Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 1

Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction

Professeur Patrick VAUDON

Université de Limoges - France

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Théorie géométrique de la diffraction

Définition : Méthode de calcul dite asymptotique, c’est à dire d’autant plus exacte que la fréquence est plus élevée.

Concrètement : il s’agit de méthodes de calcul du champ électromagnétique, intermédiaires entre les méthodes à formulation rigoureuses et les méthodes optiques.

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Les besoins de calculs du champ électromagnétique

-Diagramme de rayonnement des antennes.

- Analyse du canal de propagation.

- Calculs de surface équivalente radar.

- Calculs des niveaux des parasites électromagnétiques (compatibilité EM)

- IEMN, MPF, guerre électronique, etc …..

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Les méthodes de calcul du champ électromagnétique

- Les méthodes exactes (Solutions exactes des équations de MAXWELL) (Solutions peu nombreuses)

- Les méthodes rigoureuses à formulation numérique (Discrétisation des équations de MAXWELL) (Volume de calcul limité)

- Les méthodes asymptotiques (TGD, Optique physique) (Méthodes approchées)

Ce sont les seules méthodes utilisables pour traiter des objets dont les dimensions sont grandes devant la longueur d’onde.

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Exemple de calcul avec un dipôle

- Dipôle : fil dont la longueur est très inférieure à la longueur d’onde

- Diagramme de rayonnement en espace libre :

F( ) = |sin( )| avec une symétrie de révolution autour du fil

- Champ électrique rayonné à grande distance :

Ur

esinEE

jkr

0

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Exemple de calcul avec un dipôleDiagramme de rayonnement en espace libre

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

10

5 10 15 2025

3035

404550

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130135

140145

150155

160165170175180

185190195200205

210215

220225

230

235

240

245

250

255

260

265

270

275

280

285

290

295

300

305

310315

320325

330335

340345350 355

x

Z

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Exemple de calcul avec un dipôle

Problème : comment rayonne un dipôle situé à une hauteur h au-dessus d’un plan de masse infini et parfaitement conducteur ?

dipôle

h

r

La résolution directe par les équations de MAXWELL est difficile à cause des conditions aux limites imposées par le plan de masse.

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Exemple de calcul avec un dipôle

On va utiliser une méthode d’optique géométrique

dipôle

h

r

Rayon direct :

P

Ur

esinEE

jkr

0d

Rayon réfléchi ?

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Exemple de calcul avec un dipôle

dipôle

h

r

Rayon réfléchi :

P

avec

d

Ur

esinEE

drjk

0r

d = 2h cos( )

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Exemple de calcul avec un dipôleChamp total rayonné par le dipôle au-dessus du plan de mase

dipôle

h

r

Ur

esinEU

r

esinEEEE

drjk

0

jkr

0rd

Ue1r

esinEE cosjkh2

jkr

0

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Exemple de calcul avec un dipôleChamp total rayonné par le dipôle au-dessus du plan de masse

Ue1r

esinEE cosjkh2

jkr

0

))cos(khcos(e2eeee1 cosjkhcosjkhcosjkhcosjkhcosjkh2

Ur

e))cos(khcos(sinE2E

)cos(hrjk

0

Diagramme de rayonnement du dipôle au-dessus du plan de masse

))cos(khcos(sinF

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Exemple de calcul avec un dipôleChamp total rayonné par le dipôle au-dessus du plan de masse

))cos(khcos(sinF

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

h=0.1 h=0.5 h=0.75

h= h=1.25 h=1.5

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Exemple de calcul avec un dipôleExpliquer pourquoi, pour h = , le rayonnement est sensiblement nul dans la

direction = 75°

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

dipôle

h=

r P

r1

r2

(r1+r2) – r = k /2

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L’optique géométrique

Toutes les sources ne rayonnent pas de manière sphérique comme dans l’exemple précédent : exemple : lampe de poche,

laser …..

L’optique géométrique précise comment évolue le champ électromagnétique lorsqu’on se déplace le long d’un rayon.

On montre que d’un point de vue théorique, l’optique géométrique est une solution asymptotique des équations de

MAXWELL lorsque la fréquence tend vers l’infini.

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L’optique géométriqueThéorie scalaire

Notion de front d’onde et de rayon

Rayons

=

Direction de

Propagation

De l’énergie

Front d’onde

=

Surface équiphase

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L’optique géométriqueThéorie scalaire

d2

2

1

d1

rayon axial

rayon paraxial

P2

P1

Un tube de rayons transporte une énergie constante

P1 . d1 = P2 . d2

avec

2EP

2

E12 . d1 = E2

2 . d2

soit

12

12 E

dd

E

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L’optique géométriqueThéorie scalaire

d2

d1 O2

O1

1

2

1 + R

2 + R

On montre que les surfaces infinitésimales sont liées par la relation

21

2

21

1

RRdd

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L’optique géométriqueThéorie scalaire

d2

d1 O2

O1

1

2

1 + R

2 + R

On en déduit la relation qui relie ponctuellement l’amplitude du champ :

121

212 E

RRE

Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 19

L’optique géométriqueThéorie scalaire

d2

d1 O2

O1

1

2

1 + R

2 + R

Quelques cas particuliers

121

212 E

RRE

 - 1 = 2 = onde plane 

- 1 ou 2 = onde cylindrique

- 1 = 2 finis onde sphérique

- 1 , 2 finis quelconques onde

astigmate

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L’optique géométriqueThéorie vectorielle

Définition d’une base vectorielle associée à chaque rayon afin de préciser la polarisation de l’onde 

//e//e

s

e

es

N

Q

i r

-  : vecteur unitaire dans la direction de propagation-  : vecteur unitaire perpendiculaire au plan d’incidence-  : vecteur inclus dans le plan d’incidence formant un trièdre direct

avec les deux autres et vérifiant :

s

e

//e

see//

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L’optique géométriqueThéorie vectorielle

//e//e

s

e

es

N

Q

i r

Expression vectorielle des champs

iii//

i//

i e E e EE

rrr//

r//

r e E e EE

Les conditions aux limites imposent sur le plan parfaitement conducteur : Ei// = Er

// et Ei = - Er

ir E RE

10

01R

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L’optique géométriqueThéorie vectorielle

Réflexion d’une famille de rayons

P

sr 1i

2i

Q

1r

2r

rjks

rr2

rr1

r2

r1rr e

ssQEPE

rjks

rr2

rr1

r2

r1ir e

ssQE RPE

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L’optique géométriqueLe principe de FERMAT

FERMAT a émis le principe selon lequel, parmi l’infinité des trajets possibles de la source au point d’observation, la lumière choisie le trajet tel que le chemin optique soit stationnaire par rapport à toute modification infinitésimale de ce trajet.

« La nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples » Pierre de FERMAT (1657)

Observation(0,5)

y

Source (0,2)

M1

M2

(0,0)

A

B

5 10x

Miroir

vertical

Miroir horizontal

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L’optique géométriqueLe principe de FERMAT

Source (0,2)

Observation ( 4,0)

A

M

B x

y

1

2

n1

n2

MO

A

B