Superposición Movimiento Armonico Simple Apuntes y Problemas

15.- Superposición demovimientos armónicos simples.

§15.1. Principio de superposición (429); §15.2. Teorema de Fourier (432);§15.3. Convergencia de las series de Fourier (436); §15.4. Fuerzas impulsoras periódicas(436); §15.5. Superposición de dos m.a.s. en una dimensión (439); §15.6. Superposiciónde dos m.a.s. en direcciones perpendiculares (444); Problemas (452)

§15.1. Principio de superposición.- Las oscilaciones que hemos estudiado enlas lecciones precedentes obedecen a una ecuación diferencial de la forma

[15.1]mx γx kx F(t)

que es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, no homogénea y decoeficientes constantes. Ya hemos aclarado anteriormente el significado de cada unode esos términos. Insistiremos ahora en uno de ellos: la ecuación diferencial delmovimiento del oscilador armónico amortiguado y forzado es lineal; i.e., no contienepotencias superiores a la primera en x, x y x. Así pues, es lineal en x y en susderivadas respecto al tiempo. Podemos escribir [15.1], simbólicamente, en la forma

[15.2]⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

m d2

dt 2γ d

dtk x F(t)

La cantidad entre paréntesis es un operador diferencial lineal, que representaremospor L, de modo que, con notación compacta, podemos escribir

[15.3]L x F(t)

Los operadores diferenciales lineales poseen la propiedad distributiva respectoa la suma de funciones; esto es

[15.4]L (x1 x2) L x1 L x2

y también poseen la propiedad asociativa respecto al producto de una función por unaconstante, de modo que, si es c una constante, será

Manuel R. Ortega Girón 429

430 Lec. 15.- Superposición de movimientos armónicos simples.

[15.5]L(cx) c L x

Como consecuencia de esas propiedades se sigue el Principio de Superposición,de modo que si tenemos dos soluciones, x1(t) y x2(t), de la ecuación diferencial [15.1],correspondientes a dos funciones de fuerza, F1(t) y F2(t), diferentes, esto es

[15.6]L x1 F1(t) L x2 F2(t)

entonces, podemos sumar esas dos soluciones, multiplicadas por sendas constantesarbitrarias, c1 y c2, y obtener

[15.7]L ( c1x1 c2x2 ) c1 F1(t) c2 F2(t)

Es decir,

las soluciones de la ecuación diferencial del movimiento del oscilador [15.1],correspondientes a diferentes fuerzas impulsoras, son aditivas.

Esto significa que si conocemos el movimiento x1(t) del oscilador bajo la acciónde una fuerza impulsora única F1(t) y el movimiento x2(t) debido tan sólo a unafuerza impulsora F2(t), el movimiento que resultará bajo la acción conjunta de esasdos fuerzas impulsoras se obtendrá, sencillamente, sumando x1(t) y x2(t).

Naturalmente, podemos extender la argumentación anterior para un conjunto desoluciones xn(t), con n=1, 2, 3, ... N, de la ecuación diferencial del oscilador,correspondientes, cada una de ellas, a una fuerza Fn(t) apropiada. El Principio deSuperposición nos permite asegurar que el movimiento resultante bajo la acciónconjunta de N fuerzas impulsoras

[15.8]F(t)N

n 1

Fn(t)

es simplemente [15.9]x(t)N

n 1

xn(t)

Así pues, estamos en condiciones de encontrar una solución particular de laecuación diferencial del movimiento del oscilador [15.1] para una fuerza impulsoracualquiera F(t), con tal que sepamos expresar dicha fuerza como una suma de fuerzasFn(t) para las que conozcamos las soluciones correspondientes xn(t). En particular, sicada una de las fuerzas Fn(t) es armónica, de modo que podamos expresar F(t) en laforma

[15.10]F(t)N

n 1

cn sen(ωnt θn)

donde cn (n= 1, 2, ... N) son constantes escalares que representan las intensidadesmáximas de las Fn(t) respectivas1 y θn son los correspondientes ángulos de fase

1 Rehusamos la notación F0,n para evitar el doble subíndice.

§15.1.- Principio de superposición. 431

iniciales; entonces la solución particular de la ecuación diferencial del oscilador(amortiguamiento débil), correspondiente al estado estacionario, será

[15.11]x(t) ≡ x(t τ) 1m

N

n 1

cn

(ω20 ω2

n)2 4β2ω2

n

sen(ωnt θn δn)

con [15.12]δn arctg2βωn

ω20 ω2

n

y la solución general, incluido el efecto transitorio, será

[15.13]x(t) A0 eβt sen(ω′t ψ) 1

m

N

n 1

cn sen(ωnt θn δn)

(ω20 ω2

n)2 4β2ω2

n

donde A0 y ψ son dos constantes "arbitrarias" que deberemos evaluar a partir de lascondiciones iniciales (x0,v0) y ω′ es la frecuencia angular de las oscilacionesamortiguadas en ausencia de fuerza impulsora alguna, es decir,

[15.14]ω′ ω20 β2

Es obvio que podemos escribir una solución similar a la [15.11] o a la [15.13] parael caso en que F(t) esté representada por una serie de cosenos, cos(ωn+θn). Por otraparte, puesto que

[15.15]cnsen(ωnt θn) cnsenωnt cosθn cncosωnt senθn ancosωnt bnsenωnt

con

Figura 15.1

[15.16]an cn senθn bn cn cosθn

y

[15.17]cn a 2n b 2

n θn arctganbn

podemos escribir la expresión [15.10] en una forma másconveniente, en la que no aparezcan los ángulos de desfase θn; esto es

[15.18]F(t)N

n 1

(an cosωnt bnsenωnt)

que es equivalente a la expresión [15.10]. La solución de la ec. dif. del osciladorforzado, correspondiente al estado estacionario, puede escribirse entonces en la forma

[15.19]x(t) ≡ x(t τ) 1m

N

n 1

ancos(ωnt δn) bnsen(ωnt δn)

(ω20 ω2

n)2 4β2ω2

n


Este resultado puede condensarse en el enunciado siguiente:

Si la fuerza impulsora F(t) puede expresarse como una serie (finita oinfinita) de términos armónicos, entonces, la ecuación del movimiento x(t)también puede expresarse como una serie de términos armónicos.

Este resultado es muy interesante, ya que, de acuerdo con el Teorema deFOURIER (1768-1830), cualquier función periódica (sujeta a ciertas condiciones queno son demasiado restrictivas) puede desarrollarse en una serie de términosarmónicos.

§15.2. Teorema de Fourier.- Una función F(t) es periódica si existe una cons-tante T, llamada periodo, tal que para todo valor de t=ξ es

[15.20]F(ξ T) F(ξ)

como se muestra en la Figura 15.2.El teorema de Fourier establece que bajo ciertas condiciones (que se suelen cum-

plir en la práctica para un gran número de funciones) una función periódica, deperiodo T, definida en el intervalo puede desarrollarse como una sumaξ < t < ξ Tde términos armónicos, cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuenciaω=2π/T, en la forma

[15.21]F(t)a0

2

∞

n 1

(ancosnωt bnsennωt)

donde los coeficientes a0, an y bn (n = 1, 2,

Figura 15.2

... ∞) reciben el nombre de coeficientes deFourier. La frecuencia ω (que es la másbaja) se denomina frecuencia fundamental, ylas frecuencias 2ω, 3ω, ... son las frecuen-cias armónicas o sobretonos. Una vez deter-minados los coeficientes an y bn, de modoque la serie [15.21] sea convergente y susuma sea F(t), la serie [15.21] recibe el nom-bre de serie de Fourier de la función F(t).

Para calcular los coeficientes a0, an y bn,tendremos en cuenta que, para todo ξ y todonúmero natural n, son:

[15.22]

⌡⌠

ξ T

ξ

sen nωt dt 0 ⌡⌠

ξ T

ξ

cos nωt dt 0

⌡⌠

ξ T

ξ

sen2 nωt dt T2 ⌡

⌠ξ T

ξ

cos2 nωt dt T2

y que para todo m ≠ n (m y n naturales) son:

§15.2.- Teorema de Fourier. 433

[15.23]⌡⌠

ξ T

ξ

sen mωt sen nωt dt 0 ⌡⌠

ξ T

ξ

cos mωt cos nωt dt 0

⌡⌠

ξ T

ξ

sen mωt cos nωt dt 0

En el supuesto de que exista el desarrollo de Fourier [15.21] de la función F(t) yde que la serie correspondiente sea uniformemente convergente en el intervaloξ<t<ξ+T, será lícito integrar, entre los extremos de dicho intervalo, los dos miembrosde [15.21]; entonces, utilizando las expresiones [15.22], nos queda

[15.24]⌡⌠

ξ T

ξ

F(t) dta0

2T

∞

n 1(an 0 bn 0)

de donde se sigue que [15.25]a0

2T ⌡

⌠ξ T

ξ

F(t) dt

Para determinar los coeficientes an, multiplicaremos por cosnωt (n, natural)ambos miembros de [15.21] e integraremos en el intervalo (ξ,ξ+T):

[15.26]⌡⌠

ξ T

ξ

F(t) cos nωt dta0

20 an ⌡

⌠ξ T

ξ

cos2 nωt dt 0 0 anT2

de modo que [15.27]an2T ⌡

⌠ξ T

ξ

F(t) cos nωt dt

y, análogamente, multiplicando ambos miembros de [15.21] por sen nωt e integrando,se obtienen los coeficientes bn:

[15.28]bn2T ⌡

⌠ξ T

ξ

F(t) sen nωt dt

Puesto que todos los términos del desarrollo de Fourier tienen el periodo T, si laserie converge hacia F(t) en el intervalo (ξ,ξ+T) también convergerá hacia F(t) paratodos los valores de t. En consecuencia, la serie de Fourier puede servir pararepresentar funciones definidas sólo en el intervalo (ξ,ξ+T) o definidas para todovalor de t, siempre que la función sea periódica, de periodo T.

El cálculo de los coeficientes de Fourier se simplifica notablemente si ξ=-T/2 yla función F(t) es impar o par en el intervalo (-T/2,T/2).

Una función es impar (Figura 15.3a), en un intervalo centrado en el origen, si entodo ese intervalo es F(t) = -F(-t). Para una función impar, definida en el intervalo(-T/2,T/2), poniendo t′=-t, se tiene


Figura 15.3

[15.29]⌡⌠

T/2

T/2

F(t) dt ⌡⌠

0

T/2

F(t) dt ⌡⌠

T/2

0

F(t) dt

⌡⌠

T/2

0

F(t′) dt′ ⌡⌠

T/2

0

F(t) dt 0

Una función es par (Figura 15.3b), en un intervalo centrado en el origen, si en eseintervalo es F(t) = F(-t). Para una función par se tiene

[15.30]⌡⌠

T/2

T/2

F(t) dt ⌡⌠

0

T/2

F(t) dt ⌡⌠

T/2

0

F(t) dt

⌡⌠

T/2

0

F(t′) dt′ ⌡⌠

T/2

0

F(t) dt 2 ⌡⌠T/2

0

F(t) dt

Si tenemos en cuenta que la función sennωt es impar, que la función cosnωt es

Figura 15.4

par y que el producto de dos funciones impares o de dos funciones pares es par, entanto que el producto de una función impar por una función par es impar, aplicandolos resultados [15.29] y [15.30] a las expresiones [15.27] y [15.28] de los coeficientes deFourier, tenemos:

I) En el caso de que la función F(t) sea impar

[15.31]a0 0 bn4T ⌡

⌠T/2

0

F(t) sen nωt dt

II) En el caso de que la función F(t) sea par

§15.2.- Teorema de Fourier. 435

[15.32]an4T ⌡

⌠T/2

0

F(t) cos nωt dt bn 0

Es decir, las respectivas series de Fourier se reducen a una serie de senos si F(t) esimpar, o de cosenos si F(t) es par. Si F(t) no es ni impar ni par, su serie de Fouriercontendrá términos de ambos tipos. En la Figura 15.3 mostramos un ejemplo defunciones periódicas impar, par y ni-par-ni-impar.

Si la función F(t) está definida tan sólo en medio periodo, esto es, en el intervalo(0,T/2), como se muestra en la Figura 15.4a, cabe desarrollarla como función impar(serie de senos), como se muestra en la Figura 15.4b, o como función par (serie decosenos), como se muestra en la Figura 15.4c.

Ejemplo I.- Función en dientes de sierra.- En la

Figura 15.5

Figura 15.5 mostramos la representación gráfica deuna función en dientes de sierra. Se trata de unafunción impar, puesto que F(t) = -F(-t), cuya expre-sión analítica es:

F(t) 2ATt T

2≤ t ≤ T

2

Puesto que la función F(t) es impar, todos los coefi-cientes an de su serie de Fourier son nulos y lafunción en dientes de sierra es desarrollable en serie de senos. Los coeficientes bn vienen dados por[15.31]:

bn4T ⌡

⌠T/2

0

F(t) sen nωt dt 2ω2Aπ2 ⌡

⌠π/ω

0

t sen nωt dt

2ω2Aπ2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

t cos nωtnω

sen nωtn 2ω2

π/ω

0

2ω2Aπ2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

πnω2

cos nπ 2Anπ

( 1)n 1

donde el factor (-1)n+1 tiene en cuenta que

Figura 15.6

cos nπ⎧⎨⎩

1 si n es par1 si n es impar


El desarrollo en serie de Fourier de la función en dientes de sierra es

F(t) 2Aπ

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

senωt 12

sen2ωt 13

sen3ωt ...

En la Figura 15.6 representamos gráficamente la expansión en serie de Fourier de la función endientes de sierra para 2, 4 y 8 términos del desarrollo, respectivamente. Evidentemente, cuantos mástérminos tomemos, tanto mejor se ajustará la serie de Fourier a la función F(t) que representa.

§15.3. Convergencia de las series de Fourier.- El estudio de la convergenciade la serie de Fourier para una función dada escapa de los propósitos de este libro.Así que nos limitaremos a exponer, sin demostración, las condiciones que son sufi-cientes para las funciones que normalmente aparecen en las aplicaciones prácticas.

(1) La función F(t) deberá estar definida en el intervalo ξ<t<ξ+T.

(2) La función F(t) y su derivada dF(t)/dt deberán ser continuas o casi conti-nuas en el intervalo de definición (Figura 15.7);

es decir, sólo podrán tener un número

Figura 15.7

finito de discontinuidades de primeraespecie (de modo que existan los límitesF(ξi-) por la izquierda y F(ξi+) por la dere-cha), y sólo podrá tener un número finitode máximos y mínimos en dicho intervalode definición.

Si se satisfacen estas condiciones,llamadas condiciones de DIRICHLET

(1805-1859), la serie de Fourier convergehacia F(t) en todos los puntos de continuidad y hacia [F(ξi-)+F(ξi+)]/2 en los puntosde discontinuidad.

§15.4. Fuerzas impulsoras periódicas.- El teorema de Fourier nos permiteresolver, al menos en principio, el problema del oscilador forzado para cualquierfuerza impulsora que varía periódicamente con el tiempo. Bastará desarrollar lafunción F(t), correspondiente a la fuerza impulsora, en serie de Fourier en la forma[15.21]; esto es,

[15.33]F(t)a0

2

∞

n 1

(ancosnωt bnsennωt)

Entonces, la solución de la ecuación diferencial del oscilador forzado conamortiguamiento, en lo que concierne al estado estacionario, se obtiene de [15.19] sinmás que poner ωn=nω; esto es,

[15.34]x(t) ≡ x(t τ) 1m

∞

n 1

ancos(nωt δn) bnsen(nωt δn)

(ω20 n 2ω2)2 4β2n 2ω2

§15.4.- Fuerzas impulsoras periódicas. 437

donde ω=2π/T, siendo T el periodo de la fuerza impulsora, an y bn son loscoeficientes de Fourier correspondientes al desarrollo de F(t) y δn viene dada por

[15.35]δn arctg 2βnωω2

0 n 2ω2

Es evidente que el cálculo de la solución, por este método, será bastante laboriosoen la mayoría de los casos; sin embargo, el simple convencimiento de que talsolución existe puede resultarnos de bastante utilidad.

La solución [15.34] correspondiente al estado estacionario puede escribirse en laforma

[15.36]x(t)∞

n 1

(An cos nωt Bnsen nωt)

con

[15.37]

Anancosδn bnsenδn

m (ω20 n 2ω2)2 4β2n 2ω2

Bnansenδn bncosδn

m (ω20 n 2ω2)2 4β2n 2ω2

donde An y Bn representan, obviamente, los coeficientes de Fourier correspondientesal desarrollo de la función x(t). La solución o respuesta en la elongación correspon-diente al estado estacionario es periódica, con la misma frecuencia fundamental y lasmismas frecuencias armónicas que la fuerza impulsora, aunque no con las mismasamplitudes relativas. Es decir, el espectro de amplitudes relativas correspondiente ala fuerza impulsora no será semejante, en general, al espectro correspondiente a lasamplitudes de los armónicos de la respuesta en elongación. Para comprobar que esasí, téngase en cuenta que la amplitud de cada armónico, de la fuerza impulsora y dela elongación, es

[15.38]cn a 2n b 2

n Cn A 2n B 2

n

y que de [15.37], elevando al cuadrado las expresiones An y Bn y sumando, resulta

[15.39]Cncn

m (ω20 n 2ω2)2 4β2n 2ω2

de modo que la relación entre Cn y cn no es de simple proporcionalidad.En la Figura 15.8a hemos representado los espectros de amplitudes relativas

correspondientes a una fuerza impulsora en dientes de sierra (vide Ejemplo I) y a surespuesta en elongación para un oscilador cuya frecuencia natural sea ω0=2.5ω y unamortiguamiento β=ω0/10. Se observará la falta de proporcionalidad que existe entrelas amplitudes de los armónicos correspondientes de la fuerza impulsora y de la


respuesta en elongación.

Figura 15.8

Una situación crítica, realmente interesante, se presenta cuando alguna de lasfrecuencias de los armónicos de la fuerza impulsora (nω) coincide o está muypróxima a la frecuencia natural del oscilador (Figura 15.8b). Entonces, la amplitud dela respuesta (Cn) correspondiente a dicho armónico será mucho mayor que lasamplitudes de los restantes armónicos, sobre todo si el amortiguamiento es muy débil.En estas condiciones, de [15.35] y [15.39] se sigue

[15.40]δnπ2

Cncn

2mβ nω0

que es la amplitud correspondiente a la resonancia del armónico nω de la fuerzaimpulsora con la frecuencia natural del oscilador débilmente amortiguado2 (β«ω0),que podrá llegar a ser muy grande si el amortiguamiento es muy débil (β→0).

Obsérvese que una fuerza periódica no sinusoidal, cuya frecuencia (fundamental)sea ω0/n (n, natural) puede forzar en el oscilador una oscilación casi sinusoidal(m.a.s.) con su frecuencia natural ω0. Este es el caso, por ejemplo, cuandoempujamos un columpio con una fuerza impulsiva a intervalos regulares de tiempoque sean múltiplos de su periodo natural.

Una generalización del teorema de la serie de Fourier es el Teorema de la Integral de Fourier, quenos permite representar cualquier función no periódica, que cumpla ciertas condiciones, como unasuperposición de funciones armónicas. La diferencia fundamental entre el teorema de la serie de Fouriery el de la integral de Fourier estriba en que en éste, en lugar de representarse la función mediante unespectro discreto de términos armónicos (de frecuencia ω, 2ω, 3ω, ...), se representará mediante unespectro continuo de frecuencias. La amplitud correspondiente a cada frecuencia está dada por una funciónllamada transformada de Fourier de la función dada. Por medio de la serie e integral de Fourier puederesolverse la ecuación diferencial del oscilador para casi todas las fuerzas F(t) físicamente posibles. Noinsistiremos más sobre el tema; nos bastará recordar que aun cuando el cálculo resulte demasiado complejo

2 Al considerarlo débilmente amortiguado no es necesario distinguir entre las frecuencias deresonancia en amplitud y en absorción de potencia.

