FUNGSI PEUBAH BANYAK - WordPress.comPada fungsi satu peubah, Turunan Kekontinuan, Kekontinuan...
Transcript of FUNGSI PEUBAH BANYAK - WordPress.comPada fungsi satu peubah, Turunan Kekontinuan, Kekontinuan...
By yBambang Hendriya Guswanto
Research Group of Pure MathematicsDepartment of Mathematics and Natural SciencesDepartment of Mathematics and Natural Sciences
Universitas Jenderal Soedirman, Indonesia
"The high technology celebrated today is essentially a mathematical technology "essentially a mathematical technology.(E.E. Davis, President of Exxon R&D)
Suppose that is a set in Real valuedSuppose that is a set in Real valued Two‐variable Function is a relation which relates each element towhich relates each element to a unique number .
Functions :Functions :
Not Function :
Kpb.mw
Suppose that is a real valued function on ppset and . The notation
has the meaning as follows :
for each there is such that if
for each then
If and
then
1. 2.
3 if3. if
Suppose thatSuppose that
and . Then
Suppose that dan are subsets ofSuppose that dan are subsets of Domain of . If
then
does not exist.
Consider
If then
So,
hwhere
Consider
If then
So,
where
But,
where
Misalkan fungsi dengan daerah definisi Fungsi kontinu di jika
Jadi ada tiga syarat yang harus dipenuhi :
1. ada
2. terdefinisi 33.
Diberikan
Mi lk P h tikMisalkan Perhatikan
Dapat ditunjukkan bahwa fungsi kontinu di mana‐mana atau di . Karena maka fungsi juga kontinu di .
Z lengkung
permukaan
titik singgung
y
titik
X
garis singgung di titik
Turunan parsial terhadap di titik adalah
Diberikan fungsi .
Turunan parsial terhadap di titik adalah
Turunan parsial terhadap di titik adalah
Turunan parsial terhadap dan di titik masing‐masing adalah
dan
Pada fungsi satu peubah,
Turunan Kekontinuan, Kekontinuan Turunan.
Pada fungsi peubah banyak,
Turunan Parsial Kekontinuan,
Kekontinuan Turunan Parsial.
Fungsi yang didefinisikan sebagai
adalah contoh fungsi yang memiliki turunan parsial di tetapi tidak kontinu di
dan
Telah dibuktikan bahwa fungsi tidak memiliki limit di sekitar titik Artinya fungsi tidak kontinu di titik
MisalkanMisalkan
i. Titik merupakan titik dalam himpunan jika kita dapat membuat cakram dengan pusat sehingga cakram tersebut semuanya berada di
ii. Titik merupakan titik batas himpunan jika setiap cakram yang berpusat di memuat titik di dan juga memuat titik yang tidak di .
iii. Titik merupakan titik luar himpunan jika kita dapat membuat cakram dengan pusatjika kita dapat membuat cakram dengan pusat sehingga cakram tersebut tidak memuat titik di atau cakram tersebut semuanya berada di luar
Perhatikan himpunanPerhatikan himpunan
Himpunan titik dalam dari adalah
.
Himpunan titik batas dari adalah
Himpunan titik luar dari adalah
Himpunan disebut himpunan buka jikaHimpunan disebut himpunan buka jika semua titik di adalah titik dalam.
Himpunan merupakanHimpunan merupakan himpunan buka
Himpunan disebut himpunan tutup jikakomplemennya adalah himpunan buka.
Himpunan merupakan himpunan tutup.
Misalkan adalah fungsi dengan daerah definisi himpunanMisalkan adalah fungsi dengan daerah definisi himpunanbuka . Diferensial fungsi di titik dengan perubahan dan adalah bagian linear terhadap dan dari bentukterhadap dan dari bentuk
jikajika
dengan
Dib ik f iDiberikan fungsi
PerhatikanPerhatikan
Bagian linear dari adalah
Akibatnya
Konsekuensinya
Jadi adalah diferensial dari fungsi di titik .
Diberikan fungsi
Perhatikan
Bagian linear dari adalah
Akibatnya
Konsekuensinya
Jadi adalah diferensial dari fungsi di titik .
Misalkan adalah fungsi dua variable dan merupakan titik dalam daerah definisi . Turunan fungsi di titik adalah t f i li d i k hitransformasi linear dari ke yang memenuhi
Diferensial dari fungsi di titik adalah
Dapat ditunjukkan bahwa
Jadi turunan fungsi di titik adalah
Diferensial dari fungsi di titik adalah
Dapat ditunjukkan bahwa
Jadi turunan fungsi di titik adalah .
Jika fungsi dua variabel f Jika fungsi dua variabel f mempunyai turunan di titik (a,b)
k f k ti di ( b)maka f kontinu di (a,b)
Jika fungsi dua peubah mempunyai turunan diJika fungsi dua peubah mempunyai turunan di
maka dan ada dan
atau
Sebaliknya jika turunan parsial dan adaSebaliknya, jika turunan parsial dan ada
dan kontinu di himpunan buka yang memuat titik maka mempunyai turunan di atau ada.
Diberikan fungsi Turunan parsial dari adalahDiberikan fungsi Turunan parsial dari adalah
dan
Karena turunan parsial tersebut kontinu maka mempunyai turunan di seluruh daerah definisi . Turunan di titik adalah
dan diferensial di titik untuk dan adalah
Untuk menaksir nilai perhatikan fungsi p g
di sekitar titik . Turunan parsial adalah
T i l di titik d l hTurunan parsial di titik adalah
Diferensial di titik dengan dan adalah
Jadi