Estadística General

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ESTADÍSTICA GENERAL / ESTADÍSTICA I Definición de estadística. Estadística es la ciencia que recopila, organiza, analiza e interpreta y presenta datos cuantitativos (numéricos) para facilitar la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. Objetivo de la estadística, es facilitar la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. Para su mejor estudio, la Estadística se divide en: 1. Estadística Descriptiva, comprende la recopilación, organización y presentación de los datos en forma gráfica y numérica para una mejor comprensión de la información obtenida. 2. Estadística Inferencial, permite determinar las características de la población a partir de los datos obtenidos de una muestra que se saca de la misma población. Estadístico o estadística, es todo dato cuantitativo que se obtiene de una muestra. Un estadístico es una estimación, es una aproximación del parámetro de la población. Parámetro, es todo dato cuantitativo que se obtiene de una población. El parámetro es un dato real, verdadero. Estadístic o (muestral) Parámetro (Poblacional)

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Informacion complementario sobre estadistica general.

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ESTADÍSTICA GENERAL / ESTADÍSTICA I

Definición de estadística. Estadística es la ciencia que recopila, organiza, analiza e interpreta y presenta datos cuantitativos (numéricos) para facilitar la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. Objetivo de la estadística, es facilitar la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre.

Para su mejor estudio, la Estadística se divide en: 1. Estadística Descriptiva, comprende la recopilación,

organización y presentación de los datos en forma gráfica y numérica para una mejor comprensión de la información obtenida.

2. Estadística Inferencial, permite determinar las características de la población a partir de los datos obtenidos de una muestra que se saca de la misma población.

Estadístico o estadística, es todo dato cuantitativo que se obtiene de una muestra. Un estadístico es una estimación, es una aproximación del parámetro de la población.

Parámetro, es todo dato cuantitativo que se obtiene de una población. El parámetro es un dato real, verdadero.

Estadístico(muestral)

Parámetro(Poblacional)

Media aritmética x (mu o miu) Desviación estándar s (sigma)Varianza S2 2

Población, es el total de elementos que son sujetos de estudio.

Muestra, es una parte estadísticamente representativa de la población.

Censo. Se hace un censo cuando se estudian todos los elementos de la población.

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Muestreo. Se hace un muestreo cuando se estudian los elementos muestrales que se seleccionaron de la población.

Características de una buena muestra1. Es aleatoria. Cuando los elementos muestrales son

seleccionados al azar, es decir, sin criterios preestablecidos, (con la tecla Ran# de la calculadora).

2. Es representativa de la población. El tamaño de la muestra es estadísticamente significativo, esto significa que el tamaño de la muestra es estadísticamente proporcional al tamaño de la población.

3. Es homogénea. Los elementos muestrales deben tener

características iguales o semejantes.

4. Es equiprobable. Todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados como elementos de la muestra.

5. Es objetiva. Cuando el criterio del investigador no afecta los resultados de la muestra.

6. Es confiable. Todas las muestras de la misma población deben dar resultados iguales o semejantes. Esta propiedad es la que justifica tomar una sola muestra para hacer inferencia de la población.

Los datos muestrales son una estimación (una aproximación) del dato real de la población (del parámetro de la población).

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALLas medidas de tendencia central son: la media aritmética, la mediana, la moda, la media ponderada y la media geométrica.

La media aritmética es el promedio de los datos analizados. Es la medida que más se identifica con las medidas de tendencia central. Toma en cuenta todos los valores del conjunto de datos pero puede ser

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afectada por valores extremos que no son representativos del resto de datos.

La mediana es la verdadera medida de tendencia central porque es el valor que se encuentra exactamente a la mitad de los datos estudiados. El 50% de los datos se encuentran en la parte superior de la mediana y el 50% de los datos se encuentran en la parte inferior. Una ventaja de la mediana respecto a la media aritmética es que no es muy afectada por los valores extremos.

La moda es el dato que más se repite.

Una serie de datos es: Amodal, (no tiene moda) cuando los datos no se repiten.Unimodal, cuando sólo existe un dato que se repite más que los demás.Bimodal, cuando existen dos datos diferentes que se repiten la misma cantidad de veces.Trimodal, cuando existen tres datos diferentes que se repiten la misma cantidad de veces.Polimodal, cuando existen cuatro o más datos distintos que se repiten la misma cantidad de veces.

LABORATORIO 1. Ordenando datos de menor a mayor: 250, 280, 280, 280, 300, 300, 320, 320, 330, 340, 340, 350, 350, 360, 360, 380, 400, 400, 410, 420, 440, 450, 460, 460, 480, 500, 500, 510, 520, 560.

a) Para datos no agrupadosMedia = 388.33, s = 84.16 Mediana = 370, Moda = 280, serie

unimodal, Moda = 280

b) Para datos agrupados: Media aritmética = 386.43Mediana = 374.30Moda = 318.83

LABORATORIO 2En una empresa, se tomó una muestra de pedidos diarios de su

producto durante varios días. Los datos se dan a continuación:

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120, 80, 100, 50, 150, 80, 60, 90, 70, 100, 50, 65, 40, 160, 80, 200, 140, 180, 120, 90, 100, 50, 70, 160, 120.

Calcular: a) Para datos sin agrupar: media, mediana y moda, desviación media, desviación estándar, varianza, coeficiente de variación, coeficiente de asimetría, C2, D6, P40

b) Para datos agrupados: media, mediana y moda, desviación media, desviación estándar, varianza, coeficiente de variación, coeficiente de asimetría de Pearson , C2, D6, P40

Laboratorio 3Para datos agrupados, calcular media, mediana, moda, DM, desviación

estándar, varianza, CV, CAP, C1 D3 , P60 de los siguientes datos: 85, 70, 72, 90, 64, 82, 90, 76, 70, 68, 25, 50, 36, 90, 75, 70, 66, 68, 54, 60, 100 , 92 65, 80, 30, 95, 40.

b)Para datos sin agrupar calcular media, mediana, moda, DM, desviación estándar, varianza, CV, CAP, C1 D3 , P60

Datos ordenados: 25, 36, 50, 54, 60, 64, 65, 66, 68, 68, 70, 70, 70, 72, 75, 76, 80, 82, 85, 90, 90, 90, 92, 100

TC= 13

PARA DATOS AGRUP’ADOS

Media aritmética, X = 1719 / 24 = 71.63 Mediana = 63.5 + [(12 – 5) / 11](13) = 71.77

Moda = 63.5 + [9/(9 + 8)](13) = 70.38

DM = 312.04 / 24 = 13

S = (7879.62 / 23)1/2 = 18.51

Varianza = S2 = 342.62 CV = 18.51 / 71.63 = 0.26

CAP = 3 (71.63 – 71.77) / 18.51 = - 0.02

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Posición de C1 = 6C1 = 64.68

P25 64.68

D5 = 71.77

Posición de D3 = (n/10)(3) = 7.2 Este dato se busca en la frecuencia acumulada D3 = 66.1

Posición de P70 = 16.8

P70 = 79.97

MEDIDAS DE DISPERSIÓN:La desviación media, la desviación estándar, la varianza, el coeficiente de asimetría de Fisher, coeficiente de asimetría de Pearson, coeficiente de variación, deciles, cuartiles y percentiles.

