Electrodinamica Clasica Notas - Rañada

Notas de curso de

Electrodinamica clasica

Prof. Antonio Fernandez-Ranada

Curso 2004/05

Universidad ComplutenseFacultad de Fısica

Ciudad Universitaria, Madrid

Bibliografıa

• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Teorıa clasica de campos (Reverte,

Barcelona, 1986); The classical theory of fields, (Pergamon Press, Oxford, 1975).

• J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd edition (John Wiley, New

York, 1998). Hay version espanola de la segunda edicion inglesa, Electrodinamica

clasica, 2ª edicion (Alhambra Universidad, Barcelona, 1980).

• W. K. H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism

(Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1964).

• Bo Thide, Classical electrodynamics,

http://www.plasma.uu.se/CED/Book/index.html.

• A. O: Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles

(Dover, New York, 1980).

• F. Rohrlich, Classical Charged Particles (Addison-Wesley, Reading, Massa-

chusetts, 1990).

0–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

notas EDC (v. 30/mayo/2005)

Indice general

1. Revision de las ecuaciones de Maxwell 1–1

1.1. Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–1

1.2. Energıa electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–2

1.3. Los potenciales electromagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–4

1.4. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–4

1.5. Transformacion de los campos electromagneticos bajo rotaciones,

reflexiones e inversion temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–5

1.5.1. Rotaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–7

1.5.2. Reflexiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–9

1.5.3. Inversion temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–10

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–12

2. Relatividad especial 2–1

2.1. El principio de relatividad y los postulados de Einstein . . . . . . 2–1

2.1.1. Sistemas inerciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–1

2.1.2. Velocidad de propagacion de la interaccion. . . . . . . . . . 2–2

2.1.3. Sucesos, intervalo y tiempo propio. . . . . . . . . . . . . . 2–3

2.1.4. Importancia del intervalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–5

2.1.5. Tipos de intervalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–5

2.1.6. Tiempo propio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–7

2.2. Las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–8

2.2.1. Postulados de Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–9

2.3. Transformacion de las velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–11

notas EDC (v. 30/mayo/2005)—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

0–3

Indice general

2.4. Cuadrivelocidad y cuadriaceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–11

2.5. Principio de covariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–12

2.6. Apendice: Grupos, vectores, formas y tensores . . . . . . . . . . . 2–14

2.6.1. Formas lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–16

2.6.2. Que cosa es un tensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–17

2.6.3. Caso general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–19

2.6.4. Tensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–23

2.6.5. Vectores y pseudovectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–24

2.6.6. Integrales en cuatro dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . 2–25

2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–27

3. Formulacion lagrangiana de la electrodinamica clasica I 3–1

3.1. Principio de “mınima accion” en mecanica newtoniana . . . . . . 3–1

3.2. La accion de una partıcula libre en relatividad . . . . . . . . . . . 3–3

3.2.1. Formulacion cuadridimensional. . . . . . . . . . . . . . . . 3–5

3.3. Cuadripotencial del campo electromagnetico . . . . . . . . . . . . 3–6

3.3.1. Interaccion a distancia e interaccion por campos interpuestos.3–6

3.4. Ecuaciones del movimiento de una carga en un campo electro-

magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–8

3.5. Invariancia gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–10

3.6. El tensor electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–10

3.6.1. Transformaciones de Lorentz del campo . . . . . . . . . . . 3–13

3.6.2. Invariantes del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–14

3.7. Campo electrico de una carga puntual en movimiento uniforme . . 3–15

3.8. Partıcula cargada en un campo electrico uniforme y constante . . 3–17

3.9. Partıcula cargada en un campo magnetico uniforme y constante . 3–19

3.10. Partıcula cargada en campos electrico y magnetico uniformes y

constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–20

3.11. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–22

4. Formulacion relativista lagrangiana de la electrodinamica clasica

II 4–1

0–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


Indice general

4.1. El primer par de ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 4–1

4.2. La accion del campo electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . 4–2

4.3. El cuadrivector corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–4

4.3.1. La ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–5

4.4. El segundo par de ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 4–5

4.4.1. Forma integral del segundo par de Maxwell. . . . . . . . . 4–8

4.5. Densidad de energıa y flujo de energıa . . . . . . . . . . . . . . . 4–9

4.6. El tensor de energıa-momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–11

4.6.1. Sentido de las componentes de T µν . . . . . . . . . . . . . . 4–14

4.6.2. Expresion de las componentes del tensor energıa-momento

canonico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–14

4.6.3. Tensores energıa-momento canonico

y simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–15

4.7. Balance energetico de la interaccion

campo electromagnetico-cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–16

4.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–18

5. Ondas electromagneticas 5–1

5.1. La ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–1

5.1.1. Ecuaciones de onda de los potenciales escalar y vectorial y

transformaciones de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–2

5.2. Ondas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–5

5.2.1. Ondas planas en medios no conductores . . . . . . . . . . 5–5

5.3. Radiacion electromagnetica en una cavidad en forma de paralelepıpe-

do rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–7

5.4. Guıas de onda y cavidades resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . 5–8

5.4.1. Condiciones de contorno

de los campos longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–11

5.5. Modos transversales electricos y magneticos y frecuencias mınimas 5–11

5.6. Cavidades resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–13

5.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–19

6. Radiacion de partıculas cargadas 6–1


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

0–5

Indice general

6.1. Solucion de la ecuacion de ondas en forma covariante. Funciones

de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–1

6.2. Los potenciales y los campos de Lienard-Wiechert de una carga

puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–5

6.2.1. Calculo de los potenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–5

6.2.2. Calculo de los campos electrico y magnetico. . . . . . . . . 6–7

6.2.3. Campos de una carga en movimiento uniforme . . . . . . . 6–9

6.3. Radiacion de una carga acelerada. Formula de Larmor . . . . . . 6–10

6.3.1. Formula relativista de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . 6–11

6.4. Reaccion a la radiacion. Radiacion del sincrotron. . . . . . . . . . 6–12

6.4.1. Caso de aceleracion lineal, . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–13

6.4.2. Caso de la aceleracion centrıpeta en un movimiento circular.6–16

6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–17

7. Sistemas radiantes 7–1

7.1. Radiacion de un sistema de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–1

7.2. Radiacion de un dipolo oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–2

7.3. Planteamiento general del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–6

7.4. Termino dipolar electrico de la radiacion . . . . . . . . . . . . . . 7–9

7.5. Radiacion dipolar magnetica y cuadrupolar electrica . . . . . . . . 7–10

7.6. Un ejemplo de antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–12

7.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–13

0–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


Capıtulo 1

Revision de las ecuaciones de

Maxwell

1.1. Las ecuaciones de Maxwell

Sean E(r, t) y B(r, t) los campos electrico y magnetico y D(r, t) y H(r, t), los

vectores de desplazamiento y de intensidad magnetica. Las cuatro ecuaciones de

Maxwell que los relacionan son en el vacıo

∇ ·B = 0 , (1.1)

∇× E = − ∂B

∂t, (1.2)

∇ · E =ρ

ε0, (1.3)

∇×B = µ0j + µ0ε0∂E

∂t, (1.4)

donde ρ(r, t) y j(r, t) son las densidades de carga y de corriente. Por razones

que quedaran claras mas adelante al estudiar la formulacion relativista, las dos

primeras se conocen como el primer par y la tercera y la cuarta, el segundo par.

En un medio material, estas ecuaciones se escriben a menudo en la forma

∇ ·B = 0, (1.5)

∇× E = −∂B∂t, (1.6)

∇ ·D = ρ, (1.7)

∇×H = j +∂D

∂t, (1.8)

a las que se deben anadir las relaciones D = εE, B = µH y, si la corriente no

esta dada a priori, tambien j = σE. Las cantidades ε y µ son la permitividad y


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

1–1

Capıtulo 1. Revision de las ecuaciones de Maxwell

la permeabilidad del medio, que representan fenomenologicamente el efecto de las

cargas y spines del mismo. Se llaman tambien a veces su constante electrica y su

constante magnetica. σ es la conductividad electrica cuya inversa es la resistividad

electrica.

En muchas ocasiones, se trata de estudiar como varıa el campo electro-

magnetico en interaccion con cargas libres cuyo movimiento no esta dado a priori

sino que esta afectado por los campos. Tomemos el caso especialmente intere-

sante de electrones cuyas posiciones y velocidades son rk, vk. En ese caso hay que

acoplar las ecuaciones de Maxwell con las de movimiento de cada carga. Para ello

hay que hacer dos cosas

(i) Tomar como densidad de carga del conjunto de electrones

ρe = −e∑k

δ(3)(r− rk), (1.9)

y como densidad de corriente

je = −e∑k

δ(3)(r− rk)vk (1.10)

(ii) Anadir las ecuaciones de movimiento de los electrones

d

dt

[mvk

(1− v2k/c

2)1/2

]= Fk = −e(E + vk ×B). (1.11)

que es la segunda de Newton en su forma relativista, con la fuerza Fk sobre cada

carga dada por la expresion de Lorentz y tomando los campos E = E(r, t) y

B = B(r, t) en la posicion de cada carga. En el caso en que v/c 1 podemos

aproximar el primer miembro por su expresion no relativista d(mv)/dt.

Estas ecuaciones estan siendo comprobadas incontables veces cada dıa, tanto

desde el punto de vita teorico, como en su aplicacion a multitud de instrumentos

y dispositivos, como los que tenemos en nuestras casas. Constituyen una parte

muy importante de la fısica basica.

1.2. Energıa electromagnetica

Las cantidades

UE =1

2

∫V

E ·D dv, (1.12)

y

UM =1

2

∫V

H ·B dv, (1.13)

1–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


1.2. Energıa electromagnetica

son, respectivamente, la energıa potencial electrostatica del sistema de cargas

que produce el campo electrico y la energıa almacenada en el campo magnetico.

Notese que las densidades de energıa se pueden escribir tambien como

uE =1

2εE2, uM =

1

2µB2.

Veremos ahora que ocurre en las situaciones dinamicas. Tomemos la diferencia

entre la ecuacion (1.6) multiplicada escalarmente por H y la (1.8) multiplicada

por E

H · (∇× E)− E · (∇×H) = −H · ∂B∂t

− E · ∂D∂t

− E · j.

El primer miembro de esta ecuacion es igual a ∇ · (E×H), por lo que

∇ · (E×H) = −H · ∂B∂t

− E · ∂D∂t

− E · j. (1.14)

Suponiendo que D, B, j dependen linealmente de E, H,E, esta ecuacion puede

escribirse como

∇ · (E×H) = − ∂

∂t

1

2[E ·D + B ·H]− j · E. (1.15)

El segundo miembro tiene una interpretacion clara: con un cambio de signo, es

la derivada respecto al tiempo de la suma de las densidades de energıas electrica

y magnetica mas el calentamiento Joule por unidad de volumen.

Integrando la ecuacion anterior en el volumen V , bordeado por S, y aplicando

el teorema de Gauss, se llega de inmediato a

−∫V

j · E dv =d

dt

∫V

1

2[E ·D + B ·H] dv +

∫S

(E×H) · n da. (1.16)

Esta ecuacion integral es muy importante, pues se trata de la conservacion de

la energıa. Se conoce como Teorema de Poynting en forma integral. Si definimos

el vector de Poynting

S = E×H (1.17)

podemos escribir (4.29) en la forma

∂u

∂t+ ∇ · S = −j · E, (1.18)

donde u es la suma de las densidades de energıa electrica y magnetica

u = uE + uM =1

2[E ·D + B ·H] . (1.19)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

1–3


La ecuacion (4.30) es el teorema de Poynting en forma diferencial. Su inter-

pretacion de es clara: el segundo miembro es la energıa por unidad de volumen

que pierde el campo electromagnetico debido al efecto Joule (o sea la energıa

transferida del campo a la agitacion termica de la materia); el primer sumando

del primer termino es la variacion local de la densidad de energıa y ∇ · S es la

densidad de flujo de energıa electromagnetica, es decir la energıa electromagnetica

que atraviesa una unidad de superficie normal a S por unida de tiempo. Integrada

en un volumen V cualquiera (y transformando el termino con S en una integral

en la superficie S que bordea a V ) la ecuacion (4.30) nos dice que la variacion

de energıa electromagnetica en ese volumen se debe a (i) el efecto Joule y (ii) al

flujo de energıa a traves del borde de V , representada por el vector de Poynting.

En resumen u es la densidad de energıa electromagnetica almacenada en el

campo y S es la densidad de flujo de energıa.

1.3. Los potenciales electromagneticos

La ecuacion ∇ · B = 0 nos dice que el campo magnetico es un rotacional, o

sea que existe un campo vectorial A tal que B = ∇×A. Ello implica que la ley

de Faraday ∇×E = −∂tB puede escribirse como ∇× (E+∂tA) = 0, lo que dice

que (E + ∂tA) es el gradiente de una funcion Φ. Recapitulando

E = −∇Φ− ∂A

∂t, B = ∇×A. (1.20)

A y Φ son los potenciales escalar y vectorial que pueden usarse para definir el

campo electromagnetico con solo cuatro funciones.

1.4. Condiciones de frontera

Sea una superficie f(r) = 0 que separa dos medios cuyas propiedades elec-

tromagneticas son diferentes. En su superficie hay (o se inducen) una densidad

supeficial de carga ρ y una densidad superficial de corriente K. Indicamos las

magnitudes en los dos medios por subındices 1 y 2. Las condiciones de contorno

para los campos E, D, B, H son las siguientes (siendo n un vector unitario nor-

mal a la superficie (i. e. n = ∇f/|∇f |) que suponemos dirigido del medio 1 al

2

(D2 −D1) · n = σ , (E2 − E1)× n = 0 , (1.21)

(H2 −H1)× n = K , (B2 −B1) · n = 0 . (1.22)

1–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


1.5. Transformacion de los campos electromagneticos bajo rotaciones,reflexiones e inversion temporal

Se pueden enunciar ası: Las componentes normal de B y tangencial de E son

continuas en la superficie. La componente normal de D tiene una discontinuidad

igual a la densidad superficieal de energıa y la componente tangencial de H tiene

una discontinuidad igual a la densidad de corriente. Si fluye una corriente de un

medio al otro, su componete normal debe ser continua,

(j 2 − j1) · n = 0 . (1.23)

Las condiciones de los potenciales son

∂Φ

∂t

∣∣∣∣2

− ∂Φ

∂t

∣∣∣∣1

= 0 ε 2∂Φ

∂n

∣∣∣∣2

− ε1∂Φ

∂n

∣∣∣∣1

= σ . (1.24)

La primera condicion para Φ puede escribirse en la forma

Φ2 = Φ1 , (1.25)

La condicion para el potencial vectorial tiene una expresion algo mas complicada,

depende la geometrıa de la superficie, y no se dara aquı.

1.5. Transformacion de los campos electromagneticos

bajo rotaciones, reflexiones e inversion tem-

poral

El comportamiento de de las cantidades fısicas bajo ciertas transformaciones

tienen mucha importancia. Ello se debe a que las propiedades basicas del espacio-

tiempo y la materia se expresan a menudo como ciertas invariancias bajo grupos

de transformaciones. Ası

i) la homogeneidad del espacio se puede enunciar como la invariancia de las

leyes basicas bajo traslaciones. Ello significa que al pasar de un punto a otro no

cambian las leyes, o sea que todos los puntos del espacio son equivalentes para la

fısica. Las leyes son las mismas en Madrid que en Barcelona, Bilbao, Nueva York

o Moscu. Este fue un descubrimiento importante de Newton: debemos aceptar

la idea de que las leyes son las mismas por todas partes, en contra de lo que

se admitıa hasta entonces, siguiendo la tradicion de la filosofıa aristotelica que

dividıa el mundo en uno sublunar y el de las estrellas.

ii) la isotropıa del espacio, o sea que todas las direcciones son equivalentes para

las leyes de la fısica, se puede enunciar diciendo que estas deben ser invariantes

bajo las rotaciones del espacio.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

1–5


iii) la equivalencia entre la derecha y la izquierda se conoce en fısica como

invariancia bajo paridad. Significa que, si tenemos un proceso fısico cualquiera

que sigue una cierta ley, el proceso obtenido mediante una imagen especular

esta tambien previsto por la misma ley. Se puede expresar dieciendo que las leyes

sin invariantes bajo reflexiones r → −r.

iv) el principio de relatividad se puede formular diciendo que las leyes son

invariantes bajo transformaciones de Lorentz.

Para que estas ideas sean operativas es esencial el concepto de simetrıa.

¿Que significa esta palabra en la vida ordinaria? Siempre alude a que algo no

cambia cuando se realizan ciertas transformacione geometricas. Por ejemplo, una

esfera es una figura muy simetrica. Esto significa que si la giramos alrededor de

cualquier eje que pase por su centro, ella permanece invariante. Por su parte, un

cubo no cambia bajo rotaciones de un angulo multiplo entero de π/4 alrededor

de un eje que pase por los centros de dos caras opuestas o bajo rotaciones de

angulo 2π/3 alrededor de un eje que pase por dos vertices opuestos o rotaciones

de angulo π alrededor de un eje que pase por los puntos medios de dos aristas

opuestas o bajo la reflexiones r → −r o xk → −xk, k = 1, 2, 3. Esas transforma-

ciones y sus productos forman un grupo llamado el grupo de simetrias del cubo,

lo mismo que el grupo de simetrıas de la esfera es el de las rotaciones alrededor

de cualquier eje por su centro, mas las reflexiones.

Analogamente, una columna cilındrica no cambia si la giramos un angulo

cualquiera alrededor de su eje. O una helice, ante rotaciones de un angulo α

alrededor de su eje multiplicadas por una traslacion segun su eje de una longitud

rα tan β, siendo r su radio y 2πr tan β su paso de rosca. Con frecuencia este tipo

de simetrıas esta asociado a una sensacion estetica. Nos parece que las figuras

geometricas son especialmente bellas, lo mismo que la belleza de una persona

suele incluir una figura muy simetrica, por ejemplo respecto a un plano.

Pues bien, las simetrıas matematicas que estamos considerando son algo pare-

cido, pero lo que debe permanecer invariante no es la forma de un objeto en el

espacio fısico, sino algo mas abstracto y complejo: una ecuacion diferencial que

expresa una ley fısica. En otras palabras, supongamos a Andres y Beatriz (o a

Alicia y Bernardo) cuyos sistemas de coordenadas espaciales y relojes que miden

el tiempo son distintos. Por ejemplo, Andres esta en reposo en un sistema iner-

cial y Beatriz se mueve respecto a Andres con velocidad constante o bien Andres

esta girado respecto a Beatriz. Supongamos que la relacion entre sus coordenadas

y tiempos sea una simetrıa de una cierta ley. En ese caso, si Andres encuentra que

esa ley da buenos resultados en su sistema, al realizar una serie de experimentos,

1–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



y se expresa mediante unas ecuaciones diferenciales del tipo

F (xk, xk, xk) = 0 ,

y les aplica la transformacion matematica que pasa al sistema de referecnia de

Beatriz, obtendra las mismas ecuaciones, salvo posiblemente los nombres de las

variables. O sea que la funcion F es la misma para los dos.

Entre las simetrıas fundamentales de la fısica, destacan las rotaciones, las

reflexiones y la invariancia bajo inversion temporal t → −t. Por eso conviene

mucho que sepamos cuales son las propiedades de los campos electromagneticos

respecto a tales transformaciones.

1.5.1. Rotaciones.

Una rotacion de coordenadas en el espacio tridimensional es una transforma-

cion lineal, tal que la norma de un vector permanece invariante. En otras palabras,

tal que la suma de los cuadrados de las coordenadas no cambia. O sea que se trata

de una transformacion lineal

xj → x′j =∑k

ajkxk . (1.26)

Para que (x′)2 = (x)2 se debe cumplir∑j

ajkaj` = δk` . (1.27)

Si la matriz A tiene por coordenadas ajk, esto significa que su inversa A−1 es igual

a su traspuesta A, o sea que

AA = I , (1.28)

por lo que las matrices que expresan una rotacion se llaman (adecuadamente)

ortogonales y su conjunto se conoce como grupo ortogonal O(3), el tres refiriendose

la dimension del espacio.

Pues bien, todo conjunto de tres cantidades que se transforman en una

rotacion como las componentes de x se llama vector, por ejemplo la velocidad

v o el momento lineal p. Hay, ademas, cantidades que son invariante bajo rota-

ciones y se llaman escalares. Por ejemplo, los productos escalares de dos vectores,

ası x2, x ·p o v ·p, este ultimo el doble de la energıa cinetica en fısica newtoniana.

Si φ(xi) es un escalar y Vk(xi) es un vector, se tiene

φ′(x′i) = φ(xi) , V ′j (x

′i) =

∑k

ajkVk(xi) . (1.29)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

1–7


Como vemos, los escalares son tensores de rango cero. Por otra parte hay can-

tidades con dos ındices Bij que se transforman como un vector respecto a cada

uno, es decir

Bij → B′ij =

∑k`

aikaj`Bk` . (1.30)

Son los llamados tensores de segundo rango o de dos ındices. Como ejemplos,

podemos mencional los tensores de inercia de un solido o los de tension y defor-

macion en mecanica de medios continuos. Uno de ellos, el tensor electromagnetico

jugara un papel importante en este curso, como veremos mas adelante. La gen-

eralizacion a tensores de rango n, o de n ındices, es inmediata. Los escalares son

tensores de rango cero, sin ındices, y los vectores, tensores de rango uno o con un

ındice.

Si multiplicamos termino a termino dos tensores, se obtiene un tensor cuyo

rango es la suma de los dos. Ası el producto diadico de dos vectores Pij = AiBj

es un tensor de rango dos. La cantidad Tijk = AiBij es un tensor de tres ındices,

etc. Los operadores diferenciales tienen tambien propiedades de transformacion

bajo las rotaciones. Por ejemplo, el gradiente es un operador vectorial. Como

consecuencia, el gradiente de un escalar ∇φ es un vector, la divergencia de un

vector ∇ ·V es un escalar, la laplaciana es un operador escalar, de modo que la

laplaciana de un escalar es otro escalar ∇2φ.

Para interpretar lo que significa una rotacion, podemos usar dos interpreta-

cionees. En el punto de vista activo se considera que no cambian los ejes de

referencia y el sistema fısico es el que se gira. En el punto de vista pasivo es al

reves, los ejes se giran y el sistema se deja fijo. Para entenderlo mejor, tomemos

una rotacion alrededor del eje z, o sea en el plano xy. Desde el punto de vista acti-

vo, giramos el sistema un angulo α y desde el pasivo, un angulo −α. La situacion

relativa del sistema y los ejes es la misma en los dos puntos de vista.

Consideremos el producto vectorial

A = B×C . (1.31)

En componentes

Di =∑jk

εijkBjCk ,

donde el sımbolo εijk representa el tensor de Levi-Civita, que es de rango tres y

completamente antisimetrico. Vale cero si dos ındices son iguales, +1 si ijk es

una permutacion par de (123) y -1 si es una permutacion impar. Es facil ver que

1–8—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



es un tensor invariante, pues

ε′ijk =∑`mn

ai` ajm aknε`mn = εijk .

En efecto, si dos ındices en (ijk) son iguales el segundo miembro se anula. Si, por

ejemplo i = j, los terminos en ai`aimε`mn se cancelan. Si ijk es una permutacion

par, el segundo miembro es igual al determinante de A = (aij) y si es una per-

mutacion impar a menos el determinante (pues se han intercambiado dos filas).

Como el determinante de una rotacion propia es +1, queda demostrado.

Notese que si la rotacion fuese imporpia, su determinante serıa −1 y el tensor

de Levi-Civita cambiarıa de signo en una reflexion. Los tensores a lo suq les ocurre

tal cosa, se llaman pseudotensores. Pues bien, vemos que εijk es un pseudotensor.

En el caso del producto vectorial D, su expresion sugiere que se puede considerar

como un tensor antisimetrico de rango dos cuyas componentes sean BjCk−BkCj.

Por ser antisimetrico tiene solo dos componentes distintas, lo que permite tratarlo

como un vector. Pero el hecho de que el tensor de Levi-Civita sea un pseudotensor,

indica que su ley de transformacion es

D′i = det(a)

∑j

aijDj (1.32)

O sea que un producto vectorial es realmente de un pseudovector. Esto tiene

importancia pues es el caso del campo vectorial. Los pseudovectores se llaman

tambien vectores axiales mientras que los vectores ordinarios se conocen como

vectores polares. El producto vectorial de un axial por un polar es polar, el de dos

axiales es axial. El producto escalar de un axial y un polar es un pseudoescalar y

el de dos axiales un escalar.

1.5.2. Reflexiones.

La paridad o reflexion r → −r es una transformacion que cambia la axilidad de

una figura, por ejemplo transformando una mano derecha en una mano izquierda.

La matriz de tal transformacion es aij = −δij cuyo determinante vale −1. Ya

hemos visto antes que los pseudotensores se transforman de modo distinto que

los vectores bajo una reflexion.

Si consideramos el conjunto de todas las rotaciones propias, es decir tales que

det(a) = +1, es facil ver que forman un grupo llamado ortogonal. Si incluimos los

productos de esas rotaciones por la paridad, resulta que det(a) = ±1, que se llama

grupo ortogonal completo. La reflexion respecto a un plano tiene determinante −1


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

1–9


y es igual al producto de la paridad por una rotacion de angulo π en el plano. Por

ejemplo (x, y, z) → (x, y,−z) es igual al producto de una rotacion en el plano xy

por la reflexion r → −r.

1.5.3. Inversion temporal.

Las leyes basicas de la fısica clasica son invariantes por el cambio de la flecha

del tiempo. Notese que lo que es invariante no es cada trayectoria, sino la expre-

sion matematica de la ley, es decir, la ecuacion del movimiento. Si tomamos una

pelıcula de una carambola, que no contenga pistas como un reloj o una persona

andando, resulta imposible saber al verla si esta siendo pasada hacia alante o

hacia atras. Los planetas giran an torno al Sol aproximadamente en un plano y

con un cierto sentido de giro. Ello se debe a un accidente historico, pues podrıan

igualmente girar en el sentido contrario. A las leyes del movimiento les da igual.

Notese que para pasar de un sentido al otro, basta con cambiar t→ −t, v → −v,

p → −p.

Pues bien para tener en cuenta esta simetrıa temporal, es preciso que las

ecuaciones sean invariante por esos cambios. Tomemos la segunda ley de Newton

en la formadp

dt= −∇U(r) .

En la Tabla 1, se indican las propiedades de transformacion de las principales

magnitudes electromagneticas ante rotaciones, paridad e inversion espacial.

1–10—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



Tabla 1.1 Propiedades de transformacion de varias magnitudes bajo

rotaciones, paridad e inversion temporal.

Rotacion Inversion

Magnitud (rango del tensor) Paridad temporal

I. Mecanicas

Coordenada x 1 Impar (vector) Par

Velocidad v 1 Impar (vector) Impar

Momento p 1 Impar (vector) Impar

Momento angular L = x× p 1 Par (pseudovector) Impar

Fuerza F 1 Impar (vector) Par

Torque N = x× F 1 Par (pseudovector) Par

Energıa cinetica p2/2m 0 Par (escalar) Par

Energıa Potencial U(x) 0 Par (escalar) Par

II. Electromagneticas

Densidad de carga ρ 0 Par (escalar) Par

Densidad de corriente J 1 Impar (vector) Impar

Campo electrico E 1 Impar (vector) Par

Desplazamiento D 1 Impar (vector) Par

Polarizacion P 1 Impar (vector) Par

Campo Magnetico B 1 Par (pseudovector) Impar

Intensidad Magnetica H 1 Par (pseudovector) Impar

Imanacion M 1 Par (pseudovector) Impar

Vector de Poynting S = E×H 1 Impar (vector) Impar

Tensor de Maxwell Tαβ 2 Par (tensor) Par


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

1–11


1.6. Ejercicios

1.1 Comprobar que la fuente del potencial vectorial en el gauge de Coulomb es

la componente transversal o solenoidal de la corriente Jt (que verifica ∇ ·Jt = 0).

1.2 Si existiesen los monopolos magneticos, uno de carga qm situado en el

origen de coordenadas producirıa un campo magnetico igual a

Bm =µ0qm4π

r

r3

a) Demostrar que ese campo no es una solucion de las ecuaciones de Maxwell

y, por tanto, es incompatible con la teorıa en ellas basada.

b) Demostrar que, si se anade el termino Bs = µ0qmδ(x)δ(y)h(−z)ez al campo

anterior, el campo suma sı obedece a las ecuaciones de Maxwell. Interpretar la

solucion ası obtenida.

1.3 Supongamos que la relacion constitutiva de un material que expresa el

vector polarizacion P en funcion del campo electrico en presencia de una campo

magnetico estatico B0 incluye varias contribuciones de E, sus derivadas tem-

porales y B0. Usar argumentos de simetrıa que muestren que la expresion mas

general hasta el segundo orden en B0 tiene necesariamente la forma:

1

ε0P = χ0E + χ1

∂E

∂t×B0 + χ2(B0 ·B0)

∂2E

∂t2+ χ3

(∂2E

∂t2·B0

)B0

1.4 Si en un conductor por el que fluye una corriente debida a un campo

electrico se aplica un campo magnetico transversal, aparece una componente de

campo electrico en la direccion perpendicular a ambos y, como consecuencia, un

voltaje entre los dos lados del conductor. Este fenomeno se conoce como efecto

Hall. Basandose en las propiedades se simetrıa espacial y temporal, demostrar

que, para campos magneticos pequenos. la generalizacion de la ley de Ohm que

es correcta hasta el segundo orden en el campo magnetico tiene la forma

E = ρ0J +R(H× J) + β1H2J + β2(H · J)H

donde ρ0 es la resistividad en ausencia del campo magnetico y R, β1, β2 son ciertos

coeficientes (R se conoce como coeficiente de Hall o coeficiente Hall).

1.5 Demostrar que las ecuaciones de Maxwell en el vacıo son invariantes bajo

las llamadas transformaciones de dualidad

E → E′ = E cos θ + cB sen θ , cB → cB′ = −E sen θ + cB cos θ.

1–12—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


1.6. Ejercicios

1.6∗ Demostrar que las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacıo se pueden

modificar para incluir las hipoteticas cargas magneticas y que tales ecuaciones

modificadas son invariantes bajo las llamadas transformaciones de dualidad que

entremezclan la electricidad y el magnetismo

E′ = E cosα+ cB senα , cB′ = −E senα+ cB cosα ,

cρ′e = cρe cosα+ ρm senα , ρ′m = −cρe senα+ ρm cosα ,

cj′e = cj e cosα+ jm senα , j′m = −cj e senα+ jm cosα .

Determinar las propiedades de transformacion bajo rotaciones propias, reflexiones

espaciales e inversion temporal de las cantidades electromagneticas involucradas.

Tambien bajo la reflexion de carga q → q′ = −q.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

1–13


1–14—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


Capıtulo 2

Relatividad especial

2.1. El principio de relatividad y los postulados

de Einstein

2.1.1. Sistemas inerciales.

Para describir los fenomenos naturales, los fısicos usan sistemas de referencia,

que tambien llamaremos referenciales, que consisten en sistemas de coordenadas

para indicar la posicion en el espacio y relojes fijos en cada sistema para indicar

el tiempo.

Tienen un interes especial los llamados sistemas inerciales, que son sistemas

de coordenadas en los que un movil libre, o sea sin fuerzas aplicadas, se mueve con

velocidad constante. Son importantes porque en ellos valen las leyes de Newton

sin necesidad de incluir fuerzas de inercia. Si un sistema es inercial, todos aquellos

que se mueven respeto a el con velocidad constante y sin rotacion son tambien

inerciales. Recıprocamente si dos sistemas son inerciales, se mueven uno respecto

al otro con velocidad relativa constante.

A pesar de la importancia que tiene en la fundamentacion de la dinamica

clasica, la idea de sistema inercial es mas bien reciente. Fue introducida por el

filosofo y cientıfico aleman Ludwig Lange en 1885. Gracias a ella, se aclaro mucho

la nocion de relatividad, que estaba confusa incluso en las obras de los grandes

mecanicos del XVIII y XIX.

Principio de relatividad: Las leyes de la naturaleza son las mismas en todos

los sistemas inerciales de referencia. Esto significa que, si Andres y Beatriz cada

uno en su referencia inercial, investigan mediante experimentos las leyes de la


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–1

Capıtulo 2. Relatividad especial

naturaleza en un cierto sistema fısico, los dos obtendran las mismas leyes (salvo

error, claro).

