ESTIMASI KURVA REGRESI SEMIPARAMETRIK PADA DATA ...

Statistika, Vol. 1, No. 1, Mei 2013

http://jurnal.unimus.ac.id 30

ESTIMASI KURVA REGRESI SEMIPARAMETRIK PADA DATALONGITUDINAL BERDASARKAN ESTIMATOR

POLINOMIAL LOKAL

Tiani Wahyu Utami

1Program Studi S1 Statistika Universitas Muhammadiyah Semarang, Jl. Kedung Mundu Raya no 18 Semarang;

Email: [email protected]

ABSTRAK

Diberikan model regresi semiparametrik untuk data longitudinal = + + ,dengan komponen parametrik dan komponen nonparametrik yang didekati denganPolinomial Lokal. Estimator Polinomial Lokal diperoleh dengan metode WLS(Weighted Least Square). Estimasi model regresi semiparametrik pada data longitudinaladalah = ∗( ) , dengan ∗( ) = [ ( − ) ( − ) ] ( − ) ( − ) +( − [ ( − ) ( − ) ] ( − ) ( − ), = ( ) .Estimator Polinomial Lokal sangat tergantung pada bandwidth (h) optimal. Penentuanbandwidth optimal dengan menggunakan metode GCV (Generalized Cross Validation).Selanjutnya model regresi semiparametrik Polinomial Lokal pada data longitudinaldiaplikasikan untuk memodelkan hubungan pengaruh antara kadar trombosit penderitaDemam Berdarah Dengue terhadap kadar hematrokit dan waktu pemeriksaan, dimanakadar hematrokit sebagai komponen nonparametrik dan waktu pemeriksaan sebagaikomponen parametrik. Hasil estimasi menujukkan bahwa waktu pemeriksaan berpolakuadratik untuk setiap subjek sedangkan kadar hematrokit pada subjek 1 mengikuti polapolinomial lokal berorde 1, sedangkan kadar hematrokit pada subjek 2 mengikuti polapolinomial lokal berorde 4 dan pada subjek 3 kadar hematrokit memgikuti polapolinomial lokal berorde 4. Model ini mempunyai nilai MSE sebesar 146.7636 dankoefisien determinasi R2 = 93,9249 %.

Kata kunci : Data Longitudinal, Estimator Polinomial Lokal, GCV, RegresiSemiparametrik, WLS.

PENDAHULUAN

Analisis regresi merupakan metodestatistika yang telah lama dikembangkanuntuk menyelidiki pola hubungan danpengaruh variabel prediktor terhadapvariabel respon, melalui estimasi kurvaregresinya. Berkaitan denganpengestimasian kurva regresi, terdapattiga model regresi yang dapat digunakanyaitu model regresi parametrik, modelregresi nonparametrik, dan model regresisemiparametrik [2]. Dalam beberapakasus, variabel respon diketahui polahubungannya dengan salah satu variabel

prediktor, tetapi dengan variabelprediktor yang lain tidak diketahuibentuk pola hubungannya. Dalamkeadaan seperti ini, maka digunakanpendekatan regresi semiparametrik [1].

Dalam regresi, terdapat jenis datalongitudinal yang pangamatan dilakukansebanyak n subjek saling independendengan setiap subjek diamati secaraberulang dalam kurun waktu yangberbeda [3]. Data longitudinal memilikikelebihan diantaranya dalam jumlahsubjek yang sama, hasil pengukuranerror menghasilkan penaksir efekperlakuan yang lebih efisien dikarenakan



pada data longitudinal dilakukanestimasi untuk setiap pengamatan danlebih powerfull walaupun hanyamenggunakan subjek yang lebih sedikit[6].

Pengamatan longitudinal diberikanoleh ;,...,2,1)};,,{( nitxy ijijij mj ,...,2,1 .

Hubungan antaraijx ,

ijt danijy

mengikuti model regresi semiparametrik.Bentuk kurva regresi yang tidakdiketahui diasumsikan smooth ataumulus. Estimator kurva regresi diperolehdengan mengestimasi parameternya [7].Terdapat beberapa pendekatan untukmengestimasi kurva regresi salahsatunya adalah dengan estimatorPolinomial Lokal. Salah satu kelebihanestimator Polinomial Lokal adalah dapatmengurangi asimtotik bias danmenghasilkan estimasi yang baik [5].Estimator Polinomial Lokal dapatdiperoleh dengan optimasi WLS(Weighted Least Square). Sedangkanuntuk mengestimasi parameterpenghalus (bandwidth) dengan metodeGeneralized Cross Validation (GCV).