Medidas de dispersión para datos sin agrupar

Ejemplo Con los siguientes datos muestrales: 18, 14, 19, 10, 5, 17, 10, 15, 20, 16, 25, 21, 28, calcular: a) Para datos no agrupados: Media aritmética, mediana, desviación media, desviación estándar, Varianza, coeficiente de variación, coeficiente de asimetría de Pearson, cuartil 2, decil 5, decil 8, percentil 50 y percentil 40. Comprobar que: a) C1= P25 b) C2 = D5 = P50

b) Para datos agrupados: Media aritmética, mediana, desviación media, desviación estándar, Varianza, coeficiente de variación, coeficiente de asimetría de Pearson, cuartil 2, decil 5, decil 8, percentil 50 y percentil 40. Comprobar que: a) C1= P25 b) C2 = D5 = P50

Solucióna) Para datos no agrupados

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Ordenando datos de menor a mayor: 5, 10, 10, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 25, 28

Media aritmética = 16.77Desviación estándar, S = 6.26 Mediana = 17

Posición de la mediana = n/2 + 0.5 = 13/2 + 0.5 = 7 significa que el valor de la mediana está dado por el séptimo término de los datos ordenados, que en este caso es 17.Moda = 10Desviación Media DM = 4.71CV = 0.37 CAP = - 0.11El signo negativo del CAP indica que la distribución de los datos es

asimétrica de cola izquierda.C2 = 17C3 = 20 = P75 = 20.D8 = 20.6P40 = 15.80

b) Para datos agrupadosMedia aritmética = 17.38Mediana = 17Moda = 16.5Desviación Media = 4.38Desviación estándar = 5.94Varianza = 35.26Coeficiente de Variación, CV = 0.34Coeficiente de Asimetría de Pearson = 0.19C3= 21.38C2 =D5 = D3= 14.3P50=P75= 21.38

Laboratorio A continuación se da el peso en libras de una muestra de estudiantes: 80, 120, 100, 95, 70, 150, 140, 125, 180, 120, 140, 125, 150, 160, 150, 96, 110, 120. Calcular:

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a) Para datos sin agrupar: Media aritmética, mediana, moda, Desviación Media, Desviación estándar, Varianza, Coeficiente de Variación, Coeficiente de Asimetría de Pearson, C3, D4 y P70.

b) Para datos agrupados calcular: Media aritmética, mediana, moda, Desviación media, Desviación estándar, Varianza, Coeficiente de Variación, Coeficiente de Asimetría de Pearson, C3, D4 y P70.

Laboratorio Con los siguientes datos muestrales, calcular: A) Para datos NO agrupados: Media, mediana, moda, DM, S, varianza, CV, CAP, C3, D8, P65

B) Para datos agrupados calcular: Desviación Media, desviación estándar, varianza, coeficiente de variación, CAP, C3, D3, D8, P45, P70. Datos: 85, 64, 70, 56, 80, 42, 91, 86, 72, 60, 75, 94, 65, 80, 100, 50, 75, 82, 70, 25, 48, 60, 95, 80, 100.

Datos ordenados 25, 42, 48, 50, 56, 60, 60, 64, 65, 70, 70, 72, 75, 75, 80, 80, 80, 82, 85, 86, 91, 94, 95, 100, 100.

Tamaño de clase, TC = 13

Para datos agrupados: Media aritmética = 1802 / 25 = 72.08 Desviación Media, DM = 370.24 / 25 = 14.81 Desviación estándar, S = (8341.84 / 24)1/2 = 18.64 Varianza, S2 = 347.45 Coeficiente de Variación, CV = s / media aritmética = 18.64/72.08 = 0.26

Mediana = 73.71

La clase que contiene a la mediana está determinada por la frecuencia acumulada más pequeña que contiene o es igual a n/2 = 12.50. En este caso, la frecuencia acumulada que contiene a 12.50 es 14 que corresponde al intervalo con fronteras de clase 63.5 – 76.5.

Mediana = Li + [(n/2 – faa) / f ] t = 63.5 + [ (12.5 – 7)/7 ] (13) = 73.71

Li = Límite inferior del intervalo con fronteras de clase que contiene a la mediana.

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faa = Frecuencia acumulada anterior a la clase que contiene a la mediana.

f = Frecuencia de la clase que contiene a la mediana.t = Tamaño de clase.

Moda = 73.9

La clase que contiene a la moda está determinada por la clase que contiene la mayor frecuencia. En este ejercicio, la mayor frecuencia es 7 que corresponde al intervalo con fronteras de clase 63.5 – 76.5.

Moda = Li + [d1 / (d1 + d2)] t = 63.5 + [4 / (4 + 1)](13) = 73.90 Li = Límite inferior del intervalo con fronteras de clase que contiene a la moda.

d1 = Frecuencia de la clase que contiene a la moda menos la frecuencia de la clase anterior.d2 = Frecuencia de la clase que contiene a la moda menos la

frecuencia de la clase que le sigue.t = Tamaño de clase.

EjemploCon los datos dados a continuación, calcular:a) Para datos NO agrupados media aritmética, mediana, moda,

desviación media, desviación estándar, varianza, CV, CAP, C2, D3, P80

b) Para datos agrupados media aritmética, mediana, moda, desviación media, desviación estándar, varianza, CV, CAP, C2, D3, P80

250, 280, 280, 280, 300, 300, 320, 320, 330, 340, 340, 350, 350, 360, 360, 380, 400, 400, 410, 420, 440, 450, 460, 460, 480, 500, 500, 510, 520, 560, 620, 650, 700

TEORÍA DE PROBABILIDADES

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Espacio Muestral, S. Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. La cantidad de elementos del espacio muestral S, se denota n(S).

Evento, E. Un evento E, es cualquier subconjunto del espacio muestral S. La cantidad de elementos de un evento E, se denota n(E).

Para determinar un evento se debe indicar una propiedad que deben cumplir los elementos del espacio muestral S para pertenecer al evento E. La probabilidad de ocurrencia de un evento E, se denota P(E) y es un número entre 0 y 1 inclusives, es decir, 0 ≤ P(E) ≤ 1

P(E) = 1 cuando es seguro de que el evento E ocurre.P(E) = 0 cuando es seguro de que el evento E no ocurre.

Para calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento E se aplica P(E) = n(E) / n(S)

Ejemplo:Sea el experimento “lanzar un dado”. Determine el espacio muestral S, los siguientes eventos y la probabilidad de ocurrencia de cada evento.

a) S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n(S) = 6

b)Sea el evento E: “El resultado es un número par”

E = { 2, 4, 6 } n(E) = 3 P(E) = n(E) / n(S) = 3 / 6 = 0.50

c) El evento E1: “El resultado es menor que 5”.La expresión “menor que 5”, no incluye al 5.