Con frecuencia se distingue entre principio de relatividad de Galileo y de

Einstein. El primero se refiere tan solo a leyes de la dinamica. El segundo a todas

las leyes de la fısica, incluyendo en particular el electromagnetismo, o sea que es

el principio de relatividad sin mas cualificacion.

2.1.2. Velocidad de propagacion de la interaccion.

La dinamica de Newton usaba fuerzas instantaneas. La ley de la gravitacion

universal, por ejemplo, no incluye ninguna referencia ni al tiempo t ni a la ve-

locidad de propagacion de la gravedad. Para ilustrar esta cuestion, imaginemos

que en el Sol se produjese una explosion en un cierto instante t0, de modo que

dos mitades fuesen despedidas con una cierta velocidad en direcciones opuestas

(o quiza en el nucleo de la galaxia). Al cabo de un cierto tiempo, cambiarıa la

orbita de la Tierra porque cambiarıa la fuerza de la gravedad del Sol. Segun la

teorıa de Newton, ese cambio serıa instantaneo, es decir, se notarıa desde el mis-

mo instante t0 (si bien al principio el cambio serıa pequeno). Hoy se piensa, en

cambio, que la interaccion gravitatoria tiene una velocidad finita de propagacion,

que coincide con la velocidad de la luz c, de modo que los efectos de la explosion

en el Sol se notarıa solo tras unos 8 minutos y 20 segundos (= 1 UA/c ' 500 s).

Tambien sabemos hoy que esa velocidad c es la de propagacion de la interaccion

electromagnetica y tambien es una velocidad lımita que no puede ser superada

por ningun movil. Su valor es

c = 299 792 458 m/s . (2.1)

Como es una constante universal de la naturaleza, puede jugar el papel de patron

universal. Hay que tener en cuenta que cuando se toma un patron, siempre es

necesario suponer que algo no cambia. Por ejemplo, el metro se definıa como

“la diezmilmillonesima parte del cuadrante de meridiano terrestre que pasa por

Parıs” porque se supone que los meridianos de la Tierra tienen longitud invariante.

Si se definio mas tarde como la distancia entre dos marcas en una barra de

platino iridiado mantenida a temperatura constante, fue porque esa aleacion se

dilata o contrae muy poco ante cambios de temeperatura (es inevitable que haya

algunos muy pequenos). Luego se tomo como definicion la longitud de 1 650 763,73

longitudes de onda de una cierta radiacion emitida por el 86Kr, lo que implica

2–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.1. El principio de relatividad y los postulados de Einstein

suponer que la constante de Rydberg es realmente constante

R =

(1

4πε0

)2me4

4π~3c= constante .

Para aprovechar la constancia universal de c, el metro se define desde 1983 como

la distancia recorrida por la luz en 3,335 640 952× 10−9 s. Cabe mencionar que la

revista Nature publico entonces un editorial criticando la decision de la Oficina

Internacional de Pesas y Medidas porque no se puede asegurar que c no cambie

en alguna medida que escapa a los experimentos actuales. En todo caso, se puede

decir que se conoce actualmente el valor exacto, o sea sin error, de la velocidad

de la luz (tambien ocurre con dos cantidades relacionadas: la permitividad y la

permeabilidad del espacio vacıo).

2.1.3. Sucesos, intervalo y tiempo propio.

Un suceso o evento es algo que ocurre en un punto del espacio en un instante

de tiempo. Se define por cuatro cantidades, el valor del tiempo t y los de las tres

coordenadas (x, y, z). Los sucesos se situan en un espacio de cuatro dimensiones,

una temporal y tres espaciales, conocido como espacio-tiempo (se intento sin exito

la palabra universo). Por abuso de lenguaje, se suele identificar suceso con punto

del espacio-tiempo. Una partıcula puntual descibe una lınea en el espacio-tiempo

(un tubo, si no es puntual).

La idea de espacio-tiempo fue introducida por el matematico alemam Her-

mann Minkowski en el Congreso de la Asociacion de Matematicos, celebrado en

Colonia en 1908, al decir que, como consecuencia de la teorıa de Einstein (que

habıa sido alumno suyo en Zurich), “A partir de ahora, el espacio por sı mismo

y el tiempo por sı mismo estan condenados a desvanecerse como meras sobras y

solo quedara una ıntima union de ellos dos: el espacio-tiempo”. Por eso el espacio-

tiempo de la relatividad especial se conoce como espacio de Minkowski.

La idea de distancia entre dos puntos a lo largo de una trayectoria es muy

importante en geometrıa euclıdea. La distancia, sin mas, es la distancia a lo

largo de un a lınea recta que una los dos puntos. Sean estos P1 ≡ (x1, y1, z1) y

P2 ≡ (x2, y2, z2). Su distancia s cumple

s2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 + (z2 − z1)2 .

Si los puntos son P1 ≡ (x, y, z) y P2 ≡ (x + dx, y + dy, z + dz) el elemento de

distancia, o de longitud, es

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 .


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–3


Una caracterıstica importante de la geometrıa euclıdea es que el elemento de

longitud se puede escribir como la suma de cuadrados de elementos de las coor-

denadas. En realidad, esto es ni mas ni menos que el teorema de Pitagoras.

En el caso de que las coordenadas correspondan a ejes no ortogonales, de

modo que un punto se determine por el vector dr =∑xiei pero con los vectores

ei no siendo ortonormales ei · ej 6= δij, el elemento de longitud se escribe como

ds2 =∑ij

gijdxidxj ,

donde gij = ei · ej es el llamado tensor metrico. En una geometrıa euclıdea,

siempre se puede conseguir que gij = δij, eligiendo adecuadamente los vectores

de la base.

Para estudiar el espacio-tiempo en relatividad, se usa el concepto de intervalo,

que es analogo pero no igual al de distancia. El intervalo entre dos sucesos y el

elemento de intervalo valen (suponiendo una base espacial ortonormal)

s212 = c2(t2 − t1)

2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)

2 − (z2 − z1)2 , (2.2)

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 . (2.3)

En general, conviene usar cuatro coordenadas para trabajar en el espacio-tiempo

x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z .

El intervalo es entonces

ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2 =∑ij

gijdxidxj .

Esto se parece a lo que ocurre en un espacio euclıdeo, pero con tensor metrico

igual a (notacion autoexplicativa)

gij = diagonal(1,−1,−1,−1).

Cuando un espacio tiene un elemento de distancia que se puede escribir como

la suma de varios cuadrados de diferenciales de coordenadas menos la suma de

varios otros, se dice que es un espacio pseudoeuclıdeo. La signatura de la metrica

es el dato de cuantos signos mas y cuantos signos menos hay en ella. La de la

relatividad se puede expresar como (1,3) o (3,1) ( de modo equivalente)

Notese que sigo usando un cuadrado en el primer miembro, a pesar del hecho

evidente que el segundo miembro puede ser negativo (se dice que la metrica

2–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



no es definida positiva). Los espacios en que el tensor metrico depende de las

coordenadas, de modo que varia de punto a punto se califican de riemannianos

o pseudoriemnnianos en honor al matematico aleman Georg Friedrich Riemann

(1826-1866), quien los introdujo en un importante trabajo titulado “Sobre las

hipotesis en que se basa la geometrıa”. Al hacerlo se apoyo en la obra anterior de

Gauss.

2.1.4. Importancia del intervalo.

Se debe a que el intervalo entre dos sucesos toma el mismo valor para todos los

observadores inerciales, porque es invariante bajo transformaciones de Lorentz.

Como veremos esto es parecido a lo que le ocurre a la distancia en la geometrıa

euclıdea, que es invariante bajo rotaciones.

2.1.5. Tipos de intervalo.

Supongamos que el punto del espacio-tiempo P1 es el origen de coordenadas

y P2 ≡ (t, x, y, z). El intervalo entre P1 y P2 sera

s212 = c2t2 − `2 , con `2 = x2 + y2 + z2 .

Como el signo de s2 no esta definido, un intervalo puede ser de tres tipos.

a) de tipo tiempo (o temporal), si s212 > 0. Esto significa que se puede ir de P1

a P2 manteniendo siempre una velocidad menor que c. s12 es real.

b) de tipo luz, si s212 = 0. En este caso un rayo de luz puede ir de P1 a P2.

Ademas, s12 = 0.

c) de tipo espacio (o espacial), si s212 < 0. Ningun movil puede ir de P1 a P2

pues se necesitarıa llegar a una velocidad superior a la de la luz. s12 es imaginario

puro.

Se define el cono de luz de un punto como el conjunto de los rayos de luz que

salen de ese punto (o sea en un cierto instante). Su ecuacion es c2t2−(x2+y2+z2) =

0. Las partes con t > 0 (resp. t < 0) se llaman cono del futuro (resp. cono del

pasado). Pues bien

a) Si el intervalo entre P1 y P2 es de tipo tiempo, P2 esta dentro del cono de

luz de P1.

b) Si es de tipo luz, P2 esta en el cono de luz.

c) Si es de tipo espacio, P2 esta fuera del cono de luz.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–5


Figura 2.1: Tipos de intervalo.

La gran importancia que tiene la nocion de cono de luz esta en sus consecuen-

cias sobre las posibles relaciones causales entre P1 y P2.

a) El interior del cono de luz del futuro se llama futuro absoluto de P1. Ello

se debe a que t > 0 (o sea t2 > t1) para todos los observadores inerciales. En

cambio, existe un sistema de referencia en el que los dos sucesos ocurren en el

mismo punto espacial. El intervalo temporal entre los dos eventos en ese sistema

es igual a

t′12 =

√c2t212 − `212

c=s12

c.

Sı puede haber una influencia causal de P1 sobre P2, pero no al reves.

Analogamente, el interior del cono de luz del pasado se llama pasado absoluto.

Existe un sistema en que los dos sucesos ocurren en el mismo tiempo. Ademas,

sı puede haber una influencia causal de P2 sobre P1, pero no al reves.

b) Los sucesos en el cono de luz, estan siempre separados (para que se diesen

los dos en un mismo punto, el sistema deberıa viajar a velocidad c). Los del futuro

seran siempre futuro y los del pasado, siempre pasado.

c) Los puntos del exterior del cono de luz de P1 estan siempre separados.

No hay ningun referencial en que los dos ocurran en el mismo lugar. Como para

viajar entre P1 y uno de ellos se necesita llegar a una velocidad superior a c, cosa

imposible, no puede haber ninguna conexion causal con puntos de fuera del cono

de luz.

2–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



Por otra parte, hay sistemas en los que P1 y P2 son simultaneos. Su distancia

espacial es en ese caso

`′12 =√`212 − c2t212 = is12 .

Entender que el orden temporal entre dos sucesos separados por un intervalo

tipo espacio depende del observador y que la simultaneidad de sucesos separados

espacialmente no puede tener caracter absoluto fue el punto de partida de Einstein

para su relatividad espacial. Al desarrollarla actuo como un empirista, pues no

veıa modo de determinar experimentalmente que dos sucesos sean simultaneos,

de modo valido para todos los observadores inerciales.

2.1.6. Tiempo propio.

Sea un reloj que se mueve de manera arbitraria respecto a un sistema inercial

S. Cerca de cada instante, se puede considerar que su movimiento es uniforme.

Asımismo introducimos sistemas de coordenadas en cada instante, unidas rıgida-

mente al reloj, de modo que este se mueve intantanamente en un sistema inercial.

Sean (t, x, y, z) las coordenadas en el sistema S. En el intervalo dt, el reloj recorre

la distancia√

dx2 + dy2 + dz2. En el sistema ligado rıgidamente al reloj S ′, se

tiene dx′ = dy′ = dz′ = 0. Como el intervalo es invariante, resulta

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = c2dt′ 2 ,

de donde

dt′ = dt√

1− (dx2 + dy2 + dz2)/c2dt2 .

Como (dx2 + dy2 + dz2)/dt2 = v2 , resulta que

dt′ = dt√

1− v2/c2 .

Por tanto, el tiempo que habra medido el reloj al moverse a lo largo de una cierta

trayectoria entre los tiempos t1 y t2 en S sera

t′2 − t′1 =

∫ t2

t1

dt

√1− v2

c2(≤ t2 − t1) . (2.4)

Esto significa que el tiempo medido por un reloj en movimiento respecto a un

sistema S sera siempre menor que el de un reloj que este en reposo en s.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–7


Figura 2.2: Transformaciones de Lorentz.

2.2. Las transformaciones de Lorentz

Dados dos sistemas S y S ′, en movimiento relativo con velocidad constante,

estas transformaciones relacionan las coordenadas espaciales y temporales de un

suceso (el paso de un movil por un punto es un ejemplo) en los dos sistemas.

Suponiendo por simplicidad que los ejes de S y S ′ coinciden en el tiempo t = 0 y

que el sistema primado se mueve con velocidad v paralela al eje x, su expresion

matematica es

x′ =x− vt√1− v2/c2

,

y′ = y , z′ = z , (2.5)

t′ =t− (v/c2)x√

1− v2/c2.

Estas son las famosas ecuaciones de transformacion de Lorentz o transformaciones

de Lorentz, de modo mas breve. Es facil comprobar que la transformacion inversa

de (3.41) es

x =x′ + vt′√1− v2/c2

,

y = y′ , z = z′ , (2.6)

t =t′ + (v/c2)x′√

1− v2/c2.

O sea que, como cabıa esperar, la inversa se obtiene de la directa mediante un

simple cambio del signo de la velocidad.

Una primera observacion, mas bien trivial, es que si v → 0 (o equivalentemente

si c→∞) se obtienen las transformaciones de Galileo, las propias de la mecanica

de Newton.

2–8—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.2. Las transformaciones de Lorentz

La expresion matematica (3.41) se puede obtener de varias maneras.

2.2.1. Postulados de Einstein.

Primero, como lo hizo Einstein, mediante sus dos famosos postulados, el de

relatividad y el de la constancia de la velocidad de la luz.

1. Postulado de relatividad. Las leyes de la fısica son las mismas en todos

los sistemas inerciales.

(Ningun sistema inercial es especial.)

2. Postulado de la constancia de la velocidad de la luz. La velocidad

de la luz en el vacıo tiene el mismo valor en todos los sistemas inerciales.

De estos dos postulados se pueden deducir la transformaciones de Lorentz,

que implican que la velocidad de la luz c es una velocidad lımite con caracter

universal, la invariancia del intervalo y la relacion (2.4) entre los tiempos de un

reloj en movimiento general y otro en un sistema inercial y la invariancia del

intervalo (2.2)-(2.3).

Pero las transformaciones (3.41) pueden deducirse tambien a partir de la in-

variancia del intervalo.

Suponemos que tienen que tender a las de Galileo cuando c→∞, por lo que

cabe restringirse a transformaciones lineales en las coordenadas.

Busquemos las transformaciones en el espacio-tiempo que dejen invariante el

valor del intervalo, usando como coordenadas (x, y, z, ct). Y para ello empezamos

por notar que el problema es muy parecido al de hallar las transformaciones que

dejan invariante la distancia en el espacio eucclıdeo bi- o tri-dimansional. Sabemos

que son las rotaciones. Una rotacion en el plano xy se puede escribir siempre como

x′ = x cosφ+ y senφ ,

y′ = −x senφ+ y cosφ .

Estas ecuaciones representan una rotacion de un angulo φ de los ejes coordenados.

Es evidente que las propiedades de las funciones trigonometricas garantizan que

x2 + y2 = x′ 2 + y′ 2 .

La diferencia con el espacio-tiempo es el signo menos debido a la signatura de la

metrica, o sea su signatura. Como analogo a una rotacion en el plano, tomemos

una rotacion cuadridimensional en el plano (x, ct). La cantidad que debe manten-

erse invariante es ahora (ct)2 − x2. Lo mismo que antes eso se conseguıa gracias


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–9


a las funciones trigonometricas, en este caso hay que usar funciones hiperbolicas.

Recordemos su definicion

sinhψ =eψ − e−ψ

2, coshψ =

eψ + e−ψ

2, tanh =

eψ − e−ψ

eψ + e−ψ,

cumpliendose que cosh2 ψ − sinh2 ψ = 1. Es facil comprobar que la expresion

general de una transformacion lineal que conserve el intervalo es

x′ = x coshψ − ct sinhψ ,

ct′ = −x sinhψ + ct coshψ ,

pues

(ct′)2 − x′ 2 = (ct)2 − x2 .

Para hallar el valor de ψ adecuado a la transformacion de Lorentz (3.41), notemos

que si x = 0, la transformacion es

x′ = −ct sinhψ , ct′ = ct coshψ ,

con lo quex′

ct′= − tanψ .

Como x′/t′ = −v, resulta que

tanhψ =v

c= β , ψ = arctanh

v

c.

Teniendo en cuenta que

sinhψ =tanhψ√

1− tanh2 ψ, coshψ =

1√1− tanh2 ψ

,

resulta

sinhψ =β√

1− β2, coshψ =

1√1− β2

.

Sustituyendo se obtiene la expresion de la transformacion de Lorentz (3.41) que

queda ası probada a partir de la invariancia del intervalo.

La analogıa con las rotaciones se puede conseguir usando una coordenada

temporal imaginaria. En vez de x0 = ct, sea x4 = ict. El intervalo se escribe

entonces formalmente como el de una metrica euclıdea

ds2 = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 + (dx4)2 =∑ij

gijdxidxj ,

2–10—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.3. Transformacion de las velocidades

donde gij = δij (el signo global no importa). Pues bien, la transformacion de

Lorentz en el plano (t, x) se puede escribir como

x′ = x cos(iψ) + ict sen(iψ) ,

ict′ = −x sen(iψ) + ict cos(iψ) .

Teniendo en cuenta que cos(iψ) = coshψ y sen(iψ) = −i sinhψ, se comprueba

que coincide con la expresion hallada mas arriba.

O sea, de manera puramente formal, una transformacion de Lorentz con ve-

locidad paralela al eje x se puede escribir como una rotacion de un angulo imag-

inario puro igual a iarctanh(v/c) en el plano (ict, x) si se usa ict como cuarta

coordenada.

2.3. Transformacion de las velocidades

Sea un movil que se mueve con velocidades u y u′ en los sistemas S y S ′

respectivamente. La relacion entre sus dos velocidades es

ux =u′x + v

1 + u′x(v/c2),

u′y =uy√

1− v2/c2

1 + ux(v/c2)

u′z =uz√

1− v2/c2

1 + ux(v/c2)(2.7)

2.4. Cuadrivelocidad y cuadriaceleracion

En fısica newtoniana la velocidad se define como la derivada de las tres coorde-

nadas cartesianas de una partıcula respecto al tiempo, de modo que la velocidad

es el trivector vk = dxk/dt. En relatividad, se define una velocidad con cuatro

componentes, un cuadrivector, derivando respecto al tiempo propio τ en vez de

respecto al tiempo coordenado t, de modo que

uµ =dxµ

dτ.

El elemento de tiempo propio de la partıcula es

dτ = ds/c =√

1− v2/c2 dt ,


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–11


por lo que la cuadrivelocidad se puede escribir como

uµ =

(c√

1− v2/c2,

v√1− v2/c2

),

que, como se ve, tiene dimensiones de velocidad.

Es posible definir tambien la cuadriaceleracion como la segunda derivada

wµ =d2xµ

dτ 2=

duµ

dτ.

Los dos vectores cumplen las relaciones

uµuµ = c2 , uµw

µ = 0 .

A veces, se define la cuadrivelocidad de modo alternativo y equivalente como

uµ =dxµ

ds

(=

1

c

dxµ

dτ

),

que no tiene dimensiones (Landau y Lifshitz ası lo hacen). Con esta definicion

uµuµ = 1.

2.5. Principio de covariancia

El principio de relatividad dice que las leyes de la fısica tienen la misma forma

en todos los sistemas de referencia inerciales. Por eso las consideraciones anteriores

son de gran importancia. En efecto, una manera de construir leyes que cumplan

ese principio, que sean invariantes Lorentz como se dice, es que se expresen medi-

ante magnitudes cuya variacion bajo transformaciones de Lorentz este claramente

definida, o sea, en lenguaje tensorial. Cualquier ley se escribe como una igualdad

entre dos expresiones matematicas. Para que sea invariante Lorentz, todos los

terminos a la derecha y todos los terminos a la izquierda deben deben ser ten-

sores del mismo rango. Tambien lo deben ser los dos miembros. De ese modo, si

valen en el sistema de referencia de un observador inercial, esta garantizado que

valgan tambien en todos los demas.

Esta prescripcion se conoce como Principio de covariancia.

Notese que ello no solo sirve para presentar en un lenguaje coherente una

teorıa ya conocida y probada, sino que es una exigencia esencial a la hora de

buscar nuevas leyes que cumplan el principio de relatividad, eliminando algunas

que podrıan parecer atractivas, pero que no son covariantes.

2–12—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.5. Principio de covariancia

Dos ultima observacion. Algunos filosofos o sociologos (?), o simplemente

opinantes, de la posmodernidad se apoyan en la teorıa de Einstein para defender

relativismos u otras formas de pensamiento debil, cuando lo que ella dice en ver-

dad es que sı hay cosas absolutas, en el sentido que son las mismas para todos

los observadores inerciales. Son las leyes de la naturaleza, nada menos. Por ello el

nombre de relatividad es confundente. Einstein no la bautizo cuando la propuso

en 1905 y mejor hubiera sido llamarla Teorıa del absoluto o de la absolutidad, o

Teorıa del invariante, como empezo a ser conocida cuando la palabra relatividad

hizo fortuna.

Usaremos, en este curso, la teorıa de la relatividad especial, elemento indis-

pensable para formular adecuadamente las leyes del electromagnetismo. Relativi-

dad especial, tambien llamada a veces restringida, significa que esta basada en

las transformaciones de Lorentz como grupo de invariancia y vive en un espacio

plano, aunque no euclıdeo del todo. Pero, como el propio Einstein se dio cuenta en

1911, esa teorıa no es definitiva porque no puede albergar de forma satisfactoria a

la gravedad. Para conseguirlo, el mismo Einstein desarrollo en los anos 1907-1911

su Relatividad General, mucho mas completa, cuyo grupo de invariancia es el de

las transformaciones suaves (es decir suficientemente derivables).


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–13


2.6. Apendice: Grupos, vectores, formas y ten-

sores

A2.1.1 Definicion de grupo y de grupo de Lie. Un grupo es un

conjunto de objetos que incluye una ley de composicion binaria que asigna un

elemento a cada par de elementos ordenados a y b. Se escribe a · b = p. Esa ley

cumple tres propiedades

1) Es asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c.

2) Existe un elemento identidad e, tal que a · e = e · a = a para todo a.

3) Cada elemento del grupo a tiene un inverso a−1 tal que a−1 ·a = a ·a−1 = e.

En este curso nos interesan en especial los grupos continuos, tales que sus

elementos dependen continuamente de varios parametros ε1, · · · , εn. Si la depen-

dencia es analıticas, el grupo se llema grupo de Lie, en honor del matematico

noruego Sophus Lie, que fue un pionero en su investigacion.

Ejemplos de grupos de Lie son el de las rotaciones en n dimensiones, el de

las traslaciones o el de Lorentz. Los parametros son angulos, distancias o angulos

y velocidades, respectivamente ( o funciones de ellos). En general los grupos de

Lie se representan por matrices, de modo que a cada elemento (a menudo una

transformacion) le corresponde una matriz que actua en un espacio vectorial, que

conserve la ley de multiplicacion. Es otras palabras, el grupo de Lie y el grupo de

matrices deben ser homomorfos. Una tal correspondencia se llama representacion

lineal del grupo de Lie.

A2.1.2 Espacio euclıdeo y grupo de las rotaciones

Que cosa es un vector. Varios numeros sin mas no son necesariamente

las componentes de un vector en un cierto espacio vectorial. En este apartado,

dare dos definiciones de vector, en el caso de ese espacio de tres dimensiones con

geometrıa euclıdea. La primera observacion es que las componentes de un vec-

tor siempre deben expresar, de algun modo, una direccionalidad. Intuitivamente

hablando, el ejemplo mas simple es el de una velocidad. Consideremos el conjunto

de los vectores tridimensionales r = (r1, r2, r3) [≡ (x, y, z)], que representaremos

como una columna de tres numeros, y una transformacion lineal A : r → r′ = Ar,

donde A es una matriz 3× 3

A = (aij) =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

. (2.8)

2–14—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.6. Apendice: Grupos, vectores, formas y tensores

La expresion en coordenadas de la transformacion es

ri → r′i =∑j

aijrj , (2.9)

o, en forma matricial, r′1r′2r′3

=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

r1

r2r3

. (2.10)

Pues bien la primera definicion de vector tridimensional es la siguiente: un vector

es un conjunto de tres cantidades que se transforman segun (2.9)-(2.10) ante

una transformacion lineal de coordenadas. La generalizacion a n dimensiones es

inmediata.

Nos interesa ahora el caso particular en que las matrices A representan rota-

ciones en tres dimensiones. Se definen por la propiedad de mantener invariante el

modulo de los vectores r2 = r · r, donde r = (r1, r2, r3), es decir es un vector fila

(la tilde sobre una matriz indica traspocicion). Notese que un producto vectorial

implica una metrica. Se puede escribir, pues,

r2 = r · r = rr = r′r′ = rAIAr ,

donde I es la matriz unidad (correspondiente a la transformacion identidad).

Como esto debe ocurrir para todos los vectores r, es necesario que se cumpla

AA = I , o sea A = A−1 . (2.11)

La traspuesta de A es igual a su inversa o, tambien, A es autoadjunta, es decir,

igual a su propia adjunta1. Las matrices que cumplen esa propiedad se llaman

matrices ortogonales. El conjunto de tales matrices en n dimensiones forma un

grupo continuo, o de Lie, llamado grupo ortogonal On. El de las rotaciones en el

espacio fısico es, pues, O3.

La relacion anterior implica que det(A) = [det(A)]−1, por lo que det(A) =

±1. El conjunto de las transformaciones con determinante +1 forman un grupo

llamado grupo ortogonal propio, compuesto por las rotaciones que cambian una

mano derecha en una mano derecha. Las que tienen determinante −1 transforman

una mano derecha en una izquierda y al reves. Cada una de ellas es producto de

una rotacion propia por una reflexion r → −r, cuya matriz es −I. No forman

grupo pues el producto de dos de ellas tiene determinante +1. El conjunto de

todas, las propias y las no propias, sı forma grupo evidentemente. Se llama grupo

ortogonal completo.

1La matriz adjunta de A es la inversa de la traspuesta, o la traspuesta de la inversa.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–15


2.6.1. Formas lineales.

Consideremos ahora otro concepto. Una forma lineal en el espacio tridimen-

sional es una funcion lineal de los vectores que toma valores entre los numeros

reales. Como es lineal, toda forma F esta definida por tres numeros, sean

(u1, u2, u2), tales que

Fu(v) = u1v1 + u2v2 + u3v3 =∑i

uivi . (2.12)

Es facil ver que el conjunto de las formas lineales en un espacio vectorial V tiene

tambien la estructura de espacio vectorial. Se conoce por espacio dual de V. El

teorema de Riesz establece que hay una correspondencia biunıvoca entre V y su

dual, de modo que a cada vector le corresponde una forma.

Nos interesan las formas invariante por O3 (en el caso general, por un cierto

grupo). Para ello, su valor debe ser el mismo en un sistema con primas (o sea,

rotado)

F ′u′(v′) =

∑i

u′iv′i =

∑i

u′i∑j

aijvj = Fu(v) . (2.13)

Como esto se debe cumplir para todo vector v, las dos ecuaciones anteriores

implican que los coeficientes de la forma se transforman del modo

uj =∑i

aiju′i ,

y, si la matriz aij es ortogonal, esto equivale a

u′i =∑j

aijuj .

O sea que los coeficientes de una forma se transforman como los componentes de

un vector. Esto parece sugerir que un vector y una forma son la misma cosa. Pero

no es ası, en general son dos conceptos que hay que saber distinguir. Ocurre sin

embargo que, en el caso euclıdeo con el grupo de las rotaciones, las componentes

de la forma son la misma terna que la del vector u a que esta asociada en virtud

del teorema de Riesz. Pero en el caso general, las cosas son algo mas complicadas

y conviene, como se vera mas abajo. Cuando hay una metrica dada por un pro-

ducto escalar, se puede establecer una relacion biunıvoca entre el conjunto de los

vectores y el de las formas. Gracias a ello y en el caso de una geometrıa euclıdea

con una base ortogonal, es posible y comodo identificarlos, si bien con un cierto

abuso de lenguaje poco importante. Pero eso no se puede hacer en relatividad,

2–16—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



que usa una geometrıa pseudoeuclıdea con el grupo de Lorentz en vez del de las

rotaciones.

Eso permite formular la segunda definicion de vector antes anunciada: un

vector es el conjunto de los coeficientes de una forma lineal. Pero conviene insistir

que hay en ella un cierto abuso de lenguaje.

2.6.2. Que cosa es un tensor.

Un tensor de rango n o de n ındices en el espacio euclıdeo R3 es un objeto de

3n componentes Tij···n que en la transformacion de coordenadas (2.9) cambia del

modo siguiente

Tij···n → T ′ij···n =∑i′j′···n′

aii′ajj′ · · · ann′Ti′j′···n′ (2.14)

Es evidente que un ejemplo de tensor de rango n es el conjunto de los productos

de las componentes de n vectores

Rij···n = AiBj · · ·Nn .

En otras palabras, un tensor es un objeto con varios ındices que se transforma

como un vector respecto a cada ındice. Con esta definicion, un vector es un tensor

de rango uno y un escalar es un tensor de rango cero.

Como sabemos una matriz de transformacion es un objeto de dos ındices, lo

que plantea una pregunta. ¿Es tambien un tensor? Consideremos una transfor-

macion lineal dada por la matriz B = (bij), es decir

u → v = Bu, o sea ui → vi =∑j

bijuj . (2.15)

Apliquemos la matriz de transformacion A = (aij) que nos pasa a un sistema con

primas, en el que la transformacion dada por B sera

u′ → v′ = Bu′, o sea u′i → v′i =∑j

b′iju′j . (2.16)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–17


La situacion puede describirse con el diagrama

uB→ v

A ↓ ↓ A

u′B′→ v′. (2.17)

Esto significa que

v′ = B′Au = ABu .

Como esto debe verificarse para todo vector u, se ha de cumplir

B′A = AB , es decir B′ = ABA−1 . (2.18)

Tomando componentes

b′ij =∑`m

ai`(a−1)jmb`m (2.19)

Como A−1 = A, entonces (a−1)jm = ajm, de donde

b′ij =∑`m

ai` ajm b`m , (2.20)

que indica que las componentes de la matriz B se transforman como las de un

tensor.

En fısica abundan los tensores. Tres ejemplos de segundo dos: el de inercia de

un solido rıgido y los de deformacion y tension en mecanica de medios continuos.

Producto y contraccion de tensores. Se define el producto de dos tensores

de rangos n y m como el tensor de rango m+ n cuyas componentes son los 3n+m

productos de las del primero por el segundo. Ejemplo: la diada o producto diadico

de dos vectores es el tensor Dij = AiBj.

La operacion igualar dos de los ındices de un tensor y sumar despues en sus

posibles valores se llama contraccion. Por ejemplo la traza de una matriz de dos

ındices es la contraccion del tensor correspondiente Tr (Aij) =∑

j Ajj. Es facil

comprender que la contraccion de un tensor de rango n es otro tensor, pero de

rango n − 2. Por ejemplo si contraemos los dos primeros ındices del tensor de

(2.14), el objeto resultante, Uk···n =∑

i Tiik···n, se transformara como un tensor

de rango n− 2 pues∑i

Tiik···n → T ′iik···n =∑i′j′···n′

aii′aij′ · · · ann′Ti′j′···n′ .

2–18—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



Como∑

i aii′aij′ = δi′j′ , resulta que

U ′k···n =

∑k′···n′

akk′ · · · ann′Uk′···n′ (2.21)

Luego la contraccion de un tensor de n ındices es un tensor de n−2 ındices. Como

ejemplo, el producto escalar de dos vectores es la contraccion de su producto

diadico (la contraccion de akbj es∑

k akbk).

Con frecuencia se simplifica la notacion mediante lo que se llama convenio de

Einstein de los ındices repetidos que consiste, simplemente, en sobrentender que

siempre que haya dos ındices repetidos hay que sumar sobre sus valores posibles.

Por ejemplo el producto escalar de ak y bk se puede escribir de dos maneras: como∑k akbk o, con un poco menos menos de tinta, como akbk. Eso permite escribir

muchas formulas de modo mas economico.