§15.4.- Fuerzas impulsoras periódicas. 439

en la mayoría de los casos, ya es bastante útil de por sí que sepamos que siempre será posible encontrarla solución.

§15.5. Superposición de dos m.a.s. en una dimensión.- De acuerdo conel principio de superposición, las soluciones de la ecuación diferencial delmovimiento del oscilador [15.1], correspondientes a diferentes fuerzas impulsoras, sonaditivas. Ya hemos visto lo que eso significa y como el teorema de Fourier nospermite resolver el problema del oscilador para cualquier fuerza impulsora periódica.

Vamos a estudiar ahora un problema mucho más sencillo. Nos interesaremos enla respuesta en elongación de un oscilador, en el estado estacionario, que correspondea la acción conjunta de dos fuerzas impulsoras armónicas, cuyas frecuencias serán ω1

y ω2, que actúan en una misma dirección (problema unidimensional). Las respuestasa esas dos fuerzas, por separado, serán

[15.41]

⎧⎪⎨⎪⎩

x1(t) A1sen(ω1t ψ1 )

x2(t) A2sen(ω2t ψ2 )

y la elongación o respuesta resultante de la superposición de esos dos movimientosarmónicos simples será sencillamente

[15.42]x(t) x1(t) x2(t) A1sen(ω1t ψ1 ) A2sen(ω2t ψ2 )

A continuación, discutiremos las características de esa respuesta para tres casos deinterés.

§15.5.a. Frecuencias iguales.- Esto es, ω1=ω2=ω. En este caso, el movimientoresultante es un m.a.s. de la misma frecuencia (ω). Para comprobar que es así,determinaremos su amplitud (A) y su ángulo de fase inicial (ψ) desarrollando lasexpresiones [15.41]

[15.43]

⎧⎪⎨⎪⎩

x1(t) A1sen(ωt ψ1 ) A1senωt cosψ1 A1cosωt senψ1

x2(t) A2sen(ωt ψ2 ) A2senωt cosψ2 A2cosωt senψ2

y sumándolas

[15.44]x (A1cosψ1 A2cosψ2) senωt (A1senψ1 A2senψ2) cosωt

La respuesta resultante será de la forma

[15.45]x A sen(ωt ψ ) A senωt cosψ A cosωt senψ

e identificando las expresiones [15.44] y [15.45] se tiene

[15.46]

⎧⎪⎨⎪⎩

A senψ A1 senψ1 A2 senψ2

A cosψ A1 cosψ1 A2 cosψ2


de donde se sigue

Figura 15.9

[15.47]A 2 A 21 A 2

2 2A1A2cos ψ1 ψ2 tgψA1 senψ1 A2 senψ2

A1 cosψ1 A2 cosψ2

expresiones que nos permiten calcular la amplitud (A) y al ángulo de fase inicial (ψ)del m.a.s. resultante. En la Figura 15.9a hemos representado gráficamente el resultadode sumar dos sinusoides de la misma frecuencia (ω) con un desfase relativoψ1-ψ2=30°.

Podemos llegar al mismo resultado de un modo menos engorroso utilizando larepresentación fasorial del m.a.s.. Representaremos cada m.a.s. componente, x1 y x2,por un fasor (Figura 15.9b); esto es, por un vector rotatorio que gira con velocidadangular constante igual a la frecuencia angular del movimiento armónico simple querepresenta (representación de Fresnel). El fasor resultante de los dos dados, obtenidomediante la regla del paralelogramo, representará la amplitud y la fase inicial delm.a.s. resultante. Obviamente, como los dos fasores componentes tienen la mismafrecuencia angular (ω), ésta será también la del fasor resultante. Por tanto, será

[15.48]x A sen (ωt ψ )

La amplitud A puede calcularse por el teorema del coseno, obteniéndose denuevo la expresión [15.47a]. Podemos obtener el ángulo de fase inicial (ψ) proyectan-do los tres fasores sobre el eje horizontal (real) y vertical (imaginario). Tenemos denuevo las expresiones [15.46], que divididas miembro a miembro nos conducen denuevo a la expresión [15.47b].

Podemos considerar ahora algunos casos particulares interesantes.(1) Si es ψ1=ψ2, decimos que los dos m.a.s. componentes están en fase

(Figura 15.10a). Sus fasores son paralelos y se produce una superposición o interfe-rencia constructiva; la amplitud y la fase inicial del m.a.s. resultante son

]A A1 A2 ψ ψ1 ψ2

(2) Si es ψ1=ψ2 ± π, decimos que los dos m.a.s. componentes están en oposicióno contrafase (Figura 15.10b). Sus fasores son opuestos y se produce una superposicióno interferencia destructiva (parcial o total). Si es A1 > A2 será

§15.5.- Superposición de dos m.a.s. en una dimensión. 441

Figura 15.10

[15.50]A A1 A2 ψ ψ1

esto es, se produce una atenuación en la amplitud de las oscilaciones. En particular,si A1=A2, los dos movimientos se cancelan mutuamente.

(3) Si es ψ1=ψ2 ± π/2, decimos que los dos m.a.s. componentes están en cuadra-tura (Figura 15.10c). Los dos fasores son, en este caso, perpendiculares entre sí, y

tenemos [15.51]A 2 A 21 A 2

2 ψ ψ2 arctgA1

A2

§15.5.b. Frecuencias diferentes.- Consideraremos

Figura 15.11

ahora el caso más general, expresado por [15.41], enel que tenemos dos oscilaciones de amplitudesdiferentes (A1 y A2) y de frecuencias tambiéndiferentes (ω1 y ω2). En una representación fasorial,esta situación corresponde a la de sumar dos vecto-res rotantes que giran con diferente velocidadangular, como se muestra en la Figura 15.11 de modoque el ángulo que forman (o sea, la diferencia de


fase entre ambas oscilaciones) va cambiando continuamente. En estas condiciones,es fácil comprender que carece de significado apreciable la especificación decualquier diferencia de fase inicial (entre los m.a.s. componentes) que sea distinta decero. Así pues, y sin perder generalidad en nuestras valoraciones, podemos escribir

[15.52]x1(t) A1sen ω1t x2(t) A2sen ω2t

El movimiento resultante de la superposición de estos dos m.a.s. ya no es unm.a.s., puesto que el fasor resultante ni tiene módulo constante ni rota uniforme-mente. En cuanto a la "amplitud" del movimiento resultante, se desprende fácilmentede la observación de la Figura 15.11 que

