PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER...
Transcript of PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER...
PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D
PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY
INTEGRATED MOVING AVERAGE DALAM
MEMPREDIKSI KECEPATAN ANGIN
(Studi Kasus: Kecepatan Angin di Bandara Soekarno Hatta.
Periode: 1 Desember 2017 – 30 November 2018)
SKRIPSI
Devi Ila Octaviyani
11140940000019
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2019 M / 1440 H
i
PERBANDINGAN METODE ESTIMASI PARAMETER D
PADA MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY
INTEGRATED MOVING AVERAGE DALAM
MEMPREDIKSI KECEPATAN ANGIN
(Studi Kasus: Kecepatan Angin di Bandara Soekarno Hatta.
Periode: 1 Desember 2017 – 30 November 2018)
Skripsi
Diajukan kepada
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Fakultas Sains dan Teknologi
untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)
Oleh:
Devi Ila Octaviyani
11140940000019
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2019 M / 1440 H
ii
PERNYATAAN
DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI
BENAR-BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH
DIAJUKAN SEBAGAI SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA
PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN.
Jakarta, 14 Agustus 2019
Devi Ila Octaviyani
NIM. 1114094000019
iii
iv
PERSEMBAHAN
v
MOTTO
“Setiap yang berjiwa akan merasakan mati. Dan sesungguhnya akan
disempurnakan pahala kalian pada hari kiamat. Barangsiapa yang
dijauhkan dari neraka dan dimasukkan ke dalam surga, maka ia
benar-benar telah beruntung. Dan kehidupan dunia itu tidak lain
hanyalah kesenangan yang memperdaya”
(QS. Al-Imran : 185)
“Sebaik-baik manusia adalah yang paling bermanfaat bagi manusia”
(HR. Ahmad, ath-Thabrani, ad-Daruqutni)
“ If you want to be happy, make someone else happy. If you want to
find the right person in your life, be the right person. If you want to
see change in the world, become the change you want to see”
(Muniba Mazari)
vi
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Alhamdulillah, segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas segala
limpahan rahmat serta karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan
penyusunan skripsi dengan judul “Perbandingan Metode Estimasi Parameter 𝑑
Pada Model Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average Dalam
Memprediksi Kecepatan Angin (Studi Kasus: Kecepatan Angin di Bandara
Soekarno Hatta. Periode: 1 Desember 2017 – 30 November 2018)” dapat
terselesaikan dengan baik.
Dalam menyelesaikan skripsi ini, penulis mendapatkan banyak bimbingan,
saran, kerjasama dan bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu, pada kesempatan ini
penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih kepada:
1. Ibu Prof. Dr. Lily Surraya E.P. M.Env.Stud, selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.
2. Ibu Dr. Suma’inna, M.Si, selaku Ketua program studi Matematika Fakultas
Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
3. Ibu Irma Fauziah, M.Sc, selaku Sekertaris program studi Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
4. Ibu Dr. Nina Fitriyati, M.Kom, selaku pembimbing I dan Ibu Madona
Wijaya, M.Sc, selaku Pembimbing II, yang sudah membantu mengarahkan
dan memberikan ilmu pengetahuannya selama proses pembuatan skripsi ini.
5. Kedua Orang tua saya yang tidak pernah berhenti memberikan doa, kasih
sayang, semangat, dukungan moril maupun materil sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini dengan baik.
vii
6. Pak Mahmudi M.Si, selaku Dosen Penguji I dan Dosen program studi
Matematika yang telah memberikan ilmu, saran dan masukan pada penulis.
7. Ibu Nurmaleni M.Si, selaku Dosen Penguji II dan Dosen program studi
Matematika yang telah memberikan ilmu, saran dan masukan pada penulis.
8. Seluruh Bapak dan Ibu Dosen program studi Matematika Fakultas Sains dan
Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta atas semua ilmu pengetahuan
yang telah diberikan.
9. Sahabat-sahabat tercinta yang telah menemani dan memberikan semangat
kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi.
10. Seluruh pihak yang sudah memberikan semangat serta membantu penulis
dalam mengerjakan skripsi ini, tanpa mengurangi rasa hormat dan terima
kasih, penulis tidak dapat menyebutkan satu-persatu.
Akhir kata, penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat, baik
sebagai bahan karya tulis berupa informasi, perbandingan maupun dasar penelitian
lebih lanjut.
Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak
kekurangan. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat
membangun untuk perbaikan di masa yang akan datang melalui email penulis
Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Ciputat, 14 Agustus 2019
Penulis
viii
ix
ABSTRAK
Devi Ila Octaviyani, Perbandingan Metode Estimasi Parameter 𝑑 Pada Model
Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average Dalam Memprediksi
Kecepatan Angin (Studi Kasus: Kecepatan Angin di Bandara Soekarno Hatta.
Periode: 1 Desember 2017 – 30 November 2018). Dibawah bimbingan Dr. Nina
Fitriyati, M. Kom dan Madona Wijaya, M.Sc.
Kecepatan angin merupakan salah satu faktor cuaca yang penting dalam proses
pendaratan dan tinggal landas pesawat karena dapat mempengaruhi daya angkat
pesawat. Oleh karena itu, diperlukan suatu model untuk memprakirakan kecepatan
angin di suatu wilayah. Pada skripsi ini, akan dibahas prakiraan kecepatan angin
dengan menggunakan model ARIMA yang memiliki parameter differencing
berupa bilangan pecahan. Model ini disebut model ARFIMA. Pada estimasi
parameter differencing terdapat dua metode yang digunakan pada penelitian ini,
yaitu metode parametrik dan metode semiparametrik. Metode parametrik yang
digunakan adalah Exact Maximum Likelihood(EML). Pada metode semiparamterik
terdapat empat metode yang digunakan diantaranya Geweke and Porter-Hudak
(GPH), Smooth GPH(Sperio), Local Whittle dan Rescale Range(R/S). Hasil analisis
menunjukkan pada kasus ini metode estimasi terbaik adalah GPH dengan model
terpilih adalah ARFIMA(2,0.334,0).
Kata Kunci: ARFIMA, metode parametrik, metode semiparametrik.
x
ABSTRACT
Devi Ila Octaviyani, The Comparison of Estimation Method d Parameter in the
Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average Model in Predicting Wind
Speed (Case Study: Wind Speed at Soekarno Hatta Airport. Period: 1 December
2017 - 30 November 2018). Under the guidance of Dr. Nina Fitriyati, M. Kom
and Madona Wijaya, M.Sc.
Wind speed is one of the most important weather factors in the landing and takeoff
process of airplane because it can affect the airplane's lift. Therefore, we need a
model to predict the wind speed in an area. In this research, the wind speed forecast
using the ARIMA model is discussed which has differencing parameters in the form
of fractions. This model is called the ARFIMA model. In estimating differencing
parameters two methods are considered, namely parametric and semiparametric.
Exact Maximum Likelihood (EML) is used under parametric method. Meanwhile,
four methods semiparametric estmation are used, i.e Geweke and Porter-Hudak
(GPH), Smooth GPH (Sperio), Local Whittle and Rescale Range (R/S). The result
shows for this case the best estimation method is GPH with the selected model is
ARFIMA (2,0.334,0).
Keyword: ARFIMA, parametric method, semiparametric method.
xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL.................................................................................................i
PERNYATAAN ...................................................................................................... ii
LEMBAR PENGESAHAN ................................... Error! Bookmark not defined.
PERSEMBAHAN .................................................................................................. iv
MOTTO .................................................................................................................. v
KATA PENGANTAR ........................................................................................... vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ...... Error! Bookmark not defined.
ABSTRAK ............................................................................................................. ix
ABSTRACT ............................................................................................................ x
DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi
DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv
BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1
1.1. Latar Belakang .......................................................................................... 1
1.2. Perumusan Masalah .................................................................................. 3
1.3. Batasan Masalah ....................................................................................... 3
1.4. Tujuan Penelitian ...................................................................................... 3
1.5. Manfaat Penelitian .................................................................................... 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI ............................... 5
2.1. Angin dan Kecepatan Angin ..................................................................... 5
2.2. Data Runtun Waktu................................................................................... 5
2.3. Stasioneritas .............................................................................................. 5
2.4. Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function
(PACF) ...................................................................................................... 6
2.5. Model ARIMA (Box-Jenkins) .................................................................. 7
2.5.1. Model Autoregressive (AR) .............................................................. 7
2.5.2. Model Moving Average (MA) ........................................................... 8
2.5.3. Model Autoregressive Moving Average (ARMA) ............................ 8
2.5.4. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) ......... 8
2.6. Runtun Waktu Jangka Panjang (Long Memory Process) ......................... 9
xii
2.7. Model ARFIMA........................................................................................ 9
2.7.1. Estimasi Parameter d menggunakan Metode Parametrik................ 11
2.7.2. Estimasi Parameter d menggunakan Metode Semiparametrik........ 12
2.8. Pengujian Diagnostik Model................................................................... 13
2.9. Pemilihan Model Terbaik ....................................................................... 14
2.10. Akurasi Prakiraan.................................................................................... 14
BAB III METODOLOGI PENELITIAN.............................................................. 15
3.1. Metode Pengumpulan Data ..................................................................... 15
3.2. Metode Pengolahan Data ........................................................................ 15
3.3. Alur Penelitian ........................................................................................ 17
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .............................................................. 18
4.1. Deskriptif Data ........................................................................................ 18
4.2. Plot Data dan Uji Kestasioneran ............................................................. 18
4.3. Identifikasi Ketergantungan Jangka Panjang (Long Memory)................ 19
4.4. Pembentukan Model ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) Secara Parametrik ................... 21
4.4.1. Identifikikasi Model ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) .......................................... 21
4.4.2. Estimasi parameter (𝜙, 𝑑, 𝜃) model ARFIMA secara bersama ...... 22
4.5. Pembentukan Model ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) Secara Semiparametrik ........... 25
4.5.1. Estimasi Parameter 𝑑 ...................................................................... 25
4.5.2. Identifikasi Model ........................................................................... 26
4.5.3. Estimasi parameter 𝜙 dan 𝜃 ............................................................ 28
4.6. Diagnostik Model ARFIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) ..................................................... 35
4.7. Uji Validasi Model .................................................................................. 35
4.8. Hasil Prakiraan ........................................................................................ 38
BAB V PENUTUP ................................................................................................ 39
5.1. Kesimpulan ............................................................................................. 39
5.2. Saran ....................................................................................................... 39
REFERENSI ......................................................................................................... 40
LAMPIRAN .......................................................................................................... 43
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1. Bentuk transformasi Box-Cox ............................................................... 6
Tabel 2.2. Nilai MAPE.......................................................................................... 14
Tabel 4.1. Deskripsi Data.......................................................................................18
Tabel 4.2. Uji ADF ............................................................................................... 19
Tabel 4.3. Estimasi Parameter ARFIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) Menggunakan Metode Exact
Maximum Likelihood(EML).................................................................................. 23
Tabel 4.4. Nilai AIC Kandidat Model ARFIMA 𝑑𝐸𝑀𝐿 ....................................... 24
Tabel 4.5. Estimasi Parameter d Pada Metode Semiparametrik ........................... 25
Tabel 4.6. Estimasi Parameter ARFIMA 𝑑𝑔𝑝ℎ = 0.334 ..................................... 29
Tabel 4.7. Nilai AIC Model ARFIMA 𝑑𝑔𝑝ℎ = 0.334 ......................................... 30
Tabel 4.8. Estimasi Parameter ARFIMA 𝑑𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359 ................................ 30
Tabel 4.9. Nilai AIC Model ARFIMA dengan 𝑑𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359 ...................... 32
Tabel 4.10. Estimasi Parameter ARFIMA 𝑑𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352 ............................ 32
Tabel 4.11. Nilai AIC Model ARFIMA 𝑑𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352 ............................... 33
Tabel 4.12. Estimasi Parameter ARFIMA 𝑑𝑅/𝑆 = 0.238 ................................... 34
Tabel 4.13. Nilai AIC Model ARFIMA 𝑑𝑅/𝑆 = 0.238. ...................................... 34
Tabel 4.14. Uji Normalitas dan Uji Autokorelasi ................................................. 35
Tabel 4.15. Akurasi Prakiraan Model ARFIMA ................................................... 36
Tabel 4.16. Hasil Prakiraan Nilai Kecepatan Angin ............................................. 38
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 4.1. Plot Data Kecepatan Angin .............................................................. 18
Gambar 4.2. Plot Box-Cox untuk Data Kecepatan Angin .................................... 19
Gambar 4.3. Plot ACF Data Transformasi Kecepatan Angin ............................... 20
Gambar 4.4. Plot ACF dan PACF dari data yang telah didifferencing (d=0.397) 22
Gambar 4.5. Plot ACF dan PACF differencing (𝑑𝑔𝑝ℎ = 0.334) ........................ 26
Gambar 4.6. Plot ACF dan PACF differencing (𝑑𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 =0.359) .................... 27
Gambar 4.7. Plot ACF dan PACF differencing (𝑑𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352) ................. 27
Gambar 4.8. Plot ACF dan PACF differencing 𝑑𝑅/𝑆 =0.238 ............................ 28
Gambar 4.9.Hasil Prakiraan Validasi Kecepatan Angin di Bandara Soekarno Hatta
Menggunakan Model ARFIMA(2, 𝑑, 0) dengan 𝑑𝑔𝑝ℎ = 0.334 .......................... 36
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Angin merupakan salah satu unsur meteorologi yang memiliki peranan
penting dalam menentukan kondisi cuaca dan iklim di suatu tempat. Di dalam Al-
Qur’an, telah disebutkan beberapa manfaat angin diantaranya sebagai penggerak
kapal layar dan ombak di lautan. Seperti yang tertulis dalam surat Yunus ayat 22
yang artinya sebagai berikut:
Dialah Tuhan yang menjadikan kamu dapat berjalan di daratan (dan
berlayar) di lautan. Sehingga ketika kamu berada di dalam kapal, dan meluncurlah
(kapal) itu membawa mereka (orang-orang yang ada di dalamnya) dengan tiupan
angin yang baik, dan mereka bergembira karenanya; tiba-tiba datanglah badai dan
gelombang menimpanya dari segenap penjuru, dan mereka mengira telah
terkepung (bahaya), maka mereka berdoa dengan tulus dan ikhlas kepada Allah
semata (seraya berkata),”Sekiranya Engkau menyelamatkan kami dari (bahaya)
ini, pasti kami termasuk orang-orang yang bersyukur.”
Manfaat angin dapat diperoleh tergantung dari besar kecepatan angin dan
kondisi geografis suatu wilayah. Kecepatan angin yang memiliki nilai acak dan
tidak dapat dikendalikan sehinga sulit untuk diestimasi. Beberapa penelitian
berupaya untuk mengetahui pengaruh kecepatan angin dalam berbagai aspek
kehidupan dan pentingnya memprediksi kecepatan angin di suatu wilayah seperti
memprediksi kecepatan angin jangka pendek untuk mendapatkan masukan pada
kontroler turbin angin [1]. Selain itu, perlunya memperkirakan kecepatan angin di
landasan pacu bandara saat akan melakukan proses lepas landas dan pendaratan
pesawat. Informasi kecepatan angin di permukaan landasan pacu merupakan salah
satu faktor penting dalam proses lepas landas dan pendaratan pesawat karena dapat
mempengaruhi daya angkat pesawat serta menghindari terjadinya pesawat
tergelincir. Pada umumnya kecepatan angin di suatu landasan pacu pesawat yang
digunakan untuk lepas landas dan pendaratan sebesar 4-10 knot [2]. Apabila
kecepatan angin melebihi 10 knot dapat membahayakan proses lepas landas dan
2
pendaratan pesawat. Beberapa peneliti menggunakan metode ARIMA Box-Jenkins
untuk memprediksi kecepatan, diantaranya Ulinnuha [3] dan Desvina [4].
Secara umum model ARIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞 ) yang diperkenalkan oleh Box dan
Jenkins [5] dapat memodelkan data yang tidak stasioner, dimana 𝑝 menyatakan
orde dari proses autoregressive (AR), 𝑑 menyatakan pembedaan (differencing),
dan 𝑞 menyatakan orde dari proses moving average (MA). Pada model ARIMA
data yang tidak stasioner menunjukkan plot Autocorrelation Function (ACF) yang
turun lambat secara linier. Orde 𝑑 pada ARIMA ( 𝑝, 𝑑, 𝑞) digunakan untuk
memodelkan kejadian yang tidak stasioner dalam rata-rata, dimana 𝑑 (differencing)
berupa bilangan bulat positif. Untuk d yang berupa bilangan pecahan dapat
menggunakan model ARFIMA [6]. Pada model ARFIMA data runtun waktunya
memiliki sifat ketergantungan jangka panjang (long memory).
Estimasi parameter differencing (𝑑) yang tepat pada model ARFIMA dapat
menghasilkan model yang baik. Metode penaksiran dapat dibagi menjadi dua
kelompok yaitu semiparametrik dan parametrik. Metode pametrik dapat
mengestimasi semua parameter pada model ARFIMA dalam satu tahap yaitu
dengan menggunakan pendekatan parametrik. Metode parametrik yang umum
digunakan adalah Exact Maximum Likelihood (EML) [7]. Sedangkan metode
semiparametrik dilakukan dengan 2 langkah yaitu estimasi 𝑑 terlebih dahulu,
kemudian dilanjutkan dengan estimasi 𝜙 dan 𝜃 [8]. Pada metode semiparametrik
ada beberapa metode estimasi yang banyak digunakan diantaranya yang diusulkan
oleh Geweke dan Porter-Hudak [9], Reisen dan Lopes [10], Kunsch [11] dan
Robinson [12].
Skripsi ini akan membahas mengenai perbandingan metode semiparametrik
dan parametrik dalam mengestimasi parameter differencing (𝑑) pada model
ARFIMA untuk prediksi kecepatan angin di Bandara Soekarno Hatta. Data yang
digunakan adalah data kecepatan angin di Bandara Soekarno Hatta pada tanggal 1
Desember 2017 – 30 November 2018 dalam frekuensi harian. Metode estimasi
parameter differencing (𝑑) yang digunakan untuk semiparametrik adalah Geweke
dan Porter-Hudak (GPH), Smooth GPH (Sperio), R/S dan Local Whittle sedangkan
3
untuk parametrik metode yang digunakan adalah Exact Maximum Likelihood
(EML).
1.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dipaparkan di atas, maka rumusan
masalah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana hasil estimasi parameter differencing (𝑑) menggunakan metode
semiparametrik dan parametrik?
2. Apakah model ARFIMA terbaik untuk memprediksi kecepatan angin di
Bandara Soekarno Hatta?
3. Bagaimana hasil prediksi kecepatan angin dalam kurun waktu 14 hari ke
depan?
1.3. Batasan Masalah
Batasan masalah dibuat agar penelitian menjadi lebih terarah, adapun
batasan masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Identifikasi ketergantungan jangka panjang (long memory) pada data
menggunakan plot ACF dan statistik Hurst.
2. Metode estimasi parameter differencing (𝑑) yang digunakan untuk
semiparametrik adalah Geweke and Porter-Hudak (GPH), Smooth GPH
(Sperio), R/S dan Local Whittle. Sedangkan untuk metode parametrik, metode
yang digunakan adalah Exact Maximum Likelihood (EML).
1.4. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah:
1. Menentukan estimasi parameter differencing (𝑑) menggunakan metode
semiparametrik dan parametrik untuk data kecepatan angin di Bandara
Soekarno Hatta.
2. Menentukan model ARFIMA terbaik untuk memprediksi kecepatan angin di
Bandara Soekarno Hatta.
3. Menentukan hasil prediksi kecepatan angin di Bandara Soekarno Hatta dalam
kurun waktu 14 hari ke depan.
4
1.5. Manfaat Penelitian
Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini adalah:
1. Menambah wawasan serta pengetahuan mengenai penerapan model ARFIMA.
2. Diharapkan dapat memberikan informasi dan masukan bagi lingkungan
setempat khususnya untuk penerbangan pesawat kemudian hari.
5
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI
2.1. Angin dan Kecepatan Angin
Angin merupakan udara yang bergerak akibat adanya rotasi bumi dan juga
karena adanya perbedaan tekanan udara dengan arah aliran angin dari tempat yang
memiliki tekanan tinggi ke tempat yang bertekanan rendah atau dari daerah yang
memiliki suhu atau temperatur rendah ke wilayah bersuhu tinggi [13]. Kecepatan
angin adalah jarak tempuh angin atau pergerakan udara per satuan waktu dan
dinyatakan dalam satuan meter per detik (m/s), kilometer per jam (km/jam), dan
mil per jam (mi/jam). Satuan mil per jam disebut juga knot (kn) [13].
2.2. Data Runtun Waktu
Data runtun waktu adalah barisan data yang tergantung pada waktu dari
observasi suatu variabel yang diamati [5]. Data dikumpulkan secara periodik
bedasarkan urutan waktu bisa dalam jam, hari, minggu, bulan, kuartal dan tahun.
Analisis deret waktu dapat dilakukan untuk membantu perencanaan ke depan.
2.3. Stasioneritas
Dalam membuat sebuah kesimpulan berdasarkan data runtun waktu, asumsi
terpenting yang harus dipenuhi adalah stasioneritas [14]. Uji akar unit digunakan
sebagai pengujian stasioneritas data, yakni dengan melihat apakah terdapat akar
unit di dalam model atau tidak. Uji yang biasa digunakan adalah uji Augmented
Dickey–Fuller (ADF). Hipotesis yang digunakan dalam uji ADF adalah [15]:
𝐻0: �̂� = 0 (Terdapat akar unit sehingga data tidak stasioner)
𝐻1: �̂� < 0 (Tidak terdapat akar unit sehingga data stasioner)
Statistik uji yang digunakan dalam uji ADF adalah:
𝑨𝑫𝑭 𝒕𝒆𝒔𝒕 =�̂�
𝒔𝒆(𝜷)̂ , (2. 1)
dengan, �̂� = estimasi least square dari 𝛽, 𝑠𝑒(𝛽)̂ = standar error dari estimasi least
square dari 𝛽 (koefisien standar error dari model). Kriteria pengujian berdasarkan
uji ADF adalah jika 𝐴𝐷𝐹 𝑡𝑒𝑠𝑡 ≤ 𝑡(𝑛−1,𝛼) atau 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 maka 𝐻0 ditolak.
6
Selain itu, dalam pemodelan data runtun waktu sering ditemukan kondisi
dengan mean tidak stasioner, sehingga diperlukan suatu cara untuk
menstasionerkan data yaitu dengan cara pembedaan (differencing) atau biasa ditulis
(1 − 𝐵)𝑑. Pembedaan ini dilakukan agar dapat mengatasi korelasi antara
𝑌𝑡 dengan 𝑌𝑡 − 𝑘, dengan k yang cukup besar. Pada memori jangka pendek,
pembedaan dilakukan dengan d bernilai bilangan bulat, sedangkan pada memori
jangka panjang, pembedaan dilakukan dengan d bernilai bilangan riil.
Apabila data belum stasioner dalam variansi, maka dilakukan transformasi
data. Metode transformasi yang terkenal adalah transformasi Box-Cox. Secara
umum, transformasi Box-Cox dapat dituliskan sebagai berikut [5]:
𝐓(𝐘𝐭) =
𝐘𝐭𝛌 − 𝟏
𝛌 , −𝟏 ≤ 𝝀 ≤ 𝟏 . (2. 2)
Tabel 2.1. menunjukkan beberapa nilai lambda yang biasa digunakan dan
transformasi terkaitnya [5].
Tabel 2.1. Bentuk transformasi Box-Cox
Nilai 𝜆 Transformasi yang sesuai
-1,0 1/𝑌𝑡
-0,5 1/√𝑌𝑡
0 ln (𝑌𝑡)
0,5 √𝑌𝑡
1 𝑌𝑡
2.4. Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function
(PACF)
Dalam metode runtun waktu, salah satu alat untuk mengidentifikasi model
dari data yang akan diprediksi adalah:
1. Autocorrelation Function (ACF)
ACF adalah fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi antara
pengamatan pada waktu 𝑡 dengan pengamatan pada waktu 𝑡 − 𝑘. Koefisien
korelasi antara 𝑦𝑡 dan 𝑦𝑡−𝑘 disebut autokorelasi lag- 𝑘 dan umumnya
dilambangkan dengan 𝜌𝑘 [16]. Korelasi antara 𝑦𝑡 dan 𝑦𝑡−𝑘 dapat dicari
dengan:
7
𝝆𝒌 =
𝑪𝒐𝒗(𝒚𝒕, 𝒚𝒕−𝒌)
√𝑽𝒂𝒓(𝒚𝒕)𝑽𝒂𝒓(𝒚𝒕−𝒌)=
𝑪𝒐𝒗(𝒚𝒕, 𝒚𝒕−𝒌)
𝑽𝒂𝒓(𝒚𝒕)=
𝜸𝒌
𝜸𝟎 ′ (2. 3)
dengan 𝑽𝒂𝒓(𝒚𝒕) = 𝑽𝒂𝒓(𝒚𝒕−𝒌) = 𝜸𝟎 . Sebagai fungsi dari 𝒌 , 𝜸𝒌 disebut
fungsi autokovarian dan 𝝆𝒌 adalah fungsi autokorelasi (ACF) pada lag k.
Autokorelasi sampel pada lag k adalah:
�̂�𝒌 =
∑ (𝒚𝒕 − �̅�)(𝒚𝒕−𝒌 − �̅�)𝑻𝒕=𝒌+𝟏
∑ (𝒚𝒕 − �̅�)𝟐𝑻𝒕=𝟏
, 𝟎 ≤ 𝒌 < 𝑻 − 𝟏 , (2. 4)
dengan rata-rata sampel �̅� =1
𝑇∑ 𝑦𝑡
𝑇𝑡=1 , T adalah jumlah data, dan 𝑦𝑡 adalah
data pada waktu ke t.
2. Partial Autocorrelation Function (PACF)
PACF didefinisikan sebagai korelasi antara 𝑦𝑡 dan 𝑦𝑡−𝑘 setelah
menghilangkan efek atau keterkaitan linier antara y yang terletak diantara 𝑦𝑡
dan 𝑦𝑡−𝑘 tersebut [16]. PACF dapat ditulis sebagai berikut:
𝝓𝒌𝒌 = 𝑪𝒐𝒓𝒓(𝒚𝒕, 𝒚𝒕−𝒌|𝒚𝒕−𝟏, … , 𝒚𝒕−(𝒌−𝟏)) =𝝆𝒌 − ∑ 𝝓𝒌−𝟏,𝒋
𝒌−𝟏𝒋=𝟏 𝝆𝒌−𝒋
𝟏 − ∑ 𝝓𝒌−𝟏,𝒋𝒌−𝟏𝒋=𝟏 𝝆𝒋
, (2. 5)
dengan 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑘 − 1.
2.5. Model ARIMA (Box-Jenkins)
Model Box-Jenkins merupakan salah satu teknik prakiraan model runtun
waktu yang hanya berdasarkan perilaku data variabel yang diamati. Model Box-
Jenkins ini terdiri dari beberapa model yaitu: Autoregressive (AR), Moving Average
(MA), Autoregressive–Moving Average (ARMA), dan Autoregressive Integrated
Moving Average (ARIMA). Model Box-Jenkins ini secara teknis dikenal sebagai
Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) [5].
2.5.1. Model Autoregressive (AR)
Model AR menunjukkan nilai prakiraan variabel dependen 𝑌𝑡 hanya
merupakan fungsi linier dari sejumlah 𝑌𝑡 aktual sebelumnya. Misalnya nilai
variabel dependen 𝑌𝑡 hanya dipengaruhi oleh nilai variabel tersebut satu periode
sebelumnya atau kelambanan pertama maka model tersebut disebut model
8
autoregresif orde pertama atau disingkat AR(1) [5]. Model AR dapat berjenjang
0, 1, 2, . . . , 𝑝. Bentuk umum model AR dengan orde 𝑝 yaitu AR(p) dinyatakan
sebagai berikut [5]:
𝒚𝒕 = 𝝓𝟏𝒚𝒕−𝟏 + 𝝓𝟐𝒚𝒕−𝟐 + ⋯ + 𝝓𝒑𝒚𝒕−𝒑 + 𝒆𝒕, (2. 6)
dengan 𝜙𝑝: Parameter AR orde ke 𝑝, dan 𝑒𝑡 : Residual pada saat 𝑡 dan bersifat
white noise.
2.5.2. Model Moving Average (MA)
Model MA ini menyatakan bahwa nilai prakiraan variabel dependen 𝑌𝑡 hanya
dipengaruhi oleh nilai residual periode sebelumnya. Misal jika nilai variabel
dependen 𝑌𝑡 hanya dipengaruhi oleh nilai residual periode sebelumnya maka
disebut dengan model MA orde pertama atau disingkat dengan MA(1) [5]. Bentuk
umum model MA dengan orde 𝑞 yaitu MA(𝑞) dinyatakan sebagai berikut:
𝒚𝒕 = 𝒆𝒕 − 𝜽𝟏𝒆𝒕−𝟏 − 𝜽𝟐𝒆𝒕−𝟐 − ⋯ − 𝜽𝒒𝒆𝒕−𝒒, (2. 7)
dengan 𝜃𝑞 : parameter MA orde ke q dan 𝑒𝑡−𝑞 : residual pada saat t ̶ q.
2.5.3. Model Autoregressive Moving Average (ARMA)
Seringkali perilaku suatu data runtun waktu dapat dijelaskan dengan baik
melalui penggabungan antara model AR dan model MA. Model gabungan ini
disebut Autoregressive Moving Average (ARMA) [5]. Secara umum bentuk model
dari ARMA(𝑝, 𝑞) yaitu:
𝒚𝒕 = 𝝓𝟏𝒚𝒕−𝟏 + 𝝓𝟐𝒚𝒕−𝟐 + ⋯ + 𝝓𝒑𝒚𝒕−𝒑 + 𝒆𝒕 − 𝜽𝟏𝒆𝒕−𝟏 − 𝜽𝟐𝒆𝒕−𝟐 − ⋯ − 𝜽𝒒𝒆𝒕−𝒒. (2. 8)
2.5.4. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Model AR(𝑝), MA(𝑞) dan ARMA(𝑝, 𝑞) sebelumnya mensyaratkan bahwa
data runtun waktu yang diamati mempunyai sifat stasioner. Namun dalam
kenyataannya data runtun waktu seringkali tidak stasioner namun stasioner pada
proses diferensi. Model dengan data yang stasioner melalui proses diferensi ini
disebut model ARIMA, jika data stasioner pada proses diferensi 𝑑 kali maka
modelnya ARIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) dengan 𝑝 adalah orde dari AR, 𝑑 orde diferensi dan 𝑞
merupakan orde dari MA [5]. Bentuk umum model ARIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) adalah [5]:
𝝓𝒑(𝑩)(𝟏 − 𝑩)𝒅𝒀𝒕 = 𝜽𝒒(𝑩)𝒆𝒕, (2. 9)
9
dengan
𝜙𝑝(𝐵): persamaan polinomial AR dengan orde p, dengan
𝜙𝑝(𝐵) = (1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2−. . −𝜙𝑝𝐵𝑝),
𝜃𝑞(𝐵): persamaan polinomial MA dengan orde q, dengan
𝜃𝑞(𝐵) = (1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2−. . −𝜃𝑞𝐵𝑞).