Un ejemplo interesante de tensor es el llamado tensor de energıa-momento,

que jugara un papel importante en este curso. Tiene rango dos e indica la densidad

de energıa y la densidad de flujo de la energıa de un campo elecromagnetico.

2.6.3. Caso general.

Supongamos un espacio vectorial de n dimensiones al que asignamos una

metrica dada por el “tensor metrico”gij, que es simetrico gij = gji, tal que el

producto escalar de dos vectores ui y vi esta dada por (notese que las componentes

de los vectores seran indicadas por superındices)

u · v =∑ij

gijuivj . (2.22)

En una geometrıa euclıdea existen bases tales que ei ·ej = δij con lo que tenemos

el producto escalar de las matematicas elementales. Pero puede ocurrir que, por

alguna razon, deseemos usar una base no ortogonal. En el caso del espacio de

Minkowsky, lo mas que se puede llegar es a una metrica diagonal con un 1 y tres

−1, o sea cuatro vectores ortogonales pero, bien uno de ellos bien tres, con norma

negativa.

La expresion (2.22) se puede escribir de modo mas simple introduciendo las

cantidades

uj =∑j

gijui , tal que uj =

∑j

gjkuk , (2.23)

pues entonces

u · v =∑ij

gijuivj =

∑j

ujvj =

∑i

uivi =∑ij

gijuivj , (2.24)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–19


donde la matriz del tensor simetrico gij es la inversa de la de gij, es decir que∑k

gikgkj = δji . (2.25)

Propiamente hablando, las cantidades con el superındice, las xk, son las com-

ponentes de un vector y las que llevan el subındice, las xk, de una forma. Pero

dada la correspondencia biunıvoca entre vectores y formas a la que se refiere el

teorema de Riesz, resulta aceptable, y conveniente a un cierto nivel, identificar los

vectores con las formas. Se dice entonces que las cantidades xk son componentes

contravariantes y las xk, componentes covariantes. La operacion de pasar de las

unas a las otras, mediante la contraccion con el tensor metrico se llama subir y

bajar ındices. En el caso euclıdeo es posible elegir los vectores de la base de modo

que xk = xk, pero eso resulta imposible en el tratamiento de la relatividad.

Dada una transformacion de coordenadas

xi → x′ i =∑j

aijxj , (2.26)

se dice que v ≡ (v1, . . . vn) es un vector si sus componentes cambian en esa

transformacion del mismo modo que las x′s, o sea

vi → v′ i =∑j

aijvj .

Supondremos que esa transformacion forma parte de un grupo de Lie. El producto

escalar permite asociar a cada vector u una forma lineal Fu de modo que

Fu(v) = u · v =∑ij

gijuivj ,

que, como se ha visto mas arriba, se puede escribir

Fu(v) = u · v =∑i

uivi . (2.27)

Si esa cantidad es invariante por el grupo, debe ser igual a∑j

ujvj =

∑j

u′jv′ j =

∑jk

u′jajkv

k =∑k

ukvk .

Para que sean iguales debe ocurrir que

uk =∑

ajku′j , o sea u′j =

∑k

a`ju` .

2–20—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



Vemos que, en el caso mas general, las componentes contravariantes y covari-

antes se transforman de distinta manera

u′ i =∑j

aijuj , ui =

∑j

ajiu′j . (2.28)

Estas son las maneras en que se transforman las componentes de los vectores

y las formas. Gracias a la existencia de un producto escalar con su tensor gij,

podemos decir tambien que son las maneras de transformarse de las componentes

contravariantes y covariantes de los vectores. En el caso euclıdeo con el grupo

On, si multiplicamos la ultima ecuacion por (a−1)iq y sumamos en i, teniendo en

cuenta ademas que∑

i(a−1)iqa

`i = δ`q se llega a

u′q =∑i

(a−1)iqui

En el caso euclıdeo con el grupo de las rotaciones, la inversa de la matriz es igual

a la traspuesta, por lo que

u′ q =∑

aqiui .

que es la misma ley (2.26).

A2.1.3 Espacio de Minkowski, grupo de Lorentz,

cuadrivectores y tensores. La teorıa de la relatividad vive en el espacio

de Minkowsky, un espacio de cuatro dimensiones, con vectores a ≡ aµ =

(a0, a1, a2, a3), dotado del producto escalar

a · b =∑µν

ηµνaµbν , (2.29)

que corresponde al tensor metrico de Minkowsky

gµν = ηµν = diag (1, −1, −1, −1) ,

en notacion autoexplicativa. Ese producto escalar es invariante por el grupo de

Lorentz, cuyas transformaciones son del tipo

x→ x′ = Ax (2.30)

siendo A una matriz 4× 4. Si G la matriz del tensor gij, es decir

G ≡ (gij) =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

,


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–21


podemos escribir un producto escalar de los vectores u′ y v′ en la forma

u′ · v′ = u′Gv′ → uAGAv = uGv . (2.31)

Como esto se debe cumplir para todo par de vectores, es necesario que

AGA = G . (2.32)

Esta es la condicion que cumplen las matrices del grupo de Lorentz (es facil

comprobar que el conjunto de las matrices que la cumplen tiene estructura de

grupo). Notese que en el caso euclıdeo, la matriz G es la unidad, con lo que (2.32)

se transforma en la conocida condicion A = A−1.

La regla para formar las componentes covariantes de un vector es simple con

el tensor metrico de Minkowsky. Esta claro que

a0 = a0 , a1 = −a1 , a2 = −a2 , a3 = −a3 ,

o sea que subir o bajar un ındice espacial equivale a cambiar el signo, mientras

que si el ındice es temporal la componente no cambia. El tensor metrico se puede

escribir de tres maneras

gij , gij = δij gij

donde la matriz gij es la inversa de gij. Es facil comprobar que

(gij) = (gij) =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

, gji =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Usaremos el siguiente convenio. Los ındices griegos van siempre de 0 a 3 y los

latinos de 1 a 3. Esto significa que las letras griegas se usan para designar a las

cuatro coordenadas de espacio y tiempo y las latinas para las de espacio. Esta

es la notacion tradicional en el Occidente, mientras que en la Union Sovietica se

usaba mas la contraria, por eso es la que tiene el libro de Landau.

Como hemos visto, un suceso se determina en relatividad por cuatro datos

(ct, x, y, z) que vamos a considerar como las cuatro coordenadas de un vector en

el espacio de Minkowsky, de modo que

x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z .

El “cuadrado del modulo”de este vector vale

xµxµ = (x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x2)2 = x0x

0 + x1x1 + x2x

2 + x3x3,

2–22—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



que queda invariante ante las “rotaciones.en cuatro dimensiones, o sea ante

las transformaciones de Lorentz. De hecho si se aplica al cuadrivector general

(a0, a1, a2, a3) una transformacion de Lorentz con velocidad v a lo largo del eje x,

se transforma en otro con componentes dadas por las mismas expresiones (3.41)

a′ 1 =a1 − βx0√

1− β2,

a′ 2 = a2 , a′ 3 = a3 , (2.33)

a′ 0 =a0 − βa1√

1− β2,

con β = v/c es la velocidad expresada en unidades de la velocidad de la luz c.

Ante esa transformacion de Lorentz el cuadrado de su magnitud

aµaµ = (a0)2 − (a1)2 − (a2)2 − (a2)2,

permanece invariante. O sea, las transformaciones de Lorentz no solo se aplican

a las coordenadas espaciales y al tiempo.

Convenio de Einstein de los ındices repetidos. En el caso de los ten-

sores relativistas, es decir, en el espacio de Minkowski, este convenio siempre se

aplica a un par de ındices que sean uno contravariante y otro covariante, com

ocurre en el producto de dos cuadrivectores, por ejemplo la cuadrivelocidad y la

cuadriaceleracion u · w = uµwµ.

2.6.4. Tensores.

En relatividad un tensor es un objeto con n ındices arriba y m abajo. Se dice

que es n veces contravariante y m veces covariante

A νµ , Rαβ

γ .

Se llaman tambien tensores mixtos para indicar que tiene, a la vez, indices de los

dos tipos. Los ındices se suben y se bajan mediante la misma regla simple que

para los vectores. Al cambiar un ındice que vale 0, nada cambia; si vale 1, 2 o

3 cambia el signo. Para contraer dos ındices es preciso que sea uno covariante y

otro contravariante.

Ademas de las tres formas anteriores del tensor metrico, tiene interes el

pseudotensor tensor completamente antisimetrico de rango cuatro eαβγδ, una gen-

eralizacion del de Levi-Civitta. Su valor es 0 si dos de los ındices son iguales y +1


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–23


o −1 si son los cuatro distintos y los ındices forman una permutacion par o impar,

respectivamente, de los numeros (0, 1, 2, 3). Por ejemplo e0123 = +1, e1023 = −1,

e1123 = 0. Notese que e0123 = −1. Ese tensor tiene por tanto 4! = 24 componentes

no nulas.

2.6.5. Vectores y pseudovectores.

Si se realiza una inversion de coordenadas (o sea una simetrıa respecto al

origen, (x, y, z) → (−x,−y,−z)), las tres componentes espaciales de un vector

“ordinario” cambian de signo. Si solo se invierte una de las coordenadas (por ejem-

plo, se invierte z si se realiza una simetrıa respecto al plano xy), la componente

correspondiente de los vectores cambia de signo). Consideremos, sin embargo, el

producto escalar de dos vectores, como es el caso del campo magnetico. Es facil

comprobar que sus componentes permanecen invariantes en una inversion de co-

ordenadas. Si solo se invierte una, la componente correspondiente del producto

escalar no cambia; por contra las otras dos sı cambian de signo.

En el primer caso, se dice que se trata de un vector polar; en el segundo, que

es un vector axial. Es facil comprobar que el campo electrico es polar y el campo

magnetico, axial. Tambien se conocen esos dos tipos como vector y pseudovector,

respectivamente. Sea C = A × B. Esta claro que (usando el convenio de los

ındices repetidos)

Ci =1

2eijkCjk , siendo Cjk = AjBk − AkBj .

La primera igualdad puede escribirse tambien como Ci = eijkCjk.

En general, un pseudotensor se comporta como un tensor para transforma-

ciones de coordenadas sin inversion o con la inversion de un numero para de

coordenadas (o cuando la mano derecha cambia en una mano derecha), mas pre-

cisamente si no cambia la axilidad del sistema de ejes. Pero no cambia de signo

sus componentes en una inversion de un numero impar de coordenadas, como

sı lo hace un tensor. Como ejemplo de pseudoescalar tomemos el producto escalar

de un vector y un pseudovector, E ·B en electromagnetismo por caso. Cambia de

signo, al reves que un escalar en una inversion de las tres coordenadas.

Sea T µν un tensor antisimetrico de rango dos en cuatro dimensiones. Se define

su dual ∗T ρσ como∗T ρσ =

1

2eρσµνTµν .

De la misma manera el dual de un vector Rα es el tensor de rango tres ∗Rβγδ =

eαβγδRα.

2–24—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



Este tipo de tensores son especialmente importantes porque aparacen muy

a menudo en las aplicaciones fısicas, como veremos. Sea Tαβ uno de ellos. Sus

componentes (T 01, T 02, T 03) forman un vector polar, como es facil de com-

prender aplicando las leyes de transformacion. Por su parte, las componentes

(T 32, T 13, T 21) forman un vector axial. Tambien se puede entender bien esto al

observar que esas tres componentes son las coordenadas del vector dual del tensor

T ij y se comportan como un producto vectorial. Se puede escribir

(Tαβ) =

0 −ex −ey −ezex 0 −bz byey bz 0 −bxez −by bx 0

,

y con notacion evidente

Tαβ = (−e, b), Tαβ = (e, b)

El gradiente en cuatro dimensiones de una funcion f es

∂f

∂xi=

(1

c

∂f

∂t, ∇f

).

Sus cuatro componentes son las coordenadas covariantes de un vector, escritas a

menudo como ∂if . La diferencial de la funcion vale obviamente df = ∂idxi y es

un escalar, pues esta claro que es el producto escalar de dos vectores.

2.6.6. Integrales en cuatro dimensiones.

Se usan integrales de lınea, de superficie bidimensional, de volumen tridimen-

sional y de cuadrivolumen. Veamos cuales son los elementos difrenciales.

(i) Integrales de lınea. El elemento de integracion es simplemente dxi.

(ii) Integrales de superficie bidimensional. En el espacio tridimensional, las

proyecciones del area de un paralelogramo formado por dr y dr′ sobre los plano

xixj son dxidx′j−dxjdx

′i. El conjunto de tales proyecciones es un tensor de rango

dos. Su dual es el doble del producto escalar dr× dr′, cuyas componentes son las

areas de las tres proyecciones. Analogamente, en el espacio de Minkowsky el tensor

dSαβ = dxαdx′β − dxβdx′α tiene por componentes las areas de las proyecciones

en los seis planos xαxβ. Como elemento de area se usa su dual

d∗Sγδ =1

2εγδαβdSαβ


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–25


(iii) Integrales de volumen tridimensional. De modo parecido se usa el dual

del tensor de rango tres

dSβγδ =

∣∣∣∣∣∣∣dxβ dx′β dx′′β

dxγ dx′ γ dx′′ γ

dxδ dx′ δ dx′′ δ

∣∣∣∣∣∣∣ ,es decir

dSα = −1

6εαβγδ dSβγδ

por ejemplo dS0 = dS123, dS1 = dS023 ...

(iv) Integral en un volumen cuadridimensional

dΩ = dx0dx1dx2dx3 = cdtdV

2–26—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.7. Ejercicios

2.7. Ejercicios

2.1 Beatriz esta en el sistema S y observa que un cierto suceso ocurre en

x = 100 km, y = 10 km, z = km en el tiempo t = 5,0×10−6 s. Andres esta en S ′,

que se mueve con velocidad 0,92 c respecto a S a lo largo de su eje comun x ≡ x′,

de modo que sus orıgenes coinciden en t = t′ = 0. ¿Cuales son las coordenadas

espaciales y el tiempo del suceso para Andres? Comprobar la respuesta empleando

la transformacion de Lorentz inversa para pasar de S ′ a S.

2.2 A ciertos valores de la velocidad v, el valor de x difiere en 0.1 %, 1 % y

10 % del obtenido con la transformacion de Galileo. ¿Cuales son esos valores de

v?

2.3 Demostrar que la ecuacion de ondas del campo electromagnetico es invari-

ante ante una transformacion de Lorentz. Para hacerlo, basta comprobar que se

cumple la siguiente igualdad entre los operadores de D’Alembert en los sistemas

S y S ′

∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2− 1

c2∂

∂t2=

∂2

∂x′ 2+

∂2

∂y′ 2+

∂2

∂z′ 2− 1

c2∂

∂t′ 2

teniendo en cuenta que las coordenadas con y sin primas estan relacionadas por

la transformacion de Lorentz.

2.4 Demostrar que el tiempo propio definido por dτ = dt√

1− v2/c2 es in-

variante Lorentz.

2.5 Andres observa dos sucesos P1 y P2 en los puntos (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2)

de su sistema propio S, y los observa en el mismo tiempo. a) ¿Le pareceran

simultaneos a Alicia, que se mueve con velocidad v respecto a S? b) Si no se lo

parecen, ¿cual es el intervalo de tiempo que mide Alicia entre esos dos sucesos? c)

¿Como varıa ese intervalo de tiempo, si la distancia espacial entre P1 y P2 tiende

a cero?

2.6 En el sistema S hay una caja en reposo, con forma de paralelepıpedo

rectangular con lados a, b y c, que esta en reposo. Su masa es m0 y su densidad

en S es ρ0 = m0/(abc). a) ¿Cual sera el volumen de la caja para un observador

que se desplaza a una velocidad u con respecto a la caja, paralelamente al eje x

(y al lado a)? b) ¿Cuanto valdran la masa y la densidad para ese observador?

2.7 ¿Cual sera la velocidad de un electron cuya energıa cinetica es igual a su

energıa en reposo?


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–27


2.8 Ejercicios de calculo tensorial:

a) Determinar si las siguientes cantidades son tensores, diciendo en su caso si

son covariantes o contravariantes, siendo φ un escalar

dxα y∂φ(x1, x2, . . . , xn)

∂xµ.

b) En el caso del grupo general de transformaciones xµ → x′µ = x′µ(xα), un

tensor se define mediante la ley de transformacion

T ′αβ...γ =∑ ∂x′α

∂xµ∂x′β

∂xν. . .

∂x′ γ

∂xρT µν...ρ

Demostrar que esta definicion de tensor se reduce a las ya conocidas en los

casos euclıdeo u pseudoeuclıdeo y probar las siguientes igualdades

∂xα

∂xβ= δαβ ,

∂xα

∂x′β∂x′β

∂xγ= δαγ ,

en las que se usa el convenio de Einstein de los ındices repetidos. Razonar que

eso indica que la delta de Kronecker δαβ es un tensor mixto, una vez covariante y

otra contravariante. Demostrar que

c) el producto de dos tensores C αβδγε = A αβ

γ B δε es tambien un tensor;

d) si un tensor es simetrico (resp. antisimetrico) respecto a dos ındices, es decir,

si Aα...β... = Aβ...α... en un sistema de coordenadas, lo es tambien en cualquier otro

sistema. En otras palabras, la simetrıa o antisimetrıa de los tensores es invariante

por cambios de coordenadas.

2.9 Demostrar que el tiempo propio dτ = dt√

1− (v/c)2 y las cantidades

c2B2 − E2 y E ·B son invariantes relativistas.

2.10 Hallar la formula de adicion de velocidades cuando la velocidad v del

sistema S ′ respecto al S tiene una direccion cualquiera, expresando el resultado

en forma vectorial.

2.11 Hallar los campos de un condensador plano con densidad propia de carga

σ0 que se mueve con velocidad v: a) paralela a las placas; b) perpendicular a las

placas. Comprobar los invariantes de la transformacion.

2.12 Dos rectas paralelas muy proximas, paralelas al eje z y con densidades

de carga λ y −λ, se mueven paralelamente a sı mismas con velocidades +v y

−v. En el sistema del laboratorio los campos que crean valen aproximadamente

E = 0 y B = (µ0I/2πρ)uρ, siendo I = 2λv.

2–28—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.7. Ejercicios

a) Usando los invariantes del campo, determinar si existe algun sistema de

referencia en el cual E 6= 0, B = 0.

b) Una carga q se mueve paralelamente a las dos rectas con velocidad u. Por

transformacion de los campos, hallar la fuerza sobre la carga en un sistema ligado

a ella.

2.13∗ Demostrar que dos transformaciones de Lorentz sucesivas en angulo

recto no conmutan (p. ej. una con velocidad v1 paralela al eje x y otra con v2

paralela al y). Demostrar tambien que, en cualquier orden en que se realicen, el

resultado no coincide con el de una transformacion con v = v1e1 + v2e2. Probar

que, en cambio, dos transformaciones con velocidades paralelas conmutan y el

resultado de su producto es equivalente al de una sola con v = (v1 + v2)/(1 +

v1v2/c2).


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–29


2–30—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


Capıtulo 3

Formulacion lagrangiana de la

electrodinamica clasica I

3.1. Principio de “mınima accion” en mecanica

newtoniana

Sea un sistema mecanico de n grados de libertad y descrito por n coordenadas

(q1, q2, · · · , qn) y, para simplificar supongamos que el potencial no depende del

tiempo. Sean sus energıas cinetica T y potencial V y su funcion lagrangiana L

T = T (q, q) , U = U(q) , L = L(q, q) = T (q, q)− U(q) . (3.1)

Sus ecuaciones del movimiento se pueden obtener con gran sencillez a partir del

principio de la “mınima” accion en su forma de Hamilton. Podemos enunciar este

principio de la siguiente manera

Principio de Hamilton: Cuando el sistema va desde la configuracion q(1)k

en t = t1 hasta la q(2)k en t = t2, se cumple que la integral de accion S

S =

∫ t2

t1

L(q, q) dt (3.2)

toma un valor estacionario.

Ello implica que se deben cumplir la ecuaciones diferenciales de Euler-

Lagranged

dt

∂L

∂qk− ∂L

∂qk= 0, k = 1, 2, . . . n , (3.3)

que son por tanto las ecuaciones del movimiento del sistema. En este contexto,

se suelen llamar simplemente las ecuaciones de Lagrange.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–1

Capıtulo 3. Formulacion lagrangiana de la electrodinamicaclasica I

Ejemplo. Partıcula en tres dimensiones sometida al ptential U(x, y, z). El

lagrangiano es

L =1

2mv2 − U

y las ecuaciones de Lagrange

mx = −∂xU , my = −∂yU , mz = −∂zU .

Prueba del principio de Hamilton. Definimos las variaciones de las coor-

denadas δqk(t) como funciones con buen comportamiento que se anulan en t1 y

t2, o sea que

δq(t1) = δq(t2) = 0 . (3.4)

De ese modo los conjuntos qk(t) + δqk(t) son conjuntos de funciones que cumplen

todas ellas las condiciones inicial y final qk(t1)+δqk(t1) = q(1)k y qk(t2)+δqk(t2) =

q(2)k . Que la integral de accion tome un valor estacionario significa que, al variar

las coordenadas, se anule la parte de primer orden de la variacion de la integral.

La variacion de la integral de accion vale

δS =

∫ t2

t1

[L(q + δq, q + δq)− L(q, q)] dt =

∫ t2

t1

[∂L

∂qδq +

∂L

∂qδq

]dt , (3.5)

salvo terminos de segundo orden y superiores en las variaciones (notese que por

simplicidad se han omitido los subındices en las coordenadas y velocidades. Hay

que sobreentender que esa expresion es una suma extendida a los valores k =

1, 2, · · · , n). Tal como hemos definido la variacion, esta claro que la variacion y

la derivada respecto al tiempo conmutan, es decir

δq =d

dtδq . (3.6)

Gracias a ello podemos integrar por partes el segundo termino del tercer miembro

de (3.5), con lo que∫ t2

t1

∂L

∂qδq dt =

∂L

∂qδq

∣∣∣∣t2t1

−∫ t2

t1

(d

dt

∂L

∂q

)δq dt

anulandose el primer termino del segundo miembro por la condicion (3.4), de

modo que (3.5) toma la forma

δS = −∫ t2

t1

(d

dt

∂L

∂q− ∂L

∂q

)δq(t) dt

[= −

n∑k=1

∫ t2

t1

(d

dt

∂L

∂qk− ∂L

∂qk

)δqk(t) dt

](3.7)

3–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.2. La accion de una partıcula libre en relatividad

La unica manera en que las integrales en (3.7) sean nulas para todas las varia-

ciones posibles es que se anulen los parentesis, lo que conduce a las ecuaciones de

Lagrange (3.3). Recıprocamente, estas ecuaciones implican δS = 0.

Momentos conjugados. A cada variable qk le corresponde un momento

conjugado pk definido ası

pk =∂L

∂qk.

A las variables cartesianas xk les corresponde el momento lineal pk = mvk, a la

rotacion alrededor de un eje, la componente sobre ese eje del momento angular,

etc.

Hamiltoniano. (o funcion hamiltoniana) Se define ası

H =∑k

pkqk − L .

Su derivada total respecto al tiempo vale

dH

dt=∂L

∂t,

o sea que si L no depende explıcitamente del tiempo el hamiltoniano es una con-

stante del movimiento. Eso ocurre al estudiar leyes que no dependan del tiempo.

Si la energıa cinetica es la suma de una funcion cuadratica de las velocidades

T2 =∑

ij12Aij qiqj, otra parte lineal T1 =

∑k Bkqk y otra independiente de las

velocidades T0, el hamiltoniano vale

H = T2 − T0 + U.

Cuando T = T2, caso frecuente, H puede identificarse con la energıa.

3.2. La accion de una partıcula libre en relativi-

dad

Sea una partıcula libre, por ejemplo un electron, que se mueve. ¿Como plantear

su movimiento desde el punto de vista variacional? En primer lugar el integrando

de la accion debe ser un escalar, pues de otra forma la teorıa no serıa covariante

Lorentz ni, por tanto, relativista. Ademas debe ser tambien una forma diferencial

de primer orden. El unico integrando que cumple esas condiciones es λ ds, siendo

λ una constante. Por tanto la accion debe ser

S = −λ∫ 2

1

ds , (3.8)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–3


donde la integral se toma a lo largo de la trayectoria (o lınea de universo) de la

partıcula en el espacio de Minkowski. Los lımites de la integral son dos puntos

de espacio-tiempo, o sea una posicion en el tiempo incial t1 y otra en el tiempo

final t2. Se puede comprobar que λ debe ser positiva. Hasta ahora el elemento

diferencial que aparece en la integral de accion es la diferencial del tiempo, de

modo que S =∫ 2

1Ldt. La ecuacion (3.8) toma la forma

S = −∫ t2

t1

λ c√

1− v2/c2 dt , (3.9)

donde v es la velocidad. El lagrangiano es, pues,

L = −λ c√

1− v2/c2 . (3.10)

Para determinar la constante λ usaremos dos criterios: i) el lagrangiano L debe

tener dimensiones de energıa; y ii) cada partıcula esta caracterizada por su masa

m. Esto sugiere que podrıa ser λ = mc. Para comprobarlo, tomemos el caso de

pequena velocidad, cuando vale la teorıa newtoniana. Aproximando la raız hasta

terminos en primer orden en v2/c2, resulta

L = −λ c√

1− v2/c2 ≈ −λc+λv2

2c. (3.11)

Comparando con la expresion newtoniana L = mv2/2 se comprueba que el valor

anterior de λ es el correcto. Quedan pues la accion y el lagrangiano en la forma

S = −mc∫ 2

1

ds = −mc2∫ 2

1

dτ , L = −mc2√

1− v2/c2 . (3.12)

Energıa y momento lineal. La definicion del momento lineal p = (p1, p2, p3),

el conjugado a las coordenadas cartesianas, es

pk =∂L

∂xk, o sea p =

mv√1− v2/c2

. (3.13)

En cuanto a la energıa, la tomaremos igual al hamiltoniano, es decir

E =3∑1

pkqk − L , o sea E =mc2√

1− v2/c2. (3.14)

Como vemos se obtienen ası las conocidas expresiones relativistas.

Notese que a pequenas velocidades

E ' mc2 +1

2mv2 ,

3–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.2. La accion de una partıcula libre en relatividad

y que, a cualquier velocidad,

E2

c2= p2 +m2c2 .

El hamiltoniano puede escribirse ası

H = c√p2 +m2c2 .

Tambien

p = E v

c2.

A primera vista parece que la idea de una partıcula con masa nula m = 0 no tiene

sentido. Sin embargo sı lo tiene, si suponemos que esa partıcula siempre tiene la

velocidad c respecto a todos los observadores inerciales, como se deduce por otra

parte de las transformaciones relativistas de las velocidades. En ese caso

E = p c .

3.2.1. Formulacion cuadridimensional.

El principio de “mınima” accion es

δS = −mc2 δ∫ 2

1

dτ = 0 ,

donde τ es el tiempo propio. Teniendo en cuenta que dτ = (dxµdxµ)1/2/c, que

dδxµ = δdxµ y que δ(dxµdxµ)1/2 = dxµδdh

µ/(dxµdxµ)1/2, es decir que la variacion

y el diferencial conmutan, esa variacion vale

δS = −m∫ 2

1

dxµδdxµ

dτ= −m

∫ 2

1

uµdδxµ .

Integrando por partes

δS = − muµδxµ|21 +m

∫ 2

1

δxµduµdτ

dτ .

El primer termino del segundo miembro vale cero porque la variaciones se anulan

en los tiempos extremos. La condicion δS = 0 implica pues que

duµ/dτ = 0

, es decir, la cuadrivelocidad es constante, como corresponde a una partıcula libre.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–5


Tal como se hace en mecanica teorica newtonana, podemos considerar a la

accion como una onda, haciendo fijo el lımite inferior 1 y variando el superior 2,

o sea considerando las coordenadas de este ultimo como variables. De ese modo

tenemos una funcion S = S(xµ). Si variamos solo estas coordenadas del punto

final queda

δS = −muµδxµ ,

porque la integral en la expresion de δS, ecuacion anterior, se anula y solo queda

el primer termino en el lımite superior. El cuadrivector

pµ = − ∂S

∂xµ

es el cuadrivector momento. De hecho en mecanica clasica las derivadas (∂xS, ∂yS, ∂zS)

son las tres componentes del momento lineal p mientras que −∂tS es la energıa

de la partıcula. Por tanto las componentes covariantes y contravariantes del cuad-

rimomento son

pµ = (Ec,−p) , pµ = (

Ec,p) ,

por lo que

pµ = muµ

lo que coincide con las definiciones anteriores.

La consecuencia de estos argumentos en que la energıa sobre c y el momento

lineal forman un cuadrivector, llamado de energıa-momento. En una transforma-

cion de Lorents se cambia, pues, del modo

p′x =px − vE/c2√

1− v2/c2p′y = py

p′z = pz , E =E − vpx√1− v2/c2

.

Debido a la identidad uµuµ = 1 se cumple que

pµpµ = m2c2 ,

que es otra forma de la relacion relativista entre la energıa y el momento.

3.3. Cuadripotencial del campo electromagnetico

3.3.1. Interaccion a distancia e interaccion por campos

interpuestos.

En las presentaciones elementales de la fısica se suele considerar que las fuerzas

entre cuerpos o partıculas se efectuan de manera instantanea. Por ejemplo, al

3–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.3. Cuadripotencial del campo electromagnetico

estudiar el Sistema Solar de modo newtoniano no se tienen en cuenta la posibilidad

de que la accion gravitatoria tarde un tiempo en ir de un cuerpo a otro. Lo

mismo ocurre en el caso del electromagnetismo elemental. Esto parecıa evidente

al principio, debido a que esas acciones se transmiten de hecho con una velocidad

muy alta, la de la luz, por lo que la idea de accion a distancia da muy buenos

resultados si las velocidades implicadas no son relativistas. Pero un tratamiento

mas fino exige incluir ese retraso de la accion. Ello se hace suponiendo que hay

un campo intermedio que se propaga entre dos partıculas que interactuan. En

este curso trataremos esta cuestion en el caso de las cargas a alta velocidad o

aceleradas.

Consideraremos ahora el movimiento de una carga puntual en un campo elec-

tromagnetico exterior, es decir que no cambia a causa de la partıcula. En ese caso

el lagrangiano debe tener dos terminos: uno el mismo que antes, para la partıcula

libre, y otro que represente a la interaccion. La experiencia dice que este ultimo

es de la forma −e∫ 2

1Aµdx

µ, siendo e la carga de la partıcula y Aµ = Aµ(r, t) un

cuadripotencial que representa al campo electromagnetico. Veremos que resulta

ser igual a

Aµ = (Φ/c,A) .

Notese que Φ/c y A tienen las mismas dimensiones, mas concretamente

[Aµ] = Fuerza/Intensidad de corriente, o sea [Aµ] = kg ·m ·s−2 ·A−1 = N/A .

Tomaremos pues la siguiente expresion para la accion de una partıcula con carga

e

S =

∫ 2

1

(−mc2dτ − eAµdx

µ). (3.15)

Esa integral se puede escribir como

S =

∫ 2

1

(−mc2 dτ − eΦ dt+ eA · dr

)=

∫ 2

1

(−mc2

√1− v2

c2− eΦ + eA · v

)dt . (3.16)

El lagrangiano es, por tanto,

L = −mc2√

1− v2

c2− eΦ + eA · v (3.17)

Momento lineal. Ese momento sera px = ∂L/∂vx, por lo que

P =mv√

1− v2/c2+ eA = p + eA . (3.18)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–7


P es el momento canonico y p = mγv el momento mecanico. El Hamiltoniano

vale

H =∑k

xk∂L

∂xk− L

=mc2√

1− v2/c2+ eΦ (3.19)

El hamiltoniano puede expresarse, y es importante hacerlo ası, en terminos del

momento canonico de la partıcula. El calculo es simple y sale

H =√m2c4 + c2(P− eA)2 + eΦ . (3.20)

En el caso de pequena velocidad, L = mv2/2− eΦ + ev ·A, con lo que

H =1

2m(P− eA)2 + eΦ . (3.21)

3.4. Ecuaciones del movimiento de una carga en

un campo electromagnetico

Entre una carga y un campo electromagnetico hay acciones mutuas (interac-

ciones), de modo que el campo cambia el movimiento de la partıcula (mediante

fuerzas) y, a su vez, el movimiento de la partıcula modifica el campo (emitiendo

radiacion, por ejemplo). Debe ser ası si la energıa se conserva. Conviene empezar

por lo que se llama una partıcula de prueba, cuya carga y energıa son tan pequenas

que su accion sobre el campo se puede despreciar. Un ejemplo es el de un elec-

tron en un campo macroscopico. Para estudiar el problema en esa aproximacion,

considerarremos variaciones de las coordenadas de la partıcula en el lagrangiano

en (3.16), pero no del vector Aµ(r, t).

