Elliptic curvesFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 (B, N) pair 11.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Properties of groups with a BN pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Abelian integral 32.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Modern view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Abelian variety 53.1 History and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Analytic theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.2 Riemann conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.3 The Jacobian of an algebraic curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.4 Abelian functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Algebraic denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.4 Structure of the group of points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.5 Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.6 Polarisation and dual abelian variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.6.1 Dual abelian variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.6.2 Polarisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.6.3 Polarisations over the complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.7 Abelian scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.8 Semiabelian variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.11 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Abelian variety of CM-type 10

i

ii CONTENTS

4.1 references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Adelic algebraic group 115.1 Ideles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2 Tamagawa numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.3 History of the terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6 Ane Grassmannian (manifold) 136.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.2 Relationship with ordinary Grassmannian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 Albanese variety 157.1 Precise statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.3 Connection to Picard variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

8 Algebraic group 178.1 Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.2 Algebraic subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.3 Coxeter groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

9 Algebraic torus 199.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.2 Weights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209.4 Isogenies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209.5 Arithmetic invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

10 AppellHumbert theorem 2210.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210.2 Ample line bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

11 Approximation in algebraic groups 24

CONTENTS iii

11.1 Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2411.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2411.3 Formal denitions and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2411.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2511.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

12 Arason invariant 2612.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2612.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

13 Arithmetic group 2713.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2713.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2713.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2713.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

14 Arithmetic of abelian varieties 2814.1 Integer points on abelian varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814.2 Rational points on abelian varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814.3 Heights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814.4 Reduction mod p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814.5 L-functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914.6 Complex multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914.7 ManinMumford conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

15 Bogomolov conjecture 3015.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3015.2 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

16 BonehFranklin scheme 3116.1 Groups and parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3116.2 Protocol description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

16.2.1 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3116.2.2 Extract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3116.2.3 Encrypt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3216.2.4 Decrypt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3216.2.5 Correctness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

16.3 Security . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3216.4 Improvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3216.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3216.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

iv CONTENTS

17 Borel subgroup 3417.1 Parabolic subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3417.2 Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3417.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3417.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3517.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

18 Borelde Siebenthal theory 3618.1 Connected subgroups of maximal rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3618.2 Maximal connected subgroups of maximal rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3618.3 Closed subsystems of roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3818.4 Applications to symmetric spaces of compact type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3818.5 Applications to hermitian symmetric spaces of compact type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4018.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4018.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

19 BottSamelson variety 4319.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

20 Bruhat decomposition 4420.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4420.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4420.3 Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4520.4 Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4520.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4520.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4520.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

21 Brumer bound 4621.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4621.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

22 Cartan subgroup 4722.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4722.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4722.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4722.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

23 Chevalleys structure theorem 4823.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

24 Coble hypersurface 4924.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4924.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

CONTENTS v

25 Cohomological invariant 5025.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5025.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5025.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

26 Complex multiplication 5226.1 Example of the imaginary quadratic eld extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5226.2 Abstract theory of endomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5426.3 Kronecker and abelian extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5426.4 Sample consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5426.5 Singular moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5526.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5526.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5626.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5626.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

27 Complex torus 5727.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5727.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

28 Complexication (Lie group) 5928.1 Universal complexication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

28.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5928.1.2 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5928.1.3 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5928.1.4 Injectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

28.2 Chevalley complexication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6028.2.1 Hopf algebra of matrix coecients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6028.2.2 Invariant theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

28.3 Decompositions in the Chevalley complexication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6128.3.1 Cartan decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6128.3.2 Gauss decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6128.3.3 Bruhat decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6228.3.4 Iwasawa decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

28.4 Complex structures on homogeneous spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6328.5 Noncompact real forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

28.5.1 Involutions of simply connected compact Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6428.5.2 Conjugations on the complexication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6528.5.3 Cartan decomposition in a real form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6528.5.4 Iwasawa decomposition in a real form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

28.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6628.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

vi CONTENTS

28.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

29 Conductor of an abelian variety 7029.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7029.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7029.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

30 Conductor of an elliptic curve 7230.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7230.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7230.3 Oggs formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7330.4 Global conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7330.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7330.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7430.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

