Integer$ (Bilangan$Bulat) -...

Agi Putra Kharisma, ST., MT.

Integer (Bilangan Bulat)

“Learning is not child's play, we cannot learn without pain.” –Aristotle

1 Matema(ka Komputasi -‐ Integer


Tipe Data Integer Pada Bahasa Pemrograman

•  Signed (bertanda +/-‐) •  Unsigned (bulat non-‐negaDf)


Contoh: Misal suatu Dpe data integer berukuran 16-‐bit: 1.  Jika signed, maka berisi: −32768 s/d 32767 2.  Jika unsigned, maka berisi: 0 s/d 65535


Pembagian Bilangan Bulat

a | b jika b = ac; c ∈ Z; a ≠ 0 a habis membagi b


Contoh: 3 | 18 5 | 95 7 | 63


Teorema Sisa Pembagian (Quo:ent-‐remainder theorem)

Diberikan sembarang bilangan bulat n dan bilangan bulat posiDf d, maka ada bilangan bulat unik q dan r dimana: n = dq + r dan 0 < r < d LaDhan: Cari nilai bilangan bulat q dan r jika diketahui: a. n = 54, d = 4 b. n = -‐54, d = 4



div dan mod

Diberikan bilangan bulat n dan bilangan bulat posiDf d, maka: n div d = q dan n mod d = r ⇔ n = dq + r dimana q dan r adalah bilangan bulat dan 0 < r < d Contoh: 9 div 4 = 2; 9 mod 4 = 1



Greatest Common Divisor (1) Misal a dan b adalah bilangan bulat bukan nol, maka gcd(a,b), yaitu d, adalah: 1.  d adalah common divisor untuk a dan b. Dengan kata lain:

d | a dan d | b

2.  Untuk semua bilangan bulat c, jika c adalah common divisor untuk semua a dan b, maka c lebih kecil atau sama dengan d. Dengan kata lain:

Untuk semua bilangan bulat c, jika c | a dan c | b, maka c < d


Contoh: GCD(45,36) = 9; GCD(80,12) = 4; GCD(12,8) = 4


Greatest Common Divisor (2)

Lemma:


1.  Jika r adalah bilangan bulat posiDf, maka gcd(r,0) = r

2.  Jika a dan b adalah bilangan bulat bukan nol, jika q dan r adalah bilangan bulat dimana a = bq + r, maka gcd(a,b) = gcd(b,r)


Algoritma Euclidean Bagaimana cara efisien dalam mencari GCD? Gunakan algoritma Euclidean.


1.  Misal A dan B adalah bilangan bulat dimana A > B > 0. 2.  Untuk mencari gcd dari A dan B, pertama cek apakah

B = 0. Jika ya, maka gcd (A,B) = A (lihat lemma 1 pada slide sebelumnya). Jika Ddak, gunakan teorema quoDent-‐remainder untuk mencari quoDent q dan remainder r. Merujuk lemma 2 pada slide sebelumnya, maka gcd(A,B) = gcd(B, r).

3.  Ulangi langkah nomor 2 sampai ditemukan hasil akhir.


Kongruensi Modulo n

Ekivalensi modular: Misal a, b, c adalah sembarang bilangan bulat, dimana n > 1. Pernyataan berikut ini semuanya adalah ekivalen:


1.  n | (a – b) 2.  a ≡ b(mod n) 3.  a = b + kn, dimana k adalah suatu bilangan bulat 4.  a dan b memiliki sisa (non negaDf) yang sama jika

dibagi dengan n 5.  a mod n = b mod n


AritmeDka Modular

Misal a, b, c, d, dan n adalah bilangan bulat dengan n > 1 dan ditentukan bahwa

a ≡ c(mod n) dan b ≡ d(mod n) Maka:


1.  (a + b) ≡ (c + d)(mod n) 2.  (a – b) ≡ (c – d)(mod n) 3.  ab ≡ cd(mod n) 4.  am ≡ cm(mod n) untuk semua bilangan bulat

m


Kombinasi Linier

Suatu bilangan bulat d dikatakan sebagai kombinasi linier dari bilangan bulat a dan b, jika dan hanya jika ada bilangan bulat s dan t dimana as + bt = d. Menulis gcd dalam bentuk kombinasi linier:


Untuk semua bilangan bulat a dan b bukan nol, jika d = gcd(a,b), maka ada bilangan bulat s dan t dimana as + bt = d.

LaDhan: Nyatakan gcd(330,156) sebagai kombinasi linier dari 330 dan 156.


RelaDf Prima (Coprime)

GCD(a, b) = 1



Keberadaan Inverse Modulo n


Untuk semua bilangan bulat a dan n, jika gcd(a,n) = 1, maka ada bilangan bulat s dimana as ≡ 1(mod n). Bilangan bulat s tersebut disebut inverse dari a modulo n.

Contoh: 1.  Tentukan inverse dari 43 modulo 660. (Dengan kata lain,

tentukan bilangan bulat s dimana 43s ≡ 1(mod 660). 2.  Tentukan inverse posiDf dari 3 modulo 40. (Dengan kata lain,

tentukan bilangan bulat posiDf s dimana 3s ≡ 1(mod 40).


Keberadaan Inverse Modulo n


Untuk semua bilangan bulat a dan n, jika gcd(a,n) = 1, maka ada bilangan bulat s dimana as ≡ 1(mod n). Bilangan bulat s tersebut disebut inverse dari a modulo n.

Contoh: 1.  Tentukan inverse dari 43 modulo 660. (Dengan kata lain,

tentukan bilangan bulat s dimana 43s ≡ 1(mod 660).


Konsep Dasar Kriptografi

Kriptografi adalah ilmu yang mempelajari pengiriman pesan rahasia.


plaintext chipertext encryp(on

decryp(on

1

2


Caesar Chiper

A 01

B 02

C 03

D 04

E 05

F 06

G 07

H 08

I 09

J 10

K 11

L 12

M 13

N 14

O 15

P 16

Q 17

R 18

S 19

T 20

U 21

V 22

W 23

X 24

Y 25

Z 26


LaDhan: Gunakan Caesar chiper untuk mengenkripsi teks berikut: AYAS NAKAM OGES


RSA Cryptography

Silahkan baca referensi dari buku teks masing – masing secara mandiri.



Referensi

Susanna S .Epp. Discrete Mathema4cs with Applica4ons 4th Ed. Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema4cs and Its Applica4ons 7th Ed. Rinaldi Munir. Matema4ka Diskrit edisi ke4ga.


Integer$ (Bilangan$Bulat) -...

Documents

Transcript of Integer$ (Bilangan$Bulat) -...