FISICA II Movimiento Armonico Simple

Universidad Nacional del Callao Abril del 2014

Universidad Nacional del

Callao

C u r s o : Física 2

I n f o r m e d e l a b o r a t o r i o : “Movimiento armónico simple”

C i c l o A c a d é m i c o : 2014 V

I n t e g r a n t e s :

A l u m n o s C ó d i g o

Cuya Alvarado Norisha Shayna 1214120045Mamani Tipula Rene Jonathan 1214120197Mendoza Lopez Catherine Isabel 1214120375Tuesta Lopez Llanely 1214120277

LIMA – PERÚ

2014


INTRODUCCIONEn nuestra vida cotidiana con frecuencia se puede observar que existe otro tipo de movimiento, por ejemplo: el péndulo del reloj de tu casa, una sierra eléctrica, un cepillo de dientes eléctrico, la aguja en el cuadrante de una báscula mientras llega al equilibrio para dar la lectura de tu masa corporal, el movimiento de una hamaca y mecedora, el badajo de la campana de tu iglesia, el trampolín de la alberca cuando te lanzas de él, la cuerda elástica del bungee en los centros recreativos, el funcionamiento de la suspensión de un automóvil, el aleteo de un colibrí o de una abeja, etc. A estos movimientos se les conoce como movimiento oscilante o vibratorio.

La característica más fácilmente reconocible del movimiento oscilatorio es que resulta periódico, es decir, el objeto va y viene en su misma trayectoria pasando por un punto medio. Por lo tanto, una oscilación o vibración, comprende un movimiento hacia atrás y hacia delante. El tiempo que dura cada repetición se denomina período. En el medio ambiente que nos rodea, existen todo tipo de movimientos simples o complejos, que se repiten a intervalos regulares de tiempo recorriendo una trayectoria varias veces entre dos puntos después de un intervalo definido, a estos movimientos que satisfacen estas características se les llama: Movimiento periódico.

En el laboratorio de hoy se aprenderá a hallar experimentalmente el periodo y la frecuencia de oscilación del sistema.


OBJETIVOS Determinar experimentalmente el periodo y la frecuencia de

oscilación del sistema.

Verificar las ecuaciones dinámicas y cinemáticas que rigen el movimiento armónico para el sistema masa-resorte.

MARCO TEORICO


El movimiento armónico simple (por brevedad lo llamaremos simplemente MAS) es el más importante de los movimientos oscilatorios periódicos ya que es el más sencillo de analizar y constituye una descripción bastante precisa de muchas oscilaciones que se presentan en la naturaleza. Además cualquier movimiento oscilatorio periódico se puede considerar como la superposición (suma) de varios MAS.

La aceleración de un MAS es producida por una fuerza recuperadora, es decir, una fuerza que es proporcional al desplazamiento del móvil y va dirigida hacia el punto de equilibrio. Si es así, al sistema que oscila se le llama oscilador armónico, y es un modelo matemático que pocos osciladores reales cumplirán exactamente excepto en márgenes muy limitados. Ejemplos de MAS son el del péndulo cuando las oscilaciones son pequeñas o el movimiento libre de un muelle horizontal tras haberlo comprimido o estirado.

L A L E Y D E H O O K E

Da cuenta de la relación que existe entre la fuerza que se aplica a un cuerpo y la deformación que en él se produce. Esta ley es válida cuando las deformaciones son pequeñas, deformaciones elásticas, de forma que una vez que se deja de aplicar la fuerza deformadora el cuerpo vuelve a su estado original. Si tras aplicar la fuerza, el cuerpo no vuelve a su estado original se dice que la deformación es plástica. Ambos tipos de deformaciones son anteriores a la rotura del cuerpo

Cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza externa F⃗ e, que le produce una deformación ∆ x⃑= x⃑− x⃑0 , el cuerpo responde generando una fuerza interna F⃑ i de misma dirección y de sentido contrario de manera que la suma de fuerzas en el queden equilibradas. Si el modelo de cuerpo que deformamos es un muelle, y la deformación se aplica según el eje del mismo, el arácter vectorial que hemos señalado en las fuerzas sólo nos indica el sentido de la misma.

La relación entre la fuerza externa aplicada y la deformación resultante es lineal para pequeñas deformaciones:

F i=−Fe=−k (x−x0 )=−k ∆ x


Donde k es la constante elástica del muelle, una medida de la rigidez del muelle, característica de las dimensiones y del material de que está hecho

C I N E M A T I C A D E L M A S

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.

Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.

Respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que donde es una constante positiva y es la elongación.


El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial

Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene la siguiente ecuación donde es la frecuencia angular del movimiento:

La solución de la ecuación diferencial puede escribirse en la forma

Dónde:

es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.

es la amplitud del movimiento (elongación máxima).

es la frecuencia angular

es el tiempo.

es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.

Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:

, y por lo tanto el periodo como

http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo

http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_angular

http://es.wikipedia.org/wiki/Amplitud_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_angular

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial

http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton#Segunda_Ley_de_Newton_o_Ley_de_Fuerza


La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión .

F R E C U E N C I A

Es el número de oscilaciones completas o ciclos de movimiento que se producen en la unidad de tiempo, está relacionado con la frecuencia angular por medio de la relación.

ω=2πf

P E R I O D O

Es el tiempo que emplea el sistema para realizar una oscilación o un ciclo completo, está relacionado con f y ω, por medio de la relación:

T=1f=2 πω

Las expresiones para la velocidad y aceleración de un cuerpo que se mueve con movimiento armónico simple, pueden ser deducidas a partir de la ecuación usando las relaciones cinemáticas derivadas de la segunda ley de newton.

V E L O C I D A D D E L M A S

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, puedes obtener la velocidad derivando la posición respecto al tiempo.

Derivando la ecuación de la posición de un m.a.s. respecto al tiempo, es posible obtener la ecuación general de la velocidad de un m.a.s. en función del tiempo:

Puedes expresar la velocidad anterior en función de la elongación. Para ello debes usar la conocida relación trigonométrica sin2 α + cos2 α = 1 y las ecuaciones obtenidas para la posición y la velocidad:

mailto:

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad


Observa que, para un mismo valor de x, la velocidad puede ser positiva o negativa:

Positiva si el movimiento tiene lugar en el sentido positivo y negativa si el movimiento se produce en el sentido de las elongaciones decrecientes.

La velocidad es máxima cuando x = 0 y es nula cuando x = ± A, es decir, en los extremos de la trayectoria.

A C E L E R A C I Ó N D E L M A S

La ecuación nos indica que en el MAS, la aceleración es siempre proporcional y apuesta al desplazamiento. La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de espera y se obtiene por lo tanto derivado la ecuación de la velocidad respecto al tiempo de encuentro:

A M P L I T U D Y F A S E I N I C I A L

La amplitud de un movimiento oscilatorio, ondulatorio o señal electromagnética es una medida de la variación máxima del desplazamiento u otra magnitud física que varía periódica o cuasiperiódicamente en el tiempo. Es la distancia máxima entre el punto más alejado de una onda y el punto de equilibrio o medio. La amplitud y la fase inicial se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongación y de la velocidad inicial.

http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_cuasiperi%C3%B3dico

http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsica

http://es.wikipedia.org/wiki/Se%C3%B1al_anal%C3%B3gica

http://es.wikipedia.org/wiki/Se%C3%B1al_anal%C3%B3gica

http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_complejo


Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones y obtenemos

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones y obtenemos

E N E R G I A D E L M A S

Si no existe rozamiento entre el suelo y la masa, la energía mecánica de esta última se conserva. Ya se vio en el apartado de trabajo que la fuerza recuperadora del muelle es una fuerza conservativa y se calculó su energía potencial asociada, que es una parábola:

En la siguiente figura se ha representado la energía total, la energía potencial elástica y la cinética para distintas posiciones de una partícula que describe un movimiento armónico simple.

http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/dinam1p/trabajo.html


La energía mecánica se conserva, por lo que para cualquier valor de x la suma de la energía cinética y potencial debe ser siempre:

.

D I N A M I C A D E L M A S

En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional:

Un ejemplo sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:

Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración se deduce:


Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:

MATERIALES Y EQUIPOS

N° DESCRIPCION CODIGO CANTIDAD

1 Sensor de movimiento CI-6742 1


2 Resorte de metal 13 Regla milimetrada CI-6691 14 Balanza 15 Interface 16 Varilla metálica de 45 cm ME-8736 17 Base de varilla largo ME -8735 18 Masa de 100 g 7

1. SENSOR DE MOVIMIENTO:

2. ESTABILIZADOR DE VOLTAJE SKY LINK


3. INTERFACE

4. RESORTE DE METAL

5. REGLA MILIMETRADA

6. BALANZA


7. BASE DE VARILLA LARGO

8. SET DE MASAS


PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADESa. Verificar la conexión y encendido de la interface.

b. Ingresar al programa Data Studio y seleccionar “Crear experimento”.

c. Seleccionar el “Sensor de movimiento de la lista de sensores y efectuar la conexión usando los cables para transmisión de datos de acuerdo a lo indicado por Data Studio.


d. Efectúe la calibración para el sensor de movimiento indicando una frecuencia de muestreo de a 30 Hz.

e. Genere un gráfico para cada uno de los parámetros medidos por el sensor de movimiento (posición, velocidad y aceleración.

f. Realice el montaje de accesorios y sensores.


PRIMERA ACTIVIDAD

a. Determine la posición de elongación natural del resorte.

b. Coloque diferentes masas en el porta pesos, el cual deberá ser pesado previamente.

c. Determine la elongación en cada caso y repetir el proceso para cada masa.


d. Registre sus datos en la tabla.

e. Grafique fuerza vs elongación usando Data Studio


f. Determine la pendiente y calcule la constante elástica del resorte k.


1. Constante elástica 1

F e=k . x0.608N=k∗0.036 m

16.89 Nm

=k


1.098N=k∗0.083m

13.228 Nm

=k


1.58N=k∗0.127m

12.44 Nm

=k


2.07N=k∗0.171m

12.10 Nm

=k


2.56N=k∗0.214m

11.96 Nm

=k


3.05N=k∗0.26m

11.73 Nm

=k


3.54N=k∗0.305m

11.606 Nm

=k


4.03N=k∗0.349m

11.547 Nm

=k


4.52N=k∗0.394m


11.47 Nm

=k


5.01N=k∗0.44m

11.386 Nm

=k

SEGUNDA ACTIVIDAD

a. Seleccione una masa de 100g colóquela en el porta pesas de modo que el sistema permita oscilaciones en una sola dirección:

b. Determine la posición de equilibrio, luego estire ligeramente el resorte y déjelo oscilar, continuación pulse el botón inicio para registrar las lecturas de posición, velocidad y aceleración respecto al tiempo.


c. Configure la calculadora para graficar elongación versus tiempo y no peso versus posición.

d. Finalizada la toma de datos después de cinco segundos y haciendo uso de la herramienta inteligente sobre las gráficas generadas calcule lo siguiente:periodo


e. Para construir el diagrama de fases seleccione el grafico posicion vs tiempo, luego seleccione el grafico velocidad vs tiempo y arrástrelo sobre la abcisa t, del grafico posicion vs tiempo.


CONCLUSIONES

- En la primera actividad se halló la constante elástica con el valor de la fuerza y la elongación, que se tuvo que pasar de metros a centímetros.

-En la segunda actividad se halló el valor del periodo con la ayuda de la herramienta inteligente y se halló el diagrama de fases arrastrando el grafico de velocidad vs tiempo al grafico de posición vs tiempo.

CUESTIONARIO

1. ¿Cuál es el valor de la aceleración de un oscilador con amplitud A y frecuencia f cuando su velocidad es máxima?

En cualquier movimiento, si la velocidad es máxima es porque el cuerpo no acelera más, por lo tanto la aceleración es nula. En el oscilador, la


velocidad es máxima cuando pasa por la posición de equilibrio. (Centro de oscilación) Matemáticamente:

x = A.cos(wt); derivamos: v = dx/dt = - A.w.sen(wt); derivamos nuevamente: a = dv/dt = - A.w2.cos(wt) = - w2.x De acá que cuando x = 0, a = 0

2. ¿Puede tener el mismo sentido la aceleración y el desplazamiento en un movimiento armónico simple?, ¿la aceleración y la velocidad?, ¿la velocidad y el desplazamiento?, explique.

- En un movimiento armónico simple, la aceleración de un objeto es proporcional a su desplazamiento pero con sentido opuesto.

-En cuando a la velocidad, no es ni negativa ni positiva respecto a la posición, de manera definida, va a desfase de pi/2 con respecto a la posición.

3. ¿De qué forma se puede calcular el coeficiente de amortiguamiento? Y ¿Qué tiempo transcurrirá para que la masa vuelva a su estado de reposo?

Un método práctico para determinar experimentalmente el coeficiente de amortiguación de un sistema consiste en iniciar su vibración libre, obtener una representación gráfica del movimiento vibratorio y medir la proporción en que decrece la amplitud del movimiento. Esta proporción puede ser expresada, convenientemente, por el decremento logarítmico que se define como el logaritmo natural de la razón de dos amplitudes máximas consecutivas y1 e y2 en vibración libre,

Para evaluar la amortiguación, podemos notar que cuando el factor coseno, de la ecuación, tiene el valor unitario, el desplazamiento cae sobre el puntos de la curva exponencial


Como se muestra en la figura. Estos puntos se acercan, pero no coinciden exactamente con los puntos máximos del movimiento oscilatorio

Los puntos de la curva exponencial aparecen ligeramente a la derecha de los puntos de amplitud máxima. En la práctica, en la mayoría de los casos esta discrepancia es insignificante y por lo tanto los puntos de la curva

pueden aceptarse como coincidentes con los puntos de amplitud máxima. De manera que podemos escribir, para dos desplazamientos máximos consecutivos, y1 en el instante t1 e y2, Td segundos después

5. ¿Que es el decremento logarítmico? Explique

Decremento logarítmico, δ, se utiliza para encontrar el coeficiente de amortiguamiento de un sistema de subamortiguado en el dominio del tiempo. El decremento logarítmico es el logaritmo natural de la relación de las amplitudes de los dos picos sucesivos:

donde x (t) es la amplitud en el tiempo t y x (t + nT) es la amplitud de los n periodos de pico de distancia, donde n es cualquier número entero de, picos positivos sucesivos. El coeficiente de amortiguamiento se encuentra a continuación del decremento logarítmico:


El coeficiente de amortiguamiento a continuación, se puede utilizar para encontrar el ωn frecuencia natural de vibración del sistema de la amortiguado ωd frecuencia natural:

donde T, el período de la forma de onda, es el tiempo entre dos picos de amplitud sucesivas del sistema subamortiguado.

El método de decremento logarítmico se convierte en cada vez menos precisos como los de amortiguación aumenta la relación de pasados aproximadamente 0,5; no se aplica en absoluto para un factor de amortiguamiento mayor que 1,0 porque el sistema está sobreamortiguado.

6. ¿En qué caso la gráfica posición vs velocidad puede mostrar una circunferencia? Explique detalladamente.

Para que la gráfica posición vs velocidad sea una circunferencia entonces no debe haber variaciones en la amplitud. Esto, en un oscilador forzado sólo ocurrirá fuera de la resonancia (arriba o abajo de la misma) si el tiempo es suficientemente largo. De este modo la solución transitoria se desvanecerá y sólo quedará la solución particular que es la misma que la de un oscilador armónico.

7. ¿El valor de la frecuencia es igual al teorico solo si se toma en cuenta la masa del resorte?

En la formula la frecuencia, como vemos depende de la masa solamente porque los demás son constantes; pero estas constantes influyen en el resultado por eso no será igual


8. ¿Cuál es la diferencia entre un movimiento oscilatorio y un movimiento periódico?

El movimiento oscilatorio es aquel recorre ciclos o revoluciones a través de una circunferencia. Ejemplos: Una llanta de un carro en movimiento, el rotor de un helicóptero y el periódico es) una característica del mismo. Es solo que se refiere puntualmente al hecho de que ese movimiento (el oscilatorio) sea constante y sin variaciones. Ejemplos: El movimiento de rotación de la tierra, el movimiento de traslación de los astros.

9. ¿Se cumple el principio de conservación de la energía en el sistema masa-resorte? Explique

En una gráfica Ep vs. X se puede ver que para una energía E, al aumentar la Ep disminuye la energía cinética y viceversa, de manera que E es constante. En X=0 la partícula alcanza energía cinética máxima y la fuerza de recuperación es 0 ya que a=0 Y en X=a energía potencial es máxima y F también ya que en ese punto la aceleración es máxima y esto hace que la partícula retorne y hace que oscile.

10. ¿Puede establecerse una analogía entre las ecuaciones del movimiento armónico simple y las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado?, Explique

Si puede establecerse una analogía entre algunas de las ecuaciones de movimiento armónico simple y las de movimiento rectilíneo uniformemente variado, ya que en ambos casos podemos encontrar ecuaciones de aceleración como también de velocidad y distancia que dependen en parte de las mismas variables. Por ejemplo en ambos casos la aceleración depende de la distancia y de la masa, así como la velocidad depende del tiempo.


BIBLIOGRAFIA

PASCO. (2012). Data Studio. Obtenido el 13 de enero del 2014 en:http://www.pasco.com/products/probeware/pasport/sensors.cfm

GÓMEZ-CADENAS J.J (2005). Movimiento Periódico. Obtenido el 16 de enero del 2014:http://iliberis.com/fisica/fisica/T2_01_MAS.pdf

Universidad Carlos III de Madrid. Ley de hooked. Obtenido el 16 de enero del 2014 en: http://bacterio.uc3m.es/docencia/laboratorio/guiones_esp/mecanica/hooke_guion.pdf

UPM (2005). Movimiento armónico simple. Obtenido el 17 de Enero del 2014 en: http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/dinam1p/mas.html

http://www.pasco.com/products/probeware/pasport/sensors.cfm

http://www.pasco.com/products/probeware/pasport/sensors.cfm

FISICA II Movimiento Armonico Simple

Documents

Transcript of FISICA II Movimiento Armonico Simple