E1 = { 1, 2, 3, 4 } n(E1) = 4

Page 10: Estadística General

P(E1) = n(E1) / n(S) = 4 / 6 = 0.6667

Nota: Los valores de probabilidad se dan con 4 decimales.

d) El evento E2 : “El resultado es múltiplo de 3”

E2 = { 3, 6 } n(E2) = 2 P(E2) = 2 / 6 = 0.3333

Ejemplo: Sea el experimento “lanzar dos dados”. Determine el espacio muestral S, los siguientes eventos y la probabilidad de ocurrencia de cada evento. S = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1, 6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)

(2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }

n(S) = 36

b) El evento A : “La suma de los resultados es 7”

A = { (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) } n(A) = 6 P(A) = n(A) / n(S) = 6 / 36 = 0.1667

El evento B : “El producto de los resultados es divisible por 4”

B = { (1,4) (2,2) (2,4) (2,6) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,4) (6,2) (6,4) (6,6) }

n(B) = 15 P(B) = 15 / 36 = 0.4167

Page 11: Estadística General

d) El evento C: “El resultado de restar el segundo elemento de la pareja al primero, es un número positivo impar”

C = { (2,1) (3,2) (4,1) (4,3) (5,2) (5,4) (6,1) (6,3) (6,5)} n(C) = 9 P(C) = 9 / 36 = 0.25

e) Sea el evento D = El resultado de restar el primer elemento de la pareja al segundo, sea par.

DIAGRAMA DE ÁRBOL PARA CALCULAR PROBABILIDADES

Un diagrama de árbol se aplica generalmente cuando un evento tiene dos o más posibles resultados. Ejemplo Sea el experimento: “Lanzar tres monedas”. Cada moneda tiene cara ( C ) y escudo ( E )

a) Determine el espacio muestral S.b) El evento R = Al menos dos caras, P(R) = 0.5c) El evento Q = A lo más un escudo , P(Q) = 0.5d) El evento T = Un escudo, P(T) = 0.375e) El evento D = Tres caras, P (D) = 0.125

Nota: Las expresiones: Al menos dos, significa dos o más. A lo más dos, significa dos o menos. La probabilidad de eventos conjuntos, secuenciales o consecutivos, se obtiene multiplicando la probabilidad de los eventos que forman el evento conjunto.

Page 12: Estadística General

Ejemplo En una caja se tienen 12 celulares de los cuales cuatro están defectuosos. Si se sacan aleatoriamente, en forma consecutiva y sin reemplazo tres celulares, determinar:

a)Espacio muestral S b)Probabilidad de que a lo más dos celulares estén

defectuosos. Resp. 0.9817c) Probabilidad de que al menos dos celulares estén

buenos. Resp. 0.7636 d)Probabilidad de que un celular esté defectuoso.

Resp 0.5091e)Probabilidad de que dos celulares estén buenos.

Resp. 0.5091

Laboratorio Se tienen 18 celulares de los cuales 5 están defectuosos. a) Elabore diagrama de árbol. b) Si se sacan cuatro celulares en forma consecutiva y sin reemplazo, calcular la probabilidad de que: b-1) A lo más dos sean buenos = P(2B) + P(1B) + P(0B) = 0.0425x6 + 0.0106x4 + 0.0016 = 0.2990

b-2) Al menos dos sean defectuosos = P(2D) + P(3D) + P(4D) = 0.0425x6 + 0.0106x4 + 0.0016 = 0.2990

b-3) Dos sean defectuosos = 0.0425x6 = 0.2549

b-4) A lo más dos sean defectuosos = P(2D) + P(1D) + P(0D) = 0.9559

LABORATORIO

Page 13: Estadística General

Una moneda se lanza tres veces y se anota el resultado. a) Determine el espacio muestral S. b) Determine y calcule la probabilidad de los eventos: b1) Evento A = Una cara y dos escudos. Resp. 0.375 b2) Evento B = Al menos dos caras Resp. 0.50 b3) Evento C = Todas caras Resp. 0.125 b4) Evento D = Cara en el primer lanzamiento Resp. 0.50

Ejemplo. En una caja se tienen 12 celulares de los cuales 4 están defectuosos. Si se sacan tres celulares aleatoriamente en forma consecutiva y sin reemplazo, calcular la probabilidad de obtener:

a) A lo más dos defectuosos. Resp. 0.9817b) Al menos uno bueno. Resp. 0.9817c) Los tres buenos. Resp. 0.2545d) Uno bueno. Resp. 0.0727X 3 = 0.2181e) Dos defectuosos. Resp. 0.0727X 3 = 0.2181

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes entre sí, cuando al ocurrir uno de ellos se anula la posibilidad de ocurrencia del otro. Los eventos son excluyentes cuando no pueden ocurrir simultáneamente.

Ejemplos: Son eventos mutuamente excluyentes entre sí los siguientes: ganar–perder, verdadero - falso, aceptar–rechazar, bueno – malo, etc.

Page 14: Estadística General

Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes entre sí, la intersección entre ellos es el conjunto vacío. Es decir, que si los eventos A y B son mutuamente excluyentes entre sí, entonces A ∩ B = θ

Regla de adición para eventos mutuamente excluyentes Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces:

P(A o B) = P(AUB) = P(A) + P(B)

Regla de adición para eventos no excluyentesSi los eventos A y B no son excluyentes entre sí, existe intersección entre ellos.

Entonces: P(A o B) = P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Probabilidad del complemento del evento ASi A es un evento, el complemento de A se denota por A’ o Ac.A’ o Ac , es el evento cuyos elementos pertenecen al espacio muestral S pero no pertenecen al evento A.

P(A) + P(AC) = 1

P(Ac) = 1 – P(A)

A B

A B

S Ac A

Page 15: Estadística General

EjemploEn una empresa, 65 personas han solicitado trabajo, de las cuales 40 tienen experiencia, 30 tienen título universitario y 10 tienen experiencia y título. Si se selecciona aleatoriamente una solicitud, calcular la probabilidad de que la persona: a) Tenga experiencia o título. Resp. 0.9231 b) Tenga experiencia o título pero no ambos. Resp. 0.7692 c) No tenga experiencia ni título. Resp. 0.0769d) Tenga sólo experiencia. Resp. 0.4615 e) Tenga sólo título. Resp. 0.3077 El análisis de estos problemas se inicia con la intersección de los eventos y luego se hacen los ajustes necesarios en los otros eventos. EjemploLas computadoras actuales fabricadas por una corporación, tienen como falla en la unidad de disco 1/3 de las fallas del teclado. La probabilidad de que se presente una falla conjunta en la unidad de disco y en el teclado es 0.05. a) Si la computadora es 80% resistente a fallas en la unidad de disco y/o en el teclado, ¿qué tan baja debe ser la probabilidad de que se presente una falla en la unidad de disco?¿Cuánto es la probabilidad de falla en el teclado? Resp 0.0625, 0.1875a) Si el teclado se mejoró de tal modo que sólo falla el doble de veces que la unidad de disco y la probabilidad de falla conjunta sigue siendo de 0.05, la probabilidad de falla de la unidad de disco del inciso a) producirá una resistencia a fallas en la unidad de disco duro, en el teclado o en ambos, mayor o menor que 90%? Resp. Inferior , de 86.25%

