DISTRITACIÓN ELECTORAL y OPTIMIZACIÓN COMBINATORIA David Romero Instituto de Matemáticas - UNAM...
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DISTRITACIÓN ELECTORAL y
OPTIMIZACIÓN COMBINATORIA
David RomeroInstituto de Matemáticas - UNAM
Cuernavaca, Morelos
COLOQUIO INTERNACIONAL DE DISTRITACIÓN ELECTORAL
México, D.F., 8-9 noviembre 2012
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Michael Balinski• Programación entera (optimización combinatoria)• Matemáticas para las ciencias políticas
Tesis doctoral sobre Teoría matemática de votos
IFE
Aplicaciones de la Optimización Combinatoria• Ingeniería eléctrica, química, industrial• Finanzas• Transporte y distribución• Logística• Física
ANTECEDENTES
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DISTRITACIÓN ELECTORAL
Criterios frecuentemente en conflicto mutuo:
• Representatividad
• Contigüidad
• Compacidad
• Accesibilidad (compacidad temporal)
• Integración territorial de comunidades indígenas
Explosión combinatoria → dificultad de obtener escenarios satisfactorios¿Computadoras? … no bastan → modelos y métodos matemáticos
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Problema realProblema real
METODOLOGÍA
Ciencia, industria, finanzas, transporte, economía, etc.
Modelo matemáticoModelo matemático
Método de resoluciónMétodo de resolución
Implantación de la soluciónImplantación de la solución
Polinomiales
NP-completosProblemas
Optimización • Programación lineal, no-lineal, entera, dinámica• Redes y grafos
Simulación (estocástica, determinista)
exactoheurístico
Recocido simuladoBúsqueda tabúAlgoritmos genéticos
fuerza brutaotros
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El problema• Subdividir las AGEBs en UPMs
Modelación• Grafo de adyacencia• Función objetivo
Método de resolución• Recocido simulado
Implantación computacional
EJEMPLO de APLICACIÓN (INEGI)
Determinar Unidades Primarias de Muestreo (UPM)
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32 Entidades federativas
2443 municipios
más de 190 mil localidades rurales
17,288 AGEB rurales
4,028 Localidades urbanas40,089 AGEB urbanas
1’096,946 manzanas
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vecindario
Calle alondra
Av Gina
Calle Lirio
Av Fermat
Calle Amistad
grafo de adyacencia de manzanas
MODELO. De la geometría a la combinatoria
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vecindario
Calle alondra
Av Gina
Calle Lirio
Av Fermat
Calle Amistad
grafo de adyacencia de manzanas
MODELO. De la geometría a la combinatoria
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• Procesar las AGEB de manera independiente y secuencial
• En cada AGEB encontrar una partición S = {U1, …, Um } que minimice la función objetivo Z(S )
y donde cada Uk sea conexa
Estrategia
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Función objetivo (caso urbano)
Ak = área de manzanas en la UPM Uk
Ak = área de manzanas fuera de Uk y dentro del círculo mínimo que contiene a Uk
Vk = número de viviendas en
Uk
V = número “ideal” de
viviendas
m = número de UPMs en la
AGEB
-
m
kAA
Am
m
kVV
m kk
kk PPSZ1
12
1
21
1 1)(
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No se conoce un método exacto y eficiente
Métodos heurísticos
Método de resolución
Recocido simulado (simulated annealing)
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Cálculo de centros
Adyacencia entre manzanas mediante
Diagrama de Voronoi
Triangulación de Delaunay
Adyacencia de manzanas
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Particiones vecinasConsiderando las adyacencias dadas por el
grafo generamos particiones vecinas
S0
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S1
Particiones vecinasConsiderando las adyacencias dadas por el
grafo generamos particiones vecinas
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S2
Particiones vecinasConsiderando las adyacencias dadas por el
grafo generamos particiones vecinas
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...pasar de una partición a una partición vecina…
iteraciones
z
Método de Mejoras Sucesivas
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Se utiliza el concepto de vecindad
Se cambia de una partición a otra vecina de acuerdo con las reglas del “recocido” (algoritmo)
Se tiene un criterio de paro(criterio)
El método de Recocido Simulado (simulated annealing)
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IMPLANTACIÓN COMPUTACIONAL
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GRACIAS
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temperatura inicialto
factor de enfriamiento temperatura de congelación tc
tamaño del lote
1. Dados
2. Generar una solución inicial So => Z(So ) haciendo t = to (inicio de la temperatura)
mientras no haya equilibrio dinámico
generar solución S vecina de So
si Z( S ) < Z( So ) + t entonces
reducir la temperatura t = ×t
So = S (acepta nueva solución)
Mientras t tc (no hay congelación)
Algoritmo de Recocido Simulado
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Soluciones aceptadas
z
= 10
Equilibrio dinámico
Recocido Simulado a temperatura fija
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