Integral Di Ruang n Animated

8/19/2019 Integral Di Ruang n Animated

1/84

Integral Lipat 1

Integral di Ruang n


2/84

Integral Lipat 2

Integral di Ruang n

Integral lipat dua pada persegipanjang

Integral berulang

Integral lipat dua pada bidang bukan persegipanjang

Integral lipat dua pada koordinat polar

Aplikasi dari integral lipat dua

Luas permukaan

Integral lipat tiga (koordinat kartesius)

Integral lipat tiga (koordinat silinder dan bola)


3/84

Integral Lipat 3

Pengantar

Integral lipat akan digunakan untuk mencari volume dari sembarang benda padat

mencari luas dari sembarang permukaan

mencari pusat massa dari lamina

mencari solids of variable densit

!ubungan ang erat antara integral dan diferensialdiberikan ole" torema dasar kalkulus#

Integral lipat diselesaikan dengan mereduksina menjadi sebarisan integral tunggal

menerapkan teorema dasar kalkulus pada integral


4/84

Integral Lipat $

Rivie%& Integral 'unggal

∫∑

∑

=∆=

∆≈

=→

=

b

a

n

k k k P

n

k

k k

dx x f xc f L

xc f L

)()(lim

)(

1

1


5/84

Integral Lipat *

Integral Lipat 2 Atas Persegi

Panjang +emperumum jumla" reimann pada integral

tunggal 'etapkan domain& R , -( x. y)a≤ x≤b. c≤ y≤d /

Partisi R dengan garis0garis sejajar sb0 x dan sb0 y

se"ingga membentuk Rk bua" persegi panjang

kecil. k ,1. 2. . n

atakan sisi0sisi persegi panjang kecil dengan

∆ xk dan ∆ yk . dan luasna dengan ∆ Ak , ∆ xk ∆ yk

Ambil titik sembarang ( xk . yk ) pada Ak


6/84

Integral Lipat

a

d

c

b

x∆ y∆

k A∆

).(k k

y x

k

n

k k k A y x f V ∆≈∆ ∑

=1

).(

k

n

k k

k

P

A y x f V ∆= ∑=→ 1

).(lim

Integral Lipat 2&

4umla" Riemann).(

k k y x f


7/84Integral Lipat 5

6efinisi& Integral Lipat 2

4ika f suatu fungsi 2 variabel ang terdefinisi

pada suatu persegi panjang R. dan jika

ada. maka dikatakan f dapat diintegralkan pada R#

P , panjang diagonal terpanjang persegi panjang

k

n

k k k

P

A y x f ∆∑=→ 1

).(lim

k

n

k k k

P R

A y x f dA y x f ∆= ∑∫∫ =→ 1

).().( lim



Integral Lipat 2

8ebagai 9olume 4ika f ( x) ≥ . maka

menatakan luas di ba%a" y , f ( x) antara a dan b#

4ika f ( x. y) ≥ . maka

menatakan volume benda pejal di ba%a" z , f ( x. y)

dan di atas persegi panjang R

∫∫ R dA y x f ).(

∫ b

a

dx x f )(


9/84Integral Lipat :

'eorema& ;eterintegralan

4ika f terbatas pada suatu persegi panjang

tertutup R dan kontinu di sana kecuali padasejumla" kurva mulus. maka f dapat

diintegralkan pada R#

6alam "al k"usus. jika f kontinu pada seluru"

R. maka f dapat diintegralkan di sana#



8ifat0sifat integral lipat 2

∫∫∫∫ ≤

≤

R R dA y x g dA y x f

R y x y x g y x f

).().(maka

.di).(semua pada).().(4ika#3

∫∫ ∫∫ ∫∫ +=21

).().().(#2 R R R

dA y x f dA y x f dA y x f

φ =∩∪= 2121 dandimana R R R R R

∫∫ ∫∫ = R R dA y x f k dA y xkf a ).().(#

∫∫ ∫∫ ∫∫ +=+ R R R dA y x g dA y x f dA y x g y x f b ).().().().((#

1# Linear


14/84Integral Lipat 1$

Integral >erulang

4ika R , -( x. y) a ≤ x ≤ b. c ≤ y ≤ d /

dan f ( x. y) ≥ di R. maka integral lipat dapatdiinterpretasikan sebagai volume benda diba%a"

permukaan

+eng"itung volume&

Iris benda pejal sejajar bidang xz untuk memperole"kepingan0kepingan

Luas sebua" kepingan sebut A( y)& bergantung pada y

9olume kepingan ∆V ≈ A( y)∆ y


15/84



Integral >erulang

∫ ∫

∫ ∫ ∫∫

=

=

b

a

d

c

d

c

b

a R

dydx y x f

dxdy y x f dA y x f

).(

).().(

∫∫ ∫∫=≥

R R

dA y x f dA y x f R y x f ).().(maka padatidak ).(4ika

Atau Iris benda pejal sejajar bidang xz


19/84

Integral Lipat 1:


20/84

Integral Lipat 2


21/84

Integral Lipat 21


22/84

Integral Lipat 22

Integral lipat dua pada bidang

bukan persegipanjang 6aera" asal S dibatasi ole" lengkung

Pemba"asan pada S ang seder"ana

/).()(&).-( 21 b xa x y x y xS ≤≤≤≤= φ φ

1 2-( . ) & . ( ) ( )/S x y c y d y x yϕ ϕ = ≤ ≤ ≤ ≤

∫∫ ∫ ∫ =S

b

a

x

x

dydx y x f dA y x f

)(

)(

2

1

).().(

φ

φ

2

1

( )

( )

( . ) ( . )

yd

S c y

f x y dA f x y dxdy

ϕ

ϕ

=∫∫ ∫ ∫

a

)(1 x y φ =

b

)(2 x y φ =

S

d

c

1( ) x yϕ =2 ( ) x yϕ =

S

0seder"ana

0seder"ana


23/84

Integral Lipat 23


24/84

Integral Lipat 2$


25/84

Integral Lipat 2*


26/84

Integral Lipat 2

Prosedur +enemukan Limit

Integrasi

L1& 8ketsa daera" integrasi dan berilabel dari kurva pembatas

L2& >aangkan garis vertikal L

memotong R seara" pertamba"an y# 'entukan nilai y dimana L masuk dan keluardaera" R. inila" limit integrasi

ter"adap y

+eng"itung ∫∫ Rf( x. y) dA

ter"adap y dulu. lalu x


27/84

Integral Lipat 25

L3& Pili" limit x ang

menertakan seluru"

garis vertikal angmelalui R


Integrasi ###

∫∫ R f(. ) dA , ∫ ∫ −

−

1

1

1

2

).(

x

x

dydx y x f


28/84

Integral Lipat 27


Integrasi ###4ika urutan

pengintegralan

diuba".

gunakan garis

"oriContal

∫ ∫

−

−

1

1

1

2

).(

y

y

dxdy y x f ∫∫ R f(. ) dA ,


29/84

Integral Lipat 2:


30/84

Integral Lipat 3


31/84

Integral Lipat 31


32/84

Integral Lipat 32


33/84


34/84

Integral Lipat 3$

Integral Lipat

Pada ;oordinat Polar ### Persegi panjang polar. R , -(r . θ ) a≤r ≤b. α ≤θ ≤β /.

dengan a≥ dan β 0α ≤2π

• Ingat& f ( x. y) , f (r cos θ . r sin θ ) , F (r . θ )

α θ =

β θ =

ar =

br =

O

R


35/84

Integral Lipat 3*

Integral Lipat

Pada ;oordinat Polar ### Partisi R menjadi R1. R2.

. Rn

R

O

k R).(

k k

r θ

( ) ( ){ }22

2

22r

k r

k k r r A ∆∆∆ −−+=∆ θ

θ θ ∆∆=∆= ∆ r r r r k k )2(2

kecil bagianbesar bagiank A A A −=∆


36/84

Integral Lipat 3

Integral Lipat

Pada ;oordinat Polar ###

θ θ ∆∆≈ ∑=

r r r F V k

n

k

k k

1

).(

θ θ θ θ θ rdrd r r f rdrd r F V R R∫∫ ∫∫ == )sin.cos().(limit6engan

diperole" dengan asumsi f nonnegatif. tetapi berlaku untuk

fungsi umum. secara k"usus ang kontinu dengan sembarang

tanda

θ θ θ rdrd r r f dA y x f R R ∫∫ ∫∫

= )sin.cos().(8e"ingga


37/84

Integral Lipat 35


38/84

Integral Lipat 37

Integral Lipat Pada ;oordinat Polar

6aera" >ukan Persegipanjang 6aera" asal S dibatasi ole" lengkung

Pemba"asan pada S ang seder"ana

/).()(&).-( 21 β θ α θ φ θ φ θ ≤≤≤≤= r r S

)/()(.&).-( 21 r r br ar S ϕ θ ϕ θ ≤≤≤≤=

∫∫ ∫ ∫ =S

r

r

rdrd r r f dA y x f

β

α

φ

φ

θ θ θ

)(

)(

2

1

)sin.cos().(

∫∫ ∫ ∫ =S

b

a

dr rd r r f dA y x f

)(

)(

2

1

)sin.cos().(

θ ϕ

θ ϕ

θ θ θ

r0seder"ana

θ 0seder"ana


39/84

Integral Lipat 3:

ukan Persegipanjang 'entukan volume benda di atas daera" ang

dibatasi ole" x2 B y2 , $ dan y , 21E2. di

ba%a" z , f (r . θ )#


40/84

Integral Lipat $


Integrasi&;oordinat Polar

L1& 8ketsa daera" integrasi dan beri label dari kurva pembatas

L2& >aangkan sinar L dari O

memotong R seara" pertamba"an r # 'entukannilai r dimana L masuk dankeluar daera" R. inila" limitintegrasi ter"adap r

Fmumna ter"adap r dulu. lalu θ


41/84

Integral Lipat $1

L3& Pili" limit θ angmenertakan seluru"

sinar L ang melalui R


Integrasi& ;oordinat Polar ###

∫∫ R f(r. θ) dA , ∫ ∫ 2

$

2

csc2

).(

π

π θ

θ θ rdrd r f


42/84

Integral Lipat $2


43/84

Integral Lipat $3


44/84

Integral Lipat $$

Penerapan Integral Lipat 2

Penerapan ang paling nata dari integral

lipat adala" meng"itung volume benda pejal

8ekarang akan diberikan penerapan lain

aitu untuk meng"itung massa. pusat massa.

dan momen inertia


45/84

Integral Lipat $*

Penerapan Integral Lipat 2&

+assa Lamina Lamina adala" benda ang sangat tipis

se"ingga dapat dipandang sebagai

berdimensi 2

• +isalkan lamina• mencakup daera" S di bidang xy

• kerapatan pada ( x. y) , δ ( x. y)

x

y

S


46/84

Integral Lipat $

+assa Lamina

Partisi S ke bentuk persegi panjang R1. R2. . Rk

Ambil titik sampel ( xk

. k

) pada Rk

∑=

n

k 1

massa Rk ≈ δ ( xk . yk ) A( Rk )

m ≈ δ ( xk . yk ) A( Rk )

m , ∫∫ S δ ( x. y) dA


47/84

Integral Lipat $5


48/84


49/84

Integral Lipat $:


50/84

Integral Lipat *

+oment Inertia

y x

S

z

S S

y x

I I dA y x y x I

dA y x x I dA y x y I

+=+=

==

∫∫

∫∫ ∫∫ ).()(

).().(

22

22

δ

δ δ

Fntuk sistem n partikel di bidang datar dengan massa m1. m2. .

mn

dan jarak r 1

. r 2

. . r n

dari garis L. maka moment inertia

sistem ter"adap L adala" I , m1r 12 B m2r 2

2 B B mnr n2#

+oment Inersia lamina dengan kerapatan δ ( x. y) ang menutupidaera" S pada bidang xy ter"adap sb0 x. 0 y. 0 z adala"


51/84

Integral Lipat *1


52/84

Integral Lipat *2


53/84

Integral Lipat *3

Luas Permukaan(1)

+isalkan f fungsi tiga variabel

ang turunan parsial pertamana

F x. F y. F z kontinu dan F z ≠ # Per"atikan F ( x. y. z ) , c dan

natakan S sebagai bagian dari

permukaan ang diproeksikan

ke daera" terbatas dan tertutup R di bidang xy#

;ita akan mempelajari arti luas

permukaan S dan menemukan

formula untuk meng"itungna

H


54/84

Integral Lipat *$

Luas Permukaan(2)

Partisi R menjadi persegi panjang ∆ Ak

Fntuk setiap k . misalkan ∆σ k adala"

bagian dari S ang diproeksikan ke∆ Ak dan T k adala" titik pada ∆σ k ang

diproeksikan ke C k pada ∆ Ak dengan

koordinat x. y terkecil#

∆ P k adala" persegi empat bagian bidang singgung pada T k ang

diproeksikan ke ∆ Ak

H


55/84


56/84

Integral Lipat *

Luas Permukaan($)

k

k

F

F

∇

•∇=γ cos

z

z y x

F

F F F 222

sec++

=γ

dA f f S A

R

y x∫∫ ++= 1)( 22

;arena ∇ F adala" tegak lurus ke permukaan S . maka

∇ F , F xi B F y j B F z k . se"ingga

1sec 22 ++= y x f f γ

4ika z , f ( x. y). dapat ditulis F , f ( x. y) 0 z untuk

memperole" dan


57/84

Integral Lipat *5


58/84

Integral Lipat *7


59/84

Integral Lipat *:

Integral Lipat 'iga&

;oordinat ;artesian(1) ;onsep ang berlaku pada integral tunggal

dan integral lipat dua. dapat diperluas ke

integral lipat tiga. atau lipat0n +isalkan f suatu fungsi tiga variabel ang

didefinisikan pada suatu balok dengan

sisi0sisi sejajar sb koodinat

adala" daera" asal dari fungsi $ dimensi f (tidak bisa digambar)

Partisi > menjadi 1. 2. . n


60/84

Integral Lipat


;oordinat ;artesian(2)

k x∆

k y∆

k z ∆

k )..( k k k z y x

k

n

k

k k k V z y x f ∆∑=1

)..(Per"atikan jumla" Rieman

k k k z y darivolumeadala"9dengan k ∆∆∆=∆

ambil P , panjang diagonal terpanjang subbalok

k

n

k

k k k P

S V z y x f dV z y x f ∆= ∑∫∫∫ =→ 1 )..(lim)..(

asalkan limit ini ada


61/84

Integral Lipat 1


;oordinat ;artesian(3) Hungsi seperti apa ang terintegralkan lipat tiga=

f kontinu di

diskontinu pada sejumla" permukaan mulus

8ifat0sifat integral tunggal dan lipat dua. juga

dimiliki integral lipat tiga. aitu kelinearan.

penjumla"an pada "impunan ang "ana tumpang0

tindi" pada batas permukaan. dan pembandingan

Integral lipat tiga juga dapat ditulis sebagai integral

berulang


62/84

Integral Lipat 2


63/84

Integral Lipat 3

+encari Limit Integrasi I3&

6aera" Fmum(1) ambar daera" "

dengan baanganna

di bidang xy


64/84

Integral Lipat $


6aera" Fmum(2) Limit z ditentukan

dengan mengambil garis

M seara" pertamba"an z melalui domain ang

ditentukan# M memasuki

" pada z , f 1( x. y) dan

meninggalkan " pada

z , f 2 ( x. y)


65/84

Integral Lipat *


6aera" Fmum(3) Limit y ditentukan dengan

mengambil garis L pada

bidang xy sesuai pertamba"an y#

L memasuki R pada y, g 1( x)

dan meninggalkan R pada y, g 2( x)


66/84

Integral Lipat


6aera" Fmum($)

∫ ∫ ∫ ∫∫∫

=

=

=

=

=

==

b x

a x

x g y

x g y

y x f z

y x f z S

dxdydz z y x F dV z y x F

)(

)(

).(

).(

2

1

2

1

)..()..(


67/84

Integral Lipat 5


68/84

Integral Lipat 7


69/84

Integral Lipat :

I3& ;oordinat 8ilinder

6igunakan jika benda pejal dimensi tiga S

memiliki sumbu simetri. sumbu simetri ini

diambil menjadi sumbu z

+enggunakan koordinat polar r J θ sebagaiganti x J y pada bidang. sedangkan

koordinat z tetap

>iasana disaratkan r ≥ dan ≤ θ ≤ 2π


70/84

Integral Lipat 5


;oordinat ;artesius vs 8ilinder

x , r cos θ y , r sin θ z , z

r 2 , x2 B y2 tan θ , yE x

P ( x. y. z )

x

y

z

f ( x. y. z ) , f (r cos θ . r sin θ . z )

, F (r . θ . z )


71/84

Integral Lipat 51


+eng"itung . S benda pejal

∫∫∫ ∫ ∫ ∫ =S

r

r

r g

r g

d dr dz r z r r f dV z y x f 2

1

2

1

2

1

)(

)(

).(

).(

).sin.cos()..(

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ θ θ

d# z y x f S

∫∫∫ )..(

(r.θ

. C)

∆

x

y

z

∆r

∆z

∑=

∆∆∆n

k

k k k k k k k z r r z r F 1

)..( θ θ Integral diaproksimasi dengan

f ( x. y. z ) , f (r cos θ . r sin θ . z ) , F (r . θ . z )

Partisi S dengan grid ang silindris.maka ∆V k , r k ∆r k ∆θ k ∆ z k


72/84

Integral Lipat 52

+enemukan Limit Integrasi&

I3 ;oordinat 8ilinder 1# ambar 2# aris seara" z 3# aris seara" r


73/84

Integral Lipat 53


74/84

Integral Lipat 5$


75/84

Integral Lipat 5*


76/84

Integral Lipat 5

I3& ;oordinat >ola

;oordinat bola P ( ρ . θ . φ ) 6igunakan jika benda pejal atau

permukaan simetris ter"adap suatu titik ρ jarak dari titik asal ke titik P θ sudut antara sumbu x dengan

proeksi P ke bidang xy. aitu P K

φ sudut antara sumbu z positif dengangaris OP

6isaratkan ρ ≥ . ≤ θ ≤ 2π. ≤ φ ≤ π


77/84

Integral Lipat 55

I3& ;oordinat >ola

!ubungan ;oordinat ;artesius. 8ilinder. dan >ola

x , ρ sin φ cos θ y , ρ sin φ sin θ z , ρ cos φ

r , ρ sin φ θ , θ z , ρ cos φ

P(. . C)

x

y

z

222 x y x ++= ρ


78/84

Integral Lipat 57


79/84

Integral Lipat 5:

I3& ;oordinat >ola

9olume pada koordinat bola

∆V , ρ 2 sin φ ∆ρ ∆θ ∆φ

f ( x. y. z )

, f ( ρ sinφ cosθ . ρ sinφ sinθ . ρ cosφ )

φ θ ρ φ ρ φ ρ θ φ ρ θ φ ρ d d d

dV z y x f s

sin)cos.sinsin.cossinf(

)..(

2

cocok

ang batas

∫∫∫ ∫∫∫ =


80/84

Integral Lipat 7


81/84

Integral Lipat 71

+enguba" 9ariabel Pada

Integral Lipat +isalkan x , m($. #) dan y , n($. #)

6efinisikan fungsi 4acobian

Pada kondisi ang cocok pada fungsi m dann dan limit integrasi ang tepat

#

y

$

y

# x

$ x

#$ % ∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

=).(

∫∫ ∫∫ = d#d$#$ % #$n#$m f dxdy y x f ).()?.()..(@).(


82/84

Integral Lipat 72


83/84

Integral Lipat 73

+enguba" 9ariabel Pada

Integral Lipat (3 variabel) x , m($. #. &). y , n($. #. &). dan z , '($. #. &)

6efinisikan fungsi 4acobian

4acobian dari koord# 8ilinder dan >ola % (r . θ . z ) , r % ( ρ . θ . φ ) , ρ 2 sin φ

& z

# z

$ z

&

y

#

y

$

y

& x

# x

$ x

#$ %

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂∂∂

=).(


84/84

atas&

$ B # , # B 1 ,G $ , 1

$ B # , # ,G $ ,

2# , $ ,G # , 2

2# , ,G # ,

d$d#$dxdy y x

# $ x y

∫ ∫∫ ∫= =+=

=− 2 1$

1

)2)((2

22

Integral Di Ruang n Animated

Documents

Transcript of Integral Di Ruang n Animated