PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER...

63
PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY INTEGRATED MOVING AVERAGE DALAM MEMPREDIKSI KECEPATAN ANGIN (Studi Kasus: Kecepatan Angin di Bandara Soekarno Hatta. Periode: 1 Desember 2017 30 November 2018) SKRIPSI Devi Ila Octaviyani 11140940000019 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2019 M / 1440 H

Transcript of PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER...

Page 1: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D

PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

INTEGRATED MOVING AVERAGE DALAM

MEMPREDIKSI KECEPATAN ANGIN

(Studi Kasus: Kecepatan Angin di Bandara Soekarno Hatta.

Periode: 1 Desember 2017 – 30 November 2018)

SKRIPSI

Devi Ila Octaviyani

11140940000019

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2019 M / 1440 H

Page 2: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

i

PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D

PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

INTEGRATED MOVING AVERAGE DALAM

MEMPREDIKSI KECEPATAN ANGIN

(Studi Kasus: Kecepatan Angin di Bandara Soekarno Hatta.

Periode: 1 Desember 2017 – 30 November 2018)

Skripsi

Diajukan kepada

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta

Fakultas Sains dan Teknologi

untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)

Oleh:

Devi Ila Octaviyani

11140940000019

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2019 M / 1440 H

Page 3: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

ii

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI

BENAR-BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH

DIAJUKAN SEBAGAI SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA

PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN.

Jakarta, 14 Agustus 2019

Devi Ila Octaviyani

NIM. 1114094000019

Page 4: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

iii

Page 5: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

iv

PERSEMBAHAN

Page 6: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

v

MOTTO

“Setiap yang berjiwa akan merasakan mati. Dan sesungguhnya akan

disempurnakan pahala kalian pada hari kiamat. Barangsiapa yang

dijauhkan dari neraka dan dimasukkan ke dalam surga, maka ia

benar-benar telah beruntung. Dan kehidupan dunia itu tidak lain

hanyalah kesenangan yang memperdaya”

(QS. Al-Imran : 185)

“Sebaik-baik manusia adalah yang paling bermanfaat bagi manusia”

(HR. Ahmad, ath-Thabrani, ad-Daruqutni)

“ If you want to be happy, make someone else happy. If you want to

find the right person in your life, be the right person. If you want to

see change in the world, become the change you want to see”

(Muniba Mazari)

Page 7: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

vi

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillah, segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas segala

limpahan rahmat serta karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan

penyusunan skripsi dengan judul “Perbandingan Metode Estimasi Parameter 𝑑

Pada Model Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average Dalam

Memprediksi Kecepatan Angin (Studi Kasus: Kecepatan Angin di Bandara

Soekarno Hatta. Periode: 1 Desember 2017 – 30 November 2018)” dapat

terselesaikan dengan baik.

Dalam menyelesaikan skripsi ini, penulis mendapatkan banyak bimbingan,

saran, kerjasama dan bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu, pada kesempatan ini

penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih kepada:

1. Ibu Prof. Dr. Lily Surraya E.P. M.Env.Stud, selaku Dekan Fakultas Sains

dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.

2. Ibu Dr. Suma’inna, M.Si, selaku Ketua program studi Matematika Fakultas

Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

3. Ibu Irma Fauziah, M.Sc, selaku Sekertaris program studi Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta

4. Ibu Dr. Nina Fitriyati, M.Kom, selaku pembimbing I dan Ibu Madona

Wijaya, M.Sc, selaku Pembimbing II, yang sudah membantu mengarahkan

dan memberikan ilmu pengetahuannya selama proses pembuatan skripsi ini.

5. Kedua Orang tua saya yang tidak pernah berhenti memberikan doa, kasih

sayang, semangat, dukungan moril maupun materil sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini dengan baik.

Page 8: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

vii

6. Pak Mahmudi M.Si, selaku Dosen Penguji I dan Dosen program studi

Matematika yang telah memberikan ilmu, saran dan masukan pada penulis.

7. Ibu Nurmaleni M.Si, selaku Dosen Penguji II dan Dosen program studi

Matematika yang telah memberikan ilmu, saran dan masukan pada penulis.

8. Seluruh Bapak dan Ibu Dosen program studi Matematika Fakultas Sains dan

Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta atas semua ilmu pengetahuan

yang telah diberikan.

9. Sahabat-sahabat tercinta yang telah menemani dan memberikan semangat

kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi.

10. Seluruh pihak yang sudah memberikan semangat serta membantu penulis

dalam mengerjakan skripsi ini, tanpa mengurangi rasa hormat dan terima

kasih, penulis tidak dapat menyebutkan satu-persatu.

Akhir kata, penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat, baik

sebagai bahan karya tulis berupa informasi, perbandingan maupun dasar penelitian

lebih lanjut.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak

kekurangan. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat

membangun untuk perbaikan di masa yang akan datang melalui email penulis

[email protected].

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Ciputat, 14 Agustus 2019

Penulis

Page 9: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

viii

Page 10: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

ix

ABSTRAK

Devi Ila Octaviyani, Perbandingan Metode Estimasi Parameter 𝑑 Pada Model

Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average Dalam Memprediksi

Kecepatan Angin (Studi Kasus: Kecepatan Angin di Bandara Soekarno Hatta.

Periode: 1 Desember 2017 – 30 November 2018). Dibawah bimbingan Dr. Nina

Fitriyati, M. Kom dan Madona Wijaya, M.Sc.

Kecepatan angin merupakan salah satu faktor cuaca yang penting dalam proses

pendaratan dan tinggal landas pesawat karena dapat mempengaruhi daya angkat

pesawat. Oleh karena itu, diperlukan suatu model untuk memprakirakan kecepatan

angin di suatu wilayah. Pada skripsi ini, akan dibahas prakiraan kecepatan angin

dengan menggunakan model ARIMA yang memiliki parameter differencing

berupa bilangan pecahan. Model ini disebut model ARFIMA. Pada estimasi

parameter differencing terdapat dua metode yang digunakan pada penelitian ini,

yaitu metode parametrik dan metode semiparametrik. Metode parametrik yang

digunakan adalah Exact Maximum Likelihood(EML). Pada metode semiparamterik

terdapat empat metode yang digunakan diantaranya Geweke and Porter-Hudak

(GPH), Smooth GPH(Sperio), Local Whittle dan Rescale Range(R/S). Hasil analisis

menunjukkan pada kasus ini metode estimasi terbaik adalah GPH dengan model

terpilih adalah ARFIMA(2,0.334,0).

Kata Kunci: ARFIMA, metode parametrik, metode semiparametrik.

Page 11: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

x

ABSTRACT

Devi Ila Octaviyani, The Comparison of Estimation Method d Parameter in the

Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average Model in Predicting Wind

Speed (Case Study: Wind Speed at Soekarno Hatta Airport. Period: 1 December

2017 - 30 November 2018). Under the guidance of Dr. Nina Fitriyati, M. Kom

and Madona Wijaya, M.Sc.

Wind speed is one of the most important weather factors in the landing and takeoff

process of airplane because it can affect the airplane's lift. Therefore, we need a

model to predict the wind speed in an area. In this research, the wind speed forecast

using the ARIMA model is discussed which has differencing parameters in the form

of fractions. This model is called the ARFIMA model. In estimating differencing

parameters two methods are considered, namely parametric and semiparametric.

Exact Maximum Likelihood (EML) is used under parametric method. Meanwhile,

four methods semiparametric estmation are used, i.e Geweke and Porter-Hudak

(GPH), Smooth GPH (Sperio), Local Whittle and Rescale Range (R/S). The result

shows for this case the best estimation method is GPH with the selected model is

ARFIMA (2,0.334,0).

Keyword: ARFIMA, parametric method, semiparametric method.

Page 12: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL.................................................................................................i

PERNYATAAN ...................................................................................................... ii

LEMBAR PENGESAHAN ................................... Error! Bookmark not defined.

PERSEMBAHAN .................................................................................................. iv

MOTTO .................................................................................................................. v

KATA PENGANTAR ........................................................................................... vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ...... Error! Bookmark not defined.

ABSTRAK ............................................................................................................. ix

ABSTRACT ............................................................................................................ x

DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi

DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

1.1. Latar Belakang .......................................................................................... 1

1.2. Perumusan Masalah .................................................................................. 3

1.3. Batasan Masalah ....................................................................................... 3

1.4. Tujuan Penelitian ...................................................................................... 3

1.5. Manfaat Penelitian .................................................................................... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI ............................... 5

2.1. Angin dan Kecepatan Angin ..................................................................... 5

2.2. Data Runtun Waktu................................................................................... 5

2.3. Stasioneritas .............................................................................................. 5

2.4. Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function

(PACF) ...................................................................................................... 6

2.5. Model ARIMA (Box-Jenkins) .................................................................. 7

2.5.1. Model Autoregressive (AR) .............................................................. 7

2.5.2. Model Moving Average (MA) ........................................................... 8

2.5.3. Model Autoregressive Moving Average (ARMA) ............................ 8

2.5.4. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) ......... 8

2.6. Runtun Waktu Jangka Panjang (Long Memory Process) ......................... 9

Page 13: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

xii

2.7. Model ARFIMA........................................................................................ 9

2.7.1. Estimasi Parameter d menggunakan Metode Parametrik................ 11

2.7.2. Estimasi Parameter d menggunakan Metode Semiparametrik........ 12

2.8. Pengujian Diagnostik Model................................................................... 13

2.9. Pemilihan Model Terbaik ....................................................................... 14

2.10. Akurasi Prakiraan.................................................................................... 14

BAB III METODOLOGI PENELITIAN.............................................................. 15

3.1. Metode Pengumpulan Data ..................................................................... 15

3.2. Metode Pengolahan Data ........................................................................ 15

3.3. Alur Penelitian ........................................................................................ 17

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .............................................................. 18

4.1. Deskriptif Data ........................................................................................ 18

4.2. Plot Data dan Uji Kestasioneran ............................................................. 18

4.3. Identifikasi Ketergantungan Jangka Panjang (Long Memory)................ 19

4.4. Pembentukan Model ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) Secara Parametrik ................... 21

4.4.1. Identifikikasi Model ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) .......................................... 21

4.4.2. Estimasi parameter (𝜙, 𝑑, 𝜃) model ARFIMA secara bersama ...... 22

4.5. Pembentukan Model ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) Secara Semiparametrik ........... 25

4.5.1. Estimasi Parameter 𝑑 ...................................................................... 25

4.5.2. Identifikasi Model ........................................................................... 26

4.5.3. Estimasi parameter 𝜙 dan 𝜃 ............................................................ 28

4.6. Diagnostik Model ARFIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) ..................................................... 35

4.7. Uji Validasi Model .................................................................................. 35

4.8. Hasil Prakiraan ........................................................................................ 38

BAB V PENUTUP ................................................................................................ 39

5.1. Kesimpulan ............................................................................................. 39

5.2. Saran ....................................................................................................... 39

REFERENSI ......................................................................................................... 40

LAMPIRAN .......................................................................................................... 43

Page 14: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1. Bentuk transformasi Box-Cox ............................................................... 6

Tabel 2.2. Nilai MAPE.......................................................................................... 14

Tabel 4.1. Deskripsi Data.......................................................................................18

Tabel 4.2. Uji ADF ............................................................................................... 19

Tabel 4.3. Estimasi Parameter ARFIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) Menggunakan Metode Exact

Maximum Likelihood(EML).................................................................................. 23

Tabel 4.4. Nilai AIC Kandidat Model ARFIMA 𝑑𝐸𝑀𝐿 ....................................... 24

Tabel 4.5. Estimasi Parameter d Pada Metode Semiparametrik ........................... 25

Tabel 4.6. Estimasi Parameter ARFIMA 𝑑𝑔𝑝ℎ = 0.334 ..................................... 29

Tabel 4.7. Nilai AIC Model ARFIMA 𝑑𝑔𝑝ℎ = 0.334 ......................................... 30

Tabel 4.8. Estimasi Parameter ARFIMA 𝑑𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359 ................................ 30

Tabel 4.9. Nilai AIC Model ARFIMA dengan 𝑑𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359 ...................... 32

Tabel 4.10. Estimasi Parameter ARFIMA 𝑑𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352 ............................ 32

Tabel 4.11. Nilai AIC Model ARFIMA 𝑑𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352 ............................... 33

Tabel 4.12. Estimasi Parameter ARFIMA 𝑑𝑅/𝑆 = 0.238 ................................... 34

Tabel 4.13. Nilai AIC Model ARFIMA 𝑑𝑅/𝑆 = 0.238. ...................................... 34

Tabel 4.14. Uji Normalitas dan Uji Autokorelasi ................................................. 35

Tabel 4.15. Akurasi Prakiraan Model ARFIMA ................................................... 36

Tabel 4.16. Hasil Prakiraan Nilai Kecepatan Angin ............................................. 38

Page 15: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1. Plot Data Kecepatan Angin .............................................................. 18

Gambar 4.2. Plot Box-Cox untuk Data Kecepatan Angin .................................... 19

Gambar 4.3. Plot ACF Data Transformasi Kecepatan Angin ............................... 20

Gambar 4.4. Plot ACF dan PACF dari data yang telah didifferencing (d=0.397) 22

Gambar 4.5. Plot ACF dan PACF differencing (𝑑𝑔𝑝ℎ = 0.334) ........................ 26

Gambar 4.6. Plot ACF dan PACF differencing (𝑑𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 =0.359) .................... 27

Gambar 4.7. Plot ACF dan PACF differencing (𝑑𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352) ................. 27

Gambar 4.8. Plot ACF dan PACF differencing 𝑑𝑅/𝑆 =0.238 ............................ 28

Gambar 4.9.Hasil Prakiraan Validasi Kecepatan Angin di Bandara Soekarno Hatta

Menggunakan Model ARFIMA(2, 𝑑, 0) dengan 𝑑𝑔𝑝ℎ = 0.334 .......................... 36

Page 16: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Angin merupakan salah satu unsur meteorologi yang memiliki peranan

penting dalam menentukan kondisi cuaca dan iklim di suatu tempat. Di dalam Al-

Qur’an, telah disebutkan beberapa manfaat angin diantaranya sebagai penggerak

kapal layar dan ombak di lautan. Seperti yang tertulis dalam surat Yunus ayat 22

yang artinya sebagai berikut:

Dialah Tuhan yang menjadikan kamu dapat berjalan di daratan (dan

berlayar) di lautan. Sehingga ketika kamu berada di dalam kapal, dan meluncurlah

(kapal) itu membawa mereka (orang-orang yang ada di dalamnya) dengan tiupan

angin yang baik, dan mereka bergembira karenanya; tiba-tiba datanglah badai dan

gelombang menimpanya dari segenap penjuru, dan mereka mengira telah

terkepung (bahaya), maka mereka berdoa dengan tulus dan ikhlas kepada Allah

semata (seraya berkata),”Sekiranya Engkau menyelamatkan kami dari (bahaya)

ini, pasti kami termasuk orang-orang yang bersyukur.”