31 Congruent number 7531.1 Congruent number problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7531.2 Relation to elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7531.3 Current progress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7631.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

32 Counting points on elliptic curves 7832.1 Approaches to counting points on elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7832.2 Naive approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

32.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7832.3 Baby-step giant-step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

32.3.1 The algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7932.3.2 Notes to the algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

32.4 Schoofs algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8032.5 SchoofElkiesAtkin algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8032.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8032.7 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8132.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

33 Curve25519 8233.1 Popularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

33.1.1 Libraries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8233.1.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

33.2 Mathematical Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8333.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8333.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8333.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

CONTENTS vii

34 Cuspidal representation 8534.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8534.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

35 Decision Linear assumption 8735.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

36 Decisional DieHellman assumption 8836.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8836.2 Relation to other assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8836.3 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8836.4 Groups for which DDH is assumed to hold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8936.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8936.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

37 Diagonalizable group 9037.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

38 Dieudonn module 9138.1 Dieudonn rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9138.2 Dieudonn modules and groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9238.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9238.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

39 Dierential algebraic group 9339.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

40 Dierential Galois theory 9440.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9440.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9440.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9440.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

41 DNSCurve 9641.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9641.2 Security . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9641.3 Speed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9641.4 Implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9741.5 Deployment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9741.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9741.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9741.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

42 Doubling-oriented DocheIcartKohel curve 99

viii CONTENTS

42.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10042.2 Group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

42.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10042.2.2 Doubling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

42.3 Algorithms and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10042.3.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10042.3.2 Doubling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

42.4 Extended coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10242.5 Internal Link . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10242.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10242.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10242.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

43 Dual abelian variety 10343.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10343.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10343.3 Dual isogeny (elliptic curve case) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10443.4 Construction of the dual isogeny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10443.5 Poincar line bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10543.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10543.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

44 E6 (mathematics) 10644.1 Real and complex forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10644.2 E6 as an algebraic group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10744.3 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

44.3.1 Dynkin diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10744.3.2 Roots of E6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10744.3.3 Weyl group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11044.3.4 Cartan matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

44.4 Important subalgebras and representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11144.5 E6 polytope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11144.6 Chevalley and Steinberg groups of type E6 and 2E6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11144.7 Importance in physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11244.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11344.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

45 E7 (mathematics) 11545.1 Real and complex forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11545.2 E7 as an algebraic group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11645.3 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

45.3.1 Dynkin diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

CONTENTS ix

45.3.2 Root system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11645.3.3 Weyl group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11845.3.4 Cartan matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

45.4 Important subalgebras and representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11945.4.1 E7 Polynomial Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

45.5 Chevalley groups of type E7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12045.6 Importance in physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12045.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12045.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12145.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

46 E8 (mathematics) 12246.1 Basic description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12246.2 Real and complex forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12246.3 E8 as an algebraic group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12346.4 Representation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12346.5 Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12446.6 Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12446.7 E8 root system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

46.7.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12446.7.2 Dynkin diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12546.7.3 Cartan matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12646.7.4 Simple roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12746.7.5 Weyl group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12846.7.6 E8 root lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12846.7.7 Simple subalgebras of E8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

46.8 Chevalley groups of type E8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12846.9 Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12846.10Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13046.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13046.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13146.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

47 ECC patents 13347.1 Known patents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13347.2 Certicoms lawsuit against Sony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13447.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13447.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13447.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

48 EdDSA 13648.1 Ed25519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

x CONTENTS

48.2 Features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13648.2.1 Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13648.2.2 Secure coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

48.3 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13648.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13748.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13748.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

49 Edwards curve 13849.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13849.2 The group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

49.2.1 Edwards addition law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13849.2.2 An analogue on the circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

49.3 Projective homogeneous coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14149.3.1 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

49.4 Doubling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14249.5 Mixed Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

49.5.1 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14249.6 Tripling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14249.7 Inverted Edwards coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14349.8 Extended Coordinates for Edward Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14449.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14449.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14449.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14449.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

50 Eisenstein ideal 14550.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

51 Elliptic cohomology 14651.1 History and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14651.2 Denitions and constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14651.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

52 Elliptic curve 14852.1 Elliptic curves over the real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14952.2 The group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

