Notas del Curso de Electrodinamica Clasica.pdf

Universidad Complutense

Notas de curso de

Electrodinamica clasica

Grupo A, 2004/05

Prof. Antonio Fernandez-RanadaDepartamento de Fısica Aplicada III

Bibliografıa

• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Teorıa clasica de campos (Reverte,

Barcelona, 1986); The classical theory of fields, (Pergamon Press, Oxford, 1975).

• J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd edition (John Wiley, New

York, 1998). Hay version espanola de la segunda edicion inglesa, Electrodinamica

clasica, 2ª edicion (Alhambra Universidad, Barcelona, 1980).

• W. K. H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism

(Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1964).

• Bo Thide, Classical electrodynamics,

http://www.plasma.uu.se/CED/Book/index.html.

• A. O: Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles

(Dover, New York, 1980).

• F. Rohrlich, Classical Chraged Particles (Addison-Wesley, Reading, Massa-

chusetts, 1990).

0–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

Indice

1. Recordatorio de las ecuaciones de Maxwell

La ecuaciones de Maxwell en el vacıo y en medios materiales. Energıa electro-

magnetica. Potenciales. Condiciones de frontera. Comportamiento de los campos

electromagneticos bajo rotaciones, reflexiones e inversion temporal.

2. Relatividad especial y covariancia de las ecuaciones de Maxwell

El principio de relatividad y los postulados de Einstein. Transformaciones

de Lorentz. Transformaciones de las velocidades. Cuadrivelocidad y cuadriacel-

eracion. Principio de covariancia. Apendice. Grupos, vectores, formas y tensores.

Grupos de Lie. Espacio euclıdeo y rotaciones. Vectores, formas y tensores. Espacio

de Minkowsky y grupo de Lorente. Vectores y tensores en el relatividad especial.

Apendice. Grupos, vectores, formas y tensores

3. Formulacion relativista lagrangiana de la electrodinamica clasica

I

Principio de ”mınima.accion. Accion y lagrangiano de una partıcula libre

en relatividad especial. Potenciales del campo electromagnetico. Dinamica de

partıculas cargadas en un campo electromagnetico: ecuaciones del movimiento.

Invariancia gauge. El tensor electromagnetico. Transformaciones de Lorentz de

los campos E y B. Invariantes. Movimiento de partıculas cargadas en campos

electrico y magnetico, uniformes y constantes: en un campo electrico, en uno

magnetico y en campos cruzados.

4. Formulacion relativista lagrangiana de la electrodinamica clasica

II

Primer par de ecuaciones de Maxwell. Accion del campo electromagnetico.

Cuadrivector corriente. Segundo par de ecuaciones de Maxwell. Densidad y flu-

jo de energıa. El tensor de energıa-momento. Simetrıas y leyes de conservacion.

Tensor canonico de energıa-momento y tensor simetrico. Invariancia gauge y con-

servacion de la carga.

5. Ondas electromagneticas

Ondas planas Ecuacion de ondas. Ondas planas. Efecto Doppler. Repre-

sentacion espectral. Ondas guiadas. Modos TEM, TE, y TM. Guıas rectangulares.

Transmision de energıa. Cavidades resonantes.

6. Radiacion de partıculas cargadas

Solucion de la ecuacion de ondas en el vacıo. Funciones de Green. Poten-

notas EDC (v. 15/marzo/2005)—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

0–3

ciales de Lienard-Wiechert. Campos de velocidad y de aceleracion. Campos de

una carga en movimiento uniforme. Radiacion de una carga acelerada. Formu-

la de Larmor. Reaccion a la radiacion. Carga con aceleracion lineal. Carga con

aceleracion circular. Radiacion del sincrotron. Modelos clasicos del electron.

7. Radiacion debida a distribuciones de fuentes

Desarrollos multipolares Campos creados por una distribucion arbitraria de

corriente. Aproximaciones en la solucion del problema de las fuentes. Campos

creados por un dipolo electrico. Campos de un dipolo magnetico y un cuadrupolo

electrico. Sistemas radiantes: antenas.

0–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


Capıtulo 1

Revision de las ecuaciones de

Maxwell

1.1. Las ecuaciones de Maxwell

Sean E(r, t) y B(r, t) los campos electrico y magnetico y D(r, t) y H(r, t), los

vectores de desplazamiento y de intensidad magnetica. Las cuatro ecuaciones de

Maxwell que los relacionan son en el vacıo

∇ ·B = 0 , (1.1)

∇× E = − ∂B

∂t, (1.2)

∇ · E =ρ

ε0, (1.3)

∇×B = µ0j + µ0ε0∂E

∂t, (1.4)

donde ρ(r, t) y j(r, t) son las densidades de carga y de corriente. Por razones

que quedaran claras mas adelante al estudiar la formulacion relativista, las dos

primeras se conocen como el primer par y la tercera y la cuarta, el segundo par.

En un medio material, estas ecuaciones se escriben a menudo en la forma

∇ ·B = 0, (1.5)

∇× E = −∂B∂t, (1.6)

∇ ·D = ρ, (1.7)

∇×H = j +∂D

∂t, (1.8)

a las que se deben anadir las relaciones D = εE, B = µH y, si la corriente no

esta dada a priori, tambien j = σE. Las cantidades ε y µ son la permitividad y


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

1–1

Capıtulo 1. Revision de las ecuaciones de Maxwell

la permeabilidad del medio, que representan fenomenologicamente el efecto de las

cargas y spines del mismo. Se llaman tambien a veces su constante electrica y su

constante magnetica. σ es la conductividad electrica cuya inversa es la resistividad

electrica.

En muchas ocasiones, se trata de estudiar como varıa el campo electro-

magnetico en interaccion con cargas libres cuyo movimiento no esta dado a priori

sino que esta afectado por los campos. Tomemos el caso especialmente intere-

sante de electrones cuyas posiciones y velocidades son rk, vk. En ese caso hay que

acoplar las ecuaciones de Maxwell con las de movimiento de cada carga. Para ello

hay que hacer dos cosas

(i) Tomar como densidad de carga del conjunto de electrones

ρe = −e∑k

δ(3)(r− rk), (1.9)

y como densidad de corriente

je = −e∑k

δ(3)(r− rk)vk (1.10)

(ii) Anadir las ecuaciones de movimiento de los electrones

d

dt

[mvk

(1− v2k/c

2)1/2

]= Fk = −e(E + vk ×B). (1.11)

que es la segunda de Newton en su forma relativista, con la fuerza Fk sobre cada

carga dada por la expresion de Lorentz y tomando los campos E = E(r, t) y

B = B(r, t) en la posicion de cada carga. En el caso en que v/c 1 podemos

aproximar el primer miembro por su expresion no relativista d(mv)/dt.

Estas ecuaciones estan siendo comprobadas incontables veces cada dıa, tanto

desde el punto de vita teorico, como en su aplicacion a multitud de instrumentos

y dispositivos, como los que tenemos en nuestras casas. Constituyen una parte

muy importante de la fısica basica.

1.2. Energıa electromagnetica

Las cantidades

UE =1

2

∫V

E ·D dv, (1.12)

y

UM =1

2

∫V

H ·B dv, (1.13)

1–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


1.2. Energıa electromagnetica

son, respectivamente, la energıa potencial electrostatica del sistema de cargas

que produce el campo electrico y la energıa almacenada en el campo magnetico.

Notese que las densidades de energıa se pueden escribir tambien como

uE =1

2εE2, uM =

1

2µB2.

Veremos ahora que ocurre en las situaciones dinamicas. Tomemos la diferencia

entre la ecuacion (1.6) multiplicada escalarmente por H y la (1.8) multiplicada

por E

H · (∇× E)− E · (∇×H) = −H · ∂B∂t

− E · ∂D∂t

− E · j.

El primer miembro de esta ecuacion es igual a ∇ · (E×H), por lo que

∇ · (E×H) = −H · ∂B∂t

− E · ∂D∂t

− E · j. (1.14)

Suponiendo que D, B, j dependen linealmente de E, H,E, esta ecuacion puede

escribirse como

∇ · (E×H) = − ∂

∂t

1

2[E ·D + B ·H]− j · E. (1.15)

El segundo miembro tiene una interpretacion clara: con un cambio de signo, es

la derivada respecto al tiempo de la suma de las densidades de energıas electrica

y magnetica mas el calentamiento Joule por unidad de volumen.

Integrando la ecuacion anterior en el volumen V , bordeado por S, y aplicando

el teorema de Gauss, se llega de inmediato a

−∫V

j · E dv =d

dt

∫V

1

2[E ·D + B ·H] dv +

∫S

(E×H) · n da. (1.16)

Esta ecuacion integral es muy importante, pues se trata de la conservacion de

la energıa. Se conoce como Teorema de Poynting en forma integral. Si definimos

el vector de Poynting

S = E×H (1.17)

podemos escribir (1.16) en la forma

∂u

∂t+ ∇ · S = −j · E, (1.18)

donde u es la suma de las densidades de energıa electrica y magnetica

u = uE + uM =1

2[E ·D + B ·H] . (1.19)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

1–3


La ecuacion (1.18) es el teorema de Poynting en forma diferencial. Su inter-

pretacion de es clara: el segundo miembro es la energıa por unidad de volumen

que pierde el campo electromagnetico debido al efecto Joule (o sea la energıa

transferida del campo a la agitacion termica de la materia); el primer sumando

del primer termino es la variacion local de la densidad de energıa y ∇ · S es la

densidad de flujo de energıa electromagnetica, es decir la energıa electromagnetica

que atraviesa una unidad de superficie normal a S por unida de tiempo. Integrada

en un volumen V cualquiera (y transformando el termino con S en una integral

en la superficie S que bordea a V ) la ecuacion (1.18) nos dice que la variacion

de energıa electromagnetica en ese volumen se debe a (i) el efecto Joule y (ii) al

flujo de energıa a traves del borde de V , representada por el vector de Poynting.

En resumen u es la densidad de energıa electromagnetica almacenada en el

campo y S es la densidad de flujo de energıa.

1.3. Los potenciales electromagneticos

La ecuacion ∇ · B = 0 nos dice que el campo magnetico es un rotacional, o

sea que existe un campo vectorial A tal que B = ∇×A. Ello implica que la ley

de Faraday ∇×E = −∂tB puede escribirse como ∇× (E+∂tA) = 0, lo que dice

que (E + ∂tA) es el gradiente de una funcion Φ. Recapitulando

E = −∇Φ− ∂A

∂t, B = ∇×A. (1.20)

A y Φ son los potenciales escalar y vectorial que pueden usarse para definir el

campo electromagnetico con solo cuatro funciones.

1.4. Condiciones de frontera

Sea una superficie f(r) = 0 que separa dos medios cuyas propiedades elec-

tromagneticas son diferentes. En su superficie hay (o se inducen) una densidad

supeficial de carga ρ y una densidad superficial de corriente K. Indicamos las

magnitudes en los dos medios por subındices 1 y 2. Las condiciones de contorno

para los campos E, D, B, H son las siguientes (siendo n un vector unitario nor-

mal a la superficie (i. e. n = ∇f/|∇f |) que suponemos dirigido del medio 1 al

2

(D2 −D1) · n = σ , (E2 − E1)× n = 0 , (1.21)

(H2 −H1)× n = K , (B2 −B1) · n = 0 . (1.22)

1–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


1.5. Transformacion de los campos electromagneticos bajo rotaciones,reflexiones e inversion temporal

Se pueden enunciar ası: Las componentes normal de B y tangencial de E son

continuas en la superficie. La componente normal de D tiene una discontinuidad

igual a la densidad superficieal de energıa y la componente tangencial de H tiene

una discontinuidad igual a la densidad de corriente. Si fluye una corriente de un

medio al otro, su componete normal debe ser continua,

(j 2 − j1) · n = 0 . (1.23)

Las condiciones de los potenciales son

∂Φ

∂t

∣∣∣∣2

− ∂Φ

∂t

∣∣∣∣1

= 0 ε 2∂Φ

∂n

∣∣∣∣2

− ε1∂Φ

∂n

∣∣∣∣1

= σ . (1.24)

La primera condicion para Φ puede escribirse en la forma

Φ2 = Φ1 , (1.25)

La condicion para el potencial vectorial tiene una expresion algo mas complicada,

depende la geometrıa de la superficie, y no se dara aquı.

1.5. Transformacion de los campos electromagneticos

bajo rotaciones, reflexiones e inversion tem-

poral

El comportamiento de de las cantidades fısicas bajo ciertas transformaciones

tienen mucha importancia. Ello se debe a que las propiedades basicas del espacio-

tiempo y la materia se expresan a menudo como ciertas invariancias bajo grupos

de transformaciones. Ası

i) la homogeneidad del espacio se puede enunciar como la invariancia de las

leyes basicas bajo traslaciones. Ello significa que al pasar de un punto a otro no

cambian las leyes, o sea que todos los puntos del espacio son equivalentes para la

fısica. Las leyes son las mismas en Madrid que en Barcelona, Bilbao, Nueva York

o Moscu. Este fue un descubrimiento importante de Newton: debemos aceptar

la idea de que las leyes son las mismas por todas partes, en contra de lo que

se admitıa hasta entonces, siguiendo la tradicion de la filosofıa aristotelica que

dividıa el mundo en uno sublunar y el de las estrellas.

ii) la isotropıa del espacio, o sea que todas las direcciones son equivalentes para

las leyes de la fısica, se puede enunciar diciendo que estas deben ser invariantes

bajo las rotaciones del espacio.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

1–5


iii) la equivalencia entre la derecha y la izquierda se conoce en fısica como

invariancia bajo paridad. Significa que, si tenemos un proceso fısico cualquiera

que sigue una cierta ley, el proceso obtenido mediante una imagen especular

esta tambien previsto por la misma ley. Se puede expresar dieciendo que las leyes

sin invariantes bajo reflexiones r → −r.

iv) el principio de relatividad se puede formular diciendo que las leyes son

invariantes bajo transformaciones de Lorentz.

Para que estas ideas sean operativas es esencial el concepto de simetrıa.

¿Que significa esta palabra en la vida ordinaria? Siempre alude a que algo no

cambia cuando se realizan ciertas transformacione geometricas. Por ejemplo, una

esfera es una figura muy simetrica. Esto significa que si la giramos alrededor de

cualquier eje que pase por su centro, ella permanece invariante. Por su parte, un

cubo no cambia bajo rotaciones de un angulo multiplo entero de π/4 alrededor

de un eje que pase por los centros de dos caras opuestas o bajo rotaciones de

angulo 2π/3 alrededor de un eje que pase por dos vertices opuestos o rotaciones

de angulo π alrededor de un eje que pase por los puntos medios de dos aristas

opuestas o bajo la reflexiones r → −r o xk → −xk, k = 1, 2, 3. Esas transforma-

ciones y sus productos forman un grupo llamado el grupo de simetrias del cubo,

lo mismo que el grupo de simetrıas de la esfera es el de las rotaciones alrededor

de cualquier eje por su centro, mas las reflexiones.