Manfaat angin dapat diperoleh tergantung dari besar kecepatan angin dan

kondisi geografis suatu wilayah. Kecepatan angin yang memiliki nilai acak dan

tidak dapat dikendalikan sehinga sulit untuk diestimasi. Beberapa penelitian

berupaya untuk mengetahui pengaruh kecepatan angin dalam berbagai aspek

kehidupan dan pentingnya memprediksi kecepatan angin di suatu wilayah seperti

memprediksi kecepatan angin jangka pendek untuk mendapatkan masukan pada

kontroler turbin angin [1]. Selain itu, perlunya memperkirakan kecepatan angin di

landasan pacu bandara saat akan melakukan proses lepas landas dan pendaratan

pesawat. Informasi kecepatan angin di permukaan landasan pacu merupakan salah

satu faktor penting dalam proses lepas landas dan pendaratan pesawat karena dapat

mempengaruhi daya angkat pesawat serta menghindari terjadinya pesawat

tergelincir. Pada umumnya kecepatan angin di suatu landasan pacu pesawat yang

digunakan untuk lepas landas dan pendaratan sebesar 4-10 knot [2]. Apabila

kecepatan angin melebihi 10 knot dapat membahayakan proses lepas landas dan

Page 17: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

2

pendaratan pesawat. Beberapa peneliti menggunakan metode ARIMA Box-Jenkins

untuk memprediksi kecepatan, diantaranya Ulinnuha [3] dan Desvina [4].

Secara umum model ARIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞 ) yang diperkenalkan oleh Box dan

Jenkins [5] dapat memodelkan data yang tidak stasioner, dimana 𝑝 menyatakan

orde dari proses autoregressive (AR), 𝑑 menyatakan pembedaan (differencing),

dan 𝑞 menyatakan orde dari proses moving average (MA). Pada model ARIMA

data yang tidak stasioner menunjukkan plot Autocorrelation Function (ACF) yang

turun lambat secara linier. Orde 𝑑 pada ARIMA ( 𝑝, 𝑑, 𝑞) digunakan untuk

memodelkan kejadian yang tidak stasioner dalam rata-rata, dimana 𝑑 (differencing)

berupa bilangan bulat positif. Untuk d yang berupa bilangan pecahan dapat

menggunakan model ARFIMA [6]. Pada model ARFIMA data runtun waktunya

memiliki sifat ketergantungan jangka panjang (long memory).

Estimasi parameter differencing (𝑑) yang tepat pada model ARFIMA dapat

menghasilkan model yang baik. Metode penaksiran dapat dibagi menjadi dua

kelompok yaitu semiparametrik dan parametrik. Metode pametrik dapat

mengestimasi semua parameter pada model ARFIMA dalam satu tahap yaitu

dengan menggunakan pendekatan parametrik. Metode parametrik yang umum

digunakan adalah Exact Maximum Likelihood (EML) [7]. Sedangkan metode

semiparametrik dilakukan dengan 2 langkah yaitu estimasi 𝑑 terlebih dahulu,

kemudian dilanjutkan dengan estimasi 𝜙 dan 𝜃 [8]. Pada metode semiparametrik

ada beberapa metode estimasi yang banyak digunakan diantaranya yang diusulkan

oleh Geweke dan Porter-Hudak [9], Reisen dan Lopes [10], Kunsch [11] dan

Robinson [12].

Skripsi ini akan membahas mengenai perbandingan metode semiparametrik

dan parametrik dalam mengestimasi parameter differencing (𝑑) pada model

ARFIMA untuk prediksi kecepatan angin di Bandara Soekarno Hatta. Data yang

digunakan adalah data kecepatan angin di Bandara Soekarno Hatta pada tanggal 1

Desember 2017 – 30 November 2018 dalam frekuensi harian. Metode estimasi

parameter differencing (𝑑) yang digunakan untuk semiparametrik adalah Geweke

dan Porter-Hudak (GPH), Smooth GPH (Sperio), R/S dan Local Whittle sedangkan

Page 18: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

3

untuk parametrik metode yang digunakan adalah Exact Maximum Likelihood

(EML).

1.2. Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang dipaparkan di atas, maka rumusan

masalah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana hasil estimasi parameter differencing (𝑑) menggunakan metode

semiparametrik dan parametrik?

2. Apakah model ARFIMA terbaik untuk memprediksi kecepatan angin di

Bandara Soekarno Hatta?

3. Bagaimana hasil prediksi kecepatan angin dalam kurun waktu 14 hari ke

depan?

1.3. Batasan Masalah

Batasan masalah dibuat agar penelitian menjadi lebih terarah, adapun

batasan masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

1. Identifikasi ketergantungan jangka panjang (long memory) pada data

menggunakan plot ACF dan statistik Hurst.

2. Metode estimasi parameter differencing (𝑑) yang digunakan untuk

semiparametrik adalah Geweke and Porter-Hudak (GPH), Smooth GPH

(Sperio), R/S dan Local Whittle. Sedangkan untuk metode parametrik, metode

yang digunakan adalah Exact Maximum Likelihood (EML).

1.4. Tujuan Penelitian

Adapun tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah:

1. Menentukan estimasi parameter differencing (𝑑) menggunakan metode

semiparametrik dan parametrik untuk data kecepatan angin di Bandara

Soekarno Hatta.

2. Menentukan model ARFIMA terbaik untuk memprediksi kecepatan angin di

Bandara Soekarno Hatta.

3. Menentukan hasil prediksi kecepatan angin di Bandara Soekarno Hatta dalam

kurun waktu 14 hari ke depan.

Page 19: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

4

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini adalah:

1. Menambah wawasan serta pengetahuan mengenai penerapan model ARFIMA.

2. Diharapkan dapat memberikan informasi dan masukan bagi lingkungan

setempat khususnya untuk penerbangan pesawat kemudian hari.

Page 20: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

5

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI

2.1. Angin dan Kecepatan Angin

Angin merupakan udara yang bergerak akibat adanya rotasi bumi dan juga

karena adanya perbedaan tekanan udara dengan arah aliran angin dari tempat yang

memiliki tekanan tinggi ke tempat yang bertekanan rendah atau dari daerah yang

memiliki suhu atau temperatur rendah ke wilayah bersuhu tinggi [13]. Kecepatan

angin adalah jarak tempuh angin atau pergerakan udara per satuan waktu dan

dinyatakan dalam satuan meter per detik (m/s), kilometer per jam (km/jam), dan

mil per jam (mi/jam). Satuan mil per jam disebut juga knot (kn) [13].

2.2. Data Runtun Waktu

Data runtun waktu adalah barisan data yang tergantung pada waktu dari

observasi suatu variabel yang diamati [5]. Data dikumpulkan secara periodik

bedasarkan urutan waktu bisa dalam jam, hari, minggu, bulan, kuartal dan tahun.

Analisis deret waktu dapat dilakukan untuk membantu perencanaan ke depan.

2.3. Stasioneritas

Dalam membuat sebuah kesimpulan berdasarkan data runtun waktu, asumsi

terpenting yang harus dipenuhi adalah stasioneritas [14]. Uji akar unit digunakan

sebagai pengujian stasioneritas data, yakni dengan melihat apakah terdapat akar

unit di dalam model atau tidak. Uji yang biasa digunakan adalah uji Augmented

Dickey–Fuller (ADF). Hipotesis yang digunakan dalam uji ADF adalah [15]:

𝐻0: �̂� = 0 (Terdapat akar unit sehingga data tidak stasioner)

𝐻1: �̂� < 0 (Tidak terdapat akar unit sehingga data stasioner)

Statistik uji yang digunakan dalam uji ADF adalah:

𝑨𝑫𝑭 𝒕𝒆𝒔𝒕 =�̂�

𝒔𝒆(𝜷)̂ , (2. 1)

dengan, �̂� = estimasi least square dari 𝛽, 𝑠𝑒(𝛽)̂ = standar error dari estimasi least

square dari 𝛽 (koefisien standar error dari model). Kriteria pengujian berdasarkan

uji ADF adalah jika 𝐴𝐷𝐹 𝑡𝑒𝑠𝑡 ≤ 𝑡(𝑛−1,𝛼) atau 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 maka 𝐻0 ditolak.

Page 21: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

6

Selain itu, dalam pemodelan data runtun waktu sering ditemukan kondisi

dengan mean tidak stasioner, sehingga diperlukan suatu cara untuk

menstasionerkan data yaitu dengan cara pembedaan (differencing) atau biasa ditulis

(1 − 𝐵)𝑑. Pembedaan ini dilakukan agar dapat mengatasi korelasi antara

𝑌𝑡 dengan 𝑌𝑡 − 𝑘, dengan k yang cukup besar. Pada memori jangka pendek,

pembedaan dilakukan dengan d bernilai bilangan bulat, sedangkan pada memori

jangka panjang, pembedaan dilakukan dengan d bernilai bilangan riil.

Apabila data belum stasioner dalam variansi, maka dilakukan transformasi

data. Metode transformasi yang terkenal adalah transformasi Box-Cox. Secara

umum, transformasi Box-Cox dapat dituliskan sebagai berikut [5]:

𝐓(𝐘𝐭) =

𝐘𝐭𝛌 − 𝟏

𝛌 , −𝟏 ≤ 𝝀 ≤ 𝟏 . (2. 2)

Tabel 2.1. menunjukkan beberapa nilai lambda yang biasa digunakan dan

transformasi terkaitnya [5].

Tabel 2.1. Bentuk transformasi Box-Cox

Nilai 𝜆 Transformasi yang sesuai

-1,0 1/𝑌𝑡

-0,5 1/√𝑌𝑡

0 ln (𝑌𝑡)

0,5 √𝑌𝑡

1 𝑌𝑡

2.4. Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function

(PACF)

Dalam metode runtun waktu, salah satu alat untuk mengidentifikasi model

dari data yang akan diprediksi adalah:

1. Autocorrelation Function (ACF)

ACF adalah fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi antara

pengamatan pada waktu 𝑡 dengan pengamatan pada waktu 𝑡 − 𝑘. Koefisien

korelasi antara 𝑦𝑡 dan 𝑦𝑡−𝑘 disebut autokorelasi lag- 𝑘 dan umumnya

dilambangkan dengan 𝜌𝑘 [16]. Korelasi antara 𝑦𝑡 dan 𝑦𝑡−𝑘 dapat dicari

dengan:

Page 22: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

7

𝝆𝒌 =

𝑪𝒐𝒗(𝒚𝒕, 𝒚𝒕−𝒌)

√𝑽𝒂𝒓(𝒚𝒕)𝑽𝒂𝒓(𝒚𝒕−𝒌)=

𝑪𝒐𝒗(𝒚𝒕, 𝒚𝒕−𝒌)

𝑽𝒂𝒓(𝒚𝒕)=

𝜸𝒌

𝜸𝟎 ′ (2. 3)

dengan 𝑽𝒂𝒓(𝒚𝒕) = 𝑽𝒂𝒓(𝒚𝒕−𝒌) = 𝜸𝟎 . Sebagai fungsi dari 𝒌 , 𝜸𝒌 disebut

fungsi autokovarian dan 𝝆𝒌 adalah fungsi autokorelasi (ACF) pada lag k.

Autokorelasi sampel pada lag k adalah:

�̂�𝒌 =

∑ (𝒚𝒕 − �̅�)(𝒚𝒕−𝒌 − �̅�)𝑻𝒕=𝒌+𝟏

∑ (𝒚𝒕 − �̅�)𝟐𝑻𝒕=𝟏

, 𝟎 ≤ 𝒌 < 𝑻 − 𝟏 , (2. 4)

dengan rata-rata sampel �̅� =1

𝑇∑ 𝑦𝑡

𝑇𝑡=1 , T adalah jumlah data, dan 𝑦𝑡 adalah

data pada waktu ke t.

2. Partial Autocorrelation Function (PACF)

PACF didefinisikan sebagai korelasi antara 𝑦𝑡 dan 𝑦𝑡−𝑘 setelah

menghilangkan efek atau keterkaitan linier antara y yang terletak diantara 𝑦𝑡

dan 𝑦𝑡−𝑘 tersebut [16]. PACF dapat ditulis sebagai berikut:

𝝓𝒌𝒌 = 𝑪𝒐𝒓𝒓(𝒚𝒕, 𝒚𝒕−𝒌|𝒚𝒕−𝟏, … , 𝒚𝒕−(𝒌−𝟏)) =𝝆𝒌 − ∑ 𝝓𝒌−𝟏,𝒋

𝒌−𝟏𝒋=𝟏 𝝆𝒌−𝒋

𝟏 − ∑ 𝝓𝒌−𝟏,𝒋𝒌−𝟏𝒋=𝟏 𝝆𝒋

, (2. 5)

dengan 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑘 − 1.

2.5. Model ARIMA (Box-Jenkins)

Model Box-Jenkins merupakan salah satu teknik prakiraan model runtun

waktu yang hanya berdasarkan perilaku data variabel yang diamati. Model Box-

Jenkins ini terdiri dari beberapa model yaitu: Autoregressive (AR), Moving Average

(MA), Autoregressive–Moving Average (ARMA), dan Autoregressive Integrated

Moving Average (ARIMA). Model Box-Jenkins ini secara teknis dikenal sebagai

Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) [5].

2.5.1. Model Autoregressive (AR)

Model AR menunjukkan nilai prakiraan variabel dependen 𝑌𝑡 hanya

merupakan fungsi linier dari sejumlah 𝑌𝑡 aktual sebelumnya. Misalnya nilai

variabel dependen 𝑌𝑡 hanya dipengaruhi oleh nilai variabel tersebut satu periode

sebelumnya atau kelambanan pertama maka model tersebut disebut model

Page 23: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

8

autoregresif orde pertama atau disingkat AR(1) [5]. Model AR dapat berjenjang

0, 1, 2, . . . , 𝑝. Bentuk umum model AR dengan orde 𝑝 yaitu AR(p) dinyatakan

sebagai berikut [5]:

𝒚𝒕 = 𝝓𝟏𝒚𝒕−𝟏 + 𝝓𝟐𝒚𝒕−𝟐 + ⋯ + 𝝓𝒑𝒚𝒕−𝒑 + 𝒆𝒕, (2. 6)

dengan 𝜙𝑝: Parameter AR orde ke 𝑝, dan 𝑒𝑡 : Residual pada saat 𝑡 dan bersifat

white noise.

2.5.2. Model Moving Average (MA)

Model MA ini menyatakan bahwa nilai prakiraan variabel dependen 𝑌𝑡 hanya

dipengaruhi oleh nilai residual periode sebelumnya. Misal jika nilai variabel

dependen 𝑌𝑡 hanya dipengaruhi oleh nilai residual periode sebelumnya maka

disebut dengan model MA orde pertama atau disingkat dengan MA(1) [5]. Bentuk

umum model MA dengan orde 𝑞 yaitu MA(𝑞) dinyatakan sebagai berikut:

𝒚𝒕 = 𝒆𝒕 − 𝜽𝟏𝒆𝒕−𝟏 − 𝜽𝟐𝒆𝒕−𝟐 − ⋯ − 𝜽𝒒𝒆𝒕−𝒒, (2. 7)

dengan 𝜃𝑞 : parameter MA orde ke q dan 𝑒𝑡−𝑞 : residual pada saat t ̶ q.