Las ecuaciones de Lagrange son

d

dt

(∂L

∂vk

)=

∂L

∂xk, (3.22)

con el lagrangiano L dado por (3.17). Notese que el segundo miembro es igual a

∇L = e∇(A · v)− e∇Φ .

El gradiente del producto escalar de dos vectores arbitrarios esta dado por la

formula

∇(a · b) = (a ·∇)b + (b ·∇)a + b× (∇× a) + a× (∇× b) .

3–8—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.4. Ecuaciones del movimiento de una carga en un campo electromagnetico

Aplicando esta formula y teniendo en cuenta que v no depende de r, resulta

∇L = e (v ·∇)A + ev × (∇×A)− e∇Φ .

Como en las ecuaciones de Lagrange ∂L/∂v = P = p + eA, resulta que esas

ecuaciones tienen la forma

dp

dt= −e ∂A

∂t− e∇Φ + ev × (∇×A) . (3.23)

Esta ecuacion tiene un aire muy conocido. Definiendo los vectores E, B como

E = −∇Φ− ∂tA , B = ∇×A , (3.24)

las ecuaciones (3.22) toman la forma

dp

dt= eE + ev ×B , (3.25)

con p = mγv, y, como se ve, expresan la ley de Lorentz.

Cosas sueltas. En el caso de pequenas velocidades la ecuacion (3.25) toman

la forma

mdv

dt= eE + ev ×B . (3.26)

La derivada temporal de la energıa cinetica vale

dT

dt=

d

dt

(mc2√

1− v2/c2

)= v · dp

dt= eE · v . (3.27)

O sea que el campo magnetico no efectua trabajo sobre la partıcula.

Las ecuaciones del movimiento en mecanica newtoniana son invariantes bajo

la inversion del tiempo. Esto significa que si un cierto movimiento es posible,

tambien lo es el movimiento que se obtiene cambiando el signo de todas las

velocidades (por ejemplo serıa posible un sistema solar como el nuestro en que los

planetas se movieran con exactamente las velocidades opuestas a las que ahora

tienen). De hecho esas ecuaciones son reversibles temporalmente. En el caso que

nos ocupa, eso sigue siendo cierto con tal de que cambiemos ademas el signo del

campo magnetico. De modo mas preciso, las ecuaciones (3.25) son invariantes

bajo los cambio

t→ −t , E → E , B → −B , (3.28)

lo que corresponde a

Φ → Φ , A → −A . (3.29)

O sea, si un movimiento de cargas en un campo electromagnetico es posible, el

movimiento inverso en el tiempo es tambien posible si se cambia el signo del

campo magnetico.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–9


3.5. Invariancia gauge

Un problema que se plantea es decidir auales son mas importantes, los poten-

ciales (Φ, A) o los campos (E, B). A primera vista parecen mas fundamentales

los primeros, pues los segundos se deducen unıvocamente de ellos y, ademas,

solo tiene cuatro grados de libertad en cada punto, por seis de los campos. Sin

embargo, lo que caracteriza al campo electromagnetico desde el punto de vista

experimental es su accion sobre las cargas y eso se lleva a cabo mediante los

campos electrico y magnetico. Un problema interesante en este caso es saber si

los potenciales estan unıvocamente determinados por los campos. La respuesta

es no.

En particular, si se suman a los potenciales las derivadas de una funcion

arbitraria del espacio-tiempo, de modo que

Aµ → A′µ = Aµ −

∂f

∂xµ, (3.30)

los campos E y B no cambian, como se comprueba facilmente. Esta claro que tal

cambio equivale a anadir al integrando de la integral de accion una diferencial

exacta pues

e∂f

∂xµdxµ = d(ef) ,

por lo que la accion cambia en la cantidad eδ[f(2)− f(1)] que vale cero pues las

variaciones en los dos extremos del intervalo son nulas. O sea que la accion per-

manece invariante y nada cambia en el proceso fısico. Ademas es facil comprobar

que el cambio (3.30) equivale a

Φ → Φ′ = Φ− 1

c∂tf, A → A′ = A + ∇f , (3.31)

de modo que no cambian los vectores E y B.

Esta es la famosa invariancia de gauge bajo la transformacion de gauge (3.30).

Un caso particular es anadir una constante al potencial escalar y un vector con-

stante al potencial vectorial, lo que se consigue tomando f =∑akx

k.

3.6. El tensor electromagnetico

Consideremos de nuevo el principio variacional para el movimiento de una

partıcula en un campo electromagnetico exterior

δS = δ

∫ 2

1

(−mc2dτ − eAµdx

µ)

= 0 . (3.32)

3–10—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



Variaremos ahora no solo la trayectoria de la partıcula sino tambien el potencial

Aµ. Teniendo en cuenta que dτ =√

dxµdxµ/c, se puede escribir la ecuacion

anterior en la forma

δS = −∫ 2

1

(m

dxµdδxµ

dτ+ eAµdδx

µ + eδAµdxµ

)= 0 .

A continuacion integramos los dos primeros terminos por partes, introduciendo

la cuadrivelocidad uµ = dxµ/dτ , con lo que llegamos a

δS = −[(muµ + eAµ)δxµ]21 +

∫ 2

1

(m duµ δxµ + e δxµdAµ− eδAµdxµ) = 0 . (3.33)

El primer termino del segundo miembro es clramente nulo, ya que las variaciones

δxµ se anulan en los extremos del intervalo. Aplicando al resto las igualdades

δAµ =∂Aµ∂xν

δxν dAµ =∂Aµ∂xν

dxν ,

resulta ∫ 2

1

(m duµδx

µ + e∂Aµ∂xν

δxµdxν − e∂Aµ∂xν

dxµ δxν)

= 0 .

Sustituyendo duµ = (duµ/dτ)dτ en el primer termino y dxµ = uµdτ en el segundo

y el tercero, intercambiando ademas los ındices mudos µ y ν en el el tercero, se

obtiene ∫ [m

duµdτ

− e

(∂Aν∂xµ

− ∂Aµ∂xν

)uν]δxµdτ = 0 .

Como las funciones δxµ son arbitrarias, se debe cumplir

mduµdτ

= e

(∂Aν∂xµ

− ∂Aµ∂xν

)uν . (3.34)

Conviene introducir el tensor electromagnetico definido como

Fµν =∂Aν∂xµ

− ∂Aµ∂xν

, (3.35)

o tambien Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, donde la F es la inicial de Faraday, el fısico que

introdujo la idea de campo. La ecuacion del movimiento toma la forma

mduµ

dτ= eF µνuν . (3.36)

Esa es la expresion de las ecuaciones del movimiento de una carga puntual en un

campo EM en formalismo cuadridimensional. Sustituyendo Aµ = (Φ,A), resulta


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–11


que el tensor electromagnetico vale (los ındices de filas y columnas son (0, 1, 2, 3))

F µν =

0 −Ex/c −Ey/c −Ez/c

Ex/c 0 −Bz By

Ey/c Bz 0 −Bx

Ez/c −By Bx 0

, Fµν =

0 Ex/c Ey/c Ez/c

−Ex/c 0 −Bz By

−Ey/c Bz 0 −Bx

−Ez/c −By Bx 0

.

(3.37)

En la notacion mas breve, usada en el capıtulo anterior

F µν = (−E/c, B) , Fµν = (E/c, B) .

Las dimensiones de F µν son

[F µν ] = N/A ·m .

Es importante comprobar que las componentes de los trivectores electrico y

magnetico son las componentes de un tensor antisimetrico de rango dos, el tensor

electromagnetico. De esta afirmacion deduciremos como cambian E y B en una

transformacion de Lorentz.

El sentido de las ecuaciones (4.37) se entiende facilmente, al dar valores al

ındice µ en (4.37). Las tres componentes espaciales µ = 1, 2, 3 son, en otra forma,

las ecuaciones (3.25); la componente temporal, con µ = 0, da la ecuacion del

trabajo (3.27). Alguien podrıa pensar que no tiene mucho interes poner esas

ecuaciones en formalismo de cuatro dimensiones si, al fin y al cabo, son las mismas.

Pero notese que en esta forma es evidente que se trata de una teorıa relativista

pues se cumple evidentemente el principio de covariancia: los dos miembros se

transforman de igual modo, los dos son cuadrivectores.

Lo mismo que hicimos antes, consideremos a la accion como una onda en

el espacio-tiempo. Para hacerlo fijemos el punto inicial, usemos la trayectoria

correcta y variemos solamente el punto final. Se tiene evidentemente

δS = −(muµ + eAµ) δxµ . (3.38)

Por tanto

− ∂S

∂xµ= muµ + eAµ = pµ + eAµ .

Como el primer miembro de esta ecuacion es el cuadrivector Pµ de los momentos

conjugados de la partıcula, resulta que este vale

P µ =

(Ecin + eΦ

c, p + eA

). (3.39)

Vemos que la componente cero de ese cuadrivector es la energıa cinetica mas la

potencial, como era de esperar.

3–12—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



3.6.1. Transformaciones de Lorentz del campo

Un vector y un tensor de segundo rango se transforman ası

R ′µ = aµρRρ , T ′µν = aµρ a

νσT

ρσ . (3.40)

Teniendo en cuenta la expresion conocida de las transformaciones de Lorentz,

x′ =x− vt√1− v2/c2

, x′ 1 = γ(x1 − vx0/c)

y′ = y , z′ = z , o sea x′ 2 = x2 , x′ 3 = x3 (3.41)

t′ =t− (v/c2)x√

1− v2/c2, x′ 0 = γ(x0 − vx1/c),

resulta que la matriz (aµρ) es igual a

aµρ =

1√

1−v2/c2

−v/c√1−v2/c2

0 0

−v/c√1−v2/c2

1√1−v2/c2

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

. (3.42)

Los potenciales se transforman como un vector, o sea

Φ′ =Φ− vAx√1− v2/c2

A′x =

Ax − vΦ/c2√1− v2/c2

A′y = Ay , A′

z = Az , (3.43)

y los campos electrico y magnetico cambian como componentes de un tensor de

rango dos en una transformacion de Lorentz a lo largo del eje x. Mas concreta-

mente ası

E ′x = Ex E ′

y =Ey − vBz√1− v2/c2

, E ′z =

Ez + vBy√1− v2/c2

(3.44)

B′x = Bx B′

y =By + vEz/c

2√1− v2/c2

, B′z =

Bz − vEy/c2√

1− v2/c2(3.45)

Prueba.

En primer lugar veamos que las componentes F 01 y F 23 no cambian, o sea

que Ex, Bx son las mismas en los dos sistemas.

F ′ 01 = −E ′x/c = a0

αa1βF

αβ = (a01a

10 − a0

0a11)F

01 = γ2(β2 − 1)Ex/c = −Ex/c ,

donde se ha usado (4.41). Analogamente para F 23.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–13


Por su parte las componentes (F 02, F 03) transforman como x0 y las (F 12, F 13),

como x1. Tambien se puede aplicar (3.40), por ejemplo

−E ′y/c = F ′ 02 = a0

αa2βF

αβ = (a00a

22 + a0

1a22)F

02 = γ(−Ey/c) + (−βγ)(−Bz) ,

de lo que resulta la ecuacion (4.42), usando (4.41), y analogamente con las demas.

Las ecuaciones (4.42)-(4.43) pueden escribirse tambien como

E′ = γ(E+v×B)− γ

γ + 1β(β ·E) , B′ = γ(B− v

c2×E)− γ

γ + 1β(β ·B) . (3.46)

En el caso de que la velocidad entre los dos sistemas sea pequena β 1,

tomando hasta los terminos en β, resulta

E ′x = Ex E ′

y = Ey − vBz , E ′z = Ez + vBy

B′x = Bx B′

y = By + vEz/c2 , B′

z = Bz − vEy/c2 ,

que en forma vectorial se escriben

E′ = E−B× v , B′ = B +1

c2E× v . (3.47)

Si en el sistema S no hay campo magnetico, B = 0, en el sistema S ′ ese campo

valdra

B′ =1

c2E× v . (3.48)

Notese que en S ′ los campos electrico y magnetico son perpendiculares.

3.6.2. Invariantes del campo

A partir del campo electromagnetico se pueden formar cantidades que no

varıan bajo una transformacion de Lorentz. Se llaman invariantes Lorentz. Pense-

mos en el tensor de rango cuatro Tαβγδ = FαβF γδ. Podemos hacer dos cosas con

el. (i) contraer sus ındices 1o y 3o y 2o y 4o; (ii) contraerlo con el tensor comple-

tamente antisimetrico eαβγδ. Resultan ası dos cantidades invariantes

FαβFαβ , eαβγδFαβFαβ , (3.49)

el primero es un escalar, es decir un tensor de rango cero; el segundo es un

pseudoscalar.

Tomando las expresiones anteriores del tensor electromagnetico, es facil cal-

cular los valores de estos invariantes que son, respectivamente,

FαβFαβ = 2 (B2 − E2/c2) , eαβγδFαβFαβ = 4E ·B/c . (3.50)

3–14—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.7. Campo electrico de una carga puntual en movimiento uniforme

Que estas cantidades sean invariantes significa que su valor es el mismo en

todos los sistemas inerciales. En particular si se anulan en un sistema, se anulan

siempre. Esto implica que si E y B son perpendiculares en un punto del espacio-

tiempo de un sistema inercial, lo son tambien en el punto correspondiente de

todos los demas. Si tienen el mismo modulo, ocurre lo mismo. Igual sucede si

E/c > B, o si E/c < B.

Una ultima observacion es conveniente para lo que se tratara en el proximo

capıtulo. Teniendo en cuenta que c2 = (ε0µ0)−1, y recordando que las densidades

de energıa electrica y magnetica son Ue = ε0E2/2 y Um = B2/2µ0, el primer

invariante puede escribirse en la forma

FαβFαβ = 2 (B2 − E2/c2) = 4µ0

(B2

2µ0

− ε0E2

2

)= 4µ0(Um − Ue) , (3.51)

y por tanto su integral espacial es proporcional a la diferencia entre las energıas

asociadas a los campos magnetico y electrico.

3.7. Campo electrico de una carga puntual en

movimiento uniforme

Sabemos que una carga puntual en reposo produce un campo culombiano, lo

que sugiere preguntar ¿que forma tiene el campo creado por una carga puntual

que se mueve con velocidad constante?

Consideremos dos sistemas inerciales S y S ′, el segundo moviendose con ve-

locidad v segun el eje x, con ejes paralelos y de modo que en el tiempo t = 0

coinciden los dos orıgenes (ver figura). Una carga esta en reposo en el origen del

sistema S ′. El observador esta en el punto P .

En el sistema S ′, el punto P tiene coordenadas x = −vt′, y = b, z = 0 y

su distancia al origen, donde esta la carga q, es r′ =√b2 + (vt′)2. Los campos

electrico y magnetico en S ′ son (desde aquı hasta la ecuacion (3.54) omitiremos

los factores 1/4πε0 y µ0/4π, para aligerar la escritura)

E ′x = −qvt

′

r′3, E ′

y =qb

r′3, E ′

z = 0 .

B′x = 0 , B′

y = 0 , B′z = 0 .

La relacion entre los tiempos en P es t′ = γ(t − xv/c2) = γt, pues xP = 0. Con

ello podemos expresar los campos anteriores en funcion de las coordenadas en S.

E ′x = − qγvt

(b2 + γ2v2t2)3/2, E ′

y =qb

(b2 + γ2v2t2)3/2, E ′

z = 0 . (3.52)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–15


Figura 3.1: Una carga puntual q moviendose con velocidad constante que pasa

con parametro de impacto b un punto de observacion

Usando las ecuaciones de la transformacion inversa de (4.43), resulta la expresion

de los campos en S

Ex = E ′x = − qγvt

(b2 + γ2v2t2)3/2

Ey = γE ′y =

γqb

(b2 + γ2v2t2)3/2(3.53)

Bz = γβE ′y = βEy .

Las demas componentes se anulan.

Las ecuaciones (3.53) expresan la dependencia de los campos en el punto de

observacion en funcion del tiempo. Tambien conviene conocer su valor en funcion

de las coordenadas espaciales en S, respecto a la posicion actual de la carga. Para

ello observemos en primer lugar que Ex/ey = −vt/b = −x/y, lo que indica que el

campo electrico esta dirigido radialmente desde la posicion de la partıcula en el

instante t. Como sus coordenadas verifican x2 + y2 = b2 + v2t2, el modulo de E,

E2 = e2x + E2y verifica

E2 =γ2q2(x2 + y2)

[(γx)2 + y2)3=

q2(x2 + y2)

γ4(x2 + y2/γ2)3=

q2(x2 + y2)

γ4[x2 + y2(1− β2)]3

=q2(x2 + y2)(1− β2)2

(x2 + y2)3[1− β2y2/(x2 + y2)]3=

q2(1− β2)2

(x2 + y2)3[1− β2 sen2 ψ]3,

donde el angulo ψ es el formado por el radio vector en S y la velocidad v de la

carga. Como consecuencia de todo lo anterior, el campo electrico es radial, pero

su moduloo depende de la direccion., de modo que vale

E =1

4πε0

qr

r3γ2(1− β2 sen2 ψ)3/2(3.54)

3–16—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.8. Partıcula cargada en un campo electrico uniforme y constante

Notese que en el lımite β → 0 se obtiene la ley de Coulomb. Solo hay isotropıa en

ese caso. El campo es mas intenso en la direccion perpendicular a la velocidad.

En la direccion del movimiento de la carga (ψ = 0, π) el campo es menor que en

el caso no relativista en un factor γ−2, mientras que en la direccion transversal es

mayor por un factor γ. En cierto modo, estos efectos pueden considerarse como

una consecuencia de la contraccion de FitzGerald.

Conviene hacer dos ultimas observaciones. Como se ha dicho, el campo E se

dirige radialmente al punto P , desde la posicion que tiene la carga en el mismo

instante de observacion. Concretando, si la carga paso en el tiempo t por el origen

del sistema S, un observador situado en cualquier punto comprueba que el campo

esta dirigido radialmente hacia el origen en ese momento t. Esto parece sorpren-

dente: da la impresion de que la fuerza se transmite de modo instantaneo, pero

¿como puede saber un observador lejano la posicion de la partıcula en el mismo

instante? En realidad no puede, pues eso serıa una violacion de la causalidad de

Einstein. La explicacion es que la partıcula venıa siguiendo un movimiento uni-

forme que pasarıa por el origen en el instante t y esa informacion era conocible

desde antes.

Cabe hacer otro comentario. El campo (3.54) no puede ser creado por ninguna

distribucion estatica de carga. Para ello consideremos un circuito C en forma de

trapecio curvilıneo, formado por dos arcos de circunferencia de radios R1 y R2,

centradas en la posicion de la partıcula, y dos radios desde ese punto. Esta claro

que la circulacion de E no es nula, por lo que se necesita un campo magnetico.

3.8. Partıcula cargada en un campo electrico

uniforme y constante

En lo sucesivo, usaremos la siguente notacion: un campo es uniforme si no

depende de la posicion y es constante si no depende del tiempo. Si el campo

electrico es constante, se expresa como E = −∇Φ, donde Φ = −E·r con la posible

adicion de una constante. Notese que esa adicion es la unica transformacion de

gauge permitida si E es constante y B = 0.

Como E es constante, el lagrangiano es independiente del tiempo, por lo que

la energıa se conserva. Su valor es

E =mc2√

1− (v2/c2)+ qΦ ,

siendo q el valor de la carga.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–17


Supongamos que, en el momento inicial, la carga tiene un momento lineal

p0. Su movimiento estara confinado al plano formado por los vectores E y p0.

Tomemos el caso en que sean perpendiculares, definiendo las coordenadas (x, y)

de modo que E = (E, 0) y p0 = (0, p0). La ecuaciones del movimiento son (el

sobrepunto indica derivada respecto a t))

px = qE, py = 0 ,

la trayectoria,

px = qEt , py = p0 .

y la energıa cinetica de la carga,

Ecin =√m2c4 + c2p2

0 + (cqETt)2 =√E2

0 + (cqEt)2

donde E0 es la energıa cinetica inicial. La velocidad verifica

v =pc2

Ecin

,

por lo que

dx

dt=

pxc2

Ecin

=c2qEt√

E20 + (cqEt)2

(3.55)

dy

dt=

pyc2

Ecin

=p0c

2√E2

0 + (cqEt)2(3.56)

Integrando estas ecuaciones, se tiene

x =1

qE

√E2

0 + (cqEt)2 , y =p0c

qEarcsinh

(cqEt

E0

). (3.57)

Por simplicidad, se han tomado iguales a cero las constantes de integracion. Elim-

inando el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores (recordando que cosh2 u −sinh2 u = 1), resulta como ecuacion de la trayectoria

x =E0

qEcosh

qEy

p0c, (3.58)

curva conocida como catenaria. En el caso no relativista, si v c, se puede

aproximar p0 = mv0 y E0 = mc2, con lo que la ecuacion de la trayectoria resulta

ser

x =qE

2mv20

y2 + const , (3.59)

es decir una parabola, como en el tiro parabolico, naturalmente.

3–18—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.9. Partıcula cargada en un campo magnetico uniforme y constante

3.9. Partıcula cargada en un campo magnetico

uniforme y constante

Tomamos el campo B en la direccion del eje z. La ecuacion del movimiento

toma la forma

p = q v ×B (3.60)

Como el sistema es independiente del tiempo, se conserva la energıa y, como el

trimomento vale p = Ev/c2, resulta

Ec2

v = q v ×B (3.61)

Eso se puede escribir en la forma

vx = ωvy , vy = −ωvx , vz = 0, (3.62)

donde la frecuencia ω, conocida como frecuencia del ciclotron, vale

ω =qc2B

E. (3.63)

Combinando las dos ecuaciones (3.62) resulta

vx + ivy = −iω(vx + ivy) ,

cuya solucion es

vx + ivy = ae−iωt ,

siendo a una cantidad compleja que se puede escribir como a = v0te−iα. Resulta

entonces que la trayectoria de la carga verifica

vx = v0t cos(ωt+ α) , vy = v0t sen(ωt+ α) . (3.64)

La constante v0t es la componente normal al campo magnetico de la velocidad en

el momento inicial. Integrando de nuevo

x = x0 + r sen(ωt+ α) , y = y0 + r cos(ωt+ α) (3.65)

siendo

r =v0t

ω=

v0tEqc2B

. (3.66)

La tercera ecuacion tiene la solcuion

z = z0 + v0zt . (3.67)

La trayectoria es una helice cuyo eje pasa por (x0, y0), es paralelo a B y cuyo

radio es r. Su paso de rosca es 2πvz/ω.

En el caso no relativista, la frecuencia vale

ω =qB

m. (3.68)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–19


3.10. Partıcula cargada en campos electrico y

magnetico uniformes y constantes

Consideramos ahora el movimiento de una carga puntual q de masa m, someti-

da a campos electrico y magnetico constantes y uniformes. Tomaremos solo el caso

no relativista en que la velocidad de la carga es pequena, v c y el momento

lineal se puede aproximar como p = mv. Elegimos el eje z segun la direccion de

B, estando el campo E en el plano yz. Las ecuaciones del movimiento son

mv = q(E + v ×B)

o sea

mx = qyB , my = qEy − qxB , mz = qEz . (3.69)

La solucion de la tercera es

z =qEz2m

t2 + v0zt+ z0 . (3.70)

Sumando la primera (3.69) con la segunda multiplicada por i, resulta

d

dt(x+ iy) + iω(x+ iy) = i

qEym

, (3.71)

donde ω = qB/m es el lımite no relativista de la frecuencia del ciclotron. La

solucion general de (3.71) es la general de la homognenea mas una particular de

la completa. La primera es ae−iωt con a una constante de integracion compleja,

la segunda puede ser qEy/mω = Ey/B, es decir

(x+ iy) = ae−iωt +EyB. (3.72)

La constante se puede escribir como a = beiα, con b real. Eligiendo adecuadamente

el origen del tiempo (mas concretamente, redefiniendo el tiempo de t a tnuevo =

t− α/ω, se puede eliminar la fase α, o sea tomar a real. Resulta entonces

x = a cosωt+EyB, y = −a senωt . (3.73)

Las constantes de integracion se han elegido de tal modo que, en el instante inicial,

la velocidad de la carga es paralela al eje y. Las dos componentes de la velocidad

son periodicas, siendo sus valores medios en el tiempo

〈x〉 =EyB, 〈y〉 = 0 .

3–20—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.10. Partıcula cargada en campos electrico y magnetico uniformes y constantes

Figura 3.2: Proyeccion en el plano xy de la trayectoria de una carga en dos campos

E y B cruzados, en los casos |a| > Ey/B, |a| < Ey/B y |a| = Ey/B

Esto significa que aparece una velocidad en la direccion perpendicular al plano

que contiene los vectores E y B, calificada como velocidad de deriva (drift velocity

en ingles). Su valor es

vderiva =E×B

B2, (3.74)

y se superpone a una velocidad periodica con frecuencia ω. Hemos supuesto que

el tratamiento no relativista da una buena aproximacion, para lo cual se necesita

queEyB 1 ,

siendo los valores de Ey y B totalmente arbitrarios mientras verifiquen la relacion

anterior. Integrando ahora las ecuaciones (3.73), con las condiciones iniciales x =

y = 0 en t = 0, resulta

x =a

ωsenωt+

EyBt , y =

a

ω(cosωt− 1) . (3.75)

Si a = −Ey/B, la solucion es

x =EyωB

(ωt− senωt) y =EyωB

(1− cosωt) , (3.76)

curva conocida como cicloide. Los otros casos corresponden a las llamadas epici-

cloide e hipocicloide.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–21


3.11. Ejercicios

3.1 A partir de la expresion tridimensional del lagrangiano de una partıcu-

la cargada en un campo electrico, deducir el hamiltoniano siguiendo el mismo

metodo que el dinamica clasica.

3.2 Estudiar si la densidad lagrangiana del campo electromagnetico es invari-

ante bajo transformaciones de gauge y discutir las consecuencias de que lo sea o

no.

3.3 Estudiar la trayectoria de una carga puntual en un campo electro-

magnetico constante y uniforme cuyos vectores electrico E y magnetico B son

paralelos.

3.4 ¿Existe la posibilidad de que un campo electromagnetico sea puramente

electrico en un sistema inercial y puramente magnetico en otro? ¿Que condicion

debe cumplirse en un sistema S para que E = 0 en otro sistema S ′.

3.5 En un cierto sistema de referencia S se tiene un campo electromagnetico

uniforme E, B. Se busca un sistema S ′ en el que E′ ‖ B′. ¿Tendra siempre

solucion este problema? Si la tiene, ¿es unica? En tal caso, hallar la velocidad v

de S ′ respecto a S y determinar E′ y B′.

3.6 En una onda electromagnetica progresiva en el vacıo, el campo electrico

tiene la expresion E = E0ei(kx−ωt)uy.

a) ¿Hay algun otro sistema de referencia en el que el campo sea puramente

electrico o puramente magnetico?

b) Encontrar alguna razon por la que la fase deba ser invariante.

3.7 Una densidad lagrangiana empleada algunas veces para el campo electro-

magnetico es

L = − 1

2cµ0

∂µAν∂µAν +

1

cjµAµ .

Compararla con la estandar, usada en este curso, examinando bajo que condi-

ciones conduce a las ecuaciones de Maxwell.

3.8 Sea un haz cilındrico y uniforme de electrones cuyo radio es a. El haz ha

sido acelerado mediante una ddp V y lleva una intensidad de corriente total I.

Hallar la fuerza electro magnetica sobre un electron cualquiera del haz.

3.9 Una partıcula de carga e y masa m se mueve en un campo electrostatico

3–22—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.11. Ejercicios

de potencial Φ = k(x2 − y2), con k > 0. La posicion y la velocidad iniciales son

r0 = (x0, y0, z0) y v0 = (0, 0, v0).

a) Escribir las ecuaciones relativistas del movimiento.

b) Determinar la trayectoria en la aproximacion no relativista.

3.10 Dos cargas +q y −q estan situadas en los puntos (0, 0±d/2) del sistema

de referencia S. En un cierto instante se mueven con velocidades (±v, 0, 0). a)

Determinar los campos electrico y magnetico, ası como las fuerzas entre las dos

cargas en ese instante. b) Mismas cuestiones en los sistemas S ′ y S ′′ en que +q y

−q estan en repos, respectivamente.

3.11 Un cierto selector de velocidades consiste en dos placas cilındricas muy

proximas, entre las que se aplica una diferencia de potencial constante V , con el

objeto de que las partıculas cargadas describan una trayectoria curvada, de modo

que solo salgan del selector las que han entrado con la velocidad v0. Como la

distancia d entre las placas es muy pequena, el campo electrico puede suponerse

uniforme en modulo.

a) Escribir las ecuaciones relativistas del movimiento para una de las cargas

incidentes con velocidad v0.

b) Determinar la relacion entre v0 y la diferencia de potencial aplicada V para

que salga del selector.

3.12 Hallar el momento canonico y la fuerza generalizada en el caso de una

partıcula cargada en el campo electromagnetico dado por (Φ, A). Interpretar

fısicamente el resultado, buscando en los libros si es necesario (p. ej. en Feynman,

vol. 2).


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–23


3–24—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


Capıtulo 4

Formulacion relativista

lagrangiana de la electrodinamica

clasica II

4.1. El primer par de ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de maxwell son

∇ ·B = 0, ∇× E = −∂B∂t

, (4.1)

∇ · E =ρ

ε0, ∇×B = µ0 j + ε0µ0

∂E

∂t. (4.2)

Las ecuaciones (4.1) y (4.2) se conocen como el primer par y el segundo par de

ecuaciones de Maxwell, respectivamente.

Las del primer par, mas que ecuaciones del movimiento, son condiciones cin-

ematicas que deben cumplir los campos E y B. Son consecuencia directa de la

existencia de un cuadripotencial (Φ/c,A) y de las definiciones

E = −∇Φ− ∂tA B = ∇×A ,

como se puede comprobar facilmente, teniendo en cuenta que las derivadas espa-

ciales y temporales conmutan.

Forma integral. Las dos primeras ecuaciones de Maxwell se pueden poner

en forma integral, usando los teoremas de Gauss y de Stokes.∫S

B · n dS = 0 ,

∫C

E · dr = −∂∂t

∫S

B · n dS , (4.3)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

4–1

Capıtulo 4. Formulacion relativista lagrangiana de laelectrodinamica clasica II

donde S es una superficie cerrada en la primera y en la segundo S esta bordeada

por C = ∂S. El vector n es unitario y normal a la superficie. Estas dos ecuaciones

pueden expresarse ası:

i) El flujo del campo magnetico a traves de una superficie cerrada es siempre

nulo (no existen cargas magneticas).

ii) La circulacion del campo electrico a lo largo de una cueva cerrada es igual

a menos la derivada temporal del flujo magnetico a traves de una superficie cuyo

borde es C (en esta forma es la ley de la induccion de Faraday; la circulacion de

E es la fuerza electromotriz).

Ahora nos interesa poner esas ecuaciones en forma relativista cuadridimen-

sional. Es facil comprobar que (4.1) son equivalentes a ∂αFβγ+∂βFγα+∂γFαβ = 0,

siendo (α, β, γ) una terna cualquiera de (0, 1, 2, 3). Escrito de otro modo, eso es

∂Fβγ∂xα

+∂Fγα∂xβ

+∂Fαβ∂xγ

= 0 . (4.4)

Notese que se trata de cuatro ecuaciones en derivadas parciales. De hecho el

primer miembro de (4.4) es un tensor de rango 3 completamente antisimetrico.

Solo tiene cuatro componentes distintas (salvo el signo) que corresponden a las

cuatro maneras en que los tres ındices pueden ser distintos. Es facil ver, teniendo

en cuenta las expresiones del tensor electromagnetico en el capıtulo anterior que

i) si (α, β, γ) = (1, 2, 3) se obtiene la primera ecuacion (4.1).

ii) Si uno de los ındices es igual a cero, hay tres posibilidades para los otros

dos, que llevan a las tres componentes de la segunda ecuacion (4.1). El primer

par se puede escribir tambien como

eαβγδ∂Fβγ∂xα

= eαβγδ∂αFβγ = 0 , (4.5)

en forma manifiestamente covariante.