2.6. Runtun Waktu Jangka Panjang (Long Memory Process)
Runtun waktu yang dikatakan sebagai proses yang memiliki memori jangka
panjang yaitu bila fungsi autokorelasi turun menuju nol dengan sangat lambat
sehingga menunjukkan bahwa pengamatan yang jauh terpisah masih saling
berhubungan [17]. Selain itu kondisi ketergantungan jangka panjang pada data
dapat dilihat berdasarkan nilai Hurst(H) yang diperoleh dengan menggunakan
statistik R/S [17]. Nilai Hurst ditentukan dengan menetukan rata-rata �̅� =
1
𝑇∑ 𝑦𝑡
𝑇𝑡=1 , adjusted mean 𝑦𝑡
𝑎𝑑𝑗= 𝑦𝑡 − �̅�, deviasi kumulatif 𝑦𝑡
∗ = ∑ 𝑦𝑡𝑎𝑑𝑗𝑇
𝑡=1 ,
rentang deviasi kumulatif 𝑅𝑡 = max(𝑦1∗, 𝑦2
∗, … , 𝑦𝑡∗) − min(𝑦1
∗, 𝑦2∗, … , 𝑦𝑡
∗) dan
standar deviasi 𝑠𝑡 = √1
𝑇∑ (𝑦𝑡 − �̅�)2𝑇
𝑡=1 dari data runtun waktu, dengan 𝑡 =
1,2, … 𝑇. Kemudian nilai Hurst(H) dapat diperoleh dengan :
𝑯 =𝐥𝐨𝐠(𝑹/𝑺)𝒕
𝐥𝐨𝐠 (𝒕), (2. 10)
dengan nilai Hurst(H) harus memenuhi salah satu kriteria berikut:
𝐻 = 0.5 menunjukan data runtun waktu bersifat acak, 0 < 𝐻 < 0.5 menunjukan
data runtun waktu jangka pendek, dan 0.5 < 𝐻 < 1 menujukan data runtun waktu
jangka panjang.
2.7. Model ARFIMA
Runtun waktu jangka panjang pertama kali diperkenalkan oleh Hurst [9].
Pada umumnya data runtun waktu jangka panjang memiliki korelasi yang tinggi
antar pengamatan yang jauh tepisah, sehinggga cenderung stasioner terhadap mean.
Hal ini yang menyebabkan parameter 𝑑 bernilai sangat kecil. Model Autoregressive
Fractionally Integrated Moving Average (ARFIMA) adalah model yang paling
10
cocok untuk runtun waktu jangka panjang seperti yang telah dikembangkan oleh
Granger dan Joyeux [10], serta Hoskings [8]. Model ARFIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) dapat
ditulis sebagai berikut [18]:
𝝓𝒑(𝑩)(𝟏 − 𝑩)𝒅𝒀𝒕 = 𝜽𝒒(𝑩)𝒆𝒕 , (2. 11)
dengan {𝑒𝑡} adalah white noise, 𝜙𝑝(𝐵) adalah persamaan polinomial orde 𝑝, dan
𝜃𝑞(𝐵) adalah persamaan polinomial orde 𝑞 , dan (1 − 𝐵)𝑑 adalah operator
fractional difference.
Model ARFIMA merupakan pengembangan dari model ARIMA. Model
ARFIMA dapat mengatasi kelemahan model ARIMA, dimana ARIMA hanya dapat
menjelaskan data jangka pendek dengan differencing (𝑑) bernilai bilangan bulat.
Moulines dan Soulier [19] mengatakan bahwa model ARFIMA merupakan model
terbaik yang dapat menjelaskan data deret waktu baik berupa data jangka pendek
maupun jangka panjang dengan differencing (𝑑) benilai bilangan riil.
Ketika memodelkan runtun waktu memori jangka panjang, model ARFIMA
memberikan hasil yang tidak dapat diperoleh dengan model tak fraksional ARIMA.
Parameter pembedaan fraksional menangkap adanya fenomena jangka panjang
tanpa menimbulkan masalah-masalah yang berkaitan dengan model ARMA.
Menurut Sowell [7], masalah yang mungkin muncul dalam memodelkan time series
jangka panjang dengan ARMA antara lain.
1. Dengan menggunakan model ARMA untuk menangkap fenomena jangka
panjang (long memory), apabila parameter AR atau MA mampu menangkap
fenomena jangka panjang maka pendekatan untuk jangka pendek akan
terabaikan. Sebagai contoh, dengan parameter AR(1) tidak mungkin dapat
memodelkan korelasi yang tinggi pada siklus sepuluh tahunan.
2. Sebaliknya, jika dugaan akan adanya fenomena jangka panjang pada deret
diabaikan untuk mendapatkan model yang lebih baik untuk fenomena jangka
pendek, maka tidak ada cara yang tepat dalam menggambarkan parameter AR
dan MA untuk menggambarkan karakteristik jangka panjang pada deret,
walaupun sebenarnya peneliti menemukan fenomena jangka panjang pada deret.
11
Fractional Differencing
Operator diferensi fraksional pada model ARFIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) menurut Hoskings
merupakan perluasan dari binomial yaitu sebagai berikut [20]:
𝛁𝒅 = (𝟏 − 𝑩)𝒅 = ∑ (𝒅𝒋
)∞𝒋=𝟏 (−𝟏)𝒋𝑩𝒋 , (2. 12)
dengan (𝑑𝑗
) =𝑑!
(𝑑−𝑗)!𝑗!=
Γ(𝑑+1)
Γ(𝑗+1)Γ(𝑑−𝑗+1) .
𝐵 merupakan backward shift operator, Γ(𝑥) merupakan fungsi gamma. Beberapa
karakteristik deret fractionally integrated [21] untuk berbagai nilai 𝑑, yaitu:
a. Jika 𝑑 = 0 , maka proses menunjukkan fungsi autokorelasi turun secara
eksponensial dengan proses ARMA,
b. Jika 𝑑 ∈ (0 , 0.5), maka proses berkorelasi panjang stasioner dengan adanya
ketergantungan positif antar pengamatan yang terpisah jauh yang ditunjukkan
dengan autokorelasi positif dan turun lambat serta mempunyai representasi
moving average orde tak hingga.
c. Jika 𝑑 ∈ (−0.5 , 0), maka proses berkorelasi panjang stasioner dengan memiliki
ketergantungan negatif yang ditandai dengan autokorelasi negatif dan turun
lambat serta mempunyai representasi autoregressive orde tak hingga.
d. Jika |𝑑| ≥ 0.5, maka proses panjang tidak stasioner.
Keuntungan yang didapat jika menggunakan model ARFIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞)
menurut Sowell [7] sebagai berikut:
1. Mampu memodelkan perubahan yang tinggi dalam jangka panjang (long term
persistence).
2. Mampu menjelaskan struktur korelasi jangka panjang dan jangka pendek
sekaligus.
3. Mampu memberikan model dengan parameter yang lebih sederhana (parsimony)
baik untuk data dengan memori jangka panjang maupun jangka pendek.
2.7.1. Estimasi Parameter d menggunakan Metode Parametrik
Metode parametrik dapat mengestimasi semua parameter pada model
ARFIMA dalam satu tahap [22]. Dalam penelitian ini, metode parametrik yang
digunakan adalah Metode Exact Maximum Likelihood (EML) yang diperkenalkan
oleh Sowell (1992). Metode ini menggunakan prinsip fungsi likelihood untuk
12
menduga parameter 𝑑, 𝜙, dan 𝜃 pada model ARFIMA. Diberikan bentuk umum
model ARFIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) sebagai berikut:
(1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2 − ⋯ − 𝜙𝑝𝐵𝑝)(1 − 𝐵)𝑑(𝑍𝑡 − 𝜇) = (1 + 𝜃1𝐵 + 𝜃2𝐵2 + ⋯ + 𝜃𝑞𝐵𝑞)𝑒𝑡 ,
𝑒𝑡 =(1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2 − ⋯ − 𝜙𝑝𝐵𝑝)(1 − 𝐵)𝑑(𝑍𝑡 − 𝜇)
(1 + 𝜃1𝐵 + 𝜃2𝐵2 + ⋯ + 𝜃𝑞𝐵𝑞),
dengan 𝑒𝑡~𝑁(0, 𝜎2), fungsi kepekatan peluang dari 𝑒 = (𝑒1, 𝑒2, . . , 𝑒𝑛)
didefinisikan sebagai berikut:
𝑃(𝑒|𝑑, 𝜙, 𝜇, 𝜃, 𝜎𝑒2) = (2𝜋𝜎𝑒
2)−𝑛2 exp [−
1
2𝜎𝑒2
∑ 𝑒𝑡2
𝑛
𝑡=1],
Kita dapat menuliskan fungsi likelihood dari parameter (𝑑, 𝜙, 𝜇, 𝜃, 𝜎𝑒2) yaitu:
𝐥𝐧 𝑳(𝒅, 𝝓, 𝝁, 𝜽, 𝝈𝒆𝟐)
= −𝒏
𝟐𝐥𝐧(𝟐𝝅𝝈𝒆
𝟐)
−𝟏
𝟐𝝈𝒆𝟐
∑ ((𝟏 − 𝝓𝟏𝑩 − 𝝓𝟐𝑩𝟐 − ⋯ − 𝝓𝒑𝑩𝒑)(𝟏 − 𝑩)𝒅(𝒁𝒕 − 𝝁)
(𝟏 + 𝜽𝟏𝑩 + 𝜽𝟐𝑩𝟐 + ⋯ + 𝜽𝒒𝑩𝒒))
𝟐𝒏
𝒕=𝟏.
(2. 13)
Nilai pendugaan 𝑑, 𝜙, 𝜇, 𝜃 diperoleh ketika memaksimumkan persamaan (2.12)
yang kemudian disebut sebagai pendugaan maximum likelihood [5].
2.7.2. Estimasi Parameter d menggunakan Metode Semiparametrik
Metode estimasi semiparametrik melalui dua tahap yaitu, pertama estimasi
parameter differencing (𝑑) dan kedua estimasi parameter AR dan MA [22]. Metode
estimasi semiparametrik yang paling populer dan banyak digunakan adalah metode
estimasi Geweke dan Porter-Hudak (GPH). Metode GPH ini dilakukan dengan
membentuk persamaan spectral density function atau persamaan spektral model
ARFIMA menjadi persamaan regresi spektral (𝑓(𝜔)) dengan log-periodogram
sebagai variable tak bebasnya dan barisan autokovarians 𝛾𝑘 merupakan pasangan
Transformasi Fourier:
𝐥𝐧|𝑰(𝝎𝒋)| = 𝛃𝟎 + 𝜷𝟏𝒍𝒏[𝟒 𝐬𝐢𝐧𝟐(𝝎𝒋𝟐)] + 𝒗𝒋, (2. 14)
dengan 𝜔𝑗 =2𝜋𝑗
𝑇, 𝑗 = 1,2, . . , 𝑚.
Estimasi dari d adalah �̂�1, 𝜔𝑗 mewakili 𝑚 = √𝑇 frekuensi Fourier dan 𝐼(𝜔𝑗)
menunjukkan periodogram sampel yang didefinisikan sebagai:
13
𝐼(𝜔𝑗) =1
2𝜋𝑇|∑ 𝑦𝑡𝑒−𝜔𝑗𝑡
𝑇
𝑡=1|
2
.
Langkah kedua dari metode estimasi GPH adalah pembentukan model ARMA pada
data dengan menggunakan metode Box-Jenkins setelah diperoleh estimasi
parameter 𝑑 dari metode GPH (�̂�𝑔𝑝ℎ).
Metode semiparametrik selanjutnya adalah metode Sperio yang
diperkenalkan oleh Reisen dan Lopes(1999) yang merupakan modifikasi dari
metode GPH dengan mengganti periodogram dengan estimasi spectral density yang
dihaluskan. Reisen dan Lopes (1999) mengusulkan untuk menggunakan estimasi
tipe Blackman-Tukey dari spectral density [23]:
𝒇𝒎(𝒙) =𝟏
𝟐𝝅∑ 𝒌 (
𝒔
𝒎) �̂�𝒎
𝒔=−𝒎 (𝒔)𝐜𝐨𝐬 (𝒔𝒙) . (2. 15)
Untuk selanjutnya, estimasi periodogram yang dihaluskan dilambangkan dengan
�̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 . Metode semiparametrik berikutnya adalah estimasi Local Whittle yang
juga sering digunakan untuk estimasi parameter 𝑑 . Estimasi ini diusulkan oleh
Kuensch (1987) dan dimodifikasi oleh Robinson (1995). Estimasi Local Whittle
parameter 𝑑, dinotasikan dengan �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 diperoleh dengan memaksimalkan
kemungkinan log Local Whittle pada frekuensi Fourier mendekati nol [24]:
𝜞(𝒅) = −𝟏
𝟐𝝅𝒎∑ 𝒇(𝝎𝒋; 𝒅)
𝒎
𝒋=𝟏. (2. 16)
Metode semiparametrik terakhir yaitu estimasi Rescaled Range Statistic (R/S)
atau disebut juga uji statistik Hurst. Selain digunakan untuk melihat indikasi
ketergantungan jangka panjang pada data runtun waktu statistik Rescaled Range
dapat digunakan untuk estimasi parameter d dengan persamaan:
𝒅 = 𝑯 − 𝟎. 𝟓. (2. 17)
2.8. Pengujian Diagnostik Model
Setelah berhasil mengestimasi nilai-nilai parameter dari model ARFIMA
yang ditetapkan sementara, selanjutnya perlu dilakukan pemeriksaan diagnostik
untuk membuktikan bahwa model tersebut cukup memadai dan menentukan model
mana yang terbaik digunakan untuk prakiraan [25]. Pemeriksaan diagnostik ini
dapat dilakukan dengan mengamati apakah residual dari model terestimasi
14
merupakan proses white noise atau tidak. Salah satu cara pemeriksaan yang mudah
adalah dengan menggunakan uji yang mampu menetapkan apakah sekumpulan
autokorelasi secara keseluruhan menunjukkan berbeda dari nol yang disebut dengan
uji Statistik Ljung Box-Pierce [5] dan untuk uji kenormalan residual menggunakan
uji Jarque-Bera [16].
2.9. Pemilihan Model Terbaik
Menurut [16] pemilihan model terbaik dapat dilihat dari nilai AIC (Akaike
Information Criterion) yang didefinisikan sebagai berikut:
𝑨𝑰𝑪 = −𝟐 𝐥𝐨𝐠(𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒖𝒎 𝒍𝒊𝒌𝒆𝒍𝒊𝒉𝒐𝒐𝒅) + 𝟐𝒌. (2. 18)
Di mana 𝑘 = 𝑝 + 𝑞 + 1 jika model memiliki intercept dan 𝑘 = 𝑝 + 𝑞 jika model
tidak memiliki intercept [16].
2.10. Akurasi Prakiraan
Dalam analisis runtun waktu, sering kali data dibagi menjadi dua bagian yang
disebut data in sample, yakni data-data yang digunakan untuk membentuk model
dengan langkah-langkah pemodelan, dan data out sample, yakni bagian data yang
digunakan untuk memvalidasi keakuratan prakiraan dari model terbaik yang
diperoleh berdasarkan data in sample. Model yang baik tentunya diharapkan
merupakan model terbaik untuk penyuaian (fitting) data in sample dan sekaligus
model yang baik untuk prakiraan dalam data out sample. Beberapa ukuran kriteria
akurasi salah satunya adalah Mean Absolute Percentage Error (MAPE) [15].
𝑴𝑨𝑷𝑬 =𝟏
𝑵∑ |
𝒀𝒕−𝒀�̂�
𝒀𝒕|𝑵
𝒕=𝟏 × 𝟏𝟎𝟎, (2. 19)
dengan 𝑌𝑡 adalah data aktual dan 𝑌�̂� data prakiraan, dan N adalah banyak data. Tabel
2.2 di bawah ini menjelaskan makna dari nilai MAPE [15].
Tabel 2.2. Nilai MAPE
MAPE Makna
< 10 % Kemampuan proyeksi sangat baik
10 % - 20 % Kemampuan proyeksi baik
20 % - 50% Kemampuan proyeksi cukup baik
> 50% Kemampuan proyeksi buruk
15
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Metode Pengumpulan Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder kecepatan
angin di Bandara Soekarno Hatta dalam frekuensi harian dari 1 Desember 2017
hingga 30 November 2018 yang berasal dari website NNDC Climate Data Online
[26]. Untuk tujuan penelitian data dibagi menjadi 2 yaitu data in sample yang
digunakan untuk pembentukan model ditetapkan dari tanggal 1 Desember 2017
hingga 18 September 2018 dan data out sample yang digunakan untuk menguji
validitas model terpilih ditetapkan dari tanggal 19 September 2018 hingga 30
November 2018.
3.2. Metode Pengolahan Data
Penelitian ini menggunakan software R dan Excel dalam pengolahan data.
Langkah-langkah analisis yang digunakan adalah sebagai berikut:
1. Menyiapkan data yang akan digunakan dan teliti.
2. Plot data awal dan lihat statistika deskriptifnya untuk melihat gambaran awal
dari data.
3. Mengecek kestasioneran data dengan melihat plot data awal serta uji Box-
Cox, apabila data tidak stasioner terhadap variansi maka harus dilakukan
transformasi data. Kemudian dilakukan uji ADF untuk melihat kestasioneran
dalam rataan, apabila sudah stasioner maka dapat diketahui estimasi
parameter |𝑑| < 0.5 jika tidak stasioner maka |𝑑| ≥ 0.5 dengan 𝑑 bernilai
riil.
4. Identifikasi indikasi ketergantungan jangka panjang pada data dengan
melihat plot ACF. Jika pola plot ACF berbentuk hiperbolik, maka terdapat
indikasi ketergantungan jangka panjang. Selain itu dapat dilakukan uji
statistik Hurst (2.10) untuk melihat indikasi ketergantungan jangka panjang
pada data.
5. Pada pembentukan model ARFIMA dibedakan menjadi dua yaitu secara
parametrik dan semiparametrik.
16
a) Pada pembentukan model menggunakan metode parametrik,
identifikasi kandidat model ARFIMA dilakukan berdasarkan plot ACF
dan PACF data yang telah didifferencing. Nilai differencing (d)
sementara diperoleh dengan menetapkan parameter model
ARFIMA (0, 𝑑, 0). Selanjutnya, estimasi parameter 𝜙, 𝑑, 𝜃 pada
kandidat model ARFIMA secara bersama dengan menggunakan
metode Exact Maximum Likelihood (EML). Model ARFIMA yang
akan digunakan pada tahap selanjutnya adalah model yang memiliki
parameter yang signifikan dan nilai AIC terkecil.
b) Pada pembentukan model ARFIMA menggunakan metode
semiparametrik, menetapkan estimasi parameter d terlebih dahulu
dengan menggunakan metode metode Geweke and Porter-Hudak
(GPH), Smooth GPH (Sperio), Local Whittle dan R/S. Selanjutnya, plot
ACF dan PACF data yang telah didifferencing sesuai nilai d yang telah
diperoleh oleh masing-masing metode. Kemudian estimasi paremeter
𝜙 dan 𝜃 pada kandidat model ARFIMA. Model ARFIMA yang akan
digunakan pada tahap selanjutnya dari masing-masing metode adalah
model yang memiliki parameter yang signifikan dan nilai AIC terkecil.
6. Uji diagnostik kandidat model ARFIMA meliputi uji asumsi nilai residual
autokorelasi dan berdistribusi normal. Pengujian residual model
berdistribusi normal atau tidak dapat dilakukan dengan menggunakan uji
Jarque-Bera sedangkan uji autokorelasi menggunakan uji Ljung-Box.
7. Melakukan validasi dan prakiraan dengan menggunakan model yang
memenuhi asumsi.
8. Melihat akurasi berdasarkan nilai MAPE dari masing-masing model.
9. Model yang memiliki nilai MAPE terkecil merupakan model terbaik dan
memiliki metode estimasi parameter 𝑑 terpilih untuk data tersebut.
17
3.3. Alur Penelitian
Tidak
Ya
Mulai
Input Data
Plot Data
Apakah data
stasioner terhadap
variansi ?
Identifikasi ketergantungan
jangka panjang
Transformasi
Box-Cox
Apakah uji
diagnostik model
terpenuhi?
Validasi dan
prakiraan dari
model ARFIMA
Pemilihan model
terbaik dengan
MAPE terkecil
Selesai
Tidak
Uji ADF
Ya
Estimasi parameter φ dan θ pada model ARFIMA
parametrik semiparametrik
Estimasi d
Identifikasi kandidat Model
ARFIMA orde p dan q
menggunakan plot ACF dan PACF
data telah didifferencing
Estimasi parameter φ,d dan θ pada model ARFIMA
secara bersama
Tidak
Menentukan model terpilih
yang memiliki nilai AIC
terkecil
Menentukan model terpilih
dari masing-masing
metode yang memiliki
nilai AIC terkecil
Estimasi d
Identifikasi kandidat Model
ARFIMA orde p dan q
menggunakan plot ACF dan PACF
data telah didifferencing
18
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Deskriptif Data
Deskriptif data dilakukan guna melihat karakteristik atau gambaran umum
dari data yang akan diolah tanpa bermaksud membuat kesimpulan yang berlaku
umum. Sebanyak 292 data digunakan untuk pembentukan model dan 73 data
digunakan untuk menguji validitas dari model terpilih. Berikut ini deskripsi dari
292 data yang akan digunakan dalam pemodelan di penelitian ini.
Tabel 4.1. Deskripsi Data
Variabel Rata-rata Standar
Deviasi
Nilai
Minimum
Nilai
Maksimum
Kecepatan
Angin 5.993 1.841 3.4 12.6
Berdasarkan Tabel 4.1 menunjukkan bahwa data kecepatan angin periode
harian 1 Desember 2017 sampai 18 September 2018 memiliki nilai rata-rata
5.993. Nilai standar deviasi yaitu 1.841 sehingga nilai variannya adalah 3.389.
Nilai minimum 3.4 dan nilai maksimum 12.6, maka dapat diketahui data memiliki
range yang cukup jauh yaitu 9.2.
4.2. Plot Data dan Uji Kestasioneran
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah membuat plot runtun waktu
data kecepatan angin yang disajikan pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1. Plot Data Kecepatan Angin
19
Selanjutnya menguji stasioneritas data. Plot runtun waktu data kecepatan
angin pada Gambar 4.1 mengindikasikan bahwa data kecepatan angin tidak
stasioner dalam variansi karena fluktuasi data yang cenderung berubah dan tidak
konstan. Untuk memperkuat dugaan tersebut dilakukan transformasi Box-Cox. Plot
Box-Cox data kecepatan angin disajikan dalam Gambar 4.2. Pada Gambar 4.2
terlihat bahwa rounded value-nya belum bernilai 1, serta rentang lower dan upper-
nya belum bernilai 1. Berdasarkan nilai lambda-nya, maka data perlu
ditransformasi dengan menggunakan transformasi akar dari 𝑌𝑡 (√𝑌𝑡).
Gambar 4.2. Plot Box-Cox untuk Data Kecepatan Angin
Selanjutnya uji kestasioneran dalam rataan menggunakan uji ADF. Pada
Tabel 4.2 menunjukkan bahwa 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 artinya 𝐻0 tidak diterima sehingga
dapat disimpulkan bahwa data stasioner dalam rataan. Selain itu dapat diketahui
nilai estimasi parameter |𝑑| < 0.5.
Tabel 4.2. Uji ADF
Uji p-value
Uji Augmented Dickey-Fuller 0.01
4.3. Identifikasi Ketergantungan Jangka Panjang (Long Memory)
Selanjutnya untuk mengetahui apakah data memenuhi asumsi, yaitu data
mengandung runtun waktu jangka panjang adalah dengan melakukan pengujian
ketergantungan jangka panjang. Pengujian ketergantungan jangka panjang terdiri
dari dua cara, yaitu melihat plot ACF-nya dan perhitungan nilai Hurst (H). Jika plot
ACF data tidak turun secara eksponensial melainkan turun lambat atau hiperbolik
20
maka dapat dikatakan data runtun waktu mengandung ketergantungan jangka
panjang. Dari hasil plot ACF data transformasi kecepatan angin pada Gambar 4.3
menunjukan fungsi autokorelasinya (ACF) turun secara lambat atau hiperbolik
yang mengidentifikasikan data tersebut memiliki ketergantungan jangka panjang.
Selanjutnya, untuk mengidentifikasikan adanya ketergantungan jangka panjang
dapat juga dilakukan dengan perhitungan nilai Hurst (H).
Gambar 4.3. Plot ACF Data Transformasi Kecepatan Angin
Digunakan metode rescaled range statistics (R/S) dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
1. Menghitung nilai rata-rata data (mean)
�̅� =1
292∑ 𝑦𝑡
292
𝑡=1= 5.993.
2. Menghitung adjusted mean
𝑦1𝑎𝑑𝑗
= 𝑦1 − �̅� = 10.6 − 5.993 = 4.607,
𝑦2𝑎𝑑𝑗
= 𝑦2 − �̅� = 11.6 − 5.993 = 5.607, ⋮
𝑦292𝑎𝑑𝑗
= 𝑦292 − �̅� = 5.2 − 5.993 = −0.793. 3. Menghitung deviasi kumulatif
𝑦1∗ = ∑ 𝑦𝑡
𝑎𝑑𝑗1𝑡=1 = 4.607,
𝑦2∗ = ∑ 𝑦𝑡
𝑎𝑑𝑗2𝑡=1 = 4.607 + 5.607 = 10.214,
⋮
𝑦292∗ = ∑ 𝑦𝑡
𝑎𝑑𝑗292𝑡=1 = 4.607 + 5.607 + ⋯ + (−0.793) = −0.0001.
4. Menghitung rentang dari deviasi kumulatif
21
𝑅292 = max(𝑦1∗, 𝑦2
∗, … , 𝑦292∗ ) − min(𝑦1
∗, 𝑦2∗, … , 𝑦292
∗ ),
= 118.934 − (−0.769) = 119.703.
5. Menghitung standar deviasi
𝑠1 = √1 ∑ (𝑦𝑡 − �̅�)21𝑡=1 = 4.607,
𝑠2 = √1
2∑ (𝑦𝑡 − �̅�)22
𝑡=1 = 5.131,
⋮
𝑠292 = √1
292∑ (𝑦𝑡 − �̅�)2292
𝑡=1 = 1.838.
Kemudian diperoleh nilai Hurst (H) yaitu:
𝐻 =log(𝑅/𝑆)𝑡
log (𝑡)= 0.738.
artinya data transformasi kecepatan angin memiliki sifat ketergantungan jangka
panjang.
4.4. Pembentukan Model ARFIMA(𝒑, 𝒅, 𝒒) Secara Parametrik
Pada pembentukan model menggunakan metode parametrik, identifikasi
kandidat model ARFIMA dilakukan berdasarkan plot ACF dan PACF data yang
telah didifferencing(𝑑). Nilai 𝑑 sementara diperoleh dengan menetapkan parameter
model ARFIMA(0, 𝑑, 0). Selanjutnya, estimasi parameter 𝜙, 𝑑, 𝜃 secara bersama
kandidat model ARFIMA dengan menggunakan metode Exact Maximum
Likelihood (EML). Model ARFIMA yang memiliki parameter signifikan dan
memiliki nilai AIC terkecil akan dilanjutkan ke tahap selanjutnya.
4.4.1. Identifikikasi Model ARFIMA(𝒑, 𝒅, 𝒒)
Dengan menggunakan bantuan software R diperoleh nilai 𝑑 sementara yaitu
𝑑 = 0.397 dengan 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.045 . Pada Gambar 4.4 merupakan plot
ACF dan PACF dari data yang telah didifferencing dengan 𝑑 = 0.397 yang akan
digunakan untuk mengidentifikasikan kandidat model. Identifikasi model
ditentukan dengan melihat lag yang terdapat cut-off dari plot ACF dan PACF yang
22
dihasilkan. Contohnya, apabila pada plot ACF terdapat cut-off hanya pada lag ke-7
maka penulisan modelnya adalah (0,0, [7]).
Dari Gambar 4.4 terlihat bahwa terdapat cut-off pada plot ACF di lag ke-2
dan 7 sedangkan pada plot PACF terdapat cut-off di lag ke-2 dan 7. Kandidat model
ARFIMA yang mungkin terbentuk dari plot ACF dan PACF yaitu
ARFIMA(2, 𝑑, 0), ARFIMA([7], 𝑑, 0), ARFIMA([2,7], 𝑑, 0), ARFIMA(0, 𝑑, 2),
ARFIMA (0, 𝑑, [7]), ARFIMA (0, 𝑑, [2,7]), ARFIMA (2, 𝑑, 2),
ARFIMA ([7], 𝑑, [2]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, [2]), ARFIMA ([2], 𝑑, [7]),
ARFIMA ([7], 𝑑, [7]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 7), ARFIMA ([2], 𝑑, [2,7]),
ARFIMA([2,7], 𝑑, [2,7]) dengan 𝑑 = 0.397.
Gambar 4.4. Plot ACF dan PACF dari data yang telah didifferencing (d=0.397)
4.4.2. Estimasi parameter (𝝓, 𝒅, 𝜽) model ARFIMA secara bersama
Tahap selanjutnya, estimasi parameter 𝜙, 𝑑, 𝜃 secara bersama pada kandidat
model yang telah diperoleh dengan menggunakan metode Exact Maximum
Likelihood (EML). Untuk mengetahui apakah parameter yang diperoleh signifikan
atau tidak dapat dilihat dengan cara membagi hasil estimasi parameter dengan
standar errornya. Apabila hasil pembagian tersebut kurang dari −1.96 dan lebih
dari 1.96 maka parameter tersebut dikatakan signifikan.
Pada Tabel 4.3 merupakan hasil estimasi parameter 𝜙, 𝑑, dan 𝜃 dari beberapa
kandidat model yang telah diperoleh menggunakan metode Exact Maximum
Likelihood (EML). Terlihat estimasi parameter 𝑑 yang diperoleh berada di antara
0 < 𝑑 < 0.5 berarti proses berkorelasi panjang stasioner dengan adanya
ketergantungan positif antar pengamatan yang terpisah jauh yang ditunjukkan
dengan autokorelasi positif dan turun lambat serta mempunyai representasi moving
23
average orde tak hingga. Dari 14 model yang terdapat pada Tabel 4.3 menunjukkan
model ARFIMA (2, 𝑑, 0), ARFIMA (0, 𝑑, 2), ARFIMA ([2,7], 𝑑, [2]),
ARFIMA ([7], 𝑑, [7]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 7), ARFIMA ([2], 𝑑, [2,7]),
ARFIMA([2,7], 𝑑, [2,7]) memiliki parameter yang tidak signifikan.
Tabel 4.3. Estimasi Parameter ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) Menggunakan Metode
Exact Maximum Likelihood(EML)
No. Model
ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) Parameter
Estimasi
Parameter
Standar
Error Signifikan
1 (2, 𝑑, 0)
𝜙1 0.082 0.089 Tidak
𝜙2 -0.148 0.066 Ya
𝑑 0.399 0.070 Ya
2 ([7], 𝑑, 0) 𝜙7 -0.132 0.059 Ya
𝑑 0.409 0.043 Ya
3 ([2,7], 𝑑, 0)
𝜙2 -0.160 0.061 Ya
𝜙7 -0.125 0.058 Ya
𝑑 0.450 0.039 Ya
4 (0, 𝑑, 2)
𝜃1 -0.089 0.112 Tidak
𝜃2 0.112 0.077 Tidak
𝑑 0.385 0.088 Ya
5 (0, 𝑑, [7]) 𝜃7 0.132 0.060 Ya
𝑑 0.410 0.043 Ya
6 (0, 𝑑, [2,7])
𝜃2 0.139 0.058 Ya
𝜃7 0.126 0.061 Ya
𝑑 0.450 0.040 Ya
7 (2, 𝑑, 2)
𝜙1 0.540 0.204 Ya
𝜙2 -0.796 0.116 Ya
𝜃1 0.541 0.265 Ya
𝜃2 -0.671 0.151 Ya
𝑑 0.439 0.055 Ya
8 ([7], 𝑑, [2])
𝜙7 -0.126 0.059 Ya
𝜃2 0.142 0.059 Ya
𝑑 0.449 0.040 Ya
9 ([2,7], 𝑑, [2])
𝜙2 -0.261 0.215 Tidak
𝜙7 -0.120 0.059 Ya
𝜃2 -0.105 0.217 Tidak
𝑑 0.447 0.040 Ya
10 ([2], 𝑑, [7]) 𝜙2 -0.161 0.061 Ya
24
𝜃7 0.128 0.060 Ya
𝑑 0.452 0.039 Ya
11 ([7], 𝑑, [7])
𝜙7 -0.443 0.722 Tidak
𝜃7 -0.323 0.769 Tidak
𝑑 0.406 0.044 Ya
12 ([2,7], 𝑑, 7)
𝜙2 -0.159 0.062 Ya
𝜙7 -0.150 0.449 Tidak
𝜃7 -0.026 0.466 Tidak
𝑑 0.449 0.040 Ya
13 ([2], 𝑑, [2,7])
𝜙2 -0.331 0.209 Tidak
𝜃2 -0.172 0.211 Tidak
𝜃7 0.125 0.059 Ya
𝑑 0.448 0.040 Ya
14 ([2,7], 𝑑, [2,7])
𝜙2 -0.432 0.232 Tidak
𝜙7 0.227 0.369 Tidak
𝜃2 -0.277 0.242 Tidak
𝜃7 0.348 0.359 Tidak
𝑑 0.447 0.040 Ya
Model ARFIMA ([7], 0.409,0), ARFIMA ([2,7], 0.45,0),
ARFIMA (0,0.41, [7]), ARFIMA (0,0.45, [2,7]), ARFIMA (2,0.439,2),
ARFIMA ([7], 0.449, [2]), dan ARFIMA ([2], 0.452, [7]) seluruh parameternya
signifikan sehingga perlunya membandingkan nilai AIC dari masing-masing model
untuk memilih kandidat model yang akan digunakan ke tahap selanjutnya.
Tabel 4.4. Nilai AIC Kandidat Model ARFIMA �̂�𝐸𝑀𝐿
�̂�𝐸𝑀𝐿 Model
ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) AIC
0.409 ([7], 𝑑, 0) -1773.942
0.450 ([2,7], 𝑑, 0) -1780.581
0.410 (0, 𝑑, [7]) -1773.884
0.450 (0, 𝑑, [2,7]) -1779.35
0.439 (2, 𝑑, 2) -1787.438
0.449 ([7], 𝑑, [2]) -1775.627
0.452 ([2], 𝑑, [7]) -1776.487
25
Pada Tabel 4.4 memperlihatkan bahwa model ARFIMA (2,0.439.2)
memiliki nilai AIC terkecil dibandingkan dengan model ARFIMA([7], 0.409,0),
ARFIMA ([2,7], 0.45,0), ARFIMA (0,0.41, [7]), ARFIMA (0,0.45, [2,7]),
ARFIMA([7], 0.449, [2]), dan ARFIMA([2], 0.452, [7]). Mengindikasikan model
ARFIMA(2,0.439.2) yang akan digunakan ke tahap selanjutnya.
4.5. Pembentukan Model ARFIMA(𝒑, 𝒅, 𝒒) Secara Semiparametrik
Pada pembentukan model ARFIMA menggunakan metode semiparametrik
tahap pertama yaitu menetapkan estimasi parameter d terlebih dahulu dengan
menggunakan metode metode Geweke and Porter-Hudak (GPH), Smooth GPH
(Sperio), Local Whittle dan R/S. Selanjutnya, plot ACF dan PACF data yang telah
didiffediffrencing sesuai nilai d yang telah diperoleh oleh masing-masing metode.
Kemudian estimasi paremeter 𝜙 dan 𝜃. Model ARFIMA yang akan digunakan pada
tahap selanjutnya dari masing-masing metode adalah model yang memiliki
parameter yang signifikan dan nilai AIC terkecil.
4.5.1. Estimasi Parameter 𝒅
Dalam mengestimasi parameter d pada metode semiparametrik dapat
menggunakan beberapa metode diantaranya metode Geweke dan Porter-Hudak
(GPH), Smoothed GPH (Sperio), Local Whittle dan R/S. Dengan bantuan software
R diperoleh hasil perhitungan estimasi parameter d dari beberapa metode yang
disajikan pada Tabel 4.5.
Tabel 4.5. Estimasi Parameter d Pada Metode Semiparametrik
Metode Hasil Estimasi
Parameter d Standar Error
Geweke dan Porter-Hudak (GPH) 0.334 0.076
Smoothed GPH (Sperio) 0.359 0.033
Local Whittle 0.352 0.039
R/S 0.238 0.048
Dengan demikian dapat dianalisa bahwa nilai estimasi parameter d berbagai
metode menunjukan nilai yang terletak antara 0 < 𝑑 < 0.5 menyatakan proses
berkorelasi panjang stasioner dengan adanya ketergantungan positif antar
26
pengamatan yang terpisah jauh yang ditunjukkan dengan autokorelasi positif dan
turun lambat serta mempunyai representasi moving average orde tak hingga.
4.5.2. Identifikasi Model
Identifikasi model dilakukan dengan melihat hasil plot ACF dan PACF yang
didifferencing(𝑑) sesuai nilai 𝑑 yang telah diperoleh dari masing-masing metode.
Pendugaan model ditentukan dengan melihat lag yang terdapat cut-off dari plot
ACF dan PACF yang dihasilkan. Contohnya apabila pada plot ACF terdapat cut-
off hanya pada lag ke-7 maka penulisan modelnya adalah (0,0, [7]).
Gambar 4.5 merupakan Plot ACF dan PACF dari data yang telah
didifferencing dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334. Dari Gambar 4.5 terlihat bahwa terdapat cut-
off pada plot ACF di lag ke-1 dan 7 sedangkan pada plot PACF terdapat cut-off di
lag ke 1, 2 dan 7. Kandidat model ARFIMA yang mungkin terbentuk dari plot ACF
dan PACF yaitu ARFIMA(2, 𝑑, 0), ARFIMA([7], 𝑑, 0), ARFIMA([1,2,7], 𝑑, 0),
ARFIMA(0, 𝑑, 1), ARFIMA(0, 𝑑, [7]), ARFIMA(0, 𝑑, [1,7]), ARFIMA(2, 𝑑, 1),
ARFIMA ([7]. 𝑑, 1), ARFIMA ([1,2,7], 𝑑, 1), ARFIMA (2, 𝑑, [7]),
ARFIMA(2, 𝑑, [1,7]), ARFIMA([1,2,7], 𝑑, [7]), ARFIMA([1,2,7], 𝑑, [1,7]), dan
ARFIMA([7], 𝑑, [7]) dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334.
Gambar 4.5. Plot ACF dan PACF differencing (�̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334)
Gambar 4.6 merupakan Plot ACF dan PACF dari data yang telah
didifferencing dengan �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359. Dari Gambar 4.6 terlihat bahwa terdapat
cut-off pada plot ACF di lag ke-2 dan 7 sedangkan pada plot PACF terdapat cut-off
di lag ke-2 dan 7. Kandidat model ARFIMA yang mungkin terbentuk dari plot ACF
dan PACF yaitu ARFIMA (2, 𝑑, 0), ARFIMA ([7], 𝑑, 0), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 0),
27
ARFIMA(0, 𝑑, 2), ARFIMA(0, 𝑑, [7]), ARFIMA(0, 𝑑, [2,7]), ARFIMA(2, 𝑑, 2),
ARFIMA ([7], 𝑑, [2]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, [2]), ARFIMA ([2], 𝑑, [7]),
ARFIMA ([7], 𝑑, [7]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 7), ARFIMA ([2], 𝑑, [2,7]),
ARFIMA([2,7], 𝑑, [2,7]) dengan �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 =0.359.
Gambar 4.6. Plot ACF dan PACF differencing (�̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 =0.359)
Gambar 4.7 merupakan Plot ACF dan PACF dari data yang telah
didifferencing dengan �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352. Dari Gambar 4.7 terlihat bahwa terdapat
cut-off pada plot ACF di lag ke-2 dan 7 sedangkan pada plot PACF terdapat cut-off
di lag ke-2 dan 7. Kandidat model ARFIMA yang mungkin terbentuk dari plot ACF
dan PACF yaitu ARFIMA (2, 𝑑, 0), ARFIMA ([7], 𝑑, 0), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 0),
ARFIMA(0, 𝑑, 2), ARFIMA(0, 𝑑, [7]), ARFIMA(0, 𝑑, [2,7]), ARFIMA(2, 𝑑, 2),
ARFIMA ([7], 𝑑, [2]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, [2]), ARFIMA ([2], 𝑑, [7]),
ARFIMA ([7], 𝑑, [7]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 7), ARFIMA ([2], 𝑑, [2,7]),
ARFIMA([2,7], 𝑑, [2,7]) dengan �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352.
Gambar 4.7. Plot ACF dan PACF differencing (�̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352)
Gambar 4.8 merupakan Plot ACF dan PACF dari data yang telah
didifferencing dengan �̂�𝑅/𝑆 =0.238.. Dari Gambar 4.8 terlihat bahwa terdapat cut-
off pada plot ACF di lag ke-1 dan 4 sedangkan pada plot PACF terdapat cut-off di
5 10 15 20
-0.1
00
.00
0.1
0
Series y3
Lag
AC
F
5 10 15 20
-0.1
00
.00
0.1
0
Lag
Pa
rtia
l A
CF
Series y3
28
lag ke-1. Kandidat model ARFIMA yang mungkin terbentuk dari plot ACF dan
PACF yaitu ARFIMA (0, 𝑑, 1), ARFIMA (1, 𝑑, 0), ARFIMA (1, 𝑑, 1),
ARFIMA (0, 𝑑, 4), ARFIMA (0, 𝑑, [1,4]), ARFIMA (1, 𝑑, [4]),
ARFIMA(1, 𝑑, [1,4]) dengan �̂�𝑅/𝑆 =0.238.
Gambar 4.8. Plot ACF dan PACF differencing ( �̂�𝑅/𝑆 =0.238)
4.5.3. Estimasi parameter 𝝓 dan 𝜽
Selanjutnya estimasi parameter 𝜙 dan 𝜃 dari beberapa kandidat model yang
telah diperoleh. Untuk mengetahui apakah parameter yang diperoleh signifikan atau
tidak dapat dilihat dengan cara membagi hasil estimasi parameter dengan standar
errornya. Apabila hasil pembagian tersebut kurang dari −1.96 dan lebih dari 1.96
maka parameter tersebut dikatakan signifikan.
Tabel 4.6 merupakan hasil estimasi parameter 𝜙 dan 𝜃 dari beberapa
kandidat model yang telah diperoleh dengan menetapkan estimasi parameter 𝑑
menggunakan metode GPH. Dari 14 model yang terdapat pada Tabel 4.6
menunjukkan bahwa model ARFIMA ([1,2,7], 𝑑, 0), ARFIMA (0, 𝑑, [7]),
ARFIMA (0, 𝑑, [1,7]), ARFIMA (2, 𝑑, 1), ARFIMA ([7], 𝑑, 1),
ARFIMA ([1,2,7], 𝑑, 1), ARFIMA (2, 𝑑, [7]), ARFIMA (2, 𝑑, [1,7]), dan
ARFIMA ([1,2,7], 𝑑, [1,7]) memiliki parameter yang tidak signifikan. Model
ARFIMA (2, 𝑑, 0), ARFIMA ([7], 𝑑, 0), ARFIMA (0, 𝑑, 1),
ARFIMA([1,2,7], 𝑑, [7]) dan ARFIMA([7], 𝑑, [7]) dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334 seluruh
parameternya signifikan sehingga perlunya membandingkan nilai AIC dari masing-
masing model untuk memilih kandidat model yang akan digunakan ke tahap
selanjutnya.
5 10 15 20
-0.1
00
.00
0.1
00
.20
Series y4
Lag
AC
F
5 10 15 20
-0.1
00
.00
0.1
00
.20
Lag
Pa
rtia
l A
CF
Series y4
29
Tabel 4.6. Estimasi Parameter ARFIMA �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334
No. Model ARFIMA Parameter Estimasi
Parameter
Standar
Error Signifikan
1 (2, 𝑑, 0) 𝜙1 0.148 0.058 Ya
𝜙2 -0.117 0.058 Ya
2 ([7], 𝑑, 0) 𝜙7 -0.116 0.059 Ya
3 ([1,2,7], 𝑑, 0)
𝜙1 0.148 0.058 Ya
𝜙2 -0.108 0.058 Tidak
𝜙7 -0.108 0.058 Tidak
4 (0, 𝑑, 1) 𝜃1 -0.165 0.063 Ya
5 (0, 𝑑, [7]) 𝜃7 0.113 0.058 Tidak
6 (0, [1,7]) 𝜃1 -0.153 0.063 Ya
𝜃7 0.103 0.060 Tidak
7 (2, 𝑑, 1)
𝜙1 0.105 0.323 Tidak
𝜙2 -0.112 0.073 Tidak
𝜃1 -0.044 0.322 Tidak
8 ([7]. 𝑑, 1) 𝜙7 -0.110 0.059 Tidak
𝜃1 -0.159 0.063 Ya
9 ([1,2,7], 𝑑, 1)
𝜙1 0.160 0.254 Tidak
𝜙2 -0.109 0.064 Tidak
𝜙7 -0.108 0.058 Tidak
𝜃1 0.013 0.255 Tidak
10 (2, 𝑑, [7])
𝜙1 0.144 0.058 Ya
𝜙2 -0.105 0.059 Tidak
𝜙7 0.098 0.059 Tidak
11 (2, 𝑑, [1,7])
𝜙1 0.143 0.271 Tidak
𝜙2 -0.105 0.064 Tidak
𝜃1 -0.002 0.268 Tidak
𝜃7 0.098 0.059 Tidak
12 ([1,2,7], 𝑑, [7])
𝜙1 0.133 0.054 Ya
𝜙2 -0.100 0.050 Ya
𝜙7 -0.559 0.223 Ya
𝜃7 -0.483 0.246 Ya
13 ([1,2,7], 𝑑, [1,7])
𝜙1 -0.075 0.120 Tidak
𝜙2 -0.054 0.054 Tidak
𝜙7 -0.696 0.143 Ya
𝜃1 -0.216 0.132 Tidak
𝜃7 -0.638 0.146 Ya
14 ([7], 𝑑, [7]) 𝜙7 -0.910 0.152 Ya
𝜃7 -0.858 0.191 Ya
30
Pada Tabel 4.7 memperlihatkan bahwa model Model ARFIMA (2, 𝑑, 0)
memiliki nilai AIC terkecil dibandingkan dengan model ARFIMA ([7], 𝑑, 0),
ARFIMA (0, 𝑑, 1), ARFIMA ([1,2,7], 𝑑, [7]) dan ARFIMA ([7], 𝑑, [7]).
Mengindikasikan model ARFIMA (2, 𝑑, 0) yang akan digunakan ke tahap
selanjutnya dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334
Tabel 4.7. Nilai AIC Model ARFIMA �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334
Model ARFIMA
(𝑑 = 0.334) AIC
(2, 𝑑, 0) -1786.023
([7], 𝑑, 0) -1770.698
(0, 𝑑, 1) -1785.356
([1,2,7], 𝑑, [7]) -1767.478
([7], 𝑑, [7]) -1757.494
Selanjutnya pada Tabel 4.8 merupakan hasil estimasi parameter 𝜙 dan 𝜃 dari
beberapa kandidat model yang telah diperoleh dengan menetapkan estimasi
parameter 𝑑 menggunakan metode Sperio. Dari 14 model yang terdapat pada Tabel
4.8 menunjukkan model ARFIMA ([2,7], 𝑑, 0), ARFIMA (0, 𝑑, 2),
ARFIMA (0, 𝑑, [2,7]), ARFIMA ([7], 𝑑, [2]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, [2]),
ARFIMA ([2], 𝑑, [7]), ARFIMA ([7], 𝑑, [7]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 7),
ARFIMA ([2], 𝑑, [2,7]) dan ARFIMA ([2,7], 𝑑, [2,7]) memiliki parameter yang
tidak signifikan dengan �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359.
Tabel 4.8. Estimasi Parameter ARFIMA �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359
No. Model
ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) Parameter
Estimasi
Parameter
Standar
Error Signifikan
1 (2, 𝑑, 0) 𝜙1 0.123 0.058 Ya
𝜙2 -0.129 0.058 Ya
2 ([7], 𝑑, 0) 𝜙7 -0.122 0.059 Ya
3 ([2,7], 𝑑, 0) 𝜙2 -0.106 0.058 Tidak
𝜙7 -0.113 0.059 Tidak
4 (0, 𝑑, 2) 𝜃1 -0.118 0.058 Ya
𝜃2 0.095 0.055 Tidak
5 (0, 𝑑, [7]) 𝜃7 0.120 0.059 Ya
31
6 (0, 𝑑, [2,7]) 𝜃2 0.083 0.054 Tidak
𝜃7 0.107 0.060 Tidak
7 (2, 𝑑, 2)
𝜙1 0.425 0.134 Ya
𝜙2 -0.795 0.150 Ya
𝜃1 0.362 0.162 Ya
𝜃2 -0.680 0.183 Ya
8 ([7], 𝑑, [2]) 𝜙7 -0.112 0.059 Tidak
𝜃2 0.087 0.054 Tidak
9 ([2,7], 𝑑, [2])
𝜙2 -0.303 0.227 Tidak
𝜙7 -0.106 0.059 Tidak
𝜃2 -0.194 0.224 Tidak
10 ([2], 𝑑, [7]) 𝜙2 -0.104 0.059 Tidak
𝜃7 0.109 0.059 Tidak
11 ([7], 𝑑, [7]) 𝜙7 -0.613 0.881 Tidak
𝜃7 -0.513 0.970 Tidak
12 ([2,7], 𝑑, 7)
𝜙2 -0.097 0.061 Tidak
𝜙7 -0.461 0.509 Tidak
𝜃7 -0.362 0.543 Tidak
13 ([2], 𝑑, [2,7])
𝜙2 -0.367 0.217 Tidak
𝜃2 -0.254 0.213 Tidak
𝜃7 0.108 0.057 Tidak
14 ([2,7], 𝑑, [2,7])
𝜙2 -0.499 0.223 Ya
𝜙7 0.287 0.497 Tidak
𝜃2 -0.383 0.227 Tidak
𝜃7 0.382 0.465 Tidak
Model ARFIMA (2, 𝑑, 0), ARFIMA ([7], 𝑑, 0), ARFIMA (0, 𝑑, [7]),
ARFIMA (2, 𝑑, 2) dengan �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359 seluruh parameternya signifikan
sehingga perlunya membandingkan nilai AIC dari masing-masing model untuk
memilih kandidat model yang akan digunakan ke tahap selanjutnya. Pada Tabel 4.9
memperlihatkan bahwa model Model ARFIMA(2, 𝑑, 0) memiliki nilai AIC terkecil
dibandingkan dengan model ARFIMA ([7], 𝑑, 0), ARFIMA (0, 𝑑, [7]) dan
ARFIMA (2, 𝑑, 2) dengan �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359. Mengindikasikan model
ARFIMA(2, 𝑑, 0) yang akan digunakan ke tahap selanjutnya dengan �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 =
0.359.
32
Tabel 4.9. Nilai AIC Model ARFIMA dengan �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359
Model ARFIMA (𝑑 = 0.334) AIC
(2, 𝑑, 0) -1786.023
([7], 𝑑, 0) -1770.698
(0, 𝑑, 1) -1785.356
([1,2,7], 𝑑, [7]) -1767.478
([7], 𝑑, [7]) -1757.494
Pada Tabel 4.10 merupakan hasil estimasi parameter 𝜙 dan 𝜃 dari beberapa
kandidat model yang telah diperoleh dengan menetapkan estimasi parameter 𝑑
menggunakan metode Local Whittle. Dari 14 model yang terdapat pada Tabel 4.10
menunjukkan model ARFIMA(2, 𝑑, 0), ARFIMA(0, 𝑑, 2), ARFIMA([2,7], 𝑑, [2]),
ARFIMA ([7], 𝑑, [7]), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 7), ARFIMA ([2], 𝑑, [2,7]), dan
ARFIMA ([2,7], 𝑑, [2,7]) memiliki parameter yang tidak signifikan. Model
ARFIMA ([7], 𝑑, 0), ARFIMA ([2,7], 𝑑, 0), ARFIMA (0, 𝑑, [7]),
ARFIMA (0, 𝑑, [2,7]), ARFIMA (2, 𝑑, 2), ARFIMA ([7], 𝑑, [2]),
ARFIMA ([2], 𝑑, [7]) dengan �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352 seluruh parameternya signifikan
sehingga perlunya membandingkan nilai AIC dari masing-masing model untuk
memilih kandidat model yang akan digunakan ke tahap selanjutnya.
Tabel 4.10. Estimasi Parameter ARFIMA �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352
No. Model
ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) Parameter
Estimasi
Parameter
Standar
Error Signifikan
1 (2, 𝑑, 0) 𝜙1 0.072 0.058 Tidak
𝜙2 -0.153 0.058 Ya
2 ([7], 𝑑, 0) 𝜙7 -0.132 0.059 Ya
3 ([2,7], 𝑑, 0) 𝜙2 -0.139 0.058 Ya
𝜙7 -0.121 0.058 Ya
4 (0, 𝑑, 2) 𝜃1 -0.062 0.058 Tidak
𝜃2 0.127 0.055 Ya
5 (0, 𝑑, [7]) 𝜃7 0.132 0.059 Ya
6 (0, 𝑑, [2,7]) 𝜃2 0.116 0.054 Ya
𝜃7 0.118 0.060 Ya
7 (2, 𝑑, 2)
𝜙1 0.493 0.165 Ya
𝜙2 -0.792 0.115 Ya
𝜃1 0.469 0.203 Ya
𝜃2 -0.665 0.139 Ya
33
8 ([7], [2]) 𝜙7 -0.121 0.059 Ya
𝜃2 0.121 0.054 Ya
9 ([2,7], 𝑑, [2])
𝜙2 -0.278 0.217 Tidak
𝜙7 -0.115 0.058 Ya
𝜃2 -0.140 0.216 Tidak
10 ([2], 𝑑, [7]) 𝜙2 -0.138 0.058 Ya
𝜃7 0.121 0.059 Ya
11 ([7], 𝑑, [7]) 𝜙7 -0.432 0.717 Tidak
𝜃7 -0.311 0.762 Tidak
12 ([2,7], 𝑑, 7)
𝜙2 -0.136 0.059 Ya
𝜙7 -0.256 0.438 Tidak
𝜃7 -0.141 0.457 Tidak
13 ([2], 𝑑, [2,7])
𝜙2 -0.346 0.210 Tidak
𝜃2 -0.205 0.208 Tidak
𝜃7 0.119 0.058 Ya
14 ([2,7], 𝑑, [2,7])
𝜙2 -0.460 0.225 Ya
𝜙7 0.248 0.382 Tidak
𝜃2 -0.320 0.230 Tidak
𝜃7 0.360 0.365 Tidak
. Pada Tabel 4.11 memperlihatkan bahwa model ARFIMA(2, 𝑑, 2) memiliki
nilai AIC terkecil dibandingkan model ARFIMA([7], 𝑑, 0), ARFIMA([2,7], 𝑑, 0),
ARFIMA (0, 𝑑, [7]), ARFIMA (0, 𝑑, [2,7]), ARFIMA ([7], 𝑑, [2]),
ARFIMA ([2], 𝑑, [7]) dengan �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352 Mengindikasikan model
ARFIMA(2, 𝑑, 2) yang akan digunakan ke tahap selanjutnya dengan �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 =
0.352.
Tabel 4.11. Nilai AIC Model ARFIMA �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352
Model ARFIMA (𝑑 = 0.352) AIC
([7], 𝑑, 0) -1773.893
([2,7], 𝑑, 0) -1779.591
(0, 𝑑, [7]) -1773.836
(0, 𝑑, [2,7]) -1778.372
(2, 𝑑, 2) -1787.139
([7], 𝑑, [2]) -1774.698
([2], 𝑑, [7]) -1775.391
Pada Tabel 4.12 merupakan hasil estimasi parameter 𝜙 dan 𝜃 dari beberapa
kandidat model yang telah diperoleh dengan menetapkan estimasi parameter 𝑑
menggunakan metode R/S. Dari 7 model yang terdapat pada Tabel 4.12
34
menunjukkan model ARFIMA (1, 𝑑, 1), ARFIMA (0, 𝑑, [1,4]),
ARFIMA (1, 𝑑, [1,4]) memiliki parameter yang tidak signifikan. Model
ARFIMA(0, 𝑑, 1), ARFIMA(1, 𝑑, 0), ARFIMA(0, 𝑑, [4]) dan ARFIMA(1, 𝑑, [4])
dengan �̂�𝑅/𝑆 = 0.238 seluruh parameternya signifikan sehingga perlunya
membandingkan nilai AIC dari masing-masing model untuk memilih kandidat
model yang akan digunakan ke tahap selanjutnya.
Tabel 4.12. Estimasi Parameter ARFIMA �̂�𝑅/𝑆 = 0.238
No. Model
ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞) Parameter
Estimasi
Parameter
Standar
Error Signifikan
1 (0, 𝑑, 1) 𝜃1 -0.259 0.057 Ya
2 (1, 𝑑, 0) 𝜙1 0.238 0.057 Ya
3
(1, 𝑑, 1)
𝜙1 -0.031 0.206 Tidak
𝜃1 -0.287 0.196 Tidak
4 (0, 𝑑, [4]) 𝜃4 -0.155 0.061 Ya
5
(0, 𝑑, [1,4])
𝜃1 -0.243 0.060 Ya
𝜃4 -0.104 0.062 Tidak
6
(1, 𝑑, [4])
𝜙1 0.224 0.057 Ya
𝜃4 -0.128 0.062 Ya
7
(1, 𝑑, [1,4])
𝜙1 0.074 0.340 Tidak
𝜃1 -0.167 0.362 Tidak
𝜃4 -0.111 0.073 Tidak
Pada Tabel 4.13 memperlihatkan bahwa model ARFIMA(0, 𝑑, 1) memiliki
nilai AIC terkecil dibandingkan model ARFIMA(0, 𝑑, [4]) dan ARFIMA(1, 𝑑, [4])
dengan �̂�𝑅/𝑆 = 0.238. Mengindikasikan model ARFIMA (0, 𝑑, 1) yang akan
digunakan ke tahap selanjutnya dengan �̂�𝑅/𝑆 = 0.238.
Tabel 4.13. Nilai AIC Model ARFIMA �̂�𝑅/𝑆 = 0.238.
Model ARFIMA (𝑑 = 0.238) AIC
(0, 𝑑, 1) -1784.631
(1, 𝑑, 0) -1783.05
(0, 𝑑, [4]) -1766.393
(1, 𝑑, [4]) -1779.315
35
4.6. Diagnostik Model ARFIMA (𝒑, 𝒅, 𝒒)
Tahap selanjutnya adalah diagnostik model. Seperti halnya pemodelan
ARIMA, model ARFIMA dibangun dengan batasan-batasan sehingga model
terpilih perlu dilakukan uji kesesuaian model. Pengujian diagnostik yang dilakukan
meliputi uji asumsi nilai residual bersifat acak dan berdistribusi normal. Pengujian
residual kandidat model berdistribusi normal atau tidak dapat dilakukan dengan
menggunakan uji Jarque-Bera. Tabel 4.14 menunjukkan bahwa hasil residual dari
semua kandidat model terpilih berdistribusi normal karena memiliki 𝑝-value >
𝛼 = 0.05 sehingga 𝐻0 diterima, artinya residual dari model telah memenuhi
asumsi normalitas.
Langkah selanjutnya adalah melakukan uji autokorelasi residual kandidat
model terpilih dengan menggunakan uji Ljung-Box. Tabel 4.14 menunjukkan
bahwa hasil uji autokorelasi residual dari semua kandidat model terpilih memiliki
𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼 = 0.05 sehingga 𝐻0 diterima, artinya tidak terdapat korelasi serial di
dalam residual model dengan kata lain model tersebut memenuhi asumsi white
noise.
Tabel 4.14. Uji Normalitas dan Uji Autokorelasi
Estimasi
Parameter 𝑑
Model
ARFIMA
P-value Uji
Normalitas
P-value Uji
Autokorelasi Keterangan
�̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334 (2, 𝑑, 0) 0.939 0.885 Normal dan Tidak
Ada Autokorelasi
�̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359 (2, 𝑑, 0) 0.956 0.857 Normal dan Tidak
Ada Autokorelasi
�̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 =
0.352 (2, 𝑑, 2) 0.944 0.672
Normal dan Tidak
Ada Autokorelasi
�̂�𝑅/𝑆 = 0.238 (0, 𝑑, 1) 0.823 0.863 Normal dan Tidak
Ada Autokorelasi
�̂�𝐸𝑀𝐿 = 0.439 (2, 𝑑, 2) 0.975 0.725 Normal dan Tidak
Ada Autokorelasi
4.7. Uji Validasi Model
Setelah mendapatkan beberapa model yang telah memenuhi uji asumsi
normalitas dan autokorelasi dari setiap metode, maka langkah selanjutnya adalah
melihat prakiraan kecepatan angin pada 73 periode selanjutnya yang dihasilkan tiap
36
model. Pada penelitian ini, digunakan Mean Absolute Prediction Error (MAPE)
dalam mengukur akurasi prakiraan. Tabel 4.15 memperlihatkan bahwa nilai MAPE
terkecil diperoleh dari model ARFIMA (2, 𝑑, 0) dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334. Model
ARFIMA (2, 𝑑, 0) dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334 memiliki nilai akurasi MAPE sebesar
17.760. Berdasarkan Tabel 2.2 yang merupakan kriteria penilaian MAPE jika
nilainya < 20% maka dapat disimpulkan bahwa kemampuan prakiraan baik. Hasil
perbandingan nilai prakiraan dengan nilai aktual secara keseluruhan dapat dilihat
pada Lampiran II.
Tabel 4.15. Akurasi Prakiraan Model ARFIMA
Estimasi Parameter 𝑑 Model ARFIMA MAPE
�̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334 (2, 𝑑, 0) 17.760
�̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359 (2, 𝑑, 0) 17.791
�̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352 (2, 𝑑, 2) 18.029
�̂�𝑅/𝑆 = 0.238 (0, 𝑑, 1) 17.838
�̂�𝐸𝑀𝐿 = 0.439 (2, 𝑑, 2) 18.242
Untuk mempermudah melihat perbedaan dari data aktual dan data prakiraan
validasi kecepatan angin dengan menggunakan model terpilih yaitu
ARFIMA(2, 𝑑, 0) dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334 disajikan pada Gambar 4.9.
Gambar 4.9.Hasil Prakiraan Validasi Kecepatan Angin di Bandara
Soekarno Hatta Menggunakan Model ARFIMA(2, 𝑑, 0) dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334
Selanjutnya, model ARFIMA(2, 𝑑, 0) dengan �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334 yang memiliki
hasil prakiraan dengan nilai MAPE terkecil akan digunakan sebagai model terpilih
37
untuk memprediksi kecepatan angin di Bandara Soerkarno Hatta. Persamaan
modelnya dapat dituliskan sebagai berikut.
𝜙2(𝐵)∇𝑑 𝑌𝑡 = 𝑒𝑡,
⟺ (1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2)(1 − 𝐵)0.334𝑌𝑡 = 𝑒𝑡
⟺ (1 + 0.148𝐵 − 0.117𝐵2)(1 − 𝐵)0.334𝑌𝑡 = 𝑒𝑡.
Nilai (1 − 𝐵)0.334 menggambarkan ketergantungan jangka panjang dalam
deret. Jika (1 − 𝐵)0.334𝑌𝑡 dianggap sebagai 𝑊𝑡 yang menunjukkan ketergantungan
jangka panjang, maka:
(1 + 0.148𝐵 − 0.117𝐵2)𝑊𝑡 = 𝑒𝑡,
⇔ 𝑊𝑡 + 0.148𝐵𝑊𝑡 − 0.117𝐵2𝑊𝑡 = 𝑒𝑡.
dengan (1 − 𝐵)0.334 dijabarkan sebagai
(1 − 𝐵)0.334 = 1 − 0.334𝐵 − (0.334)(1 − 0.334)𝐵2 −1
6(0.334)(1 −
0.334)(2 − 0.334)𝐵3 − ⋯ ,
⇔ (1 − 𝐵)0.334 = 1 − 0.334𝐵 −1
2(0.334)(0.666)𝐵2 −
1
6(0.334)(0.666)(1.666)𝐵3 − ⋯ ,
⇔ (1 − 𝐵)0.334 = 1 − 0.334𝐵 −1
2(0.223)𝐵2 −
1
6(0.371)𝐵3 − ⋯ ,
⇔ (1 − 𝐵)0.334 = 1 − 0.334𝐵 − 0.112𝐵2 − 0.062𝐵3 − ⋯ .
Model ARFIMA (2,0.334,0) dapat dijabarkan sebagai berikut
⇔ 𝑊𝑡 + 0.148𝐵𝑊𝑡 − 0.117𝐵2𝑊𝑡 = 𝑒𝑡,
⇔ (1 − 0.334𝐵 − 0.112𝐵2 − 0.062𝐵3 − ⋯ )𝑌𝑡 + (1 − 0.334𝐵 − 0.112𝐵2 −
0.062𝐵3 − ⋯ )0.148𝑌𝑡−1 − (1 − 0.334𝐵 − 0.112𝐵2 − 0.062𝐵3 −
⋯ )0.117𝑌𝑡−2 = 𝑒𝑡,
⇔ (𝑌𝑡 − 0.334𝑌𝑡−1 − 0.112𝑌𝑡−2 − 0.062𝑌𝑡−3 − ⋯ ) + (0.148𝑌𝑡−1 −
0.049𝑌𝑡−2 − 0.017𝑌𝑡−3 − 0.007𝑌𝑡−4 − ⋯ ) − (0.117𝑌𝑡−2 − 0.039𝑌𝑡−3 −
0.013𝑌𝑡−4 − 0.007𝑌𝑡−5 − ⋯ ) = 𝑒𝑡,
⇔ 𝑌𝑡 − 0.186𝑌𝑡−1 − 0.278𝑌𝑡−2 − 0.04𝑌𝑡−3 − ⋯ = 𝑒𝑡,
⇔ 𝑌𝑡 = 0.186𝑌𝑡−1 + 0.278𝑌𝑡−2 + 0.04𝑌𝑡−3 − ⋯ + 𝑒𝑡,
dengan 𝑌𝑡 adalah data kecepatan angin.
38
4.8. Hasil Prakiraan
Hasil prakiraan kecepatan angin di Bandara Soekarno Hatta periode 1
Desember 2018 sampai 14 Desember 2018 dapat dilihat pada Tabel 4.16.
Tabel 4.16. Hasil Prakiraan Nilai Kecepatan Angin
Tanggal Prakiraan Nilai Kecepatan
Angin (Knot)
01/12/2018 5.582
02/12/2018 5.582
03/12/2018 5.583
04/12/2018 5.583
05/12/2018 5.584
06/12/2018 5.584
07/12/2018 5.585
08/12/2018 5.585
09/12/2018 5.586
10/12/2018 5.586
11/12/2018 5.587
12/12/2018 5.587
13/12/2018 5.588
14/12/2018 5.588
.
39
BAB V
PENUTUP
5.1. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan dari data kecepatan angin di Bandara
Soekarno Hatta, diketahui bahwa hasil estimasi parameter d pada model ARFIMA
untuk data kecepatan angin yang signifikan menggunakan metode semiparametrik
yaitu �̂�𝑔𝑝ℎ = 0.334, �̂�𝑆𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 0.359, �̂�𝑊ℎ𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 = 0.352, �̂�𝑅/𝑆 = 0.238 dan metode
parametrik yaitu �̂�𝐸𝑀𝐿 = 0.439. Model terpilih untuk prakiraan nilai kecepatan
angin yaitu ARFIMA(2, 𝑑, 0) dengan metode semiparametrik GPH yang memiliki
nilai akurasi MAPE 17.76 dapat dituliskan persamaannya sebagai berikut:
𝑌𝑡 = 0.186𝑌𝑡−1 + 0.278𝑌𝑡−2 + 0.04𝑌𝑡−3 − ⋯ + 𝑒𝑡.
Dari persamaan di atas dapat diketahui kecepatan angin di Bandara Soekarno
Hatta memiliki indikasi ketergantungan jangka panjang. Hal ini mungkin
disebabkan karena adanya kecenderungan siklus angin yang berulang. Untuk hasil
prakiraan 14 hari selanjutnya yaitu di awal bulan Desember tahun 2018 kecepatan
angin di Bandara Soekarno Hatta tidak ada kecenderungan naik yang berarti.
5.2. Saran
Pada penelitian selanjutnya, diharapkan dapat membandingkan hasil estimasi
parameter d menggunakan metode estimasi parametrik lainnya seperti Modified
Profile Likelihood dan Non-linear Least Square serta membandingkan hasil
prakiraan keduanya dalam kasus yang sama. Selain itu, memperhitungkan adanya
heteroskedastisitas pada data sehingga dapat dikembangkan menjadi model
ARFIMA-GARCH atau pengembangan model ARFIMA yang lebih luas.
40
REFERENSI
[1] A. R. Damanhuri, A. Priyadi dan M. H. Purmono, “Prediksi Kecepatan Angin
Jangka Pendek Menggunakan Metode Fuzzy Linear Regression Untuk
Mendapatkan Masukan Pada Kontroler Turbin Angin,” JURNAL TEKNIK
POMITS, vol. I, no. 2, pp. 1-6, 2014.
[2] R. Efendi, “Cuaca Buruk Tunda Sejumlah Keberangkatan di Bandara
Kualanamu,” Liputan6, 19 February 2015. [Online]. Available:
https://www.liputan6.com/news/read/2178402/cuaca-buruk-tunda-sejumlah-
keberangkatan-di-bandara-kualanamu. [Diakses 12 January 2019].
[3] N. Ulinnuha dan Y. Farida, “Prediksi Cuaca Kota Surabaya Menggunakan
Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) Box Jenkins dan
Kalman Filter,” Jurnal Matematika "MANTIK", vol. 4, no. 1, pp. 59-67, 2018.
[4] A. P. Desvina dan M. Anggriani, “Peramalan Kecepatan Angin Di Kota
Pekanbaru Menggunakan Metode Box-Jenkins,” Jurnal Sains dan
Matematika Statistika, vol. I, no. 2, 2015.
[5] W. W. Wei, Time Series Analysis : Univariate and Multivariate Methods.
Second Edition, New York: Pearson Addison Wesley, 2006.
[6] C. W. Granger dan R. Joyeux, “An introduction to long‐memory time series
models and fractional differencing,” Journal of time series analysis, vol. I,
pp. 15-29, 1980.
[7] F. Sowell, “Maximum likelihood estimation of stationary univariate
fractionally integrated time series models,” Journal of econometrics, vol. 53,
no. 1-3, pp. 165-188, 1992.
[8] V. Reisen, B. Abraham dan S. Lopes, “Estimation of Parameters in ARFIMA
Processes: A Simulation Study,” Communications in Statistics-Simulation
and Computation, vol. 30, no. 4, pp. 787-803, 2001.
[9] J. Geweke dan S. Porter-Hudak, “The Estimation and Application of Long
Memory Time Series Models,” Journal of Time Series Analysis, vol. 4, no. 4,
pp. 221-238, 1983.
41
[10] V. A. Reisen dan S. Lopes, “Some Simulations and Applications of
Forecasting Long-memory Time Series Models,” Journal of Statistical
Planning and Inference, vol. 80, no. 1-2, pp. 269-287, 1999.
[11] H. R. Kunsch, “Statistical aspects of self-similar processes,” dalam
Proceedings of the First World Congress of the Bernoulli Society, 1987,
Zurich, 1987.
[12] P. M. Robinson, “Gaussian semiparametric estimation of long range
dependence,” The Annals of statistics, vol. 23, no. 5, pp. 1630-1661, 1995.
[13] Hamdi, Energi Terbarukan, Jakarta: Kencana, 2016.
[14] S. Makridakis dan S. C. Wheelwright, Forecasting methods and applications,
United State: John wiley & sons, 2008.
[15] D. Rosadi, Analisis Ekonometrika & Runtun Waktu Terapan dengan R :
Aplikasi untuk Bidang Ekonomi, Bisnis, dan Keuangan, Yogyakarta: ANDI,
2011.
[16] J. D. Cryer dan K.-S. Chan, Time Series Analysis With Applications in R
Second Edition Springer Science+ Business Media, LLC, 2008.
[17] H. E. Hurst, “The problem of long-term storage in reservoirs,” Hydrological
Sciences Journal, vol. I, no. 3, pp. 13-27, 1956.
[18] J. A. Doornik dan M. Ooms, “A package for estimating, forecasting and
simulating ARFIMA models: Arfima package 1.0 for Ox,” Preprint, Erasmus
University, 1999.
[19] E. Moulines dan P. Soulier, “Broadband log-periodogram regression of time
series with long-range dependence,” The Annals of Statistics, vol. 27, no. 4,
pp. 1415-1439, 1999.
[20] J. R. Hosking, “Fractional differencing,” Biometrika, vol. 68, no. 1, pp. 165-
176, 1981.
[21] M. Boutahar dan R. Khalfaoui, “Estimation of the long memory parameter in
non stationary models: A Simulation Study,” 2011.
42
[22] R. A. H. Mohamed, “Using Arfima Models in Forecasting The Total Value
Of Traded Securites On The Arab Republic of Egypt,” International Journal
of Research and Reviews in Applied Sciences, vol. 27, no. 1, pp. 26-34, 2016.
[23] B. Joe dan R. Sisir, “US Housing Price Bubbles: A Long Memory Approach,”
dalam 46th Annual Conference of the Money ,Macro and Finance Research
Group, Durham University Business School, 2014.
[24] G. Bharwaj dan N. Swanson, “An Empirical Investigation of the Usefulness
of ARFIMA Models for Predicting Macroeconomic and Financial Time
Series,” Journal of Econometrics, vol. 8, no. 1, pp. 539-578, 2006.
[25] S. Makridakis, S. C. Wheelwright dan R. J. Hyndman, Forecasting Methods
and Applications, United State: John Wiley & Sons, Inc, 1995.
[26] National Climatic Data Center, “NOAA Satellite and Information Service,”
[Online]. Available: http://www7.ncdc.noaa.gov/CDO/dataproduct. [Diakses
5 November 2018].
43
LAMPIRAN
LAMPIRAN I
No. Tanggal Knot
1 01/12/2017 10.6
2 02/12/2017 11.6
3 03/12/2017 10.6
4 04/12/2017 11.3
5 05/12/2017 9.2
6 06/12/2017 7.1
7 07/12/2017 8.2
8 08/12/2017 6.5
9 09/12/2017 9.7
10 10/12/2017 8.8
11 11/12/2017 6.2
12 12/12/2017 7.4
13 13/12/2017 7.7
14 14/12/2017 5.8
15 15/12/2017 7.5
16 16/12/2017 5.7
17 17/12/2017 6.9
18 18/12/2017 7.4
19 19/12/2017 5.8
20 20/12/2017 7.2
21 21/12/2017 6.5
22 22/12/2017 7.7
23 23/12/2017 7.5
24 24/12/2017 12
25 25/12/2017 11.7
26 26/12/2017 8.1
27 27/12/2017 7
28 28/12/2017 5.9
29 29/12/2017 4.3
30 30/12/2017 5.1
31 31/12/2017 6.4
32 01/01/2018 10.1
33 02/01/2018 7.8
34 03/01/2018 4.4
35 04/01/2018 10
36 05/01/2018 12.6
37 06/01/2018 9.7
38 07/01/2018 3.9
39 08/01/2018 4.5
40 09/01/2018 4.6
41 10/01/2018 6.9
42 11/01/2018 9
43 12/01/2018 5.7
44 13/01/2018 7.4
45 14/01/2018 7.7
46 15/01/2018 7.2
47 16/01/2018 8.9
48 17/01/2018 6.3
49 18/01/2018 5.8
50 19/01/2018 8.7
51 20/01/2018 8.3
52 21/01/2018 10.2
53 22/01/2018 8.4
54 23/01/2018 6.1
55 24/01/2018 6.7
56 25/01/2018 10.6
57 26/01/2018 9.7
58 27/01/2018 7.2
59 28/01/2018 11.2
60 29/01/2018 9.4
61 30/01/2018 9.9
62 31/01/2018 5.8
63 01/02/2018 5.7
64 02/02/2018 5.8
65 03/02/2018 5.6
66 04/02/2018 7.2
67 05/02/2018 5.7
68 06/02/2018 5.1
69 07/02/2018 5.8
70 08/02/2018 5.7
71 09/02/2018 6.5
72 10/02/2018 6.1
73 11/02/2018 6.4
74 12/02/2018 8
75 13/02/2018 5.7
76 14/02/2018 5.7
77 15/02/2018 5.7
78 16/02/2018 7.6
79 17/02/2018 4.7
80 18/02/2018 4.3
81 19/02/2018 5
82 20/02/2018 6.5
83 21/02/2018 5.6
44
84 22/02/2018 3.8
85 23/02/2018 6.5
86 24/02/2018 4.2
87 25/02/2018 4.9
88 26/02/2018 4.5
89 27/02/2018 5.3
90 28/02/2018 3.7
91 01/03/2018 4.2
92 02/03/2018 4.4
93 03/03/2018 4.6
94 04/03/2018 4.6
95 05/03/2018 4
96 06/03/2018 4.5
97 07/03/2018 6.4
98 08/03/2018 4.1
99 09/03/2018 4.6
100 10/03/2018 4.9
101 11/03/2018 5.7
102 12/03/2018 7.2
103 13/03/2018 4.9
104 14/03/2018 5.6
105 15/03/2018 7.4
106 16/03/2018 4.4
107 17/03/2018 3.4
108 18/03/2018 4.5
109 19/03/2018 5
110 20/03/2018 5.5
111 21/03/2018 10.9
112 22/03/2018 5.4
113 23/03/2018 5
114 24/03/2018 9.3
115 25/03/2018 6.6
116 26/03/2018 8.4
117 27/03/2018 6.3
118 28/03/2018 4.9
119 29/03/2018 6.9
120 30/03/2018 8.6
121 31/03/2018 7.8
122 01/04/2018 6.3
123 02/04/2018 5.1
124 03/04/2018 5.6
125 04/04/2018 4.9
126 05/04/2018 4.6
127 06/04/2018 4.2
128 07/04/2018 6.8
129 08/04/2018 5.6
130 09/04/2018 4.9
131 10/04/2018 6.6
132 11/04/2018 8.4
133 12/04/2018 7.4
134 13/04/2018 6.5
135 14/04/2018 5.1
136 15/04/2018 4.5
137 16/04/2018 4.4
138 17/04/2018 3.9
139 18/04/2018 3.6
140 19/04/2018 3.9
141 20/04/2018 4.4
142 21/04/2018 4.4
143 22/04/2018 5.2
144 23/04/2018 3.9
145 24/04/2018 4.2
146 25/04/2018 4.7
147 26/04/2018 5.6
148 27/04/2018 7.7
149 28/04/2018 3.7
150 29/04/2018 5.4
151 30/04/2018 7.1
152 01/05/2018 8
153 02/05/2018 4.5
154 03/05/2018 4
155 04/05/2018 5.4
156 05/05/2018 7.9
157 06/05/2018 8.4
158 07/05/2018 7.5
159 08/05/2018 5.3
160 09/05/2018 6.7
161 10/05/2018 8.3
162 11/05/2018 6.7
163 12/05/2018 4.5
164 13/05/2018 6.4
165 14/05/2018 5.5
166 15/05/2018 5.1
167 16/05/2018 6.5
168 17/05/2018 4.4
169 18/05/2018 6.5
170 19/05/2018 6
171 20/05/2018 5.2
172 21/05/2018 5.6
173 22/05/2018 10
174 23/05/2018 5.5
175 24/05/2018 5.3
176 25/05/2018 3.6
177 26/05/2018 5.8
178 27/05/2018 3.6
179 28/05/2018 4.4
180 29/05/2018 5.2
181 30/05/2018 4.3
182 31/05/2018 5
45
183 01/06/2018 7.5
184 02/06/2018 5.8
185 03/06/2018 6.9
186 04/06/2018 6.1
187 05/06/2018 5.6
188 06/06/2018 4.1
189 07/06/2018 4.6
190 08/06/2018 4.1
191 09/06/2018 4.4
192 10/06/2018 4.7
193 11/06/2018 5.4
194 12/06/2018 4.6
195 13/06/2018 4.1
196 14/06/2018 4.2
197 15/06/2018 3.9
198 16/06/2018 7.7
199 17/06/2018 8.7
200 18/06/2018 9.2
201 19/06/2018 6
202 20/06/2018 9.1
203 21/06/2018 8.8
204 22/06/2018 8.3
205 23/06/2018 7.9
206 24/06/2018 6
207 25/06/2018 3.9
208 26/06/2018 4
209 27/06/2018 5.1
210 28/06/2018 5.1
211 29/06/2018 4.5
212 30/06/2018 3.8
213 01/07/2018 5
214 02/07/2018 5.2
215 03/07/2018 3.7
216 04/07/2018 3.9
217 05/07/2018 4.8
218 06/07/2018 5.1
219 07/07/2018 3.6
220 08/07/2018 4.5
221 09/07/2018 4.8
222 10/07/2018 3.5
223 11/07/2018 4.7
224 12/07/2018 4.9
225 13/07/2018 4
226 14/07/2018 4.3
227 15/07/2018 5.2
228 16/07/2018 4.4
229 17/07/2018 4.1
230 18/07/2018 4.3
231 19/07/2018 6.8
232 20/07/2018 6.3
233 21/07/2018 4.9
234 22/07/2018 4.6
235 23/07/2018 4.1
236 24/07/2018 3.6
237 25/07/2018 4.5
238 26/07/2018 5.2
239 27/07/2018 4.8
240 28/07/2018 3.4
241 29/07/2018 3.8
242 30/07/2018 4.4
243 31/07/2018 4.2
244 01/08/2018 4.6
245 02/08/2018 3.9
246 03/08/2018 5
247 04/08/2018 4.9
248 05/08/2018 6.1
249 06/08/2018 4.3
250 07/08/2018 5
251 08/08/2018 5
252 09/08/2018 4.8
253 10/08/2018 4.8
254 11/08/2018 5.1
255 12/08/2018 5.3
256 13/08/2018 6.2
257 14/08/2018 6.6
258 15/08/2018 5.5
259 16/08/2018 4.7
260 17/08/2018 4.9
261 18/08/2018 5.8
262 19/08/2018 5.8
263 20/08/2018 7
264 21/08/2018 5.7
265 22/08/2018 4.5
266 23/08/2018 4.6
267 24/08/2018 6.5
268 25/08/2018 6.6
269 26/08/2018 5.7
270 27/08/2018 5.7
271 28/08/2018 4.8
272 29/08/2018 5.4
273 30/08/2018 7
274 31/08/2018 6.5
275 01/09/2018 5
276 02/09/2018 4.7
277 03/09/2018 5.3
278 04/09/2018 5.3
279 05/09/2018 4.4
280 06/09/2018 5.8
281 07/09/2018 6
46
282 08/09/2018 4.7
283 09/09/2018 6.1
284 10/09/2018 7.3
285 11/09/2018 7.2
286 12/09/2018 5.9
287 13/09/2018 5
288 14/09/2018 4.7
289 15/09/2018 6.5
290 16/09/2018 8.5
291 17/09/2018 4.3
292 18/09/2018 5.2
293 19/09/2018 5.7
294 20/09/2018 6
295 21/09/2018 4.6
296 22/09/2018 5.3
297 23/09/2018 6
298 24/09/2018 4.6
299 25/09/2018 4.9
300 26/09/2018 5.1
301 27/09/2018 5.6
302 28/09/2018 6.2
303 29/09/2018 5.6
304 30/09/2018 6.2
305 01/10/2018 5.6
306 02/10/2018 6.1
307 03/10/2018 5.6
308 04/10/2018 7.7
309 05/10/2018 7
310 06/10/2018 6.4
311 07/10/2018 7.7
312 08/10/2018 7.7
313 09/10/2018 6.7
314 10/10/2018 5
315 11/10/2018 5.7
316 12/10/2018 6.3
317 13/10/2018 5.6
318 14/10/2018 7.7
319 15/10/2018 5.9
320 16/10/2018 5
321 17/10/2018 5.2
322 18/10/2018 6.2
323 19/10/2018 5.4
324 20/10/2018 5.2
325 21/10/2018 7.5
326 22/10/2018 7.2
327 23/10/2018 5.1
328 24/10/2018 5.6
329 25/10/2018 5.6
330 26/10/2018 5.4
331 27/10/2018 5.5
332 28/10/2018 4.6
333 29/10/2018 4.3
334 30/10/2018 4.9
335 31/10/2018 5.1
336 01/11/2018 5.5
337 02/11/2018 5.6
338 03/11/2018 4.3
339 04/11/2018 4
340 05/11/2018 4.6
341 06/11/2018 4.2
342 07/11/2018 4.1
343 08/11/2018 3.6
344 09/11/2018 3.3
345 10/11/2018 4.2
346 11/11/2018 3.9
347 12/11/2018 4.6
348 13/11/2018 5
349 14/11/2018 8.8
350 15/11/2018 8
351 16/11/2018 6.5
352 17/11/2018 8.1
353 18/11/2018 7.6
354 19/11/2018 6.3
355 20/11/2018 6.7
356 21/11/2018 5.8
357 22/11/2018 4.2
358 23/11/2018 4.5
359 24/11/2018 4.9
360 25/11/2018 4
361 26/11/2018 4.3
362 27/11/2018 4.1
363 28/11/2018 4.7
364 29/11/2018 4.4
365 30/11/2018 4.3
47
LAMPIRAN II
No. Hasil Prakira Kecepatan Angin Model ARFIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞)
(2,0.334,0) (2,0.359,0) (2,0.352,2) (0,0.238,1) (2,0.439,0)
1 5.645 5.675 5.539 5.552 5.571
2 5.584 5.593 5.959 5.513 5.992
3 5.526 5.525 5.771 5.521 5.801
4 5.527 5.529 5.366 5.525 5.386
5 5.535 5.539 5.309 5.528 5.309
6 5.536 5.540 5.589 5.530 5.584
7 5.536 5.539 5.785 5.531 5.810
8 5.536 5.539 5.643 5.532 5.696
9 5.536 5.539 5.426 5.533 5.463
10 5.536 5.538 5.425 5.534 5.425
11 5.536 5.538 5.595 5.535 5.586
12 5.536 5.538 5.681 5.535 5.708
13 5.536 5.538 5.585 5.536 5.641
14 5.536 5.539 5.472 5.537 5.510
15 5.536 5.539 5.490 5.537 5.493
16 5.537 5.539 5.589 5.538 5.586
17 5.537 5.539 5.624 5.539 5.653
18 5.538 5.540 5.562 5.540 5.614
19 5.538 5.540 5.505 5.540 5.541
20 5.539 5.541 5.525 5.541 5.533
21 5.539 5.541 5.581 5.542 5.588
22 5.540 5.542 5.593 5.543 5.625
23 5.540 5.543 5.555 5.544 5.602
24 5.541 5.543 5.528 5.544 5.562
25 5.542 5.544 5.545 5.545 5.559
26 5.542 5.545 5.576 5.546 5.591
27 5.543 5.545 5.578 5.547 5.612
28 5.544 5.546 5.556 5.548 5.598
29 5.545 5.547 5.544 5.549 5.576
30 5.545 5.548 5.556 5.549 5.576
31 5.546 5.548 5.573 5.550 5.595
32 5.547 5.549 5.572 5.551 5.607
33 5.548 5.550 5.560 5.552 5.599
34 5.549 5.551 5.555 5.553 5.587
35 5.549 5.552 5.564 5.553 5.588
48
36 5.550 5.552 5.573 5.554 5.600
37 5.551 5.553 5.571 5.555 5.607
38 5.552 5.554 5.565 5.556 5.603
39 5.553 5.555 5.563 5.557 5.597
40 5.554 5.556 5.569 5.557 5.598
41 5.554 5.556 5.574 5.558 5.605
42 5.555 5.557 5.573 5.559 5.609
43 5.556 5.558 5.570 5.560 5.607
44 5.557 5.559 5.570 5.560 5.604
45 5.558 5.560 5.574 5.561 5.606
46 5.558 5.561 5.577 5.562 5.610
47 5.559 5.561 5.576 5.563 5.613
48 5.560 5.562 5.575 5.563 5.612
49 5.561 5.563 5.576 5.564 5.611
50 5.562 5.564 5.579 5.565 5.613
51 5.562 5.565 5.580 5.565 5.616
52 5.563 5.566 5.580 5.566 5.618
53 5.564 5.566 5.580 5.567 5.618
54 5.565 5.567 5.581 5.568 5.618
55 5.566 5.568 5.583 5.568 5.619
56 5.566 5.569 5.584 5.569 5.621
57 5.567 5.570 5.584 5.570 5.623
58 5.568 5.570 5.585 5.570 5.623
59 5.569 5.571 5.586 5.571 5.624
60 5.569 5.572 5.587 5.571 5.625
61 5.570 5.573 5.588 5.572 5.627
62 5.571 5.574 5.589 5.573 5.628
63 5.572 5.574 5.589 5.573 5.629
64 5.572 5.575 5.590 5.574 5.630
65 5.573 5.576 5.591 5.575 5.631
66 5.574 5.577 5.592 5.575 5.632
67 5.574 5.577 5.593 5.576 5.633
68 5.575 5.578 5.593 5.576 5.634
69 5.576 5.579 5.594 5.577 5.635
70 5.577 5.580 5.595 5.577 5.636
71 5.577 5.580 5.596 5.578 5.637
72 5.578 5.581 5.597 5.579 5.639
73 5.579 5.582 5.597 5.579 5.640