2.5.3. Model Autoregressive Moving Average (ARMA)

Seringkali perilaku suatu data runtun waktu dapat dijelaskan dengan baik

melalui penggabungan antara model AR dan model MA. Model gabungan ini

disebut Autoregressive Moving Average (ARMA) [5]. Secara umum bentuk model

dari ARMA(𝑝, 𝑞) yaitu:

𝒚𝒕 = 𝝓𝟏𝒚𝒕−𝟏 + 𝝓𝟐𝒚𝒕−𝟐 + ⋯ + 𝝓𝒑𝒚𝒕−𝒑 + 𝒆𝒕 − 𝜽𝟏𝒆𝒕−𝟏 − 𝜽𝟐𝒆𝒕−𝟐 − ⋯ − 𝜽𝒒𝒆𝒕−𝒒. (2. 8)

2.5.4. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Model AR(𝑝), MA(𝑞) dan ARMA(𝑝, 𝑞) sebelumnya mensyaratkan bahwa

data runtun waktu yang diamati mempunyai sifat stasioner. Namun dalam

kenyataannya data runtun waktu seringkali tidak stasioner namun stasioner pada

proses diferensi. Model dengan data yang stasioner melalui proses diferensi ini

disebut model ARIMA, jika data stasioner pada proses diferensi 𝑑 kali maka

modelnya ARIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) dengan 𝑝 adalah orde dari AR, 𝑑 orde diferensi dan 𝑞

merupakan orde dari MA [5]. Bentuk umum model ARIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) adalah [5]:

𝝓𝒑(𝑩)(𝟏 − 𝑩)𝒅𝒀𝒕 = 𝜽𝒒(𝑩)𝒆𝒕, (2. 9)

Page 24: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

9

dengan

𝜙𝑝(𝐵): persamaan polinomial AR dengan orde p, dengan

𝜙𝑝(𝐵) = (1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2−. . −𝜙𝑝𝐵𝑝),

𝜃𝑞(𝐵): persamaan polinomial MA dengan orde q, dengan

𝜃𝑞(𝐵) = (1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2−. . −𝜃𝑞𝐵𝑞).

2.6. Runtun Waktu Jangka Panjang (Long Memory Process)

Runtun waktu yang dikatakan sebagai proses yang memiliki memori jangka

panjang yaitu bila fungsi autokorelasi turun menuju nol dengan sangat lambat

sehingga menunjukkan bahwa pengamatan yang jauh terpisah masih saling

berhubungan [17]. Selain itu kondisi ketergantungan jangka panjang pada data

dapat dilihat berdasarkan nilai Hurst(H) yang diperoleh dengan menggunakan

statistik R/S [17]. Nilai Hurst ditentukan dengan menetukan rata-rata �̅� =

1

𝑇∑ 𝑦𝑡

𝑇𝑡=1 , adjusted mean 𝑦𝑡

𝑎𝑑𝑗= 𝑦𝑡 − �̅�, deviasi kumulatif 𝑦𝑡

∗ = ∑ 𝑦𝑡𝑎𝑑𝑗𝑇

𝑡=1 ,

rentang deviasi kumulatif 𝑅𝑡 = max(𝑦1∗, 𝑦2

∗, … , 𝑦𝑡∗) − min(𝑦1

∗, 𝑦2∗, … , 𝑦𝑡

∗) dan

standar deviasi 𝑠𝑡 = √1

𝑇∑ (𝑦𝑡 − �̅�)2𝑇

𝑡=1 dari data runtun waktu, dengan 𝑡 =

1,2, … 𝑇. Kemudian nilai Hurst(H) dapat diperoleh dengan :

𝑯 =𝐥𝐨𝐠(𝑹/𝑺)𝒕

𝐥𝐨𝐠 (𝒕), (2. 10)

dengan nilai Hurst(H) harus memenuhi salah satu kriteria berikut:

𝐻 = 0.5 menunjukan data runtun waktu bersifat acak, 0 < 𝐻 < 0.5 menunjukan

data runtun waktu jangka pendek, dan 0.5 < 𝐻 < 1 menujukan data runtun waktu

jangka panjang.

2.7. Model ARFIMA

Runtun waktu jangka panjang pertama kali diperkenalkan oleh Hurst [9].

Pada umumnya data runtun waktu jangka panjang memiliki korelasi yang tinggi

antar pengamatan yang jauh tepisah, sehinggga cenderung stasioner terhadap mean.

Hal ini yang menyebabkan parameter 𝑑 bernilai sangat kecil. Model Autoregressive

Fractionally Integrated Moving Average (ARFIMA) adalah model yang paling

Page 25: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

10

cocok untuk runtun waktu jangka panjang seperti yang telah dikembangkan oleh

Granger dan Joyeux [10], serta Hoskings [8]. Model ARFIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) dapat

ditulis sebagai berikut [18]:

𝝓𝒑(𝑩)(𝟏 − 𝑩)𝒅𝒀𝒕 = 𝜽𝒒(𝑩)𝒆𝒕 , (2. 11)

dengan {𝑒𝑡} adalah white noise, 𝜙𝑝(𝐵) adalah persamaan polinomial orde 𝑝, dan

𝜃𝑞(𝐵) adalah persamaan polinomial orde 𝑞 , dan (1 − 𝐵)𝑑 adalah operator

fractional difference.

Model ARFIMA merupakan pengembangan dari model ARIMA. Model

ARFIMA dapat mengatasi kelemahan model ARIMA, dimana ARIMA hanya dapat

menjelaskan data jangka pendek dengan differencing (𝑑) bernilai bilangan bulat.

Moulines dan Soulier [19] mengatakan bahwa model ARFIMA merupakan model

terbaik yang dapat menjelaskan data deret waktu baik berupa data jangka pendek

maupun jangka panjang dengan differencing (𝑑) benilai bilangan riil.

Ketika memodelkan runtun waktu memori jangka panjang, model ARFIMA

memberikan hasil yang tidak dapat diperoleh dengan model tak fraksional ARIMA.

Parameter pembedaan fraksional menangkap adanya fenomena jangka panjang

tanpa menimbulkan masalah-masalah yang berkaitan dengan model ARMA.

Menurut Sowell [7], masalah yang mungkin muncul dalam memodelkan time series

jangka panjang dengan ARMA antara lain.

1. Dengan menggunakan model ARMA untuk menangkap fenomena jangka

panjang (long memory), apabila parameter AR atau MA mampu menangkap

fenomena jangka panjang maka pendekatan untuk jangka pendek akan

terabaikan. Sebagai contoh, dengan parameter AR(1) tidak mungkin dapat

memodelkan korelasi yang tinggi pada siklus sepuluh tahunan.

2. Sebaliknya, jika dugaan akan adanya fenomena jangka panjang pada deret

diabaikan untuk mendapatkan model yang lebih baik untuk fenomena jangka

pendek, maka tidak ada cara yang tepat dalam menggambarkan parameter AR

dan MA untuk menggambarkan karakteristik jangka panjang pada deret,

walaupun sebenarnya peneliti menemukan fenomena jangka panjang pada deret.

Page 26: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

11

Fractional Differencing

Operator diferensi fraksional pada model ARFIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) menurut Hoskings

merupakan perluasan dari binomial yaitu sebagai berikut [20]:

𝛁𝒅 = (𝟏 − 𝑩)𝒅 = ∑ (𝒅𝒋

)∞𝒋=𝟏 (−𝟏)𝒋𝑩𝒋 , (2. 12)

dengan (𝑑𝑗

) =𝑑!

(𝑑−𝑗)!𝑗!=

Γ(𝑑+1)

Γ(𝑗+1)Γ(𝑑−𝑗+1) .

𝐵 merupakan backward shift operator, Γ(𝑥) merupakan fungsi gamma. Beberapa

karakteristik deret fractionally integrated [21] untuk berbagai nilai 𝑑, yaitu:

a. Jika 𝑑 = 0 , maka proses menunjukkan fungsi autokorelasi turun secara

eksponensial dengan proses ARMA,

b. Jika 𝑑 ∈ (0 , 0.5), maka proses berkorelasi panjang stasioner dengan adanya

ketergantungan positif antar pengamatan yang terpisah jauh yang ditunjukkan

dengan autokorelasi positif dan turun lambat serta mempunyai representasi

moving average orde tak hingga.

c. Jika 𝑑 ∈ (−0.5 , 0), maka proses berkorelasi panjang stasioner dengan memiliki

ketergantungan negatif yang ditandai dengan autokorelasi negatif dan turun

lambat serta mempunyai representasi autoregressive orde tak hingga.

d. Jika |𝑑| ≥ 0.5, maka proses panjang tidak stasioner.

Keuntungan yang didapat jika menggunakan model ARFIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞)

menurut Sowell [7] sebagai berikut:

1. Mampu memodelkan perubahan yang tinggi dalam jangka panjang (long term

persistence).

2. Mampu menjelaskan struktur korelasi jangka panjang dan jangka pendek

sekaligus.

3. Mampu memberikan model dengan parameter yang lebih sederhana (parsimony)

baik untuk data dengan memori jangka panjang maupun jangka pendek.

2.7.1. Estimasi Parameter d menggunakan Metode Parametrik

Metode parametrik dapat mengestimasi semua parameter pada model

ARFIMA dalam satu tahap [22]. Dalam penelitian ini, metode parametrik yang

digunakan adalah Metode Exact Maximum Likelihood (EML) yang diperkenalkan

oleh Sowell (1992). Metode ini menggunakan prinsip fungsi likelihood untuk

Page 27: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

12

menduga parameter 𝑑, 𝜙, dan 𝜃 pada model ARFIMA. Diberikan bentuk umum

model ARFIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) sebagai berikut:

(1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2 − ⋯ − 𝜙𝑝𝐵𝑝)(1 − 𝐵)𝑑(𝑍𝑡 − 𝜇) = (1 + 𝜃1𝐵 + 𝜃2𝐵2 + ⋯ + 𝜃𝑞𝐵𝑞)𝑒𝑡 ,

𝑒𝑡 =(1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2 − ⋯ − 𝜙𝑝𝐵𝑝)(1 − 𝐵)𝑑(𝑍𝑡 − 𝜇)

(1 + 𝜃1𝐵 + 𝜃2𝐵2 + ⋯ + 𝜃𝑞𝐵𝑞),

dengan 𝑒𝑡~𝑁(0, 𝜎2), fungsi kepekatan peluang dari 𝑒 = (𝑒1, 𝑒2, . . , 𝑒𝑛)

didefinisikan sebagai berikut:

𝑃(𝑒|𝑑, 𝜙, 𝜇, 𝜃, 𝜎𝑒2) = (2𝜋𝜎𝑒

2)−𝑛2 exp [−

1

2𝜎𝑒2

∑ 𝑒𝑡2

𝑛

𝑡=1],

Kita dapat menuliskan fungsi likelihood dari parameter (𝑑, 𝜙, 𝜇, 𝜃, 𝜎𝑒2) yaitu:

𝐥𝐧 𝑳(𝒅, 𝝓, 𝝁, 𝜽, 𝝈𝒆𝟐)

= −𝒏

𝟐𝐥𝐧(𝟐𝝅𝝈𝒆

𝟐)

−𝟏

𝟐𝝈𝒆𝟐

∑ ((𝟏 − 𝝓𝟏𝑩 − 𝝓𝟐𝑩𝟐 − ⋯ − 𝝓𝒑𝑩𝒑)(𝟏 − 𝑩)𝒅(𝒁𝒕 − 𝝁)

(𝟏 + 𝜽𝟏𝑩 + 𝜽𝟐𝑩𝟐 + ⋯ + 𝜽𝒒𝑩𝒒))

𝟐𝒏

𝒕=𝟏.

(2. 13)

Nilai pendugaan 𝑑, 𝜙, 𝜇, 𝜃 diperoleh ketika memaksimumkan persamaan (2.12)

yang kemudian disebut sebagai pendugaan maximum likelihood [5].

2.7.2. Estimasi Parameter d menggunakan Metode Semiparametrik

Metode estimasi semiparametrik melalui dua tahap yaitu, pertama estimasi

parameter differencing (𝑑) dan kedua estimasi parameter AR dan MA [22]. Metode

estimasi semiparametrik yang paling populer dan banyak digunakan adalah metode

estimasi Geweke dan Porter-Hudak (GPH). Metode GPH ini dilakukan dengan

membentuk persamaan spectral density function atau persamaan spektral model

ARFIMA menjadi persamaan regresi spektral (𝑓(𝜔)) dengan log-periodogram

sebagai variable tak bebasnya dan barisan autokovarians 𝛾𝑘 merupakan pasangan

Transformasi Fourier:

𝐥𝐧|𝑰(𝝎𝒋)| = 𝛃𝟎 + 𝜷𝟏𝒍𝒏[𝟒 𝐬𝐢𝐧𝟐(𝝎𝒋𝟐)] + 𝒗𝒋, (2. 14)

dengan 𝜔𝑗 =2𝜋𝑗

𝑇, 𝑗 = 1,2, . . , 𝑚.

Estimasi dari d adalah �̂�1, 𝜔𝑗 mewakili 𝑚 = √𝑇 frekuensi Fourier dan 𝐼(𝜔𝑗)

menunjukkan periodogram sampel yang didefinisikan sebagai:

Page 28: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

13

𝐼(𝜔𝑗) =1

2𝜋𝑇|∑ 𝑦𝑡𝑒−𝜔𝑗𝑡

𝑇

𝑡=1|

2

.

Langkah kedua dari metode estimasi GPH adalah pembentukan model ARMA pada

data dengan menggunakan metode Box-Jenkins setelah diperoleh estimasi

parameter 𝑑 dari metode GPH (�̂�𝑔𝑝ℎ).

Metode semiparametrik selanjutnya adalah metode Sperio yang

diperkenalkan oleh Reisen dan Lopes(1999) yang merupakan modifikasi dari

metode GPH dengan mengganti periodogram dengan estimasi spectral density yang

dihaluskan. Reisen dan Lopes (1999) mengusulkan untuk menggunakan estimasi

tipe Blackman-Tukey dari spectral density [23]:

𝒇𝒎(𝒙) =𝟏

𝟐𝝅∑ 𝒌 (

𝒔

𝒎) �̂�𝒎

𝒔=−𝒎 (𝒔)𝐜𝐨𝐬 (𝒔𝒙) . (2. 15)

Untuk selanjutnya, estimasi periodogram yang dihaluskan dilambangkan dengan

�̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 . Metode semiparametrik berikutnya adalah estimasi Local Whittle yang

juga sering digunakan untuk estimasi parameter 𝑑 . Estimasi ini diusulkan oleh

Kuensch (1987) dan dimodifikasi oleh Robinson (1995). Estimasi Local Whittle

parameter 𝑑, dinotasikan dengan �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 diperoleh dengan memaksimalkan

kemungkinan log Local Whittle pada frekuensi Fourier mendekati nol [24]:

𝜞(𝒅) = −𝟏

𝟐𝝅𝒎∑ 𝒇(𝝎𝒋; 𝒅)

𝒎

𝒋=𝟏. (2. 16)

Metode semiparametrik terakhir yaitu estimasi Rescaled Range Statistic (R/S)

atau disebut juga uji statistik Hurst. Selain digunakan untuk melihat indikasi

ketergantungan jangka panjang pada data runtun waktu statistik Rescaled Range

dapat digunakan untuk estimasi parameter d dengan persamaan:

𝒅 = 𝑯 − 𝟎. 𝟓. (2. 17)

2.8. Pengujian Diagnostik Model

Setelah berhasil mengestimasi nilai-nilai parameter dari model ARFIMA

yang ditetapkan sementara, selanjutnya perlu dilakukan pemeriksaan diagnostik

untuk membuktikan bahwa model tersebut cukup memadai dan menentukan model

mana yang terbaik digunakan untuk prakiraan [25]. Pemeriksaan diagnostik ini

dapat dilakukan dengan mengamati apakah residual dari model terestimasi

Page 29: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

14

merupakan proses white noise atau tidak. Salah satu cara pemeriksaan yang mudah

adalah dengan menggunakan uji yang mampu menetapkan apakah sekumpulan

autokorelasi secara keseluruhan menunjukkan berbeda dari nol yang disebut dengan

uji Statistik Ljung Box-Pierce [5] dan untuk uji kenormalan residual menggunakan

uji Jarque-Bera [16].