Penelitian sebelumnya telah banyakdikembangkan mengenai datalongitudinal yang menggunakanpendekatan spline untuk estimasi kurvaregresi nonparametrik [11], maupunmodel regresi semiparametrik [8].Estimator Polinomial Lokal dalammengestimasi model regresinonparametrik diteliti pertama kalimenggunakan data cross-section [4].Selain itu telah dilakukan juga penelitiantentang estimasi selang kepercayaankurva regresi nonparametrik denganerror lognormal berdasarkan estimatorPolinomial Lokal, akan tetapi dalampenelitiannya menggunakan data cross-section [9].

Penyakit Demam Berdarah Dengueatau Dengue Haemorrhagic Fever(DHF) adalah penyakit yang disebabkanoleh virus dengue yang ditularkanmelalui gigitan nyamuk Aedes aegyptidan Aedes albopictus. Salah satu kriteria

laboratorium non spesifik untukmenegakkan diagnosis DBD yangditetapkan oleh WHO adalah adanyaTrombositopenia(trombosit<100.000/ml). Menurut ahlipenyakit infeksi tropis yang banyakmeneliti tentang demam berdarah,dr.Leonard Nainggolan, Sp.PD-KPT,penderita DBD jumlah trombositmenjadi rendah atau kurang dari 100.000per mm3 merupakan akibat adanyakebocoran plasma di pembuluh darahkapiler sehingga tubuh berupayamenutup celah itu dengan bantuantrombosit. Kebocoran itu menyebabkandarah menjadi pekat yang dapat dilihatdari naiknya kadar hematokrit.

Pada tulisan ini akan dibahasbagaimana mengestimasi kurva regresisemiparametrik pada data longitudinalmenggunakan estimator PolinomialLokal. Selanjutnya menerapkan modelregresi tersebut pada data kadartrombosit penderita DBD selama dirawatdi Rumah Sakit Haji tahun 2011berdasarkan waktu pemeriksaan, dankadar hematrokit pasien.

METODE PENELITIAN

Data yang digunakan dalampenelitian ini adalah data sekunder yangdiperoleh dari rekam medik Rumah SakitHaji Surabaya tahun 2011. Data tersebutmengenai kadar trombosit penderitaDBD (Demam Berdarah Dengue) yangdipengaruhi oleh kadar hematrokit danwaktu pemeriksaan selama dirawat dirumah sakit. Banyak subjek daripenelitian ini ada tiga subjek yangmasing-masing disebut subjek 1 untukpenderitaDBD derajat/grade I, subjek 2untuk penderitaDBD derajat/grade II dansubjek 3 untuk penderitaDBDderajat/grade III. Masing-masing subjekdilakukan pengukuran berulangsebanyak 7 kali pengamatan.

Metodologi yang dilakukan padapenelitian ini adalah



1. Mengestimasi kurva regresisemiparametrik untuk datalongitudinal berdasarkan estimatorPolinomial Lokal dengan langkah-langkah sebagai berikut :a. Diberikan data observasi, , , yang memenuhi

model regresi semiparametrik.b. Menyatakan model dalam bentuk

matriks ∗ = + dengan∗ = − .c. Fungsi )( ijx dapat didekati oleh

polinomial berderajat p.d. Mengestimasi dengan

meminimumkan kriteria WeightedLeast Square.

e. Mendapatkan bentuk matriks Aberukuran NxN dengan caramenyelesaikan persamaan= ∗ , atau = ( − ).

f. Mensubstitusikan ̂ untukmemperoleh estimasi yaitu .

2. Menerapkan hasil estimasi untukmenganalisis pengaruh kadartrombosit penderita DBD terhadapwaktu pemeriksaan dan kadarhematrokit dengan langkah sebagaiberikut :a. Membuat plot data berpasangan, , , = 1,2,3; =1,2, … ,7.b. Menentukan matriks A(h)

berukuran NxN.c. Memilih orde polinomial p dan

nilai bandwidth optimal yangmeminimumkan GCV(h).

d. Memodelkan orde polinomial pdan nilai bandwidth optimal darilangkah c secara simultan.

e. Menghitung nilai MSE(h).

HASIL DAN PEMBAHASAN

Estimasi Kurva RegresiSemiparametrik pada DataLongitudinal Berdasarkan EstimatorPolinomial Lokal

Diberikan data longitudinal sebanyakn subjek yang setiap subjek diukur

sebanyak m,},...,2,1;,...,2,1);,,{( mjnitxy ijijij

dengan ijy menyatakan variabel respon

pengamatan untuk subjek ke- i padawaktu ke- j , ijx dan ijt menyatakan

variabel prediktor. Hubungan ijy dengan

ijx tidak diketahui bentuk fungsinya,

sedangkan antara ijy dengan ijt bentuk

fungsinya diketahui, maka kita dapatmemodelkan hubungan antara ijx , ijt dan

ijy menggunakan model semiparametrik

seperti pada persamaan (1). Modeltersebut dapat ditulis dalam bentuk := + + (1)dengan

= ⎣⎢⎢⎢⎡ ⋮ ⎦⎥⎥⎥⎤, =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ ⋮⋮⋮⋮ ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤, =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ ( )⋮( )( )⋮( )⋮( )⋮( )⎦⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤,

=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋮1 ⋮ …⋮ ⋱ ⋮…1 …⋮1⋮1⋮1

⋮⋮⋮⋮⋮⋮

⋱…⋱⋯⋮…⋮⋮⋮ ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

dan

=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ ⋮⋮⋮⋮ ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

.

Persamaan (1) mengandung duabagian, yaitu komponen parametrikdan komponen nonparametrik .Asumsikan bahwa nilai diketahui,sehingga dapat dibentuk persamaan :∗ = −



dengan∗ =[ ∗ … ∗ ∗ … ∗ … ∗ … ∗ ] .

Fungsi )( ijx tidak diketahui

bentuknya maka diestimasimenggunakan estimator PolinomialLokal. Untuk menduga )( ijx pada

pengukuran ke-j objek ke-i makadidekati dengan polinomial derajat p

pip

ijiijiijiij xxxxxxx )(...)()()( 22

10

(2)Persamaaan (2) dapat ditulis menjadi :=dengan T

piiii ],..,,,[ 210 β dan

)(

)(

)(

2

1

nh

h

h

X00

000

0X0

00X

C

,

pimim

pii

pii

i

xxxx

xxxx

xxxx

h

)()(1

)()(1

)()(1

)( 22

11

X

didapatkan dengan carameminimumkan kriteria Weighted LeastSquare (WLS)( ) = ( ∗ − ) ( ∗ − ) (3)

dengan = ( , , … , ) dan= ( ( − ), ( − ), … , ( −)).Matriks adalah matriks yang berisifungsi pembobot, dengan (∙) =⋅

. K(.) adalah fungsi Kernel dan h

adalah bandwidth.Nilai dugaan untuk β adalah β̂ yang

bila disubstitusikan ke dalam persamaan(3) akan meminimumkan ( )diperoleh := ( ) ∗ (4)Dengan demikian dapat dinyatakansebagai berikut := ∗ = ( − )dengan = ( ) .

Selanjutnya dicari denganmeminimumkan Weighted Least Square(WLS) sebagai berikut : ( ) = ( − ) −( − ) (( − ) − ( − ) ).

Nilai dugaan adalah . Nilaidugaan tersebut dapat diperoleh dengancara meminimumkan persamaan ( )sehingga diperoleh= [ ( − ) ( − ) ] ( − ) ( − )Berdasarkan diperoleh persamaan := (5) (4.16)

dengan,= [ ( − ) ( − ) ] ( − ) ( − ).Selanjutnya mendapatkan estimatorPolinomial Lokal := ( − )= (6)

dengan, = ( − ).

Berdasarkan persamaan (5) dan (6), makaestimasi model regresi semiparametrik padapersamaan (1) diperoleh := ∗( ) (7)dengan, ∗( ) = + ( − ).

Berikut ini diberikan sifat-sifat yangdimiliki oleh estimator PolinomialLokal. Persamaan (1) dapat diubahkedalam bentuk sebagai berikut := ( , ) +dengan ( , ) = ( , )( , )⋮( , ) ,

).(...),( 10 ijqiq

ijiijiijij xtttx

Estimasi kurva regresi ( , ) adalah( , ) = [ [ ( − ) ( − ) ] ( − ) (− ) +[ − [ ( − ) ( − ) ] ( − ) ( −)]= [ ] (8)

dengan[ ] = [ [ ( − ) ( − ) ] ( ( − ) ( − )) +[ − [ ( − ) ( − ) ] ( − ) ( −)].Berdasarkan persamaan (8) terlihatestimator Polinomial Lokal ( , )merupakan estimator linier dalamobservasi . Selanjutnya akandiperlihatkan estimator Polinomial Lokalmempunyai sifat bias untuk kurvaregresi ( , ).



Berikut akan dicari ekspektasi dari( , ) adalah( , ) = ( [ ] )= [ ] ( ( , ))( ( , ))⋮( ( , ))

( , ) ≠ ( ( , ))( ( , ))⋮( ( , ))Karena ( , ) ≠ ( , ), maka estimator

bias untuk kurva regresi.Kriteria GCV merupakan salah satu

metode untuk memilih bandwidth yangoptimal. Fungsi GCV didefinisikansebagai berikut :GCV(ℎ) = ( − ) ( − )( [ − ∗( )])= ( ∗( )) ( ∗( ))( [ ∗( )]) (9)

dengan, N=nxm.Selanjutnya untuk pemilihan

bandwidth optimal dengan mengunakanGCV, dilakukan dengan caramensubstitusikan nilai bandwidth (h Є(0, ∞)) kedalam matrik ∗( ) sehinggadiperoleh nilai minimum GCV(h).

Aplikasi Model RegresiSemiparametrik Polinomial Lokaluntuk Data Longitudinal pada KadarTrombosit Penderita DBD

Estimasi kurva regresisemiparametrik Polinomial Lokal untukdata longitudinal, diterapakan pada datakadar trombosit penderita DemamBerdarah Dengue selama dirawat diRumah Sakit Haji. Pada penelitian ini,difokuskan untuk mengetahui hubunganantara waktu pemeriksaan selamadirawat di rumah sakit dan kadarhematrokit terhadap kadar trombositpenderita Demam Berdarah Dengue(DBD). Terdapat tiga derajat/grade DBDyang diamati, dimana di dalam setiapsubjek (derajat/grade DBD) yangteramati diukur secara berulang dari harike hari. Kadar trombosit sebagai variabelrespon (y), waktu pemeriksaan (t)

merupakan variabel prediktor komponenparametrik, sedangakan kadarhematrokit (x) merupakan variabelprediktor komponen nonparametrik padamodel regresi semiparametrik.

Estimasi model semiparametrikPolinomial Lokal sangat bergantungpada pemilihan banwidth optimal danderajat polinomial, dimana penentuanbandwidth optimal dan derajatpolinomial dapat dilihat pada nilai GCVminimum. Langkah awal dalampemilihan bandwidth optimal dan ordepolinomial adalah menentukan nilai awalbandwidth dan orde polinomial. Adapuncara untuk menentukan nilai awalbandwidth dan orde polinomial adalahdengan melakukan pemilihan bandwidthoptimal dan orde polinomial padamasing-masing subjek secara parsial.Dalam penelitian ini fungsi kernel yangdigunakan adalah fungsi KernelGaussian, Kernel Epachenikov, danKernel Kuadrat. Setelah dicobakan padaberbagai fungsi kernel tersebut diperolehmodel yang paling baik adalah modelregresi menggunakan fungsi KenelGaussian dengan GCV=1011,295 danMSE=146,7639 serta R2 = 93,92485%.

Oleh karena itu, dalam pemodelansimultan akan digunakan fungi KernelGaussian. Sebelum melakukan estimasi,dilakukan terlebih dahulu pemilihanbandwidth optimum dan orde polinomialsecara simultan. Nilai GCV minimumsebesar 1011,2931, dimana subjek 1mempunyai bandwidth optimal sebesar0,005 dan orde polinomial p1=1. Subjek2 mempunyai bandwidth optimal sebesar63,3 dan orde polinomial p2=4. Subjek 3mempunyai bandwidth optimal sebesar30,6 dengan orde polinomial p3=4.

Setelah diperoleh bandwidth optimaldan orde polinomial masing-masingsubjek secara simultan maka estimasimodel semiparametrik Polinomial Lokaluntuk masing-masing subjek diberikanoleh :



Subjek 1 := −61.1241 + 9.59263+ 148.805Subjek 2 := −61.124 + 9.59263 + 138.7746 −2.4065( − 41.6) − 17.125( −41.6) + 4.688( − 41.6) −0.318( − 41.6)Subjek 3 := −61.124 + 9.5926 + 64.5623 −25.1( − 36.4) − 21.983( − 36.4) −3.392( − 36.4) + 0.145( − 36.4)Model tersebut mempunyai nilai MSE =146.7636 dan koefisien determinasi R2 = 93,925%.

KESIMPULAN

Berdasarkan hasil penelitiandiperoleh kesimpulan bahwa melaluipendekatan estimator Polinomial Lokal,1. Estimasi model regresi

semiparametrik untuk datalongitudinal adalah sebagai berikut:= ∗( ) ,

dengan∗( ) = + ( − ),= ( − ),= [ ( − ) ( − ) ] ( − ) (− ),dan = ( )2. Pola hubungan antara kadar trombosit

penderita DBD terhadap kadartrombosit secara bersama-sama dapatdibentuk dalam model regresisemiparametrik Polinomial Lokal,dengan kadar hematrokit sebagaikomponen nonparametrik dan waktupemeriksaan sebagai komponenparametrik. Model semiparametrikkadar trombosit yang diestimasidengan pendekatan Polinomial Lokaldiberikan oleh :

Subjek 1 := −61.1241 + 9.59263+ 148.805Subjek 2 := −61.124 + 9.59263 + 138.7746 −2.4065( − 41.6) − 17.125( −41.6) + 4.688( − 41.6) −0.318( − 41.6)Subjek 3 := −61.124 + 9.5926 + 64.5623 −25.1( − 36.4) − 21.983( − 36.4) −3.392( − 36.4) + 0.145( − 36.4)

Model tersebut mempunyai nilai MSE =146.7636 dan koefisien determinasi R2 =93,925 %.

Dalam penelitian ini, permasalahanyang dikaji masih sangat terbatas hanyapada pemodelan pola hubungan antaravariabel respon terhadap variabelprediktor dengan pendekatan PolinomialLokal, belum ada menguji signifikansiparameter model yang dihasilkan.Pemilihan variabel prediktor yangdigunakan dalam penelitian ini hanyasatu variabel prediktor komponenparametrik dan satu variabel prediktorkomponen nonparametrik untukpenelitian selanjutnya masih perlu untukdikembangkan untuk beberapa variabelprediktor dan dilakukan penelitiantentang uji parameter model dalamregresi semiparametrik PolinomialLokal.

DAFTAR PUSTAKA

A.H. Welsh, and T.Y. Yee, 2005. LocalRegression for Vector Responses.Journal of Statistical Planning andInference. Vol. 136: 3007-3031.

G. Wahba. 1990. Spline Models forObservation Data”, SIAM:Philadelphia. CBMS-NSFRegional Conference Series inApplied Mathematics. Vol. 59.

H. Basri. 2009. Estimasi Kurva RegresiNonparametrik pada DataLongitudinal dengan PendekatanSpline. Tesis, Jurusan Statistika,FMIPA Institut Teknologi SepuluhNovember, Surabaya.R.L. Eubank.1988. Spline Smoothing andNonparametric Regression, MarcelDekker: New York.

H. Kuswantoro. 2005. Model Gamma-Frailty untuk Data Longitudinaldan Pendugaan Korelasi Serialdengan Metode CompositeLikelihood. Tesis JurusanStatistika FMIPA ITS: Surabaya.



H. Wu, and J.T. Zhang. 2006.Nonparametric RegressionMethods for Longitudinal DataAnalysis, A John-Wiley and SonsInc. Publication, New Jersey.

I. N. Budiantara, B. Lestari, dan A.Islamiyati. 2010. Estimator SplineTerbobot dalam RegresiNonparametrik danSemiparametrikHeteroskedastisitas untuk DataLongitudinal. Hibah PenelitianKompetensi. DP2M-Dikti: Jakarta.

I.N. Budiantara. dan Mulianah. 2007.Pemilihan Banwidth OptimalDalam Regresi SemiparametrikKernel dan Aplikasinya, JournalSains dan Teknologi SIGMA, 10 :159-166.

L. Laome. 2009. Model RegresiSemiparametrik Spline untuk DataLongitudinal pada Kasus KadarCD4 Penderita HIV. Paradigma.Vol. 13, No.2: 189-194.

M. P. Wand dan M. C. Jones, 1995.Kernel Smoothing, Chapman andHall, London.

N. Chamidah. 2008. Inferensi KurvaRegresi NonparametrikBerdasarkan Estimator PolinomialLokal Dengan Error Lognormal. J.Peneliti. Med. Eksakta, Vol. 7, No.1, hal. 61-6.

P. J. Diggle, Y. K. Liang dan S. L.Zeger. 1994. Analysis ofLongitudinal Data, OxfordStatistical Science Series 13, NewYork.

S. Y. Hong. 1999. “Automatic BandwithChoice in a SemiparametricRegression Model”, StatisticaSinica, 9 : 775-794.

W. Hardle. 1990. AppliedNonparametric Regression.Cambridge University Press, NewYork.

ESTIMASI KURVA REGRESI SEMIPARAMETRIK PADA DATA ...

Documents

Transcript of ESTIMASI KURVA REGRESI SEMIPARAMETRIK PADA DATA ...