I:Documents and SettingsdbaschDesktopMISRpredavanja 1 ... · P Teorija redova je analiti ka metoda...

1

Teorija redova

Ovi materijali namijenjeni su isključivo za osobnu upotrebustudentima kolegija "Modeliranje i simuliranje računalima"

poslijediplomskog studija na FER-ui u druge svrhe se ne smiju koristiti

© Danko Basch, FER, 2003.

2

Literatura

PRaj Jain: "The Art of Computer Performance Analysis -Techniques for Experimental Design, Measurement, Simulationand Modeling", John Wiley & Sons, 1991.

PAverill Law, David Kelton: "Simulation Modeling and Analysis",McGraw-Hill, 2000, 3. izdanje.

PVlatko Čerić: "Simulacijsko modeliranje", Školska knjiga, 1993.

3

Uvod

PKod aktivnosti u modelima učestvuje više entiteta< Najčešće su to dinamički entiteti koji zahtijevaju usluživanje od strane

statičkog entiteta< Dinamički privremeni entiteti obično predstavljaju zahtjeve za resursom

(potrošač, mušterija - customer, job)< Statički stalni entitet obično predstavlja resurs (poslužitelj, servis - server)< Općenito, poslužitelj u svakom trenutku uslužuje samo jednog potrošača

PTeorija redova (ili teorija čekanja i posluživanja) - queuing theory

odlascidolasci

potrošač

poslužiteljred

sustav

4

Uvod

PTeorija redova omogućuje određivanje različitih veličina u sustavu:< srednje vrijeme čekanja, posluživanja, odziva< srednji broj potrošača u redu, u posluživanju, u sustavu< varijance navedenih veličina i njihove razdiobe< propusnost sustava, iskoristivost poslužitelja, potrebne dimenzije sustava ...

PČeste mjere performansi su (sve su slučajne varijable):< vrijeme čekanja mušterije< broj mušterija u redu čekanja< iskoristivost poslužitelja

5

Uvod

PTeorija redova je analitička metoda koja daje općenita i egzaktnarješenja modela

PTeorija redova razvijena je samo za određene vrste sustava sredovima usluživanja

PVrste sustava koji se ne mogu analizirati teorijom redova, vrlo seuspješno mogu rješavati simulacijskim metodama

PTeorija redova može se koristiti u validaciji (dijelova) modela ipojednostavljenjima modela

6

Kendallova notacija

PProces dolazaka (arrival process). Potrošači dolaze u vremenimat1, t2, t3, ..., a slučajne varijable Jj = tj - tj-1 su vremenameđudolazaka (interarrival times)

PRazdioba vremena posluživanja (service time distribution).Vrijeme potrebno da poslužitelj usluži potrošača.

PBroj poslužitelja (number of servers). Broj istovrsnihposlužitelja.

Za analizu sustava primjenom teorije redova treba poznavatiodređene karakteristike sustava. To su sljedećih šest parametara:

þ

7

Kendallova notacija

PKapacitet sustava (system capacity). Najveći broj potrošača kojiistovremeno mogu biti u sustavu. Može biti beskonačan.

PBroj potrošača (population size). Ukupan broj potrošača kojimogu pokušati ući u sustav. Može biti beskonačan.

PDisciplina usluživanja ili način usluživanja (service discipline).Redoslijed usluživanja potrošača koji čekaju.

³

8

Kendallova notacija

PZa definiranje sustava potrebno je zadati navedenih šest parametara.Za to se koristi skraćena notacija nazvana Kendallova notacija:

A / S / m / B / K / SD

Parametri A i S zadaju sesimbolima za pojedinevrste razdioba:

PM - eksponencijalna

PEk - erlangova

PD - deterministička

PG - opća ...

procesdolazaka

razdiobaposluživanja

brojposlužitelja

9

Kendallova notacija

A / S / m / B / K / SD

Parametar SD zadaje sekraticama za pojedine vrsteusluživanja:

PFIFO ili FCFS

PLIFO ili LCFS

PPRI ili LCFS-PR

PRR, PS, IS ...

kapacitetsustava

brojpotrošača

načinposluživanja

10

Kendallova notacija - primjer

Primjer:

M[x] / M / 3 / 20 / 1500 / FCFS označava sustav s jednim redomsa sljedećim karakteristikama:

$ eksponencijalnom razdiobom dolazaka grupa potrošača, gdjeje x veličina grupe koja se mora posebno zadati (najčešće je toslučajna varijabla)

$ eksponencijalnim vremenom posluživanja$ 3 poslužitelja$ 20 mjesta u sustavu (3 u poslužiteljima i 17 u redu)$ 1500 potrošača mogu ući u sustav$ običan red čekanja

11

Kendallova notacija - primjer

Primjer:

M / G / 1 / 4 / 4 / FCFS označava sustav s jednim redom sasljedećim karakteristikama:

$ eksponencijalnom razdiobom dolazaka$ vremenom posluživanja s općom razdiobom$ 1 poslužitelj$ kapacitet sustava (broj mjesta) nije ograničen$ broj potrošača nije ograničen$ običan red čekanja

U slučaju kad su zadnja tri parametra 4 / 4 / FCFS, pišu se samoprva tri parametra:

M / G / 1

12

Varijable

Varijable koje se koriste u analizi (po Jain-u):

J - Vrijeme između dolazaka (interarrival time).

8 - Srednji intenzitet dolazaka (mean arrival rate). 8 = 1 / EJ

µ - Srednji intenzitet usluživanja (mean service rate). µ = 1 / Es

w - Vrijeme čekanja na usluživanje (waiting time).

s - Vrijeme usluživanja (service time).

r - Vrijeme odziva ili vrijeme provedeno u sustavu (response time).Uključuje vrijeme čekanja i vrijeme posluživanja: r = w + s.

n - Broj potrošača u sustavu (queue length !?). Uključuje potrošače koji čekaju u redu i one koji su posluživani: n = nq + ns.

13

Varijable

vrijeme

prethodnidolazak

dolazak početakposluživanja

krajposluživanja

J w s

r

nq ns

n

broj potrošača

14

Varijable

Oznake za varijable koje su uobičajenije:

J - Vrijeme između dolazaka

8 - Srednji intenzitet dolazaka

µ - Srednji intenzitet usluživanja

Wq - Vrijeme čekanja na usluživanje (w)

Ws - Vrijeme usluživanja (s)

W - Vrijeme odziva ili vrijeme provedeno u sustavu (r)

L - Broj potrošača u sustavu (n)

Lq - Broj potrošača u redu čekanja (nq)

Ls - Broj potrošača u posluživanju (ns)

15

Opća pravila

Formule koje vrijede za sve vrste redova (sustavi s kapacitetom !?):

# Uvjet stabilnosti. Sustav je nestabilan ako broj potrošača stalnoraste prema beskonačnosti. Da bi sustav bio stabilan mora biti:

8 < mµ

# Broj potrošača u sustavu u odnosu na broj potrošača u redu i brojpotrošača koji su posluživani:

n = nq + ns

# Za očekivanja vrijedi:E(n) = E(nq) + E(ns)

# Ako brzina posluživanja ne ovisi o broju potrošača u redu, zavarijance vrijedi:

D(n) = D(nq) + D(ns)

16

Opća pravila

# Vrijeme odziva u odnosu na vrijeme čekanja i vrijeme posluživanja: r = w + s

# Za očekivanja vrijedi:E(r) = E(w) + E(s)

# Ako brzina posluživanja ne ovisi o broju potrošača u redu, zavarijance vrijedi:

D(r) = D(w) + D(s)

# Broj potrošača u odnosu na vrijeme odziva (Littleov zakon):

srednji broj potrošača = intenzitet dolazaka * srednje vrijeme odziva

17

Littleov zakon

# Ako ima gubitaka, uzimaju se samo oni potrošači koji se ne gube injihova vremena dolazaka, čime se dobiva tzv. efektivni intenzitetdolazaka.

# Littleov zakon vrijedi za bilo koji sustav ili dio sustava. Npr. primjenjenna dio sustava u kojem je red za čekanje:

srednji broj u redu = intenzitet dolazaka * srednje vrijeme čekanja u redu

Primjenjen na dio za usluživanje:

srednji broj posluživanih = intenzitet dolazaka * srednje vrijeme usluživanja

# Temelji se na "black-box" pogledu nasustav. Vrijedi za sustave u kojimanema gubitaka potrošača (npr. zbogograničenog kapaciteta sustava).

dolasci odlasciblack-box

18

Littleov zakon

1 2 3

t

broj posla1

2

3

t

Tijekom vremena T u sustav ulazi N potrošača (poslova).