2.9. Pemilihan Model Terbaik

Menurut [16] pemilihan model terbaik dapat dilihat dari nilai AIC (Akaike

Information Criterion) yang didefinisikan sebagai berikut:

𝑨𝑰𝑪 = −𝟐 𝐥𝐨𝐠(𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒖𝒎 𝒍𝒊𝒌𝒆𝒍𝒊𝒉𝒐𝒐𝒅) + 𝟐𝒌. (2. 18)

Di mana 𝑘 = 𝑝 + 𝑞 + 1 jika model memiliki intercept dan 𝑘 = 𝑝 + 𝑞 jika model

tidak memiliki intercept [16].

2.10. Akurasi Prakiraan

Dalam analisis runtun waktu, sering kali data dibagi menjadi dua bagian yang

disebut data in sample, yakni data-data yang digunakan untuk membentuk model

dengan langkah-langkah pemodelan, dan data out sample, yakni bagian data yang

digunakan untuk memvalidasi keakuratan prakiraan dari model terbaik yang

diperoleh berdasarkan data in sample. Model yang baik tentunya diharapkan

merupakan model terbaik untuk penyuaian (fitting) data in sample dan sekaligus

model yang baik untuk prakiraan dalam data out sample. Beberapa ukuran kriteria

akurasi salah satunya adalah Mean Absolute Percentage Error (MAPE) [15].

𝑴𝑨𝑷𝑬 =𝟏

𝑵∑ |

𝒀𝒕−𝒀�̂�

𝒀𝒕|𝑵

𝒕=𝟏 × 𝟏𝟎𝟎, (2. 19)

dengan 𝑌𝑡 adalah data aktual dan 𝑌�̂� data prakiraan, dan N adalah banyak data. Tabel

2.2 di bawah ini menjelaskan makna dari nilai MAPE [15].

Tabel 2.2. Nilai MAPE

MAPE Makna

< 10 % Kemampuan proyeksi sangat baik

10 % - 20 % Kemampuan proyeksi baik

20 % - 50% Kemampuan proyeksi cukup baik

> 50% Kemampuan proyeksi buruk

Page 30: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

15

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1. Metode Pengumpulan Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder kecepatan

angin di Bandara Soekarno Hatta dalam frekuensi harian dari 1 Desember 2017

hingga 30 November 2018 yang berasal dari website NNDC Climate Data Online

[26]. Untuk tujuan penelitian data dibagi menjadi 2 yaitu data in sample yang

digunakan untuk pembentukan model ditetapkan dari tanggal 1 Desember 2017

hingga 18 September 2018 dan data out sample yang digunakan untuk menguji

validitas model terpilih ditetapkan dari tanggal 19 September 2018 hingga 30

November 2018.

3.2. Metode Pengolahan Data

Penelitian ini menggunakan software R dan Excel dalam pengolahan data.

Langkah-langkah analisis yang digunakan adalah sebagai berikut:

1. Menyiapkan data yang akan digunakan dan teliti.

2. Plot data awal dan lihat statistika deskriptifnya untuk melihat gambaran awal

dari data.

3. Mengecek kestasioneran data dengan melihat plot data awal serta uji Box-

Cox, apabila data tidak stasioner terhadap variansi maka harus dilakukan

transformasi data. Kemudian dilakukan uji ADF untuk melihat kestasioneran

dalam rataan, apabila sudah stasioner maka dapat diketahui estimasi

parameter |𝑑| < 0.5 jika tidak stasioner maka |𝑑| ≥ 0.5 dengan 𝑑 bernilai

riil.

4. Identifikasi indikasi ketergantungan jangka panjang pada data dengan

melihat plot ACF. Jika pola plot ACF berbentuk hiperbolik, maka terdapat

indikasi ketergantungan jangka panjang. Selain itu dapat dilakukan uji

statistik Hurst (2.10) untuk melihat indikasi ketergantungan jangka panjang

pada data.

5. Pada pembentukan model ARFIMA dibedakan menjadi dua yaitu secara

parametrik dan semiparametrik.

Page 31: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

16

a) Pada pembentukan model menggunakan metode parametrik,

identifikasi kandidat model ARFIMA dilakukan berdasarkan plot ACF

dan PACF data yang telah didifferencing. Nilai differencing (d)

sementara diperoleh dengan menetapkan parameter model

ARFIMA (0, 𝑑, 0). Selanjutnya, estimasi parameter 𝜙, 𝑑, 𝜃 pada

kandidat model ARFIMA secara bersama dengan menggunakan

metode Exact Maximum Likelihood (EML). Model ARFIMA yang

akan digunakan pada tahap selanjutnya adalah model yang memiliki

parameter yang signifikan dan nilai AIC terkecil.

b) Pada pembentukan model ARFIMA menggunakan metode

semiparametrik, menetapkan estimasi parameter d terlebih dahulu

dengan menggunakan metode metode Geweke and Porter-Hudak

(GPH), Smooth GPH (Sperio), Local Whittle dan R/S. Selanjutnya, plot

ACF dan PACF data yang telah didifferencing sesuai nilai d yang telah

diperoleh oleh masing-masing metode. Kemudian estimasi paremeter

𝜙 dan 𝜃 pada kandidat model ARFIMA. Model ARFIMA yang akan

digunakan pada tahap selanjutnya dari masing-masing metode adalah

model yang memiliki parameter yang signifikan dan nilai AIC terkecil.

6. Uji diagnostik kandidat model ARFIMA meliputi uji asumsi nilai residual

autokorelasi dan berdistribusi normal. Pengujian residual model

berdistribusi normal atau tidak dapat dilakukan dengan menggunakan uji

Jarque-Bera sedangkan uji autokorelasi menggunakan uji Ljung-Box.

7. Melakukan validasi dan prakiraan dengan menggunakan model yang

memenuhi asumsi.

8. Melihat akurasi berdasarkan nilai MAPE dari masing-masing model.

9. Model yang memiliki nilai MAPE terkecil merupakan model terbaik dan

memiliki metode estimasi parameter 𝑑 terpilih untuk data tersebut.

Page 32: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

17

3.3. Alur Penelitian

Tidak

Ya

Mulai

Input Data

Plot Data

Apakah data

stasioner terhadap

variansi ?

Identifikasi ketergantungan

jangka panjang

Transformasi

Box-Cox

Apakah uji

diagnostik model

terpenuhi?

Validasi dan

prakiraan dari

model ARFIMA

Pemilihan model

terbaik dengan

MAPE terkecil

Selesai

Tidak

Uji ADF

Ya

Estimasi parameter φ dan θ pada model ARFIMA

parametrik semiparametrik

Estimasi d

Identifikasi kandidat Model

ARFIMA orde p dan q

menggunakan plot ACF dan PACF

data telah didifferencing

Estimasi parameter φ,d dan θ pada model ARFIMA

secara bersama

Tidak

Menentukan model terpilih

yang memiliki nilai AIC

terkecil

Menentukan model terpilih

dari masing-masing

metode yang memiliki

nilai AIC terkecil

Estimasi d

Identifikasi kandidat Model

ARFIMA orde p dan q

menggunakan plot ACF dan PACF

data telah didifferencing

Page 33: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

18

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Deskriptif Data

Deskriptif data dilakukan guna melihat karakteristik atau gambaran umum

dari data yang akan diolah tanpa bermaksud membuat kesimpulan yang berlaku

umum. Sebanyak 292 data digunakan untuk pembentukan model dan 73 data

digunakan untuk menguji validitas dari model terpilih. Berikut ini deskripsi dari

292 data yang akan digunakan dalam pemodelan di penelitian ini.

Tabel 4.1. Deskripsi Data

Variabel Rata-rata Standar

Deviasi

Nilai

Minimum

Nilai

Maksimum

Kecepatan

Angin 5.993 1.841 3.4 12.6

Berdasarkan Tabel 4.1 menunjukkan bahwa data kecepatan angin periode

harian 1 Desember 2017 sampai 18 September 2018 memiliki nilai rata-rata

5.993. Nilai standar deviasi yaitu 1.841 sehingga nilai variannya adalah 3.389.

Nilai minimum 3.4 dan nilai maksimum 12.6, maka dapat diketahui data memiliki

range yang cukup jauh yaitu 9.2.

4.2. Plot Data dan Uji Kestasioneran

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah membuat plot runtun waktu

data kecepatan angin yang disajikan pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1. Plot Data Kecepatan Angin

Page 34: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

19

Selanjutnya menguji stasioneritas data. Plot runtun waktu data kecepatan

angin pada Gambar 4.1 mengindikasikan bahwa data kecepatan angin tidak

stasioner dalam variansi karena fluktuasi data yang cenderung berubah dan tidak

konstan. Untuk memperkuat dugaan tersebut dilakukan transformasi Box-Cox. Plot

Box-Cox data kecepatan angin disajikan dalam Gambar 4.2. Pada Gambar 4.2

terlihat bahwa rounded value-nya belum bernilai 1, serta rentang lower dan upper-

nya belum bernilai 1. Berdasarkan nilai lambda-nya, maka data perlu

ditransformasi dengan menggunakan transformasi akar dari 𝑌𝑡 (√𝑌𝑡).

Gambar 4.2. Plot Box-Cox untuk Data Kecepatan Angin

Selanjutnya uji kestasioneran dalam rataan menggunakan uji ADF. Pada

Tabel 4.2 menunjukkan bahwa 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 artinya 𝐻0 tidak diterima sehingga

dapat disimpulkan bahwa data stasioner dalam rataan. Selain itu dapat diketahui

nilai estimasi parameter |𝑑| < 0.5.

Tabel 4.2. Uji ADF

Uji p-value

Uji Augmented Dickey-Fuller 0.01

4.3. Identifikasi Ketergantungan Jangka Panjang (Long Memory)

Selanjutnya untuk mengetahui apakah data memenuhi asumsi, yaitu data

mengandung runtun waktu jangka panjang adalah dengan melakukan pengujian

ketergantungan jangka panjang. Pengujian ketergantungan jangka panjang terdiri

dari dua cara, yaitu melihat plot ACF-nya dan perhitungan nilai Hurst (H). Jika plot

ACF data tidak turun secara eksponensial melainkan turun lambat atau hiperbolik

Page 35: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

20

maka dapat dikatakan data runtun waktu mengandung ketergantungan jangka

panjang. Dari hasil plot ACF data transformasi kecepatan angin pada Gambar 4.3

menunjukan fungsi autokorelasinya (ACF) turun secara lambat atau hiperbolik

yang mengidentifikasikan data tersebut memiliki ketergantungan jangka panjang.

Selanjutnya, untuk mengidentifikasikan adanya ketergantungan jangka panjang

dapat juga dilakukan dengan perhitungan nilai Hurst (H).

Gambar 4.3. Plot ACF Data Transformasi Kecepatan Angin

Digunakan metode rescaled range statistics (R/S) dengan langkah-langkah

sebagai berikut:

1. Menghitung nilai rata-rata data (mean)

�̅� =1

292∑ 𝑦𝑡

292

𝑡=1= 5.993.

2. Menghitung adjusted mean

𝑦1𝑎𝑑𝑗

= 𝑦1 − �̅� = 10.6 − 5.993 = 4.607,

𝑦2𝑎𝑑𝑗

= 𝑦2 − �̅� = 11.6 − 5.993 = 5.607, ⋮

𝑦292𝑎𝑑𝑗

= 𝑦292 − �̅� = 5.2 − 5.993 = −0.793. 3. Menghitung deviasi kumulatif

𝑦1∗ = ∑ 𝑦𝑡

𝑎𝑑𝑗1𝑡=1 = 4.607,

𝑦2∗ = ∑ 𝑦𝑡

𝑎𝑑𝑗2𝑡=1 = 4.607 + 5.607 = 10.214,

𝑦292∗ = ∑ 𝑦𝑡

𝑎𝑑𝑗292𝑡=1 = 4.607 + 5.607 + ⋯ + (−0.793) = −0.0001.

4. Menghitung rentang dari deviasi kumulatif

Page 36: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

21

𝑅292 = max(𝑦1∗, 𝑦2

∗, … , 𝑦292∗ ) − min(𝑦1

∗, 𝑦2∗, … , 𝑦292

∗ ),

= 118.934 − (−0.769) = 119.703.

5. Menghitung standar deviasi

𝑠1 = √1 ∑ (𝑦𝑡 − �̅�)21𝑡=1 = 4.607,

𝑠2 = √1

2∑ (𝑦𝑡 − �̅�)22

𝑡=1 = 5.131,

𝑠292 = √1

292∑ (𝑦𝑡 − �̅�)2292

𝑡=1 = 1.838.

Kemudian diperoleh nilai Hurst (H) yaitu:

𝐻 =log(𝑅/𝑆)𝑡

log (𝑡)= 0.738.

artinya data transformasi kecepatan angin memiliki sifat ketergantungan jangka

panjang.

4.4. Pembentukan Model ARFIMA(𝒑, 𝒅, 𝒒) Secara Parametrik

Pada pembentukan model menggunakan metode parametrik, identifikasi

kandidat model ARFIMA dilakukan berdasarkan plot ACF dan PACF data yang

telah didifferencing(𝑑). Nilai 𝑑 sementara diperoleh dengan menetapkan parameter

model ARFIMA(0, 𝑑, 0). Selanjutnya, estimasi parameter 𝜙, 𝑑, 𝜃 secara bersama

kandidat model ARFIMA dengan menggunakan metode Exact Maximum

Likelihood (EML). Model ARFIMA yang memiliki parameter signifikan dan

memiliki nilai AIC terkecil akan dilanjutkan ke tahap selanjutnya.

4.4.1. Identifikikasi Model ARFIMA(𝒑, 𝒅, 𝒒)

Dengan menggunakan bantuan software R diperoleh nilai 𝑑 sementara yaitu

𝑑 = 0.397 dengan 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.045 . Pada Gambar 4.4 merupakan plot

ACF dan PACF dari data yang telah didifferencing dengan 𝑑 = 0.397 yang akan

digunakan untuk mengidentifikasikan kandidat model. Identifikasi model

ditentukan dengan melihat lag yang terdapat cut-off dari plot ACF dan PACF yang

Page 37: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

22

dihasilkan. Contohnya, apabila pada plot ACF terdapat cut-off hanya pada lag ke-7

maka penulisan modelnya adalah (0,0, [7]).

Dari Gambar 4.4 terlihat bahwa terdapat cut-off pada plot ACF di lag ke-2

dan 7 sedangkan pada plot PACF terdapat cut-off di lag ke-2 dan 7. Kandidat model

ARFIMA yang mungkin terbentuk dari plot ACF dan PACF yaitu

ARFIMA(2, 𝑑, 0), ARFIMA([7], 𝑑, 0), ARFIMA([2,7], 𝑑, 0), ARFIMA(0, 𝑑, 2),

ARFIMA (0, 𝑑, [7]), ARFIMA (0, 𝑑, [2,7]), ARFIMA (2, 𝑑, 2),

ARFIMA ([7], 𝑑, [2]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, [2]), ARFIMA ([2], 𝑑, [7]),

ARFIMA ([7], 𝑑, [7]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 7), ARFIMA ([2], 𝑑, [2,7]),

ARFIMA([2,7], 𝑑, [2,7]) dengan 𝑑 = 0.397.

Gambar 4.4. Plot ACF dan PACF dari data yang telah didifferencing (d=0.397)

4.4.2. Estimasi parameter (𝝓, 𝒅, 𝜽) model ARFIMA secara bersama

Tahap selanjutnya, estimasi parameter 𝜙, 𝑑, 𝜃 secara bersama pada kandidat

model yang telah diperoleh dengan menggunakan metode Exact Maximum

Likelihood (EML). Untuk mengetahui apakah parameter yang diperoleh signifikan

atau tidak dapat dilihat dengan cara membagi hasil estimasi parameter dengan

standar errornya. Apabila hasil pembagian tersebut kurang dari −1.96 dan lebih

dari 1.96 maka parameter tersebut dikatakan signifikan.

Pada Tabel 4.3 merupakan hasil estimasi parameter 𝜙, 𝑑, dan 𝜃 dari beberapa

kandidat model yang telah diperoleh menggunakan metode Exact Maximum

Likelihood (EML). Terlihat estimasi parameter 𝑑 yang diperoleh berada di antara

0 < 𝑑 < 0.5 berarti proses berkorelasi panjang stasioner dengan adanya

ketergantungan positif antar pengamatan yang terpisah jauh yang ditunjukkan

dengan autokorelasi positif dan turun lambat serta mempunyai representasi moving

Page 38: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

23

average orde tak hingga. Dari 14 model yang terdapat pada Tabel 4.3 menunjukkan

model ARFIMA (2, 𝑑, 0), ARFIMA (0, 𝑑, 2), ARFIMA ([2,7], 𝑑, [2]),

ARFIMA ([7], 𝑑, [7]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 7), ARFIMA ([2], 𝑑, [2,7]),

ARFIMA([2,7], 𝑑, [2,7]) memiliki parameter yang tidak signifikan.

Tabel 4.3. Estimasi Parameter ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) Menggunakan Metode

Exact Maximum Likelihood(EML)

No. Model

ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) Parameter

Estimasi

Parameter

Standar

Error Signifikan

1 (2, 𝑑, 0)

𝜙1 0.082 0.089 Tidak

𝜙2 -0.148 0.066 Ya

𝑑 0.399 0.070 Ya

2 ([7], 𝑑, 0) 𝜙7 -0.132 0.059 Ya

𝑑 0.409 0.043 Ya

3 ([2,7], 𝑑, 0)

𝜙2 -0.160 0.061 Ya

𝜙7 -0.125 0.058 Ya

𝑑 0.450 0.039 Ya

4 (0, 𝑑, 2)

𝜃1 -0.089 0.112 Tidak

𝜃2 0.112 0.077 Tidak

𝑑 0.385 0.088 Ya

5 (0, 𝑑, [7]) 𝜃7 0.132 0.060 Ya

𝑑 0.410 0.043 Ya

6 (0, 𝑑, [2,7])

𝜃2 0.139 0.058 Ya

𝜃7 0.126 0.061 Ya

𝑑 0.450 0.040 Ya

7 (2, 𝑑, 2)

𝜙1 0.540 0.204 Ya

𝜙2 -0.796 0.116 Ya

𝜃1 0.541 0.265 Ya

𝜃2 -0.671 0.151 Ya

𝑑 0.439 0.055 Ya

8 ([7], 𝑑, [2])

𝜙7 -0.126 0.059 Ya

𝜃2 0.142 0.059 Ya

𝑑 0.449 0.040 Ya

9 ([2,7], 𝑑, [2])

𝜙2 -0.261 0.215 Tidak

𝜙7 -0.120 0.059 Ya

𝜃2 -0.105 0.217 Tidak

𝑑 0.447 0.040 Ya

10 ([2], 𝑑, [7]) 𝜙2 -0.161 0.061 Ya

Page 39: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

24

𝜃7 0.128 0.060 Ya

𝑑 0.452 0.039 Ya

11 ([7], 𝑑, [7])

𝜙7 -0.443 0.722 Tidak

𝜃7 -0.323 0.769 Tidak

𝑑 0.406 0.044 Ya

12 ([2,7], 𝑑, 7)

𝜙2 -0.159 0.062 Ya

𝜙7 -0.150 0.449 Tidak

𝜃7 -0.026 0.466 Tidak

𝑑 0.449 0.040 Ya

13 ([2], 𝑑, [2,7])

𝜙2 -0.331 0.209 Tidak

𝜃2 -0.172 0.211 Tidak

𝜃7 0.125 0.059 Ya

𝑑 0.448 0.040 Ya

14 ([2,7], 𝑑, [2,7])

𝜙2 -0.432 0.232 Tidak

𝜙7 0.227 0.369 Tidak

𝜃2 -0.277 0.242 Tidak

𝜃7 0.348 0.359 Tidak

𝑑 0.447 0.040 Ya

Model ARFIMA ([7], 0.409,0), ARFIMA ([2,7], 0.45,0),

ARFIMA (0,0.41, [7]), ARFIMA (0,0.45, [2,7]), ARFIMA (2,0.439,2),

ARFIMA ([7], 0.449, [2]), dan ARFIMA ([2], 0.452, [7]) seluruh parameternya

signifikan sehingga perlunya membandingkan nilai AIC dari masing-masing model

untuk memilih kandidat model yang akan digunakan ke tahap selanjutnya.

Tabel 4.4. Nilai AIC Kandidat Model ARFIMA �̂�𝐸𝑀𝐿

�̂�𝐸𝑀𝐿 Model

ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) AIC

0.409 ([7], 𝑑, 0) -1773.942

0.450 ([2,7], 𝑑, 0) -1780.581

0.410 (0, 𝑑, [7]) -1773.884

0.450 (0, 𝑑, [2,7]) -1779.35

0.439 (2, 𝑑, 2) -1787.438

0.449 ([7], 𝑑, [2]) -1775.627

0.452 ([2], 𝑑, [7]) -1776.487

Page 40: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

25

Pada Tabel 4.4 memperlihatkan bahwa model ARFIMA (2,0.439.2)

memiliki nilai AIC terkecil dibandingkan dengan model ARFIMA([7], 0.409,0),

ARFIMA ([2,7], 0.45,0), ARFIMA (0,0.41, [7]), ARFIMA (0,0.45, [2,7]),

ARFIMA([7], 0.449, [2]), dan ARFIMA([2], 0.452, [7]). Mengindikasikan model

ARFIMA(2,0.439.2) yang akan digunakan ke tahap selanjutnya.

4.5. Pembentukan Model ARFIMA(𝒑, 𝒅, 𝒒) Secara Semiparametrik

Pada pembentukan model ARFIMA menggunakan metode semiparametrik

tahap pertama yaitu menetapkan estimasi parameter d terlebih dahulu dengan

menggunakan metode metode Geweke and Porter-Hudak (GPH), Smooth GPH

(Sperio), Local Whittle dan R/S. Selanjutnya, plot ACF dan PACF data yang telah

didiffediffrencing sesuai nilai d yang telah diperoleh oleh masing-masing metode.

Kemudian estimasi paremeter 𝜙 dan 𝜃. Model ARFIMA yang akan digunakan pada

tahap selanjutnya dari masing-masing metode adalah model yang memiliki

parameter yang signifikan dan nilai AIC terkecil.

4.5.1. Estimasi Parameter 𝒅

Dalam mengestimasi parameter d pada metode semiparametrik dapat

menggunakan beberapa metode diantaranya metode Geweke dan Porter-Hudak

(GPH), Smoothed GPH (Sperio), Local Whittle dan R/S. Dengan bantuan software

R diperoleh hasil perhitungan estimasi parameter d dari beberapa metode yang

disajikan pada Tabel 4.5.

Tabel 4.5. Estimasi Parameter d Pada Metode Semiparametrik

Metode Hasil Estimasi

Parameter d Standar Error

Geweke dan Porter-Hudak (GPH) 0.334 0.076

Smoothed GPH (Sperio) 0.359 0.033

Local Whittle 0.352 0.039

R/S 0.238 0.048

Dengan demikian dapat dianalisa bahwa nilai estimasi parameter d berbagai

metode menunjukan nilai yang terletak antara 0 < 𝑑 < 0.5 menyatakan proses

berkorelasi panjang stasioner dengan adanya ketergantungan positif antar

Page 41: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

26

pengamatan yang terpisah jauh yang ditunjukkan dengan autokorelasi positif dan

turun lambat serta mempunyai representasi moving average orde tak hingga.

4.5.2. Identifikasi Model

Identifikasi model dilakukan dengan melihat hasil plot ACF dan PACF yang

didifferencing(𝑑) sesuai nilai 𝑑 yang telah diperoleh dari masing-masing metode.

Pendugaan model ditentukan dengan melihat lag yang terdapat cut-off dari plot

ACF dan PACF yang dihasilkan. Contohnya apabila pada plot ACF terdapat cut-

off hanya pada lag ke-7 maka penulisan modelnya adalah (0,0, [7]).

Gambar 4.5 merupakan Plot ACF dan PACF dari data yang telah

didifferencing dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334. Dari Gambar 4.5 terlihat bahwa terdapat cut-

off pada plot ACF di lag ke-1 dan 7 sedangkan pada plot PACF terdapat cut-off di

lag ke 1, 2 dan 7. Kandidat model ARFIMA yang mungkin terbentuk dari plot ACF

dan PACF yaitu ARFIMA(2, 𝑑, 0), ARFIMA([7], 𝑑, 0), ARFIMA([1,2,7], 𝑑, 0),

ARFIMA(0, 𝑑, 1), ARFIMA(0, 𝑑, [7]), ARFIMA(0, 𝑑, [1,7]), ARFIMA(2, 𝑑, 1),

ARFIMA ([7]. 𝑑, 1), ARFIMA ([1,2,7], 𝑑, 1), ARFIMA (2, 𝑑, [7]),

ARFIMA(2, 𝑑, [1,7]), ARFIMA([1,2,7], 𝑑, [7]), ARFIMA([1,2,7], 𝑑, [1,7]), dan

ARFIMA([7], 𝑑, [7]) dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334.

Gambar 4.5. Plot ACF dan PACF differencing (�̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334)

Gambar 4.6 merupakan Plot ACF dan PACF dari data yang telah

didifferencing dengan �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359. Dari Gambar 4.6 terlihat bahwa terdapat

cut-off pada plot ACF di lag ke-2 dan 7 sedangkan pada plot PACF terdapat cut-off

di lag ke-2 dan 7. Kandidat model ARFIMA yang mungkin terbentuk dari plot ACF

dan PACF yaitu ARFIMA (2, 𝑑, 0), ARFIMA ([7], 𝑑, 0), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 0),

Page 42: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

27

ARFIMA(0, 𝑑, 2), ARFIMA(0, 𝑑, [7]), ARFIMA(0, 𝑑, [2,7]), ARFIMA(2, 𝑑, 2),

ARFIMA ([7], 𝑑, [2]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, [2]), ARFIMA ([2], 𝑑, [7]),

ARFIMA ([7], 𝑑, [7]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 7), ARFIMA ([2], 𝑑, [2,7]),

ARFIMA([2,7], 𝑑, [2,7]) dengan �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 =0.359.

Gambar 4.6. Plot ACF dan PACF differencing (�̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 =0.359)

Gambar 4.7 merupakan Plot ACF dan PACF dari data yang telah

didifferencing dengan �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352. Dari Gambar 4.7 terlihat bahwa terdapat

cut-off pada plot ACF di lag ke-2 dan 7 sedangkan pada plot PACF terdapat cut-off

di lag ke-2 dan 7. Kandidat model ARFIMA yang mungkin terbentuk dari plot ACF

dan PACF yaitu ARFIMA (2, 𝑑, 0), ARFIMA ([7], 𝑑, 0), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 0),

ARFIMA(0, 𝑑, 2), ARFIMA(0, 𝑑, [7]), ARFIMA(0, 𝑑, [2,7]), ARFIMA(2, 𝑑, 2),

ARFIMA ([7], 𝑑, [2]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, [2]), ARFIMA ([2], 𝑑, [7]),

ARFIMA ([7], 𝑑, [7]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 7), ARFIMA ([2], 𝑑, [2,7]),

ARFIMA([2,7], 𝑑, [2,7]) dengan �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352.

Gambar 4.7. Plot ACF dan PACF differencing (�̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352)

Gambar 4.8 merupakan Plot ACF dan PACF dari data yang telah

didifferencing dengan �̂�𝑅/𝑆 =0.238.. Dari Gambar 4.8 terlihat bahwa terdapat cut-

off pada plot ACF di lag ke-1 dan 4 sedangkan pada plot PACF terdapat cut-off di

5 10 15 20

-0.1

00

.00

0.1

0

Series y3

Lag

AC

F

5 10 15 20

-0.1

00

.00

0.1

0

Lag

Pa

rtia

l A

CF

Series y3

Page 43: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

28

lag ke-1. Kandidat model ARFIMA yang mungkin terbentuk dari plot ACF dan

PACF yaitu ARFIMA (0, 𝑑, 1), ARFIMA (1, 𝑑, 0), ARFIMA (1, 𝑑, 1),

ARFIMA (0, 𝑑, 4), ARFIMA (0, 𝑑, [1,4]), ARFIMA (1, 𝑑, [4]),

ARFIMA(1, 𝑑, [1,4]) dengan �̂�𝑅/𝑆 =0.238.

Gambar 4.8. Plot ACF dan PACF differencing ( �̂�𝑅/𝑆 =0.238)

4.5.3. Estimasi parameter 𝝓 dan 𝜽

Selanjutnya estimasi parameter 𝜙 dan 𝜃 dari beberapa kandidat model yang

telah diperoleh. Untuk mengetahui apakah parameter yang diperoleh signifikan atau

tidak dapat dilihat dengan cara membagi hasil estimasi parameter dengan standar

errornya. Apabila hasil pembagian tersebut kurang dari −1.96 dan lebih dari 1.96

maka parameter tersebut dikatakan signifikan.

Tabel 4.6 merupakan hasil estimasi parameter 𝜙 dan 𝜃 dari beberapa

kandidat model yang telah diperoleh dengan menetapkan estimasi parameter 𝑑

menggunakan metode GPH. Dari 14 model yang terdapat pada Tabel 4.6

menunjukkan bahwa model ARFIMA ([1,2,7], 𝑑, 0), ARFIMA (0, 𝑑, [7]),

ARFIMA (0, 𝑑, [1,7]), ARFIMA (2, 𝑑, 1), ARFIMA ([7], 𝑑, 1),

ARFIMA ([1,2,7], 𝑑, 1), ARFIMA (2, 𝑑, [7]), ARFIMA (2, 𝑑, [1,7]), dan

ARFIMA ([1,2,7], 𝑑, [1,7]) memiliki parameter yang tidak signifikan. Model

ARFIMA (2, 𝑑, 0), ARFIMA ([7], 𝑑, 0), ARFIMA (0, 𝑑, 1),

ARFIMA([1,2,7], 𝑑, [7]) dan ARFIMA([7], 𝑑, [7]) dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334 seluruh

parameternya signifikan sehingga perlunya membandingkan nilai AIC dari masing-

masing model untuk memilih kandidat model yang akan digunakan ke tahap

selanjutnya.