4.2. La accion del campo electromagnetico

Para estudiar el movimiento de una partıcula cargada en un campo electro-

magnetic exterior ( y fijo!) tomamos una accion suma de dos terminos

S = Sp + Sint =

∫ 2

1

(−mcds− eAµdxµ) , (3.15)

que corresponden a la partıcula y la accion del campo sobre ella, respectivamente.

4–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


4.2. La accion del campo electromagnetico

Si consideramos un sistema formado por la partıcula y el campo en interaccion,

de modo que los dos se ven sometidos a cambios producidos mutuamente, ten-

dremos que considerar tres terminos, los dos de antes y un tercero para describir

la dinamica interna del propio campo electromagnetico.

S = Sp + Sem + Sint . (4.6)

Lo que necesitamos, pues, es saber cual es la buena eleccion para el nuevo temino

Sem. Como criterios parece razonable usar los siguientes.

i) Como la teorıa debe ser relativista, es decir invariante Lorentz, la accion

debe ser la integral extendida al espacio de una funcion escalar de los campos E

y B.

Sem =

∫f(Fµν) d3xdt .

El lagrangiano es entonces Lem =∫f(Fµν) d3x. La funcion f se conoce como

densidad lagrangiana.

ii) Debido al principio de superposicion, es preciso que las ecuaciones del

campo electromagnetico sean lineales en Fµν , para lo cual la funcion f debe ser

cuadratica en Fµν .

Ocurre que la unica cantidad que es cuadratica en los campos E y B y a la vez,

es un escalar es f = aFµνFµν , donde a es un factor constante. Ademas y segun

se vio al final del capıtulo anterior, FµνFµν = 4µ0(Um − Ue). Esto signfica que si

tomamos a = −1/4µ0, tedremos un lagrangiano igual a L =∫

(Ue−Um) d3x, que

se parece mucho a la expresion para un sistema de partıculas L = T − U , usada

en mecanica lagrangiana. Esto significa que consideramos a las energıas electrica

y magnetica de un campo electromagnetico como analogas a las energıas cinetica

y potencial de un sistema de partıculas (el signo menos de a resulta necesario

para obtener las buenas ecuaciones, como veremos enseguida). Con ese valor de

a, la accion del campo electromagnetico vale

Sem = − 1

4µ0

∫FµνF

µν d3xdt =

∫ (ε0E

2

2− B2

2µ0

)d3xdt . (4.7)

Como consecuencia, la accion del sistema toma la forma

S = Sp + Sint + Sem =

∫ 2

1

∑(−mcds− eAµdx

µ)− 1

4µ0c

∫FµνF

µν dΩ , (4.8)

donde dΩ = c dt dx dy dz y el sumatorio esta para incluir el caso de varias cargas

puntuales.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

4–3


4.3. El cuadrivector corriente

Aunque la carga esta cuantizada y va siempre en multiplos enteros de e, con-

viena a menudo considerarla como distribuida de modo continuo con una funcion

densidad ρ(r, t). Ademas existe un vector corriente j = ρv. ¿Como se expresan

estas cantidades en el formalismo cuadridimensional? Es necesario contestar a

esta pregunta. Por ejemplo, la carga es una magnitud invariante, por lo que ρ d3x

lo es tambien. Se sigue que ρ no lo es.

Si tenemos un conjunto de cargas puntuales, la densidad es

ρ =∑k

ek δ(r− rk) , (4.9)

donde ek y rk son la carga y la posicion de la partıcula k-esima. Sea el elemento

diferencial

de dxµ = ρ d3x dxµ = ρ d3x dtdxµ

dt.

El primer miembro es un cuadrivector (pues el elemento de carga de es un es-

calar), por lo que el tercer miembro debe serlo tambien. Como d3xdt = dΩ/c

es un escalar, resulta que ρ(dxµ/dt) debe ser un cuadrivector, que llamaremos

cuadrivector corriente o cuadricorriente, denotado por jµ,

jµ = ρdxµ

dt= (cρ, j) , (4.10)

con

j = ρv.

La carga total en un volumen tridimensional V es∫VρdV . La que hay en todo

el espacio en forma cuadridimensional es∫ρ d3x =

1

c

∫j0d3x =

1

c

∫jµdSµ ,

donde la ultima integral se extiende a una seccion t = constante o, mas en general,

a una superficie tridimensional infinita de tipo espacio. Es la misma para todas

las tales superficie tridimensionales, pues esa integral es igual a las suma de todas

las cargas cuyas lineas de universo cortan a esa superficie.

Es posible reescribir el termino de interaccion en(4.8) como

−∫eAµ dxµ = −

∫ρ d3xAµ

dxµ

dtdt = −

∫jµAµ dt d3x = −

∫jµAµ

dΩ

c,

con lo que la accion toma la forma

S = −∑∫ 2

1

−mcds− 1

c

∫Aµj

µ dΩ− 1

4µ0c

∫FµνF

µν dΩ , (4.11)

4–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


4.4. El segundo par de ecuaciones de Maxwell

4.3.1. La ecuacion de continuidad

Esta ecuacion tiene gran importancia en varias ramas de la fısica. Su expresion

casica es∂ρ

∂t+ ∇ · j = 0 .

Puesto que xµ = (ct, r) y jµ = (cρ, j), la ecuacion de continuidad se escribe ası en

forma cuadridimensional

∂µjµ =

∂jµ

∂xµ= 0 , (4.12)

como se puede comprobar con facilidad.

Notese que el primer miembro se puede considerar, a efectos de covariacia,

como el producto escalar de los vectores ∂µ y jµ.


Las ecuaciones del movimiento de las partıculas se obtuvieron variando sus

coordenadas xµ. El primer par de ecuaciones de Maxwell son consecuencia de la

existencia de un cuadrivector potencial Aµ del que se deducen los campos E y B.

El segundo par

∇ · E =ρ

ε0, ∇×B = µ0 j + ε0µ0

∂E

∂t, (4.13)

se obtiene variando el campo Aµ en la expresion de la accion (4.11). Notese que

esto implica que se concede un valor fundamental al cuadripotencial, sin duda

porque determina unıvocamente a los campos E, B, cosa que no ocurre al reves.

Esta es una situacion curiosa. El campo vectorial Aµ tiene cuatro grados de

libertad en cada punto del espacio, mientras que el tensor F µν o, equivalente-

mente, el par E, B tienen seis. Como estos dos campos quedan determinados

por el potencial, se deduce que hay una redundancia en ellos: solo cuatro de sus

seis grados de libertad pueden ser independientes. Pero tambien debe haber re-

dundancia en Aµ pues tenemos la libertad de elegir el gauge, haciendo que se

cumplan las condiciones de Lorenz o de Coulomb, por ejemplo, si ası nos con-

viene. De hecho, se muestra en Electrodinamica Cuantica (conocida a menudo

por las siglas inglesas QED), que solo hay dos grados de libertad independientes

en cada punto, correspondientes a los dos estados de polarizacion posibles para el

foton. En resumen, parece que nos vemos obligados a usar mas campos de lo que

serıa estrictamente necesario para tener una teorıa formulable. Esta es una carac-

terıstica de las llamadas teorıas gauge, de las que el electromagnetismo es un caso


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

4–5


particular y que son las base de nuestro entendimiento actual de las partıculas

elementales.

Conviene hacer algunas observaciones.

i) Lo mismo que en el caso de la mecanica de partıculas puntuales, la integral

de accion se extiende entre dos tiempos t1 y t2. La integral espacial cubre todo el

tri-espacio. En otras palabras, los intervalos de integracion son

t1 ≤ t ≤ t2 , −∞ < x, y, z <∞ .

Dicho de otro modo, la integral de accion Sint + Sem es de la forma

S = −∫ t2

t1

dt

∫ ∞

−∞dx

∫ ∞

−∞dy

∫ ∞

−∞dz

(Aµj

µ +1

4µ0

FµνFµν

),

ii) Las variaciones del campo Aµ se anulan en los tiempos t1, t2. O sea

Aµ(r, t) → Aµ(r, t) + δAµ(r, t)

de modo que

δAµ(r, t1) = 0 , δAµ(r, t2) = 0 .

Un ejemplo: δAµ = aµe−(r/r0)2 sen[π(t− t1)/(t2− t1)], siendo r0 una longitud dada

y aµ un cuadrivector, ambos arbitrarios.

Por simplicidad, supondremos tambien que δAµ se anula en el infinito espacial,

aunque esta restriccion puede eliminarse.

iii) Se supone que los campos tienden convenientemente a cero en el infinito

espacial, o sea Aµ, E, B → 0, si r →∞.

iv) La derivada parcial conmuta con la variacion, o sea

δ∂Aν∂xµ

=∂δAν∂xµ

(4.14)

Obtencion del segundo par. Como antes se advirtio, tenemos que variar

solo el cuadripotencial en la expresion de la accion, de donde

δS = −1

cδ

∫ [Aµj

µ +1

4µ0

FµνFµν

]dΩ ,

donde, recordemos, Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. Se dice que la densidad lagrangiana L y

el lagrangiano L del campo electromagnetico son

L = − 1

4µ0

FµνFµν , L =

∫L d3x .

4–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



L tiene dimensiones de energıa y L, de densidad de energıa.

Teniendo en cuenta que FµνδFµν = F µνδFµν , resulta

δS = −1

c

∫ [δAµj

µ +1

2µ0

F µνδFµν

]dΩ

= −1

c

∫ [jµδAµ +

1

2µ0

F µν

(∂

∂xµ(δAν)−

∂

∂xν(δAµ)

)]dΩ .

En el ultimo termino de la segunda lınea anterior, intercambiamos los ındices

mudos µ y ν y tenemos en cuenta que F µν = −F νµ, lo que nos lleva a

δS = −1

c

∫ [jµδAµ +

1

µ0

F µν

(∂

∂xµ(δAν)

)]dΩ .

Ahora se integra por partes el segundo termino del integrando, lo que equivale a

usar la identidad

F µν

[∂

∂xµ(δAν)

]=

∂

∂xµ[F µν(δAν)]−

[∂F µν

∂xµ

](δAν)

No es difıcil comprender que el primer termino del segundo miembro no con-

tribuye a la integral o, en otras palabras,∫∂µ(F

µνδAν)dtd3x = 0 .

En efecto, tras integrar en el tiempo, el termino con µ = 0 queda∫F 0νδAν

∣∣t2t1

d3x = 0 ,

porque las variaciones se anulan en los extremos del intervalo temporal. El mismo

razonamiento muestra que los terminos con µ = 1, 2, 3 se anulan tambien, debido

a que tanto E, B como δAµ se anulan en el infinito espacial. Llegamos ası a

δS = −1

c

∫ [jµδAµ −

1

µ0

∂F µν

∂xµδAν

]dΩ

= −1

c

∫ [jν − 1

µ0

∂F µν

∂xµ

]δAν dΩ = 0 .

Para que esa integral se anule para cualquier variacion δAν es necesario y

suficiente que la cantidad entre parentesis cuadrados se anule, es decir que

∂F µν

∂xµ= µ0j

ν , (4.15)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

4–7


que forma un conjunto de cuatro ecuaciones en derivadas parciales, precisamente

el segundo par. Se puede escribir tambien en notacion mas economica y elegante

como

∂µFµν = µ0j

ν . (4.16)

Para ver que se trata realmente del segundo par, tomemos primero ν = 0. Susti-

tuyendo, resulta de inmediato que (4.15) es

∇ · E = ρ/ε0 . (4.17)

Si tomamos las tres ecuaciones correspondientes a ν = 1, 2, 3, resultan ser

∇×B = µ0j + ε0µ0∂E

∂t(4.18)

Resumen. Podemos resumir las ecuaciones encontradas en la forma

Ec. partıcula:dp

dt= −e ∂A

∂t− e∇Φ + ev × (∇×A)

= e(E + v ×B) ,

(4.19)

Primer par:∂Fβγ∂xα

+∂Fγα∂xβ

+∂Fαβ∂xγ

= 0 ,

(4.20)

Segundo par∂F µν

∂xµ= µ0j

ν .

(4.21)

Notese que la primera de estas ecuaciones se obtiene al variar las coordenadas

xj de la partıcula en la integral de accion. El primer par de Maxwell es una

consecuencia de la existencia de los potenciales Aµ ≡ (Φ/c,A). El segundo par

se obtiene variando el potencial Aµ en la integral de accion. En el primer par,

hay que tomar las cuatro ternas formadas con los ındices (0,1,2,3), y que, en el

segundo, los cuatro valores posibles de ν. Cada par consta de una ecuacion escalar

y una vectorial.

4.4.1. Forma integral del segundo par de Maxwell.

Lo mismo que ocurre con el primero, es posible formular el segundo par de

forma integral. Con ν = 0 toma la forma (4.17) que, integrada en un volumen V

bordeador po S = ∂V , toma la forma∫V

∇ · E d3x =∫SE · n da. Aplicando el

teorema de Gauss esto es ∫S

E · n da =q

ε0, (4.22)

4–8—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


4.5. Densidad de energıa y flujo de energıa

, siendo n un vector unitario saliente de la superficie, o sea: El flujo del campo

electrico a traves de una superficie cerrada S es igual a la carga total encerrada

por S sobre ε0.

Tomando ahora la ecuacion (4.18) e integrandola en una superficie abierta S

cuyo borde es ∂S = C, el teorema de Stokes implica que∫S(∇ × B) · n da =∫

CB · d`. Definiendo la corriente de desplazamiento jD = ∂D/∂t, con D = ε0E,

la ecuacion toma la forma ∇×B = µ0(j + jD). Resulta ası∫C

B · d` = µ0(I + ID) , (4.23)

donde I =∫Sj · n da, ID =

∫SjD · n da o sea La circulacion del campo magnetico

a lo largo de una curva cerrada C es igual a la corriente total, suma de la de

cargas y la de desplazamiento, que atraviesa una superficie S cuyo borde es C,

mutiplicada por µ0. Notese que esta ley es la generalizacion al caso dinamico de

la ley de Ampere del caso estatico.

4.5. Densidad de energıa y flujo de energıa

Podemos multiplicar los dos lados de la segunda (4.1) por E y los de (4.18)

por B, obteniendo

H · (∇× E)− E · (∇×H) = −H · ∂B∂t

− E˙∂D

∂t− E · j (4.24)

donde D = ε0E y H = B/µ0 son los vectores desplazamiento e intensidad

magnetica. El primer miembro es igual a ∇ · (E×H), por lo que se sigue

∇ · (E×H) = −H · ∂B∂t

− E · ∂D∂t

− E · j. (4.25)

Suponiendo que D, B, j dependen linealmente de E, H,E, esta ecuacion puede

escribirse como

∇ · (E×H) = − ∂

∂t

1

2[E ·D + B ·H]− j · E. (4.26)

El segundo miembro tiene una interpretacion clara: con un cambio de signo, es

la derivada respecto al tiempo de la suma de las densidades de energıas electrica

y magnetica mas el calentamiento Joule por unidad de volumen.

Definiendo el vector de Poynting

S = E×H , (4.27)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

4–9


siendo la densidad de energıa del campo

u =1

2[E ·D + B ·H] =

[ε0E

2

2+B2

2µ0

]=

1

2µ0

[E2

c2+B2

], (4.28)

e integrando la ecuacion anterior en el volumen V , bordeado por S, y aplicando

el teorema de Gauss, se llega de inmediato a

−∫V

j · E dv =d

dt

∫V

u dv +

∫S

(E×H) · n da . (4.29)

Esta ecuacion integral es muy importante, pues se trata de la conservacion de la

energıa. Podemos escribir (4.29) en la forma

∂u

∂t+ ∇ · S = −j · E . (4.30)

Las dos ecuaciones anteriores (4.29) y (4.30) son los enunciados integral y difer-

encial del teorema de Poynting.

La interpretacion de (4.30) es clara: el segundo miembro es la energıa por

unidad de volumen que pierde el campo electromagnetico debido al efecto Joule

(o sea la energıa transferida del campo a la agitacion termica de la materia); el

primer sumando del primer termino es la variacion local de la densidad de energıa

y ∇ · S es la densidad de flujo de energıa electromagnetica, es decir la energıa

electromagnetica que atraviesa una unidad de superficie normal a S por unida de

tiempo. Integrada en un volumen V cualquiera (y transformando el termino con

S en una integral en la superficie S que bordea a V ) la ecuacion (4.30) toma la

forma integral (4.29), la cual nos dice que la variacion de energıa electromagnetica

en ese volumen se debe a (i) el efecto Joule y (ii) al flujo de energıa a traves del

borde de V , representada esta por el vector de Poynting.

En el caso de un conjunto de partıculas puntuales moviendose en el vacıo, y

tomando la integral hasta el infinito (de modo que la integral de superficie en

(4.29) se anula), la integral de volumen∫

j ·Edv es igual a la suma∑ev ·E sobre

las cargas, o sea a ∑ev · E =

d

dtEcin .

La ecuacion (4.29) se puede escribir en la forma

d

dt

[1

2µ0

∫ (E2/c2 +B2

)dv +

∑Ecin]

= 0 , (4.31)

o sea que la suma de la energıa de campo y las energıas cineticas de las cargas

permanece constante.

La idea importante de esta seccion es que u es la densidad de energıa electro-

magnetica almacenada en el campo y S es la densidad de flujo de energıa.

4–10—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


4.6. El tensor de energıa-momento


Estudiaremos en esta seccion un tensor de dos ındices T µν que expresa como

se mueve la densidad de energıa y momento lineal de un campo electromagnetico.

Tomando un punto de vista mas general, consideremos la accion de un sistema

cualquiera de campos qk(r, t) (siendo el campo electromagnetico en caso particu-

lar)

S =1

c

∫L(q,

∂q

∂xµ

)dΩ (4.32)

donde L es la densidad lagrangiana, siendo el lagrangiano

L =

∫L d3x .

Recordemos que L tiene dimensiones de energıa y L, de densidad de energıa.

En primer lugar, veamos como se obtienen las ecuaciones del movimiento a

partir de la condicion δS = 0, con la integral extendida a todo el espacio y entre

dos tiempos t1, t2) en los que se anulan las variaciones. Para simplificar la notacion

escribiremos

∂µq =∂q

∂xµ= q, µ .

Se tiene entonces, usando el convenio de los ındices repetidos de Einstein,

δS =1

c

∫ (∂L∂q

δq +∂L∂q, µ

δq,µ

)dΩ

=1

c

∫ ∂L∂q

δq − δq∂

∂xµ∂L∂q, µ

+∂

∂xµ

(∂L∂q, µ

δq

)dΩ = 0 .

Aplicando el teorema de Gauss al tercer termino de la integral, se muestra que

no contribuye a la integral (suponiendo que los campos decrecen suficientemente

deprisa en el infinito), por lo que queda

δS =1

c

∫ ∂L∂q

− ∂

∂xµ∂L∂q, µ

δq dΩ = 0 .

Como la variacion δq es arbitraria, se deben cumplir las ecuaciones del movimiento

∂

∂xµ∂L∂q, µ

− ∂L∂q

= 0 , (4.33)

donde se sobreentiende que hay que sumar en los ındices repetidos y que hay en

realidad n ecuaciones como la anterior

∂

∂xµ∂L∂qk, µ

− ∂L∂qk

= 0 , k = 1, . . . , n . (4.34)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

4–11


Escribamos ahora∂L∂xµ

=∂L∂q

∂q

∂xµ+

∂L∂q, ν

∂q, ν∂xµ

Usando las ecuaciones del movimiento y teniendo en cuenta que q, µν = q, νµ, re-

sulta∂L∂xµ

=∂

∂xν

(∂L∂q, ν

)q, µ +

∂L∂q, ν

∂q, µ∂xν

=∂

∂xν

(q, µ

∂L∂q, ν

). (4.35)

Como tambien se puede escribir

∂L∂xµ

= δνµ∂L∂xν

,

e introduciendo la notacion

T νµ = q, µ

∂L∂q, ν

− δνµL (4.36)

resulta que (4.35) se puede escribir como

∂T νµ

∂xν= 0 . (4.37)

El tensor T µν es el tensor de energıa-momento. Como se ve tiene las mismas

dimensiones que la densidad de lagrangiano, o sea densidad de energıa (julios por

metro cubico).

La eq. (4.37) significa que cada uno de los cuatro “cuadrivectores”

(T 0ν , T 1ν , T 2ν , T 3ν) obedece a una ecuacion de continuidad, de modo que las

cantidades

T µ =

∫T µ0 d3x , (4.38)

son constantes. T µ tiene dimensiones de energıa. Se dice que T µν es un tensor

conservado. ¿Cual es el significado de sus componentes?

En primer lugar,

T 00 = q∂L∂q

− L ,

donde el sobrepunto indica derivada parcial respecto al tiempo. Recordemos que

para un sistema natural (o sea cuya energıa cinetica es una funcion homogena

cuadratica de las velocidades), la energıa es igual a

E =∑k

qk∂L

∂qk− L = T + U .

Esto hace pensar de inmediato que T 00 es la densidad de energıa, como es cierto

en verdad. Teniendo en cuenta que el cuadrivector energıa-momento es (E/c,p)

4–12—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



o bien (E , cp), no cabe duda de que las otras tres densidades son las de las tres

componentes del momento lineal multiplicadas por c, o sea

E =

∫T 00 d3x , P k =

1

c

∫T 0k d3x . (4.39)

siendo E y P la energıa y el momento lineal totales del campo electromagnetico.

Un punto importante sobre el que conviene advertir es que la definicion de

tensor energıa-momento no es unica, pues si χµνρ es un tensor dependiente del

campo elecromagnetico y antisimetrico en sus ındices segundo y tercero, es decir

si χµνρ = −χµρν , el tensor

T µν +∂

∂xρχµνρ (4.40)

obedece tambien la ecuacion de continuidad (4.38) porque ∂2χαβγ/∂xβ∂xγ = 0.

Hay que suponer que el tensor χ tiende a cero en el infinito, suficientemente

deprisa. De esta propiedad se sigue que la energıa y el momento lineal totales no

cambian en la operacion (4.38)∫V

∂γχ0kγ dx3 =

∫S

χ0kjnj da = 0 ,

pues basta con aplicar el teorema de Gauss para transformar esa integral de

volumen en otra de χ0kγ a traves de la esfera de radio R con R→∞.

Por tanto, el cuadrimomento T µ del campo sı esta unıvocamente definido,

aunque el tensor T µν no lo este. Es posible dar una definicion mas profunda

de tensor de energıa-momento, pero tambien mas compleja por usar conceptos

de Relatividad General, que conduce necesariamente a un tensor simetrico1. Sin

entrar en ella y pues conviene usar un tensor simetrico, podemos conseguirlo im-

poniendo una condicion fısica: que el cuadritensor de momento angular se exprese

en terminos del cuadrimomento en la forma

Mαβ =

∫(xαdP β − xβdPα) =

∫(xαT βγ − xβTαγ) dSγ , (4.41)

donde dSγ es el elemento diferencial del volumen tridimenional (ver final del

capıtulo 2). Recordemos que, en el caso de un sistema de partıculas

Mµν =∑

(xµpν − xνpµ)

Notese que, tomando una seccion t = constante del espacio-tiempo, dSγ =

(d3x,0). Para que eso ocurra y, ademas, el momento angular se conserve se nece-

sita que la divergencia de Mαβ se anule, o sea que

∂

∂xγ(xαT βγ − xβTαγ) = 0 ,

1Ver el libro de Landau y Lifshitz, seccion 94


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

4–13


de lo que se sigue que

Tαβ = T βα , (4.42)

O sea que el tensor de energıa-momento debe ser simetrico. La expresion (4.36)

no es simetrica. Se conoce como tensor canonico energıa-momento, por oposicion

al tensor simetrico energıa-momento.

4.6.1. Sentido de las componentes de T µν.

La ley de conservacion (4.37) se puede descomponer en dos partes

1

c

∂T 00

∂t+∂T 0k

∂xk= 0 ,

1

c

∂T i0

∂t+∂T ik

∂xk= 0 . (4.43)

Integremos la primera ecuacion sobre un volumen tridimensional V , con borde

S = ∂V .1

c

∂

∂t

∫V

T 00d3x+

∫V

∂T 0k

∂xkd3x = 0

y aplicando el teorema de Gauss a la segunda integral

∂

∂t

∫V

T 00d3x = −c∫S

T 0knkda , (4.44)

siendo n el vector unitario normal a la superficie S. Esta ecuacion dice que la

variacion de la energıa electromagnetica dentro de V por unidad de tiempo es

igual a menos el flujo del vector (cT 01, cT 02, cT 03).

Hacienco lo mismo con la segunda ecuacion (4.43), resulta

∂

∂t

∫V

T j0d3x = −c∫S

T jknkda . (4.45)

Esto indica que las componentes T jk son las densidades de corriente del momento

lineal P j, lo que tambien se llama tensor tridimensional de densidad de flujo de

momento o tambien tensor de tensiones de Maxwell T(M)(ij) o Θij.

4.6.2. Expresion de las componentes del tensor energıa-

momento canonico.

Tomemos la densidad lagrangiana usada anteriormente

L = − 1

4µ0

∫FµνF

µν , (4.46)

4–14—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



Como campos fundamentales tomaremos las componentes del cuadrivector po-

tencial Aµ ≡ (Φ/c,A). Resulta entonces

T 00 =ε0E

2

2+B2

2µ0

+1

µ0c2∇ · (ΦE)

T 0k =1

µ0c(E×B)k +

1

µ0c∇ · (AkE) (4.47)

T k0 =1

µ0c(E×B)k +

1

µ0c

[(∇× ΦB)k − ∂0(ΦEk)

].

(se han usado las relaciones ∇ · E = 0 and ∇×B = ∂E/c∂x0.)

4.6.3. Tensores energıa-momento canonico

y simetrico

El tensor canonico energıa-momento es igual a

T βα =

∂Aρ∂xα

∂L∂(∂Aρ/∂xβ)

− δβαL . (4.48)

la variacion de la densidad lagrangiana vale

δL = − 1

2µ0

F µνδFµν = − 1

2µ0

F µν

(δ∂Aν∂xµ

− δ∂Aµ∂xν

).

Teniendo en cuenta la antisimetrıa de F µν , eso resulta

δL = − 1

µ0

F µν δ∂Aν∂xµ

, ⇒ ∂L∂(∂Aν/∂xµ)

= − 1

µ0

F µν ,

por lo que la expresion del tensor canonico de energıa-momento es

T βα = − 1

µ0

∂Aρ∂xα

F βρ +1

4µ0

δβαFµνFµν ,

que, en forma contravariante, es

Tαβ = − 1

µ0

∂Aρ

∂xαF β

ρ +1

4µ0

gαβFµνFµν . (4.49)

Como se ve, este tensor canonico no es simetrico, pero si le anadimos la cantidad

1

µ0

∂Aα

∂xρF β

ρ =1

µ0

∂

∂xρ

(AαF βρ

),

pues, en ausencia de cargas ∂ρF βρ = 0. Ya vimos que anadir la divergencia del

tensor de rango tres χαβρ = AαF βρ no cambia ni la energıa ni el momento lineal,

pero el nuevo tensor Θαβ = Tαβ + ∂ρ(AαF βρ) es simetrico

Θαβ =1

µ0

(FαρF βρ +

1

4gαβFµνF

µν) . (4.50)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

4–15


Sus componentes valen

Θ00 =ε0E

2

2+B2

2µ0

,

Θ0k =1

µ0c(E×B)k , (4.51)

Θjk = −(ε0EjEk +BjBk/µ0 −

1

2δjk(ε0E

2 +B2/µ0)

).

Esta ultima ecuacion puede escribirse en la forma

Θjk =−1

µ0

(EjEk/c

2 +BjBk −1

2δjk(E

2/c2 +B2)

).

Como vemos, Θ00 es la densidad de energıa y Θk0, el vector de Pointing sobre c.

Por tanto la energıa y el momento lineal del campo valen

E =

∫ (ε0E

2

2+B2

2µ0

)d3x , P k =

∫E×B

µ0c2d3x . (4.52)

La densidad de momento lineal es, por tanto,

gk =Θ0k

c=Skc2. (4.53)

4.7. Balance energetico de la interaccion

campo electromagnetico-cargas

Supongamos un campo electromagnetico en presencia de fuentes externas

dadas por una densidad de carga y corrientes. En ese caso la divergencia del

tensor de energıa-momento del campo electromagnetico no es nula. Su valor se

calcula facilmente a partir de (4.50) y vale

∂αΘαβ =

1

µ0

[∂µ(FµρF

ρβ +1

4∂β(FµρF

µρ)

]=

1

µ0

[(∂µFµρ)F

ρβ + Fµρ∂µF ρβ +

1

2Fµρ∂

βF µρ

].

En el primer termino a la derecha, sustituimos las ecuaciones de Maxwell y lo

pasamos al primer miembro, con lo que

∂αΘαβ + F βρjρ =

1

2µ0

Fµρ(∂µF ρβ + ∂µF ρβ + ∂βF µρ) .

4–16—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


4.7. Balance energetico de la interaccioncampo electromagnetico-cargas

La suma de los dos ultimos terminos al final del segundo miembro vale ∂ρFµβ,

por lo que

∂αΘαβ + F βρjρ =

1

2µ0

Fµρ(∂µF ρβ + ∂ρF µβ) .

El segundo miembro se anula pues es la contraccion de un tensor simetrico y otro

antisimetrico, con lo que nos queda

∂αΘαβ = −F βρjρ . (4.54)

La parte temporal de la ecuacion anterior (es decir con β = 0) es(∂u

∂t+ ∇ · S

)= −j · E , (4.55)

y la espacial (con β = k)

∂gk∂t

−3∑1

∂

∂xjT

(M)kj = − [ρEk + (j×B)k] (4.56)

donde g = S/c2 es la densidad de momento lineal del campo electromagnetico.

Notese que las dimensiones de todos los terminos de la ecuacion anterior son

”energıa por metro a la cuarta”, o seq que se miden en J/m4.

La dos ecuaciones anteriores son la expresion de la conservacion de la energıa

y el momento lineal de un sistema formado por un campo electromagnetico en

interaccion con una densidad de cargas y de corrientes. Notese que el caso de

cargas puntuales se resuleve escribiendo las (ρ y j) correspondientes por medio de

deltas de Dirac. Si las integramos a un volumen V bordeado por una superficie

S = ∂V , se tiene

d

dt

∫V

u dv +

∫S

S · n ds = −∫V

j · E ds (4.57)

d

dt

∫V

gk dv =

∫S

3∑1

T(M)kj nj ds−

∫V

[ρEk + (j×B)k] dv (4.58)

La ultima ecuacion justifica la denominacion de tensor de tensiones para T(M)kj .

Sus dimensiones son de fuerza por unidad de superficie, o sea de tension y su flujo

a traves de la superficie cerrada S la fuerza que ejerce el campo electromagnetico

sobre el volumen, en el sentido de la variacion de su momento lineal por unidad

de tiempo.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

4–17


4.8. Ejercicios

4.1 Hallar la expresion de los valores instantaneos de la densidad de energıa,

densidad de momento lineal y tensiones de los campos electromagneticos sigu-

ientes

a) E = E0ey ei(k1x−ωt), B =

k1

µ0ε0exz × E

con k1 = ε0µ0 ω,ky = kz = 0.

b) lo mismo que en a) pero con k1 = iα.

c) Br =µ0m

2π

cos θ

r3, Bθ =

µ0m

4π

sen θ

r3,

identificando los casos.

4.2 Dos planos paralelos Σ′ y Σ estan situados en x = 0 y x = h. Tienen

densidades superficiales de carga σ′ = −σ y σ, respectivamente y se mueven con

velocidades v′ey y vex. Comprobar que las fuerzas entre los dos planos no son

iguales y opuestas, por lo que surge el problema de la validez de la tercera ley de

Newton. Discutir el resultado a la luz de la conservacion del momento lineal.

4.3 Hallar la presion que ejerce una onda electromagnetica sobre una supericie,

si incide perpendiculamente a ella (con un coeficiente de reflexion r). Investigar

la posibilidad de navegar a vela gracias al viento solar (presion de la radiacion del

Sol), sabiendo que en las proximidades de la Tierra la intensidad de la radiacion

solar es de ' 1350 W/m2. Una propuesta razonable es usar una vela hecha de un

polımero muy ligero, como el kapton, con un espesor de 2µm, recubierto de una

capa de 10 µm de aluminio, cuya masa por unidad de superficie serıa de 30 g/m2.