[15.53]A 2 A 21 A 2

2 2A1A2 cos (ω1 ω2)t

de modo que su valor está comprendido entre A1 + A2 (cuando [ω1-ω2]t=2nπ) yA1-A2 (cuando [ω1-ω2]t=(2n+1)π). Se dice que la amplitud está modulada. A

menos que exista una relación sencilla entre ω1 y ω2, el desplazamiento resultanteserá una función complicada del tiempo y quizás no llegue a repetirse nunca. Paraque exista una periodicidad en el movimiento resultante será necesario que losperiodos T1 y T2 sean conmensurables; es decir, que existan dos números naturales,n1 y n2, tales que

[15.54]T n1T1 n2T2

El periodo del movimiento resultante es, entonces, el valor de T obtenido utilizando

Figura 15.12

los valores enteros más pequeños de n1 y n2 que satisfagan dicha relación. Así, porejemplo, si T1=1s y T2=2.5s, entonces T1/T2 = 1/2.5 = 2/5 = n2/n1, y son n1=5 y n2=2,de modo que el periodo del movimiento resultante es T = 5 1 = 2 2.5 = 5 s. En laFigura 15.12a se ilustra el resultado de la combinación de dos m.a.s. de este tipo, conamplitudes A1=2 y A2=3, cuyos "ceros" coinciden en el instante inicial (t=0). En laFigura 15.12b mostramos la misma combinación cuando son los máximos de elongaciónlos que coinciden en el instante inicial (ψ1=ψ2=π/2, en [15.41]). Obsérvese como elaspecto del resultado puede depender marcadamente de la fase inicial de lasoscilaciones que se combinan.

§15.5.- Superposición de dos m.a.s. en una dimensión. 443

§15.5.c. Pulsaciones.- Llamamos pulsaciones o batimientos al resultado de lasuperposición de dos m.a.s. de frecuencias ligeramente diferentes.

Las pulsaciones constituyen un caso particular interesante de la superposición dedos m.a.s. de frecuencias diferentes. Analizaremos más fácilmente el fenómeno si loconsideramos como la superposición de dos m.a.s. de la misma amplitud; esto es

[15.55]x1(t) A sen ω1t x2(t) A sen ω2t

entonces, el movimiento resultante es3

[15.56]

x(t) x1(t) x2(t) A (senω1t senω2t)

2 A cos⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

ω1 ω2

2t sen

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

ω1 ω2

2t

Evidentemente, esta suma, como resultado puramente matemático, puede hacerse para

Figura 15.13

cualesquiera que sean los valores de ω1 y ω2; pero su descripción como unapulsación o batimiento sólo tiene significado si

[15.57]ω1 ω2 ω1 ω2

pues entonces el fenómeno puede describirse como una oscilación armónica "simple"

[15.58]x(t) Aressen ωt

con[15.59]Ares 2A cos

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

ω1 ω2

2t ω

ω1 ω2

2

3 Conviene recordar que .senα senβ 2 sen α β2

cos α β2


cuya frecuencia (ω) es igual al valor medio de las dos frecuencias que se combinan,pero cuya amplitud Ares no permanece constante, sino que varía periódicamente conel tiempo, con una frecuencia mucho menor ([ω1-ω2]/2), de modo que en cada ciclode esta variación están incluidos muchos ciclos (¿cuántos?) de la oscilación básica.En la Figura 15.13 se muestra el resultado de combinar dos oscilaciones armónicassimples, cuyas frecuencias respectivas son 40 Hz y 36 Hz. Puede observarse que laoscilación resultante, cuya frecuencia es (ν1+ν2)/2 = 38 Hz, tiene su amplitudmodulada con una frecuencia que es la diferencia, ν1-ν2 = 4 Hz, entre lasfrecuencias de las oscilaciones que se combinan, de modo que se anulará 4 veces porsegundo. Repárese en que la frecuencia de la pulsación es νp= ν1-ν2 y noν1-ν2 /2, como podría sugerir una primera impresión de la ecuación [15.56].

Es fácil producir pulsaciones acústicas haciendo vibrar dos diapasones idénticos, a uno de loscuales se le haya ajustado una pequeña mordaza en uno de sus brazos a fin de alterar ligeramentela frecuencia natural de sus vibraciones. En este caso, la pulsación se manifiesta comoreforzamientos y debilitamientos periódicos en la intensidad del sonido que percibimos. Se hace usodel fenómeno de las pulsaciones en el proceso de "afinado" de un instrumento musical de cuerdasdobles, como un piano, un laúd, ...; las pulsaciones desaparecen cuando las dos cuerdas dan lamisma nota.

§15.6. Superposición de dos m.a.s. en direcciones perpendiculares.-Vamos a estudiar ahora un problema esencialmente diferente al considerado en losartículos anteriores. Nos vamos a interesar por el resultado de combinar dos m.a.s.,que tienen lugar en direcciones perpendiculares entre sí, de modo que el movimientoreal resultante es un verdadero movimiento bidimensional. Este problema tiene uninterés físico considerable, y su estudio en el contexto de esta lección es adecuadoporque se sirve de las mismas técnicas que hemos utilizado anteriormente para lacombinación de dos m.a.s. en la misma dirección. Las consideraciones que haremospueden generalizarse fácilmente para la superposición de tres m.a.s. en direccionesperpendiculares entre sí; entonces, el movimiento real será tridimensional. Este seráel caso, por ejemplo, de las vibraciones de un átomo ligado elásticamente dentro dela estructura esencialmente tridimensional de una red cristalina.

Limitándonos a la situación bidimensional, podemos considerar tres casos deinterés.

§15.6.a. Frecuencias iguales.- Consideremos una partícula de masa m que se

Figura 15.14

encuentre inicialmente en reposo en una posición P(x0,y0) (Figura 15.14), en un campode fuerzas centrales cuya ley de la fuerza es

[15.60]F kr

donde k es una constante esencialmente positiva (cons-tante elástica). En estas condiciones es fácil comprenderque el movimiento de la partícula será un m.a.s. a lolargo de la recta que une el punto P con el origen O(centro de fuerzas); la frecuencia de las oscilaciones

será ω k/mConsideremos ahora el caso más general en el que

la partícula posea una velocidad inicial (v0) que no tenga

§15.6.- Superposición de dos m.a.s. en direcciones perpendiculares. 445

la misma dirección que la fuerza F (Figura 15.15). En estas

Figura 15.15

condiciones es evidente que la trayectoria de la partículano será rectilínea. Puesto que la fuerza es central, elmovimiento de la partícula deberá estar contenido en elplano definido por los vectores v0 y F, y se cumplirá laley de las áreas. Tomaremos el centro de fuerzas Ocomo origen de un sistema de coordenadas cartesianas(xy), cuyos ejes estén contenidos en el plano en el quetiene lugar el movimiento. Entonces, podemos escribir

[15.61]F kr kx i ky j

de modo que la segunda ley de Newton nos permiteponer

[15.62]kx mx ky my

y las proyecciones de la ec. diferencial del movimiento de la partícula sobre los ejescoordenados son

[15.63]x ω2x 0 y ω2y 0

donde hemos puesto ω2=k/m, como en los artículos anteriores. Las soluciones de estasec. dif. son

[15.64]x A sen(ωt α) y B sen(ωt β)

respectivamente, donde A, B, α y β son cuatro constantes que deberán evaluarse apartir de las condiciones iniciales (x0, y0, x0, y0). Las funciones [15.64] constituyen lasecuaciones paramétricas de la trayectoria y representan dos m.a.s. en direccionesperpendiculares, de la misma frecuencia, pero, en general, con diferentes amplitudesy fases iniciales.

Obtendremos la ecuación algebraica de la trayectoria eliminando el tiempo tentre las dos ecuaciones paramétricas [15.64] del movimiento de la partícula. Poniendoδ=α-β, tenemos

[15.65]x A sen(ωt β δ) A sen(ωt β) cosδ A cos(ωt β) senδ

entonces, teniendo en cuenta que

[15.66]yB

sen(ωt β) ⇒ cos(ωt β) 1 y 2

B 2

expresiones que sustituiremos en [15.65] para obtener

[15.67]xA

yB

cosδ 1 y 2

B 2senδ


Tras reagrupar términos en esta última expresión, elevar al cuadrado sus dosmiembros y reagrupar de nuevo, resulta finalmente

[15.68]x 2

A 2

y 2

B 2

2xyAB

cosδ sen2δ

que es la ecuación de una elipse cuyos ejes principales no coinciden con los ejes

Figura 15.16

coordenados (Figura 15.16a). Puesto que, de acuerdo con [15.64], son -A≤x≤A y -B≤y≤B,la elipse siempre está inscrita en un rectángulo x=±A, y=±B, cualquiera que sea larelación entre los ángulos de fase iniciales (α y β).

La forma de la trayectoria depende del valor del desfase (δ) entre las oscilacionesa lo largo de los ejes x e y.

(1) Si δ=0 (en fase), entonces es senδ=0 y cosδ=1, y la trayectoria generalelíptica degenera en una recta, cuya ecuación es

[15.69]xA

yB

0 ⇒ y BAx

como se indica en la Figura 15.16b. El movimiento resultante es armónico simple, con

una frecuencia ω y una amplitud , ya que el desplazamiento a lo largo deA 2 B 2

la trayectoria rectilínea es

[15.70]r x 2(t) y 2(t) A 2 B 2 sen(ωt α)


(2) Si δ=π (en contrafase), entonces es senδ=0 y cosδ=-1, y la trayectoria elípticadegenera, también, en una recta cuya ecuación es

[15.71]xA

yB

0 ⇒ y BAx

es decir, la trayectoria es una recta de pendiente negativa, como se muestra en laFigura 15.16c. El movimiento es armónico simple como en el caso anterior.

Tanto si δ=0, como si δ=π, la partícula realiza un m.a.s. rectilíneo. La interferen-cia de dos m.a.s. de la misma frecuencia, en fase o en contrafase, da lugar a unapolarización rectilínea.

(3) Si δ=±π/2, esto es, si los dos m.a.s. están en cuadratura, entonces sen2δ=1 ycosδ=0, de modo que la ecuación de la trayectoria es

[15.72]x 2

A 2

y 2

B 21

que es la ecuación de una elipse referida a sus ejes (Figura 15.16d). En el caso de quesea δ= -π/2 (≡3π/2) la elipse se recorre en el sentido horario. Cuando δ= +π/2 laelipse se recorre en el sentido antihorario. En ambos casos tenemos una polarizaciónelíptica.

Si fuese A=B, la elipse se transformaría en una circunferencia, cuya ecuaciónsería

[15.73]x 2 y 2 A 2

Hablamos entonces de polarización circular. El movimiento circular puedeconsiderarse como la combinación de dos m.a.s. en direcciones perpendiculares, dela misma amplitud y frecuencia, en cuadratura.

(4) Cuando δ no cumple ninguna de las condiciones anteriores el movimiento

Figura 15.17

resultante es, como ya hemos visto, elíptico, pero los ejes de la elipse están giradosrespecto a los ejes coordenados. Hablamos de polarización elíptica en este caso.


Puesto que la fuerza F es central, la partícula cumple con la ley de las áreas alrecorrer su trayectoria. Esto es, su velocidad areolar deberá ser constante

[15.74]⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

dSdt

12r ×v C

Al ser r= xi + yj y v = xi + yj, tenemos

[15.75]12r × v 1

2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

x

y

0

×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

x

y

0

12

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

0

0

xy yx

y puesto que [15.76]x ωA cos(ωt α) y ωB cos(ωt β)

resulta

C ⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

dSdt

12

ωAB [ sen(ωt α)cos(ωt β) cos(ωt α)sen(ωt β) ]

[15.77]12

ωAB sen(α β) 12

ωAB senδ

de modo que la velocidad areolar es proporcional al seno del ángulo de desfase(δ=α-β) entre las dos oscilaciones que se combinan. La velocidad areolar serámáxima en la cuadratura (para δ=±π/2, es C = ±ωAB/2) y nula cuando δ=0 o δ=±π,pues entonces la trayectoria es rectilínea.

La expresión [15.77] nos permite determinar el sentido (horario o antihorario) enque se recorre la trayectoria, pues dicho sentido viene dado por el signo de lavelocidad areolar, la cual será positiva (sentido antihorario) si O < δ < π, y seránegativa (sentido horario) si π < δ < 2π . En la Figura 15.17 presentamos, a modo deresumen, el aspecto de la trayectoria para diversos ángulos de desfase.