5 10 15 20

-0.1

00

.00

0.1

00

.20

Series y4

Lag

AC

F

5 10 15 20

-0.1

00

.00

0.1

00

.20

Lag

Pa

rtia

l A

CF

Series y4

Page 44: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

29

Tabel 4.6. Estimasi Parameter ARFIMA �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334

No. Model ARFIMA Parameter Estimasi

Parameter

Standar

Error Signifikan

1 (2, 𝑑, 0) 𝜙1 0.148 0.058 Ya

𝜙2 -0.117 0.058 Ya

2 ([7], 𝑑, 0) 𝜙7 -0.116 0.059 Ya

3 ([1,2,7], 𝑑, 0)

𝜙1 0.148 0.058 Ya

𝜙2 -0.108 0.058 Tidak

𝜙7 -0.108 0.058 Tidak

4 (0, 𝑑, 1) 𝜃1 -0.165 0.063 Ya

5 (0, 𝑑, [7]) 𝜃7 0.113 0.058 Tidak

6 (0, [1,7]) 𝜃1 -0.153 0.063 Ya

𝜃7 0.103 0.060 Tidak

7 (2, 𝑑, 1)

𝜙1 0.105 0.323 Tidak

𝜙2 -0.112 0.073 Tidak

𝜃1 -0.044 0.322 Tidak

8 ([7]. 𝑑, 1) 𝜙7 -0.110 0.059 Tidak

𝜃1 -0.159 0.063 Ya

9 ([1,2,7], 𝑑, 1)

𝜙1 0.160 0.254 Tidak

𝜙2 -0.109 0.064 Tidak

𝜙7 -0.108 0.058 Tidak

𝜃1 0.013 0.255 Tidak

10 (2, 𝑑, [7])

𝜙1 0.144 0.058 Ya

𝜙2 -0.105 0.059 Tidak

𝜙7 0.098 0.059 Tidak

11 (2, 𝑑, [1,7])

𝜙1 0.143 0.271 Tidak

𝜙2 -0.105 0.064 Tidak

𝜃1 -0.002 0.268 Tidak

𝜃7 0.098 0.059 Tidak

12 ([1,2,7], 𝑑, [7])

𝜙1 0.133 0.054 Ya

𝜙2 -0.100 0.050 Ya

𝜙7 -0.559 0.223 Ya

𝜃7 -0.483 0.246 Ya

13 ([1,2,7], 𝑑, [1,7])

𝜙1 -0.075 0.120 Tidak

𝜙2 -0.054 0.054 Tidak

𝜙7 -0.696 0.143 Ya

𝜃1 -0.216 0.132 Tidak

𝜃7 -0.638 0.146 Ya

14 ([7], 𝑑, [7]) 𝜙7 -0.910 0.152 Ya

𝜃7 -0.858 0.191 Ya

Page 45: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

30

Pada Tabel 4.7 memperlihatkan bahwa model Model ARFIMA (2, 𝑑, 0)

memiliki nilai AIC terkecil dibandingkan dengan model ARFIMA ([7], 𝑑, 0),

ARFIMA (0, 𝑑, 1), ARFIMA ([1,2,7], 𝑑, [7]) dan ARFIMA ([7], 𝑑, [7]).

Mengindikasikan model ARFIMA (2, 𝑑, 0) yang akan digunakan ke tahap

selanjutnya dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334

Tabel 4.7. Nilai AIC Model ARFIMA �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334

Model ARFIMA

(𝑑 = 0.334) AIC

(2, 𝑑, 0) -1786.023

([7], 𝑑, 0) -1770.698

(0, 𝑑, 1) -1785.356

([1,2,7], 𝑑, [7]) -1767.478

([7], 𝑑, [7]) -1757.494

Selanjutnya pada Tabel 4.8 merupakan hasil estimasi parameter 𝜙 dan 𝜃 dari

beberapa kandidat model yang telah diperoleh dengan menetapkan estimasi

parameter 𝑑 menggunakan metode Sperio. Dari 14 model yang terdapat pada Tabel

4.8 menunjukkan model ARFIMA ([2,7], 𝑑, 0), ARFIMA (0, 𝑑, 2),

ARFIMA (0, 𝑑, [2,7]), ARFIMA ([7], 𝑑, [2]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, [2]),

ARFIMA ([2], 𝑑, [7]), ARFIMA ([7], 𝑑, [7]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 7),

ARFIMA ([2], 𝑑, [2,7]) dan ARFIMA ([2,7], 𝑑, [2,7]) memiliki parameter yang

tidak signifikan dengan �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359.

Tabel 4.8. Estimasi Parameter ARFIMA �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359

No. Model

ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) Parameter

Estimasi

Parameter

Standar

Error Signifikan

1 (2, 𝑑, 0) 𝜙1 0.123 0.058 Ya

𝜙2 -0.129 0.058 Ya

2 ([7], 𝑑, 0) 𝜙7 -0.122 0.059 Ya

3 ([2,7], 𝑑, 0) 𝜙2 -0.106 0.058 Tidak

𝜙7 -0.113 0.059 Tidak

4 (0, 𝑑, 2) 𝜃1 -0.118 0.058 Ya

𝜃2 0.095 0.055 Tidak

5 (0, 𝑑, [7]) 𝜃7 0.120 0.059 Ya

Page 46: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

31

6 (0, 𝑑, [2,7]) 𝜃2 0.083 0.054 Tidak

𝜃7 0.107 0.060 Tidak

7 (2, 𝑑, 2)

𝜙1 0.425 0.134 Ya

𝜙2 -0.795 0.150 Ya

𝜃1 0.362 0.162 Ya

𝜃2 -0.680 0.183 Ya

8 ([7], 𝑑, [2]) 𝜙7 -0.112 0.059 Tidak

𝜃2 0.087 0.054 Tidak

9 ([2,7], 𝑑, [2])

𝜙2 -0.303 0.227 Tidak

𝜙7 -0.106 0.059 Tidak

𝜃2 -0.194 0.224 Tidak

10 ([2], 𝑑, [7]) 𝜙2 -0.104 0.059 Tidak

𝜃7 0.109 0.059 Tidak

11 ([7], 𝑑, [7]) 𝜙7 -0.613 0.881 Tidak

𝜃7 -0.513 0.970 Tidak

12 ([2,7], 𝑑, 7)

𝜙2 -0.097 0.061 Tidak

𝜙7 -0.461 0.509 Tidak

𝜃7 -0.362 0.543 Tidak

13 ([2], 𝑑, [2,7])

𝜙2 -0.367 0.217 Tidak

𝜃2 -0.254 0.213 Tidak

𝜃7 0.108 0.057 Tidak

14 ([2,7], 𝑑, [2,7])

𝜙2 -0.499 0.223 Ya

𝜙7 0.287 0.497 Tidak

𝜃2 -0.383 0.227 Tidak

𝜃7 0.382 0.465 Tidak

Model ARFIMA (2, 𝑑, 0), ARFIMA ([7], 𝑑, 0), ARFIMA (0, 𝑑, [7]),

ARFIMA (2, 𝑑, 2) dengan �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359 seluruh parameternya signifikan

sehingga perlunya membandingkan nilai AIC dari masing-masing model untuk

memilih kandidat model yang akan digunakan ke tahap selanjutnya. Pada Tabel 4.9

memperlihatkan bahwa model Model ARFIMA(2, 𝑑, 0) memiliki nilai AIC terkecil

dibandingkan dengan model ARFIMA ([7], 𝑑, 0), ARFIMA (0, 𝑑, [7]) dan

ARFIMA (2, 𝑑, 2) dengan �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359. Mengindikasikan model

ARFIMA(2, 𝑑, 0) yang akan digunakan ke tahap selanjutnya dengan �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 =

0.359.

Page 47: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

32

Tabel 4.9. Nilai AIC Model ARFIMA dengan �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359

Model ARFIMA (𝑑 = 0.334) AIC

(2, 𝑑, 0) -1786.023

([7], 𝑑, 0) -1770.698

(0, 𝑑, 1) -1785.356

([1,2,7], 𝑑, [7]) -1767.478

([7], 𝑑, [7]) -1757.494

Pada Tabel 4.10 merupakan hasil estimasi parameter 𝜙 dan 𝜃 dari beberapa

kandidat model yang telah diperoleh dengan menetapkan estimasi parameter 𝑑

menggunakan metode Local Whittle. Dari 14 model yang terdapat pada Tabel 4.10

menunjukkan model ARFIMA(2, 𝑑, 0), ARFIMA(0, 𝑑, 2), ARFIMA([2,7], 𝑑, [2]),

ARFIMA ([7], 𝑑, [7]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 7), ARFIMA ([2], 𝑑, [2,7]), dan

ARFIMA ([2,7], 𝑑, [2,7]) memiliki parameter yang tidak signifikan. Model

ARFIMA ([7], 𝑑, 0), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 0), ARFIMA (0, 𝑑, [7]),

ARFIMA (0, 𝑑, [2,7]), ARFIMA (2, 𝑑, 2), ARFIMA ([7], 𝑑, [2]),

ARFIMA ([2], 𝑑, [7]) dengan �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352 seluruh parameternya signifikan

sehingga perlunya membandingkan nilai AIC dari masing-masing model untuk

memilih kandidat model yang akan digunakan ke tahap selanjutnya.

Tabel 4.10. Estimasi Parameter ARFIMA �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352

No. Model

ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) Parameter

Estimasi

Parameter

Standar

Error Signifikan

1 (2, 𝑑, 0) 𝜙1 0.072 0.058 Tidak

𝜙2 -0.153 0.058 Ya

2 ([7], 𝑑, 0) 𝜙7 -0.132 0.059 Ya

3 ([2,7], 𝑑, 0) 𝜙2 -0.139 0.058 Ya

𝜙7 -0.121 0.058 Ya

4 (0, 𝑑, 2) 𝜃1 -0.062 0.058 Tidak

𝜃2 0.127 0.055 Ya

5 (0, 𝑑, [7]) 𝜃7 0.132 0.059 Ya

6 (0, 𝑑, [2,7]) 𝜃2 0.116 0.054 Ya

𝜃7 0.118 0.060 Ya

7 (2, 𝑑, 2)

𝜙1 0.493 0.165 Ya

𝜙2 -0.792 0.115 Ya

𝜃1 0.469 0.203 Ya

𝜃2 -0.665 0.139 Ya

Page 48: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

33

8 ([7], [2]) 𝜙7 -0.121 0.059 Ya

𝜃2 0.121 0.054 Ya

9 ([2,7], 𝑑, [2])

𝜙2 -0.278 0.217 Tidak

𝜙7 -0.115 0.058 Ya

𝜃2 -0.140 0.216 Tidak

10 ([2], 𝑑, [7]) 𝜙2 -0.138 0.058 Ya

𝜃7 0.121 0.059 Ya

11 ([7], 𝑑, [7]) 𝜙7 -0.432 0.717 Tidak

𝜃7 -0.311 0.762 Tidak

12 ([2,7], 𝑑, 7)

𝜙2 -0.136 0.059 Ya

𝜙7 -0.256 0.438 Tidak

𝜃7 -0.141 0.457 Tidak

13 ([2], 𝑑, [2,7])

𝜙2 -0.346 0.210 Tidak

𝜃2 -0.205 0.208 Tidak

𝜃7 0.119 0.058 Ya

14 ([2,7], 𝑑, [2,7])

𝜙2 -0.460 0.225 Ya

𝜙7 0.248 0.382 Tidak

𝜃2 -0.320 0.230 Tidak

𝜃7 0.360 0.365 Tidak

. Pada Tabel 4.11 memperlihatkan bahwa model ARFIMA(2, 𝑑, 2) memiliki

nilai AIC terkecil dibandingkan model ARFIMA([7], 𝑑, 0), ARFIMA([2,7], 𝑑, 0),

ARFIMA (0, 𝑑, [7]), ARFIMA (0, 𝑑, [2,7]), ARFIMA ([7], 𝑑, [2]),

ARFIMA ([2], 𝑑, [7]) dengan �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352 Mengindikasikan model

ARFIMA(2, 𝑑, 2) yang akan digunakan ke tahap selanjutnya dengan �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 =

0.352.

Tabel 4.11. Nilai AIC Model ARFIMA �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352

Model ARFIMA (𝑑 = 0.352) AIC

([7], 𝑑, 0) -1773.893

([2,7], 𝑑, 0) -1779.591

(0, 𝑑, [7]) -1773.836

(0, 𝑑, [2,7]) -1778.372

(2, 𝑑, 2) -1787.139

([7], 𝑑, [2]) -1774.698

([2], 𝑑, [7]) -1775.391

Pada Tabel 4.12 merupakan hasil estimasi parameter 𝜙 dan 𝜃 dari beberapa

kandidat model yang telah diperoleh dengan menetapkan estimasi parameter 𝑑

menggunakan metode R/S. Dari 7 model yang terdapat pada Tabel 4.12

Page 49: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

34

menunjukkan model ARFIMA (1, 𝑑, 1), ARFIMA (0, 𝑑, [1,4]),

ARFIMA (1, 𝑑, [1,4]) memiliki parameter yang tidak signifikan. Model

ARFIMA(0, 𝑑, 1), ARFIMA(1, 𝑑, 0), ARFIMA(0, 𝑑, [4]) dan ARFIMA(1, 𝑑, [4])

dengan �̂�𝑅/𝑆 = 0.238 seluruh parameternya signifikan sehingga perlunya

membandingkan nilai AIC dari masing-masing model untuk memilih kandidat

model yang akan digunakan ke tahap selanjutnya.

Tabel 4.12. Estimasi Parameter ARFIMA �̂�𝑅/𝑆 = 0.238

No. Model

ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) Parameter

Estimasi

Parameter

Standar

Error Signifikan

1 (0, 𝑑, 1) 𝜃1 -0.259 0.057 Ya

2 (1, 𝑑, 0) 𝜙1 0.238 0.057 Ya

3

(1, 𝑑, 1)

𝜙1 -0.031 0.206 Tidak

𝜃1 -0.287 0.196 Tidak

4 (0, 𝑑, [4]) 𝜃4 -0.155 0.061 Ya

5

(0, 𝑑, [1,4])

𝜃1 -0.243 0.060 Ya

𝜃4 -0.104 0.062 Tidak

6

(1, 𝑑, [4])

𝜙1 0.224 0.057 Ya

𝜃4 -0.128 0.062 Ya

7

(1, 𝑑, [1,4])

𝜙1 0.074 0.340 Tidak

𝜃1 -0.167 0.362 Tidak

𝜃4 -0.111 0.073 Tidak

Pada Tabel 4.13 memperlihatkan bahwa model ARFIMA(0, 𝑑, 1) memiliki

nilai AIC terkecil dibandingkan model ARFIMA(0, 𝑑, [4]) dan ARFIMA(1, 𝑑, [4])

dengan �̂�𝑅/𝑆 = 0.238. Mengindikasikan model ARFIMA (0, 𝑑, 1) yang akan

digunakan ke tahap selanjutnya dengan �̂�𝑅/𝑆 = 0.238.

Tabel 4.13. Nilai AIC Model ARFIMA �̂�𝑅/𝑆 = 0.238.

Model ARFIMA (𝑑 = 0.238) AIC

(0, 𝑑, 1) -1784.631

(1, 𝑑, 0) -1783.05

(0, 𝑑, [4]) -1766.393

(1, 𝑑, [4]) -1779.315

Page 50: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

35

4.6. Diagnostik Model ARFIMA (𝒑, 𝒅, 𝒒)

Tahap selanjutnya adalah diagnostik model. Seperti halnya pemodelan

ARIMA, model ARFIMA dibangun dengan batasan-batasan sehingga model

terpilih perlu dilakukan uji kesesuaian model. Pengujian diagnostik yang dilakukan

meliputi uji asumsi nilai residual bersifat acak dan berdistribusi normal. Pengujian

residual kandidat model berdistribusi normal atau tidak dapat dilakukan dengan

menggunakan uji Jarque-Bera. Tabel 4.14 menunjukkan bahwa hasil residual dari

semua kandidat model terpilih berdistribusi normal karena memiliki 𝑝-value >

𝛼 = 0.05 sehingga 𝐻0 diterima, artinya residual dari model telah memenuhi

asumsi normalitas.