1

2

3

t

Intenzitet dolazaka = ukupan broj dolazaka / ukupno vrijeme = N / T

Srednje vrijeme u sustavu = P / ukupan broj dolazaka (3. slika)= P / N

Srednji broj potrošača u sustavu = P / ukupno vrijeme (2. slika) = P / T

Srednji broj potrošača u sustavu = P/T = P/N * N/T

Srednji broj potrošača u sustavu = srednje vrijeme u sustavu * intenzitet dolazaka

19

Littleov zakon - primjer

Primjer:

Diskovni poslužitelj prima prosječno 100 zahtjeva u sekundi(tj. jedan zahtjev svake 0,01 s).

Prosječno vrijeme odziva poslužitelja je 100 milisekundi (tj. 0,1 s).

Koliko je prosječno zahtjeva u poslužitelju?

prosječni broj zahtjeva u poslužitelju = intenzitet dolazaka* vrijeme odziva

= 100 zahtjeva/s* 0,1 s

= 10 zahtjeva

20

Stohastički procesi

# Stohastički proces je funkcija čije vrijednosti su slučajnevarijable.

Primjeri:

n(t) je broj potrošača u sustavu u trenutku t.

w(t) je vrijeme čekanja u redu u trenutku t

21

Vrste stohastičkih procesa

# Prema vrijednostima koje može poprimati:$ Stohastički procesi s diskretnim stanjima (stohastički lanac)$ Stohastički procesi s kontinuiranim stanjima

Npr. n(t) - broj potrošača u sustavu i w(t) - čekanje potrošača

# Markovljevi procesi su oni čije buduće stanje ovisi samo otrenutačnom stanju, a ne o prethodnim stanjima. Diskretnimarkovljev proces naziva se Markovljev lanac. Ograničenje naeksponencijalne razdiobe.

1

2

3

4

dijagram prelazaka (state transition diagram)

22

Vrste stohastičkih procesa

# Poissonov proces je onaj u kojem vremena između dolazakaimaju eksponencijalnu razdiobu.

Drugi naziv je Poissonov tok (stream).

1 2 3 4 5

# Proces rađanja i umiranja (birth-death process) je Markovljevlanac kod kojeg je prijelaz moguć samo u susjedna stanja(tj. prethodno i sljedeće stanje).

23

Svojstva Poissonovih procesa

# Spajanje više Posssonovih tokova intenziteta 8i u jedan tok dajuopet Possonov tok intenziteta 8.

Ukupni intenzitet 8 jednak je zbroju pojedinačnih 8i: 8 = G 8i

81

82

83

8 = G 8i

24


# Razdvajanje Possonovog toka intenziteta 8 na više tokova dajeopet Posssonove tokove intenziteta 8i.

Ako je vjerojatnost odlaska u tok i jednaka pi, onda je 8i = 8 pi.

8 G pi = 1

p1

p2

p3

8 p1

8 p2

8 p3

25


# Ako je dolazak potrošača Poissonov tok s intenzitetom 8, a sustavima jednog poslužitelja s eksponencijalnim vremenomposluživanja µ, tada su odlasci iz sustava također Poissonovproces.

Intenzitet odlaznog Poissonovog procesa je također 8(uz uvjet da je 8<µ).

8

8<µ

µ 8

26


# Ako je dolazak potrošača Poissonov tok s intenzitetom 8, asustav ima m poslužitelja s eksponencijalnim vremenimaposluživanja µi, tada su odlasci iz sustava također Poissonovproces.

Intenzitet odlaznog Poissonovog procesa je također 8(uz uvjet da je 8 < G µi).

8

8 < G µi

µ1

8µ2

µ3

27

Sustavi s jednim redom

PNajjednostavniji sustavi s redovima su oni s jednim redom.

PMogu se upotrebljavati za analizu pojedinačnih resursa< Primjer: čekanje procesa na CPU< Primjer: čekanje mušterije na šalteru

PObično se mogu modelirati kao proces rađanja i umiranja< Stanje sustava predstavlja broj potrošača u sustavu. Broj potrošača

označen je sa n.< Dolazak novog potrošača prebacuje sustav iz trenutačnog stanja n u novo

stanje n+1< Završetak posluživanja (tj. odlazak) potrošača prebacuje sustav iz

trenutačnog stanja n u novo stanje n-1

28


0 1 j-1 j j+1. . . . . .80

µ1

81

µ2

8j-2

µj-1

8j-1

µj

8j+1

µj+2

8j

µj+1

# Opći proces rađanja i umiranja:

# Stanje n znači da je u sustavu n potrošača

# 8n je intenzitet dolazaka u stanju n

# µn je intenzitet posluživanja (tj. odlazaka) u stanju n

# Vremena između dolazaka i odlazaka imaju eksponencijalnurazdiobu

29


# Ravnotežna vjerojatnost pn (steady-state probability) da procesbude u stanju n jeste:

# Formula vrijedi uz pretpostavku da se unutar istog trenutkamože dogoditi samo jedan prelazak iz jednog stanja u drugo

# Stanje 0 označava početno ili nulto-stanje čija se vjerojatnostp0 može izračunati po formuli:

pn =80 81 ... 8n-1

µ1 µ2 ... µnp0 n = 1, 2, ..., 4

p0 = 1 + G n=1 A j=0 (8j / µj+1)

14 n-1

# Iz ove dvije formule izvode se različite mjere performansi zasustave s redovima.

30

M / M / 1 sustavi

# Najjednostavnija i često korištena vrsta sustava s redom

# Nema ograničenja na kapacitet sustava niti na populaciju potrošača,a disciplina posluživanja je FCFS

# Srednji intenzitet dolazaka je 8, a posluživanja je µ i to vrijedi zasva stanja

# Intenzitet prometa (traffic intensity) D definira se kao:

D = 8 / µ

31

M / M / 1 sustavi

# Dijagram za M / M / 1 sustav:

0 1 j-1 j j+1. . . . . .8

µ

8

µ

8

µ

8

µ

8

µ

8

µ

# Prema formulama za vjerojatnosti slijedi:

$ Vjerojatnost za n potrošača u sustavu: pn = (8/µ)n p0 n = 1, 2, 3, ...

$ Vjerojatnost početnog stanja:p0 = 1 / (1+D+D2+...+D4) = 1-D

$ Vjerojatnost pn može se pisati kao:pn = Dn p0 = (1-D) Dn n = 0, 1, 2, ...

pn ima geometrijsku razdiobu.

32

M / M / 1 sustavi

Mjere performansi

# Iskoristivost poslužitelja U (utilization) je vjerojatnost da je usustavu barem jedan potrošač:

U = 1 - p0 = D

# Vjerojatnost da je u sustavu n ili više potrošača:

P($n potrošača) = G pj = G (1-D)Dj = Dn4

j=n

4

j=n

33

M / M / 1 sustavi

Mjere performansi ! sustav, potrošači

# Prosječan broj potrošača (tj. očekivanje od n):

E(n) = G n pn = G n(1-D)Dn = D/(1-D)4

n=1

4

n=1

# Disperzija broja potrošača n:

D(n) = E(n2) - (E(n))2 = G n2(1-D)Dn - (E(n))2 = D/(1-D)24

n=1

34

M / M / 1 sustavi

Mjere performansi ! sustav, vrijeme

# Prosječno vrijeme odziva r računa se iz Littleovog zakona:

E(n) = 8 E(r) Y E(r) = E(n) / 8 = =D

(1-D) 81

(1-D) µ

# Disperzija vremena odziva r je:

D(r) = 1

(1-D)2 µ2

35

M / M / 1 sustavi


# Razdioba vremena odziva, tj. funkcija razdiobe jeeksponencijalna funkcija:

Fr(x) = 1 - e-x/E(r) = 1 - e-x (1-D) µ

# q-percentil vremena odziva je:

E(r) ln (100 / (100-q) )

36

M / M / 1 sustavi

Mjere performansi ! red, potrošači

# Disperzija broja potrošača u redu nq je:

D(nq) = (1+D-D2) D2

(1-D)2

# Prosječan broj potrošača u redu nq je:

E(nq) = G (n-1) pn = G (n-1)(1-D)Dn = 4

n=1

4

n=1

D2

(1-D)