52.2.1 Associativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15152.3 Elliptic curves over the complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15152.4 Elliptic curves over the rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

52.4.1 The structure of rational points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15452.4.2 The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15552.4.3 The modularity theorem and its application to Fermats Last Theorem . . . . . . . . . . . . 156

CONTENTS xi

52.4.4 Integral points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15752.4.5 Generalization to number elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

52.5 Elliptic curves over a general eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15852.6 Isogeny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15852.7 Elliptic curves over nite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15852.8 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16152.9 Algorithms that use elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16152.10Alternative representations of elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16152.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16252.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16252.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16352.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

53 Elliptic curve cryptography 16553.1 Rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16553.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16553.3 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16553.4 Cryptographic schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16653.5 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

53.5.1 Domain parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16653.5.2 Key sizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16753.5.3 Projective coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16853.5.4 Fast reduction (NIST curves) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

53.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16853.7 Security . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

53.7.1 Side-channel attacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16953.7.2 Quantum computing attacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

53.8 Patents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16953.9 Alternative representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16953.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17053.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17053.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17153.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

54 Elliptic curve DieHellman 17354.1 Key establishment protocol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17354.2 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17354.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

55 Elliptic Curve Digital Signature Algorithm 17555.1 Key and signature-size comparison to DSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17555.2 Signature generation algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

xii CONTENTS

55.3 Signature verication algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17655.4 Correctness of the algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17655.5 Security . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17755.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17755.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17755.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17855.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

56 Elliptic curve point multiplication 17956.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17956.2 Point addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

56.2.1 Point doubling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17956.3 Point multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

56.3.1 Double-and-add . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18056.3.2 Windowed method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18056.3.3 Sliding-window method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18056.3.4 wNAF method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18156.3.5 Montgomery ladder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

56.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

57 Elliptic Gauss sum 18257.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18257.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

58 Equations dening abelian varieties 18458.1 Complete intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18458.2 Kummer surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18458.3 General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18458.4 The coordinate ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18558.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18558.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18558.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

59 Equianharmonic 186

60 F4 (mathematics) 18760.1 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

60.1.1 Dynkin diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18760.1.2 Weyl/Coxeter group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18760.1.3 Cartan matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18760.1.4 F4 lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18760.1.5 Roots of F4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18860.1.6 F4 polynomial invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

CONTENTS xiii

60.2 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19060.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19060.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

61 Faltings height 19261.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19261.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

62 Fays trisecant identity 19362.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19362.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

63 Fixed-point subgroup 195

64 Formal group 19664.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19664.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19764.3 Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19764.4 The logarithm of a commutative formal group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19864.5 The formal group ring of a formal group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19864.6 Formal group laws as functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19964.7 The height of a formal group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19964.8 Lazard ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19964.9 Formal groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20064.10LubinTate formal group laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20164.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20164.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

65 FourierMukai transform 20365.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20365.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20365.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

66 Fundamental lemma (Langlands program) 20566.1 Motivation and history . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20566.2 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20566.3 Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20666.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20666.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20666.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

67 G2 (mathematics) 20867.1 Real forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20867.2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

xiv CONTENTS

67.2.1 Dynkin diagram and Cartan matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20867.2.2 Roots of G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20967.2.3 Weyl/Coxeter group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20967.2.4 Special holonomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

67.3 Polynomial Invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20967.4 Generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20967.5 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20967.6 Finite groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21067.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21067.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

68 Generalized ag variety 21268.1 Flags in a vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21268.2 Prototype: the complete ag variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21368.3 Partial ag varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21368.4 Generalization to semisimple groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21368.5 Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21468.6 Highest weight orbits and homogeneous projective varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21568.7 Symmetric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21568.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21568.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

69 Geometric invariant theory 21769.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21769.2 Mumfords book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21869.3 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21969.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22069.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

70 Glossary of algebraic groups 22170.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

71 Good ltration 22271.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

72 Grassmannian 22372.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22372.2 Low dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22372.3 The Grassmannian as a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22472.4 The Grassmannian as a homogeneous space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22472.5 The Grassmannian as a scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

72.5.1 Representable functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22472.5.2 Universal family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