Langkah selanjutnya adalah melakukan uji autokorelasi residual kandidat

model terpilih dengan menggunakan uji Ljung-Box. Tabel 4.14 menunjukkan

bahwa hasil uji autokorelasi residual dari semua kandidat model terpilih memiliki

𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼 = 0.05 sehingga 𝐻0 diterima, artinya tidak terdapat korelasi serial di

dalam residual model dengan kata lain model tersebut memenuhi asumsi white

noise.

Tabel 4.14. Uji Normalitas dan Uji Autokorelasi

Estimasi

Parameter 𝑑

Model

ARFIMA

P-value Uji

Normalitas

P-value Uji

Autokorelasi Keterangan

�̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334 (2, 𝑑, 0) 0.939 0.885 Normal dan Tidak

Ada Autokorelasi

�̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359 (2, 𝑑, 0) 0.956 0.857 Normal dan Tidak

Ada Autokorelasi

�̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 =

0.352 (2, 𝑑, 2) 0.944 0.672

Normal dan Tidak

Ada Autokorelasi

�̂�𝑅/𝑆 = 0.238 (0, 𝑑, 1) 0.823 0.863 Normal dan Tidak

Ada Autokorelasi

�̂�𝐸𝑀𝐿 = 0.439 (2, 𝑑, 2) 0.975 0.725 Normal dan Tidak

Ada Autokorelasi

4.7. Uji Validasi Model

Setelah mendapatkan beberapa model yang telah memenuhi uji asumsi

normalitas dan autokorelasi dari setiap metode, maka langkah selanjutnya adalah

melihat prakiraan kecepatan angin pada 73 periode selanjutnya yang dihasilkan tiap

Page 51: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

36

model. Pada penelitian ini, digunakan Mean Absolute Prediction Error (MAPE)

dalam mengukur akurasi prakiraan. Tabel 4.15 memperlihatkan bahwa nilai MAPE

terkecil diperoleh dari model ARFIMA (2, 𝑑, 0) dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334. Model

ARFIMA (2, 𝑑, 0) dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334 memiliki nilai akurasi MAPE sebesar

17.760. Berdasarkan Tabel 2.2 yang merupakan kriteria penilaian MAPE jika

nilainya < 20% maka dapat disimpulkan bahwa kemampuan prakiraan baik. Hasil

perbandingan nilai prakiraan dengan nilai aktual secara keseluruhan dapat dilihat

pada Lampiran II.

Tabel 4.15. Akurasi Prakiraan Model ARFIMA

Estimasi Parameter 𝑑 Model ARFIMA MAPE

�̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334 (2, 𝑑, 0) 17.760

�̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359 (2, 𝑑, 0) 17.791

�̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352 (2, 𝑑, 2) 18.029

�̂�𝑅/𝑆 = 0.238 (0, 𝑑, 1) 17.838

�̂�𝐸𝑀𝐿 = 0.439 (2, 𝑑, 2) 18.242

Untuk mempermudah melihat perbedaan dari data aktual dan data prakiraan

validasi kecepatan angin dengan menggunakan model terpilih yaitu

ARFIMA(2, 𝑑, 0) dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334 disajikan pada Gambar 4.9.

Gambar 4.9.Hasil Prakiraan Validasi Kecepatan Angin di Bandara

Soekarno Hatta Menggunakan Model ARFIMA(2, 𝑑, 0) dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334

Selanjutnya, model ARFIMA(2, 𝑑, 0) dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334 yang memiliki

hasil prakiraan dengan nilai MAPE terkecil akan digunakan sebagai model terpilih

Page 52: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

37

untuk memprediksi kecepatan angin di Bandara Soerkarno Hatta. Persamaan

modelnya dapat dituliskan sebagai berikut.

𝜙2(𝐵)∇𝑑 𝑌𝑡 = 𝑒𝑡,

⟺ (1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2)(1 − 𝐵)0.334𝑌𝑡 = 𝑒𝑡

⟺ (1 + 0.148𝐵 − 0.117𝐵2)(1 − 𝐵)0.334𝑌𝑡 = 𝑒𝑡.

Nilai (1 − 𝐵)0.334 menggambarkan ketergantungan jangka panjang dalam

deret. Jika (1 − 𝐵)0.334𝑌𝑡 dianggap sebagai 𝑊𝑡 yang menunjukkan ketergantungan

jangka panjang, maka:

(1 + 0.148𝐵 − 0.117𝐵2)𝑊𝑡 = 𝑒𝑡,

⇔ 𝑊𝑡 + 0.148𝐵𝑊𝑡 − 0.117𝐵2𝑊𝑡 = 𝑒𝑡.

dengan (1 − 𝐵)0.334 dijabarkan sebagai

(1 − 𝐵)0.334 = 1 − 0.334𝐵 − (0.334)(1 − 0.334)𝐵2 −1

6(0.334)(1 −

0.334)(2 − 0.334)𝐵3 − ⋯ ,

⇔ (1 − 𝐵)0.334 = 1 − 0.334𝐵 −1

2(0.334)(0.666)𝐵2 −

1

6(0.334)(0.666)(1.666)𝐵3 − ⋯ ,

⇔ (1 − 𝐵)0.334 = 1 − 0.334𝐵 −1

2(0.223)𝐵2 −

1

6(0.371)𝐵3 − ⋯ ,

⇔ (1 − 𝐵)0.334 = 1 − 0.334𝐵 − 0.112𝐵2 − 0.062𝐵3 − ⋯ .

Model ARFIMA (2,0.334,0) dapat dijabarkan sebagai berikut

⇔ 𝑊𝑡 + 0.148𝐵𝑊𝑡 − 0.117𝐵2𝑊𝑡 = 𝑒𝑡,

⇔ (1 − 0.334𝐵 − 0.112𝐵2 − 0.062𝐵3 − ⋯ )𝑌𝑡 + (1 − 0.334𝐵 − 0.112𝐵2 −

0.062𝐵3 − ⋯ )0.148𝑌𝑡−1 − (1 − 0.334𝐵 − 0.112𝐵2 − 0.062𝐵3 −

⋯ )0.117𝑌𝑡−2 = 𝑒𝑡,

⇔ (𝑌𝑡 − 0.334𝑌𝑡−1 − 0.112𝑌𝑡−2 − 0.062𝑌𝑡−3 − ⋯ ) + (0.148𝑌𝑡−1 −

0.049𝑌𝑡−2 − 0.017𝑌𝑡−3 − 0.007𝑌𝑡−4 − ⋯ ) − (0.117𝑌𝑡−2 − 0.039𝑌𝑡−3 −

0.013𝑌𝑡−4 − 0.007𝑌𝑡−5 − ⋯ ) = 𝑒𝑡,

⇔ 𝑌𝑡 − 0.186𝑌𝑡−1 − 0.278𝑌𝑡−2 − 0.04𝑌𝑡−3 − ⋯ = 𝑒𝑡,

⇔ 𝑌𝑡 = 0.186𝑌𝑡−1 + 0.278𝑌𝑡−2 + 0.04𝑌𝑡−3 − ⋯ + 𝑒𝑡,

dengan 𝑌𝑡 adalah data kecepatan angin.

Page 53: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

38

4.8. Hasil Prakiraan

Hasil prakiraan kecepatan angin di Bandara Soekarno Hatta periode 1

Desember 2018 sampai 14 Desember 2018 dapat dilihat pada Tabel 4.16.

Tabel 4.16. Hasil Prakiraan Nilai Kecepatan Angin

Tanggal Prakiraan Nilai Kecepatan

Angin (Knot)

01/12/2018 5.582

02/12/2018 5.582

03/12/2018 5.583

04/12/2018 5.583

05/12/2018 5.584

06/12/2018 5.584

07/12/2018 5.585

08/12/2018 5.585

09/12/2018 5.586

10/12/2018 5.586

11/12/2018 5.587

12/12/2018 5.587

13/12/2018 5.588

14/12/2018 5.588

.

Page 54: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

39

BAB V

PENUTUP

5.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan dari data kecepatan angin di Bandara

Soekarno Hatta, diketahui bahwa hasil estimasi parameter d pada model ARFIMA

untuk data kecepatan angin yang signifikan menggunakan metode semiparametrik

yaitu �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334, �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359, �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352, �̂�𝑅/𝑆 = 0.238 dan metode

parametrik yaitu �̂�𝐸𝑀𝐿 = 0.439. Model terpilih untuk prakiraan nilai kecepatan

angin yaitu ARFIMA(2, 𝑑, 0) dengan metode semiparametrik GPH yang memiliki

nilai akurasi MAPE 17.76 dapat dituliskan persamaannya sebagai berikut:

𝑌𝑡 = 0.186𝑌𝑡−1 + 0.278𝑌𝑡−2 + 0.04𝑌𝑡−3 − ⋯ + 𝑒𝑡.

Dari persamaan di atas dapat diketahui kecepatan angin di Bandara Soekarno

Hatta memiliki indikasi ketergantungan jangka panjang. Hal ini mungkin

disebabkan karena adanya kecenderungan siklus angin yang berulang. Untuk hasil

prakiraan 14 hari selanjutnya yaitu di awal bulan Desember tahun 2018 kecepatan

angin di Bandara Soekarno Hatta tidak ada kecenderungan naik yang berarti.

5.2. Saran

Pada penelitian selanjutnya, diharapkan dapat membandingkan hasil estimasi

parameter d menggunakan metode estimasi parametrik lainnya seperti Modified

Profile Likelihood dan Non-linear Least Square serta membandingkan hasil

prakiraan keduanya dalam kasus yang sama. Selain itu, memperhitungkan adanya

heteroskedastisitas pada data sehingga dapat dikembangkan menjadi model

ARFIMA-GARCH atau pengembangan model ARFIMA yang lebih luas.

Page 55: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

40

REFERENSI

[1] A. R. Damanhuri, A. Priyadi dan M. H. Purmono, “Prediksi Kecepatan Angin

Jangka Pendek Menggunakan Metode Fuzzy Linear Regression Untuk

Mendapatkan Masukan Pada Kontroler Turbin Angin,” JURNAL TEKNIK

POMITS, vol. I, no. 2, pp. 1-6, 2014.

[2] R. Efendi, “Cuaca Buruk Tunda Sejumlah Keberangkatan di Bandara

Kualanamu,” Liputan6, 19 February 2015. [Online]. Available:

https://www.liputan6.com/news/read/2178402/cuaca-buruk-tunda-sejumlah-

keberangkatan-di-bandara-kualanamu. [Diakses 12 January 2019].

[3] N. Ulinnuha dan Y. Farida, “Prediksi Cuaca Kota Surabaya Menggunakan

Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) Box Jenkins dan

Kalman Filter,” Jurnal Matematika "MANTIK", vol. 4, no. 1, pp. 59-67, 2018.

[4] A. P. Desvina dan M. Anggriani, “Peramalan Kecepatan Angin Di Kota

Pekanbaru Menggunakan Metode Box-Jenkins,” Jurnal Sains dan

Matematika Statistika, vol. I, no. 2, 2015.

[5] W. W. Wei, Time Series Analysis : Univariate and Multivariate Methods.

Second Edition, New York: Pearson Addison Wesley, 2006.

[6] C. W. Granger dan R. Joyeux, “An introduction to long‐memory time series

models and fractional differencing,” Journal of time series analysis, vol. I,

pp. 15-29, 1980.

[7] F. Sowell, “Maximum likelihood estimation of stationary univariate

fractionally integrated time series models,” Journal of econometrics, vol. 53,

no. 1-3, pp. 165-188, 1992.

[8] V. Reisen, B. Abraham dan S. Lopes, “Estimation of Parameters in ARFIMA

Processes: A Simulation Study,” Communications in Statistics-Simulation

and Computation, vol. 30, no. 4, pp. 787-803, 2001.

[9] J. Geweke dan S. Porter-Hudak, “The Estimation and Application of Long

Memory Time Series Models,” Journal of Time Series Analysis, vol. 4, no. 4,

pp. 221-238, 1983.

Page 56: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

41

[10] V. A. Reisen dan S. Lopes, “Some Simulations and Applications of

Forecasting Long-memory Time Series Models,” Journal of Statistical

Planning and Inference, vol. 80, no. 1-2, pp. 269-287, 1999.

[11] H. R. Kunsch, “Statistical aspects of self-similar processes,” dalam

Proceedings of the First World Congress of the Bernoulli Society, 1987,

Zurich, 1987.

[12] P. M. Robinson, “Gaussian semiparametric estimation of long range

dependence,” The Annals of statistics, vol. 23, no. 5, pp. 1630-1661, 1995.

[13] Hamdi, Energi Terbarukan, Jakarta: Kencana, 2016.

[14] S. Makridakis dan S. C. Wheelwright, Forecasting methods and applications,

United State: John wiley & sons, 2008.

[15] D. Rosadi, Analisis Ekonometrika & Runtun Waktu Terapan dengan R :

Aplikasi untuk Bidang Ekonomi, Bisnis, dan Keuangan, Yogyakarta: ANDI,

2011.

[16] J. D. Cryer dan K.-S. Chan, Time Series Analysis With Applications in R

Second Edition Springer Science+ Business Media, LLC, 2008.

[17] H. E. Hurst, “The problem of long-term storage in reservoirs,” Hydrological

Sciences Journal, vol. I, no. 3, pp. 13-27, 1956.

[18] J. A. Doornik dan M. Ooms, “A package for estimating, forecasting and

simulating ARFIMA models: Arfima package 1.0 for Ox,” Preprint, Erasmus

University, 1999.

[19] E. Moulines dan P. Soulier, “Broadband log-periodogram regression of time

series with long-range dependence,” The Annals of Statistics, vol. 27, no. 4,

pp. 1415-1439, 1999.

[20] J. R. Hosking, “Fractional differencing,” Biometrika, vol. 68, no. 1, pp. 165-

176, 1981.

[21] M. Boutahar dan R. Khalfaoui, “Estimation of the long memory parameter in

non stationary models: A Simulation Study,” 2011.

Page 57: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

42

[22] R. A. H. Mohamed, “Using Arfima Models in Forecasting The Total Value

Of Traded Securites On The Arab Republic of Egypt,” International Journal

of Research and Reviews in Applied Sciences, vol. 27, no. 1, pp. 26-34, 2016.

[23] B. Joe dan R. Sisir, “US Housing Price Bubbles: A Long Memory Approach,”

dalam 46th Annual Conference of the Money ,Macro and Finance Research

Group, Durham University Business School, 2014.

[24] G. Bharwaj dan N. Swanson, “An Empirical Investigation of the Usefulness

of ARFIMA Models for Predicting Macroeconomic and Financial Time

Series,” Journal of Econometrics, vol. 8, no. 1, pp. 539-578, 2006.

[25] S. Makridakis, S. C. Wheelwright dan R. J. Hyndman, Forecasting Methods

and Applications, United State: John Wiley & Sons, Inc, 1995.