(http:\\www.kp.dlr.de/solarsail/Welcome.html).

4.4 Calcular la presion magnetica debida al campo magnetico de la Tierra en

uno de sus polos, donde B ' 6× 10−5 T y compararla con la presion atmosferica

(1 atm = 1,013 × 105 Pa. Suponiendo que el momento dipolar magnetico de la

Tierra fuese proporcional a su velocidad angular, cuanto deberıa girar alrededor

de su eje para que su presion magnetica fuese comparable a la atmosferica.

4.5 Consideremos un solenoide de longitud L y diametro D para producir un

campo magnetico B0 en su interior.

a) Hallar la energıa total almacenada.

Usando el tensor de esfuerzos de Maxwell, determinar

b) la fuerza total que comprime el solenoide en su direccion longitudinal y

c) la presion magnetica que actua radialmente sobre el arrollamiento.

4–18—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


4.8. Ejercicios

La MRI (magnetic resonance image, llamada tambien NRM) es una tecnica de di-

agnostico medico de gran importancia. Utiliza un solenoide superconductor para

generar un campo magnetico muy intenso que hace que los espines de los pro-

tones en el agua del cuerpo tengan un movimiento de precesion cuya frecuencia

se detecta mediante un circuito de rf. Las dimensiones tıpicas en una unidad

MRI son L = 2 m, D = 0,8 m y B0 = 7 T.Calcular las magnitudes indicadas

en los apartados a), b) y c), expresando la fuerza en toneladas, la presion en

atmosferas y la energıa en su equivalente en masa de TNT (TNT significa tonela-

da de trinitrotolueno, se usa como unidad de intensidad de una explosion y libera

2.2 MJ/kg).

4.6 Calcular el radio clasico del electron. Ası se llama el radio que deberıa tener

esa partıcula, suponiendo que es una esfera homogenea con densidad uniforme de

carga, con radio re y carga |q| = e, y que su masa es la del campo electromagnetico

asociado. La masa y la energıa se relacion mediante la ecuacion de Einstein E =

mc2.

4.7∗ Un alambre infinitamente largo tiene una densidad lineal de carga −λ.

Alrededor suyo hay una capa cilındrica dielectrica de radio a y momento de

inercia I por unidad de longitud, coaxial con el alambre y cargada con densidad

superficial de carga σ = λ/2πa. La capa puede girar libremente alrededor de su

eje. El canjunto esta inmerso en un campo magnetico externo B paralelo al eje

e inicialmente en reposo. A partir del un instante inicial, el campo magnetico

se disminuye lentamente hasta cero durante un tiempo T a/c. ¿Cual sera la

velocidad angular del cilindro?

(v. Feynman II-17.4, 27.5 y 27.6)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

4–19


4–20—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


Capıtulo 5

Ondas electromagneticas

5.1. La ecuacion de ondas

Tomando el rotacional de la ecuacion (1.6) (o sea de la ley de Faraday), se

tiene

∇× (∇× E) = −∂t∇×B,

que puede escribirse en la forma (pues ∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A)

∇(∇ · E)−∇2E = −∂t (µj + µε∂tE) ,

o sea

−∇2E− 1

ε∇ρ = −µσ∂tE− εµ∂2

tE.

Suponiendo que el espacio (o el medio) no tiene cargas libres, ρ = 0, resulta

que el campo electrico satisface la ecuacion

∇2E− εµ∂2E

∂t2− µσ

∂E

∂t= 0. (5.1)

Podemos proceder de modo analogo con el campo H. Se tiene

∇× (∇×H) = ∇× j + ∇× ∂D

∂t.

Sustituyendo adecuadament, esta ecuacion se transforma en

∇× (∇×H) = σ∇× E + ε∂

∂t∇× E.

Intercambiando el orden de las derivadas espaciales y temporales en el segundo

termino de la derecha y usando la tercera ecuacion de Maxwell en el primero,

tambien de la derecha, resulta

∇× (∇×H) = −σµ∂H∂t

− εµ∂2H

∂t2.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

5–1

Capıtulo 5. Ondas electromagneticas

La ecuacion de ondas para H es por tanto

∇2H− εµ∂2H

∂t2− µσ

∂H

∂t= 0. (5.2)

Supongamos que la conductividad es cero (o que la resistividad es infinito).

La ecuaciones de onda se transforman en

∇2E− 1

v2

∂2E

∂t2= 0, (5.3)

∇2H− 1

v2

∂2H

∂t2= 0. (5.4)

donde v vale

v =1√εµ

(5.5)

que son dos ecuaciones clasicas de ondas con velocidad v. En el vacıo se tiene

v =1

√ε0µ0

= 2,997925× 108 m/s = c. (5.6)

5.1.1. Ecuaciones de onda de los potenciales escalar y vec-

torial y transformaciones de gauge

La ecuacion ∇ · B nos dice que el campo magnetico es un rotacional, o sea

que existe un campo vectorial A tal que B = ∇×A. Ello implica que la ley de

Faraday ∇ × E = −∂tB puede escribirse como ∇ × (E + ∂tA) = 0, lo que dice

que (E + ∂tA) es el gradiente de una funcion Φ. Recapitulando

E = −∇Φ− ∂A

∂t, B = ∇×A. (5.7)

A y Φ son los potenciales escalar y vectorial que pueden usarse para definir el

campo electromagnetico con solo cuatro funciones.

Sustituyendo en las dos ecuaciones de Maxwell (1.3) y (1.4) estas expresiones

de los campos E y B, resulta

∇2Φ +∂

∂t(∇ ·A) = −1

ερ (5.8)

∇2A −µε∂2A

∂t2−∇

(∇ ·A + µε

∂Φ

∂t

)= −µj (5.9)

Consideremos el caso del espacio vacıo. Estas dos ecuaciones se pueden reescribir

en la forma

∇2Φ − 1

c2∂2Φ

∂t2+∂

∂t

(∇ ·A +

1

c2∂Φ

∂t

)= − 1

ε0ρ (5.10)

∇2A − 1

c2∂2A

∂t2−∇

(∇ ·A +

1

c2∂Φ

∂t

)= −µ0j, (5.11)

5–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


5.1. La ecuacion de ondas

donde c = (ε0µ0)−1/2 es la velocidad de la luz en el vacıo.

Transformaciones de gauge. Sea ξ una funcion cualquiera de (r, t) (con

buen comportamiento). Podemos cambiar los potenciales mediante la siguiente

transformacion de gauge

Φ → Φ′ = Φ− ∂ξ

∂t,

A → A′ = A + ∇ξ. (5.12)

Es facil comprobar que los campos E,B permanecen inalterados bajo esta trans-

formacion. Gracias a ello se pueden elegir potenciales que simplifiquen los prob-

lemas. Por ejemplo, si los elegimos de modo que se cumpla la llamada condicion

de Lorenz

∇ ·A +1

c2∂Φ

∂t= 0, (5.13)

las ecuaciones de onda (5.10)-(5.11) toman la forma mas simple

∇2Φ − 1

c2∂2Φ

∂t2= − 1

ε0ρ (5.14)

∇2A − 1

c2∂2A

∂t2= −µ0j, (5.15)

es decir que son dos ecuaciones clasicas de onda con terminos de fuente. Al hacer

una transformacion de gauge para fijar la forma de las ecuacion se dice que se

fija el gauge. Es facil comprender que siempre es posible hacer que los potenciales

cumplan la condicion de Lorentz. Si Φ, A cumplen (5.10)-(5.11) y elegimos la

funcion ξ como una solucion de

∇2ξ − 1

c2∂2ξ

∂t2= −

(∇ ·A +

1

c2∂Φ

∂t

),

que siempre tiene solucion, los nuevos potenciales obtenidos mediante la trans-

formacion de gauge (5.12) obedecen las ecuaciones simplificadas (5.18)-(5.15).

Notese que (5.18)-(5.15) se reducen en el caso estatico a

∇2Φ = − 1

ε0ρ, ∇2A = −µ0j, (5.16)

como cabıa esperar.

Se suele usar la notacion

= ∇2 − 1

c2∂2

∂t2,


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

5–3


conociendose este operador como dalambertiano u operador de D’Alembert. Las

ecuaciones de onda con la condicion de Lorentz se pueden escribir de forma com-

pacta

Φ = −ρ/ε0, A = −µ0j,

ecuaciones conocidas como de Klein-Gordon con fuente. A pesar de la condicion

de gauge, los potenciales no quedan completamente determinados. Siempre se

pueden cambiar sin modificar la forma (5.18)-(5.15) de las ecuaciones de onda

haciendo transformaciones de gauge con una funcion que cumpla la ecuacion

homogenea de Klein-Gordon

ξ = 0.

Otra condicion de gauge frecuentemente usada es la condicion de Coulomb

∇ ·A = 0, (5.17)

que conduce a las ecuaciones de onda

∇2Φ = − 1

ε0ρ (5.18)

∇2A − 1

c2∂2A

∂t2= −µ0j +

1

c2∂∇Φ, (5.19)

El interes del gauge de Coulomb es que el potencial escalar es el potencial in-

stantaneo creado por la densidad de carga ρ (de ahı viene el nombre, pues Φ se

obtiene como con la ley de Coulomb en el caso estatico)

Φ(r, t) =1

4πε0

∫V

ρ(r′, t)r− r′

|r− r′|3dv. (5.20)

Si descomponemos la corriente como la suma de dos terminos j = j‖ + j⊥, de

modo que ∇ × j‖ = 0 (se dice que es longitudinal o irrotacional) y ∇ · j⊥ = 0 (

se dice que es transversal o solenoidal), se tiene

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −µ0j⊥, (5.21)

pues se sigue de la ecuacion de continuidad que

µ0ε0∂∇Φ

∂∂t= µ0j‖.

Una propiedad interesante de la condicion de Coulomb es que, si no hay densidad

de carga, ρ = 0, con lo que Φ = 0, de modo que con ese gauge

E = −∂A∂t, B = ∇×A.

5–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


5.2. Ondas electromagneticas

5.2. Ondas electromagneticas

5.2.1. Ondas planas en medios no conductores

Supongamos un medio no conductor, o sea cuya conductividad se anula σ = 0.

Los dos campos E y B obedecen la ecuacion clasica de ondas,

∇2E− 1

c2∂2E

∂t2= 0, (5.22)

∇2B− 1

c2∂2B

∂t2= 0, (5.23)

con c = (εµ)−1/2, pero eso no basta: deben relacionarse entre sı de modo que cum-

plan ademas las ecuaciones de Maxwell. Notese que estas ecuaciones se refieren a

un medio caracterizado por ε0, µ0, sin fuentes, o sea en ausencia de materia. La

soluciones de esas ecuaciones se denominan ondas electromagneticas.

Estudiaremos una clase muy importante de soluciones, las ondas monocro-

maticas, que son las caracterizadas por una sola frecuencia (o sea un solo color).

Siguiendo un metodo estandar, buscaremos soluciones de la forma

E(r, t) = Es(r)e−iωt, B(r, t) = Bs(r)e

−iωt

entendiendo que la funcion que representa a los campos fısicos esta dada por la

parte real de esas funciones complejas. Notese que Es y Bs seran tambien com-

plejos, aunque con el mismo desfasaje ϕ los dos, de modo que el campo electrico

sera proporcional a cos(ωt + ϕ) y el magetico, a sen(ωt + ϕ). Las ecuaciones de

Maxwell se pueden escribir en la forma

∇ · Es = 0 , ∇× Es = iωBs (5.24)

∇ ·Bs = 0 , ∇×Bs = −iµ0ε0ωEs . (5.25)

Al sustituir en la ecuacion de ondas (5.22) resulta

e−iωt(

∇2Es +ω2

c2Es

)= 0 , e−iωt

(∇2Bs +

ω2

c2Bs

)= 0. (5.26)

Diremos que la solucion es una onda plana si la amplitud de la onda es la misma

dentro de cada plano perpendicular a una direccion que sera la de propagacion.

Tomando el eje x paralelo a esa direccion, esto implica que E = Es(x), lo que

simplifica la ecuacion ad2Es

dx2+ω2

c2Es = 0,


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

5–5


cuya solucion es

Es(x) = E0e∓iωx/c,

donde E0 es un vector constante. Ademas se tiene

E(x, t) = <[(uxE0x + uyE0y + uzE0z) e

iϕe∓iωx/ce−iωt]

= (uxE0x + uyE0y + uzE0z) cos (kx− ωt+ ϕ) ,

Tomaremos para simplificar el signo − en ωt. Como el campo electrico solo de-

pende de x y t, la ecuacion ∇ ·E = 0 se simplifica a dEx/dx = 0, pero como Exdepende sinusoidalmente de x segun la ecuacion anterior, resulta que E0x = 0,

o sea que la condicion de divergencia nula implica que el campo electrico es

transversal: solo son distintas de cero las componentes normales a la direccion de

propagacion. O, en otras palabras, el campo electrico es paralelo a los frentes de

onda.

Esto significa que el campo electrico tiene la forma

E(x, t) = < (uyE0y + uzE0z) eiϕe−iωx/ce−iωt,

= (uyE0y + uzE0z) cos (kx− ωt+ ϕ) , (5.27)

where k = ω/c es la componente x del vector de ondas. Como las otras dos

componentes son nulas es tambien su modulo, tambien llamado el numero de

ondas.

Para obtener el campo magnetico, empleremos la ecuacion de Maxwell ∇ ×E = −∂tB. El rotacional de (5.27) esta dado por

∇× E = [uyE0z − uzE0y] k sen(kx− ωt+ ϕ),

por lo que el campo magnetico debe valer (junto con el electrico)

E(x, t) = (uyE0y + uzE0z) cos (kx− ωt+ ϕ) ,

B(x, t) = (uyE0z/c− uzE0y/c) cos (kx− ωt+ ϕ) , (5.28)

donde se aprecia bien la transversalidad de la onda.

Esta onda se transmite hacia la derecha con velocidad v = ω/k = (εµ)−1/2

velocidad de la onda = v = ux(εµ)−1/2. (5.29)

El ındice de refraccion vale, por tanto,

n =√εrµr, (5.30)

5–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


5.3. Radiacion electromagnetica en una cavidad en forma de paralelepıpedorectangular

en funcion simple de la permitividad y la permeabilidad relativas.

Notese que hay dos modos de polarizacion plana que se obtienen haciendo

E0y = 0 y E0z = 0, respectivamente. Finalmente veamos cuanto vale el vector de

Poynting

S =1

µ0

E×B =1

µ0

(E2

0y + E20z

)sen(kx− ωt) cos(kx− ωt)ux, (5.31)

en el que se ha hecho ϕ = 0 por simplicidad. Notese que el flujo de energıa va en

el sentido positivo del eje x como cabıa esperar.

5.3. Radiacion electromagnetica en una cavidad

en forma de paralelepıpedo rectangular

Consideremos una cavidad C en forma de paralelepıpedo rectangular solido

0 ≤ x ≤ L1, 0 ≤ y ≤ L2, 0 ≤ z ≤ L3, en la que hay radiacion electromagnetica

en equilibrio con las paredes. Para obtener las expresiones de los campos en

su interior, se deben resolver las ecuaciones de Maxwell con las condiciones de

equilibrio

E× n = 0 , B · n = 0, (5.32)

siendo n un vector normal a la pared de la cavidad S = ∂C. Los campos pueden

expresarse como suma de modos normales, caracterizado cada uno por tres enteros

no negativos k1, k2, k3, de los cuales al menos dos deben ser no nulos. Eligiendo

adecuadamente el gauge, podemos tomar A0 = 0, de manera que los modos

normales pueden expresarse como

A0 = 0, A1 = Ae1x cosωt cos(k1πx/L1) sen(k2πy/L2) sen(k3πz/L3),

A2 = Ae1y cosωt sen(k1πx/L1) cos(k2πy/L2) sen(k3πz/L3), (5.33)

A3 = Ae1z cosωt sen(k1πx/L1) sen(k2πy/L2) cos(k3πz/L3),

E1 = ωAe1x senωt cos(k1πx/L1) sen(k2πy/L2) sen(k3πz/L3),

E2 = ωAe1y senωt sen(k1πx/L1) cos(k2πy/L2) sen(k3πz/L3), (5.34)

E3 = ωAe1z senωt sen(k1πx/L1) sen(k2πy/L2) cos(k3πz/L3),

y

B1 =ω

cAe2x cosωt sen(k1πx/L1) cos(k2πy/L2) cos(k3πz/L3),

B2 =ω

cAe2y cosωt cos(k1πx/L1) sen(k2πy/L2) cos(k3πz/L3), (5.35)

B3 =ω

cAe2z cosωt cos(k1πx/L1) cos(k2πy/L2) sen(k3πz/L3),


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

5–7


donde

ω = |k|c = πc

√(k1

L1

)2

+

(k2

L2

)2

+

(k3

L3

)2

,

siendo (e1, e2,k/k) tres vectores ortogonales.

El vector de Poynting S = E×B/µ0 representa un flujo complejo de energıa,

sin que esta energıa pueda atravesar las paredes a causa de las condiciones de

frontera (5.32). La energıa que esta dentro permanece dentro y no se anade nada

desde fuera. Para comprenderlo, calculemos el vector S. Su componente x, por

ejemplo, es igual a

S1 =ω2A2

8cµ0

sen 2ωt sen(2k1πx/L1)[e1ye2z cos2(k2πy/L2) sen(2k3πz/L3)

−e1ze2y sen(2k2πy/L2) cos2(k3πz/L3)].

Como se comprueba facilmente S1 = 0 en las caras normales al eje x (i.e. x =

0, L1) pero no en las otras caras. Analogamente para S2, S3. Luego la condicion

en el borde (5.32) no permite que entre o salga energıa de la cavidad.

Pero esa condicion tan simple matematicamente es solo una aproximacion que

solo vale para conductores perfectos, es decir cuya conductividad es infinita. En

los buenos conductores reales hay una capa muy fina debajo de su superficie,

en la que el campo magnetico normal y el electrico tangencial disminuyen hasta

anularse al fondo de ella. Como consecuencia, se transfiere algo de energıa del

campo a las paredes que se va en forma de calor. Ocurre algo parecido en el

dielectrico que llena la cavidad, pues el proceso de polarizacion y despolarizacion,

muy rapido en una onda, no es absolutamente elastico. Pero las condiciones (5.32)

son una buena aproximacion en muchos casos.

5.4. Guıas de onda y cavidades resonantes

Una guıa de ondas es un tubo hueco y abierto por sus extremos, con paredes

hechas de un buen conductor, a lo largo de cuyo interior se propagan ondas elec-

tromagneticas. En la version mas simple es un cilindro rector de seccion arbitraria.

Si sus extremos estan cerrados se llama cavidad resonante. Supongamos, por sim-

plicidad, que su interior esta vacıo, aunque se pueden llenar de un dielectrico.

Tomemos una cavidad cilındrica cuyo eje es el z, partiendo de las ecuaciones

(5.24)-(5.26), omitiendo por simplicidad de la escritura el subındice s. Dada la

simetrıa del problema, cabe esperar que haya soluciones de la forma

E = E(x, y)e±i(kz−ωt) , B = B(x, y)e±i(kz−ωt) , (5.36)

5–8—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


5.4. Guıas de onda y cavidades resonantes

Figura 5.1: Guıa de ondas.

siendo la cantidad k real o compleja. Resulta conveniente escribir el operador

laplaciano como una suma

∇2 =

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)+

∂2

∂z2= ∇2

t + ∇2z ,

de un termino transversal ∇2t y otro longitudinal ∇2

z, siendo ∇t = (∂x, ∂y, 0) y

∇z = (0, 0, ∂z). Sustituyendo en una ecuacion de Maxwell (y en otra con B)

(∇2 +

ω2

c2

)E

B

=

(∇2

t +ω2

c2− k2

)E(x, y)

B(x, y)

e±i(kz−ωt) = 0 .

Se sigue que (∇2

t +ω2

c2− k2

)E

B

= 0 , (5.37)

y lo mismo para B. Conviene descomponer los campos en partes paralelas al eje

z y transversales,

E = Ez + Et , (5.38)

de modo que

Ez = Ezez Et = (ez × E)× ez . (5.39)

Esto es interesante pues veremos a continuacion que si se conocen las partes Ez

y Bz quedan determinadas las otras dos. De hecho, las ecuaciones de Maxwell

(5.24)-(5.25) se pueden escribir en terminos de componentes transversas y longi-


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

5–9


tudinales. Toman entonces la forma

∂zEt + iωez ×Bt = ∇tEz , ez · (∇t × Et) = iωBz , (5.40)

∂zBt − iµεωez × Et = ∇tBz , ez · (∇t ×Bt) = −iµεωEz , (5.41)

∇t · Et = −∂zEz , ∇t ·Bt = −∂zBz (5.42)

Es evidente, a partir de las dos primeras lıneas inmediatamente anteriores que, si

Ez y Bz se conocen, las componentes transversas quedan determinadas, suponien-

do las ecuaciones (5.36). De hecho se deduce de (5.40)-(5.42) que

Et =i

ω2/c2 − k2(k∇tEz − ω (ez ×∇t)Bz) (5.43)

Bt =i

ω2/c2 − k2

(k∇tBz +

ω

c2(ez ×∇t)Ez

). (5.44)

Para cambiar el sentido de la propagacion basta con cambiar el signo de k.

Hay, en primer lugar, un tipo de solucion conocido como onda transversal

electromagnetica (u onda TEM), caracterizada por tener los campos solo

componentes transversas, o sea por Ez = Bz = 0. En tal caso, se deduce de la

segunda (5.40) y la primera (5.42) que el campo EEMT = Et obedece a

∇t × ETEM = 0 , ∇t · ETEM = 0 .

Estas son las ecuaciones del campo electrostatico en dos dimensiones. Ello tiene

tres consecuencias.

i) El numero de ondas longitudinal es el mismo que en un medio infinito

k = k0 = ω/c = ω√εµ . (5.45)

ii) El campo magnetico correspondiente, deducido de la primera (5.41), es

BTEM = ±√µεez × ETEM , (5.46)

segun el sentido de propagacion de las ondas. O sea que la relacion entre los

campos electrico y magnetico es la misma que en el caso de una onda plana que

avanza segun el eje z.

iii) Un modo TEM no puede darse en un conductor cilındrico hueco. La razon

es que, como es facil demostrar, los dos campos de un modo TEM obedecen la

ecuacion de Laplace en dos dimensiones

∆tETEM = 0 ∆tBTEM = 0 ,

5–10—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


5.5. Modos transversales electricos y magneticos y frecuencias mınimas

y se pueden deducir de potenciales que obedecen la misma ecuacion. Como un

conductor en una superficie equipotencial, la unica solucion para el potencial en

el interior de la guıa es Φ = constante, que corresponde a campo electrico nulo.

En cambio la solucion es posible con varios conductores, pues cada uno puede

estar a un potencial diferente, siendo no nulo el campo E. Veremos un ejemplo

en el cable coaxial.

5.4.1. Condiciones de contorno

de los campos longitudinales

Necesitamos conocer las condiciones de contorno de los campos Ez y Bz en la

superficie S, pues el procedimiento que seguimos es obtenerlos primero y deducir

de ellos Et y Bt mediante (5.43)-(5.44). De (5.32) se sigue de modo evidente que

la condicion para Ez es

Ez|S = 0 . (5.47)

En el caso de Bz, tomamos la primera ecuacion (5.41) multiplicada escalarmente

por la normal a S n. Como Et es normal a S el segundo termino del primer

miembro se anula y, como Bt es paralelo a la superficie, se anula el primer termino.

Solo queda n ·∇tBz = 0, o sea

∂Bz

∂n

∣∣∣∣S

= 0 . (5.48)

Las ecuaciones (5.37) junto con las condiciones de contorno (5.47)-(5.48) plantean

el problema de hallar las ondas en la guıa.

5.5. Modos transversales electricos y magneticos

y frecuencias mınimas

Existen dos familias de soluciones

i) Ondas transversas magneticas (TM):

Bz = 0 en todo el interior y Ez|S = 0 en la superficie.

ii) Ondas transversas electricas (TE):

Ez = 0 en todo el interior y ∂nBz|S = 0 en la superficie. Notese que ni el

campo electrico es transversal en las ondas TM ni el campo magnetico lo es en

las ondas TE.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

5–11


Una propiedad importante es que el conjunto completo de ondas TE y TM,

mas las TEM si existen, constituyen un conjunto completo de soluciones para

expresar cualquier onda electromagnetica en la guıa.

Multiplicando vectorialmente por ez cada una de las las ecuaciones (5.43) y

(5.44) y combinandola con la otra, se deduce que tanto las ondas TE como las

TM cumplen

Ht =±1

Zez × Et , (5.49)

donde se usa el campo H en vez de B y la llamada impedancia de la onda vale

Z =k

εω=

k

k0

√µ

ε(TM)

(5.50)

Z =µω

k=k0

k

√µ

ε(TE)

con k0 dado mas arriba. El signo ± depende del sentido de la propagacion. Los

campos transversales se determinan por los longitudinales segun (5.43) y (5.44):

Ondas TM

Et = ± ikγ2

∇tψ

Ondas TE

Ht = ± ikγ2

∇tψ

siendo ψe±ikz igual a Ez (resp. Hz) para las ondas TM (resp. TE) y

γ2 = µεω2 − k2 . (5.51)

La funcion escalar cumple la ecuacion de ondas bidimensional

(∇2t + γ2)ψ = 0 (5.52)

y las condiciones de borde

ψ|S = 0 ,∂ψ

∂n

∣∣∣∣S

= 0 (5.53)

Esta claro que la constante γ2 debe ser no negativa. Se tiene ası un problema de

valores propios, dado por la ecuacion de onda y las dos condiciones de contorno,

que tiene un conjunto discreto de valores propios γ2λ y de funciones propias ψλ,

λ = 1, 2, 3, . . .. Dada una frecuencia ω el numero de ondas toma un valor para

cada λ

k2λ = µεω2 − γ2

λ (5.54)

5–12—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


5.6. Cavidades resonantes

Figura 5.2: Numero de ondas kλ frente a ω en varios modos λ.

lo que define una frecuencia de corte mınima (cut-off frequency)

ωλ =γλ√µε

(5.55)

siendo el correspondiente numero de ondas

kλ =√µε√ω2 − ω2

λ (5.56)

Para que sea real, es preciso que ω > ωλ. En tal caso las ondas se propagan en

la guıa. Notese que para cada valor de λ hay uno de γλ y una familia infinita

dependiendo continuamente de kλ, con 0 < kλ/√µεω < 1 y un valor de ω dado

por las ecuaciones anteriores

Notese que el numero de ondas kλ es menor que el correspondiente valor en

el espacio libre√µε ω, por lo que las longitudes de onda son mayores que la del

espacio libre. Por contra, la velocidad de fase vf es mayor que en el espacio libre,

pues

vf =ω

kλ=

1√µε

1√1− (ωλ/ω)2

>1√µε


Una cavidad resonante es simplemente un volumen rodeado por una placa

conductora. O sea el interior de un conductor, por ejemplo la cavidad en forma

de paralelepıpedo de la seccion 5.3. Lo mismo que esa, cualquier otra tiene un


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

5–13


conjunto discreto de frecuencias llamadas de resonancia, que pueden excitarse si

la pared tiene un agujero que comunica a la cavidad con el exterior. Cada modo

tiene una frecuencia y una forma del modo, dada esta por un par de funciones

vectoriales E(r, t), B(r, t). El conjunto de frecuencias y las formas de los modos se

determinan al resolver un problema de valores propios: las ecuaciones de Maxwell

en el interior, mas las condiciones de contorno. Notese que la cavidad tiene un gran

parecido con los sistemas oscilatorios mecanicos, como varios pendulos acoplados

por ejemplo.

Si las paredes estuvieran hechas de un conductor perfecto y la cavidad estu-

viese vacıa de materia, la energıa contenida en el campo eb el interior se conser-

varıa, pues el vector de Pointing es siempre tangente a esas paredes. Pero, como

ya se ha indicado, hay una capa fina bajo la superficie interior en la que entra

el campo por el efecto pelicular (skin effect). En esa capa hay una transferencia

de energıa del campo a las paredes, en forma de calor que se transmite por el

conductor y sale fuera. Tambien hay alguna inevitable perdida en el dielectrico

interior, debida a la constante polarizacion y despolarizacion. Por ello la cantidad

de energıa almacenada en el interior de la cavidad disminuye. Una consecuencia

de esos procesos es que la frecuencia ya no esta completamente definida (como

una funcion delta) sino que hay una banda mas o menos estrecha de frecuencias

alrededor de un cierto valor ω0.

Para caracterizar la disipacion de energıa se define el factor Q o factor de

calidad de la cavidad como 2π veces la energıa almacenada dividida por la perdida

de energıa por ciclo

Q = ω0Energıa almacenada

Potencia perdida(5.57)

La potencia disipada es la tasa de variacion de la energıa almacenada U cambiada

de signo, por lo que se puede escribir

dU

dt= −ω0

QU, ⇒ U(t) = U0e

−ω0t/Q (5.58)

La energıa decrece exponencialmente tanto mas despacio cuanto mayor sea el

factor Q, lo que explica la razon de ser calificado como de calidad.

La dependencia anterior del tiempo implica que los campos en la cavidad

tienen la forma

E(t) = E0e−ω0t/2Q e−i(ω0+∆ω)t

donde ∆ω es una imprecision de la frecuencia y E0, una funcion espacial. Usando

5–14—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



Figura 5.3: Forma de la resonancia.

la transformacion de Fourier se puede escribir

E(t) =1√2π

∫ ∞

−∞E(ω)e−iωtdt

E(ω) =1√2π

∫ ∞

0

E0e−ω0t/2Q ei(ω−ω0−∆ω)tdt (5.59)

Resolviendo la segunda integral, resulta

|E(ω)|2 ∝ 1

(ω − ω0 −∆ω)2 + (ω0/2Q)2, (5.60)

en forma de curva de resonancia. El maximo esta en ω0 + ∆ω. Se define como

anchura de la resonancia a la anchura de la curva a la mitad de la altitud del

maximo. Su valor es Γ = ω0/Q. Por tanto, el factor Q vale

Q =ω0

Γ(5.61)

Ejempl0 5.1: El cable coaxial

Un cable coaxial consiste en un colindro conductor exterior y otro interior,

entre los que hay un dielectrico. Puede transmitir ondas TEM debido a que su

frontera esta formada por dos conductores separados (es decir, sin contacto).

Segun se vio mas arriba, en esas ondas se cumple

k = ω√µε, ∆tETEM = 0 , BTEM = ±√µε ez × ETEM


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

5–15


Figura 5.4: Seccion de un cable coaxial.

Podemos resolver la ecuacion de E, pero es preferible trabajar con un potencial

en dos dimensiones φ(x, y), de modo que

ETEM = (∇tφ)e−i(ωt−kz)

La ecuacion de φ es la de Laplace en 2D ∇2tφ = 0 que se escribe en coordenadas

polares (∂2

∂ρ2+

1

ρ

∂

∂ρ+

1

ρ2

∂2

∂ϕ2

)φ(ρ, ϕ) = 0

Como el potencial es constante en cada uno de los dos conductores, φ(R1, ϕ) = φ1

y φ(R2, ϕ) = φ2, la solucion es independiente del azimut ϕ, por lo que el potencial

depende solo de ρ y la ecuacion se simplifica a

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂ρ

∂phi

)= 0

cuya solucion es φ = A log ρ+B, siendo A y B dos constantes de integracion que

se deducen de las condiciones de contorno

A =φ1 − φ2

log(R1/R2), B =

φ2 logR1 − φ1 logR2

log(R1/R2)

Es facil comprobar que, si se quita el conductor interno, A se puede deducir de las

condiciones de contorno en R1, pero el potencial ası obtenido diverge en ρ = 0.

5–16—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



Figura 5.5: Figura Guıa de ondas rectangular.

La unica solucion posible es Φ = constante que corresponde a campo nulo, como

cabıa esperar, ya que ası ocurre en las guıas constituidas por un conductor hueco.

Los campo electrico y magnetico son

En coordinadas cilındricas:

ETEM(ρ, ϕ, z, t) =A

ρe−i(ωt−kz) eρ , BTEM(ρ, ϕ, z, t) =

√µεA

ρe−i(ωt−kz) eϕ

En coordenadas cartesianas:

ETEM =A

x2 + y2(xex + yey) e

−(iωt−kz) ,BTEM =A√µε

x2 + y2(−yex + xey) e

−i(ωt−kz) .