CONTENTS xv

72.6 The Plcker embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22672.7 The Grassmannian as a real ane algebraic variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22672.8 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22772.9 Schubert cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

72.9.1 Cohomology ring of the complex Grassmannian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22772.10Associated measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22872.11Oriented Grassmannian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22872.12Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22872.13See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22872.14Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22972.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

73 Grosshans subgroup 23073.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23073.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

74 GrothendieckOggShafarevich formula 23174.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23174.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

75 Group of Lie type 23275.1 Classical groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23275.2 Chevalley groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23275.3 Steinberg groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23275.4 SuzukiRee groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23375.5 Relations with nite simple groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23475.6 Small groups of Lie type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23475.7 Notation issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23575.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23675.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23675.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

76 Group scheme 23876.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23876.2 Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23876.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23976.4 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24076.5 Finite at group schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24076.6 Cartier duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24176.7 Dieudonn modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24176.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

77 Haboushs theorem 243

xvi CONTENTS

77.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24377.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24377.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

78 Heegner point 24578.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

79 Hesse conguration 24679.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24779.2 Related congurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24779.3 Realizability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24779.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

80 Hesse pencil 24980.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

81 Hessian form of an elliptic curve 25081.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25081.2 Group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25281.3 Algorithms and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

81.3.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25281.3.2 Doubling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

81.4 Extended coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25481.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25481.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25481.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25481.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

82 HochschildMostow group 25582.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

83 Hyperelliptic curve cryptography 25683.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25683.2 Attacks against the DLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25683.3 Order of the Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25783.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25783.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

84 Hyperspecial subgroup 25884.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

85 Igusa variety 25985.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

86 Inner form 260

CONTENTS xvii

86.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

87 Iwahori subgroup 26187.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

88 j-line 26288.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

89 Jacobi form 26389.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26389.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26389.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

90 Jacobi theta functions (notational variations) 26490.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

91 Jacobi triple product 26691.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26691.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26791.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26891.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

92 Jacobian curve 26992.1 Elliptic Curves: Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26992.2 Denition: Jacobi intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

92.2.1 Group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27092.3 Denition: Jacobi quartic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

92.3.1 Jacobi quartic in ane coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27292.3.2 Group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27392.3.3 Alternative coordinates for the Jacobi quartic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

92.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27692.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27692.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27692.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

93 Jacobian variety 27793.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27793.2 Construction for complex curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27793.3 Algebraic structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27793.4 Further notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27893.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

94 JordanChevalley decomposition 27994.1 Decomposition of endomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

xviii CONTENTS

94.2 Decomposition in a real semisimple Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27994.3 Decomposition in a real semisimple Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28094.4 Counterexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28094.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

95 KazhdanLusztig polynomial 28195.1 Motivation and history . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28195.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28195.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28295.4 KazhdanLusztig conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

95.4.1 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28395.5 Relation to intersection cohomology of Schubert varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28495.6 Generalization to real groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28495.7 Generalization to other objects in representation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28595.8 Combinatorial theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28595.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28595.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

96 KCDSA 28796.1 Domain parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28796.2 User parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28796.3 Signing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28796.4 Verifying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28796.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

97 Kempf vanishing theorem 28997.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

98 KneserTits conjecture 29098.1 Fields for which the Whitehead group vanishes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29098.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29098.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

99 Kostant polynomial 29199.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29199.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29199.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29299.4 Steinberg basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29499.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

100Kuga ber variety 296100.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

101Kummer variety 297

CONTENTS xix

101.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

102Langs theorem 298102.1The LangSteinberg theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298102.2Proof of Langs theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298102.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299102.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

103Langlands decomposition 300103.1Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300103.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300103.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

104Lattice (discrete subgroup) 301104.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302104.2Arithmetic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302104.3S-arithmetic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302104.4Adelic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302104.5Rigidity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302104.6Tree lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303104.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303104.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

105Lazards universal ring 304105.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

106Lemniscatic elliptic function 305106.1Lemniscate sine and cosine functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

106.1.1 Arclength of lemniscate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306106.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306106.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306106.4External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

107LieKolchin theorem 308107.1Triangularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308107.2Lies theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308107.3Counter-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309107.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

