Introducere în Calculul...

Introducere în CalcululProbabilit¼atilor

I.L. Stoica

Dedic aceast¼a carte memorieiprofesorului Aurel Cornea.

PrefaT ¼A. Cartea de fat¼a este o introducere elementar¼a în teoriaprobabilit¼atilor si reprezint¼a în principal cursul pe care îl tin la stu-dentii din anul doi, pro�lul informatic¼a, la Facultatea de Matem-atic¼a si Informatic¼a. Teoria m¼asurii este dezvoltat¼a la nivel discretîn acelasi timp cu constructia modelelor probabiliste. Obiectiveleprincipale ale cursului sunt: 1) explicarea model¼arii probabiliste, 2)întelegerea notiunii de independent¼a, 3) interpretarea variabileloraleatoare si a repartitiilor în modele, 4) unele idei privitoare lateoremele fundamentale, care sunt legea numerelor mari si teo-rema limit¼a central¼a. Datorit¼a timpului limitat, acestea din urm¼asunt prezentate în cursul tinut în fata studentilor într-o manier¼afoarte condensat¼a. De altfel toate expunerile pot � suplimentatesi cu alte complemente. Pentru aceasta, în textul scris am inclusnumeroase ad¼augiri ce nu au loc în expunerile orale. Am însemnatcu un asterix titlurile pe care nu am ajuns s¼a le expun în ultimiidoi ani.

Prezentarea elementar¼a pe care am adoptat -o sper¼am s¼a con-tribuie la popularizarea subiectului, popularizare care este tot maicerut¼a de aplicatiile teoriei probabilit¼atilor în diverse domenii aleactivit¼atii din societatea contemporan¼a.

Bibliogra�a indic¼a o serie de c¼arti dedicate introducerii în teo-ria probabilit¼atilor, pe care le-am consultat si care pot � utile sicititorului în continuarea studiului.

Cuprins

Introducere v

Capitolul 1. Modelul probabilist 11. Câteva exemple 42. Aruncarea cu banul 83. Extrageri repetate din urn¼a 104. Exemple 165. Anex¼a: notiuni de combinatoric¼a 276. Exercitii 29

Capitolul 2. Câteva notiuni de baz¼a 321. Probabilit¼ati conditionate 322. Independent¼a 413. Exercitii 51

Capitolul 3. Partitii �nite sau num¼arabile 561. Proprietatea de � -aditivitate 562. Generarea algebrelor si ��algebrelor 583. Multimile m¼asurabile Borel* 594. Partitii 605. ��algebra generat¼a de o aplicatie 656. Exercitii 67

Capitolul 4. Spatiul probabilizat num¼arabil 691. Multimi num¼arabile 692. Produsul de m¼asuri discrete 733. Repartitia unei variabile aleatoare 754. Medie si dispersie 885. Legea numerelor mari 976. Exercitii 100

Capitolul 5. Câteva repartitii pe N 104

1. Repartitia geometric¼a 1042. Repartitia binomial¼a 1063. Histograme 111

4. Repartitia hipergeometric¼a* 1125. Repartitia negativ -binomial¼a* 1146. Aruncarea repetat¼a cu banul 116

iii

iv CUPRINS

7. Repartitia Poisson 1208. Repartitia multinomial¼a* 1279. Împr¼astierea aleatoare* 12910. Exercitii 136

Capitolul 6. Variabile aleatoare si repartitii continue 1401. Generalit¼ati 1402. Medie si dispersie* 1503. Repartitia normal¼a 1524. Exercitii 157

Capitolul 7. Teorema de Moivre-Laplace 1591. Aproximarea repartitiei binomiale 1592. Teorema limit¼a central¼a 1653. Notiuni de estimare statistic¼a* 177

Bibliogra�e 185

Index 186

Introducere

Teoria probabilit¼atilor reprezint¼a un domeniu aparte al matematicii,ce are relatiile sale speci�ce cu realitatea înconjur¼atoare si care se ra-porteaz¼a la ea prin experient¼a, ca o adev¼arat¼a stiint¼a a naturii. Dinpunct de vedere �lozo�c, conceptul de probabilitate, care este conceptulcentral al teoriei, este caracterizat în dou¼a ipostaze.O prim¼a ipostaz¼a este aparitia sa în exprimarea frecventei unui

eveniment în timpul desf¼asur¼arii unui proces uniform. De exemplu,s¼a presupunem c¼a facem experienta arunc¼arii cu banul de un num¼armare de ori. Urm¼arim �ecare aruncare, notând de �ecare dat¼a rezul-tatul: stema sau cifra. Chiar înainte de a începe experienta putemgândi logic c¼a nu exis¼a nici un motiv s¼a �e preferat¼a vreuna din fetelemonedei. Deci � a priori� spunem c¼a sansele de a c¼adea stema saucifra sunt egale. Faptul neasteptat, care apare în timpul experientei,este c¼a dup¼a un num¼ar nu prea mare de arunc¼ari (de exemplu 100 dearunc¼ari) se si veri�c¼a aceasta. Not¼am cu Nn num¼arul de experiente lacare rezultatul a fost cifra dup¼a ce s-au f¼acut n arunc¼ari. Atunci gra�-cul functiei f (n) = Nn

n; n 2 N; arat¼a cam asa cum se vede în �gura

1. Gra�cul din �gur¼a a fost realizat pe baza datelor unui experimentce a constat din 200 de arunc¼ari cu o moned¼a. Dup¼a cum se vede,prima portiune a gra�cului este lipit¼a de axa orizontal¼a. Aceasta re-�ect¼a faptul c¼a în experiment s-a obtinut la început de zece ori la rândfata cu stema. Putem spune c¼a asa ceva este neobisnuit. A preciza

Figura 1. Gra�cul frecventei cu care a iesit o fat¼a a monedei

v

vi INTRODUCERE

îns¼a notiunea de �obisnuit�sau �frecvent�în leg¼atur¼a cu un fenomenaleator este tocmai obiectul teoriei probabilit¼atilor. Gra�cul evolueaz¼aapoi apropiindu-se de valoarea constant¼a 0; 5: Acest fapt este foarteobisnuit la un num¼ar mai mare de 100 de arunc¼ari. Oricine poate veri-�ca acest lucru experimentând aruncarea cu banul! Deci probabilitateaegal¼a pentru obtinerea unei fete sau a alteia este re�ectat¼a în practic¼aprin frecventa egal¼a de realizare a celor dou¼a rezultate atunci cândexperimentul este repetat de un num¼ar relativ mare de ori.Cea de a doua ipostaz¼a a conceptului de probabilitate este cea în

care exprim¼a o cuanti�care a unui fenomen subiectiv, în care intervinenecunoasterea unor aspecte ale unui experiment. De exemplu, un medicse poate exprima cu privire la sansele de reusit¼a ale unui tratament sauale unei operatii si atunci când pacientul are o stare diferit¼a de cazurilece le cunoscuse anterior. Medicul face deci aprecieri subiective ale unoraspecte necunoscute si spune spre exemplu �sansele de îns¼an¼atosiresunt de 80%�.Acelasi lucru se întâmpl¼a cu un economist care trebuie s¼a fac¼a prog-

noze. Economia �ec¼arui an este în mare m¼asur¼a unic¼a, nu se poate vorbide repetarea unor fenomene decât partial, si deci, un important aspectal prognozei este caracterul s¼au subiectiv. Apare astfel o evaluare prob-abilist¼a a sanselor de desf¼asurare a unor scenarii, necunoscându-se carevor � conditiile reale.Desi din punct de vedere �loso�c bazele teoriei probabilit¼atilor au

implicatii foarte interesante, pentru studiul matematic, cât si pentruaplicatiile practice obisnuite, aspectele �loso�ce sunt aproape irele-vante. De aceea nu ne vom ocupa deloc în cele ce urmeaz¼a de funda-mentele teoriei probabilit¼atilor, ci vom trece direct la de�nirea obiectelormatematice si la explicarea procesului de modelare prin exemple. E�-cienta practic¼a a model¼arii este evident su�cient¼a pentru a înlocui oricediscurs �loso�c.Din punctul de vedere al matematicianului, teoria probabilit¼atilor

are dou¼a p¼arti: modelarea unor fenomene reale (în leg¼atur¼a cu mode-larea apare si problema veri�c¼arii modelului prin metodele statisticii,care valideaz¼a sau invalideaz¼a modelul) si studiul obiectelor matem-atice create prin modelare. Studiul acesta conduce la noi concepte sileg¼aturi cu celelalte ramuri ale matematicii, ceea ce permite ulteriorcrearea altor modele, de un nivel superior.Modelarea se face în primul rând prin construirea unui spatiu prob-

abilizat, prin intermediul c¼aruia se asociaz¼a evenimentelor posibile nu-mere din intervalul [0; 1]: Unui eveniment mai probabil decât un altultrebuie s¼a-i corespund¼a un num¼ar mai mare decât celuilalt. Eveni-mentele cele mai probabile vor avea asociate numere apropiate de 1; deexemplu 0; 95 sau 0; 99 în timp ce evenimentele cele mai putin probabilevor avea asociate numere mici de genul 0; 05 sau 0; 01:

CAPITOLUL 1

Modelul probabilist

În prima parte a acestui curs vom analiza mai ales teoria �nit¼a,în care exist¼a doar o familie �nit¼a de evenimente posibile legate defenomenul studiat. De aceea vom introduce mai întâi notiunea de spatiuprobabilizat �nit.

De�nitia 1.1. Fie o multime si F o familie de p¼arti, deci F �P () : Spunem c¼a F este o algebr¼a de p¼arti, sau pe scurt o algebr¼a,dac¼a sunt îndeplinite conditiile urm¼atoare:

(i) multimea vid¼a si spatiul total apartin lui F , adic¼a ;; 2 F ;(ii) familia este închis¼a la complementar¼a, în sensul c¼a Ac 2 F ;

dac¼a A 2 F ;(iii) familia este închis¼a la reuniune, adic¼a A[B 2 F ; dac¼a A;B 2

F :Se mai utilizeaz¼a si termenul de corp pentru notiunea de algebr¼a de

p¼arti. Dac¼a, în plus, familia F este �nit¼a spunem c¼a ea este o algebr¼a�nit¼a. În acest caz, perechea (;F) este numit¼a spatiu m¼asurabil �nit.Exemplul cel mai simplu de algebr¼a este algebra trivial¼a f; ;g ;

care contine numai spatiul total si multimea vid¼a. Alt exemplu simplueste constituit de P () ;multimea tuturor p¼artilor spatiului : În cazulîn care este o multime �nit¼a, cel mai adesea ea este considerat¼a caspatiu m¼asurabil �ind înzestrat¼a cu algebra P () :

Dac¼a avem dat¼a o algebr¼aF � P () si � � este o submultime ar-bitrar¼a, familia de p¼arti ale lui �; care este descris¼a prin fA \ �=A 2 Fg ;este tot o algebr¼a. Ea este numit¼a urma lui F pe �:Un exemplu important de algebr¼a este cel al p¼artilor m¼asurabile

Jordan dintr-un spatiu euclidian. O multime din spatiul euclidian senumeste m¼asurabil¼a Jordan, dac¼a frontiera sa este neglijabil¼a. Se ver-i�c¼a usor c¼a aceste multimi alc¼atuiesc o algebr¼a de p¼arti. (Ea nu este�nit¼a.)Se observ¼a c¼a o algebr¼a F are proprietatea c¼a este închis¼a la in-

tersectie si diferent¼a: dac¼a A;B 2 F ; atunci A \ B;AnB 2 F : Deasemenea, prin inductie se constat¼a c¼a reuniunea si intersectia unuinum¼ar �nit arbitrar de multimi din F sunt tot în F :De�nitia 1.2. Fie (;F) un spatiu m¼asurabil �nit. Spunem c¼a o

aplicatie P : F ! [0; 1] ; este o m¼asur¼a de probabilitate dac¼a satisfacerelatiile(i) P () = 1;

1

2 1. MODELUL PROBABILIST

(ii) P (A [B) = P (A) + P (B) ; pentru orice dou¼a multimi dis-juncte, A;B 2 F :În acest caz, tripletul (;F ; P ) va �numit spatiu probabilizat �nit.Din de�nitia dat¼a rezult¼a imediat urm¼atoarele propriet¼ati:1. P (Ac) = 1 � P (A) ; pentru orice A 2 F : În particular, se

deduce de aici c¼a are loc relatia P (;) = 0: Mai observ¼am c¼a relatiaP (A) = 1 este echivalent¼a cu relatia P (Ac) = 0: În acest caz, se spunec¼a multimea A suport¼a m¼asura P si c¼a m¼asura P nu încarc¼a Ac:2. P (AnB) = P (A) � P (B) si P (B) � P (A) ori de câte ori

A;B 2 F satisfac relatia B � A:3. P (A1 [ ::: [ An) = P (A1) + ::: + P (An) ; pentru orice num¼ar

�nit de multimi disjuncte A1; :::; An 2 F ; n 2 N:4. P (A1 [ ::: [ An) � P (A1)+:::+P (An) ; în general, cu multimile

arbitrare A1; :::; An 2 F ; n 2 N:5. Dac¼a multimea este �nit¼a, rezult¼a c¼a o m¼asur¼a de probabilitate

P pe P () este complet determinat¼a de valorile pe care le ia pe multim-ile cu un singur punct. Mai precis, s¼a presupunem c¼a = fx1; :::; xngsi s¼a not¼am P (xi) = P (fxig) ; i = 1; :::; n: Tinând cont de punctul3., aceste numere trebuie s¼a satisfac¼a relatia P (x1) + :::+ P (xn) = 1;pentru c¼a

Sni=1 fxig = : Pentru o multime arbitrar¼a A � are loc

formulaP (A) =

Xi;xi2A

P (xi) :

Reciproc, �ind date numerele a1; :::; an 2 [0; 1] ; astfel încât a1 + ::: +an = 1; se poate de�ni o m¼asur¼a de probabilitate punând P (xi) = ai;pentru orice i = 1; :::; n si de�nind apoi probabilitatea unei multimiarbitrare dup¼a formula anterioar¼a.De multe ori un spatiu probabilizat �nit este construit prin de�nirea

multimii si a unei partitii �nite a acesteia, (Ak)1�k�n : Deci multimileAk sunt nevide si astfel de�nite încât au loc relatiile: a) Al \ Ak = ;;dac¼a l 6= k si b) = [1�k�nAk: Algebra generat¼a de aceast¼a partitie,pe care o not¼am F ; const¼a din toate multimile de forma Ak1 [ ::: [Akm ; cu indicii satisfacând relatia 1 � k1 < ::: < km � n; la care semai adaug¼a multimea vid¼a. (L¼as¼am cititorului veri�carea faptului c¼aaceasta este o algebr¼a de p¼arti.) Probabilitatea P este apoi de�nit¼aprin �xarea valorilor pe elementele partitiei pk = P (Ak) ; k = 1; :::; n:Desigur, numerele pk; k = 1; :::; n trebuie s¼a �e pozitive si s¼a aib¼a sumap1 + :::+ pn = 1: Pentru o multime arbitrar¼a din F se de�neste apoi

P (Ak1 [ ::: [ Akm) = P (Ak1) + :::+ P (Akm) ;pentru k1 < ::: < km: Cititorul poate usor veri�ca faptul c¼a în acest feleste de�nit¼a o m¼asur¼a de probabilitate pe F :

Ometod¼a convenabil¼a de constructie a unui spatiu probabilizat �nit(;F ; P ) const¼a în alegera multimii ca o parte dintr-un spatiu euclid-ian, de exemplu din plan. Multimile din F sunt alese sugestiv dup¼a

1. MODELUL PROBABILIST 3

aspectul gra�c. De exemplu cercuri, p¼atrate, dreptunghiuri, ovale, etc.În plan se poate usor construi un spatiu probabilizat desenând o di-agram¼a Venn si punând ca probabilitate a unei multimi �gurate A;valoarea P (A) = ariaA

aria: Cel mai adesea în astfel de cazuri, pentru a

nu complica exprimarea analitic¼a a diverselor multimi, liniile desenate,care separ¼a regiunile, sunt excluse din : De exemplu, a se vedea mo-delul zarului turtit din paragraful urm¼ator sau modelul celor trei urnedin paragraful despre formula lui Bayes.În primele capitole ale acestei c¼arti nu vom utiliza decât spatii pro-

babilizate �nite. Totusi, anumite notiuni generale le vom da în contex-tul unui spatiu probabilizat general, pentru a evita repetarea de�nitiilormai târziu. De aceea introducem acum si de�nitia unui spatiu proba-bilizat general.

De�nitia 1.3. O algebr¼a F ; de p¼arti ale lui ; este numit¼a ��algebr¼a dac¼a are proprietatea de a � închis¼a la reuniuni num¼arabile:dac¼a (An)n2N este un sir de elemente din F ; atunci [n2NAn 2 F : Înacest caz perechea (;F) se numeste spatiu m¼asurabil.

Se mai utilizeaz¼a si denumirea de corp borelian pentru o �-algebr¼a.Bineînteles c¼a orice algebr¼a �nit¼a este o �� algebr¼a. Familia P () ; atuturor p¼artilor multimii ; este o ��algebr¼a. Se observ¼a, pe bazaformulelor lui de Morgan, c¼a o � -algebr¼a este închis¼a si la inter-sectii num¼arabile: dac¼a (An)n2N este un sir de elemente din F ; atunciTn2NAn 2 F : Dac¼a avem dat¼a o ��algebr¼a F � P () si � � este

o submultime arbitrar¼a, urma lui F pe � este tot o ��algebr¼a.Dar cel mai important exemplu de ��algebr¼a este cea constituit¼a

din multimile m¼asurabile Borel dintr-un spatiu euclidian E (de o anu-mit¼a dimensiune), care este notat¼a cu B (E) : Aceast¼a ��algebr¼a este,prin de�nitie, cea mai mic¼a � -algebr¼a care contine toate multimile de-schise din spatiul euclidian E: Se mai spune c¼a este � -algebra generat¼ade familia multimilor deschise.Pe de alt¼a parte, este de retinut c¼a multimile m¼asurabile Jordan

nu formeaz¼a o ��algebr¼a. De exemplu multimea lui Cantor de pedreapt¼a nu este m¼asurabil¼a Jordan, dar complementara sa este obtinut¼aca o reuniune num¼arabil¼a de intervale deschise. Deci complementaramultimii lui Cantor se obtine ca o reuniune num¼arabil¼a de multimim¼asurabile Jordan, dar ea nu este m¼asurabil¼a Jordan.O ��algebr¼a este închis¼a la intersectii num¼arabile. Într-adev¼ar,

dac¼a (An)n2N este un sir de elemente din ��algebra dat¼a putem scrie

\nAn = ([nAcn)c ;

relatie ce are în membrul drept numai operatii permise în interiorulunei ��algebre.

Trebuie spus c¼a notiunea de algebr¼a de p¼arti are o important¼a stricttehnic¼a, util¼a pentru a explica demonstratiile. Adev¼arata notiune im-portant¼a în teoria m¼asurii si în probabilit¼ati este cea de �-algebr¼a.


De�nitia 1.4. Fie (;F) un spatiu m¼asurabil. O aplicatie P :F ! [0; 1] se numeste m¼asur¼a de probabilitate dac¼a satisface conditiile:(i) P () = 1;(ii) P

�Sn2NAn

�=P

n P (An) ; pentru orice sir de multimi dis-juncte, An 2 F ; n 2 N:În acest caz tripletul (;F ; P ) se numeste spatiu probabilizat.

Relatia (ii) din aceast¼a de�nitie este numit¼a relatia de �� aditivi-tate. Câteva propriet¼ati legate de ��aditivitate vor �demonstrate maitârziu în sectiunea despre partitii �nite sau num¼arabile. Spatiul pro-babilizat mai este cunoscut si sub denumirea de câmp de probabilitate.Studiile despre fundamentele logice ale notiunii de probabilitate au

o lung¼a istorie. La începutul secolului XX mai multi mari matem-aticieni depun eforturi pentru a formaliza matematic analiza logic¼a aideilor din teoria probabilit¼atilor care evoluaser¼a anterior, de peste dou¼asecole. Printre cei mai citati sunt matematicienii Serghei Bernstein,Emile Borel, Francesco Cantelli, Maurice Frechet, Paul Levy, AntoniLomicki, Evgeny Slusky, Hugo Steinhaus, Richard von Mises (vezi �TheSources of Kolmogorov�s Grundbegri¤e�, Statistical Science, 2006, vol.21, No. 1). Sinteza acestor eforturi este consemnat¼a de c¼atre matem-aticianul Andrei Nikolaevici Kolmogorov(1903 - 1987) într-o lucrarer¼amas¼a de referint¼a (Grundbegri¤e der Wahrscheinlichkeitsrechnung,Berlin, 1933). Rezultatul acestei formaliz¼ari revine la adoptarea spati-ului probabilizat (;F ; P ) drept cadrul standard pentru discutareaproblemelor de teoria probabilit¼atilor. Azi acest obiect este de�nitsi studiat în cadrul teoriei m¼asurii. În teoria probabilit¼atilor el estepreluat si exist¼a obiceiul s¼a se utilizeze, pe lâng¼a terminologia de teoriam¼asurii, o terminologie proprie, colorat¼a de sensuri apropriate mod-elelor probabiliste. Astfel o multime A 2 F se numeste eveniment iarun punct ! 2 se numeste eveniment elementar. Dac¼a P (Ac) = 0,se spune c¼a evenimentul A are loc aproape sigur. Prescurtat scriema.s. pentru �aproape sigur�. Termenul �m¼asur¼a de probabilitate�esteadesea înlocuit prin prescurtarea �probabilitate�, care trebuie folosittotusi cu atentie pentru a nu crea confuzie. În mod riguros probabili-tatea reprezint¼a un num¼ar atasat unui eveniment - de exemplu P (A)este probabilitatea evenimentului A:

1. Câteva exemple

Modelarea propriu-zis¼a este ceea ce se numeste o art¼a. Nu exist¼areguli si cu greu se pot da retete. Vom ilustra ideea de modelare prinexemple de-a lungul întregii c¼arti. Începem cu urm¼atoarea sectiune încare prezent¼am câteva din modelele tipice.

1.1. Zarul turtit. Un zar obisnuit este un cub, pe ale c¼arui fetesunt marcate cu puncte numerele de la unu la sase. S¼a presupunemc¼a avem un zar cu latura de 1 cm. El este modi�cat micsorându-i-se

1. CÂTEVA EXEMPLE 5

Figura 1. Un zar turtit

Figura 2. Un model probabilist pentru zarul turtit

în¼altimea, astfel c¼a devine un paralelipiped dreptunghic cu baza unp¼atrat cu latura de 1 cm iar în¼altimea de h 2 (0; 1) :S¼a presupunem c¼a baza zarului este marcat¼a cu sase puncte, iar fata

superioar¼a cu unul. Când în¼altimea h este foarte mic¼a, fetele lateraledevin înguste si zarul nu poate sta decât cu greu pe ele; si de aceeaeste natural s¼a ne astept¼am ca zarul, prin aruncare, s¼a cad¼a mai alescu fetele de sus si jos: 1 si 6. Atunci sansele de a c¼adea una din acestefete, se apropie pentru �ecare de 1

2. Când h = 1 aceste fete au sanse

egale cu celelalte, deci egale cu 16pentru �ecare. Exist¼a o anumit¼a

valoare h0 pentru care fetele cu un punct si sase puncte au sansele 14

�ecare. În acest caz, sansele fetelor cu 2,3,4 si 5 puncte sunt egale cu18�ecare. Experimentul de aruncare a zarului cu în¼altimea h0 poate �

descris de multimea ; desenat¼a în �gura 2.Ea const¼a din sase dreptunghiuri (multimi deschise, f¼ar¼a laturile ce

le m¼arginesc pentru a � disjuncte). Primul dreptunghi si ultimul suntduble fat¼a de celelalte si corespund la fetele cu 1 si 6 puncte. Aria�ec¼arui dreptunghi este proportional¼a cu sansele de a c¼adea num¼arulde puncte pe care-l reprezint¼a. Dreptunghiurile ce formeaz¼a multimea sunt numerotate conform punctelor pe care le reprezint¼a, ca în �gur¼a:D1; D2; D3; D4; D5; D6. În acest caz F este algebra de p¼arti generat¼ade aceste multimi. Multimea Di corespunde evenimentului �în urmaarunc¼arii zarului a iesit fata cu i puncte�. Probabilitatea este de�nit¼aprin

P (A) =ariaA

aria;


pentru orice A 2 F : De exemplu, evenimentul �la aruncarea zaruluiiese un num¼ar de puncte mai mare sau egal cu 4�este reprezentat demultimea D4 [D5 [D6 si are probabilitatea

P (D4 [D5 [D6) =ariaD4 + ariaD5 + ariaD6

aria=1

8+1

8+2

8=1

2:

Pentru aceeasi problem¼a se poate utiliza un model bazat pe multimea�nit¼a 0 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g ; cu F = P (0) si punând

P (f1g) = P (f6g) = 14;

P (f2g) = P (f3g) = P (f4g) = P (f5g) = 18:

1.2. Repartitii uniforme. 1. S¼a presupunem c¼a cineva arunc¼a laîntâmplare o piatr¼a într-o curte. Dac¼a nu am asistat la aruncare si nepunem problema s¼a g¼asim piatra, putem mai întâi s¼a estim¼am probabi-litatea ca piatra s¼a se a�e într-o anumit¼a regiune dup¼a aria regiunii. S¼azicem c¼a dreptunghiul reprezint¼a curtea. Pentru o regiune A � ,de�nim P (A) = ariaA

aria. În acest fel, am de�nit o m¼asur¼a de proba-

bilitate pe B (), care modeleaz¼a sansele de a g¼asi piatra în diverseregiuni din interiorul curtii. Aceast¼a m¼asur¼a de probabilitate spunemc¼a este repartizat¼a uniform pe , deoarece este proportional¼a cu aria.(Modelul se deosebeste de cel de la zarul turtit prin aceea c¼a, de dataaceasta, m¼asura este de�nit¼a pentru toate multimile boreliene. Clasamultimilor boreliene este in�nit¼a.)

2. S¼a presupunem c¼a dup¼a o ploaie vrem s¼a estim¼am num¼arul depic¼aturi care au cazut în diverse regiuni din gr¼adin¼a. S¼a presupunemc¼a s-a determinat num¼arul n0 de pic¼aturi ce au c¼azut într-un metrup¼atrat. Dac¼a gr¼adina este un dreptunghi , num¼arul de pic¼aturi careau c¼azut în toat¼a curtea este aproximativ n0 � aria. Pentru o regiuneA � , num¼arul de pic¼aturi va �aproximativ n0 �ariaA. Dac¼a vrem s¼astim ce proportie din toate pic¼aturile au c¼azut în regiunea A, aceastaeste dat¼a de

P (A) =ariaA

aria:

Din nou este o m¼asur¼a de probabilitate pe B (), uniform distribuit¼ape .3. O roat¼a de rulet¼a este învârtit¼a si apoi se asteapt¼a oprirea ei.

Care va �probabilitatea ca indicatorul de la marginea rotii s¼a se opresc¼aîntr-un anumit sector al cercului exterior? R¼aspunsul este dictat de ologic¼a elementar¼a: aceast¼a probabilitate este proportional¼a cu lungimeacurbilinie a sectorlui. Pentru a modela acest fenomen probabilist senoteaz¼a cu cercul exterior rotii de rulet¼a si pentru o multime A 2B () se pune

P (A) =L (A)2�R

;

1. CÂTEVA EXEMPLE 7

unde L (A) este lungimea multimii A (sau m¼asura Lebesgue), iar Reste raza cercului. Din nou P este o m¼asur¼a de probabilitate pe B (),uniform repartizat¼a pe cercul .Se stie c¼a un cerc de raz¼a R este pus în corespondent¼a bijectiv¼a cu

intervalul [0; 2�R) prin desf¼asurarea cercului. Lungimile m¼asurate pecerc, dup¼a desf¼asurare, corespund lungimilor m¼asurate pe segmentul[0; 2�R). Atunci, un model echivalent se obtine punând

0= [0; 2�R),

iar pentru o multime A 2 B�0�se pune

P0(A) =

L (A)2�R

;

unde de data aceasta L (A) este m¼asura Lebesgue de pe segmentul[0; 2�R). M¼asura de probabilitate P 0 este uniform r¼aspândit¼a pe in-tervalul [0; 2�R): Deoarece punctul din cap¼atul intervalului are m¼asuranul¼a, din punct de vedere practic, acest model este echivalent cu celobtinut pe intervalul [0; 2�R] cu aceeasi m¼asur¼a P 0:

4. La o fabric¼a de confectii se utilizeaz¼a sireturi. Siretul este adusla fabric¼a în ghemuri si resturile mai mici de 40 cm sunt inutilizabile.Prin urmare r¼amân deseuri de siret de toate m¼arimile mai mici de 40de cm. Pentru a modela distribuirea resturilor de siret este natural s¼aconsider¼am = [0; 40], F = B () si pentru A 2 B ()

P (A) =L (A)40

:

Dac¼a A = (a; b), num¼arul P ((a; b)) reprezint¼a proportia acelor resturide siret care au lungimea mai mare decât a cm si mai mic¼a decât b cm,printre toate resturile de siret. Suntem condusi astfel la probabilitateadistribuit¼a uniform pe intervalul [0; 40] :

1.3. Modele cu sanse egale. Cele mai vechi modele probabilisteconsider¼a o multime = f!1; :::; !ng ; �nit¼a, ca multime a posibil-it¼atilor si evalueaz¼a cu sanse egale �ecare posibilitate, ceea ce conducela P (f!ig) = 1

n, pentru orice i. Exemplele la care se potrivesc modele

de acest fel sunt cele mai uzuale: aruncarea monedei, unde sansele de ac¼adea în sus o fat¼a sau alta sunt evident egale (modelul are doar dou¼aposibilit¼ati si deci n = 2), aruncarea cu zarul, unde �ecare din cele sasefete are tot sanse egale de a iesi (model cu n = 6), extragerea unei biledintr-o urn¼a (n este num¼arul de bile din urn¼a) si multe altele legatede diverse jocuri în care intervine norocul. Dac¼a A 2 P () este uneveniment arbitrar, probabilitatea sa este

P (A) =cardA

card:

Aceast¼a formul¼a spune c¼a �probabilitatea evenimentului A este egal¼acu num¼arul cazurilor favorabile supra num¼arul cazurilor posibile�, careeste de�nitia clasic¼a a probabilit¼atii. Pentru a decide c¼a un fenomen


probabilist este de tipul sanselor egale pentru �ecare posibil¼a evolutieeste îns¼a necesar¼a întotdeauna o analiz¼a.

2. Aruncarea cu banul

Este cunoscut modelul dat de d�Alembert pentru aruncarea cu dou¼amonezi. El spunea c¼a rezultatele posibile pentru un astfel de experi-ment sunt trei: ambele monezi cad cu cifra în sus, ambele monezi cadcu stema în sus, si cea de a treia posibilitate, o moned¼a cade cu cifraîn sus iar cealalt¼a cade cu stema în sus.A f¼acut apoi greseala s¼a presupun¼a c¼a �ecare din aceste trei posi-

bilit¼ati este la fel de probabil¼a. Dac¼a ar � f¼acut experienta, si-ar �dat seama foarte repede c¼a nu este adev¼arat¼a egalitatea sanselor pen-tru modelul ales. Dar nu numai experienta, ci si o analiz¼a logic¼a maiatent¼a relev¼a modelul corect. Pentru aceasta se consider¼a c¼a cele dou¼amonezi sunt însemnate A si B iar posibilitatea a treia din enumerareadat¼a mai sus este înlocuit¼a cu dou¼a alte posibilit¼ati: A cade cu cifrasi B cade cu stema, respectiv A cade cu stema si B cade cu cifra. Sepoate usor rationa c¼a dac¼a A cade cu cifra sunt sanse egale ca B s¼acad¼a cu cifra sau cu stema si la fel, prin comparare, se ajunge ime-diat la concluzia c¼a �ecare din cele patru posibilit¼ati descrise acum aresanse egale. Se vede atunci c¼a, pentru a re�ecta experimentul arunc¼ariicu dou¼a monezi, modelul cu trei posibilit¼ati propus de d�Alembert nupoate da sanse egale �ec¼areia. Pentru a corespunde realit¼atii, trebuiescacordate sanse egale numai primelor posibilit¼ati si anume 1

4, în timp

ce a treia posibilitate enumerat¼a de d�Alembert ar trebui s¼a aib¼a sanseduble fat¼a de �ecare din primele, deci 12 . Desigur c¼a marele enciclo-pedist si matematician francez Jean le Rond d�Alembert (1717-1783) ar¼amas în istorie pentru alte descoperiri importante, cazul descris maisus ne�ind decât un episod anecdotic.

În lumina discutiei anterioare este clar c¼a, în cazul în care con-sider¼am o serie de n arunc¼ari cu banul, modelul ce se impune esteurm¼atorul: dac¼a 1 corespunde cifrei si 0 corespunde stemei, multimeatuturor posibilit¼atilor este

= f0; 1gn = f(x1; :::; xn) j xi 2 f0; 1g ; i = 1; :::; ng ;constituit¼a din toate sistemele (x1; :::; xn) de n cifre de 0 si 1. Fiecareposibilitate are aceleasi sanse de a iesi. Num¼arul tuturor posibilit¼atiloreste 2n, adic¼a card = 2n: Probabilitatea corespunz¼atoare se de�nesteprin P (f(x1; :::; xn)g) = 1

2n, pentru �ecare sistem (x1; :::; xn) 2 .

Exemplu.Doi juc¼atori joac¼a aruncarea cu banul dup¼a urm¼atoarea regul¼a. La

�ecare aruncare a monedei este pus în joc un punct. Dac¼a moneda cadecu stema în sus, câstig¼a juc¼atorul J1, iar când cade fata cu cifra, câstig¼ajuc¼atorul J2. Se arunc¼a moneda de mai multe ori la rând pân¼a cândunul din juc¼atori totalizeaz¼a 10 puncte. În aceast¼a situatie respectivul

2. ARUNCAREA CU BANUL 9

juc¼ator este considerat înving¼ator si câstig¼a o sum¼a. În cazul în carejocul este întrerupt înainte ca vreunul din juc¼atori s¼a ias¼a câstig¼ator,se convine ca suma în joc s¼a �e împ¼artit¼a între cei doi, proportional cusansele pe care le-ar � avut dac¼a jocul ar � continuat. Ne propunems¼a calcul¼am cum va � împ¼artit¼a miza jocului dac¼a jocul este întreruptîn situatia în care juc¼atorul J1 are 7 puncte iar juc¼atorul J2 are 8puncte? (Solutia acestei probleme o d¼a Blaise Pascal (1623-1662) într-oscrisoare, datat¼a 24 august 1654, c¼atre Pierre de Fermat (1601-1665).)Solutie. Jocul se termin¼a în cel mult 4 arunc¼ari pentru c¼a dup¼a 4

arunc¼ari neap¼arat se întâmpl¼a unul din urm¼atoarele evenimente: sauJ2 a câstigat cel putin dou¼a puncte, sau J1 a câstigat cel putin trei.Cu conventia c¼a 0 reprezint¼a stema si 1 cifra, putem reprezenta toaterezultatele posibile la o serie de 4 arunc¼ari în felul urm¼ator:

(0; 0; 0; 0) (0; 0; 0; 1) (0; 0; 1; 1) (0; 1; 1; 1) (1; 1; 1; 1)(0; 0; 1; 0) (0; 1; 0; 1) (1; 0; 1; 1)(0; 1; 0; 0) (0; 1; 1; 0) (1; 1; 0; 1)(1; 0; 0; 0) (1; 0; 0; 1) (1; 1; 1; 0)

(1; 0; 1; 0)(1; 1; 0; 0)

Am listat aici 16 posibilit¼ati si �ecare are sanse egale. (Vezi schemabilei întoarse, unde se arat¼a egalitatea sanselor într-un caz mai general.)Primele 5 posibilit¼ati îl dau câstig¼ator pe J1 iar celelalte 11 pe J2.Rezult¼a c¼a sansele de a câstiga J1 sunt 5

16si sansele de a câstiga J2 sunt

1116. Suma pus¼a în joc se va împ¼arti între cei doi juc¼atori proportional

cu aceste valori.Un înv¼atat al timpului i-a reprosat lui Pascal c¼a de fapt jocul nu

se termin¼a neap¼arat cu înc¼a 4 arunc¼ari, ci el poate s¼a se încheie dup¼a2 sau 3 arunc¼ari si atunci posibilit¼atile ce se iau în considerare sunt defapt urm¼atoarele:

(0; 0; 0) (0; 0; 1; 0) (0; 0; 1; 1) (0; 1; 1) (1; 1)(0; 1; 0; 0) (0; 1; 0; 1) (1; 0; 1)(1; 0; 0; 0) (1; 0; 0; 1)

Observatia este corect¼a, îns¼a în cazul acesta tebuie s¼a acord¼am alt¼apondere �ec¼arei posibilit¼ati:

P (f(1; 1)g) = 1

4; P (f(0; 0; 0)g) = P (f(0; 1; 1)g) = P (f(1; 0; 1)g) = 1

8;

P (f(0; 0; 1; 0)g) = P (f(0; 1; 0; 0)g) = P (f(1; 0; 0; 0)g) = P (f(0; 0; 1; 1)g)

= P (f(0; 1; 0; 1)g) = P (f(1; 0; 0; 1)g) = 1

16:

Justi�carea acestei ponder¼ari se face pornind de la evaluarea sanselorpentru rezultatele a dou¼a arunc¼ari:


P (f(1; 1)g) = P (f(1; 0)g) = P (f(0; 1)g) = P (f(0; 0)g) = 1

4:

Rezultatul (1; 1) ar pune cap¼at jocului dar celelalte posibilit¼ati duc lacontinuarea jocului. Sansele pe care le are rezultatul (1; 0) se împartîn mod egal pentru posibilit¼atile urm¼atoare: (1; 0; 1) ; (1; 0; 0). Deci

P (f(1; 0; 1)g) = P (f(1; 0; 0)g) = 1

8.

Rezultatul (1; 0; 0) conduce la continuarea jocului cu înc¼a o aruncare siobtinerea posibilit¼atilor (1; 0; 0; 1) si (1; 0; 0; 0), ce vor �evaluate �ecarecu probabilitatea 1

16. etc. �

3. Extrageri repetate din urn¼a

Din punct de vedere al teoriei probabilit¼atilor urna permite re-alizarea modelului tipic de experiment în care avem un num¼ar �nitde evenimente elementare cu sanse egale. Prin urn¼a întelegem o cutieîn care se a�¼a niste obiecte asem¼an¼atoare, cum ar � bile, sau bilete,etc. Când se fac extrageri din urn¼a întotdeauna se presupune c¼a cel ceextrage nu poate alege si c¼a �ecare obiect din urn¼a are aceleasi sansede a � extras.

3.1. Schema bilei întoarse. Într-o urn¼a se a�¼a m bile numero-tate de la 1 la m. Se extrage din urn¼a o bil¼a, se noteaz¼a num¼arul ei,dup¼a care se pune la loc bila în urn¼a. (O extragere de acest fel se nu-meste extragere cu întoarcere sau cu revenire.) Repetând experientade n ori se obtine o secvent¼a (x1; :::; xn) format¼a din n numere. Dorims¼a model¼am probabilist experimentul global al extragerilor succesivede acest tip. Not¼am M = f1; :::;mg multimea ce reprezint¼a bilele.Multimea posibilit¼atilor este clar descris¼a de produsul

=Mn = f(x1; :::; xn) j xi 2M; 8i = 1; :::; ng :

S¼a consider¼am dou¼a secvente

(x1; :::; xi�1; xi; xi+1; :::; xn) ;(x1; :::; xi�1; x

0i; xi+1; :::; xn)

care au aceleasi elemente, cu exceptia celor de pe pozitia i. Deci pre-supunem xi 6= x0i. Cele dou¼a secvente difer¼a doar prin rezultatul de laextractia i. Dar la �ecare extractie sansele de a extrage una sau altadin bile sunt egale. Concluzia este c¼a cele dou¼a secvente au sanse egalede a se produce. Din aproape în aproape se deduce c¼a toate secventeleau aceeasi sans¼a de a se produce. Num¼arul elementelor din este mn

si se impune P (f(x1; :::; xn)g) = 1mn , pentru orice secvent¼a.

3. EXTRAGERI REPETATE DIN URN¼A 11

3.2. Schema bilei neîntoarse. Aceeasi urn¼a ca mai înainte estesupus¼a unor n extrageri succesive, dar de data asta dup¼a �ecare ex-tragere bila extras¼a r¼amâne în afara urnei. (O astfel de extragere senumeste f¼ar¼a întoarcere sau f¼ar¼a revenire.) Implicit trebuie s¼a avemn � m: Mai remarc¼am c¼a secventa rezultatelor are toate componentelediferite. Multimea care modeleaz¼a fenomenul este

= f(x1; :::; xn) =xi 2M; xi 6= xj;8i 6= jg :Un sistem (x1; :::; xn) în care �ecare component¼a este distinct¼a poate �identi�cat cu multimea fx1; :::; xng ; care este ordonat¼a prin indici. Seobserv¼a atunci c¼a poate � identi�cat¼a cu multimea submultimilor decardinal n dinM ordonate în toate felurile posibile. Deci card = Anm:Vom ar¼ata c¼a, si de aceast¼a dat¼a, trebuie s¼a accept¼am ideea c¼a �ecareposibilitate de desf¼asurare a n extrageri succesive are aceleasi sanse deaparitie.Pentru aceasta vom face o inductie dup¼a n: Not¼am n si respectiv

n+1 spatiile tuturor posibilit¼atilor pentru experimentele corespunz¼a-toare seriilor de n; respectiv n + 1 extrageri. Presupunem c¼a am sta-bilit c¼a sansele tuturor secventelor de n extrageri sunt egale si deciprobabilitatea asociat¼a unei astfel de secvente este egal¼a cu 1

Anm=

1m(m�1):::(m�n+1) : Fie (x1; :::; xn) 2 n: Aceast¼a secvent¼a poate �contin-uat¼a cu o nou¼a extragere din multimeaM nfx1; :::; xng : Este o multimecu m�n bile si �ecare din ele are aceleasi sanse de a �extras¼a. Not¼amcu

A (x1; :::; xn) = f(x1; :::; xn; x) =x 2M n fx1; :::; xngg ;multimea secventelor ce continu¼a secventa dat¼a. Aceast¼a multime arem � n secvente si trebuie s¼a admitem c¼a au sanse de a se produceegale între ele. Pe de alt¼a parte, când secventa (x1; :::; xn) parcurgen; multimile A (x1; :::; xn) acoper¼a n+1; adic¼a are loc egalitatea

n+1 =[

(x1;:::;xn)2n

A (x1; :::; xn) :

Aceste multimi sunt disjuncte si deci formeaz¼a o partitie a lui n+1:Este clar c¼a obtinem o secvent¼a de lungime n + 1 care se a�¼a înmultimeaA (x1; :::; xn) dac¼a si numai dac¼a primele n extrageri sunt datede secventa (x1; :::; xn) : De aceea este natural s¼a m¼asur¼am producereaevenimentului A (x1; :::; xn) în modelul cu secvente de lungime n + 1;prin probabilitatea pe care o are evenimentul elementar (x1; :::; xn) înmodelul secventelor de lungime n :

Pn+1 (A (x1; :::; xn)) = Pn (f(x1; :::; xn)g) =1

Anm:

Aceasta implic¼a s¼a punem aceeasi valoare pentru probabilitatea �ec¼aruiadin evenimentele A (x1; :::; xn) : Cum �ecare din aceste evenimente estecompus din acelasi num¼ar de evenimente elementare ce au sanse egale


între ele, rezult¼a c¼a toate evenimentele elementare din n+1 au aceleasisanse de a se produce:

Pn+1 (f(x1; :::; xn+1)g) =1

An+1m

=1

m (m� 1) ::: (m� n) :

3.3. Extrageri f¼ar¼a întoarcere f¼ar¼a ordine. Un caz particularde extrageri repetate f¼ar¼a întoarcere sunt extragerile în care ceea ceconteaz¼a la sfârsit este numai multimea bilelor extrase. Deci nu mairetinem ordinea în care s-au f¼acut extragerile si privim drept rezultatal extragerii numai multimea bilelor extrase. Tinând cont de simetriaexperimentului a n extrageri succesive f¼ar¼a întoarcere este normal s¼ane astept¼am ca �ecare multime de n elemente s¼a apar¼a cu aceeasi pro-babilitate. Vom demonstra acest lucru bazându-ne pe modelul dejaconstruit.

Propozitia 1.1. Fie M multimea cu m elemente care reprezint¼abilele din urn¼a si n � m: Not¼am cu multimea ce modeleaz¼a seriilede n extrageri f¼ar¼a întoarcere, ca mai sus. Pentru �ecare submultimeA �M având cardinalul n are loc formula

P (f(x1; :::; xn) 2 = fx1; :::; xng = Ag) =1

Cnm:

DemonstraTie. Multimea f(x1; :::; xn) 2 = fx1; :::; xng = Ag con-st¼a din toate permut¼arile posibile cu elementele din A: Cardinalul aces-tei multimi este n! si, cum probabilitatea unei secvente din este 1

Anm;

rezult¼a c¼a

P (f(x1; :::; xn) 2 = fx1; :::; xng = Ag) =n!

Anm=

1

Cnm: �

S¼a examin¼am acum experimentul extragerii a n bile deodat¼a dinurna cu m bile. Pentru acest experiment multimea tuturor posibil-it¼atilor este multimea ce o not¼am cu �; si care se compune din p¼artilelui M cu n elemente. Din motive de simetrie este natural s¼a consid-er¼am c¼a �ecare parte a lui M cu n elemente are aceleasi sanse de a� extras¼a. Rezult¼a ca natural¼a alegerea probabilit¼atii P 0 pe � care d¼aaceeasi valoare �ec¼arui eveniment elementar. Cardinalul lui � �ind Cnm;deducem c¼a probabilitatea �ec¼arui eveniment elementar din � este 1

Cnm:

S¼a compar¼am acum modelul nou construit (�; P 0) cu cel anterior(; P ) : Pentru un eveniment elementar A 2 � consider¼am multimeatuturor secventelor (x1; :::; xn) 2 care sunt formate cu elementelemultimii A (adic¼a fx1; :::; xng = A). Not¼am �A aceast¼a multime:

�A = f(x1; :::; xn) 2 = fx1; :::; xng = Ag :Ea constituie un eveniment neelementar din : Ansamblul acestormultimi f�A = A 2 �g formeaz¼a o partitie a lui care evident este înbijectie cu �: Din propozitia anterioar¼a rezult¼a c¼a P (�A) = P 0 (fAg) :


În concluzie, putem spune c¼a experimentul extragerii din urn¼a an bile deodat¼a este echivalent cu experimentul a n extrageri succesivef¼ar¼a revenire în care se uit¼a ordinea extragerilor si se ia în considerarenumai multimea rezultat¼a din extragere. Modelarea se poate face �epe (; P ) considerând evenimentele �A �e pe (�; P 0) :

3.4. Extrageri cu întoarcere f¼ar¼a ordine*. S¼a presupunem c¼adintr-o urn¼a cum bile numerotate se fac extrageri cu revenire. FieM =f1; 2; :::;mg multimea ce reprezint¼a bilele din urn¼a. S¼a ne închipuim c¼arezultatele unei serii de n extrageri se noteaz¼a în linie consemnându-sepe rând �ecare num¼ar extras, iar la �nalul seriei se completeaz¼a m c¼a-sute în care se mentioneaz¼a num¼arul de aparitii ale �ec¼arei bile. Asadar,în c¼asuta i se speci�c¼a de câte ori apare în lina respectiv¼a num¼arul i;adic¼a de câte ori a fost extras¼a bila cu num¼arul i: Putem spune c¼adatele continute în c¼asute rezum¼a rezultatele unei serii de extrageri încare nu mai intereseaz¼a ordinea în care au ap¼arut bilele. Problemape care ne-o punem este de a a�a care este proportia seriilor pentrucare cele m c¼asute de la sfârsit au un continut identic, unul anume, înansamblul tuturor seriilor. Mai precis, putem formula problema astfel:�ind date numerele naturale k1; :::; km astfel încât

Pmi=1 ki = n; s¼a se

determine probabilitatea ca într-o serie de n extrageri s¼a obtinem exactki aparitii pentru bila cu num¼arul i; pentru �ecare i = 1; :::;m:

Pentru aceasta facem socotelile pe modelul =Mn; corespunz¼atorseriilor de extrageri cu întoarcere. Avem de determinat num¼arul ele-mentelor (x1; :::; xn) 2 cu proprietatea c¼a, pentru �ecare i = 1; :::;m;cardinalul multimii f1 � l � n= xl = ig este ki: Vom nota multimeaacestor elemente astfel:

� (k1; :::; km) = f(x1; :::; xn) 2 = card f1 � l � n= xl = ig = kig :Este vorba de o problem¼a de combinatoric¼a cunoscut¼a, care este for-mulat¼a deobicei într-un cadru de teoria multimilor, f¼acând abstractiede urn¼a si bile.Pentru a exprima problema în cadrul combinatoric tipic, vom nota

cu L = f1; :::; ng multimea locurilor din linia pe care sunt consem-nate cele n extrageri dintr-o serie. Un element (x1; :::; xn) 2 poate� identi�cat cu o partitie a multimii L de tipul (A1; :::; Am) ; undeAi = f1 � l � n= xl = ig : Cu alte cuvinte, Ai este multimea pozitiilordin L care sunt ocupate de num¼arul i (si care corespund extragerilorla care a ap¼arut bila cu num¼arul i). Atragem atentia c¼a pentru aavea o bun¼a descriere a elementelor lui este necesar s¼a consider¼ampartitii ordonate, descrise ca sisteme ordonate (A1; :::; Am) : Spre ex-emplu, având o astfel de partitie, se pot obtine alte partitii ordonatedistincte prin permutarea multimilor. Astfel (A2; A1; A3; :::; Am) ; sis-temul în care am inversat locurile multimilor A1 si A2; este distinct decel anterior, în timp ce privite ca partitii ale lui L ele sunt identice.


(În general, prin partitie a unei multimi se întelege o familie de p¼artidisjuncte a c¼aror reuniune acoper¼a multimea dat¼a, f¼ar¼a a exista vreoordine pe familia de p¼arti.) La noi, ordinea în care apar multimile unuisistem indic¼a num¼arul de bil¼a ce corespunde �ec¼arei multimi.

Cu aceast¼a nou¼a formulare pentru problema noastr¼a avem de deter-minat câte sisteme de multimi (A1; :::; Am) veri�c¼a urm¼atoarele propri-et¼ati: 10 multimile A1; :::; Am formeaz¼a o partitie a lui L si 20 cardinalulmultimii Ai este ki; pentru orice i = 1; :::;m: Propozitia urm¼atoarer¼aspunde la aceast¼a cerint¼a.

Propozitia 1.2. Fiind dat¼a o multime L cu n elemente si �inddate numerele k1; :::; km; astfel încât n = k1 + :::+ km; se pot forma

n!

k1! � ::: � km!partitii ordonate (A1; :::; Am) ale multimii L; astfel încât cardinalulmultimii Ai s¼a �e ki; i = 1; :::;m:

DemonstraTie. Num¼ararea o vom face rationând prin inductiedup¼a m: S¼a presupunem c¼a avem o multime A � L; de cardinal km;�xat¼a. Pentru a obtine toate partitiile ordonate ale lui L; de tipul c¼au-tat, care au drept ultim¼a multime A; trebuie s¼a vedem în câte feluriputem face operatia similar¼a pentru LnA în loc de L; dar luând în consi-derare partitiile ordonate cu m� 1 p¼arti. Mai precis, c¼aut¼am num¼arulpartitilor ordonate (B1; :::; Bm�1) ale lui LnA astfel încât cardinalulmultimii Bi s¼a �e ki; pentru orice i = 1; :::;m � 1: Conform inductiei,num¼arul acestor partitii este (n�km)!

k1!:::km�1!: Cum (A;B1; :::; Bm�1) reprez-

int¼a o partitie ordonat¼a ca în enuntul propozitiei si cum toate partitiilec¼autate se obtin în acest fel, rezult¼a c¼a avem de calculat num¼arul decombinatii de acest tip posibile. Pe de alt¼a parte, num¼arul p¼artilorA � L de cardinal km este egal cu Ckmn : Rezult¼a c¼a num¼arul c¼autateste Ckmn

(n�km)!k1!:::km�1!

= n!k1!�:::�km! : �

Num¼arul n!k1!�:::�km! este numit coe�cient multinomial. Pentru n = 2

el devine coe�cientul binomial Ck1n = Ck2n = n!k1!(n�k1)! :

Revenind la problema initial¼a, putem spune c¼a multimea � (k1; :::; km)are cardinalul n!

k1!�:::�km! si, prin urmare, avem

P (� (k1; :::; km)) =n!

k1! � ::: � km!1

mn:

Pe de alt¼a parte, multimea se scrie sub forma

=[

(k1;:::;km)

� (k1; :::; km) ;

unde se face reuniunea dup¼a toate sistemele (k1; :::; km) 2 Nm; astfelîncât k1+:::+km = n: Cummultimile care particip¼a la aceast¼a reuniune


sunt si disjuncte, rezult¼a c¼a are loc relatiaX(k1;:::;km)

n!

k1! � ::: � km!= mn:

O problem¼a de alocatie.Examin¼am acum problema anterioar¼a sub alt¼a înf¼atisare, sub care

este adesea întâlnit¼a.Vom presupune c¼aM este o multime format¼a din n bile numerotate

de la 1 la n: Avem m cutii si numerele k1; :::; km date astfel încâtk1+ :::+ km = n: Se iau pe rând bilele multimii M si se pun aleator încâte o cutie. Se pune apoi problema s¼a se determine în câte feluri se potaloca aleator cele n bile în cutii astfel încât întâia cutie s¼a contin¼a k1bile, a doua s¼a contin¼a k2 bile, etc. Dac¼a not¼am cu Ai multimea bilelorce sunt puse în cutia i; atunci A1; :::; Am formeaz¼a o partitie a lui M:Formulat¼a altfel, problema revine la a determina num¼arul partitiilorordonate ale multimii M = f1; :::; ng în forma (A1; :::; Am) asa încâtcardinalul multimii Ai s¼a �e ki; i = 1; :::;m: Este, deci, vorba despresituatia descris¼a în lema anterioar¼a si num¼arul c¼autat este n!

k1!�:::�km! :Num¼arul rezultatelor posibile.Ne punem acum problema de a determina num¼arul rezultatelor

posibile distincte ce se consemneaz¼a în ansamblul c¼asutelor de la sfârsi-tul unei linii ce corespunde unei serii de n arunc¼ari cu întoarcere, cândnu se mai tine cont de ordine. Acest num¼ar este determinat de urm¼a-torul rezultat de combinatoric¼a.

Propozitia 1.3. Fiind date n;m 2 N; num¼arul sistemelor de nu-mere naturale (k1; :::; km) 2 Nm cu proprietatea c¼a n = k1 + ::: + km;este egal cu Cm�1m+n�1 = C

nm+n�1:

DemonstraTie. Pentru a explica într-un mod mai intuitiv demon-stratia revenim la modelul seriilor de n extrageri cu întoarcere dintr-ourn¼a cum bile numerotate de la 1 lam: Si anume, examin¼am rezultateleconsemnate în c¼asutele de la sfârsitul liniei de însemn¼ari corespunz¼a-toare unei serii de n extrageri schimbând modalitatea de consemnarea rezultatului. Anume, în �ecare c¼asut¼a în locul num¼arului ce reprez-int¼a aparitiile respectivei bile punem semnul X repetat de atâtea oricâte aparitii a avut bila. Astfel rezultatul poate � exprimat si subforma unui sir de semne X care marcheaz¼a în c¼asuta respectiv¼a �ecareaparitie, desp¼artite de bare de tipul j , ce delimiteaz¼a c¼asutele. Pentruexempli�care, în sirul de mai jos avem m = 4 si n = 5 si sunt mar-cate urm¼atoarele rezultate: pentru bila cu num¼arul 1 au fost bifate 2aparitii, pentru bila cu num¼arul 2 a fost bifat¼a o singur¼a aparitie, pen-tru bila cu num¼arul 3 nu este nici o aparitie, iar pentru bila cu num¼arul4 sunt bifate 2 aparitii:

XX j X j j XX


La fel, în sirulj j X j XXXX

se consemneaz¼a rezultatele unei serii de n = 5 extrageri din urna cum = 4 bile, la care bilele 1 si 2 nu au ap¼arut, bila 3 a iesit o dat¼a, iarbila 4 a iesit de patru ori.Rezultatul unei serii de arunc¼ari în care ne intereseaz¼a doar num¼atul

de aparitii ale �ec¼arei bile este deci descris complet de succesiunea am � 1 bare si n semne X: Dar, privind multimea locurilor pe care aufost trasate bare verticale sau semne X; ca o multime �x¼a cu m +n � 1 elemente, atunci observ¼am c¼a o succesiune ce descrie o seriede arunc¼ari este complet determinat¼a de multimea pozitiilor barelor.Exist¼a Cm�1m+n�1 posibilit¼ati de a alege în mod diferit pozitiile barelor,ceea ce încheie demonsratia. �Alt¼a demonstratie se poate face grupând sistemele dup¼a valorile

lui k1 = 0; 1; :::; n si utilizând metoda inductiei matematice pentru anum¼ara sistemele din �ecare grup. În �nal se utilizeaz¼a relatia cunos-cut¼a

C lm = Cl�1m�1 + C

l�1m�2 + :::+ C

l�1l�1 :

Putem trage concluzia, pentru problema seriilor de n extrageri cuîntoarcere f¼ar¼a ordine, c¼a num¼arul multimilor de tip � (k1; :::; km) ; carede fapt reprezint¼a evenimentele elementare ale experimentului, este deCm�1m+n�1: Probabilitatea �ec¼arui eveniment elementar este diferit¼a, asacum am stabilit mai sus.

4. Exemple

4.1. Controlul calit¼atii. Exemplu.Într-o lad¼a se a�¼a 1500 de mere, din care un anumit procent sunt

putrede. F¼ar¼a a sti acest procent, se ia un esantion de 40 de mere sise taie pentru a se constata starea lor si a evalua care ar � procentulde mere putrede în toat¼a lada. Este o problem¼a tipic¼a de controlulcalit¼atii. Aici ne propunem s¼a determin¼am care ar � probabilitatea caesantionul s¼a contin¼a x mere putrede dac¼a am sti c¼a 2% din num¼arultotal de mere sunt putrede.Solutie. Presupunerea f¼acut¼a implic¼a faptul c¼a 30 de mere sunt pu-

trede. În ce priveste extragerea celor 40 de mere, ea nu conteaz¼a decâtca multime. Suntem în cazul extragerilor f¼ar¼a ordine. FieM multimeatuturor merelor siRmultimea tuturor merelor putrede. Avem card (M) =1500 si card (R) = 30: Pentru un esantion arbitrar de 40 mere putemavea 0; 1; :::; pân¼a la 30 mere putrede. Vrem s¼a determin¼am care esteprobabilitatea �ec¼arui caz. Spatiul posibilit¼atilor pe care model¼amproblema este

= fA 2 P (M) =cardA = 40g ;iar evenimentele a c¼aror probabilitate o c¼aut¼am vor avea expresia

�l = fA 2 = card (A \R) = lg ; l = 0; 1; :::; 30:

4. EXEMPLE 17

Este clar c¼a evenimentele acestea formeaz¼a o partitie lui : Cardinalulmultimii este C401500: Pentru a determina cardinalul multimii �l vomrationa astfel: orice multime A 2 �l se împarte în mod natural îndou¼a p¼arti, A1 = A \ R de cardinal cardA1 = l si A2 = A \ Rc cucardA2 = 40 � l: Pentru A1 exist¼a C l30 posibilit¼ati de alc¼atuire, iarpentru A2 exist¼a C40�l1470 posibilit¼ati de alc¼atuire. Deci, multimea ce neintereseaz¼a, �l; are C l30 � C40�l1470 elemente. Obtinem formula

P (�l) =C l30 � C40�l1470

C401500:

Notând pl = P (�l) ; trecem la calculul numeric al acestor probabilit¼atiutilizând doar un minicalculator. Începem cu

p0 =C401470C401500

=1470� :::� 14311500� :::� 1461 =

1460� :::� 14311500� :::� 1471 =

=

�1� 40

1500

�:::

�1� 40

1471

�:

Avem un produs de 30 de numere apropiate de unitate si putem faceo aproximare bazându-ne pe lema1.1, punctul (iii) de mai jos:

� exp�30Xi=1

40

1470 + i:

Eroarea acestei aproxim¼ari este pozitiv¼a si majorat¼a de 712

P30i=1

�40

1470+i

�2;

evident mai mic¼a decât 0; 02: Mai departe, se observ¼a c¼a ultimul rezul-tat se poate aproxima, cu o nou¼a eroare mic¼a, negativ¼a de data aceasta,prin

exp�30Xi=1

40

1470 + i� exp�30� 40

1470= 0; 442:

Deci avem o valoare aproximativ¼a a lui p0 � 0; 442: Mai departe, cal-cul¼am o relatie de recurent¼a:

pl+1 =C l+130 � C40�l�11470

C401500=

1

C401500� 30!

(l + 1)! (30� l � 1)!�

� 1470!

(40� l � 1)! (1430 + l + 1)! =30� ll + 1

� 40� l1430 + l + 1

� pl:

Deci p1 = 301� 40

1431� p0 � 0; 370 si apoi p2 = 29

2� 39

1432� p1 � 0; 146

iar p3 = 283� 38

1433� p2 � 0; 036 si p4 = 27

4� 37

1434� p3 � 0; 006:

List¼am în tabelul urm¼ator valorile numerice ce se obtin prin calculpe un PC:

p0 p1 p2 p3 p40; 4409 0; 3697 0; 1460 0; 0361 0; 0062

Dup¼a cum se vede, calculele noastre aproximative sunt destul de apropi-ate de valorile reale. Adunând probabilit¼atile din tabel avem p0+ p1+


p2 + p3 + p4 = 0; 9989; ceea ce arat¼a c¼a restul probabilit¼atilor suntneglijabile (bineînteles c¼a are loc relatia

P30l=0 pl = 1). Cu tabelul în

fat¼a putem s¼a facem urm¼atorul comentariu. Sub ipoteza c¼a numai 2%dintre mere sunt putrede, probabilitatea covârsitoare o are evenimen-tul �num¼arul de mere putrede care ies la o extragere de 40 este celmult doi, adic¼a l � 2"; si anume p0 + p1 + p2 = 0; 9566: Evenimentul�num¼arul de mere putrede ce ies la o extragere de 40 este 3 sau maimare�este foarte rar, pentru c¼a probabilitatea sa este 0; 0434: Faptulde a g¼asi 3 mere putrede printre 40 testate nu este normal. O persoan¼ainteresat¼a, care în urma testului ar g¼asi 3 mere putrede, ar trebui s¼atrag¼a concluzia c¼a este foarte verosimil ca ipoteza cum c¼a �procentulmerelor putrede din lad¼a este de numai 2%�s¼a nu �e real¼a. �

Produsul mai multor numere apropiate de unitate.*În teoria probabilit¼atilor apare de multe ori problema evalu¼arii unor

produse cu multi factori cu valori apropiate de 1. De exemplu probabi-litatea intersectiei mai multor evenimente independente conduce la unastfel de produs. Pentru aceasta se utilizeaz¼a aproximarea 1�x � e�x;valabil¼a pentru x pozitiv, mic. Aceast¼a aproximare se dovedeste înmulte situatii atât de bun¼a c¼a permite si aproximarea repetat¼a în ace-lasi fel a factorilor unui produs. Formaliz¼am rezultatul în urm¼atoarealem¼a. Vom avea prilejul de a utiliza aceast¼a lem¼a în mai multe ocazii.

Lema 1.1. (i) Au loc urm¼atoarele inegalit¼atile

e�x�712x2 � 1� x � e�x� 1

2x2 ;

unde pentru prima este necesar ca 0 � x � 15; iar pentru a doua este

su�cient ca 0 � x � 1:(ii) Dac¼a 0 � x � 1; atunci sunt veri�cate inegalit¼atile

1� x � e�x � 1� x+ 12x2:

(iii) Dac¼a 0 � �1; :::; �n � 15; atunci au loc estim¼arile

exp

�

nXk=1

�k

!exp

� 712

nXk=1

�2k

!�

nYk=1

(1� �k) � exp �

nXk=1

�k

!;

exp

�

nXk=1

�k

!�

nYk=1

(1� �k) �7

12

nXk=1

�2k

!exp

�

nXk=1

�k

!:

Pentru partea dreapt¼a a primei estim¼ari este su�cient ca 0 � �1; :::; �n �1:

DemonstraTie. (i) Se porneste de la scrierea 1�x = exp (ln (1� x))dup¼a care se utilizeaz¼a dezvoltarea în serie de puteri a functiei ln (1� x)pentru jxj < 1 :

ln (1� x) = �x� 12x2 � 1

3x3 � 1

4x4 � :::

4. EXEMPLE 19

În urma neglij¼arii termenilor de la al treilea încolo avem ln (1� x) ��x � 1

2x2; ceea ce conduce imediat la partea dreapt¼a a estim¼arii din

enunt.Pentru a deduce partea stâng¼a a estim¼arii vom majora restul seriei

de la al treilea termen prin seria geometric¼a astfel:

1

3x3 +

1

4x4 + ::: <

1

3x3�1 + x+ x2 + :::

�=1

3

x3

1� x;

unde am considerat c¼a 0 < x < 1: Pentru 0 � x � 15avem inegalitatea

11�x �

54; ceea ce conduce la

1

3x3 +

1

4x4 + ::: � 1

12x2:

De aici rezult¼a imediat c¼a ln (1� x) � �x � 712x2; ceea ce conduce la

inegalitatea din enunt.(ii) Pentru estim¼arile de la acest punct se utilizeaz¼a dezvoltarea în

serie a functiei exponentiale,

e�x = 1� x+ 12x2 � 1

3!x3 + :::;

care este o serie alternant¼a, pentru 0 < x < 1; cu termenii descresc¼atoriîn valoare absolut¼a.(iii) Primul rând de estim¼ari de la acest punct se obtin prin apli-

carea punctului (i) pentru �ecare factor al produsului. Pentru a deduceultima inegalitate se utilizeaz¼a primul rând de estim¼ari, obtinând

exp

�

nXk=1

�k

!�

nYk=1

(1� �k) � 1� exp 7

12

nXk=1

�2k

!!exp

�

nXk=1

�k

!;

dup¼a care se utilizeaz¼a inegalitatea 1� ex � x: �Remarc¼am c¼a pentru 0 � x � 1

10estim¼arile de la punctul (i) ne

asigur¼a c¼a aproximarea 1 � x � e�x este satisf¼ac¼atoare. În calculeleconcrete ale unor probabilit¼ati de multe ori valorile mai mici ca 0; 01se neglijeaz¼a. Punctul (ii) este util pentru a examina estimarea în sensinvers e�x � 1 � x: Estim¼arile de la punctul (iii) sunt utile în m¼asuraîn care valorile �k sunt atât de mici încât chiar cumulate p¼atratele dausuma

Pnk=1 �

2k cu o valoare mic¼a.

Sigur c¼a pentru multe situatii concrete un PC permite calcule maiprecise decât cele bazate pe inegalit¼atile anterioare. Totusi sunt situ-atii când vrem s¼a facem estim¼ari lucrând cu variabile, adic¼a în loc denumere precise avem litere despre care stim c¼a desemneaz¼a valori cesunt de un anumit ordin. Atunci sunt utile aceste inegalit¼ati.Identitatea lui Van der Monde.Calculul din paragraful anteprecedent a pus în evident¼a o identitate

combinatoric¼a care merit¼a retinut¼a în forma general¼a urm¼atoare. S¼apresupunem c¼a multimeaM const¼a din bile albe si rosii si are cardinalulm: Submultimea bilelor rosii o not¼am R si not¼am cu r cardinalul s¼au.


Num¼arul de submultimi ale lui M care au cardinalul un num¼ar datn � m este Cnm: Aceste submultimi pot � grupate dup¼a num¼arul l deelemente din R pe care le contin. Num¼arul submultimilor de n biledintre care l sunt rosii este C lrC

n�lm�r si deducem identitatea

Cnm =Xl

C lrCn�lm�r;

care este cunoscut¼a sub numele de identitatea lui Van der Monde.Sumarea se face dup¼a indicele l care trebuie s¼a satisfac¼a relatiile 0 �l � n^r si n�l � m�r: (A doua relatie spune c¼a pentru o submultimea lui M care are n elemente, num¼arul elementelor din multimea MnRnu dep¼aseste cardinalul acestei multimi.)Putem calcula probabilitatea ca extr¼agând o submultime de cardi-

nal n din M s¼a obtinem l elemente din R: Aceast¼a probabilitate este

pl =ClrC

n�lm�r

Cnm: Conform cu conditiile mentionate mai sus, l trebuie s¼a

satisfac¼a relatiile 0 _ (n�m+ r) � l � n ^ r:Vom face acum o veri�care algebric¼a pentru identitatea lui Van der

Monde, pe care o si enunt¼am mai precis sub forma: dac¼a numerelenaturale m; r; n satisfac conditiile 0 � r; n � m; atunci are loc relatia

Cnm =n^rX

l=0_(n�m+r)

C lrCn�lm�r:

Solutie. Vom presupune c¼a 1 � r; n � m� 1; pentru c¼a altfel iden-titatea este trivial¼a. Facem o inductie dup¼a m si utiliz¼am identitateaelementar¼a Ckm = Ckm�1 + C

k�1m�1; valabil¼a pentru numerele naturale

1 � k < m: Dac¼a r < n < m� r; putem scrien^rX

l=0_(n�m+r)

C lrCn�lm�r =

rXl=0

C lrCn�lm�r =

rXl=0

C lrCn�lm�1�r +

rXl=0

C lrCn�1�lm�1�r

si, aplicând formula presupus¼a valabil¼a pentru m� 1; rezult¼a= Cnm�1 + C

n�1m�1 = C

nm:

Pentru cazul n � r; n < m� r; calculul este asem¼an¼ator:n^rX

l=0_(n�m+r)

C lrCn�lm�r =

nXl=0

C lrCn�lm�r =

n�1Xl=0

C lrCn�lm�r + C

nr =

n�1Xl=0

C lrCn�lm�1�r + C

nr +

n�1Xl=0

C lrCn�1�lm�1�r = C

nm�1 + C

n�1m�1 = C

nm:

Cazul m� r � n; r < n este si el similar:rX

l=0_(n�m+r)

C lrCn�lm�r =

rXl=n�m+r

C lrCn�lm�r =

4. EXEMPLE 21

=rX

l=n�m+r+1

C lrCn�lm�r + C

n�m+rr =

rXl=n�m+r+1

C lrCn�lm�1�r+

+

rXl=n�m+r+1

C lrCn�1�lm�1�r + C

n�m+rr = Cnm�1 + C

n�1m�1 = C

nm:

R¼amâne de veri�cat cazulm�r � n � r; pentru care avem un calcul cecombin¼a situatiile ultimelor dou¼a cazuri anterioare. L¼as¼am cititoruluigrija acestei veri�c¼ari.Observ¼am c¼a veri�carea algebric¼a este mai greoaie. �

4.2. Problema potrivirilor. Exemplul 1.O persoan¼a pretinde a avea simturi paranormale care îi permit s¼a

poat¼a simti culorile f¼ar¼a s¼a vad¼a respectivele obiecte colorate. Pen-tru a se dovedi aceste calit¼ati, se face urm¼atorul experiment. Se iau 4cartoane colorate, �ecare de alt¼a culoare, si se pun într-o p¼al¼arie. Per-soana respectiv¼a trece în camera al¼aturat¼a si altcineva extrage pe rândcartoanele din p¼al¼arie. Din camera al¼aturat¼a persoana cu pretinselecalit¼ati paranormale trebuie s¼a spun¼a în ordine ce culori au fost ex-trase. Care este probabilitatea ca un singur r¼aspuns s¼a �e exact, dac¼ar¼aspunsurile se dau prin hazard? Care este probabilitatea ca numaidou¼a r¼aspunsuri s¼a �e exacte, dac¼a ele se dau la întâmplare? Care esteprobabilitatea ca toate r¼aspunsurile s¼a �e exacte, când ele se dau prinhazard?Solutie. Experimentul extragerii celor 4 cartoane din p¼al¼arie este

complet analog extragerii f¼ar¼a întoarcere a 4 bile dintr-o urn¼a ce are in-itial exact 4 bile. Iar dac¼a r¼aspunsurile sunt date la întâmplare, aceastarevine de fapt la a repeta extragerea f¼ar¼a întoarcere cu cele 4 bile. S¼anot¼am c1; c2; c3; c4; culorile extrase din p¼al¼arie. Fiecare serie de alte4 extrageri corespunde unei permut¼ari a acestor patru culori si toateau sanse egale. În total sunt 4! = 24 de posibilit¼ati si probabilitateaca s¼a �e date toate r¼aspunsurile corect este probabilitatea permut¼ariiidentice (c1; c2; c3; c4) ; ce este egal¼a cu 1

24:

S¼a stabilim care este probabilitatea ca un singur r¼aspuns s¼a �eexact. Pentru aceasta vom analiza mai întâi cazul acelori permut¼aricare las¼a numai culoarea c1 pe loc. Acestea sunt descrise de pozitiilecelorlalte culori, care pot � listate astfel

c2; c3; c4 c2; c4; c3 c3; c2; c4 c3; c4; c2 c4; c2; c3 c4; c3; c2

Se vede c¼a numai dou¼a, si anume a patra si a cincea schimb¼a toateelementele primei ordon¼ari a culorilor (ce corespunde extragerii dinp¼al¼arie). Deci exist¼a exact dou¼a permut¼ari ce schimb¼a locul �ec¼areiadin ultimele trei culori si las¼a pe loc prima culoare. La fel se poaterepeta rationamentul tinând pe loc �ecare din culorile c2; c3 sau c4:În felul acesta se obtine num¼arul total al permut¼arilor ce p¼astreaz¼ape loc exact o culoare, care este egal cu 4 � 2 = 8: Probabilitatea ca


prin hazard s¼a se dea raspuns corect la o singur¼a întrebare este deci824= 1

3= 0; 333:

S¼a vedem acum câte permut¼ari se pot face cu cele patru culoriastfel ca dou¼a s¼a r¼amân¼a pe loc iar celelalte dou¼a s¼a schimbe locul. Deexemplu, s¼a zicem c¼a c1 si c2 r¼amân pe loc. Atunci neap¼arat c3 si c4schimb¼a locul una cu alta, adic¼a singura permutare posibil¼a în acestfel este (c1; c2; c4; c3) : Dac¼a num¼ar¼am posibilit¼atile în care putem �xadou¼a din culori, g¼asim c¼a acestea sunt în num¼ar de C24 = 6: Deci exist¼a6 permut¼ari ce las¼a exact dou¼a culori pe loc. Rezult¼a c¼a probabilitateaca exact dou¼a r¼aspunsuri date la întâmplare s¼a �e corecte este de 6

24=

14= 0; 25:Dac¼a trei dintre culorile unei permut¼ari a celor 4 culori sunt l¼asate

pe loc, atunci neap¼arat si cea de a patra culoare trebuie s¼a r¼amân¼aneschimbat¼a, deci permutarea în cauz¼a este permutarea identic¼a. Rezult¼ac¼a permut¼arile care schimb¼a locul tuturor culorilor în acelasi timp suntîn num¼ar de 24 � 1 � 8 � 6 = 9: Putem concluziona c¼a probabilitateaca toate r¼aspunsurile date la întâmplare s¼a �e eronate este de numai924= 3

8= 0; 375:

Desigur, probabilitatea ca toate r¼aspunsurile s¼a se nimereasc¼a ex-acte este 1

24= 0; 04166; destul de mic¼a. Putem concluziona c¼a, dac¼a

dorim s¼a tragem concluzii realiste bazându-ne pe experimentul descrisîn aceast¼a problem¼a, trebuie s¼a consider¼am ca întâmpl¼atoare ghicirea auna sau dou¼a culori. Numai mentionarea complet¼a a tuturor culorilor,în ordine, poate � considerat¼a ca un indiciu al unei capacit¼ati realedeosebite de simpla nimereal¼a. �Exemplul 2.*Dou¼a rânduri de c¼arti de joc sunt amestecate �ecare separat, dup¼a

care sunt puse pe mas¼a în perechi, o carte dintr-un pachet al¼aturi de ocarte din cel¼alalt pachet. Se formeaz¼a în acest fel 52 de perechi. Careeste probabilitatea ca cel putin una din perechi s¼a contin¼a dou¼a c¼artiidentice?Solutie. Este o problem¼a de acelasi tip cu cea anterioar¼a. Spatiul

tuturor posibilit¼atilor este modelat de multimea permut¼arilor ce se potface cu 52 de obiecte. Problema revine la determinarea num¼arului depermut¼ari care nu las¼a nici un element pe locul s¼au. Num¼arul 52 �indmare în raport cu genul de calcule implicate în solutia anterioar¼a, nuputem repeta rationamentul de acolo. Vom da o solutie bazat¼a peegalitatea lui Poincaré demonstrat¼a mai jos.Vom înlocui cifra 52 cu litera n pentru a face problema mai gen-

eral¼a. Din punctul de vedere al rationamentului nu se va produce nicio complicatie. Deci în continuare vom presupune c¼a avem o multimeformat¼a din n elemente si c¼aut¼am permut¼arile (ce se pot face cu acesteelemente) cu proprietatea c¼a nici un element nu este l¼asat invariant.

4. EXEMPLE 23

Fie M = f1; 2; :::; ng multimea noastr¼a cu n elemente. Multimeatuturor permut¼arilor este descris¼a astfel:

= f(x1; x2; :::; xn) 2Mn= xi 6= xj;8i 6= jg :Num¼arul elementelor din este n!: Mai întâi vom analiza multimile depermut¼ari care las¼a pe loc un element. Fie Aj multimea permut¼arilorce las¼a pe loc elementul j :

Aj = f(x1; x2; :::; xn) 2 = xj = jg :Multimea permut¼arilor care las¼a cel putin un element pe loc este re-uniunea

Snj=1Aj: Multimea permut¼arilor care nu las¼a pe loc nici un

element al lui M; este cea care ne intereseaz¼a si o not¼am cu B: Ea estecomplementara reuniunii anterioare:

B =

n[j=1

Aj

!c:

Prin aplicarea formulei lui Poincaré, de mai jos, avem

P (B) = 1�nXi=1

P (Ai) +Xi<j

P (Ai \ Aj)�

�Xi<j<k

P (Ai \ Aj \ Ak) + :::+ (�1)n P

n\i=1

Ai

!:

Dar pentru multimile Aj stim s¼a calcul¼am probabilitatea: multimeaAj se pune în corespondent¼a bijectiv¼a cu multimea permut¼arilor ce sepot face cu obiectele multimiiMn fjg ; deci are (n� 1)! elemente. Pro-babilitatea este atunci P (Aj) =

(n�1)!n!; pentru �ecare indice j: Pentru

doi indici diferiti i 6= j putem calcula la fel num¼arul elementelor dinintersectia Ai\Aj : aceast¼a multime se pune în bijectie cu permut¼arilece se pot face cu elementele multimii Mn fi; jg ; deci are (n� 2)! el-emente. Probabilitatea respectiv¼a este P (Ai \ Aj) = (n�2)!

n!: La fel se

g¼aseste si pentru trei indici diferiti: P (Ai \ Aj \ Ak) = (n�3)!n!; etc. La

prima sum¼a din formula de mai sus particip¼a n termeni, la cea de adoua particip¼a C2n termeni, la cea de a treia C

3n; etc. Tinând cont de

toate acestea putem calcula �ecare termen din formula de mai sus:

P (B) = 1�n�(n� 1)!n!

+n!

2! (n� 2)!�(n� 2)!n!

� n!

3! (n� 3)!�(n� 3)!n!

+:::

+(�1)n � 1

n!= 1� 1

1+1

2!� 1

3!+ :::+ (�1)n 1

n!:

Se observ¼a c¼a dezvoltând functia exponential¼a în serie Taylor în jurullui 0 si apoi calculând-o în �1; obtinem seria in�nit¼a

exp (�1) = 1� 11+1

2!� 1

3!+ :::+ (�1)n 1

n!:::


Rezult¼a c¼a putem evalua diferenta e�1�P (B) cu restul Taylor de ordinn al functiei expx :

e�1 � P (B) = 1

(n+ 1)!e��

cu un num¼ar � 2 (�1; 0) : Deci P (B) � e�1 � 0; 3678; cu o eroare deordinul lui 1

(n+1)!: Pentru n = 4 avem 1

5!= 1

120� 0; 00833; pentru n = 5

avem 16!= 1

720� 0; 00139 iar pentru n = 6 avem 1

7!= 1

5040< 0; 0002:

Din punct de vedere practic, pentru n � 6; probabilitatea ca s¼a nuavem coincidente nu depinde de n: �

Lema 1.2. (Formula lui Poincaré) Fie (;F ; P ) un spatiu proba-bilizat si A1; :::; An evenimente arbitrare. Atunci are loc urm¼atoareaformul¼a

P

n[i=1

Ai

!=

nXi=1

P (Ai)�Xi<j

P (Ai \ Aj)+

+Xi<j<k

P (Ai \ Aj \ Ak) + :::+ (�1)n�1 P

n\i=1

Ai

!:

DemonstraTie. Pentru n = 2 formula devine

P (A1 [ A2) = P (A1) + P (A2)� P (A1 \ A2) :Veri�carea ei se face pornind cu urm¼atoarele descompuneri în multimidisjuncte

A1 = (A1nA2) [ (A1 \ A2) ; A2 = (A2nA1) [ (A1 \ A2) ;A1 [ A2 = A1 = (A1nA2) [ (A2nA1) [ (A1 \ A2) :

Utilizând aditivitatea m¼asurii de probabilitate se ajunge la concluziadorit¼a. În continuare se procedeaz¼a prin inductie. Presupunem c¼aformula este adev¼arat¼a pentru n si vom demonstra c¼a ea este valabil¼asi pentru n+ 1: Not¼am B =

Sni=1Ai si scriem

P

n+1[i=1

Ai

!= P (An+1) + P (B)� P (An+1 \B) =

=n+1Xi=1

P (Ai)��nXi<j

P (Ai \ Aj) +�nX

i<j<k

P (Ai \ Aj \ Ak) + :::

+(�1)n�1 P

n\i=1

Ai

!� P (An+1 \B) : (�)

Ultimul termen din aceast¼a expresie se exprim¼a din nou prin utilizareaformulei Poincaré cu n multimi:

P (An+1 \B) = P

n[i=1

(An+1 \ Ai)!=

4. EXEMPLE 25

=

nXi=1

P (An+1 \ Ai)��nXi<j

P (An+1 \ Ai \ Aj)+:::+(�1)n�1 P n+1\i=1

Ai

!:

Tinând cont de relatiile

�nXi<j

P (Ai \ Aj) +nXi=1

P (An+1 \ Ai) =�n+1Xi<j

P (Ai \ Aj) ;

�nXi<j<k

P (Ai \ Aj \ Ak)+�nXi<j

P (An+1 \ Ai \ Aj) =�n+1Xi<j<k

P (Ai \ Aj \ Ak) ;

si asa mai departe ..., rezult¼a c¼a partea dreapt¼a a egalit¼atii (*) devine

=

n+1Xi=1

P (Ai)��n+1Xi<j

P (Ai \ Aj) +�n+1Xi<j<k

P (Ai \ Aj \ Ak) + :::

+(�1)n P n+1\i=1

Ai

!;

care este exact membrul drept al formulei ce dorim s¼a prob¼am cu n+1multimi.�

4.3. Problema cu zilele de nastere. Ne propunem s¼a calcul¼amprobabilitatea ca dintr-un grup de n persoane, a�ate împreun¼a întâm-pl¼ator, toate s¼a aib¼a zile de nastere diferite. Vom ar¼ata c¼a pentrun = 23 aceast¼a probabilitate devine mai mic¼a decât 0; 5.Solutie. Pentru a modela probabilistic problema facem o compara-

tie a zilei de nastere pe care o are o persoan¼a cu extragerea din urna cu365 de bile. Pentru n persoane va corespunde o serie de n extrageri dinurn¼a cu revenire. (Vezi exemplul 3. din paragraful despre repartitiaunei variabile pentru o discutie mai riguroas¼a a model¼arii, care îns¼a con-duce la aceeasi formul¼a.) De�nim spatiul M = f1; 2; :::; 365g constânddin numerele de la 1 la 365 si reprezentând zilele anului. Multimea cedescrie toate posibilit¼atile este

= f! = (x1; :::; xn) j xi 2M ; i = 1; :::; ng =Mn:

Avem card () = 365n si de�nim o probabilitate pe care s¼a fac¼aechiprobabile toate evenimentele elementare, deci punem

P (f!g) = 1

365n:

Multimea care ne intereseaz¼a o not¼am cu � si const¼a din evenimenteleelementare pentru care toate componentele sunt distincte:

� = f! = (x1; :::; xn) 2 j xi 6= xj ; 8 i 6= jg :


Bineînteles c¼a trebuie s¼a presupunem n � 365 pentru ca � s¼a nu �evid¼a. Multimea � are un num¼ar de An365 elemente. Atunci putemexprima probabilitatea

P (�) =365 (365� 1) ::: (365� n+ 1)

365n:

Este clar c¼a valoarea acestei expresii scade cu cât creste n: Calcululexact al acestei probabilit¼ati pentru toate valorile n = 1; :::; 365 se poateface utilizând calculatorul. Mai jos vom face o estimare cu calcule �demân¼a� su�cient de �n¼a a acestei probabilit¼ati astfel încât s¼a putemstabili c¼a pentru n = 22 probabilitatea în cauz¼a este mai mare decât0; 5; iar pentru n = 23 acea probabilitate este mai mic¼a decât 0; 5:

Aspecte numerice pentru problema anterioar¼a.Mai departe ne vom ocupa cu estimarea functiei de�nit¼a prin pro-

dusul

f (n) =

�1� 1

365

�:::

�1� n� 1

365

�;

care reprezint¼a probabilitatea c¼autat¼a în problema zilelor de nastere.Vom aplica acestui produs lema 1.1. A doua inegalitate din primulrând de la punctul (iii) al lemei ne d¼a

f (n) � exp�n�1Xk=1

k

365= exp

� (n� 1)n730

:

Vom nota g (n) = exp� (n�1)n730

astfel c¼a inegalitatea anterioar¼a se scrief (n) � g (n) : Presupunând c¼a n � 74 vom putea s¼a aplic¼am si a douainegalitate de la punctul (iii) al lemei, care conduce la

g (n)� f (n) � g (n) 712

n�1Xk=1

k2

3652:

Suma din membrul drept se majoreaz¼a prinn�1Xk=1

k2

3652� n (n� 1) (2n� 1)

6� 3652 ;

astfel c¼a notând rn = 712n(n�1)(2n�1)

6�3652 putem scrie

g (n)� f (n) � g (n) rn:

Calcul¼am g (22) � 0; 531 si g (22) r22 � 0; 0077; ceea ce conduce laf (22) � 0; 523: În continuare calcul¼am g (23) � 0; 499998; ceea ceimplic¼a f (23) � 0; 49999 < 0; 5: Cu aceasta am încheiat veri�careaa�rmatiei f¼acute la început.

Este semni�cativ de notat c¼a f (46) � g (46) � 0; 058 si f (69) �g (69) � 0; 0016: De aceea, dac¼a se face experimentul de a lista datele denastere a 23 de studenti, în situatia c¼a nu se nimeresc doi cu aceeasi zi de

5. ANEX¼A: NOTIUNI DE COMBINATORIC¼A 27

nastere, se poate continua cu listarea zilelor de nastere ale p¼arintilor. Înmod practic, atunci vom putea �siguri c¼a cel putin dou¼a date coincid.�

5. Anex¼a: notiuni de combinatoric¼a

În aceast¼a sectiune vom face o recapitulare a principalelor notiunide combinatoric¼a ce sunt înv¼atate în liceu. Cu aceast¼a ocazie vomstabili si o notatie ce o vom p¼astra în restul c¼artii.O multime �nit¼a cu m elemente va � notat¼a M: Pentru a � în ton

cu modelele noastre probabiliste putem s¼a gândim c¼a M este format¼adin bile numerotate de la 1 la m: Formal vom scrie M = f1; :::;mg :1. Dac¼a avem dou¼a multimi distincte Mi = f1; :::;mig ; i = 1; 2;

pentru a determina cardinalul multimii produsM1�M2 facem num¼ar¼a-toarea elementelor însirându-le în ordine lexicogra�c¼a:

M1 �M2 = f(1; 1) ; (1; 2) ; :::; (1;m2) ;

(2; 1) ; (2; 2) ; :::; (2;m2) ; :::; (m1; 1) ; (m1; 2) ; :::; (m1;m2)g :

Putem astfel constata c¼a avem card (M1 �M2) = m1m2:Pentru k multimi vom avea

card (M1 � :::�Mk) = m1:::mk:

În particular, dac¼a consider¼am produsul de k ori al aceleiasi multimiM din m elemente vom avea card

�Mk�= mk:

2. Num¼arul modalit¼atilor distincte în care pot �însiruite elementelemultimii M = f1; :::;mg este numit �permut¼ari de m obiecte� si estenotat Pm: Vom demonstra în continuare, prin inductie, c¼a acest num¼areste egal cu Pm = 1 � 2 � 3 � ::: �m = m!:O însiruire a elementelor din M poate � descris¼a prin sistemul de

elemente (x1; :::; xm) 2 Mm; unde se presupune c¼a xi 6= xj pentrui 6= j: Multimea tuturor însiruirilor ce se pot face cu elementele din Mo putem deci descrie prin

Mm = f(x1; :::; xm) 2Mm=xi 6= xj;8i 6= jg :

Si vrem s¼a ar¼at¼am c¼a card (Mm) = m!: Presupunem c¼a este adev¼arat¼arelatia pentru m� 1; adic¼a card (Mm�1) = (m� 1)!; unde

Mm�1 =n(x1; :::; xm�1) 2 (M 0)

m�1=xi 6= xj;8i 6= j

o;

iarM 0 = f1; :::;m� 1g : Pentru �ecare element x 2M; �xat, observ¼amc¼a multimea

U (x) = f(x1; :::; xm) 2Mm=xm = xg

este izomorf¼a cuMm�1: Pe de alt¼a parte, are loc egalitatea

Mm =[x2M

U (x) ;


care permite num¼ararea elementelor - obtinem

card (Mm) = m � card (Mm�1) = m!: �3. Fie 1 � k � m si s¼a presupunem în continuare c¼a M este

multimea anterioar¼a. Num¼arul grupurilor ordonate formate cu câte kobiecte din M este numit �aranjamente de m obiecte luate câte k �si este notat Akm: Dorim s¼a ar¼at¼am c¼a acest num¼ar este egal cu Akm =m (m� 1) ::: (m� k + 1) : Not¼am

Mkm =

�(x1; :::; xk) 2Mk=xi 6= xj;8i 6= j

multimea tuturor acestor grupuri ordonate. Din nou ration¼am prininductie si presupunem c¼a stim formula

card�Mk�1

m�1�= (m� 1) (m� 2) ::: (m� k + 1) :

Pentru �ecare element �xat, x 2M; not¼am

V (x) =�(x1; :::; xk) 2Mk

m=xk = x:

Vom avea relatia

Mkm =

[x2M

V (x) :

Pe de alt¼a parte, este usor de v¼azut c¼a V (x) este izomorf¼a cuMk�1m�1 si

de aceea deducem

card�Mk

m

�= m � card

�Mk�1

m�1�= m (m� 1) ::: (m� k + 1) : �

4. Fiind dat¼a aceeasi multimeM cum elemente, cardinalul multimiip¼artilor lui M care au k elemente este numit �combin¼ari de m obiecteluate câte k �. Acest num¼ar este notat cu Ckm si vom ar¼ata, din nouprin inductie dup¼a m; c¼a are loc formula Ckm =

m!k!(m�k)! : Pentru aceasta

not¼am� = fA �M=cardA = kg :

Descompunem aceast¼a multime în dou¼a � = �1 [ �2; unde am notat

�1 = fA 2 �=m 2 Ag ; �2 = fA 2 �=m =2 Ag :

Dac¼a utiliz¼am si notatia M 0 = f1; :::;m� 1g ; putem s¼a scriem

�2 = fA �M 0=cardA = kg

si pe baza ipotezei de inductie avem card (�2) = Ckm�1 =(m�1)!

k!(m�1�k)! : Pede alt¼a parte, multimea �1 este izomorf¼a cu fA0 �M 0=cardA0 = k � 1g :De aceea avem card (�1) = C

k�1m�1 =

(m�1)!(k�1)!(m�1�k)! : Rezult¼a

Ckm = card (�) = card (�1) + card (�2) =

=(m� 1)!

k! (m� 1� k)! +(m� 1)!

(k � 1)! (m� k)! =m!

k! (m� k)! : �

6. EXERCITII 29

6. Exercitii

Exercitiul 1.1. Biletele de la o tombol¼a sunt numerotate de la 1la 10.000. Ce proportie dintre ele se termin¼a cu cifra 1, dar cu 2, ...,dar cu 9? Ce proportie dintre ele încep cu cifra 1, dar cu 2, ..., dar cu9?

Exercitiul 1.2. Se consider¼a zilele de 13 din lunile anului 2006.Ce proportie dintre ele sunt luni, dar marti, ..., dar duminic¼a? Aceeasiproblem¼a pentru zilele de 13 din anii 2006 si 2007. Câti ani consecutivitrebuiesc luati în calcul pentru a avea aceeasi proportie de zile de 13pentru �ecare zi din s¼apt¼amân¼a? (Se va tine cont de anii bisecti.)

Exercitiul 1.3. Fie o multime si A;B � : Scrieti A [ B cao reuniune de multimi disjuncte care sunt obtinute din A si B prinoperatiile de algebr¼a de p¼arti (intersectie si complementar¼a) si caresunt total incluse sau în A sau în B: În câte feluri se poate face acestlucru? Aceeasi problem¼a pentru reuniunea a trei multimi A [B [ C:

Exercitiul 1.4. Fiind dat un spatiu probabilizat (;F ; P ) si A;B;C 2F s¼a se arate c¼a are loc relatia

P (A [B [ C) = P (A) + P (B) + P (C)��P (A \B)� P (A \ C)� P (B \ C) + P (A \B \ C)

Exercitiul 1.5. Un pion este pus pe pozitia A în sirul de litere demai jos.

A B C D E

Se arunc¼a cu banul de 4 ori la rând si dup¼a �ecare aruncare se actioneaz¼aasupra pionului în felul urm¼ator: dac¼a iese cifra, acesta se mut¼a cu opozitie la dreapta; dac¼a iese stema, r¼amâne pe loc. S¼a se a�e probabili-tatea ca pionul s¼a: 1) r¼amân¼a în pozitia A, 2) dep¼aseasc¼a B, 3) ajung¼aîn pozitia E.

Exercitiul 1.6. Într-o familie 4 fete se ocup¼a de sp¼alatul vaselor perând. Într-o anumit¼a perioad¼a de timp s-au spart 4 farfurii, dintre care3 le-a spart mezina. Ea spune c¼a întâmplarea a f¼acut s¼a se nimereasc¼ala ea aceste incidente. Ce sens probabilistic se poate da a�rmatiei f¼acutede mezin¼a? Presupunând c¼a incidentele se produc aleator, care esteprobabilitatea ca s¼a se nimereasc¼a cel putin 3 la una din cele 4 fete?Care este probabilitatea ca acestea s¼a se produc¼a la mezin¼a? Cum seschimb¼a problema dac¼a dup¼a un interval de timp se mai sparg dou¼afarfurii, din care una este spart¼a tot de mezin¼a? Cum interpretamproblema dac¼a de la început era vorba doar de trei farfurii sparte, dincare dou¼a erau sparte de mazin¼a?(Indicatie. Pentru a modela problema ne imagin¼am c¼a toate fetele

particip¼a la sp¼alatul vaselor în acelasi timp. Dac¼a se sparge o farfuriesi hazardul alege la care din ele s¼a se petreac¼a incidentul, acest fenomeneste analog cu extragerea unei bile dintr-o urn¼a cu patru bile. Repetarea


de înc¼a trei ori a fenomenului, este analoag¼a cu repetarea extragerilorcu întoarcere de înc¼a trei ori. )

Exercitiul 1.7. Trei studenti, A,B,C, folosesc împreun¼a o masin¼a.În decursul a doi ani masina a fost lovit¼a (usor) de patru ori, dup¼a cumurmeaz¼a: o dat¼a a fost lovit¼a de A si de trei ori de C. Se poate trageconcluzia c¼a C este mai neîndemânatic? Pentru a l¼amuri situatia esterelevant s¼a se presupun¼a c¼a accidentele se produc aleator si se petrecla oricare din cei trei studenti cu aceeasi probabilitate. Sub aceast¼aipotez¼a, s¼a se calculeze care ar � probabilitatea ca din patru accidentepetrecute, trei s¼a cad¼a la un student, iar al patrulea la un alt student?

Exercitiul 1.8. Juc¼atorul A arunc¼a cu patru zaruri si câstig¼a unpremiu dac¼a obtine cel putin un as. Juc¼atorul B arunc¼a de 24 de oricu dou¼a zaruri si câstig¼a un premiu dac¼a obtine la cel putin una dinarunc¼ari o dubl¼a de asi. Care din juc¼atori are mai multe sanse de acâstiga? (Problem¼a cunoscut¼a sub numele de problema lui Mère).

Exercitiul 1.9. Juc¼atorul A arunc¼a de 6 ori cu un zar si câstig¼aun premiu dac¼a obtine cel putin un as. Juc¼atorul B arunc¼a de 12 oricu zarul si câstig¼a un premiu dac¼a obtine cel putin doi asi. Care dinjuc¼atori are probabilitatea de a câstiga mai mare? (Problem¼a pus¼a luiNewton, care i-a dat pe loc o solutie.)

Exercitiul 1.10. La o us¼a exist¼a dou¼a broaste. De obicei aveti6 chei asem¼an¼atoare asupra dumneavoastr¼a si printre ele sunt si celede la usa cu pricina. 1) Care este probabilitatea ca primele dou¼a cheiîncercate s¼a deschid¼a cele dou¼a broaste? 2) Ati pierdut una din celesase chei, nu se stie care. Ce probabilitate exist¼a ca s¼a puteti totusideschide usa respectiv¼a?

Exercitiul 1.11. Într-o parcare sunt 12 locuri asezate unul lâng¼aaltul în linie. 8 dintre aceste locuri sunt ocupate, iar 4 sunt libere.Cineva observ¼a c¼a cele 4 locuri libere sunt unul lâng¼a cel¼alalt si îsi puneîntrebarea dac¼a aceasta este o întâmplare. Care este probabilitatea ca4 din 12 pozitii a�ate în linie s¼a �e consecutive?

Exercitiul 1.12. Un profesor primeste 12 bilete de amend¼a pentruparcare pe trotuar lâng¼a Universitate. Dac¼a toate biletele sunt primitemartea sau joia, se poate trage concluzia c¼a profesorul vine numai înzilele respective cu masina la universitate? Care este probabilitatea cadin 12 evenimente care pot avea loc în oricare din primele 5 zile ales¼apt¼amânii, toate s¼a se petreac¼a în zilele de marti sau joi? Care esteprobabilitatea ca din 12 evenimente petrecute întâmpl¼ator în oricare din5 zile, s¼a se nimereasc¼a toate în numai 2 zile?

Exercitiul 1.13. Din 15 bilete de amend¼a pentru parcare pe tro-tuar nici unul nu este dat vinerea. Se poate trage concluzia, din aceast¼a

6. EXERCITII 31

informatie, c¼a vinerea nu sunt probleme cu parcarea? Care este proba-bilitatea ca din 5 evenimente petrecute întâmpl¼ator în oricare din cele5 zile lucr¼atoare, toate s¼a aib¼a loc în 4 ?

Exercitiul 1.14. * 15 elevi nou sositi într-o scoal¼a sunt reparti-zati în mod egal în 3 clase paralele. Printre noii veniti se a�¼a si treib¼aieti mai înalti. Ei prezint¼a interes pentru echipele de baschet alecelor trei clase. De aceea se pune urm¼atoarea problem¼a. Presupunândc¼a repartizarea lor se face aleator, care este probabilitatea ca cei treielevi înalti s¼a nimereasc¼a în aceeasi clas¼a? Care este probabilitatea caei s¼a nimereasc¼a în clase diferite? Dar s¼a nimereasc¼a 2 în aceeasi clas¼asi al treilea în alt¼a clas¼a?

Exercitiul 1.15. Se arunc¼a 6 zaruri. Care este probabilitatea cas¼a se obtin¼a trei numere distincte, �ecare repetat de dou¼a ori?

Exercitiul 1.16. * 6 persoane din aceeasi localitate fac naveta cuun tren care are 3 vagoane. Fiecare se urc¼a la întâmplare într-un vagon.Care este probabilitatea s¼a nimereasc¼a toti în acelasi vagon? Care esteprobabilitatea ca s¼a nimereasc¼a câte doi în �ecare vagon? Fiecare vagonare câte 10 compartimente si se presupune c¼a �ecare persoan¼a nimerestealeator într-un compartiment. Care este probabilitatea ca s¼a nimereasc¼a�ecare în alt compartiment?

CAPITOLUL 2

Câteva notiuni de baz¼a

În acest capitol vom prezenta câteva din notiunile de baz¼a din teoriaprobabilit¼atilor care iau în considerare numai un num¼ar �nit de eveni-mente. Ele pot � discutate cu toat¼a semni�catia în cadrul unui spatiuprobabilizat �nit. Cele mai multe din exemplele pe care le discut¼amvor � tocmai de acest tip. Totusi vom utiliza drept cadru de baz¼a unspatiu probabilizat general (;F ; P ) ; pentru a nu �obligati mai târzius¼a revenim asupra acestor notiuni.

1. Probabilit¼ati conditionate

1.1. Notiunea de probabilitate conditionat¼a. Fiind dat spatiulprobabilizat (;F ; P ) si multimea A 2 F astfel ca P (A) > 0; vom nota

P (B=A) =P (B \ A)P (A)

;

pentru orice multime B 2 F si vom denumi aceast¼a expresie probabi-litatea lui B conditionat¼a de A. Se veri�c¼a usor c¼a B ! P (B=A) esteo m¼asur¼a de probabilitate pe (;F) si c¼a P (Ac=A) = 0; P (A=A) = 1;deci P (�=A) este suportat¼a de A. Urm¼atoarele exemple dau o ideedespre semni�catia acestei de�nitii.Exemplul 1.S¼a presupunem c¼a într-o sal¼a de curs se a�¼a un num¼ar 60 de studenti

dintre care 35 de fete si 25 de b¼aieti. Presupunem c¼a 10 dintre fete si10 dintre b¼aieti au în¼altimea mai mare de 1,70. Se alege la întâmplarenumele unui student. S¼a se determine:a) probabilitatea ca persoana al c¼arei nume a fost ales la întâmplare

din catalog s¼a �e mai înalt¼a de 1,70.b) probabilitatea ca o student¼a s¼a �e mai înalt¼a de 1,70.c) probabilitatea ca un student b¼aiat s¼a �e mai înalt de 1,70.Solutie.Vom nota cumultimea tuturor studentilor, cuAmultimea

fetelor, iar cu B multimea studentilor de în¼altime mai mare ca 1,70.Probabilitatea este dat¼a de P (f!g) = 1

card; adic¼a este probabilitatea

ce acord¼a aceasi valoare �ec¼arui individ.a) Avem P (B) = 20

60= 0; 33:

b) Avem de calculat probabilitatea conditionat¼a P (B=A) = P (B\A)P (A)

=1035= 0; 28:

32

1. PROBABILIT¼ATI CONDITIONATE 33

c) Calcul¼am probabilitatea conditionat¼a P (B=Ac) = P (B\Ac)P (Ac)

=1025= 0; 4: �Exemplul 2.Tratamentul aplicat unui num¼ar de 700 pacienti care sufereau de

piatr¼a la rinichi a dat rezultatele urm¼atoare: pentru 562 tratamen-tul a avut succes, iar pentru 138 a avut esec. Not¼am cu multimeapacientilor si cu A multimea pacientilor care au fost vindecati. Deciprobabilitatea de succes a tratamentului este P (A) = 562

700= 0; 802:

Analizând rezultatele se constat¼a c¼a, împ¼artind pietrele dup¼a dimen-siunea lor, comparat¼a cu dimensiunea vaselor renale, în dou¼a grupe,pietre mici si pietre mari, rezultatele pot � clasate astfel: au fost 357pietre mici si pentru 315 dintre ele tratamentul a condus la succes,iar pentru 42 a esuat; au fost 343 pietre mari, pentru 247 din eletratamentul a avut succes, iar pentru 96 a esuat. Putem trage con-cluzia c¼a avem alte probabilit¼ati care sunt semni�cative. Not¼am cuB multimea pacientilor cu piatr¼a mic¼a. Probabilitatea ca tratamentuls¼a reuseasc¼a în cazul unei pietre mici este probabilitatea conditionat¼aP (A=B) = 315

357= 0; 882: Probabilitatea ca tratamentul s¼a reuseasc¼a în

cazul unei pietre mari este P (A=Bc) = 247342

= 0; 722; astfel c¼a rezul-tatele tratamentului sunt mai nuantat caracterizate prin intermediulprobabilit¼atilor conditionate.Exemplul 3. (un model din actuariat)Pentru a modela probabilistic statistica vârstei de deces a unui grup

de indivizi (este vorba de o colectivitate mare, de ordinul unei t¼ari, deexemplu) se consider¼a o m¼asur¼a de probabilitate P pe intervalul detimp [0; 100], cu unitatea de m¼asur¼a 1 an. Probabilitatea de deces înintervalul (s; t) este exprimat¼a printr-o formul¼a de tipul

P ((s; t)) =

tZs

� (r) dr;

unde � (r) este o functie de densitate (sau de intensitate a deceselor).Altfel spus, num¼arul P ((s; t)) reprezint¼a raportul dintre num¼arul dece-selor petrecute între vârsta de s ani si vârsta de t ani fat¼a de num¼arultotal de decese. Adic¼a raportat la num¼arul total al indivizilor din pop-ulatia luat¼a în considerare, pentru c¼a se presupune c¼a nici unul nutr¼aieste mai mult de o sut¼a de ani. Functia � are o expresie analitic¼ace se determin¼a prin metode speciale dup¼a analiza datelor statisticeînregistrate o�cial.Pentru a face calcule, în continuare vom considera urm¼atoarea ex-

presie simpli�cat¼a pentru densitate:

� (s) = 3 � 10�9s2 (100� s)2 ; s 2 (0; 100) :

34 2. CÂTEVA NOTIUNI DE BAZ¼A

Figura 1. Gra�cul functiei �

Se veri�c¼a faptul c¼a aceast¼a functie conduce la o probabilitate:100Z0

� (s) ds = 1:

Gra�cul functiei � arat¼a cum se vede în �gura 1. Este un gra�c înform¼a de farfurie întoars¼a, care, desigur, nu are decât o asem¼anareaproximativ¼a cu situatiile reale.Vom nota cu A evenimentul deceselor între 60 si 70 de ani. Probabi-

litatea acestui eveniment se poate calcula exact, dac¼a utiliz¼am formulaanterioar¼a pentru �,

P (A) = P ((60; 70)) =

70Z60

� (s) ds = 0; 154:

Aceast¼a valoare reprezint¼a raportul dintre num¼arul deceselor ce au locîntre 60 si 70 de ani si num¼arul total al deceselor. Dac¼a not¼am cu Bevenimentul deceselor peste 60 de ani putem calcula probabilitatea

P (B) =

100Z60

� (s) ds = 0; 316;

dup¼a care putem calcula si probabilitatea conditionat¼a

P (A=B) =P (A)

P (B)=0; 154

0; 316= 0; 486:

Acest num¼ar reprezint¼a raportul dintre num¼arul deceselor între 60 si 70si num¼arul deceselor peste 60 de ani, sau altfel spus, este probabilitateade a deceda pân¼a în 70 de ani conditionat¼a de faptul c¼a am ajuns la 60de ani. Dup¼a cum se vede, cele dou¼a numere au semni�catie si valoridiferite: P (A) 6= P (A=B) :

Rezult¼a c¼a probabilitatea de a tr¼ai peste 70 de ani conditionat¼a defaptul c¼a am ajuns la 60 de ani este P (C=B) = 1 � 0; 486 = 0; 514;unde am notat cu C = (70; 100) evenimentul deceselor peste 70 de ani.Pentru comparatie, putem calcula si P (C) = 0; 316 � 0; 154 = 0; 162:Desigur, functia � cu care lucr¼am nu este decât o aproximatie grosier¼apentru datele reale. �


Formula probabilit¼atii conditionate se utilizeaz¼a si sub forma

P (A \B) = P (B)P (A=B) ;care permite calculul probabilit¼atii unei intersectii. Sub aceast¼a form¼amai este numit¼a si regula înmultirii probabilit¼atii conditionate. Priniterarea acestei formule se obtine relatia de înmultire succesiv¼a

P (B1 \ ::: \Bn) =

= P (B1)P (B2=B1)P (B3=B1 \B2) :::P (Bn=B1 \ ::: \Bn�1) :În cazul în care spatiul este partitionat de evenimenteleB1; :::; Bn;

atunci putem scrie A = (A \B1) [ ::: [ (A \Bn) si deducemP (A) = P (A \B1) + :::+ P (A \Bn) =

= P (B1)P (A=B1) + :::+ P (Bn)P (A=Bn) ;

relatie cunoscut¼a sub numele de formulamediei probabilit¼atilor condition-ate. Aceast¼a denumire va � înteleas¼a dup¼a ce vom introduce notiuneade medie a unei variabile aleatoare. De asemenea, formula mai estedenumit¼a si formula probabilit¼atii totale.Exemplul 4.Anumite companii de asigur¼ari încheie polite de asigurare auto

luând în considerare si vârsta conduc¼atorului auto. Datele statisticearat¼a c¼a, pentru o anumit¼a perioad¼a, frecventa accidentelor este de 4la mie printre tinerii sub 25 de ani si de numai 2 la mie printre per-soanele ce au dep¼asit vârsta de 25 de ani. Se mai stie c¼a tinerii sub 25 deani reprezint¼a 15 la sut¼a dintre conduc¼atorii auto. Care este probabili-tatea ca, oprind un autoturism, în el s¼a se a�e un tân¼ar care s¼a � avutaccident? S¼a se a�e frecventa accidentelor pe ansamblul populatiei.

Solutie. Not¼am cu multimea tuturor conduc¼atorilor auto, cu Amultimea celor ce au avut accident în perioada respectiv¼a si cu Bmultimea tinerilor sub 25 de ani. Datele problemei ne spun c¼a

P (A=B) =4

1000; P (A=Bc) =

2

1000; P (B) =

15

100:

Pentru a r¼aspunde la prima întrebare trebuie s¼a calcul¼am

P (A \B) = P (B)P (A=B) = 15� 4100� 1000 =

6

10000:

Pentru a r¼aspunde la a doua întrebare calcul¼am

P (A) = P (A \B) + P (A \Bc) = 610000

+ P (Bc)P (A=Bc) == 6

10000+ 85�2

100�1000 =23

10000: �

Exemplu 5.*La alegerile pentru o anumit¼a functie sunt înscrisi doi candidati.

În urma alegerilor, candidatul A primeste n voturi, iar candidatul Bun num¼ar mai mic m < n voturi. Ne propunem s¼a demonstr¼am c¼aprobabilitatea ca, pe parcursul num¼ar¼arii voturilor, candidatul A s¼a


�e mereu cotat cu un num¼ar de voturi superior lui B este egal¼a cu(n�m) = (n+m) :Solutie. Vom nota cu M = f1; :::; n+mg multimea ce reprezint¼a

voturile exprimate si cu N = f1; :::; ng multimea ce reprezint¼a vo-turile favorabile candidatului A. MnN este multimea ce reprezint¼a vo-turile acordate lui B. Multimea care reprezint¼a toate posibilit¼atile deînsiruire pentru num¼ararea voturilor este multimea permut¼arilor luiMsi o putem descrie în felul urm¼ator:

=�(x1; :::; xn+m) 2Mn+m=xi 6= xj;8i 6= j

:

Cardinalul acestei multimi este (n+m)! si bineînteles c¼a probabilita-tea care se impune pe acest spatiu este probabilitatea sanselor egale.Evenimentul a c¼arui probabilitate dorim s¼a o calcul¼am poate � descrisastfel:

Am;n =

�(x1; :::; xn+m) 2 =card (fx1; :::; xkg \N) >

k

2;8k � n+m

�:

Pentru a exprima probabilitatea acestui eveniment vom face o discutiedup¼a rezultatul ultimului vot num¼arat. Vom nota deci

B1 = f(x1; :::; xn+m) 2 =xn+m 2 Ng ;B2 = f(x1; :::; xn+m) 2 =xn+m 2MnNg :

Dorim s¼a calcul¼am probabilit¼atile P (An;m \Bi) ; i = 1; 2: Pentru aceastavom �xa ultimul vot num¼arat de�nind, pentru x 2 N;

Bx = f(x1; :::; xn+m) 2 =xn+m = xg ;astfel c¼a avem B1 = [x2NBx si P (An;m \B1) =

Px2N P (An;m \Bx) :

Acum, analizând multimile Bx si An;m\Bx; putem stabili o recurent¼a,raportându-ne la experimentul în care avem n � 1 voturi exprimatepentru A si m voturi exprimate pentru B. Anume, multimea Bx esteizomorf¼a cu multimea permut¼arilor multimii Mn fxg ; iar multimeaAn;m\Bx este izomorf¼a cu multimeaAn�1;m; care descrie similar num¼ar¼a-toarea voturilor ce îl dau pe A câstig¼ator în cazul aceleiasi problemeasociate numerelor n � 1 si m: Atunci putem scrie P (An;m=Bx) =P (An�1;m) ; unde cea de a doua probabilitate este, binînteles, cal-culat¼a în raport cu modelul ce corespunde perechii n � 1;m: Dac¼aapel¼am la un rationament de inductie matematic¼a, putem presupune c¼aaceast¼a ultim¼a probabilitate are expresia din enunt, adic¼a P (An�1;m) =(n� 1�m) = (n� 1 +m) : Putem atunci calcula

P (An;m \Bx) = P (Bx)P (An;m=Bx) = (n�1+m)!(n+m)!

n�1�mn�1+m

= n�1�m(n+m)(n�1+m) ;

tinând cont c¼a multimea Bx are cardinalul (n� 1 +m)!: Rezult¼a apoi

P (An;m \B1) =n (n� 1�m)

(n+m) (n� 1 +m) :


Figura 2. Cele trei urne cu bilele vizualizate

Un rationament absolut similar se face pentru cazul în care x 2MnN;obtinând P (An;m=Bx) = P (An;m�1) ; ceea ce conduce la

P (An;m \Bx) = P (Bx)P (An;m=Bx) =n�m+ 1

(n+m) (n+m� 1) :

Rezult¼a c¼a

P (An;m \B2) =m (n�m+ 1)

(n+m) (n+m� 1)si, prin urmare,

P (An;m) =n (n� 1�m)

(n+m) (n� 1 +m) +m (n�m+ 1)

(n+m) (n+m� 1) =n�mn+m

: �

1.2. Formula lui Bayes. Vom examina mai întâi un exemplu.Extragerea din trei urne.Presupunem c¼a trei urne continând bile se a�¼a pe o mas¼a: prima

urn¼a contine o bil¼a alb¼a si o bil¼a neagr¼a; a doua urn¼a contine dou¼a bilealbe si una neagr¼a; a treia urn¼a contine trei bile albe si una neagr¼a.Aspectul exterior al urnelor este identic si nu se vede continutul lor.(În �gura 2 am desenat totusi si bilele, în mod schematic, pentru avizualiza experimentul.)Se alege la întâmplare o urn¼a si se extrage o bil¼a din ea. Stiind c¼a

bila extras¼a este alb¼a, ne punem problema de a determina probabilita-tea ca bila s¼a � fost extras¼a din urna a treia.Solutie.Pentru a modela aceast¼a problem¼a vom considera multimea

ca �ind dreptunghiul mare desenat în �gura 3.Pentru diverse submultimi D � consider¼am m¼asura de probabili-

tate dat¼a de P (D) = ariaDaria

: Acest dreptunghi este împ¼artit în trei drep-tunghiuri de arii egale B1; B2; B3; care corespund evenimentelor �urnaaleas¼a a fost urna i�, i = 1; 2; 3: Avem P (Bi) =

13; i = 1; 2; 3: Fiecare

din aceste multimi va � împ¼artit¼a în dou¼a submultimi: Bi = Ni [ Ai,unde Ni corespunde evenimentului �din urna i s-a extras o bil¼a nea-gr¼a�si Ai corespunde evenimentului �din urna i s-a extras o bil¼a alb¼a�.


Figura 3. Un model probabilist corespunz¼ator celortrei urne

Trebuie s¼a avemP (A1) = P (N1) ;P (A2) = 2P (N2) ;P (A3) = 3P (N3) ;

pentru a re�ecta raportul dintre bilele albe si cele negre din �ecareurn¼a. Acest raport se traduce în sansele corespunz¼atoare extrageriiunei bile albe sau negre. Atunci putem calcula precis

P (A1) =1

3

1

2=1

6; P (A2) =

1

3

2

3=2

9; P (A3) =

1

3

3

4=1

4:

Rezult¼a c¼a, notând A evenimentul �s-a extras o bil¼a alb¼a�, vom aveaA = A1 [A2 [A3 si P (A) = P (A1) + P (A2) + P (A3) = 1

6+ 2

9+ 1

4=

6+8+936

= 2336: Atunci r¼aspunsul la problema pus¼a este

P (B3 j A) =P (A3)

P (A)=

142336

=9

23: �

Observatia 2.1. În modelul construit, nu am pus în evident¼a ex-plicit ��algebra F : Ar putea � B (), familia p¼artilor boreliene dinp¼atratul . Dar pentru nevoile stricte ale problemei noastre putem,la fel de bine, de�ni F = a (A1; N1; A2; N2; A3; N3), algebra de p¼artigenerat¼a de partitia lui format¼a din multimile A1; N1; A2,N2,A3,N3:Strict vorbind, noi am neglijat a preciza cui apartine �ecare frontier¼ade multime. O dat¼a ce avem imaginea, am putea s¼a schimb¼am putinde�nitia multimilor în felul urm¼ator: de�nim A1; N1; A2; N2; A3; N3


drept multimile deschise în plan, reprezentate în �gur¼a, f¼ar¼a frontiere.Apoi de�nim drept reuniunea acestor multimi.

Formula lui Bayes.Problema anterioar¼a a pus în evident¼a urm¼atoarea situatie: spatiul

este împ¼artit în trei multimi disjuncte = B1 [ B2 [ B3 ale c¼arorprobabilit¼ati sunt cunoscute. Pentru o multime A � se stiu prob-abilit¼atile P (A j Bi), i = 1; 2; 3. Se cere a se determina P (B3 j A).Într-un cadru general, aceast¼a problem¼a cap¼at¼a r¼aspuns prin asa nu-mita formul¼a a lui Bayes cuprins¼a în lema care urmeaz¼a.

Lema 2.1. Fie (;F ; P ) un spatiu probabilizat si fB1; :::; Bng � Fo partitie a lui , astfel c¼a P (Bi) > 0, pentru orice i = 1; :::; n. Dac¼aA 2 F este o multime astfel încât P (A) > 0, atunci are loc formula

P (Bi j A) =P (A j Bi)P (Bi)nPj=1

P (Bj)P (A j Bj):

DemonstraTie. Este su�cient s¼a constat¼am c¼a num¼ar¼atorul sinumitorul din partea dreapt¼a reprezint¼a urm¼atoarele probabilit¼ati:

P (A \Bi) = P (A j Bi)P (Bi) ;P (A) =

nPj=1

P (A \Bj) =nPj=1

P (Bj)P (A j Bj) : �

Un exemplu din medicin¼a.Se stie c¼a 1% din persoanele dintr-un grup sufer¼a de o anumit¼a

boal¼a. Exist¼a un test de analiz¼a a sângelui care este semni�cativ pentruboala respectiv¼a dând urm¼atoarele rezultate: aplicat unor bolnavi, 95%dintre ei obtin rezultatul pozitiv, iar aplicat unor persoane s¼an¼atoase,numai 2% din ele obtin rezultatul pozitiv.10 Presupunem c¼a toti indivizii din grupul dat ar � supusi testului.

Se pune problema de a se determina probabilitatea ca un individ g¼asitpozitiv în urma testului s¼a �e într-adev¼ar bolnav.20 Presupunem c¼a doctorul face în prealabil o examinare a pa-

cientilor si separ¼a un grup de suspecti dintre care 30% sunt bolnavi.Se supun testului persoanele din acest grup si se cere s¼a se determineprobabilitatea ca o persoan¼a ce iese pozitiv la test, s¼a �e într-adev¼arbolnav¼a.

Solutie. 10 Vom aplica formula lui Bayes. Consider¼am spatiul pro-babilizat (;F ; P ) în care reprezint¼a multimea tuturor indivizilor dingrup. Not¼am cu B1 multimea indivizilor s¼an¼atosi si cu B2 multimeaindivizilor bolnavi. Aceste dou¼a multimi formeaz¼a o partitie a lui si cunoastem c¼a P (B1) = 0; 99 si P (B2) = 0; 01. Not¼am apoi cu Amultimea indivizilor ce obtin testul pozitiv. Avem P (A j B1) = 0; 02


Figura 4. Modelul probabilist corespunz¼ator cazului 10

si P (A j B2) = 0; 95. Formula lui Bayes ne d¼a

P (B2 j A) = P (AjB2)�P (B2)P (B1)P (AjB1)+P (B2)P (AjB2) =

= 0;95�0;010;99�0;02+0;01�0;95 =

95198+95

= 0; 32:

Dup¼a cum se vede testul nu are relevant¼a în contextul dat.20 Pentru analiza grupului selectat de medic se construieste un mo-

del similar celui anterior. De data aceasta vom avea P (B1) = 0; 70 siP (B2) = 0; 30. Testul �ind acelasi avem în continuare P (A j B1) =0; 02 si P (A j B2) = 0; 95. De data aceasta rezultatul este

P (B2 j A) =0; 95 � 0; 30

0; 70 � 0; 02 + 0; 30 � 0; 95 =285

14 + 285= 0; 953:

În aceste conditii testul este semni�cativ si poate ajuta la diagnosti-carea bolnavilor. �

Pentru a întelege de ce în cazul 10 nu este relevant testul, amreprezentat multimea prin dreptunghiul mare din �gura 4. MultimeaB2 este reprezentat¼a de triunghiul din coltul de sus stânga. Ea este de-sp¼artit¼a de multimea B1; ce constitue restul dreptunghiului printr-olinie. Multimea A este reprezentat¼a de dreptunghiul mic, cenusiu. Ari-ile acestor mltimi sunt proportionale cu probabilit¼atile lor. MultimeaB2 reprezint¼a 1

100din dreptunghiul mare iar multimea A \ B1 reprez-

int¼a 2100� 99100

� 2100

din dreptunghiul mare. Deci aria lui A \ B1 estede dou¼a ori mai mare ca aria lui B2: Cum se vede din �gur¼a, cea maimare parte a multimii A se a�¼a inclus¼a în B1: Aceasta re�ect¼a faptulc¼a printre persoanele ce obtin un rezultat pozitiv la test, cei mai multisunt s¼an¼atosi.În cazul 20 multimea B2 �ind mult mai mare, rezult¼a c¼a si multimea

A\B2, care reprezint¼a 95% dinB2, va �mare. Deci, de aceast¼a dat¼a ceamai mare parte din multimea A se a�¼a inclus¼a în B2: Am reprezentat în

2. INDEPENDENT¼A 41

Figura 5. Modelul probabilist corespunz¼ator cazului 20

�gura 5 multimea A tot printr-un dreptunghi cenusiu, iar B1; B2 printrapeze.

2. Independent¼a

In aceast¼a sectiune (;F ; P ) va � un spatiu probabilizat �x.

2.1. Independenta a dou¼a evenimente.

De�nitia 2.1. Vom spune c¼a dou¼a evenimente distincte A;B 2 Fsunt independente dac¼a are loc relatia P (A \B) = P (A)P (B).

Înainte de a comenta aceast¼a de�nitie vom preciza o denumire. Senumesc evenimente triviale acele evenimente care sau au probabilitatenul¼a sau complementara lor este de probabilitate nul¼a. Astfel de eveni-mente nu joac¼a un rol important în cazul modelelor discrete de care neocup¼am în prima parte a acestui curs. Ele apar îns¼a în mod naturalatunci când formaliz¼am notiunea de independent¼a. De asemenea au unrol esential în cazul spatiilor probabilizate continue.1. Observ¼am c¼a dac¼a A 2 F are proprietatea c¼a A si Ac sunt

independente, atunci avem 0 = P (A \ Ac) = P (A)P (Ac) ; ceea cearat¼a c¼a A este trivial.

