ESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL ...SENDIKMAD 2012 1 ESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL...

SENDIKMAD 2012 1

ESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL DENGAN

MODEL REGRESI LINIER BERGANDA BAYESIAN

Vania Mutiarania, Adi Setiawan

b, Hanna Arini Parhusip

c

a Program Studi Matematika FSM UKSW

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, [email protected] b Program Studi Matematika FSM UKSW

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, [email protected] c Program Studi Matematika FSM UKSW

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, [email protected]

ABSTRAK

Regresi linier berganda merupakan model regresi linier dengan satu variabel dependen dan

lebih dari satu variabel independen. Dalam makalah ini, diambil data SUSENAS (Survey Sosial

Ekonomi Nasional) tahun 2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan sebagai variabel dependen dan

pengeluaran masyarakat Salatiga (pengeluaran untuk konsumsi makanan dan pengeluaran untuk

konsumsi non makanan) sebagai variabel independen dengan sampel 𝑛 = 135. Hubungan antar variabel tersebut membentuk garis lurus yang tidak dapat ditentukan secara tepat dan

membutuhkan taksiran parameter yang dapat dicari menggunakan model regresi linier Bayesian

yaitu dengan merancang rantai Markov dari distribusi posterior (dari model regresi linier Bayesian)

dengan bantuan Gibbs sampling. Sehingga dengan mencari rata-rata dari sebanyak 4500 nilai

Gibbs sampler diperoleh hasil taksiran parameter yaitu 𝜍2 = 0.032, 𝛽0 = 1.44, 𝛽1 = 0.355, dan 𝛽2 = 0.493 dan dihasilkan pula fungsi densitasnya. Dari fungsi densitas tersebut dihasilkan interval kredibel 95% untuk masing-masing taksiran parameter 𝜍2 , 𝛽0 , 𝛽1 , dan 𝛽2 berturut-turut yaitu (0.025, 0.041), (0.596, 2.271), (0.176, 0.543) dan (0.365, 0.621).

Kata Kunci : model regresi linier berganda Bayesian, estimasi parameter, interval kredibel.

ABSTRACT

Multiple linear regression is a linear regression model using one dependent variable and

more than one independent variable. In this paper, data are taken SUSENAS (National Socio-

Economic Survey) from BPS Salatiga in 2011. The income is supposed as the dependent variable

and expenditure of Salatiga society (expenditure for food consumption and non-food consumption

expenditure) as an independent variable with sample size of 𝑛 = 135. The relationship between these variables form a straight line that can not be precisely determined and requires estimates of

parameters using the Bayesian linear regression model. Markov chain design can be constructed

based on the posterior distribution (Bayesian linear regression model) using Gibbs sampling. So by

finding the average of the 4500 of the Gibbs sampler values, point estimation of parameters can be

found i.e. 𝜍2 = 0.032 , 𝛽0 = 1.44 , 𝛽1 = 0.355 , and 𝛽2 = 0.493 and also its density function. Based on the density function can be found 95% credible intervals for each parameter estimates 𝜍2, 𝛽0, 𝛽1, and 𝛽2 respectively are (0.025, 0.041), (0.596, 2.271), (0.176, 0.543) and (0.365, 0.621) .

Keywords : Bayesian multiple linear regression model, parameter estimates, credible intervals.

SENDIKMAD 2012 2

Pendahuluan

Analisis regresi merupakan alat

statistik yang banyak digunakan dalam

berbagai bidang yang bertujuan untuk

mengetahui hubungan antara variabel

dependen dan variabel independen

(Suwarno, 2009). Hubungan antara

variabel dependen dan independen

membentuk garis lurus yang disebut juga

garis regresi yang tidak dapat ditentukan

secara tepat sehingga diperlukan taksiran

parameter untuk model regresi linier.

Untuk memperoleh taksiran parameter

tersebut, biasanya dicari dengan metode

kuadrat terkecil. Namun, ada cara lain

yaitu dengan model regresi linier

Bayesian.

