UNIVERSIDAD DISTRITAL“FRANCISCO JOSE DE CALDAS”

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION

LICENCIATURA EN FISICA

JUAN DAVID FONSECA JAMAICA

ESTABILIDAD DEL SISTEMA SOLAR A PARTIR DE UNAPERTURBACION EN SU CONTENIDO ENERGETICO

BOGOTA 2018

JUAN DAVID FONSECA JAMAICA

ESTABILIDAD DEL SISTEMA SOLAR A PARTIR DE UNAPERTURBACION EN SU CONTENIDO ENERGETICO

Monografıa sometida a la coordinacion del pro-yecto curricular de Licenciatura en Fısica y a lacoordinacion de la Facultad de Ciencias y Edu-cacion - sede Macarena, como requisito parcialpara la obtencion de grado de Licenciado en fısi-ca de la Universidad Distrital “Francisco Jose deCaldas”.

Area de Investigacion: Fısica teorica y Astro-nomıa.

Orientador: GIOVANNI CARDONARODRIGUEZ

BOGOTA 2018

Para todos aquellos quecontemplan la fısica teorica

como el acto mas sublimede la imaginacion.

I

Agradecimientos

En primer lugar, quiero agradecer a mi padre Juan Fonseca, quien me ha encaminadoen el camino cientıfico ensenadome a ver mas alla de lo aparente y mostrandome la esenciaque subyace de las cosas. A mi madre Ana Jamaica, quien a pesar de multiples dificultadesme ha brindado todas las ayudas, tanto economicas como morales, para que logre culminarsatisfactoriamente mi carrera profesional. A mis hermanas Cindy y Paola, quienes a traves de susconsejos me han fortalecido en momentos difıciles, durante todo mi proceso academico. A JessicaMartınez, quien estuvo a mi lado durante todo el pregrado creyendo en mi capacidad para lalabor cientıfica, y brindandome su apoyo para proyectos aun mas grandes. A mis companerosde carrera, quienes a traves de multiples debates consolidaron muchos de mis conocimientos,y tuvieron la paciencia para ensenarme los que desconocıa. Tambien quiero agradecer a todosmis profesores de la licenciatura, quienes fomentaron un interes particular en la fısica teoricay me demostraron que con cierto esfuerzo y perseverancia, se puede llegar a comprender losfenomenos misteriosos de la naturaleza. Al profesor Giovanni Cardona, quien decidio apoyarmeen este trabajo brindandome todas las ideas principales sobre las que se baso esta investigacion.Al profesor Walter Pulido, quien se esmera dıa a dıa en su labor docente, con el fin de explotarel espıritu intelectual y cientıfico de cada estudiante con el que se relaciona a traves de susmuy interesantes asignaturas. Al profesor Cesar Herreno, quien notablemente se esfuerza porimpulsar el futuro academico de los estudiantes que acuden a su notable experiencia. Al profesorEdwin Munevar, a quien a pesar de no haber tenido la oportunidad de conocerlo en algunas desus clases, me ofrecio muchas ayudas para culminar mi pregrado y emprender nuevos proyectosde postgrado. A los profesores Jhon Fredy Salas y Yesid Javier Cruz, quienes me demostraronque en la formacion academica tambien se forjan valores como la humildad y la sencillez. Paratodas estas personas, muchas gracias.

II

Resumen

En este trabajo se encontraron las perturbaciones causadas por la expansion del universoy el decremento de la masa solar, a la estabilidad del sistema solar cuando esta se representoen la invarianza de cuatro propiedades orbitales: el periodo, el semieje mayor, la excentricidady la precesion de la orbita. En primer lugar, el sistema solar asumido como un problema dedos cuerpos interactuando, fue solucionado mediante el formalismo matematico de las fuerzascentrales y la mecanica de Hamilton-Jacobi; y mediante una perturbacion en la funcion hamito-niana referida al centro de masas, se encontraron las afectaciones caracterizadas en su estructuramatematica por los terminos que describen a cada fenomeno; a saber, α

α= 3×10−21yr−2 (relacio-

nado a la expansion del universo), y ξ = 6,4×10−14yr−1 (relacionado al decremento de la masasolar). Finalmente, estas perturbaciones fueron comparadas mediante un analisis cuantitativode la expresion matematica que las represento, y el significado fısico que surgio a partir de losresultados. Como consecuencia, solo en el caso del semieje mayor, el decremento de la masa solarlogro un cambio “significativo” para planetas en los que el producto entre su periodo y semiejemayor inicial, es comparable en ordenes de magnitud al termino ξ. Para todos lo demas eventos,los cambios que realizaron los fenomenos a los factores orbitales fueron tan insignificativamentepequenos, que se pudo considerar el sistema solar regido a dos cuerpos como un sistema estable.

Palabras clave: Sistema solar, expansion del universo, masa solar, periodo, semieje mayor,excentricidad, precesion, problema de dos cuerpos, fuerzas centrales, Hamilton-Jacobi, funcionhamiltoniana.

III

Abstract

In this work we found the perturbations caused by the expansion of the universe and thedecrease of the solar mass, to the stability of the solar system when it was represented in theinvariance of four orbital properties: the period, the semimajor axis, the eccentricity and theprecession of the orbit. In the first place, the solar system assumed as a problem of two bodiesinteracting, was solved by means of the mathematical formalism of the central forces and themechanics of Hamilton-Jacobi; and by means of a perturbation in the hamitonian functionreferred to the center of masses, the affectations characterized in their mathematical structurewere found by the terms that describe each phenomenon; namely, α

α= 3 × 10−21yr−2 (related

with expansion of the universe), and ξ = 6,4 × 10−14yr−1 (related with decrease of the solarmass). Finally, these perturbations were compared by means of a quantitative analysis of themathematical expression that represented them, and the physical meaning that emerged fromthe results. As a consequence, only in the case of the semimajor axis, the decrease in the solarmass achieved a “significant” change for planets in which the product between its period andthe initial semimajor axis is comparable in orders of magnitude to the term ξ. For all otherevents, the changes made by the phenomena to the orbital factors were so insignificantly small,that the solar system could be considered governed by two bodies as a stable system.

Keywords: Solar system, expansion of the universe, solar mass, period, semi-major axis,eccentricity, precession, two-body problem, central forces, Hamilton-Jacobi, Hamiltonian fun-ction.

IV

Indice general

Agradecimientos II

Resumen III

Abstract IV

Lista de figuras VII

Lista de tablas VIII

Introduccion 1

Antecedentes 3Estabilidad del Sistema Solar: un problema historico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Justificacion 9

Problema de investigacion 10

Objetivos 11Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Metodologıa 120.1. Tipo de investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120.2. Enfoque de investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120.3. Fuentes de informacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1. El problema de los dos cuerpos 14

2. El problema de Kepler 19

3. El problema de Kepler a partir del formalismo de Hamilton-Jacobi 24

4. La expansion del universo y el decremento de la masa del Sol: perturbacionesen el problema de Kepler 284.1. Expansion del universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1.1. Potencial relacionado con la expansion del universo . . . . . . . . . . . . 314.1.2. Implementacion del potencial como una perturbacion . . . . . . . . . . . 32

4.2. Decremento de la masa del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.1. Potencial relacionado con el decremento de la masa del Sol . . . . . . . . 354.2.2. Implementacion del potencial como una perturbacion . . . . . . . . . . . 35

V

5. Resultados 375.1. Correccion al perihelio de las orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2. Correccion al periodo de las orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3. Correccion al semieje mayor de las orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4. Correccion a la excentricidad de las orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Anexos 41

Conclusiones 42

Perspectivas 43

Referencias 44

VI

Indice de figuras

1. Reproduccion de las tablas de Halley[1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. Medidas caracterısticas de la orbita elıptica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Inclinacion de la tierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54. Caso tıpico del problema de los tres cuerpos: sistema Sol-Tierra-Luna. . . . . . . 65. Lınea del tiempo del problema de la estabilidad del Sistema Solar . . . . . . . . 8

1.1. Interaccion de dos cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2. Potencial efectivo V ′ en funcion de r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3. Orbita del movimiento en una fuerza central que se desvıa ligeramente de una

orbita circular[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1. Eje mayor de la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Area barrida por el vector posicion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1. Diagrama de Hubble [24]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2. Factor de escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

VII

Indice de tablas

2.1. Naturaleza de la orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2. Excentricidades de los planetas [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.1. Variaciones en los perihelios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2. Variaciones en los periodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3. Variaciones en el semieje mayor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4. Variaciones en las excentricidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.5. Datos de los planetas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

VIII

Introduccion

La estabilidad del sistema solar es un problema que se ha estudiado desde que se tiene co-nocimiento de la interaccion entre los planetas y el sol. La pregunta mas apropiada que resumeeste tema podrıa ser: ¿el sistema solar siempre se comportara de la misma manera? y masespecıficamente, ¿el sistema solar siempre se mantendra “estable”? Una vez conocida la ley degravitacion universal, la respuesta para dichas preguntas se pudo encontrar bajo la descripcionfısica que surgıa de la expresion matematica que representaba dicha ley1. Sin embargo, las com-paraciones entre observaciones y teorıa establecieron un punto de partida, para que la mentehumana considerara otros factores que afectaban el movimiento de los planetas. La expansiondel universo y el decremento de la masa del sol son dos factores que se consideraron en estetrabajo, unido a la perturbacion que causan a la estabilidad del sistema solar.

Junto con la interaccion entre los planetas cuando estos se mueven alrededor del sol poraccion gravitacional, la expansion del universo como fenomeno cosmologico y el decremento dela masa de las estrellas como fenomeno local, son factores igualmente importantes cuando laestabilidad del sistema solar es el tema a considerar. Por esta razon, se abordo esta investigacionusando una aproximacion clasica que permitio obtener descripciones fısicas y evidenciables atraves de observaciones astronomicas.

En vista de que se deseo observar el comportamiento del sistema planetario solo bajo losdos fenomenos mencionados anteriormente, se considero que el sistema solar se compone uni-camente de la interaccion entre el sol y un planeta aleatorio (problema de los dos cuerpos). Ellenguaje matematico mas apropiado que se uso para tratar este tema fue la mecanica analıtica.Mas propiamente, las fuerzas centrales y la mecanica de Hamilton-Jacobi. Estos formalismosse caracterizan porque ofrecen la ventaja, de que a partir de una energıa potencial debida a lasperturbaciones, se desglosa una serie de consecuencias fısicas que no necesariamente implicanun calculo complejo. De modo que, en primer lugar, el objetivo fue encontrar aquella energıapotencial basada en la descripcion de los fenomenos; y a traves de las variables accion-anguloy las fuerzas centrales, se implemento luego dicha energıa en el hamiltoniano de dos cuerposreferido al centro de masas, para observar que cambios aparecıan en cuatro propiedades fısicasque representaron la estabilidad del sistema solar: el semieje mayor, el periodo orbital, la ex-centricidad de la orbita y la precesion del perihelio2.

El proposito de este trabajo consistio en la obtencion de resultados teoricos concernientes alsistema solar que habitamos, cuando este se somete a dos fenomenos cosmologicos, que hoy dıa,se consideran un tema amplio de investigacion3. Adicionalmente, cuando la forma de abordareste problema es mediante el uso de una mecanica aprehensible por cualquier estudiante depregrado en fısica, ayudandole a dar respuesta a temas profundos a traves de calculos sencillos.

1La fuerza atractiva entre dos objetos masivos es directamente proporcional al producto de las masas einversamente proporcional al cuadrado de la distancia (Newton, 1687).

2GOLDSTEIN, Herbert. Mecanica Clasica. 2 ed. Espana: Reverte, 1987, p. 582.3National Aeronautics and Space Administration NASA.

1

Inicialmente, en el capıtulo “El problema de los dos cuerpos” se describe la interaccionentre dos cuerpos masivos acudiendo a la funcion lagrangiana del sistema, demostrando queel problema se reduce a un solo cuerpo (centro de masa) por algunas leyes de conservacion.Ademas, se muestran las caracterısticas que debe poseer la fuerza de atraccion entre dos cuerpos,para que las trayectorias sean orbitas cerradas y estables. En el capıtulo “El problema de Kepler”se alude al caso de la fuerza gravitacional (ley del inverso al cuadrado de la distancia) como unafuerza que muestra las caracterısticas mencionadas en el capıtulo anterior. Con ello, y a travesdel formalismo de las fuerzas centrales, se deducen las propiedades fısicas que representaronel concepto de estabilidad en este trabajo; propiedades que relacionadas mediante ecuacionesmatematicas obedecen a las tres leyes de Kepler. En el capıtulo “El problema de Kepler apartir del formalismo de Hamilton-Jacobi” se obtienen resultados similares que con el metodode las fuerzas centrales, haciendo uso de calculos mas sencillos y directos; es decir, las variablesaccion-angulo. En el capıtulo “La expansion del universo y el decremento de la masa del sol”se obtienen respectivamente dos potenciales a traves de los fundamentos teoricos de ambosfenomenos. Luego, se implementan los potenciales en el problema de dos cuerpos con ayuda de lamecanica de las fuerzas centrales, la mecanica de Hamilton-Jacobi y la teorıa de perturbacionesdependiente del tiempo. Finalmente, en el capıtulo “Resultados” se muestran las soluciones quesurgieron despues de implementar los potenciales, y se compararon con el fin de concluir quefenomeno afecto mas a cada una de las propiedades que represento la estabilidad del sistemasolar.