2. Un eveniment trivial este independent de orice alt eveniment.Mai precis, dac¼a A;B 2 F ; A 6= B si A este trivial, atunci A si B suntindependente.DemonstraTie. Dac¼a P (A) = 0; evident avem si P (A \B) = 0;

ceea ce conduce la veri�carea relatiei de independent¼a. Dac¼a P (A) = 1;înseamn¼a c¼a P (Ac) = 0 si atunci putem scrie

P (B) = P (B \ A) + P (B \ Ac) = P (B \ A) ;care conduce iar¼asi la relatia de independent¼a. �


3. Se observ¼a c¼a dac¼a A si B sunt independente atunci putem facecalculul

P (A \Bc) = P (A)�P (A \B) = P (A)�P (A)P (B) = P (A)P (Bc) ;

care arat¼a c¼a A si Bc sunt si ele independente. La fel se deduce c¼a�ecare din perechile (Ac; B) si (Ac; Bc) sunt independente.4. Dac¼a P (A) > 0, atunci relatia de independent¼a se poate scrie

sub forma P (B=A) = P (B). Aceasta este forma util¼a în aplicatii. Eaexprim¼a faptul c¼a evenimentul B se petrece cu aceeasi probabilitateîn prezenta lui A ca si în general. Dac¼a sunt satisf¼acute �ecare dinrelatiile P (A) > 0, P (Ac) > 0, P (B) > 0, P (Bc) > 0, atunci relatiade independent¼a se poate scrie în mod simetric sub �ecare din formele:

P (B=A) = P (B) ; P (A=B) = P (A) ;P (B=Ac) = P (B) ; P (Ac=B) = P (Ac) ;P (Bc=A) = P (Bc) ; P (A=Bc) = P (A) ;P (Bc=Ac) = P (Bc) ; P (Ac=Bc) = P (Ac) :

5. De asemenea, relatia P (B=A) = P (B=Ac) este si ea echiva-lent¼a cu independenta celor dou¼a multimi. De fapt în aplicatii con-crete aceast¼a form¼a de exprimare matematic¼a a independentei este ceamai sugestiv¼a, pentru c¼a ea prinde ideea limbajului comun privitor laindependent¼a.

Exemplul 1.Fie o multime care reprezint¼a o colectivitate uman¼a mare si pe

care introducem probabilitatea sanselor egale P (!) = 1card

: Fie Amultimea indivizilor cu ochii albastri si B multimea indivizilor maiînalti de 1,70. O ipotez¼a pe care simtul comun ne-o sugereaz¼a este c¼anu exist¼a nici o leg¼atur¼a între culoarea ochilor si în¼altimea individului.Deci putem scrie c¼a proportia indivizilor mai înalti de 1,70 printre ceicu ochii albastri este aceeasi ca printre cei cu o alt¼a culoare a ochilor:

card (B \ A)cardA

=card (B \ Ac)cardAc

;

adic¼a P (B=A) = P (B=Ac) : Cu alte cuvinte, faptul c¼a nu exist¼a leg¼a-tur¼a între culoarea ochilor si în¼altime se exprim¼a prin independentaevenimentelor A si B: Dac¼a ipoteza f¼acut¼a este corect¼a, relatia aceastaar trebui s¼a �e veri�cat¼a pentru orice colectivitate mare.

Exemplul 2.Dintr-un pachet complet de 52 c¼arti de joc se scoate o carte la

întâmplare. S¼a veri�c¼am c¼a evenimentele �a iesit o carte de tre�¼a� si�a iesit un as�sunt independente. Primul eveniment are probabilitatea1352; în timp ce al doilea are probabilitatea 4

52; iar intersectia lor are

probabilitatea 152: Evident avem 13

52� 4

52= 1

52: Este un rezultat pe care

îl asteptam: nu exist¼a leg¼atur¼a între culoarea c¼artii si num¼arul ei.Exemplul 3.


O central¼a termic¼a se compune în esent¼a din dou¼a componente, unboiler si o pomp¼a. Probabilitatea ca s¼a se defecteze biolerul în treiani de functionare este de 0; 005; iar probabilitatea ca s¼a se defectezepompa în acelasi interval de timp este de 0; 01: Care este probabilitateaca centrala s¼a funtioneze neîntrerupt trei ani?Solutie. Defectarea boilerului si defectarea pompei constituie eveni-

mente independente. Pentru a modela problema si a vedea clar acestlucru, consider¼am c¼a avem un num¼ar n de centrale pentru care imag-in¼am urm¼atorul experiment.

Centralele sunt puse în functiune pentru trei ani si la �ecare defecti-une este înlocuit¼a imediat componenta defect¼a. La sfârsitul celor treiani vom avea o multime A constituit¼a din centralele care au schimbatboilerul si multimeaB a centralelor care au schimbat pompa. Not¼am cu multimea centralelor si dac¼a n este foarte mare trebuie s¼a constat¼amc¼a are loc egalitatea

card (A \B)card (B)

=card (A \Bc)card (Bc)

=card (A)

card ()= 0; 005;

adic¼a proportia de centrale c¼arora li s-a defectat boilerul printre cen-tralele c¼arora li s-a defectat pompa este aceeasi cu proportia de cen-trale c¼arora li s-a defectat boilerul printre toate centralele. Aceast¼arelatie exprim¼a faptul c¼a nu exist¼a nici o leg¼atur¼a între defectarea unuiboiler si defectarea unei pompe. Întelegem prin defectare orice dis-functionalitate care scoate componenta din parametrii de functionarenormal¼a. Presupunem c¼a o supraveghere atent¼a permite depistareaimediat¼a a oric¼arei defectiuni. (De exemplu, excludem cazurile de tipul:pompa este defect¼a putin, f¼ar¼a a se observa si aceasta duce la defectareaboilerului.) De aceea functionarea unui boiler se face la fel în prezentaoric¼arei pompe si functionarea oric¼arei pompe este la fel în prezentaoric¼arui boiler.Atunci, probabilitatea ca s¼a functioneze atât boilerul cât si pompa

este P (Ac \Bc) = P (Ac)P (Bc) = 0; 995� 0; 99 = 0; 985:�

2.2. Independenta mai multor evenimente.

De�nitia 2.2. Fie U � F o familie de evenimente. Spunem c¼aevenimentele din aceast¼a familie sunt independente dac¼a pentru oricefamilie �nit¼a K � U este veri�cat¼a relatia

P

\A2K

A

!=YA2K

P (A) :

Notiunea de familie de evenimente independente este o notiune cese refer¼a global la ansamblul familiei.1. Se observ¼a c¼a �ind dat¼a o familie de evenimente independente,

atunci orice subfamilie este constituit¼a tot din evenimente indepen-dente.


2. Tinând cont c¼a în de�nitia de mai sus apar doar relatii ceprivesc un num¼ar �nit de evenimente, deducem c¼a independenta eveni-mentelor dintr-o familie este caracterizat¼a prin independenta eveni-mentelor oric¼arei subfamilii �nite.

3. Fie U o familie de evenimente independente si V o familie deevenimente triviale. Atunci W = U [ V este o familie de evenimenteindependente.4. Fie U � F si s¼a not¼am U 0 familia evenimentelor netriviale din

U : Atunci evenimentele din U sunt independente dac¼a si numai dac¼aevenimentele din U 0 sunt independente.Urm¼atoarea propozitie arat¼a un gen de transformare pe care o

putem face cu o familie de evenimente independente, p¼astrând inde-pendenta.

Propozitia 2.1. Fie U o familie de evenimente independente. Dac¼aV � U este o subfamilie arbitrar¼a si de�nim V 0 = fAc=A 2 UnVg ;atunci evenimentele din familia V [V 0 sunt de asemenea independente.

DemonstraTie. Mai întâi vom examina cazul în care multimeaUnV se reduce la un singur eveniment, s¼a zicem UnV = fA0g ; ceeace înseamn¼a c¼a V 0 = fAc0g : Avem de veri�cat c¼a pentru orice familie�nit¼a, K � V [ V 0; are loc relatia

P

\A2K

A

!=YA2K

P (A) :

Dac¼a Ac0 =2 K; relatia este evident¼a, pentru c¼a se reduce la relatiacorespunz¼atoare familiei initiale. S¼a vedem acum cazul Ac0 2 K: Not¼amL := KnfAc0g ; I := L [ fA0g si

C =\A2L

A:

Datorit¼a independentei familiei initiale putem scrie

P (C) =YA2L

P (A) :

Apoi se deduce

P (A0 \ C) =YA2I

P (A) = P (A0)YA2L

P (A) = P (A0)P (C) :

Aceast¼a relatie spune c¼a A0 si C sunt independente, prin urmare Ac0 siC sunt de asemenea independente. Deci putem scrie

P

\A2K

A

!= P (Ac0 \ C) = P (Ac0)P (C) = P (Ac0)

YA2L

P (A) =YA2K

P (A) ;

ceea ce încheie veri�carea cazului în care multimea UnV se reduce laun punct.


Pentru situatia în care multimea UnV este �nit¼a este su�cient s¼autiliz¼am cazul anterior împreun¼a cu un argument de inductie. În �ne,cazul general este obtinut tinând cont c¼a de fapt independenta se ver-i�c¼a printr-o relatie ce se scrie pentru familii �nite. �Independenta extragerilor cu întoarcere.Vom reveni la cazul unei urne cu m bile numerotate din care se fac

n extrageri cu revenire. Modelul const¼a din multimea M = f1; :::;mg ;care reprezint¼a bilele, multimea tuturor rezultatelor posibile este de-scris¼a de =Mn; iar probabilitatea ce se introduce este cea a sanseloregale, în care P (f(x1; :::; xn)g) = 1

mn : Evenimentul �la a l� a ex-tragerea a iesit bila cu num¼arul i � este descris de multimea Al;i =f(x1; :::; xn) 2 =xl = ig : Vom nota Al = fAl;i=i = 1; :::;mg : Pentru�ecare l = 1; :::; n; familia Al constituie o partitie a lui :Vom ar¼ata c¼a partitiile A1; :::;An sunt independente, în sensul c¼a

oricum am lua elementele il 2 M; l = 1; :::; n; familia fAl;il=l = 1; :::ngeste format¼a din evenimente independente. Pentru aceasta, calcul¼ammai întâi cardinalul unei multimii Al;i: Deoarece numai componenta leste �xat¼a pentru punctele din multimea Al;i; în timp ce celelalte n� 1componente parcurg liber pe M; rezult¼a c¼a multimea Al;i poate �pus¼aîn bijectie cu multimeaMn�1: Anume, un punct generic din Al;i este detipul (x1; :::; xl�1; i; xl+1; :::; xn) si lui îi corespunde (x1; :::; xl�1; xl+1; :::; xn) ;care este un punct general din Mn�1:Tragem concluzia c¼a multimea Al;i contine exactmn�1 puncte. Deci

P (Al;i) =mn�1

mn = 1m; pentru orice l si i: S¼a consider¼am acum un num¼ar

k � n si k multimi din partitii diferite: Al1;i1 ; :::; Alk;ik : Intersectia lorpoate � descris¼a astfel

Al1;i1 \ ::: \ Alk;ik = f(x1; :::; xn) 2 =xl1 = i1; :::; xlk = ikg :Dup¼a cum se vede punctele din aceast¼a multime au k componente �x-ate, iar restul de n � k sunt libere în M: Rezult¼a c¼a aceast¼a multimepoate � pus¼a în bijectie cu Mn�k; deci cardinalul ei este mn�k: Prinurmare

P (Al1;i1 \ ::: \ Alk;ik) =mn�k

mn=

1

mk= P (Al1;i1) :::P (Alk;ik) ;

ceea ce probeaz¼a independenta partitiilor considerate.În propozitia 4.5 ne vom ocupa în mod special de partitii indepen-

dente demonstrând propriet¼ati de independent¼a suplimentare.Regula juc¼atorului.Vom presupune c¼a sansele de reusit¼a într-un anumit joc de noroc

sunt de una dinN , undeN este un num¼ar natural. Asa numita �regul¼aa juc¼atorului� spune c¼a dac¼a cineva particip¼a la joc de un num¼ar deori mai mare sau egal dacât 2

3N , atunci probabilitatea de a câstiga cel

putin o dat¼a devine mai mare sau egal¼a ca 12. Ne punem problema de

a examina cât de corect¼a este regula, adic¼a de a a�a care este eroareapentru �regula juc¼atorului�.


Soutie. Vom presupune c¼a (;F ; P ) este un spatiu probabilizat pecare exist¼a n evenimente independente A1; :::; An, cu aceeasi probabili-tate P (A1) = ::: = P (An) = 1

N. Presupunem c¼a Ai modeleaz¼a reusita

la cel de-al i�lea joc. Constructia concret¼a a unui astfel de spatiu pro-babilizat se poate realiza f¼acând o analogie între participarea la joc siextragerea unei bile dintr-o urn¼a cu N bile. Presupunem c¼a din cele Nbile una este rosie iar restul sunt negre. Sansele de a extrage bila rosiesunt de una la N: Deci putem echivala reusita la joc cu faptul c¼a înurma unei extrageri din urn¼a a iesit bila rosie. O serie de n extragericu revenire corespunde la n particip¼ari la jocul dat.

Identi�c¼am multimea bilelor cu multimea primelor N numere nat-urale, pe care o not¼am M = f1; :::; Ng si presupunem c¼a bila rosiecorespunde num¼arului 1: Multimea rezultatelor posibil a � obtinutedup¼a n jocuri este descris¼a de =Mn: Evenimentul �la jocul al l�leajuc¼atorul a câstigat�, sau spus altfel �la cea de a l�a extragere a iesitbila rosie�, este descris de multimea Al = f(x1; :::; xn) 2 =xl = 1g :Tinând cont de cele demonstrate în paragraful precedent privind inde-pendenta extragerilor cu întoarcere, rezult¼a c¼a evenimentele A1; :::; Ansunt independente si �ecare are probabilitatea P (Al) = 1

N:

Reusita la cel putin un joc din n este reprezentat¼a de evenimentul

A1 [ ::: [ An:Nereusita la nici un joc din cele n este reprezentat¼a de evenimentulcomplementar

Ac1 \ ::: \ Acn;si pentru acesta avem formula

P (Ac1 \ ::: \ Acn) = P (Ac1) � ::: � P (Acn) =�1� 1

N

�n:

Functia care apare în aceast¼a exprimare, f (x) =�1� 1

N

�x; este de-

scresc¼atoare pe [1;1) si limx!1

f (x) = 0: Ne intereseaz¼a s¼a determin¼am

cea mai mic¼a valoare a lui n 2 N� pentru care aceast¼a probabilitatedevine mai mic¼a dacât 12 ; adic¼a acel num¼ar care satisface conditiile�

1� 1

N

�n� 1

2<

�1� 1

N

�n�1:

Scriem 12= exp� ln 2 si aplic¼am apoi lema ?? pentru a minora, respec-

tiv majora, cele dou¼a expresii care încadreaz¼a acest num¼ar. Obtinem

exp� nN

�1 +

7

12N

�� exp� ln 2 � exp�(n� 1)

N:

Aceste inegalit¼ati se mai scriu si sub forma

N ln 2� 7n

12N� n < N ln 2 + 1;


sau, notând partea întreag¼a a lui N ln 2 cu n0 = [N ln 2] ; putem scrie

n0 �7n

12N� n � n0 + 1;

ceea ce implic¼a n0 � n � n0+1: Putem trage concluzia c¼a num¼arul c¼au-tat este aproximat cu o eroare de o unitate de n0 = [N ln 2] : Deoarecediferenta N ln 2� 2

3N este mic¼a raportat¼a la N;

N ln 2� 23N

N= ln 2� 2

3� 0; 0264;

putem spune c¼a eroarea pe care o d¼a regula juc¼atorului este mic¼a rapor-tat¼a la N: În valoare absolut¼a ea poate �mare - de ordinul 0; 0264N:�Pentru o rulet¼a standard avem 38 de sectoare, deci sansele de a

iesi un num¼ar ales sunt 138: Cu N = 38 eroarea este 0; 0264 � 38 � 1:

Regula spune c¼a pentru 38� 23= 25; eventual 26; de particip¼ari la joc

probabilitatea de a câstiga m¼acar o dat¼a devine mai mare decât 0; 5:Pentru un zar, sansele de a iesi o anumit¼a fat¼a sunt 1

6: Cu N = 6

eroarea este 0; 0264 � 6 � 0; 15: Putem aplica regula juc¼atorului sideducem c¼a probabilitatea de a iesi o fat¼a anume din 6� 2

3= 4 arunc¼ari

este mai mare de 0; 5:Observ¼am c¼a probabilit¼atile ce se cer calculate în problema lui Mère

se preteaz¼a la aplicarea regulei juc¼atorului.

2.3. Independenta a trei evenimente. Conform de�nitiei, in-dependenta a trei evenimente A1; A2; A3 2 F este asigurat¼a dac¼a suntîndeplinite conditiile urm¼atoare:

P (A1 \ A2) = P (A1)P (A2) ; (�)P (A1 \ A3) = P (A1)P (A3) ; (��)P (A2 \ A3) = P (A2)P (A3) ; (� � �)

P (A1 \ A2 \ A3) = P (A1)P (A2)P (A3) : (#)

Se poate pune întrebarea dac¼a nu cumva un num¼ar mai mic dintreaceste relatii sunt su�ciente pentru a implica valabilitatea tuturor. Ur-m¼atoarele dou¼a contraexemple arat¼a c¼a, în general, nu este posibil asaceva.Exemplul 1.Presupunem c¼a = f1; 2; 3; 4g si P (1) = P (2) = P (3) = P (4) =

14: Multimile urm¼atoare

A1 = f1; 2g ; A2 = f1; 3g ; A3 = f1; 4g ;veri�c¼a relatiile (�) ; (��) ; (� � �) ; dar nu veri�c¼a relatia (#) :

Exemplul 2.Presupunem c¼a = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g si P este de�nit¼a de

P (1) = P (2) = 14;

P (3) = P (4) = P (5) = 18;

P (6) = 112; P (7) = 1

24:


Not¼am A1 = f1; 2; 3; 4g ; A2 = f3; 4; 6g ; A3 = f2; 4; 5g : Aceste multimiveri�c¼a relatiile (�) ; (��) si (#) ; dar nu veri�c¼a relatia (� � �) :

2.4. Independenta familiilor indexate. Independenta asa cumam introdus-o mai sus este în forma utilizat¼a curent în aplicatiile ele-mentare. În literatur¼a apare de obicei o de�nitie mai abstract¼a, dar simai general¼a, care se refer¼a la familii indexate de evenimente, pe careo prezent¼am mai jos.

De�nitia 2.3. Fiind dat¼a o familie (Ai)i2I de evenimente din Fvom spune c¼a venimentele familiei sunt independente dac¼a este satis-f¼acut¼a relatia

P

\i2JAi

!=Yi2JP (Ai) ;

pentru orice multime �nit¼a J � I:

Pentru a face deosebire, atunci când este cazul, vom spune c¼a in-dependenta dat¼a de de�nitia ... este în sens restrâns iar independentadat¼a de de�nitia ... este în sens extins. Principala deosebire dintrecele dou¼a de�nitii const¼a în faptul c¼a la de�nitia în sens extins putemavea o aceeasi mutime pus¼a în familie cu doi indici diferiti. Aceast¼aposibilitate las¼a loc la a discuta despre evenimente independente deele însele. Dac¼a în familia de evenimente independente (Ai)i2I avemdoi indici distincti i 6= j pentru care Ai = Aj; atunci putem scrieP (Ai) = P (Ai \ Aj) = P (Ai)P (Aj) = P (Ai)2 si prin urmare eveni-mentul corespunz¼ator, Ai; trebuie s¼a �e trivial. Urm¼atoarea lem¼a arat¼amai precis care este raportul dintre cele dou¼a notiuni de independent¼a.

Lema 2.2. Fie (Ai)i2I o familie de evenimente si U = fAi=i 2 Igmultimea evenimentelor din familie în care uit¼am indexarea. Atunciindependenta evenimentelor familiei (Ai)i2I este echivalent¼a cu urm¼a-toarele dou¼a propriet¼ati: (i) evenimentele din U sunt independente însens restrâns, (ii) dac¼a exist¼a doi indici i 6= j astfel ca Ai = Aj; atuncievenimentul Ai este trivial.

DemonstraTie. Independenta evenimentelor familiei (Ai)i2I im-plic¼a evident propriet¼atile (i) si (ii). Reciproc, presupunem c¼a suntsatisf¼acute propriet¼atile (i) si (ii). Fie J � I; �nit¼a, pentru care vrems¼a veri�c¼am relatia

P

\i2JAi

!=Yi2JP (Ai) : (�)

Pentru aceasta not¼am cu J0 multimea indicilor care corespund unorevenimente triviale, adic¼a

J0 = fi 2 J=P (Ai)P (Aci) = 0g ;


si punem J1 = JnJ0: Rezult¼a c¼a evenimentele fAi=i 2 J1g sunt toatedistincte, ca urmare a propriet¼atii (ii). Proprietatea (i) ne d¼a atunci

P

\i2J1

Ai

!=Yi2J1

P (Ai) : (��)

Dac¼a multimea J0 este vid¼a atunci aceast¼a relatie devine (*) si s-aîncheiat demonstratia. Dac¼a J0 este nevid¼a, continu¼am rationamentuldesp¼artit în dou¼a cazuri.

Cazul 1. Presupunem c¼a exist¼a un indice i0 2 J0 astfel ca P (Ai0) =0: Atunci incluziunea

Ti2J Ai � Ai0 ne spune c¼a P

�Ti2J Ai

�= 0 si de

aici se deduce imediat relatia (*).Cazul 2. Presupunem c¼a P (Ai) = 1 pentru orice i 2 J0: Atunci

utiliz¼am repetat proprietatea 2. de la sectiunea �Independenta a dou¼aevenimente�obtinând

P

\i2JAi

!= P

\i2J1

Ai

!:

Cum în cazul de fat¼a avemQi2J0 P (Ai) = 1; din relatia (**) obtinem

imediat relatia (*). �Avantajul de�nitiei independentei cu familii de evenimente indexate

apare în faptul c¼a este mai apropiat¼a de formularea independentei pen-tru ��algebre, care se face întotdeauna în termeni de familii indexate.Fenomenul este pregnant în cazul spatiilor probabilizate nediscrete. Deexemplu atunci când se discut¼a despre evenimentele ��algebrelor de lain�nit. Acestea sunt toate triviale si aceasta rezult¼a dup¼a ce se demon-streaz¼a c¼a sunt independente de ele însele. Pentru modelele discrete înschimb, evenimentele triviale sunt lipsite de orice interes.

2.5. Independenta ��algebrelor. În aceast paragraf vom intro-duce importanta notiune de independent¼a ��algebrelor.

De�nitia 2.4. Fiind date F1; :::;Fn; ��algebre incluse în F ; vomspune c¼a ele sunt independente dac¼a pentru orice alegere de eveni-mente Ai 2 Fi; i = 1; :::; n; acestea sunt independente (în sens extins).Spunem c¼a ��algebrele dintr-o familie arbitrar¼a (Fi)i2I sunt indepen-dente dac¼a ��algebrele din orice subfamilie �nit¼a sunt independente.

Dac¼a G siH sunt dou¼a ��algebre independente, observ¼am c¼a atunciintersectia lor G \ H const¼a numai din evenimente triviale.

Observatia 2.2. De�nitia independentei ��algebrelor se poate for-mula si utilizând notiunea de independent¼a în sens restrâns pentrufamilii de evenimente. Într-adev¼ar, dac¼a presupunem c¼a ��algebreleF1; :::;Fn au proprietatea c¼a pentru orice alegere de evenimente Ai 2Fi; i = 1; :::; n; acestea sunt independente în sens restrâns, în sensul


c¼a evenimentele din familia U = fAi=i = 1; :::; ng ; în care se uit¼a in-dexarea, sunt independente, atunci ��algebrele sunt independente însensul de�nitiei de mai sus.

DemonstraTie. Vom remarca mai întâi c¼a r¼amâne valabil¼a pro-prietatea mentionat¼a imediat dup¼a de�nitia de mai sus: anume in-tersectia oric¼aror dou¼a algebre, Fi \ Fj; este format¼a din evenimentetriviale. Într-adev¼ar, �e A 2 Fi \ Fj: În acest caz evenimentele A siAc sunt distincte, A 2 Fi si Ac 2 Fj; deci, ca urmare a independenteiîn sens restâns, trebuie s¼a satisfac¼a relatia P (A)P (Ac) = P (;) = 0:Aceasta înseamn¼a c¼a A este trivial.

Atunci se poate utiliza lema anterioar¼a pentru a deduce c¼a oriceevenimente Ai 2 Fi; i = 1; :::; n; care sunt independente în sens restrânssunt de fapt chiar independente în sens extins. �Dup¼a cum se vede din îns¼asi de�nitia dat¼a, independenta este o

notiune ce priveste ansamblul evenimentelor celor n ��algebre, struc-turate în grupurile formate de �ecare ��algebr¼a. Se observ¼a c¼a �inddat¼a o familie (Fi)i2I de ��algebre independente si sub- ��algebreleHi � Fi; i 2 I; rezult¼a c¼a si familia (Hi)i2I const¼a din ��algebreindependente. De asemenea, not¼am c¼a dac¼a avem o familie (Fi)i2Ide ��algebre independente, atunci ��algebrele din orice subfamilie,(Fi)i2J ; unde J � I; sunt tot independente.Observ¼am c¼a �ecare eveniment A 2 F genereaz¼a o algebr¼a, anume

� (A) = fA;Ac; ;;g : Dac¼a evenimentele A1; :::; An sunt independente(în sens extins), atunci ��algebrele generate de �ecare din aceste eveni-mente, � (A1) ; :::; � (An) ; sunt independente, dup¼a cum se poate veri-�ca prin utilizarea propozitiei 2.1. Având aceast¼a idee în minte putemintroduce de�nitia urm¼atoare: un eveniment A este independent de o��algebr¼a F 0 � F dac¼a A este independent de �ecare element din F 0:Aceasta revine la independenta ��algebrelor � (A) si F 0:

Lema 2.3. Independenta unor ��algebre F1; :::;Fn este echivalent¼acu faptul c¼a, pentru orice alegere de elemente Ai 2 Fi; i = 1; :::; n, estesatisf¼acut¼a relatia

P

n\i=1

Ai

!= P (A1) � ::: � P (An) :

DemonstraTie. Dac¼a ��algebrele sunt independente, rezult¼aimediat relatia din enunt. Reciproc, presupunem c¼a relatia este sat-isf¼acut¼a pentru orice alegere de evenimente. Fiind date evenimenteleAi 2 Fi, i = 1; :::; n; vrem s¼a ar¼at¼am c¼a ele sunt independente. FieJ = f1 � i1 < ::: < ik � ng � f1; :::; ng o submultime de indici. Tre-buie s¼a demonstr¼am relatia

P

k\l=1

Ail

!= P (Ai1) :::P (Aik) :

3. EXERCITII 51

Dar aceast¼a relatie este exact relatia din enunt scris¼a pentru sistemulde evenimente A01; :::; A

0n; de�nite în felul urm¼ator: A

0i = Ai; când i 2 J

si A0i = ; când i =2 J: Anume, se tine cont c¼ak\l=1

Ail =

n\i=1

A0i

si c¼a P (A0i) = 1; dac¼a i =2 J: �

3. Exercitii

Exercitiul 2.1. Într-o p¼al¼arie se a�¼a trei cartoane: unul are ambelefete albe, altul are ambele fete negre si al treilea are o fat¼a alb¼a si unaneagr¼a. Se ia unul si se pune pe mas¼a. Constatând c¼a fata de deasupracartonului este neagr¼a se pune problema de a determina probabilitateaca dosul s¼a �e alb.

Exercitiul 2.2. Se stie c¼a pentru un examen sunt alc¼atuite 27 debilete, din care se aprciaz¼a ca di�cile 10: Un student intrat la examentrece s¼a îsi preg¼ateasc¼a subiectul în banc¼a, luând biletul pe care la trascu sine. Urm¼atorul student va trage un bilet dintre cele r¼amase. Cineare mai multe sanse de a nimeri un bilet dintre cele 10 di�cile, primulintrat la examen sau al doilea?

Exercitiul 2.3. Pe un spatiu probabilizat se cunosc cunosc proba-bilit¼atile P (Ai) ; i = 1; 2; 3; a trei evenimente disjuncte A1; A2; A3: Semai cunosc probabilit¼atile P (B=Ai) ; i = 1; 2; 3; ale unui alt evenimentB si se noteaz¼a A = A1 [ A2 [ A3: S¼a se exprime P (B=A) în functiede probabilit¼atile cunoscute.

Exercitiul 2.4. Doi vân¼atori, A si B, trag simultan asupra unuiurs. Ei g¼asesc ursul ucis cu un singur glont. Dup¼a vânzarea pieleiîsi pun problema cum trebuie împ¼artit¼a suma obtinut¼a. Ei stiu c¼a ladistanta si în conditiile date A avea sansele de a nimeri dintr-un focde 80%; iar B avea sansele de a nimeri dintr-un foc de 40%: Propunetio formul¼a rational¼a de împ¼artire a banilor.(Indicatie. Nu este rational ca banii s¼a �e împ¼artiti proportional cu

probabilit¼atile �ec¼aruia de a nimeri la tint¼a. Un astfel de rationament,în cazul în care am sti c¼a A ar avea sansele de a nimeri 100%; iar B de50%; ar conduce la raportul de împ¼artire a banilor de 2 la 1: Ori într-oastfel de situatie, cum stim c¼a doar un glont a nimerit tinta, este clarc¼a autorul nu poate � decât A. Rezult¼a c¼a metoda nu este acceptabil¼a.O judecat¼a rational¼a se face considerând probabilit¼atile conditionate deevenimentul c¼a s-a g¼asit un singur glont în urs.)

Exercitiul 2.5. Exist¼a dou¼a leg¼aturi identice, �ecare a câte 6 chei.Fiecare leg¼atur¼a deci deschide aceleasi broaste. O us¼a are dou¼a broastece se deschid cu dou¼a chei care sunt în �ecare leg¼atur¼a. La un moment


dat se pierde o cheie din prima leg¼atur¼a si dou¼a chei din a doua leg¼a-tur¼a. 1) Care este probabilitatea de a deschide usa respectiv¼a cu cheiler¼amase în prima leg¼atur¼a? 2) Care este probabilitatea de a deschideusa cu cheile r¼amase în a doua leg¼atur¼a? 3) Care este probabilitatea dea deschide usa având ambele leg¼aturi? 4) Care este probabilitatea de adeschide usa luând la întâmplare una din leg¼aturile de chei?

Exercitiul 2.6. O cl¼adire are dou¼a lifturi identice. Probabilitateade defectare a unui lift în decursul unei zile este de 0; 03: Dup¼a de-fectarea unui lift cel¼alalt este supus la o sarcin¼a dubl¼a si prin urmareprobabilitatea sa de defectare în decursul zilei urm¼atoare este 0; 06: Pen-tru simpli�care presupunem c¼a defect¼arile au loc la sfârsitul zilei. Maipresupunem c¼a serviciul de întretinere nu intervine. Care este atunciprobabilitatea ca în decursul unei s¼apt¼amâni cl¼adirea s¼a r¼amân¼a f¼ar¼anici un lift în functiune?

Exercitiul 2.7. Arunc¼am cu un zar pân¼a când iese de dou¼a orila rând aceeasi fat¼a. Not¼am cu pn probabilitatea ca acest lucru s¼a sepetreac¼a exact dup¼a n arunc¼ari. S¼a se determine o formul¼a pentru pn:S¼a se determine suma p2 + :::+ p10:

Exercitiul 2.8. Trei masini A,B,C produc respectiv 60%; 30% si10% din piesele fabricate de o uzin¼a. Masina A produce 2% din piesecu defect. Masina B produce 3% cu defect iar masina C 4%. Se alegela întâmplare o pies¼a la iesirea din uzin¼a. 1) Care este probabilitateaca piesa s¼a �e defect¼a ? 2) Constatând c¼a piesa are defect, care esteprobabilitatea ca ea s¼a provin¼a de la masina C ?

Exercitiul 2.9. O întreprindere produce aparate electronice caresunt perfect functionabile cu probabilitatea 9

10: Fiecare aparat este su-

pus test¼arii înainte de livrare. Se constat¼a c¼a orice aparat bun trecetestul. Dar din cele cu defecte, numai 10

11dintre ele sunt depistate ca

atare; restul de 111scap¼a si sunt acceptate. S¼a se calculeze probabili-

tatea evenimentului: 1) �aparatul a trecut testul si el functioneaz¼a�,2) �aparatul a trecut testul dar nu functioneaz¼a�. 3) S¼a se calculezeprobabilitatea ca aparatul s¼a functioneze stiind c¼a el a trecut testul.

Exercitiul 2.10. O uzin¼a fabric¼a piese, din care 1; 8% sunt cudefecte. Controlul de calitate are urm¼atoarele caracteristici: pieselef¼ar¼a defect sunt acceptate în proportie de 97%; iar cele defecte suntrefuzate în proportie de 99%: 1) Care este probabilitatea ca o pies¼a s¼a�e defect¼a desi a fost acceptat¼a? 2) Care este probabilitatea ca s¼a �eo eroare în control? 3) Care este probabilitatea ca în cinci controaleconsecutive s¼a se produc¼a exact dou¼a erori?

Exercitiul 2.11. Studentii se prepar¼a pentru un examen al c¼aruisubiect va � propus de unul din membrii unei comisii formate din 3profesori: A,B,C. Analizând datele din anii trecuti studentii evalueaz¼a

3. EXERCITII 53

cu 0; 35 probabilitatea ca subiectul s¼a �e propus de A, cu 0; 4 proba-bilitatea ca subiectul s¼a �e propus de B si cu 0; 25 probabilitatea ca Cs¼a propun¼a subiectul. Pe de alt¼a parte, studentii se tem de un anumitsubiect. Ei apreciaz¼a c¼a A ar propune la examen subiectul în cauz¼a cuprobabilitatea 1

10; c¼a B ar propune subiectul respectiv cu o probabilitate

de 25; iar C l-ar propune cu probabilitatea 41

50: 1) Care este probabilitatea

ca subiectul temut s¼a �e dat la examen? 2) Stiind c¼a s-a dat subiectulnedorit la examen, s¼a se a�e probabilitatea ca cel ce a alc¼atuit subiecteles¼a �e C.

Exercitiul 2.12. Într-un oras, 2% din populatie este atins¼a de oboal¼a contagioas¼a. Se stie c¼a în cazul unei întâlniri între o persoan¼acontagioas¼a si una s¼an¼atoas¼a exist¼a un risc de contaminare de 0; 7: Careeste riscul de contaminare la care este supus¼a o persoan¼a s¼an¼atoas¼a cevine în oras si viziteaz¼a 3 persoane arbitrare?(Indicatie. Mai întâi se va analiza cazul unei singure vizite. Di�cul-

tatea model¼arii provine din faptul c¼a, propriu-zis, sunt dou¼a fenomenealeatoare în succesiune: mai întâi nimerirea aleatoare a unui s¼an¼atossau contagios, iar apoi, în cazul vizit¼arii unui contagios, este îmbol-n¼avirea aleatoare. Pentru a construi un model în acest caz, se imag-ineaz¼a o multime mare de vizitatori, de exemplu, persoane venite dinalte localit¼ati. Rezultatele acestor vizite se pot termina în trei feluri: saua fost vizitat¼a o persoan¼a s¼an¼atoas¼a, sau a fost vizitat¼a o persoan¼a con-tagioas¼a dar nu s-a produs contaminarea, sau a fost vizitat¼a o persoan¼acontagioas¼a si s-a produs contaminarea. Reprezent¼am cu o regiune din plan multimea tuturor acestor rezultate. O submultime A � va reprezenta rezultatele care au corespuns vizitelor la persoane conta-gioase. O alt¼a submultime B � A va reprezenta rezultatele care constauîn vizite la persoane contagioase terminate cu contaminare. MultimeaAc va reprezenta rezultatele care constau în vizite la persoane s¼an¼atoase,iar AnB va reprezenta rezultatele care constau în vizitele la persoanecontagioase dar care nu au dus la contaminare.Pentru a modela cazul a 3 vizite se construieste un alt model în care

rezultatele cu care se termin¼a cele trei vizite sunt considerate ca eveni-mente independente. O astfel de abordare poate � f¼acut¼a în cazul uneipopulatii foarte mari, caz în care se poate spune cu o bun¼a aproximarec¼a, indiferent care este persoana ce a fost vizitat¼a mai întâi, la cea dea doua vizit¼a exist¼a aceleasi sanse de contaminare. Vezi problema careurmeaz¼a.)

Exercitiul 2.13. * Fie o urn¼a cu m bile, din care r sunt rosii.Se fac dou¼a extrageri f¼ar¼a revenire. Fie A1 evenimentul �la prima ex-tragere a iesit obil¼a rosie�si A2 evenimentul �la a doua extragere a iesito bil¼a rosie�. (i) Ar¼atati c¼a cele dou¼a evenimente nu sunt independente.(ii) Ar¼atati c¼a dac¼a m!1 si r !1; astfel încât raportul r

m= p este

constant, atunci la limit¼a se obtine P (A1 \ A2) = P (A1)P (A2) :


Exercitiul 2.14. Trei persoane joac¼a un joc ce const¼a în realizareape rând, de c¼atre �ecare, a urm¼atorului experiment: dintr-un pachetcomplet de c¼arti de joc, bine amestecate, se extrage o carte. Dac¼acartea extras¼a nu este o tre�¼a se consider¼a c¼a juc¼atorul respectiv aesuat. Dac¼a cartea este o tre�¼a, juc¼atorul arunc¼a cu zarul. Dac¼a îiiese un as el ridic¼a potul. Dac¼a îi iese alt num¼ar el este esuat. Careeste probabilitatea ca dup¼a ce �ecare juc¼ator si -a jucat experimentul,niciunul s¼a nu � ridicat potul?

Exercitiul 2.15. O fabric¼a produce în serie ceasuri cu un procestehnologic în dou¼a faze. Prima faz¼a de fabricatie produce defectul Ala 2% dintre produse, iar faza a doua produce defectul B la 3% dinproduse.(i) Se ia la întâmplare un ceas. Presupunând c¼a defectele în cele

dou¼a etape se produc independent, se cere probabilitatea ca: a) ceasuls¼a aib¼a ambele defecte, b) ceasul s¼a nu aib¼a niciunul din defecte, c)ceasul s¼a aib¼a exact un defect.(ii) Se iau pe rând 5 mostre de produs �nit. Se presupune c¼a

num¼arul total de ceasuri este asa de mare încât la �ecare extragerede mostr¼a proportia de ceasuri defecte este neschimbat¼a. Determinatiprobabilitatea ca cel putin 4 din cele 5 ceasuri s¼a �e f¼ar¼a defecte.

Exercitiul 2.16. * Sultanul îi spune lui Ali Baba: în fata ta sea�¼a dou¼a vase identice. Unul contine r bile rosii, iar cel¼alalt contine nbile negre. Ai voie s¼a amesteci bilele în cele dou¼a vase dar s¼a lasi celputin câte o bil¼a în �ecare vas. Eu voi veni apoi, m¼a voi apropia de unvas si voi scoate o bil¼a. Dac¼a bila este rosie, vei primi un cos cu rodii,iar dac¼a bila va �neagr¼a, vei primi un cos cu m¼ar¼acini. Cum amestec¼aAli Baba bilele pentru a-si m¼ari sansele de a obtine rodii? Demonstratic¼a exist¼a o metod¼a optim¼a.

( Indicatie. S¼a zicem c¼a urnele sunt U1 si U2: Se va analiza maiîntâi ce se întâmpl¼a cu o urn¼a, o dat¼a aleas¼a. Fie U1 urna aleas¼a.Probabilitatea de a extrage o bil¼a rosie este maxim¼a si egal¼a cu 1 dac¼aîn urna U1 sunt numai bile rosii. Într-o astfel de situatie, pentru a m¼arisansele de extragere a unei bile rosii si pentru urna U2; este optim ase pune cât mai multe bile rosii si în ea. Deci se las¼a o singur¼a bil¼arosie în urna U1 si se pune restul de r � 1 bile rosii împreun¼a cu celen bile negre în urna U2: Pe ansamblul experimentului (alegere urn¼a siextragere bil¼a), probabilitatea de a � extras¼a o bil¼a rosie în cazul acesteirepartiz¼ari a bilelor este p0 = 1

2

�1 + r�1

r�1+n�:

Rationamentul de mai sus nu este complet. Trebuie ar¼atat c¼a pen-tru o alt¼a repartizare a bilelor în urne se obtine o probabilitate maimic¼a. S¼a zicem c¼a în urna U1 s-ar a�a r1 bile rosii si n1 bile negre cun1 � 1: Atunci, în urma experimentului, probabilitatea de a � extras¼ao bil¼a rosie devine p = 1

2

�r1

r1+n1+ r2

r2+n2

�; unde am notat n2 = n� n1

si r2 = r � r1 numerele bilelor ce se a�¼a în urna U2: Trebuie ar¼atat

3. EXERCITII 55

c¼a p0 � p: Pentru a demonstra aceast¼a inegalitate este util a se tineevidenta raportului dintre bilele negre si cele rosii. Mai întâi se observ¼ac¼a inegalitatea r1

n1� r

neste echivalent¼a cu r2

n2� r

n: Apoi se face rationa-

mentul în cazul în care este adev¼arat¼a inegalitatea r1n1� r

n: Atunci avem

r1r1+n1

� rr+n

� r2r2+n2

: Calcul¼am diferenta

p0 � p =1

2

�1� r1

r1 + n1� r21r2 + n2

+r � 1

r � 1 + n

��

� 1

2

�n1

r1 + n1� r

r + n+

r � 1r � 1 + n

�>1

2

�n1r + n

� n

(r + n) (r � 1 + n)

��

� 1

2

�n1r + n

� 1

(r + n)

�� 0:

Se obtine deci inegalitatea strict¼a p0 > p: )

Exercitiul 2.17. Avem trei persoane 1; 2; 3: Not¼am cu Bij eveni-mentul: persoanele i si j au aceeasi zi de nastere. Sunt independenteevenimentele B12 si B23 ? Dar evenimentele B12; B23; B13 ? Sunt eleindependente câte dou¼a?

Exercitiul 2.18. Presupunem c¼a sunt aruncate trei monede. FieA evenimentul �toate monezile cad cu aceiasi fat¼a deasupra� si �e Bevenimentul �cel putin o moned¼a a c¼azut cu stema deasupra�. Suntaceste evenimente independente?

Exercitiul 2.19. O vitrin¼a este luminat¼a pe timpul noptii cu dou¼abecuri b1 si b2: Presupunem c¼a probabilitatea ca becul b1 s¼a functionezetoat¼a noaptea este de 0; 95; iar probabilitatea ca becul b2 s¼a functionezetoat¼a noaptea este 0; 98: S¼a se determine probabilitatea ca cel putinunul din becuri s¼a functioneze toat¼a noaptea în �ecare din cazurile: (i)becurile sunt montate în serie, (ii) becurile sunt montate în paralel.

Exercitiul 2.20. Un sportiv trage patru focuri la tint¼a. Se stiec¼a probabilitatea de a lovi tinta cu un foc este de 0,3. a) Care esteprobabilitatea de a rata toate primele 3 focuri si de a lovi tinta cu alpatrulea? b) Care este probabilitatea de a lovi tinta exact de dou¼a ori?

Exercitiul 2.21. Trei tr¼ag¼atori trag �ecare câte un foc asupraunei tinte. Probabilit¼atile de succes ale �ec¼aruia sunt: p1; p2; p3: Dup¼atragere s-a constatat c¼a tinta a fost atins¼a o singur¼a dat¼a. Care esteprobabilitatea ca primul tr¼ag¼ator s¼a �e cel ce a nimerit tinta?

Exercitiul 2.22. Într-o urn¼a se a�¼am bile din care r sunt rosii. Seextrag la întâmplare f¼ar¼a revenire n bile care se înseamn¼a cu semnul +:Se pun la loc bilele, dup¼a care se extrage o bil¼a. Numim A evenimentul�bila este rosie� si numim B evenimentul �bila are semnul + �. S¼a searate c¼a evenimentele A si B sunt independente.(Indicatie: Se poate ar¼ata c¼a P (B=A) = P (B=Ac) : )

CAPITOLUL 3

Partitii �nite sau num¼arabile

În toate modelele elementare familia evenimentelor corespunz¼atoareeste asociat¼a unei partitii. Prezent¼am în acest capitol notiunile de baz¼adespre partitii si generarea � -algebrlor.

1. Proprietatea de � -aditivitate

Mai întâi vom discuta în jurul propriet¼atii de �� aditivitate, de�nit¼aîn capitolul introductiv, care va interveni incidental în aceast¼a sectiune.

Lema 3.1. Fie (E; E) un spatiu m¼asurabil si � : E ! [0; 1] oaplicatie care veri�c¼a propriet¼atile urm¼atoare:(i) � (E) = 1;(ii) � (A [B) = � (A) +� (B) ; pentru orice dou¼a multimi, A;B 2

E ; care sunt disjuncte.Atunci functia de multime � este �� aditiv¼a dac¼a si numai dac¼a

satisface relatialimn!1

� (An) = 0;

pentru orice sir descresc¼ator (An)n2N de multimi din E pentru careavem \nAn = ;:

DemonstraTie. Observ¼am c¼a � are prin ipotez¼a propriet¼atile uneim¼asuri de probabilitate pe un spatiu m¼asurabil �nit. Presupunem c¼a� este �� aditiv¼a si c¼a (An)n2N este un sir descresc¼ator de multimi dinE astfel c¼a \nAn = ;: Not¼am

Bn = AnnAn+1; n2 N:Pentru m > n se veri�c¼a relatia

Bn � Acn+1 � Acm;(deoarece Am � An). Aceasta arat¼a c¼a Bn \ Bm = ;: Deci multimilesirului (Bn)n2N sunt disjuncte între ele. De asemenea se veri�c¼a directc¼a are loc relatia [

n2N

Bn = A0:

Proprietatea de �� aditivitate ne permite s¼a scriem

� (A0) =Xn2N

� (Bn) :

56

1. PROPRIETATEA DE � -ADITIVITATE 57

Dar avem � (Bn) = � (An) � � (An+1) si atunci deducem c¼a sumelepartiale ale seriei pot � exprimate astfel

nXk=0

� (Bk) = � (A0)� � (An+1) :

Cum aceste sume au limita � (A0) ; rezult¼a c¼a � (An+1)! 0:S¼a ar¼at¼am implicatia invers¼a. Presupunem c¼a � satisface proprie-

tatea din enunt si vom ar¼ata c¼a este �� aditiv¼a. Vom alege notatiacare pune în evident¼a faptul c¼a rationamentul de la prima implicatieeste pur si simplu repetat în ordine invers¼a. Fie deci (Bn)n2N unsir de multimi disjuncte din E : Not¼am An =

Sk�nBk si vom avea

A0 =Sn2NBn: Se veri�c¼a din constructie c¼a sirul (An)n2N este de-

scresc¼ator si c¼aTn2NAn = ;: Proprietatea din enunt implic¼a

limn!1

� (An) = 0:

Pe de alt¼a parte avem

� (An) = �

A0n

[k�n�1

Bk

!= � (A0)� �

[k�n�1

Bk

!=

= � (A0)�Xk�n�1

� (Bk) :

Trecând la limit¼a dup¼a n se obtine 0 = � (A0)�P1

k=0 � (Bk) ; ceea ceeste acelasi lucru cu relatia dorit¼a:

P1k=0 � (Bk) = �

�Sn2NBn

�: �

Enunt¼am acum trei propriet¼ati ale m¼asurilor de probabilitate.

Lema 3.2. Fie (;F ; P ) un spatiu probabilizat.(i) Pentru orice sir descresc¼ator de evenimente, (An)n2N � F ; are

loc relatialimn!1

P (An) = P (\nAn) :

(ii) Pentru orice sir cresc¼ator de evenimente, (An)n2N � F ; are locrelatia

limn!1

P (An) = P ([nAn) :

(iii) Pentru un sir arbitrar de evenimente, (An)n2N � F ; are locrelatia

P ([nAn) �Xn2N

P (An) :

DemonstraTie. (i) Pentru a demonstra prima relatie din enunt,s¼a not¼am A = \nAn si Cn = AnnA: Sirul (Cn)n2N este descresc¼ator,cu intersectia vid¼a, dup¼a cum se poate usor veri�ca. Conform lemei demai înainte, rezult¼a

limn!1

P (Cn) = 0:

Cum P (An) = P (A) + P (Cn) ; deducem relatia din enunt.

58 3. PARTITII FINITE SAU NUM¼ARABILE

(ii) A doua relatie din enunt rezult¼a din prima prin trecere la com-plementar¼a.(iii) Pentru a treia relatie pornim de la inegalitatea valabil¼a pentru

un num¼ar �nit de multimi (vezi punctul 4. din sectiunea introductiv¼adespre modelul probabilist):

P ([k�nAk) �Xk�n

P (Ak) �Xn2N

P (An) :

Apoi aplic¼am punctul (i) sirului cresc¼ator [k�nAk; n 2 N; pentru adeduce

P ([nAn) = limn!1

P ([k�nAk) �Xn2N

P (An) ;

adic¼a relatia de demonstrat. �

2. Generarea algebrelor si ��algebrelorVom presupune c¼a este o multime arbitrar¼a. Fiind dat¼a o familie

arbitrar¼a de p¼arti, U � P () vom nota cu ma (U) multimea tuturoralgebrelor de p¼arti ale lui care contin pe U : Aceast¼a multime nu estevid¼a deoarece, în mod evident, P () 2 ma (U) : Vom nota cu a (U)intersectia tuturor algebrelor din ma (U) :

a (U) =\

G2ma(U)

G:

Se veri�c¼a f¼ar¼a di�cultate c¼a a (U) este o algebr¼a, si c¼a U � a (U) � F :De asemenea, este evident c¼a orice element G din ma (U) contine a (U)si de aceea se poate zice c¼a a (U) este cea mai mic¼a algebr¼a ce contineU : Vom spune c¼a a (U) este algebra generat¼a de familia U :

Se poate de asemenea veri�ca usor c¼a în cazul a dou¼a familii dep¼arti astfel încât U � U 0; rezult¼a ma (U 0) � ma (U) si a (U) � a (U 0) :

În mod absolut similar not¼am cumsa (U)multimea tuturor ��alge-brelor de p¼arti din care contin pe U : Vom nota cu � (U) intersectiatuturor ��algebrelor din msa (U) :

� (U) =\

E2msa(U)

E :

Aceasta este cea mai mic¼a ��algebr¼a care contine pe U si se numeste��algebra generat¼a de U : Pentru dou¼a familii de evenimente astfel încâtU � U 0; vom avea msa (U 0) � msa (U) si în consecint¼a � (U) � � (U 0) :

Este usor de v¼azut c¼a dac¼a U este o algebr¼a, atunci a (U) = U ;iar dac¼a U este o �-algebr¼a atunci � (U) = U : În general, pentru oricefamilie U are loc egalitatea � (U) = � (a (U)) :

Dac¼a � � este o parte arbitrar¼a si U � P () vom utiliza notatia

Uj� = fA � �= 9 A0 2 U ; A = A0 \ �g ;

3. MULTIMILE M¼ASURABILE BOREL* 59

pentru a desemna urma familiei U pe �: Atunci, dup¼a cum a�rm¼aurm¼atorul enunt, urma �-algebrei generate de U si �-algebra generat¼ade urma lui U coincid.

Lema 3.3. ��Uj��= � (U)j�

DemonstraTie. Mai întâi a�rm¼am c¼a � (U)j� este o �-algebr¼a.Aceasta se veri�c¼a direct, f¼ar¼a probleme. Pe de alt¼a parte este clar c¼aare loc incluziunea Uj� � � (U)j� : Atunci rezult¼a incluziunea �

�Uj��

� (U)j� : Pentru a proba incluziunea invers¼a not¼am

M =�A 2 � (U) = A \ � 2 �

�UjG�:

Se veri�c¼a direct c¼a aceast¼a clas¼a de multimi este o �-algebr¼a. Cum,evident, are loc incluziunea U � M; rezult¼a � (U) � M: Aceast¼aincluziune spune exact c¼a � (U)j� � �

�Uj��; ceea ce încheie demon-

stratia. �

3. Multimile m¼asurabile Borel*

Clasa multimilor boreliene din spatiul euclidian Rn este notat¼aB (Rn) si este de�nit¼a prin B (Rn) = � (D) ; unde D reprezint¼a familiamultimilor deschise din Rn: Poart¼a numele matematicianului francezEmile Borel (1871 -1956). Multimile boreliene sunt obtinute si în felulurm¼ator.

Lema 3.4. S¼a not¼am prin K familia multimilor compacte si prin K0familia multimilor închise din Rn: Are loc egalitatea � (K) = � (K0) =B (Rn) :

DemonstraTie. Orice multime compact¼a, E 2 K; este închis¼asi de aceea avem K � K0: Rezult¼a � (K) � � (K0) : Pe de alt¼a parte,orice multime închis¼a F 2 K se scrie sub forma F =

Sn2N Fn; unde

Fn = F \ fjxj � ng ; n 2 N: Multimile Fn; n 2 N; sunt închise sim¼arginite, deci compacte. Prin urmare K � � (K0) ; ceea ce implic¼a� (K) � � (K0) : Am veri�cat astfel egalitatea � (K) = � (K0) :

Cum orice multime este deschis¼a este complementara unei multimiînchise, rezult¼a imedia egalitatea � (D) = � (K0) : �Dac¼a G � Rn este o multime arbitrar¼a, atunci, dup¼a cum se stie, ea

este înzestrat¼a cu topologia urm¼a DjG în care multimile deschise sunturmele pe G ale deschisilor din Rn: Tinând cont de lema anterioar¼arezult¼a c¼a B (Rn)jG = �

�DjG�: De obicei se utilizeaz¼a notatia B (G) =

B (Rn)jG si se spune c¼a aceasta este clasa multimilor boreliene din G:

În cazul dreptei reale, R; exist¼a mai multe familii de intervale caregenereaz¼a ��algebra multimilor boreliene. Acestea sunt descrise prin

I = f(a; b) =a < bg ; I 0 = f[a; b] =a � bg ;

I 00 = f[a; b)=a < bg ; I 000 = f(a; b]=a < bg ;


J = f(a;1) =a 2 Rg ; J 0 = f[a;1)=a 2 Rg ;J 00 = f(1; a) =a 2 Rg ; J 000 = f(1; a]=a 2 Rg :

Se poate veri�ca c¼a au loc relatiile

a (I) = a (I 0) = a (I 00) = a (I 000) = a (J ) = a (J 0) = a (J 00) = a (J 000) :

B (Rn) = � (I) = � (I 0) = � (I 00) = � (I 000) == � (J ) = � (J 0) = � (J 00) = � (J 000) :

R¼amâne ca exercitiu pentru cititor veri�carea acestor egalit¼ati.Se poate spune c¼a printre multimile boreliene se a�¼a toate multim-

ile ce apar prin operatiile uzuale din analiz¼a. Multimile care nu suntboreliene sunt de fapt patologice, iar constructia lor este de obicei di-�cil¼a.

4. Partitii

Pentru binecunoscuta notiune de partitie vom pune urm¼atoareade�nitie, care stabileste câteva aspecte mai precise ca de obicei. Mai în-tâi vom preciza termenul de multime cel mult num¼arabil¼a: prin aceastaîntelegem dou¼a posibilit¼ati, sau multimea este �nit¼a si prin urmare esteizomorf¼a cu o multime de forma f1; :::; ng cu un anumit num¼ar n 2 N�;sau multimea este num¼arabil¼a si atunci poate � pus¼a în bijectie cumultimea numerelor naturale. Dac¼a I este o multime num¼arabil¼a sif : N ! I este o bijectie spunem c¼a I este numerotat¼a prin aceast¼abijectie si se obisnuieste notatia I = fi0; i1; i2; :::g ; unde ik = f (k) ; k 2N:

De�nitia 3.1. O familie de p¼arti nevide A = (Ai)i2I � P () ;indexat¼a dup¼a o multime cel mult num¼arabil¼a I; este numit¼a partitiecel mult num¼arabil¼a a lui , dac¼a sunt satisf¼acute conditiile urm¼atoare:

(i) dac¼a i 6= j; atunci Ai \ Aj = ;;(ii)

Si2IAi = :

Facem conventia ca în acest capitol s¼a utiliz¼am cuvântul partitiepentru a prescurta termenul de partitie cel mult num¼arabil¼a. O astfelde partitie mai este numit¼a si desfacere. Un eveniment care apartineunei partitii este numit atom al partitiei. Un exemplu tipic de partitie�nit¼a a ap¼arut în paragraful dedicat exemplului controlului calit¼atii.

Fie A = fAi j i 2 Ig o partitie cel mult num¼arabil¼a. Pentru oparte J � I; vom utiliza notatia AJ =

Si2JAi; cu conventia A; = ;:

Deoarece atomii sunt p¼arti nevide, rezult¼a c¼a o multime AJ este nevid¼adac¼a J 6= ;: Mai not¼am cu K (I) familia submultimilor �nite din I:Urm¼atoarea lem¼a descrie algebra si ��algebra asociate partitiei.

Lema 3.5. (i) Algebra generat¼a de A are urm¼atoarea descriere

a (A) = fAJ=J 2 K (I) ; sau J c 2 K (I)g :

4. PARTITII 61

Dac¼a partitia A este �nit¼a atunci a (A) este tot �nit¼a. În particular înacest caz avem a (A) = � (A) :(ii) ��algebra generat¼a de A are urm¼atoarea descriere

� (A) = fAJ j J � Ig :(iii) Dac¼a A0 este o a doua partitie si � (A) = � (A0) ; atunci A si

A0 coincid ca multimi de p¼arti, modulo felul în care sunt indexate.(iv) O m¼asur¼a de probabilitate P pe � (A) este complet determinat¼a

de numerele P (Ai) ; i 2 I; prin formula

P (AJ) =Xi2JP (Ai) :

DemonstraTie. Mai întâi s¼a observ¼am c¼a au loc urm¼atoareleegalit¼ati:

AJ[J 0 = AJ [ AJ 0 ; AJ\J 0 = AJ \ AJ 0 ; (�)pentru orice p¼arti J; J 0 � I: În particular rezult¼a

AJ [ AJc = AJ[Jc = ; AJ \ AJc = A; = ;;ceea ce implic¼a

(AJ)c = AJc ; AJ = (AJc)

c (��)(i) Vom nota cu G familia de p¼arti reprezentat¼a de membrul drept

al egalit¼atii ce descrie a (A) : Dac¼a J 2 K (I) ; rezult¼a c¼a multimea AJreprezint¼a o reuniune �nit¼a de atomi, deci este în a (A) : Fie acum omultime de indici J astfel încât J c 2 K (I) : Atunci avem AJc 2 a (A)si din a doua relatie din (**) rezult¼a c¼a si A 2 a (A) : Deci am veri�catincluziunea G � a (A) :

Egalit¼atile (*) si (**) de mai sus, permit a se proba propriet¼atile dealgebr¼a pentru G: În concluzie, rezult¼a c¼a G = a (A) :

Dac¼a multimea de indici I este �nit¼a, atunci multimea p¼artilor P (I)este tot �nit¼a si prin urmare G; la rândul ei, este tot �nit¼a.

(ii) Faptul c¼a � (A) are descrierea a�rmat¼a în enunt se veri�c¼a cuargumente similare celor de la punctul precedent.(iii) Fie A0 = (A0i)i2I0 o a doua partitie care genereaz¼a aceeasi

��algebr¼a. O multime din prima partitie, Ai; �ind în algebra � (A0) ;se scrie, conform punctului (i), ca o reuniune de atomi ai celei de adoua partitii,

Ai =[j2JA0j;

unde J � I 0: Deoarece Ai este nevid¼a rezult¼a c¼a J trebuie s¼a �e nevid¼a.S¼a analiz¼am o multime care particip¼a la aceast¼a reuniune, �e ea A0j cuj 2 J: Tinând cont c¼a A0j este în � (A) ; aceast¼a multime se va exprimaca o reuniune de atomi din partitia A;

A0j =[l2L

Al;


unde L � I: La fel ca si A0j; �ecare din multimile care particip¼a laaceast¼a reuniune este inclus¼a în Ai: Dar atomii distincti ai partitiei Atrebuie s¼a �e disjuncti. Rezult¼a c¼a multimea L se reduce la un singurpunct L = fig : În particular, am dedus c¼a A0j = Ai; ceea ce înseamn¼ac¼a Ai 2 A0: Dar multimea Ai a fost o multime arbitrar¼a din A; si atunciputem trage concluzia c¼a A � A0: În mod simetric avem si incluziuneainvers¼a, ceea ce probeaz¼a egalitatea A = A0:(iv) Pentru a stabili formula din enunt pornimmai întâi cu multimea

de indici �nit¼a J � I; care de�neste multimea AJ =Si2J Ai 2 � (A) :

În acest caz formula rezult¼a imediat din proprietatea de �nit aditivitatea m¼asurii.

S¼a presupunem acum c¼a multimea de indici J este in�nit¼a. Trebuies¼a mention¼am c¼a atunci suma care apare în formula din enunt trebuieînteleas¼a în sensul dat în paragraful despre sumabilitate din capitolulurm¼ator. Cum J este num¼arabil¼a alegem o numerotare J = fi0; i1; :::gsiexprim¼am AJ =

Sn2NAin : Atunci relatia de �-aditivitate ne d¼a

P (AJ) =Xn2N

P (Ain) =Xi2JP (Ai) :

La ultimul semn egal am utilizat punctul doi din lema 4.1. Cu aceastaam încheiat demonstratia. �

Observatia 3.1. Din descrierea f¼acut¼a algebrei generate de o par-titie reiese c¼a aceasta este si ea cel mult num¼arabil¼a. Din contr¼a, �-algebra generat¼a de o partitie num¼arabil¼a este de acelasi cardinal cumultimea p¼artilor lui N; adic¼a de puterea continuului.

Observatia 3.2. Din lema precedent¼a rezult¼a c¼a dou¼a partitii A;A0;sunt legate prin relatia A0 � a (A) dac¼a si numai dac¼a A este mai �n¼adecât A0; în sensul c¼a orice element B 2 A0 se reprezint¼a ca o reuniunede elemente din A :

B =[

A2A;A�BA:

Lema anterioar¼a mai arat¼a c¼a în cazul în care o ��algebr¼a estegenerat¼a de o partitie, partitia respectiv¼a este unic determinat¼a. Încazul partitiilor �nite, se poate completa relatia dintre partitia �nit¼asi algebra generat¼a. Anume, vom ar¼ata în continuare c¼a orice algebr¼a�nit¼a este generat¼a de o partitie �nit¼a, ceea ce pune în corespondent¼abijectiv¼a cele dou¼a clase de obiecte. Mai întâi stabilim c¼a orice familie�nit¼a d¼a nastere la o partitie care genereaz¼a aceeasi algebr¼a ca si familiadat¼a.

Lema 3.6. Fie U = fA1; :::; Ang o familie �nit¼a arbitrar¼a de p¼arti.Not¼am Al;1 = Al; Al;�1 = A

cl si apoi

A� = A1;�1 \ ::: \ An;�n ;

4. PARTITII 63

Figura 1. Diagrama Venn a multimilor A,B,C si par-titia generat¼a de ele

unde � = (�1; :::; �n) 2 f�1; 1gn : Mai not¼am� =

�� 2 f�1; 1gn = A� 6= ;

:

Atunci A =�A�= � 2 �

este o partitie (�nit¼a) si a (U) = a (A) :

DemonstraTie. S¼a veri�c¼am c¼a elementele lui A sunt disjuncte.Fie � 6= doi multi -indici distincti din �: Atunci exist¼a 1 � i � nastfel ca �i 6= i; ceea ce implic¼a Ai;�i \Ai; i = ;: Rezult¼a A�\A = ;:S¼a veri�c¼am c¼a A acoper¼a : Fie x 2 : Pentru �ecare 1 � l � n

este adev¼arat¼a una din relatiile x 2 Al sau x 2 Acl ; în prima situatiede�nim �l = 1; iar în a doua �l = �1: Obtinem astfel multi -indicele� = (�1; ::::; �n) pentru care avem x 2 A�: Am veri�cat deci c¼a A esteo partitie.Este clar din de�nitia lui A� c¼a acest eveniment apartine lui a (U) :

Atunci avem A � a (U) si, prin urmare, a (A) � a (U) : Pe de alt¼aparte, se poate veri�ca urm¼atoarea relatie

Ai =[

�2�;�i=1

A�;

pentru �ecare 1 � i � n; relatie care arat¼a c¼a U � a (A) si prin urmarea (U) � a (A) : �Exemplu.Diagrama Venn din �gura 1 reprezint¼a multimile A;B;C în form¼a

de elips¼a.


Presupunem c¼a aceste multimi sunt p¼arti ale multimii mai mari care este reprezentat¼a de planul în care se a�¼a desenul. Partitia asociat¼aalgebrei generate de evenimentele A;B;C este compus¼a din multimileE1; :::; E8: Multimea E8 este complementara reuniunii A [B [ C:

Propozitia 3.1. Fiind dat¼a o algebr¼a �nit¼a exist¼a o partitie �nit¼acare o genereaz¼a.

DemonstraTie. Fie G algebra �nit¼a dat¼a. Aplicând lema ante-rioar¼a relativ la G pe post de U ; rezult¼a o partitie �nit¼a, A; astfel încâtG = a (G) = a (A) : �

Cum orice algebr¼a �nit¼a este chiar ��algebr¼a, unicitatea dat¼a depunctul (iii) al lemei 3.5 arat¼a c¼a partitia dat¼a de aceast¼a propozitieeste unic¼a. Ea va � numit¼a partitia asociat¼a algebrei G: Cu aceast¼adenumire putem enunta urm¼atorul corolar al lemelor anterioare.

Corolarul 3.1. Exist¼a o bijectie între algebrele �nite pe si par-titiile �nite, iar aplicatiile �algebra generat¼a de o partitie� si �partitiaasociat¼a la o algebr¼a�sunt inverse una alteia.

��algebrele care sunt generate de o partitie cel mult num¼arabil¼asunt de un tip special. Am putea s¼a numim atomice aceste ��algebre.În cazul în care multimea este cel mult num¼arabil¼a, evident, orice��algebr¼a este generat¼a de o partitie cel mult num¼arabil¼a. Descriereaîn termeni de atomi pe care o d¼a lema 3.5 (ii) arat¼a c¼a ele sunt în modesential mai simple decât ��algebra multimilor boreliene din Rn:

Observ¼am c¼a reuniunea unui num¼ar �nit de algebre �nite este ofamilie �nit¼a si, prin urmare, algebra generat¼a de aceast¼a reuniune estetot �nit¼a. În sectiunea urm¼atoare ne vom interesa de reuniunile �nitede � -algebre generate de partitii cel mult num¼arabile si.vom ar¼ata c¼a oastfel de reuniune genereaz¼a o ��algebr¼a care este de acelasi tip, adic¼asi ea este generat¼a de o partitie.În general nu ne putem astepta ca o ��algebr¼a arbitrar¼a s¼a poat¼a �

generat¼a de o partitie. Se poate chiar s¼a avem o ��algebr¼a generat¼a deo algebr¼a de p¼arti num¼arabil¼a, dar s¼a nu existe o partitie num¼arabil¼aasociat¼a acelei �-algebre. Aceasta o probeaz¼a urm¼atorul exemplu.Exemplu*.Fie = [0; 1): Not¼am cu G clasa multimilor de forma

Snl=1[al; bl);

unde al; bl sunt numere rationale, n 2 N� si

0 � a1 < b1 < ::: < an < bn � 1;la care vom ad¼auga si multimea vid¼a. Atunci se veri�c¼a direct c¼aaceast¼a clas¼a de multimi este o algebr¼a de p¼arti num¼arabil¼a. Vomar¼ata c¼a � (G) nu poate � generat¼a de o partitie.Începem prin a remarca c¼a pentru �ecare punct x 2 [0; 1) exist¼a

dou¼a siruri de numere rationale (an)n2N ; (bn)n2N astfel c¼a primul estecresc¼ator iar al doilea este strict descresc¼ator si ambele au limita x:

5. ��ALGEBRA GENERAT¼A DE O APLICATIE 65

Rezult¼a c¼a are loc relatia

fxg =\n2N

[an; bn):

Aceasta arat¼a c¼a, dac¼a am presupune c¼a exist¼a o partitie care ar generaaceeasi �-algebr¼a ca si G; atunci �ecare multime de tipul fxg ; x 2 [0; 1);ar trebui s¼a �e un atom, conform cu ceea ce spune lema de mai jos. Daratunci atomii ar forma o multime nenum¼arabil¼a. Cum noi discut¼amde partitii cel mult num¼arabile, lucrul acesta nu este posibil si, prinurmare, presupunerea f¼acut¼a cade.

Pe de alt¼a parte, se poate usor veri�ca c¼a � (G) = B ([0; 1)) : �Lema 3.7. Fie A o partitie cel mult num¼arabil¼a si A 2 A un atom

al ei, iar x 2 A: Atunci orice multime B 2 � (A) astfel c¼a x 2 B areproprietatea c¼a A � B:DemonstraTie. Fie A = (Ai)i2I partitia si Ai0 atomul care

contine punctul x: Multimea B va � de forma B = AJ cu J � I;datorit¼a descrierii date de punctul (ii) din lema 3.5 pentru � (A) : Cumx 2 B; rezult¼a c¼a va exista un indice j 2 J astfel ca x 2 Aj: Privimacum atomii Ai0 si Aj: Acestia au în comun punctul x: Rezult¼a c¼a eitrebuie s¼a coincid¼a, pentru c¼a, altfel, atomii distincti sunt disjuncti.Dar atunci este clar c¼a Ai0 = Aj � B: �

5. ��algebra generat¼a de o aplicatieFie (;F) un spatiu m¼asurabil si E o multime cel mult num¼arabil¼a.

O aplicatie X : ! E este numit¼a aplicatie m¼asurabil¼a dac¼a areproprietatea c¼a X�1 (B) 2 F ; pentru orice B � E: Remarc¼am c¼a,pentru ca X s¼a �e m¼asurabil¼a este su�cient s¼a se veri�ce c¼a, pentruorice punct e 2 E; este satisf¼acut¼a conditia X�1 (e) 2 F :S¼a presupunem acum c¼a este o multime arbitrar¼a si X : ! E

este o aplicatie de la cu valori într-o multime cel mult num¼arabil¼aE: Acestei aplicatii îi putem asocia clasa de multimi

� (X) =�X�1 (B) = B � E

;

care este format¼a din toate preimaginile întoarse de aplicatiaX: List¼ammai jos câteva din faptele mai importante legate de aceast¼a clas¼a demultimi.1. � (X) este o � -algebr¼a si anume este cea mai mic¼a � -algebr¼a

care face m¼asurabil¼a aplicatia X: Dup¼a cum se poate usor veri�ca, eacoincide cu ��algebra generat¼a de partitia A = (X�1 (e))e2E0 ; undeE 0 = X () este multimea valorilor lui X:

� (X) poart¼a denumirea de � -algebra generat¼a de X:2. Fie E1; :::; En; multimi cel mult num¼arabile si s¼a presupunem c¼a

avem aplicatiile Xi : ! Ei; i = 1; :::; n: Not¼am prin � (X1; :::; Xn) ceamai mic¼a � -algebr¼a în raport cu care sunt m¼asurabile toate aceste apli-catiiadic¼a � (X1; :::; Xn) = � (X

�1 (B) =B � Ei; i = 1; :::; n) :Not¼amAi =

66 3. PARTITII FINITE SAU NUM¼ARABILE�X�1i (e)

�e2E0i

partitiile corespunz¼atoare acestor aplicatii, unde E 0i =

Xi () ; i = 1; :::; n: Atunci se poate usor demonstra egalitatea

� (X1; :::; Xn) = �

n[i=1

Ai

!:

3. Cu notatia de la punctul anterior, de�nim Z : ! E = E1 �:::�En; aplicatia exprimat¼a prin Z (!) = (X1 (!) ; :::; Xn (!)) : Atunciare loc egalitatea � (X1; :::; Xn) = � (Z) :

Pentru veri�carea acestei a�rmatii observ¼am mai întâi c¼a pentruorice punct din spatiul produs e = (e1; :::; en) 2 E are loc egalitatea

Z�1 (e) = X�11 (e1) \ ::: \X�1

n (en) ;

care arat¼a c¼a preimaginea Z�1 (e) este în � (X1; :::; Xn) : Pentru omultime arbitrar¼a B � E putem scrie

Z�1 (B) =[e2B

Z�1 (e) ;

cu o reuniune num¼arabil¼a în dreapta, ceea ce arat¼a c¼a si Z�1 (B) 2� (X1; :::; Xn) : Deci avem � (Z) � � (X1; :::; Xn) : Pe de alt¼a parte,pentru un indice 1 � i � n �xat si orice multime A � Ei putem scrie

X�1i (A) = Z�1 (E1 � :::� Ei�1 � A� Ei+1 � :::� En) ;

relatie ce arat¼a c¼a � (Xi) � � (Z) : Rezult¼a � (X1; :::; Xn) � � (Z) ; ceeace încheie veri�carea a�rmatiei f¼acute.4. De asemenea, p¼astrând notatia anterioar¼a, dac¼a f : E1 � ::: �

En ! F este o aplicatie cu valori în multimea cel mult num¼arabil¼a F;atunci Y = f (X1; :::; Xn) este m¼asurabil¼a fat¼a de � (X1; :::; Xn) :Într-adev¼ar, pentru orice multime A � F; are loc relatia

Y �1 (A) = Z�1 (B) ;

unde B = f�1 (A) ; relatie care pune în evident¼a faptul c¼a Y �1 (A) estem¼asurabil¼a fat¼a de � (Z) :

Propozitia 3.2. Fie Al = (Al;i)i2Il ; l = 1; :::; n; partitii pe multimea

: Atunci exist¼a o unic¼a partitie A astfel încât � (A) = �

n[l=1

Al

!:

DemonstraTie. Consider¼am variabilele aleatoare Xl : ! Il;de�nite prin Xl (!) = i; dac¼a ! 2 Al;i: Observ¼am c¼a are loc egalitatea� (Xl) = � (Al) : Pe de alt¼a parte, aplicatia Z = (X1; :::; Xn) : ! I;cu valori în spatiul produs I = I1 � :::� In ne d¼a � -algebra

� (Z) = � (X1; :::; Xn) = �

n[l=1

Al

!;

6. EXERCITII 67

care este generat¼a de partitia fZ�1 (i1; :::; in) = (i1; :::; in) 2 I 0g ; undeam notat cu I 0 multimea imagine I 0 = Z () : Unicitatea este asigurat¼ade lema 3.5 (iii). �Observatia 3.3. Privitor la propozitia anterioar¼a, facem obser-

vatia c¼a atomii partitiei obtinute pot � exprimati în functie de cei aipartitiilor date. Anume, tinînd cont c¼a Z�1 (i1; :::; in) = X�1

1 (i1)\ :::\X�1n (in) si de relatia X�1

l (il) = Al;il rezult¼a c¼a atomii partitiei c¼autatesunt de forma A1;i1 \ :::\An;in ; cu conditia ca aceast¼a intersectie s¼a nu�e vid¼a. �

6. Exercitii

Exercitiul 3.1. * Not¼am cu Df mutimea tuturor partitiilor si intro-ducem urm¼atoarea relatie de ordine pe aceast¼a multime: dac¼a A;A0 2Df vom spune c¼a A este mai �n¼a decât A0 si vom scrie A � A0 dac¼a�ecare element A din A0 poate � scris ca o reuniune de elemente dinA; adic¼a dac¼a are loc relatia

A =[

B2A;B�AB:

i) S¼a se arate c¼a A este mai �n¼a decât A0 dac¼a si numai dac¼a areloc incluziunea A0 � a (A) :

ii) Dac¼a A � A0 si A0 � A; atunci A = A0:iii) Dac¼a A � A0 si A0 � A00; atunci A � A00:iv) Pentru dou¼a elemente A;A0 2 Df exist¼a întotdeauna cel mai

mare minorant A ^A0 în raport cu relatia de ordine � :v) Fiind date partitiile A1; :::;An 2 Df ; cel mai mare minorant al

lor este partitia A asociat¼a la reuniunea A1 [ :::[An; prin constructiadin propozitia 3.2.

Exercitiul 3.2. Presupunem c¼a spatiul probabilizat (;F ; P ) este�nit.i) S¼a se arate c¼a exist¼a o multime �nit¼a 0 si o aplicatie f : ! 0

surjectiv¼a astfel încât F = f�1 (P (0)) :ii) Perechea (0; f) este unic determinat¼a de aceste propriet¼ati, în

sensul c¼a dac¼a (00; g) este o alt¼a multime �nit¼a si o aplicatie surjectiv¼ag : ! 00; astfel încât F = g�1 (P (00)) ; atunci exist¼a o bijectieh : 0 ! 00 astfel încât g = h � f:iii) Dac¼a not¼am cu P 0 m¼asura de probabilitate transportat¼a pe multimea

0 de la punctul i) prin formula P 0 (A) = P (f�1 (A)) ; A 2 P (0) ;atunci spatiul probabilizat (0;P (0) ; P 0) este echivalent cu (;F ; P ) ;ca spatiu de modelare. Mai precis, ar¼atati c¼a aplicatia F : P (0)! Fde�nit¼a prin F (A) = f�1 (A) este o bijectie cu propriet¼atile urm¼atoare:a) dac¼a A � B; atunci F (A) � F (B) ; b) P 0 (A) = P (F (A)) :

Exercitiul 3.3. * Dati exemplu de un sir de partitii A1;A2; ::: astfelîncât � (A1;A2; :::) s¼a nu �e generat¼a de o partitie.


Exercitiul 3.4. * Fie (;F ; P ) un spatiu probabilizat si A1; :::; Anevenimente. Ar¼atati c¼a aceste evenimente sunt independente dac¼a sinumai dac¼a Ak este independent de algebra a (A1; A2; :::; Ak�1) ; pentru�ecare k = 2; 3; :::; n:

Exercitiul 3.5. * Fie F1; :::;Fn o familie de � -algebre cu pro-prietatea c¼a, pentru �ecare k = 1; :::; n� 1; Fk+1 este independent¼a de� (F1; :::;Fk) : Ar¼atati c¼a, în ansamblu, F1; :::;Fn sunt independente.

CAPITOLUL 4

Spatiul probabilizat num¼arabil

1. Multimi num¼arabile

1.1. Sumabilitate*. În continuare vom avea nevoie s¼a sum¼amfamilii num¼arabile de numere. Fie I o multime cel mult num¼arabil¼asi �e (ai)i2I o familie de numere indexat¼a dup¼a I: Dorim s¼a d¼am senssumei numerelor (ai)i2I : În cazul în care multimea I este �nit¼a nu exist¼adubii asupra sensului. Oricum am de�ni o bijectie f : f1; 2; :::; ng ! I;suma af(1) + ::: + af(n) are aceeasi valoare si o not¼am

Pi2I ai: Pen-

tru cazul num¼arabil exist¼a posibilitatea s¼a de�nim suma prin utilizareanotiunii de serie trecând prin numerotarea multimii I si apoi se poatedemonstra c¼a suma nu depinde de modul în care s-a f¼acut numerotarea.Pentru a mai face mai clar aceast aspect, d¼am o de�nitie de la începutindependent¼a de modul în care este pus¼a multimea I în bijectie cu N:Pentru aceasta not¼am cu K (I) familia tuturor submultimilor �nite dinI: Vom presupune mai întâi c¼a numerele ai sunt toate pozitive si vomspune c¼a familia (ai)i2I este sumabil¼a dac¼a este îndeplinit¼a urm¼atoareaconditie:

supK2K(I)

Xi2K

ai <1:

Vom notaP

i2I ai := supK2K(I)P

i2K ai si vom spune c¼a acest num¼areste suma familiei de numere (ai)i2I : Se vede imediat c¼a orice familie�nit¼a de numere este sumabil¼a si c¼a suma are sensul dat anterior. Deasemenea, se constat¼a c¼a dac¼a familia (ai)i2I este sumabil¼a, atunci oricesubfamilie (ai)i2J r¼amâne sumabil¼a, unde J � I: Urm¼atoarea lem¼a esteusor de veri�cat.

Lema 4.1. (i) Dac¼a familia de numere pozitive (ai)i2I este suma-bil¼a, atunci pentru orice " > 0; exist¼a o submultime de indici K 2 K (I)astfel încât are loc relatia

Pi2InK ai � ":

(ii) Presupunem c¼a multimea de indici este in�nit¼a si �e I =fi0; i1; :::g o numerotare a sa. Atunci familia (ai)i2i este sumabil¼a dac¼asi numai dac¼a seria

P1k=0 aik este convergent¼a. În cazul convergentei

are loc egalitateaP

i2I ai =P1

k=0 aik :

În continuare vom avea nevoie s¼a lucr¼am si cu sume de familii celmult num¼arabile de numere care nu sunt neap¼arat pozitive. Iat¼a cumse extinde notiunea de sumabilitate în acest caz. Fie (ai)i2I o familiede numere reale indexat¼a dup¼a o multime cel mult num¼arabil¼a I: Vom

69

70 4. SPATIUL PROBABILIZAT NUM¼ARABIL

spune c¼a aceast¼a familie de numere este absolut sumabil¼a dac¼a familiavalorilor absolute, (jaij)i2I ; este sumabil¼a.Lema 4.2. Presupunem c¼a familia (ai)i2I este absolut sumabil¼a,

iar multimea de indici I este num¼arabil¼a. Atunci exist¼a un unic num¼ara 2 R astfel încât, pentru orice " > 0; exist¼a o multime K 2 K (I) cuproprietatea c¼a ��X

i2Mai � a

�� "; 8M 2 K (I) ;M � K:

Dac¼a I = fi0; i1; :::g este o numerotare a multimii de indici, atuncia =

P1n=0 ain :

DemonstraTie. Vom porni cu o numerotare a multimii de in-dici ca în enunt. Seria

P1n=0 ain este absolut convergent¼a, datorit¼a

ipotezei c¼a familia (ai)i2I este absolut sumabil¼a. Not¼am a =P1

n=0 ainsi vom veri�ca proprietatea a�rmat¼a de lem¼a în felul urm¼ator. Datorit¼afaptului c¼a familia (jaij)i2I este sumabil¼a, prin aplicarea lemei 4.1(i),pentru " > 0; exist¼a K 2 K (I) astfel încât

Pi2L jaij < "

2; pentru orice

L 2 K (I) astfel încât L \K = ;: Rezult¼a c¼a avem��Xi2M

ai �Xi2K

ai

�� Xi2MnK

jaij <"

2; 8M 2 K (I) ;M � K:

Dar pentru n su�cient de mare, multimea fi0; :::; ing va contine pe Ksi atunci putem scrie ��

nXk=0

aik �Xi2K

ai

�� < "

2:

Trecând la limit¼a cu n obtinem��a�Pi2K ai

�� "2: În combinatie

cu relatia de mai înainte se deduce��a�Pi2M ai

�� a�Pi2K ai�� +��P

i2M ai �P

i2K ai�� "; care d¼a proprietatea din enunt.

Unicitatea num¼arului a se demonstreaz¼a la fel ca unicitatea uneilimite de siruri. �

Dac¼a familia (ai)i2I este absolut sumabil¼a, vom nota cuP

i2I ainum¼arul a dat de lema anterioar¼a si vom spune c¼a el reprezint¼a sumafamiliei de numere.Se veri�c¼a f¼ar¼a probleme c¼a dac¼a (ai)i2I este o familie sumabil¼a de

numere pozitive si (bi)i2I este o alt¼a familie de numere reale, indexat¼adup¼a aceeasi multime de indici si are loc inegalitatea jbij � ai; pentruorice indice i 2 I; atunci familia (bi)i2i este absolut sumabil¼a. Deasemenea se poate vedea c¼a pentru orice dou¼a familii absolut sumabile(ai)i2I ; (bi)i2I ; astfel c¼a ai � bi; pentru orice i 2 I; are loc inegalitateaP

i2i ai �P

i2i bi:Mai departe vom enunta dou¼a leme cu privire la calcule cu sume

de familii absolut sumabile. Aceste calcule sunt binecunoscute în cazul

1. MULTIMI NUM¼ARABILE 71

seriilor de numere. Pentru demonstratie se poate utiliza numerotareaastfel ca, prin intermediul lemelor de mai sus, s¼a se reduc¼a totul laprobleme de serii de numere.

Lema 4.3. Fie fIl=l 2 Lg o partitie cel mult num¼arabil¼a a multimiide indici I: (Asta înseamn¼a c¼a L este cel mult num¼arabil¼a.) Dac¼a fa-milia de numere (ai)i2I este absolut sumabil¼a, atunci si familia

�Pi2Il ai

�l2L

este absolut sumabil¼a si are loc urm¼atoarea formul¼a de grupare a sumelorXi2Iai =

Xl2L

Xi2Il

ai:

Reciproc, dac¼a ai � 0; pentru orice i 2 I si �ecare din familiile denumere (ai)i2Il ; l 2 L; este sumabil¼a iar familia

�Pi2Il ai

�l2L este si ea

sumabil¼a, atunci familia initial¼a (ai)i2I este sumabil¼a si este valabil¼aformula de mai sus.

O situatie similar¼a apare în cazul unei multimi de indici care esteprodusul altor multimi. S¼a presupunem acum c¼a avem n mutimi de in-dici I1; :::; In; cel mult num¼arabile, si o familie de numere reale pozitive(ai1;:::;in)i12I1;:::;in2In ; indexat¼a dup¼a toate multimile de indici. Dac¼anot¼am I = I1� :::� In; aceast¼a multime produs este cel mult num¼ara-bil¼a si putem considera c¼a familia de numere este indexat¼a dup¼a I;scriind (ai)i2I ; unde cu i desemn¼am un multi-indice i = (i1; :::; in) :Are loc urm¼atoarea caracterizare a sumabilit¼atii în raport cu acestimulti-indici.

Lema 4.4. Familia de numere de mai sus este sumabil¼a ca familieindexat¼a dup¼a I dac¼a si numai dac¼a ea este iterativ sumabil¼a în sensulurm¼ator: pentru �ecare sistem de indici �xati i1 2 I1; :::; in�1 2 In�1;familia (ai1;:::;in)in2In este sumabil¼a, de asemenea, pentru �ecare sistemde indici i1 2 I1; :::; in�2 2 In�2 familia

�Pin2In ai1;:::;in�2;in�1;in

�in�12In�1

este sumabil¼a, si asa mai departe, familia0@Xi22I2

0@:::0@ Xin�12In�1

Xin2In

ai1;i2;:::;in�1;in

!1A :::1A1A

i12I1

este sumabil¼a. În plus are loc relatia

Xi2Iai =

Xi12I1

0@Xi22I2

:::

0@ Xin�12In�1

Xin2In

ai1;i2;:::;in�1;in

!1A :::1A :

Ca o consecint¼a a acestei leme se observ¼a c¼a ordinea de sumarepoate � f¼acut¼a în orice fel. Veri�carea lemei o l¼as¼am cititorului. (Cazulcând n = 2 este de fapt un caz particular al lemei anterioare.)


1.2. M¼asuri pe o multime cel mult num¼arabil¼a. În contin-uare, vom nota cu E o multime cel mult num¼arabil¼a. Din punctul devedere al teoriei m¼asurii, spatiul acesta este foarte simplu. Multimeap¼artilor P (E) reprezint¼a singura ��algebr¼a de interes pe E: Dac¼a Eeste in�nit¼a, mai exist¼a un obiect distinct, anume algebra generat¼a demultimile formate dintr-un punct. Aceast¼a algebr¼a const¼a din toatemultimile �nite si cele cu complementara �nit¼a. Dar ea nu are nici unrol anume.Lema urm¼atoare arat¼a c¼a o m¼asur¼a de probabilitate pe aceast¼a

��algebr¼a este complet determinat¼a de valorile pe care le d¼a multim-ilor cu un singur element. Fie � o m¼asur¼a de probabilitate pe P (E) sis¼a not¼am �e = � (feg) ; e 2 E valorile pe care le ia pe punctele lui E:

Lema 4.5. Fie (Ai)i2I o familie cel mult num¼arabil¼a de p¼arti alelui E astfel c¼a Ai \ Aj = ;; dac¼a i 6= j: Atunci are loc relatia

�

[i2IAi

!=Xi2I� (Ai) :

Valoarea pe care o d¼a m¼asura unei multimi arbitrare A � E o putemexprima astfel:

� (A) =Xe2A

�e: (�)

În particular, dou¼a m¼asuri care coincid pe puncte sunt identice.

DemonstraTie. Prima relatie este trivial veri�cat¼a în cazul în careI este �nit¼a. Dac¼a I este num¼arabil¼a se numeroteaz¼a I = fi0; i1; :::g sise scrie

�

[i2IAi

!= �

1[k=0

Aik

!=

= limn!1

�

n[k=0

Aik

!= lim

n!1

nXk=0

� (Aik) =Xi2I� (Ai) ;

ceea ce demonstreaz¼a relatia. Ultima a�rmatie a lemei rezult¼a imediatdin relatia demonstrat¼a. �

Constructia de m¼asuri pe o multime cel mult num¼arabil¼a se bazeaz¼ape relatia (*) din lem¼a.

Lema 4.6. Fie (�e)e2E o familie de numere reale care satisfaceconditiile urm¼atoare:1) �e 2 [0; 1] pentru orice e 2 E;2)P

e2E �e = 1:Atunci relatia (*) din lema de mai sus de�neste o m¼asur¼a de pro-

babilitate pe E:

2. PRODUSUL DE M¼ASURI DISCRETE 73

DemonstraTie. Este usor de v¼azut c¼a de�nitia dat¼a implic¼a �nitaditivitatea m¼asurii. Pentru a veri�ca �� aditivitatea, pornim cu unsir de multimi disjuncte (An)n2N si not¼am A = [nAn: Avem

� (A) =Xe2A

�e =Xn2N

Xe2An

�e =Xn2N

� (An) ;

unde la al doilea semn egal am utilizat lema 4.4. �M¼asuri Dirac.Cele mai simple m¼asuri sunt cele suportate de câte un singur punct.

Fie e0 2 E �xat si A � E; arbitrar¼a. De�nim m¼asura Dirac suportat¼ade punctul e0; pe care o not¼am �e0 ; prin

�e0 (A) = 1A (e0) :

Altfel spus, avem �e0 (A) = 1; dac¼a e0 2 A si �e0 (A) = 0; dac¼a e0 =2 A:Dac¼a utiliz¼am notatia de mai sus cu � = �e0 pentru a exprima valorilepe puncte, avem �e = 0; pentru orice e 6= e0 si �e0 = 1:Orice m¼asur¼a de probabilitate � poate �scris¼a si ca o serie de m¼asuri

Dirac. Dac¼a valorile sale pe puncte sunt reprezentate de familia denumere (�e)e2E ; atunci putem scrie � =

Pe2E �e�e; egalitate care se

veri�c¼a pentru �ecare multime A :

� (A) =Xe2A

�e =Xe2A

�e�e (A) =Xe2E

�e�e (A) :

Integrala.Notiunea de integral¼a în raport cu o m¼asur¼a de probabilitate � pe

P (E) se de�neste în felul urm¼ator. Fiind dat¼a o functie f : E ! R; sespune c¼a aceasta este integrabil¼a dac¼a familia (f (e)�e)e2E este absolutsumabil¼a. Num¼arul Z

fd� :=Xe2E

f (e)�e

este numit integrala functiei f în raport cu m¼asura �: Se mai utilizeaz¼asi notatia

REf (e)� (de) =

Rfd�:

2. Produsul de m¼asuri discrete

Pentru a construi modele probabiliste ce corespund mai multor ex-perimente ale c¼aror rezultate sunt independente, se apeleaz¼a la pro-dusele de spatii probabilizate. Vom considera mai întâi cazul a dou¼amultimi �nite pentru a întelege mai bine notatia ce intervine.S¼a presupunem c¼a avem date multimile �nite E = fe1; :::; emg si

F = ff1; :::; fng ; cu m¼asurile de probabilitate � = (�1; :::; �m) ; � =(�1; :::; �n) ; unde am notat �i = � (feig) si �j = � (ffjg) : Deci auloc relatiile �1 + ::: + �m = 1 si �1 + ::: + �n = 1: Pe spatiul produsE � F se poate de�ni o m¼asur¼a � punând �ij = � (f(ei; fj)g) := �i�j:


Într-adev¼ar, se veri�c¼a imediat conditiam;nX

i=1;j=1

�ij =mXi=1

nXj=1

�i�j =

mXi=1

�i

! nXj=1

�j

!= 1:

M¼asura � se numeste m¼asura produs a celor dou¼a m¼asuri si se noteaz¼a� = �

N�:

Aceast¼a constructie se poate generaliza la produsul a n multimi celmult num¼arabile. Fie E1; :::; En multimi cel mult num¼arabile pe careavem de�nite, respectiv, m¼asurile de probabilitate �1; :::; �n: Analogcazului anterior folosim notatia �l;e = �l (feg) ; e 2 El; l = 1; :::; npentru m¼asura punctelor din spatiile respective. Pe spatiul produsE =

Qni=1Ei; care este de asemenea o multime cel mult num¼arabil¼a,

de�nim m¼asura �; punând valoarea pe puncte

� (f(e1; :::; en)g) := �1;e1 :::�n;en ; 8 (e1; :::; en) 2 E:

Se veri�c¼a relatiaP(e1;:::;en)2E � (f(e1; :::; en)g) =

Pe12E1 :::

Pen2En �1;e1 :::�n;en

=�P

e12E1 �1;e1�:::�P

en2En �n;en�= 1;

care arat¼a c¼a valorile puse pe punctele spatiului produs de�nesc om¼asur¼a de probabilitate pe E: Aceast¼a m¼asur¼a este notat¼a cu � =�1N:::N�n:

Lema 4.7. Fie Bl � El; l = 1; :::; n multimi arbitrare. Atunci areloc formula

�1O

:::O

�n (B1 � :::�Bn) = �1 (B1) :::�n (Bn) :

DemonstraTie. Multimea produs B1� :::�Bn se poate exprimaca reuniunea punctelor sale în felul urm¼ator

B1 � :::�Bn =[

(e1;:::;en)2B1�:::�Bn

f(e1; :::; en)g :

Deoarece multimile ce particip¼a la aceast¼a reuniune sunt disjuncterezult¼a

� (B1 � :::�Bn) =P

(e1;:::;en)2B1�:::�Bn � (f(e1; :::; en)g) ==P

e12B1 :::P

en2Bn � (f(e1; :::; en)g) =P

e12B1 :::P

en2Bn �1;e1 :::�n;en ==�P

e12B1 �1;e1�:::�P

en2Bn �n;en�= �1 (B1) :::�n (Bn) ;

care este relatia de demonstrat. �Pentru �ecare l = 1; :::; n de�nim pe E câte o partitie num¼arabil¼a

Al = (Al;e)e2El punând

Al;e = f(e1; :::; en) 2 E= el = eg = E1�:::�El�1�feg�El+1�:::�En; e 2 El:

Urm¼atoarea lem¼a descrie �� algebrele generate de aceste partitii.

3. REPARTITIA UNEI VARIABILE ALEATOARE 75

Lema 4.8. O multime A � E apartine lui � (Al) dac¼a si numaidac¼a exist¼a o multime B � El astfel ca s¼a aib¼a loc reprezentarea

A = E1 � :::� El�1 �B � El+1 � :::� En:

DemonstraTie. Multimea care apare în reprezentarea din enuntse exprim¼a si sub forma

E1 � :::� El�1 �B � El+1 � :::� En =[e2B

Al;e:

Aceast¼a egalitate arat¼a clar c¼a o multime care se reprezint¼a ca în enunteste în � (Al) : Fie acum A 2 � (Al) : Pe de alt¼a parte, se poate usorveri�ca c¼a familia multimilor de acest tip,

H = fE1 � :::� El�1 �B � El+1 � :::� En= B � Elg ;

este o �-algebr¼a. Aceasta implic¼a H = � (Al) : �

Propozitia 4.1. �� algebrele � (A1) ; :::; � (An) sunt independenterelativ la m¼asura produs � = �1

N:::N�n:

DemonstraTie. Fie Al 2 � (Al) ; l = 1; :::; n: Din lema anterioar¼astim c¼a pentru �ecare l exist¼a multimea Bl � El astfel încât s¼a aib¼aloc reprezentarea

Al = E1 � :::� El�1 �Bl � El+1 � :::� En:

Cu aceast¼a notatie putem scrie

A1 \ ::: \ An = B1 � :::�Bn;

ceea ce duce la

� (A1 \ ::: \ An) = �1 (B1) :::�n (Bn) :

Pe de alt¼a parte, se poate calcula si m¼asura � (Al) = �l (Bl) ; ceea cepermite s¼a deducem

� (A1 \ ::: \ An) = � (A1) :::� (An) ;

adic¼a exact relatia care arat¼a independenta �� algebrelor. �

3. Repartitia unei variabile aleatoare

În aceast¼a sectiune vom presupune dat un spatiu probabilizat (;F ; P ) :În prezenta probabilit¼atii P denumirea de aplicatie m¼asurabil¼a cap¼at¼aun nou nume.

De�nitia 4.1. Fie E o multime cel mult num¼arabil¼a. O aplicatieX : ! E care este m¼asurabil¼a în raport cu spatiul m¼asurabil (;F)va � numit¼a variabil¼a aleatoare cu valori în E:


Reamintim c¼a aceasta înseamn¼a c¼a �ecare din multimileX�1 (B) ; B �E; apartine lui F :

O variabil¼a aleatoare X : ! E; cu valori în multimea cel multnum¼arabil¼a E; poate �utilizat¼a pentru a transporta m¼asura de proba-bilitate P de pe pe E: Anume, variabilei X i se asociaz¼a urm¼atoareaaplicatie PX : P (E) ! [0; 1] ; de�nit¼a prin PX (B) = P (X�1 (B)) :Se poate usor veri�ca c¼a PX este o m¼asur¼a de probabilitate pe E: Eaeste numit¼a repartitia lui X: Evident c¼a repartitia aceasta este supor-tat¼a de imaginea E 0 = X () ; în sensul c¼a PX (EnE 0) = 0: Ea estedeterminat¼a de valorile pe puncte PX (feg) = P (X�1 (e)) ; e 2 E; prinintermediul valorilor lui P pe atomii partitiei asociate variabilei X;A = fX�1 (e) =e 2 E 0g : Pentru e 2 EnE 0; avem X�1 (e) = ;; deciPX (feg) = 0; în acest caz. Dac¼a E 0 = fe1; :::; eng este o multime�nit¼a, repartitia este reprezentat¼a schematic de un tablou de tipul

PX =

�e1 e2 ::: enp1 p2 ::: pn

�;

în care pe linia de jos sunt însirate valorile probabilit¼atilor ce corespundpuncelor, pi = P (X�1 (ei)) ; i = 1; :::; n: Mai putem scrie

PX = p1�e1 + :::+ pn�en ;

În general se poate scrie PX =P

e2E0 P (X�1 (e)) �e:

Dac¼a � este o m¼asur¼a de probabilitate pe E; atunci ea poate �privit¼a ca repartitia variabilei aleatoare X : E ! E; dat¼a de aplicatiaidentitate, de�nit¼a prin X (e) = e; pentru orice e 2 E: În acest cazse consider¼a ca domeniu de de�nitie al variabilei spatiul probabilizat(E;P (E) ; �) : De aceea se obisnuieste a numi repartitie orice m¼asur¼ade probabilitate pe E: Este important s¼a facem urm¼atoarea observatie.

Observatia 4.1. Fie (i;Fi; Pi) ; i = 1; 2; dou¼a spatii probabilizate.Dac¼a variabilele aleatoare Xi : i ! E; i = 1; 2; cu valori în aceeasimultime cel mult num¼arabil¼a, au aceeasi repartie, iar f : E ! F esteo aplicatie arbitrar¼a, atunci variabilele Yi = f (Xi) ; i = 1; 2 au si eleaceeasi repartitie.

Repartitiile variabilelor aleatoare au un rol important în leg¼atur¼acu propriet¼atile de independent¼a ale acestora.

De�nitia 4.2. Fie Xi : ! Ei; i = 1; :::; n; variabile aleatoarecu valori în multimi cel mult num¼arabile. Vom spune c¼a acestea suntindependente dac¼a ��algebrele � (X1) ; :::; � (Xn) sunt independente.

Conform cu lema 2.3, independenta variabilelor Xi; i = 1; :::; n esteechivalent¼a cu veri�carea relatiei

P�X�11 (A1) \ ::: \X�1

n (An)�= P

�X�11 (A1)

�:::P

�X�1n (An)

�;

pentru orice multimi Ai � Ei; i = 1; :::; n: Pe aceeasi linie, facem obser-vatia c¼a un num¼ar �nit de evenimente, A1; :::; An; sunt independente


dac¼a si numai dac¼a variabilele aleatoare, cu valori în f0; 1g ; constituitedin functiile caracteristice 1A1 ; :::; 1An sunt independente.Urm¼atoarea propozitie caracterizeaz¼a independenta în termenii repar-

titiilor.

Propozitia 4.2. Presupunem c¼a Xi : ! Ei; i = 1; 2 sunt dou¼avariabile aleatoare cu valori în spatiile cel mult num¼arabile Ei; i =1; 2 si not¼am Z : ! E1 � E2; aplicatia de�nit¼a prin Z (!) =(X1 (!) ; X2 (!)) : Variabilele aleatoareX1 siX2 sunt independente dac¼asi numai dac¼a variabila Z are repartitia exprimat¼a sub forma produsu-lui

PZ = PX1O

PX2 :

DemonstraTie. S¼a presupunem c¼a variabilele date sunt indepen-dente. Rezult¼a c¼a pentru orice puncte e1 2 E1 si e2 2 E2 are locrelatia

P�X�11 (e1) \X�1

2 (e2)�= P

�X�11 (e1)

�P�X�12 (e2)

�:

Pe de alt¼a parte, tinând cont c¼a X�11 (e1) \ X�1

2 (e2) = Z�1 (e1; e2) ;relatia aceasta devine

PZ (f(e1; e2)g) = PX1 (fe1g)PX2 (fe2g) = PX1O

PX2 (f(e1; e2)g) ;

pentru orice pereche (e1; e2) 2 E1 � E2: Rezult¼a c¼a m¼asurile PZ siPX1

NPX2 coincid.

Reciproc, s¼a presupunem c¼a m¼asurile PZ si PX1NPX2 coincid.

Fie multimile A1 � E1; A1 � E1 arbitrare. Din relatia X�11 (A1) \

X�12 (A2) = Z

�1 (A1 � A2) se deduce

P�X�11 (A1) \X�1

2 (A2)�= PZ (A1 � A2) = PX1

OPX2 (A1 � A2) =

= PX1 (A1)PX2 (A2) = P�X�11 (A1)

�P�X�12 (A2)

�;

ceea ce arat¼a c¼a variabilele X1 si X2 sunt independente. La penultimulsemn egal am utilizat lema 4.7. �Propozitia demonstrat¼a se generalizeaz¼a, cu aceeasi demonstratie,

la cazul a n variabile.

Propozitia 4.3. Variabilele X1; :::; Xn; sunt independente dac¼a sinumai dac¼a repartitia variabilei Z = (X1; :::; Xn) satisface relatia

PZ = PX1O

:::O

PXn :

Aceast¼a propozitie permite construirea de modele probabiliste pen-tru variabile aleatoare independente cu repartitii date. Mai precis,�e Ei; i = 1; :::; n; multimi cel mult num¼arabile pe care sunt de�nitem¼asurile de probabilitate �i; i = 1; :::; n: Not¼am W = E1 � ::: � Enspatiul produs si Xi : W ! Ei aplicatia de proiectie pe componentai; de�nit¼a prin Xi ((e1; :::; en)) = ei; pentru orice (e1; :::; en) 2 W: Pespatiul W; înzestrat cu �� algebra P (W ) ; introducem m¼asura produs


Q = �1N:::N�n: Cu aceste notatii putem spune c¼a (W;P (W ) ; Q)

este un spatiu probabilizat si c¼a X1; :::; Xn sunt variabile aleatoare. Înplus are loc urm¼atorul rezultat.

Propozitia 4.4. Repartitia lui Xi este �i; pentru orice i = 1; :::; n;iar variabilele aleatoare X1; :::; Xn sunt independente.

DemonstraTie. Vom calcula mai întâi repartitia lui Xi: Pentrue 2 Ei are loc egalitatea

X�1i (e) = E1 � :::� Ei�1 � feg � Ei+1 � :::� En;

care se veri�c¼a imediat. De aceea avem

QXi (e) = Q�X�1i (e)

�=

= �1 (E1) :::�i�1 (Ei�1)�i (e)� (Ei+1) :::� (En) = �i (e) ;

ceea ce probeaz¼a egalitatea QXi = �i:Pe de alt¼a parte, aplicatia Z = (X1; :::; Xn) : W ! E1 � ::: � En

este aplicatia identic¼a, si de aceea avemQZ = �1N:::N�n: Propozitia

anterioar¼a ne asigur¼a c¼a variabilele noastre sunt independente. �Exemplul 1.Un zar m¼asluit are pus¼a o greutate în vârful adiacent fetelor cu nu-

merele 1; 3; 5: Aceast¼a greutate face ca fetele opuse, adic¼a cele ce poart¼anumerele 2; 4; 6; s¼a apar¼a cu o probabilitate mai mare la aruncare. Decifetele cu numere impare au probabilit¼atile de a iesi egale între ele sila fel fetele cu numere pare. Dar o fat¼a cu num¼ar par are mai multesanse de a iesi decât una cu num¼ar impar. Ne propunem s¼a construimun model probabilist care s¼a descrie seriile de mai multe arunc¼ari cuun astfel de zar.S¼a not¼am cu r raportul dintre sansele de a iesi o fat¼a par¼a si una

impar¼a la o aruncare. Deci prin ipotez¼a avem r > 1: Vom determinamai întâi în functie de r probabilit¼atile de a iesi �ecare fat¼a. Notând piprobabilitatea de a iesi fata i; vom putea scrie

P6i=1 pi = 1; p1 = p3 =

p5; p2 = p4 = p6 sip2p1= r: Rezult¼a 3p1 + 3rp1 = 1; deci p1 = 1

3(1+r)si

p2 =r

3(1+r):

Mai departe not¼amE = f1; 2; 3; 4; 5; 6g ;multimea care descrie posi-bilit¼atile ce pot ap¼area în urma unei arunc¼ari. Pe aceast¼a multimede�nim m¼asura � prin numerele �1 = �3 = �5 =

13(1+r)

; �2 = �4 =

�6 =r

3(1+r): Dac¼a dorim s¼a model¼am seriile de n arunc¼ari not¼am

= En = E � :::� E| {z }n

si Xl : ! E este proiectia pe componenta

l; l = 1; :::; n: Spatiul reprezint¼a multimea tuturor rezultatelor posi-bil a � obtinute în urma unei serii de n arunc¼ari cu zarul. VariabilaXl descrie rezultatul de la cea de a l -a aruncare cu zarul, iar, înansamblu, cele n variabile descriu rezultatele succesive într-o serie den arunc¼ari. Este clar c¼a diferitele arunc¼ari cu zarul sunt independente.De aceea punem pe spatiul m¼asura produs P = �

N:::N�; care


face variabilele Xl independente si identic repartizate cu repartitia �:Deci (;P () ; P ) descrie seriile de n arunc¼ari cu zarul m¼asluit. �

Exemplul 2.Revenim acum la modelul bilei întoarse. Am notatM = f1; 2; :::;mg

si =M � :::�M; produsul cu un num¼ar de n factori care modeleaz¼aseriile de n extrageri succesive cu revenire. M¼asura de probabilitate P;care de�neste sanse egale pentru �ecare element ! = (xi; :::; xn) 2 afost de�nit¼a prin expresia P (f!g) = 1

mn : Vom obseva acum c¼a aceast¼am¼asur¼a este o m¼asur¼a produs. Într-adev¼ar, dac¼a not¼am cu � m¼asurauniform¼a peM; de�nit¼a prin � (flg) = 1

m; pentru orice l 2M; atunci se

poate constata c¼a are loc egalitatea P = �N:::N�: S¼a mai observ¼am

c¼a variabila care reprezint¼a proiectia pe componenta i; de�nit¼a prinXi : !M;Xi (f(x1; :::; xn)g) = xi este variabila care indic¼a num¼arulbilei extrase la cea de a i�a extragere. Prin urmare, putem spune c¼amodelul probabilist introdus pentru schema bilei întoarse asigur¼a inde-pendenta variabilelor Xi; i = 1; :::; n si faptul c¼a acestea sunt uniformrepartizate. Este clar c¼a aceste dou¼a propriet¼ati ale acestor variabilesunt în concordant¼a cu ceea ce astept¼am de la model. Pe de alt¼a parte,se poate veri�ca c¼a P este singura m¼asur¼a de probabilitate pe careface din proiectii variabile independente si uniform repartizate. Cu altecuvinte aceste propriet¼ati determin¼a modelul.

Exemplul 3*.S¼a re�ect¼am acum la modelarea problemei zilelor de nastere tratat¼a

în capitolul 2. Am adoptat pentru aceast¼a problem¼a modelul extrager-ilor cu revenire. Dac¼a acept¼am ca tr¼as¼aturi obligatorii ale acesteiprobleme faptul c¼a zilele de nastere ale persoanelor din grup suntreprezentate de variabile aleatoare independente si uniform repartizate,înseamn¼a c¼a trebuie s¼a accept¼am ca unic model cel adoptat în capitolul2.Vom discuta acum o alt¼a variant¼a de modelare a problemei zilelor de

nastere. S¼a presupunem c¼a de fapt problema se refer¼a în mod concretla o anumit¼a populatie, format¼a dintr-un anumit num¼ar de indivizi,m; pentru care se stie num¼arul de persoane ce au zilele de nastere în�ecare zi a anului. Atunci, un grup de n indivizi luati la întâmplare dinaceast¼a populatie (n � 365) sunt modelati de o extragere f¼ar¼a ordinede n bile dintr-o urn¼a cu m bile. Desigur c¼a acesta este modelul celmai limpede si mai usor de acceptat. Vom examina acest model încazul în care presupunem c¼a populatia în cauz¼a este compus¼a dintr-un num¼ar egal de indivizi n¼ascuti pentru �ecare zi a anului si facempresupunerea c¼a avem doar 365 de zile în �ecare an. Vom trece apoi lalimit¼a cu m ! 1; pentru a vedea c¼a se ajunge la acelasi model ca înparagraful dedicat problemei din capitolul 2.Dac¼a not¼am cu l num¼arul indivizilor ce au aceeasi zi de nastere,

atunci num¼arul total de indivizi va �m = 365l: Vom face modelareaextragerilor de n bile f¼ar¼a ordine bazându-ne pe schema bilei neîntoarse.


Pentru aceasta identi�c¼am populatia celorm indivizi cu multimeaM =f1; :::;mg si not¼am cu Aj multimea indivizilor n¼ascuti în cea de a j�azi a anului, j = 1; :::365: Rezult¼a c¼a familia (Aj)j=1;:::;365 formeaz¼a opartitie a lui M si cardinalul �ec¼areia din multimile Aj este l: Spatiultuturor posibilit¼atilor este cel ce corespunde schemei bilei neîntoarse

W = f(x1; :::; xn) = xi 2M; xi 6= xj;8i 6= jg :

Probabilitatea ce o consider¼am pe W o not¼am cu Q si, asa cum sestie, ea acord¼a ponderea Q (f(x1; :::; xn)g) = 1

cardW= 1

Anmpentru �ecare

punct w = (x1; :::; xn) 2 W:Din punctul de vedere al problemei noastre,ceea ce intereseaz¼a sunt doar zilele de nastere ale indivizilor dintr-ungrup w: Vom nota E = f1; :::; 365gmultimea zilelor anului si vom de�niapoi o aplicatie f :M ! E; în felul urm¼ator: f (x) = k dac¼a si numaidac¼a x 2 Ak: Aceasta este aplicatia care asociaz¼a �ec¼arui individ ziuasa de nastere. Vom introduce spatiul = En; care înregistreaz¼a toatecon�guratiile de zile de nastere posibil a corespunde unui grup w 2 W:Aplicatia f permite a de�ni o variabil¼a aleatoare, F : W ! ; prinF (x1; :::; xn) = (f (x1) ; :::; f (xn)) : Deoarece pentru problema ce neintereseaz¼a evenimentele elementare ale lui W sunt cercetate doar prinintermediul imaginii lor prin F; rezult¼a c¼a putem lua ca model spatiul cu repartitia variabilei F; care este o probabilitate pe obtinut¼a printransportul lui Q prin intermediul variabilei F: Deoarece Q depinde denum¼arul l; ce îl vom presupune variabil, tinzând chiar la in�nit, vompune Pl = QF pentru a desemna repartitia aceasta. Mai departe vomcompara probabilitatea Pl cu probabilitetea sanselor egale pe : Maiprecis, �e P probabilitatea sanselor egale pe ; de�nit¼a prin P (f!g) =1

card= 1

365n; pentru orice punct ! 2 : Vom ar¼ata c¼a Pl tinde la P;

atunci când l tinde la in�nit, în sensul urm¼ator:

liml!1

Pl (f!g) = P (f!g) ; 8! 2 :

Pentru a veri�ca aceast¼a relatie vom �xa un element arbitrar ! 2 si vom calcula cardinalul multimii F�1 (!) : S¼a zicem c¼a elementuldat are descrierea pe componente ! = (k1; :::; kn) : Componentele nusunt neap¼arat toate distincte si, pentru a clari�ca acest lucru vomproceda astfel. Pentru �ecare zi a anului, k 2 E; vom pune Jk =fi � n= ki = kg ; pentru a desemna indicii componentelor ce coincid cuziua k; iar apoi jk = cardJk; pentru a num¼ara de câte ori se repet¼a ziuak între componentele lui !: Multimile Jk pot � vide pentru anumitevalori k 2 E; astfel c¼a jk = 0 într-o astfel de situatie. În orice cazavem

P365k=1 jk = n; num¼arul total de componente ale lui !: Fie acum

w = (x1; :::; xn) 2 W; astfel ca F (w) = !: Rezult¼a c¼a pentru un k 2 E�xat are loc relatia f (xi) = k; pentru orice i 2 Jk: Dac¼a un alt elementw0 = (x01; :::; x

0n) 2 W este construit, pornind de la w; prin înlocuirea

componentelor de pe pozitiile Jk cu alte puncte din multimeaAk rezult¼a


c¼a vom avea F (w0) = !: Dar exist¼a Ajkl = l (l � 1) ::: (l � jk + 1) posi-bilit¼ati de a obtine elemente distincte din W prin acest procedeu. Cuconventia A0l = 1; putem exprima num¼arul total al elementelor dinF�1 (!) sub forma

Qk2E A

jkl :

Putem concluziona c¼a

Pl (f!g) = Q�F�1 (!)

�=cardF�1 (!)

cardW=

Qk2E A

jkl

Anm=

=l (l � 1) ::: (l � j1 + 1) :::l (l � 1) ::: (l � j365 + 1)

365l (365l � 1) ::: (365l � n+ 1) :

Deoarece, asa cum am remarcat, are loc relatiaP365

k=1 jk = n; rezult¼a c¼aîn produsul de la num¼ar¼ator sunt n factori. Jos sunt tot atâtia factorisi atunci se poate scoate în factor si simpli�ca cu l; astfel c¼a fractiaanterioar¼a devine

=

�1� 1

l

�:::�1� j1+1

l

�:::�1� 1

l

�:::�1� j365+1

l

�365

�365� 1

l

�:::�365� n�1

l

� :

Trecând la limit¼a este clar c¼a obtinem liml!1 Pl (f!g) = 1(365)n

=

P (f!g) : Rezult¼a c¼a modelul utilizat de noi în paragraful dedicat prob-lemei zilelelor de nastere, din capitolul 2, corespunde unei situatii ide-ale, în care facem trei presupuneri simpli�catoare: 1) presupunem c¼aanul ar avea întotdeauna 365 de zile, 2) num¼arul de persoane n¼ascuteîn aceeasi zi este acelasi pentru �ecare zi a anului, 3) populatia total¼aluat¼a în discutie este in�nit¼a, în sensul dat de procesul de trecere lalimit¼a descris mai sus.

Dar aproximarea dat¼a de trecerea la limit¼a cu l converge destul derapid. De exemplu, evalu¼arile pentru multimea

� = f! = (x1; :::; xn) 2 j xi 6= xj ; 8 i 6= jg ;

f¼acute cu m¼asura Pl sau cu P sunt foarte apropiate. Într-adev¼ar, stimc¼a P (�) = (365�1)(365�2):::(395�n+1)

(365)n�1: Pe de alt¼a parte, nu este greu de

calculat cardinalul multimii F�1 (�) pe baza ideilor expuse anterior.Se obtine cardF�1 (�) = An365 � ln: Atunci avem

Pl (�) =ln365 (365� 1) (365� 2) ::: (365� n+ 1)

365l (365l � 1) ::: (365l � n+ 1) =

= P (�)ln�1 (365)n�1

(365l � 1) ::: (365l � n+ 1) :

Vom nota � (n; l) = ln�1(365)n�1

(365l�1):::(365l�n+1) si vom evalua acest num¼ar scriindu-l sub forma

� (n; l) =

�1 +

1

365l � 1

�:::

�1 +

n� 1365l � n+ 1

�:


Pentru l � 100 avem � (n; l) ��1 + 1

36478

�:::�1 + n�1

36478

�; iar ultimul

produs se majoreaz¼a conform lemei 1.1 cu en(n�1)2�36478 : Pentru n � 23;

avem atunci � (n; l) � e23�222�36478 � 1 + 23�22

2�36478 +�23�222�36478

�2: (am utilizat

inegalitatea ex � 1 + x+ x2; care are loc pentru x 2 [0; 1]). Calculândnumeric expresiile din dreapta obtinem � (n; l) � 1; 007: Deci tragemconcluzia c¼a Pl (�) = P (�) � (n; l) ; unde 1 � � (n; l) � 1; 007; pentrul � 100: �

Independenta partitiilor.Examinând demonstratia propozitiei 4.2 se constat¼a c¼a ea arat¼a

mai mult decât scrie în enunt. Anume, rezut¼a c¼a independenta a dou¼avariabile Xi : ! Ei; i = 1; 2 cu valori în spatiile cel mult num¼arabileEi; i = 1; 2; este implicat¼a de relatia de independent¼a veri�cat¼a pepartitiile asociate, adic¼a de relatiile:

P�X�11 (e1) \X�1

2 (e2)�= P

�X�11 (e1)

�P�X�12 (e2)

�;

cu �ecare din punctele ei 2 E 0i;unde E 0i = Xi () ; i = 1; 2:Aceast¼a observatie o vom generaliza acum. Fie Al = (Al;i)i2Il ; l =

1; :::; n partitii ai c¼aror atomi apartin lui F : Evident c¼a dac¼a � -algebrelegenerate de aceste partitii sunt independente, atunci putem scrie

P (A1;i1 \ ::: \ An;in) = P (A1;i1) :::P (An;in) ; (�)

relatie care este valabil¼a pentru orice alegere de atomi Al;il ; il 2 Il; l =1; :::; n:Urm¼atoarea propozitie a�rm¼a c¼a reciproca este si ea valabil¼a.

Propozitia 4.5. Cu notatia de mai sus, dac¼a relatia (*) este ver-i�cat¼a pentru orice alegere de atomi, atunci � (A1) ; :::; � (An) sunt in-dependente.

DemonstraTie. Consider¼am variabilele aleatoare Xl : ! Il;de�nite prin Xl (!) = i; dac¼a ! 2 Al;i: Observ¼am c¼a are loc egalitatea� (Xl) = � (Al) : Pe de alt¼a parte, aplicatia Z = (X1; :::; Xn) : ! I;cu valori în spatiul produs I = I1� :::� In are repartitia exprimat¼a pepuncte, (i1; :::; in) 2 I; prin

PZ (f(i1; :::; in)g) = P�Z�1 (i1; :::; in)

�= P (A1;i1 \ ::: \ An;in) =

= P (A1;i1) :::P (An;in) = PX1 (fi1g) :::PXn (fing) ;ceea ce arat¼a c¼a PZ = PX1

N:::NPXn : Propozitia 4.3 ne d¼a indepen-

denta dorit¼a. �

3.1. Asocierea si disocierea independentei. Presupunem c¼a(Fl)l2L este o familie arbitrar¼a de sub - � -algebre ale luiF : Presupunemc¼a multimea indicilor este partitionat¼a în forma L = [j2JLj astfel c¼aLj\Lj0 = ;; dac¼a j 6= j0: Vom ar¼ata c¼a proprietatea de independent¼a sepliaz¼a acestei partition¼ari a multimii de indici prin asociere si disociere.Pentru �ecare indice j 2 J; not¼am F j = �

�[l2LjFl

�:


Teorema 4.1. (i) Dac¼a ��algebrele (Fl)l2L sunt independente,atunci si ��algebrele (F j)j2J sunt independente.(ii) Reciproc, presupunem c¼a ��algebrele (F j)j2J sunt indepen-

dente si c¼a, pentru �ecare indice j 2 J; �� algebrele din familia (Fl)l2Ljsunt, de asemenea, independente. Atunci �� algebrele din familiamare, (Fl)l2L ; sunt independente în ansamblu.

DemonstraTie. Într-o prim¼a etap¼a vom considera cazul în caremultimea de indici L este o �nit¼a, iar �ecare din � -algebrele familieiinitiale sunt generate de partitii. Fie atunci (Al)l2L o familie de partitiicel mult num¼arabile, Al = (Al;i)i2Il ; cu atomi din F ; astfel c¼a Fl =� (Al) : Not¼am Xl : ! Il aplicatia de�nit¼a prin Xl (!) = i; dac¼a! 2 Al;i; i 2 Il: De�nim apoi aplicatia cu valori în spatiul produs

Z : ! I =Yl2L

Il; Z (!) = (Xl (!))l2L

si aplicatiile cu valori în produsele partiale

Zj : ! Ij =Yl2Lj

Il; Zj (!) = (Xl (!))l2Lj :

Facem identi�carea I =Qj2J I

j; astfel c¼a Z se exprim¼a si sub formaZ (!) = (Zj (!))j2J : Vom avea atunci Fl = � (Xl) si F j = � (Zj) ; iarindependenta variabilelor Xl; l 2 L este echivalent¼a cu independenta �-algebrelor Fl; l 2 L: La fel, independenta variabilelor Zj; j 2 J esteechivalent¼a cu independenta � -algebrelor F j; j 2 J:

(i) Independenta familiei initiale de � -algebre implic¼a relatiile

PZ =Ol2L

PXl ; PZj =Ol2Lj

PXl :

Pe de alt¼a parte o veri�care direct¼a pe puncte arat¼a c¼a aceste relatiiimplic¼a egalitatea PZ =

Nj2J PZj : Rezult¼a c¼a variabilele Z

j; j 2 Jsunt independente, ceea ce încheie demonstratia acestui caz.(ii) În aceast¼a situatie avem prin ipotez¼a c¼a PZ =

Nj2J PZj si

PZj =N

l2Lj PXl : Aceasta implic¼a relatia PZ =N

l2L PXl ; care exprim¼aindependenta dorit¼a.Pentru cazul general, când � -algebrele Fl; l 2 L; nu mai sunt pre-

supuse generate de partitii, iar L nu se mai presupune �nit¼a, se tinecont c¼a relatia de independent¼a trebuie veri�cat¼a cu un num¼ar �nit deevenimente. Se consider¼a atunci algebrele generate de acele evenimentesi se aplic¼a rezultatul veri�cat mai sus. �Urm¼atoarea propozitie ne va � util¼a mai departe.

Propozitia 4.6. Fie X1; :::; Xn o familie de variabile aleatoare in-dependente cu valori în spatiile cel mult num¼arabile Ei; i = 1; :::; n:S¼a presupunem c¼a 1 � n1 < ::: < nk�1 < nk = n sunt numere


naturale care împart variabilele în k grupuri. Dac¼a fj : Enj�1+1 �::: � Enj ! Fj; j = 1; ::; k sunt aplicatii ce iau valori în multim-ile cel mult num¼arabile Fj; j = 1; :::; k; atunci variabilele aleatoareYj = fj

�Xnj�1+1; :::; Xnj

�; j = 1; :::; k sunt independente.