108Mestre bound 310108.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310108.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

109Metaplectic group 311

xx CONTENTS

109.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311109.2Explicit construction for n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311109.3Construction of the Weil representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312109.4Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312109.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313109.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313109.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

110Mirabolic group 314110.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

111Modular elliptic curve 315111.1History and signicance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315111.2Modularity theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316111.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317111.4Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

112Montgomery curve 318112.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318112.2Montgomery arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319112.3Algorithm and example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

112.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319112.4Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320112.5Doubling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320112.6Equivalence with twisted Edwards curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321112.7Equivalence with Weierstrass curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321112.8See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322112.9Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322112.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322112.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

113Mordell curve 323113.1Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323113.2Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323113.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323113.4External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

114MordellWeil theorem 325114.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325114.2Further results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325114.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325114.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

115MQV 327

CONTENTS xxi

115.1Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327115.1.1 Correctness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

115.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327115.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328115.4Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328115.5External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

116MumfordTate group 329116.1Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329116.2MumfordTate conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330116.3Period conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330116.4Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330116.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330116.6External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

117NagellLutz theorem 331117.1Denition of the terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331117.2Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331117.3Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331117.4History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332117.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332117.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

118Nron dierential 333118.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

119NronOggShafarevich criterion 334119.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

120Observable subgroup 335120.1External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

121Oscillator representation 336121.1Historical overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336121.2Semigroups in SL(2,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336121.3Commutation relations of Heisenberg and Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342121.4Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343121.5Stonevon Neumann theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344121.6Oscillator representation of SL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345121.7Maslov index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348121.8Holomorphic Fock space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349121.9Fock model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350121.10Disk model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352121.11Harmonic oscillator and Hermite functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

xxii CONTENTS

121.12Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356121.13Smooth vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358121.14Analytic vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358121.15Oscillator semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360121.16Weyl calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363121.17Applications and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

121.17.1Theory for nite abelian groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365121.17.2Transformation laws for theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367121.17.3Derivation of law of quadratic reciprocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369121.17.4Theory in higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370121.17.5Index theorems for Toeplitz operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375121.17.6Theory in innite dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

121.18See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379121.19Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380121.20References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

122Period mapping 384122.1Ehresmanns theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384122.2Local unpolarized period mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384122.3Local polarized period mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385122.4Global period mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385122.5Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386122.6Period matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386122.7The case of elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386122.8See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387122.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387122.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

123Picard group 388123.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388123.2Picard scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388123.3Relative Picard scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389123.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389123.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389123.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

124Poncelets closure theorem 391124.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392124.2Proof sketch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392124.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392124.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392124.5External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

CONTENTS xxiii

125Potential good reduction 394125.1Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394125.2Equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394125.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394125.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

126Principal homogeneous space 395126.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396126.2Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396126.3Other usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397126.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397126.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397126.6Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397126.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

127Prym variety 399127.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

128Pseudo-reductive group 400128.1Examples of pseudo reductive groups that are not reductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400128.2Classication and exotic phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400128.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

129q-theta function 402129.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

130Quasi-split group 403130.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403130.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

131Quintuple product identity 404131.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404131.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

132Radical of an algebraic group 405132.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405132.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

133Ramanujan theta function 406133.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406133.2Application in String Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407133.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

134Rational representation 408134.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

xxiv CONTENTS

135Raynauds isogeny theorem 409135.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

136Reductive group 410136.1Lie group case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410136.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410136.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411136.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

137Restricted Lie algebra 412137.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412137.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412137.3Restricted universal enveloping algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412137.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412137.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

138Riemann form 414138.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

139Root datum 415139.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415139.2The root datum of an algebraic group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415139.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

140Rost invariant 417140.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417140.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

141SakaiKasahara scheme 419141.1Description of Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

141.1.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419141.1.2 Key Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420141.1.3 Encryption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420141.1.4 Decryption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420141.1.5 Demonstration of Algorithmic Correctness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

141.2Standardisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421141.3Cryptographic Libraries and Implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421141.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421141.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

142SatoTate conjecture 422142.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422142.2Details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422142.3Proofs and claims in progress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

CONTENTS xxv

142.4Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423142.5More precise questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423142.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423142.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424142.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

143Schoofs algorithm 425143.1Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .