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Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 1 Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction (2) Professeur Patrick VAUDON Université de Limoges - France
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Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 1
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction
(2)
Professeur Patrick VAUDON
Université de Limoges - France
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 2
Un exemple plus complexe:
un dipôle au dessus d’un demi-planProblème : comment rayonne un dipôle situé à une hauteur h au-dessus
d’un demi-plan de masse infini et parfaitement conducteur ?
dipôle
h
r
La résolution directe par les équations de MAXWELL est très difficile à cause des conditions aux limites imposées par le plan de masse.
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 3
Dipôle sur un demi-plan
dipôle
h
r P
Le champ au point d’observation P peut se calculer par une méthode de rayon en sommant un rayon incident et un rayon réfléchi.
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 4
Dipôle sur un demi-plan
dipôle
h
PLe champ au point d’observation P, calculé par une méthode optique, est nul.
Ce résultat est manifestement faux : expliquer et illustrer (avec différents types d’ondes)
Comment peut-on essayer d’obtenir un résultat correct par une méthode de rayons?
Si on place le point d’observation derrière le demi-plan :
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 5
Dipôle sur un demi-plan
dipôle
h
P
Le champ ne peut être calculé que si on est capable de définir un rayon diffracté.
Le calcul est trop complexe avec un dipôle.
Par contre, il est possible avec une onde plane qui tombe sur le demi-plan
Si on place le point d’observation derrière le demi-plan :
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 6
Théorie géométrique de la diffraction
Définition : La Théorie géométrique de la diffraction peut être considérée comme le prolongement de l’optique géométrique qui prend en compte des rayons
diffractés
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 7
Théorie géométrique de la diffraction
Définition : La Théorie géométrique de la diffraction peut être considérée comme le prolongement de l’optique géométrique qui prend en compte des rayons
diffractés
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 8
Théorie géométrique de la diffraction
La recherche des rayons qui parviennent de la source au point d’observation
Obstacle 1
Obstacle 2
Point d’observation
Source
Rayons : -----Directs -----Réfléchis -----Diffractés
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 9
Théorie géométrique de la diffraction
La cohérence de la théorie est basée sur trois postulats :
1 – La diffraction est un phénomène local aux hautes fréquences
2 – Les rayons diffractés obéissent au principe de FERMAT
3 – Les rayons diffractés obéissent aux lois de l’optique géométrique
rayon incident
M
Q
P
Cône de rayons
diffractés
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 10
Théorie géométrique de la diffractionExemple de rayons pour un demi-plan illuminé par une onde plane
Demi-plan parfaitement conducteur
Rayons incidentsRayons réfléchis
Rayons diffractés
Pour pouvoir calculer le champ total entourant l’arête du demi-plan par une méthode optique, il faut connaître les caractéristiques du rayon diffracté.
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 11
Théorie géométrique de la diffractionDiffraction d’une onde plane par un demi-plan
Description du problèmey
x
P
0
iE
z
cosjk0
i e e E)P(E 0
Onde plane incidente :
- Comment est le champ magnétique ?
- Vérifier que la relation ci-dessus caractérise une onde plane incidente dans la direction 0
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 12
Théorie géométrique de la diffractionDiffraction d’une onde plane par un demi-plan
Description du problèmey
x
P
0
iE
z
cosjk0
r e e E)P(E 0
Champ réfléchi au point P :
-Vérifier que la relation ci-dessus caractérise le champ réfléchi au point P pour une onde plane incidente dans la direction 0
- Vérifier les conditions aux limites sur le plan de masse
0
0cos
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 13
Théorie géométrique de la diffractionDiffraction d’une onde plane par un demi-plan
y
x
P
0
iE
Il reste à définir le comportement du rayon diffracté : on utilise la solution de SOMMERFELD
jk020cosjk0
jk020cosjk0Total
e 2
cosk2K2
cosSgne 2
cosY
e 2
cosk2K2
cosSgne 2
cosYE
0
0
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 14
Théorie géométrique de la diffractionDiffraction d’une onde plane par un demi-plan
On identifie dans la solution de SOMMERFELD (avec E0 = 1)
Le champ incident :
Le champ réfléchi :
0cosjk0i e 2
cosYE
0cosjk0r e 2
cosYE
Et un terme que l’on associe au champ diffracté :
jk020
jk020
rd
idd
e 2
cosk2K2
cosSgn
e 2
cosk2K2
cosSgn
EEE
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 15
Théorie géométrique de la diffractionDiffraction d’une onde plane par un demi-plan
K_(x) est une fonction spéciale définie à partir de l’intégrale de FRESNEL :
x
jjx dee j
)x(K22
Il s’agit d’une fonction complexe d’une variable réelle :
-0.20
-0.10
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Partie réelle de K_(x)
Partie imaginaire de K_(x)
x
Propriété importante :
K_(0) = 1/2
Exercice : Développer la fonction K_ en partie réelle et partie imaginaire
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 16
Théorie géométrique de la diffractionDifférentes zones pour un demi-plan illuminé par une onde plane
Région 1
Région 2
Région 3
Champ total
=
Champ incident
+
Champ réfléchi
+
Champ diffracté
Champ total
=
Champ incident
+
Champ diffracté
Champ total
=
Champ diffracté
ii EU
ii HU
en polarisation électrique
en polarisation magnétique
)P(U)P(UY)P(UY)P(U drrii
Y : échelon unité
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 17
Théorie géométrique de la diffractionOn peut calculer le champ total qui entoure un demi-plan illuminé
par une onde plane à l’aide d’une méthode de rayons.
-60.00
-50.00
-40.00
-30.00
-20.00
-10.00
0.00
10.00
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
dB
Degrés
Polarisation électrique – angle d’incidence 0 = 30° - Distance de l’arête : = 5.
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 18
Théorie géométrique de la diffractionOn peut calculer le champ total qui entoure un demi-plan illuminé
par une onde plane à l’aide d’une méthode de rayons.
-60.00
-50.00
-40.00
-30.00
-20.00
-10.00
0.00
10.00
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
dB
Degrés
Polarisation électrique – angle d’incidence 0 = 120° - Distance de l’arête : = 5.
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 19
Théorie géométrique de la diffraction
Comparaison du champ total autour de l’arête
d’un demi-plan
angle d’incidence 0 = 30° - Distance de l’arête : = 5.
-25.00
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
dB
Degrés
-60.00
-50.00
-40.00
-30.00
-20.00
-10.00
0.00
10.00
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
dB
Degrés
Polarisation magnétique
Polarisation électrique
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 20
Théorie géométrique de la diffraction
Comparaison du champ total autour de l’arête
d’un demi-plan
angle d’incidence 0 = 120° - Distance de l’arête : =
5.
Polarisation magnétique
Polarisation électrique
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
dB
Degrés
-60.00
-50.00
-40.00
-30.00
-20.00
-10.00
0.00
10.00
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
dB
Degrés
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 21
Théorie géométrique de la diffractionExemple de vérification
-60.00
-50.00
-40.00
-30.00
-20.00
-10.00
0.00
10.00
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
dB
Degrés
Polarisation électrique – angle d’incidence 0 = 30° - Distance de l’arête : = 5.
Pourquoi le champ total est-il nul en ce point :
= 5 , = 90°
Pourquoi le champ total est-il maximum en ce
point : = 5 , = 65°
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 22
Théorie géométrique de la diffractionExemple de vérification
P
= 5
0 = 30°
d1
d2
Différence de marche : d = d1 – d2 = 5
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