Elemento finito de Zienkiewicz em fluidodinamica

incompressıvel: experimentos numericos e aplicacao a

escoamentos no entorno de obstaculos retangulares

Diego S. Rodrigues, Gustavo C. Buscaglia,

Depto. de Matematica Aplicada e Estatıstica, LMACC, ICMC, USP

13566-5900, Sao Carlos, SP

E-mail: diegosarodrigues@gmail.com, gustavo.buscaglia@icmc.usp.br,

Vitoriano Ruas

Universite Pierre et Marie Curie, Institut Jean Le Rond d’Alembert/CNRS,

Universite Paris 6,

UMR 7190, Couloir 55-65, 5e etage. 4 place Jussieu, 75252 Paris cedex, France,

E-mail: vitoriano.ruas@upmc.fr.

Resumo: Apesar de seu frequente uso em mecanica dos solidos, o elemento finito de Zienki-ewicz [8] permanece marginalmente explorado em fluidodinamica computacional. A esse respeito,analisamos aqui um elemento misto proposto por V. Ruas e G. C. Buscaglia [1] que ate o pre-sente fora somente testado em problemas lineares, para escoamentos estacionarios e sem inercia.Denotaremos este elemento por Z2P1. Com a mesma complexidade e ordem de aproximacao(h2 na norma H1

pΩq L2pΩq), apresentamos aqui algumas vantagens do Z2P1 em relacao

ao elemento P2P1 de Taylor-Hood. Alem da validacao apresentada para o escoamento de Ko-vasznay, procedemos ainda a avaliar o desempenho do elemento Z2P1 em um escoamento maiscomplexo: aquele que se da no entorno de um obstaculo retangular. Trata-se de um teste interes-sante pois, neste, quantidades como a frequencia de geracao de vortices sao bastante sensıveis aocomprimento de corda. Resultados para o caso bidimensional sao aqui apresentados, os quais re-produzem a bem conhecida transicao descontınua da frequencia de geracao de vortices que ocorrepara certos valores de corda. Encontramos, porem, que este tipo de escoamento externo possuihisterese; em particular, a depender da condicao inicial, a variacao repentina (por um fatordois) do numero de Strouhal pStcq pode ocorrer em distintos valores de corda – desconhecemosliteratura anterior que tenha reportado esse fato. Sobre o desempenho do elemento misto Z2P1,este comportou-se de maneira robusta e com desempenho ao menos comparavel ao P2P1. Osresultados aqui apresentados encorajam seu uso para solucao numerica das equacoes de Navier-Stokes.

Palavras-chave: Metodo dos Elementos Finitos, Elemento de Zienkiewicz, Elemento de Taylor-Hood, Mecanica dos Fluidos, Equacoes de Navier-Stokes, Numero de Strouhal, Corpos rombudos,Histerese

1 Introducao

Nosso proposito aqui e analisar e discutir a performance numerica de um novo elementomisto para fluidos incompressıveis em formulacao velocidade-pressao, proposto por Gustavo C.Buscaglia e Vitoriano Ruas [1], mas ate entao somente empregado em problemas sem inercia,lineares [1]. Trata-se de um elemento triangular (ou tetraedrico, se em tres dimensoes espaciais)cujos graus de liberdade estao todos postos nos vertices; sao estes: velocidade, gradiente de velo-cidade e pressao. Neste, as velocidades sao interpoladas com um elemento simplicial (triangulo

511

em 2D) cujas interpolantes locais sao polinomios de grau tres; o campo de pressao e interpoladocom o espaco usual P1 conforme.