37

M / M / 1 sustavi

Mjere performansi ! red, vrijeme

# Prosječno vrijeme čekanja w računa se iz Littleovog zakona:

E(nq) = 8 E(w) Y E(w) = E(nq) / 8 = (E(n)-E(ns)) / 8 =

= (E(n)-U) / 8 = D

(1-D) µ

# Disperzija vremena čekanja w je:

D(w) = (2-D) D

(1-D)2 µ2

38

M / M / 1 sustavi


# Razdioba vremena čekanja je:

Fw(x) = 1 - D e-x µ (1-D)

# q-percentil vremena čekanja je:

max [ 0 , ln (100 D / (100-q) ) ]E(w)D

39

M / M / 1 sustavi

Mjere performansi ! poslužitelj, potrošači

# Disperzija broja potrošača u posluživanju ns je:

D(ns) = D(1+D)

# Prosječan broj potrošača u posluživanju ns je:

E(ns) = D

40

M / M / 1 sustavi

Mjere performansi ! poslužitelj, vrijeme

# Prosječno vrijeme posluživanja s je:

E(s) = 1/µ

# Disperzija vremena posluživanja s je:

D(s) = 1/µ2

41

M / M / 1 sustavi - primjer

Na mrežnom pretvaraču (gateway) izmjereno je prosječno dolaženje125 paketa u sekundi (pps). Pretvarač treba oko 2 ms da ih prenese.Korištenjem M/M/1 modela treba analizirati pretvarač. Kolika jevjerojatnost prepunjenja spremnika (buffer), ako pretvarač imaspremnik kapaciteta 13 (uključivo paket pod obradom)? Koliki morabiti kapacitet spremnika, ako želimo da se gubi manje od jednog namilijun paketa?

Intenzitet dolazaka 8 = 125 pps

Intenzitet posluživanja µ = 1/0,002 = 500 pps

Intenzitet prometa D = 8/µ = 0,25

Srednji broj paketa u pretvaraču E(n) = D / (1-D) = 0,33

Srednje vrijeme odziva E(r) = 1 / µ(1-D) = 2,66 ms þ

42


Vjerojatnost prepunjenja spremnika P($ 13 potrošača) =

= D13 . 14,9 * 10-9

Y 15 paketa na milijardu

³

Određivanje kapaciteta za gubitak manji od jednog paketa na milijun:

mora biti: P($n potrošača) < 10-6, tj. Dn < 10-6

n log D < log 10-6Y n > log 10-6 / log D Y n > 9,96

poteban je spremnik kapaciteta 10(približno, jer je proračun rađen sa M/M/1, a ne M/M/1/10).

þ

43


³

1,000,750,500,25

0,01

0,02

0,03

0,04

iskoristivost U (=D)

0,00

Povećanjem intenzitetadolazaka raste intenzitetprometa i vrijeme odziva težiu beskonačnost.

Zato se poslužitelji nikada nepodvrgavaju 100%iskorištenju.

Da bi poslužitelj tipa M/M/1bio stabilan, intenzitetprometa D mora biti manji odjedan.

44

M / M / m sustavi

# Sustav sa m poslužitelja i jednim redom za sve poslužitelje. Sveostalo je kao kod M/M/1 sustava

# Srednji intenzitet dolazaka je 8, a srednji intenzitet posluživanja zasvaki poslužitelj je µ (ukupno: mµ)

# Intenzitet prometa (traffic intensity) D je:

D = 8 / mµ

45

M / M / m sustavi

# Dijagram za M / M / m sustav:

0 1 m-1 m m+1. . . . . .8

µ

8

2µ

8

(m-1)µ

8

mµ

8

mµ

8

mµ


$ Vjerojatnost za n potrošača u sustavu:

p0 = p0 n = 1, 2, 3, ...m-1

p0 = p0 n = m, m+1, ...8n

m! mn-mµn

8n

n!µn

pn =

7(mD)n

n!

Dn mm

m!

46

M / M / m sustavi

(mD)m

m! (1-D)p0 = 1 + +(mD)n

n!

$ Vjerojatnost početnog stanja:

m-1

Gn=1—

-1

�

k = P($m potrošača) = p0

(mD)m

m!(1-D)

$ Vjerojatnost čekanja u redu, tj. vjerojatnost pojave reda (queuingprobability) dana je Erlangovom C-formulom:

Za m=1, vrijedi: k=D

$ Prosječna iskorištenost svakog poslužitelja:

U = 8/(mµ) = D

47

M / M / m sustavi

Mjere performansi ! red, potrošači

# Prosječan broj potrošača u redu nq je:

E(nq) = G (n-m) pn = p0 =4

n=m+1

(mD)m D

m! (1-D)2

D k

1- D

# Disperzija broja potrošača nq je:

D(nq) = kD(1+D-kD)

(1-D)2

48

M / M / m sustavi



E(nq) = 8 E(w) Y E(w) = E(nq) / 8 = k

mµ(1-D)

# Disperzija vremena čekanja w je:

D(w) = k(2-k)

m2µ2(1-D)2

49

M / M / m sustavi


# q-percentil vremena čekanja je:

max [ 0 , ln (100 k / (100-q) ) ]E(w)k

# Razdioba vremena čekanja, tj. funkcija razdiobe je:

Fw(x) = 1 - ke-xmµ(1-D)

50

M / M / m sustavi

Mjere performansi ! poslužitelj, potrošači

# Disperzija broja posluživanih potrošača ns je:

D(ns) = mD(1+k)

# Prosječan broj posluživanih potrošača ns je:

E(ns) = G n pn + G m pn = mD 4

n=m

m-1

n=1

51

M / M / m sustavi

Mjere performansi ! poslužitelj, vrijeme

# Prosječno vrijeme posluživanja s je:

E(s) = 1/µ

# Disperzija vremena posluživanja s je:

D(s) = 1/µ2

52

M / M / m sustavi

Mjere performansi ! sustav, potrošači

# Prosječan broj potrošača n je:

E(n) = E(nq) + E(ns) = mD + Dk/(1-D)

# Disperzija broja potrošača n je:

D(n) = mD + Dk[m+(1+D-Dk)/(1-D)2]

53

M / M / m sustavi



E(n) = 8 E(r) Y E(r) = E(n) / 8 = ( 1 + )1µ

1m(1-D)

# Disperzija vremena odziva r je:

D(r) = (1 + )1µ2

k(2-k)m2(1-D)2

54

M / M / m sustavi - primjer

Na fakultetu u PC-labos dolazi 10 studenata na sat po eksponencialnojraziobi. Vrijeme provedeno za računalom je prosječno 20 minuta seksponencialnom razdiobom. U labosu je pet računala. Analiziratitrenutačno stanje!

Odrediti koliko treba računala da prosječno vrijeme čekanja bude 2minute, s tim da u većini slučajeva (90%) ne smije premašiti 5 minuta!

Intenzitet dolazaka 8 = 10/60 = 0,167 spm

Intenzitet posluživanja µ = 1/20 = 0,05 spm

Intenzitet prometa D = 8/(mµ) = 0,167/(5*0,05) = 0,67

þ

55


Vjerojatnost praznog sustava, tj početnog stanja p0 je:

Vjerojatnost zauzetosti svih računala k je:

þ

³

(mD)m

m! (1-D)p0 = 1 + +(mD)n

n!m-1

Gn=1—

-1

� = [ 1 + (5×0,67)5/(5!×(1-0,67))

+ (5×0,67)1/1! + (5×0,67)2/2! + (5×0,67)3/3! + (5×0,67)4/4! ]-1

= 0,0318

k = p0 = (5×0,67)5/(5!×(1-0,67)) × 0,0318 = 0,33(mD)m

m!(1-D)

56


³

þ

Iskorištenost računala U = D = 0,67

Prosječno studenata u labosu E(n) = mD+Dk/(1-D) = 4,0

Prosječno studenata koji čekaju E(nq) = Dk/(1-D) = 0,65

Prosječno studenata za računalima E(ns) = E(n) - E(nq) = 3,35

Prosječan boravak u labosu E(r) = E(n)/8 = 4,0/0,167 = 24 min

Disperzija boravka u labosu D(r) = 1/µ2×[1+k(2-k)/(m2(1-D)2)] = 479

Prosječno čekanje u labosu E(w) = E(nq)/8 = 4 min

90-percentil čekanja = max[ 0, E(w) ln(10k) / k) ] = 14(tj. 90% studenata čeka manje od 14 minuta)

57


³ Određivanje broja računala potrebnih za zadano prosječno inajveće čekanje:

Prosječno čekanje u labosu E(w) = 1,1 min

90-percentil čekanja = 3,0(tj. 90% studenata čeka manje od 3 minuta)

Intenzitet prometa D = 8/(mµ) = 0,556

Vjerojatnost praznog sustava p0 = 0,0346

Vjerojatnost zauzetosti svih računala k = 0,15

Sustav se analizira za m = 6, 7, 8,...

Za m=6 računala:

58

M / M / m sustavi

# Kada je na raspolaganju m poslužitelja, uz pretpostavku da suostali parametri sustava isti, postavlja se pitanje isplati li se više:

# Staviti zajednički red čekanja za svih m poslužitelja

# Staviti zasebne redove čekanja za svaki od m poslužitelja

# Pokazuje se da je bolje staviti jedan zajednički red

59


Za prethodni primjer sa PC-labosom treba analizirati slučaj sazasebnim redovima čekanja.

Intenzitet dolazaka je peterostruko manji 8 = 1/30 spm

Ostali parametri su isti

Zadatak se svodi na analizu sustava koji se sastoji od pet labosa sa pojednim računalom. Svaki labos će, zapravo, biti jedan M/M/1 sustav.

Prosječan boravak u labosu E(r) = 60 min (prije 24 min)

Disperzija boravka u labosu D(r) = 3600 (prije 479)

60

M / M / m sustavi

# Specijalan slučaj M/M/m sustava su M/M/4 sustavi

# M/M/4 sustavi imaju beskonačan broj poslužitelja

# To znači da nema redova čekanja, nego se odmah ide naposluživanje, bez obzira na broj potrošača i intenzitet dolazaka

# Vrijeme odziva svakog potrošača jednako je vremenu posluživanja

# Dakle, očekivano vrijeme odziva jednako je očekivanom vremenuposluživanja, bez obzira na intenzitet dolazaka

# M/M/4 sustavi nazivaju se sustavi s kašnjenjem (delay center)

# Mogu se koristiti za opisivanje terminala, dedicated-resursa,komunikacijskog kanala (npr. satelitskog) itd.

61

M / M / m / B sustavi

# Sustav sa m poslužitelja i jednim redom za sve poslužitelje uzograničenje broja potrošača u sustavu na B (od engl. buffer).Kao i kod M/M/m sustava, vrijedi da je D = 8 / mµ.

# Pretpostavlja se da je B veći od m (inače se dobiva M/M/B/B).

# Ako u sustavu ima B potrošača, onda se novi potrošači gube.

# Mora se računati s efektivnim intenzitetom dolazaka.

# Sustav je uvijek stabilan (nema gomilanja potrošača) D < 4.

62


# Dijagram za M / M / m / B sustav:

0 1 m-1 m m+1. . . . . .8

µ

8

2µ

8

(m-1)µ

8

mµ

8

mµ

8

mµ

B8

mµ


$ Vjerojatnost za n potrošača u sustavu:

p0 = p0 n = 1, 2, 3, ...m-1

p0 = p0 n = m, m+1, ..., B8n

m! mn-mµn

8n

n!µn

pn =

7(mD)n

n!

Dn mm

m!

63


(1-DB-m+1) (mD)m

m! (1-D)p0 = 1 + +(mD)n

n!m-1

Gn=1—

-1

�

$ Vjerojatnost početnog stanja:

$ Gube se svi dolasci koji se događaju kada je sustav u stanju n=B.Intenzitet potrošača koji uspješno ulaze u sustav je efektivniintenzitet dolazaka i označava se sa 8':

8' = G 8 pn = 8 G pn = 8 (1-pB)B-1

n=0

B-1

n=0

$ Razlika 8-8' = 8 pB naziva se intenzitet gubitaka (loss rate), a pB jevjerojatnost punog sustava (tj. vjerojatnost gubitka).

64


pm = p0 =(mD)m

m!(mD)m

m! G [(mD)j / j!]m

j=0

$ Vjerojatnost gubitka potrošača (loss probability), tj. vjerojatnostpojave punog sustava za M/M/m/m sustav dana je Erlangovomformulom gubitka ili B-formulom (Erlnag's loss formula, Erlang'sB-formula):

$ Vjerojatnost gubitka pB je:

pB = DB mm p0 / m!

65


$ U Littleovom zakonu pojavljuje se 8' umjesto 8:

E(n) = 8' E(r) E(nq) = 8' E(w)

$ Promatra li se sutav kroz dugo vremensko razdoblje od T sekundi,ukupan broj potrošača koji uđu u sustav bit će 8' T. Ukupno vrijemeposluživanja za postojećih m poslužitelja bit će 8' T/µ. Iskoristivostsvakog poslužitelja U bit će:

U = = = = D (1-pB)vrijeme posluživanja jednog poslužitelja

ukupno vrijeme(8' T/µ) / m

T 8'

mµ

66


Mjere performansi ! red

# Prosječan broj potrošača u redu nq je (disperzija se računa analogno):

E(nq) = G (n-m) pn

B

n=m+1


E(nq) = 8' E(w) Y E(w) = E(nq) / 8' = E(nq)8(1-pB)

67


Mjere performansi ! sustav

# Prosječan broj potrošača u sustavu n je (disperzija se računaanalogno):

E(n) = G n pn

B

n=1


E(n) = 8' E(r) Y E(r) = E(n) / 8' = E(n)

8(1-pB)

68


Slučaj s jednim poslužiteljem (m=1)

# Kada je m=1, dobivaju se pojednostavljene formule.

# I dalje vrijedi:

# D = 8 / mµ, tj. D = 8 / µ

# Ako u sustavu ima B potrošača, onda se novi potrošači gube.

# Mora se računati s efektivnim intenzitetom dolazaka.

# Sustav je uvijek stabilan (nema gomilanja potrošača) D < 4.

69



# Vjerojatnost za n potrošača u sustavu:

D = 1

D … 1(1-D)Dn

1-DB+1

1B+1

pn = n = 0,1, 2, ...B

7

70



# Prosječan broj potrošača u sustavu n ima jednostavniju formulu:

E(n) = -D

1-D(1 + B) DB+1

1 - DB+1

# Prosječan broj potrošača u redu nq ima jednostavniju formulu:

E(nq) = - DD

1-D1 + B DB

1 - DB+1

71

M / M / m / B sustavi - primjer

Na mrežnom pretvaraču (gateway) sa spremnikom kapaciteta B=2,izmjereno je prosječno dolaženje 8 = 125 paketa u sekundi (pps).Pretvarač treba oko 2 ms da ih prenese. Korištenjem M/M/m/Bmodela treba analizirati pretvarač.

Intenzitet posluživanja µ = 1/0,002 = 500 pps

Intenzitet prometa D = 8/mµ = 125/(1×500) =0,25

þ

Vjerojatnosti za n = 1,... B:

p1 = D p0 p2 = D2 p0

p0 + p1 + p2 = 1 Y p0 + 0,25 p0 + 0,0625 p0 = 1 Y p0 =0,76

p1 = 0,25 × 0,76 = 0,19 p2 = 0,0625 × 0,76 = 0,0476

Efektivni intenzitet dolazaka: 8 ' = 8 (1-pB) = 125(1-p2) = 119 pps

72

M / M / m / B sustavi - primjer

³ Srednji broj i disperzija broja paketa u sustavu: E(n) = G n pn = 1×0,19 + 2×0,0476 = 0,29 D(n) = E(n2) - (E(n))2 = G n2 pn - (E(n))2

= (12×0,19 + 22×0,0476) - (0,29)2 = 0,2963

B

n=1B

n=1

Srednji broj paketa u redu čekanja:

E(nq) = G (n-m) pn = (2-1)×0,0476 = 0,0476B

n=m+1

Intenzitet gubitaka: 8-8' = 125-119 = 6 pps

Prosječno vrijeme odziva: E(r) = E(n)/8' = 0,29/119 = 2,4 ms

Prosječno vrijeme čekanja: E(w) = E(nq)/8' = 0,0476/119 = 0,4 ms

73

Ostali sustavi

PŠto sustavi više odstupaju od M/M/1 sustava, formule postajukompliciranije i zahtjevaju složenije izračune

PZa dio veličina ne postoje formule pa se daju npr. procjene gornjihgranica dotične veličine (npr. gornja granica vremena čekanja zaG/G/m sustave)

PSvi izvodi vrijede za sustave u stabilnom stanju, a ponašanje uprijelaznim stanjima može se odrediti samo u nekim slučajevima

PZa sustave građene kao mreže jednostavnih sustava, proračuni sujoš kompliciraniji ili su nemogući

74

M / G / 1 sustavi

Parametri:8 - intenzitet dolazakaE(s) - srednje vrijeme posluživanjaC(s) - koeficijent varijacije vremena posluživanja C(s) = F(s)/E(s)

Intenzitet prometa: D = 8 E(s)

Uvjet stabilnosti: D < 1

Vjerojatnost praznog sustava: p0 = 1-D

Srednji broj potrošača u sustavu: E(n) = D + D2 (1+C(s)2) / (2-2D) (Pollaczek-Khinchinova formula srednje vrijednosti: E(n)~D(s))

Disperzija broja potrošača u sustavu: D(n) = E(n) + 82D(s) + 83E(s3)/(3-3D) + 84(E(s2))2/(4(1-D)2)

Srednji broj potrošača u redu: E(nq) = D2 (1+C(s)2) / (2-2D)

Disperzija broja potrošača u redu: D(nq) = D(n) - D + D2

75

M / G / 1 sustavi

Srednje vrijeme odziva: E(r) = E(n)/8 = E(s)+DE(s) (1+C(s)2) / (2-2D)

Disperzija vremena odziva: D(r) = D(s) + 8E(s3)/(3-3D) + 82(E(s2))2/(4(1-D)2)

Srednje vrijeme čekanja: E(w) = D E(S) (1+C(s)2) / (2-2D)

Disperzija vremena čekanja: D(w) = D(r) - D(s)

Za LCFS (last come, first served) i SIRO (service in random order),dobivaju se isti izrazi za E(n) i E(r), a razlikuje se izraz za D(r).

Pokazuje se da vrijedi: D(r)FCFS # D(r)SIRO # D(r)LCFS

76

M / D / 1 sustavi

Parametri:8 - intenzitet dolazakaE(s) - srednje vrijeme posluživanja, s je konstanta, D(s)=0Vrijedi: E(sk) = E(s)k



Vjerojatnost praznog sustava: p0 = 1-D

Vjerojatnost stanja n: pn = (1-D) G [(-1)n-j (jD)n-j-1 (jD+n-j)ejD / (n-j)! ]

Srednji broj potrošača u sustavu: E(n) = D + D2 / (2-2D)

Disperzija broja potrošača u sustavu: D(n) = E(n) + D3/(3-3D) + D4/(4(1- D)2)

n

j=0

77

M / D / 1 sustavi

Srednji broj potrošača u redu: E(nq) = D2 / (2-2D)

Disperzija broja potrošača u redu: D(nq) = D(n) - D + D2

Srednje vrijeme odziva: E(r) = E(s)+DE(s) / (2-2D)

Disperzija vremena odziva: D(r) = DE(s)2/(3-3D) + D2(E(s))2/(4(1-D)2)

Srednje vrijeme čekanja: E(w) = D E(S) / (2-2D)

Disperzija vremena čekanja: D(w) = D(r)

Formule za M/D/1 dobivaju se iz formula za M/G/1 uz uvrštenja:

D(s) = 0 Y F(s)= 0

C(s) = F(s) / E(s) = 0

E(sk) = E(s)k

78

M / G / 4 sustavi

Parametri:8 - intenzitet dolazakaE(s) - srednje vrijeme posluživanja



Vjerojatnost praznog sustava: p0 = e-D

Vjerojatnost stanja n: pn = Dn e-D / n! za n = 0, 1, ...

Srednji broj potrošača u sustavu: E(n) = D

Disperzija broja potrošača u sustavu: D(n) = D

Srednji broj potrošača u redu: E(nq) = 0

Disperzija broja potrošača u redu: D(nq) = 0

79

M / G / 4 sustavi

Vrijeme odziva jednako je vremenu posluživanja pa, prema tome, imaistu funkciju distribucije

Srednje vrijeme odziva: E(r) = E(s)

Disperzija vremena odziva: D(r) = D(s)

Budući da nema reda, nema ni vremena čekanja: E(w) = D(w) = 0

Ovi sustavi nazivaju se infinite server (IS) ili delay center.

Za podslučaj kada je distribucija vremena servisiranja eksponencijalna,tj. za M/M/4 sustav, treba u gornjim formulama umjesto E(s) staviti 1/µ

80

Mreže redova

PSvi do sada prikazani sustavi imali su jedan red čekanja

PU praksi se često javljaju sustavi kod kojih se potrošači poslužujuu više redova prije nego napuste sustav. Takvi sustavi modelirajuse mrežama redova (queuing networks)

POpćenito, u mreži redova će potrošač koji izađe iz jednog reda (tj.čije posluživanje je završeno) ući u drugi red (moguće i u isti red)

PZa mreže redova ne postoji notacija slična Kendallovoj

PMreže redova dijele se na:< otvorene mreže redova (open queuing networks)< zatvorene mreže redova (closed queuing networks)< miješane mreže redova (mixed queuing networks)

81

Mreže redova

Otvorene mrežePOtvorene mreže:< sustav ima ulaz i izlaz< potrošači dolaze izvana i odlaze iz sustava< broj potrošača u sustavu mijenja se tijekom vremena< pretpostavlja se da je propusnost (throughput) jednaka intenzitetu dolazaka< obično se želi odrediti broj potrošača u pojedinim djelovima sustava

CPU

diskA

diskB

Ulaz

Izlaz

82

Mreže redova

Zatvorene mrežePZatvorene mreže:< nema vanjskih dolazaka i odlazaka potrošača< broj potrošača u sustavu je stalan i oni cirkuliraju u sustavu< pretpostavlja se da je broj potrošača poznat< obično se želi odrediti propusnost, tj. intenzitet dovršetka poslova< može se promatrati kao otvorena mreža sa spojenim ulazom i izlazom

CPU

diskA

diskB

Ulaz

Izlaz

83

Mreže redova

Miješane mrežePMiješane mreže:< za pojedine potrošače mreža je otvorena, a za druge je zatvorena< potrošači su podijeljeni u razrede, a svaki razred ima svoja svojstva

(zatvorenost, zahtjeve za posluživanje itd.)

Ulaz Izlaz

Centralnaprocesnajedinica

Terminali

Interaktivnizadatci

"Batch" obrade

84

Serijske mreže redova

PNajjednostavnije mreže su serije sustava s jednim poslužiteljemte s eksponencijalnim dolascima i vremenom obrade, tj. serija odk sustava tipa M/M/1

µ1 8µ2 µk. . .8888

PPokazuje se da se svaki M/M/1 sustav može zasebno analizirati

PSvaki sustav ima intenzitet dolazaka i odlazaka jednak 8

PAko je µi intenzitet posluživanja i-tog sustava, onda je intenzitetprometa u i-tom sustavu Di =8 / µi

PVjerojatnost da je u i-tom sustavu ni potrošača je pi(ni) = (1-Di) Di

ni

85


PZajednička vjerojatnost broja potrošača u M redova može sejednostavno izračunati množenjem pojedinačnih vjerojatnosti:

P( n1, n2, ..., nM ) = (1-D1) D1n1 × (1-D2) D2

n2 × ... × (1-DM) DMn

M

= p1(n1) × p2(n2) × × pM(nM)

PZbog tog svojstva, ovakva mreža naziva se mreža sproduktnim oblikom (product form network)

POvaj naziv se općenito koristi za sve mreže za koje vrijedi:

P( n1, n2, ..., nM ) = A fi(ni)1

G(N)M

i=0

µ1 8µ2 µk. . .8888

86

Serijske mreže redova - primjer

µ1 µ28

Oba poslužitelja imaju eksponencijalno vrijeme obrade i to 2 i 3 s, aprosječno vrijeme dolazaka je 4 s. Kolika je vjerojatnost da je uprvom sustavu n1 potrošača, a u drugom sustavu n2 potrošača?

D1 = 8/µ1 = 0,25/0,5 = 0,5 D2 = 8/µ2 = 0,25/0,33 = 0,75

P( n1, n2) = p1(n1) × p2(n2) = (1-D1) D1n1 × (1-D2) D2

n2 = 3 / 2n2 n1+2n2+3

Na primjer: P(0,0) = 30 / 23 = 0,1250 P(0,1) = 31 / 25 = 0,0938 P(1,0) = 30 / 24 = 0.0625 P(1,1) = 31 / 26 = 0,0469 P(1,2) = 32 / 28 = 0,0352 P(2,1) = 31 / 27 = 0,0234

P(0,2) = 32 / 27 = 0,0703 P(2,0) = 30 / 25 = 0,0313 P(2,2) = 32 / 29 = 0,0176 . . .

þ

87


µ1 µ2888

Budući da svaki dio mreže možemo promatrati kao zasebni sustav ito kao M/M/1 sustav i budući da poznajemo intenzitete dolaska usvaki zasebni sustav (8), možemo i analizirati svaki dio odvojeno:

Prvi sustav (dolasci svake 4 s, obrada traje 2 s): 8 = 0,25 µ1 = 0,5 Intenzitet prometa: D = 8/µ1 = 0,25/0,5 = 0,5 Iskoristivost U = D = 0,5 Prosječan broj potrošača u sustavu: E(n) = D /(1-D) = 1 Prosječan broj potrošača u redu: E(nq) = D2 /(1-D) = 0,5 Prosječno vrijeme odziva: E(r) = E(n)/8 = 4 Prosječno vrijeme čekanja: E(w) = E(nq)/8 = 2

³

þ

88


µ1 µ2888

Drugi sustav (dolasci svake 4 s, obrada traje 3 s): 8 = 0,25 µ1 = 0,33 Intenzitet prometa: D = 8/µ1 = 0,25/0,33 = 0,75 Iskoristivost U = D = 0,75 Prosječan broj potrošača u sustavu: E(n) = D /(1-D) = 3 Prosječan broj potrošača u redu: E(nq) = D2 /(1-D) = 2,25 Prosječno vrijeme odziva: E(r) = E(n)/8 = 12 Prosječno vrijeme čekanja: E(w) = E(nq)/8 = 4,5

Za rad pojedinih sustava i mreže u cjelini redoslijed pojedinihsustava nije bitan.

³

89


PDijagram prijelaza za slučaj s dva poslužitelja ima dvije dimenzije(jer je stanje predstavljeno parom stanja pojedinih sustava):

0,0

µ1

8

1,0

2,0

0,1

1,1 0,2

8

8

8

8 8µ2

µ1µ1

µ2

µ2

µ2 µ2

µ2

PPraktično je što možemo analizirati svaki dio sustava odvojeno,a glavne parametre svakog sustava poznajemo (8, µi)

90

Općenite mreže redova

PMreže produktnog oblika su lakše za analizu od neproduktnih

PZato se pokušava ustvrditi za što veći broj mreža imaju liproduktna svojstva

P Jedno od prvih rješenja dao je Jackson 1963. godine koji jeustvrdio da produktni oblik imaju mreže sa svojstvom:< bilo kakav oblik< otvorena mreža< sustavi mogu imati m poslužitelja< svaki sustav ima poslužitelje s eksponencijalnim vremenom posluživanja

P Iako ograničenje na eksponencijalne razdiobe posluživanja izgledakao dosta strogo, ipak su ovakve mreže prilično raznovrsne

POvakve mreže mogu donekle aproksimirati i druge vrste mreža, stim da je tada često potrebna dodatna analiza koja daje približnarješenja

91

Jacksonove mreže

P Jedan primjer Jacksonove opće mreže prikazan je slikom:

Ulaz

Izlaz

92

Jacksonove mreže

PU mreži postoje točke grananja (branches) i točke spajanja (joins)(kao u spajanju i razdvajanju Poissonovih tokova)

PU točki grananja postoje vjerojatnosti grananja ri (routingprobabilities)

8

r1 8

r2 8

r3 8

r1

r2

r3

G ri = 1

93

Jacksonove mreže

PU točki spajanja postoji zbrajanje dolaznih intenziteta

8 = 81 + 82 + 83

81

82

83

8

8 = G 8 i

94

Jacksonove mreže

PDobiva se skup linearnih jednadžbi koje se nazivaju jednadžbamaprometa (traffic equations). Za svaki čvor i od ukupno M čvorovaimamo:

U ravnotežnom stanju vrijedi: 8i = (i + r1,i 81 + r2,i 82 + ... + rM,i 8M

95

Jacksonove mreže

PU jednadžbama prometa imamo sljedeće oznake:

Intenzitet vanjskih dolazaka u čvor i: (i Vjerojatnost grananja iz čvora i u čvor j: ri,j

PVjerojatnosti grananja i vanjski intenziteti ujedno definiraju itopologiju mreže i mogu se pisati matrično, tj. vektorski

PJednadžbe prometa mogu se također pisati matrično: 8=(+R8

96

Jacksonove mreže

P Jackson je pokazao da za mrežu od M čvorova s jednimeksponencijalnim poslužiteljem, u ravnotežnom stanju, za čiječvorove su poznati ulazni intenziteti i intenziteti posluživanja,vrijedi formula za vjerojatnost stanja *:

P( n1, n2, ..., nM ) = A (1-Di) Dini

gdje je Di = 8i/µi

M

i=0

* Ista formula vrijedi za serijske mreže što je već pokazano naslajdu 85, gdje se nalazi i opća formula za produktne mreže

PZa pojedine čvorove vrijedi: E(ni) = Di/(1-Di) i E(wi) = ni/8i

PZa cijelu mrežu vrijedi mrežna varijanta Littleove formule:

E(w) = G E(ni) / G (i

97

Jacksonove mreže

Komentar za čvorove Jacksonovih mreža

PRezultati s prethodnog slajda govore da se cijela mreža možepromatrati i da se ponaša kao da je svaki čvor nezavisni M/M/1sustav.

PMeđutim, to ne znači da je svaki čvor zaista izdvojeni M/M/1sustav. Problem su ulazni tokovi.

POpćenito, ulazni tok u pojedine čvorove ne mora uopće bitiPoissonov tok. To vrijedi kada ima povratnih tokova.

PBez obzira na to što ulazi nisu Poissonovi, cijela mreža se ponašakao da su čvorovi nezavisni M/M/1 sustavi.

98

Jacksonove mreže

Poopćenje Jacksonovih mreža za M/M/m čvorove

PPokazuje se da se prethodno pokazani rezultati za Jacksonovemreže s jednoposlužiteljskim čvorovima mogu poopćiti navišeposlužiteljske čvorove, tj sustave M/M/m

Ulaz

Izlaz

99

Jacksonove mreže

Daljni komentari za Jacksonove mreže

PDistribucije vremena čekanja ne mogu (tj. ne znaju) se odrediti

P Jedino su poznata očekivanja vremena (pomoću Littleovog zakona)

POpćenito, ulazni tok u pojedine čvorove ne mora uopće bitiPoissonov tok. To sigurno vrijedi kada ima povratnih tokova.

PVrijeme prolaska potrošača kroz dio mreže ili cijelu mrežu (tzv.sojourn time) također se ne može odrediti

µ8

100

Jacksonove mreže

Daljni komentari za Jacksonove mreže

PDaljnja istraživanja poopćila su Jacksonove rezultate i na drugevrste mreža:< zatvorene mreže< BCMP mreže (Baskett, Chandy, Muntz, Palacios, 1975.) za koje vrijedi:

– disciplina posluživanja svih čvorova može biti FCFS ili PS ili IS ili LCFS-PR– klasa potrošača može se mijenjati prema fiksnim vjerojatnostima po izlasku iz čvora – razdioba vremena posluživanja mora biti eksponencijalna za FCFS čvorove za sve

klase potrošača; ostali čvorovi gdje razdiobe imaju racionalnu Laplaceovutransformaciju, mogu imati različite razdiobe za različite klase potrošača

– vrijeme posluživanja za FCFS poslužitelje može ovisiti samo o ukupnom brojupotrošača u pripadnom redu čekanja; za ostale discipline posluživanja , vrijemeposluživanja može ovisiti samo o broju potrošača iste klase

– vrijeme dolazaka u otvorenim mrežama za potrošače iste klase mora bitieksponencijalno, a grupni dolasci su zabranjeni; mreža može biti otvorena zapojedine klase potrošača, a zatvorena za druge klase

< itd. ...

101

Jacksonove mreže

Aproksimacija Jacksonovim mrežama

µ 1Ulaz

Izlaz

µ 2

µ 3

Za sustav na slici s eksponencijalnim vremenima dolazaka iposluživanja izračunato je vrijeme čekanja za različite vrijednostiintenziteta dolazaka, a zatim je provedena simulacija.

þ

102

Jacksonove mreže

Aproksimacija Jacksonovim mrežama³

eksperiment

1 2 3 4

M Ek U MEk U M UEk D M UM D M U

Prvi stupac jeanalitičko rješenje, aostali su simulacijskieksperimenti sasljedećim razdiobamaulaza i tri posluživanja

103

Jacksonove mreže - primjer

Primjer:

U telefonsku centralu osiguravajućeg društva dolazi 35 poziva na sat.Pozivatelj može birati dvije vrste usluge: tipkom 1 bira potraživanjeisplate štete, a tipkom 2 bira informacije. Ovo biranje prosječno trajepola minute. 55% pozivatelja bira potraživanje, a 45% informacije.Usluga potraživanja ima tri djelatnika i traje oko 6 minuta, a uslugainformacija ima sedam djelatnika i traje 20 minuta. Oko 2%pozivatelja nakon potraživanja ide na informacije, a 1% nakoninformacija ide na potraživanje.

Želi se znati prosječno vrijeme koje pozivatelj provede u sustavu ikakvi su redovi čekanja.

þ

104


µ 1Ulaz

Izlaz

Informacije

Potraživanje

Odabir usluge

Izlaz

0,55

0,450,01

0,02

µ 2

µ 3

(1

³ (1 = 35 / hr(2 = (3 = 0

µ1 = 120 / hrµ2 = 10 / hrµ3 = 3 / hr

0 0,55 0,45R = 0 0 0,02

0 0,01 0

Jednadžbe prometa: 8 = ( + R8 (3 jednadžbe s 3 nepoznanice: 8)

Rješenje jednadžbi prometa: 8 = ( ( I - R )-1 þ

105


³ Rješenje za 8 izlazi:

81 = 35 82 = 19,411 83 = 16,138

Iz ovoga se izračunaju intenziteti prometa (D=8/(mµ)):

D1 = 35 /120 D2 = 19,411/(3*10) D3 = 26,138/(7*3)= 0,292 = 1,9411 = 5,379

Korištenjem standardnih formula za M/M/m sustave računa sevjerojatnost praznog sustava (p0), iz toga se računa vjerojatnoststvaranja reda k. Nakon toga se računa očekivani broj potrošača usustavu (E(n)) i u redu čekanja (E(nq)):

E(n1) = 0,412 E(n2) = 2,706 E(n3) = 6,781E(nq1) = 0,12 E(nq2) = 0,765 E(nq3) = 1,402 þ

106


³ Iz prethodnih brojeva za potrošače:

E(n1) = 0,412 E(n2) = 2,706 E(n3) = 6,781

Računa se ukupni očekivani broj potrošača u mreži E(n):

E(n) = E(n1) + E(n2) + E(n3) = 9,899

Prema Littleovom zakonu računa se ukupni očekivani odziv mreže E(r):

E(r) = E(n) / ( = 9,889 / 35 = 0,283 sata ili približno 17 minuta

107

Mrežni modeli računala

PMeđu prvim mrežnim modelima računala su dva poznata modela:< Model popravka strojeva< Model centralnog poslužitelja

PModel popravka strojeva (računalni sustav s time-sharingom)

Terminali (strojevi)

Računalo (serviser)Scherr 1967.

108


PModel centralnog poslužitelja

CPU

diskA

diskB

Terminali

Buzen 1973.

109


PU mrežnim modelima računala obično se javljaju tri vrste uređaja

PPrva vrsta uređaja ima jednog poslužitelja čije vrijeme posluživanja ne ovisi o brojupotrošača u uređaju. Takvi uređaji zovu se poslužitelji sa stalnim kapacitetom(fixed-capacity service center)< Primjer: CPU

PDruga vrsta uređaja nemaju redove potrošača, a posluživanje ne ovisi o brojupotrošača koji se poslužuju. Takvi uređaju modeliraju se kao sustav s kašnjenjem(delay center) što se još naziva i beskonačni poslužitelji (infinite servers - IS)< Primjer: Terminali

PKod treće vrsta uređaja vrijeme posluživanja ovisi o broju potrošača tako da seposluživanje ubrzava s porastom broja upotrebljenih poslužitelja. Takvi uređajizovu se poslužitelji ovisni o opterećenju (load-dependent service centers), amodeliraju se M/M/m sustavima< Primjer: grupa paralelnih veza između dva čvora na mreži

110

Operaciona pravila

PVelik broj praktičnih problema može se riješiti upotrebomjednostavnih pravila, koja ne zahtijevaju nikakva ograničenja narazdiobe dolazaka i vremena posluživanja

POva pravila (ili zakone) prvi je otkrio Buzen 1976 i nazvao ih jeoperacionim pravilima (operational laws)

PPod pojmom operaciono se misli izravno mjerljivo, što znači da semože provjeriti mjerenjima

PNa primjer, može se lako provjeriti da li za određeni sustav vrijedipretpostavka o jednakom broju dolaznih potrošača i odlaznih (tj.posluženih) potrošača. S druge strane, mjerenjem se ne možedokazati da su vremena posluživanja nezavisne slučajne varijable

111

Operaciona pravila

POperacione veličine (operational quantities) su one veličine kojese mogu dobiti mjerenjem tijekom konačnog vremena promatranja

Intenzitet dolazaka 8 = =

Propusnost X = =

Iskoristivost U = =

Srednje vrijeme posluživanja S = =

broj dolazakavrijeme

broj odlazakavrijeme

vrijeme zauzetostivrijeme

vrijeme zauzetostibroj odlazaka

AT

CT

BT

BC

Na primjer, tijekom vremena T može se izmjeriti broj dolazaka (arrival - A), brojodlazaka (completion - C) i vrijeme zauzetosti (busy time - B). Iz izmjerenih semogu izračunati druge operacione veličine:

112

Operaciona pravila

PSve veličine dobivene mjerenjem (i izračunavanjem) suvarijable čija vrijednost se mijenja od jednog do drugogvremena promatranja (observation period).

PPostoje određene relacije koje vrijede za svako vrijemepromatranja i one se nazivaju operacionim pravilima.

< Zakon iskoristivosti (utilization law)

< Zakon prisilnog toka (forced flow low)

< Littleov zakon (Little's law)

< Opći zakon o vremenu odziva (general response time law)

< Zakon interaktivnog vremena odziva (interactive response time law)

113

Zakon iskoristivosti

PAko je tijekom vremena promatranja T izmjeren broj odlazaka C ivrijeme zauzetosti B tada vrijedi zakon iskoristivosti:

U = = × ili U = X SBT

CT

BC

Primjer:

Mrežni pretvarač ima 125 dolaska u sekundi i vrijeme posluživanja od 2 ms.(gateway primjer za M/M/1 sa slajdova 39-41).

X = odlazni intenzitet = dolazni intenzitet = 125 ppsVrijeme posluživanja S = 0,002 sIskoristivist U = X S = 125 × 0,002 = 0,25 = 25 %

Analitičko rješenje za iskoristivost je U = D = 0,25, ali uz bitnu razliku da jekorištena pretpostavka da vrijeme između dolazaka i vrijeme posluživanjaimaju eksponencijalne razdiobe.

114

Zakon prisilnog toka

PZakon prisilnog toka stavlja u odnos propusnost cijelog sustava ipropusnosti pojedinih uređaja.

PU otvorenim modelima, propusnost sustava definira se kao brojpotrošača koji izlaze iz sustava u jedinici vremena.

CPU

diskA

diskB

Ulaz

IzlazPU zatvorenim modelima nema

izlazaka iz sustava, ali ima prolazakapotrošača po fiktivnoj vezi koji spajaulaz i izlaz. Propusnost je definiranabrojem potrošača koji prolaze po tojvezi u jedinici vremena.

115


PAko je u vremenu promatranja T broj dolazaka na uređaj ijednak broju odlazaka iz uređaja, tj.

Ai = Ci

onda kažemo da uređaj i zadovoljava pretpostavku oravnoteži toka potrošača.

PAko je T velik, razlika Ai-Ci je malena u usporedbi sa Ci

(bila bi jednaka ništici ako bi početni broj potrošača biojednak završnom broju potrošača).

116


PPretpostavimo da svaki potrošač zahtijeva Vi puta obradu oduređaja i (V je broj zahtjeva - number of requests).

PAko je tok potrošača u ravnoteži, broj poslova koji prolazefiktivnom vezom C0 i broj poslova Ci koji odlaze iz uređaja i su urelaciji:

Ci = C0 Vi ili Vi = Ci / C0

M

Ulaz

Izlazi

1

Vi posjeta po potrošaču

117


PVi je kvocijent posjeta i-tom uređaju i vanjskoj vezi pa se nazivaomjerom posjeta (visit ratio),

PPropusnost sustava tijekom vremena T je:

Propusnost sustava X = =ukupno odlazakaukupno vrijeme

C0

T

PPropusnost i-tog uređaja tijekom vremena T je:

Propusnost uređaja Xi = = × Ci

TCi

C0

C0

T

to jest, uz pretpostavku ravnoteže toka potrošača, vrijedi zakonprisilnog toka koji glasi:

Xi = X Vi

118


PAko nema ravnoteže toka potrošača, tada je:< neki potrošači su došli tijekom vremena T, ali nisu otišli< bilo potrošača u sustavu na početku vremena T

PU oba slučaja, takvi potrošači još nisu Vi puta posjetili i-ti uređaji vrijedi: Ci … C0 Vi

PKombiniranjem zakona prislinog toka i zakona iskoristivostidobiva se formula za iskoristivost i-tog uređaja Ui:

Ui = Xi Si = X Vi Si ili Ui = X Di

gdje je: Di = X Vi Si i predstavlja ukupno zahtijevanjeposluživanja (service demand) na uređaju za sve posjetepotrošača (što je različito od broja posluživanja).

119


PFormula Ui = X Di govori da je iskoristivost pojedinih uređajaproporcionalna ukupnom broju zahtjeva

PUređaj s najvećom vrijednošću Di u sustavu ima najvećuiskoristivost i predstavlja usko grlo sustava (bottleneck device)

120

Zakon prisilnog toka - primjer

U sustavu s dijeljenim vremenom (timesharing) izmjereno je:

1) svaki program zahtijevao je: 5 s CPU-vremena, 80 pristupadisku A i 100 pristupa disku B

2) Prosječno "vrijeme razmišljanja" (think time) korisnika je 18 s

3) Iz specifikacije diskova zna se da disk A treba 50 ms zaispunjenje zahtjeva, a disk B treba 30 ms

4) Za aktivnih 17 terminala izmjerena je propusnost od 15,70pristupa na disku

Treba odrediti propusnost sustava i iskoristivost uređaja!þ

121


Sustav se može modelirati mrežom sa slike:

Zadano je:

Zahtjev za CPU-om: DCPU = 5 sBroj zahtjeva na A: VA = 80Broj zahtjeva na B: VB = 100Kašnjenje na terminalima: Z = 18 sVrijeme posluživanja A: SA = 0,050 sVrijeme posluživanja B: SB = 0,030 sBroj terminala: N = 17Propusnost diska A: XA = 15,70 pps

³

þ

CPU

diskA

diskB

Terminali

(poslova po sekundi)

122


Budući da poslovi prvo posjećuju CPU pa tek onda diskove iterminale, omjer posjeta CPU-a je:

VCPU = VA + VB + 1 = 181

Prvi korak u operacionoj analizi obično je određivanje zahtjevana pojedine uređaje:

DCPU = 5 s DA = SA VA = 0,050 * 80 = 4 s DB = SB VB = 0,030 * 100 = 3 s

³

þ

123


Upotrebom zakona prisilnog toka dobivaju se propusnosti:

X = XA / VA = 15,70 / 80 = 0,1963 zahtjeva/s

XCPU = X VCPU = 0,1963 * 181 = 35,48 zahtjeva/s XB = X VB = 0,1963 * 100 = 19,63 zahtjeva/s

Upotrebom zakona iskoristivosti dobivaju se iskoristivosti:

UCPU = X DCPU = 0,1963*5 = 98 % UA = X DA = 0,1963*4 = 78,4 % UB = X DB = 0,1963*3 = 58,8 %

³

124

Littleov zakon

PLittleov zakon također je operacioni zakon - u njegovom izvoduupotrebljene su samo veličine koje se mogu mjeriti bez drugihpretpostavki o razdiobama itd.

PPretpostavljeno je jedino da je broj dolazaka jednak broju izlazaka štoje mjerno provjeriva pretpostavka ravnoteže toka potrošača

PLittleov zakon stavlja u odnos duljinu reda Qi (cijeli potrošač!!!) ivrijeme odziva Ri:

Srednji broj u uređaju = intenzitet dolazaka × srednje vrijeme odziva

Qi = 8i Ri

Uz pretpostavku da je tok potrošača u ravnoteži:

Qi = Xi Ri

125

Littleov zakon - primjer

Za prethodni primjer s timesharing računalom izračunali smo propusnosti: X = 0,1963 zahtjeva/s XCPU = 35,48 zahtjeva/s XB = 19,63 zahtjeva/s

Ako su dodatno poznati brojevi poslova u uređajima: QCPU = 8,88 QA = 3,19 QB = 1,40

Primjenom Littleovog zakona može se izračunati vrijeme odziva: RCPU = QCPU / XCPU = 8,88 / 35,48 = 0,250 s RA = QA / XA = 3,19 / 15,70 = 0,203 s RB = QB / XB = 1,40 / 19,60 = 0,071 s

126

Opći zakon o vremenu odziva

PSustavi s dijeljnjem vremena mogu se podijeliti u dva podsustava:< terminalski podsustav ( jedan terminal po korisniku)< središnji podsustav (svi korisnici ga dijele)

PLittleov zakon je primjenjiv na svaki dio sustava uz pretpostavku oravnoteži toka potrošača u tom dijelu

PPrimjeni li se Littleov zakon na središnji dio sustava dobiva se:

Q = X R

gdje je Q ukupan broj poslova u sustavu, R vrijeme odzivasustava i X propusnost sustava.

PUz poznate brojeve poslova po uređajima može se izračunatiukupni broj poslova: Q = G Qi

127

Opći zakon o vremenu odziva

PUvrštenjem relacije Qi iz Littleovog zakona u prethodnu sumudobiva se:

X R = X1 R1 + X2 R2 + ... + XM RM

PDijeljenjem obje strane s X i upotrebom zakona prisilnogprotoka dobiva se opći zakon o vremenu odziva koji vrijedi čaki ako nema ravnoteže toka potrošača:

R = V1 R1 + V2 R2 + ... + VM RM

R = G Vi Ri

M

i=0

PZakon intuitivno govori da je ukupno vrijeme posla u uređajuumnožak broja posjeta i prosječnog vremena posjete. Daljegovori da je ukupno vrijeme posla u sustavu jednako sumivremena na različitim uređajima.

128

Opći zakon o vremenu odziva - primjer

Za prethodne primjere s timesharing računalom treba izračunati vrijemeodziva sustava. Bilo je zadano ili izračunato:

Broj posjeta po poslu: Vremena odziva uređaja: VCPU = 181 RCPU = 0,250 VA = 80 RA = 0,203 VB = 100 RB = 0,071

Primjenom općeg zakona o vremenu odziva može se izračunati vrijemeodziva:

R = RCPU VCPU + RA VA + RB VB = = 0,250 * 181 + 0,203 * 80 + 0,071 * 100 = 68,6

129

Zakon interaktivnog vremena odziva

PU interaktivnom sustavu korisnici stvaraju zahtijeve koje poslužujesredišnji sustav i vraća ih korisnicima. Nakon vremena razmišljanja Z,korisnik postavlja sljedeći zahtjev.

PAko je odziv središnjeg sustava R, ukupno vrijeme jednog ciklusazahtjeva je R+Z. Svaki korisnik stvara prosječno T / (R+Z) zahtjeva uvremenu T. Pretpostavimo li da ima N korisnika:

Propusnost sustava X = ukupan broj zahtjeva / ukupno vrijeme

X = N [T/(R+Z) ] / T

X = N / (R+Z)

R = N/X - Z

PDrugačije izraženo, dobiva se zakon interaktivnog vremena odziva:

130

Zakon interaktivnog vremena odziva -primjer

Za prethodne primjere s timesharing računalom treba izračunati vrijemeodziva sustava upotrebom zakon ainteraktivnog vremena odziva. Bilo jezadano ili izračunato:

Propusnost sustava X = 0,1963 Broj korisnika (terminala) N = 17 Vrijeme razmišljanja Z = 18

Primjernom zakona interaktivnog vremena odziva može se izračunativrijeme odziva:

R = N / X - Z = 17 / 0,1963 - 18 = 68,8 s

I:Documents and SettingsdbaschDesktopMISRpredavanja 1 ... · P Teorija redova je analiti ka metoda...

Documents

Transcript of I:Documents and SettingsdbaschDesktopMISRpredavanja 1 ... · P Teorija redova je analiti ka metoda...