Devera ser obvio agora, que a forma como, no Capıtulo 3, olhamos para os diagramas

espaco-tempo, tinha ja em mente esta nova classificacao. De facto, quando na altura dis-

semos que existiam apenas cinco regras de transicao cujas dinamicas exibiam caraterısticas

10Relativamente ao conjunto de condicoes consideradas neste trabalho.

164

muito diferentes, perante escolhas diferentes para as condicoes de fronteira, estavamos a

distinguir apenas tres tipos de dinamicas: ordenadas, caoticas, ou complexas, a que corres-

pondem as classes atras descritas. Dessa forma, podemos concluir que dos 88 conjuntos

de automatos celulares, apenas cinco nao sao passıveis de serem enquadrados na nossa

classificacao. Eis de seguida, a tabela da distribuicao dos conjuntos de automatos celulares

elementares finitos pelas tres classes.

Classe I & II

0 1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15

19 23 24 25 27 28 29 32

33 34 35 36 37 38 40 42

43 44 46 50 51 56 57 58

62 72 73 74 76 77 78 94

104 108 128 130 132 134 136 138

140 142 152 156 160 162 164 168

170 172 178 184 200 204 232

Classe III

18 22 60 90 105 122 126 146

150

Classe IV

41 54 110

Tabela 4.3: Classificacao de 83 conjuntos de automatos celulares elementares.

Como se ve facilmente, esta nossa proposta para distinguir conjuntos de automatos celulares

elementares finitos tem um serio problema: embora poucos, existem conjuntos de automatos

celulares relativamente aos quais nao e possıvel decidir a que classe pertencem. Como vimos,

no Capıtulo 3, os diagramas espaco-tempo mostram claramente que estamos perante regras

de transicao que se revelam extremamente sensıveis a escolha das condicoes de fronteira,

no sentido em que as dinamicas exibidas pelos automatos celulares sao completamente

diferentes. Contudo, para perceber se estas excecoes devem ser integradas em classes a

165

definir, pensamos ser necessario sair do contexto dos automatos celulares elementares, quer

considerando um maior numero de vizinhos, quer mesmo estudando automatos celulares

bidimensionais. Um pouco a margem do objetivo deste trabalho, avaliar da possibilidade

de classificar os automatos celulares elementares finitos, nao importando a escolha para as

condicoes de fronteira, pareceu-nos importante estudar com mais algum detalhe duas das

regras de transicao que levaram a dinamicas completamente distintas como consequencia

de diferentes escolhas para as condicoes de fronteira do sistema.

4.3 Os automatos celulares 2600, 2610, 15400 e 15410

No final do Capıtulo 3, quando apresentamos as cinco excecoes a ideia que conjuntos de

automatos celulares elementares finitos exibiam dinamicas do mesmo tipo, fizemos algumas

consideracoes sobre o carater extraordinario de duas dessas excecoes. Nesta ultima seccao,

iremos desenvolver um pouco mais a analise anterior, estudando os automatos celulares

2600, 2610, 15400 e 15410.

Desde o inıcio, existiram poucas duvidas relativamente a classificacao dos automatos

celulares elementares finitos, com condicoes de fronteira periodicas, com dinamica descrita

pelas regras de transicao Nφ = 26 e Nφ = 154: em ambos os casos, estamos inequivo-

camente perante automatos celulares pertencentes a Classe II de Wolfram. Na realidade,

estamos perante dinamicas que fazem deslocar padroes de configuracoes ao longo do sis-

tema, pelo que o perıodo do ciclo final e, para a maioria das configuracoes iniciais escolhidas,

multiplo do numero de elementos do sistema. Quanto ao transiente, isto e, ao numero de

instantes que o sistema demora a atingir o atrator, este revela valores extremamente baixos,

como e caraterıstico das dinamicas pertencentes a esta classe.

Consideremos o automato celular 2600, composto por n = 200 elementos11. A partir

de uma configuracao inicial aleatoriamente escolhida, vamos representar em tres diagramas

espaco-tempo a dinamica exibida pelo sistema nos 900 primeiros instantes de tempo.

11Este parece ser o valor mais elevado de n que ainda permite apreciar diagramas espaco-tempo. Deseguida, iremos tentar caraterizar a dinamica de sistemas com um numero muito superior de elementos, masja nao a partir de diagramas espaco-tempo.

166

Figura 4.19: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2600, para 900 instantes detempo, a partir de uma configuracao inicial aleatoriamente escolhida. (parte 1/3)

167


168


169

Olhando para o primeiro destes diagramas espaco-tempo, e visıvel que a dinamica cara-

terıstica deste sistema vai ser construıda a partir da sua fronteira direita. De facto, nos

primeiros instantes, aproximadamente igual ao numero de celulas do sistema, vemos o sis-

tema evoluir, a partir da sua fronteira direita, para um regime inteiramente caraterizado

por padroes triangulares. Aquilo que se observa, depois de alcancado esse regime, e algo

que podemos ainda adjetivar como simples, muito embora seja visıvel que por vezes o sis-

tema exiba um conjunto menos simples de padroes triangulares mais pequenos; veja-se, por

exemplo, a regiao do diagrama espaco-tempo por volta do instante 500.

A nossa intencao, ao mostrar diagramas espaco-tempo para um numero tao elevado

de instantes sucessivos, e sobretudo para evidenciar a existencia de uma complexificacao

crescente da dinamica. Por outras palavras, pensamos ser evidente que, no terceiro dos

diagramas, a regiao correspondente a dinamica entre os instantes 601 e 900 e um pouco

mais complexa que aquela que e possıvel observar antes. Aceitando essa complexificacao da

dinamica, a questao se coloca e a de saber quais as caraterısticas da dinamica para a qual o

sistema evolui. Para tentar responder a essa questao, vamos apresentar, de seguida, um di-

agrama espaco-tempo correspondente a 300 instantes, 64 300 instantes apos a configuracao

inicial.

170

Figura 4.22: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2600, para 300 instantes detempo, 64 300 instantes de tempo apos a configuracao inicial.

171

Olhando para este diagrama espaco-tempo, sao evidentes as semelhancas com alguns dos

diagramas espaco-tempo correspondentes a automatos celulares elementares, com condicoes

de fronteira periodicas, classificados como pertencentes a Classe III de Wolfram; veja-se, por

exemplo, ambos os diagramas da Figura 4.15. Assim sendo, tudo indicaria que o sistema

estivesse a evoluir, de forma progressiva, para uma dinamica com as caraterısticas daquelas

ja classificadas numa das classes de Wolfram. Muito embora essa conclusao fosse ja muito

interessante, a simples mudanca de condicoes de fronteira ter levado um automato a mudar

da classe correspondente a dinamicas simples, para aquela onde se encontram as dinamicas

mais complicadas, o nosso estudo do automato celular elementar 2600 havia ainda de revelar

uma muito maior surpresa.

Ainda para um sistema composto por n = 200 celulas, cuja evolucao temporal e deter-

minada pela regra de transicao Nφ = 26, escolhidas condicoes de fronteira fixas 00, vejamos

o que se passa logo a seguir ao instante onde terminou o diagrama espaco-tempo anterior,

isto e, observemos, nos seis proximos diagramas, a representacao grafica da dinamica do

sistema durante 1 800 instantes de tempo, 64 600 instantes apos a configuracao inicial.

