Ringkasan Materi MatematikaINTEGRAL PARSIAL DAN INTEGRAL FUNGSI

RASIONAL

DISUSUN OLEH:Farida Indriani 13.12.2729Febiola Harisa 13.12.2730Tia Kustia 13.12.2753Vera Yulianti 13.12.2756Wendel Jan Pattipeilohy 13.12.2757

KLIMATOLOGI I

AKADEMI METEOROLOGI KLIMATOLOGI DAN GEOFISIKA

BADAN METEOROLOGI KLIMATOLOGI DAN GEOFISIKA

TAHUN 2012/2013

Integral Parsial

Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, dimungkinkan menggunakan substitusi ganda, yang lebih dikenal dengan integral parsial. Metode ini didasarkan pada integrasi rumus untuk turunan hasil kali dua fungsi.

Andaikan u = u (x) dan v = v (x). Maka :Dx [ u(x) v(x) ] = u(x) v׳(x) + v(x) u׳(x)

atauu(x) v׳(x) = Dx [ u(x) v(x) ] – v(x) u׳(x)

Dengan mengintegrasi kedua ruas persamaaan tersebut kita memperoleh ∫ u(x) v׳(x) dx = u(x) v(x) - ∫ u(x) u׳(x) dx

Karena dv = v׳(x) dx dan du = u׳(x) dx, persamaan di depan biasanya ditulis dengan lambang sebagai berikut :

Integrasi Parsial : Integral Tak Tentu∫ u dv = uv - ∫ v du

Rumus yang berpadanan untuk integral tentu adalah :

∫a

bu( x )v '(x)dx=[u( x )v ( x ) ]a

b−∫a

bv (x )u '( x )dx

∫a

b

udv=u (b ) v (b )−u (a ) v (a )−∫a

b

v du

Gambar 1

Gambar tersebut mengilustrasikan sebuah tafsiran geometri mengenai integrasi parsial. Kita ringkas sebagai berikut :

Integrasi Parsial : Integrasi Tentu

∫a

budv=[uv ]a

b−∫a

bv dv

Rumus-rumus ini membolehkan kita memindahkan masalah mengintegrasikan u dv menjadi mengintegrasikan v du . Keberhasilannya bergantung pada pilihan u dan dv yang tepat, yang diperoleh melalui latihan-latihan.

Contoh 1Carilah ∫ x cos x dx

PenyelesaianKita ingin menuliskan x cos x dx sebagai u dv. Salah satu cara ialah dengan

menganggap u = x dan dv = cos x. Jadi du = dx dan v = ∫ cos x dx = sin x ( kita dapat menghilangkan konstanta sebarang pada tahap ini ). Berikut ini ringkasan substitusi ganda dalam bentuk yang mudah.

u = x dv = cos x dxdu = dx v = sin x

Rumus integral parsial :∫ x⏟

u

cos xdx⏟dv

=x⏟u

sin x⏟v

−∫sin x⏟v

dx⏟du

=x sin x+cos x+C

Kita sukses pada langkah pertama. Substitusi yang lain berupau = cos x dv = x dx

du = -sin x dx v = x2

2

Kali ini rumus integrasi parsial menghasilkan

∫ cos x⏟u

xdx⏟dv

=(cos x )⏟u

x2

2⏟v

−∫ x2

2⏟v

(−sin xdx )⏟du

yang juga benar, akan tetapi tidak membantu. Integral baru di ruas kanan menjadi lebih rumit daripada yang semula. Oleh karena itu, penting sekali memilih u dan dv setepat mungkin.

Contoh 2

Carilah soal∫1

2ln x dx

PenyelesaianLakukan substitusi berikut :

u = In x dv = dx

du = ( 1

x )dxv = x

Kemudian

∫2

1ln x dx =[ x ln x ]1

2-∫1

2x 1

xdx

=2 ln 2-∫1

2dx

=2 ln 2-1=0,386

Contoh 3Carilah ∫ arcsin x dx

Penyelesaian Kita lakukan substitusi berikut :

u = arcsin x dv = dx

du=

1√1−x2

dxv=x

Maka

∫ arcsin x dx = x arcsin x - ∫x

√1−x2dx

=x arcsin + 12∫(1−x2)

−12(−2 x

dx)

=x arcsin x+

12 . 2(1-x

2 )1

2+C

=x arcsin x+√1−x2+C

Integrasi yang diulang Seringkali menerapkan integrasi parsial

Contoh 4

Carilah ∫ x2 sin xdx .Penyelesaian Andaikan

u=x2dv=sin x dx

du=2x dx v=-cos x

Maka

∫ x2 sin xdx=−x2 cos x+2∫ x cos xdx

Pangkat pada x berkurang dari 2 menjadi 1, maka hasilnya adalah

∫ x2sin x dx= -x

2 cos x+2( x sin x+cos x+C )

= -x2 cos x+2 x sin x+2 cos x+K

Contoh 5Carilah ∫ ex sin x dxPenyelesaian Ambillah u = ex dan dv = sin x dx . Kemudian du = ex dx dan v = -cos x . Jadi,

∫ ex sin x dx = -ex cos x + ∫ ex cos x dx

Yang tampaknya tidak ada peningkatan, akan tetapi jangan menyerah, kita integrasikan secara parsial sekali lagi. Pada integral di kanan, kita andaikan u = ex dan dv = cos x dx , sehingga du = ex dx dan v = sin x. Maka ,

∫ ex cos x dx = -ex sin x - ∫ ex sin x dx

Apabila hasil ini disubtitusikan ke dalam hasil pertama, kita memperoleh, ∫ ex sin x dx = -ex cos x + ex sin x - ∫ ex sin x dx

Dengan memindahkan suku terakhir ke ruas kiri dan menggabungkan suku-sukunya, kita memperoleh,

2∫ ex sin x dx = ex (sin x - cos x) + C

Sehingga,

∫ ex sin x dx = 12 ex (sin x - cos x) + K

Fakta bahwa integral yang hendak kita cari muncul lagi di ruas kanan yang membuat contoh 5 berhasil.

Rumus- rumus Reduksi Suatu rumus yang berbentuk∫ fn (x) dx = g(x) + ∫ fk (x) dx

Dengan k < n dinamakan rumus reduksi (pangkat f direduksi/berkurang). Rumus-rumus demikian seringkali diperoleh dengan menggunakan integral parsial.

Contoh 6Turunkanlah suatu rumus reduksi untuk ∫ sinn x dx.PenyelesaianAndaikan u = sinn-1 x dan dv = sin x dx. Maka,

du = (n-1) sinn-2 x cos dx dan v = -cos x

sehingga∫ sinn x dx = -sinn-1 x cos x + (n-1) ∫ sinn-2 x cos2 x dx

Jika kita menggantikan cos2 x dengan 1-sin2x dalam integral yang terakhir, kita peroleh:

∫ sinn x dx = -sinn-1 x cos x + (n-1) ∫ sinn-2 x dx – (n-1) ∫ sinn x dx

Dengan menggabungkan integral pertama dan integral yang terakhir di atas, dan menyelesaikan untuk ∫ sinn x dx, kita peroleh rumus reduksi (sahih untuk n ≥ 2)

∫ sinn x dx = −sinn−1 x cos xn

+ n−1

n ∫ sinn-2 x dx

Contoh 7

Gunakanlah rumus reduksi di atas untuk menghitung ∫0

π2 sin8

x dx.PenyelesaianPertama perhatikan bahwa

∫0

π2 sinn

x dx.=[−sinn−1 x cos xn ]

0

π /2

+n−1

n∫0

π2 sinn−2

x dx

=0+

n−1n ∫o

π2 sinn−2

x dx

Jadi,

∫0

π2 sin8

x dx.=

78 ∫0

π2 sin6

x dx

=

78 .

56 ∫0

π2 sin4

x dx.

=

78 .

56 .

34 ∫0

π2 sin2

x dx.

=

78 .

56 .

34 .

12 ∫0

π2 1 dx.

=

78 .

56 .

34 .

12 .

π2 =

35256

π

Rumus umum untuk ∫0

π2 sinn

dx dapat diperoleh dengan cara

∫0

π2 sinn

u du=∫0

π2 cosn

u du = { 1 .3 .5 . ….(n−1)2.4 .6 . …. n

π2

2.4 .6 .….(n−1)3 .5 .7. …. n

jika n adalah bilangan bulat ganjil n ≥ 2

jika n adalah bilangan bulat genap n ≥ 3

INTEGRASI FUNGSI RASIONAL

Menurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi polinomial. Misalnya,

f ( x )= 2( x+1 )3

g ( x )= 2x+2x2−4 x+8

h ( x )= x5+2 x3−x+1x5+5 x

Di antara ini, f dan g dinamakan fungsi rasional sejati, bermakna dimana derajat pembilang lebih kecil daripada derajat penyebut. Fungsi rasional tak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah suatu fungsi polinomial dan suatu fungsi rasional sejati. Sehingga, misalnya

h ( x )= x5+2 x3−x+1x3+5 x

=x2−3+14 x+1x3+5 x

x3+5 xGambar 2

hasil yang diperoleh dengan melakukan pembagian panjang ( Gambar 2 ). Oleh karena polinomial-polinomial mudah diintegrasikan maka persoalan mengintegrasikan fungsi rasional sebenarnya adalah perbedaan mengintegrasikan fungsi rasional sejati. Tetapi apakah fungsi rasional sejati selalu dapat diintegrasikan? Dalam teori, jawabannya adalah ya, walaupun rincian praktisnya mungkin membuat kita sangat kewalahan. Pertama, kita tinjaulah integral dari f dan g diatas.

Contoh 1Carilah

Penyelesaian Pikirkan substitusi u=x+1

∫ 2( x+1 )3

dx=2∫ ( x+1 )3 dx=2 ( x+1 )−2

−2+C= −1

( x+1 )2+C

Contoh 2

Carilah ∫ 2 x+2

x2−4 x+8Penyelesaian

Pertama pikirkan dahulu substitusi u=x2−4 x+8 sehingga du=(2 x−4 ) dx .Kemudian tuliskan integral yang diketahui sebagai jumlah dua integral.

∫2 x+2x2−4 x+8

dx

¿∫2 x−4x2−4 x+8

dx+∫6x2−4 x+8

dx

¿ In|x2−4 x+8|+6∫1x2−4 x+8

dx

Dalam integral kedua , lengkapilah kuadrat.

Kita menyimpulkan bahwa

∫ 2 x+2x2−4 x+8

dx=In|x2−4 x+8|+3 tan−1( x−22 )+ K

Merupakan fakta yang menakjubkan bahwa sebarang fungsi rasional sejati dapat dituliskan sebagai jumlah fungsi-fungsi rasional sejati yang sederhana seperti yang diilustrasikan dalam Contoh-contoh 1 dan 2 . Kita harus lebih persis.

Dekomposisi Pecahan Parsial (Faktor Linnear)Menjumlahkan pecahann merupakan latihan aljabar baku. Misalnya ,

2x−1

+ 3x+1

=2 ( x+1 )+3 ( x−1 )

( x−1 ) ( x+1 )= 5x−1

( x−1 ) ( x+1 )= 5 x−1

x2−1

Yang menarik bagi kita sekarang adalah proses kebalikannya yaitu dekomposisi suatu pecahan menjadi suatu jumlah pecahan yang lebih sederhana. Kita memusatkan perhatian pada penyebut dan meninjau berbagai kasus.

Contoh 3Faktor Linear yang berbeda

Dekomposisikan (3 x−1 ) / ( x2−x−6 ) dan kemudian carilah integral tak tentunya.Penyelesaian

Karena penyebut diuraikan sebagai ( x+2 ) (x−3 ) ,kelihatannnya beralasan untuk mengharapkan dekomposisi yang berbentuk sebagai berikut:

∫1x2−4 x+8

dx

¿∫1x2−4 x+4+4

dx=∫1(x−2 )2+4

dx

¿∫1( x−2 )2+4

dx=∫12

tan−1(x−22 )+C

(1)

3 x−1( x+2 ) ( x−3 )

= Ax+2

+ Bx−3

Kemudian menentukan A dan B sehingga (1) menjadi suatu kesamaan, tugas yang

akan menjadi lebih mudah jika kedua ruas kita kalikan dengan ( x+2 ) (x−3 ) . Kita akan memperoleh :

(2) 3 x−1=A ( x−3 )+B ( x+2 )

Atau, secara setara,

(3) 3 x−1=( A+B ) x+(−3 A+2 B )

Namun (3) berupa suatu kesamaan, jika dan hanya jika koefisien-koefisien pangkat x yang sama di ruas kiri dan ruas kanan bernilai sama,yakni

A +B =3−3 A+2 B=−1

Dengan menyelesaikan sepasang persamaan tersebut kita akan memperoleh A=7

3 ,

danB= 8

5 . Akibatnya ,

3 x−1x2−x−6

= 3 x−1( x+2 ) ( x−3 )

=

75

x+2+

85

x−3dan

∫ 3 x−1x2−x−6

dx=75∫

1x+2

dx+ 85∫

1x−3

dx= 75

In|x+2|+ 85

In|x−3|+C

Jika ada yang sulit mengenai proses ini, itu adalah penentuan A dan B. Kita memperoleh nilainya melalui “kekuatan kasar”:terdapat cara yang lebih mudah dalam (2), yang kita inginkan berupa suatu kesamaan, substitusikan nilai-nilai yang sesuai x=3 dan x=−2 didapatkan

8=A⋅0+B⋅5−7=A⋅(−5 )=B⋅0

Ini langsung memberikan B= 8

5 dan A=7

5Persamaan (1) ternyata berupa suatu kesamaan ( benar untuk semua x kecuali

untuk x=−2 dan x=3 ) jika dan hanya jika persamaan (2), yang secara mendasar setara,adalah benar secara persis di -2 dan 3. Pada akhirnya bergantung padas fakta bahwa kedua ruas persamaan (2), kedua polinomial linear adalah identik jika mereka bernilai sama pada dua titik sebarang.

Contoh 4Faktor Linear yang Berbeda

Carilah ∫ 5 x+3

x3−2 x2−3 xPenyelesaian

Karena penyebut diuraikan menjadi x (x+1 ) ( x−3 ) , kita tuliskan 5 x+3

x ( x+1 ) ( x−3 )= A

x+ B

x+1+ C

x−3Dan berusaha menemukan A, B, C. Dengan menghilangkan pecahan akan memberikan

5 x+3=A ( x+1 ) ( x−3 )+Bx (x−3 )+Cx ( x+1 )Substitusi nilai x=0 , x=−1 , dan x=3 , akan menghasilkan

3=A (−3 )−2=B (4 )18=C (12 )

Atau A=−1 , B=−1

2 , C=3

2 . Sehingga,

∫5 x+3x3−2 x2−3 x

dx

¿−∫1x

dx−12∫

1x+1

dx+32 ∫1

x−3dx

¿−In|x|−12

In|x+1|+32

In|x−3|+C

Contoh 5Faktor Linear yang Berulang

Carilah ∫ x

( x−3 )2dx

PenyelesaianMengambil bentuk dekomposisi

x( x−3 )2

= Ax−3

+ B(x−3 )2

Dengan A dan B harus ditentukan. Setelah pecahan-pecahan dihilangkan kita perolehx=A ( x−3 )+B

Jika sekarang kita substitusikan nilai yang sesuai x=3 dan sebarang nilai x yang lain, misalnya x=0 , kita memperoleh B=3 dan A=1 . Jadi

∫ x( x−3 )2

dx

¿∫1x−3

dx+3∫1( x−3 )2

dx

¿ In|x−3|−3x−3

+C

Contoh 6Beberapa Faktor Linear Berbeda, dan Ada yang Berulang

Carilah ∫ 3 x2−8 x+13

( x+3 ) ( x−1 )2dx

PenyelesaianKita dekomposisikan integran dengan cara berikut :

3 x2−8 x+13( x+3 ) ( x−1 )2

dx=∫ Ax+3

+ Bx−1

+ C(x−1 )2

Dengan menghilangkan pecahan-pecahan ini, diubah menjadi3 x2−8x+13=A ( x+1 )2+B ( x+3 ) ( x−1 )+C ( x+3 )

Substitusikan x=1 , x=−3 , dan x=0 menghasilkan C=2 , A=4 , dan B=−1 . Jadi,

∫3 x2−8 x+13( x+3 ) ( x−1 )2

dx = 4∫ dxx+3

−∫ dxx−1

+2∫ dx( x−1 )2

=4 In|x+3|−In|x−1|−2x−1

+C

Yakinkan untuk mencatat penyertaan dua pecahan B/ ( x−1 ) . Dan C / (x−1 )2 dalam dekomposisi di atas. Aturan umum untuk mendekomposisikan pecahan-pecahan

dengan faktor linear (ax+b )k dalam penyebut, terhadap k suku dalam dekomposisi pecahan parsial, yakni

A1

ax+b+ A2

(ax+b )2+

A3

(ax+b)3+⋯+

Ak

( ax+b)k

Dekomposisi Pecahan Parsial (Faktor Kuadrat) Dalam memfaktorkan penyebut

suatu pecahan, jika mungkin mendapatkan beberapa factor kuadrat, misal (( x2+1) , yang tidak dapat lagi diuraikan menjadi factor-faktor linear tanpa memperkenalkan bilangan kompleks.