Falla en disco = DFalla en teclado = T

Soluc. P( Falla en disco) = X P( Falla en teclado) = 3X P(falla en teclado y en disco) = 0.05P(falla en teclado o en disco) = 0.20

P(D o T) = P(D U T) = P(D) + P(T) – P (D ∩ T) 0.20 = X + 3X – 0.05 4X = 0.25 X = 0.0625 = Probabilidad de falla en disco.

Page 16: Estadística General

3X = 3(0.0625) = 0.1875 Probabilidad de falla en teclado.

Otra forma: Sea la P(falla en teclado) = X P(falla en disco) = X/3P(D o T) = P(DUT) = X/3 + X – 0.05 = 0.20 X/3 + X = 0.25 4X/3 = 0.25 X= 0.1875 = Probab. de falla del tecladoProbabilidad de falla del disco = X/3 = 0.1875/3 = 0.0625

B) P (D U T) = 0.0625 + 2(0.0625) – 0.05 = 0.1375 Resp. P(Resistencia a falla) = 1 – 0.1375 = 0.8625 menor que 0.90

Laboratorio. De 50 estudiantes de una universidad, 25 estudian Matemática, 32 estudian Estadística, 27 estudian Física, 15 estudian Matemática y Estadística, 16 estudian Matemática y Física, 18 estudian Estadística y Física y 10 estudian los tres cursos. Calcule la probabilidad de que un estudiante aleatoriamente seleccionado, estudie:

a) Matemática o Estadística o Física.b) Matemática o Física c) Matemática o Estadísticad) Estadística o Físicae) Sólo Matemática o sólo Estadística o sólo Físicaf) Matemática o Estadística pero no Físicag) Estudie otros cursosh) Matemática y Estadística o Física

EVENTOS INDEPENDIENTESDos eventos A y B son independientes si la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

Regla de multiplicación para eventos independientesSi los eventos A y B son independientes, entonces

Page 17: Estadística General

P(A y B) = P(A ∩ B) = P(A)P(B) Regla de multiplicación para eventos dependientes.Si los eventos A y B son dependientes, se aplica el concepto de probabilidad condicional que se denota P(A|B) que se lee: “probabilidad de que ocurra A dado que ya ocurrió B”. La línea vertical se lee “dado que”.

Si A y B son eventos dependientes, entonces:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) P(B|A) = P(B ∩ A) / P(A)

Ejemplo Se tienen dos eventos A y B. Si P(A) = 0.39, P(B) = 0.21 y P(A o B) = 0.47, calcule la probabilidad de que:

a) Ocurra B dado que A ya ocurrió.b) Ocurra A dado que B ya ocurrió. c) No ocurra ni A ni B.

Solución: Existe intersección porque P(A o B) = P(A) + P(B) = 0.39 + 0.21 = 0.60 que no es el valor de 0.47 que se da en el problema. Por lo que:P(A o B) = P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 0.47 = 0.39 + 0.21 – P(A ∩ B) De donde P(A ∩ B) = 0.60 – 0.47 = 0.13

a) P(B|A) = P(B ∩ A) / P(A) = 0.13 / 0.39 = 0.3333

b) P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.13 / 0.21 = 0.6190

c) P(Ni A, ni B) = 1 – P(A o B) = 1 – 0.47 = 0.53

EjemploDado que P(A) = 3/4, P(B) =1/6, P(C) = 1/3, P(A y C) = 1/7, y P(B|C) = 5 /21 calcular: a) P(A|C), b) P(C|A), c) P(B y C), d) P(C|B)

Si los eventos A y B son independientesP(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)

Page 18: Estadística General

a) P(A|C) = P(A ∩ C) / P(C) = (1/7) / (1/3) = 3/7 = 0.4286b) P(C|A) = P(C∩A) / P(A) = (1/7) / (3/4) = 4/21 = 0.1905c) P(B y C) = P(B ∩ C) = P(B|C)P(C) = (5/21)(1/3) = 5/63 =

0.0794 d) P(C|B) = P(C ∩ B ) / P(B) = 0.0794 / 0.1667 = 0.4762

Laboratorio. Se lanzan dos dados de manera consecutiva. Calcule la probabilidad de obtener: a) Un total de 7 puntos en el primer lanzamiento, seguido de 11 en el segundo. b) Un total de 21 puntos en los primeros dos lanzamientos combinados.

a) El evento: 7 en el primer lanzamiento = { (5,2) (2,5) (4,3) (3,4) (6,1) (1,6) }

P(7 en el primero) = 6 / 36 = 0.1667El evento: 11 en el segundo = { (5,6) (6,5) }P(11 en el segundo) = 2 / 36 = 0.0556Resp. P(7 en el primero seguido de 11 en el segundo} = 0.1667 x 0.0556 = 0.0093

b) P( Resultado en el primero + resultado en el segundo = 21 )= P(9 en el primero y 12 en el segundo ó 12 en el primero y 9 en el segundo u 11 en el primero y 10 en el segundo ó 10 en el primero y 11 en el segundo)

9 en el primero = { (3,6) (6,3) (4,5) (5,4) }P(9 en el primero) = 4 / 36

12 en el segundo = { (6,6) }P(12 en el segundo} = 1 / 36 P(9 en el pro y 12 en el sdo.) = (4/36)(1/36) = 0.0031

P(12 en el primero y 9 en el segundo) = (1/36)(4/36) = 0.0031

Page 19: Estadística General

P(10 en el primero y 11 en el segundo) = (3/36) (2/36) = 0.0046P(11 en el primero y 10 en el segundo) = 0.0046

Resp. (0.0031x2) + (0.0046 x 2) = 0.0154

Ejemplo. Una empresa tiene dos divisiones: Productos marinos (M) y Equipos de oficina (E). La probabilidad de que la división de productos marinos tenga un margen de utilidad de 10% este año es 0.30, la probabilidad de que la división de equipos de oficina tenga un margen de utilidad de 10% es de 0.20 y la probabilidad de que ambas divisiones tengan un margen de utilidad de 10% es 0.06. a) Pruebe si los eventos margen de utilidad de productos marinos y margen de utilidad de equipos de oficina, son independientes.b) Calcule la probabilidad de que Equipos de oficina tenga un margen de utilidad de 10% dado que la División de Productos marinos alcanzó este nivel de utilidad. PROBABILIDADES CONJUNTAS Y MARGINALESProbabilidades marginales son las probabilidades de ocurrencia de un solo evento.Probabilidades conjuntas son las probabilidades de dos o más eventos que pueden ocurrir simultáneamente.

Ejemplo. Los diputados de tres partidos A, B y C han votado a favor, en contra o indiferente con relación a un proyecto de desarrollo social como se indica a continuación.

Tabla de datos observados o tabla de contingenciaPartido A favor En contra Indiferente Total

A 18 10 7 35B 15 8 3 26C 12 5 4 21

Total 45 23 14 82

Elabore tabla de probabilidades

Page 20: Estadística General

La tabla de probabilidades se obtiene dividiendo el dato de cada celda entre el total (en este caso 82).

Tabla de probabilidadesPartido A favor En contra Indiferente Total

A 18/82 = 0.2195

10/82 = 0.1220

7/82 = 0.0854

35/82 = 0.4268

B 15/82 = 0.1829

8/82 = 0.0976

3/82 = 0.0366

26/82 = 0.3171

C 0.1463 0.0610 4/82 = 0.0488

21/82 = 0.2561

Total 45/82 = 0.5488

23/82 = 0.2805

14/82 = 0.1707 82/82 = 1

Calcule la probabilidad de que un diputado aleatoriamente seleccionado:a) Esté a favor dado que es del partido A.

Resp. 0.5143b) Sea del partido B dado que está en contra.

Resp. 0.3480c) Esté en contra dado que es del partido C.

Resp. 0.2381d) Sea del partido A dado que está a favor.

Resp. 0.40e) Sea indiferente dado que es del partido B.

Resp. 0.1153

Laboratorio Se ha recolectado datos de 500 economistas en las universidades, en la empresa privada y en el gobierno, respecto a sus opiniones sobre si la economía podría ser estable, expandirse o contraerse en el futuro próximo. Sin embargo, parte de la información se perdió, resultando la siguiente tabla de contingencia parcial. Estable Expansión Contracción TotalUniversidades 125 100Empresas 35 110Gobierno 25 30 65

Page 21: Estadística General

Total 200

Determine la tabla de probabilidades y calcule las siguientes probabilidades:

TABLA DE PROBABILIDADES Estable Expansión Contracción Total

Universidades 0.25 0.20 0.20 0.65Empresas 0.10 0.07 0.05 0.22Gobierno 0.05 0.06 0.02 0.13Total 0.40 0.33 0.27 1.00 a) Que el economista sea de las universidades. Resp. 0.65 b) Sea del gobierno. Resp. 0.13 c) Esté en expansión. Resp. 0.33 d) Sea de las empresas dado que la economía está en expansión. Resp. 0.2121 e) La economía esté en contracción dado que el economista es de la universidad. Resp. 0.3077f) La economía sea estable. Resp. 0.40

TEOREMA DE BAYESSe aplica cuando conociendo la probabilidad de lo último que ocurrió, se quiere conocer la probabilidad de un evento que ocurrió al inicio. Ejemplo.Un fabricante de cámaras de video utiliza un microchip en el ensamble de cada cámara que produce. Los microchips son comprados a los proveedores A, B y C y son tomados al azar para ser ensamblados en cada cámara. El 20% de los microchips provienen del proveedor A, el 35% proviene de B y el resto proviene de C. Con base en la experiencia, el fabricante cree que la probabilidad de que un microchip defectuoso provenga de A es de 0.03, la probabilidad de que provenga de B es 0.02 y de que provenga de C es 0.01. De la producción de un día, una cámara es seleccionada al azar y su microchip está defectuoso. Calcule la probabilidad de que el microchip defectuoso haya sido suministrado por: a) El proveedor A. Resp. 0.3429 b) Por el proveedor B. Resp. 0.40c) Por el proveedor C. Resp. 0.2571

Page 22: Estadística General

d) ¿De qué proveedor es más probable que provenga el microchip defectuoso? Resp. De B porque tiene la probabilidad más alta. EjemploUna empresa tiene tres máquinas: M1, M2 y M3 para elaborar su producto. La máquina M1 produce el 90% de unidades buenas, la máquina M2 produce el 5% de unidades defectuosas y la M3 produce el 92% de unidades buenas. Si de la producción de un día se toma una unidad y resulta que: a) Es buena, calcule la probabilidad de que provenga de la máquina M3. Resp. 0.3321b) Es defectuosa, calcule la probabilidad de que haya sido producida por la máquina M2. Resp. 0.2174 Solución. Como no se da qué porcentaje de la producción total corresponde a cada máquina, se asume 1/3 para cada una. Conviene elaborar un diagrama de árbol para la solución del problema.

TAREA1. En una tienda, los clientes pueden pagar en efectivo o con tarjeta de crédito. En las ventas de un día, de 25 hombres 15 pagaron con tarjeta de crédito; de 19 mujeres, 8 pagaron en efectivo. Si aleatoriamente se selecciona un cliente, calcular la probabilidad de que : a) Sea hombre dado que pagó en efectivo. b) Haya pagado en efectivo dado que es mujer.c) Haya pagado con tarjeta de crédito dado que es hombre.d) Sea mujer dado que pagó con tarjeta.

2. De 70 estudiantes de una universidad, 43 estudian matemática, 38 estudian estadística y 18 estudian las dos clases. Calcular la probabilidad de que un estudiante aleatoriamente seleccionado: a) Estudie matemática o estadística. b) Estudie sólo matemática o sólo estadística.

3. En una empresa, la producción se lleva a cabo con las máquinas 1, 2 y 3. La máquina 1 produce el 35% del total, la máquina 2 produce el 40% y la máquina 3 produce el resto del total. La máquina 1 produce 5% de unidades defectuosa, la máquina 2 produce 90% de unidades buenas y la máquina 3

Page 23: Estadística General

produce 8% de unidades defectuosas. De la producción de un día, se examina una unidad y se encuentra que: a) Está defectuosa. Calcule la probabilidad de que haya sido producida por la máquina 2. b) Está buena. Calcule la probabilidad de que provenga de la máquina 1. 4. En una caja se tienen 9 celulares de los cuales 4 están defectuosos. Si se sacan tres celulares consecutivamente y sin reeemplazo, calcular la probabilidad de que: a) A lo más dos sean buenos. b) Al menos dos sean defectuosos.

5. En una empresa se tiene 6 ingenieros y 4 técnicos. Si se quieren formar grupos distintos de 5 miembros, calcular la probabilidad de que los grupos estén formados por: a) Tres ingenieros y dos técnicos. b) Dos ingenieros y tres técnicos.

6) En un examen se tienen 5 preguntas de falso y verdadero y 3 preguntas de opción múltiple con 4 alternativas cada una. ¿De cuántas maneras se puede contestar el examen?

1. En una empresa, la producción se lleva a cabo con las máquinas 1, 2 y 3. La máquina 1 produce el 40% del total, la máquina 2 produce el 35% y la máquina 3 produce el resto del total. La máquina 1 produce 8% de unidades defectuosa, la máquina 2 produce 88% de unidades buenas y la máquina 3 produce 5% de unidades defectuosas. De la producción de un día, se examina una unidad y se encuentra que: a) Está defectuosa. Calcule la probabilidad de que haya sido producida por la máquina 1. Resp. 0.3699b) Está buena. Calcule la probabilidad de que provenga de la máquina 2. Resp. 0.3372

Page 24: Estadística General

2. En una empresa se tiene 5 ingenieros y 4 técnicos. Si se quieren formar grupos distintos de 4 miembros, calcular la probabilidad de que los grupos estén formados por:a) Dos ingenieros y dos técnicos. Resp. 0.4762b) Tres técnicos y un ingeniero. Resp. 0.1587

3. En una tienda, los clientes pueden pagar en efectivo o con tarjeta de crédito. En las ventas de un día, de 30 hombres 18 pagaron con tarjeta de crédito; de 22 mujeres, 8 pagaron en efectivo. Si aleatoriamente se selecciona un cliente, calcular la probabilidad de que: a) Sea hombre dado que pagó con tarjeta. Resp´. 0.5625 b) Haya pagado en efectivo dado que es mujer. Resp. 0.3636 c) Sea mujer dado que pagó con tarjeta.d) Sea hombre dado que pagó en efectivo.e) Pagó con tarjeta dado que es hombre.

4. En una caja se tienen 8 celulares de los cuales 3 están defectuosos. Si se sacan tres celulares consecutivamente y sin reeemplazo, calcular la probabilidad de que: a) A lo más dos sean defectuosos. Resp. 0.9816 b) Al menos dos sean buenos. Resp. 0.7142

5) En un examen se tienen 4 preguntas de falso y verdadero y 5 preguntas de opción múltiple con 4 alternativas cada una. ¿De cuántas maneras se puede contestar el examen?

6. De 65 estudiantes de una universidad, 40 estudian matemática, 35 estudian estadística y 16 estudian las dos clases. Calcular la probabilidad de que un estudiante aleatoriamente seleccionado: a) Estudie matemática o estadística. b) Estudie sólo matemática o sólo estadística.

Page 25: Estadística General

1. Se tienen tres cajas, C1, C2 y C3. La caja 1, tiene 5 bolas rojas y 3 blancas, la caja 2 tiene 6 bolas blancas y 4 rojas y la caja 3 tiene 7 bolas rojas y 2 blancas. Se saca aleatoriamente una bola de una de las cajas y : a) Es roja. Calcular la probabilidad de que provenga de la caja 1. Resp. 0.3467b) Es blanca. Calcular la probabilidad de que provenga de la caja 2. Resp. 0.5012

2. En una empresa se tiene 4 ingenieros y 5 técnicos. Si se quieren formar grupos distintos de 6 miembros, calcular la probabilidad de que los grupos estén formados por: a) Dos ingenieros y dos técnicos. b) Tres técnicos y dos ingenieros.

3. En una tienda, los clientes pueden pagar en efectivo o con tarjeta de crédito. En las ventas de un día, de 30 hombres 18 pagaron con tarjeta de crédito; de 22 mujeres, 8 pagaron en efectivo. Si aleatoriamente se selecciona un cliente, calcular la probabilidad de que: a) Sea hombre dado que pagó con tarjeta. b) Haya pagado en efectivo dado que es mujer.

4. En una caja se tienen 8 celulares de los cuales 3 están defectuosos. Si se sacan tres celulares consecutivamente y sin reeemplazo, calcular la probabilidad de que: a) A lo más dos sean defectuosos. b) Al menos dos sean buenos.

5) Un pintor tiene 15 de sus obras de las cuales 3 se van a exhibir en la galería A, 5 se exhibirán en la galería B y 4 se exhibirán en la galería C, el resto permanecerá en su estudio. ¿De cuántas maneras puede hacerse esta distribución?

Page 26: Estadística General

6. De 65 estudiantes de una universidad, 40 estudian matemática, 35 estudian estadística y 16 estudian las dos clases. Calcular la probabilidad de que un estudiante aleatoriamente seleccionado: a) Estudie matemática o estadística. b) Estudie sólo matemática o sólo estadística.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Las distribuciones de probabilidad pueden ser discretas o continuas.

Las distribuciones discretas sólo permiten valores enteros para la variable X. Son la distribución binomial y la distribución de Poisson.

Distribuciones continuas permiten valores enteros y fraccionarios para la variable X. Son la distribución Normal, la distribución “ t ” de student, la distribución F de Fisher, la exponencial, etc.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Características:1. Su gráfica tiene forma de campana.2. La media, la moda y la mediana son iguales.3. Es simétrica con relación a la media.4. Sus extremos son asíntotas con el eje X.5. La probabilidad bajo la curva de la distribución normal es igual a 1.6. Sus parámetros son la media µ (mu o miu ) y la desviación estándar

σ (sigma).7. Es mesocúrtica.8. Se tienen más - menos cuatro Z respecto a la media.9. Es continua.

En una distribución Normal para transformar datos reales en valores Z, se aplica la fórmula de estandarización

Z = (X - µ)/σ Donde X es la variable en estudio. Si X (el valor real) es mayor que la media µ, el valor de Z es positivo.Si X (el valor real) es menor que la media µ, el valor de Z es negativo.

Page 27: Estadística General

EjemploEn una clase de estadística, la media de las calificaciones es de 72 con una desviación estándar de 12. Si se selecciona aleatoriamente un estudiante, calcular la probabilidad de que la calificación sea: a) Mayor o igual que 90.

Lo que se pide en notación estadística es P(X≥90) Estandarizando X = 90

Z = (90 – 72)/12 = 1.50 Significa que el valor real de 90 se encuentra a 1.5 valores de Z a la derecha de la media µ = 72La pregunta del problema es cuál es la probabilidad de que la calificación sea mayor o igual que 90. Resp. P(X≥90)= 0.0668 En las gráficas se sombrea la solución deseada.A cada valor de Z le corresponde un valor de probabilidad en un intervalo y a cada probabilidad le corresponde un valor de Z.

En tabla de probabilidades normales, el valor de Z se da con dos decimales, por lo que se debe redondear correctamente el segundo decimal.

Nota. La tabla de probabilidades normales da, siempre, la probabilidad entre el valor de X y la media µ. La computadora da siempre la probabilidad desde cero (extremo izquierdo) hasta el valor de X.

b) Probabilidad de que la calificación sea menor que 85. Se pide P(X<85)Estandarizando X = 85Z = (85 – 72) / 12 = 1.08P(X<85) = 0.8607 |

c) Sea mayor que 60 Estandarizando X = 60

Z = (60 – 72)/12 = - 1 Resp. P(X> 60) = 1 – 0.1587 = 0.8413

d) Menor que 55 Z = - 1.42Resp. P(X<55) = 0.0783

e) Sea mayor que 50 y menor o igual que 95Resp = 0.9724 – 0.0334 = 0.9390

f) Esté entre 80 y 95La expresión “entre” NO INCLUYE los extremos. Resp = 0.9724 – 0.7475 = 0.2249

Page 28: Estadística General

g) Sea mayor o igual que 45 y menor que 60.