Analogamente, una columna cilındrica no cambia si la giramos un angulo

cualquiera alrededor de su eje. O una helice, ante rotaciones de un angulo α

alrededor de su eje multiplicadas por una traslacion segun su eje de una longitud

rα tan β, siendo r su radio y 2πr tan β su paso de rosca. Con frecuencia este tipo

de simetrıas esta asociado a una sensacion estetica. Nos parece que las figuras

geometricas son especialmente bellas, lo mismo que la belleza de una persona

suele incluir una figura muy simetrica, por ejemplo respecto a un plano.

Pues bien, las simetrıas matematicas que estamos considerando son algo pare-

cido, pero lo que debe permanecer invariante no es la forma de un objeto en el

espacio fısico, sino algo mas abstracto y complejo: una ecuacion diferencial que

expresa una ley fısica. En otras palabras, supongamos a Andres y Beatriz (o a

Alicia y Bernardo) cuyos sistemas de coordenadas espaciales y relojes que miden

el tiempo son distintos. Por ejemplo, Andres esta en reposo en un sistema iner-

cial y Beatriz se mueve respecto a Andres con velocidad constante o bien Andres

esta girado respecto a Beatriz. Supongamos que la relacion entre sus coordenadas

y tiempos sea una simetrıa de una cierta ley. En ese caso, si Andres encuentra que

esa ley da buenos resultados en su sistema, al realizar una serie de experimentos,

1–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



y se expresa mediante unas ecuaciones diferenciales del tipo

F (xk, xk, xk) = 0 ,

y les aplica la transformacion matematica que pasa al sistema de referecnia de

Beatriz, obtendra las mismas ecuaciones, salvo posiblemente los nombres de las

variables. O sea que la funcion F es la misma para los dos.

Entre las simetrıas fundamentales de la fısica, destacan las rotaciones, las

reflexiones y la invariancia bajo inversion temporal t → −t. Por eso conviene

mucho que sepamos cuales son las propiedades de los campos electromagneticos

respecto a tales transformaciones.

1.5.1. Rotaciones.

Una rotacion de coordenadas en el espacio tridimensional es una transforma-

cion lineal, tal que la norma de un vector permanece invariante. En otras palabras,

tal que la suma de los cuadrados de las coordenadas no cambia. O sea que se trata

de una transformacion lineal

xj → x′j =∑k

ajkxk . (1.26)

Para que (x′)2 = (x)2 se debe cumplir∑j

ajkaj` = δk` . (1.27)

Si la matriz A tiene por coordenadas ajk, esto significa que su inversa A−1 es igual

a su traspuesta A, o sea que

AA = I , (1.28)

por lo que las matrices que expresan una rotacion se llaman (adecuadamente)

ortogonales y su conjunto se conoce como grupo ortogonal O(3), el tres refiriendose

la dimension del espacio.

Pues bien, todo conjunto de tres cantidades que se transforman en una

rotacion como las componentes de x se llama vector, por ejemplo la velocidad

v o el momento lineal p. Hay, ademas, cantidades que son invariante bajo rota-

ciones y se llaman escalares. Por ejemplo, los productos escalares de dos vectores,

ası x2, x ·p o v ·p, este ultimo el doble de la energıa cinetica en fısica newtoniana.

Si φ(xi) es un escalar y Vk(xi) es un vector, se tiene

φ′(x′i) = φ(xi) , V ′j (x

′i) =

∑k

ajkVk(xi) . (1.29)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

1–7


Como vemos, los escalares son tensores de rango cero. Por otra parte hay can-

tidades con dos ındices Bij que se transforman como un vector respecto a cada

uno, es decir

Bij → B′ij =

∑k`

aikaj`Bk` . (1.30)

Son los llamados tensores de segundo rango o de dos ındices. Como ejemplos,

podemos mencional los tensores de inercia de un solido o los de tension y defor-

macion en mecanica de medios continuos. Uno de ellos, el tensor electromagnetico

jugara un papel importante en este curso, como veremos mas adelante. La gen-

eralizacion a tensores de rango n, o de n ındices, es inmediata. Los escalares son

tensores de rango cero, sin ındices, y los vectores, tensores de rango uno o con un

ındice.

Si multiplicamos termino a termino dos tensores, se obtiene un tensor cuyo

rango es la suma de los dos. Ası el producto diadico de dos vectores Pij = AiBj

es un tensor de rango dos. La cantidad Tijk = AiBij es un tensor de tres ındices,

etc. Los operadores diferenciales tienen tambien propiedades de transformacion

bajo las rotaciones. Por ejemplo, el gradiente es un operador vectorial. Como

consecuencia, el gradiente de un escalar ∇φ es un vector, la divergencia de un

vector ∇ ·V es un escalar, la laplaciana es un operador escalar, de modo que la

laplaciana de un escalar es otro escalar ∇2φ.

Para interpretar lo que significa una rotacion, podemos usar dos interpreta-

cionees. En el punto de vista activo se considera que no cambian los ejes de

referencia y el sistema fısico es el que se gira. En el punto de vista pasivo es al

reves, los ejes se giran y el sistema se deja fijo. Para entenderlo mejor, tomemos

una rotacion alrededor del eje z, o sea en el plano xy. Desde el punto de vista acti-

vo, giramos el sistema un angulo α y desde el pasivo, un angulo −α. La situacion

relativa del sistema y los ejes es la misma en los dos puntos de vista.

Consideremos el producto vectorial

A = B×C . (1.31)

En componentes

Di =∑jk

εijkBjCk ,

donde el sımbolo εijk representa el tensor de Levi-Civita, que es de rango tres y

completamente antisimetrico. Vale cero si dos ındices son iguales, +1 si ijk es

una permutacion par de (123) y -1 si es una permutacion impar. Es facil ver que

1–8—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



es un tensor invariante, pues

ε′ijk =∑`mn

ai` ajm aknε`mn = εijk .

En efecto, si dos ındices en (ijk) son iguales el segundo miembro se anula. Si, por

ejemplo i = j, los terminos en ai`aimε`mn se cancelan. Si ijk es una permutacion

par, el segundo miembro es igual al determinante de A = (aij) y si es una per-

mutacion impar a menos el determinante (pues se han intercambiado dos filas).

Como el determinante de una rotacion propia es +1, queda demostrado.

Notese que si la rotacion fuese imporpia, su determinante serıa −1 y el tensor

de Levi-Civita cambiarıa de signo en una reflexion. Los tensores a lo suq les ocurre

tal cosa, se llaman pseudotensores. Pues bien, vemos que εijk es un pseudotensor.

En el caso del producto vectorial D, su expresion sugiere que se puede considerar

como un tensor antisimetrico de rango dos cuyas componentes sean BjCk−BkCj.

Por ser antisimetrico tiene solo dos componentes distintas, lo que permite tratarlo

como un vector. Pero el hecho de que el tensor de Levi-Civita sea un pseudotensor,

indica que su ley de transformacion es

D′i = det(a)

∑j

aijDj (1.32)

O sea que un producto vectorial es realmente de un pseudovector. Esto tiene

importancia pues es el caso del campo vectorial. Los pseudovectores se llaman

tambien vectores axiales mientras que los vectores ordinarios se conocen como

vectores polares. El producto vectorial de un axial por un polar es polar, el de dos

axiales es axial. El producto escalar de un axial y un polar es un pseudoescalar y

el de dos axiales un escalar.

1.5.2. Reflexiones.

La paridad o reflexion r → −r es una transformacion que cambia la axilidad de

una figura, por ejemplo transformando una mano derecha en una mano izquierda.

La matriz de tal transformacion es aij = −δij cuyo determinante vale −1. Ya

hemos visto antes que los pseudotensores se transforman de modo distinto que

los vectores bajo una reflexion.

Si consideramos el conjunto de todas las rotaciones propias, es decir tales que

det(a) = +1, es facil ver que forman un grupo llamado ortogonal. Si incluimos los

productos de esas rotaciones por la paridad, resulta que det(a) = ±1, que se llama

grupo ortogonal completo. La reflexion respecto a un plano tiene determinante −1


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

1–9


y es igual al producto de la paridad por una rotacion de angulo π en el plano. Por

ejemplo (x, y, z) → (x, y,−z) es igual al producto de una rotacion en el plano xy

por la reflexion r → −r.

1.5.3. Inversion temporal.

Las leyes basicas de la fısica clasica son invariantes por el cambio de la flecha

del tiempo. Notese que lo que es invariante no es cada trayectoria, sino la expre-

sion matematica de la ley, es decir, la ecuacion del movimiento. Si tomamos una

pelıcula de una carambola, que no contenga pistas como un reloj o una persona

andando, resulta imposible saber al verla si esta siendo pasada hacia alante o

hacia atras. Los planetas giran an torno al Sol aproximadamente en un plano y

con un cierto sentido de giro. Ello se debe a un accidente historico, pues podrıan

igualmente girar en el sentido contrario. A las leyes del movimiento les da igual.

Notese que para pasar de un sentido al otro, basta con cambiar t→ −t, v → −v,

p → −p.

Pues bien para tener en cuenta esta simetrıa temporal, es preciso que las

ecuaciones sean invariante por esos cambios. Tomemos la segunda ley de Newton

en la formadp

dt= −∇U(r) .

En la Tabla 1, se indican las propiedades de transformacion de las principales

magnitudes electromagneticas ante rotaciones, paridad e inversion espacial.

1–10—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



Tabla 1.1 Propiedades de transformacion de varias magnitudes bajo

rotaciones, paridad e inversion temporal.

Rotacion Inversion

Magnitud (rango del tensor) Paridad temporal

I. Mecanicas

Coordenada x 1 Impar (vector) Par

Velocidad v 1 Impar (vector) Impar

Momento p 1 Impar (vector) Impar

Momento angular L = x× p 1 Par (pseudovector) Impar

Fuerza F 1 Impar (vector) Par

Torque N = x× F 1 Par (pseudovector) Par

Energıa cinetica p2/2m 0 Par (escalar) Par

Energıa Potencial U(x) 0 Par (escalar) Par

II. Electromagneticas

Densidad de carga ρ 0 Par (escalar) Par

Densidad de corriente J 1 Impar (vector) Impar

Campo electrico E 1 Impar (vector) Par

Desplazamiento D 1 Impar (vector) Par

Polarizacion P 1 Impar (vector) Par

Campo Magnetico B 1 Par (pseudovector) Impar

Intensidad Magnetica H 1 Par (pseudovector) Impar

Imanacion M 1 Par (pseudovector) Impar

Vector de Poynting S = E×H 1 Impar (vector) Impar

Tensor de Maxwell Tαβ 2 Par (tensor) Par


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

1–11


1.6. Ejercicios

1.1 Comprobar que la fuente del potencial vectorial en el gauge de Coulomb es

la componente transversal o solenoidal de la corriente Jt (que verifica ∇ ·Jt = 0).

1.2 Si existiesen los monopolos magneticos, uno de carga qm situado en el

origen de coordenadas producirıa un campo magnetico igual a

Bm =µ0qm4π

r

r3

a) Demostrar que ese campo no es una solucion de las ecuaciones de Maxwell

y, por tanto, es incompatible con la teorıa en ellas basada.

b) Demostrar que, si se anade el termino Bs = µ0qmδ(x)δ(y)h(−z)ez al campo

anterior, el campo suma sı obedece a las ecuaciones de Maxwell. Interpretar la

solucion ası obtenida.

1.3 Supongamos que la relacion constitutiva de un material que expresa el

vector polarizacion P en funcion del campo electrico en presencia de una campo

magnetico estatico B0 incluye varias contribuciones de E, sus derivadas tem-

porales y B0. Usar argumentos de simetrıa que muestren que la expresion mas

general hasta el segundo orden en B0 tiene necesariamente la forma:

1

ε0P = χ0E + χ1

∂E

∂t×B0 + χ2(B0 ·B0)

∂2E

∂t2+ χ3

(∂2E

∂t2·B0

)B0

1.4 Si en un conductor por el que fluye una corriente debida a un campo

electrico se aplica un campo magnetico transversal, aparece una componente de

campo electrico en la direccion perpendicular a ambos y, como consecuencia, un

voltaje entre los dos lados del conductor. Este fenomeno se conoce como efecto

Hall. Basandose en las propiedades se simetrıa espacial y temporal, demostrar

que, para campos magneticos pequenos. la generalizacion de la ley de Ohm que

es correcta hasta el segundo orden en el campo magnetico tiene la forma

E = ρ0J +R(H× J) + β1H2J + β2(H · J)H

donde ρ0 es la resistividad en ausencia del campo magnetico y R, β1, β2 son ciertos

coeficientes (R se conoce como coeficiente de Hall o coeficiente Hall).

1.5 Demostrar que las ecuaciones de Maxwell en el vacıo son invariantes bajo

las llamadas transformaciones de dualidad

E → E′ = E cos θ + cB sen θ , cB → cB′ = −E sen θ + cB cos θ.

1–12—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


Capıtulo 2

Relatividad especial

2.1. El principio de relatividad y los postulados

de Einstein

2.1.1. Sistemas inerciales.

Para describir los fenomenos naturales, los fısicos usan sistemas de referencia,

que tambien llamaremos referenciales, que consisten en sistemas de coordenadas

para indicar la posicion en el espacio y relojes fijos en cada sistema para indicar

el tiempo.

Tienen un interes especial los llamados sistemas inerciales, que son sistemas

de coordenadas en los que un movil libre, o sea sin fuerzas aplicadas, se mueve con

velocidad constante. Son importantes porque en ellos valen las leyes de Newton

sin necesidad de incluir fuerzas de inercia. Si un sistema es inercial, todos aquellos

que se mueven respeto a el con velocidad constante y sin rotacion son tambien

inerciales. Recıprocamente si dos sistemas son inerciales, se mueven uno respecto

al otro con velocidad relativa constante.

A pesar de la importancia que tiene en la fundamentacion de la dinamica

clasica, la idea de sistema inercial es mas bien reciente. Fue introducida por el

filosofo y cientıfico aleman Ludwig Lange en 1885. Gracias a ella, se aclaro mucho

la nocion de relatividad, que estaba confusa incluso en las obras de los grandes

mecanicos del XVIII y XIX.