Contoh 7

Faktor Kuadrat Tunggal Deposisikan

6 x2−3 x+1(4 x+1 )( x2+1) Dan kemudian tentukan

integral tak tentu.Penyelesaian Dekomposisi berbentuk

6 x2−3 x+1(4 x+1 )( x2+1) =

A4 x+1

+ Bx+Cx2+1

Untuk menentukan konstan A, B, dan C, kalikan kedua ruas dengan (4 x+1 )( x2+1)dan akan diperoleh

6 x2−3 x+1=A ( x2+1)+(Bx+C )(4 x+1)

Subtitusikan x=−1

4, x=0 ,

dan x=1, akan menghasilkan

616

+ 34+1=A( 7

16 ) ⇒ A=2

1=2+C ⇒C=−14=4+(B-1)5 ⇒B=1

Jadi,

∫6 x2−3 x+1

(4 x+1 )( x2+1) dx=∫2

4 x+1dx+∫ x−1

x2+1dx

=

12∫

4dx4 x+1

+ 12∫

2 xdx2+1

x−∫ dxx2+1

=

12

ln|4 x+1|+ 12

ln ( x2+1)−tan−1x+C

Contoh 8

Faktor Kuadrat Berulang Carilah ∫ 6 x2−15x+22

( x+3 )(x2+2)2 dx

Penyelesaian6 x2−15 x+22( x+3)( x2+2 )2

=

Ax+3

+ Bx+Cx2+2

+ Dx+E( x2+2 )2

Diperoleh A=1, B=-1, C=3, D=-5, dan E=0. jadi,

∫6 x2−3 x+1

(4 x+1 )( x2+1) dx

=∫ dx

x+3−∫ x−3

x2+2dx−5∫ x

( x2+2)2dx

=∫ dx

x+3−1

2∫2 x

x2+2dx+3∫ dx

x2+2−5∫ 2 xdx

( x2+2)2

=ln|x+3|−1

2ln ( x2+2 )+ 3

√2tan−1( x

√2 )+ 52( x2+2)

+C

Ringkasan untuk medekomposisikan fungsi rasional f(x) = p(x) / q(x) menjadi pecahan-pecahan parsial, gunakan langkah sebagai berikut

Langkah 1: jika f(x) tak sejati yaitu jika derajat p(x) paling sedikit sama dengan derajat q(x), bagilah p(x) dengan q(x), akan diperoleh

f(x) = a polynomial + N (x)D(x)

Langkah 2: Faktorkanlah D(x) atas hasil kali faktor-faktor linear dan kuadrat yang tak teruraikan dengan koefisien riil. Menurut suatu teorema dalam aljabar, hal ini selalu mungkin (secara teoritis)

Langkah 3: Untuk tiap faktor yang berbentuk (ax +b)k , harapkanlah dekomposisinya memiliki banyak suku-suku

A1

(ax+b)+

A2

(ax+b)2 +…+A k

(ax+b)k

Langkah 4: Untuk tiap faktor yang berbentuk (ax2 +bx + c)m , harapkanlah dekomposisinya mempunyai suku-suku

B1 x+C1

ax2+b x+c+

B2 x+C2

(ax2+bx+c )2 +…+Bm x+Cm

(ax2+bx+c)m

Langkah 5: Tetapkanlah N(x)/D(x) sama dengan jumlah semua suku yang diperoleh dalam langkah-langkah 3 dan 4. Banyaknya konstanta yang harus ditentukan harus sama dengan derajat penyebut, yaitu D(x).

Langkah 6: Kalikan kedua ruas persamaan yang diperoleh dalam langkah 5 dengan D(x) dan selesaikan untuk konstanta-konstanta yang tidak diketahui. Ini dapat diperoleh dengan salah satu dari dua metode (1). Samakan koefisien dari suku-suku yang derajatnya sama; atau (2) berikan nilai-nilai yang sesuai terhadap peubah x.