Resp. 0.1587 – 0.0122 = 0.1465

Observación. 1. Las probabilidades son siempre positivas.2. El valor de Z se da siempre con dos decimales por lo que se debe

redondear correctamente este valor. 3. Las probabilidades se dan siempre con 4 decimales.4. Los valores de probabilidad que da la tabla corresponden a intervalos

entre la media y el valor real X.

LABORATORIO En una empresa, el salario semanal promedio de los trabajadores es de Q780 con una desviación estándar de Q85. Si se selecciona aleatoriamente un trabajador, calcular la probabilidad de que su salario sea:

a) Menor o igual que Q650 Resp. b) Menor o igual que Q600 y mayor o igual que Q500

Resp.c) Mayor que Q850 Resp. d) Esté entre Q850 y Q720 Resp. e) Mayor que Q500 y menor o igual que Q720 Resp.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Es una distribución discreta que se aplica cuando un evento tiene sólo dos posibles resultados. Ejemplos: bueno-malo, verdadero-falso, éxito-fracaso, cara-escudo, ganar-perder, etc.Los parámetros de una distribución binomial son la probabilidad de éxito “p” y “n” el tamaño de la muestra.

Page 29: Estadística General

Para calcular probabilidades binomiales, se aplica la fórmula :

P(X I n, p) = nCx px qn - x

X = Número deseado de éxitosn = Número de datos o tamaño de la muestrap = Probabilidad de éxitoq = probabilidad de no éxito

p + q = 1 de donde q = 1 – p Ejemplo: Un vendedor debe visitar 50 clientes en una semana. La probabilidad de que un cliente compre es de 0.40. Calcule la probabilidad de que:

a) A lo más veintisiete clientes compren. Resp = 0.9840

b) Por lo menos 20 clientes compren. Resp.= 1 – 0.4465 = 0.5535

c) Entre 25 y 40 clientes compren Resp = 0.9999 – 0.9427 = 0.0572

d) Más de 30 clientes compren. Resp = 1 – 0.9986 = 0.0014

e) Probabilidad de que 26 clientes compren.

Page 30: Estadística General

Resp. = 0.0259

f) Menos de 22 clientes compren. Resp. = 0.6701

g) Más de 36 clientes compren.Resp. = 0.0001

h) Probabilidad de que 30 clientes comprenResp. = 0.0020 |

Ejemplo: Un vendedor debe visitar 10 clientes en un día. La probabilidad de que un cliente compre es de 0.40. Calcule la probabilidad de que:

a) A lo más siete clientes compren.P(X≤7 I n=10, p=0.4) = P(X=7) + P(X=6) + P(X=5) + …+ P(X=0)

P(X=7 I n=10, p=0.4) = 10C7 (0.4)7 (0.6)3 = 0.0425P(X=6 I n=10, p=0.4) = 10C6 (0.4)6 (0.6)4 = 0.1115P(X=5 I n=10, p=0.4) = 10C5 (0.4)5 (0.6)5 = 0.2007P(X=4 I n=10, p=0.4) = 10C4 (0.4)4 (0.6)6 = 0.2508P(X=3 I n=10, p=0.4) = 10C3 (0.4)3 (0.6)7 = 0.2150P(X=2 I n=10, p=0.4) = 10C2 (0.4)2 (0.6)8 = 0.1209P(X=1 I n=10, p=0.4) = 10C1 (0.4) (0.6)9 = 0.0403P(X=0 I n=10, p=0.4) = 10C0 (0.4)0 ( 0.6)10 = 0.006 _______________ SUMA = 0.9877Resp: P(X≤7 I n=10, p=0.4) = 0.9877

Page 31: Estadística General

Otra forma de solución es la siguiente:P(X≤7) = 1 – P(X≥8) = 1 – [P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)]

P(X=8 I n=10, p=0.4) = 10C8 (0.4)8 (0.6)2 = 0.0106P(X=9 I n=10, p=0.4) = 10C9 (0.4)9 (0.6) = 0.0016P(X=10 I n=10, p=0.4) = 10C10 (0.4)10 (0.6)0 = 0.0001

P(X≥8) = 0.0106 + 0.0016 + 0.0001 = 0.0123

Resp. P(X≤7) = 1 – 0.0123 = 0.9877

b) Al menos siete clientes compren. Resp. = 0.0548c) Entre tres y ocho clientes compren. Resp. 0.6055La expresión “entre” NO incluye los extremos.d) Si debe visitar 45 clientes en una semana, ¿cuál es la probabilidad de que a lo más 22 compren. Resp. 0.9135 e) Más de 25 clientes compren y a lo más 35 clientes compren Resp. 0.0119

f) Al menos 13 clientes compren. Resp. 0.9554 g) A lo más 10 clientes compren. Resp. 0.0094 con n=45

h) Entre 12 y 24 clientes compren. Resp. 0.9070

LaboratorioUna empresa tiene 35 computadoras y la probabilidad de que una computadora falle es de 0.28. Calcular la probabilidad de que:a) Al menos 25 computadoras fallen. Haga

gráfica.b) Más de 5 pero menos de 10 fallen. Haga

gráfica.c) Probabilidad de que 15 computadoras fallen.

Haga gráfica.d) Probabilidad de que menos de 20 estén

buenas.e) Al menos 12 estén buenas.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON. Es una distribución discreta que se aplica en problemas de colas. Su parámetro es λ (lambda)

Page 32: Estadística General

λ = Promedio de ocurrencias por unidad de tiempo

Fórmula para calcular probabilidades Poisson, P(X I λ) = λx e-λ / x!

Ejemplo. A un banco llegan en promedio 15 clientes por hora. Calcule la probabilidad de que en promedio:

a) Lleguen 12 clientes en una hora. Solución: P(X = 12 I λ= 15) = λ12 e-15 / 12! = (15)12 e-15 / 12! = 0.0829 λ= 15 clientes por hora

b) Lleguen 8 clientes en media hora. En este caso λ= 15/2 = 7.5 Solución: P(X = 8 I λ= 7.5) = λ8 e-7.5 / 8! = (7.5)8 e- 7.5 / 8! = 0.1373

c) Lleguen 2 clientes en 15 minutos. En este caso λ= 15/4 = 3.75 Solución: P(X = 2 I λ= 3.75) = λ2 e- 3.75 / 2! = (3.75)2 e-3.75 /2! = 0.1654

d) Lleguen a lo más 10 clientes en una hora. P(X ≤ 10 I λ= 15) = P(X=10) + P(X=9) + P(X=8) + P(X=7) + P(X=6) + … + P(X=0)

Resp. P(X ≤ 10 I λ = 15) = 0.1185

e) Probabilidad de que más de 12 clientes lleguen en una hora. Resp. 0.7324

f) Probabilidad de que lleguen entre 11 y 19 cliente en una hora Resp. 0.6347

g) Lleguen más de 4 y a lo más 10 en media hora. Resp. 0.7302

Page 33: Estadística General

Laboratorio

1. En una empresa el salario semanal promedio de los trabajadores tiene distribución Normal con media de Q560 y desviación estándar de Q52. Si se selecciona aleatoriamente un trabajador, calcular la probabilidad de que su salario sea: a) Mayor o igual que Q500.b) Esté entre Q615 y Q680.c) Menor que Q470.d) Sea mayor que Q480 y menor o igual que Q545e) Mayor que Q700f) Haga gráfica en cada caso

2. Un agente vendedor debe visitar 12 clientes en un día. La probabilidad de que un cliente compre es de 0.35. Calcular la probabilidad de que:

a) Al menos 4 clientes compren. Resp. 0.6533 b) A lo más 6 clientes compren. Resp. 0.9154 c) Si el vendedor debe visitar 40 clientes en una semana,

calcule la probabilidad de que menos de 20 clientes compren. Resp. 0.9637

d) Calcular la probabilidad de que entre 10 y 20 clientes compren. Resp. 0.8422.f) Probabilidad de que 25 clientes compren.

Resp. 0.0003 . 3. A un celular entran en promedio 12 llamadas en una hora.

Calcule la probabilidad de que al celular entren: a) Por lo menos10 llamadas en una hora. Resp. 0.7576 b) A lo más 4 llamadas en media hora. Resp. 0.2851 c) Al menos 3 llamadas en 15 minutos. Respp. 0.5768 d) Entre 8 y 15 llamadas entren en una hora.0Resp. 0.6170

a) P(X≥10 I λ= 12 ) = 1 -- P(X ≤ 9 I λ= 12) = 1 - P(X=9) + P(X=8) + P(X=7) + … +P(X= 0) =

Page 34: Estadística General

1- (0.0873+0.0655+0.0437+0.0254+0.0127+0.0053+0.0018+0.0004+0.0001+0.00000 = 1 – 0.2417 = 0.7583

4) En una empresa el salario semanal promedio de los trabajadores tiene distribución Normal con media de Q560 y desviación estándar de Q52. Si se selecciona aleatoriamente un trabajador, calcular la probabilidad de que su salario sea: a) Menor o igual que Q620. Haga gráficab) Esté entre Q500 y Q670. Haga gráficac) Mayor o igual que Q650. Haga gráfica

5) Un agente vendedor debe visitar 10 clientes en un día. La probabilidad de que un cliente compre es de 0.40. Calcular la probabilidad de que:

a) A lo más 4 clientes compren. b) Al menos 6 clientes compren. c) Si el vendedor debe visitar 35 clientes en una semana, calcule la

probabilidad de que más de 9 clientes compren.

6) A un celular entran en promedio 16 llamadas en una hora. Calcule la probabilidad de que al celular entren:

a) A lo más 15 llamadas en una hora. b) Por lo menos 7 llamadas en media hora. c) Al menos 3 llamadas en 15 minutos. d) Entre 5 y 10 llamadas en una horae) Al menos 5 llamadas y menos que 10 llamadas en media hora. f) Entre 12 y 20 llamadas en una hora.g) Al menos 5 y a lo más 11 en media hora.

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE MUESTREO

Una muestra es una parte estadísticamente representativa de la población. Se hace un muestreo para determinar las características de la población N.

Las razones por las que se hace un muestreo son:1. Minimización de costos.2. Minimización de tiempo.

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3. Escasez de personal especializado.

Características de una buena muestra:1. Aleatoria. Una muestra es aleatoria cuando los

elementos de la muestra son seleccionados al azar. 2. Representativa de la población. Significa que debe

ser estadísticamente proporcional al tamaño de la población.

3. Homogénea. Cuando las características de todos los elementos muestrales son iguales o semejantes.

4. Equiprobable. Cuando todos los elementos de población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados como elementos muestrales.

5. Objetiva. Cuando los resultados de la muestra no son afectados por el criterio del investigador.

6. Confiable. Cuando los resultados de una muestra son iguales o semejantes a los resultados de cualquier otra muestra que se obtenga de la misma población.

N = Tamaño de la poblacióne = porcentaje de error que se comete en el proceso de muestreo. Generalmente es un valor entre 1% y 10% Z = es un valor que depende del nivel de confianza y si el problema es de una o dos colas.σ = Desviación estándar

Fórmula de tamaño de muestra con proporcionesn = Npq Z2 / [ e2 (N – 1) + pq Z2 ]

p = probabilidad de que la muestra tenga las características de la poblaciónq = 1 – p = Probabilidad de que la muestra no tenga las características de la población.

Al 95% de Nivel de Confianza y dos colas, Z = 1.96

Al 95% de nivel de confianza y una cola, Z =

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Al 90% de Nivel de Confianza y dos colas, Z = 1.645

Ejemplo.

Calcular el tamaño de muestra que se debe obtener de una población de 1480 unidades a un nivel de confianza de 95%. Utilice un error de muestreo de = 4%. Resp. n = 427

Al 95% de NC y dos colas le corresponde Z = 1.96

Cuando no se tienen datos porcentuales para p y q se asume 0.50 para cada uno.

Ejemplo

Calcular el tamaño de muestra de la producción de un día de 500 unidades si la proporción de unidades buenas es de 0.70. Use nivel de confianza de 90% y un error de 5%. Resp. n = 156

Muestreo estratificadoEjemplo:

En una universidad se tienen cuatro secciones de matemática A, B, C, y D con 45, 36, 50 y 28 estudiantes respectivamente. Históricamente el 80% de los estudiantes gana el curso. Calcule: a) El tamaño de muestra total a un nivel de confianza de 95% y un error de muestreo de 5%. b) Cuántas unidades muestrales se deben obtener de cada una de las secciones.

Resp. n = 97 estudiantes

N = 45 + 36 + 50 +28 = 159

n = 96.80 = 97 estudiantes

Unidades muestrales que se deben obtener de cada una de las secciones.

nA = (45X97) / 159 = 27

nB = (36X97) / 159 = 22

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nC = (50X97) / 159 = 31

nd = (28X97) / 159 = 17

97

Ejemplo. Se quiere hacer un muestreo del nivel educativo en cinco comunidades del interior. Las poblaciones respectivas de las comunidades A, B, C, D y E son respectivamente 3560, 8720, 6150, 7471, 5384. A un nivel de confianza de 90% y un error de muestreo de 6%, calcule el tamaño de muestra que se debe obtener de cada comunidad.