O novo elemento, denotado por Z2P1 no que segue, comporta polinomios completos ate graudois em velocidade e ate grau um em pressao, estando assim bem balanceado para o problemade Stokes e de Navier-Stokes a Reynolds pReq moderado, com aproximacao de segunda ordemna norma natural. O interesse nesse elemento surge de ele ser uma das poucas alternativasexistentes para obter segunda ordem em triangulos. Outras sao o elemento classico de Taylor-Hood P2P1, que tem a desvantagem de requerer malhas diferentes para velocidade e pressao,e o elemento de Crouzeix-Raviart P

2 Pdisc1 , cuja pressao e descontınua. Comparativamente, o

Z2P1 tem a simplicidade de ter todas as incognitas nos vertices, mantendo a estabilidade nosentido de satisfazer a condicao inf-sup ou de Babuska-Brezzi.

Com relacao aos aspectos teoricos, para o problema de Stokes, o elemento Z2P1 e div-estavelna formulacao de Galerkin em malhas do tipo criss-cross [1]. De fato, tal hipotese parece naoser necessaria: pelo que aqui se evidencia nos experimentos numericos, a condicao inf-sup esatisfeita tambem em malhas nao-estruturadas arbitrarias. Na formulacao estabilizada do tipoGalerkin-Least-Squares tambem se sabe que o elemento misto Z2P1 e estavel [1].

Como aqui discutimos, com a mesma complexidade e ordem de aproximacao (h2 na normaH1

pΩq L2pΩq), as vantagens obtidas em relacao ao P2P1 sao: menor numero de incognitas

para mesma triangulacao (34, assintoticamente); apenas uma unica malha faz-se necessariapara interpolar os campos de velocidade e pressao e alguma continuidade extra e alcancada(o gradiente de velocidade e contınuo nos vertices; consequentemente, vorticidade, tensao edeformacao estao unicamente definidas nos nos).

A seguir, relembramos as equacoes governantes e detalhamos a abordagem numerica, naqual, por completude, estao presentes os termos de estabilizacao. Iniciamos a secao de resul-tados com um estudo de convergencia para o escoamento de Kovasznay, na qual se verificabom comportamento do elemento Z2P1 para escoamentos com inercia moderada, tanto na for-mulacao de Galerkin quanto na estabilizada. Como interessante aplicacao-teste para o novoelemento, exibimos resultados numericos de escoamento no entorno de um obstaculo retangular;neste se verifica a robustez do elemento e seu bom desempenho em problemas transitorios naolineares. Adicionalmente, e com resultados ainda em fase preliminar, reportamos que os cam-pos de velocidade e pressao podem apresentar histerese, no sentido de que dentro de um certolimiar de variacao da corda do retangulo, tais campos tendem a se manter no estado em que seencontram. Por fim, sao extraıdas algumas conclusoes e discutidos trabalhos futuros.

2 Equacoes governantes e abordagem numerica

Seja Ω P Rdpd 2 ou 3q um domınio aberto e limitado com fronteira BΩ BΩ1 Y BΩ2,

em que BΩ1 X BΩ2 H. Neste, supondo escoamento incompressıvel, a dinamica de um fluidonewtoniano e regida pelas equacoes de Navier-Stokes,

ρpBtu pu ∇quq ∇ p2µ∇Suq ∇p ρb em Ω, t ¡ 0, (1)

∇ u 0 em Ω, t ¡ 0, (2)

u uBΩ1

em BΩ1, t ¡ 0, (3)

σ qn 0 em BΩ2, t ¡ 0, (4)

u u0 em Ω, t 0 (5)

em que ∇Su.

12 p∇u p∇uqT q; σ p I 2µ∇Su; b e uma forca volumetrica conhecida,

∇ u 0 e a restricao de incompressibilidade; u uBΩ1

e uma condicao de contorno Dirichletem BΩ1; σ

qn 0 e uma condicao de contorno Neumann homogenea em BΩ2; e u0 e a condicaoinicial para o campo de velocidade.

512

2.1 Formulacao variacional

Na forma fraca, definindo

V. tw P H1

pΩqd | w uBΩ1

em BΩ1u (6)

V. tw P H1

pΩqd | w 0 em BΩ1u (7)

Q. L2

pΩq (8)

o problema a ser resolvido ePara t ¡ 0, encontrar puptq, pptqq P V Q tal que

»

Ωρ pBtu pu ∇quq v dΩ

»

Ω2µ∇

Su : ∇Sv dΩ

»

Ωp∇ v dΩ

»

Ωρb v dΩ (9)

»

Ωq∇ u dΩ 0 (10)

pv, qq P V Q.Para discretizacao temporal utilizamos o metodo θ. A discretizacao espacial e baseada numa

malha de elementos finitos Th, a partir da qual sao definidos um espaco discreto de velocidadeVh V (e seu homogeneo Vh V ) e um espaco discreto de pressao Qh Q. A formulacaovariacional discreta eEncontrar pun1

h , pn1h q P Vh Qh tal que

Ru

.

»

ΩGu vh dΩ

»

Ω2µ∇

Sunθh : ∇vh dΩ

»

Ωpnθh ∇ vh dΩ

¸

KPTh

τu

ρ

»

K

Gu ∇ p2µ∇Sunθh q ∇pnθ

h

ρpunθh ∇qvh Λµ∇2vh

dΩ 0 (11)

Rp

.

»

Ωqh∇ un1 dΩ

¸

KPTh

τp

ρ

»

K

Gu ∇ p2µ∇Sunθh q ∇pnθ

h

∇qh dΩ 0 (12)

pvh, qhq P Vh Qh, em que unθh θ un1

h p1 θqunh , pnθ

h θ pn1h p1 θq pnh , e Gu e

dado por

Gu ρ

un1h un

h

∆t punθ

h ∇qunθh bnθ

. (13)

O valor da constante Λ em (11) corresponde as opcoes listadas a seguir. Metodo variacionalmultiescala algebrico (ASGS): Λ 1 (ver [4]); metodo Galerkin least-squares (GLS): Λ 1(ver [5]); ou Λ 0, as vezes utilizado por alguns autores [7]. Notar tambem que deixamos apossibilidade de τu e τp serem distintos, isto e, pode-se colocar pesos diferentes as estabilizacoesde velocidade e de pressao. Salvo quando mencionado, sera tomado

τu τp cτ

4µ

ρh2

2unh

h

1

, (14)

com cτ 0.1 em geral. O caso Galerkin corresponde a cτ 0.Resolvemos simultaneamente a velocidade e a pressao atraves do metodo de Newton-Raphson.

No caso de rodar o codigo na formulacao de Galerkin (τu τp 0), para evitar pivos nulos nafatoracao da matriz de iteracao, adicionamos no bloco pressao-pressao uma pequena matriz dedifusao, isto e

Jjk

Mjk

BRjp

BP k

»

ǫh

µ

2

∇M j∇Mk, (15)

513

em que P k denota a incognita de pressao, M e a funcao de base de pressao, h e a aresta media dostriangulos da malha e ǫ e uma constante (ǫ 105 nos dois problemas-teste aqui apresentados).Assim sendo, como o resıduo do sistema de equacoes nao foi alterado, uma vez alcancada aconvergencia, a solucao satisfaz o sistema dado por (11)-(12). Essa estrategia para evitar pivosnulos foi tomada da “penalizacao iterativa” proposta por Codina [3].

Por limitacao de espaco, nao descreveremos o elemento de Zienkiewicz, mas o leitor interes-sado pode conferir sua descricao e propriedades de aproximacao em [1, 2].

3 Estudo de convergencia: escoamento de Kovasznay

Primeiramente vamos considerar um caso-teste para o qual se conhece a solucao analıtica:o escoamento de Kovasznay. Trata-se de uma solucao periodica bidimensional das Equacoesde Navier-Stokes no caso incompressıvel e estacionario. A solucao analıtica e upx, yq 1 exppλxq cosp2πyq, vpx, yq pλ2πq exppλxq sinp2πyq, ppx, yq p0 pρ2q expp2λxq, em que

λ pρ2µq rpρ2µq2 4π2s

1

2 0, e p0 e uma constante arbitraria, a qual escolhemos ser

nula.Resolvemos o escoamento de Kovasznay, no domınio computacional Ω r0 , 30s

0 , 12

,impondo, nas bordas esquerda, superior e inferior upx, yq e vpx, yq dados pela solucao analıtica(anteriormente descrita) e, na borda direita, a condicao de contorno natural σ

qn 0.As 4 malhas utilizadas no escoamento de Kovasznay sao descritas na Tabela 1, na qual

incluımos o numero de incognitas em cada espaco de aproximacao de velocidade-pressao; Z2P1

apresenta menor numero de incognitas do que o elemento P2P1.

Tabela 1: Malhas de elementos triangulares construıdas no software livre Gmsh; escoamento deKovasznay.

Malha # Elem. # Vertices h;

# Incog. Z2P1 # Incog. P2P1

K1 1010 612 0.2033 4284 5078K2 4040 2233 0.1016 15631 19243K3 16160 8505 0.0508 59535 74843K4 64640 33169 0.0254 232183 295123

;Comprimento medio das arestas.

Em posse da solucao analıtica, verificamos a ordem de convergencia da solucao numerica.Os resultados para o espaco de aproximacao velocidade-pressao Z2P1 sao exibidos na Figura1, em que, para comparacao, apresentamos tambem o elemento P2P1 de Taylor-Hood. Essesresultados correspondem a formulacao de Galerkin (cτ 0), que acaba sendo mais convenientedo que as opcoes estabilizadas (cτ ¡ 0, Λ P t1, 0, 1u), ja que nestas praticamente nao haganho significativo em termos de erro (resultados omitidos). O espaco de aproximacao Z2P1

sem estabilizacao fornece as mesmas ordens de convergencia em L2pΩq para a velocidade (ordem

Oph3q) e a pressao (ordem Oph2q) do que elemento de Taylor-Hood. Os erros dos gradientes develocidade e de pressao sao de ordem Oph2q e de ordem Ophq, respectivamente (figura omitida).

4 Aplicacao: escoamento atraves de um obstaculo retangular

Como problema-teste a ser simulado escolhemos o escoamento de um fluido newtonianoatraves de um obstaculo retangular, em regime laminar. Com respeito a solucao numerica, ajustificativa para tanto e que tal problema possui caracterısticas fısicas peculiares para po-la aprova. Vamos a elas.

O que torna esse problema um excelente teste transiente e que, para Re suficientementegrande (¡ 100, aproximadamente) sao desprendidos vortices de maneira periodica na esteira doobstaculo retangular. Ainda mais, a frequencia de desprendimento desses vortices sofre uma

514

h

u p h3.02q Z2P1

v p h3.20q Z2P1

p p h2.03q Z2P1

u p h3.17q P2P1

v p h3.24q P2P1

p p h2.02q P2P1

erro

L2

1

101

101 4 101

102

2 102

103

104

105

106

107

Figura 1: Erro em norma L2 em funcao da aresta media elementar h, com as respectivas ordensde convergencia; elementos Z2P1 e P2P1 (ambos na formulacao de Galerkin), escoamento deKovasznay a ρ 40 e µ 1.

transicao abrupta para valores de ca especıficos (que dependem de Re). Nessas transicoes talfrequencia varia descontinuamente por um fator de 2, com a consequente alteracao das estruturascaraterısticas do escoamento (vortices, camadas limites, etc).

Por limitacao de espaco, embora tenhamos feito um estudo detalhado para varias malhas,passaremos logo aos resultados dos testes feitos para o elemento proposto Z2P1 (formulacaode Galerkin). Escolhemos que o escoamento externo se da da esquerda para a direita, com ascondicoes de contorno especificadas a seguir. Para fronteira do domınio computacional, perfilde entrada uniforme na borda esquerda: u U

8

, v 0; bordas superior e inferior: pσ qnqx 0

(isto e, a componente x do vetor σ qn e tomada nula), v 0; e σ

qn 0 na borda direita. Nocontorno do obstaculo, condicao de nao-deslizamento: u v 0. Uma malha foi suficiente parasimular as diferentes razoes de aspecto, bastando-se aplicar um fator de escala a coordenada x

de cada no.Na Figura 2 exibimos a dependencia do numero de Strouhal com respeito a razao de aspecto

do retangulo; nota-se, nesta, a bem conhecida descontinuidade presente entre ca 5.4 e 5.5(considerando a condicao inicial de ca 5.0, denotada por upt 0qca5.0). Encontramos,porem, que este tipo de escoamento externo possui histerese: os campos de velocidade e pressaotem uma certa tendencia a se manter no estado em que se encontram mesmo quando a cordado cilindro e diminuida. Ao utilizarmos, como condicao inicial, um campo de velocidades comfrequencia de geracao de vortices caracterıstica da razao de aspecto 6.0, a transicao descontınuaem Stc ocorre para valor aquem do esperado (entre 5.0 e 5.1, como pode ser notado na Figura2). Este fenomeno carece de uma investigacao em maiores detalhes.

5 Consideracoes finais

Temos apresentado o novo espaco de aproximacao Z2P1 para escoamentos incompressıveisna formulacao velocidade-pressao para as equacoes de Navier-Stokes transitorias, considerandonumeros de Reynolds moderados a altos. A performance do elemento testado foi adequada, comordem de convergencia otima mesmo pondo a zero todos os termos de estabilizacao. Portanto, oelemento Z2P1 se comporta de maneira estavel e robusta, sem modos espurios de pressao nemdificuldades especiais de convergencia do sistema nao linear.

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Stc

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7razao de aspecto pcaq

Re 400

upt 0qca5.0

upt 0qca6.0

Tan et al. [6]

p q

p q

p q

Figura 2: Numero de Strouhal Stc em funcao da razao de aspecto ca a partir das condicoesiniciais upt 0qca5.0 e upt 0qca6.0; escoamento externo a Re 400 atraves do obstaculoretangular. Ao lado direito, linhas de corrente (instantaneas) nas proximidades do obstaculoretangular com ca 5.0.

Estudos em desenvolvimento visam, provar rigorosamente a div-estabilidade do elementopara malhas arbitrarias. Em andamento tambem se encontra um estudo de uma variante doespaco Z2P1, no qual se impoe divergencia nula de velocidade nos vertices.

Agradecimentos a FAPESP, CNPq e INCT-MACC pelo suporte financeiro.

Referencias

[1] G. C. Buscaglia and V. Ruas. Finite element solution of the Stokes system with a Zienkiewicztype N-simplex. Submitted, 2013.

[2] P. Ciarlet. “The Finite Element Method for Elliptic Problems, North Holland”, Amsterdam,1978.

[3] R. Codina. An iterative penalty method for the finite element solution of the stationaryNavier-Stokes equations. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 110 (1993) 237–262.

[4] R. Codina. On stabilized finite element methods for linear systems of convection-diffusion-reaction equations, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 188 (2000) 61–82.

[5] L. Franca and T. Hughes. Convergence analyses of Galerkin least-squares methods for sym-metric advective-diffusive forms of the Stokes and incompressible Navier-Stokes equations.Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 105 (1993) 285–298.

[6] B. Tan, M. Thompson and K. Hourigan. Simulated Flow around Long Rectangular Platesunder Cross Flow Perturbations. Int. J. Comput. Fluid Dyn., (1998) 2, article 1.

[7] T. Tezduyar, S. Mittal, S. E. Ray and R. Shih. Incompressible flow computations withstabilized bilinear and linear equal-order-interpolation velocity-pressure elements. Comput.Methods Appl. Mech. Engrg., 95 (1992) 221–242.

[8] O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor “The Finite Element Method: Solid Mechanics II”, 5th.ed, McGraw-Hill, 2000.

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