Pada makalah terdahulu

(Mutiarani dkk., 2012) telah dijelaskan

tentang penerapan model regresi linier

Bayesian untuk mengestimasi parameter

dan interval kredibel dengan mengambil

data SUSENAS tahun 2011 yang

diperoleh dari BPS Salatiga yaitu

pendapatan dan pengeluaran masyarakat

Salatiga dengan sampel 𝑛 = 30 . Untuk

mengestimasi parameter garis regresi

dengan model regresi linier Bayesian,

dirancang rantai Markov dari distribusi

posterior yaitu dengan bantuan Gibbs

sampling sebanyak 5000 iterasi dan

diperoleh taksiran parameter yang

merupakan rata-rata dari nilai Gibbs

sampler yaitu 𝜍2 = 0.0057 , 𝛽0 = 2.101

dan 𝛽1 = 0.708 sehingga persamaan

garis regresi dugaan : 𝑦𝑖 = 2.101 +

0.708 𝑥𝑖 dengan 𝑦𝑖 adalah dugaan untuk

pendapatan masyarakat dan 𝑥𝑖 adalah

pengeluaran masyarakat. Dari nilai-nilai

Gibbs sampler yang telah didapatkan,

dihasilkan fungsi densitas untuk masing-

masing parameter sehingga interval

kepercayaan Bayesian (interval kredibel)

95% untuk taksiran parameter 𝜍2 adalah

(0.0034, 0.0097), untuk 𝛽0 yaitu (1.607,

2.601) dan (0.6282, 0.7879) untuk

parameter 𝛽1.

Dalam penelitian ini dilakukan

pengembangan dari makalah sebelumnya

yaitu dengan model regresi linier

berganda. Regresi linier berganda

merupakan model regresi linier dengan

satu variabel dependen dan lebih dari satu

variabel independen. Dalam makalah ini

akan digunakan model regresi linier

berganda dalam konteks Bayesian.

Dengan mengambil data SUSENAS

(Survey Sosial Ekonomi Nasional) tahun

2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan

dan pengeluaran masyarakat Salatiga

(pengeluaran untuk konsumsi makanan

dan pengeluaran untuk konsumsi non

makanan) dengan sampel 𝑛 = 135, akan

dijelaskan bagaimana mengestimasi

parameter dan interval kepercayaan

Bayesian (interval Kredibel) dengan

model regresi linier berganda Bayesian.

SENDIKMAD 2012 3

Dasar Teori

1. Regresi Linier Berganda Bayesian

Dalam statistik, regresi linier

Bayesian merupakan pendekatan untuk

regresi linier dimana analisis statistik

yang dilakukan dalam konteks inferensi

Bayesian (Web 1). Saat model regresi

memiliki error yang berdistribusi normal,

dan jika bentuk khusus dari distribusi

prior diasumsikan, hasil eksplisit tersedia

untuk distribusi probabilitas posterior

dari parameter model.

Analisis regresi linier berganda

adalah pengembangan dari analisis

regresi linier sederhana. Analisis regresi

linier berganda ialah suatu alat analisis

peramalan nilai pengaruh dua atau lebih

variabel independen terhadap variabel

dependen untuk membuktikan ada atau

tidaknya hubungan fungsi atau hubungan

kausal antara dua variabel atau lebih

𝑋1 , 𝑋2, 𝑋3, … , 𝑋𝑛 dengan satu variabel

dependen (Suwarno, 2009).

Persamaan regresi ganda dengan

dua variabel bebas dirumuskan:

𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1𝑖 + 𝛽2𝑥2𝑖 + 𝜀𝑖

dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 dan galat

𝜀𝑖~𝑁(0, 𝜍2).

Fungsi likelihood :

𝑝 𝐲 𝐗, 𝜷, 𝜍2 ∝ 𝜍2 −𝑛/2 exp −1

2𝜍2 𝐲 − 𝐗𝜷 𝑇 𝐲 − 𝐗𝜷 .

dengan 𝐗 = 𝟏 𝑥1𝑖 𝑥2𝑖 ; 𝜷 = 𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽2 T.

1.1. Distribusi Prior Konjugat

Prior konjugat adalah suatu prior

yang jika dikombinasikan dengan fungsi

likelihood akan menghasilkan suatu

posterior dengan distribusi yang sama

dengan distribusi prior (Gelman, 2006).

Dengan 𝜷 = 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2 T , bentuk untuk

prior :

𝑝 𝜷, 𝜍2 = 𝑝 𝜍2 𝑝 𝜷 𝜍2

dengan 𝜍2 berdistribusi Inv −

Gamma(𝑎0, 𝑏0) dengan 𝑎0 = 𝑣0/2 dan

𝑏0 = 𝑣0𝑠02 dengan 𝑣0 = 1 dan 𝑠0

2 = 1 .

