Valor Absoluto e Intervalos (1)

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 1

VALOR ABSOLUTO• VALOR ABSOLUTO.

• Los números irracionales, como √2 , junto con los números racionales, como 4 / 7, forman el conjunto de los números REALES ( R )

• El valor absoluto de un número real, x , se designa |x|, y coincide con el número si es positivo o 0, y con su opuesto si es negativo.

• Ejemplos:

• |2| = 2• |-3| = 3• | -3/4| = ¾• |- √2| = √2 • |√-2| = No existe, puesto que √-2 no es un número real.

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El valor absoluto de un número real es un concepto de frecuente utilización en cálculo.

Si x es un número real, su valor absoluto |x| se define así:

x si x 0x =

-x si x 0

Números reales

Valor absoluto

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Propiedades del valor absoluto

1. |xy| = |x| |y|

2. |x/y| = |x| / |y|

3. |x+y| ≤ |x| + |y|

4. |x-y| ≥ | |x| -|y| |

5. |x| < a -a < x < a

6. |x| > a x <-a ó x >a

7. |x|= 2x

Números reales

Matemática Básica(Ing.) 4

Números enteros (Z)Números enteros (Z)

Números Reales (R)Números Reales (R)

Números irracionales (Q´= I)Números irracionales (Q´= I)

Números Enteros

negativos Z-

Números Enteros

negativos Z-

Cero (0)Cero (0)

Números Enteros

positivos Z+

Números Enteros

positivos Z+

= N

Diagrama de los Conjuntos Numéricos

Números racionales (Q)Números racionales (Q)

0, nn

m


Identifique e indique cuál de los siguientes números es Q o I

6887729357320508075,13

8979323841415926535,3

3,0...33333,031

0,754

3

Si el número es racionalentonces su parte decimalcorrespondiente es finita o se repite periódicamente.

Si es Irracional tiene una expresión decimal infinitay no periódica.

Ejercicio:


Siempre entre dos números reales hay otro número real; de ahí que se asocie al conjunto de los números reales con una recta. La recta está formada por infinitos puntos y cada punto representaría un número real, de ahí que a dicha recta suela llamársele recta real o eje real.

La recta numérica real (R)

- -3 -2 -1 0 1 2 3

3 2

Recta numérica

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Propiedades del valor absoluto

1. |xy| = |x| |y|

2. |x/y| = |x| / |y|

3. |x+y| ≤ |x| + |y|

4. |x-y| ≥ | |x| -|y| |

5. |x| < a -a < x < a

6. |x| > a x <-a ó x >a

7. |x|= 2x

Números reales

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(a,b)

[a,b]

(a,b]

[a,b)

a b

a b

a b

a b

Números reales

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Definición de intervalos no acotados o semirrectas:

Si a R definimos

(a, ∞) = { x Є R / x > a }

[a, ∞) = { x Є R / x ≥ a }

(-∞, a) = { x Є R / x < a }

(-∞, a] = { x Є R / x ≤ a }

Luego se puede escribir R = (-∞, ∞)

Números reales

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Definición de conjuntos acotados

1) Un subconjunto A de R se dice que está acotado superiormente si para cualquier x de A se cumple x ≤ M, para algún M R. Se dice que M es una cota superior de A.

2) Un subconjunto A de R se dice que está acotado inferiormente si para cualquier x de A se cumple m ≤ x, para algún m R. Se dice que m es una cota inferior de A.

3) Un subconjunto A de R se dice que está acotado si para cualquier x de A se cumple |x| ≤ M, para algún M R. Se dice que M es una cota de A.

4) Luego A está acotado sí y sólo sí lo está superior e inferiormente.

Números reales


Es un subconjunto de números reales sin huecos en su interior.

Intervalos acotados de números reales:Sean a y b números reales con a < b.

Notación de intervalo

Tipo de intervalo

Notación de desigualdades

Gráfica

Los números a y b son extremos de cada intervalo.

ba, Cerrado bxa a b

ba; Abierto bxa a b

ba; abierto Semi bxa a b

ba; abierto Semi bxa a b

Intervalo


Intervalos NO acotados de números reales:Sean a y b números reales.

Notación de intervalo

Tipo de intervalo

Notación de desigualdades

Gráfica

Cada uno de estos intervalos tiene exactamente un extremo, a o b.

;a Cerrado ax

;a Abierto

Cerrado bx b;

Abierto bx

a

b;

ax a

b

b

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