2

Antecedentes

Estabilidad del Sistema Solar: un problema historico

La estabilidad del sistema solar es un problema al que grandes personajes de la humanidadhan dedicado mucho tiempo a lo largo de sus vidas, apoyados en el trabajo realizado por otros,y los resultados que les deja su intelecto. El hecho de poder conocer, y aun mas, predecir elcomportamiento del sistema solar que habitamos, ha sido un tema de gran interes por el que seemplearıan todos los esfuerzos. En este capıtulo se pretende mostrar todas las contribucionesque han hecho matematicos y fısicos a lo largo de la historia, que tuvieron el proposito deahondar en el problema de la “estabilidad del sistema solar”.

Johannes Kepler con ayuda de las observaciones hechas por Tycho Brahe, publico sus tresleyes en 1609 y 16194, que dicen:

i)Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo orbitas elıpticas. El Sol seencuentra en uno de los focos de la elipse.

ii)Un planeta recorre areas iguales en tiempos iguales.iii)La razon entre el cuadrado del periodo de rotacion y el cubo del semieje mayor es identica

para todos los planetas del sistema solar.

Asimismo, en 1625 Kepler escribio sobre la discrepancia entre las observaciones hechas porRegiomontanus5 acerca de los movimientos de los planetas Jupiter y Saturno, y los movimientosmedios determinados por Ptolomeo y Tycho alrededor de 1600.

En 1687, Isaac Newton publico sus Philosophiæ naturalis principia mathematica, en el quedescribio la interaccion entre dos cuerpos debida a la accion de la gravedad. Sin embargo, New-ton en su texto de optica expreso sus dudas acerca de la estabilidad cuando vio comprometidaslas perturbaciones debidas a otros planetas y cometas; ademas, planteo la idea de que estasperturbaciones podrıan acumularse y destruir el sistema solar. Para este problema, planteo laposibilidad de una intervencion divina que pudiera corregir las orbitas planetarias.

En 1776 se reprodujeron las tablas de Halley6 (Figura 1)en las que se evidencio las irregula-ridades del comportamiento de las orbitas de Jupiter y Saturno. Debido a estas irregularidades,la Academia de Ciencias de Francia ofrecio un premio para el que pudiera resolver el problemaantes mencionado. Esto era de vital importancia, pues estaba directamente implicada la esta-bilidad del sistema solar; mas aun cuando la ley de la gravitacion era ya formulada junto conlas leyes de Kepler. Leonhard Euler se dedico a trabajar en el problema y fue galardonado en

4KLEPPNER, Daniel. KOLENKOW, Robert. An Introduction To Mechanics. 2 ed. United States: CambridgeUniversity Press, 2014. p. 374.

5Johann Muller Regiomontano (1436-1476). Astronomo y matematico aleman que contribuyo al campo dela trigonometrıa y la astronomıa.

6Edmund Halley (1656-1742). Astronomo, matematico y fısico ingles a quien se le atribuyo por calcular laorbita del cometa que hoy lleva su nombre.

3

1748 y 1752 por sentar las bases de los metodos de perturbaciones, y por demostrar que en lasleyes de Newton se inducia variaciones seculares en el movimiento medio de Jupiter y Saturno.Sin embargo, con base en las observaciones se supo que los resultados de Euler eran erroneos.

Figura 1: Reproduccion de las tablas de Halley[1].

Joseph Louis Lagrange se preocupo por el mismo problema de las irregularidades del mo-vimiento de Jupiter y Saturno, y en 1766, a traves de su publicacion Solution de diferentsproblemes de calcul integral realizo un estudio cuyos resultados si concordaron con las obser-vaciones. Demostro que Jupiter se aceleraba mientras que saturno desaceleraba. Sin embargo,sus calculos seguıan siendo incorrectos.

En 1773 Pierre Simon Laplace describio la invarianza secular del semieje mayor (Figura 2)de los planetas; sin embargo, mostro su preocupacion por que sus resultados (lejos de los deLagrange y Euler) mostraron que la alteracion en el movimiento de Jupiter no era causada porSaturno. Por esta razon, sospecho de que las irregularidades en estos planetas pueden ser porlos cometas que se mueven muy cerca a los dos colosos.

Figura 2: Medidas caracterısticas de la orbita elıptica.

Lagrange en 1774 publico una memoria en la que describio las variaciones de las inclinacio-nes (Figura 3) de los planetas y la aplicacion de esta teorıa a la orbita de cada uno de los seisplanetas principales, pudiendo predecir en cualquier tiempo la posicion absoluta de las orbitas.En esta memoria, aparecieron por primera vez las ecuaciones diferenciales lineales con coefi-cientes constantes que representan, en primer orden, el movimiento promediado de las orbitasplanetarias.

El siguiente ano, Laplace presento sin demora una nueva memoria a la Academia, conrespecto a la aplicacion del metodo de Lagrange sobre el movimiento de excentricidades yafelios de orbitas planetarias. Sobre esto escribio:

4

Ademas, he buscado si se pueden determinar de manera similar las desigualdades secularesde excentricidad y movimiento del afelio, y felizmente lo logre, de modo que puedo determinarno solo las desigualdades seculares del movimiento de los nodos y la inclinacion de las orbi-tas planetarias, los unicos que fueron considerados por el Sr. Lagrange, pero tambien los dela excentricidad y el movimiento del afelio, y como he argumentado que las desigualdades delmovimiento medio y la distancia promedio son cero, tendremos ası una completa y rigurosateorıa de todas las desigualdades seculares de las orbitas de los planetas. (Laplace, oeuvres tVIII, p.355)

Figura 3: Inclinacion de la tierra.

Laplace habıa demostrado la invarianza secular del semieje mayor considerando solo losprimeros terminos en la expansion de las perturbaciones promedio; pero sus resultados seguıanen discrepancia con las observaciones. Sin embargo, una comparacion entre los datos de Halleyy sus resultados, le permitieron concluir que las variaciones en los movimientos de Jupiter ySaturno se debıan a su accion mutua. Este resultado le permitio a Laplace construir un mejormodelo en el que consideraba el sistema Jupiter-Saturno, que coincidıa con las observacionessin recurrir a un termino secular empırico. Otra consecuencia fue notar que la masa de los co-metas al ser muy pequena, no perturbaba en gran medida al movimiento de los planetas. Estademostracion sobre la invariancia secular de los semiejes mayores de los planetas, se construyoconsiderando la expansion hasta el grado dos en excentricidad y las inclinaciones del potencialperturbador de los planetas. Algo importante de mencionar es que para Laplace, el indetermi-nismo no se debe a las leyes fısicas sino al actuar humano mediante el analisis y la ignoranciade las causas involucradas.

Lagrange volvio a este problema en 1776 utilizando su metodo de variaciones de constantes,lo que le permitio rehacer la demostracion sin expansion en excentricidad, y por lo tanto validopara todas las excentricidades. Su demostracion tambien es particularmente simple y muy cer-cana a la demostracion actual. En 1781-1784 publico los resultados de su trabajo mejorado, enel que da la primera solucion completa del movimiento de los seis planetas principales, basadoen una teorıa completa de las variaciones de los elementos de los planetas bajo su accion mu-tua. Finalmente, en 1808, Lagrange una vez mas retomo el problema despues de que Poisson7

presentara su Memorandum, donde mostro que la invarianza de los semiejes mayores de losplanetas sigue siendo valida en el segundo orden con respeto a las masas.

Despues del trabajo de Lagrange y Laplace, la estabilidad del Sistema Solar parecıa estarexplicada. Los semiejes principales de las orbitas no tenıan variaciones a largo plazo, y susexcentricidades e inclinaciones mostraban solo pequenas variaciones que no permitıan que lasorbitas se cruzaran y los planetas chocaran. Urbain Jean Joseph Le Verrier en 1840 se baso

7Simeon Denis Poisson (1781-1840). Fısico y matematico frances que contribuyo al campo de la electricidady la geometrıa.

5

en el trabajo hecho por Lagrange y Laplace, y considero los efectos de los terminos de mayororden en las series de perturbacion, y origino con ello la existencia de “los pequenos divisores”.El problema para Le Verrier era que los terminos de tercer orden podrıan ser mas grandes quelos terminos de segundo orden, lo que a su juicio comprometıa la convergencia de las soluciones.

Jules Henri Poincare en 1892-1899 demostro que es imposible integrar las ecuaciones demovimiento de tres cuerpos (Figura 4) que interactuan entre sı mediante accion de la gravedad,y la imposibilidad encontrar una solucion analıtica en un intervalo de tiempo infinito. Esto sedebe a que para encontrar una solucion analıtica al problema, se deben conocer 18 constantesde movimiento; sin embargo, solo se conocen 10. Esto hace que el sistema no sea integrabley que no se pueda predecir el comportamiento del sistema, creando un tipo de inestabilidad.Del mismo modo, concluyo que las series de perturbaciones utilizadas por los astronomos paracalcular el movimiento de los planetas, no convergen en un conjunto abierto de condicionesiniciales. Tambien senalo que estas series divergentes se pueden usar como una muy buenaaproximacion para el movimiento de los planetas durante un tiempo, que puede ser largo, perono infinito. Expreso que la divergencia de estas expansiones tendrıa algunas desventajas solosi uno quisiera usarlas para establecer rigurosamente algunos resultados especıficos, como laestabilidad del Sistema Solar. Para Le Verrier el problema radica en considerar losterminos de mayor orden en la expansion debida a las perturbaciones, mientrasque para Poncaire el problema esta en la convergencia de las series.

Figura 4: Caso tıpico del problema de los tres cuerpos: sistema Sol-Tierra-Luna.

Con el fin de profundizar en la ecuacion obtenida por poncaire, surgio un problema me-ramente matematico: “los pequenos divisores”. Este problema consistıa en: ¿Hasta que puntolos numeros irracionales se pueden aproximar a racionales? Liouville8 se intereso en este tema,y llego a un teorema que luego fue mejorado por Routh9. Estos resultados los usaron AndreiNikolayevich Kolmogorov, Vladimir Arnold y Jurgen Moser para determinar las consecuenciasde las pequenas perturbaciones.

Kolmogorov en 1954 volvio a analizar el problema de la convergencia de la serie de pertur-baciones de la mecanica celeste y demostro que para los sistemas hamiltonianos perturbadosno degenerados, cerca de las soluciones no regulares descritas por Poincare, todavıa hay tra-yectorias cuasiperiodicas regulares que abarcan un toro en el espacio de fase. Arnold en 1963demostro que para una perturbacion suficientemente pequena, el conjunto de toros invariablesfoliados por trayectorias cuasiperiodicas es de medida estrictamente positiva; medida que tiendea la unidad cuando la perturbacion tiende a cero. Moser en 1962 establecio el mismo tipo de

8Joseph Liouville(1809-1882). Matematico frances que aporto a muchas ramas de las matematicas y la fısica.9Edward Routh(1831-1907). Matematico ingles que aporto al campo de la mecanica analıtica.

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resultados para condiciones menos fuertes que no requieren la analiticidad del hamiltoniano.Ya que los toros cuasiperiodicos estan aislados, una variacion infinitamente pequena de lascondiciones iniciales convertira una solucion cuasiperiodica nıtidamente estable en una solucioncaotica e inestable. Dicho en otras palabras:

Los sistemas Hamiltonianos debilmente perturbados tienden a mantener su estabilidad.

Cuanto mayor sea el parametro de perturbacion, menor sera la probabilidad de que elsistema sea estable.

A nivel predictivo, Jackes Laskar10 usando metodos computacionales en los anos 1980, 1990y en el 2009, demostro que las resonancias destruyen la predictibilidad porque amplifican losefectos gravitatorios al juntar periodicamente los cuerpos. Laskar recreo los movimientos or-bitales con pequenas variaciones de las condiciones iniciales que dan lugar a 2500 dinamicasposibles para los proximos miles de millones de anos; en un 1 % de los casos, Venus, Mercurio,La Tierra o Marte colisionaban entre sı o con el Sol. Los metodos computacionales pueden pro-porcionar muy buenas aproximaciones de las soluciones de los planetas a lo largo de miles deanos, pero no serıan capaces de dar respuestas a las preguntas sobre la estabilidad del SistemaSolar.

