Barisan( sequence) dan$Deret$ summa)ons - agipk.lecture.ub...

Agi Putra Kharisma, ST., MT.

Barisan (sequence) dan Deret (summa)ons)

“Learning is not child's play, we cannot learn without pain.” -‐Aristotle

1 Matema(ka Komputasi -‐ Barisan dan Deret


Barisan Aritme=ka (analogi diskrit dari fungsi linier f(x) = dx + a) Barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap. a n = a 1 + (n-‐1)b

a n = Suku ke-‐n a 1 = Suku pertama b = Beda antar Suku

contoh:

•  2, 5, 8, 11, 14,.. à ditambah 3 •  100, 95, 90, 85, 80, à dikurang 5



La=han

1.  Carilah suku ke-‐10 dari barisan aritme=ka 3, 7, 11, 15, 19, …

2.  Suku ke-‐3 dan suku ke-‐16 dari barisan aritme=ka adalah 13 dan 78. Tentukan suku pertama dan bedanya !

3.  Carilah suku ke-‐21 dalam barisan aritme=ka dimana suku ke-‐5 = 41 dan suku ke-‐11 = 23



Barisan Geometri (analogi diskrit dari fungsi eksponensial f(x) = arx) Barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan yang tetap. an = arn-‐1

an = suku ke-‐ n a = suku pertama r = rasio antar suku berurutan

contoh:

•  2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,.. à dikali 2 •  80, 40, 20, 10, 5, 2½,.. à dikali 1/2



La=han

1.  Carilah suku ke-‐8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya adalah 2.

2.  Carilah suku ke-‐11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-‐4 adalah 24 dan suku ke-‐9 adalah 768

3.  Tentukan formula eksplisit barisan berikut: a.  -‐1, 1, -‐1, 1, -‐1, 1, -‐1, … b.  0, 1, -‐2, 3, -‐4, 5, … c.  1/4, 2/9, 3/16, 4/25, 5/36, 6/49, …



Recurrence Rela=on Recurrence rela)on untuk barisan {an} adalah persamaan yang menyatakan an dalam satu atau lebih suku sebelumnya, yaitu a0, a1, a2, … an-‐1, untuk semua bilangan bulat n > n0, dimana n adalah bilangan bulat non-‐nega=f. Contoh: Barisan Fibonacci untuk n = 2, 3, 4, … 6 Matema(ka Komputasi -‐ Barisan dan Deret

f0 = 0f1 =1fn = fn!1 + fn!2

Kondisi awal/inisial

Leonardo Pisano Bigollo a.k.a. Fibonacci


Formula Tertutup (1)

Jika kita berhasil membuat suatu persamaan yang memenuhi recurrence rela)on serta menghilangkan kondisi awalnya, dikatakan kita telah memecahkan recurrence rela)on beserta kondisi awalnya. Persamaan yang dihasilkan disebut dengan formula tertutup.



Formula Tertutup (2) Contoh: Tentukan formula tertutup untuk recurrence rela)on berikut a0 = 2; an = an-‐1 + 3 untuk n = 1,2,3,4,5,… Solusi: a0 = 2 a1 = 2 + 3 a2 = (2 + 3) + 3 = 2 + 3.2 a3 = (2 + 3 + 3) + 3 = 2 + 3.3 … an = 2 + 3(n) untuk n = 0,1,2,3,4,5,…


Formula tertutup, tanpa kondisi awal


Deret

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Contoh: 9 Matema(ka Komputasi -‐ Barisan dan Deret

ajj=m

n

! am + am+1 +...+ an

2 j +1j=1

5

! 3+ 5+ 7+ 9+11= 35


Bentuk Tertutup Deret juga dapat dinyatakan dalam bentuk tertutup, beberapa yang cukup berguna adalah:


Sumber: Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema)cs and Its Applica)ons

Telescoping Sum


•  Deret Aritme=ka

•  Deret Geometris


Dn =a(1! rn )(1! r)

Dn =n2(2a+ (n!1)b)

Keterangan: Dn : Jumlah deret suku ke-‐n a : Suku pertama b : beda antar suku berurutan r : rasio antar suku berurutan

Telescoping Sum


Faktorial

n! = n.(n-‐1).(n-‐2)…3.2.1 Jika n = 0, n! = 1. Jika n > 1, n! = n.(n-‐1)! Contoh: 5! = 5.4.3.2.1 = 120


Pendefinisian secara rekursif


La=han

1.  Tulis deret berikut dalam notasi deret (summa)on): 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + 72

2.  Tentukan nilai dari:

3.  Gabungkan deret berikut dalam satu notasi deret (summa)on):


2 (3k2 + 4)+ 5 (2k2 !1)k=1

n

"k=1

n

"

2jk=1

3

! 2kj=1

5

!


La=han

4.  Pada deret di bawah, ubah variabel k dengan variabel: j = k – 1


kn+ k!

"#

$

%&

k=1

n+1

'


Referensi

Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema)cs and Its Applica)ons 7th Ed. Rinaldi Munir. Matema)ka Diskrit edisi ke)ga. Susanna S .Epp. Discrete Mathema)cs with Applica)ons 4th Ed.


Barisan( sequence) dan$Deret$ summa)ons - agipk.lecture.ub...

Documents

Transcript of Barisan( sequence) dan$Deret$ summa)ons - agipk.lecture.ub...