DemonstraTie. Pentru a demonstra a�rmatia f¼acut¼a vom observamai întâi c¼a variabila Yj este m¼asurabil¼a fat¼a de �

�Xnj�1+1; :::; Xnj

�:

Apoi, din teorema 4.1, se deduce faptul c¼a ��algebrele� (X1; :::; Xn1) ; :::; �

�Xnk�1+1; :::; Xnk

�sunt independente, ceea ce implic¼a a�rmatia f¼acut¼a. �Extrageri de bile colorate.Vom analiza o urn¼a cu m bile colorate. Num¼arul de culori este k;

iar num¼arul de bile colorate în culoarea ci este mi: Prin urmare estesatisf¼acut¼a relatia

Pki=1mi = m: Vom presupune c¼a se fac n extrageri

repetate cu întoarcere, iar ca rezultat al �ec¼arei extrageri, este notat¼anumai culoarea bilei extrase. Modelul ce corespunde acestui experimenteste descris în felul urm¼ator. Not¼amM multimea ce corespunde bilelordin urn¼a. Este o multime �nit¼a cu m elemente. Multimea bilelor deculoarea ci va �notat¼a Mi; este o multime cu mi elemente. Rezult¼a c¼amultimile M1; :::;Mk formeaz¼a o partitie a lui M: Spatiul probabilizateste dat de multimea

=Mn = f(x1; :::; xn) = xl 2M; l = 1; :::; ng ;în care punctul generic va �notat ! = (x1; :::; xn) : Asa cum stim, pen-tru extrageri cu întoarcere, probabilitatea corespunz¼atoare este proba-bilitatea sanselor egale. Deci pe multimea se pune probabilitatea cecorespunde sanselor egale: P (f!g) = 1

mn ; pentru orice ! 2 :Ceea ce ne intereseaz¼a acum este s¼a punem în evident¼a partitiile ce

corespund �ec¼arei extrageri. Anume, la o extragere se pot manifestak evenimente distincte. S¼a zicem c¼a este vorba despre extragerea l;atunci pentru l = 1; :::; k avem evenimentul descris prin propozitia�la extragerea l a iesit culoarea i �. Acest eveniment este modelatde multimea Al;i = f(x1; :::; xn) 2 = xl 2Mig : Este clar c¼a familiaAl = (Al;i)i=1;:::k este o partitie �nit¼a. Avem deci n partitii distincte,�ecare cu câte k atomi. Vom veri�ca acum c¼a aceste partitii suntindependente. Pentru a num¼ara punctele dintr-o multime Al;i �xat¼a,vom observa c¼a ea este în bijectie cu multimea Mi�Mn�1: Rezult¼a c¼aavem P (Al;i) =

mimn�1

mn = mi

m: Pe de alt¼a parte, �ind date multimile

A1;i1 ; :::; An;in ; multimea \nl=1Al;il este în bijectie cu produsulMi1� :::�Min si prin urmare va avea cardinalul mi1 :::min : Acest calcul conducela relatia de independent¼a a partitiilor:

P (\nl=1Al;il) =mi1 :::min

mn= P (A1;i1) :::P (An;in) :

Propozitia 4.5 este atunci aplicabil¼a si rezult¼a independenta algebrelorgenerate de partitiile Al; l = 1; :::; n: Aceasta revine la independenta


oric¼aror evenimente ce se refer¼a la extrageri distincte. Cu alte cuvinte,putem spune c¼a cele n extrageri sunt independente într-un sens mailarg.

Aplicatie numeric¼a.S¼a presupunem c¼a avem k = 5; iar culorile sunt: c1 -alb, c2 -negru,

c3 -galben, c4 -rosu, c5 -albastru. Presupunem c¼a se fac sase extragerisi doi juc¼atori mizeaz¼a pe rezultatele extragerilor alternativ. Primulmizeaz¼a pe culorile rosu si albastru la extragerile 1; 3; 5 iar al doilea peculorile alb si rosu la extragerile 2; 4; 6: Ne propunem s¼a determin¼am:(i) care este probabilitatea ca primul juc¼ator s¼a � câstigat la cel putino extragere la care a mizat, (ii) care este probabilitatea ca, în acelasitimp, cel de al doilea juc¼ator s¼a � câstigat si el la cel putin una dinextragerile la care a mizat.Soutie. (i) Sunt sase extrageri, deci n = 6: Not¼am

Bl = Al;4 [ Al;5;evenimentul care exprim¼a faptul c¼a la extragerea l au iesit culorile pecare a mizat primul juc¼ator. Avem P (Bl) = P (Al;4) + P (Al;5) =m4+m5

m: Evenimentul care exprim¼a faptul c¼a primul juc¼ator a câstigat

cel putin o dat¼a este B = B1 [B3 [B5 si, tinând cont c¼a evenimentelecare-l compun sunt independente, el are probabilitatea

P (B) = P (B1) + P (B3) + P (B5)� P (B1 \B3)� P (B1 \B5)�

�P (B3 \B5) + P (B1 \B3 \B5) = 3m4 +m5

m� 3

�m4 +m5

m

�2+

+

�m4 +m5

m

�3=m4 +m5

m3

�3m2 � 3m (m4 +m5) + (m4 +m5)

2� :(ii) Not¼am cu D evenimentul ca cel de al doilea juc¼ator s¼a câstige

cel putin o dat¼a. Probabilitatea sa se calculeaz¼a similar si este

P (D) =m1 +m4

m3

�3m2 � 3m (m1 +m4) + (m1 +m4)

2� :Dar evenimenteleB siD sunt independente pentru c¼aB 2 � (A1;A3;A5)si D 2 � (A2;A4;A6) : Prin urmare avem

P (B \D) = P (B)P (D) = (m4 +m5) (m1 +m4)

m6�

��3m2 � 3m (m4 +m5) + (m4 +m5)

2��3m2 � 3m (m1 +m4) + (m1 +m4)

2� ;ceea ce d¼a rezultatul c¼autat. �

Modelul lui Lebesgue.*Pentru a se construi un sir in�nit de variabile aleatoare indepen-

dente cu repartitie dat¼a se procedeaz¼a ca în cazul unui num¼ar �nit devariabile, cu singura deosebire c¼a trebuie f¼acut un produs in�nit despatii si de m¼asuri. Nu vom face acest lucru aici, desi vom avea nevoie


de asa ceva în paragraful despre repartitia geometric¼a din capitolulce urmeaz¼a. În schimb prezent¼am acum constructia dat¼a de Lebesguepentru un sir de variabile aleatoare independente, repartizate Bernoullicu p = 1

2:

Pe intervalul [0; 1); consider¼am multimile An;k = [ k2n; k+12n); n 2

N�; k = 0; :::; 2n � 1: Pentru �ecare n �xat, familia An = (An;k)2n�1k=0

formeaz¼a o partitie a intervalului [0; 1): Aceste partitii se ra�neaz¼a unape alta când n creste. Mai precis, multimile din partitia de rang n seîmpart în dou¼a multimi din partitia de rang n+ 1; în felul urm¼ator:

An;k = An+1;2k [ An+1;2k+1:Pentru �ecare partitie lu¼am intervalele de ordin impar si functia lorcaracteristic¼a o not¼am

Xn = 1[2n�1l=0 An;2l+1=

2n�1Xl=0

1An;2l+1 :

Este clar c¼a, notând cu �m¼asura Lebesgue, au loc relatiile � (Xn = 0) =� (Xn = 1) =

12: Cu alte cuvinte, toate au repartitia 1

2�0 +

12�1:

Acum se pune problema de a utiliza spatiul [0; 1) cu m¼asura Lebesgueca un spatiu probabilizat. Pân¼a acum am evitat notiunile mai avansatede teoria m¼asurii, îns¼a aici trebuie s¼a apel¼am la extensia m¼asurii lungimedat¼a de Lebesgue. Mai precis, vom utiliza faptul c¼a exist¼a o unic¼a m¼a-sur¼a � -aditiv¼a, �; de�nit¼a pe B ([0; 1)) care coincide cu m¼asura lungimiipentru intervale. Astfel ([0; 1);B ([0; 1)) ; �) poate � considerat ca unspatiu probabilizat.

Propozitia 4.7. VariabileleX1; X2; ::: ; construite mai sus pe spatiulprobabilizat ([0; 1);B ([0; 1)) ; �) ; sunt independente.

DemonstraTie. Pentru demonstratie, vom ar¼ata mai întâi urm¼a-toarea egalitate

fX1 = a1; :::; Xn = ang = [a; a+1

2n); (�)

unde a1; :::; an 2 f0; 1g si a =Pn

i=1ai2i: Observ¼am c¼a în cazul n = 1;

veri�carea egalit¼atii revine la veri�carea egalit¼atilor fX1 = 0g = [0; 12);pentru a1 = 0 sau fX1 = 1g = [12 ; 1); pentru a1 = 1; egalit¼ati evidentveri�cate. Prin inductie, presupunând c¼a este veri�cat¼a egalitatea

fX1 = a1; :::; Xn�1 = an�1g = [a0; a0 +1

2n�1);

unde a0 =Pn�1

i=1ai2i; dorim s¼a deducem egalitatea (*). Pentru aceasta

vom scrie num¼arul anterior sub forma a0 = k2n�1 ; unde k =

Pn�1i=1 ai2

n�1�i:

Deoarece k �Pn�1

i=1 2n�1�i = 2n�1 � 1; rezult¼a c¼a putem scrie [a0; a0 +

12n�1 ) = An�1;k = An;2k [ An;2k+1: Pe de alt¼a parte, avem

fXn = 1g = [2n�1l=0 An;2l+1 ; fXn = 0g = [2

n�1l=0 An;2l ;


ceea ce ne permite s¼a scriem

fX1 = a1; :::; Xn = ang = [a0; a0 +1

2n�1) \ fXn = ang =

= (An;2k [ An;2k+1) \�[2n�1l=0 An;2l+1

�= An;2k+1 ;

dac¼a an = 1; iar în cazul an = 0;

fX1 = a1; :::; Xn = ang = An;2k:Dar în cazul an = 1 avem An;2k+1 = [2k+12n

; 2k+22n) = [a; a+ 1

2n); pentru c¼a

2k+12n

= k2n�1 +

12n= a0 + 1

2n=Pn�1

i=1ai2i+ 1

2n= a: La fel, în cazul an = 0

avem An;2k = [a; a +12n): Cu aceasta am terminat stabilirea egalit¼atii

(*).Pentru a stabili independenta variabilelor noastre este su�cient s¼a

scriem

� (X1 = a1; :::; Xn = an) = �

�[a; a+

1

2n)

�=1

2n=

= � (X1 = a1) :::� (Xn = an) :

Cu aceasta am încheiat demonstratia. �Merit¼a s¼a not¼am c¼a de fapt modelul lui Lebesgue nu difer¼a în mod

esential de un model de tip produs in�nit. Pentru a preciza aceast¼a a�r-matie, s¼a not¼am cu D =

�x = k

2n=n 2 N�; k = 0; :::2n � 1

; multimea

numerelor diadice din intervalul [0; 1): Scrierea diadic¼a a unui num¼arx 2 [0; 1)nD; sub forma x =

P1i=1

ai2n; cu a1; a2; ::: 2 f0; 1g este unic¼a.

(Pentru un num¼ar diadic exist¼a dou¼a scrieri de acest fel, amândou¼a cuun sir de num¼ar¼atori constanti de la un rang încolo.) Cum multimeanumerelor diadice este num¼arabil¼a, ea este neglijabil¼a pentru m¼asuraLebesgue. Rezult¼a c¼a ([0; 1)nD;B ([0; 1)nD) ; �) este tot un spatiuprobabilizat, iar sirul de variabile construite mai sus (prin restrictiela [0; 1)nD) r¼amân independente si cu aceeasi repartitie. De�nind = f0; 1gN

�si aplicatia � : [0; 1)nD ! prin � (x) = (a1; a2; :::) ;

observ¼am c¼a imaginea lui �; multimea � ([0; 1)nD) difer¼a de doarprin multimea sirurilor constante de la un rang încolo:

n� ([0; 1)nD) = f(a1; a2; :::) 2 =9i 2 N�; ai = ai+l;8l 2 Ng ;care este o multime num¼arabil¼a. Aplicatia � este biunivoc¼a. Not¼amcu P = � � ��1 repartitia lui �; care este o m¼asur¼a pe (;F) ; undeF este � -algebra produs pe : Dac¼a not¼am cu Yn : ! f0; 1g apli-catiile de proiectie pe componente, Yn (a1; a2; :::) = an; putem scrieF = � (Yn=n 2 N�) : Se poate veri�ca c¼a are loc egalitatea Yn�� = Xn;deci variabilele Y1; Y2; ::: sunt independente si cu aceeasi repartitie cavariabilele X1; X2; ::: M¼asura P se dovedeste a � tocmai m¼asura pro-dus

Qi2N� �i; unde pe �ecare component¼a a produsului se ia aceeasi

m¼asur¼a: �i = 12�0 +

12�1:

Constructia lui Lebesgue poate � generalizat¼a pentru a produce oteorem¼a de existent¼a pentru lanturi Markov (vezi teorema 8.1, pag. 112


în cartea lui Billingsley citat¼a la bibliogra�e). În particular, se obtin înacest fel un sir de variabile independente, toate repartizate Bernoullicu un parametru p 2 (0; 1) arbitrar.

4. Medie si dispersie

Presupunem c¼a (;F ; P ) este un spatiu probabilizat. În aceast¼asectiune vom discuta despre variabile aleatoare reale de tipul X : !E; cu valori într-o multime cel mult num¼arabil¼a E � R: O astfel devariabil¼a se scrie si sub forma

X =Xx2E

x1X�1(x) =Xx2E0

x1X�1(x);

unde E 0 = X () :Pentru variabilele cu valori reale se pot face o serie de operatii în

plus fat¼a de variabilele generale. De exemplu se pot efectua operatiilearitmetice obisnuite. Dac¼a avem dou¼a variabileX : ! E; Y : ! F;unde E si F sunt multimi cel mult num¼arabile de numere reale, iara; b 2 R; atunci putem construi aplicatia sum¼a

Z = aX + bY : ! G;

de�nit¼a prin Z (!) = aX (!) + bY (!) ; cu valori în multimea cel multnum¼arabil¼a de numere reale G = fax+ by=x 2 E; y 2 Fg : În mod si-milar se de�nesc produsul XY si, în cazul în care 0 =2 F; câtul X=Y;care sunt tot cu multimea valorilor num¼arabil¼a.O operatie important¼a, speci�c¼a cazului real, este calcularea mediei.

De�nitia 4.3. Fie X : ! E; o variabil¼a cu valori într-o multimecel mult num¼arabil¼a astfel ca X () = E � R: Vom spune c¼a X admitemedie, dac¼a familia de numere (xP (X�1 (x)))x2E este absolut suma-bil¼a. În caz c¼a este îndeplinit¼a aceast¼a conditie, se spune c¼a suma

EX =Xx2E

xP�X�1 (x)

�reprezint¼a media variabilei X:

Media unei variabile aleatoare mai este numit¼a si valoarea mediesau, de asemenea, acelei variabile, datorit¼a semni�catiei pe care o areîn cazul diverselor modele probabiliste concrete. Termenul în limbaenglez¼a este �expectation�, iar în limba francez¼a �espérance�. SemnulE este preluat din literatura international¼a. În literatura român¼a esteutilizat de asemenea semnulM; ce reprezint¼a initiala cuvântului medie.Notiunea aceasta este de fapt integrala din teoria m¼asurii. O variabil¼aaleatoare cu valori reale este o functie real¼a m¼asurabil¼a si media nueste altceva decât integrala acestei functii. Notatia utilizat¼a în teoriam¼asurii este variat¼a:

EX =

ZXdP =

Z

X (!)P (d!) =

Z

X (!) dP (!) :

4. MEDIE SI DISPERSIE 89

Faptul c¼a o variabil¼a admite medie este tot una cu faptul c¼a ea esteintegrabil¼a.Dac¼a variabila X are repartitia descris¼a de un tablou

PX =

�a1 a2 ::: anp1 p2 pn

�;

unde a1; :::; an 2 R; sunt toate valorile pe care le ia, atunci media aparescris¼a ca produsul scalar al celor doi vectori linie EX = a1p1+:::+anpn:Dac¼a variabila se reduce la o functie caracteristic¼a, 1A; A 2 F ;

atunci avem E1A = P (A) : Observ¼am c¼a orice variabil¼a m¼arginit¼a ad-mite medie. Dac¼a jXj � K; atunci EX � K:

Exemplul 1.Presupunem c¼a se arunc¼a o moned¼a de 3 ori. Not¼am cu X num¼arul

de steme obtinute în urma experimentului. Aceasta este o variabil¼aaleatoare, iar media sa ne d¼a num¼arul mediu de steme care astept¼am s¼aapar¼a. Prin repetarea experimentului de un num¼ar mare de ori se poateobserva c¼a aceasta este media numerelor de steme obtinute la �ecareexperiment. (Vezi si legea numerelor mari de la sfârsitul sectiunii.)Model¼am experimentul pe spatiul = f0; 1g3 cu probabilitatea

sanselor egale P (f(x1; x2; x3)g) = 18; pentru orice punct (x1; x2; x3) 2

: Dac¼a stema este consemnat¼a prin 0; iar 1 corespunde la fata cu cifra,pentru (x1; x2; x3) 2 ; variabilaX se exprim¼a prinX = 3�x1�x2�x3:Avem P (X = 0) = 1

8; P (X = 1) = 3

8; P (X = 2) = 3

8; P (X = 3) = 1

8:

Rezult¼a c¼a

EX =3

8+ 2

3

8+ 3

1

8=3

2: �

Exemplul 2.Un model simplist privind �abilitatea unui produs este urm¼atorul.

Presupunem c¼a un esantion de 1000 de becurile produse de o fabric¼ase testeaz¼a �ind puse s¼a functioneze neîntrerupt în conditii de usoar¼asuprasarcin¼a, obtinându-se urm¼atoarele rezultate: 10 din becuri se de-fecteaz¼a în prima s¼apt¼amân¼a de functionare, 21 cedeaz¼a în cursul celeide a doua s¼apt¼amâni, 52 în cursul celei de a treia, 90 în cursul celei dea patra s¼apt¼amâni, 153 în cea de a cincea, 207 în cea de a sasea, 252în a saptea, 147 în a opta, 49 în a noua, 19 în a zecea.Modelul probabilist al �abilit¼atii becurilor este deci constituit în

acest caz de spatiul = f1; :::; 1000g ; ce reprezint¼a becurile supuse ex-perimentului, presupuse numerotate. Probabilitatea care se introducepe acest spatiu este, bineînteles, P (i) = 1

1000: Se de�neste o variabil¼a

aleatoare T : ! N; punând T (i) s¼a �e num¼arul de s¼apt¼amâni întregide functionare a becului cu num¼arul i: Astfel multimea Ai = T�1 (i)este multimea becurilor ce s-au defectat în cursul s¼apt¼amânii i + 1:Variabila T reprezint¼a timpul de functionare al unui bec, m¼asurat în


s¼apt¼amâni si rotunjit la partea întreag¼a. Avem urm¼atoarele probabil-it¼ati

P (A0) =10

1000; P (A1) =

21

1000; P (A2) =

52

1000; P (A3) =

90

1000;

P (A4) =153

1000; P (A5) =

207

1000; P (A6) =

252

1000;

P (A7) =147

1000; P (A8) =

49

1000; P (A9) =

19

1000:

Speranta de viat¼a sau durata medie de functionare a unui bec asteexprimat¼a de media variabilei T :

ET = 0 101000

+ 211000

+ 2 521000

+ 3 901000

+ 4 1531000

+ 5 2071000

+ 6 2521000

++7 147

1000+ 8 49

1000+ 9 19

1000= 5; 146:

Rezult¼a c¼a ne astept¼am ca un bec arbitrar s¼a functioneze 5 s¼apt¼amâni,în conditii de usoar¼a suprasolicitare. �Exemplul 3.Un juc¼ator la curse de c¼al¼arie pariaz¼a pe caii A,B,C, respectiv

sumele 30; 10; 15 euro. El apreciaz¼a c¼a sansele de a iesi înving¼atori sunturm¼atoarele: 70% pentru A, 10% pentru B si 20% pentru C. Înaintede începerea cursei, juc¼atorul stia c¼a suma pariat¼a pe A va produce uncâstig cu coe�cientul 2 în cazul c¼a acesta va câstiga, suma pariat¼a pe Bva produce un câstig cu coe�cientul 7; 4 în cazul c¼a va iesi înving¼ator,iar suma pariat¼a pe C va aduce un câstig cu coe�cientul 4; 5 în cazulc¼a acest cal va câstiga cursa.Modelul probabilist pentru acest juc¼ator este = fA;B;Cg ; core-

spunz¼ator celor trei cai ce sunt considerati ca posibili câstig¼atori. Pro-babilitatea este de�nit¼a prin P (A) = 0; 7;P (B) = 0; 1;P (C) = 0; 2:Not¼am cu X variabila aleatoare ce reprezint¼a câstigurile posibile pen-tru juc¼ator: X (A) = 30 � 2 = 60; X (B) = 10 � 7; 4 = 74; X (C) =15 � 4; 5 = 67; 5: Speranta de câstig, sau câstigul mediu asteptat dejuc¼ator este exprimat¼a de media variabilei:

EX = 60� 0; 7 + 74� 0; 1 + 67; 5� 0; 2 = 62; 9:Deci juc¼atorul joac¼a suma de 55 euro si, pe baza estim¼arilor sale, seasteapt¼a s¼a câstige 62; 9: �Vom examina în continuare câteva din principalele propriet¼ati ale

valorii medii. Pentru aceasta este convenabil s¼a schimb¼am un pic no-tatia în exprimarea variabilelor presupunând c¼a ele au forma

X =Xi2Iai1Ai ; (�)

unde (Ai)i2I este o partitie cel mult num¼arabil¼a a lui cu elementedin F ; iar (ai)i2I este o familie de numere reale. Desigur c¼a scriereaanterioar¼a

X =Xx2E

x1X�1(x);


unde E = X () ; este de acelasi tip, pentru c¼a A = (X�1 (e))e2E esteo partitie. Dar în exprimarea (*) nu cerem ca Ai = X�1 (ai) ; asfelc¼a pot exista valori x 2 R pentru care multimea fi 2 I=ai = xg s¼acontin¼a mai multi indici diferiti. Deci partitia (Ai)i2I este mai �n¼adecât A: Scrierea unei variabile sub o astfel de form¼a nu este unic¼a, îngeneral. Pe de alt¼a parte, tinând cont si de conventia f¼acut¼a cum c¼aatomii partitiilor trebuie s¼a �e nevizi, rezult¼a c¼a multimea valorilor aredescrierea

E = X () = fai=i 2 Ig :În acest caz media variabilei se calculeaz¼a dup¼a formula dat¼a de lemacare urmeaz¼a.

Lema 4.9. Presupunem c¼a variabila X se exprim¼a sub forma (*) demai sus. AtunciX admite medie dac¼a si numai dac¼a familia (aiP (Ai))i2Ieste absolut sumabil¼a si are loc formula

EX =Xi2IaiP (Ai) :

DemonstraTie. Pentru �ecare valoare a variabilei x 2 E not¼amIx = fi 2 I=a = xg ; astfel c¼a avem X�1 (x) =

Si2Ix Ai si obtinem

o partitie a multimii de indici: I =Sx2E Ix: Rezult¼a c¼a putem face

calculul urm¼ator f¼ar¼a probleme în cazul în care I este �nit¼a:

EX =Xx2E

xP�X�1 (x)

�=Xx2E

xXi2Ix

P (Ai) =Xx2E

aiXi2Ix

P (Ai) =

=Xi2IaiP (Ai) :

A�rmatia privind absolut sumabilitatea si justi�carea formulei în cazulgeneral se deduce recurgând la lema 4.3. �

Însir¼am acum principalele propriet¼ati ale mediei.1. Dac¼a X este o variabil¼a ce admite medie si X � 0; atunci

EX � 0:2. Variabila X : ! E � R admite medie, dac¼a si numai dac¼a

jXj admite medie. În plus are loc inegalitatea EX � E jXj :3. Dac¼a variabila X admite medie, atunci, pentru orice a 2 R;

variabila aX admite de asemenea medie si are loc relatia E (aX) =aEX:4. Dac¼a X; Y sunt dou¼a variabile care admit medie, atunci X +

Y este o variabil¼a care admite de asemenea medie si are loc formulaE (X + Y ) = EX + EY:Pentru veri�carea acestei propriet¼ati pornim cu cele dou¼a variabile

exprimate cu partitii sub forma X =P

i2I ai1Ai ; Y =P

j2J bj1Bj :Punând Cij = Ai \Bj; si

L = f(i; j) 2 I � J=Cij 6= ;g ;


am obtinut o nou¼a partitie, (Cij)(i;j)2L ; în raport cu care putem scrie

Ai0 =[

j;(i0;j)2L

Ci0j; Bj0 =[

i;(i;j0)2L

Cij0 ;

pentru orice i0 2 I si orice j0 2 J: (Este vorba de fapt de partitiaasociat¼a ��algebrei generate de partitiile (Ai)i2I si (Bj)j2J :) Asa c¼aputem scrie

X =X(i;j)2L

ai1Cij; Y =X(i;j)2L

bj1Cij;

X + Y =X(i;j)2L

(ai + bj) 1Cij:

Prin aplicarea lemei anterioare se obtine imediat

E (X + Y ) =X(i;j)2L

(ai + bj)P (Cij) =

=X(i;j)2L

aiP (Cij) +X(i;j)2L

bjP (Cij) = EX + EY: �

5. Rezult¼a prin inductie c¼a dac¼a X1; :::; Xn sunt variabile aleatoarece admit medie, atunci orice sum¼a de tipul a1X1 + ::: + anXn; cua1; :::; an 2 R; admite de asemenea medie si are loc formula

E (a1X1 + :::+ anXn) = a1EX1 + :::+ anEXn:

6. Dac¼a X;Z sunt dou¼a variabile aleatoare astfel c¼a Z este inte-grabil¼a si are loc inegalitatea jXj � Z; atunci si X este integrabil¼a siEX � E jXj � EZ:Pentru veri�care, presupunem mai întâi c¼a X � 0: Atunci pornim

cu exprimarea lui X cu o partitie sub forma

X =Xi2Iai1Ai :

Not¼am Y = Z �X; care este o variabil¼a nenegativ¼a, conform ipotezei.Ea se poate exprima cu o partitie sub forma Y =

Pj2J bj1Bj : Vom

avea X + Y = Z: Relu¼am notatia de la punctul 4. de mai sus pentrupartitia (Cij)(i;j)2L ; în raport cu care scriem

X =X(i;j)2L

ai1Cij; Y =X(i;j)2L

bj1Cij; Z =X(i;j)2L

(ai + bj) 1Cij:

Numerele ai si bj sunt toate nenegative, deoarece variabilele respec-tive sunt nenegative. Prin urmare, avem aiP (Cij) � (ai + bj)P (Cij) ;pentru orice (i; j) 2 L: Rezult¼a c¼a X admite medie si EX � EZ:

Pentru a trata cazul general, observ¼am c¼a se poate utiliza cazulanterior pentru jXj ; ceea ce conduce la concluzia c¼a jXj admite medie siE jXj � EZ: Tinând cont de punctul 2. de mai sus se obtine concluziadorit¼a. �


Alte propriet¼ati legate de medie le prezent¼am mai jos sub formaunor enunturi de leme.Fie X o variabil¼a cu proprietatea c¼a X2 are medie. Atunci media

E (X2) este numit¼a media p¼atratic¼a sau momentul de ordinul doi alvariabilei.

Lema 4.10. (Inegalitatea lui Schwartz) Dac¼a X; Y sunt variabilecare admit momente de ordinul doi, atunci produsul XY admite mediesi are loc inegalitatea

E (XY ) �pE (X2)

pE (Y 2)

DemonstraTie. Vom porni cu observatia c¼a variabila XY admitemedie, datorit¼a inegalit¼atii jXY j � 1

2(X2 + Y 2) si a punctului 6. de

mai sus. Rezult¼a c¼a X + �Y admite moment de ordinul doi pentruorice num¼ar real � 2 R: Rezult¼a

E (X + �Y )2 � 0;

inegalitate care se scrie

EX2 + 2�E (XY ) + �2EY 2 � 0:

Privim acum expresia din stânga ca pe un polinom de ordinul doi în �cu coe�cienti EY 2; EX2; 2E (XY ) : Punând conditia ca discriminantuls¼a �e negativ -conditia care asigur¼a semnul constant al polinomului-avem

[E (XY )]2 ��EX2

�(EY )2 � 0;

care este tocmai inegalitatea dorit¼a. �Inegalitatea aceasta poate � privit¼a ca o generalizare a inegalit¼atii

Cauchy -Buniakovschi :Xi2Iaibi �

sXi2Ia2i

sXi2Ib2i ;

ce am întâlnit-o pentru familii �nite (ai)i2I ; (bi)i2I de numere reale.Luând Y = 1 în lem¼a se deduce c¼a dac¼a o variabil¼a admite medie

p¼atratic¼a, atunci admite medie si are loc inegalitatea EX �pE (X2):

Lema 4.11. Dac¼a X si Y sunt dou¼a variabile independente, astfelc¼a atât X cât si Y admit medie, atunci produsul XY admite medie siea se calculeaz¼a dup¼a formula E (XY ) = (EX) (EY ) :

DemonstraTie. Pentru demonstratie pornim cu notatiile

X =Xi2Iai1Ai ; Y =

Xj2J

bj1Bj

si cu partitia (Cij)(i;j)2L introduse la punctul 4., îns¼a vom alege partitiiles¼a �e astfel ca Ai = X�1 (ai) ; pentru orice i 2 I si Bj = Y �1 (bj) ;


pentru orice j 2 J: Atunci produsul variabilelor se exprim¼a sub forma

XY =X(i;j)2L

aibj1Cij :

S¼a veri�c¼am absolut integrabilitatea familiei de numere (aibjP (Cij))(i;j)2L :Fie o multime �nit¼a M � L: Putem g¼asi dou¼a multimi �nite M1 � Isi M2 � J astfel încât M �M1 �M2: Atunci putem scrieX

(i;j)2M

jaibjjP (Cij) �X

(i;j)2M1�M2

jaibjjP (Cij) =

=Xi2M1

Xj2M2

jaibjjP (Cij) =Xi2M1

Xj2M2

jaij jbjjP (Ai \Bj) =

=Xi2M1

Xj2M2

jaij jbjjP (Ai)P (Bj) =

=

Xi2M1

jaijP (Ai)! X

j2M2

jbjjP (Bj)!� (E jXj) (E jY j) :

Am utilizat mai sus relatia P (Cij) = P (Ai \Bj) = P (Ai)P (Bj) ;care exprim¼a independenta variabilelor. Rezult¼a c¼a XY admite mediesi media sa este calculat¼a prin:

E (XY ) =X(i;j)2L

aibjP (Cij) =X

(i;j)2I�J

aibjP (Cij) =

=

Xi2IaiP (Ai)

! Xj2J

bjP (Bj)

!= (EX) (EY ) :

Acest ultim calcul este evident în cazul în care multimile valorilor sunt�nite, adic¼a I; J �nite. În cazul general trebuie f¼acut¼a o trecere lalimit¼a, pe care o l¼as¼am cititorului. �

Integrala discret¼a ca medieFie E o multime cel mult num¼arabil¼a pe care avem o m¼asur¼a de

probabilitate � =P

e2E �e�e: Tripletul (E;P (E) ; �) îl privim ca pe unspatiu probabilizat. Orice functie real¼a f : E ! R poate �considerat¼adrept variabil¼a aleatoare. Notând imaginea sa prin F = f (E) putemexprima media sa ca o integral¼a

Ef =Xa2F

a��f�1 (a)

�=Xa2F

aX

e2f�1(a)

�e =Xa2F

f (e)X

e2f�1(a)

�e =

=Xe2E

f (e)�e =

ZE

fd�:

Putem aplica rezultatele anterioare în acest cadru. Spre exemplu,dac¼a avem dou¼a functii, f; g; astfel c¼a f 2 si g2 sunt integrabile, atunci


deducem c¼a produsul este integrabil si putem scrie inegalitatea luiSchwartz, Z

fgd� �

sZf 2d�

sZg2d�:

În cazul în care � este repartitia unei variabile aleatoare putemexprima media variabilei în termeni de integral¼a în raport cu �: Maigeneral, este adev¼arat urm¼atorul rezultat.

Lema 4.12. Fie X : ! E o variabil¼a aleatoare cu valori înmultimea cel mult num¼arabil¼a E; iar f : E ! R o functie arbitrar¼a.Atunci variabila cu valori reale Y = f (X) admite medie dac¼a si numaidac¼a f este integrabil¼a în raport cu repartitia PX : În plus, dac¼a esteîndeplinit¼a una din aceste conditii, atunci are loc relatia

EY =

ZfdPX :

DemonstraTie. Vom presupune c¼a E = X () si not¼am F =f (E) ; astfel c¼a vom avea Y () = F: Functia f poate � scris¼a subforma f =

Pe2E f (e) 1feg; astfel c¼a variabila Y se scrie

Y = f �X =Xe2E

f (e) 1feg �X =Xe2E

f (e) 1X�1(e);

unde am utilizat faptul c¼a 1feg � X = 1X�1(e): Suntem în m¼asur¼a s¼aaplic¼am lema 4.9 variabilei Y exprimate prin partitia asociat¼a lui X:Integrabilitatea lui Y este acelasi lucru cu sumabilitatea absolut¼a aseriei

Pe2E f (e)P (X

�1 (e)) si

EY =Xe2E

f (e)P�X�1 (e)

�:

Dar itegrabilitatea lui f revine la acelasi lucru:ZfdPX =

Xe2E

f (e)PX (feg) =Xe2E

f (e)P�X�1 (e)

�;

ceea ce încheie demonstratia. �Media si media p¼atratic¼a ale unei variabilei aleatoare se pot exprima

în functie de repartitia sa astfel

EX =

ZxPX (dx) ; E

�X2�=

Zx2PX (dx) :

Aceste relatii rezult¼a prin aplicarea lemei anterioare functiilor realef (x) = x si f (x) = x2:DispersiaPentru a distinge între ele variabilele aleatoare, se de�nesc diversi

parametri care exprim¼a sau m¼asoar¼a diverse propriet¼ati ale acestora.Un astfel de parametru este media unei variabile aleatoare. O alt¼am¼arime important¼a asociat¼a unei varibile este dispersia sa. Dispersia


este de�nit¼a pentru variabile aleatoare (reale) care admit momente deordinul doi. Num¼arul D2X := E (X2) � (EX)2 este numit dispersiavariabilei.Tinând cont de relatiile de mai sus rezult¼a c¼a dispersia se exprim¼a

prin

D2X =

Zx2PX (dx)�

�ZxPX (dx)

�2:

În particular, dac¼a dou¼a variabile au aceeasi repartitie, atunci ele auaceeasi medie, acelasi moment de ordin doi si aceeasi dispersie.Dispersia se exprim¼a si sub forma D2X = E (X � EX)2 : Într-

adev¼ar, dac¼a not¼am media cu m = EX; atunci avem

E (X �m)2 = E (X2 � 2mX +m2) == E (X2)� 2mEX +m2 = E (X2)�m2:

De fapt aceast¼a a doua expresie a dispersiei pune în evident¼a in-teresul notiunii. Dispersia este media p¼atratului diferentei X � EX:Este clar c¼a pentru o variabil¼a constant¼a X � a; avem D2X = 0:

Num¼arul DX :=pD2X se numeste deviatia standard a variabilei

sau abaterea medie p¼atratic¼a. Dispersia ca si deviatia standard m¼asoar¼acât de împr¼astiate sunt valorile variabilei fat¼a de media EX: Deviatiastandard este mai intuitiv¼a din acest punct de vedere pentru c¼a estede acelasi ordin de m¼arime cu variabila X: Adic¼a, dac¼a înmultim peX cu o constant¼a pozitiv¼a, a; vom avea D2 (aX) = a2D2X; pe cândD (aX) = aDX:Desigur c¼a o alt¼a m¼arime care m¼asoar¼a aceeasi împr¼astiere este

si E jX � EXj : Aceasta îns¼a este mai putin convenabil¼a pentru ma-nipulare numeric¼a. De exemplu, se comport¼a mai greoi în raport cuadunarea variabilelor aleatoare. Media p¼atratic¼a este legat¼a de normap¼atratic¼a care face din spatiul variabilelor de p¼atrat integrabile, L2;un spatiu Hilbert si acesta are propriet¼ati speciale. Media E jXj estelegat¼a de spatiul L1; care este mai di�cil de abordat în privinta cal-culelor. În lema de mai jos apare unul din avantajele ce le are calcululîn L2:

Lema 4.13. Dac¼a X1; :::; Xn sunt variabile aleatoare independente,de p¼atrat integrabile, atunci dispersia sumei are expresia

D2 (X1 + :::+Xn) = D2X1 + :::+D

2Xn :

DemonstraTie. Pentru veri�carea formulei vom notami = EXi; i =1; :::; n: Avem

E (X1 + :::+Xn)2 = EX2

1 + :::+ EX2n + 2

Xi<j

mimj ;

(EX1 + :::+ EXn)2 = m2

1 + :::+m2n + 2

Xi<j

mimj :

5. LEGEA NUMERELOR MARI 97

Prin sc¼aderea acestor relatii se obtine expresia dispersiei sumei. �Se obisnuieste utilizarea urm¼atoarei notatii prescurtate

P (X � a; Y � b) := P (f! 2 =X (!) � a; Y (!) � bg)pentru multimi determinate de variabile aleatoare cu valori reale. Siexist¼a o mare varietate de notatii de acelasi tip. În enuntul de mai josutiliz¼am aceast¼a notatie. Urm¼atoarea inegalitate desi elementar¼a arenumeroase aplicatii.

Lema 4.14. (Cebâsev -Bienaymé) Dac¼a variabila X admite mo-ment de ordinul doi, atunci are loc inegalitatea

P (jX �mj � �) � 1

�2D2X;

unde � > 0 este o constant¼a arbitrar¼a si m = EX:

DemonstraTie. Se porneste de la observatia c¼a are loc egalitateade multimi

fjX �mj � �g =�(X �m)2 � �2

;

care conduce la urm¼atoarea inegalitate între variabile aleatoare

�21fjX�mj��g � (X �m)2 :Atunci mediile celor dou¼a variabile vor satisface inegalitatea

�2E1fjX�mj��g � E (X �m)2 :Tinând cont c¼a E1fjX�mj��g = P (jX �mj � �) se deduce inegalitate�2P (jX �mj � �) � E (X �m)2 ; care este tocmai inegalitatea dinenunt. �

5. Legea numerelor mari

În continuare ne vom referi la un spatiu probabilizat pe care exist¼aun sir in�nit de variabile aleatoare independente cu anumite caracter-istici date. Preciz¼am c¼a independenta unui sir de variabile înseamn¼ac¼a �ecare num¼ar �nit dintre elementele sirului sunt independente întreele. La fel pentru un sir de evenimente, independenta sirului are sensulde independent¼a a �ec¼arui num¼ar �nit dintre elementele sirului.Numim schem¼a a lui Bernoulli un spatiu probabilizat (;F ; P )

pe care exist¼a un sir A1; A2; ::: de evenimente independente cu aceeasiprobabilitate P (Ak) = p 2 (0; 1) ; pentru orice k = 1; 2; :::[Putem de exemplu s¼a gândim c¼a se modeleaz¼a o serie de arunc¼ari

cu zarul în care Ai reprezint¼a evenimentul de a iesi valoarea 6 la cea de ai�a aruncare. Într-un astfel de caz este normal ca s¼a presupunem acesteevenimente independente, iar P (Ai) = 1

6. Dac¼a �ecare aruncare s-ar

executa cu dou¼a zaruri, iar Ai ar corespunde realiz¼arii evenimentului c¼azarurile au ambele 6, atunci ar trebui s¼a consider¼am p = P (Ai) =

136.]

Se numeste repartitie Bernoulli m¼asura � = p�1 + (1� p) �0; su-portat¼a de multimea cu dou¼a puncte f0; 1g ; unde p 2 (0; 1) este un


parametru. Dac¼a un eveniment A; pe un spatiu probabilizat (;F ; P )are probabilitatea P (A) = p 2 (0; 1) ; atunci variabila aleatoare 1Ava avea repartitia lui Bernoulli cu parametrul p: S¼a observ¼am c¼a pen-tru o multime dat¼a, A; �-algebra generat¼a de ea coincide cu �-algebragenerat¼a de variabila canonic asociat¼a, 1A; adic¼a

� (A) = � (1A) = fA;Ac;; ;g :

Rezult¼a c¼a mai multe evenimente, A1; :::; An; sunt independente dac¼a sinumai dac¼a variabilele asociate, 1A1 ; :::; 1An ; sunt independente. Atuncideducem c¼a schema lui Bernoulli este tot una cu un spatiu probabilizatpe care avem un sir de variabile aleatoare independente X1; X2; ::: toateavând repartitia Bernoulli cu acelasi parametru.Reamintim c¼a în propozitia 4.4 am construit un num¼ar �nit de vari-

abile aleatoare independente cu repartitii date, pe un spatiu produs.Ca un caz particular, �ind dat p 2 (0; 1) ; consider¼am pe E = f0; 1grepartitia lui Bernoulli � = p�1 + (1� p) �0 si apoi facem produsul = En; pe care de�nim m¼asura produs P = �

N:::N�: Atunci vari-

abilele de proiectie Xi : ! E; i = 1; :::; n; sunt independente, identicrepartizate, cu repartitia �; si multimile

Ai = X�1i (1) = E � :::� f1g � :::� E; i = 1; :::; n;

sunt independente si au aceeasi probabilitate P (Ai) = p:Pentru aobtine un sir ar trebui f¼acut un produs in�nit, dar produsul in�nitde m¼asuri nu va � abordat în acest curs. În cazul p = 1

2am prezentat

constructia lui Lebesgue, care asigur¼a existenta schemei lui Bernoullide parametru p = 1

2:

S¼a observ¼am c¼a pentru a studia probabilistic perioadele de con-stant¼a ale seriilor de arunc¼ari cu moneda avem nevoie de schema luiBernoulli, in�nit¼a. Pe un model �nit, de exemplu, avem o restrictieapriori pentru num¼arul de rezultate identice consecutive. Chiar dac¼aprobabilitatea de a se obtine secvente lungi de rezultate identice con-secutive este mic¼a, ea nu este zero si avem nevoie de un model in-�nit pe care s¼a apar¼a posibilitatea unor astfel de secvente de oricelungime. Vezi sectiunile despre Repartitia geometric¼a si despre Arun-carea repetat¼a cu banul.A�rmatia (iii) din propozitia care urmeaz¼a se numeste legea slab¼a

a numerelor mari. Ea d¼a un sens ideii c¼a media unei variabile estetocmai valoarea pe care o obtinem prin repetarea experimentului prob-abilist care este modelat de variabil¼a, în conditii identice si f¼ar¼a nici oconditionare. În acelasi sens se interpreteaz¼a si relatia de la punctul(i). Îns¼a din punct de vedere practic, inegalitatea (ii) este cea mai util¼apentru c¼a ne estimeaz¼a o probabilitate. Aceast¼a inegalitate este adeseanumit¼a tot inegalitatea Cebâsev (Pafnuti Lvovici, matematician rus,1821 - 1894). De obicei, în exemple concrete, interesul este de a ar¼atac¼a probabilitatea de la (ii) este mic¼a.

5. LEGEA NUMERELOR MARI 99

Propozitia 4.8. Fie X1; X2; ::: un sir de variabile aleatoare inde-pendente cu aceeasi medie si deviatie standard: m = EXi; � = DXi:Notând Sn = X1 + :::+Xn; atunci au loc urm¼atoarele relatii:(i) limn!1E

�1nSn �m

�2= 0;

(ii) P�� 1nSn �m

�� "� � �2

n"2; pentru orice " > 0;

(iii) limn!1 P�� 1nSn �m

�� "� = 0; pentru orice " > 0:DemonstraTie. (i) Media variabilei Sn este ESn = nm: Tinem

cont de independenta variabilelor si calcul¼am

E

�1

nSn �m

�2=1

n2E (Sn � nm)2 =

1

n2D2 (Sn) =

1

n2n�2 =

�2

n;

care evident tinde la zero.(ii) Variabila 1

nSn are media m si dispersia, calculat¼a mai sus, �

2

n:

Inegalitatea de demonstrat se obtine direct din aplicarea inegalit¼atiiCebâsev -Bienaymé pentru aceast¼a variabil¼a.

(iii) Relatia rezult¼a direct din punctul (ii). Propozitia este demon-strat¼a. �

Relatia de la punctul (iii) exprim¼a �convergenta în probabilitate�a sirului de variabile aleatoare

�1nSn�n2N� c¼atre m: Un caz particular

este formulat în urm¼atorul corolar, cunoscut sub numele de legea slab¼aa numerelor mari, rezultat stabilit de Jacob Bernoulli (1654 -1705). Lavremea respectiv¼a înc¼a nu exista teoria m¼asurii, iar demonstratia orig-inal¼a este foarte lung¼a. Variabila 1

nSn reprezint¼a frecventa de aparitie

a evenimentului caracteristic unui experiment într-o serie de n real-iz¼ari independente ale experimentului. Formulat într-o fraz¼a, se poatespune: frecventa de aparitie a unui eveniment într-un sir de experi-mente identice si independente converge în probabilitate la probabili-tatea evenimentului.

Corolarul 4.1. Fie (An)n2N� un sir de evenimente independentecu aceeasi probabilitate P (An) = p: Atunci variabila Sn = 1A1+:::+1Ansatisface relatia

limn!1

P

�� 1nSn � p�� "� = 0;

pentru orice � > 0:

Un rezultat mult mai puternic este enuntat în teorema de mai jos,cunoscut¼a sub numele de legea tare a numerelor mari. Demonstratiaeste di�cil¼a si nu o vom prezenta.

Teorema 4.2. Fie (;F ; P ) un spatiu probabilizat pe care suntdate variabilele X1; X2; ::: independente, identic repartizate, cu mediaEX1 = m: Atunci are loc relatia

limn!1

1

n(X1 + :::+Xn) = m; a:s:


Relatia din enuntul teoremei are loc aproape sigur, adic¼a cu exceptiaunei multimi de probabilitate zero.

6. Exercitii

Exercitiul 4.1. Fie f : �! E o aplicatie de la o multime arbitrar¼a� cu valori într-o multime cel mult num¼arabil¼a E: Not¼am cu � (f) ceamai mic¼a ��algebr¼a pe � care face din f o aplicatie m¼asurabil¼a, cândpe E se consider¼a ��algebra P (E) ; a p¼artilor lui E: S¼a se arate c¼a ofunctie g : � ! R este m¼asurabil¼a fat¼a de � (f) dac¼a si numai dac¼aexist¼a o functie h : E ! R; astfel încât g = h � f:

Exercitiul 4.2. * Dac¼a E este o multime cu cel putin dou¼a ele-mente, atunci multimea = EN este nenum¼arabil¼a.

Exercitiul 4.3. Se consider¼a trei urne cu bile albe si negre dup¼acum urmeaz¼a: prima urn¼a are 3 bile albe si 3 negre, a doua are 2 bilealbe si 3 negre, iar a treia 4 albe si 2 negre. Se extrage câte o bil¼a din�ecare urn¼a, bila extras¼a �ind imediat pus¼a la loc. Dac¼a se efectueaz¼aoperatia de trei ori la rând, care este probabilitatea de a se obtine dedou¼a ori câte o bil¼a alb¼a si dou¼a negre, si o dat¼a dou¼a bile albe si unaneagr¼a?

Exercitiul 4.4. * Fie o multime si U = fA1; :::; Ang o familie�nit¼a de p¼arti. Dac¼a a1; :::; an 2 R; not¼am ' = a11A1 + ::: + an1An ;care este o functie cu valori reale. (i) S¼a se arate c¼a ' este constant¼ape �ecare atom al partitiei

�A��2� asociate familiei U (vezi lema 3.6).

(ii) Dac¼a G este o algebr¼a de p¼arti astfel c¼a toate aplicatiile de tipul lui' sunt m¼asurabile fat¼a de ea, atunci a (U) � G:

Pentru urm¼atoarele patru exercitii presupunem c¼a E este o multimecel mult num¼arabil¼a iar � este o m¼asur¼a de probabilitate pe E:

Exercitiul 4.5. Dac¼a G � E este o submultime arbitrar¼a, s¼a searate c¼a, pentru �ecare " > 0; exist¼a o multime �nit¼a F � G cu pro-prietatea c¼a � (GnF ) < ":

Exercitiul 4.6. Presupunem c¼a f � 0 este o functie integrabil¼a sig este o alt¼a functie astfel c¼a jgj � f: S¼a se arate c¼a atunci si g esteintegrabil¼a.

Exercitiul 4.7. * S¼a se arate c¼a dac¼a (fn)n2N este un sir cresc¼atorde functii pozitive, integrabile si supn2N

Rfnd� < 1; atunci functia

f = limn2N fn este integrabil¼a siRfd� = lim

Rfnd�:

Exercitiul 4.8. * Fie (fn)n2N un sir de functii care are limitapunctual¼a f: Presupunem c¼a exist¼a o functie integrabil¼a g � 0 astfel cajfnj � g; pentru orice n 2 N: S¼a se arate c¼a atunci f este integrabil¼asi c¼a are loc relatia

Rfd� = lim

Rfnd�:

6. EXERCITII 101

Exercitiul 4.9. * Fie E o multime cel mult num¼arabil¼a si (�e)e2E �R o familie absolut sumabil¼a de numere reale. S¼a se arate c¼a exist¼a ounic¼a aplicatie � : P (E)! R astfel încât pentru orice sir descresc¼ator(An)n2N � P (E) cu intersectia vid¼a (An+1 � An;8n 2 N;

Tn2NAn =

; ) s¼a aib¼a loc relatia limn!1 � (An) = 0 si astfel încât � (feg) = �e;pentru orice e 2 E: Spunem c¼a � este o m¼asur¼a �nit¼a pe E: S¼a secalculeze numerele

sup f� (A) = A � Eg ; inf f� (A) = A � Eg ;

j�j = sup�Z

fd�= f : E ! R; jf j � 1�:

Exercitiul 4.10. Fie E1; E2; E3 trei multimi cel mult num¼arabilesi �1; �2; �3 m¼asuri de probabilitate de�nite pe ele. Identi�când spatiileprodus (E1 � E2)�E3 �= E1� (E2 � E3) �= E1�E2�E3 s¼a se arate c¼aare loc egalitatea (�1

N�2)N�3 = �1

N(�2N�3) = �1

N�2N�3:

Exercitiul 4.11. * Fie (Ei)i2I o familie �nit¼a de multimi cel multnum¼arabile. Presupunem c¼a multimea I este partitionat¼a sub formaI = [j2JIj; unde multimile din partitie sunt indexate astfel încât Ij \Il = ;; dac¼a j 6= l: Not¼am Ej =

Qi2Ij Ei si �

j =N

i2Ij �i: S¼a searate c¼a

Qi2I Ei este izomorf cu

Qj2J E

j si sub acest izomor�sm avemNi2I �i =

Nj2J �

j:

Exercitiul 4.12. Fiind date numerele p1; :::; pn 2 (0; 1) ; s¼a se con-struiasc¼a un spatiu probabilizat pe care exist¼a evenimentele A1; :::; An;independente si cu probabilit¼atile P (A1) = p1; :::; P (An) = pn:

Exercitiul 4.13. Fie n � 2: Presupunem c¼a dintr-o urn¼a cu nbile se fac dou¼a extrageri f¼ar¼a revenire. Fie X1 variabila aleatoare carearat¼a rezultatul primei extrageri si X2 variabila care arat¼a rezultatulcelei de a doua extrageri. (i) S¼a se arate c¼a cele dou¼a variabile auaceeasi repartitie. (ii) Ele nu sunt independente.

Exercitiul 4.14. * Fie (;F ; P ) un spatiu probabilizat si A1 =(A1;i)i2I1, A2 = (A1;i)i2I2 dou¼a partitii. De�nim variabilele aleatoareXk : ! Ik prin Xk (!) = i; dac¼a ! 2 Ai; unde k = 1; 2: S¼a severi�ce c¼a partitiile A1 si A2 sunt independente dac¼a si numai dac¼aPX1

NPX2 = PZ ; unde Z : ! I1 � I2 este aplicatia de�nit¼a prin

Z (!) = (X1 (!) ; X2 (!)) : S¼a se deduc¼a o nou¼a demonstratie pentrua�rmatia c¼a independenta partitiilor este echivalent¼a cu independenta��algebrelor � (A1) si � (A2) : Generalizare la cazul mai multor par-titii.

Exercitiul 4.15. Un zar m¼asluit are urm¼atorul comportament laaruncare: fetele cu numere pare au aceeasi probabilitate de aparitie;fetele cu numere impare au, de asemenea, probabilit¼ati egale între ele;o fat¼a cu num¼ar par are sanse duble de a iesi fat¼a de o fat¼a cu num¼ar


impar. 1) S¼a se determine probabilitatea cu care iese �ecare fat¼a sepa-rat. 2) Se arunc¼a de trei ori zarul. S¼a se determine probabilitatea: a) s¼aias¼a exact de dou¼a ori o cifr¼a impar¼a, b) s¼a ias¼a trei cifre consecutive,în orice ordine.

Exercitiul 4.16. Trei sportivi trag la tint¼a pe rând. Se stie c¼aprimul are probabilitatea de a nimeri tinta p1 = 0; 4; al doilea are proba-bilitatea p2 = 0; 5; iar al treilea p3 = 0; 7: S¼a se determine probabilitateaca exact doi sportivi s¼a � nimerit tinta.

Exercitiul 4.17. La o roat¼a de rulet¼a exist¼a 38 de sectoare în carese poate opri indicatorul, cu sanse egale pentru �ecare sector. Un juc¼a-tor care pariaz¼a simplu pe un sector pl¼ateste suma x la intrarea în joc.În caz c¼a, dup¼a rotirea ruletei, iese num¼arul ales, juc¼atorul câstig¼a de36 de ori valoarea pe care a pariat. Care este media câstigului pe careîl obtine cazinoul în acest caz?

Exercitiul 4.18. Doi vân¼atori merg la vân¼atoare de vulpi într -op¼adure unde exist¼a 20 de exemplare. V1 nimereste cu probabilitateap1 = 0; 15; iar V2 cu probabilitatea p2 = 0; 20: Cei doi discut¼a posibil-it¼atile de organizare a vân¼atorii în trei variante: (i) Îsi împart locul devân¼atoare în dou¼a zone, �ecare având 10 vulpi si �ecare vâneaz¼a sep-arat. (ii) Merg împreun¼a la vân¼atoare si trag amândoi asupra �ec¼areivulpi. O vulpe g¼asit¼a cu dou¼a gloante este împ¼artit¼a în dou¼a. O vulpeg¼asit¼a cu un singur glont este împ¼artit¼a proportional cu probabilit¼atileconditionate corespunz¼atoare �ec¼arui vân¼ator. (iii) Locul vân¼atorii esteîmp¼artit în dou¼a zone, �ecare având câte 10 vulpi si în timpul diminetii�ecare vâneaz¼a pe câte o zon¼a, tr¼agând asupra tuturor vulpilor de acolo.Dup¼a -amiaz¼a îsi schimb¼a între ei zonele si trag în vulpile r¼amase.Se presupune c¼a �ecare trage doar un foc asupra �ec¼arei vulpi si c¼a

este su�cient de abil ca s¼a descopere toate vulpile, în orice variant¼a. S¼ase determine câstigul mediu asteptat de �ecare vân¼ator pentru �ecarevariant¼a, stiind c¼a valoarea unei vulpi este de 200 lei.

Exercitiul 4.19. La o loterie 6 din 49 se noteaz¼a cu X cel maimare din numerele extrase si Y cel mai mic din numerele extrase. 1)S¼a se determine repartitiile lui X si Y: 2) S¼a se determine repartitiavectorului (X; Y ) : 3) Fie Z num¼arul bilelor extrase ce poart¼a numeremai mari decât toate numerele neextrase. S¼a se determine repartitialui Z:

Exercitiul 4.20. Se extrag cu întoarcere dou¼a numere din multimea�nit¼a f1; 2; :::; ng : Fie X diferenta în valoare absolut¼a dintre aceste nu-mere. S¼a se determine repartitia si media lui X:

De�nitia 4.4. Fie � o repartitie pe R: Numim numere aleatoarecu repartitia � un sir x1; x2; ::: de numere reale ce reprezint¼a o realizarexi = Xi (!) ; i = 1; 2; ::: pentru un sir de variabile aleatoare X1; X2; :::;independente si identic repartizate, cu repartitia �:

6. EXERCITII 103

Din punct de vedere practic, aceast¼a de�nitie face cu greu distinctieconcret¼a între un sir de numere aleatoare si unul care nu este. De fapt,în practic¼a avem de a face doar cu un num¼ar �nit de termeni dintr-unsir. Se vorbeste concret doar de calitatea unui sir de numere aleatoare,iar aceast¼a calitate este m¼asurat¼a prin propriet¼atile sale statistice: ver-i�carea legii numerelor mari, teoremei limit¼a central¼a si altele. În ge-neral evaluarea calit¼atii numerelor aleatoare este o problem¼a di�cil¼a.Totusi lucrul cu numere aleatoare, calculele concrete, trece prin ma-

nipularea acestei de�nitii. Prin aceast¼a de�nitie se fac transform¼arilecurente care conduc la probleme de teoria m¼asurii si apoi la problemede analiz¼a privind estim¼arile numerice.Calculatoarele au programe de generare a numerelor pseudo -aleatoare.

Pentru siruri foarte lungi acestea devin de fapt periodice, ceea ce înseamn¼ac¼a nu pot � considerate aleatoare. Dar pentru multe probleme de sim-ulare aceste numere pseudo -aleatoare se dovedesc a da rezultate foartebune, ele aproximând bine numerele aleatoare. De obicei ele aprox-imeaz¼a numerele aleatoare uniform repartizate pe multimea numerelordin [0; 1) ce se exprim¼a cu un num¼ar dat de zecimale exacte.

Exercitiul 4.21. FieM = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g multimea cifrelorde exprimare a numerelor în baza 10 si �e E =

�x =

P5i=1

xi10i= xi 2M

multimea numerelor din intervalul [0; 1) ce se exprim¼a cu 5 zecimaleexacte. M¼asura uniform¼a pe E încarc¼a �ecare punct cu ponderea 10�5:a) De�nim aplicatia g : E � E ! F prin g (x; y) = x + 10�5y; undeF =

�x =

P10i=1

xi10i= xi 2M

este multimea numerelor din [0; 1) ce se

exprim¼a cu 10 zecimale exacte. Ar¼atati c¼a dac¼a x1; x2; ::: este un sir denumere aleatoare uniform repartizate pe E; atunci g (x2n�1; x2n) ; n =1; 2; ::: este un sir de numere aleatoare uniform repartizate pe F: b) Fie� m¼asura uniform¼a pe E si Xi : E !M aplicatia care reprezint¼a a i -acifr¼a zecimal¼a a unui num¼ar din E; pentru i = 1; 2; 3; 4; 5: S¼a se aratec¼a, sub m¼asura �; variabilele acestea sunt independente, identic repar-tizate, cu repartitia uniform¼a pe M: c) Ar¼atati c¼a �ind dat un sir denumere aleatoare uniform repartizate pe E si o permutare � a multimiif1; 2; 3; 4; 5g ; prin permutarea cifrelor zecimale cu � se obtine tot unsir de numere aleatoare cu aceeasi repartitie.

CAPITOLUL 5

Câteva repartitii pe N

În acest capitol vom discuta despre câteva exemple importante derepartitii pe multimea numerelor naturale N: Deoarece orice m¼asur¼a� pe (N;P (N)) se poate identi�ca cu sirul valorilor pe puncte �n =� (fng) ; n 2 N ea se exprim¼a cu ajutorul m¼asurilor Dirac sub forma:� =

Pn2N �n�n:

Reamintim c¼a repartitia Bernoulli este o m¼asur¼a suportat¼a de punctele0 si 1 si este dat¼a de formula q�0 + p�1, cu parametrul p 2 (0; 1) siq = 1� p:Fiind dat un eveniment A 2 F pe un spatiu probabilizat (;F ; P )

astfel încât P (A) 2 (0; 1), se poate de�ni variabila aleatoare X = 1A;care are repartitia PX = q�0 + p�1: Este deci o repartitie Bernoulli cuparametrul p = P (A) : Media variabilei este egal¼a cu momentul deordinul doi EX = EX2 = p; iar dispersia sa este D2X = p� p2 = pq:

1. Repartitia geometric¼a

Aceasta este o repartitie pe N; dat¼a de expresia1Pk=0

pqk�k, care

are masele atasate punctelor în progresie geometric¼a cu primul termenp 2 (0; 1) si cu ratia q = 1 � p: Se veri�c¼a imediat c¼a suma total¼a aacestor mase este

1Pk=0

pqk = p1�q = 1:

O variabil¼a aleatoare tipic¼a, având repartitia geometric¼a, este con-struit¼a în felul urm¼ator. Presupunem c¼a pe spatiul probabilizat (;F ; P )avem un sir de evenimente independente A1; A2; ::: si astfel c¼a P (Ai) =p 2 (0; 1) este o valoare �x¼a pentru i = 1; 2; ::: Cum am mai spus,aceasta este o schem¼a Bernoulli. Dac¼a evenimentul Ai are semni�-catia de �succes la încercarea a i�a�, putem s¼a de�nim o variabil¼aV : ! N care ne spune câte esecuri s-au petrecut înainte de primulsucces. Punctual ea este de�nit¼a prin V (!) = i pentru ! 2 Di; undeevenimentele D0; D1; D2; ::: sunt de�nite astfel: D0 = A1 si pentrui � 1,Di = Ac1 \ ::: \ Aci \ Ai+1; care este evenimentul ce const¼a dinnerealizarea evenimentelor A1; :::; Ai si realizarea lui Ai+1:

104

1. REPARTITIA GEOMETRIC¼A 105

Figura 1. Repartitia geometric¼a cu p = 0; 5:

Este clar c¼a evenimentele D0; D1; :::; Dn sunt disjuncte si

n+1[i=1

Ai =n[i=0

Di:

Avem P (Di) = qip si atunci P

�n+1Si=1

Ai

�= P

�nSi=0

Di

�= p+ pq+ :::+

pqn = p1�qn+1

1�q = 1� qn+1: Rezult¼a c¼a P� 1Si=1

Ai

�= 1 si, prin urmare,

P

�n

1Si=0

Ai

�= 0: Dac¼a aceast¼a ultim¼a multime este nevid¼a punem

D1 = n1Si=0

Ai si N = N [ f1g ; si atunci familia de evenimente

(Di)i2N formeaz¼a o partitie. Are loc formula

P (V = k) = pqk;

pentru k = 0; 1; ::: si P (D1) = 0: Dac¼a punem V (!) = 1 pentru! 2 D1; obtinem o variabil¼a cu valori în N: Pentru a avea o variabil¼acare ia numai valori reale, putem de exemplu s¼a de�nim V = 0 sipe multimea D1: Oricum V este repartizat¼a geometric, valoarea 1ne�ind important¼a.

106 5. CÂTEVA REPARTITII PE N

Figura 2. Repartitia geometric¼a cu p = 0; 8:

Dac¼a se modeleaz¼a un joc de noroc care se desf¼asoar¼a în serii departide, iar Ai este evenimentul �la a i�a partid¼a juc¼atorul a câstigat�,atunci V reprezint¼a num¼arul de partide pierdute înainte de a câstigaprima oar¼a.

Media unei variabile repartizate geometric este

EV =1Xk=0

kP (V = k) =1Xk=1

kpqk = pq1Xk=1

d

dq

�qk�= pq

d

dq

1Xk=1

qk

!=

= pqd

dq

�q

1� q

�= pq

1

(1� q)2=q

p:

Pentru a calcula dispersia, calcul¼am mai întâi media lui V 2 :

EV 2 =1Xk=0

k2pqk = p1Xk=1

k (k � 1) qk + p1Xk=1

kqk =

= pq2d2

dq2

1Xk=2

qk+q

p= pq2

d2

dq2

�q2

1� q

�+q

p= pq2

2

(1� q)3+q

p=2q2 + qp

p2:

Deci dispersia este D2V = 2q2+qpp2

� q2

p2= q

p2:

2. Repartitia binomial¼a

Repartitia binomial¼a este o repartitie suportat¼a de punctele 0; 1; :::; nsi are expresia

nXk=0

Cknpkqn�k�k;

unde n 2 N� este numit ordinul repartitiei, p 2 (0; 1) este un altparametru si q = 1 � p. Pentru a veri�ca c¼a masa total¼a a acesteim¼asuri este 1 se trece prin formula binomului lui Newton:

2. REPARTITIA BINOMIAL¼A 107

Figura 3. Repartitia binomial¼a cu n = 10 si p = 0; 5:

Figura 4. Repartitia binomial¼a cu n = 10 si p = 0; 3:

1 = (p+ q)n =nXk=0

Cknpkqn�k:

De aici vine denumirea de �binomial¼a�pentru repartitie. Vom cal-cula acum media si dispersia unei variabile aleatoare, X; de�nite pe unspatiu probabilizat (;F ; P ) ; care este repartizat¼a binomial cu ordinuln si parametrul p :

EX =

nXk=0

kP (X = k) =

nXk=0

kn!

k! (n� k)!pkqn�k =

= np

nXk=1

(n� 1)!(k � 1)! (n� k)!p

k�1qn�k = np

n�1Xl=0

(n� 1)!l! (n� 1� l)!p

lqn�1�l = np;

EX2 =

nXk=0

k2P (X = k) =

nXk=0

k2n!

k! (n� k)!pkqn�k =

= npnXk=1

k(n� 1)!

(k � 1)! (n� k)!pk�1qn�k = np

n�1Xl=0

(l + 1)(n� 1)!

l! (n� 1� l)!plqn�1�l =

= np [(n� 1) p+ 1] = (np)2 + npq:În concluzie avem urm¼atoarea dispersie


D2X = EX2 � (EX)2 = npq:

Constructia unei variabile aleatoare tipice cu repartitia binomial¼aeste obtinut¼a pe un spatiu probabilizat (;F ;P) pecare sunt date n evenimente independente A1; :::; An care au toate

aceeasi probabilitate P (Ai) = p; i = 1; :::; n; cu p 2 (0; 1) : În acestcadru are loc urm¼atorul rezultat.

Propozitia 5.1. Variabila aleatoare S =nPi=1

1Ai este repartizat¼a

binomial cu parametrii n; p:

DemonstraTie. Vom proceda prin inductie dup¼a parametrul n.Not¼am, pentru k = 1; :::; n;

Sk =kXi=1

1Ai :

Presupunem c¼a am demonstrat formula

P (Sk = j) = Cjkpjqk�j;

pentru orice j = 0; :::; k si o vom demonstra cu k+1 în locul lui k: AvemSk+1 = Sk + 1Ak+1 ; iar Sk si 1Ak+1 sunt independente. Pentru a vedeaacest lucru, mai întâi vom examina consecintele independentei eveni-mentelor Ai; i = 1; :::; n: Not¼am ai = a (Ai) = fAi; Aci ;; ;g ; algebragenerat¼a de evenimentul Ai; care este chiar o ��algebr¼a. Acestea suntindependente, ca urmare a ipotezei si a lemei 2.1, iar teorema de asocia-tivitate a independentei, teorema 4.1, ne spune c¼a � (a1; :::; ak) si ak+1sunt independente. Pe de alt¼a parte, putem scrie Sk = f (X1; :::; Xk) ;unde f : Rk ! R este functia sum¼a, de�nit¼a prin f (x1; :::; xk) =x1+ :::+xk; iar Xi = 1Ai : Atunci proprietatea 4. din paragraful despre��algebra generat¼a de o variabil¼a ne asigur¼a c¼a Sk este m¼asurabil¼a înraport cu � (a1; :::; ak) : Rezult¼a deci c¼a Sk si 1Ak+1 sunt independente.

Mai departe introducem notatia

Bk;j = fSk = jg :

si observ¼am c¼a multimile Bk;0; Bk;1; :::; Bk;k formeaz¼a o partitie a lui .Se veri�c¼a direct relatiile

Bk+1;0 = fSk+1 = 0g =�Sk = 0; 1Ak+1 = 0

= Bk;0 \ Ack+1;

Bk+1;k+1 = fSk+1 = k + 1g =�Sk = k; 1Ak+1 = 1

= Bk;k \ Ak+1;

Bk+1;j = fSk+1 = jg =�Sk = j; 1Ak+1 = 0

[�Sk = j � 1; 1Ak+1 = 1

= (Bk;j \ Ack+1) [ (Bk;j�1 \ Ak);

2. REPARTITIA BINOMIAL¼A 109

pentru j = 1; :::; k. Pe de alt¼a parte, tinând cont c¼a multimile Bk;j sunt�ecare independente de Ak+1; putem scrie

P (Bk+1;0) = P (Bk;0) q;P (Bk+1;k+1) = P (Bk;k) p;

P (Bk+1;j) = P (Bk;j) q + P (Bk;j�1) p;

pentru j = 1; :::; k. Tinând cont de ipoteza de inductie aceste relatiidevin

P (Bk+1;0) = C0kqk+1 = C0k+1q

k+1;P (Bk+1;k+1) = C

kkpk+1 = Ck+1k+1p

k+1;

P (Bk+1;j) = Cjkpjqk�jq + Cj�1k pj�1qk�j+1p =

=�Cjk + C

j�1k

�pjqk+1�j = Cjk+1p

jqk+1�j;

ceea ce încheie demonstratia. �Este instructiv de v¼azut c¼a se poate demonstra c¼a S este repartizat¼a

binomial si printr-un calcul brut direct. Facem acest lucru mai jos.Prin comparatie, putem spune c¼a demonstratia anterioar¼a, de fapt,evit¼a calculul prin utilizarea propriet¼atii de asociere a independentei.

Alt¼A demonstraTie. În acest scop introducem notatia Ai;1 = Aisi Ai;�1 = Aci , pentru i = 1; :::; n,

A� = A1;�1 \ ::: \ An;�n ;pentru orice sistem � = (�1; :::; �n) 2 � := f�1; 1gn si mai not¼ams (�) = n+�1+:::+�n

2; o m¼arime care indic¼a num¼arul de componente ale

lui � care sunt egale cu 1: Se veri�c¼a direct c¼a are loc relatia urm¼atoare

fS = ig =[s(�)=i

A�;

unde reuniunea se ia dup¼a toate sistemele � 2 � astfel încât s (�) = i,iar i = 1; :::; n. Multimile care particip¼a la aceast¼a reuniune formeaz¼ao partitie; mai precis, dac¼a � 6= � , atunci A� \ A� = ;. Rezult¼a

P (S = i) =Xs(�)=i

P�A��:

Dar P�A��= P (A1;�1) � ::: �P (An;�n), datorit¼a independentei si relati-

ilor P (Aj;1) = p; P (Aj;�1) = q, ceea ce conduce la P�A��= piqn�i,

pentru un sistem � 2 � astfel ca s (�) = i. Atunci avem P (S = i) =piqn�icard f� 2 � j s (�) = ig. Dar multimea f� 2 � j s (�) = ig esteîn corespondent¼a bijectiv¼a cu multimea p¼artilor lui f1; 2; :::; ng care aucardinalul i. Acestea sunt în num¼ar de Cin, ceea ce permite a trageconcluzia c¼a

P (S = i) = piqn�iCin;

terminând astfel demonstratia. �Prima metod¼a de demonstratie are si avantajul de a se extinde

producând, cu o demonstratie identic¼a, urm¼atorul rezultat.


Propozitia 5.2. Fie X1; :::; Xk; variabile aleatoare independente,repartizate binomial având ordinele, respectiv n1; :::; nk si cu al doileaparametru identic p 2 (0; 1) : Atunci suma X1+ :::+Xk este repartizat¼abinomial cu ordinul n1 + :::+ nk si acelasi parametru p:

Figura 5. Repartitii binomiale cu n = 100 si p =0; 5; p = 0; 3; p = 0; 1:

3. HISTOGRAME 111

Figura 6. Repartitii binomiale cu n = 100 si p =0; 6; p = 0; 7; p = 0; 8:

3. Histograme

O histogram¼a este o reprezentare gra�c¼a pentru o distributie dis-cret¼a. Ele pot � de mai multe tipuri. Cele mai obisnuite histograme


sunt cele în care pentru �ecare punct din suportul distributiei se dese-neaz¼a un dreptunghi de în¼altime proportional¼a cu ponderea repartizat¼apunctului. Astfel de histograme sunt curent utilizate în economie. Pro-gramul Excel are facilit¼ati speciale pentru executarea histogramelor.Am redat în �gurile din acest capitol câteva histograme ale unor

repartitii pe care le-am întâlnit. Este de notat c¼a scara pentru axa ver-tical¼a este dilatat¼a fat¼a de cea orizontal¼a, pentru a putea da un aspectgra�c vizibil repartitiilor. De exemplu, valorile repartitiilor binomiale�ind foarte mici, în cazul în care n este mare, la o reprezentare cuaceeasi scar¼a pe ambele axe nu ar mai �posibil s¼a vedem nimic într-ungra�c dintr-o pagin¼a de carte. Chiar si asa, marea majoritate a val-orilor apar în gra�c confundate cu zero. În �gurile 5 si 6 se observ¼anumai valorile din jurul mediei np:

Repartitiile de acelasi fel sunt redate în �gurile noastre p¼astrândcele dou¼a sc¼ari, pentru a putea � comparate între ele. Dar tipurilediferite de repartitii au sc¼ari diferite.

4. Repartitia hipergeometric¼a*

Fie M = f1; 2; :::; Ng o multime ce reprezint¼a bilele dintr-o urn¼a.Presupunem c¼a R � M reprezint¼a o submultime de bile marcate, deexemplu vopsite în rosu. Not¼am cu r cardinalul multimii R: Ne in-terseaz¼a experimentul extragerii a n bile deodat¼a si rezultatul acestuiacuanti�cat prin num¼arul de bile marcate ce apar la extragere. Amv¼azut cu ocazia exemplului privind controlul calit¼atii c¼a se poate facemodelarea acestui experiment pe spatiul

� = fA 2 P (M) = cardA = ng :

Bineînteles c¼a presupunem r; n � N: Probabilitatea pentru un eveni-ment elementar A 2 � este dat¼a de Q (fAg) = 1

CnN:

Num¼arul de bile rosii extrase în acest experiment este speci�cat devariabila aleatoare Y : � ! N de�nit¼a prin Y (A) = card (A \R) :De fapt Y ia valori în multimea f0 _ (n�N + r) ; :::; n ^ rg : Conformdiscutiei f¼acute în leg¼atur¼a cu identitatea Van der Monde, avem

Q (Y = k) =CkrC

n�kN�r

CnN=

r!

k! (r � k)!(N � r)!

(n� k)! (N � r � n+ k)!n! (N � n)!

N !;

pentru orice num¼ar natural k care satisface conditiile n�N + r � k �n^ r: Repartitia variabilei Y este numit¼a repartitia hipergeometric¼a cuparametrii N si r si rangul n: Explicitarea acestei repartitii în sum¼a dem¼asuri Dirac ponderate este deci

n^rXk=0_(n�N+r)

CkrCn�kN�r

CnN�k:

4. REPARTITIA HIPERGEOMETRIC¼A* 113

Pentru valori mari ale lui N si valori relativ mici ale lui n se poateface aproximarea numeric¼a a experimentului extragerilor a n bile deo-dat¼a cu experimentul seriilor de n extrageri cu revenire, care sunt maifacile din punct de vedere calculatoric. Vom explica acum acest fapt,estimând si eroarea care apare.Pentru aceasta vom nota cu = Mn spatiul pe care se modeleaz¼a

seriile de n extrageri cu revenire si cu

0 = f(x1; :::; xn) 2 = xi 6= xj 8i 6= jgvom nota submultimea seriilor în care rezultatele tuturor extragerilorsunt diferite. Vom lua multimea 0 � ca spatiu de modelare a exper-imentului seriilor de extrageri f¼ar¼a revenire. Dac¼a P este probabilitateade�nit¼a pentru punctele din prin P (f(x1; :::; xn)g) = 1

Nn ; pe 0 avemprobabilitatea P 0 de�nit¼a prin P 0 (f(x1; :::; xn)g) = 1

N(N�1):::(N�n+1) :

Fie Xi : ! f0; 1g aplicatia de�nit¼a prin Xi (x1; :::; xn) = 1R (xi) :Aceast¼a aplicatie arat¼a culoarea bilei extrase la cea de a i-a extrageredin seria (x1; :::; xn) ; prin faptul c¼a Xi (x1; :::; xn) = 1; dac¼a xi 2 Rsi Xi (x1; :::; xn) = 0; dac¼a xi =2 R: Variabilele Xi; i = 1; :::; n; suntindependente si identic repartizate sub P; pentru c¼a P (Xi = 1) =

rN:

Variabila S = X1 + ::: + Xn este repartizat¼a binomial cu parametrulp = r

Nsi ordinul n: Ea indic¼a de câte ori a fost extras¼a o bil¼a rosie

într-o serie de n extrageri cu revenire. Restrictia acestei variabile la 0;variabila Sj0 indic¼a num¼arul de bile rosii ce au fost obtinute în seria deextrageri f¼ar¼a revenire (x1; :::; xn) ; sau num¼arul de bile rosii ce se a�¼aîn extragerea �f¼ar¼a ordine�a grupului de bile fx1; :::; xng : A se vedeaparagraful despre extrageri f¼ar¼a ordine din capitolul 2. Variabila Sj0este repartizat¼a hipergeometric sub P 0; cu parametrii N; r si rangul n;adic¼a are aceeasi repartitie ca variabila Y de mai sus.

Pentru orice multime A � 0 avem

P 0 (A) =Nn

N (N � 1) ::: (N � n+ 1)P (A) :

Se observ¼a c¼a P 0 (A) � P (A) : Diferenta dintre cele dou¼a probabil-it¼ati se poate estima evaluând factorii din dreapta astfel c¼a obtinemurm¼atoarea lem¼a.

Lema 5.1. Dac¼a " = n2

N< 1; atunci P 0 (A)� P (A) � "

2P 0 (A) :

DemonstraTie. Înlocuind pe P (A) în functie de P 0 (A) în inegal-itatea din enunt, rezult¼a c¼a ea este echivalent¼a cu:

1� N (N � 1) ::: (N � n+ 1)Nn

� "

2: (�)

Pentru aceasta avem de evaluat expresia

N (N � 1) ::: (N � n+ 1)Nn

=

�1� 1

N

�:::

�1� n� 1

N

�:


Aceasta este minorat¼a tinând cont de inegalitatea exe�x2

1+x � 1 + x;valabil¼a pentru x > �1 :

� exp �n�1Xi=1

i

N

!exp

�n�1Xi=1

i2

N2

1

1� iN

!�

� exp��n (n� 1)

2N� n (n� 1) (2n� 1)

6N (N � n)

�:

Apoi tinem cont c¼a n�1(N�n) �

nN; si minor¼am ultima expresie prin

� exp��n (n� 1)

2N� n3

3N2

�� exp�"

2:

Dup¼a aceea tinem cont de inegalitatea e�x � 1 � x; care permite adeduce estimarea (*). �

Aceast¼a estimare a diferentei dintre probabilit¼atile P 0 si P conduce,în particular, la o estimare a diferentei dintre repartitia hipergeomet-ric¼a si repartitia binomial¼a care este de ordinul n

2

N: Dar de fapt sunt

valabile chiar estim¼ari de ordinul nN : Acestea se obtin prin metode maielaborate, pe care nu este locul s¼a le dezvolt¼am aici.

5. Repartitia negativ -binomial¼a*

Repartitia numit¼a negativ -binomial¼a este legat¼a de repartitia bino-mial¼a, dar si mai mult de repartitia geometric¼a, pe care o generalizeaz¼a.Expresia repartitiei negativ -binomiale cu parametrii n 2 N�; p 2 (0; 1)este

1Xk=0

Ckk+n�1pnqk�k; (�)

unde q = 1�p: Se observ¼a c¼a pentru n = 1 se obtine repartitia geomet-ric¼a. Veri�carea direct¼a, prin calcul analitic, a faptului c¼a masa uneirepartitii negativ- binomiale este 1 se poate face trecând prin relatiabinomului lui Newton în forma general¼a:

(1 + x)r =1Xk=0

(r)kk!xk;

serie convergent¼a pentru jxj < 1; r 2 R si în care utiliz¼am notatia(r)k = r (r � 1) ::: (r � k + 1) ; cu conventia (r)0 = 1: În cazul nostruaceast¼a relatie este util¼a sub forma

1

pn= (1� q)�n =

1Xk=0

(�n)kk!

(�q)k :

Numele repartitiei vine de la acest binom la putere negativ¼a, care prindezvoltare produce coe�cientii repartitiei. Mai jos vom face o a douademonstratie, probabilist¼a, pentru faptul c¼a masa m¼asurii din expresia(*) este 1:

5. REPARTITIA NEGATIV -BINOMIAL¼A* 115

Situatia tipic¼a în care apare aceast¼a repartitie, la fel ca în cazulrepartitiei geometrice, este în contextul unui sir de evenimente inde-pendente (Ai)i2N� pe un spatiu probabilizat (;F ; P ) ; cu probabilita-tea constant¼a P (Ai) = p; i 2 N�: Not¼am Xi = 1Ai si Sj =

Pji=1Xi; j 2

N�: De�nim apoi variabilele Tn : ! N� [ f1g ; n 2 N�; prin

Tn (!) = inf fj 2 N�=Sj = ng ;cu conventia c¼a Tn (!) = 1; dac¼a multimea din dreapta relatiei dede�nitie este vid¼a. S¼a zicem c¼a sirul (Ai)i2N� reprezint¼a realizareasuccesiv¼a a unui experiment probabilistic cu probabilitatea p de succes.Atunci Tn ne spune la a câta încercare apare al n -lea succes, iar Vn =Tn�n : ! N[f1g reprezint¼a num¼arul de esecuri pân¼a la obtinereacelui de al n -lea succes. O astfel de situatie apare adesea în aplicatiilelegate de modelele din biologie. De exemplu un tratament este repetatde mai multe ori, pân¼a ce rezultatele cumulate ating un nivel care, s¼azicem, asigur¼a disparitia parazitilor.Lema care urmeaz¼a arat¼a c¼a Vn are repartitia negativ -binomial¼a,

în particular, c¼a m¼asura din formula (*) este o m¼asur¼a de probabilitate.

Lema 5.2. Au loc egalit¼atile

P (Vn = k) = Ckk+n�1p

nqk; k 2 N;P (Vn =1) = 0:

DemonstraTie. Avem

fVn = kg = fTn = n+ kg = fSn+k�1 = n� 1; Sn+k = ng == fSn+k�1 = n� 1; Xn+k = 1g :

Tinând cont c¼a Sn+k�1 si Xn+k sunt independente, obtinem prima re-latie:

P (Tn � n = k) = P (Sn+k�1 = n� 1)P (Xn+k = 1) =

= Cn�1n+k�1pn�1qkp = Ckn+k�1p

nqk:

Pentru veri�carea celei de a doua relatii din enunt vom procedaprin inductie. Pentru n = 1 avem fT1 <1g = [iAi si, prin urmare,

P (T1 =1) = P (\iAci) = limk!1

P�\ki=1Aci

�= lim

k!1qk = 0:

Mai departe presupunem c¼a stim c¼a P (Tn =1) = 0 si vom ar¼ata c¼aaceeasi relatie este valabil¼a si pentru n + 1: Mai precis, vom ar¼ata c¼a,pentru �ecare k � 0; are loc relatia

P (Tn = n+ k; Tn+1 =1) = 0:Pentru aceasta not¼am c¼a are loc incluziunea

fTn = n+ kg \�[1i=n+k+1Ai

��

� fSn+k = ng \�

supi�n+k+1

Si � n+ 1�� fTn+1 <1g :


Aceasta implic¼a

fTn = n+ k; Tn+1 =1g � \1i=n+k+1Aci :Deoarece P

�\1i=n+k+1Aci

�= 0; rezult¼a concluzia dorit¼a. �

Relatia dintre repartitia negativ -binomial¼a si repartitia geometric¼aeste pus¼a în evident¼a si din alt punct de vedere în lema care urmeaz¼a.Facem conventia c¼a T0 = 0 si not¼am �n = Tn � Tn�1; pentru n 2 N�:

Lema 5.3. Variabilele � 1�1; � 2�1; ::: sunt independente si identicrepartizate, cu repartitia geometric¼a de parametru p:

DemonstraTie. Este clar c¼a � 1 � 1 = T1 � 1 si stim c¼a acestaare repartitia geometric¼a de parametru p: În continuare pornim cuk1; :::; kn 2 N si scriem egalitatea

f� 1 = 1 + k1; :::; �n = 1 + kng == fX1 = 0; :::; Xk1 = 0; Xk1+1 = 1; Xk1+2 = 0; :::Xk1+1+k2 = 0;

Xk1+1+k2+1 = 1; :::; Xk1+1+:::+kn�1+1+kn = 0; Xk1+1+:::+kn+1 = 1

Aceasta permite s¼a calcul¼am, tinând cont si de independent¼a,

P (� 1 = 1 + k1; :::; �n = 1 + kn) = qk1pqk2p:::qknp = pnqk1+:::+kn : (��)

De aici se deduce, luând n = 2;

P (� 2 = 1 + k) =1Xl=0

P (� 1 = 1 + l; � 2 = 1 + k) =1Xl=0

p2ql+k = pqk;

adic¼a � 2� 1 are repartitia geometric¼a. Acest calcul se generalizeaz¼a si,în mod similar, se deduce c¼a repartitia lui �n � 1 este tot geometric¼a.Odat¼a stabilit faptul c¼a toate variabilele �n�1; n 2 N�; sunt repartizateidentic, observ¼am c¼a relatia (**) devine

P (� 1 = 1 + k1; :::; �n = 1 + kn) = P (� 1 = 1 + k1) :::P (�n = 1 + kn) ;

ceea ce arat¼a independenta lor. Cu aceasta se încheie demonstratia. �Dar este evident c¼a Vn =

Pni=1 (� i � 1) : De aceea putem spune

c¼a repartitia negativ -binomial¼a de parametru p si ordin n este repar-titia sumei a n variabile independente, identic repartizate, cu repartitiegeometric¼a de parametru p:

6. Aruncarea repetat¼a cu banul

Aceast¼a sectiune are drept scop de a da o idee despre validarea prac-tic¼a a teoriei probabilit¼atilor. Pentru aceasta vom discuta urm¼atorulexperiment: un num¼ar de 26 de studenti au aruncat câte o moned¼a,�ecare de câte 100 de ori. Rezultatele au fost notate la �ecare aruncare,punându-se un 0 dac¼a a iesit stema si un 1 dac¼a a iesit cifra. Pentru�ecare serie de 100 de arunc¼ari au fost num¼arate 0�urile si red¼am maijos rezultatele obtinute în cele 26 de serii:

53; 58; 52; 47; 48; 54; 49; 43; 46; 43; 47; 51; 44; 52; 61; 50;

6. ARUNCAREA REPETAT¼A CU BANUL 117

49; 50; 52; 61; 50; 48; 47; 49; 50:

S-a constatat c¼a în �ecare serie de 100 de arunc¼ari num¼arul de 0�uria fost cuprins între 43 si 61; iar majoritatea seriilor aveau num¼arul0�urilor cuprins între 46 si 54:Apoi au fost puse toate seriile în prelungire si s-a format o se-

rie lung¼a, corespunzând celor 2600 de arunc¼ari. Pentru aceast¼a series-au num¼arat secventele maximale constante, pe care le vom numi,prescurtat, în continuare secvente constante. Ca s¼a l¼amurim termenulde secvent¼a constant¼a vom presupune c¼a am notat cu x1; x2; :::; x2600semnele consemnate în timpul experimentului. Facem conventia c¼ax0 = 1� x1 si de�nim o secvent¼a constant¼a ca �ind un grup de semneconsecutive de tipul

xk�1 6= xk = xk+1 = ::: = xk+l�1 6= xk+lastfel încât k � 1; k + l � 2600: Un astfel de grup va � numit secvent¼aconstant¼a de lungime l: Dup¼a cum se vede, partea propriu-zis constant¼aa secventei este format¼a din l elemente consecutive, iar în capete aparecâte un alt element care marcheaz¼a schimbarea de semn. Ultimul ele-ment, x2600; nu poate face parte din partea constant¼a a unei secventeconstante. De fapt, grupul ultimelor semne care sunt la rând egale cux2600 nu constituie o secvent¼a constant¼a, în acceptiunea pe care o d¼amnoi. Alegerea f¼acut¼a pentru x0 face ca primele semne egale cu x1 s¼areprezinte partea constant¼a a unei secvente constante. Vom explicamai târziu de ce am exclus ultima parte de la num¼ar¼atoare.

Au fost num¼arate în total 1318 secvente constante. În tabelul ur-m¼ator red¼am pe rândul de jos num¼arul secventelor g¼asite, de diverselungimi:

lung: 1 2 3 4 5 6 7 � 8nr:sv: 674 332 153 77 37 29 6 10

Se observ¼a c¼a numerele acestea scad aproximativ ca o progresie geomet-ric¼a cu ratia 1

2: Singur, num¼arul secventelor de constant¼a de lungime

6; care este 29; nu este destul de apropiat de jum¼atatea celui anteriorîn tabel. Mai observ¼am c¼a num¼arul 1318 este apropiat de jum¼atateanum¼arului total de arunc¼ari.

Pentru a explica teoretic aceste constat¼ari începem prin a calculavalorile repartitiei binomiale cu p = 1

2si cu ordinul n = 100: Acestea

sunt puse în tabelele de mai jos, unde am notat pk = Ck100�12

�100:

p50 p51 p52 p53 p54 p55 p56 p57 p58 p590; 079 0; 078 0; 073 0; 066 0; 057 0; 048 0; 038 0; 030 0; 022 0; 015

p60 p61 p62 p63 p64 p650; 010 0; 007 0; 004 0; 003 0; 002 0; 001

Repartitia este simetric¼a fat¼a de k = 50; astfel c¼a p50+l = p50�l: Cal-cul¼am

P60l=40 pl � 0; 9648 si

P65l=35 pl � 0; 9982: Aceste valori arat¼a c¼a


probabilitatea de a se obtine un num¼ar de 0�uri cuprins între 40 si 60;din 100 de arunc¼ari, este covârsitoare, iar probabilitatea de a obtineîntre 35 si 65 este practic 1: Cu aceasta am explicat de ce în �ecareserie de 100 de arunc¼ari num¼arul de 0�uri si num¼arul de 1�uri suntechilibrate.Mai departe ne ocup¼am de modelarea secventelor constante. Pe

un spatiu probabilizat (;F ; P ) consider¼am A1; A2; :::; un sir de eveni-mente independente cu aceeasi probabilitate P (Ai) = 1

2: Evenimentul

Ai are semni�catia �la cea de a i�a aruncare cu banul a fost notatun 1�. Pentru analiza noastr¼a teoretic¼a, asa cum se va vedea, esteabsolut necesar s¼a consider¼am un sir in�nit de evenimente. Not¼amXi = 1Ai ; i = 1; 2:::; obtinând un sir de variabile independente reparti-zate Bernoulli cu parametrul p = 1

2: Not¼am T0 = 1;

Tn (!) = inf�j > Tn�1 (!) =Xj (!) 6= XTn�1 (!)

si �n = Tn � Tn�1; n 2 N�: Pentru �ecare ! 2 ; secventele constanteale sirului X1 (!) ; X2 (!) ; ::: sunt descrise sub forma

XTn�1�1 (!) 6= XTn�1 (!) = ::: = XTn�1 (!) 6= XTn (!) ;

cu n 2 N� si cu conventia X0 = 1�X1: Lungimea acestei secvente este�n (!) :

Lema 5.4. Variabilele � 1 � 1; � 2 � 1; ::: sunt independente, identicrepartizate cu repartitia geometric¼a de parametru p = 1

2:

DemonstraTie. Adapt¼am rationamentul f¼acut în demonstratialemei 5.3. Cu k1; :::; kn 2 N; are loc egalitatea

f� 1 = 1 + k1; :::; �n = 1 + kng == fX1 = X2 = ::: = X1+k1 6= X1+k1+1 = X1+k1+2::: =

= X1+k1+1+k2 6= X1+k1+1+k2+1 = :::::: = X1+k1+:::+1+kn 6= X1+k1+:::+1+kn+1g :Pentru a calcula probabilitatea acestei multimi va trebui s¼a desp¼artimanaliza dup¼a valoarea primei variabile. Avem

f� 1 = 1 + k1; :::; �n = 1 + kn; X1 = 0g =fX1 = 0; X2 = 0; :::; X1+k1 = 0; X1+k1+1 = 1; X1+k1+2 = 1; :::; X1+k1+1+k2 = 1;

X1+k1+1+k2+1 = 0; :::; X1+k1+:::+1+kn = �;X1+k1+:::+1+kn+1 = 1� �g ;unde am pus � pentru a desemna 0; dac¼a n este impar si 1; dac¼a n estepar. Tinând cont de independenta variabilelor X1; X2; ::: rezult¼a

P (� 1 = 1 + k1; :::; �n = 1 + kn; X1 = 0) =

�1

2

�k1+:::+kn+n+1:

În mod similar se deduce c¼a

P (� 1 = 1 + k1; :::; �n = 1 + kn; X1 = 1) =

�1

2

�k1+:::+kn+n+1;

6. ARUNCAREA REPETAT¼A CU BANUL 119

ceea ce implic¼a

P (� 1 = 1 + k1; :::; �n = 1 + kn; ) =

�1

2

�k1+:::+kn+n: (�)

F¼acând n = 1 în aceast¼a relatie se deduce c¼a P (� 1 = 1 + k) =�12

�k+1; k 2 N: Apoi scriem aceeasi relatie cu n = 2 pentru a obtine

P (� 2 = 1 + k) =1Xj=0

P (� 1 = 1 + j; � 2 = 1 + k) =

1Xj=0

�1

2

�j+k+2=

�1

2

�k+1:

În acelasi mod se deduce c¼a �ecare din variabilele �n � 1; n 2 N�; esterepartizat¼a geometric cu parametrul 12 : Atunci relatia (*) devine

P (� 1 � 1 = k1; :::; �n � 1 = kn) = P (� 1 � 1 = k1) :::P (�n � 1 = kn) ;ceea ce încheie demonstratia. �

Corolarul 5.1. Variabila aleatoare Tn � n � 1 este repartizat¼anegativ- binomial cu parametrii n si p = 1

2:

DemonstraTie. Se tine cont de lema 5.3 si de faptul c¼a Tn =T0 + � 1 + :::+ �n:�Mai departe, vom de�ni, pentru �ecare l 2 N�; variabila aleatoare

Yl (!) = sup fn=Tn � lg ; care reprezint¼a num¼arul de secvente de con-stant¼a care au fost terminate pân¼a la momentul l: Nu se iau în consi-derare secventele de constant¼a care se încheie, prin schimbarea valorii,dup¼a l:

Lema 5.5. Variabila aleatoare Yl este repartizat¼a binomial cu para-metrul p = 1

2si ordinul l � 1:

DemonstraTie. Pentru k = 0; 1; :::; l are loc egalitatea

fYl = kg = fTk � l; Tk+1 > lg = fTk � l; � k+1 > l � Tkg =

=l�k�1[j=0

fTk = k + 1 + j; � k+1 > l � j � 1g :

În aceast¼a ultim¼a exprimare am luat toate valorile posibile pentru Tk :cea mai mic¼a este k + 1: De aici se deduce c¼a

P (Yl = k) =

l�k�1Xj=0

P (Tk = k + 1 + j)P (� k+1 > l � j � 1) =

=l�k�1Xj=0

Ck�1j+k�1

�1

2

�j �1

2

�k �1

2

�l�j�1=

�1

2

�l+k�1 l�k�1Xj=0

Ck�1j+k�1 =

=

�1

2

�l+k�1Ckl�1:

Cu aceasta am încheiat demonstratia. �


Faptul c¼a Yl este repartizat¼a binomial este neasteptat. O repar-titie binomial¼a este de obicei produs¼a de num¼ararea succeselor într-oschem¼a Bernoulli �nit¼a. Dar aici nu este vorba despre schema initial¼a,A1; A2; :::; Al; cea care corespunde arunc¼arilor succesive cu banul. Sepoate demonstra c¼a este vorba de evenimentele Bi = Ai�Ai+1; i =1; :::; l � 1; care sunt si ele independente.Pentru experimentul nostru, ne intereseaz¼a variabila Y2600: G¼asim

c¼a repartitia binomial¼a cu parametrul p = 12si ordinul 2599 are media

1299; 5 si determin¼am P (1250 � Y2599 � 1350) � 0; 95; prin utilizareacalculatorului. Se observ¼a c¼a valoarea de 1318 secvente constante, pecare am consemnat-o, este în intervalul (1250; 1350) :Pentru a ne explica de ce datele din tabelul cu secventele constante

sunt în progresie geometric¼a vom rationa astfel. Cele 1318 secventeconstante, prin lungimile lor, ne furnizeaz¼a realiz¼ari ale variabileloraleatoare independente � 1; � 2; :::; � 1318: Variabila � i este repartizat¼a ast-fel

P (� i = 1) =1

2; P (� i = 2) =

1

22; P (� i = 3) =

1

23; :::

Observ¼am c¼a probabilit¼atile acestea sunt în progresie geometric¼a curatia 1

2si intuitia ne spune c¼a atunci este normal ca proportia în care

s-au realizat valorile lui � i s¼a �e la fel. O m¼asurare mai precis¼a a con-cordantei realiz¼arilor concrete cu repartitia teoretic¼a se face cu testul�2; dar acest subiect dep¼aseste nivelul prezentului curs.

7. Repartitia Poisson

Repartitia Poisson poart¼a numele matematicianului francez DenisPoisson (1781-1840). Repartitia Poisson de parametru � > 0 este orepartitie pe N, de�nit¼a prin relatia

� =1Xk=0

e��k

k!�k:

O variabil¼a alearoare X (de�nit¼a pe un spatiu probabilizat (;F ; P ))este repartizat¼a Poisson cu parametru � > 0, dac¼a

P (X = k) = e��k

k!:

Vom stabili mai jos câteva din propriet¼atile mai importante ale vari-abilelor repartizate Poisson. Un calcul direct arat¼a imediat c¼a EX = �si D2X = � :

7. REPARTITIA POISSON 121

Repartitii Poisson cu parametrii � = 0; 5 (stânga sus) � = 1 (dreaptasus) si � = 5 (jos)

EX =

1Xk=0

e��k

k!k = e��

1Xk=1

�k

(k � 1)! = e��

1Xk=0

�k

k!= �;


EX2 =1Xk=0

e��k

k!k2 = e��

1Xk=1

�k

(k � 1)!k = e��

1Xk=0

�k

k!(k + 1) =

= e��

1Xk=0

�k

k!+

1Xk=0

�k

k!k

!= �+ �2;

D2X = EX2 � (EX)2 = �:

Propozitia 5.3. Fie X1; :::; Xn variabile aleatoare independenterepartizate Poisson cu parametrii respectivi �1; :::; �n > 0. Atuncisuma lor X1 + ::: + Xn este repartizat¼a tot Poisson, cu parametrul� = �1 + :::+ �n.

DemonstraTie. Este su�cient s¼a trat¼am cazul a dou¼a variabile,pentru c¼a apoi rezult¼a si cazul general printr-o inductie simpl¼a. Pentrudou¼a variabile putem scrie

fX1 +X2 = kg =k[i=0

fX1 = ig \ fX2 = k � ig ;

P (X1 +X2 = k) =kXi=0

P (X1 = i)P (X2 = k � i) =

=kXi=0

e��1�i1i!e��2

�k�i2

(k � i)! = e��1e��2

1

k!

kXi=0

Cik�i1�k�i2 =

= e�(�1+�2)1

k!(�1 + �2)

k :

Pentru a trata cazul general se face o inductie dup¼a n: Presupunemdemonstrat¼a propozitia pentru sume de n � 1 variabile. Fiind date nvariabile, scriem X1 + :::+Xn = (X1 + :::+Xn�1) +Xn si tinem contc¼a variabilele X1+:::+Xn�1 si Xn; sunt independente datorit¼a teoremei4.1. �Repartitia Poisson este legat¼a de repartitia binomial¼a printr-o teo-

rem¼a de aproximare asem¼an¼atoare teoremei de Moivre-Laplace ce va� demonstrat¼a în capitolul urm¼ator. Fie (Xi)i2N un sir de variabilealeatoare repartizate binomial cu parametrii pi; ni; care corespund �ec¼aruiindice i 2 N: Not¼am qi = 1� pi si presupunem c¼a sunt îndeplinite ur-m¼atoarele conditii

limi!1

ni =1;

limi!1

nipi = �;

unde � > 0 este un num¼ar �xat.


Teorema 5.1. În conditiile de mai sus repartitiile PXi converg larepartitia Poisson de parametru �; în sensul urm¼ator

limi!1

P (Xi = k) = e��

k

k!; k 2 N:

DemonstraTie. Stim c¼a

P (Xi = k) = Cknipki q

ni�ki =

ni (ni � 1) ::: (ni � k + 1)k!

pki (1� pi)ni�k =

=1

k!(nipi)

k

�1� 1

ni

�:::

�1� k � 1

ni

�(1� pi)

1pi(pini�pik) :

Vom trece acum la limit¼a în acest produs. Pentru k �xat, produsul cuk � 1 factori are limita

limi!1

�1� 1

ni

�:::

�1� k � 1

ni

�= 1:

Apoi, pentru ultimul factor observ¼am c¼a expresia din paranteza de laexponent are limita:

limi!1

(pini � pik) = �:

Deci limita ultimului factor este

limi!1

(1� pi)1pi(pini�pik) = e��:

Toate aceste observatii conduc la rezultatul anuntat. �În baza unor estim¼ari numerice s-a ajuns la concluzia c¼a în practic¼a

se poate utiliza aproximarea repartitiei binomiale prin repartitia Pois-son dac¼a n � 20 si p � 0; 05: Aproximarea este excelent¼a dac¼a n � 100si np � 10:Exemplul 1.În procesul de fabricatie al unui obiect apar produse defecte cu

frecventa de 1100: Ne punem problema de a determina care este proba-

bilitatea de a g¼asi cinci sau mai multe produse defecte la testarea a 200de obiecte.Solutie. Vom nota cu X o variabil¼a aleatoare repartizat¼a binomial

cu parametrii p = 0; 01; n = 200; care modeleaz¼a num¼arul de produsedefecte ce apar la 200 de teste. Repartitia lui X poate � aproximat¼acu o repartitie Poisson de parametru � = 2: Prin calcul direct avemP (X � 4) � e�2

P4k=0

2k

k!= 0; 94735 si prin urmare r¼aspunsul la prob-

lema pus¼a este P (X � 5) � 0; 053: �Exemplul 2.Repartitia Poisson este cunoscut¼a ca �ind cea care reprezint¼a eveni-

mentele rare. Pentru a explica acest aspect vom reproduce mai jos unadin primele consemn¼ari în date reale a fenomenului. Este vorba despre


urm¼atorul tabel, alc¼atuit de Ladislaus von Bortkiewicz si care reprez-int¼a datele despre accidente mortale petrecute la 10 corpuri de cavalerieprusac¼a în decursul a 20 de ani.

nr de accidente nr de aparitii num�ar teoretic0 109 108; 71 65 66; 32 22 20; 23 3 4; 14 1 0; 6

�� 200 199; 9

Pe prima coloan¼a sunt însirate cinci tipuri de rezultate ce au fost con-semnate pentru �ecare din cele 10 corpuri în �ecare din cei 20 de ani: 0accidente, 1 accident, 2 accidente, 3 accidente, 4 accidente. Pe coloanaa doua se mentioneaz¼a de câte ori a fost consemnat acel rezultat.Num¼arul total de rezultate consemnate este de 10�20 = 200: Num¼arultotal de accidente este, conform tabelului, 65 + 22 � 2 + 3 � 3 + 4 =122: Num¼arul mediu de accidente pe an si corp este 122

200= 0; 61:

Bortkiewicz a calculat valorile repartitiei Poisson cu media � = 0; 61

(pk = e�0;61(0;61)k

k!; k = 0; 1; 2; 3; 4) si le-a multiplicat cu 200; obtinând

valorile din ultima coloan¼a. Aceste valori se observ¼a a � foarte apropi-ate de valorile din coloana a doua. Pentru a explica mai precis aceast¼aapropire vom observa c¼a probabilitatea ca la o zi de antrenament cucalul s¼a se produc¼a un accident este un num¼ar foarte mic p: Pentru ane face o idee despre valoarea sa s¼a presupunem c¼a �ecare corp avea unnum¼ar de 300 de c¼al¼areti si c¼a se efectuau cam 250 de antrenamente pean. Atunci num¼arul total de antrenamente care au avut loc în 20 de anila cele 10 corpuri a fost în jur de 300�250�20�10 = 15:000:000: Cele122 de accidente conduc la p = 122

15:000:000� 8; 1� 10�6: S¼a privim acum

ce se petrece la un singur corp, într-un an: repetarea de 300� 250 oria antrenamentului conduce la modelarea evenimentului accident cu ovariabil¼a aleatoare repartizat¼a binomial cu n = 75:000 si p = 8; 1�10�6:Dar aceast¼a repartitie este bine aproximat¼a de repartitia Poisson cumedia

� = np = 300� 250� 122

300� 250� 20� 10 =122

200= 0; 61:

Deci evenimentul, în fond rar, al accidentului, prin repetarea de unnum¼ar mare de ori a experimentului de antrenare, face ca la un an dezile num¼arul de accidente s¼a apar¼a modelat de o variabil¼a repartizat¼aPoisson cu media � = 0; 61: Cele 200 de rezultate consemnate apar ca200 de realiz¼ari ale unor variabile aleatoare independente, repartizatePoisson, cu parametrul 0; 61:


Dar este clar c¼a în mod exceptional exemplul acesta are datele foarteapropiate de valorile teoretice. Putem presupune c¼a descoperitorul s¼aua ales din mai multe pe cel mai apropiat de idealul teoretic. �

Exemplul 3.Unmagazin de piese auto se aprovizioneaz¼a pentru urm¼atorul trimestru

cu un num¼ar de n caroserii ale unui anumit model de autoturism. Vân-zarea unei caroserii aduce 40 euro pro�t net magazinului. În caz c¼a ocaroserie nu este vândut¼a în cursul unui trimestru, cheltuielile de de-pozitare conduc la o pierdere de 5 euro. Vânzarea caroseriilor cores-punde evenimentelor rare, care sunt accidentele. Ea este modelat¼a de ovariabil¼a aleatoare repartizat¼a Poisson si, pentru trimestrul ce urmez¼a,se estimeaz¼a c¼a va avea media 10: S¼a se determine stocul optim, cemaximizeaz¼a pro�tul mediu.

Solutie. Presupunem c¼a pe spatiul probabilizat (;F ; P ) avem vari-abila aleatoare X repartizat¼a Poisson cu media 10; care reprezint¼a cer-erea. Atunci pro�tul, depinzând deX si de stocul n; va �tot o variabil¼aaleatoare, care se expliciteaz¼a astfel:

Yn =

�40X � 5 (n�X) pe fX < ng

40n pe fX � ng :

Aceasta poate � scris¼a si sub forma

Yn = 45X � 1fX<ng � 45n � 1fX<ng + 40n:

Pentru a estima cum variaz¼a pro�tul în raport cu stocul vom calculadiferenta

Yn+1 � Yn = 45X � 1fX=ng � 45 � 1fX<ng � 45 (n+ 1) � 1fX=ng + 40 =

= �45 � 1fX�ng + 40 :Not¼am cu f (n) = EYn media pro�tului si atunci avem

f (n+ 1)� f (n) = EYn+1 � EYn = �45P (X � n) + 40 =

= 45

�40

45� P (X � n)

�= 45 (0; 8888� P (X � n)) :

Este clar c¼a expresia P (X � n) creste cu n: Pentru a putea determinasemnul diferentei f (n+ 1)� f (n) se a�¼a cu calculatorul valorile

P (X � 13) = 0; 8644 ;P (X � 14) = 0; 9165 :

Rezult¼a c¼a avem f (n+ 1) > f (n) ; pentru n � 13 si f (n+ 1) < f (n) ;pentru n � 14: Deci valoarea maxim¼a este obtinut¼a pentru n0 = 14;care este stocul optim. Putem determina aceast¼a valoare maxim¼a, bachiar vom face calculul general pentru pro�tul mediu:

f (n) = EYn = 45E�X � 1fX<ng

�� 45nP (X < n) + 40n:


Pe de alt¼a parte putem explicita

E�X � 1fX<ng

�=

n�1Xk=0

kP (X = k) = e��n�1Xk=0

k�k

k!=

= �e��n�2Xk=0

�k

k!= �P (X � n� 2) ;

ceea ce ne permite s¼a scriem

f (n) = 450P (X � n� 2)� 45nP (X � n� 1) + 40n:Cu n = 14 rezult¼a f (14) = 371; 60: Pentru comparatie, calcul¼ampro�tul mediu în cazul c¼a se face aprovizionarea doar cu n = 10caroserii, care reprezint¼a num¼arul mediu estimat al cererii. Avemf (10) = 344; 60:(Am utilizat urm¼atoarele valori scoase din calculator: P (X � 12) =

0; 7915;P (X � 9) = 0; 4276;P (X � 8) = 0; 3025 ) �Exemplu 4.O companie de asigur¼ari încheie contracte de asigurare pentru acci-

dente de circulatie cu coliziune frontal¼a cu desp¼agubire de 2000 euro.Se stie c¼a pentru o perioad¼a de 4 ani media asteptat¼a a unui astfel deaccident este de 0; 05: Cheltuielile companiei pentru un contract suntde 50 euro în 4 ani. a) Stiind c¼a are 100 de contracte, iar �ecare clientpl¼ateste 50 de euro anual, s¼a se determine probabilitatea ca respectivacompanie s¼a �e pus¼a în situatia de a pl¼ati mai mult decât sumele în-casate în 4 ani. b) Aceeasi problem¼a în cazul în care compania ar avea1000 de contracte si clientul ar pl¼ati 45 de euro anual.Solutie. Accidentele pe care le poate avea un autoturism în decursul

a 4 ani sunt modelate de o variabil¼a aleatoare repartizat¼a Poisson cumedia � = 0; 05:a) Pentru 100 de contracte accidentele posibile sunt modelate de

variabila Y =P100

i=1Xi; unde Xi ar reprezenta accidentele ce le poateavea autoturismul cu contractul i: Variabilele Xi; i = 1; :::; 100; trebui-esc presupuse independente. Rezult¼a c¼a Y este repartizat¼a Poisson cumedia EY = 100 � 0; 05 = 5: Situatia �nanciar¼a este urm¼atoarea: seîncaseaz¼a de la clienti un total de 50� 4� 100 = 20:000 euro. Cheltu-ielile cu toate dosarele pentru întreaga perioad¼a sunt 50� 100 = 5:000euro. R¼amâne o sum¼a disponibil¼a de 20:000 � 5:000 = 15:000 euro.Cu aceast¼a sum¼a pot � desp¼agubiti 7 clienti. Cel de al 8 -lea clientcare sufer¼a accident pune compania în pierdere. Ne intereseaz¼a deci s¼acalcul¼am probabilitatea P (Y > 7) = 0; 1333; dup¼a cum se g¼aseste usorîntr-un program de calculator.b) În mod similar, variabila care modeleaz¼a accidentele posibile

este Z =P1000

i=1 Xi si are media EZ = 1000 � 0; 05 = 50: Situatia�nanciar¼a este urm¼atoarea: se încaseaz¼a 45� 4� 1000 = 180:000 euro.Se cheltuiesc 50 � 1000 = 50:000 euro si r¼amân 180:000 � 50:000 =

8. REPARTITIA MULTINOMIAL¼A* 127

130:000 euro. Cu aceast¼a sum¼a pot �desp¼agubiti 65 de clienti. Cel de al66 -lea client ce are accident aduce compania în pierdere. Probabilitateace ne intereseaz¼a este P (Z > 65) = 0; 0173; dup¼a cum se a�¼a cu unprogram de calculatorDup¼a cum se vede, situatia este total diferit¼a în cazul b). Dac¼a

num¼arul clientilor se înmulteste cu 10 nu se face pur si simplu o în-multire cu 10 a tuturor datelor. Explicatia st¼a în propriet¼atile repar-titiei Poisson. Deviatia standard a unei repartitii Poisson cu media �este

p�; iar deviatia standard m¼asoar¼a cât de împr¼astiate sunt valorile

variabilei aleatoare fat¼a de media sa.Repartitia Poisson cu media 5 are deviatia standardDY =

pD2Y =p

5 = 2; 24 în timp ce repartitia Poisson cu media 50 are deviatia stan-dardDZ =

pD2Z =

p50 = 7; 07: În cazul lui Y deviatia standard este

mare relativ la medie, este aproape jum¼atate din medie. În cazul luiZ deviatia standard este mic¼a relativ la media sa. Fenomenul aleatorjoac¼a un rol mai mic în problema respectiv¼a. �

8. Repartitia multinomial¼a*

Repartitia multinomial¼a este o generalizare a repartitiei binomiale.Pentru a pune în evident¼a acest lucru vom arunca mai întâi o nou¼aprivire asupra cazului binomial. Pe spatiul probabilizat (;F ; P ) avemn variabile aleatoare independente, identic repartizate, X1; :::; Xn; careiau valori într-o multime cu dou¼a elemente f0; 1g : Aceste variabile iauvaloarea 1 cu probabilitatea p si valoarea 0 cu probabilitatea q = 1�p:Variabila sum¼a X1 + :::+Xn ne spune de câte ori apare 1 în sirul datde variabile. Ea este repartizat¼a binomial.

Dar putem privi lucrurile si altfel. Considerând simetric cele dou¼arezultate posibile pe care le indic¼a variabilele, vom nota p1 = p sip2 = q; astfel c¼a repartitia comun¼a a variabilelor Xi este p1�1 + p2�0:Vom mai schimba notatia si vom pune Y1 = X1+ :::+Xn si Y2 = n�Y1:Variabila Y2 ne spune de câte ori apare valoarea 0 în sirul nostru. Dac¼avariabila Y1 are repartitia binomial¼a cu ordinul n si parametrul p1;variabila Y2 este complet similar¼a, �ind repartizat¼a binomial cu ordinuln si parametrul p2: Dac¼a k1; k2 2 N satisfac conditia k1+k2 = n; atunciare loc egalitatea fY1 = k1g = fY2 = k2g si putem spune c¼a repartitiabinomial¼a caracterizeaz¼a simultan cele dou¼a variabile prin relatia

P (Y1 = k1; Y2 = k2) =n!

k1!k2!:

De aici urmeaz¼a generalizarea. Fie p1; :::; pm 2 [0; 1] astfel ca p1 +:::+pm = 1: S¼a presupunem acum c¼a variabileleX1; :::; Xn sunt indepen-dente, identic repartizate, de�nite pe un spatiu probabilizat (;F ; P ) ;cu valori într-o multime E = fe1; :::; emg ; astfel c¼a repartitia comun¼aacestor variabile este m¼asura p1�e1 + ::: + pm�em : Cu alte cuvinte,variabila Xl ia veloarea ei cu probabilitatea pi si mai explicit, avem


P (Xl = ei) = pi; oricare ar � l = 1; :::; n si i = 1; :::;m: Atunci vari-abilele

Yi =

nXl=1

1X�1l (ei)

; i = 1; :::;m;

ne spun de câte ori apare rezultatul ei în sirul X1; :::; Xn: Are loc relatiaY1+:::+Ym = n; astfel c¼a pentru orice numere k1; :::; km 2 N ce satisfacrelatia k1 + :::+ km = n avem

fY1 = k1; :::; Ym�1 = km�1g = fY1 = k1; :::Ym�1 = km�1; Ym = kmgVectorul Y = (Y1; :::; Yn) este cel care are repartitia ce ne intereseaz¼asi pe care o descriem în lema ce urmeaz¼a.

Lema 5.6. Variabila (Y1; :::; Ym) are repartitia dat¼a de relatia

P (Y1 = k1; :::; Ym = km) =n!

k1!:::km!pk11 :::p

kmm ;

valabil¼a pentru orice sistem de numere k1; :::; km 2 N astfel încât k1 +:::+ km = n:

DemonstraTie. Fie ! 2 �xat. Dac¼a Yi (!) = ki; înseamn¼a c¼amultimea Mi = fl=Xl (!) = eig are ki elmente. Pentru i = 1; :::;mavem m multimi care partitioneaz¼a multimea de indici ale variabilelorXl;

f1; :::; ng =m[i=1

Mi:

L¼asând acum ! liber, putem scrie

fY1 = k1; :::; Ym = kmg =[

(M1;:::;Mm)

fXl = ei;8l 2Mi; i = 1; :::;mg ;

unde reuniunea se face dup¼a toate partitiile numerotate (M1; :::;Mm)ale multimii f1; :::; ng astfel încât card (Mi) = ki; i = 1; :::;m: Atunciputem calcula

P (Y1 = k1; :::; Ym = km) =X

(M1;:::;Mm)

P (Xl = ei;8l 2Mi; i = 1; :::;m) =

=X

(M1;:::;Mm)

pk11 :::pkmm =

n!

k1!:::km!pk11 :::p

kmm ;

tinând cont de propozitia 1.2. Aceasta demonstreaz¼a lema. �Repartitia vectorului Y este numit¼a repartitia multinomial¼a. Este o

repartitie de�nit¼a de parametrii n;m 2 N; n � 1;m � 2; si p1; :::; pm 2(0; 1) care trebuie s¼a satisfac¼a relatia p1+ :::+ pm = 1 si este suportat¼ade multimea

K = f(k1; :::; km) 2 Nm=k1 + :::+ km = ng � Nm:

9. ÎMPR¼ASTIEREA ALEATOARE* 129

Expresia repartitiei multinomiale este dat¼a deX(k1;:::;km)

n!

k1!:::km!pk11 :::p

km�(k1;:::;km) ;

unde sumarea se face dup¼a toate punctele din suportul K:Exemplele de repartitii multinomiale apar în dou¼a formul¼ari tipice:a) Într-o urn¼a se a�¼a bile colorate în culorile e1; :::; em: Num¼arul

bilelor de culoarea ei este proportional cu pi: Se fac n extrageri cu în-toarcere. Extragerile sunt modelate de variabileleXl : ! fe1; :::; emg ; l =1; :::; n; care indic¼a ce culoare are bila extras¼a la a i�a extragere. Atunciprobabilitatea de a � extrase ki bile de culoarea ei; i = 1; :::;m; estereprezentat¼a de

P (Y1 = k1; :::; Ym = km) =n!

k1!:::km!pk11 :::p

kmm :

b) Se arunc¼a în mod aleatoriu n bile în m cutii notate e1; :::; em;asa încât probabilitatea de a arunca o bil¼a în cutia i este pi: Dac¼aaruncarea unei bile este modelat¼a de o variabil¼a Xi; alocarea bilelor încele m cutii este descris¼a de repartitia lui Y = (Y1; :::; Ym) ; repartitiamultinomial¼a.

9. Împr¼astierea aleatoare*

O serie de fenomene �zice sunt descrise printr-o multime �nit¼a depuncte r¼aspândite aleator într-un �spatiu �E; spatiu care la rânduls¼au este o submultime, de obicei continu¼a (în sensul de nediscret¼a side puterea continului), dintr-un spatiu euclidian. Spatiul euclidianrespectiv poate avea orice dimensiune, inclusiv unu.Exemple de astfel de fenomene pot � urm¼atoarele: a) Punctele de

impact ale pic¼aturilor de ploaie care cad într-o secund¼a pe o suprafat¼adeterminat¼a. b) Punctele de impact ale meteoritilor c¼azuti pe p¼amânt.c) Microbii care sunt împr¼astiati într-un volum de aer contaminat.d)Momentele de timp la care trec autovehiculele prin dreptul unui reperpe sosea. Aici spatiul euclidian este unu-dimensional si reprezint¼a tim-pul. e) Momentele de timp la care sosesc apelurile la o central¼a tele-fonic¼a. f) Momentele de timp la care sunt emise particule de c¼atre ocantitate dat¼a de substant¼a radioactiv¼a. g) Momentele la care sosesteautobuzul în statie, etc. Toate aceste fenomene sunt modelate de obiec-tul matematic numit m¼asur¼a aleatoare Poisson.

Fie (E; E) un spatiu m¼asurabil si � : E ! R+ o m¼asur¼a �nit¼a pe(E; E). Not¼am cu multimea p¼artilor �nite din E;

= fF 2 P (E) j card (F ) <1g ;si pentru �ecare multime A 2 E not¼am XA : ! R+; aplicatia denum¼arare

XA (F ) = card (A \ F ) ; F 2 :


Se observ¼a c¼a dac¼a A;B 2 E si A � B atunci XA � XB; iar dac¼aA \B = ;; atunci XA[B = XA +XB:Pe multimea de�nim F drept cea mai mic¼a �- algebr¼a care face

toate aplicatiile XA m¼asurabile:

F = � (XA j A 2 E) :

De�nitia 5.1. O m¼asur¼a de probabilitate P pe (;F) va � nu-mit¼a m¼asur¼a aleatoare Poisson cu intensitate �, dac¼a sunt veri�cateurm¼atoarele propriet¼ati:10 Pentru orice A 2 E ; variabila XA este repartizat¼a Poisson cu

parametrul � (A).20 Dac¼a A1; :::; An 2 E sunt multimi disjuncte, atunci variabilele

XA1 ; :::; XAn sunt independente.

În aceast¼a de�nitie admitem implicit c¼a o variabil¼a aleatoare nul¼aa.s. este repartizat¼a Poisson degenerat, cu parametrul 0: Un evenimentelementar F 2 trebuie v¼azut ca o con�guratie �nit¼a de puncte îm-pr¼astiate în spatiul E: M¼asura aleatoare Poisson descrie probabilisticîmpr¼astierea aleatoare.

Rezult¼a imediat din de�nitie c¼a EXA = � (A) pentru orice multimeA 2 E : Mai not¼am c¼a în cazul a dou¼a multimi A;B 2 F astfel încâtA � B si � (A) = � (B) ; rezult¼a c¼a XA = XB; aproape sigur.M¼asurile aleatoare Poisson sunt utile atât în tratarea aplicatiilor

cât si în studiul teoretic al unor probleme legate de procesele Markov.Enunt¼ammai jos teorema general¼a de constructie a unei m¼asuri aleatoarePoisson cu intensitate dat¼a. Demonstratia se bazeaz¼a pe unele ideilegate de procesele Poisson si nu îsi are locul cel mai bun aici.

Teorema 5.2. Fiind dat un spatiu m¼asurabil (E; E) si o m¼asur¼adifuz¼a si �nit¼a, �; pe el, exist¼a si este unic¼a o m¼asur¼a de probabilitateP pe (;F) care este o m¼asur¼a aleatoare Poisson cu intensitatea �.

Notiunea de m¼asur¼a difuz¼a este urm¼atoarea. O m¼asur¼a � pe (E; E)se numeste difuz¼a dac¼a are proprietatea c¼a pentru orice multime A 2 Eastfel ca � (A) > 0 si orice num¼ar 0 < b < � (A) ; exist¼a o submultimeB � A;B 2 E ; astfel încât � (B) = b:În continuare vom prezenta alte fapte legate de m¼asurile aleatoare

Poisson p¼astrând notatiile introduse mai sus. Vom avea nevoie de ur-m¼atoarea lem¼a tehnic¼a.

Lema 5.7. Fie (Xn)n2N un sir cresc¼ator de variabile aleatoare re-partizate Poisson (de�nite pe un spatiu probabilizat (;F ; P )).(i) Dac¼a sup

nEXn < 1 atunci limita sirului X = lim

nXn este o

variabil¼a aleatoare repartizat¼a Poisson cu parametrul supnEXn.

(ii) Dac¼a supnEXn =1, atunci lim

nXn =1, aproape sigur.


(iii) În cazul în care (Xn) este descresc¼ator, limita este sau nul¼asau tot o variabil¼a repartizat¼a Poisson, cu parametrul inf

nEXn:

DemonstraTie. Vom nota �n = EXn si observ¼am c¼a sirul (�n)n2Neste cresc¼ator cu limita ce o not¼am � = lim�n:(i) Pentru �ecare k 2 N; sirul de multimi fXn � kg ; n 2 N este

descresc¼ator si avem \n fXn � kg = fX � kg : De aceea putem calculalimita

P (X � k) = limn!1

P (Xn � k) = limn!1

kXl=0

e��n�lnl!=

kXl=0

e��l

l!; (�)

de unde rezult¼a c¼a X este repartizat¼a Poisson cu parametrul �:(ii) Relatia (*) de mai înainte arat¼a c¼a în cazul în care limn!1 �n =

1; rezult¼a P (X � k) = 0; pentru orice k: Aceasta demonstreaz¼a a�r-matia din enunt.(iii) În cazul în care sirul de variabile este descresc¼ator rezult¼a c¼a

sirul de multimi fXn � kg ; n 2 N; este cresc¼ator. Din nou este valabil¼arelatia (�) si se rationeaz¼a similar cazurilor dinainte. Dac¼a limn!1 �n =0; se obtine X = 0; aproape sigur. �Urm¼atoarea teorem¼a ajut¼a la modelarea unor exemple concrete.

Anume, faptul c¼a anumite fenomene sunt descrise de o m¼asur¼a aleatoarePoisson este greu de acceptat pentru c¼a impune apriori repartitia Pois-son. Teorema de mai jos arat¼a c¼a de fapt nu este necesar s¼a presupunemc¼a variabilele XA sunt repartizate Poisson. Aceast¼a conditie este im-plicat¼a de alte conditii mai slabe si mai usor de acceptat. Desi esteenuntat¼a în cazul unidimensional, teorema se poate generaliza si lacazul unor spatii E multidimensionale. Pentru cazul real, se poatear¼ata c¼a notiunea de m¼asur¼a difuz¼a revine la o m¼asur¼a ce nu încarc¼apunctele. De exemplu, orice m¼asur¼a ce se reprezint¼a cu o densitate fat¼ade m¼asura Lebesgue este difuz¼a.

Teorema 5.3. În notatia anterioar¼a, presupunem c¼a E � R, esteun interval deschis, E = B (E) ; iar � : B (E) ! [0;1] este o m¼a-sur¼a difuz¼a �nit¼a. Presupunem c¼a P este o probabilitate pe (;F) cuurm¼atoarele propriet¼ati:

10 Pentru orice interval m¼arginit I � R are loc relatia EXI =� (I) ;20 Pentru orice dou¼a intervale m¼arginite I, J � E, astfel încât

� (I) = � (J) rezult¼a P (XI = 0) = P (XJ = 0) :30 Dac¼a I1; :::; In � E; sunt intervale disjuncte, atunci variabilele

XI1 ; :::; XIn sunt independente.În aceste conditii (;F ; P ) este m¼asura aleatoare Poisson cu inten-

sitatea �:

DemonstraTie. Începem prin a studia multimea E 0 care const¼adin toate punctele x 2 E care au câte o vecin¼atate V ce este interval


deschis, x 2 V � E si � (V ) = 0: Se observ¼a din aceast¼a de�nitie c¼aE 0 este o multime deschis¼a si, prin urmare, ea se scrie ca o reuniuneE 0 =

Sl2� Jl; unde Jl; j 2 �; sunt intervale deschise disjuncte, iar �

este cel mult num¼arabil¼a. Se observ¼a c¼a � (Jl) ; pentru orice l 2 � si,cum m¼asura este difuz¼a, si închiderea acestor intervale este de m¼asur¼anul¼a: �

�Jl�= 0; pentru orice l 2 �: Not¼am E 00 =

Sl2� Jl si vom avea

� (E 00) = 0: O proprietate ce decurge imediat din aceast¼a de�nitie, si pecare o vom utiliza mai jos, este urm¼atoarea: pentru orice dou¼a punctex; y 2 E n E 00; intervalul determinat de ele are m¼asura strict pozitiv¼a,adic¼a � ((x; y)) > 0:

Not¼am acum cu 0 = fF 2 = F \ E 00 = ;g : Deoarece E 00 2 E sipentru c¼a are loc scrierea

0 = fF 2 = XE00 (F ) = 0g

rezult¼a c¼a 0 2 F : Pe de alt¼a parte, deoarece EXE00 = � (E00) = 0 si

din exprimarea complementarei sub forma

c0 = fF 2 = XE00 (F ) � 1g ;

rezult¼a c¼a P (c0) = 0; deci P (0) = 1:Urm¼atorul pas va � de a ar¼ata c¼a pentru un interval de forma I =

[a; b) cu a; b 2 E;XI este o variabil¼a aleatoare repartizat¼a Poisson cuparametrul � (I) : Dac¼a � (I) = 0; atunci EXI = 0 si, prin urmare,avemXI = 0; a:s:; ceea ce încheie demonstratia. Pentru cazul � (I) > 0demonstratia este mai lung¼a. Not¼am � = � (I) si împ¼artim intervalulI în 2n intervale consecutive, de m¼asur¼a egal¼a. În acest fel introducemurm¼atoarea notatie: xn0 = a si lu¼am punctul xn1 2 (a; b) astfel încât� ([xn0 ; x

n1 )) =

�2n. Prin recurent¼a se construieste sistemul de puncte

a = xn0 < xn1 < xn2 < ::: < xn2n = b; astfel încât intervalele Ini =[xni�1; x

ni ) s¼a aib¼a �ecare m¼asura � (I

ni ) =

�2n:

Not¼am Y ni = 1nXIn

i�1o; i = 1; :::; 2n si Y n = nP

i=1

Y ni :

a) Vom ar¼ata acum c¼a sirul (Y n) este cresc¼ator. Mai întâi se observ¼ac¼a diviziunea �

xn+10 < xn+11 < xn+12 < ::: < xn+12n+1

ra�neaz¼a diviziunea fxn0 < xn1 < xn2 < ::: < xn2ng. Mai precis, avem xn+12 =xn1 si I

n1 = [x

n0 ; x

n1 ) = [x

n+10 ; xn+11 ) [ [xn+11 ; xn+12 ) = In+11 [ In+12 : În ge-

neral, xn+12i = xni si Ini = [xni�1; x

ni ) = [xn+12i�2; x

n+12i�1) [ [xn+12i�1; x

n+12i ) =

In+12i�1 [ In+12i ; pentru orice indice i = 1; :::; 2n: Aceasta implic¼a

XIni= XIn+12i�1

+XIn+12i

si deci Y ni � Y n+12i�1 + Yn+12i , care conduce la Y n � Y n+1.

b) În continuare vom veri�ca relatia limn!1

Y n = XI pe 0: Vom

ar¼ata convergenta Y n (F ) ! Xi (F ) pentru orice element F 2 0: S¼a


presupunem deci c¼a F � E nE 00 si c¼a intersectia F \ I se compune dinm puncte

F \ I = fy1; :::; ymg ;puncte ce le vom presupune ordonate y1 < y2 < ::: < ym: Pentru arationa în continuare, m¼asur¼am distanta dintre dou¼a puncte cu ajutorulm¼asurii �; prin m¼asura lungimii intervalului determinat de cele dou¼apuncte. Astfel, num¼arul d = min f� ([yj; yj+1)) j j = 1; :::;m� 1g ; ex-prim¼a distanta minim¼a dintre dou¼a puncte din F \ I: El este strictpozitiv pentru c¼a punctele sunt din E n E 00: Dac¼a n este astfel încât�2n< d; atunci un interval de tipul Ini nu poate contine mai mult de un

punct din F . Rezult¼a c¼a XIni(F ) � 1 si deci XIni

(F ) = Y ni (F ). Cumaceast¼a egalitate are loc pentru orice i = 1; :::; 2n, rezult¼a

XI (F ) =

2nXi=1

XIni(F ) =

2nXi=1

Y ni (F ) = Yn (F ) :

În concluzie, sirul Y n (F ) ; n 2 N�; este stationar si limn!1

Y n (F ) =

XI (F ) :Vom utiliza acum faptele demonstrate la a) si b) de mai sus pentru

a aplica teorema 5.1 sirului (Y n). Începem prin a observa c¼a, pentru�ecare n �xat, multimile

�XIni

� 1; i = 1; :::; 2n sunt independente,

datorit¼a ipotezei 30 si num¼arul pn = P�XIni

� 1�nu depinde de i;

datorit¼a ipotezei 20: Rezult¼a c¼a variabilele fY ni j i = 1; :::; 2ng sunt in-dependente, repartizate Bernoulli cu parametrul pn si, prin urmare,Y n este repartizat¼a binomial cu parametrul pn si rangul 2n: AvemEY n = 2npn si, datorit¼a punctului a) de mai sus, sirul acestor nu-mere este cresc¼ator. Cum Y n � XI ; rezult¼a 2npn � EXI = � (I) :În orice caz exist¼a limita limn!1 2

npn = � � (I) : Teorema 5.1 neasigur¼a c¼a

limn!1

P (Y n = k) = e� k

k!:

Pe de alt¼a parte, are loc relatia

fXI � kg \ 0 =\n2N�

fY n � kg \ 0;

în care sirul de multimi din dreapta este descresc¼ator, pentru �ecarek 2 N �xat. Rezult¼a

P (XI � k) = limn!1

P (Y n � k) = limn!1

kXl=0

P (Y n = l) =kXl=0

e� l

l!:

Se deduce c¼a XI este repartizat¼a Poisson cu parametrul ; si atunci = � (I) :Deoarece � nu încarc¼a punctele, rezult¼a c¼a intervalele I

0= (a; b) si

I00= [a; b] dau variabile de num¼arare egale:


XI0 = XI = XI00 ; a:s:

Fie acum o multime deschis¼a D � E: Ea se scrie ca o reuniune celmult num¼arabil¼a de intervale deschise disjuncte D =

Sn

In si are loc

relatiaXD =

Xn

XIn :

Dac¼a � (D) <1; rezult¼a c¼a XD este o variabil¼a repartizat¼a Poisson cuparametrul � (D) ; prin aplicarea propozitiei 5.3 si a punctului (i) dinlema 5.7. În plus, dac¼a D1; :::; Dl sunt multimi deschise disjuncte dinE; atunci, utilizând ipoteza 30 si descompunerile în intervale ale acestormultimi, se ajunge la concluzia c¼a XD1 ; :::; XDl sunt independente.S¼a consider¼am acum cazul unei multimi compacte K � R: Not¼am

Dn =�x 2 Ejd (x;K) < 1

n

vecin¼atatea de raz¼a 1

na lui K, pentru

orice n 2 N�: Acestea sunt multimi deschise m¼arginite si K =Tn

Dn.

Rezult¼a c¼aXK = lim

n!1XDn :

Din lema anterioar¼a, rezult¼a c¼a XK este repartizat¼a Poisson si para-metrul s¼au este � (K). În plus, dac¼a K1; :::; Kl sunt multimi compactedisjuncte, atunci vecin¼at¼atile lor de raz¼a 1

nsunt disjuncte când n este

mare. Rezult¼a c¼a XK1 ; :::; XKlse aproximeaz¼a cu variabile indepen-

dente. La limit¼a si XK1 ; :::; XKlse obtin independente.

Mai departe, trecem la cazul unei multimi boreliene A 2 B (E) :Pentru aceasta avem nevoie de un rezultat mai �n de teoria m¼asurii.Acesta spune c¼a pentru orice multime borelian¼a se pot construi dou¼asiruri (Kn)n2N, (Dn)n2N astfel încât Kn � Kn+1 � A � Dn+1 � Dn;pentru orice n 2 N si

� (A) = limn!1

� (Kn) = limn!1

� (Dn) ;

multimile Kn; n 2 N; �ind compacte, iar multimile Dn; n 2 N; �inddeschise. Notând A

0=Sn

Kn si A00=Tn

Dn, vom avea

XA0 � XA � XA

00 :

Deoarece ��A0�= �

�A00�, rezult¼a c¼a XA0 = XA = XA00 , aproape sigur.

Rezult¼a c¼a XA este repartizat¼a Poisson cu parametrul � (A). Ca maisus, prin aproximare, se deduce si faptul c¼a XA1 ; :::; XAl sunt variabileindependente dac¼a A1; :::; Al sunt boreliene, disjuncte. �Observatia 5.1. O ipotez¼a care implic¼a punctele 10 si 20 din enuntul

de mai sus este urm¼atoarea:4�0 Dac¼a � (I) = � (J) ; atunci variabilele XI si XJ sunt identic

repartizate.În multe aplicatii este usor de acceptat direct aceast¼a ipotez¼a, care

altfel este o concluzie a teoremei.


Pic¼aturile de ploaie.Atunci când se examineaz¼a modelarea pic¼aturilor de ploaie, este,

la o prim¼a vedere, greu de acceptat c¼a m¼asura aleatoare Poisson esteobiectul matematic care descrie fenomenul. În primul rând obisnuintacomun¼a ne îndeamn¼a s¼a privim cantitatea de pic¼aturi care cade pe unmetru p¼atrat ca �ind o constant¼a. Dar este clar c¼a nu este asa. Fap-tul c¼a la m¼asur¼atori f¼acute în dou¼a locuri diferite, în aceeasi perioad¼ade timp, se obtin cantit¼ati de ap¼a foarte apropiate, nu înseamn¼a c¼afenomenul aleator nu este prezent. O variabil¼a aleatoare repartizat¼aPoisson cu parametrul � = 10:000 (corespunz¼ator la 10:000 de pic¼a-turi) are deviatia standard 100: Deci este normal ca variatiile s¼a �e deacest ordin. Ele apar ca nesemni�cative din punct de vedere practic,dar fenomenul este aleator si poate corespunde unei m¼asuri aleatoarePoisson. În cazul a 1:000:000 de pic¼aturi variatia dat¼a de model estesi mai mic¼a, relativ; ea este de 1:000 de pic¼aturi. Faptul c¼a num¼arulde pic¼aturi ce cade pe �ecare metru p¼atrat este aleator poate � obser-vat atunci când se consider¼a o perioad¼a scurt¼a de timp, sau în cazulunei ploi foarte scurte de var¼a. Independenta num¼arului de pic¼aturicare cad în locuri diferite pe suprafete egale este natural¼a. Teoremadinainte ne conduce la acceptarea modelului dat de o m¼asur¼a aleatoarePoisson cu intensitatea m¼asura Lebesgue multiplicat¼a de o constant¼ace corespunde amploarei fenomenului. �Emisia de particule radioactive.În cazul emisiunii de particule, fenomen care este modelat ca o

împr¼astiere aleatoare de puncte pe axa timpului, ilustr¼am buna mod-elare cu cifrele din urm¼atorul tabel care contine datele consemnate deRutherford si Geiger.

k nr: observatii nr: teoretic0 57 541 203 2112 383 4073 525 5264 532 5085 408 3946 273 2547 139 1408 45 689 27 2910 10 11� 11 6 6

Cei doi �zicieni au m¼asurat num¼arul de particule � emise pe minut deo surs¼a de polonium. Anume au f¼acut m¼asur¼atori pentru un num¼ar de2608 minute. În prima coloan¼a sunt trecute cele 12 tipuri de rezultateconsemnate pentru �ecare din cele 2608 minute: 0 particule emise,


1 particul¼a, 2 particule, ... În coloana a doua este trecut num¼arul deminute pentru care a fost consemnat tipul de rezultat din coloana întâi.Num¼arul total de particule emise a fost

203 + 2� 383 + 3� 525 + 4� 532 + 5� 408 + 6� 273 + 7� 139++8� 45 + 9� 27 + 10� 10 + 11� 6 = 10:092

Media num¼arului de particule emise pe minut rezult¼a � = 10:0922608

= 3; 86:Valorile repartitiei Poisson cu media 3; 86 multiplicate cu num¼arul deminute m¼asurate, 2608; sunt trecute pe coloana a treia. Se observ¼a ofoarte mare apropiere între rezultatele din coloanele doi si trei. �Rata de defectare.O leg¼atur¼a interesant¼a exist¼a între notiunea de rat¼a de defectare

care apare în �abilitate, sau rata de deces din actuariat, si m¼asuraaleatoare Poisson. Fie � : [0;1) ! R+ o functie continu¼a. Not¼am� m¼asura ce are � drept densitate: � (dx) = � (x) dx. Fie P m¼asuraaleatoare Poisson pe (R+;B (R+)) cu intensitatea �. De�nim apoi Tca pozitia primului punct (sau momentul primului punct, dac¼a privimR+ ca reprezentând timpul) :

T (F ) = inf F = inf�t � 0 j X[0;t] (F ) > 0

; F 2 ;

T : ! [0;1] ;cu conventia T (;) = 1. Atunci � este rata de defectare corespunz¼a-toare lui T:De fapt, în enuntul de mai sus este su�cient s¼a presupunem c¼a � este

o functie m¼asurabil¼a si local integrabil¼a, adic¼axR0

� (t) dt < 1, pentru

orice x > 0. Pentru a evita discutii delicate de analiz¼a, presupunem �o functie continu¼a.Fiind o variabil¼a aleatoare pozitiv¼a, putem interpreta T ca un timp

de functionare. Din relatia

fT > tg =�X[0;t] = 0

;

rezult¼a P (T > t) = e�([0;t]). Prin derivare obtinem densitatea de repar-titie

d

dtP (T > t) = �� (t) e

�tR0

�(s)ds:

Deci � are interpretarea ratei de defectare asociate lui T:În cazul particular în care � este o constant¼a, rezult¼a c¼a repartitia

primului punct, sau repartitia lui T este exponential¼a de parametru�:�

10. Exercitii

Exercitiul 5.1. Un motor de un anumit tip este utilizat atât pentruavioane bimotoare cât si pentru cvadrimotoare. Presupunem c¼a proba-bilitatea ca un astfel de motor s¼a se defecteze dup¼a o anumit¼a perioad¼a

10. EXERCITII 137

de functionare este d: Pe de alt¼a parte, normele de sigurant¼a oblig¼aun bimotor care are defect unul din motoare s¼a întrerup¼a zborul. Pen-tru un cvadrimotor regula este ca dac¼a are mai putin de 3 motoare înfunctiune s¼a întrerup¼a c¼al¼atoria. S¼a se determine probabilit¼atile: 1) caun bimotor s¼a functioneze respectiva perioad¼a f¼ar¼a probleme, 2) ca uncvadrimotor s¼a functioneze aceeasi perioad¼a cu succes. 3) Pentru cevalori ale lui d este mai avantajos un bimotor?

Exercitiul 5.2. O cl¼adire este prev¼azut¼a cu dou¼a lifturi. Probabi-litatea ca un lift s¼a se defecteze într-o zi este de 0; 01: S¼a se determinerepartitia num¼arului de zile pe an în care este defect primul lift. S¼a sedetermine repartitia num¼arului de zile pe an în care sunt defecte am-bele lifturi, presupunând c¼a acestea se defecteaz¼a independent unul decel¼alalt. S¼a se determine repartitia num¼arului de zile pe an în care celputin unul din lifturi este defect.

Exercitiul 5.3. Un automat telefonic poate s¼a r¼aspund¼a la 90%din apeluri. Se fac 10 apeluri la rând la acest automat. S¼a se calculezecu o precizie de 10�4 probabilitatea de a � reusit contactarea de: 1)exact 10 ori, 2) exact 5 ori, 3) cel putin o dat¼a.

Exercitiul 5.4. Se constat¼a c¼a o persoan¼a care scrie în stare deoboseal¼a poate s¼a deformeze aproximativ 20% din litere. Expertii grafologianalizeaz¼a un text în care, din 140 de litere, 42 sunt deformate. Pentrua examina ipoteza unei prefaceri intentionate a scrisului se calculeaz¼aprobabilitatea ca, în ipoteza st¼arii de oboseal¼a, s¼a se ajung¼a la un num¼arde litere deformate mai mare sau egal cu 42: S¼a se a�e aceast¼a proba-bilitate.

Exercitiul 5.5. O familie îsi plani�c¼a copii pe care ar dori s¼a-iaib¼a si analizeaz¼a urm¼atoarele scheme:(a) las¼a s¼a se nasc¼a orice copil pân¼a ce apare o fat¼a si atunci se

opreste.(b) las¼a s¼a se nasc¼a orice copil pân¼a ce vor avea cel putin doi copii

de sexe diferite si atunci se opreste.Presupunând c¼a nu exist¼a nasteri de gemeni si c¼a nou -n¼ascutul

are sanse egale de a � b¼aiat sau fat¼a, s¼a se determine media familieiîn �ecare caz.

Exercitiul 5.6. * Matematicianul Stefan Banach avea dou¼a cutiide chibrite, �ecare cu câte 50 de bete, în acelasi buzunar. De câte oria avut nevoie, el a scos câte o cutie la întâmplare si a utilizat un b¼atde chibrit. La un moment dat cutia pe care o scoate din buzunar areun singur b¼at si dup¼a utilizare este terminat¼a. S¼a se construiasc¼a unmodel probabilist cu o variabil¼a aleatoare care s¼a modeleze num¼arul dechibrite ce se pot a�a în ceal¼alalt¼a cutie în momentul în care este golit¼aprima cutie. S¼a se determine repartitia acestei variabile. Care estenum¼arul mediu de chibrite ce r¼amân în cea de a doua cutie?


Exercitiul 5.7. * O persoan¼a hot¼areste s¼a arunce cu banul pân¼ace obtine cel putin dou¼a rezultate cu �ecare fat¼a a monedei. Care estenum¼arul mediu de arunc¼ari pe care ar trebui s¼a le execute persoanarespectiv¼a?

Exercitiul 5.8. Care este probabilitatea ca la o extragere loto �6din 49"; la care s-au vândut 2:000:000 bilete, s¼a se obtin¼a rezultatele:a) nu a iesit nici un bilet câstig¼ator, b) a iesit un bilet câstig¼ator, c) auiesit dou¼a bilete câstig¼atoare, d) au iesit trei bilete câstig¼atoare. Careeste probabilitatea ca s¼a nu ias¼a câstig¼ator nici un bilet trei extragerila rând, la care s-au vândut respectiv 2:000:000; 1:500:000 si 2:500:000bilete?

Exercitiul 5.9. Un tipograf face în medie o greseal¼a la 5000 desemne puse în pagin¼a. El realizeaz¼a pagini de câte 43 de linii, �ecarecontinând câte 70 de semne. Calculati probabilitatea ca pe o pagin¼adat¼a: 1) s¼a �e exact dou¼a erori, 2) s¼a �e cel mult dou¼a erori.

Exercitiul 5.10. În procesul de fabricatie al unui obiect apar pro-duse defecte cu probabilitatea de 0; 01: Care este probabilitatea de a g¼asidou¼a sau mai multe produse defecte la testarea a 200 de obiecte?

Exercitiul 5.11. Fie X; Y variabile aleatoare repartizate Poissoncu mediile �; respectiv �: S¼a se calculeze P (X = k=X + Y = n) si s¼ase arate c¼a X este repartizat¼a binomial sub P (�=X + Y = n) :

Exercitiul 5.12. Se stie c¼a apelurile la o central¼a telefonic¼a sosescaleator, aproximativ uniform în intervalul de 12 ore al unei zile. Într-oanumit¼a zi au sosit 180 de apeluri. Care este probabilitatea ca �xândun interval de 4 ore s¼a constat¼am c¼a în el s-au petrecut între 50 si 70de apeluri.[Se va constata c¼a exist¼a dou¼a modele plauzibile: 1) Consider¼am

�ecare din cele 180 de apeluri modelate de câte o variabil¼a aleatoarerepartizat¼a Bernoulli cu p = 1

3

�= 4

12

�: 2) Consider¼am modelul unei

m¼asuri aleatoare Poisson pe intervalul I = [0; 12] ; cu intensitatea aLunde am notat cu L m¼asura Lebesgue pe dreapt¼a. Not¼am cu J inter-valul de lungime 4 care reprezint¼a perioada în care suntem interesatisi punem J 0 = InJ: Variabilele XJ si XJ 0 sunt independente si repar-tizate Poisson cu parametrii 4a; respectiv 8a: Calculând repartitia luiXJ ; conditionat¼a de XJ + XJ 0 = 180 se ajunge la acelasi rezultat caprin metoda 1).]

Exercitiul 5.13. Un vas contine ap¼a în care se a�¼a bacterii. S-aestimat c¼a num¼arul de bacterii este atât de mare încât, dac¼a ar � uni-form repartizate, la �ecare pic¼atur¼a de ap¼a ar reveni 2 bacterii. Pre-supunând c¼a se spal¼a vasele cu aceast¼a ap¼a si dup¼a sp¼alare r¼amâne câteo pic¼atur¼a de ap¼a pe pe �ecare farfurie, dup¼a câteva zile �ecare bacteried¼a nastere la o colonie. Care este probabilitatea de a avea 3 sau maimulte colonii pe o farfurie?

10. EXERCITII 139

Exercitiul 5.14. Microbii sunt împr¼astiati aleator pe o lamel¼a delaborator cu densitatea de 5:000=cm2: Câmpul vizibil prin microscopeste de 10�4 cm2: Care este probabilitatea ca în câmpul vizibil s¼a sea�e cel putin un microb?

CAPITOLUL 6

Variabile aleatoare si repartitii continue

1. Generalit¼ati

Pân¼a acum am avut de a face în special cu spatii probabilizatediscrete, în sensul c¼a � -algebrele au fost generate de o partitie celmult num¼arabil¼a. În acest moment suntem obligati s¼a discut¼am desprerepartitia normal¼a, o repartitie care îsi face aparitia implicit prin teo-rema de Moivre -Laplace, care va interveni explicit în teorema limit¼acentral¼a si care care ne scoate din cadrul discret studiat în capitolele an-terioare. Scopul acestui capitol este de a prezenta un num¼ar minim defapte absolut necesare pentru a clari�ca notiunea de repartitie în cazulnediscret. Evit¼am îns¼a problemele mai complexe de teoria m¼asurii.

Vom presupune în continuare c¼a este dat un spatiu probabilizat(;F ; P ) : Vom numi variabil¼a aleatoare cu valori în E orice aplicatieX : ! E; cu valori într-un spatiu m¼asurabil (E; E) ; care are pro-prietatea c¼a X�1 (A) 2 F ; pentru orice A 2 E : Termenul din teoriam¼asurii, utilizat pentru aceeasi notiune, este de aplicatie m¼asurabil¼ade la F la E : Când se omite atributul �cu valori în E�se subîntelegec¼a E = R; iar E = B (R) este � -algebra multimlor boreliene pe R:

Dac¼a X : ! E este o aplicatie arbitrar¼a, se noteaz¼a � (X) =fX�1 (A) =A 2 Eg familia preimaginilor întoarse de aplicatie. Se ver-i�c¼a f¼ar¼a probleme, ca si în cazul discret, c¼a aceast¼a familie este o �-algebr¼a si ea poart¼a denumirea de � -algebra generat¼a de X: Faptul dea � variabil¼a aleatoare revine deci la veri�carea incluziunii � (X) � F :Independenta unor variabile aleatoare X1; :::; Xn este de�nit¼a prin in-dependenta � -algebrelor � (X1) ; :::; � (Xn) :Fiind dat¼a o variabil¼a aleatoare X : ! E cu valori în spatiul

m¼asurabil (E; E), se noteaz¼a cu PX si se numeste repartitia lui X; la felca în cazul discret, m¼asura de probabilitate de�nit¼a pe E prin formula

PX (A) = P�X�1 (A)

�; A 2 E :

Deci repartitia lui X este m¼asura obtinut¼a transportând P prin apli-catia X: Faptul c¼a aceasta este o m¼asur¼a de probabilitate se veri�c¼a di-rect. De exemplu, proprietatea de � -aditivitate se veri�c¼a astfel: dac¼aA1; A2; ::: sunt multimi disjuncte din E ; atunci X�1 (A1) ; X

�1 (A2) ; :::

140

1. GENERALIT¼ATI 141

sunt multimi disjuncte din F si are loc relatia

X�1

1[n=1

An

!=

1[n=1

X�1 (An) ;

care implic¼a

PX

1[n=1

An

!= P

X�1

1[n=1

An

!!= P

1[n=1

X�1 (An)

!=

1Xn=1

P�X�1 (An)

�=

1Xn=1

PX (An) : �

Observ¼am c¼a orice m¼asur¼a de probabilitate pe un spatiu m¼asura-bil (E; E) poate � privit¼a ca repartitia unei variabile aleatoare. Într-adev¼ar, dac¼a � este o m¼asur¼a de probabilitate pe (E; E) ; atunci (E; E ; �)este un spatiu probabilizat. Aplicatia identitate X (x) = x de la(E; E ; �) la (E; E) poate �considerat¼a ca o variabil¼a aleatoare cu valoriîn E. M¼asura transportat¼a prin aplicatia identitate este neschimbat¼a,deci � (A) = � (X�1 (A)), pentru orice A 2 E , ceea ce înseamn¼a c¼arepartitia lui X este � (adic¼a PX = �). Acesta este motivul pentrucare orice m¼asur¼a de probabilitate mai este numit¼a repartitie.

1.1. Repartitii ce admit densitate*. În acest capitol vom ex-amina o serie de repartitii care nu mai sunt suportate de puncte, cicare pun m¼asura zero pe orice punct, ba chiar vor asocia o m¼asur¼anul¼a pentru orice multime cel mult num¼arabil¼a. Aceste repartitii senumesc continue. De fapt, repartitiile ce ne intereseaz¼a vor � obtinutedin m¼asura Lebesgue pe dreapt¼a prin introducerea unei densit¼ati. Con-cret, s¼a consider¼am un interval (a; b) � R ,�nit sau in�nit, si o functie� : (a; b)! R+ continu¼a pe portiuni si cu integrala unu:Z b

a

� (x) dx = 1:

(Faptul c¼a functia � este continu¼a pe portiuni înseamn¼a c¼a exist¼a opartitie a = t0 < t1 < ::: < tn = b; astfel încât � s¼a �e continu¼a pe�ecare interval deschis (ti�1; ti) ; i = 1; :::; n:) Atunci putem de�ni om¼asur¼a � punând, pentru orice interval [x1; x2] � (a; b) ;

� ([x1; x2]) =

Z x2

x1

� (x) dx:

Este clar c¼a o astfel de m¼asur¼a nu va înc¼arca punctele, iar pentruintervale deschise sau semideschise vom avea aceeasi expresie

� ((x1; x2)) = � ((x1; x2]) = � ([x1; x2)) = � ([x1; x2]) =

Z x2

x1

� (x) dx:

142 6. VARIABILE ALEATOARE SI REPARTITII CONTINUE

Dac¼a avem o multime A care se scrie ca o reuniune de intervale, saumai general pentru orice A 2 B ((a; b)) ; de�nim

� (A) =

ZA

� (x) dx:

În acest fel obtinem aplicatia � : B ((a; b))! [0; 1] ; care se dovedeste a� � -aditiv¼a, deci o m¼asur¼a de probabilitate. Nu facem demonstratia,care rezult¼a cu argumente standard de teoria m¼asurii. Se utilizeaz¼anotatia � = � (x) dx pentru acest¼a m¼asur¼a.Un calcul de repartitie.S¼a presupunem c¼a privim tripletul ((a; b) ;B ((a; b)) ; �) de mai sus

ca spatiu probabilizat. S¼a presupunem c¼a avem o bijectie h : (a; b) !(c; d) ; cu imaginea un alt interval si astfel încât h 2 C1 (a; b) si jh0j >0 : Vom privi h ca variabil¼a aleatoare cu valori în R si dorim s¼a-idetermin¼am repartitia. Mai precis, vrem s¼a ar¼at¼am c¼a repartitia lui h;pe care o not¼am cu �0; este dat¼a de densitatea r (y) = ��h�1(y)

jh0j�h�1(y) ; y 2(a; b) :Pentru simpli�care presupunem h0 > 0 si începem prin a scrie for-

mula schimb¼arii de variabil¼aZ y2

y1

f (y) dy =

Z x2

x1

f (h (x))h0 (x) dx;

unde a � x1 � x2 � b si h (xi) = yi; i = 1; 2: Deci avem h�1 ([y1; y2]) =[x1; x2] si trebuie s¼a calcul¼am

��h�1 ([y1; y2])

�= � ([x1; x2]) =

Z x2

x1

� (x) dx =

Z x2

x1

� (x)h0 (x)

h0 (x)dx =

=

Z x2

x1

�� h�1

�(h (x))

h0 (x)

(h0 � h�1) (h (x))dx =Z y2

y1

� � h�1 (y)h0 � h�1 (y)dy =

=

Z y2

y1

r (y) dy:

La penultimul semn egal am folosit formula schimb¼arii de variabil¼a.Egalitatea stabilit¼a pentru intervale se extinde prin aditivitate la re-uniuni de intervale si cu un argument de clas¼a monoton¼a se obtine,pentru orice A 2 B ((c; d)) ;

((�)) �0 (A) = ��h�1 (A)

�=

ZA

r (y) dy:

Aceasta este relatia dorit¼a.�S¼a presupunem acum c¼a repartitia cu densitate � = � (x) dx este

repartitia unei variabileX de�nite pe un alt spatiu probabilizat (;F ; P ) ;adic¼a PX = � = � (x) dx: Atunci Y = h (X) este o alt¼a variabil¼aaleatoare si repartitia ei este �0; dup¼a cum se veri�c¼a usor:

P�Y �1 (A)

�= P

�X�1 �h�1 (A)�� = � �h�1 (A)� = �0 (A) :


Translatia.Cazul în care h este o translatie, adic¼a h (x) = � + x; cu � 2 R

un num¼ar �x, corespunde unei translatii a m¼asurii �: Intervalul (a; b)este translatat în (a+ �; b+ �) ; iar densitatea � este si ea translatat¼ar (x) = � (x� �) : Gra�cul lui r este punctual translatat cu �:

Red¼ammai jos gra�cul functiei � (x) = 112x3� 1

8x2+ 1

24x+ 1

3si gra�cul

translatat cu � = 1; care corespunde functiei � (x� 1) = 112x3 � 3

8x2 +

1324x+ 1

12

1 0 1 2

0.5

x

y

0 1 2 30.0

0.5

x

y

Cazul unei variabile aleatoare adunate cu o constant¼a. Dac¼aavem o variabil¼a aleatoareX; de�nit¼a pe un spatiu probabilizat (;F ; P ) ;a c¼arui repartitie este PX = � = � (x) dx; atunci Y = h (X) = X + �este o variabil¼a cu repartitia translatat¼a.

Omotetia.S¼a presupunem acum c¼a h este o omotetie, adic¼a are o expresie

de tipul h (x) = �x; unde � > 0 este un num¼ar �x. În aceast¼a situatieintervalul (a; b) este transportat peste intervalul (a�; b�) ; iar densitateadevine r (x) = 1

��x�

�: Când � > 1; aceast¼a transformare revine la

întinderea gra�cului în lung si, în acelasi timp, turtirea sa. Când � < 1;gra�cul se strânge în lungime si se înalt¼a.În desenul de mai jos avem transformarea gra�cului lui � dup¼a o

omotetie cu � = 2: Mai concret este gra�cul functiei 12��x2

�= 1

192x3 �

164x2 + 1

96x+ 1

6:

Cazul unei variabile aleatoare înmultite cu o constant¼a.Dac¼a X este o variabil¼a aleatoare de�nit¼a pe un spatiu probabilizat(;F ; P ) care are repartitia PX = � = � (x) dx; atunci Y = �Xare drept repartitie m¼asura transportat¼a prin omotetie. Adic¼a PY =1��x�

�dx:


2 1 0 1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

x

y

Produsul de m¼asuri cu densitate si independenta variabilelor.S¼a presupunem c¼a pe �ecare din intervalele (ai; bi) ; i = 1; :::; n;

avem câte o m¼asur¼a de probabilitate �i : B ((ai; bi)) ! [0; 1] ; i =1; :::; n: Se demonstreaz¼a în teoria m¼asurii c¼a atunci exist¼a o singur¼am¼asur¼a de probabilitate pe spatiul produs (a1; b1)� :::� (an; bn) ; s¼a onot¼am � : B ((a1; b1)� :::� (an; bn))! [0; 1] ; care are proprietatea c¼a

� ([x1; y1]� :::� [xn; yn]) = �1 ([x1; y1]) :::�1 ([xn; yn]) ;

pentru orice produs de intervale [xi; yi] � (ai; bi) ; i = 1; :::; n: Aceast¼am¼asur¼a se numeste produsul m¼asurilor �1; :::; �n si se noteaz¼a � =�1N:::N�n: În cazul în care m¼asurile initiale au densit¼ati, �i =

�i (x) dx; i = 1; :::; n; se dovedeste c¼a m¼asura produs are si ea densitatesi anume aceasta este � (x1; :::; xn) = �1 (x1) :::�n (xn) : Cu alte cuvintem¼asura produs se exprim¼a printr-o integral¼a multipl¼a sub forma

� (A) =

Z:::

ZA

�1 (x1) :::�n (xn) dx1:::dxn;

pentru orice A 2 B ((a1; b1)� :::� (an; bn)) :Independenta variabilelor aleatoare se caracterizeaz¼a prin repar-

titii la fel ca în cazul discret. Fie X1; :::; Xn; variabile aleatoare realepe spatiul probabiliozat (;F ; P ) ; ale c¼aror repartiti admit densit¼ati:PXi = �i (x) dx; i = 1; :::; n: Not¼am cu Z = (X1; :::; Xn) : ! Rn; vari-abila aleatoare vectorial¼a de componente X1; :::; Xn: Se demonstreaz¼ac¼a are loc egalitatea de � -algebre

� (Z) = � (� (X1) ; :::; � (Xn)) ;

iar independenta variabilelor X1; :::; Xn este echivalent¼a cu egalitatea

PZ = �1 (x1) :::�n (xn) dx1:::dxn:


1.2. Exemple de repartitii cu densitate*. Repartitia uni-form¼a.

Fie [0; a] � R un interval m¼arginit, pe care-l vedem ca spatiu m¼a-surabil echipat cu � -algebra multimilor boreliene B ([0; a]) : De�nim om¼asur¼a de probabilitate pe acest interval, pe care o not¼am Ua; punând

Ua (A) =1

a

ZA

dx;

pentru orice multime A 2 B ([0; a]) : Aceast¼a m¼asur¼a este numit¼a repar-titia uniform¼a pe [0; a] : Putem scrie prescurtat Ua = 1

a1[0;a] (x) dx:

Repartitia exponential¼a.Fie � > 0: Pe spatiul m¼asurabil ((0;1) ;B ((0;1))) se de�neste

m¼asura de probabilitate E� prin

E� (A) = �ZA

e��xdx;

pentru orice multime A 2 B ((0;1)) : Aceast¼a m¼asur¼a este numit¼arepartitia exponential¼a de parametru �: Prescurtat putem scrie E� =�1(0;1) (x) dx:Exemplu de constructie de variabil¼a repartizat¼a exponential.

Fie = (0; 1) ;F = B ((0; 1)) si s¼a not¼am cu P m¼asura Lebesgue pe(0; 1) : Deci (;F ; P ) este un spatiu probabilizat. De�nim X : !(0;1) ; prin X (x) = � 1

�lnx: A�rm¼am c¼a atunci X este o variabil¼a

aleatoare repartizat¼a exponential cu parametrul �:Pentru a veri�ca acest fapt este su�cient s¼a aplic¼am formula (*)

din sectiunea anterioar¼a. Lu¼am h = X si avem h�1 (y) = e��y sijh0 (x)j = 1

�x: Pe de alt¼a parte, în cazul de fat¼a avem � � 1 si atunci

r (y) = �e��y si de aceea putem scrie

P�X�1 (A)

�=

ZA

�e��ydy = E� (A) :

1.3. Paradoxul lui Bertrand*. Problema propus¼a de Bertrandse enunt¼a astfel. Intr-un cerc dat se duce la întâmplare o coard¼a. S¼a sea�e probabilitatea ca acea coard¼a s¼a aib¼a lungimea mai mare ca laturatriunghiului echilateral înscris. Paradoxul provine din lipsa de preciziea termenului �se duce la întâmplare�. Exist¼a mai multe feluri de aduce la întâmplare corzi pe un cerc si rezultatele sunt diferite pentrudiversele procedee.Vom descrie în continuare trei experimente probabiliste care r¼aspund

la aceast¼a problem¼a producând �ecare alt rezultat. Primele dou¼a sebazeaz¼a pe corespondenta bijectiv¼a care exist¼a între corzile unui cercsi punctele din cerc, corespondent¼a realizat¼a asociind �ec¼arei corzi mi-jlocul s¼au.

1. Presupunem c¼a un cerc mare este desenat în curte pe p¼amânt.Dup¼a o scurt¼a ploaie de var¼a r¼amân marcate în interiorul cercului unnum¼ar mare de puncte de impact ale pic¼aturilor de ploaie. Fiecare din


aceste puncte determin¼a o coard¼a cu mijlocul în punct. Dac¼a se face onum¼ar¼atoare, se constat¼a c¼a proportia de corzi mai lungi decât laturatriunghiului înscris este de 1

4:

2. Vom descrie acum un alt procedeu aleator de constructie acorzilor în cerc, utilizând o roat¼a de rulet¼a cu care producem directiialeatoare si un pachet de sireturi de diverse lungimi care ne d¼a dis-tante aleatoare m¼asurate în centimetri, repartizate uniform pe inter-valul [0; 50] :Presupunem c¼a un cerc cu raza 50 cm este desenat pe o plans¼a.

Asez¼am roata de rulet¼a în interiorul cercului, concentric si îi imprim¼amo miscare de rotatie, dup¼a care marc¼am directia la care s-a oprit. Ex-tragem la întâmplare un siret din pachet si, pe directia respectiv¼a, mar-c¼am distanta de la centrul cercului dat¼a de lungimea siretului. Punctulastfel marcat va � centrul unei coarde în cerc. Proportia de corzi,obtinute în acest fel, care vor � mai lungi decât latura triunghiuluiînscris în cerc se constat¼a a � apropiat¼a de valoarea 1

2:

3. Un alt procedeu de a construi corzi aleatoare în cerc este bazatpe generarea �ec¼arui cap¼at al corzii cu o roat¼a de rulet¼a. Cercul estedesenat pe o plans¼a si se pune ruleta concentric, în interiorul cercu-lui. Se roteste ruleta, iar la oprire se marcheaz¼a pe cerc punctul dindirectia indicatorului rotii de rulet¼a. Acesta este un cap¼at de coard¼a.Se repet¼a aceast¼a operatie pentru a obtine si cel de al doilea cap¼at alcorzii. Proportia de corzi cu lungimea mai mare decât latura triunghiluiechilateral înscris se constat¼a a � apropiat¼a de valoarea 1

3:

Modelare matematic¼a.Vom modela acum cele trei experimente probabiliste.1. Pentru primul experiment se impune modelul urm¼ator: este

discul m¼arginit de cercul dat; F = B () este familia multimilor bore-liene din ; iar P (A) = ariaA

aria, pentru orice regiune A 2 F : Fiecare

coard¼a este identi�cat¼a cu mijlocul s¼au, care este un punct din : Dac¼ar este latura cercului, se stie c¼a latura triunghiului echilateral înscrisîn cerc este la distanta r=2 de centrul cercului de raz¼a r: (In �gura 1MNQ este triunghiul echilateral înscris în cerc. Punctul O este centrulcercului iar OE este perpendicular¼a pe MQ. Se stie c¼a OE = EF:)

Rezult¼a c¼a dac¼a alegem un punct G din interiorul cercului de raz¼ar2, concentric cu cel initial, si ducem raza ce trece prin G iar apoi ducemprinG o perpendicular¼a pe raz¼a, aceasta va determina o coard¼a a cercu-lui initial de lungime mai mare decât latura triunghiului lateral înscris.Pentru punctele din afara cercului de raz¼a r

2, acelasi procedeu con-

duce la corzi de lungime mai mic¼a decât latura triunghiului echilateralînscris.Fie 0 multimea punctelor din cercul de raz¼a r

2si concentric cu

. Aceasta este multimea a c¼arei probabilitate trebuie s¼a o calcul¼am.Avem


Figura 1. Experimentul 1.

P (0) =j0jjj =

��r2

�2�r2

=1

4;

valoare care este în concordant¼a cu rezultatul experimental. �2. Pentru a construi modelul pentru cel de al doilea experiment se

porneste de la faptul c¼a experimentul are dou¼a componente aleatoareindependente: alegerea directiei prin rotirea roatei de rulet¼a si alegereadistantei punctului fat¼a de centru prin extragerea unui siret din pachet.Directia corzilor, cât si a perpendicularelor pe acestea, este repartizat¼auniform în jurul centrului de cerc. La fel, distanta de la centrul cerculuila coard¼a este si ea repartizat¼a uniform pe intervalul (0; 50) :În �gura 2, al¼aturat¼a, am luat un sistem cartezian cu centrul în O.

O coard¼a în cerc este unic determinat¼a de unghiul � 2 [0; 2�) pe careîl face segmentul ce uneste O de mijlocul corzii G;cu directia Ox si dedistanta l 2 (0; 50) dintre G si O:

Atunci se impune ca model dreptunghiul = [0; 2�) � (0; 50) cuF multimea p¼artilor boreliene din : Cele dou¼a proiectii pe compo-nentele lui ; X1 : ! [0; 2�) ; X2 : ! (0; 50) ; de�nite prinX1 (�; l) = �;X2 (�; l) = l; dorim s¼a �e independente si uniform re-partizate. Pe intervalele [0; 2�) si (0; 50) avem m¼asurile uniforme U2�si U50: Rezult¼a c¼a m¼asura de probabilitate pe o de�nim prin pro-dusul P = U2�

NU50: La fel ca în cazul produselor de m¼asuri discrete,

aceast¼a m¼asur¼a asigur¼a independenta celor dou¼a proiectii, si faptul c¼arepartitiile lor sunt U2�; respectiv, U50: Multimea 0 = [0; 2�)� [0; 25]corespunde punctelor G care sunt mijloace ale corzilor de lungime maimare ca latura triunghiului echilateral înscris. Probabilitatea acestei



multimi este

P (0) =2�

2�� 2550=1

2;

care este în concordant¼a cu rezultatul experimental. �3. De data aceasta privim capetele P1; P2 ale corzii. Fiecare punct

de pe cerc este determinat de unghiul pe care-l face raza ce trece prin elcu directia Ox; m¼asurat în sensul trigonometric, astfel c¼a pentru modelputem lua = [0; 2�) � [0; 2�): Coarda arbitrar¼a de capete P1; P2 pecerc este reprezentat¼a de o pereche (�1; �2) 2 [0; 2�)� [0; 2�); unde �1este unghiul pe care-l face OP1 cu Ox; si �2 unghiul dintre OP2 si Ox:Lu¼am F = B () si probabilitatea pe o de�nim ca produsul P =U2�

NU2�; ceea ce asigur¼a independenta pozitiilor lui P1 si P2 cât si

faptul c¼a sunt repartizate uniform. Multimea corzilor ce ne intereseaz¼aeste descris¼a de perechile de puncte (P1; P2) pe cerc cu proprietatea c¼aunghiul dintre OP1 si OP2; m¼asurat pe partea cea mai scurt¼a, este maimare decât 2�

3: Dac¼a (�1; �2) reprezint¼a o astfel de coard¼a si presupunem

c¼a �1 2�0; 2�

3

�; atunci putem exprima conditia aceasta privind unghiul

prin

�2 2��1 +

2�

3; �1 +

4�

3

�:

În cazul în care �1 2�2�3; 4�3

�; conditia devine

�2 2�0; �1 �

2�

3

�[��1 +

2�

3; 2�

�:

În cazul în care �1 2�4�3; 2��; trebuie s¼a �e satisf¼acut¼a relatia

�2 2��1 �

4�

3; �1 �

2�

3

�:



Putem atunci scrie multimea care ne intereseaz¼a sub forma

0 = 1 [ 2 [ 3;

cu multimile din dreapta de�nite prin

1 =

�(�1; �2) 2 =�1 2

�0;2�

3

�; �2 2

��1 +

2�

3; �1 +

4�

3

��;

2 =

�(�1; �2) 2 =�1 2

�2�

3;4�

3

�; �2 2

�0; �1 �

2�

3

�[��1 +

2�

3; 2�

��;

3 =

�(�1; �2) 2 =�1 2

�4�

3; 0

�; �2 2

��1 �

4�

3; �1 �

2�

3

��:

Probabilitatea ce ne intereseaz¼a este P (0) = P (1)+P (2)+P (3) :Pentru a calcula P (1) vom aplica formula lui Fubini:

P (1) =1

2�

Z 2�3

0

U2� (1;�1) d�1;

unde am notat 1;�1 = f�2 2 [0; 2�)= (�1; �2) 2 0g ; sectiunea prin �1a lui 1: Din expresia lui 1 se vede c¼a 0;�1 =

��1 +

2�3; �1 +

4�3

�; ceea

ce implic¼a U2� (0;�1) = 13si atunci P (1) =

�13

�2:

Un calcul similar conduce la P (2) = P (3) =�13

�2; astfel c¼a

obtinem P (0) =13: Din nou avem un rezultat ce corespunde valorii

obtinute experimental. �


2. Medie si dispersie*

În continuare vom presupune c¼a (;F ; P ) este un spatiu proba-bilizat �xat si vom discuta despre extensia notiunii de medie pe caream de�nit-o pentru variabile cu valori într-o multime cel mult num¼ara-bil¼a. Pentru aceasta este util s¼a facem aproximarea variabilelor realegenerale cu un sir de variabile care iau valori într-o multime cel multnum¼arabil¼a. Dac¼a X este o variabil¼a aleatoare real¼a astfel c¼a X � 0;se de�neste sirul (Xn)n2N� în felul urm¼ator:

Xn =k

n; pe

�k

n� X <

k + 1

n

�; k 2 N:

Este clar c¼a �ecare din variabilele Xn : !�kn=k 2 N

; n 2 N�

ia valori într-o multime cel mult num¼arabil¼a. O alt¼a expresie pentruaceste variabile este

Xn =1

n

1Xk=1

1f kn�Xg :

Se veri�c¼a punctual c¼a au loc inegalit¼atile X � 1n< Xn � X: Rezult¼a

c¼a limn!1Xn = X: Dac¼a consider¼am subsirul (X2l)l2N ; acesta estecresc¼ator, dup¼a cum se poate usor veri�ca.

Urm¼atoarea lem¼a va permite de�nirea mediei varibilei X:

Lema 6.1. Dac¼a EX1 <1; atunci EXn <1; pentru orice n 2 Nsi au loc inegalit¼atile

jEXn � EXmj �1

n; 8m � n:

DemonstraTie. Din inegalit¼atile X � 1n< Xn � X si X � 1

m<

Xm � X rezult¼a

jXn �Xmj �1

n; (�)

dac¼a m � n: În particular, avemXm � X1 + 1;

ceea ce implic¼a EXm � EX1+1: Cu aceasta am demonstrat a�rmatiadin enunt referitoare la �nitudinea mediilor. Pentru a demonstra ine-galit¼atile din enunt pornim cu urm¼atoarele inegalit¼ati, ce rezult¼a din(*),

Xn �1

n� Xm � Xn +

1

n:

De aici se deduce

EXn �1

n� EXm � EXn +

1

n;

care implic¼a inegalit¼atile din enunt. �Din lema anterioar¼a rezult¼a c¼a dac¼aEX1 <1; atunci sirulEXn; n 2

N este Cauchy si, prin urmare, exist¼a limn!1EXn: Prin de�nitie

2. MEDIE SI DISPERSIE* 151

punem EX = limn!1EXn si spunem c¼a acest num¼ar reprezint¼a me-dia variabilei X: Vom spune c¼a X admite medie dac¼a este îndeplinit¼aconditia EX1 <1:Pentru o variabil¼a care nu este neap¼arat nenegativ¼a vom face de-

scompunereaX = X+�X�; undeX+ = max (X; 0) siX� = max (�X; 0)reprezint¼a p¼artile pozitiv¼a, respectiv negativ¼a, ale lui X: Vom spune c¼aX admite medie dac¼a atât X+ cât si X� admit medii si în acest caznot¼am EX = EX+ � EX� si vom spune c¼a aceasta este media vari-abilei X:Aceste de�nitii sunt diferite de cele uzual utilizate în teoria m¼asurii,

dar sunt de fapt echivalente, dup¼a cum un cititor avansat se poatesingur convinge. În mod curent media este numit¼a integral¼a în teoriam¼asurii iar notatia pentru ea are versiunile urm¼atoare

EX =MX =

Z

X (!)P (d!) =

ZXdP:

Este vorba de integrala în sensul Lebesgue. Toate propriet¼atile demon-strate pentru media variabilelor cu valori cel mult num¼arabile se extindla cazul variabilelor generale. Facem mai jos o recapitulare a acestora.1. Dac¼a X este o variabil¼a ce admite medie si X � 0; atunci

EX � 0:2. Variabila X : ! E � R admite medie, dac¼a si numai dac¼a

jXj admite medie. În plus are loc inegalitatea EX � E jXj :3. Dac¼a variabila X admite medie, atunci, pentru orice a 2 R;

variabila aX admite de asemenea medie si are loc relatia E (aX) =aEX:4. Dac¼a X1; :::; Xn sunt variabile aleatoare ce admit medie, atunci

orice sum¼a de tipul a1X1 + ::: + anXn; cu a1; :::; an 2 R; admite deasemenea medie si are loc formula

E (a1X1 + :::+ anXn) = a1EX1 + :::+ anEXn:

5. Dac¼a X;Z sunt dou¼a variabile aleatoare astfel c¼a Z este inte-grabil¼a si are loc inegalitatea jXj � Z; atunci si X este integrabil¼a siEX � E jXj � EZ:6. Inegalitatea lui Schwartz r¼amâne valabil¼a ca si în cazul discret.7. Pentru variabile independente care admit medie avem E (XY ) =

(EX) (EY ) :8. Dac¼a X este o variabil¼a aleatoare real¼a, iar f : R ! R este

o functie continu¼a pe portiuni, not¼am Y = f � X si aceasta este totvariabil¼a cu valori reale. Presupunem c¼a repartitia lui X admite densi-tatea PX = � (x) dx; iar �f este integrabil¼a. În aceste conditii variabilaaleatoare Y admite medie si aceasta se calculeaz¼a dup¼a formula

EY =

Zf (x)PX (dx) =

Z� (x) f (x) dx:


Pentru variabile aleatoare care sunt de p¼atrat integrabile, adic¼aastfel încât X2 este integrabil¼a, se de�neste dispersia la fel ca pentruvariabilele cu valori discrete

D2X := E (X � EX)2 = EX2 � (EX)2 :Num¼arul DX :=

pD2X este numit deviatia standard a lui X. Vari-

abila (X � EX) care apare în de�nitia dispersiei este numit¼a versiunecentrat¼a a lui X: Tinând cont de formula anterioar¼a, pentru cazul încare repartitia lui X admite densitatea �; putem scrie

EX =

Zx� (x) dx; E

�X2�=

Zx2PX (dx) =

Zx2� (x) dx;

D2X =

Zx2� (x) dx�

�Zx� (x) dx

�2:

10. Dac¼a variabilele X1; :::; Xn sunt de p¼atrat integrabile si inde-pendente, atunci are loc formula

D2 (X1 + :::+X2) = D2X1 + :::+D

2Xn:

11. Inegalitatea lui Cebâsev r¼amâne neschimbat¼a.12. Legea numerelor mari este valabil¼a ca si pentru variabile cu

valori discrete.În încheiere s¼a not¼am regulile dup¼a care se modi�c¼a media si dis-

persia unei variabile când adun¼am o constant¼a sau când o înmultim cuo constant¼a. Calcule directe simple ne spun c¼a

E (X + �) = EX + �; D2 (X + �) = D2X;

E (�X) = �EX; D2 (�X) = �2D2X:

3. Repartitia normal¼a

Functia ' (x) = 1p2�e�

x2

2 joac¼a un rol deosebit în teoria proba-bilit¼atilor. Gra�cul acestei functii numit si clopotul lui Gauss estereprezentat în �gura 4, în partea de jos. Pentru trasarea gra�cu-lui se tine cont c¼a '0 (x) = �x' (x) si '00 (x) = (x2 � 1)' (x) : Esteo curb¼a simetric¼a fat¼a de axa Oy; cu un maxim în ' (0) = 1p

2��

0; 3989 si punctele de in�exiune în �1 si 1 : ' (1) = ' (�1) � 0; 2419:Functia este descresc¼atoare pe intervalul [0;1); iar limitele la in�nitsunt lim

x!�1' (x) = limx!1 ' (x) = 0: Ceea ce trebuie retinut, îns¼a,

este faptul c¼a are loc o convergent¼a foarte rapid¼a. Viteza mare deconvergent¼a la zero este ilustrat¼a, de exemplu, de faptul c¼a pentru nu-mere naturale are loc relatia ' (n+ 1) = ' (n) e�n�

12 � 1

n+1' (n) : Am

utilizat aici binecunoscuta inegalitate 1 + x � ex:Pe de alt¼a parte, calcule numerice arat¼a c¼a

' (�2) = ' (2) � 0; 0539; ' (�3) = ' (3) � 0; 00443;' (�4) = ' (4) � 0; 000134:

3. REPARTITIA NORMAL¼A 153

Figura 4. Jos este gra�cul lui ': Sus este gra�cul den-sit¼atii repartitiei normale cu m = 0 si � = 0; 25:

Valorile acestei functii sunt tabelate pentru c¼a functia este utilizat¼a înprobleme de statistic¼a. Din punctul de vedere al majorit¼atii aplicatiilornumerice, functia ' este considerat¼a zero pentru jxj � 4:


Valoarea integralei urm¼atoare este cunoscut¼a, �ind una din inte-gralele speciale clasice,

1Z�1

e�x2

2 dx =p2�:

Pentru completitudinea expunerii vom veri�ca aceast¼a egalitate.

Se porneste cu observatia c¼a, datorit¼a simetriei functiei avem1R�1

e�x2

2 dx =

21R0

e�x2

2 dx: Atunci vom nota I =1R0

e�x2

2 dx si vom scrie p¼atratul acestei

integrale ca o integral¼a dubl¼a,

I2 =

�1R0

e�x2

2 dx

��1R0

e�y2

2 dy

�=RRR2+e�

x2+y2

2 dxdy =R �

2

0

R10re�

r2

2 drd�

= �2

R10re�

r2

2 dr == �2lima!1

��e� r2

2

��a0

�= �

2:

La al treilea semn egal am utilizat trecerea la coordonate polare. Rezult¼aI =

p�2; ceea ce stabileste formula dorit¼a.

Relatia ce tocmai am veri�cat-o arat¼a c¼a ' este densitatea uneim¼asuri de probabilitate pe R: Mai precis, se de�neste o m¼asur¼a pe(R;B (R)) prin

N (A) =

ZA

' (x) dx;

iar relatia anterioar¼a arat¼a c¼a N (R) = 1: Aceast¼a m¼asur¼a de probabi-litate este numit¼a repartitia normal¼a standard sau repartitia gaussian¼astandard. Propriet¼atile functiei ' conduc la faptul c¼a m¼asura P esteconcentrat¼a practic pe intervalul (�4; 4) : Estim¼ari numerice arat¼a c¼aau loc relatiile aproximative urm¼atoare

1R�1' (x) dx � 0; 6826;

2R�2' (x) dx � 0; 9546;

3R�3' (x) dx � 0; 9972;

4R�4' (x) dx � 0; 9999:

Integralele functiei ' pe diverse intervale sunt utilizate în calcule sta-tistice si de aceea se de�neste functia urm¼atoare

� (x) =

xZ�1

' (y) dy; 8x 2 R;

care se numeste functia lui Laplace. Prin intermediul acestei functii

putem exprima orice integral¼a pe interval:bRa

' (x) dx = �(b)� � (a) :

Pentru a facilita calculele, functia lui Laplace este tabelat¼a de obiceicu valori ale lui x care cresc cu 0; 01 de la 0 pân¼a la 4. C¼artile destatistic¼a contin în mod curent, la sfârsit, un num¼ar de tabele care

3. REPARTITIA NORMAL¼A 155

permit efectuarea rapid¼a a anumitor calcule statistice des întâlnite înaplicatii. Tabelul cu valorile functiei Laplace este nelipsit din oricecarte de statistic¼a.Pentru valori negative ale argumentului se utilizeaz¼a simetria functiei

'; care arat¼a c¼a

� (�x) =�xZ

�1

' (y) dy =

1Zx

' (y) dy = 1� � (x) :

În afar¼a de repartitia normal¼a standard exist¼a o întreag¼a clas¼ade repartitii care se numesc tot normale si care sunt obtinute printransform¼ari a�ne din repartitia standard. Mai precis, �nd date dou¼aconstante �;m 2 R;� > 0; aplicatia h (x) = �x + m este o bijectiepe R: Se noteaz¼a cu N (m;�2) m¼asura de�nit¼a prin N (m;�2) (A) =N (h�1 (A)) ;8A 2 B (R) : Aceast¼a m¼asur¼a se poate exprima prin inte-grala

N�m;�2

�(A) =

ZB

' (x) dx;

unde am notat B = h�1 (A) : În cazul unui interval, s¼a zicem A = (a; b)si corespunz¼ator B =

�a�m�; b�m

�

�; facem schimbarea de variabil¼a x =

h (y) = y�m�si aceast¼a integral¼a devineZ b�m

�

a�m�

' (x) dx =

ZA

'

�y �m�

�dy

�=

1

�p2�

Z b

a

e�(y�m)2

2�2 dy:

Deci m¼asura N (m;�2) admite drept densitate functia

'm;� (x) =1

�p2�e�

(x�m)2

2�2 :

Cu aceast¼a notatie, m¼asura normal¼a standard devineN (0; 1) : În parteade sus a �gurii 4 este trasat gra�cul corespunz¼ator acestei functii încazul m = 0; � = 1

4: În �gura 5 sunt reprezentate gra�cele corespunz¼a-

toare cazurilor m = 0; � = 12si m = 5; � = 1

2:

RepartitiaN�0;�14

�2�; se obtine dinN prin transformarea h1 (x) =

14x; care contract¼a dreapta real¼a. Asa se explic¼a forma primului gra�cîn raport cu gra�cul functiei '; initiale. Masa m¼asurii N a fost strâns¼aîn jurul lui zero. Repartitia lui N

�5;�12

�2�se obtine din N prin trans-

formarea h (x) = 12x+5; care este contractia cu 1

2urmat¼a de o translatie

cu 5: Se mai poate spune si c¼a N�5;�12

�2�se obtine din N

�0;�12

�2�prin transformarea h2 (x) = x+ 5; care este o translatie.


Figura 5. Sus este gra�cul densit¼atii repartitiei nor-male cu m = 0 si � = 0; 5 si jos este gra�cul densit¼atiicu m = 5 si � = 0; 5:

S¼a presupunem c¼a X este o variabil¼a repartizat¼a normal standard,adic¼a PX = N : Atunci putem calcula media sa:

EX =

ZR

xPX (dx) =1p2�

1Z�1

xe�x2

2 dx:

Functia care apare sub ultima integral¼a este integrabil¼a. Pe de alt¼aparte ea este impar¼a, si de aceea integrala face zero. Deci media unei

4. EXERCITII 157

variabile repartizate normal standard este zero. Putem calcula si dis-persia variabilei X :

D2X = E (X � EX)2 = EX2 =1p2�

1Z�1

x2e�x2

2 dx =

=1p2�

1Z�1

e�x2

2 dx = 1:

S¼a consider¼am acum variabila Y = �X + m; unde �;m 2 R;� > 0:Media acestei variabile este EY = E (�X +m) = m; iar dispersia eieste D2Y = E (Y �m)2 = �2EX2 = �2: Pentru a calcula repartitia luiY not¼am h (x) = �x+m; astfel c¼a Y = h (X) ; si atunci putem scrie

PY (A) = P�X�1 �h�1 (A)�� = PX �h�1 (A)� =

= N�h�1 (A)

�= N

�m;�2

�(A) :

Putem deduce atunci c¼a repartitia lui Y este N (m;�2) :În concluzie, parametrul m reprezint¼a media, iar �2 dispersia unei

variabile repartizate N (m;�2) : De fapt, orice variabil¼a repartizat¼aN (m;�2) are media m si dispersia �2: Aceste fapte justi�c¼a denu-mirea de repartitia normal¼a de medie m si dispersie �2; care este dat¼arepartitiei N (m;�2) (sau repartitie gaussian¼a de medie m si dispersie�2):Repartitia normal¼a apare în realitatea �zic¼a frecvent. Fenomene din

astronomie, sociologie, antropologie, biologie, agricultur¼a si altele suntmodelate de repartitia normal¼a. Printre primele observatii concrete senum¼ar¼a tabelul cu m¼asura circumferintei pieptului la un num¼ar de 5738de soldati scotieni (�gura 6) remarcat de statisticianul belgian LambertAdolphe Jacques Quetelet (1796-1874).

4. Exercitii

Exercitiul 6.1. Dou¼a autobuze vin în aceeasi statie cu probabilitateuniform¼a între ora 8 si 8 : 30: Primul st¼a în statie 10 minute, iar aldoilea 5 minute. (i) Care este probabilitatea ca primul s¼a vin¼a înainteacelui de al doilea? (ii) Care este probabilitatea ca cele dou¼a autobuze s¼ase întâlneasc¼a? (iii) Care este probabilitatea ca stiind c¼a s-au întâlnit,primul s¼a plece din statie l¼asându-l pe al doilea acolo?


Figura 6. Tabelul g¼asit de Quetelet cu dimensiuneatoracelui pentru 5738 de soldati scotieni.

CAPITOLUL 7

Teorema de Moivre-Laplace

În acest capitol presupunem c¼a n 2 N� este ordinul si p 2 (0; 1)este parametrul unei repartitii binomiale. Pentru o mai bun¼a ilus-trare a fenomenelor ce le viz¼am vom mai presupune c¼a avem un spatiuprobabilizat (;F ; P ) pe care este de�nit¼a o variabil¼a aleatoare X curepartitia binomial¼a de ordin n si parametru p: Vom nota

pk := P (X = k) = Cknpkqn�k ; k = 0; 1; :::; n:

Principala problem¼a a acestui capitol va � s¼a g¼asim o bun¼a aprox-imare a acestor numere si s¼a aplic¼am rezultatul la estimarea para-metrului p prin metode statistice. Matematicienii francezi Abrahamde Moivre (1667-1754) si Pierre Simon Laplace (1749- 1827) au de-scoperit aceast¼a aproximare, primul în cazul p = 1

2; iar cel de al doilea

în cazul general.

1. Aproximarea repartitiei binomiale

Mai departe vom cerceta ordonarea dup¼a m¼arime a numerelor pk.Un interes natural îl prezint¼a maximul acestor numere. Dac¼a pk0 este unmaxim si toate celelalte numere sunt strict mai mici, atunci indicele s¼auk0 poate � cali�cat drept valoarea lui X cu cea mai mare probabilitatede realizare. Un astfel de indice, sau mai corect, o astfel de valoare alui X se numeste mod. Vom introduce notatia

m = [(n+ 1) p] ;

unde în partea dreapt¼a avem partea întreag¼a a num¼arului real (n+ 1) psi, în lema urm¼atoare, vom ar¼ata c¼a, cu unele exceptii, el reprezint¼a unmod.

Lema 7.1. Sirul p0; p1; :::; pm�1 este strict cresc¼ator, sirul pm; pm+1; :::; pneste strict descresc¼ator si pm�1 � pm. Dac¼a (n+ 1) p este întreg, atuncipm�1 = pm, în caz contrar pm�1 < pm.

DemonstraTie. Trebuie s¼a examin¼am semnul diferentei

pk+1 � pk = pkqn�k�1n!

(k + 1)! (n� k)! (pn� q � k) :

Acest semn este dat de semnul expresiei pn�q�k = p (n+ 1)�(k + 1) :Din aceast¼a ultim¼a expresie se observ¼a imediat c¼a : 10 dac¼a k + 1 <p (n+ 1) ; atunci pk < pk+1; 20 dac¼a p (n+ 1) < k + 1; atunci avempk > pk+1; 30 dac¼a p (n+ 1) = k + 1; atunci pk+1 = pk: �

159

160 7. TEOREMA DE MOIVRE-LAPLACE

Observ¼am c¼a modul m este apropiat de media np: Mai precis, dinde�nitia p¼artii întregi a unui num¼ar, rezult¼a c¼a au loc relatiile

m � (n+ 1) p < m+ 1:Prin urmare, dac¼a not¼am �n = m � np; rezult¼a c¼a �n 2 (�q; p]: Încontinuare vom presupune c¼a p este constant, dar vom face s¼a variezen tinzând la in�nit. Cantitatea �n va � mic¼a în raport cu celelaltecare intervin si la limit¼a va disp¼area.Mai departe facem o aproximare a num¼arului pm utilizând urm¼a-

toarea formul¼a ce reprezint¼a un caz particular al formulei lui Stirling:

n! =p2�n

�ne

�ne�n ;

unde �n este un factor de corectie care este în intervalul �n 2�

112n+1

; 112n

�:

(Vezi [10] sau [7].) Urm¼atoarea propozitie arat¼a c¼a probabilitatea pmeste asimptotic (când n!1) de acelasi ordin de m¼arime cu 1p

2�npq:

Propozitia 7.1. Probabilitatea modului se exprim¼a prin formula

pm =1p2�npq

n;

unde n este un factor de corectie astfel încât limn!1

n = 1.

DemonstraTie. Vom exprima cu ajutorul formulei lui Stirlingnumerele n!;m! si (n�m)! astfel c¼a expresia lui pm devine

pm =n!

m! (n�m)!pmqn�m =

=1p2�

nn

mm (n�m)n�mpnp

mpn�m

e�n��m��n�mpmqn�m =

=1p2�npq

�1p�2�3;

unde am notat �1 = e�n��m��n�m ; �2 =n2pq

m(n�m) si �3 =nnpmqn�m

mm(n�m)n�m :

Tinând cont c¼a m = np+ �n � np� 1 si n�m = nq� �n � nq� 1rezult¼a �m � 1

12(np�1) ; �n�m �1

12(nq�1) ; ceea ce asigur¼a c¼a limn!1 �m =

limn!1 �n�m = 0 si atunci limn!1 �1 = 1:Trebuie s¼a examin¼am si raportul

�2 =npnq

(np+ �n) (nq � �n);

pentru care se vede clar c¼a limita este 1; când n!1.R¼amâne s¼a mai studiem raportul

�3 =(np)m

mm

(nq)n�m

(n�m)n�m=

�1� �n

np+ �n

�np+�n �1 +

�nnq � �n

�nq��n:

1. APROXIMAREA REPARTITIEI BINOMIALE 161

Pentru a trece la limit¼a dup¼a n vom scrie ultima expresie sub forma �1� �n

np+ �n

�np+�n�n

�1 +

�nnq � �n

�nq��n�n

!�n;

Deoarece xn = �nnp+�n

si yn = �nnq��n tind ambele la 0; produsul din

expresia anterioar¼a are limita

zn = (1� xn)1xn (1 + yn)

1yn ! 1:

Cum sirul (�n) este m¼arginit, rezult¼a c¼a �3 = z�nn ! 1:Rezumând aceste considerente, putem spune c¼a factorul n = �1

p�2�3

satisface conditiile din enunt. �Pentru probabilit¼atile pk, cu indicele k nu prea dep¼artat dem; com-

portamentul asimptotic (când n!1) este apropiat de comportamen-tul cantit¼atii pme

� (k�m)22npq . Urm¼atoarea propozitie exprim¼a mai precis

acest fapt.

Propozitia 7.2. Fie �n;k num¼arul determinat de relatia

pk = pme� (k�m)2

2npq e�n;k ; k 2 f0; 1; :::; ng :Atunci, pentru orice constant¼a c > 0; are loc relatia

limn!1

supjlj�c

pn

j�n;m+lj = 0:

DemonstraTie. Pornim de la egalitatea

pk = pmm!

k!

(n�m)!(n� k)! p

k�mqm�k:

Not¼am l = k�m si, pentru a face o alegere, presupunem l > 0. Atuncivom avea

pm+l = pm(n�m� l + 1) ::: (n�m)

(m+ 1) ::: (m+ l)

pl

ql=

= pm(nq � �n � l + 1) ::: (nq � �n)(np+ �n + 1) ::: (np+ �n + l)

pl

ql=

= pm

�1� �n+l�1

nq

�:::�1� �n

nq

��1 + �n+1

np

�:::�1 + �n+l

np

� = pmAB;

unde am notat cu A si B num¼ar¼atorul si numitorul fractiei penultime.Vom aproxima mai departe produsele de la A si de la B prin aplicarealemei ... Pentru A avem

A = exp� l�1Xi=0

�n + i

nq

!exp r1;


unde factorul de corectie este estimat prin

�l�1Xi=0

��n+inq

�21� �n+i

nq

� r1 � 0:

Pentru a exprima mai bine estimarea lui r1 vom observa c¼a �n+inq

� lnq�

cpn

nq= c

qpn; dac¼a presupunem c¼a l � c

pn; asa cum apare în relatia din

enunt. Deducem astfel c¼a, pentru n mare, vom avea �n+inq

< 12; ceea ce

ne permite s¼a estim¼am numitorul din suma anterioar¼a prin 1� �n+inq

> 12

si apoi s¼a deducem

jr1j � 2l�1Xi=0

��n + i

nq

�2� 2

n2q2

l�1Xi=0

(1 + i)2 =2

n2q2l (l + 1) (2l + 1)

6�

� 2

3q

l (l + 1)2

n2� 2

3q

cpn (c

pn+ 1)

2

n2! 0

Not¼am c¼a în ultima estimare am obtinut o expresie ce nu depinde de l;deci are loc relatia

limn!1

supjlj�c

pn

jr1j = 0:

La fel se procedeaz¼a si cu expresia B :

B = explXi=1

�n + i

npexp r2:

Un calcul similar cu cel anterior conduce la

jr2j �lXi=1

��n + i

np

�2� (l + 1) (l + 2) (2l + 3)

6n2p2

si apoi lalimn!1

supjlj�c

pn

jr2j = 0:

Revenind la expresia ce ne intereseaz¼a, ea arat¼a astfel

pm+l = pm

exp�

l�1Xi=0

�n + i

nq

!(exp r1)

exp�

lXi=1

�n + i

np

!(exp�r2) :

Cele dou¼a sume de la exponent se pot pune sub forma

�l�1Xi=0

�n + i

nq�

lXi=1

�n + i

np= � l�n

npq� l (l � 1)

2nq� l (l + 1)

2np=

= � l2

2npq� l�nnpq

+l (p� q)2npq

:

1. APROXIMAREA REPARTITIEI BINOMIALE 163

Suma ultimilor doi termeni o not¼am r3 si putem face majorarea, uni-form în raport cu l;

r3 =

�� l�nnpq + l (p� q)2npq

�� cpn

npq+cpn

2npq! 0:

Revenind la termenul ce ne intereseaz¼a avem

pm+l =

�exp� l2

2npq

�exp (r1 � r2 + r3)

si expresia �n;m+l = r1 � r2 + r3 satisface relatia din enunt, conformcelor ar¼atate. Cu aceasta am încheiat demonstratia. �Cele dou¼a propriet¼ati anterioare pot � rezumate în forma rezultat-

ului clasic urm¼ator.

Teorema 7.1. ()

pk =1p2��

e�(k��)2

2�2 e�n;k ;

unde coe�cientii �n;k satisfac relatia urm¼atoare

limn!1

supjk��j�c

pn

�n;k = 0;

cu orice constant¼a c > 0; iar � = np, �2 = npq sunt media, respectivdispersia variabilei aleatoare repartizate binomial cu parametrii n; p:

DemonstraTie.* Tinând cont c¼a m = �+ �n, putem scrie

(k �m)2

2npq=(k � �)2

2npq� (k � �) �n

npq+

�2n2npq

:

Coe�cientul �n;k se exprim¼a în functie de coe�cientii introdusi în propoz-itiile anterioare astfel

�n;k = ln n + �n;k +(k � �) �nnpq

� �2n2npq

:

Conditia jk � �j � cpn implic¼a evident jk �mj � (c+ 1)

pn si deci

putem utiliza relatia din propozitia anterioar¼a. �Comparatia gra�c¼a a repartitiei binomiale cu functia ':Aproximatia dat¼a de teorema deMoivre-Laplace este ilustrat¼a gra�c

în �gurile 1,2 si 3. Sunt reprezentate histogramele unor repartitii bi-nomiale de parametrii n si p; iar prin linie sunt trasate gra�cele core-spunz¼atoare functiei 'm;�; cu m = np si � =

pnpq:

Se observ¼a c¼a în cazul n = 10 si p = 0; 5 cele dou¼a reprezent¼arisunt foarte apropiate. Gra�cul intersecteaz¼a �ecare dreptunghi al his-togramei foarte aproape de mijlocul bazei superioare. În cazul n = 10si p = 0; 1 apar diferente simtitoare între reprezent¼ari. În general, pen-tru n = 10 se observ¼a o evolutie a diferentelor pentru diverse valori ale


Figura 1. Histogramele repartitiei binomiale cu n = 10si p = 0; 5; apoi p = 0; 4 si p = 0; 3 si gra�cele densit¼atilor'�;� corespunz¼atoare, suprapuse.

lui p: De fapt, în aplicatii, diferentele de aproximare a repartitiei bino-miale prin repartitia normal¼a se fac simtite nu atât prin distanta din-tre mijloacele dreptunghiurilor histogramei si valoarea densit¼atii 'm;�corespunz¼atoare, cât prin diferenta dintre ariile dreptunghiurilor si ari-ile portiunilor corespunz¼atoare de sub gra�cul densit¼atii. Acest lucrurezult¼a din teorema limit¼a central¼a ce va �prezentat¼a în sectiunea careurmeaz¼a.

2. TEOREMA LIMIT¼A CENTRAL¼A 165

Figura 2. Histogramele repartitiei binomiale cu n = 10si p = 0; 2; apoi p = 0; 1 si gra�cele densit¼atilor '�;�corespunz¼atoare, suprapuse.

Pentru gra�cele cu n = 100; de asemenea, se observ¼a o evolutie agradului de apropiere între histograme si gra�ce. Dar de data aceasta,chiar si în cazul deosebirilor maxime, care este p = 0; 1; se observ¼ac¼a diferentele m¼asurate prin arii sunt, proportional, mai mici decât încazul n = 10 si p = 0; 1:

2. Teorema limit¼a central¼a

Teorema de Moivre-Laplace are o serie de aplicatii interesante înstatistic¼a. Modul în care se aplic¼a aceast¼a teorem¼a va � pus în lumin¼ade urm¼atoarea teorem¼a cunoscut¼a sub numele de �teorema limit¼a cen-tral¼a�. (În fapt, aici avem un caz particular al acesteia, dar semni�ca-tiv si netrivial.) Formularea acestei teoreme se face de obicei într-uncadru putin diferit fat¼a de cel anterior, în sensul c¼a nu se adreseaz¼a


Figura 3. Histogramele repartitiei binomiale cu n =100 si p = 0; 5; apoi p = 0; 3 si p = 0; 1 si gra�celedensit¼atilor '�;� corespunz¼atoare, suprapuse.

direct unui sir de repartitii binomiale ci unui sir de variabile aleatoarerepartizate binomial. Exemplul tipic care conduce la astfel de variabileeste dat de sumele partiale ale unui sir de variabile independente. Fie


(An)n2N� un sir de evenimente independente si cu aceeasi probabili-tate p = P (An) 2 (0; 1), pentru orice n 2 N�. Not¼am Xn = 1An si

Sn =nPi=1

Xn: Variabila aleatoare Sn va � repartizat¼a binomial cu para-

metrii n; p si not¼am q = 1�p: Forma sub care am prezentat teorema deMoivre-Laplace arat¼a c¼a variabilele Sn; n 2 N au un anumit compor-tament regulat când n ! 1: Dar se poate ar¼ata c¼a limn!1 Sn = 1;aproape sigur. Mai mult, legea tare a numerelor mari a�rm¼a c¼a de faptare loc relatia limit¼a limn!1

Snn= p; aproape sigur. Acest rezultat nu

intr¼a în obiectivele acestui curs.Metoda optim¼a prin care se exploateaz¼a aproximarea obtinut¼a în

teorema 7.1 const¼a în normalizarea sumelor astfelSn � nppnpq

:

Aceste variabile au toate media 0 si dispersia 1: Ele nu converg în sensulpunctual ci numai repartitiile lor converg la rapartitia normal¼a într-unanumit sens. Aici, în abordarea noastr¼a, teorema urm¼atoare trebuieprivit¼a doar ca producând o aproximare util¼a în calcule statistice, ceeace a fost si intentia initiatorilor de Moivre si Laplace.

Teorema 7.2. Dac¼a a < b sunt dou¼a numere reale, atunci are locrelatia

limn!1

P

�a <

Sn � nppnpq

< b

�=

1p2�

bZa

e�x2

2 dx:

DemonstraTie.* Ca s¼a usur¼am scrierea vom utiliza notatia � =np si � =

pnpq pentru media si respectiv, deviatia standard a lui Sn:

Mai reamintim notatia pentru valorile repartitiei binomiale

pk = P (Sn = k) = Cknpkqn�k; k = 0; :::; n:

Probabilitatea pe care vrem s¼a o estim¼am poate � scris¼a astfel:

P

�a <

Sn � ��

< b

�= P (a� < Sn � � < b�) =

Xk:a�<k��<b�

pk:

Tinând cont de teorema de Moivre -Laplace si comparând histogramarepartitiei binomiale cu gra�cul functiei

'�;� =1p2��

e�(x��)2

2�2

apare în mod natural ideea de a aproxima �ecare num¼ar pk prin inte-grala

Ik =

Z k+ 12

k� 12

'�;� (x) dx:


Pentru a estima diferenta pk � Ik vom scrie pe Ik într-o alt¼a form¼aexprimând exponentul din expresia functiei '�;� sub forma

(x� �)2

2�2=(k � �)2

2�2+(x� k)2 + 2 (x� k) (k � �)

2�2:

Rezult¼a c¼a avem

Ik =1p2��

e�(k��)2

2�2

Z k+ 12

k� 12

e�(x�k)2+2(x�k)(k��)

2�2 dx:

Tinând cont c¼a jx� kj � 12si c¼a jk � �j � c�; unde c = max (�a; b) ;

exponentul din aceast¼a ultim¼a integral¼a se majoreaz¼a astfel:��(x� k)2 + 2 (x� k) (k � �)2�2

�� 14+ c�

2�2:

Din teorema lui Lagrange rezult¼a c¼a integrala anterioar¼a poate � scris¼asub forma Z k+ 1

2

k� 12

e�(x�k)2+2(x�k)(k��)

2�2 dx = e�n;k ;

unde��n;k�� 1+4c�

8�2: În particular, avem

limn!1

supk:jk�npj<c

pn

��n;k�� limn!1

1 + 4cpnpq

8npq= 0:

Cu notatia introdus¼a la propozitia 7.2 putem scrie Ik = pke��n;k+�n;k siapoi estim¼am

jpk � Ikj = pk��1� e��n;k+�n;k�� 2pk �j�n;kj+ ��n;k�� ; (�)

utilizând inegalitatea j1� exj � 2x; valabil¼a pentru jxj � 2:Mai departe not¼am

k1 = inf fk=apnpq + np < kg ; k2 = sup fk=k < np+ b

pnpqg

astfel c¼a putem scrie

P

�a <

S � ��

< b

�=

k=k2Xk=k1

pk:

Suma din dreapta relatiei este aproximat¼a, tinând cont de relatia (*),prin ��

k=k2Xk=k1

pk �Z k2+

12

k1� 12

'�;� (x) dx

�� 2k=k2Xk=k1

pk�j�n;kj+

��n;k�� : (��)Cum

Pk=k2k=k1

pk � 1; ultima expresie se majoreaz¼a cu

2 supk1�k�k2

�j�n;kj+

��n;k�� ;iar aceast¼a cantitate tinde la zero când n tinde la in�nit.


Este momentul s¼a ne întoarcem acum la integrala ce apare la limitadin enunt si s¼a o punem sub o form¼a apropiat¼a de ceea ce am obtinutmai sus: Z b

a

' (x) dx =

Z �+b�

�+a�

'�;� (x) dx:

Pentru a modi�ca capetele intervalului de integrare al ultimei expresiitinem cont de estimarea general¼a��

Z v

u

f �Z v0

u0f

�� Z max(u;u0)

min(u;u0)

jf j+Z max(v;v0)

min(v;v0)

jf j

si de faptul c¼a��k1 � 1

2� �� a�

�� 12si��k2 + 1

2� �� b�

�� 12; astfel

c¼a obtinem��Z k2+

12

k1� 12

'�;� (x) dx�Z �+b�

�+a�

'�;� (x) dx

�� 1p2�npq

:

Concluzionând, inegalitatea (**) si cu cea de mai sus ne conduc la��P �a < Sn � ��

< b

��Z b

a

' (x) dx

�� 2 supk1�k�k2

�j�n;kj+

��n;k��+ 1p2�npq

:

Expresia din dreapta tinde la zero când n tinde la in�nit, ceea ce per-mite a se deduce relatia dorit¼a. �O form¼a frecvent¼a de aplicare a acestei teoreme este urm¼atoarea

formul¼a aproximativ¼a

P (np� 2pnpq < Sn < np+ 2pnpq) � 0; 9546;

unde s-a luat a = �2 si b = 2 si s-a utilizat valoarea cunoscut¼a pentrurepartitia normal¼a, neglijând complet eroarea de aproximare. Aceastaeste utilizat¼a în cazul unei evalu¼ari preliminare sumare dar rapide. Si-milar apare utilizat¼a formula

P (np� 3pnpq < Sn < np+ 3pnpq) � 0; 9972:

Exemplu (acumularea erorilor).La o fabric¼a de chibrituri se pun câte 50 de bete într-o cutie de

chibrituri si, cu o probabilitate de 50% se face o eroare de � un b¼at.Cutiile se ambaleaz¼a cu hârtie în pachete de câte 12 si aceste pachetese pun în pachete mari de carton, câte 12. Deci un pachet de cartoncontine 12 � 12 = 144 cutii de chibrituri. Ne intereseaz¼a care estenum¼arul de bete ce se a�¼a într-un pachet de carton.Solutie. Eroarea de umplere a cutiilor este descris¼a de o repartitie

care are masa 12în punctul 0; masa 1

4în punctul 1 si masa 1

4în punctul

�1: Observ¼am c¼a o repartitie asem¼an¼atoare are suma X + Y; dac¼avariabilele X si Y sunt independente si ambele repartizate Bernoullicu parametrul p = 1

2: Anume repartitia lui X + Y are masa 1

2în 1;

masa 14în 0 si masa 1

4în 2: Rezult¼a c¼a variabila Z = X + Y � 1 are

exact repartitia erorii de umplere a unei cutii de chibrituri.


Asadar, pentru a descrie 144 de erori de umplere independente,vom presupune c¼a pe un spatiu (;F ; P ) avem construite variabilelealeatoareX1; :::; X144; Y1; :::; Y144; independente, identic repartizate Bernoulli,cu parametrul p = 1

2: Variabila Zi = Xi + Yi � 1 descrie eroarea de

umplere la cea de a i -a cutie, pentru �ecare i = 1; :::; 144: Eroarea carese acumuleaz¼a la cele 144 de cutii este reprezentat¼a de variabila

T =144Xi=1

Zi =

144Xi=1

Xi +

144Xi=1

Yi � 144:

Repartitia variabilei U = T � 144 =144Pi=1

Xi +144Pi=1

Yi este o repartitie

binomial¼a de parametri p = 12si n = 288: Avem

pnpq =

p72 � 8; 485:

Aplic¼am aproximarea dat¼a de teorema limit¼a central¼a pentru Sn = U :

P (�16 � T � 16) = P (144� 16 � U � 144 + 16) � 0; 95;

P (�25 � T � 25) = P (144� 25 � U � 144 + 25) � 0; 99:Deci, cu o mare probabilitate, la num¼arul mediu de 144 � 50 = 7200bete într-un carton, pot � în plus sau în minus doar 16 si aproapeîntotdeauna eroarea va � sub 25: �Acuratetea aproxim¼arii date de teorema limit¼a central¼a.*În aplicatii nu este necesar¼a evaluarea �ec¼arui num¼ar pk aproximat

prin teorema de Moivre-Laplace ci este cel mai adesea nevoie de oaproximare de tipul celei date în teorema limit¼a central¼a. Aceast¼aaproximare este utilizat¼a în practic¼a chiar si pentru valori mici ale luin. Pentru ca aceasta s¼a se fac¼a cât mai bine exist¼a câteva corectii carese fac si pe care le vom prezenta, f¼ar¼a demonstratii mai jos. Pentrudou¼a numere k1 si k2 2 N astfel încât 0 � k1 < k2 � n vom nota

pk1;k2 = P (k1 � Sn � k2) = P�k1 � nppnpq

� Sn � nppnpq

� k2 � nppnpq

�:

Teorema limit¼a central¼a ne spune c¼a aceast¼a probabilitate este aproxi-mat¼a de diferenta �

�k2�nppnpq

��

�k1�nppnpq

�: Se dovedeste îns¼a c¼a num¼arul

N (k1; k2) = �

�k2 � np+ 1

2pnpq

��

�k1 � np� 1

2pnpq

�aproximeaz¼a mai bine probabilitatea pk1;k2 : Ad¼augarea fractiei

12în

aceast¼a expresie se spune c¼a introduce o corectie de continuitate pen-tru aproximarea noastr¼a. (Numele sugereaz¼a faptul c¼a repartitia bi-nomial¼a, care este discontinu¼a, este aproximat¼a mai bine de repartitianormal¼a, care este continu¼a, dac¼a se face aceast¼a corectie.)Dac¼a parametrul p este 1

2; atunci estimarea erorilor de aproximare

conduce la concluzia c¼a diferenta dintre pk1;k2 si N (k1; k2) este maimic¼a dacât 0; 01 pentru n � 10 si mai mic¼a decât 0; 005 pentru n � 20:


Figura 4. Gra�cul functiei '000:

Pentru cele mai multe aplicatii practice o astfel de eroare este neglija-bil¼a.În cazul p 6= 1

2eroarea este evaluat¼a pornind de la urm¼atoarea

formul¼a

(2.1) pk1;k2 �bZa

�' (x) +

1

6

p� qpnpq

'000(x)

�dx ;

unde a = k1�np� 12p

npq; b =

k2�np+ 12p

npq; ' (x) = 1p

2�e�

x2

2 ; iar '000este derivata

de ordinul trei a lui ': Eroarea cu care este veri�cat¼a egalitatea aprox-imativ¼a de mai sus este inferioar¼a lui 0; 013 dac¼a

pnpq � 5: (Vezi

Uspenski [21] teorema din cap.VII, sec.11, pg. 129. Este de notat c¼aîn lucrarea [17] la pag. 103 si la pag. 107 se a�rm¼a în cursul unor co-mentarii f¼ar¼a demonstratie c¼a eroarea ar � de fapt mai mic¼a de 0; 005chiar sub conditia mai slab¼a

pnpq � 3:)

Termenul care integrez¼a '000 se numeste corectia de asimetrie. Fap-tul c¼a p 6= 1

2produce o asimetrie între termenii pm+k si pm�k; asimetrie

ce este preluat¼a de corectia de asimetrie în formula de aproximare.Gra�cul functiei '000 (x) = (3x� x3)' (x) este usor de trasat si

arat¼a ca în �gura 4. Calculând derivata 'iv se g¼asesc extremele. Unpunct de maxim este în

p3�

p6 si un punct minim este în

p3 +

p6:

Valoarea maxim¼a pentru integralaR ba'000 (x) dx este 0; 577 si se

obtine când a = 0 si b =p3: Iar vloarea minim¼a este �0; 577 si se

obtine când a = �p3 si b = 0: Tinând cont de presupunerea

pnpq � 5;

rezult¼a urm¼atoarea estimare uniform¼a pentru corectia de asimetrie,

(2.2)

��(p� q)6pnpq

Z b

a

'000 (x) dx

�� 0; 577

30� 0; 0193:

Putem deci utiliza aproximarea f¼ar¼a corectia de asimetrie: pk1;k2 �N (k1; k2) ; cu o eroare de cel mult 0; 013+0; 0193 � 0; 033 (bineîntelessub conditia

pnpq � 5).

Pentru cazul unor intervale simetrice fat¼a de media np corectia deasimetrie devine foarte mic¼a datorit¼a faptului c¼a functia '000 este an-tisimetric¼a. Mai concret, s¼a zicem c¼a pornim la evaluarea urm¼atoarei


probabilit¼ati

P

��Sn � nppnpq

�� < �� = P (np� �pnpq < Sn < np+ �pnpq) = pk1;k2 ;unde � este un num¼ar dat, iar umerele k1 si k2 sunt asociate lui astfel

k1 = inf fk 2 N= k > np� �pnpqg ;

k2 = sup fk 2 N= k < np+ �pnpqg :

Rezult¼a c¼a aceste ultime numere se pot exprima sub forma k1 = np��pnpq + �1; k1 = np+ �

pnpq� �2; cu �1; �2 2 (0; 1]: Trecem acum la

evaluarea integraleiR ba'000 (x) dx; unde

a =k1 � np� 1

2pnpq

= ��+ �1pnpq

� 1

2pnpq

;

b =k2 � np+ 1

2pnpq

= �� 2pnpq

+1

2pnpq

:

Tinem cont c¼a functia '000 este antisimetric¼a si obtinemZ b

a

'000 (x) dx =

Z b

0

'000 (x) dx�Z �a

0

'000 (x) dx =

Z b

�a'000 (x) dx:

Pentru evaluarea ultimei integrale tinem cont c¼a valoarea lui '000 înminimul local cel mai din dreapta este '000

�p3 +

p6�= �0:149 iar în

1; 5 avem '000 (1; 5) = 0; 145: Rezult¼a c¼a j'000 (x)j � 0; 15 pentru x � 1; 5:Vom impune conditia � � 1; 6; astfel ca s¼a avem �a; b � � �

12pnpq

� 1; 5; (tinând cont si de conditiapnpq � 5). Atunci avem

jb� aj � j�1 � �2j si prin urmare,��Z b

a

'000 (x) dx

�� 0; 15� j�1 � �2jpnpq

� 0; 03;

ceea ce conduce la

1

6

�� p� qpnpq

bZa

'000(x) dx

�� 1

30� 0; 03 = 0; 001:

Putem concluziona c¼a pentru orice � � 1; 6 are loc estimarea

(2.3) P

��Sn � nppnpq

�� < �� bZa

' (x) dx = �(b)� � (a) ;

cu o eroare mai mic¼a decât 0; 014; unde a si b sunt de�nite mai sus.Exemplu.O companie aerian¼a a constatat, dup¼a o lung¼a experient¼a, c¼a pasagerii

care fac rezervare pentru un zbor renunt¼a dup¼a aceea în proportie de10% la efectuarea zborului. De aceea compania decide s¼a accepte 445de rezerv¼ari pentru un avion care are doar 420 de locuri. Care este


probabilitatea ca cel putin un pasager s¼a �e respins, desi are rezervare?Care este probabilitatea ca un avion pentru care au fost rezervate 445locuri s¼a plece cu mai mult de 10 locuri libere?Solutie. Este vorba de a modela pe un spatiu probabilizat (;F ; P )

cele 445 de rezerv¼ari ca evenimente independente, A1; :::; A445; �ecarecu probabilitatea de realizare P (Ai) = 0; 9: Suma S =

P445i=1 1Ai ne d¼a

num¼arul de pasageri care se prezint¼a la avion pentru a efectua zborul.Ea este repartizat¼a binomial cu ordinul n = 445 si parametrul p = 0; 9:Pentru a estima probabilitatea P (S > 420) putem încerca mai întâis¼a aplic¼am teorema limit¼a central¼a. Pentru aceasta calcul¼am medianp = 445 � 0; 9 = 400; 5 si deviatia standard

pnpq = 6; 328: Apoi

scriem evenimentul care ne intereseaz¼a sub forma

fS > 420g =�S � 400; 56; 328

> 3; 08

�:

Aplicând teorema limit¼a central¼a f¼ar¼a s¼a tinem seama de eroarea deaproximare se obtine

P (S > 420) � 1� � (3; 08) � 1� 0; 9989 = 0; 0011:

Acesta este un num¼ar foarte mic si ne trezeste suspiciunea unei erorila aproximare. La evaluarea erorii prin estimarea dat¼a de Uspenskynu putem apela pentru c¼a valoarea 0; 013 este prea mare în raport cuprobabilitatea care se pre�gureaz¼a. De aceea apel¼am la calculator siscoatem valoarea exact¼a

P (S > 420) = 0; 000334;

care este si mai mic¼a. Aceasta este probabilitatea de a avea mai multipasageri care se prezint¼a la îmbarcare decât locuri în avion.Probabilitatea ca num¼arul de locuri libere s¼a �e mai mare de 10

esteP (S < 410) = 0; 9260: �

Regula radicalului.S¼a presupunem c¼a avem în fat¼a o moned¼a îndoit¼a, care, desigur, ne

astept¼am s¼a cad¼a cu probabilit¼ati diferite pe cele dou¼a fete. Încerc¼ams¼a stabilim care este probabilitatea de a c¼adea cifra prin experimen-tarea arunc¼arilor repetate. Dar problema nu este asa de simpl¼a cumpare. Autorul a încercat acest lucru cu diverse obiecte, precum monedeîndoite, nasturi de diverse forme, o lentil¼a de lup¼a foarte bombat¼a, sia avut surpriza s¼a constate c¼a dup¼a serii de câte 100 de arunc¼ari nu seobtin rezultate concludente. În sensul c¼a numerele de aparitii ale celordou¼a fete au fost aproximativ egale, asa cum se întâmpl¼a lucrurile încazul arunc¼arii cu o moned¼a perfect¼a. Mai precis, �ecare fat¼a a iesitîntre 40 si 60 de ori, asa cum ar corespunde repartitiei binomiale cun = 100 si p = 0; 5: Desigur c¼a aceste experimente au ar¼atat c¼a, desidiferit de 0; 5; parametrul p care corespunde acestor obiecte nu este


foarte dep¼artat de aceast¼a valoare. Figura 5 pune în evident¼a imposi-bilitatea determin¼arii parametrului, atunci când avem de decelat dac¼aeste p = 0; 5 sau p = 0; 45; în urma unui experiment cu n = 100:

Se pune atunci întrebarea de câte ori ar trebui s¼a arunc¼am cu omoned¼a strâmb¼a, de exemplu care are parametrul p = 0; 45; pentrua obtine rezultate net diferite de cele corespunz¼atoare arunc¼arilor, deacelasi num¼ar de ori, cu o moned¼a perfect¼a.

Pentru a face estim¼ari numerice revenim la relatia lui Uspenskinotat¼a cu (*) mai sus. Observ¼am c¼a functia '000 este impar¼a si deaceea integrala sa pe intervale simetrice de tipul (�b; b) este zero:R b�b '

000 (x) dx = 0: Deci relatia (*), în cazul a = �b si presupunândc¼apnpq � 5; ne spune c¼a avem pk1;k2 � N (k1; k2) ; cu o eroare de cel

mult 0; 013: Dac¼a în plus avem b � 2; atunci tabelul cu valorile functieilui Laplace ne spune c¼a N (k1; k2) � 0; 9544: În acest caz vom avea înmod sigur pk1;k2 � 0; 9544 � 0; 013 � 0; 94; care este o probabilitatedestul de mare.S¼a vedem cum putem construi intervalele [k1; k2] ; cât mai mici, dar

în asa fel încât s¼a îndeplineasc¼a conditiile de mai sus. Conditia desimetrie a = �b; revine la k2 � np = np � k1; adic¼a intervalul [k1; k2]trebuie s¼a aib¼a mijlocul np: Conditia b � 2 revine la

k2 � np+ 2pnpq � 1

2:

Putem deci alege k2 = k2 (n; p) s¼a �e cel mai mic întreg care satisfaceaceast¼a inegalitate si s¼a punem apoi k1 = 2np� k2: Cu aceste numerevom avea pk1;k2 � 0; 94: Putem spune c¼a intervalul astfel construit,[k1; k2] ; reprezint¼a un �interval de atentie�pentru repartitia binomial¼ade rang n si parametru p: Aruncând de n ori o moned¼a care are pro-babilitatea p de a c¼adea cu cifra în sus, vom obtine rezultate cuprinseîn intervalul [k1; k2] ; cu probabilitate mai mare de 0; 94: Distanta din-tre centrul intervalului si extremit¼ati este d := np � k1 = k2 � np si,tinând cont de de�nitia lui k2; avem 2

pnpq� 1

2� d � 2pnpq+ 1

2: Cum

întotdeauna avem pq � 14; rezult¼a d �

pn+ 1

2:

S¼a presupunem c¼a avem de comparat dou¼a repartitii binomiale deacelasi rang n si de parametrii p0 < p: Distanta dintre mediile corespun-z¼atoare este n (p� p0) : Când n este mare distanta aceasta dep¼asestesubstantial l¼argimea intervalului de atentie. Avem atunci urm¼atoareaconcluzie, numit¼a �regula lui

pn�: intervalele de atentie corespunz¼a-

toare lui p si p0 au l¼argimea de ordinul luipn în timp ce distanta dintre

centrele acestor intervale este de ordinul lui n: În consecint¼a, pentru nmare, intervalele de atentie devin disjuncte.În cazul problemei concrete p = 0; 5 si p0 = 0; 45 avem urm¼atoarele

rezultate numerice:


Figura 5. Histogramele repartitiei binomiale cu n =100 si p = 0; 5 si cu p = 0; 45: Jos este pus¼a în evident¼asuprapunerea celor dou¼a reparitii. Pentru claritate amfacut reprezentarea la o alt¼a scar¼a.


Figura 6. În gra�cele de jos se vede suprapunerearepartitiilor binomiale cu n = 1600 si p = 0; 5 si respec-tiv p = 0; 45: Gra�cele de sus arat¼a practic desp¼artireacelor dou¼a repartitii binomiale cu n = 2500 si p = 0; 5 sirespectiv p = 0; 45:

3. NOTIUNI DE ESTIMARE STATISTIC¼A* 177

p npn np k1 k2

p = 0; 5 100 10 50 40 60p = 0; 45 100 10 45 35 55p = 0; 5 1600 40 800 760 840p = 0; 45 1600 40 720 680 760p = 0; 5 2500 50 1250 1200 1300p = 0; 45 2500 50 1125 1075 1175S¼a presupunem c¼a arunc¼am o moned¼a de 1600 ori si o consider¼am

echilibrat¼a dac¼a ea cade în sus cu aceeasi fat¼a de un num¼ar de ori careeste cuprins în intervalul de atentie [760; 840] : Pe de alt¼a parte, dac¼ao variabil¼a X 0 este repartizat¼a binomial de rang n si parametru 0; 45;atunci ea poate avea valori mai mari de 760 cu o probabilitate ce poate� calculat¼a cu calculatorul si este

P (X 0 � 760) � 0; 023:

Deci la un astfel de test, ne putem însela si accept¼am o moned¼a cup = 0; 45 drept echilibrat¼a, cu o probabilitate mai mic¼a decât 0; 023:

În mod asem¼an¼ator putem calcula pentru o variabil¼a, X 00; reparti-zat¼a binomial de rang n = 2500 si parametru p = 0; 45 :

P (X 00 � 1200) � 0; 0014:

Deci putem stabili testul urm¼ator: se arunc¼a o moned¼a de 2500 ori sio consider¼am echilibrat¼a dac¼a �ecare fat¼a cade în sus de un num¼ar deori cuprins în intervalul de atentie [1200; 1300] : Posibiltatea ca avândo moned¼a cu p = 0; 45 s¼a obtinem un rezultat mai mare de 1200 pentruuna din fete are probabilitatea mai mic¼a de 0; 0014: Deci probabilitateade a ne însela cu un astfel de test, pentru o moned¼a cu p = 0; 45; estefoarte mic¼a.În �gurile 5 si 6 sunt reprezentate repartitiile binomiale despre care

am discutat. Reamintim c¼a repartitia binomial¼a are valori strict poz-itive în �ecare punct din suportul s¼au. Totusi marea majoritate aacestor valori sunt atât de mici încât în gra�cele noastre nu apar. Nu-mai valorile din jurul modului sunt vizibile în gra�cele noastre si astapentru c¼a axa valorilor verticale este dilatat¼a.

3. Notiuni de estimare statistic¼a*

În aceast¼a sectiune vom presupune c¼a pe un spatiu probabilizat,(;F ; P ) ; sunt date variabilele aleatoare reale X1; :::; Xn; despre carestim c¼a sunt independente si c¼a au aceasi distributie Bernoulli, dar estenecunoscut parametrul p: Presupunem c¼a parametrul se stie c¼a se a�¼aîntr-un interval I � [0; 1] : Variabilele iau valori atunci în multimeaE = f0; 1g : En este spatiul în care ia valori vectorul X = (X1; :::; Xn) :Spunem c¼a En este spatiul esantioanelor sau spatiul de selectie, iar Xeste o selectie aleatoare sau un esantion aleator de volum n: Conform


cu propozitia 4.4, repartitia lui X este m¼asura produs

�p = (q�0 + p�1)O

:::O

(q�0 + p�1) ;

care este o m¼asur¼a de probabilitate peEn; iar q = 1�p: Se urm¼areste es-timarea parametrului necunoscut p 2 I prin metode statistice pornindde la rezultatele unui experiment care ofer¼a realiz¼ari concrete pentruselectia aleatoare, adic¼a pentru variabilele X1; :::; Xn:

Exemplul 1.Acesta este modelul potrivit pentru cazul problemei controlului de

calitate. Se caut¼a determinarea proportiei p de piese defecte care suntproduse într-un proces de fabricatie. Pentru aceasta, la punctul deiesire din procesul de fabricatie sunt testate un num¼ar de n piese.Secventa X1 (!) ; :::; Xn (!), pentru ! 2 , reprezint¼a un �esantion�sau o �selectie� f¼acut¼a printre obiectele produse. În cazul controluluide calitate not¼am cu 1 rezultatul testului în cazul în care piesa este de-fect¼a si cu 0 rezultatul în cazul în care piesa este corespunz¼atoare dinpunct de vedere calitativ. Efectuarea unui control la un esantion de npiese conduce la consemnarea unei secvente de tipul 0; 0; 1; 0; 1; :::1; 0; 0,în care sunt n cifre de zero sau unu. În continuare vom vedea cum seprelucreaz¼a aceast¼a secvent¼a de numere pentru a determina parametrulp necunoscut. De fapt ceea ce vom utiliza concret va �doar un num¼ar,anume num¼arul care reprezint¼a de câte ori apare cifra 1 în secventa den cifre.

3.1. Intervale de încredere.

De�nitia 7.1. Fiind dat¼a o aplicatie f : En ! I; vom spune c¼avariabila aleatoare compus¼a f (X1; :::; Xn) reprezint¼a un estimator. Fi-ind dati doi estimatori �i = fi (X1; :::; Xn) ; i = 1; 2; se spune c¼a inter-valul aleator (�1; �2) este un interval de încredere pentru p: Aplicatia : I ! [0; 1] de�nit¼a prin

(p) = P (�1 < p < �2) ;

este numit¼a coe�cientul de încredere asociat intervalului de încredere(�1; �2) :

Desigur c¼a aceast¼a de�nitie este cam vag¼a, în sensul c¼a obiectelesunt prea putin �xate. În cazuri concrete trebuiesc considerate intervalede încredere care au relevant¼a, adic¼a sunt rezonabil construite pentru aprinde valorile lui p în interior. Repartitiile estimatorilor �1 si �2 depindde repartitia variabilelor Xi si de aceea este o functie de p în general.Pentru a avea relevant¼a, un coe�cient de încredere trebuie s¼a �e câtmai apropiat de 1; independent de p 2 (0; 1) : În mod practic, uneori sereuseste construirea unui interval de încredere care d¼a un coe�cient deîncredere constant. Alteori, intervalele de încredere se construiesc înasa fel încât se poate obtine o margine inferioar¼a, uniform¼a si apropiat¼ade 1; pentru coe�cientul de încredere. Mai observ¼am c¼a dac¼a (�1; �2) si

3. NOTIUNI DE ESTIMARE STATISTIC¼A* 179��0

1; �0

2

�sunt dou¼a intervale de încredere astfel încât �

0

1 � �1 si �2 � �0

2,

atunci coe�cientii de încredere corespunz¼atori si 0satisfac relatia

(p) = P (�1 < p < �2) � P��0

1 < p < �0

2

�=

0(p) :

Cu cât este mai mic intervalul de încredere cu atât estimarea lui peste mai precis¼a, dar în acelasi timp coe�cientul de încredere se micsore-az¼a. Alegerea unui interval de încredere are de rezolvat si acest aspectcontradictoriu: intervalul trebuie s¼a dea o precizie su�cient¼a în deter-minarea lui p; dar în acelasi timp s¼a asigure un coe�cient de încredereridicat.Media empiric¼a.

Variabila aleatoare X = 1n

nPi=1

Xi poart¼a numele de media empiric¼a.

Acesta este un estimator care estimeaz¼a media p a variabilelor date.(Legea numerelor mari d¼a un sens mai precis cuvântului �estimeaz¼a�,a�rmând c¼a media empiric¼a converge la valoarea medie, aproape sigur,pentru n ! 1: ) Functia f : En ! R, de�nit¼a prin f (x1; :::; xn) =1n

nPi=1

xi satisface relatia X = f (X1; :::; Xn) :

Deoarece suma X1+ :::+Xn este repartizat¼a binomial cu ordinul nsi parametrul p; rezult¼a c¼a media mediei empirice este EX = np

n= p;

iar dispersia este D2X = 1n2D2 (X1 + :::+Xn) =

1n2npq = pq

n:

3.2. Evaluarea coe�cientului de încredere. Vom utiliza acumestimarea lui Uspensky sub forma 2.3 ca s¼a obtinem o margine infe-rioar¼a pentru coe�cientul de încredere asociat unui interval de încrederecentrat în jurul mediei empirice.

Propozitia 7.3. Dac¼a I � (0; 1) ;ppq � c si

pnpq � 5; pentru

orice p 2 I; atunci intervalul de încredere�X � 3cp

n; X + 3cp

n

�are un

coe�cient de încredere mai mare de 0; 98; iar intervalul�X � 2cp

n; X + 2cp

n

�are un coe�cient de încredere mai mare de 0; 94:

DemonstraTie. Deoarece Sn =nPi=1

Xn = nX sippq � c; putem

scrie�X � 3 cp

n< p < X + 3

cpn

��X � 3

ppqpn< p < X + 3

ppqpn

�=

=

��Sn � nppnpq

�� < 3� :Pentru evaluarea ultimului eveniment aplic¼am 2.3:

P

��Sn � nppnpq

�� < 3� � Z 3

�3' (x) dx = 0; 9972


cu o eroare mai mic¼a de 0; 014; ceea ce implic¼a a�rmatia din enuntreferitoare la primul coe�cient de încredere.Pentru cel de al doilea coe�cient de încredere aplic¼am acelasi ration-

ament si aproximarea

P

��Sn � nppnpq

�� < 2� � Z 2

�2' (x) dx = 0; 9546: �

Exemplul 1.Un laborator îsi propune s¼a determine coe�cientul p care reprez-

int¼a raportul dintre num¼arul de pui masculi si num¼arul total de pui,la nastere, pentru o anumit¼a specie de iepuri. În acest scop se faceun recens¼amânt la fermele de iepuri înregistrându-se 56:680 familii deiepuri �ecare cu câte 8 pui, în total 56680 � 8 = 429:440 de pui dincare 221:023 sunt masculi.Solutie. Model¼am problema în felul urm¼ator: variabilele X1; :::; Xn

reprezint¼a rezultatele uneia din cele n = 429:440 nasteri, iar mediaempiric¼a calculat¼a pentru esantionul nostru este

X = 221:023 : 429:440 = 0; 5146:

Mai departe calcul¼ampn = 655 si, dat¼a �ind situatia concret¼a, putem

face presupunerea c¼a p apartine intervalului I =�14; 34

�: Prin urmare

este satisf¼acut¼a cerintapnpq > 5:Mai facemmajorarea

ppq =

pp (1� p) �

12si atunci propozitia anterioar¼a ne asigur¼a c¼a intervalul�0; 5146� 3

2� 655; 0; 5146 +3

2� 655

�= (0; 51230; 0; 51689)

are un coe�cient de încredere mai mare decât 0; 98: �Exemplul 2.Observ¼am c¼a în exemplul anterior parametrul p a fost determinat

cu dou¼a zecimale exacte. Se pune întrebarea: care ar �num¼arul minim,n; de pui ce ar trebui luat în calcul pentru a obtine trei zecimale exacteîn estimarea parametrului p; cu aceeasi margine pentru coe�cientul deîncredere? Si care ar � num¼arul minim pentru a avea dou¼a zecimaleexacte?Solutie. Pentru a obtine trei zecimale exacte trebuie ca marginile

intervalului de încredere�X � 3

2pn; X + 3

2pn

�s¼a difere printr-o valoare

mai mic¼a decât 10�3: Deci trebuie s¼a avem 3pn< 1

1:000; adic¼a n >

9:000:000: Un rationament similar arat¼a c¼a pentru a avea dou¼a zecimaleexacte, trebuie ca n s¼a satisfac¼a 3p

n< 1

100; adic¼a s¼a avem n > 90:000:�

3.3. Alt interval de încredere. Vom examina mai întâi propri-et¼atile de monotonie în raport cu parametrul ale probabilit¼atilor asoci-ate unei repartitii binomiale. Vom presupune n 2 N� �xat si p 2 (0; 1)


variabil. Pentru �ecare k = 0; :::; n not¼am

F (p; k) =kXl=0

C lnpl (1� p)n�l ;

asa numita probabilitate cumulat¼a de la 0 la k: Urm¼atoarea lem¼a rezult¼adin studiul derivatei functiei corespunz¼atoare.

Lema 7.2. Dac¼a p � knsi p0 < p; sau dac¼a k

n� p si p < p0; în

ambele cazuri are loc inegalitatea

pk (1� p)n�k > (p0)k (1� p0)n�k :

Lema 7.3. Fie 0 � k < n �xe. Aplicatia p ! F (p; k) este strictdescresc¼atoare.

DemonstraTie. Fie p < p0: Vom analiza trei cazuri.Cazul 1. Presupunem c¼a k

n� p: Atunci �ecare termen din expresia

lui F (p; k) se compar¼a cu termenul de acelasi rang din expresia luiF (p0; k) ; dup¼a cum precizeaz¼a lema anterioar¼a:

C lnpl (1� p)n�l > C ln (p0)

l(1� p0)n�l ; l = 0; :::; k:

De aici se deduce F (p; k) > F (p0; k) :Cazul 2. Presupunem p0 � k

nsi atunci ration¼am exact ca în cazul

anterior, dar pentru termenii expresiei

1� F (p; k) =nX

l=k+1

C lnpl (1� p)n�l :

Avem

C lnpl (1� p)n�l < C ln (p0)

l(1� p0)n�l ; l = k + 1; :::; n;

ceea ce implic¼a 1� F (p; k) < 1� F (p0; k) ; adic¼a inegalitatea dorit¼a.Cazul 3. Presupunem c¼a p < k

n< p0 si atunci ne baz¼am pe cazurile

anterioare pentru a deduce F (p; k) > F�kn; k�> F (p0; k) ; ceea ce

încheie demonstratia. �Înainte de a construi un nou interval de încredere, mai precis si cu

coe�cientul mai bine estimat, vom pune în evident¼a noua metod¼a deanaliz¼a pe un exemplu.Exemplul 3.Pentru a determina calitatea unui produs se testeaz¼a 2500 de buc¼ati.

Dintre acestea 95 sunt g¼asite cu defect. Proportia de produse defectepare a � de 95

2500= 0; 038 sau, în procente, 3; 8%:

Solutie. Pentru a determina un interval în care se a�¼a raportul pdintre num¼arul produselor defecte si num¼arul total al produselor fab-ricate model¼am problema ca mai înainte. Avem n = 2500; Sn = 95si X = 95

2500= 0; 038: Deci se contureaz¼a concluzia c¼a valoarea lui p


trebuie s¼a �e aproape de num¼arul 0; 038: Scoatem din calculator urm¼a-toarele date, pentru p = 0; 049 si pentru p = 0; 0288 :

F (0; 049; 95) =95Xk=0

Ck2500 (0; 049)k (0; 951)2500�k = 0; 004892

1� F (0; 0288; 94) =2500Xk=95

Ck2500 (0; 0288)k (0; 9712)2500�k = 0; 004829:

Aplicând lema precedent¼a pentru p = 0; 049 si p0 � 0; 049 se deducepentru cazul c¼a variabilele X1; :::; Xn sunt de parametru p0

P (S2500 � 95) = F (p0; 95) � F (0; 049; 95) < 0; 005:Prin urmare, probabilitatea de a gresi eliminând din discutie cazulp � 0; 049 este foarte mic¼a.La fel, pentru p = 0; 0288 si p0 � p se deduce, pentru acelasi caz,P (S2500 � 95) = 1� F (p0; 94) � 1� F (0; 0288; 94) < 0; 005:

Aceste inegalit¼ati fac neacceptabile valorile lui p din afara intervalului(0; 0288; 0; 049) si suntem condusi la concluzia c¼a este mai verosimil caparametrul p s¼a se a�e în acest interval. �Trecem acum la exploatarea ideii din solutia de mai sus într-un sens

mai general. Anume, vom ar¼ata c¼a intervalul anterior este un intervalde încredere cu un bun coe�cient de încredere.Vom presupune în continuare c¼a avem 0 � k < n: Functia p !

F (p; k) este continu¼a si are limitele

limp!0

F (p; k) = 1; limp!1

F (p; k) = 0;

deci ea poate � inversat¼a. Vom nota cu g (�; k) inversa aplicatieip ! F (p; k) : Pentru �ecare � 2 (0; 1) ; num¼arul g (�; k) 2 (0; 1) estedeterminat de egalitatea F (g (�; k) ; k) = �: Pentru k = n punemg (�; n) = 1:Dac¼a 0 < k � n; vom de�ni g (�; k) = g (1� �; k � 1) : Pen-

tru �ecare � 2 (0; 1) ; num¼arul g (�; k) este determinat de relatiaF (g (�; k) ; k � 1) = 1��; sau altfel exprimat, acest num¼ar este deter-minat de relatia Pg(�;k) (Sn � k) = �; în care se presupune c¼a repartitiavariabilelor X1; :::; Xn are parametrul g (�; k) : Pentru k = 0 de�nimg (�; 0) = 0:Cu aceste notatii putem enunta urm¼atorul rezultat.

Teorema 7.3. Fie �; � 2 (0; 1) : Atunci intervalul de încredere(g (�; Sn) ; g (�; Sn)) are un coe�cient de încredere mai mare decât 1�� ; pentru p 2 (0; 1) :DemonstraTie. Are loc egalitatea

Pp (g (�; Sn) < p < g (�; Sn)) � Pp (g (�; Sn) < p)+Pp (p < g (�; Sn))�1si evalu¼am separat cele dou¼a probabilit¼ati din membrul drept.


Începem prin a observa c¼a inegalitatea p < g (�; l) este echivalent¼acu F (p; l) > � si atunci putem scrie

Pp (p < g (�; Sn)) = Pp (F (p; Sn) > �) :

Pentru a estima ultima probabilitate vom introduce num¼arul

h = h (p; �) = inf fk=F (p; k) > �g ;de�nit pentru orice p; � 2 (0; 1) : Deoarece aplicatia k ! F (p; k) estecresc¼atoare, rezult¼a c¼a inegalitatea F (p; l) > � este echivalent¼a cul � h si c¼a, în caz c¼a avem h � 1; are loc inegalitatea

F (p; h� 1) � �:De aceea putem exprima probabilitatea de dinainte sub forma

Pp (p < g (�; Sn)) = Pp (Sn � h) ;care este 1 în cazul h = 0; iar dac¼a h � 1; aceast¼a probabilitate devine

= 1� Pp (Sn � h� 1) = 1� F (p; h� 1) � 1� �:Am obtinut, deci,

Pp (p < g (�; Sn)) � 1� �: (�)Mai departe, trecem la evaluarea celeilalte probabilit¼ati care mi-

noreaz¼a expresia coe�cientului de încredere. Inegalitatea g (�; l) < peste echivalent¼a cu

1� � = F (g (�; l) ; l � 1) > F (p; l � 1) :Facem conventia F (p;�1) = 0 si not¼am

h = h (p; �) = sup fk=1� F (p; k � 1) > �gsi observ¼am c¼a are loc inegalitatea 1 � � > F (p; k � 1) ; pentru oricek � h; iar dac¼a h � n � 1 pentru k = h + 1 avem 1 � � � F

�p; h�:

De aceea, putem spune c¼a inegalitatea g (�; l) < p este echivalent¼a cul � h si putem exprima evenimentul ce ne intereseaz¼a astfel:

fg (�; Sn) < pg =�Sn � h

:

Rezult¼a c¼a

Pp (g (�; Sn) < p) = Pp�Sn � h

�= F

�p; h�

si aceast¼a expresie face 1 dac¼a h = n; iar dac¼a h � n� 1; atunci avemF�p; h�� 1� �: În orice caz, am dedus

Pp (g (�; Sn) < p) � 1� �:Aceast¼a inegalitate împreun¼a cu (*) permit estimarea membrului

drept al minor¼arii coe�cientului de încredere cu care am început:

Pp (g (�; Sn) < p < g (�; Sn)) � 1� �� ;ceea ce termin¼a demonstratia. �


Întorcându-ne la exemplul 3. dinainte, pentru � = � = 0; 005;putem aplica teorema anterioar¼a si deducem c¼a intervalul (0; 0288; 0; 049)este un interval de încredere cu coe�cientul de încredere mai mare decât1� 0; 005� 0; 005 = 0; 99: Astfel, concluzia teoriei noastre este: cu uncoe�cient de încredere mai mare decât 0; 99 proportia de produse de-fecte este în jurul lui 3; 8%; cu o aproximatie de cel mult �0; 92% sau+1; 1%:

Privitor la aplicabilitatea ultimei teoreme, trebuie notat c¼a esteesential s¼a se poat¼a calcula usor functiile g si g: În cazul exemplului3. calculul a fost posibil prin determinarea probabilit¼atilor cumulateutilizând un PC. Dac¼a n este mult mai mare acest lucru poate devenidi�cil.În concluzie, putem spune c¼a estim¼arile statistice permit punerea în

evident¼a a gradului de relevant¼a pe care îl are o medie empiric¼a pe careo face orice persoan¼a neavizat¼a. Rezultatele, intervalul de încredere sicoe�cientul de încredere, nu dau informatii sigure în mod absolut, cinumai cuanti�c¼ari numerice pentru fenomene probabiliste. Pentru ase întelege utilitatea, e�cienta practic¼a a acestor rezultate, este nevoiede o experient¼a a m¼asur¼arii fenomenelor aleatorii. De exemplu, cine aaruncat cu banul de mai multe ori a înteles c¼a rezultatele experimen-tului nu sunt arbitrare. Ele sunt aleatorii dar respect¼a legile teorieiprobabilit¼atiilor.

Bibliogra�e

[1] J. Bertoin, Cours de Probabilités, Internet, 1999.[2] P. Billingsley, Probability and Measure, editia a doua, John Wiley & Sons,

New York - Chichester - Brisbane - Toronto - Singapore, 1986..[3] K.L. Chung, Elementary Probability Theory with Stochastic Processes, editia

a doua, Springer, New York - Heidelberg - Berlin, 1975.[4] Gh. Ciucu, C. Tudor, Teoria Probabilit¼atilor si Aplicatii, Editura stiinti�c¼a si

enciclopedic¼a, Bucuresti, 1983.[5] I. Cuculescu, Teoria probabilit¼atilor, Editura All, Bucuresti, 1998.[6] D. Dacunha -Castelle, M. Du�o, Probabilités et statistiques, tome 1, Masson,

Paris - Milan - Barcelone - Mexico, 1990.[7] W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol.1,

editia a treia, John Wiley & Sons, New York - London - Sidney, 1968.[8] D. Guinin, B. Joppin, Mathématiques, Terminale S, Bréal, Rosny, 1998.[9] A. Gut, An Intermediate Course in Probability, Springer, New York -Berlin

-Heidelberg..., 1995.[10] M. Iosifescu, Gh. Mihoc, R. Theodorescu, Teoria Probabilit¼atilor si Statistic¼a

Matematic¼a, Editura tehnic¼a, Bucuresti, 1966.[11] J. Jacod, Cours de Probabilités, Internet, 1999.[12] R.J. Larsen, M.L.Marx, Mathematical Statistics and Its Applications, Prentice

- Hall, Englewood Cli¤s, New Jersey, 1986.[13] O. Onicescu, Calculul probabilit¼atilor, Editura tehnic¼a, Bucuresti, 1956.[14] O. Onicescu, Gh. Mihoc, Calculul Probabilit¼atilor, Bucuresti, 1939.[15] O. Onicescu, Gh. Mihoc, C.T. Ionescu Tulcea, Calculul probabilit¼atilor si apli-

catii, Editura Academiei, Bucuresti, 1956.[16] E. Partzen, Modern Probability Theory and Its Applications, John Wiley &

Sons, New York - London, 1960.[17] J. Pitman, Probability, editia a sasea, Springer Texts in Statistics, Springer,

1997.[18] A. Rényi, Probability Theory, Académiai Kiadó, Budhapest, 1970.[19] D. Stirzaker, Probability and Random Variables, Cambridge University Press,

1999.[20] C. Tudor, Teoria Probabilit¼atilor, Editura Universit¼atii din Bucuresti, 2004.[21] J.V. Uspenski, Introduction to Mathematical Probability, McGrow-Hill Book

Company, New York - Toronto - London, 1937.

185

Index

abaterea medie p¼atratic¼a, 96absolut sumabil¼a, 70admite medie, 151d�Alembert, 8algebr¼a de p¼arti, 1algebr¼a �nit¼a, 1algebra generat¼a, 58aplicatie m¼asurabil¼a, 65atom, 60

Bernoulli, 99

câmp de probabilitate, 4Cebâsev, 98, 152clopotul lui Gauss, 152coe�cient multinomial, 14coe�cientul de încredere, 178corp, 1corp borelian, 3

de Moivre, 159de Moivre-Laplace, 163densitate, 141deviatia standard, 96, 152dispersia, 96, 152

esantion aleator, 177estimator, 178evenimente triviale, 41

Fermat, 9formula probabilit¼atii totale, 35functia lui Laplace, 154

histogram¼a, 111

încarc¼a, 2independenta însens extins, 48independenta � -algebrelor, 49independente, 43independente câte dou¼a, 41inegalitatea Cauchy -Buniakovschi,

93

inegalitatea Cebâsev, 97, 98inegalitatea Cebâsev -Bienaymé, 97inegalitatea lui Schwartz, 93, 151integrabil¼a, 73, 89interval de încredere, 178

Kolmogorov, 4

Laplace, 159legea numerelor mari, 98

m¼asur¼a aleatoare Poisson, 129m¼asur¼a de probabilitate, 4media, 88, 151media p¼atratic¼a, 93media probabilit¼atilor conditionate,

35momentul de ordinul doi, 93multime m¼asurabil¼a Jordan, 1multimile boreliene, 59

partitia asociat¼a, 64partitie cel mult num¼arabil¼a, 60Pascal, 9Poisson, 120probabilitate conditionat¼a, 32probabilitate cumulat¼a, 181

Quetelet, 157

regula înmultirii, 35repartitia, 76repartitia Bernoulli, 97, 104repartitia binomial¼a, 106repartitia exponential¼a, 145repartitia gaussian¼a standard, 154repartitia geometric¼a, 104repartitia hipergeometric¼a, 112repartitia multinomial¼a, 127repartitia negativ -binomial¼a, 114repartitia normal¼a standard, 154repartitia Poisson, 120

186

INDEX 187

repartitia uniform¼a, 6, 145repartitii continue, 141

�� aditiv¼a, 56�-algebr¼a, 3schema lui Bernoulli, 97selectie aleatoare, 177spatiu m¼asurabil, 3spatiu m¼asurabil �nit, 1spatiu probabilizat, vi, 4spatiu probabilizat �nit, 1spatiul de selectie, 177spatiul esantioanelor, 177speranta, 88Stirling, 160suport¼a, 2

urma, 3

valoarea medie, 88variabil¼a aleatoare, 75variabile independente, 76

Introducere în Calculul...

Documents

Transcript of Introducere în Calculul...