Como se pudo observar, el problema de la estabilidad del sistema solar ha sido profunda-mente estudiado. Comenzo con una discordia entre las observaciones de Jupiter y Saturno, ysu movimiento promedio calculado. Con la llegada de los metodos perturbativos de Euler, La-grange y Laplace obtuvieron unos excelentes resultados que permitieron explicar acertadamenteel problema. Con Poncaire y Le Verrier se profundizo mas en el problema, al contemplar losterminos de mayor orden en la serie y la convergencia de la misma. Claramente, el problemade la estabilidad del sistema solar ahora se centra en un tema matematico: “los pequenos di-visores”. El teorema KAM en cierta forma devuelve a la estabilidad, cuando afirma que laspequenas perturbaciones en un sistema siguen manteniendo una orbita estable. La cuestionsobre la estabilidad del sistema solar ha sido un tema digno de grandes debates, que sin lugara dudas nunca acabaran en la medida que sigan habiendo nuevos descubrimientos. Por estarazon es una pregunta todavıa abierta.

Ahora existen nuevas vıas de investigacion en las que se contempla el sistema solar desde elanalisis de la Relatividad General y la teorıa de perturbaciones, y se trata de extender el tiempode predictibilidad de las orbitas planetarias, acudiendo a metodos numericos y computacionalescada vez mas certeros. Por otro lado, el papel que juega la expansion del universo en el sistemasolar tambien ha tenido un desarrollo historico, que no se mencionara en este capıtulo por quesera detallado en uno posterior. Lo mismo sucedera con la influencia del decremento de la masadel Sol en nuestro sistema.

En la siguiente lınea de tiempo (Figura 5) se relacionan las fechas, los personajes y suscontribuciones.

10LASKAR, Jacques. Existence of collisional trajectories of Mercury, Mars and Venus with the Earth. NatureLetters 459, pages 817?819 (11 June 2009).

7

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Justificacion

Esta investigacion tiene como proposito informar a la comunidad cientıfica y no cientıfica,sobre cuestiones cosmologicas que pueden o no, afectar a la estabilidad del sistema solar en elque habitamos. Mas aun, cuando hoy dıa dichas cuestiones se tratan de una forma independien-te en numerosas investigaciones (ver referencias), sin encontrar un punto de comparacion entrelos dos fenomenos que se consideraron en este trabajo. Vale decir, o se analizan las perturba-ciones al sistema solar debido a la expansion del universo, o bien, debido al decremento de lamasa solar. De manera que se pretende una comparacion entre los efectos producidos por ambosfenomenos; efectos que se vislumbraran en las propiedades fısicas de una orbita planetaria.

Por otro lado, los resultados que describen aquellos efectos se obtuvieron gracias al forma-lismo matematico de la mecanica analıtica. Es indispensable mencionar que cuando se abordaeste tipo de investigaciones, el formalismo que apoya la descripcion fısica de los fenomenoscosmologicos y astronomicos es el de la teorıa general de la relatividad. Lo que significa unaexclusion para todo estudiante de fısica que no se especializa en dicha rama, pero que poseeun gran interes por la cuestion. De este modo, el lenguaje abstracto de la relatividad generalfue sustituido por el de las fuerzas centrales y la mecanica de Hamilton-Jacobi. Sin embargo,no significa que sean mas sencillas las matematicas de la mecanica analıtica que las de la re-latividad general; sino que para un estudiante de licenciatura en fısica, le resulta mas sencillocomprender el tema pues ha tenido a lo menos un curso de mecanica analıtica. No sucede asıcon el caso de la relatividad general11.

El hecho de que los resultados se hayan obtenido mediante calculos de la mecanica analıticay no de la teorıa de la relatividad, no quiere decir que no se puedan considerar como una buenaaproximacion a la naturaleza de los cuerpos celestes, que se someten a fenomenos cosmologicos.En efecto, cuando se consideran los terminos extra que proporciona la relatividad general comouna perturbacion en el problema clasico de los dos cuerpos, los resultados siguen siendo losmismos que cuando se considera la relatividad como explicacion ultima del cosmos. Como unejemplo notable, se encuentra la precesion del perihelio de mercurio12. Esto significa que losresultados que proporciono la mecanica analıtica en esta investigacion, son un buen indicio quepodrıa conducir a la comunidad cientıfica a contemplar ciertos factores, que muestran una posi-ble descripcion de la naturaleza del sistema solar. Estos factores resultan siendo dos potenciales(en terminos energeticos) que se asocian a la expansion del universo y al decremento de la masasolar, respectivamente.

11Syllabus de Licenciatura en Fısica. Universidad Distrital “Francisco Jose de Calda”. Publicado en lınea;http://licfisica.udistrital.edu.co:8080.

12GOLDSTEIN, Herbert. Mecanica Clasica. 2 ed. Barcelona: Reverte, 2006, p. 617.

9

Problema de investigacion

Actualmente han sido numerosas las investigaciones (ver referencias) que estudian la afecta-cion de varios factores a la estabilidad del sistema solar. Factores como la perturbacion debidaa otros planetas o satelites, el movimiento entero de la galaxia, la expansion del universo, el de-cremento de la masa solar, etc. No obstante, los campos de estudio a los que pertenecen dichostemas por naturaleza son la cosmologıa y la astronomıa. Ademas, el lenguaje matematico delque se valen estas ciencias por su exactitud y pruebas hechas, es la teorıa general de la relati-vidad. Esto sin mencionar que las investigaciones tratan cada tema por separado sin permitiruna comparacion entre las afectaciones en conjunto. De esta manera, se plantea la pregunta:

¿Cuales son las perturbaciones a la estabilidad del sistema solar debidas a la expansion deluniverso y al decremento de la masa del sol?

La estabilidad se puede representar en el cambio de cuatro propiedades fısicas de una orbitaplanetaria: semieje, periodo, excentricidad y precesion. De esta manera, se logra mostrar unaexplicacion mas detallada del sistema solar a traves de un formalismo matematico diferente alas ecuaciones de campo, como la mecanica de las fuerzas centrales y la de Hamilton-Jacobi; seintroduce en su contenido energetico (Hamiltoniano) potenciales como lo son factores que soloaparecen en escalas mas grandes del universo como fenomeno global (expansion del universo),y se compara con la perturbacion debida al decremento de masa de las estrellas (sol), pensandoeste como un fenomeno local. De esta manera, se implementan parametros y condiciones quesolo son observables en el universo macroscopico y local, convirtiendose esta comparacion enuna herramienta potencial en la ensenanza de la dinamica del sistema solar.

10

Objetivos

Objetivo General

Encontrar las perturbaciones causadas por la expansion del universo y el decremento dela masa solar, a la estabilidad del sistema solar cuando esta se representa en la invarianza decuatro propiedades de una orbita planetaria: semieje, periodo, excentricidad y precesion.

Objetivos Especıficos

Mostrar que la fuerza central que caracteriza la interaccion entre dos cuerpos masivos, esun caso especıfico en el que se da origen a orbitas cerradas y estables para los cuerposcomprometidos.

Deducir algunas propiedades fısicas que representan la estabilidad de una orbita planeta-ria, a traves del metodo convencional de las fuerzas centrales, concluyendo finalmente enlas tres leyes de Kepler.

Solucionar el problema dos cuerpos con el metodo de Hamilton-Jacobi, mostrando lasventajas operacionales al obtener los mismos resultados que con el metodo de las fuerzascentrales.

Encontrar los potenciales que simbolicen la expansion del universo y el decremento de lamasa solar, a traves de la estructura matematica que describe dichos fenomenos.

Implementar los potenciales en el problema de la interaccion entre dos cuerpos masivosmediante las fuerzas centrales, las variables accion-angulo y la teorıa de perturbaciones.

11

Metodologıa

El trabajo de grado “Estabilidad del sistema solar a partir de una perturbacion en su con-tenido energetico” en modalidad de monografıa, se caracteriza por:

0.1. Tipo de investigacion

El presente trabajo de investigacion corresponde al tipo de investigacion teorica y expli-cativa, en la medida que pretende obtener fundamentos fısicos y matematicos, que permitanexplicar el comportamiento del sistema solar bajo dos perturbaciones concretas. Ademas, lainvestigacion parte de ciertas cantidades observacionales cuantitativas que poseen las orbitasplanetarias tales como: la excentricidad, el periodo, el semieje mayor y la precesion de losperihelios. A traves de estas propiedades, se requiere realizar una comparacion a un tiempo de-terminado luego de haber implementado las perturbaciones; lo que define este trabajo tambiencomo una investigacion hipotetica-deductiva.

0.2. Enfoque de investigacion

En este proyecto el enfoque de investigacion es cualitativo, en la medida que pretendeanalizar las afectaciones causadas por un fenomeno cosmologico y uno astronomico, a la esta-bilidad del sistema solar. Los resultados arrojados por esta investigacion fueron deducidos deforma matematica y fısica, para un posterior analisis subjetivo a traves de una comparacion einterpretacion de los datos.

0.3. Fuentes de informacion

La informacion consultada para el desarrollo teorico de esta investigacion, es el resultado deproyectos que en principio se consideran como fuentes de informacion primarias, como lo sontextos academicos y artıculos cientıficos, que seran mencionados pertinentemente a lo largo deltrabajo.

0.4. Procedimiento

Para el cumplimiento de los objetivos planteados, en este trabajo se establecieron las si-guientes tres fases en el marco del procedimiento:

1. Fase de documentacion: Se inicio con la busqueda de documentacion relacionada con elproblema de dos cuerpos y la solucion por diferentes metodos; documentacion relacionadacon perturbaciones en mecanica analıtica y los teoremas que de allı se desprenden.

12

2. Fase de implementacion teorica: Una vez entendido como funcionan las perturbaciones deacuerdo a la mecanica analıtica, estas se realizaron en la ecuacion de equilibrio energetico(Hamiltoniano) de la interaccion de dos cuerpos masivos, en la que incorpore potencialdebido a la expansion del universo y al decremento de la masa del Sol.

3. Fase de comparacion: Se confrontaron los resultados obtenidos debido a ambos fenomenos.

13

Capıtulo 1

El problema de los dos cuerpos

En esta capıtulo se muestran los fundamentos basicos del problema de dos cuerpos, sin alu-dir a toda su completa exposicion. Todos los detalles aquı mencionados pueden encontrarse enalgunos textos de mecanica analıtica (vease por ejemplo, Mecanica clasica de Herbert Golds-tein, 2 ed, capıtulo 3).

Suponiendo dos cuerpos que interactuan entre sı mediante alguna fuerza de atraccion f(r),y por lo tanto, mediante un potencial V (r) (Figura 1), el lagrangiano del sistema esta dadopor:

Figura 1.1: Interaccion de dos cuerpos.

L =1

2m1r

21 +

1

2m2r

22 − V (r)

El problema se puede simplificar si el sistema de dos cuerpos se reduce a uno solo mediantela adicion del centro de masas. Para ello, se utilizan las equivalencias:

R =m1r1 +m2r2

m1 +m2

; r = r2 − r1

Siendo R el vector posicion del centro de masas, y r el vector de posicion relativa. Por lasanteriores relaciones, los vectores r1 y r2 se expresan en funcion de R y r mediante:

r1 = R +m2

m1 +m2

r; r2 = R− m1

m1 +m2

r

14

Sustituyendo, el nuevo lagrangiano ahora es:

L =1

2MR2 +

1

2µr2 − V (r) (1.1)

Siendo la masa total M = m1 + m2, y la masa reducida µ = m1m2

M. Se puede observar que

el lagrangiano se compone de dos partes: el lagrangiano correspondiente al centro de masasLCM = 1

2MR2, y el correspondiente a la parte relativa entre las mismas Lint = 1

2µr2 − V (r).

Este lagrangiano permite ciertas simetrıas bajo una traslacion espacial, una rotacion y unatraslacion temporal. Como consecuencia, se obtienen ciertas cantidades conservadas tal y comolo describe el teorema de Noether:

Por la traslacion espacial de la forma R′ = R + a; con a constante, se cumple que:

L′ =1

2MR′2 +

1

2µr2 − V (r)

L′ =1

2M(R + a)2 +

1

2µr2 − V (r)

L′ = L

Es decir, cte = PdR′

da. Por lo tanto, la cantidad conservada es P = MR.

Por las rotaciones de la forma R′ = ζR y r′ = ζr con ζ constante, se cumple que:

L′ =1

2MR′2 +

1

2µr2 − V (r)

L′ =1

2M(Rζ + ζR)2 +

1

2µr2 − V (r)

L′ = L

Lo mismo sucede para el caso de r. Lo que quiere decir, cte = P× dR′

dζy cte = pµ × dr′

dζ.

Por lo tanto, las cantidades conservadas son LCM = MR×R, y Lint = µr× r. En otraspalabras, el momento angular total se conserva:

LT = LCM + Lint

Bajo una traslacion temporal de la forma t′ = t + s, se cumple que L′ = L en virtud deque el lagrangiano no depende explıcitamente del tiempo; lo que significa, cte = E dt

ds. Por

lo tanto, la cantidad conservada es E = H.

Por la simetrıa bajo una traslacion espacial (P = MR), se deduce que el centro de masasse mueve con velocidad constante. De manera que se puede conocer la posicion del centro demasas a cualquier tiempo t, si se conocen las condiciones iniciales del sistema:

R(t) = R0 +P

Mt (1.2)

En base a la ecuacion 1.1 y a la simetrıa bajo una traslacion temporal (E = H), se definela energıa E = 1

2MR2 + 1

2µr2 + V (r); y como la ecuacion que describe el movimiento del centro

de masas fue hallada, el trabajo ahora consistira en analizar el problema relativo de los doscuerpos. De manera que en lo posterior, la energıa que se sometera al analisis cuantitativosera la correspondiente al movimiento relativo; es decir, E = 1

2µr2 + V (r). Como se observa

en numerosos textos de mecanica analıtica (ver referencias [2], [3]), este problema se resuelve

15

trabajando en coordenadas polares1, por la naturaleza fısica del fenomeno2 y por la simplicidadde los calculos que conlleva. De modo que la nueva energıa escrita en coordenadas polares es:

E =1

2µr2 + V ′(r); V ′(r) =

1

2

l2

µr2+ V (r) (1.3)

Donde se ha utilizado la equivalencia 12l2

µr2= µr2θ2

2. Recordando que la fuerza representa

la pendiente del potencial V ′ cambiada de signo (f ′ = −∂V ′

∂r), a V ′ le corresponde una fuerza

efectiva de la forma: f ′ = l2

µr3+ f(r). La figura 1.2 muestra el comportamiento del potencial

efectivo V ′ en funcion de r, para el caso especıfico de una fuerza inversamente proporcional alcuadrado de la distancia f(r) = − k

r2. Al coincidir el mınimo de la curva del potencial efectivo

con la energıa E4, el movimiento solo es posible para un radio r0; esto lleva a que r = 0, y porlo tanto, la orbita sea circular. Si r = 0, entonces E = V ′. Si se deriva a ambos lados respecto ar, supondrıa que la fuerza efectiva por naturaleza debe anularse f ′ = 0, ya que E es constante.Esto implica que para el radio permitido r0 de la orbita circular, se cumpla que:

f(r0) = − l2

µr30

; E = V (r0) +l2

2µr20

(1.4)

Figura 1.2: Potencial efectivo V ′ en funcion de r.

La orbita circular se caracteriza por ser cerrada, acotada, y en cierta forma, periodica. Enotras palabras, la orbita circular serıa la que mejor representa la definicion de orbita “estable”.Ahora cabe hacerse la pregunta: ¿solo son “estables” las orbitas circulares? Si por un lado seha mostrado que todas las orbitas circulares son estables, no se ha mostrado que todas lasorbitas “estables” son circulares. Para probar esto, se usan las dos condiciones de circularidadmencionadas anteriormente, con el fin de generalizar el problema para saber que tipos de fuerzas

1En la seccion “El problema de Kepler a partir del formalismo de Hamilton-Jacobi”, el problema se resolveraen coordenadas esfericas para poder dilucidar todas las propiedades del sistema.

2A consecuencia de la conservacion del momento angular L = µr2θz, como se vio en la simetrıa bajo unarotacion, la orbita se confina a un plano.

16

se rigen a tal comportamiento y producen orbitas estables. Joseph Louis Francois Bertrandreexpreso f(r0) = − l2

µr30(ecuacion 1.4) usando la substitucion r0 = 1

u0, y obtuvo que:

u0 = J(u0); J(u0) =−µl2u2

0

f( 1

u0

)(1.5)

Si la energıa es ligeramente superior a la que exige la condicion de circularidad, u solovariara ligeramente respecto a u0, y J(u) se podra expresar como un desarrollo en series deTaylor; es decir, J(u) = u0 + (u−u0) dJ

du0. Esta expresion se reemplaza en la ecuacion diferencial

de movimiento µr− l2

µr3= f(r) con el fin de obtener la naturaleza de la fuerza f(r). Pero para

ello, es conveniente que la ecuacion diferencial de movimiento este expresada en terminos delas nuevas variables J y u. Esto se puede realizar si se acude al lagrangiano en coordenadaspolares y a la equivalencia d

dt= l

µr2ddθ

(ya que l = µr2θ). De tal manera, la nueva ecuacion demovimiento en terminos de J y u es

d2u

dθ2+ u = J(u)

d2x

dθ2+ β2x = 0; β2 = 1− dJ

du0

(1.6)

Siendo x = u − u0. Para una solucion armonica, la restriccion β2 > 0 asegura la solucionx = a cos βθ. No obstante, el proposito es obtener la expresion de la fuerza que cumple lacondicion de circularidad. Ası que, derivando a J(u0) respecto a uo (ecuacion 1.5), resulta:

β2 = 3− u0

f0

df

du0

= 3 +r

f

df

dr

∣∣∣r=r0

Lo que da como resultado una fuerza de la forma

f(r) = − k

r3−β2 (1.7)

Siendo β un numero racional. Las partıculas sujetas a las fuerzas descritas por la ecuacionanterior, por mas de que presenten un ligero incremento en la energıa, la orbita seguira siendoestable pero presentando un movimiento armonico simple alrededor de r0 (Figura 1.3). Sinembargo, ¿que pasarıa si las desviaciones con respecto a la circularidad son mas considerables?Al tomar dos terminos adicionales en las series de Taylor, la ecuacion 1.6 se modifica en:

d2x

dθ2+ β2x =

x2J ′′

2+x3J ′′′

6(1.8)

La solucion x = a0+a1 cos βθ+a2 cos 2βθ+a3 cos 3βθ obtenida mediante un desarrollo en lasseries de Fourier, y las identidades cos βθ cos 2βθ = 1

2(cos βθ + cos 3βθ), cos3 βθ = 1

4(3 cos βθ +

cos 3βθ) llevan a la ecuacion:

β2a0 − 3β2a2 cos 2βθ − 8β3a3 cos 3βθ =a2

1

4J ′′ +

[2a1a0 + a1a2

2J ′′ +

J ′′′a31

8

]cos βθ

+a2

1

4J ′′ cos 2βθ +

[a1a2

2J ′′ +

J ′′′a31

24

]cos 3βθ (1.9)

Se ha valido del hecho de que a23 ≈ 0, a3

0 ≈ 0, a32 ≈ 0 y a3

3 ≈ 0, ya que para ligerasvariaciones se debe retornar a la solucion x = a cos βθ. La ecuacion 1.9 se puede interpretarcomo una identidad en la que los terminos que acompanan a las funciones trigonometricasdeben ser iguales tanto en el lado izquierdo de la igualdad como en el lado derecho. Ademas,

17

Figura 1.3: Orbita del movimiento en una fuerza central que se desvıa ligeramente de una orbitacircular[2].

teniendo en cuenta que J = µkl2u1−β2

, expresion que resulta por la fuerza que cumple con lacondicion de circularidad (ecuacion 1.7), se llega a que:

β2(1− β2)(4− β2) = 0

Para desviaciones respecto a la circularidad β 6= 0, las unicas soluciones son β2 = 1, y β2 = 4.Esto corresponde a las fuerzas f(r) = −k

r2, y f(r) = −kr. De modo que, el teorema de Bertrand

se puede enunciar como: las unicas fuerzas centrales que dan lugar a orbitas cerradas para todaslos cuerpos ligados, son la ley del inverso del cuadrado de la distancia y la ley de Hooke3.

3GOLDSTEIN, Herbert. Mecanica Clasica. 2 ed. Barcelona: Reverte, 2006, p. 116.

18

Capıtulo 2

El problema de Kepler

En este capıtulo se muestran los fundamentos basicos del problema de dos cuerpos, sin alu-dir a toda su completa exposicion. Todos los detalles aquı mencionados pueden encontrarse enalgunos textos de mecanica analıtica (vease por ejemplo, Mecanica clasica de Herbert Golds-tein, 2 ed, capıtulo 3).

De las interacciones fundamentales mas relevantes de la naturaleza se encuentran la fuerzagravitatoria, la fuerza electrica y magnetica. Todas ellas tienen una descripcion muy similar alser consideradas fuerzas de tipo central, y en su estructura matematica tienen un termino encomun: el inverso al cuadrado de la distancia.

f ∝ 1

r2

En el problema de Kepler se consideran las fuerzas de tipo f = − kr2

, y por lo tanto, lospotenciales de la forma V = −k

r. De modo que se hace necesario realizar un estudio mas deta-

llado sobre este tipo de fuerzas, ya que el sistema sol-planeta de este proyecto se rige bajo lainteraccion gravitatoria1.

De la energıa en coordenadas polares (ecuacion 1.3), se obtiene la ecuacion diferencial querelaciona el tiempo con la posicion:

dt

dr=

1√2µ(E − V ′)

(2.1)

Si se aplica la regla de la cadena dθdr

= dtdθdθdr

, y la equivalencia del momento angular l = µr2θ,se obtiene la ecuacion diferencial que relaciona el angulo y la posicion:

dθ

dr=

l

µr2

√2(E−V ′)

µ

(2.2)

Integrando respecto a θ, reemplazando V ′ por 12l2

µr2− k

ry realizando el cambio de variable

u = 1r, la ecuacion anterior despues de algunos arreglos algebraicos se puede escribir como:

θ = θ0 −∫

du√2µEl2

+ 2µkul2− u2

(2.3)

1Isaac Newton en 1687 a traves de su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica describe la inter-accion gravitatoria de cuerpos masivos usando la relacion matematica: F = −Gm1m2

r2 r

19

Esta integral de la forma∫R(x,

√γx2 + βx+ α)dx, se resuelve con ayuda de las substi-

tuciones de Euler, que consiste en hacer el cambio√γx2 + βx+ α = tx +

√α para α > 0 y

γ < 0 (caso 2). Este procedimiento matematico requiere del cambio de variable x→ t para queel calculo de la integral sea mucho mas sencillo. Luego de realizar la substitucion y de ciertospasos algebraicos, la integral se reduce a una integral de funciones trigonometricas inversas,cuya solucion es2: 1√

−γ arc cos−β+2γx√q

, con q = β2 − 4αγ. Reemplazando los valores de α, β y

γ, la solucion para la ecuacion diferencial 2.3 es:

1

r=µk

l2

(1 +

√1 +

2El2

µk2cos(θ − θ′)

)(2.4)

Conocida como la ecuacion de la orbita, en la medida que la posicion se expresa en fun-cion del angulo. Comparando con la ecuacion de una conica en coordenadas polares: 1

r=

1r0

[1 + ecos(θ − θ′)], se obtiene que la posicion inicial r0 = l2

µk, y la excentricidad de la orbita

e =√

1 + 2El2

µk2. La Tabla 2.1 muestra las caracterısticas de la orbita en terminos de la excen-

tricidad y la energıa requerida para el tipo de conica3.

Excentricidad Energıa requerida Tipo de conica

e > 1 E > 0 Hiperbolae = 1 E = 0 Parabolae < 1 E < 0 Elipse

e = 0 E = −µk2

2l2Circunferencia

Tabla 2.1: Naturaleza de la orbita

En la Tabla 2.2 se muestran las excentricidades de los planetas del sistema solar.

Planeta Excentricidad

Mercurio 0.206Venus 0.007Tierra 0.017Marte 0.093Jupiter 0.048Saturno 0.055Urano 0.051

Neptuno 0.007

Tabla 2.2: Excentricidades de los planetas [3].

Comparando los datos de las dos tablas anteriores, se muestra que los planetas del sistemasolar se mueven alrededor del sol siguiendo una orbita elıptica. Esta es la evidencia fundamen-tal de la primera ley de Kepler, que expresa: “cada planeta se mueve describiendo una orbitaelıptica alrededor del sol, con este en uno de sus focos”4.

2B. O. Pierce. A Short Table of Integrals. Tercera Edicion. Londres; pag. 23.3Estos resultados tambien se pueden obtener analizando cualitativamente la Figura 1.2.4KLEPPNER, Daniel. KOLENKOW, Robert. An Introduction To Mechanics. 2 ed. United States: Cambridge

University Press, 2014, p. 374.

20

La labor ahora consistira en describir algunas propiedades fısicas y geometricas de dichaelipse. Para ello, es posible manipular algunas ecuaciones construidas hasta ahora, para obte-ner otras magnitudes que permitan interpretar fısicamente el fenomeno, en vez de conseguirresultados abstractos y no medibles observacionalmente. Estas magnitudes vienen siendo porejemplo los ejes de la elipse, la excentricidad y el periodo orbital de cada planeta. Cuando elplaneta se encuentra en el perihelio de su orbita, θ = 0. Si se reemplaza este valor en la ecuacion

de la orbita, se obtiene un radio mınimo que satisface rmin = l2/µk1+e

(tomando θ′ = 0). Lo mismosucede en el caso cuando el planeta se encuentra en el afelio de la orbita; es decir, θ = π y

rmax = l2/µk1−e (Figura 2.1).

Figura 2.1: Eje mayor de la elipse.

El eje mayor de la elipse se obtiene mediante la suma de estas dos distancias: A = rmin+rmax;y el semieje mayor (que no debe confundirse con el radio maximo rmax, pues el semieje se midedesde el centro de la elipse y no desde el foco) es la semisuma de las mismas: a = rmin+rmax

2.

Por lo tanto, reemplazando rmin y rmax resulta:

a =l2

µk(1− e2)

Sin embargo, es posible expresar el semieje mayor a en terminos de la energıa, si se acude a la

equivalencia de la excentricidad e =√

1 + 2El2

µk2encontrada anteriormente. A saber:

a = − k

2E(2.5)

Para obtener el periodo orbital de cada orbita, es necesario resolver la ecuacion diferencialque relaciona el tiempo con la posicion (ecuacion 2.1). Integrando respecto a t, reemplazando V ′

por 12l2

µr2− k

r, y despues de algunos arreglos algebraicos, la ecuacion diferencial toma la forma:

tb − ta = µ

∫ rb

ra

rdr√2Eµr2 + 2kµr − l2

(2.6)

La solucion de esta integral se vuelve mucho mas compleja que la que dio como resultado laecuacion de la orbita (ecuacion 2.3), en la medida que toca integrar por segunda vez el resultadoobtenido. Por ello, se acude a transformar la integral cuyo parametro es la posicion (dr), en unnuevo parametro (dψ) que viene siendo un angulo auxiliar relacionado con el angulo θ. Estose logra mediante la relacion que existe entre la posicion y la definicion del semieje mayor. Esdecir, entre 1

r= l2

µk[1 + ecos(θ − θ′)] y a = l2

µk(1−e2). Cuando se combinan las dos ecuaciones,

surge:

r =a(1− e2)

1 + e cos(θ − θ′)

21

Cuando el planeta se encuentra en el perihelio (θ − θ′ = 0), o en el afelio de su orbita(θ−θ′ = π), la ecuacion anterior toma la forma r = a(1−e), o r = a(1+e) respectivamente. Estose puede simplificar si denotamos una nueva funcion r = r(ψ), definida por r = a(1− e cosψ),y por lo tanto, dr = ae sinψdψ. Sin embargo, conviene usar la equivalencia a = −k

2E(ecuacion

2.5), y l2 = µka(1 − e2) con el fin de simplificar aun mas la integral. Realizando todas estassubstituciones, la integral de la ecuacion 2.6 ahora se escribe como:

tb − ta =

õ

2k

∫ 2π

0

a(1− e cosψ)(ae sinψdψ)

a(1− e cosψ)− [a(1−e cosψ)]2

2a− a(1−e2)

2

Despues de algunos arreglos algebraicos, finalmente la integral se transforma en:

tb − ta =

õa3

k

∫ 2π

0

(1− e cosψ)dψ

Para los lımites de integracion 0 a 2π, la diferencia de los tiempos tb − ta corresponde a unperiodo orbital T , y el segundo miembro del integrando se anula en virtud de que la funcion es

periodica. De esta manera, la solucion tb − ta = T =√

µa3

k2π se puede escribir como:

T 2

a3=

4π2µ

k(2.7)

que es la confirmacion teorica de la tercera ley de Kepler, que expresa: “el periodo de revo-lucion T de un planeta alrededor del sol esta relacionado con el semieje mayor a por T 2 = Ca3,donde C es el mismo para todos los planetas”5.

Para demostrar la segunda ley de Kepler basta con usar adecuadamente el significado de laconservacion del momento angular l. Del capıtulo anterior se mostro que l = µr2θ y que dl

dt= 0;

es decir ddt

(µr2θ

)= 0. El termino que se va a derivar ofrece la posibilidad de modificarlo,

en la medida de que µ es constante y cualquier numero puede introducirse a conveniencia.Introduciendo 1

2, la conservacion del momento angular se escribe como:

µd

dt

(1

2r2θ)

= 0

En virtud de que el area de una seccion perteneciente a la elipse se expresa como A = 12r(rdθ)

(Figura 2.2), el termino dentro del parentesis es la variacion del area de una seccion de la elipseen un determinado tiempo. Si la derivada respecto al tiempo de esta tasa de cambio es igual a0, es por que la tasa de cambio permanece constante. Dicho de otra forma:

Figura 2.2: Area barrida por el vector posicion.

5KLEPPNER, Daniel. KOLENKOW, Robert. An Introduction To Mechanics. 2 ed. United States: CambridgeUniversity Press, 2014, p. 374.

22

dA

dt= cte (2.8)

Esto demuestra la segunda ley de Kepler que dice: “el radio vector barre areas iguales entiempos iguales”6.

6KLEPPNER, Daniel. KOLENKOW, Robert. An Introduction To Mechanics. 2 ed. United States: CambridgeUniversity Press, 2014, p. 374.

23

Capıtulo 3

El problema de Kepler a partir delformalismo de Hamilton-Jacobi

En este capıtulo se trata el problema de Kepler a traves de un formalismo matematico dife-rente a las fuerzas centrales, que permite obtener resultados similares en relacion a los capıtulosanteriores. El formalismo mencionado es el de Hamilton-Jacobi y las variables accion-angulo1.El proposito de este tratamiento es facilitar la implementacion de las perturbaciones requeridasen esta investigacion (expansion del universo y decremento de la masa de sol), que se llevara acabo en el siguiente capıtulo por medio de la funcion hamiltoniana del sistema de dos cuerpos(sol-planeta) referida al centro de masas.

En primer lugar, se debe aclarar que para el empleo de la mecanica de Hamilton-Jacobise necesita construir la funcion hamiltoniana H del sistema. Para ello, se acude a la relacionobtenida en el capıtulo “El problema de los dos cuerpos” (ecuacion 1.3). No obstante, es precisohacer dos consideraciones: el cambio de la funcion E a la funcion H requiere del cambio delconjunto canonico (q, q) a (p, q), haciendo uso de la ecuacion pi = ∂L

∂qi; ademas, por la naturaleza

geometrica del problema, las coordenadas mas utiles para el calculo son las polares esfericas2.Teniendo en cuenta lo anterior, el Hamiltoniano de dos cuerpos referido al centro de masas estadado por:

Hint =1

2µ

(p2r +

p2θ

r2+

p2φ

r2 sin2 θ

)+ V (r) (3.1)

A consecuencia de la independencia explıcita del tiempo en la funcion hamiltoniana, laforma mas adecuada para resolver este problema es con el uso de la ecuacion restringida deHamilton-Jacobi (o ecuacion de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo):

H(q,∂W

∂q

)= α1 (3.2)

Para este caso, la funcion caracterıstica de Hamilton W (relacionada con los momentoscanonicos mediante pi = ∂W

∂qi), equivale a la suma de las funciones caracterısticas dependientes

de cada coordenada (r, θ, φ):

W = Wr(r) +Wθ(θ) +Wφ(φ) (3.3)

1Para observar todos los detalles de la completa exposicion sobre este tema, se puede acudir a algunos textosde mecanica analıtica (vease por ejemplo, Mecanica clasica de Herbert Goldstein, 2 ed, capıtulo 10).

2En calculos posteriores se podra evidenciar que el problema se restringe a un plano. El mismo resultadoque se obtuvo en el capıtulo “El problema de los dos cuerpos” cuando se usaron coordenadas polares.

24

Para Wφ(φ) ocurre algo particular. En el hamiltoniano (ecuacion 3.1) no aparece una de-pendencia explıcita de la coordenada φ, y segun la ecuacion de Hamilton pφ = −∂H

∂φ, relucen

dos cosas importantes: en primer lugar, la coordenada φ es una coordenada cıclica; en segundolugar, como pφ = 0, pφ es una constante a la que se designara como αφ. Ahora, por la rela-cion del parrafo anterior pφ = αφ = ∂W

∂φ, y la funcion caracterıstica asociada a la coordenada

φ es Wφ = αφφ. Una vez encontrada esta equivalencia, se procede a escribir la ecuacion deHamilton-Jacobi restringida, recordando que el momento canonico debe ser reemplazado por∂Wi

∂qi. Es decir:

1

2µ

[(∂Wr

∂r

)2

+1

r2

(∂Wθ

∂θ

)2

+α2φ

r2 sin2 θ

]+ V (r) = α1

Multiplicando toda la ecuacion por µ y r2, la ecuacion de Hamilton-Jacobi toma la forma:[r2(∂Wr

∂r

)2

+ 2µr2V (r)− 2µr2α1

]+[(∂Wθ

∂θ

)2

+α2φ

sin2 θ

]= 0 (3.4)

Como se puede observar, la ecuacion es totalmente separable en la medida que una partedepende de r, y la otra de θ; se puede concluir entonces que el movimiento es restringido ados grados de libertad, y como se verifico en el capıtulo El problema de los dos cuerpos, esrestringido a un plano. El hecho de que exista la condicion de separabilidad en la ecuacionde Hamilton-Jacobi, garantiza el cumplimiento de la ecuacion 3.4 en el momento en que lasdependencias mencionadas se igualan a una constante α2

θ:(∂Wθ

∂θ

)2

+α2φ

sen2 θ= α2

θ

2µr2[E − V (r)]− r2(∂Wr

∂r

)2

= α2θ

Donde α1 se ha substituido por la energıa del sistema E, αθ representa la conservaciondel modulo del momento cinetico total l y αφ representa la conservacion de la componenteen el eje “z” del momento cinetico total. Para encontrar las variables accion J definidas porJi =

∮∂Wi

∂qidqi, se despeja ∂Wi

∂qide las anteriores ecuaciones, quedando:

Jφ =

∮αφdφ (3.5)

Jθ =

∮ √α2θ −

α2φ

sin2 θdθ (3.6)

Jr =

∮ √2µE +

2µk

r− α2

θ

r2dr (3.7)

Para resolver la primera integral, solo falta recordar el hecho de que la coordenada φ escıclica y que sus lımites barren un angulo de 0 a 2π; es decir:

Jφ = 2παφ (3.8)

En cuanto a la segunda integral (ecuacion 3.6), primero se debe tener en cuenta que los dossignos ± consecuentes de la raız generan la duplicidad de la integral, ya que el area bajo la

curva en el espacio de fase es la misma. Luego, se establece la condicion de que α2θ −

α2φ

sin2 θ≥ 0;

lo que produce un angulo lımite menor θ0 tal que sin θ0 =αφαθ

, y un angulo lımite mayor π− θ0.De esta manera, la segunda integral se convierte en:

25

Jθ = 2αθ

∫ π−θ0

θ0

√1− sin2 θ0

sin2 θdθ

Si se define un angulo auxiliar simetrico ψ, tal que ψ = θ − π2

y ψ0 = π2− θ0, el parametro

de la integral ahora serıa ψ que se encontrarıa en el intervalo −ψ0 ≤ ψ ≤ ψ0. Aplicando estecambio de variables y bajo ciertos calculos algebraicos, la integral ahora es:

Jθ = 4αθ

∫ ψ0

0

√sin2 ψ0 − sin2 ψ

cosψdψ

Es posible reducir aun mas la integral si se acude a un cambio de variable ψ → u dadopor sinψ = sinψ0 sinu, de forma tal que no se alteren los lımites de integracion. Para el lımiteinferior ψ = 0, el valor que debe tomar u tambien debe ser 0; para el lımite superior ψ = ψ0, elvalor que debe tomar u debe ser π

2. Despues de algunos pasos algebraicos, la integral toma la

forma:

Jθ = 4αθ

∫ π2

0

(1− cos2 ψ0

1− sin2 ψ0 sin2 u

)du

Con el primer miembro no se requiere de un calculo complejo, en la medida que la solucionconsiste en la evaluacion de los lımites en la variable θ. El segundo miembro consiste en unaintegral de la forma

∫dx

1−k2 sin2 xcuya solucion es3 1√

1−k2 arctan(√

1− k2 tanx). Para este caso,

k corresponde a sin2 ψ0. Por lo tanto:

Jθ = 4αθ

[u− cos2 ψ0√

1− sin2 ψ0

arctan(

√1− sin2 ψ0 tanx)

]∣∣∣π20

Evaluando los lımites, utilizando la identidad cosψ0 = cos(π2− θ0

)= sin θ0, y recordando

que sin θ0 =αφαθ

, finalmente la accion Jθ es:

Jθ = 2π(αθ − αφ) (3.9)

Finalmente, la ultima integral (Ec. 3.7) se soluciona si se lleva a la forma:∫ √

a+bx+cx2

xdx,

cuya solucion es4√a+ bx+ cx2+ a√

−a arcsin 2a+bxx√b2−4ac

− b2√−c arcsin 2cx+b√

b2−4ac. Para ello, se factoriza

el denominador r2 dentro de la raız y se extrae de la misma. Ademas, se debe tener en cuentaque los dos signos ± consecuentes de la raız generan la duplicidad de la integral, ya que elcentro de masas se mueve del intervalo r1 a r2 y retornando por el mismo camino. Es decir:

Jr = 2

∫ r2

r1

1

r

√2µEr2 + 2µkr − α2

θdr

Siendo r1 y r2 las raıces correspondientes del polinomio 2µEr2 + 2µkr − α2θ = 0, dadas por

r1,2 =k±√k2+2Eα2

θ/m

−2E. Los factores a = −α2

θ, b = 2µk y c = 2µE, se reemplazan en la soluciondel parrafo anterior, quedando como resultado:

Jr = −αθ +k

2

√2m

−E(3.10)

Asociando las J ′s (ecuaciones 3.8, 3.9 y 3.10), se obtiene la energıa E = α1 = H en terminosde las variables accion deseadas.

3M. R. Spiegel. Mathematical Handbook of Formulas and Tables. Second Edition. 1968; pag. 76.4I. S. Gradshteyn. TABLE OF INTEGRALS, SERIES, AND PRODUCTS. Seventh Edition. 2007; pag. 97.

26

E = H = − 2π2µk2

(Jr + Jθ + Jφ)2(3.11)

Por otro lado, las variables accion se relacionan con las variables angulares mediante laecuacion vi = ∂H

∂Ji; y ya que la ecuacion 3.11 posee la misma estructura para todos los J ′s, las

frecuencias resultan siendo las mismas. Es decir, el sistema esta completamente degenerado.Para obtener resultados que se puedan interpretar fısicamente, es necesario que el sistema esteen funcion de una sola frecuencia independiente. Para ello se construye una transformacioncanonica que lleve todo a un nuevo sistema de variables accion-angulo: J1 = Jφ; J2 = Jφ + Jθ;J3 = Jφ + Jθ + Jr. Ahora el Hamiltoniano se escribira:

H = −2π2µk2

J23

(3.12)

Dado que el hamiltoniano es una funcion dependiente de las variables accion, y estas a su vezson constantes, significa que la derivada ∂H

∂Jtambien es constante. Esto lleva a que v3 sea una

constante (que se designara con la variable ν3). Esta variable puede interpretarse fısicamentecomo la frecuencia asociada en la representacion del diagrama de fase p vs q, definida porν3 = ∂H

∂J3. De esta manera, se tiene que:

ν3 =4π2µk2

J33

(3.13)

Recordando que la frecuencia es el inverso del periodo (ν3 = 1T

), la ecuacion anterior junto conel hamiltoniano en funcion de las variables accion (ecuacion 3.12) lleva a:

T = πk

õ

−2E3

Con la equivalencia a = −k2E

encontrada anteriormente (ecuacion 2.5), la ecuacion toma la

forma T 2

a3= 4π2µ

k; que es nuevamente la confirmacion de la tercera ley de Kepler.

27

Capıtulo 4

La expansion del universo y eldecremento de la masa del Sol:perturbaciones en el problema deKepler

4.1. Expansion del universo

En este apartado se mostrara los fundamentos basicos que permitieron el descubrimientode la expansion del universo resumida en una ley fısica (ley de Hubble), y como a traves dedicha ley se desprenden ciertos factores que se deben considerar en el sistema solar expuestoen esta investigacion. Se considera un factor de escala, en el momento en el que se considerala expansion del universo como una expansion del espacio mismo; un factor de desaceleracion,que indicara si esta expansion ya comprobada experimentalmente se acelera o no; y la ecuacionde movimiento, para un sistema de dos cuerpos que sera de gran utilidad para el calculo de unpotencial debido a la expansion.

En la decada de 1920, Edwin Hubble mide el corrimiento hacia el rojo (redshift) de 18galaxias espirales y calcula las distancias a las que se encuentran, considerando la luminosidady el periodo de variacion de estrellas cefeidas1. Con estos datos como base y con el efectoDoppler2, Hubble elaboro un metodo que aplico en 1929 a otras galaxias mas cercanas (Figura4.1). Esto le permitio deducir una relacion matematica entre la distancia a la que se encontrabandichas galaxias y la velocidad a la que se alejan. Esta expresion resume lo que hoy dıa se conocecomo la ley de Hubble, y se denota como:

r = Hr (4.1)

Siendo H la constante3 de Hubble. El hecho de que las galaxias se alejaran, sugerıa que eluniverso se encontraba en una continua expansion; y por otro lado, la expansion del universopuede entenderse como una expansion del espacio mismo. Si se define un factor de escala α(t)(Figura 4.2)que relaciona las distancias de las galaxias en un tiempo t0 y en un tiempo posteriort, la expresion matematica es:

1Las estrellas cefeidas son aquellas cuya luminosidad varıa periodicamente.2Es el fenomeno por el que se evidencia un cambio en la frecuencia de una onda mecanica o electromagnetica,

debido al movimiento relativo entre la fuente y el observador; llamado ası en honor al fısico austriaco ChristianAndreas Doppler (1803-1853).

3Observaciones posteriores permitieron demostrar que H evolucionaba en el tiempo. Por esta razon la cons-tante paso a ser llamada el parametro de Hubble.

28

Figura 4.1: Diagrama de Hubble [24].

Figura 4.2: Factor de escala.

29

α(t) =r(t)

r(t0)=r(t)

r0

(4.2)

Teniendo en cuenta que r0 es constante al ser la condicion inicial del problema, como con-secuencia de la ecuacion anterior, se tiene que α = r

r0. Despejando r0 de la ecuacion 4.2, surge

la expresion: r(t) = α(t)α(t)

r(t). Si se compara con la ley de Hubble r = Hr, se obtiene que:

H(t) =α(t)

α(t)(4.3)

Se evidencia teoricamente que en efecto H depende del tiempo, y por ello, debe ser llamadaparametro (parametro de Hubble).

Con el fin de verificar si la expansion del universo se esta o no acelerando, se debe obteneruna expresion teorica que pueda ser contrastada con las observaciones astronomicas. Para ello,se supone la energıa de un sistema por unidad de masa µ:

1

2r2 − GM

r= Eµ

Esta ecuacion puede ser expresada en forma diferente, si se multiplica por 2 y se divide porr2. Por lo tanto: ( r

r

)2

− 2GM

r3=

2Eµr2

Si se tiene en cuenta que en ausencia de algun otro potencial diferente del gravitacional, laecuacion de movimiento esta dada por r = −GM

r2, entonces:( r

r

)2

+2r

r=

2Eµr2( r

r

)2

+2r

r

( rr

)2(rr

)2

=2Eµr2

r2(

1 +2r

r

r2

r2

)= 2Eµ

r2(1

2+rr

r2

)= Eµ

r2(1

2− q)

= Eµ (4.4)

Donde q es el factor de desaceleracion y se define como q ≡ − rrr2

. Notese que para que laenergıa total por unidad de masa sea positiva, y por lo tanto el sistema este desligado, se debecumplir q < 1

2; para un universo ligado, q > 1

2; y para un universo crıtico q = 1

2. Sin embargo,

el factor de desaceleracion q tambien se puede expresar en terminos del parametro de Hubblede la siguiente manera4:

q = − rrr2

q =d

dt

(rr

)− 1

1 + q =d

dt

( 1

H

)4Como se menciono anteriormente H = α

α ; y dada la relacion 4.2, tambien se puede decir que H = rr .

30

1 + q = − H

H2

H

H2= −(1 + q) (4.5)

Las observaciones de supernovas mostraron que el parametro de desaceleracion satisface q < −1;esto implico que la expansion cosmologica se esta acelerando.

Una vez confirmada la aceleracion de la expansion del universo, se procede a encontrar eltermino matematico que se debe anadir a la aceleracion que sufre un cuerpo debido a una fuerzaexterna (2da Ley de Newton). Si se deriva la ley de Hubble (ecuacion 4.1) respecto al tiempo,se obtendra la aceleracion debida a la expansion del universo:

∆r =d

dt(Hr)

∆r = Hr +Hr

∆r =( αα− αα

α2

)r +

α

α

α

αr

∆r =α

αr (4.6)

El valor actualmente aceptado para αα

es5 αα

= 3×10−36s−2 = 3×10−21yr−2. Esta aceleraciontambien puede darse en terminos del factor de desaceleracion y el parametro de Hubble de lasiguiente manera ∆r = qH2r. De modo que la ecuacion de movimiento que rige un sistema dedos cuerpos (sol-planeta) es:

rT = r + ∆r

rT = −GMr2

+α

αr (4.7)

donde rT es la aceleracion total del cuerpo. Se ve claramente que aparece un termino extraen la ecuacion de movimiento para un sistema ligado. Este termino extra sera el que de cuentade un potencial de perturbacion debido a la expansion del universo, como se mostrara en lasiguiente seccion.

4.1.1. Potencial relacionado con la expansion del universo

Para poder analizar el sistema solar bajo el potencial de perturbacion debido a la expansiondel universo, es necesario que la aceleracion encontrada en el apartado anterior, se exprese enterminos de energıa. De manera que se debe integrar la ecuacion 4.7 con respecto a r, recordandonuevamente el hecho de que F = −∂V

∂r. La energıa potencial para un sistema ligado incluyendo

el termino debido a la expansion del universo es:

VT (r) = −GMrµ+

α

α

r2

2µ

Al igual que en la ecuacion de movimiento (ecuacion 4.7), aparece un termino adicional ∆Vque se puede considerar como un potencial de perturbacion debido a la expansion:

∆V = +α

α

r2

2µ (4.8)

5ARENAS, Jose. Estabilidad y caos en el sistema solar. 2012; pag. 79.

31

4.1.2. Implementacion del potencial como una perturbacion

Una vez encontrado el potencial de perturbacion ∆V , el trabajo consistira en analizar laafectacion del mismo a un problema que en un principio era resoluble analıticamente; es decir,el problema de dos cuerpos en el que el unico factor a considerar, era la atraccion de dos cuerposmasivos, debida una fuerza central (f ∝ 1

r2). Sin embargo, la idea principal no radica en que

se trate el problema de una forma totalmente separada. De hecho, el proposito debe ser que seuse la informacion obtenida de un problema no perturbado, para obtener los resultados de unproblema sometido a una perturbacion. En otras palabras, el problema sin perturbacion servirapara dar solucion analıtica a un problema perturbado.

El tratamiento matematico que recoge la idea expuesta anteriormente en su totalidad, es lateorıa de perturbacion dependiente del tiempo. Esta teorıa predice que para un hamiltonianode la forma H(q, p, t) = H0(q, p, t) + ∆H(q, p, t) (donde H es la hamiltoniano perturbada,Ho la hamiltoniano sin perturbar, y ∆H la hamiltoniana de perturbacion), existe existe unatransformacion canonica que lleva a las soluciones:

γ1i =∂∆H(γ, β, t)

∂βi

∣∣∣0; β1i = −∂∆H(γ, β, t)

∂γi

∣∣∣0

(4.9)

Donde γ1i y β1i son las soluciones de perturbacion de primer orden para γi y βi, y el lımi-te en 0 indica que despues de la derivacion se debe evaluar γ y β por sus formas no perturbadas.

Retornando al problema de la expansion del universo, la hamiltoniana del problema de doscuerpos (ecuaciones 3.1 y 4.8) es:

Hint =1

2µ

(p2r +

p2θ

r2+

p2φ

r2 sin2 θ

)+ V (r)︸ ︷︷ ︸

H0

+α

2αr2µ︸ ︷︷ ︸

∆H

(4.10)

Una vez encontrado ∆H, el objetivo es encontrar las variables accion-angulo que se relacio-nan mediante la ecuacion vi = ∂H

∂Ji. Para este caso, lo mas conveniente son el conjunto canonico

(v2, J2), pues se sabe que v2 esta relacionada con el argumento del perihelio ω mediante laecuacion6 ω = 2πv2 (es decir ω = 2πv2); ademas, la variable J2 esta relacionada con la mag-nitud del momento angular l mediante la ecuacion7 J2 = 2πl. De esta manera, la ecuacion 4.9establecerıa que:

ω =2π

2π

∂∆H

∂l=∂∆H

∂l(4.11)

Dada la pequena variacion de ω en el tiempo, se realiza un promedio para el periodo de laorbita no perturbada:

ω =∂∆H

∂l; ∆H =

αµ

2αT

∫ T

0

r2dt

Cabe mencionar que esto se hace con el fin de obtener la variacion secular de ω. De capıtulosanteriores se sabe que dt = µr2

ldθ, y junto con la ecuacion de la orbita (ecuacion 2.4), el promedio

del hamiltoniano de perturbacion es:

∆H =αl7

2αµ2Tk4

∫ 2π

0

dθ

(1 + e cos θ)4

6Esta ecuacion surge por la definicion v2 = ∂W∂J2

, tal y como se menciono en el capıtulo“El problema de Keplera partir del formalismo de Hamilton-Jacobi”.

7Como se menciono en el capıtulo “El problema de Kepler a partir del formalismo de Hamilton-Jacobi”,J2 = Jφ + Jθ = 2παθ = 2πl.

32

Donde se ha considerado θ′ = 0. La variacion secular de ω es entonces:

ω =α7l6

2αµ2Tk4

∫ 2π

0

dθ

(1 + e cos θ)4

Para obtener el resultado final de ω es necesario que todos los miembros al lado derecho dela igualdad se expresen en terminos de datos observacionales conocidos; a saber, k = GMµ, yl2 = µka(1 − e2) (datos establecidos en los anteriores capıtulos). Por otro lado, la integral esde la forma:

∫dx

(a+bcosx)n, cuya solucion es:8

1

(n− 1)(a2 − b2)

[ −b sinx

(a+ b cosx)n−1+ (2n− 3)a

∫dx

(+b cosx)n−1− (n− 2)

∫dx

(a+ b cosx)n−2

]Basicamente, esta solucion propone bajar el rango del integrando hasta un valor de 0. Sin

embargo, para cuando esto sucede, la solucion para una integral de la forma∫

dx(a+b cosx)1

es9

2√a2−b2 arctan

[√a−ba+b

tan x2

]. Si los lımites de integracion son 0 y 2π, la evaluacion del resultado

de la integral serıa 0. No obstante, se debe considerar que cuando se integra a lo largo delcamino 0→ 2π, es lo mismo que integrar a lo largo del camino 0→ π multiplicado por 2. Asılas cosas, el resultado de dicha integral no serıa 0 sino 2π√

1−e2 . Despues de algunos procedimientosalgebraicos, la ecuacion que describe la precesion del periapside de los planetas es:

ω =α

α

7a3π(2 + 3e2)

2TGM√

1− e2(4.12)

Para observar el cambio en el periodo de la orbita debido a la expansion del universo, separte de que la condicion para una orbita estable debe ser que la fuerza ficticia sea igual a 0(ecuacion 1.4). En este caso, se debe sumar la fuerza α

αµr encontrada anteriormente:

0 =l2

µr30

− k

r20

+α

αµr0

La magnitud del momento angular l queda expresada en terminos del radio por la ecuacion

l =√µkr0 − α

αµ2r4

0. Para encontrar el periodo T , hace falta recordar que T = 2πθ

y que l esta

relacionada con la frecuencia angular por l = µr20 θ. Por lo tanto, θ queda expresado en funcion

del termino relacionado con la expansion del universo mediante la ecuacion:

θ =2π

T=

√k

µr30

− α

α

θ =2π

T=

√k

µr30

√1− α

α

µr30

k

Si se usa la aproximacion (1 + εx)n ≈ 1 +nεx para pequenos valores de ε, el periodo final se

convierte en: T = 2πr3/20

õk

(1 + α

2α

µr30k

). Sin embargo, en razon de conocer mejor el significado

fısico de esta ecuacion, conviene expresarla en terminos de un periodo inicial T0 = 2πr3/20

õk.

Finalmente, el periodo de una orbita planetaria se ve afectado en:

T = T0

(1 +

α

α

T 20

8π2

)(4.13)

8B. O. Pierce. A Short Table of Integrals. Tercera Edicion. Londres; pag. 43.9M. R. Spiegel. Mathematical Handbook of Formulas and Tables. Second Edition. 1968; pag. 78.

33

Para el semieje mayor a se realiza un procedimiento muy similar. Empezando, se sabe quela relacion entre a y T es la tercera ley de Kepler a3 = k

4π2µT 2. Realizando la sustitucion de la

ecuacion 4.13 y nuevamente la aproximacion de (1 + εx)n ≈ 1 + nεx para pequenos valores deε, el semieje mayor de una orbita planetaria cambia como:

a = a0

(1 +

2

3

α

α

T 20

8π2

)= a0

(1 +

α

α

T 20

12π2

)(4.14)

donde a30 =

kT 20

4µπ2 . El cambio en la excentricidad de la orbita se obtiene acudiendo a la

relacion que surge debido a las ecuaciones l =√µkr0 − α

αµ2r4

0, y l2 = µka0(1− e2). En el caso

de a0 = r0, resulta una excentricidad e = T02π

√αα

. Ya que de esta expresion surgen dos signos

(+ y −) a causa de la raız, se concluye que el cambio en la excentricidad de la orbita es:

e = e0 ±∣∣∣T0

2π

√α

α

∣∣∣ (4.15)

4.2. Decremento de la masa del Sol

En este apartado se mostrara la evidencia teorica que permite concluir sobre la existenciade un decremento progresivo de la masa del sol. Asimismo, en vista de que es por esta masapor la que se atribuyen las propiedades orbitales de los planetas, debida a la accion gravitacio-nal sol-planeta (fuerza de tipo central), se mostrara las implicaciones de este decremento en laestabilidad de las orbitas planetarias.

El sol desde el punto de vista clasico, puede ser modelado como un cuerpo negro. Por otraparte, la energıa irradiada por un cuerpo negro en una unidad de segundo y de superficie, esproporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta en su superficie (ley de Stefan-Boltzmann):

E

At= εσT 4 (4.16)

Siendo σ = 5, 67× 10−8 Jm2sK4 la constante de Stefan-Boltzmann, y ε la emisividad que para

el caso de un cuerpo negro (ideal) su valor es de 1. Al termino Et

dentro del campo astrofısico,se le conoce como la luminosidad estelar L y es la cantidad de energıa irradiada por unidadde tiempo. Para el caso del sol, el area superficial es A = 4πr2

� donde r� = 6,96 × 108 m; laemisividad es la de un cuerpo negro ε = 1; y la temperatura superficial T = 5700 K. De estamanera, la luminosidad del sol es:

L� = AεσT 4 = 3,65× 1026J

s(4.17)

Esta energıa irradiada tambien se puede entender como la pequena parte que resta de lafusion nuclear, que consiste en la transformacion de cuatro atomos de hidrogeno en uno de helio(4H → 1He):

4mp → 3,97mp + E

Por la relacion relativista de Einstein E = mc2, se puede obtener la masa que en una unidadde tiempo deja de ser parte del sol debido a la radiacion electromagnetica. Es decir, usando la

expresion L� = m�c2

t= m�c

2, la variacion de masa en una unidad de tiempo es:

m� =3,65× 1026 J

s

c2

34

m� = 4,06× 109kg

s= 1,28× 1017kg

yr(4.18)

No obstante, para los propositos de este trabajo se requiere encontrar una expresion masexplıcita; esto es, una funcion matematica que muestre la dependencia temporal de la masa delsol. Claramente, la masa del sol decrece obedeciendo M� = M0 − m�t. Donde la masa inicialdel sol M0 ≈ 2× 1030kg. Factorizando este termino:

M�(t) = M0(1− ξt); ξ =m�M0

= 6,4× 10−14yr−1 (4.19)

El termino dentro del parentesis se puede escribir de otra manera, si se recurre a la expansionen series de Taylor de la funcion exponencial a primeros ordenes (ex = 1 + x). Ası, la anteriorecuacion se convierte en:

M�(t) = M0e−ξt (4.20)

4.2.1. Potencial relacionado con el decremento de la masa del Sol

La masa perdida por el sol en un ano producto de la radiacion electromagnetica es un valordemasiado pequeno en comparacion a la masa total del astro. De hecho, este valor sigue siendominusculo si se compara con la masa del planeta menos masivo del sistema solar: mercurio. Esteplaneta posee una masa aproximada de 3,302×1023kg; para este caso, la masa perdida por el solrepresentarıa tan solo el 0,000038764 % de la masa total de mercurio. Para el sol representarıatan solo el 0,0000000000064 %. Este analisis sencillo sobre la magnitud insignificante de la masaperdida por el sol a comparacion de otras masas del sistema solar (incluyendo al mismo sol),permite realizar la aproximacion M� +mp ≈ M�. Para la masa reducida del problema de dos

cuerpos (sol-planeta), la aproximacion modificarıa en µ = M�mpM�

= mp.

En virtud de que la energıa esta directamente relacionada con la masa reducida E = −2π2µk2

J23

(ecuacion 3.12), la energıa del sistema sol-planeta serıa:

E = −2π2G2M2

�m3p

J23

Usando la ecuacion 4.20, finalmente se obtiene la energıa del problema en funcion del tiempo:

E = E0e−2ξt (4.21)

4.2.2. Implementacion del potencial como una perturbacion

Para obtener la precesion en el perihelio de los planetas, basta con hacer uso nuevamentede ω = ∂∆H

∂l(ecuacion 4.11). Para este caso, la energıa E0e

−2ξt se debe expresar en terminospolinomicos, tal y como aparecerıa antes de realizar la expansion ex = 1 + x; es decir: E =E0 − 2E0ξt. Este procedimiento se realiza con el fin de obtener lo mas explıcitamente ∆H,y garantizar independencia de la energıa inicial del sistema. Con ∆H = −2E0ξt, basta unaexpresion para una variable al lado derecho de la igualdad, que permita obtener el promedio∆H. Claramente esa variable es t. Esto se puede hacer partiendo de la ecuacion l = µr2 dθ

dty

reemplazando la ecuacion de la orbita (ecuacion 2.4), obteniendo que t = l3

µk2

∫ 2π

0dθ

(1+e cos θ)2. De

esta manera, el hamiltoniano de perturbacion es:

∆H = −2E0ξl3

µk2

∫ 2π

0

dθ

(1 + e cos θ)2

35

Donde se ha considerado los lımites entre 0 y 2π para obtener el promedio del hamiltonianode perturbacion (la orbita entera). Sin embargo, la energıa inicial del sistema E0 se debe expresaren terminos del momento angular l para poder efectuar la derivacion parcial, y ası obtener la

variacion secular; para ello, se acude a la expresion de la excentricidad e =√

1 + 2El2

µk2. Cabe

aclarar, como se menciono anteriormente, que despues de la derivacion se debe evaluar l porsus formas no perturbadas.

ω =∂∆H

∂l= ξ(1− e2)

∫ 2π

0

dθ

(1 + e cos θ)2

La integral se resuelve de la misma manera que como se hizo en la expansion del universo,con la excepcion que en este caso el denominador es de orden 2, y la precesion en la orbitasolo depende de la excentricidad propia de cada planeta. La solucion para

∫ 2π

0dθ

(1+e cos θ)2es10:

2π(1−e2)3/2

. Operando con los otros terminos, la variacion secular debida al decremento de la masa

del sol, se escribe como:

ω =2πξ√1− e2

(4.22)

El cambio en el periodo se puede vislumbrar directamente desde la ecuacion 1T

= ν3 = 4π2µk2

J33

(ecuacion 3.13), y procediendo de la misma manera que se hizo para encontrar el potencialdebido al decremento de la masa del sol; esto es, substituyendo M� por M0e

ξt y nuevamentehaciendo uso de la aproximacion de M� +mp ≈M�:

T = T0e2ξt (4.23)

En cuanto al semieje mayor, por la tercera ley de Kepler (a3 = k4π2µ

T 2) se obtiene el cambio

en el factor orbital, si se reemplaza el periodo anteriormente encontrado (T = T0e2ξt). Esto es:

a = a0eξt (4.24)

Para el caso de la excentricidad, se observa que a pesar de las sustituciones de E = E0e−2ξt y

M�(t) = M0e−ξt en la ecuacion e =

√1 + 2El2

µk2(obtenida en el capıtulo El problema de Kepler),

la excentricidad se mantiene constante. Es decir, la forma de la orbita es inalterada por eldecremento de la masa del sol:

e = e (4.25)

10B. O. Pierce. A Short Table of Integrals. Tercera Edicion. Londres; pag. 43.

36

Capıtulo 5

Resultados

En este capıtulo se muestran las correcciones a los factores orbitales que definen la estabili-dad del sistema solar, mediante la aplicacion de las ecuaciones obtenidas en el capıtulo anterior.Esta informacion se planeta en cuadros con el fin de realizar una breve comparacion entre laafectacion de los fenomenos decremento de la masa solar y expansion del universo. Por otrolado, las ecuaciones que describen las correcciones se volveran a escribir, pero las variables fısi-cas que aparecen en estas son presentadas en el anexo (Tabla 5.5). Esto se hace con el objetivode poder vislumbrar directamente los resultados sin la existencia de alguna confusion o malainterpretacion.

5.1. Correccion al perihelio de las orbitas

Expansion del universo (Ec. 4.12):

∆ω =α

α

7a30π(2 + 3e2)

2T0GM√

1− e2

Decremento de la masa solar (Ec. 4.22):

∆ω =2πξ√1− e2

PlanetaExpansion del

universo∆ω[grados/ano]

Decrementomasa solar

∆ω[grados/ano]

Mercurio 0,000000439 4,10× 10−13

Venus 0,000001015 4,02× 10−13

Tierra 0,000001688 4,02× 10−13

Marte 0,000003206 4,03× 10−13

Jupiter 0,000019923 4,02× 10−13

Saturno 0,000049131 4,02× 10−13

Urano 0,000141292 4,02× 10−13

Neptuno 0,000276393 4,02× 10−13

Tabla 5.1: Variaciones en los perihelios.

Ambas expresiones presentan algo en comun: son directamente proporcionales a los terminospropios de cada fenomeno α

αy ξ, e inversamente proporcionales al factor

√1− e2. Sin embargo,

37

la aparicion de otras magnitudes fısicas solo son caracterıstica de la expansion del universo.Magnitudes como la constante de Cavendish G y la masa total M son despreciables, en lamedida que la primera es la misma para todos los planetas, y la segunda no sigue un patronen relacion a la distancia al sol. No pasa lo mismo con la tercera potencia del semieje mayor a3

y el periodo orbital T . A medida que cada planeta esta mas alejado del sol, su semieje mayory su periodo orbital aumenta. Esto significa que la variacion ∆ω se hace mayor conforme elplaneta se encuentra mas lejos del sol, pero disminuye en cuanto al periodo. No obstante, lapotencia del semieje mayor es el factor que desequilibra la balanza. Por ejemplo, para el casomas crıtico -Neptuno-, tendrıa que pasar un milenio para notar un corrimiento de 0,2◦ en elperihelio de su orbita; lo que significa una muy pequena afectacion, a muy largo plazo. Estoevidencia que a pesar de la poca alteracion, la expansion del universo logra afectar de una formamas significativa al perihelio de las orbitas planetarias.

5.2. Correccion al periodo de las orbitas

Expansion del universo (Ec. 4.13):

∆T =α

α

T 30

8π2

Decremento de la masa solar (Ec. 4.23):

∆T = 2ξT0t = 2ξT 20

PlanetaExpansion del

universo∆T [anos]

Decrementomasa solar∆T [anos]

Mercurio 5,252× 10−25 7,4220× 10−15

Venus 9,055× 10−24 4,8444× 10−14

Tierra 3,799× 10−23 1,28× 10−13

Marte 2,524× 10−22 4,5283× 10−13

Jupiter 6,338× 10−20 1,8010× 10−11

Saturno 9,714× 10−19 1,1107× 10−10

Urano 2,252× 10−17 9,0338× 10−10

Neptuno 1,700× 10−16 3,48× 10−09

Tabla 5.2: Variaciones en los periodos.

Matematicamente, ambas expresiones no difieren mucho en su impacto fısico. A diferenciadel decremento de la masa solar, en la expansion del universo la variacion del periodo esdirectamente proporcional al cubo de su periodo inicial, y el resultado solo comienza a sersignificativo para planetas cuyo periodo es extremadamente largo; es decir: Jupiter, Saturno,Urano y Neptuno. De manera que los factores que realmente dan cuenta sobre la afectacionen este factor orbital, resultan ser los terminos α

αy ξ; es decir, los terminos directamente

relacionados con los fenomenos. Sin embargo, se ve claramente que ninguno de los dos lograafectar en gran medida el tiempo tardado por el planeta en completar una vuelta alrededor delsol.

38

5.3. Correccion al semieje mayor de las orbitas

Expansion del universo (Ec. 4.14):

∆a =α

α

T 20

12π2a0

Decremento de la masa solar (Ec. 4.24):

∆a = ξa0t = ξa0T0

PlanetaExpansion del

universo∆a[m]

Decrementomasa solar

∆a[m]

Mercurio 8,447× 10−14 0,0008923Venus 1,051× 10−12 0,004252Tierra 3,799× 10−12 0,009574Marte 2,041× 10−11 0,02743Jupiter 2,771× 10−09 0,5910Saturno 3,143× 10−08 2,7016Urano 5,130× 10−07 15,4417

Neptuno 3,095× 10−06 47,4067

Tabla 5.3: Variaciones en el semieje mayor.

Para este factor orbital sucede algo muy similar a la variacion de los periodos. En ambasexpresiones matematicas aparecen los terminos T0 y a0. Si bien en la expansion del universo,el cambio en el semieje mayor es directamente proporcional al cuadrado de los periodos, elincremento solo se evidencia fuertemente para los planetas cuyo periodo es largo. Tal y como semenciono en la seccion anterior. Para este caso, los factores α

αy ξ vuelven a ser protagonistas,

y las demas variables fısicas pasan a un segundo plano. En el caso del decremento de la masasolar, los ordenes de magnitud del factor ξ y a0 varıan solo ligeramente. De manera que va allegar el caso en el que un planeta cuyo periodo y semieje mayor sean extremadamente grandes,para que sus productos con el factor ξ den como resultado una alteracion “apreciable”. Paraver los efectos causados por este incremento, se toma el porcentaje que representa el mismosobre el semieje mayor del planeta. Para el caso de Neptuno (el mas crıtico), el cambio tan solorepresenta el 0,000000001 % de su semieje mayor. Esto quiere decir que a pesar de que para unapersona el cambio de 47,40 metros sea considerable, a escalas cosmologicas este cambio resultaevidentemente despreciable.

5.4. Correccion a la excentricidad de las orbitas

Expansion del universo (Ec. 4.15):

∆e =T0

2π

√α

α

Decremento de la masa solar (Ec. 4.25):

∆e = 0

39

PlanetaExpansion del

universo∆e

Decrementomasa solar

∆e

Mercurio 2,092× 10−12 0Venus 5,374× 10−12 0Tierra 8,669× 10−12 0Marte 1,629× 10−11 0Jupiter 1,028× 10−10 0Saturno 2,553× 10−10 0Urano 7,282× 10−10 0

Neptuno 1,429× 10−09 0

Tabla 5.4: Variaciones en las excentricidades.

Como se puede observar la excentricidad de la orbita, y mas propiamente, la forma de lamisma, permanece inalterada bajo las perturbaciones debidas a ambos fenomenos. Aunque al-guien podrıa mencionar: no hay duda en que el decremento de la masa solar mantiene invariantela excentricidad de la orbita, ya que ∆e = 0; pero, ¿pasa lo mismo con la expansion del universodespues de ver que el valor es distinto de 0? Para responder esta pregunta basta con notar elhecho de que la excentricidad de una orbita se encuentra en el intervalo 0 < e < 1. Para elcaso mas crıtico -Neptuno nuevamente-, el cambio en su excentricidad representa tan solo el0,000015 % de la excentricidad de su orbita sin perturbar. Este valor indica que la expansiondel universo mantiene inalterada la forma de la orbita para un tiempo supremamente largo.

40

Anexos

Pla

neta

Exce

ntr

icid

ad

e

Sem

ieje

mayor

a0

[m]

Peri

odo

T0[a

nos

]M

asa

mp[k

g]

Masa

Tota

lM

[kg]

Masa

Red

uci

da

µ[k

g]

Mer

curi

o0,

206

5,79×

1010

0,24

3,30

2×

1023

2,00

00×

1030

3,30

2×

1023

Ven

us

0,00

71,

08×

1011

0,62

4,86

90×

1024

2,00

00×

1030

4,86

90×

1024

Tie

rra

0,01

71,

50×

1011

1,00

5,97

42×

1024

2,00

00×

1030

5,97

42×

1024

Mar

te0,

093

2,28×

1011

1,88

6,41

91×

1023

2,00

00×

1030

6,41

91×

1023

Jupit

er0,

048

7,78×

1011

11,8

61,

8987×

1027

2,00

19×

1030

1,89

69×

1027

Sat

urn

o0,

054

1,43×

1012

29,4

65,

6851×

1026

2,00

06×

1030

5,68

34×

1026

Ura

no

0,04

72,

87×

1012

84,0

18,

6849×

1025

2,00

01×

1030

8,68

45×

1025

Nep

tuno

0,00

94,

50×

1012

164,

801,

0244×

1026

2,00

01×

1030

1,02

43×

1026

Tab

la5.

5:D

atos

de

los

pla

net

as.

41

Conclusiones

Analizando ciertas particularidades del problema de los dos cuerpos, se prueba que la fuer-za que gobierna el comportamiento del sistema considerado en esta investigacion (sol-planeta),da origen a una orbita cerrada que se puede considerar estable bajo ciertos parametros. Si lascantidades conservadas estan dentro de los intervalos establecidos para las orbitas cerradas, y sise desprecian toda clase de fenomenos externos, el sistema sol-planeta serıa estable durante untiempo infinito. No obstante, en el caso real hay que considerar muchos factores que afectarıanesta estabilidad1.

Como se pudo ver, las tres leyes de Kepler muestran ciertos principios a los que se rigenlas propiedades de la orbita de un planeta. Estas propiedades (excentricidad, periodo y semiejemayor) ofrecen la posibilidad de una transicion de lo matematico a lo fısico, de lo abstractoa lo aprehensible, y de lo teorico a lo medible. De no ser ası, a Kepler le hubiese sido impo-sible anunciar sus tres leyes con la insuficiencia matematica que existıa en dicha epoca2. Enotras palabras, son estos factores orbitales los que expresan claramente el comportamiento dela interaccion que existe entre el sol y el planeta, y muestran la estabilidad planetaria cuandopermanecen constantes a lo largo del tiempo.

Como se pudo evidenciar, el formalismo matematico de Hamilton-Jacobi, a pesar de sermas abstracto, conduce a los mismos resultados que otros metodos. Una vez entendido los fun-damentos basicos de esta mecanica, el problema se simplifica en la medida de que ya no esnecesario resolver la ecuacion diferencial de movimiento (como se realizo en el capıtulo El pro-blema de Kepler), para obtener resultados dispuestos a una interpretacion fısica y geometrica.Fue suficiente con la construccion de la ecuacion de Hamilton-Jacobi y sus respectivas variablesaccion-angulo. Sin embargo, cabe aclarar que para un estudiante de fısica que quiera aprovechartodas las ventajas que ofrece este metodo, tiene que conocer el andamiaje teorico del mismopara poder entender su significado. Como se aclaro al principio de este capıtulo, el propositode usar el tratamiento de Hamilton-Jacobi sera la comodidad de las implementaciones de lospotenciales de perturbacion, debidos a la expansion del universo y el decremento de la masa deSol.

1Las perturbaciones debidas a la expansion del universo y el decremento de la masa solar2La exposicion analıtica de la interaccion de dos cuerpos se dio con la ley de gravitacion de Newton hasta

1687.

42

Perspectivas

∗ Para sistemas cuyo tamano son desmesuradamente grandes, el factor relacionado a laexpansion del universo se hace mas visible y mas considerable. La pregunta que cabehacerse es: ¿es posible contemplar a la expansion del universo como un principio masaproximado del cosmos, en vez de una perturbacion al mismo? Si bien en el sistema solarque habitamos no es posible responder a esta pregunta, habra otros que arrojaran luz aeste misterio.

∗ La implementacion del potencial energetico debido a la expansion del universo bajo elanalisis del teorema de Bertrand y un nuevo potencial efectivo, puede arrojar nuevosresultados que en principio pueden ser mas formales desde el punto de vista matematico.Para el caso de nuestro sistema solar, el inconveniente radica en que el termino α

αr2

2µ no

guarda ninguna relacion matematica con el potencial centrıfugo 12l2

µr2− k

r.

∗ Los resultados en relacion al fenomeno del decremento de la masa solar fueron obtenidosgracias a la aproximacion de la funcion exponencial y la funcion lineal, y a que la masasolar es mucho mayor que la masa planetaria. Sin embargo, suponiendo un sistema solarcuya masa estelar es comparable con la masa de alguno de sus planetas orbitantes, yla tasa de perdida de la masa sea mucho mayor, tales aproximaciones no serıan las masadecuadas para tratar el problema. Para estos casos: ¿como serıan las perturbaciones alos factores orbitales? Desde el punto de vista matematico, las expresiones relacionadasdeben ser tratadas con mayor rigurosidad.

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