Ejemplo 5.2: Guıa de ondas rectangular Sea una gıa de seccion rectan-

gular de lados a y b y de caras paralelas al eje z (ver figura 5.5). Las condiciones

de contorno n ·B = 0 y n× E = 0 en las caras, equivalen a

Ey = Ez = Bx = 0, en x = 0, a

Ex = Ez = By = 0, en y = 0, b

Los campos son de la forma

E(x, y, z, t) = E(x, y) = ei(kz−ωt), B(x, y, z, t) = B(x, y) = ei(kz−ωt)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

5–17


y deben cumplir las ecuaciones de ondas(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)[E

B

]+

(ω2

c2− k2

)[E

B

]= 0

Teniendo en cuenta las ecuaciones de Maxwell (5.24) y (5.25), se pueden buscar

soluciones para E(x, y) y B(x, y) de la forma

Ex = α cosmπ

ax sen

nπ

by, Bx = α′ sen

mπ

ax cos

nπ

by

Ey = β senmπ

ax cos

nπ

by, By = β′ cos

mπ

ax sen

nπ

by

Ez = γ senmπ

ax sen

nπ

by, Bz = γ′ cos

mπ

ax cos

nπ

by

Sustituyendo en la ecuacion de ondas, se obtiene

ω2

c2=(mπa

)2

+(nπb

)2

+ k2

Esto indica que para cada modo (m,n) hay una frecuencia mınima

ωmin = ωmn = c

√(mπa

)2

+(nπb

)2

Aplicando las ecuaciones de Maxwell, se llega a

iωα′ = γnπ

b− ikβ , −iµεωα = γ′

nπ

b− iβ′k

iωβ′ = iαk − γmπ

a, −iµεωβ = iα′k + γ′

mπ

a

iωγ′ = βmπ

a− α

nπ

b, −iµεωγ = −β′mπ

a+ α′

nπ

b

Un examen de estas condiciones lleva a las conclusiones siguientes.

i) Los modos TE corresponden a γ = 0 y los TM a γ′ = 0. Si las dos se anulan,

el campo es nulo, como cabıa esperar ya que las paredes forman un solo cuerpo

conductor y no hay modos TEM.

ii) Los modos TE tienen uno de los enteros m, n igual a cero. O sea, corre-

sponden bien a (m 6= 0 n = 0) bien a (m = 0, n 6= 0). Los modos TM tienen los

dos enteros, o sea m 6= 0, n 6= 0)

Tomemos como ejemplo el modo (10) (o sea m = 1, n = 0), que es TE. Es

facil ver que Ex = Ez = 0 y

Ey = β senπx

aei(kz−ωt) =

β

2i

(ei[kz+(π/a)x−ωt] − ei[kz−(π/a)x−ωt]) .

5–18—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


5.7. Ejercicios

Ademas, By = 0, Bx, Bz 6= 0. Vemos que, como ocurre en los demas modos TE, el

campo magnetico no es transverso. El campo electrico es la superposicion de dos

ondas con vectores de onda (π/a, 0, k) y (−π/a, 0, k) que representa una onda y

sus reflexiones en las caras normales al eje x. El vector de Poynting de cada una

de esas ondas esta en el plano xz y su angulo con el eje x es ε = arctan [k/(π/a)].

Ello explica que la velocidad de grupo vg a lo largo de la guıa sea menor que c, si

bien la de fase vf es mayor. Se cumple, como en las demas guıas

vf · vg =c2

µrεr= c ′ 2

donde c ′ es la velocidad de la luz en el dielectrico que llena la guıa.

5.7. Ejercicios

5.1 Hallar la ley de transformacion de la densidad de energıa de una onda elec-

tromagnetica plana entre los sistemas de referencia S y S ′, el segundo moviendose

con velocidad v a lo largo del eje comun x y admitiendo que los orıgenes coinciden

en t = 0.

5.2 Sea la reflexion de una onda plana en un plano conductor, al que llega

con angulo de incidencia θ, en el caso de polarizacion de la onda paralela a la

superficie.

a) Analizar la onda estacionaria resultante, comprobando que se puede intro-

ducir otro plano conductor a cierta ditancia del primero sin perturbar la con-

figuracion de los campos. Estudiar, comparando con una guıa rectangular, las

caracterısticas del sistema de transmision ası formado. ¿Puede propagarse en tal

sistema un modo TEM?

b) Las superficies conductoras formadas por el lımite de la ionosfera a la altura

h ' 100 km y la superficie de la Tierra pueden considerarse como un sistema

de laminas paralelas. ¿Cuales son los modos mas bajos que puede propagar esa

“guıa” y cuales son sus frecuencias de corte?

5.3 Un tunel se comporta como una guıa de ondas. En el caso de uno de

seccion rectangular con dimensiones a y b:

a) Hallar el rango de frecuencias para las que se propaga solo el modo fundamen-

tal.

b) Explicar por que las senales de radio de AM se recibenpeor dentro del tunel

que las de FM.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

5–19


5.4 En una guıa de ondas de seccion cuadrada de lado a y paredes perfecta-

mente conductoras, se propaga un campo electromagnetico cuyo campo electrico

vale

Ex = E0x cos

(2πx

a

)sen

(2πy

a

)ei(kz−ωt) ,

Ey = E0y sen

(2πx

a

)cos

(2πy

a

)ei(kz−ωt) ,

Ez = E0z sen

(2πx

a

)sen

(2πy

a

)ei(kz−ωt) .

a) ¿Que relacion debe haber entre Ex, Ey, Ez para que sea un modo TM puro?

Identificar tal modo y calcular la frecuencia f0 a la que deja de propagarse.

b) ¿Que otros modos pueden propagarse con frecuencia por encima de f0?

c) Calcular la densidad de energıa electromagnetica por unidad de longitud de la

guıa, promediada en el tiempo.

5.5 Estudiar las constantes de corte y los modos de propagacion en una guıa

de seccion circular de radio a (sugerencia: revisar el metodo de separacion de

variables en coordenadas cilındricas para el operador de Laplace en geometrıas

circulares). Hallar la expresion de las velocidades de fase y de grupo en funcion de

la frecuencia para los modos TE11, TM01 y TE01 en una guıa cilındrica de radio

1 cm. Dibujar un esquema de las configuraciones de campos en esos modos en los

planos xy y xz.

5.6∗ Sea una guıa de ondas rectangular, con dimensiones a = 2 cm, b = 1 cm,

transmitiendo una onda en el modo fundamental.

a) Hallar las velocidades de fase y de grupo en funcion de la frecuencia.

b) Calcular la potencia media maxima que puede transmitir la guıa a 10 GHz (el

campo electrico de ruptura en el aire es de 30 kV/cm).

5–20—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


Capıtulo 6

Radiacion de partıculas cargadas

6.1. Solucion de la ecuacion de ondas en forma

covariante. Funciones de Green

Nos interesa ahora estudiar las soluciones de la ecuacion de ondas para el

campo electromagnetico en presencia de una corriente (o fuente) exterior Jβ(x).

El segundo par se escribe

∂αFαβ = µ0J

β . (6.1)

Teniendo en cuenta que F µν = ∂µAν − ∂νAµ, resulta

Aβ − ∂β(∂αAα) = µ0J

β . (6.2)

Eligiendo los potenciales de modo que satisfagan la condicion de Lorenz1 ∂αAα =

0, con lo que la ecuacion se simplifica a

Aβ = µ0Jβ . (6.3)

Un metodo para resolver esta ecuacion es el de las funciones de Green. SeaD(x, x′)

esa tal funcion, de modo que

xD(x, x′) = δ(4)(x− x′) , (6.4)

donde

δ(4)(x− x′) = δ(x0 − x′0) δ(3)(r− r′)

1No de Hendrik Anton Lorentz, el de las transformaciones, sino del fısico danes Ludvig V.Lorenz quien la propuso en 1867, ver Jackson, p. 294.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

6–1

Capıtulo 6. Radiacion de partıculas cargadas

Si tomamos todo el espacio, sin superficies de frontera (donde se podrıan inducir

cargas), la funcion de Green solo puede depender de la diferencia zα = xα − x′α.

O sea que D(x, x′) = D(x− x′) = D(z), por lo que

zD(z) = δ(4)(z) . (6.5)

Notese que las dimensiones de la delta en cuatro dimensiones son L−4, por tanto

las de la funcion de Green son las de un area inversa [D] = L−2. Una vex conocida

la funcion de Green, una solucion de (6.3) sera

Aβ(x) = A′β(x) +

∫D(x− x′)µ0J

β(x′) d4x′ , (6.6)

donde A′β(x) es una solucion de la ecuacion homogenea. Para obtener la funcion

de Green, podemos usar el metodo de la transformacion de Fourier, de modo que

D(z) =1

(2π)4

∫d4k D(k) e−ik·z , (6.7)

siendo k · z = k0z0 − k · z. Respecto a las dimensiones [D] = L2. Tomemos la

representacion de Fourier de la delta

δ(4)(z) =1

(2π)4

∫d4k e−ik·z ,

con lo que, tras sustituir en la ecuacion (6.5), resulta

D(k) = − 1

k · k, (6.8)

con k · k = k20 − κ2. Resulta ası

D(z) = − 1

(2π)4

∫d4k

e−ik·z

k · k(6.9)

Esta integral puede calcularse en el campo complejo, usando el metodo de Cauchy,

pero hay que tener cuidado por tener singularidades el integrando. Integremos

primero en k0, con lo que

D(z) = − 1

(2π)4

∫d3k eik·z

∫ ∞

−∞dk0

e−ik0z0

k20 − κ2

,

donde κ = |k|. Para dar sentido a esta integral, necesitamos decir como se trata los

polos (ver figura). Consideremos primero la lınea r, que puede cerrarse mediante

un semicırculo de radio R→∞, por arriba o por abajo. Si z0 < 0, la exponencial

del integrando tiende a +∞ por abajo, luego hay que cerrar por arriba. Como

6–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


6.1. Solucion de la ecuacion de ondas en forma covariante. Funciones de Green

no hay polos dentro del circuito de integracion, la integral se anula entonces. Si

z0 > 0, ocurre al reves, hay que cerrar por abajo, aplicando la formula de Cauchy,

de modo que ∮r

dk0e−ik0z0

k20 − κ2

= −2πi∑

Residuos

e−ik0z0

k20 − κ2

= −2π

κsen(κz0)

La funcion de Green es, por tanto,

Dr(z) =θ(z0)

(2π)3

∫d3k eik·z

sen(κz0)

κ,

siendo θ la funcion escalon de Heaviside. Notese que sus dimensiones son las de

una area inversa, o sea [Dr] = L−2. Escribiendo en la exponencial k · z = κz cos θ

e integrando en los angulos, resulta

Dr(z) =θ(z0)

2π2R

∫ ∞

0

dκ sen(κR) sen(κz0)

con R = |z| = |r − r′| la distancia espacial entre el punto de fuente y el de

observation. Escribiendo los senos en forma exponencial y haciendo algun cambio

de variable, eso resulta ser igual a

Dz =θ(z0)

8π2R

∫ ∞

−∞dκ[eiκ(z0−R) − eiκ(z0+R)

].

La segunda integral es cero pues, como z0 > 0, z0 + R > 0. La primera es una

delta de Dirac, o sea

Dr(x− x′) =θ(x0 − x′0)

4πRδ(x0 − x′0 −R)

=θ(x0 − x′0)

4πRcδ(t0 − t′0 −

R

c) (6.10)

Usando la lınea a y procediendo del mismo modo, se obtiene

Da(x− x′) =θ(x′0 − x0)

4πRδ(x0 − x′0 +R)

=θ(x′0 − x0)

4πRcδ(t0 − t′0 +

R

c) (6.11)

Estas dos funciones se llaman funcion de Green retardada y funcion de Green

avanzada, respectivamente. Se cumple la siguiente identidad

δ[(x− x′)2] = δ[(x0 − x′0)2 − |r− r′|2]

= δ[(x0 − x′0 −R)(x0 − x′0 +R)]

=1

2R[δ(x0 − x′0 −R) + δ(x0 − x′0 +R)] .


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

6–3


Figura 6.1: Camino r, por encima de los polos en ±κ en el plano k0. El camino a

pasa por debajo de esos polos.

Con lo que las dos funciones de Green se pueden escribir en la forma

Dr(x− x′) =1

2πθ(x0 − x′0) δ[(x− x′)2]

(6.12)

Da(x− x′) =1

2πθ(x′0 − x0) δ[(x− x′)2]

Estas son dos expresiones invariantes Lorentz, si se toma solo el grupo propio,

o sea el que no incluye inversines temporales. Usando la ecuacion (6.6), cada

solucion de la ecuacion de ondas (6.3)(segundo par) puede escribirse en terminos

de las dos funciones de Green, de dos maneras distintas

Aβ(x) = Aβin(x) + µ0

∫Dr(x− x′)Jβ(x′) d4x′ , (6.13)

Aβ(x) = Aβout(x)+ µ0

∫Da(x− x′)Jβ(x′) d4x′ , (6.14)

donde Aβin(x) y Aβout(x) son dos soluciones de las ecuaciones homogeneas (o sea

del segundo par de Maxwell si fuentes).

En la primera de esas dos ecuaciones, la integral se anula en el lımite

x0 → −∞, pues la funcion de Green en el integrabdo es la retardada. Por ello el

potencial Aβin(x) se debe interpretar como el potencial “entrante” o “incidente”,

cuando x0 → −∞. Por la misma regla de tres, Aout(x) es el potencial saliente, en

x0 → +∞.

6–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


6.2. Los potenciales y los campos de Lienard-Wiechert de una carga puntual

Desde el pasado remoto al futuro remoto, se habra producido un cambio,

que es “la radiacion” cuyo valor es la diferencia entre los potenciales saliente y

entrante. Su expresion es

Aβrad(x) = Aβout(x)− Aβin(x) = µ0

∫D(x− x′)Jβ(x′) d4x′ , (6.15)

siendo

D(z) = Dr(z)−Da(z)

es la diferencia entre las funciones de Green retardada y avanzada.

Conviene saber como expresar las densidades de carga y de corriente para

una partıcula cargada puntual, tal un electron. Recordemos que el cuadrivector

corriente es jα = (cρ , j). Si su posicion y su velocidad son r(t), v(t) = r(t), esas

dos cantidades valen

ρ(x, t) = eδ[x− r(t)] , j(x, t) = ev(t)δ[x− r(t)] .

La forma manifiestamente covariante de esas magnitudes es jα = euα, donde

uα es la cuadrivelocidad. Usaremos una forma algo mas complicada, lo que se

justificara en los desarrollos que vienen. Sea rα(τ) la trayectoria del electron como

funcion de su tiempo propio τ en el espacio-tiempo. Tomaremos como expresion

de la cuadricorriente

Jα(x) = e

∫dτ uα(τ) δ(4)[x− r(τ)] . (6.16)

En un sistema inercial, se tiene uα = (γc, γv) y rα = [ct, r(t)]. Estas expresiones

deben usarse en las ecuaciones (6.13), (6.14) y (6.15) para obtener los potenciales

correspondientes Aβ(x).

6.2. Los potenciales y los campos de Lienard-

Wiechert de una carga puntual

6.2.1. Calculo de los potenciales.

Consideremos el caso del potencial creado por una carga puntual que sigue

una trayectoria r = r(τ). En tal caso hay que usar (6.13) con Aµin = 0, de modo

que

Aα(x) = µ0

∫Dr(x− x′)Jα(x′) d4x′ , (6.17)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

6–5


donde

Jα(x) = e

∫dτ uα(τ) δ(4)[x− r(τ)] . (6.18)

Insertando (6.18) en (6.17) y usando la expresion de la funcion de Green (6.12),

resulta

Aα =eµ0

2π

∫uα(τ) δ(4)[x′ − r(τ)] θ[x0 − x′0] δ[x− x′]2 dτ d4x′ . (6.19)

Integrando primero en x′, se obtiene facilmente

Aα =eµ0

2π

∫uα(τ) θ[x0 − r0(τ)] δ[x− r(τ)]2 dτ . (6.20)

A esta ultima integral solo contribuye el punto con τ = τ0, definido por las

condiciones de retardo

[x− r(τ)]2 = 0 , (6.21)

x0 > r0(τ0) .

En la figura se indica el significado de estas condiciones. Vemos que τ0 corresponde

al punto en que el cono de luz del pasado del punto de observacion corta a la

trayectoria de la partıcula cargada.

Una propiedad de la funcion delta que necesitamos ahora es la siguiente (sien-

do τ una variable real, coordenada en R1). Haciendo un cambio de variable, se

comprueba facilmente que δ(aτ) = δ(τ)/|a|. Por el mismo procedimiento se sigue

que

δ[f(τ)] =∑k

δ(τ − τk)

|(df/dx)|τ=τk,

donde τk son los ceros de f(τ), es decir f(τk) = 0. En el caso de la integral (6.20),

f(τ) = [x− r(τ)]2, que solo tiene un cero y cuya derivada es

d

dτ[x− r(τ)]2 = −2 [x− r(τ)] · u(τ) = −2 [x− r(τ)]αu

α(τ) .

Sustituyendo en (6.20), resulta

Aα(x) =µ0 e

4π

uα(τ)

u · [x− r(τ)]

∣∣∣∣τ=τ ′

, (6.22)

donde τ ′ es el tiempo retardado. Esta es la solcion buscada. Conviene escribirla

en la forma no covariante para compararla con la expresion mas conocida. Para

ello, desarrollemos el denominador

u · [x− r(τ)] = u0[x0 − r0(τ)]− u · [x− r(τ)]

= γcR− γv · nR (6.23)

= γcR(1− β · n) ,

6–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



donde n es un vector unitario en la direccion de x−r(τ) y β = v(τ)/c. Se consigue

ası expresar los potenciales en la forma

Φ(x, t) =1

4πε0

[e

R(1− β · n)

]ret

, A =µ0

4π

[ev

R(1− β · n)

]ret

. (6.24)

El subındice “ret”significa que la cantidad entre parentesis debe evaluarse en el

tiempo retardado, que se determina por la condicion r0(τ0) = x0−R. Notese que

si la carga que crea el campo se mueve despacio, o sea β 1, esas expresiones

coinciden con los potenciales ya concidos en la teorıa no relativista, en orden cero

en β, es decir que se reducen a

Φ(x, t) =1

4πε0

e

|x− x′(t)|, A(x, t) =

µ0

4π

ev

|x− x′(t)|, (6.25)

siendo x el punto de observacion y x′ aquel en que se halla la carga en el tiempo

retardado t′.

6.2.2. Calculo de los campos electrico y magnetico.

El tensor electromagnetico F µν puede calcularse como ∂µAν − ∂νAµ usando

(6.22). Sin embargo, es algo mas facil hacerlo derivando la integral en (6.20). Al

derivar respecto a las coordenadas del punto de observacion x, se opera sobre las

funciones theta y delta. La primera no contribuye pues la derivada respecto a x0

de la funcion theta da δ(x0 − r0(τ), lo que transforma a la funcion delta al valor

δ(−R2), que solo contribuye si R = 0, es decir si la carga pasa exactamente por

el punto de observacion. Excluyendo esa posibilidad, podemos prescindir de las

derivadas de la funcion escalon. Haciendolo ası, se tiene

∂αAβ =eµ0

2π

∫uβ(τ) θ[x0 − r0(τ)] ∂

αδ[x− r(τ)]2 dτ . (6.26)

Para calcular la derivada de la funcion delta, se procede ası (con f = [x− r(τ)]2):

∂αδ[f ] = ∂αfd

dfδ[f ] = ∂αf

dτ

df

d

dτδ[f ] ,

Como dτ/df = (df/dτ)−1, se sigue

∂αδ[f ] = − (x− r)α

[x− r] · ud

dτδ[f ] .

Sustituyendo en (6.26), resulta

∂αAβ =e µ0

2π

∫dτuβ(τ) θ[x0 − r0(τ)] (−)

(x− r)α

[x− r] · ud

dτδ[f ] . (6.27)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

6–7


Si integramos por partes, resulta

∂αAβ = −e µ0

2πδ[f ]

(x− r)α

[x− r] · uuβθ[x0 − r0(τ)]

∣∣∣∣∞−∞

(6.28)

+e µ0

2π

∫dτ

d

dτ

[(x− r)αuβ

[x− r] · u

]θ[x0 − r0(τ)] δ[x− r(τ)]2 .

Es facil ver que la parte integrada (es decir, la primera lınea) se anula, pues

la delta es cero en los tiempos ±∞. Queda la segunda, que tiene la misma forma

que la ecuacion (6.20) con la velocidad uα sustituida por la derivada del termino

entre parentesis cuadrados. Realizando el mismo calculo con intercambio de α y

β, restando y teniendo en cuenta lo anterior, se llega a

Fαβ =e µ0

2π

1

u · (x− r)

d

dτ

[(x− r)αuβ − (x− r)βuα)

u · (x− r)

]ret

. (6.29)

Esta expresion es manifiestamente covariante, pero no es muy expresiva. Lo que

nos gustarıa es hallar los campos E y B en funcion de β, β, x, r(τ). Para con-

seguirlo, hay que utilizar las relaciones, facilmente comprobables

(x− r)α = (R,Rn), u = (γc, γcβ),

duα

dτ= [cγ4β · β, cγ2β + cγ4β(β · β)],

d

dτ[u · (x− r)] = −c2 + (x− r)α

duα

dτ,

donde β es la aceleracion ordinaria dividida por c. Sustituyendo en (6.29) se

obtiene

E(x, t) =e

4πε0

[n− β

γ2(1− β · n)3R2

]ret

+e

4πε0c

[n× [(n− β)× β]

(1− β · n)3R

]ret

B =1

c[n× E]ret (6.30)

Campos de velocidad y aceleracion, campos proximos y lejanos Los

campos electrico y magnetico anteriores son la suma de dos terminos. El primero

depende de la posicion y la velocidad de la carga pero no de la aceleracion. Ademas

decae en el infinito como 1/R2. Esta siempre ligado a la carga. El segundo depende

de la aceleracion y decae mas despacio, como 1/r. Cobra ”vida propia”pues se

separa de la carga: es la radiacion. Se anula si β = 0. Si, ademas, β → 0 el campo

electrico tiene a la ley de Coulomb. El primer termino se suele llamar campo de

velocidad o campo proximo; el segundo campo de aceleracion o campo lejano.

6–8—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



Figura 6.2: Posicion presente y retardada de una carga en movimiento uniforme.

6.2.3. Campos de una carga en movimiento uniforme

En el capıtulo 3 se obtuvo la expresion del campo electrico de una partıcula

en movimiento uniforme con velocidad v = βc. Como vimos, vale

E =1

4πε0

qr

r3γ2(1− β2 sen2 ψ)3/2, (6.31)

siendo ψ el angulo formado por la velocidad y el radio vector. A primera vista

es algo muy distinto del primer termino de (6.30), pero se puede mostrar que

son iguales. En la figura, O es el punto de observarion y P ′, P son las posiciones

retardada y actual de la carga e. La longitud P ′Q es igual a |v|R/c = βR y

(PM) = vt, suponiendo que la carga pasa a la mınima distancia de P en el

tiempo inicial.

Por tanto (OQ) = βR cos θ = β ·nR y (PQ) = R(1−β ·n). Comparando los

triangulos OPQ y PP ′Q, se tiene [(1−β ·n)R]2 = r2− (PQ)2 = r2−β2R2 sen2 θ.

Ademas, R sen θ = b, de modo que

[(1− β · n)R]2 = b2 + v2t2 − β2b2γ−2(b2 + γ2v2t2) .

En la ecuacion (3.52) del capıtulo 3, se ve que la componente transversa Ey vale

Ey =eγb

(b2 + γv2t2)3/2,

que se puede escribir, en terminos de la posicion retardada, como

Ey =

[eb

γ2(1− β · n)3R3

]ret

, (6.32)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

6–9


que coincide con la expresion de la componente transversal del campo electrico

proximo en (6.30). Las otras componentes se obtienen de la misma manera. O

sea que las expresiones (6.30) y (6.31) para el campo electrico sin aceleracion

coinciden, como cabıa esperar.

6.3. Radiacion de una carga acelerada. Formula

de Larmor

Consideremos a una carga acelerada en un sistema de referencia en el que su

velocidad es pequena, lo que incluye casos de gran interes. En tal caso, el campo

electrico se reduce al de aceleracion con β = 0, o sea a

Ea(x, t) =e

4πε0c

[n× [n× β]

R

]ret

. (6.33)

Como B = n× E/c, el vector de Poynting vale

S =1

µ0

E×B =1

µ0cE× (n× E) =

1

µ0c|Ea|2n (6.34)

donde se ha usado la identidad a×b×c = (a · c)b−(a · b)c y la relacion E·n = 0.

Se sigue que la potencia radiada por unidad de angulo solido vale

dP

dΩ=

1

µ0c|REa|2 =

1

µ0c

(e

4πε0c

)2

|n× [n× β]|2 (6.35)

If Θ is the angle between the acceleration v and n, then

dP

dΩ=

e2

(4π)2ε0

v2

c3sen2 Θ , (6.36)

donde se ha usado la igualdad ε0µ0c2 = 1. La potencia radiada total se obtiene

integrando la expresion anterior en la esfera unidad. El valor medio de sen2 Θ vale

2/3, con lo que la potencia total es

P =2

3

e2

4πε0

v2

c3, (6.37)

que es la conocida formula de Larmor. En unidades gaussianas toma la forma,

mas usada,

P =2

3

q2

c3v2 ,

siendo q2 = e2/4πε0.

6–10—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


6.3. Radiacion de una carga acelerada. Formula de Larmor

Figura 6.3: Distribucion angular de la potencia radiada por una partıcula de baja

velocidad. Los dos lobulos tienen forma circular e indican las lıneas de intensidad

igual de los campos electrico y magnetico y el vector de Poynting. La distribucion

tiene simetrıa cilındrica en torno a la aceleracion v (la flecha).

La formula (6.36) dice que, en el caso de pequena velocidad, la distribucion

angular de la potencia radiada es proporcional a sen2 Θ, lo que significa que la

partıcula radia de manera tranvesal a la aceleracion, con el maximo en el plano

perpendicular a ella segun se indica en la figura.

6.3.1. Formula relativista de Larmor

La formula de Larmor anteriormente hallada supone que la velocidad de la

carga es pequena, lo que limita su campo de aplicacion. Conviene generalizarla

para velocidad arbitraria, lo que es posible hacer usando argumentos de covari-

ancia Lorentz. Para ello busquemos una expresion que sea invariante Lorentz y

se reduzca a (6.37) cuando β → 0. Se puede demostrar que el resultado es unico2.

La formula de Larmor se puede escribir

P =2

3

q2

m2c3

(dp

dt· dp

dt

), (6.38)

siendo m y p la masa y el momento lineal de la carga. Recordemos que q2 =

e2/4πε0. La generalizacion invariante Lorentz es

P = −2

3

q2

m2c3

(dpµdτ

· dpµ

dτ

), (6.39)

2Ver Rohrlich, p. 109 y Jackson, p. 666.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

6–11


donde dτ = dt/γ es el tiempo propio y pµ es el cuadivector energıa-momento.

El producto de cuadrivectores en esta ecuacion se puede escribir como

− dpµdτ

· dpµ

dτ=

(dp

dτ

)2

− 1

c2

(dEdτ

)2

=

(dp

dτ

)2

− β2

(dp

dτ

)2

, (6.40)

donde E = γmc2 y p = γmv. Eso conduce de inmediato a

P =2

3

q2

cγ6 [β

2 − (β × β)2] . (6.41)

Esta es la formula relativista de Larmor, valida para cualquier velocidad.

6.4. Reaccion a la radiacion. Radiacion del sin-

crotron.

La radiacion representa una perdida de energıa que hay que tener en cuenta

al calcular los movimientos de partıculas cargadas en campos electromagneticos.

Tambien es algo ası como los gases que salen de un cohete, algo ası como un motor

puesto al reves en un avion que interviene como una fuerza que hay que tener en

cuenta, llamada reaccion a la radiacion. Es un problema muy importante para

los disenadores de aceleradores de partıculas.

Los campos electrico y magnetico estan dados por (6.30), es decir,

E =e

4πε0c

n× [(n− β)× β]

(1− β · n)3R

ret

, B =1

c[n× E] .

La componente radial del vector de Poynting vale

[S · n]ret =q2

4πc

1

R2

∣∣∣∣∣n× [(n− β)× β]

(1− β · n)3

∣∣∣∣∣2

ret

(6.42)

Como se ve, hay dos tipos de efectos relativistas: uno se debe a la relacion

entre la velocidad y la aceleracion y determina la forma de la distribucion angular

de la energıa radiada; el otro es el debido a la dependencia de β del denominador.

Conviene usar el tiempo retardado t′ = t − R(t′)/c que es el propio de la carga.

Para calcular la energıa radiada entre t′ = T1 y t′ = T2 es

E =

∫ T2+[R(T2)/c]

T1+[R(T1)/c]

[S · n]retdt =

∫ T2

T1

(S · n)dt

dt′dt′ . (6.43)

6–12—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


6.4. Reaccion a la radiacion. Radiacion del sincrotron.

La energıa radiada por unidad de angulo solido y de tiempo propio de la carga

debe ser pues

dP (t′)

dΩ= R2 (S · n)

dt

dt′= R2 S · n (1− β · n) . (6.44)

Tomando el valor (6.42) para la componente radial del vector de Poynting, resulta

dP (t′)

dΩ=

q2

4πc

|n× [(n− β)× β|2

(1− β · n)5. (6.45)

6.4.1. Caso de aceleracion lineal,

o sea, de aceleracion paralela o antiparalela a la velocidad. En ese caso la

componente radial de S vale

[S · n]ret =q2

4πc

1

R2

∣∣∣∣∣n× [n× β]

(1− β · n)3

∣∣∣∣∣2

ret

(6.46)

Teniendo en cuenta que β · n = v cos θ y |n × (n × v)|2 = v2 sen2 θ (donde θ

es el angulo entre la lınea desde la carga al punto de observacion y la velocidad

(o sea entre x− r(t′) y v), resulta para la distribucion angular de la radiacion

dP (t′)

dΩ=

(q2

4πc3

)v2 sen2 θ

[1− (v/c) cos θ]5, (6.47)

siendo θ el angulo que forma la direccion hacia el punto de observacion con la

del vector velocidad. Si β → 0, la expresion anterior tiende a la formula de

Larmor, de modo que la radiacion se emite transversalmente. En el caso opuesto

de alta velocidad (tambien llamado ultrarrelativista), β → 1, la radiacion sale

hacia adelante, concentrandose en dos lobulos alrededor de la velocidad, de modo

que el angulo que forman con ella decrece al crecer v, haciendose cero en el lımite

β = 1. La potencia radiada crece con la velocidad y con la aceleracion. El angulo

θmax para el que la intensidad es maximo se obtiene hallando el maximo de la

expresion (6.47), o sea

0 =d

dθ

sen2 θ

(1− β cos θ)5, ⇒ cos θmax =

[√1 + 15β2 − 1

3β

]→ 1− 1

8γ2,

donde el lımite corresponde a β → 1, hasta segundo orden en 1/γ. Por tanto al alta

velocidad θmax = 1/2γ. Es facil comprobar que en el lımite β → 1, la intensidad

de la radiacion en ese maximo es proporcional a γ8. Teniendo en cuenta que


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

6–13


Figura 6.4: Distribucion angular de la potencia radiada por una partıcula de alta

velocidad, cuando es paralela (o antiparalela) a la aceleracion . Los dos lobulos

indican ademas las lıneas de intensidad igual de los campos electrico y magnetico

y el vector de Poynting. La distribucion tiene simetrıa cilındrica en torno a la

velocidad (o a la aceleracion).

β ' 1 − 1/2γ2 en ese lımite, la ecuacion (6.47) se puede escribir para angulos

pequenos en la forma aproximada

dP (t′)

dΩ' 8

π

q2v2

c3γ8 (γθ)2

(1 + γ2θ2)5, (6.48)

que aparece representada en la figura. Notese que hay un pico en γθ = 1/2, con las

semialturas en γθ = 0,23 y γθ = 0,91. Es facil comprobar que la media cuadratica

del angulo vale

〈θ2〉1/2 =1

γ=mc2

E.

Notese que, integrando es ta ultima ecuacion se obtiene

P (t′) =2

3

q2

c3v2γ6 ,

que coincide con (6.41) para velocidad y aceleracion paralelas.