Kepadatan prior ditulis sebagai

𝑝 𝜍2 ∝ 𝜍2 − 𝑣0/2+1 exp −𝑣0𝑠0

2

2𝜍2 .

Lebih lanjut, prior bersyarat 𝜷|𝜍2

berdistribusi 𝑁(𝝁0, 𝜍2𝚲0

−1) . Pada

makalah ini, 𝝁0 = 𝛽0(0)

, 𝛽1(0)

, 𝛽2 0

T

=

0, 0, 0 T , 𝚲0 = I dan memiliki kepadatan

prior bersyarat :

𝑝(𝜷|𝜍2) ∝ 𝜍2 −𝑘/2exp −1

2𝜍2 𝜷 − 𝝁0

T𝚲0 𝜷 − 𝝁0

dengan 𝜷 − 𝝁0 T𝚲0 𝜷 − 𝝁0 yang

dijabarkan sebagai berikut :

𝛽0𝛽1𝛽2

−

𝛽0 0

𝛽1 0

𝛽2 0

T

I3×𝟑

𝛽0𝛽1𝛽2

−

𝛽0 0

𝛽1 0

𝛽2 0

= 𝛽0 − 𝛽0 0

, 𝛽1 − 𝛽1 0

, 𝛽2 − 𝛽2 0 I3×𝟑

𝛽0 − 𝛽0 0

𝛽1 − 𝛽1 0

𝛽2 − 𝛽2 0

= 𝛽0− 𝛽

0 0

𝟐+ 𝛽

1− 𝛽

1 0

𝟐+ 𝛽

2− 𝛽

2 0

𝟐

Sehingga kepadatan prior bersyarat

menjadi :

SENDIKMAD 2012 4

𝑝(𝜷|𝜍2) ∝ 𝜍2 −𝑘/2 exp −1

2𝜍2 𝛽0 − 𝛽0

0 𝟐

+ 𝛽1 − 𝛽1 0

𝟐+ 𝛽2 − 𝛽2

0 𝟐

1.2. Distribusi Posterior

Posterior dapat dinyatakan

sebagai distribusi normal dikalikan

dengan distribusi invers-gamma dan

diparameterisasi sebagai berikut :

𝑝(𝜷, 𝜍2|𝐲, 𝐗) ∝ 𝑝(𝜷|𝜍2, 𝐲, 𝐗)𝑝 𝜍2|𝐲, 𝐗

dengan kedua faktor sesuai dengan

kepadatan dari distribusi

𝑁 𝝁𝑛 , 𝜍2 𝐗T𝐗 + 𝚲0

−1 dan

Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛) dengan

parameternya diberikan oleh

𝑎𝑛 =1

2(𝑛 + 𝑣0) , (pada makalah ini

𝑣0 = 1 dan 𝑛 = 135)

𝑏𝑛 = 𝑏0 +1

2(𝐲T𝐲 + 𝝁0

T𝚲0𝝁0 − 𝝁𝑛T𝚲𝑛𝝁𝑛),

𝝁𝑛 = 𝐗T𝐗 + 𝚲0

−1 𝐗T𝐲 + 𝚲0𝝁0 ,

𝚲0 = I.

Pada makalah ini, 𝐗T𝐗 bertipe 3 × 3

sehingga 𝚲0 bertipe 3 × 3 yaitu I3×3.

1.3. MCMC (Markov Chain Monte Carlo)

Salah satu cara untuk merancang

rantai Markov yaitu dari distribusi

posterior dengan

𝑝 𝜍2|𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛) dan

𝑝 𝜷 𝜍2 , 𝐲, 𝐗 ~𝑁 𝝁𝑛 , 𝜍2 𝐗T𝐗 + 𝚲0

−1

yaitu dengan Gibbs Sampling yang

menghasilkan rantai Markov oleh

sampling dari distribusi bersyarat.

Jika 𝜍2~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛), maka :

𝜍2|𝐲, 𝐗~Inv − Gamma 1

2 𝑛 + 𝑣0 , 𝑏0 +

1

2 𝐲T𝐲 + 𝝁0

T𝚲0𝝁0 − 𝝁𝑛T𝚲𝑛𝝁𝑛 (*)

Jika

𝛽0𝛽1𝛽2

~𝑁3

𝜇1𝜇2𝜇3

, Σ11 Σ12Σ21 Σ22

,

(Jennings et al., 2010) maka distribusi

dari 𝛽0 bersyarat pada 𝛽1 0 , 𝛽2

0 :

𝛽0|𝛽1 0 , 𝛽2

0 ~𝑁 𝜇1 + Σ12Σ22−1

𝛽1 0

𝛽2 0

− 𝜇2𝜇3

,

Σ11 − Σ12Σ22−1Σ12

′ . (**)

dengan Σ11 = 𝜍11 , Σ12 = 𝜍12 𝜍13 ,

Σ22 = 𝜍22 𝜍23𝜍23 𝜍33

.

Diberikan 𝜍2 dan vektor 𝜷 yang tidak

diketahui : 𝜷 = 𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽2 T

1. Dipilih nilai awal 𝜍2(0)

, 𝛽0 0 , 𝛽1

0 , 𝛽2 0

.

2. Sampel 𝜍2(1)

dari 𝑝 𝜍2(1)

𝐲, 𝐗

sehingga 𝜍2(1)

|𝐲, 𝐗 memenuhi (*).

Sampel 𝛽0 1

dari

𝑝 𝛽0 1

𝜍2(1)

, 𝛽1 0 , 𝛽2

0 , 𝐲, 𝐗 sehingga

𝛽0 1 |𝜍2

1 , 𝛽1

0 , 𝛽2 0

memenuhi (**).

3. Langkah 2 diulangi sebanyak bilangan

besar B, misalnya 5000 kali.

4. Akhirnya didapatkan sampel dari

𝑝 𝜍2|𝐲, 𝐗 dan 𝑝(𝜷|𝜍2, 𝐲, 𝐗) dalam

bentuk rantai Markov.

1.4. Interval Kredibel (Interval

Kepercayaan Bayesian)

Dalam statistik Bayesian, interval

kredibel 1 − 𝛼 100% merupakan

SENDIKMAD 2012 5

interval di dalam domain dari distribusi

probabilitas posterior yang digunakan

untuk penaksiran interval (Web 2).

Salah satu metode untuk

mengestimasi interval kredibel yang

paling mudah digunakan adalah interval

kredibel dua ekor (Johnson, 2009).

Interval kredibel dua ekor disusun dengan

menemukan kuantil 𝛼/2 dan 1 − 𝛼/2

dengan tingkat signifikansi 𝛼.

Metode Penelitian

Data yang digunakan dalam

penelitian adalah nilai logaritma dari data

SUSENAS (Survey Sosial Ekonomi

Nasional) masyarakat Salatiga tahun

2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan

sebagai variabel dependen 𝐲 terhadap

pengeluaran untuk konsumsi makanan

sebagai variabel independen 𝐗𝟏 dan

pengeluaran untuk konsumsi non

makanan sebagai variabel independen 𝐗𝟐

dengan sampel 𝑛 = 135 . Dalam

melakukan perhitungan, digunakan alat

bantu program WinBUGS 1.4.3.

Langkah-langkah penyelesaian

untuk mengestimasi parameter dan

interval kredibel menggunakan model

regresi linier Bayesian sebagai berikut :

1. Merancang rantai Markov dari

distribusi posterior 𝑝(𝜷, 𝜍2|𝐲, 𝐗) ∝

𝑝 𝜍2|𝐲, 𝐗 𝑝(𝜷|𝜍2, 𝐲, 𝐗) dengan

𝑝 𝜍2|𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛)

dan 𝑝(𝜷|𝜍2, 𝐲, 𝐗)~𝑁(𝝁𝑛 , 𝜍2 𝐗T𝐗 +

𝚲0 −1) yaitu dengan Gibbs Sampling

yang menghasilkan 4 rantai Markov

dengan iterasi sebanyak 5000 yaitu

untuk taksiran parameter 𝜍2 , 𝛽0 , 𝛽1

dan 𝛽2.

2. Taksiran parameter 𝜍2 , 𝛽0 , 𝛽1 dan 𝛽2

diperoleh dengan mencari rata-rata

dari nilai Gibbs sampler.

3. Dari nilai-nilai Gibbs sampler

tersebut, dihasilkan fungsi densitas

untuk 𝜍2 berdistribusi invers-gamma

dan 𝛽0 , 𝛽1 dan 𝛽2 berdistribusi

normal.

4. Mencari interval kredibel 95% untuk

masing-masing taksiran parameter

berdasarkan pada fungsi densitas

dengan tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05.

Hasil dan Pembahasan

Pada Gambar 1 diperlihatkan

diagram pencar untuk data logaritma

pendapatan (𝐲) terhadap data logaritma


(𝐗𝟏 ), sedangkan Gambar 2 merupakan

diagram pencar untuk data logaritma

pendapatan (𝐲) terhadap data logaritma

pengeluaran untuk konsumsi non

makanan (𝐗𝟐).

SENDIKMAD 2012 6

Gambar 1. Diagram Pencar Data

Logaritma Pendapatan (𝐲) Terhadap Data Logaritma Pengeluaran Untuk Konsumsi

Makanan (𝐗𝟏)

Gambar 2. Diagram Pencar Data

Logaritma Pendapatan (𝐲) Terhadap Data Logaritma Pengeluaran

Untuk Konsumsi Non Makanan (𝐗𝟐)

Selanjutnya untuk mendapatkan

estimasi parameter 𝜍2 dan 𝜷 =

𝛽0, 𝛽1, 𝛽2 T dengan model regresi linier

berganda Bayesian, dirancang rantai

Markov dari distribusi posterior

𝑝(𝜷, 𝜍2|𝐲, 𝐗) ∝ 𝑝 𝜍2|𝐲, 𝐗 𝑝(𝜷|𝜍2 , 𝐲, 𝐗)

dengan

𝑝 𝜍2|𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛) dan

𝑝(𝜷|𝜍2 , 𝐲, 𝐗)~𝑁(𝝁𝑛 , 𝜍2 𝐗T𝐗 + 𝚲0

−1)

dengan 𝝁𝑛 = 1.431, 0.355, 0.494 T dan

kovarians

𝜍2 𝐗T𝐗 + 𝚲0 −1 =

0.175 −0.029 0.0001−0.029 0.009 −0.0040.0001 −0.004 0.004

yaitu dengan Gibbs sampling sebanyak

5000 iterasi.

1. Taksiran Parameter 𝜍2 dan Interval

Kredibel 𝜍2

Untuk mendapatkan taksiran

parameter 𝜍2 yang berdistribusi

invers-gamma, dilakukan Gibbs

sampling sebanyak 5000 iterasi

dengan memilih nilai awal 𝜍2 0

= 1.

Kemudian 500 iterasi pertama

dipotong dan diperoleh rantai Markov

yang konvergen pada Gambar 3.

Gambar 3. Rantai Markov untuk

Taksiran Parameter 𝜍2

Diperoleh hasil taksiran parameter

𝜍2 = 0.032 dengan mencari rata-rata

dari 4500 nilai Gibbs sampler. Dari

nilai Gibbs sampler tersebut dihasilkan

fungsi densitas pada Gambar 4

sehingga interval kredibel 95% untuk

taksiran 𝜍2 adalah (0.025, 0.041).

5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.85.4

5.6

5.8

6

6.2

6.4

6.6

6.8

7

4.5 5 5.5 6 6.5 75.4

5.6

5.8

6

6.2

6.4

6.6

6.8

7

SENDIKMAD 2012 7

Gambar 4. Fungsi Densitas Taksiran

Parameter 𝜍2

2. Taksiran Parameter 𝛽0 dan Interval

Kredibel 𝛽0

Dengan memilih nilai awal 𝛽0 0 = 0,

lalu dilakukan Gibbs sampling

sebanyak 5000 iterasi. Setelah

memotong 500 iterasi pertama untuk

taksiran 𝛽0 yang berdistribusi normal,

didapatkan rantai Markov yang

konvergen pada Gambar 5.


Taksiran Parameter 𝛽0

Dengan mencari rata-rata dari 4500

nilai Gibbs sampler yang ada,

diperoleh hasil taksiran 𝛽0 = 1.44 dan

dihasilkan fungsi densitas pada

Gambar 6 sehingga interval kredibel

95% adalah (0.596, 2.271).


Parameter 𝛽0


Kredibel 𝛽1

Untuk memperoleh taksiran parameter

𝛽1 yang berdistribusi normal, dipilih

nilai awal 𝛽1 0 = 0 kemudian dengan

melakukan Gibbs sampling sebanyak

5000 iterasi dan memotong 500 iterasi

pertama, diperoleh rantai Markov

yang konvergen pada Gambar 7.



Dari 4500 nilai Gibbs sampler yang

ada pada Gambar 7 di atas, setelah

dicari rata-ratanya didapat hasil

SENDIKMAD 2012 8

taksiran 𝛽1 = 0.355. Nilai-nilai Gibbs

sampler tersebut menghasilkan fungsi

densitas pada Gambar 8 sehingga

interval kredibel 95% adalah (0.176,

0.543).


Parameter 𝛽1


Kredibel 𝛽2

Dipilih nilai awal untuk 𝛽2 0 = 0 .

Kemudian dilakukan Gibbs sampling

sebanyak 5000 iterasi, dan memotong

500 iterasi pertama sehingga diperoleh

rantai Markov yang konvergen pada

Gambar 9.



Selanjutnya dengan mencari rata-rata

dari 4500 nilai Gibbs sampler yang

ada, diperoleh hasil taksiran 𝛽2 =

0.493 . berdasarkan nilai-nilai Gibbs

sampler tersebut dihasilkan fungsi

densitas pada Gambar 10 dan interval

kredibel 95% (0.365, 0.621).


Parameter 𝛽2

Dengan estimasi parameter yang

telah diperoleh yaitu

𝜷 = 1.44, 0.355, 0.493 T dibentuk

persamaan garis regresi linier berganda

dugaan :

𝑦𝑖 = 1.44 + 0.355 𝑥1𝑖 + 0.493 𝑥2𝑖 .

Gambaran penggunaan:

Dipilih nilai 𝑥1 = 6.15 dan 𝑥2 = 5.96 ,

kemudian nilai-nilai tersebut

disubstitusikan ke dalam persamaan

regresi linier berganda di atas, sehingga

didapatkan hasil dugaan 𝑦 = 6.56 .

Artinya, dalam nilai logaritma, dengan


sebesar 6.15 dan pengeluaran untuk

konsumsi non makanan sebesar 5.96,

dugaan untuk pendapatan sebesar 6.56

atau Rp 3.643.594,183. Sedangkan

SENDIKMAD 2012 9

pendapatan pada data asli sebesar

Rp 3.550.000, sehingga error (galat)

dalam persamaan garis regresi dugaan

pada titik data tersebut yaitu

𝑒 = 𝑦 − 𝑦 = 3550000 − 3643594.183 =

−93594.183 = 93594.183 atau sebesar

2.64 %.

Sebagai perbandingan, dengan program R

2.15.1., diperoleh hasil estimasi sebagai

berikut :

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 1.43890 0.42138 3.415 0.000849 ***

x1 0.35401 0.09423 3.757 0.000257 ***

x2 0.49355 0.06422 7.686 3.08e-12 ***

---

Signif. codes: 0 „***‟ 0.001 „**‟ 0.01 „*‟ 0.05 „.‟ 0.1 „

‟ 1

Jadi, hasil estimasi parameter 𝛽0, 𝛽1, dan

𝛽2 signifikan karena berdasarkan uji t,

nilai p masing-masing parameter lebih

kecil dari tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05.

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan, dengan

mengambil data SUSENAS masyarakat

Salatiga tahun 2011 dari BPS Salatiga

dengan sampel 𝑛 = 135 sebagai

simulasi, dapat disimpulkan bahwa:

1. Dengan merancang rantai Markov dari

distribusi posterior dengan bantuan

Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi,

lalu memotong 500 iterasi pertama

agar tidak mengacaukan hasil taksiran

dan diperoleh hasil taksiran untuk

masing-masing parameter yang tidak

diketahui, yaitu 𝜍2 = 0.032 , 𝛽0 =

1.44, 𝛽1 = 0.355, dan 𝛽2 = 0.493.

2. Dari sebanyak 4500 nilai Gibbs

sampler yang ada, dihasilkan fungsi

densitas untuk taksiran parameter 𝜍2

berdistribusi invers-gamma dan

taksiran parameter 𝛽0 , 𝛽1 , dan 𝛽2

berdistribusi normal. Sehingga dengan

tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05 ,

diperoleh interval kredibel 95% untuk

taksiran parameter 𝜍2 , 𝛽0 , 𝛽1 , dan 𝛽2

berturut-turut yaitu (0.025, 0.041),

(0.596, 2.271), (0.176, 0.543) dan

(0.365, 0.621).

Pustaka

Gelman, A. 2006. Bayesian Analysis.

Department of Statistics and

Department of Political Science :

Columbia University.

Hair, J. F. 2010. Multivariate Data

Analysis Seventh Edition. USA :

Pearson Prentice Hall.

Johnson, M. S. 2009. Introduction to

Bayesian Statistics with

WinBUGS. New York : Columbia

University.

Johnson, R. A. and Wichern, Dean W.

1982. Applied Multivariate

Statistical Analysis. New Jersey :

Prentice Hall.

Mutiarani, V., Setiawan, A., & Parhusip,

H. A. 2012. Penerapan Model

Regresi Linier Bayesian Untuk

Mengestimasi Parameter Dan

Interval Kredibel. Prosiding

Seminar Nasional Matematika

dan Pendidikan Matematika UNY

tanggal 10 November 2012.

Supranto. 2004. Analisis Multivariat: Arti

dan Interpretasi. Jakarta : Rineka

Cipta.

SENDIKMAD 2012 10

Suwarno, B. 2009. Rumus dan Data

dalam Analisis Statistika.

Bandung : Alfabeta.

Widyaningsih, N. 2010. Statistika dan

Probabilitas. Universitas Mercu

Buana : Fakultas Teknik Sipil dan

Perencanaan.

Pustaka Internet

Jennings, R., Wakeman-Linn, M., &

Zhao, Xin. 2010. “Multivariate

Normal Distribution” tersedia di

http://www.colorado.edu/economi

cs/morey/7818/jointdensity/Notes

OnMultivariateNormal/Multivaria

te%20Normal%20Distribution_W

akeman-LinnJenningsZhao.pdf.

Diakses tanggal 12 November

2012.

Web 1 : http://en.wikipedia.org/wiki/

Bayesian_linear_regression

Bayesian Linear Regression

Diunduh pada 28 Agustus 2012

Web 2 : http://en.wikipedia.org/wiki/

Credible_interval

Credible Interval

Diunduh pada 5 September 2012

Wijayanto, A. 2003. “Analisis Regresi

Linear Berganda” tersedia di

http://eprints.undip.ac.id/ANALIS

IS_REGRESI_LINEAR_BERGA

NDA/, Diakses tanggal 21

November 2012.

http://www.colorado.edu/economics/morey/7818/jointdensity/NotesOnMultivariateNormal/Multivariate%20Normal%20Distribution_Wakeman-LinnJenningsZhao.pdfhttp://www.colorado.edu/economics/morey/7818/jointdensity/NotesOnMultivariateNormal/Multivariate%20Normal%20Distribution_Wakeman-LinnJenningsZhao.pdfhttp://www.colorado.edu/economics/morey/7818/jointdensity/NotesOnMultivariateNormal/Multivariate%20Normal%20Distribution_Wakeman-LinnJenningsZhao.pdfhttp://www.colorado.edu/economics/morey/7818/jointdensity/NotesOnMultivariateNormal/Multivariate%20Normal%20Distribution_Wakeman-LinnJenningsZhao.pdfhttp://www.colorado.edu/economics/morey/7818/jointdensity/NotesOnMultivariateNormal/Multivariate%20Normal%20Distribution_Wakeman-LinnJenningsZhao.pdfhttp://en.wikipedia.org/wiki/%20Bayesian_linear_regressionhttp://en.wikipedia.org/wiki/%20Bayesian_linear_regressionhttp://en.wikipedia.org/wiki/%20Bayesian_linear_regressionhttp://en.wikipedia.org/wiki/%20Credible_intervalhttp://en.wikipedia.org/wiki/%20Credible_intervalhttp://en.wikipedia.org/wiki/%20Credible_intervalhttp://eprints.undip.ac.id/ANALISIS_REGRESI_LINEAR_BERGANDA/http://eprints.undip.ac.id/ANALISIS_REGRESI_LINEAR_BERGANDA/http://eprints.undip.ac.id/ANALISIS_REGRESI_LINEAR_BERGANDA/

ESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL ...SENDIKMAD 2012 1 ESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL...

Documents

Transcript of ESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL ...SENDIKMAD 2012 1 ESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL...