Universidad Estatal del Valle de Ecatepec

Pérez Valdez Ahmed Sinue1441

Calculo Diferencial e Integral

Interpretación Cinemática de la Derivada

Interpretación cinemática de la derivada

¿qué es la cinematica?

RAPIDEZ DE LA VARIACIÓN

Dada una función como y=x2, derivando mediante la aplicación de la regla general, resulta:

 y+∆y= (x+∆x)2

y +∆y =x2 +2x∆x + (∆x)2

 

∆y = 2x∆x + (∆x)2

  3. ∆y =2x +∆x

∆x

Si antes de dar el cuarto paso para obtener la derivada,consideramos por ejemplo que x = 2y∆x = 0.8, la

ecuación 3 seconvierte en ∆y = 4.8, por lo que podemos afirmar que la ∆xrapidez media de variación y con respecto a x, equivale a

4.8,cuando x aumenta de x=2 a x=2.8.

De manera general se dice que ∆y es la rapidez media de ∆xvariación de y con respecto a x, cuando x varia de x a x

+2x. Así en el caso de la función:

y = ax + b ecuación de la rectay + ∆y = a(x +∆x) + b ∆y = a∆x ∆y = a∆x

Se puede concluir que la rapidez media de variación de y con

respecto a x es igual a la pendiente a de la recta y esconstante.Es decir, se trata de una rapidez constante de

variación.Mas si tomamos la primera función dada, es decir y =

x2 , apartir del paso 3 de la aplicación de la regla general,

tenemos:

∆y= 2x +∆x ∆x

Al considerar que el intervalo de x a x + ∆x disminuye

cuando ∆x → 0; la rapidez media de variación de y con

respecto a x se convierte en rapidez instantánea de

variación de y con respecto a x.Por consiguiente, viene a ser el límite de la

razón de losincrementos, es decir, la derivada:

dy= rapidez instantánea de variación dx de y con respecto a x para un valor determinado

de x.

Entonces como lim ∆y = dy ∆x dx ∆x→ 0  dy = 2x rapidez instantánea de variación dx

Por ejemplo, si x= 2, la rapidez instantánea de variación de y

seria 4 unidades por unidad de variación de x.Comúnmente se omite la palabra instantánea, y

algunos autoresse llaman “razón de cambio” o “rapidez de

cambio”.

Interpretación geométrica de la rapidez de variaciónDada la función y = f(x), haciendo la grafica

correspondiente setiene:

___ ___ ___ ___si x crece de OM a ON entonces y crece de MP a NQ. La

rapidezmedia de variación de y con respecto a x es igual a la

pendiente __de la tangente PT, es decir, m = tg ά  

Velocidad en el movimiento rectilíneo

La velocidad esta expresada por la formulaVelocidad = distancia , v = e tiempo t

 por lo que si consideramos que un punto A se mueve sobre una

recta, ocupando las posiciones A y A’ :

La razón entre el incremento de la distancia (∆s) y el incremento

del tiempo (∆t) es la velocidad media de variación en ese

intervalo. Es decir:  Velocidad media = v = ∆s ∆ t

S ∆S

0 A A’

 Mas, si tomamos el limite de esa velocidad media, cuando el intervalo tiende a ser infinitamente

pequeño, esto es, si ∆s → 0 y ∆t → 0, resulta: Velocidad = lim ∆s ∆t → 0 ∆t Es decir v= ds dt La velocidad será positiva cuando s sea creciente y

negativa en el casocontrario. Empero, lo común es considerar que la

velocidad que expresada porsu valor numérico, sin tener en cuenta el signo.

Aceleración en el movimiento rectilíneo

Sabemos que la aceleración de un móvil es la variación de su

velocidad. Entonces, la aceleración de un punto que se mueve

sobre una recta será la variación de su velocidad. Es decir:

Aceleración = a = dv dt y como v= ds dt

aceleración = a = dv = d2 s dt dt2

Problemas

Ejemplo

En forma experimental se ha demostrado que si un cuerpo cae libremente en el vació, a partir del reposo y hacia

la superficie de la tierra, obedece, aproximadamente, a la ley expresada para la formula s=4.9 t2, en la que s

representa la distancia recorrida en metros y t el tiempo en segundos. Calcular la velocidad y la aceleración en

cualquier instante, al cabo de 2 segundos y al final de 10 segundos.

Solución: en un instante cualquiera: v= ds = 9.8 t v= 9.8 t m por segundo dt

a = dv = d2s = 9.8 = s a = 9.8 m por segundo2

dt dt2

 Al cabo de 2 segundos:  v= 9.8 (2) =19.6 v=19.6 m por segundo a= 9.8 m seg.2

Al cabo de 10 segundos:

V= 9.8 (10) =98 V=98 m por segundo A=9.8 m seg.2

Desplazamiento, velocidad y aceleración

. x Q (x + ∆x, t + ∆t) ∆x θ P(x, t) t 0 t ∆t t + ∆t

. Derivada de una función

"Si una función es derivable en un punto, es continua en dicho punto."Si una función es discontinua en un punto no puede ser derivable en dicho punto. Hay funciones continuas que no son derivables(por ejemplo, y = |x| en x=0).

Interpretación geométrica de la derivada (problemade la tangente

af(a)y–f (a)=f '(a)(x–a)y= f (x)La derivada de una función f en un punto a: f '(a), es

laPendiente 1 de la recta tangente a la gráfica de

dichafunción en el punto (a, f(a)).

La recta tangente a y = f(x) en el punto (a, f(a))tiene como ecuación: y–f (a) = f '(a)(x–a)

Movimiento

El movimiento puede definirse como un cambio continuo de

posición. En el movimiento real de un cuerpo extenso,

los distintos puntos del mismo se mueven siguiendo

trayectorias diferentes, pero consideraremos en principio una

descripción del movimiento en función de un punto simple

(partícula). Tal modelo es adecuado siempre y cuando no

exista rotación nicomplicaciones similares, o cuando el cuerpo

essuficientemente pequeño como para poder ser

considerado como un punto respecto al sistema de

referencia.El movimiento más sencillo que puede

describirse es el de unpunto en línea recta, la cual haremos coincidir

con un eje de coordenadas.

Desplazamiento, velocidad y aceleración

Desplazamiento de un objeto que se mueve sobre el eje xgraficado en función del tiempo. La cantidad ∆x/∆t representa la velocidad media en el intervalo de tiempo ∆t, mientras que el límite de esta cantidad cuando ∆t tiende a cero, que es la derivada dx/dt, representa la velocidad instantánea en el tiempo t.

La velocidad media durante un intervalo de tiempo pudeobtenerse determinado la distancia que recorre lapartícula en ese intervalo.

Ahora podrá definirse la velocidad instantánea vx

asociada a un instante t y el desplazamiento

correspondiente x, como el límite de cuando el

intervalo de tiempo tiende a cero. Pero esto es

precisamente la definición de la derivada de x con respecto a t.

La velocidad instantánea puede considerarse

como la pendiente de la tangente.Conforme ∆t y ∆x tienden a cero en el límite.Por la ecuación, se considera que la velocidad instantánea Vx es la rapidez de variación del desplazamiento. Fácilmente se demuestra que si la velocidad instantánea es constante, entonces la velocidad media un intervalo de tiempo es igual a la velocidad instantánea.

Si la velocidad instantánea no fuese constante, entonces la velocidad dependerá del intervalo tiempo escogido , en general, no será igual a la velocidad instantánea al principio o al final del intervalo.También se puede hablar de la aceleración media āx

durante cierto intervalo, como el cambio en la velocidad

instantánea que experimenta la partícula durante aquél,

dividido entre la duración del mismo,…

Como antes, la aceleración instantánea ax

asociada al tiempo t se considera como el límite de ax

conforme el intervalo tiende a cero, es decir, como la derivada de vx

conrespecto a t, como la segunda derivada de x con

respecto a t:

En consecuencia, se puede decir que la aceleración instantánea es la rapidez de variación de la velocidad instantánea.Si se graficara la velocidad vx como función del tiempo (y no del desplazamiento), se encontraría que la pendiente dvx/dt en cualquier punto sería igual a la aceleración instantánea en el tiempo correspondiente.

Escribiendo dv/dt = (dvx/dx) (dx/dt), que equivale a multiplicar dvx/dt por dx/dx (es decir, por la unidad), se obtiene:

Se verá que esta relación sirve para encontrar el desplazamiento en términos de la velocidad, o viceversa.