Principio de relatividad: Las leyes de la naturaleza son las mismas en todos

los sistemas inerciales de referencia. Esto significa que, si Andres y Beatriz cada

uno en su referencia inercial, investigan mediante experimentos las leyes de la


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–1

Capıtulo 2. Relatividad especial

naturaleza en un cierto sistema fısico, los dos obtendran las mismas leyes (salvo

error, claro).

Con frecuencia se distingue entre principio de relatividad de Galileo y de

Einstein. El primero se refiere tan solo a leyes de la dinamica. El segundo a todas

las leyes de la fısica, incluyendo en particular el electromagnetismo, o sea que es

el principio de relatividad sin mas cualificacion.

2.1.2. Velocidad de propagacion de la interaccion.

La dinamica de Newton usaba fuerzas instantaneas. La ley de la gravitacion

universal, por ejemplo, no incluye ninguna referencia ni al tiempo t ni a la ve-

locidad de propagacion de la gravedad. Para ilustrar esta cuestion, imaginemos

que en el Sol se produjese una explosion en un cierto instante t0, de modo que

dos mitades fuesen despedidas con una cierta velocidad en direcciones opuestas

(o quiza en el nucleo de la galaxia). Al cabo de un cierto tiempo, cambiarıa la

orbita de la Tierra porque cambiarıa la fuerza de la gravedad del Sol. Segun la

teorıa de Newton, ese cambio serıa instantaneo, es decir, se notarıa desde el mis-

mo instante t0 (si bien al principio el cambio serıa pequeno). Hoy se piensa, en

cambio, que la interaccion gravitatoria tiene una velocidad finita de propagacion,

que coincide con la velocidad de la luz c, de modo que los efectos de la explosion

en el Sol se notarıa solo tras unos 8 minutos y 20 segundos (= 1 UA/c ' 500 s).

Tambien sabemos hoy que esa velocidad c es la de propagacion de la interaccion

electromagnetica y tambien es una velocidad lımita que no puede ser superada

por ningun movil. Su valor es

c = 299 792 458 m/s . (2.1)

Como es una constante universal de la naturaleza, puede jugar el papel de patron

universal. Hay que tener en cuenta que cuando se toma un patron, siempre es

necesario suponer que algo no cambia. Por ejemplo, el metro se definıa como

“la diezmilmillonesima parte del cuadrante de meridiano terrestre que pasa por

Parıs” porque se supone que los meridianos de la Tierra tienen longitud invariante.

Si se definio mas tarde como la distancia entre dos marcas en una barra de

platino iridiado mantenida a temperatura constante, fue porque esa aleacion se

dilata o contrae muy poco ante cambios de temeperatura (es inevitable que haya

algunos muy pequenos). Luego se tomo como definicion la longitud de 1 650 763,73

longitudes de onda de una cierta radiacion emitida por el 86Kr, lo que implica

2–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.1. El principio de relatividad y los postulados de Einstein

suponer que la constante de Rydberg es realmente constante

R =

(1

4πε0

)2me4

4π~3c= constante .

Para aprovechar la constancia universal de c, el metro se define desde 1983 como

la distancia recorrida por la luz en 3,335 640 952× 10−9 s. Cabe mencionar que la

revista Nature publico entonces un editorial criticando la decision de la Oficina

Internacional de Pesas y Medidas porque no se puede asegurar que c no cambie

en alguna medida que escapa a los experimentos actuales. En todo caso, se puede

decir que se conoce actualmente el valor exacto, o sea sin error, de la velocidad

de la luz (tambien ocurre con dos cantidades relacionadas: la permitividad y la

permeabilidad del espacio vacıo).

2.1.3. Sucesos, intervalo y tiempo propio.

Un suceso o evento es algo que ocurre en un punto del espacio en un instante

de tiempo. Se define por cuatro cantidades, el valor del tiempo t y los de las tres

coordenadas (x, y, z). Los sucesos se situan en un espacio de cuatro dimensiones,

una temporal y tres espaciales, conocido como espacio-tiempo (se intento sin exito

la palabra universo). Por abuso de lenguaje, se suele identificar suceso con punto

del espacio-tiempo. Una partıcula puntual descibe una lınea en el espacio-tiempo

(un tubo, si no es puntual).

La idea de espacio-tiempo fue introducida por el matematico alemam Her-

mann Minkowski en el Congreso de la Asociacion de Matematicos, celebrado en

Colonia en 1908, al decir que, como consecuencia de la teorıa de Einstein (que

habıa sido alumno suyo en Zurich), “A partir de ahora, el espacio por sı mismo

y el tiempo por sı mismo estan condenados a desvanecerse como meras sobras y

solo quedara una ıntima union de ellos dos: el espacio-tiempo”. Por eso el espacio-

tiempo de la relatividad especial se conoce como espacio de Minkowski.

La idea de distancia entre dos puntos a lo largo de una trayectoria es muy

importante en geometrıa euclıdea. La distancia, sin mas, es la distancia a lo

largo de un a lınea recta que una los dos puntos. Sean estos P1 ≡ (x1, y1, z1) y

P2 ≡ (x2, y2, z2). Su distancia s cumple

s2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 + (z2 − z1)2 .

Si los puntos son P1 ≡ (x, y, z) y P2 ≡ (x + dx, y + dy, z + dz) el elemento de

distancia, o de longitud, es

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 .


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–3


Una caracterıstica importante de la geometrıa euclıdea es que el elemento de

longitud se puede escribir como la suma de cuadrados de elementos de las coor-

denadas. En realidad, esto es ni mas ni menos que el teorema de Pitagoras.

En el caso de que las coordenadas correspondan a ejes no ortogonales, de

modo que un punto se determine por el vector dr =∑xiei pero con los vectores

ei no siendo ortonormales ei · ej 6= δij, el elemento de longitud se escribe como

ds2 =∑ij

gijdxidxj ,

donde gij = ei · ej es el llamado tensor metrico. En una geometrıa euclıdea,

siempre se puede conseguir que gij = δij, eligiendo adecuadamente los vectores

de la base.

Para estudiar el espacio-tiempo en relatividad, se usa el concepto de intervalo,

que es analogo pero no igual al de distancia. El intervalo entre dos sucesos y el

elemento de intervalo valen (suponiendo una base espacial ortonormal)

s212 = c2(t2 − t1)

2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)

2 − (z2 − z1)2 , (2.2)

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 . (2.3)

En general, conviene usar cuatro coordenadas para trabajar en el espacio-tiempo

x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z .

El intervalo es entonces

ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2 =∑ij

gijdxidxj .

Esto se parece a lo que ocurre en un espacio euclıdeo, pero con tensor metrico

igual a (notacion autoexplicativa)

gij = diagonal(1,−1,−1,−1).

Cuando un espacio tiene un elemento de distancia que se puede escribir como

la suma de varios cuadrados de diferenciales de coordenadas menos la suma de

varios otros, se dice que es un espacio pseudoeuclıdeo. La signatura de la metrica

es el dato de cuantos signos mas y cuantos signos menos hay en ella. La de la

relatividad se puede expresar como (1,3) o (3,1) ( de modo equivalente)

Notese que sigo usando un cuadrado en el primer miembro, a pesar del hecho

evidente que el segundo miembro puede ser negativo (se dice que la metrica

2–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.1. El principio de relatividad y los postulados de Einstein

no es definida positiva). Los espacios en que el tensor metrico depende de las

coordenadas, de modo que varia de punto a punto se califican de riemannianos

o pseudoriemnnianos en honor al matematico aleman Georg Friedrich Riemann

(1826-1866), quien los introdujo en un importante trabajo titulado “Sobre las

hipotesis en que se basa la geometrıa”. Al hacerlo se apoyo en la obra anterior de

Gauss.

2.1.3.1. Importancia del intervalo.

Se debe a que el intervalo entre dos sucesos toma el mismo valor para todos los

observadores inerciales, porque es invariante bajo transformaciones de Lorentz.

Como veremos esto es parecido a lo que le ocurre a la distancia en la geometrıa

euclıdea, que es invariante bajo rotaciones.

2.1.3.2. Tipos de intervalo.

Supongamos que el punto del espacio-tiempo P1 es el origen de coordenadas

y P2 ≡ (t, x, y, z). El intervalo entre P1 y P2 sera

s212 = c2t2 − `2 , con `2 = x2 + y2 + z2 .

Como el signo de s2 no esta definido, un intervalo puede ser de tres tipos.

a) de tipo tiempo (o temporal), si s212 > 0. Esto significa que se puede ir de P1

a P2 manteniendo siempre una velocidad menor que c. s12 es real.

b) de tipo luz, si s212 = 0. En este caso un rayo de luz puede ir de P1 a P2.

Ademas, s12 = 0.

c) de tipo espacio (o espacial), si s212 < 0. Ningun movil puede ir de P1 a P2

pues se necesitarıa llegar a una velocidad superior a la de la luz. s12 es imaginario

puro.

Se define el cono de luz de un punto como el conjunto de los rayos de luz que

salen de ese punto (o sea en un cierto instante). Su ecuacion es c2t2−(x2+y2+z2) =

0. Las partes con t > 0 (resp. t < 0) se llaman cono del futuro (resp. cono del

pasado). Pues bien

a) Si el intervalo entre P1 y P2 es de tipo tiempo, P2 esta dentro del cono de

luz de P1.

b) Si es de tipo luz, P2 esta en el cono de luz.

c) Si es de tipo espacio, P2 esta fuera del cono de luz.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–5


La gran importancia que tiene la nocion de cono de luz esta en sus consecuen-

cias sobre las posibles relaciones causales entre P1 y P2.

a) El interior del cono de luz del futuro se llama futuro absoluto de P1. Ello

se debe a que t > 0 (o sea t2 > t1) para todos los observadores inerciales. En

cambio, existe un sistema de referencia en el que los dos sucesos ocurren en el

mismo punto espacial. El intervalo temporal entre los dos eventos en ese sistema

es igual a

t′12 =

√c2t212 − `212

c=s12

c.

Sı puede haber una influencia causal de P1 sobre P2, pero no al reves.

Analogamente, el interior del cono de luz del pasado se llama pasado absoluto.

Existe un sistema en que los dos sucesos ocurren en el mismo tiempo. Ademas,

sı puede haber una influencia causal de P2 sobre P1, pero no al reves.

b) Los sucesos en el cono de luz, estan siempre separados (para que se diesen

los dos en un mismo punto, el sistema deberıa viajar a velocidad c). Los del futuro

seran siempre futuro y los del pasado, siempre pasado.

c) Los puntos del exterior del cono de luz de P1 estan siempre separados.

No hay ningun referencial en que los dos ocurran en el mismo lugar. Como para

viajar entre P1 y uno de ellos se necesita llegar a una velocidad superior a c, cosa

imposible, no puede haber ninguna conexion causal con puntos de fuera del cono

de luz.

Por otra parte, hay sistemas en los que P1 y P2 son simultaneos. Su distancia

espacial es en ese caso

`′12 =√`212 − c2t212 = is12 .

Entender que el orden temporal entre dos sucesos separados por un intervalo

tipo espacio depende del observador y que la simultaneidad de sucesos separados

espacialmente no puede tener caracter absoluto fue el punto de partida de Einstein

para su relatividad espacial. Al desarrollarla actuo como un empirista, pues no

veıa modo de determinar experimentalmente que dos sucesos sean simultaneos,

de modo valido para todos los observadores inerciales.

2.1.4. Tiempo propio.

Sea un reloj que se mueve de manera arbitraria respecto a un sistema inercial

S. Cerca de cada instante, se puede considerar que su movimiento es uniforme.

Asımismo introducimos sistemas de coordenadas en cada instante, unidas rıgida-

2–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.2. Las transformaciones de Lorentz

mente al reloj, de modo que este se mueve intantanamente en un sistema inercial.

Sean (t, x, y, z) las coordenadas en el sistema S. En el intervalo dt, el reloj recorre

la distancia√

dx2 + dy2 + dz2. En el sistema ligado rıgidamente al reloj S ′, se

tiene dx′ = dy′ = dz′ = 0. Como el intervalo es invariante, resulta

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = c2dt′ 2 ,

de donde

dt′ = dt√

1− (dx2 + dy2 + dz2)/c2dt2 .

Como (dx2 + dy2 + dz2)/dt2 = v2 , resulta que

dt′ = dt√

1− v2/c2 .

Por tanto, el tiempo que habra medido el reloj al moverse a lo largo de una cierta

trayectoria entre los tiempos t1 y t2 en S sera

t′2 − t′1 =

∫ t2

t1

dt

√1− v2

c2(≤ t2 − t1) . (2.4)

Esto significa que el tiempo medido por un reloj en movimiento respecto a un

sistema S sera siempre menor que el de un reloj que este en reposo en s.


Dados dos sistemas S y S ′, en movimiento relativo con velocidad constante,

estas transformaciones relacionan las coordenadas espaciales y temporales de un

suceso (el paso de un movil por un punto es un ejemplo) en los dos sistemas.

Suponiendo por simplicidad que los ejes de S y S ′ coinciden en el tiempo t = 0 y

que el sistema primado se mueve con velocidad v paralela al eje x, su expresion

matematica es

x′ =x− vt√1− v2/c2

,

y′ = y , z′ = z , (2.5)

t′ =t− (v/c2)x√

1− v2/c2.

Estas son las famosas ecuaciones de transformacion de Lorentz o transformaciones

de Lorentz, de modo mas breve.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–7


Es facil comprobar que la transformacion inversa de (3.41) es

x =x′ + vt′√1− v2/c2

,

y = y′ , z = z′ , (2.6)

t =t′ + (v/c2)x′√

1− v2/c2.

O sea que, como cabıa esperar, la inversa se obtiene de la directa mediante un

simple cambio del signo de la velocidad.

Una primera observacion, mas bien trivial, es que si v → 0 (o equivalentemente

si c→∞) se obtienen las transformaciones de Galileo, las propias de la mecanica

de Newton.

La expresion matematica (3.41) se puede obtener de varias maneras.

2.2.1. Postulados de Einstein.

Primero, como lo hizo Einstein, mediante sus dos famosos postulados, el de

relatividad y el de la constancia de la velocidad de la luz.

1. Postulado de relatividad. Las leyes de la fısica son las mismas en todos

los sistemas inerciales.

(Ningun sistema inercial es especial.)

2. Postulado de la constancia de la velocidad de la luz. La velocidad

de la luz en el vacıo tiene el mismo valor en todos los sistemas inerciales.

