Finite Element Methode h oherer Ordnung · Finite Element Methode h oherer Ordnung Marie Krause und...

Finite ElementMethodehoherer

Ordnung

Marie Krauseund SylvaRoßberg

FormfunktionenfurquadratischefiniteElemente

Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

Finite Element Methode hoherer OrdnungProjekt

Marie Krause und Sylva Roßberg

17.7.2014

1 / 20


Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

Inhalt

1 Formfunktionen fur quadratische finite Elemente

2 Masse-Matrix

3 Steifigkeits-Matrix

4 Last-Vektor

5 Assemblierung

6 Beispiel

7 Konvergenz

2 / 20


Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

Formfunktionen

N0(λ) = λ1 N1(λ) = λ2 N2(λ) = λ3

N3(λ) = λ2λ3 N4(λ) = λ1λ3 N5(λ) = λ1λ2

mit den baryzentrischen Koordinaten

λ1 =1

2|K |(x − p2) • (p3 − p2)⊥ ∇λ1 =

1

2|K |(p3 − p2)⊥

λ2 =1

2|K |(x − p3) • (p1 − p3)⊥ ∇λ2 =

1

2|K |(p1 − p3)⊥

λ3 =1

2|K |(x − p1) • (p2 − p1)⊥ ∇λ3 =

1

2|K |(p2 − p1)⊥

mit v⊥ =

(−v2

v1

)3 / 20


Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

Vergleich linearer und quadratischerFormfunktionen

0

p1

1

p2

0

p1

1

p2

4 / 20


Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

elemMass

vorher linear:

M = cK |K |

1/6 1/12 1/121/12 1/6 1/121/12 1/12 1/6

jetzt quadratisch:

M = cK |K |

1/6 1/12 1/121/12 1/6 1/121/12 1/12 1/6

1/60 1/30 1/301/30 1/60 1/301/30 1/30 1/60

1/60 1/30 1/301/30 1/60 1/301/30 1/30 1/60

1/90 1/180 1/1801/180 1/90 1/1801/180 1/180 1/90

5 / 20


Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

Herleitung I

Wie im linearen Fall gilt allgemein:

mK (Nj ; Ni ) =

∫K

c(x)Nj(x)Ni (x)dx

Mit Hilfe von

Lemma (4.1)

Fur jedes nicht-degeneriertes Dreieck K und β1, β2, β3 ∈ N:∫Kλβ1

1 λβ22 λ

β33 dx = 2|K | β1!β2!β3!

(β1 + β2 + β3 + 2)!

6 / 20


Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

Herleitung II

Eine Beispielrechnung, konstantes c: (mit Lemma 4.1)

mK (N0; N4) =

∫K

c(x)N0(x)N4(x)dx

= cK

∫Kλ1 · λ1λ3dx

= cK · 2|K | ·2!1!

(2 + 1 + 2)!

= cK |K | ·1

30

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Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

elemStiffness I

Verwenden D-Matrix:

DK =

(y1 − y2 y2 − y0 y0 − y1

x2 − x1 x0 − x2 x1 − x0

)und

GK =1

4|K |D>K DK .

vorher linear:

AK = aKGK =

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

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Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

elemStiffness II

jetzt quadratisch: (mit aK ≡ 1)

AK =

((GK ) −1

3 (GK )−1

3 (GK ) 112 (GK ) + (SK )

)wobei S := spur(GK ) = a11 + a22 + a33 und

SK =

S − 2a11

S − 2a22

S − 2a33

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Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

Herleitung I

Klar fur ersten Block (wie bei linear).

Allgemein:

aij =

∫K∇Nj−1 • ∇Ni−1dx

wieder mit Lemma 4.1

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Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

Herleitung II

Zweiter Block (Beispiel):

a14 =

∫K∇N0 • ∇N3dx =

∫K∇λ1 • ∇(λ2λ3)dx

= ∇λ1

∫K

(∇λ2)λ3 + λ2(∇λ3)dx

= (∇λ1) • (∇λ2)

∫Kλ3dx + (∇λ1) • (∇λ3)

∫Kλ2dx

= 2|K |16

((∇λ1) • (∇λ2 +∇λ3))

=1

3|K |(p3 − p2) • (p2 − p3) = −1

3a11

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Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

Last-Vektor

∫K

f (ξ1, ξ2) dξ =

∫K

f (ξ1(1− ξ2), ξ2)(1− ξ2) dξ

fur K - Referenz Dreieck, K - [0, 1]2

∫K

f (x)N(x) dx =

∫K

|FK | f (ΦK ξ)N(ΦK ξ)(1− ξ2) dξ

wobei

ΦK : ξ 7→ ΦK (ξ1(1− ξ2), ξ2)

= FK (ξ1(1− ξ2), ξ2) + τK

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Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

Duffy-Trick

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Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

edgeMatrix

Wir benotigen mehr Informationen uber das Gitter:Dafur neue Funktion geschrieben[e, eIndex , bN, bE ] = edgeMatrix(p, t)

E × 2 Matrix aller E Kanten mit ihren Knotenindizes

symmetrische, dunn besetzte N × N Matrix(Kanten-Knoten-Korrelation)

Indizes der Randknoten in p

Indizes der Randkanten in e

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Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

Schritt 1: T-Matrix aufbauenTN - Knoten (wie bei linear)TE - Kanten

TK =

((TK )3×N 03×E

03×N (TE )3×E

)Schritt 2: Systemmatrizen- und Vektor aufbauenwie bei linear: (B ist M und A)

B =∑K

T>K BKTK

b =∑K

T>K bK

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Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

Edge-Matrix benotigt fur TK -Matrix

Nullen der Rand-Knoten und Kanten

in = setdiff (1 : N, bN)ie = setdiff (1 : E , bE )i = [in; ie + N]

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Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

Beispiel Dirichlet

u = sin(πx) sin(πy)

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Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

zum Vergleich: lineare FEM


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Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

zum Vergleich: exakte Losung


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Ordnung



Masse-Matrix

Steifigkeits-Matrix

Last-Vektor

Assemblierung

Beispiel

Konvergenz

Konvergenz (Gitterweite)

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