Como vemos, la radiacion debe producir un frenado. Se conoce como bremsstrahlung,

palabra alemana que significa radiacion de frenado (de Bremsung, deceleracion, y

Strahlung, radiacion). Ocurre cuando un chorro de electrones se frena al atravesar

un medio material. Es un fenomeno muy importante.

En un acelerador lineal, el movimiento es unidimensional. De la ecuacion (6.40)

se sigue que

P =2

3

q2

m2c3

(dp

dt

)2

. (6.49)

6–14—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


6.4. Reaccion a la radiacion. Radiacion del sincrotron.

Figura 6.5: Distribucion angular de la radiacion para una partıcula muy rela-

tivista.

Como la tasa de cambio temporal del momento lineal es igual al cambio de la

energıa de la partrıcula por unidad de longitud, resulta

P =2

3

q2

m2c3

(dEdx

)2

, (6.50)

de modo que, en el caso de movimiento lineal, la potencia radiada depende de

las fuerzas aplicadas que determinan la variacion de la energıa por unidad de

longitud y no de la energıa misma. El cociente de la potencia radiada a la potencia

suministrada por las fuerzas exteriores es,

P

(dE/dx)=

2

3

q2

m2c31

v

dEdx

, (6.51)

que en el lımite de alta velocidad (β → 1), da

P

(dE/dx)→ 2

3

q2/mc2

mc2dEdx

. (6.52)

La ecuacion anterior muestra que, en un acelerador lineal, la perdida de energıa

por radiacion solo es importante si el aumento de la energıa es del orden de

mc2 = 0,511 MeV en la distancia q2/mc2 = 2,82×10−15m, es decir si dE/dx ' 2×1014 MeV/m. En un acelerador lineal la ganancia en energıa debida a los campos

exteriores a la partıcula suele ser del orden de 50MeV/m. Por tanto la radiacion

de la partıcula (o sea la reaccion de la radiacion) es muy poco importante en los

aceleradores lineales. Se puede despreciar.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

6–15


Figura 6.6: Caso de una partıcula en movimiento circular

6.4.2. Caso de la aceleracion centrıpeta en un movimiento

circular.

Supongamos una carga puntual moviendose a lo largo de una circunferencia.

Tomando un sistema de coordenadas con el eje z segun la direccion de v y el eje

x segun la de v, y con los angulos polar y azimutal segun se indica en la figura,

la expresion (6.45) resulta ser igual a

dP (t′)

dΩ=

q2

4πc3v2

(1− β cos θ)3

[1− sen2 θ cos2 φ

γ2(1− β cos θ)2

]. (6.53)

En el caso de una carga muy relativista encontramos de nuevo un pico pro-

nunciado hacia delante. Si γ 1 y siguiendo un proceso analogo al que llevo a

(6.48), la distribucion angular anterior puede aproximarse como

dP (t′)

dΩ' 2

π

q2

c3γ6 v2

(1 + γ2θ2)3

[1− 4γ2θ2 cos2 φ

(1 + γ2θ2)2

]. (6.54)

La media cuadratica del angulo 〈θ2〉1/2 vale lo mismo que en el caso de la acel-

eracion longitudinal. La potencia radiada total se obtiene integrando (6.53) y

resulta

P (t′) =2

3

e2

c3v2γ4 . (6.55)

Notese que, como en un movimiento circular de radio % se cumple |v| = v2/%, la

intensidad de la radiacion es proporcional a la cuarta potencia de la velocidad e

inversamente proporcional al cuadrado del radio.

6–16—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


6.5. Ejercicios

Teniendo en cuenta que la fuerza, es decir la magnitud del cambio de momento

lineal, es en el movimiento circular igual a γmv, la ecuacion (6.55) puede escribirse

como

Pcircular(t′) =

2

3

q2

m2c3γ2

(dp

dt′

)2

, (6.56)

a comparar con (6.49)

Plongitudinal(t′) =

2

3

q2

m2c3

(dp

dt′

)2

.

Como se ve y para la misma fuerza la radiacion emitida cuando la aceleracion es

transversal es un factor γ2 mas intensa que cuando es longitudinal.

6.5. Ejercicios

6.1 Dos cargas P y S de valor −q estan fijas en los extremos de una varilla de

longitud 2b, colocada a lo largo del eje z, desde −b a +b. En el plano mediador

de la varilla, a una distancia d de ella y sobre el eje x esta una tercera carga

R de valor +q. Consideraremos dos supuestos. a) En el sistema S, la varilla PS

acelera con a = v = vex hacia R, que esta en reposo. b) En el sistema S ′, la

varilla esta en reposo y R acelera con −v hacia la varilla. Calcular en los dos

casos, las fuerzas que se establecen entre los dos sistemas R y PS. Se supone que

las velocidades son pequenas frente a c.

6.2 Se tiene un alambre conductor rectilıneo e infinito situado a lo largo del

eje z. A partir del instante t = 0 se le aplica una corriente constante en todo el

alambre, es decir

I(z, t) =

0 , t < 0 ,

I , t ≤ 0 .

Hallar los campos E ,B y el vector de Poynting S en todo el espacio.

6.3 Analizar la distribucion angular de la radiacion y el promedio temporal

de la potencia radiada por unidad de angulo solido por una carga en movimiento

no relativista,

a) a lo largo del eje z con z = a cosω0t.

b) a lo largo de una circunferencia de radio r en el plano xy con frecuencia angular

ω0.

6.4 Una partıcula cargada con velocidad v0 entra en un medio y se ve frenada

con una fuerza proporcional a la velocidad F = −αv. Hallar la energıa total


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

6–17


emitida en forma de radiacion, suponiendo que el medio actua practicamente

como el vacıo para la radiacion.

Ayuda:

∫ 1

−1

1− x2

(1 + βx)5dx =

4

3β6 .

6.5 Calcular la potencia radiada en el modelo clasico de Bohr por un electron

en el estado fundamental del atomo de hidrogeno (sin postulado de cuantizacion).

¿Cual serıa el tiempo de vida del atomo? (Se puede admitir que el electron cae

al nucleo muy despacio, siguiendo una espiral de modo que la radiaci´n es muy

aproximadamente la de un movimiento circular. Analizar la validez de tal aprox-

imacion a la luz del resultado obtenido.

6.6 Dos cargas de valores opuestos (+q y −q) describen una orbita circular con

frecuencia ω, manteniendose en posiciones diametralmente opuestas. Estudiar la

radiacon emitida en la zona lejana. Hallar la distribucion angular de la radiacion

y la potencia total radiada en la aproximacion no relativista.

6.7∗ Una carga Q, uniformemente distribuida en una esfera de radio R, se

mueve con velocidad v, constante respecto al sistema de laboratorio S. Calcular

el momento y la energıa debidos a su campo electromagnetico.

a) Por transformacion a S de la energıa y el momento en el sistema propio de la

esfera S ′.

b) Por calculo directo en el referencial S. Se supone que v c.

6–18—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


Capıtulo 7

Sistemas radiantes

7.1. Radiacion de un sistema de cargas

El proposito de esta seccion es determinar la potencia radiada por un conjunto

de cargas puntuales que se mueven en el vacıo manteniendose en el interior de

un volumen acotado V . Supondremos que (i) las velocidades de las cargas son no

relativistas |vk| c, (ii) las dimensiones de V son pequenas respecto a la distancia

al punto de observacion y (iii) respecto a las longitudes de onda dominantes.

Tomemos las expresiones de los campos electrico y magnetico de una carga

acelerada obtenidos en el capıtulo 6, ecuaciones (6.30), suponiendo el origen de

coordenadas en el interior de V . Despreciando el efecto de su velocidad, los campos

creados por esa carga son

E =q

4πε0c

n× (n× r/c)

r

∣∣∣∣ret

, B = − q

4πε0c2n× r/c

r

∣∣∣∣ret

. (7.1)

En los sucesivo se omite por simplicidad el subındice “ret”, indicador de que el

segundo miembro debe calcularse en el tiempo retardado. Sumando en el conjunto

de las cargas qk, se obtiene B = −n×∑

k qkrk/(4πε0c3r), de donde

B = − µ0

4πcr2r× p, E = −c

rr×B , (7.2)

siendo p es el momento dipolar electrico del sistema de cargas

p =∑k

qkrk .

Notese que tanto E como B son perpendiculares a r. Para calcular la potencia

radiada, debemos determinar el vector de Poynting

S =c

µ0rB× (r×B) =

c

µ0rrB2 =

r(r× p)2

16π2ε0c3r5(7.3)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

7–1

Capıtulo 7. Sistemas radiantes

Si se toma el eje z en la direccion de p,

S =p sen2 θ

16π2ε0c3r

r3. (7.4)

La maxima potencia radiada se alcanza en las direcciones normales a p. Tomando

una esfera S de radio grande cuya superficie este toda en la zona lejana de las

partıculas e integrando el flujo a traves de ella, resulta para la potencia radiada

total

P = −dW

dt=

∫S

S · n da

=p2

16π2ε0c3

∫sen2 θ

r3

r · rr

r2 sen θdθdϕ

O sea

P =1

4πε0

2 p2

3 c3, (7.5)

que es la expresion de la potencia radiada por un sistema de partıculas no rela-

tivistas contenidas en un volumen acotado. Notese que su valor no depende de la

eleccion particular del eje z que hemos hecho.

La ecuacion anterior tiene una gran semejanza con la formula de Larmor

(6.37), estudiada en el capıtulo anterior. De hecho, si solo hay una partıcula, su

momento dipolar p = qr′ no tiene caracter intrınseco pues depende del origen de

coordenadas, segun ocurre cuando la carga total no se anula. Pero eso no tiene

importancia pues las derivadas p = qr′ = qv y p = qv no varıan al cambiar el

origen. Se obtiene ası

P =q2

4πε0

2

3

v2

c3

que es precisamente la formula de Larmor.

La radiacion considerada en esta seccion se conoce como radiacion dipolar

electrica por ser la parte correspondiente a la variacion del momento dipolar

electrico. Pero es solo una aproximacion, si bien es, en general, la parte dominate

del campo radiado. Mas concretamente, es el primer termino de un desarrollo en

serie.

7.2. Radiacion de un dipolo oscilante

Sea un dipolo oscilante, constituido por dos pequenas esferas localizadas en

los puntos z = ±`/2 del eje z, conectadas por un alambre, tal como se muestra

7–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



en la figura. Ese dipolo representa un circuito lineal pequeno por el que circula

una corriente alterna, generada por una fuente de tension con frecuencia ω. En

notacion compleja de fasoresQ = qω cosωt = <(qωeiωt). La intensidad de corriente

en el alambre es

I = Q,

(si q = qω cosωt, entonces Iω = −ωqω senωt) con lo que I = −iωQ y el momento

dipolar pω = Q` = iIω`/ω (en lo sucesivo omitiremos el subındice ω por sim-

plicidad; recordemos que, en el metodo de los fasores, a la derivada temporal le

corresponde la multiplicacion por −iω y a la integracion la division por −iω).

Figura 7.1:

Supondremos que la longitud ` del dipolo es pequena comparada con la lon-

gitud de onda de la radiacion λ = c/2πω: ` λ. El potencial vector debido a la

distribucion de corriente I = q vale

Az(r, t) =µ0

4π

∫ `/2

`/2

I(z′, t− |r− z′kz|/c)|r− z′kz|

dz′. (7.6)

Para calcular esta integral, hay que hacer algunas aproximaciones. En primer

lugar, si ` r (a grandes distancias) se puede tomar

|r− kz′| = (r2 − 2z′k · r + z′ 2)1/2 ≈ r − z′ cos θ,

siendo θ el angulo polar. Sustituyendo en (7.6), resulta que podemos pres cindir del

termino −z′ cos θ en el denominador, como aproximacion, si r es suficientemente

grande (en la zona lejana). En el numerador, sin embargo, ese termino solo puede

despreciarse si z′ cos θ/c es muy pequeno comparado con el tiempo durante el cual


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

7–3


cambia apreciablemente la corriente, para lo que podemos tomar el periodo T =

2π/ω. Como |z′ cos θ| ≤ `/2, esto implica que el retardo solo puede despreciarse

si`

2 cT = λ , (7.7)

es decir, si es pequeno comparado con la longitud de onda y, ademas, el punto

de observacion esta lo suficientemente alejado del dipolo (r `). En ese caso,

podemos aproximar (7.6) por

Az(r, t) =µ0

4π

`

rI(t− r

c

). (7.8)

Para calcular el potencial Φ hay que tener cuidado con las aproximaciones porque

es la diferencia entre dos terminos grandes. Para evitar errores grandes, conviene

fijar el gauge con la condicion de Lorentz

∇ ·A +1

c2∂Φ

∂t= 0, (7.9)

de donde

∂Φ

∂t= − 1

4πε0

∂

∂z

[`

rI(t− r

c

)]=

`

4πε0

[ zr3I(t− r

c

)+

z

r2cI(t− r

c

)]Como I = q, esta ecuacion puede integrarse facilmente

Φ(r, t) =`

4πε0

z

r2

[q(t− r/c)

r+I(t− r/c)

c

], (7.10)

Las ecuaciones (7.8) y (7.10) dan los potenciales. A partir de ellos se obtienen los

campos por simple derivacion. Consideremos el caso en que la carga del dipolo

varıa armonicamente

q(t− r

c

)= q0 cosω

(t− r

c

),

I = I0 senω(t− r

c

)= −ωq0 sen

(t− r

c

).

Descomponiendo A en sus componentes esfericas, resulta

Ar =µ0

4π

I0`

rcos θ senω

(t− r

c

),

Aθ = −µ0

4π

I0`

rsen θ senω

(t− r

c

),

Aϕ = 0,

7–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



La unica componente no nula de B es

Bϕ =1

r

∂

∂r(rAθ)−

1

r

∂Ar∂θ

=µ0

4π

I0`

rsen θ

[ω

ccosω

(t− r

c

)+

1

rsenω

(t− r

c

)]. (7.11)

El calculo del campo electrico es mas complejo pues hay que sumar dos terminos

E = −∇Φ− ∂tA. El resultado es

Er =2`I0 cos θ

4πε0

[senω(t− r/c)

r2c− cosω(t− r/c)

ωr3

], (7.12)

Eθ = −`I0 sen θ

4πε0

[(1

ωr3− ω

rc2

)cos(t− r

c

)− 1

r2csenω

(t− r

c

)],

Eϕ = 0 .

Conviene subrayar que las lıneas magneticas son circunferencias en planos z =

const y centradas en el eje z, mientras que las electricas estan contenidas en los

planos que contienen el eje z.

Para calcular la tasa de emision de energıa del dipolo hay que hallar el flujo

del vector de Poynting a traves de una esfera de radio R centrada en el centro

del dipolo. Solo influye la componente r del vector de Poynting, y por tanto∫S

S · n da =1

µ0

R2

∫ π

0

EθBϕ2π sen θ dθ. (7.13)

Lo interesante es calcular el valor de ese flujo a alto valor de R, para lo que hay

que tomar solamente los terminos en r−1 en Eθ y Bϕ. Resulta∫S

S · nda =(I0`)

2ω2

6πε0c3cos2 ω

(t− r

c

). (7.14)

Esa es la potencia instantanea radiada; la potencia media es

〈P 〉 =`2ω2

6πε0c3I20

2. (7.15)

Esta ecuacion se suele escribir en funcion de la longitud de onda λ = 2πc/ω y la

velocidad de la luz en la forma

〈P 〉 =2π

3

√µ0

ε0

(`

λ

)2I20

2. (7.16)

Esta formula recuerda a la expresion del efecto Joule P = RI2/2. Por ello se

define la resistencia de radiacion de un dipolo como

Rr =2π

3

√µ0

ε0

(`

λ

)2

, o tambien Rr = 789

(`

λ

)2

Ω en el espacio vacıo


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

7–5


7.3. Planteamiento general del problema

Consideremos de nuevo un sistema de cargas y corrientes dentro de un volumen

V acotado, estudiando su dinamica en el espacio ilimitado, sin la presencia de

conductores, por ejemplo, por simplicidad. Los metodos del analisis de Fourier

son muy importantes y muy usados. Tomemos densidades de carga y de corriente

que verıen armonicamente en el tiempo

ρ(r, t) = ρ(r)e−iωt , j(r, t) = j(r)e−iωt , (7.17)

tomando luego la parte real de los resultados de los calculos para obtener las

magnitudes fısicas.

Figura 7.2:

Segun se ha visto al estudiar las funciones de Green, el vector A(r, t) en el

gauge de Lorenz es

A(r, t) =µ0

4π

∫V

d3r′∫

dt′j(r′, t′)

|r− r′|δ

(t′ +

|r− r′|c

− t

). (7.18)

La funcion delta tiene en cuenta el retraso de la senal para garantizar el com-

portamiento causal. Sustituyendo (7.17) en (7.18), resulta A(r, t) = A(r)e−iωt,

con

A(r) =µ0

4π

∫j(r′)

eik|r−r′|

|r− r′|d3r′ (7.19)

Los campos se expresan fuera de V como

H =1

µ0

∇×A , E =iZ0

k∇×H (7.20)

siendo Z0 =√µ0/ε0 la impedancia del espacio vacıo. La primera igualdad es la

relacion estandar entre el potencial vectorial y el campo magnetico; la segunda

es la carta ecuacion de Maxwell o ley de Ampere-Maxwell.

7–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


7.3. Planteamiento general del problema

En principio, bastarıa con aplicar (7.18) para calcular los campos. Sin embar-

go, conviene conocer algunas propiedades del sistema que son interesantes para

elaborar una vision intuitiva del problema y no dependen de los detalles exac-

tos de las distribuciones de carga y corriente. Seguimos con las aproximaciones

expuestas al principio del capıtulo, en especial suponiendo que las dimensiones

de V , del orden de `, y la longitud de onda cumplen λ = 2πc/ω `. Se deben

considerar separadamente tres regiones espaciales.

i) La zona proxima: ` r λ,

ii) la zona intermedia: ` r ∼ λ,

iii) la zona lejana: ` λ r.

Las tres zonas se conocen tambien como estatica, de induccion y de radiacion,

respectivamente. Las propiedades de los campos son diferentes en las tres zonas.

En la proxima, los campos tienen caracterısticas de campos estaticos, con com-

ponentes radiales no nulas y variacion espacial dependiente de los detalles de las

fuentes. En la zona lejana los campos E y B son transversos, decaen como 1/r

y tienen dependencia espacial tıpica de los campos de radiacion, caracterizados

por la variacion temporal de los momentos multipolares de las distribuciones de

carga y de corriente.

En la zona proxima se cumple kr 1, por lo que la exponencial en (7.19) se

puede aproximar como 1. Expresando |r − r′|−1 mediante su desarrollo en serie

multipolar

1

|r− r′|= 4π

∞∑`=0

∑m=−`

1

2`+ 1

r`<r`+1>

Y ∗`m(θ′, ϕ′)Y`m(θ, ϕ) . (7.21)

Resulta ası

lımkr→0

A(r) =µ0

4π

∑`,m

4π

2`+ 1

Y`m(θ, ϕ)

r`+1

∫j(r′)r′ ` Y ∗

`m(θ′, ϕ′) d3r′ (7.22)

O sea que los campos en la zona proxima son cuasi-estacionarios: oscilan armonica-

mente debido al factor e−iωt pero tienen una dependencia espacial estatica.

En la zona lejana ocurre al reves: kr 1, por lo que la exponencial en (7.19)

oscila muy deprisa. Se puede hacer la aproximacion

|r− r′| ' r − n · r′ . (7.23)

donde n es un vector unitario en la direccion de r. El termino dominante en la

expresion de A(r) se obtiene prescindiendo de −n·r′ en el denominador de (7.19).


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

7–7


Se sigue que, en esa aproximacion, el potencial vectorial vale

lımkr→∞

=µ0

4π

eikr

r

∫j(r′)e−ikn·r

′d3r′ (7.24)

Esta ecuacion muestra que el potencial vectorial se comporta, en la zona lejana,

como una onda esferica saliente con un factor multiplicativo dependiente de los

angulos (la integral). Si se cumple la condicion ` λ, se puede desarollar la

exponencial en serie de k

lımkr→∞

A(r) =µ0

4π

eikr

r

∑m

(−ik)m

m!

∫j(r′)[n · r′]md3r′ . (7.25)

De aquı se sigue una importante consecuencia. Como el orden de magnitud de

r′ es `, o menor, y k` es menor que uno, los terminos en la serie en la integral

anterior decaen hacia cero, de manera que la radiacion emitida se debe solo a los

primeros terminos.

En la zona intermedia el calculo es mas complejo. Diremos solamente que las

aproximaciones usadas para las zonas proxima y lejana no son validas allı. Lo

mas importante es la expresion exacta del potencial vectorial. Para conseguirla

se usa el desarrollo multipolar

eik|r−r′|

4π|r− r′|= ik

∞∑`=0

j`(kr<)h(1)` (kr>)

∑m=−`

Y ∗`m(θ′, ϕ′)Y (θ, ϕ) , (7.26)

donde j`(kr) son las funciones esfericas de Bessel, h(1)` (kr) las de Hankel de

primera especie e Y`m, los armonicos esfericos. Sustituyendo en (7.19), resulta

que, fuera de V , el potencial vale exactamente

A(r) = µ0ik∑`,m

h(1)` (kr)Y`m(θ, ϕ)

∫j(r′)j`(kr

′)Y`m(θ′, ϕ′)d3r′ (7.27)

Notese que h(1)` (kr) → (−i)`+1eikr/kr para kr →∞.

Inexistencia de radiacion monopolar. Haciendo el mismo calculo con el

potencial escalar, resulta

Φ(r, t) =1

4πε0

∫V

d3r′∫

dt′ρ(r′, t′)

|r− r′|δ

(t′ +

|r− r′|c

− t

).

La parte monopolar de la radiacion se obtiene sustituyendo |r− r′| por r, lo que

conduce a

Φmonopolar(r, t) =q(t′ = t− r/c)

4πε0rComo la carga electrica de una distribucion contenida en el volumen V se conser-

va, el termino monopolar es siempre estatico. Los campos armonicos no pueden

incluir terminos monopolares. O sea: no hay radiacion monopolar.

7–8—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


7.4. Termino dipolar electrico de la radiacion

7.4. Termino dipolar electrico de la radiacion

Consideremos de nuevo la ecuacion (7.25). Si se desprecian todos los terminos

de la serie salvo el primero, se tiene

A(r) =µ0

4π

eikr

r

∫j(r′)d3r′ (7.28)

que es evidentemente el termino ` = 0 de la serie (7.27) teniendo en cuenta que,

como kr′ 1, se puede aproximar j` = 1 en la integral. Mediante una integracion

por partes, es posible escribir dicha integral del modo∫j d3r′ = −

∫r′(∇′ · j) d3r′ = −iω

∫r′ρ(r′) d3r′ = −iωp (7.29)

pues la ecuacion de continuidad dice que iωρ = ∇ · j , siendo p =∫

rρ(r) d3r el

momento dipolar electrico. Esto es interesante, pues permite expresar el potencial

vectorial en funcion de p

A(r) = −iµ0ω

4πpeikr

r(7.30)

Usando ahora las ecuaciones (7.20) se muestra que los campos tiene la forma

H =ck2

4π(n× p)

eikr

r

(1− 1

ikr

)(7.31)

E =1

4πε0

[k2(n× p)× n

eikr

r+ [3n(n · p)− p]

(1

r3− ik

r2

)eikr]

Esta es la expresion del termino dipolar electrico de la radiacion. Notese que es

distinto de cero si y solo si p = p(t). Su comportamiento en la zona lejana es

H =ck2

4π(n× p)

eikr

r, E = Z0 H× n , (7.32)

mientras que en la zona proxima

H =iω

4π(n× p)

1

r2, E =

1

4πε0[3n(n · p)− p]

1

r3. (7.33)

Conviene subrayar los siguientes puntos

(i) la radiacion dipolar electrica es el primer termino en el desarrollo multipolar

de la radiacion; por ello es dominante en general.

(ii) Depende de la variacion del momento dipolar electrico, es decir de sus

derivadas temporales respecto al tiempo.

(iii) En su expresion completa, el campo magnetico es transverso siempre, mien-

tras que el electrico lo es en la zona de radiacion, pero no en la zona proxima.

(iv) En la zona proxima el campo electrico es estacionario, oscilando armonica-

mente alrededor de la forma tıpica de un campo dipolar electrico estatico (debido

al factor e−iωt).


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

7–9


7.5. Radiacion dipolar magnetica y cuadrupolar

electrica

El segundo termino en (7.25) es

A(r) =µ0

4π

eikr

r

(1

r− ik

)∫j(r′)(n · r′)d3r′ (7.34)

donde se han incluido la forma correcta de la serie (7.27) para que (7.34) sea valida

en todo el exterior de V , no solo en la zona lejana. Conviene escribir el integrando

anterior como suma de una parte simetrica en j y r′ y otra antisimetrica.

1

2[(n · r′)j + (n · j)r′] +

1

2(r′ × j)× n . (7.35)

La segunda parte es la imanacion debida a la corriente

M =1

2(r× j) (7.36)

La contribucion de ese termino al potencial vectorial es

A(r) =ikµ0

4π(n×m)

eikr

r

(1− 1

ikr

), (7.37)

donde m es el momento dipolar magnetico del sistema

m =

∫M d3r =

1

2

∫(r× j) d3r (7.38)

Los campos pueden determinarse tenendo en cuenta que el potencial vectorial

(7.37) es proporcional al campo magnetico del dipolo electrico (7.31). Mas conc-

retamente, resulta que el campo magnetico del dipolo magnetico es igual a 1/Z0

por el campo electrico del dipolo electrico, cambiando p por m/c. Ademas, el cam-

po magnetico de esta fuente dipolar magnetica es −Z0 por el campo magnetico

del dipolo electrico con la misma sustotucion. De modo explıcito:

H =1

4π

[k2(n×m)× n

eikr

r+ [3n(n ·m)−m]

(1

r3− ik

r2

)eikr]

E = −Z0

4πk2 (n×m)

eikr

r

(1− 1

ikr

)(7.39)

Como se puede ver se pasa de una a otra de las expresiones de los campos en las

dos formas de radiacion mediante los cambios E → Z0H, Z0H → −E, p → m/c.

Notese, ademas, que los dos campos son transversos en la zona lejana.

7–10—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


7.5. Radiacion dipolar magnetica y cuadrupolar electrica

Termino cuadrupolar electrico. Consideremos ahora el efecto del termino

simetrico en (7.35). Si se integran por partes y tras un poco de algebra, su integral

toma la forma

1

2

∫[(n · r′)j + (n · j)r′]d3r′ = − iω

2

∫r′(n · r′)ρ(r′)d3r′ (7.40)

donde se ha hecho uso de la ecuacion de continuidad como mas arriba. El potencial

vectorial es

A(r) = − µ0ck2

8π

eikr

r

(1− 1

ikr

)∫r′(n · r′)ρ(r′)d3r′ (7.41)

El calculo es algo mas complicado, pero si nos limitamos a la zona lejana, no

es difıcil ver que toman la forma

H = ik n×A/µ0 , E = ikZ0 (n×A)× n/µ0 (7.42)

Sustituyendo el valor de A, se tiene para el campo magnetico

H = − ick3

8π

eikr

r

∫(n× r′)(n · r′)ρ(r′)d3r′ (7.43)

Recordando la expresion del tensor de momento angular

Qij =

∫(3xixj − r2δij)ρ(r)d

3r (7.44)

la integral en (7.43) se puede escribir como

n×∫

r′(n · r′)ρ(r′)d3r′ =1

3n×Q(n) (7.45)

donde el vector Q(n) tiene por componentes Qi =∑

j Qijnj. Resulta entonces

que

H = − ick3

24π

eikr

rn×Q(n) (7.46)

con lo que la potencia media radiada por unidad de angulo solido es

dP

dΩ=

c2Z0

1152π2k6|[n×Q(n)]|2

Este termino del desarrollo en serie del campo radiado se llama radiacion cuadupo-

lar electrica pues depende de los momentos cuadupolares electricos.

El calculo se hace progresivamente mas complejo y no lo desarrollaremos aquı.

Existe un procedimiento sistematico que permite atacar el problema general del

desarrollo multipolar de la radiacion (vease, por ejemplo, Jackson cap. 9.)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

7–11


7.6. Un ejemplo de antena

Tomemos ahora un caso simple de antena lineal alimentada por el centro que

permite hacer calculos faciles pero significativos. Se trata de una antena lineal, o

sea rectilınea, de longitud d que se excita por un espacio o brecha en su punto

medio (ver figura). Si la antena es fina, la corriente en ella puede considerarse como

sinusoidal en el espacio y el tiempo con numero de ondas k = ω/c y simetrica en

los dos brazos. Es evidente que se anula en los dos extremos. En otras palabras,

si se toma el eje z a lo largo de la antena, se tiene

j(r) = I sen

(kd

2− k|z|

)δ(x)δ(y)ez , (7.47)

en |z| < d/2 (notese que los brazos se suponen de diametro nulo).

Figura 7.3:

La corriente en la brecha es I0 = I sen(kd/2). Segun (7.24), el potencial vec-

torial correspondiente a esa corriente en la zona lejana es

A(r) = ezµ0

4π

Ieikr

r

∫ (d/2)

−(d/2)

sen

(kd

2− k|z|

)e−ikz cos θdz (7.48)

El resultado de la integracion es

A(r) = ezµ0

4π

Ieikr

r

[cos(kd cos θ

2)− cos(kd

2)

sen2 θ

](7.49)

7–12—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


7.7. Ejercicios

El campo electrico en la zona de radiacion es H = ikn ×A/µ0. Del calculo del

vector de Poynting, se sigue que la potencia media en el tiempo radiada por

unidad de angulo solido es

dP

dΩ=Z0I

2

8π2

∣∣∣∣∣cos(kd cos θ2

)− cos(kd2

)

sen θ

∣∣∣∣∣2

(7.50)

Esta distribucion angular depende del valor de kd. Si kd → 0, es decir en el

caso de longitud de onda larga, se reduce al caso de radiacion dipolar. Para los

valores kd = π (resp 2π), conocidos como antena de media onda (resp. de onda

entera) y correspondientes a λ = 2d (resp. λ = d), las distribuciones angulares

son

dP

dΩ=Z0I

2

8π2

cos2

(π2

cos θ)/ sen2 θ, kd = π

4 cos4(π2

cos θ)/ sen2 θ, kd = 2π

(7.51)

En la figura 7.4 se representan estas dos distribuciones. Notese que la de

media onda es muy proxima a la forma dipolar pura mientrs que la de onda

entera esta mas dirigida.

7.7. Ejercicios

7.1 Dos dipolos puntuales separados p = (0, 0, p cosωt) (en 0, 0, λ/4) y −p

(en 0, 0,−λ/4) oscilan en oposicion de fase.

a) Determinar los campos de radiacion y la potencia radiada por unidad de angu-

lo solido.

b) Hallar la directividad del sistema (es decir, la potencia radiada por estereor-

radian en un maximo dividida por (4π)−1 veces la potencia total radiada).

7.2 Un cuadrupolo oscilante consta de las cargas −q, +2q, −q situadas en las

posiciones (z1, z2, z3), con zk = a cosωt, 0,−a cosωt, respectivamente. Calcular

los campos a gran distancia y la potencia media total radiada.

7.3 Usando las aproximaciones multipolares mas bajas, determinar los cam-

pos electromagneticos en la zona lejana: a) para una carga q que se mueve con

velocidad angular uniforme en regimen no relativista en orbita circular de ra-

dio a; b) para dos cargas identicas que se mueven a lo largo del mismo cırculo,

manteniendose en posiciones diametralmente opuestas.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

7–13


Figura 7.4: Distribuciones de radiacion exactas (lıneas continuas) de antenas de

media onda (kd = π, abajo) y onda entera (kd = 2π, arriba) y expansiones con

dos terminos (lıneas de trazos). En el caso de la media onda aparece tambien la

aproximacion dipolar ( lınea de puntos)

7.4 Una espira pequena en forma de triangulo equilatero de lado a esta recor-

rida por una corriente I0 cosωt. Debido a que ωa c puede admitirse que la

corriente es la misma en toda la espira en cualquier tiempo. Hallar, en el orden

de aproximacion mas bajo, el diagrama de radiacion y la potencia total radiada.

7–14—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


Electrodinamica Clasica Notas - Rañada

Documents

Transcript of Electrodinamica Clasica Notas - Rañada