MODULULI1.Cmp de evenimente2.Probabilitate pe un cmp de evenimente3.Exemple de cmpuri de probabilitate4.Exemple lucrate si probleme rezolvate5.Teme de controlTeoria Probabilitatilor, ca teorie de sorginte empirica, are ca obiect mode-larea matematica si studiul modelelor matematice ale fenomenelor naturale acaror forma de manifestare (n plan real sau abstract) include o componentaaleatoare si care, n plus, prezinta stabilitate statistica, adica prezinta regu-laritate a frecventei de aparitie a rezultatelor posibile ale producerii lor, lareproducerea repetata de un mare numar de ori.Elementele de baza prin care s-a constituit teoria sunt transpuneri ale con-statarilor obiective n observarea desfasurarilor acestor fenomene.Pe de altaparte, continutul dezvoltat din motive intrinseci ale teoriei matematice reectafenomenul aleator.n principiu, studiul legitatilor de manifestare ale fenomenului aleator seface asupra experimentului aleator (experientei aleatoare).Acesta consta n pro-ducerea intentionata a fenomenului, prin actiunea cauzelor care l provoaca sicrearea conditiilor esen tiale care i inuenteaza desfasurarea.Consideram nsa,ca rezultatul unui astfel de experiment nu este determinat de acestea, ci depindesi de situatii incidentale, de circumstante si contingente care nu afecteaza es-ential desfasurarea, lucru care-i confera atributul de ntmplator.Se presupuneca fenomenul aleator se poate reproduce n acest mod de un numar mare de ori,adica se pot produce un numar mare de experimente aleatoare care i corespundastfel.O realizare a unui experiment aleator se numeste proba.Notiunile primare ale teoriei sunt acelea de eveniment si de probabilitate aunui eveniment.Un eveniment asociat unui experiment aleator descrie un aspectal starii nale din manifestarea fenomenului cu rezultate posibile ale produceriiacestuia.Probabilitatea unui eveniment reecta n forma cantitativa posibilitateade aparitie a evenimentului, cuanticnd sansa lui de aparitie.1.Cmp de evenimenteUrmatoarele exemple clasice de experimente aleatoare vor releva elemente sicaracteristici ale structurii modelului matematic al fenomenului aleator pe carel descriu.[1.1]ExempluConsideram experimentul aleator care consta n aruncarea unei monezi.Rezultateleposibile ale experimentului sunt S:"aparitia stemei" si B:"aparitia banului".Pelnga aceste evenimente, care descriu starea nala a manifestarii fenomenului,cu rezultate precise ale producerii lui, mai putem interesati n acest experi-ment de evenimentul care corespunde situatiei sigure a starii nale, pe care l1numim evenimentul sigur si l vom reprezenta cu multimea= o, 1, con-stituita prin disjunctia logica a rezultatelor posibile.Urmeaza ca orice multimeconstituita cu elementele care nu sunt n , notata ?, va reprezenta evenimentulimposibil, si va descrie orice situatie imposibila a starii nale din manifestareafenomenului.[1.2]ExempluConsideram experimentul aleator care consta n n repetari independenteale experimentului precedent.Se pot preciza urmatoarele rezultate posibile aleexperimentului: 0:"aparitia stemei de 0 ori", 1:"aparitia stemei de 1 ori",2:"aparitia stemei de 2 ori", ..., n:"aparitia stemei de n ori".Putem consideraca evenimentul sigur este reprezentat de multimea= 0, 1, 2, ..., :, aceastaind ind n corespondenta biunivoca cu multimea 0, 1, 2, ..., n.n acestexperiment mai putem interesati de evenimente care descriu aspecte partialeale starii nale, ca:(k):"aparitia stemei de cel mult k ori", / _ :.(k):"aparitia stemei de cel putin k+1 ori" / < :1(k;p):"aparitia banului de cel putin k ori si de cel mult p ori", 1 _ / < j < :.12:"numarul de aparitii ale stemei este divizibil cu 2"Acestea se realizeaza daca rezultatul experimentului este unul dintre el-ementele multimii (k)= 0, 1, .., /,respectiv (k)= / + 1, / + 2, ..., :,1(k;p)= 0, 1, ..., / 1 ' j + 1, j + 2, ..., :, 12 =_2, 4, ..., 2_n2_.[1.3]ExempluConsideram experimentul aleator care consta n aruncarea monedei pna laaparitia stemei, adica consta ntr -o succesiune de repetari independente aleexperimentului din Exemplul 1, care poate si innita.Rezultatele posibile aleexperimentului compus sunt succesiuni nite de rezultate posibile ale experimen-tului de aruncare a monedei, o, 1o, 11o, 111o, ..., 11...1o, ....Astfel, eveni-mentul sigur va reprezentat de multimea= o, 1o, 11o, 111o, ..., 11...1o, .....Maiputem interesati de evenimente ca:(k):"stema apare n primele k aruncari"(k):"stema apare dupa primele k aruncari"(k;o):"stema apare dupa primele k aruncari sau d upa primele k+1 aruncarisau dupa primele k+2 aruncari..."1(k;o):"banul apare n primele k aruncari sau n primele k+1 aruncari saun primele k+2 aruncari, ..."Acestea se realizeaza daca rezultatul experimentului este unul dintre ele-mentele multimii (k)=_o, 1o, 11o, ..., 11...1k1o_, respectiv (k) =_11...1ko, 11...1k+1o, ..._,(k;o)= (k)' (k+1)' (k+2)' ....., 1(k;o)= (k) (k+1) (k+2) ....[1.4]ExempluConsideram experimentul aleator care consta n aruncarea unui zar.Rezultateleposibile ale experimentului sunt 1:"aparitia fetei cu numarul 1", 2:"aparitiafetei cu numarul 2", ..., 6:"aparitia fetei cu numarul 6", deci putem sa con-sideram ca evenimentul sigur este reprezentat de multimea= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.Maiputem interesati de evenimente ca:2k:"aparitia fetei cu numarul k"(k):"aparitia unei fete cu un numar mai mare dect k", 1 _ / < 6,iar acestea se realizeaza daca rezultatul experimentului este unul dintre ele-mentele multimii k = /, respectiv (k)= / + 1, / + 2, ..., :.[1.5]ExempluConsideram experimentul aleator care consta n deplasarea unei particulepe o suprafata o a unui plan , al carui scop este studiul pozitiei particulei ladiferite moment oarecare de timp t.Rezultatele posibile ale experimentului sunt1A:"la momentul t particula se aa n punctul A", o, deci evenimentul sigureste reprezentat de multimea o .MAi putem interesati de evenimente ca:1,:"la momentul t particula se aa n suprafata / _ o",reprezentate de multimile / _ o.Modelul abstract al fenomenului aleator se constituie ca structura matem-atica dupa cum urmeaza:(i) Primul element al lui este mul timeaa rezultatelor posibile ale pro-ducerii fenomenului, precizate ca efecte directe ale manifestarii acestuia.Oriceelement . se va numi eveniment elementar (sau eventualitate).Este rescsa consideram ca obtinerea a cel putin unuia dintre rezultatele posibile esteevenimentul care descrie situatia sigura a starii nale n desfasurarea fenomenu-lui, fapt pentru care n modelul matematic asociat acestuia,=_!. vareprezenta evenimentul sigur.(ii) Un eveniment care descrie o situatie n starea nala cu rezultate care nusunt nva reprezentat de multimea ? si se va numi eveniment imposibil.(iii) Orice eveniment care se poate asocia fenomenului este determinat de omultime de rezultate posibile favorabile aparitiei lui, deci va reprezentat deun element din T ().(iv) Pentru un fenomen aleator cu multimeaa rezultatelor posibile nita,sau innita si numarabila este natural sa consideram T () ca ind multimeatuturor evenimentelor asociate fenomenului.nsa, dacaeste multime innitasi nenumarabila, alegerea lui T () pentru a desemna aceasta multime de eveni-mente creaza deseori dicultati matematice insurmontabile n modelarea matem-atica a fenomenului, care tin n primul rnd de distribuirea rezonabila a proba-bilitatii ntre toate elementele ei.n construirea modelului matematic al fenomenului T ne limitam la a asociaacestuia o familie / de evenimente din T (), care descriu aspecte ale con-secintelor producerii lui T de care suntem interesa ti si care contine toate eveni-mentele care se pot considera relativ la aceste aspecte, n sensul ca este necesarca familia /, constituita cu aceste elemente sa con tina si ? si sa e partestabila a lui 1 () fata de operatiile cu multimi.Exemplul 3 sugereaza extin-derea proprietatii de stabilitate relativ la operatiile de reuniune si intersectienumarabile, prin adoptarea structurii de corp borelian al lui , care satisfaceastfel necesitatile matematice ale modelului, relative la /.3[1.6]Denitie.Fieo multime.O familie / _ T () este corp borelian al lui (sau o - corp) daca:(a) /(b) / implica C /(c) 1, 2, ..., n, ... / implica 1' 2' ... ' n' ... / .Proprietatile urmatoare sunt consecinte directe ale denitiei.[1.7]Propozitie.Fie / un corp borelian al lui .Sunt adevarate armatiile:(d) ? /.(e) 1, 2, ..., n, ... / implica 1 2 ... n ... / .(f) , 1 / implica 1 /.Demonstra tie:(d)Din (a) si (b) rezulta C /.(e)Daca 1, 2, ..., n, ... /, din (b) avem C1, C2, ..., Cn, ... /, apoidin (c) avemC1'C2'...'Cn'... /si din (b) C (C1' C2' ... ' Cn' ...) /, deci 1 2 ... n ... / .(f)Daca , 1 /, din (b) avem , C1 / si conform (b), C1 /.[1.8]Denitie.Fie T un fenomen aleator.Un cuplu (, /) undeeste multimeaevenimentelor elementare asociate lui T, iar / este un corp borelian al luisenumeste cmp de evenimente ( sau cmp borelian de evenimente).n cazul n careeste multime nita, conditia (c) din Denitia 1.5 se refera ncele din urm a la o familie nita de multimi si la o reuniune nita.n acest caz, darsi n cazul n careeste innita si conditia (c) este sucienta n aceasta formascopului studiului probabilistic, se poate adopta ca model cmpul de evenimenten care familia evenimentelor asociate fenomenului este corp de par ti.[1.9]Denitie.Fieo multime.O familie / _ T () este corp de par ti allui(sau algebra) daca:(a) /(b) / implica C /.(c) 1, 2, ..., n / implica 1' 2' ... ' n / .Evident, un corp borelian al luieste corp de parti al lui Proprietatile urmatoare sunt consecinte imediate ale denitiei.[1.10]Propozitie.Fie / un corp de parti al lui .Sunt adevarate armatiile:(d) ? /(e) 1, 2, ..., n / implica 1 2 ... n / .(f) , 1 / implica 1 /.Demonstra tie:Analog cu Propozitia 1.6.[1.11]Denitie.Fie (, /) un cmp de evenimente ( / un corp de parti) si, 1 /.(a)Reuniunea evenimentelor si 1 este evenimentul din / notat '1, carese realizeaza atunci si numai atunci cnd cel putin unul dintre evenimentele si1 se realizeaza.Reuniunii evenimentelor si 1 i corespunde multimea ' 1.(b)Intersec tia evenimentelor si 1 este evenimentul din / notat 1,care se realizeaza atunci si numai atunci cnd amndoua evenimentele si 1se realizeaza.Intersectiei evenimentelor si 1 i corespunde multimea 1.Daca 1 = ?, atunci si 1 se numesc evenimente imcompatibile.4(c)Evenimentul contrar lui sau evenimentul non este evenimentul din/, notat C sau , care se realizeaza atunci si numai atunci cnd nu serealizeaza.Evenimentului contrar lui i corespunde multimea C.Deducem ca proprietatile operatiilor de reuniune, intersectie si negatie din-tre evenimente sunt transpuneri n limbaj de evenimente ale operatiilor core-spunzatoare dintre multimi.[1.12]Denitie.Fie (, /) un cmp de evenimente ( / un corp de parti) si, 1 /.(a)Spunem ca evenimentul implica evenimentul 1 (sau ca evenimentul1 este implicat de evenimentul ) si scriem _ 1 , daca orice evenimentelementar favorabil producerii lui este favorabil si producerii lui 1.Relatiei deimplicatie dintre evenimente i corespunde relatia de incluziune _ 1 dintremultimile prin care se reprezinta.(b)Spunem ca evenimentele si 1 sunt echivalente si scriem = 1 daca _ 1 si 1 _ .Relatiei de echivalenta dintre evenimente i corespunde relatiade egalitate dintre multimile prin care se reprezinta.Relatia _ 1 este o relatie de ordine pe /, iar relatia = 1este o relatiede echivalenta pe /.Evident, daca /, atunci ? _ _ [1.13]Propozitie.Sunt adevarate urmatoarele relatii, cu caracter dual, din-tre evenimente:(a) ' = ; = (legile de idempotenta)(b) ' 1 = 1 ' ; 1 = 1 (comutativitatea)(c) (' 1) 'C = '(1 ' C); ( 1) C = (1 C) (asociativitatea)(d) ' (1 C) = (' 1) (' C); (1 ' C) = ( 1) ' ( C)(distributivitatea)(e) ( C) ' 1 = 1; (' C) 1 = 1 (complementaritatea)(f) ' (1 ) = ; (1 ) = (absorbtia)(g) C (' 1) = C C1; C ( 1) = C' C1 (legile lui De Morgan)(h) daca 1, atunci 'C 1'C si C 1C (legile monotoniei)Vom extinde operatiile de reuniune si intersectie la o familie numarabila deevenimente dintr-un cmp borelian de evenimente.[1.14]Denitie.Fie (, /) un cmp de evenimente si (i)iI o familie numarabilade evenimente din /.(a)Numim reuniune a evenimentelori; i 1, evenimentul 1 /, cuproprietatile:(i) i 1 (\) i 1.(ii) daca i 1 (\) i 1, atunci 1 1.Notam 1 =_iIi.Acest eveniment este reprezentat de multimea 'iIi =r,i 1a.^ir i .(b)Numim intersec tie a evenimentelor i; i 1, evenimentul C /, cuproprietatile:(i) C i (\) i 1.(ii) daca 1 i (\) i 1, atunci 1 C.5Notam C =

iIi.Acest eveniment este reprezentat de multimea iIi =r,r i, \i 1.Operatiile de reuniune si intersectie numarabile de evenimente sunt comuta-tive si asociative.Propriettile duale ale reunilor si intersectiilor nite de eveni-mente si legile lui De Morgan ramn adevarate si n cazul reuniunilor si inter-sectiilor numarabile.[1.15]Propozitie.Fie (, /) un cmp de evenimente si (i)iI o familienumarabila de evenimente din /.Sunt adevarate egalitatile:(a) '_ 'iIi_ = 'iI (' i); _ iIi_ = iI ( i)(c) '_ iIi_ = iI (' i); _ iIi_ = 'iI ( i), pentru orice /.(d) CE_ 'iIi_ = iI (CEi); CE_ iIi_ = 'iI (CEi)[1.16]Denitie.Fie (, /) un cmp de evenimente.Familia de evenimente(i)iI din /, cu 1 multime cel mult numarabila se numeste sistem complet deevenimente daca:(a) i j = ?, pentru i ,= ,, i, , 1.(b)_iIi = .(adica, familia de parti (i)iI este o partitie amultimii ).2.Probabilitate pe un cmp de evenimenten experimentele eleatoare modelate prin cmpuri nite de evenimente, ncare acordam sanse egale de aparitie tuturor evenimentelor elementare, este nat-ural sa consideram ca frecven ta relativa de apari tie a evenimentului, ca raportdintre numarul cazurilor favorabile realizarii lui si numarul rezultatelor egalposibile, reprezinta n descriere cantitativa posibilitatea de realizare a eveni-mentului.Cele mai multe experiente aleatoare ne pun n fata unor modele detip diferit de acesta, n care frecventele relative de aparitie ale unui eveniment, in () =Nn(A)n, nregistrate n : probe independente ale experimentului,indica o valoare limita cnd : , validata de teoria matematica ca reprezen-tnd probabilitatea lui .Astfel, cercetarile experimentale conduc la constituireaconceptului de probabilitate, potrivit caruia frecventele relative de aparitie aleevenimentului ntr-un numar mare de probe sunt doar aproximari (n sens sta-tistic, al rezultatelor realizate) ale probabilitatii lui.De asemenea, ele conduc laurmatoarea determinare a notiunii de probabilitate, ca functie de evenimentecare se asociaza modelului teoretic al experimentului aleator.[2.1]Denitie.Fie (, /) un cmp de evenimente.Numim probabilitate pe(, /) o functie 1 : / [0, 1], cu proprietatile:(a) 1 () = 16(b) 1_ o_n=1n_ = o

n=11 (n), pentru orice familie numarabila (n)n1 deevenimente din /, cu i j = ?, pentru i ,= ,.(adica, 1 este numarabil aditiva sau o - aditiva).[2.2]Denitie.Fie (, /) un cmp de evenimente si 1 : / [0, 1] o proba-bilitate.Tripletul (, /, 1) se numeste cmp de probabilitate.n cazul cmpurilor nite de evenimente, este sucient sa cerem ca 1 sa efunctie nit aditiva.[2.3]Denitie.Fie (, /) un cmp nit de evenimente, cu familia / a eveni-mentelor corp de parti.Numim probabilitate pe (, /) o functie 1 : / [0, 1]cu proprietatile:(a) 1 () = 1(b) 1_n_k=1k_ =n

k=11 (k), pentru orice familie nita (n)k=1;ndin /,cu i j = ?, pentru i ,= ,.n acest caz, cmpul (, /, 1) se numeste cmp de probabilitate n sensextins.Urmatoarele proprietati sunt consecinte imediate ale Denitiei 2.1.[2.4]Propozitie. Fie (, /, 1) un cmp de probabilitate.Sunt adevaratearmatiile:(a) 1 (?) = 0(b) 1_n_k=1k_ =n

k=11 (k), pentru orice familie nita (n)k=1;ndin /,cu i j = ?, pentru i ,= ,.(orice probabilitate o - aditiva este nit aditiva).n particular, 1 (C) = 1 1 () .(c)Daca , 1 /, 1 , atunci 1 ( 1) = 1 () 1 (1).n particular, 1 (1) _ 1 () si 1 (C) = 1 1 ().(d) 1_ o_n=1n_ _ o

n=11 (n), pentru orice familie numarabila (n)n1 deevenimente din /.(proprietatea de subaditivitate numarabila).n particular, 1_n_k=1k__n

k=11 (k), pentru orice familie nita (n)k=1;ndin /(proprietatea de subaditivitate nita).(e)Daca (n)n1 este o familie numarabila de evenimente din /, astfel nct1 (n) = 0 (\) : _ 1, atunci 1_ o_n=1n_ = 0.n particular, 1_n_k=1k_ = 0, daca 1 (k) = 0 (\) / = 1, :.(f) (formula lui 1oi:car c)7Daca 1, 2, ..., n /, atunci 1_n_k=1k_ =

I]1;2;:::;n](1)card(I)+11_

iIi_.Demonstra tie:(a)Pentru n = ? (\) : _ 1, din 2.1.(b) avem 1 (?) = 1 (?) +1 (?) +.Singura valoare din [0, 1] care face aceasta egalitate posibila este 1 (?) = 0.(b)Completam 1, 2, ..., n cu k = ? pentru / _ : + 1 si aplicam (b)din 2.1.Avem= ' C, deci 1 () = 1 () + 1 (C) si din (a) 2.1, 1 (C) =1 1 ().(c) = 1 ' ( 1).Cum 1 / si 1 ( 1) = ?, din (b) obtinem1 () = 1 (1) +1 ( 1).Avem 1 (1) = 1 () 1 ( 1) si tinem seama ca1 ( 1) _ 0.(d)Denim 11 = 1, 12 = 2 1, 13 = 3 (2 1), ...., 1n = n (n1 2 1).Avem1i1j = ?, pentru i ,= , si o_n=11n = o_n=1n(procedeulde disjunctare).Aplicnd (b) din 2.1 si (c), avem:1_ o_n=1n_ = 1_ o_n=11n_ = o

n=11 (1n) = o

n=11 (n 1n1) _ o

n=11 (n).Penrtru 1, 2, ..., n /, completam cu k = ? pentru / _ : + 1 sitinnd seama de (a), avem:1_n_k=1k_ = 1_ o_k=1k__ o

k=11 (k) =n

k=11 (k).(e)Rezulta din (d).(f)Inductie dupa : _ 2.Pentru : = 2, 1' 2 = (1 2) ' [1 (1 2)] ' [2 (1 2)].Evenimentele care se reunesc ind disjuncte, din (b), obtinem:1 (1' 2) = 1 (1 2) +1 (1 (1 2)) +1 (2 (1 2))si folosind (c),1 (1' 2) = 1 (1 2)+1 (1)1 (1 2)+1 (2)1 (1 2) =1 (1) +1 (2) 1 (1 2) =

I]1;2](1)31_

iIi_.Presupunem ca egalitatea este adevarata pentru :2.Folosind (c),1__n_k=1k_' n+1_ = 1_n_k=1k_+1 (n+1)1_n+1_n_k=1k__=

I]1;2;:::;n](1)card(I)+11_

iIi_+1 (n+1)

I]1;2;:::;n](1)card(I)+11_

iIi(n+1 i)_ =__n

i=11 (i)

1i