[26] National Climatic Data Center, “NOAA Satellite and Information Service,”

[Online]. Available: http://www7.ncdc.noaa.gov/CDO/dataproduct. [Diakses

5 November 2018].

Page 58: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

43

LAMPIRAN

LAMPIRAN I

No. Tanggal Knot

1 01/12/2017 10.6

2 02/12/2017 11.6

3 03/12/2017 10.6

4 04/12/2017 11.3

5 05/12/2017 9.2

6 06/12/2017 7.1

7 07/12/2017 8.2

8 08/12/2017 6.5

9 09/12/2017 9.7

10 10/12/2017 8.8

11 11/12/2017 6.2

12 12/12/2017 7.4

13 13/12/2017 7.7

14 14/12/2017 5.8

15 15/12/2017 7.5

16 16/12/2017 5.7

17 17/12/2017 6.9

18 18/12/2017 7.4

19 19/12/2017 5.8

20 20/12/2017 7.2

21 21/12/2017 6.5

22 22/12/2017 7.7

23 23/12/2017 7.5

24 24/12/2017 12

25 25/12/2017 11.7

26 26/12/2017 8.1

27 27/12/2017 7

28 28/12/2017 5.9

29 29/12/2017 4.3

30 30/12/2017 5.1

31 31/12/2017 6.4

32 01/01/2018 10.1

33 02/01/2018 7.8

34 03/01/2018 4.4

35 04/01/2018 10

36 05/01/2018 12.6

37 06/01/2018 9.7

38 07/01/2018 3.9

39 08/01/2018 4.5

40 09/01/2018 4.6

41 10/01/2018 6.9

42 11/01/2018 9

43 12/01/2018 5.7

44 13/01/2018 7.4

45 14/01/2018 7.7

46 15/01/2018 7.2

47 16/01/2018 8.9

48 17/01/2018 6.3

49 18/01/2018 5.8

50 19/01/2018 8.7

51 20/01/2018 8.3

52 21/01/2018 10.2

53 22/01/2018 8.4

54 23/01/2018 6.1

55 24/01/2018 6.7

56 25/01/2018 10.6

57 26/01/2018 9.7

58 27/01/2018 7.2

59 28/01/2018 11.2

60 29/01/2018 9.4

61 30/01/2018 9.9

62 31/01/2018 5.8

63 01/02/2018 5.7

64 02/02/2018 5.8

65 03/02/2018 5.6

66 04/02/2018 7.2

67 05/02/2018 5.7

68 06/02/2018 5.1

69 07/02/2018 5.8

70 08/02/2018 5.7

71 09/02/2018 6.5

72 10/02/2018 6.1

73 11/02/2018 6.4

74 12/02/2018 8

75 13/02/2018 5.7

76 14/02/2018 5.7

77 15/02/2018 5.7

78 16/02/2018 7.6

79 17/02/2018 4.7

80 18/02/2018 4.3

81 19/02/2018 5

82 20/02/2018 6.5

83 21/02/2018 5.6

Page 59: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

44

84 22/02/2018 3.8

85 23/02/2018 6.5

86 24/02/2018 4.2

87 25/02/2018 4.9

88 26/02/2018 4.5

89 27/02/2018 5.3

90 28/02/2018 3.7

91 01/03/2018 4.2

92 02/03/2018 4.4

93 03/03/2018 4.6

94 04/03/2018 4.6

95 05/03/2018 4

96 06/03/2018 4.5

97 07/03/2018 6.4

98 08/03/2018 4.1

99 09/03/2018 4.6

100 10/03/2018 4.9

101 11/03/2018 5.7

102 12/03/2018 7.2

103 13/03/2018 4.9

104 14/03/2018 5.6

105 15/03/2018 7.4

106 16/03/2018 4.4

107 17/03/2018 3.4

108 18/03/2018 4.5

109 19/03/2018 5

110 20/03/2018 5.5

111 21/03/2018 10.9

112 22/03/2018 5.4

113 23/03/2018 5

114 24/03/2018 9.3

115 25/03/2018 6.6

116 26/03/2018 8.4

117 27/03/2018 6.3

118 28/03/2018 4.9

119 29/03/2018 6.9

120 30/03/2018 8.6

121 31/03/2018 7.8

122 01/04/2018 6.3

123 02/04/2018 5.1

124 03/04/2018 5.6

125 04/04/2018 4.9

126 05/04/2018 4.6

127 06/04/2018 4.2

128 07/04/2018 6.8

129 08/04/2018 5.6

130 09/04/2018 4.9

131 10/04/2018 6.6

132 11/04/2018 8.4

133 12/04/2018 7.4

134 13/04/2018 6.5

135 14/04/2018 5.1

136 15/04/2018 4.5

137 16/04/2018 4.4

138 17/04/2018 3.9

139 18/04/2018 3.6

140 19/04/2018 3.9

141 20/04/2018 4.4

142 21/04/2018 4.4

143 22/04/2018 5.2

144 23/04/2018 3.9

145 24/04/2018 4.2

146 25/04/2018 4.7

147 26/04/2018 5.6

148 27/04/2018 7.7

149 28/04/2018 3.7

150 29/04/2018 5.4

151 30/04/2018 7.1

152 01/05/2018 8

153 02/05/2018 4.5

154 03/05/2018 4

155 04/05/2018 5.4

156 05/05/2018 7.9

157 06/05/2018 8.4

158 07/05/2018 7.5

159 08/05/2018 5.3

160 09/05/2018 6.7

161 10/05/2018 8.3

162 11/05/2018 6.7

163 12/05/2018 4.5

164 13/05/2018 6.4

165 14/05/2018 5.5

166 15/05/2018 5.1

167 16/05/2018 6.5

168 17/05/2018 4.4

169 18/05/2018 6.5

170 19/05/2018 6

171 20/05/2018 5.2

172 21/05/2018 5.6

173 22/05/2018 10

174 23/05/2018 5.5

175 24/05/2018 5.3

176 25/05/2018 3.6

177 26/05/2018 5.8

178 27/05/2018 3.6

179 28/05/2018 4.4

180 29/05/2018 5.2

181 30/05/2018 4.3

182 31/05/2018 5

Page 60: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

45

183 01/06/2018 7.5

184 02/06/2018 5.8

185 03/06/2018 6.9

186 04/06/2018 6.1

187 05/06/2018 5.6

188 06/06/2018 4.1

189 07/06/2018 4.6

190 08/06/2018 4.1

191 09/06/2018 4.4

192 10/06/2018 4.7

193 11/06/2018 5.4

194 12/06/2018 4.6

195 13/06/2018 4.1

196 14/06/2018 4.2

197 15/06/2018 3.9

198 16/06/2018 7.7

199 17/06/2018 8.7

200 18/06/2018 9.2

201 19/06/2018 6

202 20/06/2018 9.1

203 21/06/2018 8.8

204 22/06/2018 8.3

205 23/06/2018 7.9

206 24/06/2018 6

207 25/06/2018 3.9

208 26/06/2018 4

209 27/06/2018 5.1

210 28/06/2018 5.1

211 29/06/2018 4.5

212 30/06/2018 3.8

213 01/07/2018 5

214 02/07/2018 5.2

215 03/07/2018 3.7

216 04/07/2018 3.9

217 05/07/2018 4.8

218 06/07/2018 5.1

219 07/07/2018 3.6

220 08/07/2018 4.5

221 09/07/2018 4.8

222 10/07/2018 3.5

223 11/07/2018 4.7

224 12/07/2018 4.9

225 13/07/2018 4

226 14/07/2018 4.3

227 15/07/2018 5.2

228 16/07/2018 4.4

229 17/07/2018 4.1

230 18/07/2018 4.3

231 19/07/2018 6.8

232 20/07/2018 6.3

233 21/07/2018 4.9

234 22/07/2018 4.6

235 23/07/2018 4.1

236 24/07/2018 3.6

237 25/07/2018 4.5

238 26/07/2018 5.2

239 27/07/2018 4.8

240 28/07/2018 3.4

241 29/07/2018 3.8

242 30/07/2018 4.4

243 31/07/2018 4.2

244 01/08/2018 4.6

245 02/08/2018 3.9

246 03/08/2018 5

247 04/08/2018 4.9

248 05/08/2018 6.1

249 06/08/2018 4.3

250 07/08/2018 5

251 08/08/2018 5

252 09/08/2018 4.8

253 10/08/2018 4.8

254 11/08/2018 5.1

255 12/08/2018 5.3

256 13/08/2018 6.2

257 14/08/2018 6.6

258 15/08/2018 5.5

259 16/08/2018 4.7

260 17/08/2018 4.9

261 18/08/2018 5.8

262 19/08/2018 5.8

263 20/08/2018 7

264 21/08/2018 5.7

265 22/08/2018 4.5

266 23/08/2018 4.6

267 24/08/2018 6.5

268 25/08/2018 6.6

269 26/08/2018 5.7

270 27/08/2018 5.7

271 28/08/2018 4.8

272 29/08/2018 5.4

273 30/08/2018 7

274 31/08/2018 6.5

275 01/09/2018 5

276 02/09/2018 4.7

277 03/09/2018 5.3

278 04/09/2018 5.3

279 05/09/2018 4.4

280 06/09/2018 5.8

281 07/09/2018 6

Page 61: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

46

282 08/09/2018 4.7

283 09/09/2018 6.1

284 10/09/2018 7.3

285 11/09/2018 7.2

286 12/09/2018 5.9

287 13/09/2018 5

288 14/09/2018 4.7

289 15/09/2018 6.5

290 16/09/2018 8.5

291 17/09/2018 4.3

292 18/09/2018 5.2

293 19/09/2018 5.7

294 20/09/2018 6

295 21/09/2018 4.6

296 22/09/2018 5.3

297 23/09/2018 6

298 24/09/2018 4.6

299 25/09/2018 4.9

300 26/09/2018 5.1

301 27/09/2018 5.6

302 28/09/2018 6.2

303 29/09/2018 5.6

304 30/09/2018 6.2

305 01/10/2018 5.6

306 02/10/2018 6.1

307 03/10/2018 5.6

308 04/10/2018 7.7

309 05/10/2018 7

310 06/10/2018 6.4

311 07/10/2018 7.7

312 08/10/2018 7.7

313 09/10/2018 6.7

314 10/10/2018 5

315 11/10/2018 5.7

316 12/10/2018 6.3

317 13/10/2018 5.6

318 14/10/2018 7.7

319 15/10/2018 5.9

320 16/10/2018 5

321 17/10/2018 5.2

322 18/10/2018 6.2

323 19/10/2018 5.4

324 20/10/2018 5.2

325 21/10/2018 7.5

326 22/10/2018 7.2

327 23/10/2018 5.1

328 24/10/2018 5.6

329 25/10/2018 5.6

330 26/10/2018 5.4

331 27/10/2018 5.5

332 28/10/2018 4.6

333 29/10/2018 4.3

334 30/10/2018 4.9

335 31/10/2018 5.1

336 01/11/2018 5.5

337 02/11/2018 5.6

338 03/11/2018 4.3

339 04/11/2018 4

340 05/11/2018 4.6

341 06/11/2018 4.2

342 07/11/2018 4.1

343 08/11/2018 3.6

344 09/11/2018 3.3

345 10/11/2018 4.2

346 11/11/2018 3.9

347 12/11/2018 4.6

348 13/11/2018 5

349 14/11/2018 8.8

350 15/11/2018 8

351 16/11/2018 6.5

352 17/11/2018 8.1

353 18/11/2018 7.6

354 19/11/2018 6.3

355 20/11/2018 6.7

356 21/11/2018 5.8

357 22/11/2018 4.2

358 23/11/2018 4.5

359 24/11/2018 4.9

360 25/11/2018 4

361 26/11/2018 4.3

362 27/11/2018 4.1

363 28/11/2018 4.7

364 29/11/2018 4.4

365 30/11/2018 4.3

Page 62: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

47

LAMPIRAN II

No. Hasil Prakira Kecepatan Angin Model ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞)

(2,0.334,0) (2,0.359,0) (2,0.352,2) (0,0.238,1) (2,0.439,0)

1 5.645 5.675 5.539 5.552 5.571

2 5.584 5.593 5.959 5.513 5.992

3 5.526 5.525 5.771 5.521 5.801

4 5.527 5.529 5.366 5.525 5.386

5 5.535 5.539 5.309 5.528 5.309

6 5.536 5.540 5.589 5.530 5.584

7 5.536 5.539 5.785 5.531 5.810

8 5.536 5.539 5.643 5.532 5.696

9 5.536 5.539 5.426 5.533 5.463

10 5.536 5.538 5.425 5.534 5.425

11 5.536 5.538 5.595 5.535 5.586

12 5.536 5.538 5.681 5.535 5.708

13 5.536 5.538 5.585 5.536 5.641

14 5.536 5.539 5.472 5.537 5.510

15 5.536 5.539 5.490 5.537 5.493

16 5.537 5.539 5.589 5.538 5.586

17 5.537 5.539 5.624 5.539 5.653

18 5.538 5.540 5.562 5.540 5.614

19 5.538 5.540 5.505 5.540 5.541

20 5.539 5.541 5.525 5.541 5.533

21 5.539 5.541 5.581 5.542 5.588

22 5.540 5.542 5.593 5.543 5.625

23 5.540 5.543 5.555 5.544 5.602

24 5.541 5.543 5.528 5.544 5.562

25 5.542 5.544 5.545 5.545 5.559

26 5.542 5.545 5.576 5.546 5.591

27 5.543 5.545 5.578 5.547 5.612

28 5.544 5.546 5.556 5.548 5.598

29 5.545 5.547 5.544 5.549 5.576

30 5.545 5.548 5.556 5.549 5.576

31 5.546 5.548 5.573 5.550 5.595

32 5.547 5.549 5.572 5.551 5.607

33 5.548 5.550 5.560 5.552 5.599

34 5.549 5.551 5.555 5.553 5.587

35 5.549 5.552 5.564 5.553 5.588

Page 63: PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER …repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/47636...PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

48

36 5.550 5.552 5.573 5.554 5.600

37 5.551 5.553 5.571 5.555 5.607

38 5.552 5.554 5.565 5.556 5.603

39 5.553 5.555 5.563 5.557 5.597

40 5.554 5.556 5.569 5.557 5.598

41 5.554 5.556 5.574 5.558 5.605

42 5.555 5.557 5.573 5.559 5.609

43 5.556 5.558 5.570 5.560 5.607

44 5.557 5.559 5.570 5.560 5.604

45 5.558 5.560 5.574 5.561 5.606

46 5.558 5.561 5.577 5.562 5.610

47 5.559 5.561 5.576 5.563 5.613

48 5.560 5.562 5.575 5.563 5.612

49 5.561 5.563 5.576 5.564 5.611

50 5.562 5.564 5.579 5.565 5.613

51 5.562 5.565 5.580 5.565 5.616

52 5.563 5.566 5.580 5.566 5.618

53 5.564 5.566 5.580 5.567 5.618

54 5.565 5.567 5.581 5.568 5.618

55 5.566 5.568 5.583 5.568 5.619

56 5.566 5.569 5.584 5.569 5.621

57 5.567 5.570 5.584 5.570 5.623

58 5.568 5.570 5.585 5.570 5.623

59 5.569 5.571 5.586 5.571 5.624

60 5.569 5.572 5.587 5.571 5.625

61 5.570 5.573 5.588 5.572 5.627

62 5.571 5.574 5.589 5.573 5.628

63 5.572 5.574 5.589 5.573 5.629

64 5.572 5.575 5.590 5.574 5.630

65 5.573 5.576 5.591 5.575 5.631

66 5.574 5.577 5.592 5.575 5.632

67 5.574 5.577 5.593 5.576 5.633

68 5.575 5.578 5.593 5.576 5.634

69 5.576 5.579 5.594 5.577 5.635

70 5.577 5.580 5.595 5.577 5.636

71 5.577 5.580 5.596 5.578 5.637

72 5.578 5.581 5.597 5.579 5.639

73 5.579 5.582 5.597 5.579 5.640