172

Figura 4.23: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2600, para 1 800 instantes detempo, 64 600 instantes de tempo apos a configuracao inicial. (parte 1/6)

173


174


175


176


177


178

Dos seis diagramas espaco-tempo apresentados, os tres primeiros pretendem apenas re-

forcar a ideia anterior, que, nesta altura, o sistema evolui num regime em tudo identico as

dinamicas pertencentes a Classe III. De facto, a grande surpresa surge apenas no quarto

dos diagramas, quando, de forma absolutamente inesperada, e possıvel ver que o sistema

vai sofrer uma mudanca extraordinariamente radical: nesse instante, quase todos os ele-

mentos do sistema assumem um mesmo estado, ou seja, o sistema vai, num determinado

instante, exibir uma simplicidade e ordem quase completas, quando apenas cinco, das du-

zentas, celulas nao assumem o estado zero. Aquilo que se passa apos esse instante e em tudo

analogo ao que tınhamos observado no inıcio quando, apos alguns instantes, o sistema mos-

trou padroes triangulares com alguma ordem. Os dois diagramas seguintes mostram entao

aquela tendencia gradual para a complexidade, anteriormente identificada. Visto isto, qual

sera a melhor forma de descrever o comportamento exibido pelo automato celular elementar

2600?

Tal como a dinamica dos automatos celulares elementares, com condicoes de fronteira

periodicas, classificados por Wolfram na Classe IV, tambem aqui estamos perante compor-

tamentos que mostram elementos de dois tipos de dinamicas: observando os diagramas

espaco-tempo apresentados, nao restam duvidas que a evolucao temporal do sistema passa

por regimes ordenados e desordenados. Assim sendo, tudo indicaria que estarıamos perante

um automato celular classificavel como pertencente a Classe IV. Contudo, essa seria uma

decisao bastante precipitada, senao vejamos.

Uma dinamica pertencente a Classe IV e caraterizada por mostrar partes do sistema, a

grande maioria, num regime ordenado, estando a desordem confinada a pequenas regioes

do sistema. Aquilo que acontece e que, com o passar do tempo, as regioes com desordem

vao movimentar-se e, eventualmente, levar quase todos os elementos do sistema a passar

por esse regime. Ora, aquilo que os diagramas espaco-tempo anteriores nos revela e uma

dinamica completamente diferente: todo o sistema esta tipicamente num regime desorde-

nado, passando, em determinados instantes, por uma modificacao radical, muito semelhante

a uma mudanca de fase, do seu estado, enquanto sistema. Por isso, achamos estarmos pe-

rante um comportamento que, tal como as dinamicas pertencentes a Classe IV, tambem

nao pertencente a nenhuma das Classe II ou Classe III, mas que nao se pode dizer que seja

semelhante a qualquer das dinamicas pertencentes a Classe IV. Para acentuar esse aspeto,

vamos estudar a evolucao temporal do numero de celulas do sistema num determinado

estado, por exemplo, no estado um.

179

Para sistemas com n = 6 000 elementos, consideremos a sua evolucao temporal a partir

de uma configuracao inicial aleatoriamente escolhida. As figuras seguintes mostram-nos,

para diferentes automatos celulares elementares, como varia o numero relativo de celulas do

sistema que se encontra no estado um, ou seja, a densidade de celulas do sistema que, em

cada instante, assume o estado um.

Φα = 90p

0 50 100 150 200 250 300

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 4.29: Variacao da densidade de celulas no estado 1, para o automato celular Φα,com n = 6 000 elementos, para 300 instantes, 12 000 instantes apos a configuracao inicial.

Como sabemos, este automato celular pertence a Classe III de Wolfram, sendo visıvel que,

em virtude de toda a desordem que carateriza a sua dinamica, o numero de celulas no

estado um varia pouco em redor de um determinado valor, neste caso 0.5. Vejamos agora

que evolucao temporal se observa para uma dinamica pertencente a Classe II de Wolfram.

Φα = 1p

0 50 100 150 200 250 300

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Neste caso, estamos perante uma dinamica que percorre um ciclo de perıodo 2, pelo que o

grafico mostra uma variacao entre os dois valores do numero de celulas no estado um em

180

cada uma das configuracoes. Por fim, atentemos no grafico que se obtem quando se estuda

uma dinamica pertencente a Classe IV.

Φα = 54p

0 50 100 150 200 250 300

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


E muito curioso observar que, neste caso, vemos os valores da densidade de celulas do

sistema no estado um quase a oscilar entre certos (quatro) valores, sendo as perturbacoes

a essa variacao periodica devidas as pequenas regioes de desordem do sistema. Vejamos

agora, nas mesmas circunstancias, o que se obtem para o automato celular Φα = 2600.

Φα = 2600

0 50 100 150 200 250 300

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Antes mesmo de analisar o grafico, e inevitavel a comparacao com os tres anteriores: tudo

indica estarmos perante uma dinamica completamente distinta de qualquer uma das outras,

cada uma delas pertencente a uma das classes de Wolfram.

181

A variacao, ao longo tempo, do numero relativo de celulas do sistema no estado um vem

reforcar as caraterısticas deste tipo de dinamica anteriormente descritas: estamos perante

uma dinamica complexa, daı a irregularidade, com grandes perıodos onde essa complexidade

tem uma tendencia para crescer, quebrada por subitas transicoes para configuracoes com

grandes regioes de celulas no estado zero, chegando mesmo, em certos instantes, a passar por

configuracoes muito proximas da configuracao homogenea nula, com valores da densidade

muito proximos de zero.

Consideremos um sistema composto por n = 6 000 elementos, cuja dinamica e deter-

minada pela regra de transicao Nφ = 154, escolhidas condicoes de fronteira fixas nulas, a

partir de uma configuracao inicial escolhida aleatoriamente. Vejamos o que se obtem quando

estudamos a variacao do numero relativo de celulas do sistema no estado um, muito tempo

apos o inıcio do processo.

Φα = 15400

0 50 100 150 200 250 300

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Comparando os dois ultimos graficos, parece-nos razoavel concluir aquilo que os diagramas

espaco-tempo apresentados nas Figura 3.23 e Figura 3.76, obtidos para sistemas com um

numero muito inferior de celulas, ja tinham sugerido: estamos perante automatos celulares

com dinamicas de caraterısticas muito semelhantes. Por fim, vejamos o que acontece quando

repetimos todo este estudo para os automatos celulares 2610 e 15410.

Olhemos de novo os diagramas espaco-tempo das Figura 3.23 e Figura 3.76: escolhidas

condicoes de fronteira fixas 10, tudo indica estarmos, em ambos os casos, perante dinamicas

com as caraterısticas exibidas pelos automatos celulares 2600 e 15400. Vejamos entao o

que nos revela o estudo da variacao do numero relativo de celulas do sistema no estado um,

182

quando consideramos sistemas com um numero muito superior de elementos.

Φα = 2610

0 50 100 150 200 250 300

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Φα = 15410

0 50 100 150 200 250 300

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Os resultados sao surpreendentes: nao so porque sao completamente distintos dos observa-

dos para os automatos celulares 2600 e 15400, mas tambem porque nos mostram variacoes

semelhantes as obtidas para dinamicas classificadas como de Classe III de Wolfram. Como

e obvio, estes resultados levaram-nos a procurar mais detalhes destas dinamicas, a partir da

sua representacao grafica.

Consideremos o automato celular 2610, composto por n = 200 elementos. A partir

de uma configuracao inicial aleatoriamente escolhida, vamos apresentar em tres diagramas

espaco-tempo a dinamica exibida pelo sistema em 900 instantes, 12 000 instantes apos a

configuracao inicial.

183

Figura 4.35: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2610, para 900 instantes detempo, 12 000 instantes de tempo apos a configuracao inicial. (parte 1/3)

184


185


186

Como e obvio, os tres diagramas anteriores sao apenas um exemplo da dinamica deste tipo

de sistema. Contudo, todos os casos por nos estudados, quer muito mais tempo apos a

configuracao inicial, quer durante um numero muito superior de instantes, revelam uma

dinamica com caraterısticas analogas as exibidas nestes diagramas. Podemos assim concluir

que a dinamica exibida pelo automato celular 2610 deve ser classificada como pertencendo

a Classe III de Wolfram.

Para termos uma visao de conjunto, vamos de seguida mostrar os graficos da variacao

do numero relativo de celulas no estado um, para sistemas com n = 6 000 elementos,

cuja evolucao temporal e determinada pela regra de transicao Nφ = 26, escolhidas as seis

diferentes condicoes de fronteira por nos consideradas.

Φα = 26p

0 50 100 150 200

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Φα = 26r

0 50 100 150 200

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


187

Φα = 2600

0 50 100 150 200

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Φα = 2601

0 50 100 150 200

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Φα = 2610

0 50 100 150 200

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 4.39: Variacao da densidade de celulas no estado 1, para o automato celular Φα,com n = 6 000 elementos, para 200 instantes, 12 000 instantes apos a configuracao inicial.(cont.)

188

Φα = 2611

0 50 100 150 200

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 4.40: Variacao da densidade de celulas no estado 1, para o automato celular Φα,com n = 6 000 elementos, para 200 instantes, 12 000 instantes apos a configuracao inicial.(cont.)

Os graficos obtidos para os automatos 2601 e 2611 correspondem a ciclos finais cujas

configuracoes tem valores muito proximos para o numero relativo de celulas do sistema no

estado um, variacao essa que nao e percetıvel.

Concluindo, e possıvel observar tres tipos de dinamicas assintoticas completamente dis-

tintas para a regra de transicao Nφ = 26: ordenadas, com ciclos de perıodo muito pequeno,

quando escolhemos condicoes de fronteira periodicas, reflexivas, fixas 01 e fixas 11; desor-

denadas, quando escolhemos condicoes de fronteira fixas 10 e, finalmente, complexas, mas

com caraterısticas distintas das classificadas na Classe IV de Wolfram, quando escolhemos

condicoes de fronteira fixas 00.

De seguida, vamos apresentar os resultados obtidos quando foi feito o mesmo tipo de

estudo para os tres automatos celulares elementares 154p, 15400 e 15410, uma vez que

os restantes mostram dinamicas triviais, com dinamicas assintoticas iguais a configuracao

homogenea C1 ou a configuracao com todas as celulas no estado um, exceto a da esquerda,

ver Figura 3.76.

189

Φα = 154p

0 50 100 150 200

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Φα = 15400

0 50 100 150 200

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Φα = 15410

0 50 100 150 200

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


190

Como podemos observar, tambem a regra de transicao Nφ = 154 permite comportamen-

tos muito diferentes para um sistema, consoante a escolha de condicoes de fronteira. Na

realidade, podemos ate dizer que, neste caso, ate dinamicas tıpicas da Classe I de Wolfram

podem ser exibidas, por escolha adequada das condicoes de fronteira. Sem qualquer duvida,

estamos perante duas regras de transicao de uma complexidade nunca suspeitada.

191

Capıtulo 5

Conclusoes

Pensar os automatos celulares como modelos de evolucao temporal de redes de elementos

em interacao implica ve-los como sistemas finitos. Ora, essa constatacao levanta, desde logo,

dois problemas: o primeiro surge pela necessidade de escolher condicoes de fronteira para

os sistemas e o segundo pela dificuldade em estabelecer resultados sobre as dinamicas de

um automato celular que sejam independentes do numero de elementos escolhidos.

Relativamente a este ultimo, podemos dizer que, hoje em dia, se aceita que as cara-

terısticas dinamicas que um automato celular exibe para valores suficientemente grandes do

numero de elementos sao generalizaveis para qualquer outro, por muito maior que seja esse

numero. No entanto, nao deixa de ser curioso que se aceite esta generalizacao, quando

se sabe, desde os primeiros trabalhos de Wolfram, que podem existir excecoes, ou seja,

que sistemas com um determinado numero de elementos podem exibir dinamicas muito

diferentes.

Neste trabalho apresentamos uma analise das equivalencias dinamicas entre automatos

celulares elementares finitos relativamente a tres tipos de condicoes de fronteira: periodicas,

reflexivas e fixas. Com base nesse estudo, conclui-se que existem 6×88 automatos celulares

elementares dinamicamente nao equivalentes. Analisando as dinamicas apresentadas por

cada regra de transicao, para todas as seis condicoes de fronteira consideradas, e colocado

em evidencia que e possıvel classifica-las, caso nao se distinga entre dinamicas com com-

portamento simples, isto e, caso se considere apenas tres classes. Para nao nos afastarmos

muito da proposta de Wolfram, designamos as tres classes por Classe I & II, Classe III

e Classe IV, correspondentes, respetivamente, a comportamentos simples, comportamentos

desordenados e comportamentos complexos. Contudo, nem todas as regras de transicao sao

passıveis de classificacao. Por outras palavras, cinco regras de transicao exibem dinamicas

192

com caraterısticas muito distintas, dependendo da escolha das condicoes de fronteira para

o sistema. Apesar destas excecoes, pensamos que o estudo de outra famılia de regras

de transicao podera ajudar a decidir se e valido este proposito de classificar as regras de

transicao.

No estudo das regras de transicao que nao sao classificaveis, encontramos duas que

mostraram dinamicas extremamente interessantes. Primeiro, colocamos em evidencia que o

automato celular elementar finito 15400 tem um comportamento desordenado, que contrasta

com a evolucao temporal simples do automato celular elementar finito 154p. Mas, muito

para alem dessa contradicao, o nosso estudo permite-nos tambem concluir que o automato

celular elementar finito 2600 tem uma evolucao temporal, a partir de uma configuracao

inicial aleatoriamente escolhida, nunca referida na literatura. Trata-se de uma dinamica

complexa, que contrasta em absoluto com aquela caraterıstica da Classe IV de Wolfram, onde

a complexidade se traduz por perıodos de auto-organizacao do sistema ate uma configuracao

quase homogenea nula para, logo de seguida, evoluir para configuracoes cada vez mais

desordenadas, ate surgir, de forma nao esperada, um novo perıodo de auto-organizacao.

193

Bibliografia

I. Aguiar e R. Severino, Two elementary cellular automata with complex dynamics,

(a submeter)

K. Culik II e S. Yu, Undecidability of CA classification schemes,

Complex Systems 2 (1988) 177-190.

J. Diamond, O Mundo ate Ontem (2013) Temas & Debates – Cırculo de Leitores

J. Freitas, Modelos de Evolucao Temporal , Tese de Mestrado, Universidade do Minho, 2010

J. Freitas e R. Severino, 2D elementary cellular automata with four neighbors,

International Journal of Bifurcation and Chaos 23(4) (2013)

R. Flores, Medidas de Complexidade em Automatos Celulares no Plano, Tese de Mestrado,

Universidade do Minho, 2012

A. Ilachinski, Cellular Automata: A Discrete Universe (2001) World Scientific.

S. Inokuchi, On behaviors of cellular automata with rule 156 (1998)

M. Gardner, Mathematical games, Scientific American, 224 (1971) 112.

K. Kaneko, Collapse of Tori and Genesis of Chaos in Dissipative Systems (1986)

World Scientific.

J. Kari, Theory of cellular automata: a survey ,

Theoretical Computer Science 334 (2005) 3-33.

G. J. Martınez, A note on elementary cellular automata classification,

J. Cellular Automata, 8(3-4) (2013) 233-259.

N. Packard e S. Wolfram, Two-dimensional cellular automata,

J. Statistical Physics 38 (1985) 901-946.

194

T. Sato, On behaviors of cellular automata with rule 58 under the boundary condition 0-1

(2006)

J. Sousa Ramos e C. Manchein, Da complexidade da Natureza a complexidade da

Matematica (2000) (revisto por L. Camargo Martins)

D. Struik, Historia Concisa das Matematicas, (1992), Gradiva.

J. von Neumann, Theory of Self-Reproducing Automata, (1966) University of Illinois Press

(editado and completado por A. Burks).

S. Wolfram, Cellular automata as simple self-organizing systems, (1982)

Institute for Advanced Study, Princeton.

S. Wolfram, Universality and complexity in cellular automata,

Physica, 10D (1984) 1-35.

S. Wolfram, Computation theory of cellular automata,

Commun. Math. Phys., 96 (1984) 15-57.

S. Wolfram, Cellular automata as models of complexity ,

Nature, 311 (1984) 419-424.

S. Wolfram, A New Kind of Science (2002) Wolfram Media.

N. Wiener, Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine,

(1948) MIT Press.

A. Wuensche e M. Lesser, The Global Dynamics of Cellular Automata, (1992)

Santa Fe Institute Studies in the Science of Complexity, Addison-Wesley.

www.sobiologia.com.br

educar.sc.usp.br/ciencias/seres vivos

195

Apendice

Tendo em conta as transformacoes de simetria que e possıvel definir nas configuracoes

de um sistema booleano finito, com as celulas dispostas ao longo de uma linha, nem todos os

automatos celulares elementares sao dinamicamente distintos. De seguida, sao apresentadas

as equivalencias entre conjuntos de automatos celulares elementares, para cada uma das 256

possibilidades.

∼c ∼e ∼e ◦ ∼c0 255 0 255

1 127 1 127

2 191 16 247

3 63 17 119

4 223 4 223

5 95 5 95

6 159 20 215

7 31 21 87

8 239 64 253

9 111 65 125

10 175 80 245

11 47 81 117

12 207 68 221

13 79 69 93

14 143 84 213

15 15 85 85

16 247 2 191

17 119 3 63

18 183 18 183

19 55 19 55

∼c ∼e ∼e ◦ ∼c20 215 6 159

21 87 7 31

22 151 22 151

23 23 23 23

24 231 66 189

25 103 67 61

26 167 82 181

27 39 83 53

28 199 70 157

29 71 71 29

30 135 86 149

31 7 87 21

32 251 32 251

33 123 33 123

34 187 48 243

35 59 49 115

36 219 36 219

37 91 37 91

38 155 52 211

39 27 53 83

Tabela 5.1: Conjuntos equivalentes por conjugacao, por simetria especular e pela com-posicao de ambas.

196

∼c ∼e ∼e ◦ ∼c40 235 96 249

41 107 97 121

42 171 112 241

43 43 113 113

44 203 100 217

45 75 101 89

46 139 116 209

47 11 117 81

48 243 34 187

49 115 35 59

50 179 50 179

51 51 51 51

52 211 38 155

53 83 39 27

54 147 54 147

55 19 55 19

56 227 98 185

57 99 99 57

58 163 114 177

59 35 115 49

60 195 102 153

61 67 103 25

62 131 118 145

63 3 119 17

64 253 8 239

65 125 9 111

66 189 24 231

67 61 25 103

68 221 12 207

69 93 13 79

70 157 28 199

71 29 29 71

72 237 72 237

73 109 73 109

74 173 88 229

∼c ∼e ∼e ◦ ∼c75 45 89 101

76 205 76 205

77 77 77 77

78 141 92 197

79 13 93 69

80 245 10 175

81 117 11 47

82 181 26 167

83 53 27 39

84 213 14 143

85 85 15 15

86 149 30 135

87 21 31 7

88 229 74 173

89 101 75 45

90 165 90 165

91 37 91 37

92 197 78 141

93 69 79 13

94 133 94 133

95 5 95 5

96 249 40 235

97 121 41 107

98 185 56 227

99 57 57 99

100 217 44 203

101 89 45 75

102 153 60 195

103 25 61 67

104 233 104 233

105 105 105 105

106 169 120 225

107 41 121 97

108 201 108 201

109 73 109 73

Tabela 5.2: Conjuntos equivalentes por conjugacao, por simetria especular e pela com-posicao de ambas (continuacao).

197

∼c ∼e ∼e ◦ ∼c110 137 124 193

111 9 125 65

112 241 42 171

113 113 43 43

114 177 58 163

115 49 59 35

116 209 46 139

117 81 47 11

118 145 62 131

119 17 63 3

120 225 106 169

121 97 107 41

122 161 122 161

123 33 123 33

124 193 110 137

125 65 111 9

126 129 126 129

127 1 127 1

128 254 128 254

129 126 129 126

130 190 144 246

131 62 145 118

132 222 132 222

133 94 133 94

134 158 148 214

135 30 149 86

136 238 192 252

137 110 193 124

138 174 208 244

139 46 209 116

140 206 196 220

141 78 197 92

142 142 212 212

143 14 213 84

144 246 130 190

∼c ∼e ∼e ◦ ∼c145 118 131 62

146 182 146 182

147 54 147 54

148 214 134 158

149 86 135 30

150 150 150 150

151 22 151 22

152 230 194 188

153 102 195 60

154 166 210 180

155 38 211 52

156 198 198 156

157 70 199 28

158 134 214 148

159 6 215 20

160 250 160 250

161 122 161 122

162 186 176 242

163 58 177 114

164 218 164 218

165 90 165 90

166 154 180 210

167 26 181 82

168 234 224 248

169 106 225 120

170 170 240 240

171 42 241 112

172 202 228 216

173 74 229 88

174 138 244 208

175 10 245 80

176 242 162 186

177 114 163 58

178 178 178 178

179 50 179 50

Tabela 5.3: Conjuntos equivalentes por conjugacao, por simetra especular e pela composicaode ambas (continuacao).

198

∼c ∼e ∼e ◦ ∼c180 210 166 154

181 82 167 26

182 146 182 146

183 18 183 18

184 226 226 184

185 98 227 56

186 162 242 176

187 34 243 48

188 194 230 152

189 66 231 24

190 130 246 144

191 2 247 16

192 252 136 238

193 124 137 110

194 188 152 230

195 60 153 102

196 220 140 206

197 92 141 78

198 156 156 198

199 28 157 70

200 236 200 236

201 108 201 108

202 172 216 228

203 44 217 100

204 204 204 204

205 76 205 76

206 140 220 196

207 12 221 68

208 244 138 174

209 116 139 46

210 180 154 166

211 52 155 38

212 212 142 142

213 84 143 14

214 148 158 134

215 20 159 6

216 228 202 172

217 100 203 44

∼c ∼e ∼e ◦ ∼c218 164 218 164

219 36 219 36

220 196 206 140

221 68 207 12

222 132 222 132

223 4 223 4

224 248 168 234

225 120 169 106

226 184 184 226

227 56 185 98

228 216 172 202

229 88 173 74

230 152 188 194

231 24 189 66

232 232 232 232

233 104 233 104

234 168 248 224

235 40 249 96

236 200 236 200

237 72 237 72

238 136 252 192

239 8 253 64

240 240 170 170

241 112 171 42

242 176 186 162

243 48 187 34

244 208 174 138

245 80 175 10

246 144 190 130

247 16 191 2

248 224 234 168

249 96 235 40

250 160 250 160

251 32 251 32

252 192 238 136

253 64 239 8

254 128 254 128

255 0 255 0

Tabela 5.4: Conjuntos equivalentes por conjugacao, por simetria especular e pela com-posicao de ambas (fim).

199

Isabel Maria Maciel de Aguiar - repositorium.sdum.uminho.pt · Doutor Ricardo José Mendes Severino...

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