§15.6.b. Frecuencias ligeramente diferentes.- Consideremos ahora la combinaciónde dos m.a.s. perpendiculares cuyas frecuencias respectivas, ωx y ωy son tales que

[15.78]ωx ω ωy ω

siendo tal que [15.79]ωx ωy

ω ω1

Las ecuaciones de los m.a.s. que se combinan son

[15.80]x A sen(ωxt α) y B sen(ωyt β)

y pueden escribirse en la forma

[15.81]x A sen(ωt t α) y B sen(ωt β)


de modo que llamando y operando como en la sección

Figura 15.18

δ′ t α β t δanterior queda finalmente

[15.82]x 2

A 2

y 2

B 2

2xyAB

cosδ′ sen2δ′

que es como la ec. [15.68], salvo que la diferencia defase δ′ entre los dos m.a.s. perpendiculares es ahorafunción del tiempo. Conforme transcurre el tiempo elángulo δ′ irá aumentando en forma continua, de modoque la partícula móvil irá pasando de una trayectoriaelíptica (eventualmente circular o rectilínea) a otra, sinllegar a cerrarse dichas trayectorias. En la Figura 15.18

mostramos la trayectoria resultante para /ω=0.20; alcabo de un cierto número de "ciclos" la trayectoria secierra y se repite, como el lector comprobará fácil-mente siguiendo las direcciones indicadas en la figura.Si es muy pequeño, el paso de una trayectoria elíptica a otra será muy lento ypodremos ver (en la pantalla de un osciloscopio, por ejemplo) como la trayectoria dela partícula va tomando todas las formas representadas en la Figura 15.17. Si no essuficientemente pequeño, el paso de una trayectoria a otra se hace bruscamente y nopueden distinguirse las elipses sucesivas correspondientes a los valores crecientes deldesfase entre ambos m.a.s..

§15.6.c. Frecuencias diferentes. Figuras de Lissajous.- En el caso general deoscilaciones en dos dimensiones, las frecuencias de los m.a.s. en las direcciones delos ejes x e y serán diferentes, de modo que las ecuaciones de sendos m.a.s. son

[15.83]x A sen(ωxt α) y B sen(ωyt β)

que son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria seguida por la partícula. Latrayectoria no será una elipse (salvo que ωx = ωy), sino que, en el caso general, esuna curva de bello aspecto que recibe el nombre de figura o curva de Lissajous, enhonor de J.A. LISSAJOUS (1822-1880), que hizo un amplio estudio de estos tipos demovimiento. Tales curvas serán cerradas si el movimiento se repite a intervalosregulares de tiempo. Esto sólo será posible si las frecuencias ωx y ωy son conmensu-rables; es decir, si su cociente (ωx/ωy) es racional. Entonces existirán dos númerosnaturales, nx y ny, tales que

[15.84]ωx

ωy

nxny

TyTx

y, obviamente, el periodo del movimiento resultante es el valor de T

[15.85]T nxTx nyTy

obtenido utilizando los valores más pequeños que satisfagan la relación [15.84]

(fracción irreducible).


En efecto, escribiendo las ecuaciones paramétricas de la trayectoria en función de los periodosTx y Ty,

[15.86]x A sen(2π tTx

α) y B sen(2π tTy

β)

se ve que en el instante t=0 la posición de la partícula es

[15.87]x(0) A senα y(0) B senβ

y que al cabo de un tiempo T = nxTx = nyTy la partícula se encuentra en la posición

[15.88]x(T) A sen(2πnx α) A senα y(T) A sen(2πny β) B senβ

de modo que la partícula ha regresado a su posición inicial. Dejamos al cuidado del lectorcomprobar que también se repite la velocidad del partícula; i.e., x(0)=x(T) y y(0)=y(T).

En el caso de que el cociente de frecuencias (o de periodos) no sea una fracciónracional, la trayectoria será abierta y la partícula "nunca" pasará dos veces por unmismo punto del plano con la misma velocidad. Se puede demostrar que, en tal caso,la partícula "llenará" todo el rectángulo [x=±A, y=±B] una vez haya transcurrido untiempo "suficientemente largo".

Es interesante que destaquemos que el oscilador bidimensional es un ejemplo desistema en el que un cambio infinitesimal en los parámetros del movimiento produceuna modificación cualitativa del tipo de movimiento. Así, en tanto que la trayectoriaes cerrada para dos frecuencias conmensurables, un cambio infinitesimal que desvíeel cociente ωx/ωy de ser una fracción racional transformará la trayectoria de cerradaen abierta.

La representación fasorial del m.a.s. nos permite dibujar fácilmente las curvas de

Figura 15.19

Lissajous cuando existe una relación sencilla entre las frecuencias ωx y ωy, de modoque los números nx y ny sean pequeños. En la Figura 15.19 ilustramos los casos ωx/ωy

= 1/2 con δ=α-β=0 y ωx/ωy = 2/3 con δ=60°. El aspecto de las curvas de Lissajouspara una relación de frecuencias dadas, depende fuertemente no sólo de la diferenciade fase δ, sino también de los valores de α y de β.


Figura 15.20


Es fácil averiguar la relación de frecuencias existentes entre los dos m.a.s. quehan originado una determinada curva de Lissajous. Bastará contar el número de inter-secciones de una recta vertical con las ramas de la curva de Lissajous (sea nx elresultado) y hacer lo mismo con una recta horizontal (sea ny el resultado). La relaciónentre ambos números (nx/ny) coincide con la relación entre las frecuencias (ωx/ωy). Unprocedimiento alternativo, más cómodo cuando la curva tiene muchas ramas, consisteen hallar la relación entre el número de puntos de tangencia que tiene la curva condos lados adyacentes del rectángulo en la que está inscrita. El lector deberá buscarla justificación teórica de estos resultados y comprobar su exactitud en las diversascurvas de Lissajous de la Figura 15.20.

Resulta muy fácil y sugestivo4 obtener las curvas de Lissajous aplicandotensiones sinusoidales a las placas de deflexión horizontal y vertical de un oscilosco-pio de rayos catódicos (CRT - Catode Ray Tube).

Problemas

15.1.- Sobre un oscilador amortiguado, carac-terizado por una frecuencia natural ω0 y unparámetro de amortiguamiento β=ω0/3, actúauna fuerza impulsora cuya expresión en fun-ción del tiempo es

F = c1senω0t + c3sen3ω0t

a) Expresar en función del tiempo la elonga-ción del oscilador correspondiente al estadoestacionario. b) ¿Qué valor deberá tener elcociente c3/c1 para que la oscilación forzada defrecuencia 3ω0 tenga la misma amplitud que lade frecuencia ω0?

15.2.- Sean ω0 y β=ω0/4 la frecuencia naturaly el parámetro de amortiguamiento de unoscilador de masa m. Consideremos una fuerzaimpulsora

F(t) a1sen 1

2ω0t a2sen2ω0t

actuando sobre el oscilador. a) Encontrar larespuesta en elongación correspondiente alestado estacionario. b) ¿Qué valor deberá tenerel cociente a2/a1 para que la oscilación forzada

correspondiente a la frecuencia 2ω0 tenga lamisma amplitud que la correspondiente a lafrecuencia ω0/2? Compárese el resultado quese obtuvo en el problema anterior y expliquela diferencia. c) En el supuesto del apartadoanterior, ¿cuál es el valor del cociente<P2>/<P1> entre las potencias transferidas porla fuerza impulsora a cada una de lascomponentes? d) ¿Qué valor deberá tener elcociente a2/a1 para que las potencias absorbi-das por cada componente sean iguales?¿Cuánto valdrá entonces el cociente de ampli-tudes A2/A1?

15.3.- Onda cuadrada.- a) Obtener el desarro-llo en serie de Fourier de la función

F(t)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

h T2

< t < 0

h 0 < t < T2

b) Supongamos que una fuerza periódica deltipo anterior actuase sobre un oscilador cuyo

4 Prácticas de Laboratorio de Física General, del mismo autor.Práctica nº 38.- El Osciloscopio.

Problemas 453

factor de calidad sea Q=10. Determinar losespectros de amplitudes de los armónicoscorrespondientes a la fuerza impulsora y a larespuesta en elongación para: i) ω0 = 4ω yii) ω0 = 5ω.

15.4.- Rectificación de media onda.- a) Obte-ner el desarrollo en serie de Fourier de lafunción:

F(t)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

senωt 0 < t < πω

0 πω

< t < 2πω

b) Determinar los espectros de amplitudes delos armónicos correspondientes a la fuerzaimpulsora F(t) y a la respuesta en elongacióna dicha fuerza de un oscilador cuya frecuencianatural sea ω0=4ω y Q=5.

15.5.- Rectificación de onda completa.-a) Obtener el desarrollo de Fourier de la fun-ción

F(t) A senωt 0 < t < πω

b) Determinar los espectros de amplitudescorrespondientes a la fuerza impulsora F(t) ya la respuesta en elongación a dicha fuerza deun oscilador cuyo factor de calidad es Q = 10y cuya frecuencia natural es: i) ω0 = ω y ii) ω0

= 6ω.

15.6.- Calcular la amplitud y constante de fasedel desplazamiento resultante de la superposi-ción de los m.a.s. x1 y x2, que se dan a conti-nuación y dibujar los diagramas fasorialescorrespondientes:

a) x1= 3 sen(ωt+30°) x2= 4 sen(ωt+45°)

b) x1= 3 sen(ωt+45°) x2= 4 sen(ωt+135°)

c) x1= 2 sen(ωt+60°) x2= 5 cos(ωt-30°)

15.7.- Una partícula está sometida simultánea-mente a tres m.a.s. de la misma frecuencia ydirección, cuyas amplitudes son 3, 4 y 5respectivamente. El segundo m.a.s. estáadelantado un ángulo de fase de 30° respectoal primero, y el tercero lo está 90° respecto alsegundo. Hallar la amplitud del desplazamientoresultante y su fase relativa al primer m.a.s.

15.8.- Calcular la frecuencia y el periodo delmovimiento combinado en cada una de lasoscilaciones siguientes

a) 3 sen(7πt+π/6) - 2 cos(5πt-π/3)

b) 4 sen(4πt-π/4) + 3 sen(3πt+π/6)

c) 3 sen(πt-π/3) + 2 cos(√2t+π/4)

d) 2 sen(50πt) - 2 sen(48πt+π/6)

15.9.- Consideramos la superposición de dososcilaciones armónicas sobre una misma rectacuyas elongaciones vienen dadas por

x1 = A sen 16πt x2 = A cos 12πt

respectivamente. a) Hallar el periodo y la fre-cuencia del batimiento. b) ¿Cuántos ciclos dela oscilación básica están contenidos en cadamódulo del batimiento? c) Dibujar un esquemacuidadoso de la perturbación resultante durantedos periodos del batimiento.

15.10.- Una partícula de 4 unidades de masa semueve en el plano xy bajo la acción de unafuerza conservativa tal que la energía potencialde la partícula es Ep = 2(9x2 + 25y2). En elinstante inicial (t=0) el vector de posición y lavelocidad de la partícula son r0 = 4i + 2j y v0

= 6i + 5j, respectivamente. a) Determinar laposición y la velocidad de la partícula enfunción del tiempo. b) Demostrar que latrayectoria de la partícula está confinada en elinterior de un rectángulo y calcular las dimen-siones de éste. c) ¿Es periódico el movimientode la partícula? En caso afirmativo, calcular elperiodo del movimiento. d) Hacer un esbozode la trayectoria.

15.11.- Repetir el Problema 15.10 para unaenergía potencial dada por Ep = 2(8x2 + 25y2).

15.12.- Medida de desfases I.- Cuando se

Prob. 15.12

aplican dos tensiones alternas, de la mismafrecuencia, pero en general de distintas ampli-tudes y fase inicial, a las placas de deflexiónvertical y horizontal, respectivamente, de unosciloscopio, sobre la pantalla de éste aparece-rá una figura que podrá ser una recta, unacircunferencia o una elipse. El valor del ángulode desfase δ entre ambas tensiones puededeterminarse midiendo sobre la pantalla del


osciloscopio las distancias a y b definidas enla figura adjunta. Demostrar que, entonces,podemos calcular el ángulo de desfase como

δ arcsen ab

15.13.- Medida de desfases II.- Existe un se-

Prob. 15.13

gundo método (aunque no se presta tan biencomo el descrito en el Problema 15.12 a lasmedidas directas) para la medida de ángulos

de desfase entre corrientes alternas de la mis-ma frecuencia sobre la pantalla de un oscilos-copio. Consiste en medir las longitudes D y dde los ejes mayor y menor de la elipse; en-tonces

δ 2 arctg dD

Demostrar esta expresión.

15.14.- El movimiento de una partícula en elplano xy está descrito en función del tiempopor las ecuaciones:

x = A cos ωt y = B cos 2ωt

Demostrar que la trayectoria de la partículaconsiste en un arco de parábola.

15.15.- Dibujar las figuras de Lissajous corres-pondientes a la combinación de las siguientesoscilaciones en direcciones perpendicularesentre sí:

a) x= 3 sen4ωt y= 2 sen(4ωt+30°)

b) x= 3 sen 2t y= 2 sen (3t+30°)

c) x= sen 3πt y= cos(4πt+45°)

d) x= cos 5πt y= cos 3πt

e) x= 2 cos 2t y= 5 cos πt

15.16.- Consideremos la superposición de tresm.a.s. rectilíneos, que tienen lugar en tresdirecciones mutuamente perpendiculares (quetomaremos como ejes x, y, z) y que compartenun mismo origen (oscilador armónico tridi-mensional). Sean ωx, ωy, ωz, las frecuenciasangulares respectivas. a) ¿En qué relacióndeberán encontrarse las frecuencias ωx:ωy:ωzpara que el movimiento resultante sea periódi-co? b) Entonces, ¿cuánto valdrá el periodo delmovimiento?.

Superposición Movimiento Armonico Simple Apuntes y Problemas

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