De estos dos postulados se pueden deducir la transformaciones de Lorentz,

que implican que la velocidad de la luz c es una velocidad lımite con caracter

universal, la invariancia del intervalo y la relacion (2.4) entre los tiempos de un

reloj en movimiento general y otro en un sistema inercial y la invariancia del

intervalo (2.2)-(2.3).

Pero las transformaciones (3.41) pueden deducirse tambien a partir de la in-

variancia del intervalo.

Suponemos que tienen que tender a las de Galileo cuando c→∞, por lo que

cabe restringirse a transformaciones lineales en las coordenadas.

Busquemos las transformaciones en el espacio-tiempo que dejen invariante el

valor del intervalo, usando como coordenadas (x, y, z, ct). Y para ello empezamos

por notar que el problema es muy parecido al de hallar las transformaciones que

dejan invariante la distancia en el espacio eucclıdeo bi- o tri-dimansional. Sabemos

2–8—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



que son las rotaciones. Una rotacion en el plano xy se puede escribir siempre como

x′ = x cosφ+ y senφ ,

y′ = −x senφ+ y cosφ .

Estas ecuaciones representan una rotacion de un angulo φ de los ejes coordenados.

Es evidente que las propiedades de las funciones trigonometricas garantizan que

x2 + y2 = x′ 2 + y′ 2 .

La diferencia con el espacio-tiempo es el signo menos debido a la signatura de la

metrica, o sea su signatura. Como analogo a una rotacion en el plano, tomemos

una rotacion cuadridimensional en el plano (x, ct). La cantidad que debe manten-

erse invariante es ahora (ct)2 − x2. Lo mismo que antes eso se conseguıa gracias

a las funciones trigonometricas, en este caso hay que usar funciones hiperbolicas.

Recordemos su definicion

sinhψ =eψ − e−ψ

2, coshψ =

eψ + e−ψ

2, tanh =

eψ − e−ψ

eψ + e−ψ,

cumpliendose que cosh2 ψ − sinh2 ψ = 1. Es facil comprobar que la expresion

general de una transformacion lineal que conserve el intervalo es

x′ = x coshψ − ct sinhψ ,

ct′ = −x sinhψ + ct coshψ ,

pues

(ct′)2 − x′ 2 = (ct)2 − x2 .

Para hallar el valor de ψ adecuado a la transformacion de Lorentz (3.41), notemos

que si x = 0, la transformacion es

x′ = −ct sinhψ , ct′ = ct coshψ ,

con lo quex′

ct′= − tanψ .

Como x′/t′ = −v, resulta que

tanhψ =v

c= β , ψ = arctanh

v

c.

Teniendo en cuenta que

sinhψ =tanhψ√

1− tanh2 ψ, coshψ =

1√1− tanh2 ψ

,


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–9


resulta

sinhψ =β√

1− β2, coshψ =

1√1− β2

.

Sustituyendo se obtiene la expresion de la transformacion de Lorentz (3.41) que

queda ası probada a partir de la invariancia del intervalo.

La analogıa con las rotaciones se puede conseguir usando una coordenada

temporal imaginaria. En vez de x0 = ct, sea x4 = ict. El intervalo se escribe

entonces formalmente como el de una metrica euclıdea

ds2 = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 + (dx4)2 =∑ij

gijdxidxj ,

donde gij = δij (el signo global no importa). Pues bien, la transformacion de

Lorentz en el plano (t, x) se puede escribir como

x′ = x cos(iψ) + ict sen(iψ) ,

ict′ = −x sen(iψ) + ict cos(iψ) .

Teniendo en cuenta que cos(iψ) = coshψ y sen(iψ) = −i sinhψ, se comprueba

que coincide con la expresion hallada mas arriba.

O sea, de manera puramente formal, una transformacion de Lorentz con ve-

locidad paralela al eje x se puede escribir como una rotacion de un angulo imag-

inario puro igual a iarctanh(v/c) en el plano (ict, x) si se usa ict como cuarta

coordenada.

2.3. Transformacion de las velocidades

Sea un movil que se mueve con velocidades u y u′ en los sistemas S y S ′

respectivamente. La relacion entre sus dos velocidades es

ux =u′x + v

1 + u′x(v/c2),

u′y =uy√

1− v2/c2

1 + ux(v/c2)

u′z =uz√

1− v2/c2

1 + ux(v/c2)(2.7)

2.4. Cuadrivelocidad y cuadriaceleracion

En fısica newtoniana la velocidad se define como la derivada de las tres coorde-

nadas cartesianas de una partıcula respecto al tiempo, de modo que la velocidad

2–10—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.5. Principio de covariancia

es el trivector vk = dxk/dt. En relatividad, se define una velocidad con cuatro

componentes, un cuadrivector, derivando respecto al tiempo propio τ en vez de

respecto al tiempo coordenado t, de modo que

uµ =dxµ

dτ.

El elemento de tiempo propio de la partıcula es

dτ = ds/c =√

1− v2/c2 dt ,

por lo que la cuadrivelocidad se puede escribir como

uµ =

(c√

1− v2/c2,

v√1− v2/c2

),

que, como se ve, tiene dimensiones de velocidad.

Es posible definir tambien la cuadriaceleracion como la segunda derivada

wµ =d2xµ

dτ 2=

duµ

dτ.

Los dos vectores cumplen las relaciones

uµuµ = c2 , uµw

µ = 0 .

A veces, se define la cuadrivelocidad de modo alternativo y equivalente como

uµ =dxµ

ds

(=

1

c

dxµ

dτ

),

que no tiene dimensiones (Landau y Lifshitz ası lo hacen). Con esta definicion

uµuµ = 1.

2.5. Principio de covariancia

El principio de relatividad dice que las leyes de la fısica tienen la misma forma

en todos los sistemas de referencia inerciales. Por eso las consideraciones anteriores

son de gran importancia. En efecto, una manera de construir leyes que cumplan

ese principio, que sean invariantes Lorentz como se dice, es que se expresen medi-

ante magnitudes cuya variacion bajo transformaciones de Lorentz este claramente

definida, o sea, en lenguaje tensorial. Cualquier ley se escribe como una igualdad

entre dos expresiones matematicas. Para que sea invariante Lorentz, todos los


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–11


terminos a la derecha y todos los terminos a la izquierda deben deben ser ten-

sores del mismo rango. Tambien lo deben ser los dos miembros. De ese modo, si

valen en el sistema de referencia de un observador inercial, esta garantizado que

valgan tambien en todos los demas.

Esta prescripcion se conoce como Principio de covariancia.

Notese que ello no solo sirve para presentar en un lenguaje coherente una

teorıa ya conocida y probada, sino que es una exigencia esencial a la hora de

buscar nuevas leyes que cumplan el principio de relatividad, eliminando algunas

que podrıan parecer atractivas, pero que no son covariantes.

Dos ultima observacion. Algunos filosofos o sociologos (?), o simplemente

opinantes, de la posmodernidad se apoyan en la teorıa de Einstein para defender

relativismos u otras formas de pensamiento debil, cuando lo que ella dice en ver-

dad es que sı hay cosas absolutas, en el sentido que son las mismas para todos

los observadores inerciales. Son las leyes de la naturaleza, nada menos. Por ello el

nombre de relatividad es confundente. Einstein no la bautizo cuando la propuso

en 1905 y mejor hubiera sido llamarla Teorıa del absoluto o de la absolutidad, o

Teorıa del invariante, como empezo a ser conocida cuando la palabra relatividad

hizo fortuna.

Usaremos, en este curso, la teorıa de la relatividad especial, elemento indis-

pensable para formular adecuadamente las leyes del electromagnetismo. Relativi-

dad especial, tambien llamada a veces restringida, significa que esta basada en

las transformaciones de Lorentz como grupo de invariancia y vive en un espacio

plano, aunque no euclıdeo del todo. Pero, como el propio Einstein se dio cuenta en

1911, esa teorıa no es definitiva porque no puede albergar de forma satisfactoria a

la gravedad. Para conseguirlo, el mismo Einstein desarrollo en los anos 1907-1911

su Relatividad General, mucho mas completa, cuyo grupo de invariancia es el de

las transformaciones suaves (es decir suficientemente derivables).

2–12—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.6. Ejercicios

2.6. Ejercicios

2.1 Ejercicios de calculo tensorial:

a) Determinar si las siguientes cantidades son tensores, diciendo en su caso si

son covariantes o contravariantes, siendo φ un escalar

dxα y∂φ(x1, x2, . . . , xn)

∂xµ.

b) En el caso del grupo general de transformaciones xµ → x′µ = x′µ(xα), un

tensor se define mediante la ley de transformacion

T ′αβ...γ =∑ ∂x′α

∂xµ∂x′β

∂xν. . .

∂x′ γ

∂xρT µν...ρ

Demostrar que esta definicion de tensor se reduce a las ya conocidas en los

casos euclıdeo u pseudoeuclıdeo y probar las siguientes igualdades

∂xα

∂xβ= δαβ ,

∂xα

∂x′β∂x′β

∂xγ= δαγ ,

en las que se usa el convenio de Einstein de los ındices repetidos. Razonar que

eso indica quer la delta de Kronecker δαβ es un tensor mixto, una vez covariante

y otra contravariante. Demostrar que

c) el producto de dos tensores C αβδγε = A αβ

γ B δε es tambien un tensor;

d) si un tensor es simetrico (resp. antisimetrico) respecto a dos ındices, es decir,

si Aα...β... = Aβ...α... en un sistema de coordenadas, lo es tambien en cualquier otro

sistema. En otras palabras, la simetrıa o antisimetrıa de los tensores es invariante

por cambios de coordenadas.

2.2 Demostrar que el tiempo propio dτ = dt√

1− (v/c)2 y las cantidades

c2B2 − E2 y E ·B son invariantes relativistas.

2.3 Hallar la formula de adicion de velocidades cuando la velocidad v del

sistema S ′ respecto al S tiene una direccion cualquiera, expresando el resultado

en forma vectorial.

2.4 Hallar los campos de un condensador plano con densidad propia de carga

σ0 que se mueve con velocidad v: a) paralela a las placas; b) perpendicular a las

placas. Comprobar los invariantes de la transformacion.

2.5 Dos rectas paralelas muy proximas, paralelas al eje z y con densidades de

carga λ y −λ, se mueven paralelamente a sı mismas con velocidades +v y −v. En

el sistema del laboratorio los campos que crean valen aproximadamente E = 0 y

B = (µ0I/2πρ)uρ, siendo I = 2λv.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–13


a) Usando los invariantes del campo, determinar si existe algun sistema de

referencia en el cual E 6= 0, B = 0.

b) Una carga q se mueve paralelamente a las dos rectas con velocidad u. Por

transformacion de los campos, hallar la fuerza sobre la carga en un sistema ligado

a ella.

2–14—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.6. Ejercicios

Apendice 2.1: Grupos, vectores, formas y tensores

A2.1.1 Definicion de grupo y de grupo de Lie. Un grupo es un

conjunto de objetos que incluye una ley de composicion binaria que asigna un

elemento a cada par de elementos ordenados a y b. Se escribe a · b = p. Esa ley

cumple tres propiedades

1) Es asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c.

2) Existe un elemento identidad e, tal que a · e = e · a = a para todo a.

3) Cada elemento del grupo a tiene un inverso a−1 tal que a−1 ·a = a ·a−1 = e.

En este curso nos interesan en especial los grupos continuos, tales que sus

elementos dependen continuamente de varios parametros ε1, · · · , εn. Si la depen-

dencia es analıticas, el grupo se llema grupo de Lie, en honor del matematico

noruego Sophus Lie, que fue un pionero en su investigacion.

Ejemplos de grupos de Lie son el de las rotaciones en n dimensiones, el de

las traslaciones o el de Lorentz. Los parametros son angulos, distancias o angulos

y velocidades, respectivamente ( o funciones de ellos). En general los grupos de

Lie se representan por matrices, de modo que a cada elemento (a menudo una

transformacion) le corresponde una matriz que actua en un espacio vectorial, que

conserve la ley de multiplicacion. Es otras palabras, el grupo de Lie y el grupo de

matrices deben ser homomorfos. Una tal correspondencia se llama representacion

lineal del grupo de Lie.

A2.1.2 Espacio euclıdeo y grupo de las rotaciones

Que cosa es un vector. Varios numeros sin mas no son necesariamente

las componentes de un vector en un cierto espacio vectorial. En este apartado,

dare dos definiciones de vector, en el caso de ese espacio de tres dimensiones con

geometrıa euclıdea. La primera observacion es que las componentes de un vec-

tor siempre deben expresar, de algun modo, una direccionalidad. Intuitivamente

hablando, el ejemplo mas simple es el de una velocidad. Consideremos el conjunto

de los vectores tridimensionales r = (r1, r2, r3) [≡ (x, y, z)], que representaremos

como una columna de tres numeros, y una transformacion lineal A : r → r′ = Ar,

donde A es una matriz 3× 3

A = (aij) =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

. (2.8)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–15


La expresion en coordenadas de la transformacion es

ri → r′i =∑j

aijrj , (2.9)

o, en forma matricial, r′1r′2r′3

=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

r1

r2r3

. (2.10)

Pues bien la primera definicion de vector tridimensional es la siguiente: un vector

es un conjunto de tres cantidades que se transforman segun (2.9)-(2.10) ante

una transformacion lineal de coordenadas. La generalizacion a n dimensiones es

inmediata.

Nos interesa ahora el caso particular en que las matrices A representan rota-

ciones en tres dimensiones. Se definen por la propiedad de mantener invariante el

modulo de los vectores r2 = r · r, donde r = (r1, r2, r3), es decir es un vector fila

(la tilde sobre una matriz indica traspocicion). Notese que un producto vectorial

implica una metrica. Se puede escribir, pues,

r2 = r · r = rr = r′r′ = rAIAr ,

donde I es la matriz unidad (correspondiente a la transformacion identidad).

Como esto debe ocurrir para todos los vectores r, es necesario que se cumpla

AA = I , o sea A = A−1 . (2.11)

La traspuesta de A es igual a su inversa o, tambien, A es autoadjunta, es decir,

igual a su propia adjunta1. Las matrices que cumplen esa propiedad se llaman

matrices ortogonales. El conjunto de tales matrices en n dimensiones forma un

grupo continuo, o de Lie, llamado grupo ortogonal On. El de las rotaciones en el

espacio fısico es, pues, O3.

La relacion anterior implica que det(A) = [det(A)]−1, por lo que det(A) =

±1. El conjunto de las transformaciones con determinante +1 forman un grupo

llamado grupo ortogonal propio, compuesto por las rotaciones que cambian una

mano derecha en una mano derecha. Las que tienen determinante −1 transforman

una mano derecha en una izquierda y al reves. Cada una de ellas es producto de

una rotacion propia por una reflexion r → −r, cuya matriz es −I. No forman

grupo pues el producto de dos de ellas tiene determinante +1. El conjunto de

todas, las propias y las no propias, sı forma grupo evidentemente. Se llama grupo

ortogonal completo.

1La matriz adjunta de A es la inversa de la traspuesta, o la traspuesta de la inversa.

2–16—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.6. Ejercicios

2.6.0.0.1. Formas lineales. Consideremos ahora otro concepto. Una forma

lineal en el espacio tridimensional es una funcion lineal de los vectores que toma

valores entre los numeros reales. Como es lineal, toda forma F esta definida por

tres numeros, sean (u1, u2, u2), tales que

Fu(v) = u1v1 + u2v2 + u3v3 =∑i

uivi . (2.12)

Es facil ver que el conjunto de las formas lineales en un espacio vectorial V tiene

tambien la estructura de espacio vectorial. Se conoce por espacio dual de V. El

teorema de Riesz establece que hay una correspondencia biunıvoca entre V y su

dual, de modo que a cada vector le corresponde una forma.

Nos interesan las formas invariante por O3 (en el caso general, por un cierto

grupo). Para ello, su valor debe ser el mismo en un sistema con primas (o sea,

rotado)

F ′u′(v′) =

∑i

u′iv′i =

∑i

u′i∑j

aijvj = Fu(v) . (2.13)

Como esto se debe cumplir para todo vector v, las dos ecuaciones anteriores

implican que los coeficientes de la forma se transforman del modo

uj =∑i

aiju′i ,

y, si la matriz aij es ortogonal, esto equivale a

u′i =∑j

aijuj .

O sea que los coeficientes de una forma se transforman como los componentes de

un vector. Esto parece sugerir que un vector y una forma son la misma cosa. Pero

no es ası, en general son dos conceptos que hay que saber distinguir. Ocurre sin

embargo que, en el caso euclıdeo con el grupo de las rotaciones, las componentes

de la forma son la misma terna que la del vector u a que esta asociada en virtud

del teorema de Riesz. Pero en el caso general, las cosas son algo mas complicadas

y conviene, como se vera mas abajo. Cuando hay una metrica dada por un pro-

ducto escalar, se puede establecer una relacion biunıvoca entre el conjunto de los

vectores y el de las formas. Gracias a ello y en el caso de una geometrıa euclıdea

con una base ortogonal, es posible y comodo identificarlos, si bien con un cierto

abuso de lenguaje poco importante. Pero eso no se puede hacer en relatividad,

que usa una geometrıa pseudoeuclıdea con el grupo de Lorentz en vez del de las

rotaciones.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–17


Eso permite formular la segunda definicion de vector antes anunciada: un

vector es el conjunto de los coeficientes de una forma lineal. Pero conviene insistir

que hay en ella un cierto abuso de lenguaje.

2.6.0.0.2. Que cosa es un tensor. Un tensor de rango n o de n ındices en el

espacio euclıdeoR3 es un objeto de 3n componentes Tij···n que en la transformacion

de coordenadas (2.9) cambia del modo siguiente

Tij···n → T ′ij···n =

∑i′j′···n′

aii′ajj′ · · · ann′Ti′j′···n′ (2.14)

Es evidente que un ejemplo de tensor de rango n es el conjunto de los productos

de las componentes de n vectores

Rij···n = AiBj · · ·Nn .

En otras palabras, un tensor es un objeto con varios ındices que se transforma

como un vector respecto a cada ındice. Con esta definicion, un vector es un tensor

de rango uno y un escalar es un tensor de rango cero.

Como sabemos una matriz de transformacion es un objeto de dos ındices, lo

que plantea una pregunta. ¿Es tambien un tensor? Consideremos una transfor-

macion lineal dada por la matriz B = (bij), es decir

u → v = Bu, o sea ui → vi =∑j

bijuj . (2.15)

Apliquemos la matriz de transformacion A = (aij) que nos pasa a un sistema con

primas, en el que la transformacion dada por B sera

u′ → v′ = Bu′, o sea u′i → v′i =∑j

b′iju′j . (2.16)

2–18—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.6. Ejercicios

La situacion puede describirse con el diagrama

uB→ v

A ↓ ↓ A

u′ B′→ v′. (2.17)

Esto significa que

v′ = B′Au = ABu .

Como esto debe verificarse para todo vector u, se ha de cumplir

B′A = AB , es decir B′ = ABA−1 . (2.18)

Tomando componentes

b′ij =∑`m

ai`(a−1)jmb`m (2.19)

Como A−1 = A, entonces (a−1)jm = ajm, de donde

b′ij =∑`m

ai` ajm b`m , (2.20)

que indica que las componentes de la matriz B se transforman como las de un

tensor.

En fısica abundan los tensores. Tres ejemplos de segundo dos: el de inercia de

un solido rıgido y los de deformacion y tension en mecanica de medios continuos.

Producto y contraccion de tensores. Se define el producto de dos tensores

de rangos n y m como el tensor de rango m+ n cuyas componentes son los 3n+m

productos de las del primero por el segundo. Ejemplo: la diada o producto diadico

de dos vectores es el tensor Dij = AiBj.

La operacion igualar dos de los ındices de un tensor y sumar despues en sus

posibles valores se llama contraccion. Por ejemplo la traza de una matriz de dos

ındices es la contraccion del tensor correspondiente Tr (Aij) =∑

j Ajj. Es facil

comprender que la contraccion de un tensor de rango n es otro tensor, pero de

rango n − 2. Por ejemplo si contraemos los dos primeros ındices del tensor de

(2.14), el objeto resultante, Uk···n =∑

i Tiik···n, se transformara como un tensor

de rango n− 2 pues∑i

Tiik···n → T ′iik···n =

∑i′j′···n′

aii′aij′ · · · ann′Ti′j′···n′ .


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–19


Como∑

i aii′aij′ = δi′j′ , resulta que

U ′k···n =

∑k′···n′

akk′ · · · ann′Uk′···n′ (2.21)

Luego la contraccion de un tensor de n ındices es un tensor de n−2 ındices. Como

ejemplo, el producto escalar de dos vectores es la contraccion de su producto

diadico (la contraccion de akbj es∑

k akbk).

Con frecuencia se simplifica la notacion mediante lo que se llama convenio de

Einstein de los ındices repetidos que consiste, simplemente, en sobrentender que

siempre que haya dos ındices repetidos hay que sumar sobre sus valores posibles.

Por ejemplo el producto escalar de ak y bk se puede escribir de dos maneras: como∑k akbk o, con un poco menos menos de tinta, como akbk. Eso permite escribir

muchas formulas de modo mas economico.

Un ejemplo interesante de tensor es el llamado tensor de energıa-momento,

que jugara un papel importante en este curso. Tiene rango dos e indica la densidad

de energıa y la densidad de flujo de la energıa de un campo elecromagnetico.

2.6.0.0.3. Caso general. Supongamos un espacio vectorial de n dimensiones

al que asignamos una metrica dada por el “tensor metrico”gij, que es simetrico

gij = gji, tal que el producto escalar de dos vectores ui y vi esta dada por (notese

que las componentes de los vectores seran indicadas por superındices)

u · v =∑ij

gijuivj . (2.22)

En una geometrıa euclıdea existen bases tales que ei ·ej = δij con lo que tenemos

el producto escalar de las matematicas elementales. Pero puede ocurrir que, por

alguna razon, deseemos usar una base no ortogonal. En el caso del espacio de

Minkowsky, lo mas que se puede llegar es a una metrica diagonal con un 1 y tres

−1, o sea cuatro vectores ortogonales pero, bien uno de ellos bien tres, con norma

negativa.

La expresion (2.22) se puede escribir de modo mas simple introduciendo las

cantidades

uj =∑j

gijui , tal que uj =

∑j

gjkuk , (2.23)

pues entonces

u · v =∑ij

gijuivj =

∑j

ujvj =

∑i

uivi =∑ij

gijuivj , (2.24)

2–20—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.6. Ejercicios

donde la matriz del tensor simetrico gij es la inversa de la de gij, es decir que∑k

gikgkj = δji . (2.25)

Propiamente hablando, las cantidades con el superındice, las xk, son las com-

ponentes de un vector y las que llevan el subındice, las xk, de una forma. Pero

dada la correspondencia biunıvoca entre vectores y formas a la que se refiere el

teorema de Riesz, resulta aceptable, y conveniente a un cierto nivel, identificar los

vectores con las formas. Se dice entonces que las cantidades xk son componentes

contravariantes y las xk, componentes covariantes. La operacion de pasar de las

unas a las otras, mediante la contraccion con el tensor metrico se llama subir y

bajar ındices. En el caso euclıdeo es posible elegir los vectores de la base de modo

que xk = xk, pero eso resulta imposible en el tratamiento de la relatividad.

Dada una transformacion de coordenadas

xi → x′ i =∑j

aijxj , (2.26)

se dice que v ≡ (v1, . . . vn) es un vector si sus componentes cambian en esa

transformacion del mismo modo que las x′s, o sea

vi → v′ i =∑j

aijvj .

Supondremos que esa transformacion forma parte de un grupo de Lie. El producto

escalar permite asociar a cada vector u una forma lineal Fu de modo que

Fu(v) = u · v =∑ij

gijuivj ,

que, como se ha visto mas arriba, se puede escribir

Fu(v) = u · v =∑i

uivi . (2.27)

Si esa cantidad es invariante por el grupo, debe ser igual a∑j

ujvj =

∑j

u′jv′ j =

∑jk

u′jajkv

k =∑k

ukvk .

Para que sean iguales debe ocurrir que

uk =∑

ajku′j , o sea u′j =

∑k

a`ju` .


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–21


Vemos que, en el caso mas general, las componentes contravariantes y covari-

antes se transforman de distinta manera

u′ i =∑j

aijuj , ui =

∑j

ajiu′j . (2.28)

Estas son las maneras en que se transforman las componentes de los vectores

y las formas. Gracias a la existencia de un producto escalar con su tensor gij,

podemos decir tambien que son las maneras de transformarse de las componentes

contravariantes y covariantes de los vectores. En el caso euclıdeo con el grupo

On, si multiplicamos la ultima ecuacion por (a−1)iq y sumamos en i, teniendo en

cuenta ademas que∑

i(a−1)iqa

`i = δ`q se llega a

u′q =∑i

(a−1)iqui

En el caso euclıdeo con el grupo de las rotaciones, la inversa de la matriz es igual

a la traspuesta, por lo que

u′ q =∑

aqiui .

que es la misma ley (2.26).

A2.1.3 Espacio de Minkowski, grupo de Lorentz,

cuadrivectores y tensores. La teorıa de la relatividad vive en el espacio

de Minkowsky, un espacio de cuatro dimensiones, con vectores a ≡ aµ =

(a0, a1, a2, a3), dotado del producto escalar

a · b =∑µν

ηµνaµbν , (2.29)

que corresponde al tensor metrico de Minkowsky

gµν = ηµν = diag (1, −1, −1, −1) ,

en notacion autoexplicativa. Ese producto escalar es invariante por el grupo de

Lorentz, cuyas transformaciones son del tipo

x→ x′ = Ax (2.30)

siendo A una matriz 4× 4. Si G la matriz del tensor gij, es decir

G ≡ (gij) =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

,

2–22—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.6. Ejercicios

podemos escribir un producto escalar de los vectores u′ y v′ en la forma

u′ · v′ = u′Gv′ → uAGAv = uGv . (2.31)

Como esto se debe cumplir para todo par de vectores, es necesario que

AGA = G . (2.32)

Esta es la condicion que cumplen las matrices del grupo de Lorentz (es facil

comprobar que el conjunto de las matrices que la cumplen tiene estructura de

grupo). Notese que en el caso euclıdeo, la matriz G es la unidad, con lo que (2.32)

se transforma en la conocida condicion A = A−1.

La regla para formar las componentes covariantes de un vector es simple con

el tensor metrico de Minkowsky. Esta claro que

a0 = a0 , a1 = −a1 , a2 = −a2 , a3 = −a3 ,

o sea que subir o bajar un ındice espacial equivale a cambiar el signo, mientras

que si el ındice es temporal la componente no cambia. El tensor metrico se puede

escribir de tres maneras

gij , gij = δij gij

donde la matriz gij es la inversa de gij. Es facil comprobar que

(gij) = (gij) =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

, gji =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Usaremos el siguiente convenio. Los ındices griegos van siempre de 0 a 3 y los

latinos de 1 a 3. Esto significa que las letras griegas se usan para designar a las

cuatro coordenadas de espacio y tiempo y las latinas para las de espacio. Esta

es la notacion tradicional en el Occidente, mientras que en la Union Sovietica se

usaba mas la contraria, por eso es la que tiene el libro de Landau.

Como hemos visto, un suceso se determina en relatividad por cuatro datos

(ct, x, y, z) que vamos a considerar como las cuatro coordenadas de un vector en

el espacio de Minkowsky, de modo que

x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z .

El “cuadrado del modulo”de este vector vale

xµxµ = (x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x2)2 = x0x

0 + x1x1 + x2x

2 + x3x3,


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–23


que queda invariante ante las “rotaciones.en cuatro dimensiones, o sea ante

las transformaciones de Lorentz. De hecho si se aplica al cuadrivector general

(a0, a1, a2, a3) una transformacion de Lorentz con velocidad v a lo largo del eje x,

se transforma en otro con componentes dadas por las mismas expresiones (3.41)

a′ 1 =a1 − βx0√

1− β2,

a′ 2 = a2 , a′ 3 = a3 , (2.33)

a′ 0 =a0 − βa1√

1− β2,

con β = v/c es la velocidad expresada en unidades de la velocidad de la luz c.

Ante esa transformacion de Lorentz el cuadrado de su magnitud

aµaµ = (a0)2 − (a1)2 − (a2)2 − (a2)2,

permanece invariante. O sea, las transformaciones de Lorentz no solo se aplican

a las coordenadas espaciales y al tiempo.

Convenio de Einstein de los ındices repetidos. En el caso de los ten-

sores relativistas, es decir, en el espacio de Minkowski, este convenio siempre se

aplica a un par de ındices que sean uno contravariante y otro covariante, com

ocurre en el producto de dos cuadrivectores, por ejemplo la cuadrivelocidad y la

cuadriaceleracion u · w = uµwµ.

2.6.0.0.4. Tensores. En relatividad un tensor es un objeto con n ındices

arriba y m abajo. Se dice que es n veces contravariante y m veces covariante

A νµ , Rαβ

γ .

Se llaman tambien tensores mixtos para indicar que tiene, a la vez, indices de los

dos tipos. Los ındices se suben y se bajan mediante la misma regla simple que

para los vectores. Al cambiar un ındice que vale 0, nada cambia; si vale 1, 2 o

3 cambia el signo. Para contraer dos ındices es preciso que sea uno covariante y

otro contravariante.

Ademas de las tres formas anteriores del tensor metrico, tiene interes el

pseudotensor tensor completamente antisimetrico de rango cuatro eαβγδ, una gen-

eralizacion del de Levi-Civitta. Su valor es 0 si dos de los ındices son iguales y +1

o −1 si son los cuatro distintos y los ındices forman una permutacion par o impar,

respectivamente, de los numeros (0, 1, 2, 3). Por ejemplo e0123 = +1, e1023 = −1,

e1123 = 0. Notese que e0123 = −1. Ese tensor tiene por tanto 4! = 24 componentes

no nulas.

2–24—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.6. Ejercicios

2.6.0.0.5. Vectores y pseudovectores. Si se realiza una inversion de coor-

denadas (o sea una simetrıa respecto al origen, (x, y, z) → (−x,−y,−z)), las tres

componentes espaciales de un vector “ordinario” cambian de signo. Si solo se in-

vierte una de las coordenadas (por ejemplo, se invierte z si se realiza una simetrıa

respecto al plano xy), la componente correspondiente de los vectores cambia de

signo). Consideremos, sin embargo, el producto escalar de dos vectores, como es el

caso del campo magnetico. Es facil comprobar que sus componentes permanecen

invariantes en una inversion de coordenadas. Si solo se invierte una, la compo-

nente correspondiente del producto escalar no cambia; por contra las otras dos

sı cambian de signo.

En el primer caso, se dice que se trata de un vector polar; en el segundo, que

es un vector axial. Es facil comprobar que el campo electrico es polar y el campo

magnetico, axial. Tambien se conocen esos dos tipos como vector y pseudovector,

respectivamente. Sea C = A × B. Esta claro que (usando el convenio de los

ındices repetidos)

Ci =1

2eijkCjk , siendo Cjk = AjBk − AkBj .

La primera igualdad puede escribirse tambien como Ci = eijkCjk.

En general, un pseudotensor se comporta como un tensor para transforma-

ciones de coordenadas sin inversion o con la inversion de un numero para de

coordenadas (o cuando la mano derecha cambia en una mano derecha), mas pre-

cisamente si no cambia la axilidad del sistema de ejes. Pero no cambia de signo

sus componentes en una inversion de un numero impar de coordenadas, como

sı lo hace un tensor. Como ejemplo de pseudoescalar tomemos el producto escalar

de un vector y un pseudovector, E ·B en electromagnetismo por caso. Cambia de

signo, al reves que un escalar en una inversion de las tres coordenadas.

Sea T µν un tensor antisimetrico de rango dos en cuatro dimensiones. Se define

su dual ∗T ρσ como∗T ρσ =

1

2eρσµνTµν .

De la misma manera el dual de un vector Rα es el tensor de rango tres ∗Rβγδ =

eαβγδRα.

Este tipo de tensores son especialmente importantes porque aparacen muy

a menudo en las aplicaciones fısicas, como veremos. Sea Tαβ uno de ellos. Sus

componentes (T 01, T 02, T 03) forman un vector polar, como es facil de com-

prender aplicando las leyes de transformacion. Por su parte, las componentes

(T 32, T 13, T 21) forman un vector axial. Tambien se puede entender bien esto al


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–25


observar que esas tres componentes son las coordenadas del vector dual del tensor

T ij y se comportan como un producto vectorial. Se puede escribir

(Tαβ) =

0 −ex −ey −ezex 0 −bz byey bz 0 −bxez −by bx 0

,

y con notacion evidente

Tαβ = (−e, b), Tαβ = (e, b)

El gradiente en cuatro dimensiones de una funcion f es

∂f

∂xi=

(1

c

∂f

∂t, ∇f

).

Sus cuatro componentes son las coordenadas covariantes de un vector, escritas a

menudo como ∂if . La diferencial de la funcion vale obviamente df = ∂idxi y es

un escalar, pues esta claro que es el producto escalar de dos vectores.

2.6.0.0.6. Integrales en cuatro dimensiones. Se usan integrales de lınea,

de superficie bidimensional, de volumen tridimensional y de cuadrivolumen.

Veamos cuales son los elementos difrenciales.

(i) Integrales de lınea. El elemento de integracion es simplemente dxi.

(ii) Integrales de superficie bidimensional. En el espacio tridimensional, las

proyecciones del area de un paralelogramo formado por dr y dr′ sobre los plano

xixj son dxidx′j−dxjdx

′i. El conjunto de tales proyecciones es un tensor de rango

dos. Su dual es el doble del producto escalar dr× dr′, cuyas componentes son las

areas de las tres proyecciones. Analogamente, en el espacio de Minkowsky el tensor

dSαβ = dxαdx′β − dxβdx′α tiene por componentes las areas de las proyecciones

en los seis planos xαxβ. Como elemento de area se usa su dual

d∗Sγδ =1

2εγδαβdSαβ

(iii) Integrales de volumen tridimensional. De modo parecido se usa el dual

del tensor de rango tres

dSβγδ =

∣∣∣∣∣∣∣dxβ dx′β dx′′β

dxγ dx′ γ dx′′ γ

dxδ dx′ δ dx′′ δ

∣∣∣∣∣∣∣ ,2–26—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


2.6. Ejercicios

es decir

dSα = −1

6εαβγδ dSβγδ

por ejemplo dS0 = dS123, dS1 = dS023 ...

(iv) Integral en un volumen cuadridimensional

dΩ = dx0dx1dx2dx3 = cdtdV


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

2–27


2–28—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


Capıtulo 3

Formulacion lagrangiana de la

electrodinamica clasica I

3.1. Principio de “mınima accion” en mecanica

newtoniana

Sea un sistema mecanico de n grados de libertad y descrito por n coordenadas

(q1, q2, · · · , qn) y, para simplificar supongamos que el potencial no depende del

tiempo. Sean sus energıas cinetica T y potencial V y su funcion lagrangiana L

T = T (q, q) , U = U(q) , L = L(q, q) = T (q, q)− U(q) . (3.1)

Sus ecuaciones del movimiento se pueden obtener con gran sencillez a partir del

principio de la “mınima” accion en su forma de Hamilton. Podemos enunciar este

principio de la siguiente manera

Principio de Hamilton: Cuando el sistema va desde la configuracion q(1)k

en t = t1 hasta la q(2)k en t = t2, se cumple que la integral de accion S

S =

∫ t2

t1

L(q, q) dt (3.2)

toma un valor estacionario.

Ello implica que se deben cumplir la ecuaciones diferenciales de Euler-

Lagranged

dt

∂L

∂qk− ∂L

∂qk= 0, k = 1, 2, . . . n , (3.3)

que son por tanto las ecuaciones del movimiento del sistema. En este contexto,

se suelen llamar simplemente las ecuaciones de Lagrange.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–1

Capıtulo 3. Formulacion lagrangiana de la electrodinamicaclasica I

Ejemplo. Partıcula en tres dimensiones sometida al ptential U(x, y, z). El

lagrangiano es

L =1

2mv2 − U

y las ecuaciones de Lagrange

mx = −∂xU , my = −∂yU , mz = −∂zU .

Prueba del principio de Hamilton. Definimos las variaciones de las coor-

denadas δqk(t) como funciones con buen comportamiento que se anulan en t1 y

t2, o sea que

δq(t1) = δq(t2) = 0 . (3.4)

De ese modo los conjuntos qk(t) + δqk(t) son conjuntos de funciones que cumplen

todas ellas las condiciones inicial y final qk(t1)+δqk(t1) = q(1)k y qk(t2)+δqk(t2) =

q(2)k . Que la integral de accion tome un valor estacionario significa que, al variar

las coordenadas, se anule la parte de primer orden de la variacion de la integral.

La variacion de la integral de accion vale

δS =

∫ t2

t1

[L(q + δq, q + δq)− L(q, q)] dt =

∫ t2

t1

[∂L

∂qδq +

∂L

∂qδq

]dt , (3.5)

salvo terminos de segundo orden y superiores en las variaciones (notese que por

simplicidad se han omitido los subındices en las coordenadas y velocidades. Hay

que sobreentender que esa expresion es una suma extendida a los valores k =

1, 2, · · · , n). Tal como hemos definido la variacion, esta claro que la variacion y

la derivada respecto al tiempo conmutan, es decir

δq =d

dtδq . (3.6)

Gracias a ello podemos integrar por partes el segundo termino del tercer miembro

de (3.5), con lo que∫ t2

t1

∂L

∂qδq dt =

∂L

∂qδq

∣∣∣∣t2t1

−∫ t2

t1

(d

dt

∂L

∂q

)δq dt

anulandose el primer termino del segundo miembro por la condicion (3.4), de

modo que (3.5) toma la forma

δS = −∫ t2

t1

(d

dt

∂L

∂q− ∂L

∂q

)δq(t) dt

[= −

n∑k=1

∫ t2

t1

(d

dt

∂L

∂qk− ∂L

∂qk

)δqk(t) dt

](3.7)

3–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.2. La accion de una partıcula libre en relatividad

La unica manera en que las integrales en (3.7) sean nulas para todas las varia-

ciones posibles es que se anulen los parentesis, lo que conduce a las ecuaciones de

Lagrange (3.3). Recıprocamente, estas ecuaciones implican δS = 0.

Momentos conjugados. A cada variable qk le corresponde un momento

conjugado pk definido ası

pk =∂L

∂qk.

A las variables cartesianas xk les corresponde el momento lineal pk = mvk, a la

rotacion alrededor de un eje, la componente sobre ese eje del momento angular,

etc.

Hamiltoniano. (o funcion hamiltoniana) Se define ası

H =∑k

pkqk − L .

Su derivada total respecto al tiempo vale

dH

dt=∂L

∂t,

o sea que si L no depende explıcitamente del tiempo el hamiltoniano es una con-

stante del movimiento. Eso ocurre al estudiar leyes que no dependan del tiempo.

Si la energıa cinetica es la suma de una funcion cuadratica de las velocidades

T2 =∑

ij12Aij qiqj, otra parte lineal T1 =

∑k Bkqk y otra independiente de las

velocidades T0, el hamiltoniano vale

H = T2 − T0 + U.

Cuando T = T2, caso frecuente, H puede identificarse con la energıa.

3.2. La accion de una partıcula libre en relativi-

dad

Sea una partıcula libre, por ejemplo un electron, que se mueve. ¿Como plantear

su movimiento desde el punto de vista variacional? En primer lugar el integrando

de la accion debe ser un escalar, pues de otra forma la teorıa no serıa covariante

Lorentz ni, por tanto, relativista. Ademas debe ser tambien una forma diferencial

de primer orden. El unico integrando que cumple esas condiciones es λ ds, siendo

λ una constante. Por tanto la accion debe ser

S = −λ∫ 2

1

ds , (3.8)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–3


donde la integral se toma a lo largo de la trayectoria (o lınea de universo) de la

partıcula en el espacio de Minkowski. Los lımites de la integral son dos puntos

de espacio-tiempo, o sea una posicion en el tiempo incial t1 y otra en el tiempo

final t2. Se puede comprobar que λ debe ser positiva. Hasta ahora el elemento

diferencial que aparece en la integral de accion es la diferencial del tiempo, de

modo que S =∫ 2

1Ldt. La ecuacion (3.8) toma la forma

S = −∫ t2

t1

λ c√

1− v2/c2 dt , (3.9)

donde v es la velocidad. El lagrangiano es, pues,

L = −λ c√

1− v2/c2 . (3.10)

Para determinar la constante λ usaremos dos criterios: i) el lagrangiano L debe

tener dimensiones de energıa; y ii) cada partıcula esta caracterizada por su masa

m. Esto sugiere que podrıa ser λ = mc. Para comprobarlo, tomemos el caso de

pequena velocidad, cuando vale la teorıa newtoniana. Aproximando la raız hasta

terminos en primer orden en v2/c2, resulta

L = −λ c√

1− v2/c2 ≈ −λc+λv2

2c. (3.11)

Comparando con la expresion newtoniana L = mv2/2 se comprueba que el valor

anterior de λ es el correcto. Quedan pues la accion y el lagrangiano en la forma

S = −mc∫ 2

1

ds = −mc2∫ 2

1

dτ , L = −mc2√

1− v2/c2 . (3.12)

Energıa y momento lineal. La definicion del momento lineal p = (p1, p2, p3),

el conjugado a las coordenadas cartesianas, es

pk =∂L

∂xk, o sea p =

mv√1− v2/c2

. (3.13)

En cuanto a la energıa, la tomaremos igual al hamiltoniano, es decir

E =3∑1

pkqk − L , o sea E =mc2√

1− v2/c2. (3.14)

Como vemos se obtienen ası las conocidas expresiones relativistas.

Notese que a pequenas velocidades

E ' mc2 +1

2mv2 ,

3–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.2. La accion de una partıcula libre en relatividad

y que, a cualquier velocidad,

E2

c2= p2 +m2c2 .

El hamiltoniano puede escribirse ası

H = c√p2 +m2c2 .

Tambien

p = E v

c2.

A primera vista parece que la idea de una partıcula con masa nula m = 0 no tiene

sentido. Sin embargo sı lo tiene, si suponemos que esa partıcula siempre tiene la

velocidad c respecto a todos los observadores inerciales, como se deduce por otra

parte de las transformaciones relativistas de las velocidades. En ese caso

E = p c .

3.2.1. Formulacion cuadridimensional.

El principio de “mınima” accion es

δS = −mc2 δ∫ 2

1

dτ = 0 ,

donde τ es el tiempo propio. Teniendo en cuenta que dτ = (dxµdxµ)1/2/c, que

dδxµ = δdxµ y que δ(dxµdxµ)1/2 = dxµδdh

µ/(dxµdxµ)1/2, es decir que la variacion

y el diferencial conmutan, esa variacion vale

δS = −m∫ 2

1

dxµδdxµ

dτ= −m

∫ 2

1

uµdδxµ .

Integrando por partes

δS = − muµδxµ|21 +m

∫ 2

1

δxµduµdτ

dτ .

El primer termino del segundo miembro vale cero porque la variaciones se anulan

en los tiempos extremos. La condicion δS = 0 implica pues que

duµ/dτ = 0

, es decir, la cuadrivelocidad es constante, como corresponde a una partıcula libre.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–5


Tal como se hace en mecanica teorica newtonana, podemos considerar a la

accion como una onda, haciendo fijo el lımite inferior 1 y variando el superior 2,

o sea considerando las coordenadas de este ultimo como variables. De ese modo

tenemos una funcion S = S(xµ). Si variamos solo estas coordenadas del punto

final queda

δS = −muµδxµ ,

porque la integral en la expresion de δS, ecuacion anterior, se anula y solo queda

el primer termino en el lımite superior. El cuadrivector

pµ = − ∂S

∂xµ

es el cuadrivector momento. De hecho en mecanica clasica las derivadas (∂xS, ∂yS, ∂zS)

son las tres componentes del momento lineal p mientras que −∂tS es la energıa

de la partıcula. Por tanto las componentes covariantes y contravariantes del cuad-

rimomento son

pµ = (Ec,−p) , pµ = (

Ec,p) ,

por lo que

pµ = muµ

lo que coincide con las definiciones anteriores.

La consecuencia de estos argumentos en que la energıa sobre c y el momento

lineal forman un cuadrivector, llamado de energıa-momento. En una transforma-

cion de Lorents se cambia, pues, del modo

p′x =px − vE/c2√

1− v2/c2p′y = py

p′z = pz , E =E − vpx√1− v2/c2

.

Debido a la identidad uµuµ = 1 se cumple que

pµpµ = m2c2 ,

que es otra forma de la relacion relativista entre la energıa y el momento.

3.3. Cuadripotencial del campo electromagnetico

3.3.1. Interaccion a distancia e interaccion por campos

interpuestos.

En las presentaciones elementales de la fısica se suele considerar que las fuerzas

entre cuerpos o partıculas se efectuan de manera instantanea. Por ejemplo, al

3–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.3. Cuadripotencial del campo electromagnetico

estudiar el Sistema Solar de modo newtoniano no se tienen en cuenta la posibilidad

de que la accion gravitatoria tarde un tiempo en ir de un cuerpo a otro. Lo

mismo ocurre en el caso del electromagnetismo elemental. Esto parecıa evidente

al principio, debido a que esas acciones se transmiten de hecho con una velocidad

muy alta, la de la luz, por lo que la idea de accion a distancia da muy buenos

resultados si las velocidades implicadas no son relativistas. Pero un tratamiento

mas fino exige incluir ese retraso de la accion. Ello se hace suponiendo que hay

un campo intermedio que se propaga entre dos partıculas que interactuan. En

este curso trataremos esta cuestion en el caso de las cargas a alta velocidad o

aceleradas.

Consideraremos ahora el movimiento de una carga puntual en un campo elec-

tromagnetico exterior, es decir que no cambia a causa de la partıcula. En ese caso

el lagrangiano debe tener dos terminos: uno el mismo que antes, para la partıcula

libre, y otro que represente a la interaccion. La experiencia dice que este ultimo

es de la forma −e∫ 2

1Aµdx

µ, siendo e la carga de la partıcula y Aµ = Aµ(r, t) un

cuadripotencial que representa al campo electromagnetico. Veremos que resulta

ser igual a

Aµ = (Φ/c,A) .

Notese que Φ/c y A tienen las mismas dimensiones, mas concretamente

[Aµ] = Fuerza/Intensidad de corriente, o sea [Aµ] = kg ·m ·s−2 ·A−1 = N/A .

Tomaremos pues la siguiente expresion para la accion de una partıcula con carga

e

S =

∫ 2

1

(−mc2dτ − eAµdx

µ). (3.15)

Esa integral se puede escribir como

S =

∫ 2

1

(−mc2 dτ − eΦ dt+ eA · dr

)=

∫ 2

1

(−mc2

√1− v2

c2− eΦ + eA · v

)dt . (3.16)

El lagrangiano es, por tanto,

L = −mc2√

1− v2

c2− eΦ + eA · v (3.17)

Momento lineal. Ese momento sera px = ∂L/∂vx, por lo que

P =mv√

1− v2/c2+ eA = p + eA . (3.18)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–7


P es el momento canonico y p el momento mecanico. El Hamiltoniano vale

H =∑k

xk∂L

∂xk− L

=mc2√

1− v2/c2+ eΦ (3.19)

El hamiltoniano puede expresarse, y es importante hacerlo ası, en terminos del

momento canonico de la partıcula. El calculo es simple y sale

H =√m2c4 + c2(P− eA)2 + eΦ . (3.20)

En el caso de pequena velocidad, L = mv2/2− eΦ + ev ·A, con lo que

H =1

2m(P− eA)2 + eΦ . (3.21)

3.4. Ecuaciones del movimiento de una carga en

un campo electromagnetico

Entre una carga y un campo electromagnetico hay acciones mutuas (interac-

ciones), de modo que el campo cambia el movimiento de la partıcula (mediante

fuerzas) y, a su vez, el movimiento de la partıcula modifica el campo (emitiendo

radiacion, por ejemplo). Debe ser ası si la energıa se conserva. Conviene empezar

por lo que se llama una partıcula de prueba, cuya carga y energıa son tan pequenas

que su accion sobre el campo se puede despreciar. Un ejemplo es el de un elec-

tron en un campo macroscopico. Para estudiar el problema en esa aproximacion,

considerarremos variaciones de las coordenadas de la partıcula en el lagrangiano

en (3.16), pero no del vector Aµ(r, t).

Las ecuaciones de Lagrange son

d

dt

(∂L

∂vk

)=

∂L

∂xk, (3.22)

con el lagrangiano L dado por (3.17). Notese que el segundo miembro es igual a

∇L = e∇(A · v)− e∇Φ .

El gradiente del producto escalar de dos vectores arbitrarios esta dado por la

formula

∇(a · b) = (a ·∇)b + (b ·∇)a + b× (∇× a) + a× (∇× b) .

3–8—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.4. Ecuaciones del movimiento de una carga en un campo electromagnetico

Aplicando esta formula y teniendo en cuenta que v no depende de r, resulta

∇L = e (v ·∇)A + ev × (∇×A)− e∇Φ .

Como en las ecuaciones de Lagrange ∂L/∂v = P = p + eA, resulta que esas

ecuaciones tienen la forma

dp

dt= −e ∂A

∂t− e∇Φ + ev × (∇×A) . (3.23)

Esta ecuacion tiene un aire muy conocido. Definiendo los vectores E, B como

E = −∇Φ− ∂tA , B = ∇×A , (3.24)

las ecuaciones (3.22) toman la forma

dp

dt= eE + ev ×B , (3.25)

es decir, expresan la ley de Lorentz.

Cosas sueltas. En el caso de pequenas velocidades la ecuacion (3.25) toman

la forma

mdv

dt= eE + ev ×B . (3.26)

La derivada temporal de la energıa cinetica vale

dT

dt=

d

dt

(mc2√

1− v2/c2

)= v · dp

dt= eE · v . (3.27)

O sea que el campo magnetico no efectua trabajo sobre la partıcula.

Las ecuaciones del movimiento en mecanica newtoniana son invariantes bajo

la inversion del tiempo. Esto significa que si un cierto movimiento es posible,

tambien lo es el movimiento que se obtiene cambiando el signo de todas las

velocidades (por ejemplo serıa posible un sistema solar como el nuestro en que los

planetas se movieran con exactamente las velocidades opuestas a las que ahora

tienen). De hecho esas ecuaciones son reversibles temporalmente. En el caso que

nos ocupa, eso sigue siendo cierto con tal de que cambiemos ademas el signo del

campo magnetico. De modo mas preciso, las ecuaciones (3.25) son invariantes

bajo los cambio

t→ −t , E → E , B → −B , (3.28)

lo que corresponde a

Φ → Φ , A → −A . (3.29)

O sea, si un movimiento de cargas en un campo electromagnetico es posible, el

movimiento inverso en el tiempo es tambien posible si se cambia el signo del

campo magnetico.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–9


3.5. Invariancia gauge

Un problema que se plantea es decidir auales son mas importantes, los poten-

ciales (Φ, A) o los campos (E, B). A primera vista parecen mas fundamentales

los primeros, pues los segundos se deducen unıvocamente de ellos y, ademas,

solo tiene cuatro grados de libertad en cada punto, por seis de los campos. Sin

embargo, lo que caracteriza al campo electromagnetico desde el punto de vista

experimental es su accion sobre las cargas y eso se lleva a cabo mediante los

campos electrico y magnetico. Un problema interesante en este caso es saber si

los potenciales estan unıvocamente determinados por los campos. La respuesta

es no.

En particular, si se suman a los potenciales las derivadas de una funcion

arbitraria del espacio-tiempo, de modo que

Aµ → A′µ = Aµ −

∂f

∂xµ, (3.30)

los campos E y B no cambian, como se comprueba facilmente. Esta claro que tal

cambio equivale a anadir al integrando de la integral de accion una diferencial

exacta pues

e∂f

∂xµdxµ = d(ef) ,

por lo que la accion cambia en la cantidad eδ[f(2)− f(1)] que vale cero pues las

variaciones en los dos extremos del intervalo son nulas. O sea que la accion per-

manece invariante y nada cambia en el proceso fısico. Ademas es facil comprobar

que el cambio (3.30) equivale a

Φ → Φ′ = Φ− 1

c∂tf, A → A′ = A + ∇f , (3.31)

de modo que no cambian los vectores E y B.

Esta es la famosa invariancia de gauge bajo la transformacion de gauge (3.30).

Un caso particular es anadir una constante al potencial escalar y un vector con-

stante al potencial vectorial, lo que se consigue tomando f =∑akx

k.

3.6. El tensor electromagnetico

Consideremos de nuevo el principio variacional para el movimiento de una

partıcula en un campo electromagnetico exterior

δS = δ

∫ 2

1

(−mc2dτ − eAµdx

µ)

= 0 . (3.32)

3–10—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



Variaremos ahora no solo la trayectoria de la partıcula sino tambien el potencial

Aµ. Teniendo en cuenta que dτ =√

dxµdxµ/c, se puede escribir la ecuacion

anterior en la forma

δS = −∫ 2

1

(m

dxµdδxµ

dτ+ eAµdδx

µ + eδAµdxµ

)= 0 .

A continuacion integramos los dos primeros terminos por partes, introduciendo

la cuadrivelocidad uµ = dxµ/dτ , con lo que llegamos a

δS = −[(muµ + eAµ)δxµ]21 +

∫ 2

1

(m duµ δxµ + e δxµdAµ− eδAµdxµ) = 0 . (3.33)

El primer termino del segundo miembro es clramente nulo, ya que las variaciones

δxµ se anulan en los extremos del intervalo. Aplicando al resto las igualdades

δAµ =∂Aµ∂xν

δxν dAµ =∂Aµ∂xν

dxν ,

resulta ∫ 2

1

(m duµδx

µ + e∂Aµ∂xν

δxµdxν − e∂Aµ∂xν

dxµ δxν)

= 0 .

Sustituyendo duµ = (duµ/dτ)dτ en el primer termino y dxµ = uµdτ en el segundo

y el tercero, intercambiando ademas los ındices mudos µ y ν en el el tercero, se

obtiene ∫ [m

duµdτ

− e

(∂Aν∂xµ

− ∂Aµ∂xν

)uν]δxµdτ = 0 .

Como las funciones δxµ son arbitrarias, se debe cumplir

mduµdτ

= e

(∂Aν∂xµ

− ∂Aµ∂xν

)uν . (3.34)

Conviene introducir el tensor electromagnetico definido como

Fµν =∂Aν∂xµ

− ∂Aµ∂xν

, (3.35)

o tambien Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, donde la F es la inicial de Faraday, el fısico que

introdujo la idea de campo. La ecuacion del movimiento toma la forma

mduµ

dτ= eF µνuν . (3.36)

Esa es la expresion de las ecuaciones del movimiento de una carga puntual en un

campo EM en formalismo cuadridimensional. Sustituyendo Aµ = (Φ,A), resulta


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–11


que el tensor electromagnetico vale (los ındices de filas y columnas son (0, 1, 2, 3))

F µν =

0 −Ex/c −Ey/c −Ez/c

Ex/c 0 −Bz By

Ey/c Bz 0 −Bx

Ez/c −By Bx 0

, Fµν =

0 Ex/c Ey/c Ez/c

−Ex/c 0 −Bz By

−Ey/c Bz 0 −Bx

−Ez/c −By Bx 0

.

(3.37)

En la notacion mas breve, usada en el capıtulo anterior

F µν = (−E/c, B) , Fµν = (E/c, B) .

Las dimensiones de F µν son

[F µν ] = J/A = N ·m/A .

Es importante comprobar que las componentes de los trivectores electrico y

magnetico son las componentes de un tensor antisimetrico de rango dos, el tensor

electromagnetico. De esta afirmacion deduciremos como cambian E y B en una

transformacion de Lorentz.

El sentido de las ecuaciones (3.36) se entiende facilmente, al dar valores al

ındice µ en (3.36). Las tres componentes espaciales µ = 1, 2, 3 son, en otra forma,

las ecuaciones (3.25); la componente temporal, con µ = 0, da la ecuacion del

trabajo (3.27). Alguien podrıa pensar que no tiene mucho interes poner esas

ecuaciones en formalismo de cuatro dimensiones si, al fin y al cabo, son las mismas.

Pero notese que en esta forma es evidente que se trata de una teorıa relativista

pues se cumple evidentemente el principio de covariancia: los dos miembros se

transforman de igual modo, los dos son cuadrivectores.

Lo mismo que hicimos antes, consideremos a la accion como una onda en

el espacio-tiempo. Para hacerlo fijemos el punto inicial, usemos la trayectoria

correcta y variemos solamente el punto final. Se tiene evidentemente

δS = −(muµ + eAµ) δxµ . (3.38)

Por tanto

− ∂S

∂xµ= muµ + eAµ = pµ + eAµ .

Como el primer miembro de esta ecuacion es el cuadrivector Pµ de los momentos

conjugados de la partıcula, resulta que este vale

P µ =

(Ecin + eΦ

c, p + eA

). (3.39)

Vemos que la componente cero de ese cuadrivector es la energıa cinetica mas la

potencial, como era de esperar.

3–12—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—



3.6.1. Transformaciones de Lorentz del campo

Un vector y un tensor de segundo rango se transforman ası

R ′µ = aµρRρ , T ′µν = aµρ a

νσT

ρσ . (3.40)

Teniendo en cuenta la expresion conocida de las transformaciones de Lorentz,

x′ =x− vt√1− v2/c2

, x′ 1 = γ(x1 − vx0/c)

y′ = y , z′ = z , o sea x′ 2 = x2 , x′ 3 = x3 (3.41)

t′ =t− (v/c2)x√

1− v2/c2, x′ 0 = γ(x0 − vx1/c),

resulta que la matriz (aµρ) es igual a

aµρ =

1√

1−v2/c2

−v/c√1−v2/c2

0 0

−v/c√1−v2/c2

1√1−v2/c2

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

. (3.42)

Los potenciales se transforman como un vector, o sea

Φ′ =Φ− vAx√1− v2/c2

A′x =

Ax − vΦ/c2√1− v2/c2

A′y = Ay , A′

z = Az , (3.43)

y los campos electrico y magnetico cambian como componentes de un tensor de

rango dos en una transformacion de Lorentz a lo largo del eje x. Mas concreta-

mente ası

E ′x = Ex E ′

y =Ey − vBz√1− v2/c2

, E ′z =

Ez + vBy√1− v2/c2

(3.44)

B′x = Bx B′

y =By + vEz/c

2√1− v2/c2

, B′z =

Bz − vEy/c2√

1− v2/c2(3.45)

Prueba.

En primer lugar veamos que las componentes F 01 y F 23 no cambian, o sea

que Ex, Bx son las mismas en los dos sistemas.

F ′ 01 = −E ′x/c = a0

αa1βF

αβ = (a01a

10 − a0

0a11)F

01 = γ2(β2 − 1)Ex/c = −Ex/c ,

donde se ha usado (3.42). Analogamente para F 23.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–13


Por su parte las componentes (F 02, F 03) transforman como x0 y las (F 12, F 13),

como x1. Tambien se puede aplicar (3.40), por ejemplo

−E ′y/c = F ′ 02 = a0

αa2βF

αβ = (a00a

22 + a0

1a22)F

02 = γ(−Ey/c+ βγBz) ,

de lo que resulta la ecuacion (3.44), usando (3.42), y analogamente con las demas.

En el caso de que la velocidad entre los dos sistemas sea pequena β 1,

tomando hasta los terminos en β, resulta

E ′x = Ex E ′

y = Ey − vBz , E ′z = Ez + vBy

B′x = Bx B′

y = By + vEz/c2 , B′

z = Bz − vEy/c2 ,

que en forma vectorial se escriben

E′ = E−B×V , B′ = B +1

c2E×V . (3.46)

Si en el sistema S no hay campo magnetico, B = 0, en el sistema S ′ ese campo

valdra

B′ =1

c2E×V . (3.47)

Notese que en S ′ los campos electrico y magnetico son perpendiculares.

3.6.2. Invariantes del campo

A partir del campo electromagnetico se pueden formar cantidades que no

varıan bajo una transformacion de Lorentz. Se llaman invariantes Lorentz. Pense-

mos en el tensor de rango cuatro Tαβγδ = FαβF γδ. Podemos hacer dos cosas con

el. (i) contraer sus ındices 1o y 3o y 2o y 4o; (ii) contraerlo con el tensor comple-

tamente antisimetrico eαβγδ. Resultan ası dos cantidades invariantes

FαβFαβ , eαβγδFαβFαβ , (3.48)

el primero es un escalar, es decir un tensor de rango cero; el segundo es un

pseudoscalar.

Tomando las expresiones anteriores del tensor electromagnetico, es facil cal-

cular los valores de estos invariantes que son, respectivamente,

FαβFαβ = 2 (B2 − E2/c2) , eαβγδFαβFαβ = 4E ·B/c . (3.49)

Que estas cantidades sean invariantes significa que su valor es el mismo en

todos los sistemas inerciales. En particular si se anulan en un sistema, se anulan

3–14—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.7. Partıcula cargada en un campo electrico uniforme y constante

siempre. Esto implica que si E y B son perpendiculares en un punto del espacio-

tiempo de un sistema inercial, lo son tambien en el punto correspondiente de

todos los demas. Si tienen el mismo modulo, ocurre lo mismo. Igual sucede si

E/c > B, o si E/c < B.

Una ultima observacion es conveniente para lo que se tratara en el proximo

capıtulo. Teniendo en cuenta que c2 = (ε0µ0)−1, y recordando que las densidades

de energıa electrica y magnetica son Ue = ε0E2/2 y Um = B2/2µ0, el primer

invariante puede escribirse en la forma

FαβFαβ = 2 (B2 − E2/c2) = 4µ0

(B2

2µ0

− ε0E2

2

)= 4µ0(Um − Ue) , (3.50)

y por tanto su integral espacial es proporcional a la diferencia entre las energıas

asociadas a los campos magnetico y electrico.

3.7. Partıcula cargada en un campo electrico

uniforme y constante

En lo sucesivo, usaremos la siguente notacion: un campo es uniforme si no

depende de la posicion y es constante si no depende del tiempo. Si el campo

electrico es constante, se expresa como E = −∇Φ, donde Φ = −E·r con la posible

adicion de una constante. Notese que esa adicion es la unica transformacion de

gauge permitida si E es constante y B = 0.

Como E es constante, el lagrangiano es independiente del tiempo, por lo que

la energıa se conserva. Su valor es

E =mc2√

1− (v2/c2)+ qΦ ,

siendo q el valor de la carga.

Supongamos que, en el momento inicial, la carga tiene un momento lineal

p0. Su movimiento estara confinado al plano formado por los vectores E y p0.

Tomemos el caso en que sean perpendiculares, definiendo las coordenadas (x, y)

de modo que E = (E, 0) y p0 = (0, p0). La ecuaciones del movimiento son (el

sobrepunto indica derivada respecto a t))

px = qE, py = 0 ,

la trayectoria,

px = qEt , py = p0 .


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–15


y la energıa cinetica de la carga,

Ecin =√m2c4 + c2p2

0 + (cqETt)2 =√E2

0 + (cqEt)2

donde E0 es la energıa cinetica inicial. La velocidad verifica

v =pc2

Ecin

,

por lo que

dx

dt=

pxc2

Ecin

=c2qEt√

E20 + (cqEt)2

(3.51)

dy

dt=

pyc2

Ecin

=p0c

2√E2

0 + (cqEt)2(3.52)

Integrando estas ecuaciones, se tiene

x =1

qE

√E2

0 + (cqEt)2 , y =p0c

qEarcsinh

(cqEt

E0

). (3.53)

Por simplicidad, se han tomado iguales a cero las constantes de integracion. Elim-

inando el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores (recordando que cosh2 u −sinh2 u = 1), resulta como ecuacion de la trayectoria

x =E0

qEcosh

qEy

p0c, (3.54)

curva conocida como catenaria. En el caso no relativista, si v c, se puede

aproximar p0 = mv0 y E0 = mc2, con lo que la ecuacion de la trayectoria resulta

ser

x =qE

2mv20

y2 + const , (3.55)

es decir una parabola, como en el tiro parabolico, naturalmente.

3.8. Partıcula cargada en un campo magnetico

uniforme y constante

Tomamos el campo B en la direccion del eje z. La ecuacion del movimiento

toma la forma

p = q v ×B (3.56)

3–16—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.8. Partıcula cargada en un campo magnetico uniforme y constante

Como el sistema es independiente del tiempo, se conserva la energıa y, como el

trimomento vale p = Ev/c2, resulta

Ec2

v = q v ×B (3.57)

Eso se puede escribir en la forma

vx = ωvy , vy = −ωvx , vz = 0, (3.58)

donde la frecuencia ω, conocida como frecuencia del ciclotron, vale

ω =qc2B

E. (3.59)

Combinando las dos ecuaciones (3.58) resulta

vx + ivy = −iω(vx + ivy) ,

cuya solucion es

vx + ivy = ae−iωt ,

siendo a una cantidad compleja que se puede escribir como a = v0te−iα. Resulta

entonces que la trayectoria de la carga verifica

vx = v0t cos(ωt+ α) , vy = v0t sen(ωt+ α) . (3.60)

La constante v0t es la componente normal al campo magnetico de la velocidad en

el momento inicial. Integrando de nuevo

x = x0 + r sen(ωt+ α) , y = y0 + r cos(ωt+ α) (3.61)

siendo

r =v0t

ω=

v0tEqc2B

. (3.62)

La tercera ecuacion tiene la solcuion

z = z0 + v0zt . (3.63)

La trayectoria es una helice cuyo eje pasa por (x0, y0), es paralelo a B y cuyo

radio es r. Su paso de rosca es 2πvz/ω.

En el caso no relativista, la frecuencia vale

ω =qB

m. (3.64)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–17


3.9. Partıcula cargada en campos electrico y

magnetico uniformes y constantes

Consideramos ahora el movimiento de una carga puntual q de masa m, someti-

da a campos electrico y magnetico constantes y uniformes. Tomaremos solo el caso

no relativista en que la velocidad de la carga es pequena, v c y el momento

lineal se puede aproximar como p = mv. Elegimos el eje z segun la direccion de

B, estando el campo E en el plano yz. Las ecuaciones del movimiento son

mv = q(E + v ×B

o sea

mx = qyB , my = qEy − qxB , mz = qEz . (3.65)

La solucion de la tercera es

z =qEz2m

t2 + v0zt+ z0 . (3.66)

Sumando la primera (3.65) con la segunda multiplicada por i, resulta

d

dt(x+ iy) + iω(x+ iy) = i

qEym

, (3.67)

donde ω = qB/m es el lımite no relativista de la frecuencia del ciclotron. La

solucion general de (3.67) es la general de la homognenea mas una particular de

la completa. La primera es ae−iωt con a una constante de integracion compleja,

la segunda puede ser qEy/mω = Ey/B, es decir

(x+ iy) = ae−iωt +EyB. (3.68)

La constante se puede escribir como a = beiα, con b real. Eligiendo adecuadamente

el origen del tiempo (mas concretamente, redefiniendo el tiempo de t a tnuevo =

t− α/ω, se puede eliminar la fase α, o sea tomar a real. Resulta entonces

x = a cosωt+EyB, y = −a senωt . (3.69)

Las constantes de integracion se han elegido de tal modo que, en el instante inicial,

la velocidad de la carga es paralela al eje y. Las dos componentes de la velocidad

son periodicas, siendo sus valores medios en el tiempo

〈x〉 =EyB, 〈y〉 = 0 .

3–18—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.9. Partıcula cargada en campos electrico y magnetico uniformes y constantes

Figura 3.1: Proyeccion en el plano xy de la trayectoria de una carga en dos campos

E y B cruzados, en los casos |a| > Ey/B, |a| < Ey/B y |a| = Ey/B

Esto significa que aparece una velocidad en la direccion perpendicular al plano

que contiene los vectores E y B, calificada como velocidad de deriva (drift velocity

en ingles). Su valor es

vderiva =E×B

B2, (3.70)

y se superpone a una velocidad periodica con frecuencia ω. Hemos supuesto que

el tratamiento no relativista da una buena aproximacion, para lo cual se necesita

queEyB 1 ,

siendo los valores de Ey y B totalmente arbitrarios mientras verifiquen la relacion

anterior. Integrando ahora las ecuaciones (3.69), con las condiciones iniciales x =

y = 0 en t = 0, resulta

x =a

ωsenωt+

EyBt , y =

a

ω(cosωt− 1) . (3.71)

Si a = −Ey/B, la solucion es

x =EyωB

(ωt− senωt) y =EyωB

(1− cosωt) , (3.72)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–19


curva conocida como cicloide. Los otros casos corresponden a las llamadas epici-

cloide e hipocicloide.

3–20—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


3.10. Ejercicios

3.10. Ejercicios

3.1 A partir de la expresion tridimensional del lagrangiano de una partıcu-

la cargada en un campo electrico, deducir el hamiltoniano siguiendo el mismo

metodo que el dinamica clasica.

3.2 Estudiar si la densidad legrangiana del campo electromagnetico es invari-

ante bajo transformaciones de gauge y discutir las consecuencias de que lo sea o

no.

3.3 Estudiar la trayectoria de una carga puntual en un campo electro-

magnetico constante y uniforme cuyos vectores electrico E y magnetico B son

paralelos.

3.4 ¿Existe la posibilidad de que un campo electromagnetico sea puramente

electrico en un sistema inercial y puramente magnetico en otro? ¿Que condicion

debe cumplirse en un sistema S para que E = 0 en otro sistema S ′.

3.5 En un cierto sistema de referencia S se tiene un campo electromagnetico

uniforme E, B. Se busca un sistema S ′ en el que E′ ‖ B′. ¿Tendra siempre

solucion este problema? Si la tiene, ¿es unica? En tal caso, hallar la velocidad v

de S ′ respecto a S y determinar E′ y B′.

3.6 En una onda electromagnetica progresiva en el vacıo, el campo electrico

tiene la expresion E = E0ei(kx−ωt)uy.

a) ¿Hay algun otro sistema de referencia en el que el campo sea puramente

electrico o puramente magnetico?

b) Encontrar alguna razon por la que la fase deba ser invariante.

3.7 Una densidad lagrangiana empleada algunas veces para el campo electro-

magnetico es

L = − 1

2cµ0

∂µAν∂µAν +

1

cjµAµ .

Compararla con la estandar, usada en este curso, examinando bajo que condi-

ciones conduce a las ecuaciones de Maxwell.

3.8 Por un conductor cilındrico infinitamente largo y de radio a fluye una

corriente I. De su superfice se desprende un electron cuya velocidad inicial v0 es

paralela al conductor. Estudiar el movimiento del electron en el campo magnetico

del alambre y hallar la distancia maxima a la que se alejara de este.

3.9 Una partıcula de carga e y masa m se mueve en un campo electrostatico

de potemcial Φ = k(x2 − y2), con k > 0. La posicion y la velocidad iniciales son

r0 = (x0, y0, z0) y v0 = (0, 0, v0).


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—

3–21


a) Escribir las ecuaciones relativistas del movimiento.

b) Determinar la trayectoria en la aproximacion no relativista.

3.10 Un cierto selector de velocidades consiste en dos placas cilındricas muy

proximas, entre las que se aplica una diferencia de potencial constante V , con el

objeto de que las partıculas cargadas describan una trayectoria curvada, de modo

que solo salgan del selector las que han entrado con la velocidad v0. Como la

distancia d entre las placas es muy pequena, el campo electrico puede suponerse

uniforme en modulo.

a) Escribir las ecuaciones relativistas del movimiento para una de las cargas

incidentes con velocidad v0.

b) Determinar la relacion entre v0 y la diferencia de potencial aplicada V para

que salga del selector.

3–22—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2005

—


Notas del Curso de Electrodinamica Clasica.pdf

Documents

Transcript of Notas del Curso de Electrodinamica Clasica.pdf