UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOŠKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

DIPLOMSKO DELO

NATAŠA SKENDERIJA

UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOŠKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKOŠtudijski program: Matematika in fizika

KARDIOIDADIPLOMSKO DELO

Mentor:dr. Marko Razpet

Kandidatka:Nataša Skenderija

Ljubljana, november 2012

Zahvala

Iskreno se zahvaljujem svojemu mentorju, dr. Marko Razpetu, za vso stro-kovno pomoč in usmerjanje. Hkrati pa se mu zahvaljujem tudi za izrednodostopnost in ves čas, ki si ga je vzel za vsa vprašanja in nasvete.

Zahvaljujem se tudi družini, partnerju in prijateljem, ki so me v času študijaspodbujali, podpirali in so verjeli vame.

i

Program dela

V diplomskem delu obravnavajte kardioido, raziščite njene lastnosti in v zvezis krivuljo opravite čim več izračunov.

Ljubljana, 27. februar 2012 Mentor: dr. Marko Razpet

ii

Povzetek

Diplomsko delo obravnava krivuljo kardioido. Opisane so osnovne lastnostile-te in v povezavi z njo narejeni tudi izračuni ploščine, dolžine loka ter po-vršine in prostornine telesa, ki ga dobimo z vrtežem kardioide.Namen diplomskega dela je temeljito preučiti omenjeno krivuljo. V ta na-men so predstavljeni tudi različni nastanki kardioide in hkrati tudi povezavez drugimi krivuljami.Na koncu se dotaknemo še povezave kardioide z drugimi vedami in predlogovza predstavitev krivulje v šoli.

Ključne besede: cikloidne krivulje, epicikloida, inverz parabole, kardio-ida, kavstika, nožiščna krivulja, Pascalov polž, sinusoidna spirala.

iii

Abstract - Cardioid

This diploma thesis deals with a curve cardioid. There are basic descripti-ons of it and in connection also made calculations of surface area, arc length,object’s surface area and volume, which we get with rotating cardioid aroundit’s own axis.The purpose of this diploma thesis is to thoroughly study mentioned curve.For this purpose there are being presented different formations of cardioidand also connections with other curves.In conclusion we look at cardioid in connection with other science and su-ggestions for school presentation.

Key words: cycloid curve, epicycloid, inverse for a parabola, cardioid, cau-stics, pedal curve, limaçon, sinusoidal spiral.

MSC(2010): 01A99, 14H45, 26A06

iv

Kazalo1 Uvod 1

2 Krivulje 32.1 Kaj je krivulja? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Ravninske krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Algebrske krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Koordinatni sistem 73.1 Kartezični koordinatni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1 Parametrična oblika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.2 Polarni koordinatni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Ogrinjača ali ovojnica 11

5 Cikloidne krivulje 13

6 Kardioida 166.1 Splošno o kardioidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.2 Lastnosti kardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.2.1 Ploščina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.2.2 Obseg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.2.3 Površina vrtenine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2.4 Volumen vrtenine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.2.5 Kot med tangento in radij vektorjem kardioide . . . . . 236.2.6 Kot med tangentama v krajiščih kardioidne tetive skozi

pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3 Giovanni Francesco Melchiore Salvemini . . . . . . . . . . . . 256.4 Različni nastanki kardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.4.1 Kotaljenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.4.2 Poseben primer Pascalovega polža . . . . . . . . . . . . 296.4.3 Kardioida kot inverzna krivulja parabole . . . . . . . . 31

v

6.4.4 Kardioida kot nožiščna krivulja . . . . . . . . . . . . . 336.4.5 Poseben primer sinusoidne spirale . . . . . . . . . . . . 366.4.6 Kardioida kot ogrinjača . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.5 Še nekaj konstrukcij kardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.5.1 Konstrukcija z zrcaljenjem točke čez premico . . . . . . 406.5.2 Konstrukcija s pomočjo modula . . . . . . . . . . . . . 42

6.6 Mandelbrotova množica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7 Kardioida v naravi 467.1 Kavstika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.1.1 Kardioida kot kavstika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.2 Problem kotaljenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.3 Primerjava z listi rastlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8 Kardioida v šoli 57

9 Zaključek 59

vi

Slike1 Tabela krivulj v osnovnošolskem učbeniku . . . . . . . . . . . 32 Jamske slike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Descartesov list . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Štiriperesna deteljica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Cikloida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Arhimedova spirala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Kartezični koordinatni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Polarni koordinatni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Povezava med kartezičnim in polarnim koordinatnim sistemom 1010 Enoparametrična družina krožnic . . . . . . . . . . . . . . . . 1111 Koncentrične krožnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212 Nastanek cikloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313 Hipocikloida glede na modul m . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414 Epicikloida glede na modul m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515 Kardioida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616 Ploščina krivočrtnega izseka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717 Dolžina loka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918 Pitagorov izrek in diferencial loka . . . . . . . . . . . . . . . . 1919 Kot med tangento in radij vektorjem kardioide . . . . . . . . . 2320 Kot med tangentama v krajiščih kardioidne tetive skozi pol . . 2521 Nastanek kardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2722 Središče fiksne krožnice v izhodišču . . . . . . . . . . . . . . . 2723 Primeri Pascalovega polža . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3024 Stožnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3125 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3226 Inverz parabole na krožnici, ki ima središče v gorišču . . . . . 3227 Inverz parabole na krožnici, ki nima središča v gorišču . . . . . 3228 Nastanek nožiščne krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3429 Primera sinusoidne spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3730 Krožnica v koordinatnem izhodišču . . . . . . . . . . . . . . . 38

vii

31 Kardioida kot ogrinjača . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4032 Zrcaljenje točk čez tangento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4133 Izris sledi zrcalnih točk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4134 Slika kardioide po modulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4235 Trikotnik Sierpińskega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4436 Mandelbrotova množica ali Mandelbrotov fraktal . . . . . . . 4437 Kavstika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4638 Kavstika v kozarcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4739 Kavstika v krožniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4740 Odboj žarkov na krožnici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4741 Kotaljenje kroga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5242 Vrtenje krožnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5343 Ciklama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5344 Navadni kopitnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5445 Lapuh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5446 Vijolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5547 Ciklama v primerjavi s kardioido . . . . . . . . . . . . . . . . 5548 Navadni kopitnik v primerjavi s kardioido . . . . . . . . . . . 5549 Lapuh v primerjavi s kardioido . . . . . . . . . . . . . . . . . 5550 Vijolica v primerjavi s kardioido . . . . . . . . . . . . . . . . . 5551 Risanje kardioide v šoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

viii

1 UvodNaslov diplomskega dela se nam hitro zdi znan, a ga mogoče ne znamo takojpovezati z matematiko. Prvo asociacijo, ki jo dobimo, povežemo s pojmomsrca. Sicer pa tudi sama beseda izvira iz grške besede kardía, grško καρδíα,katere pomen je ravno srce. Tudi v matematiki se ne odmakne dosti od tegapomena, namreč poznamo krivuljo, katere oblika spominja na srce in po njejje tudi dobila ime, kardioida ali srčnica.

Giovanni Francesco Melchiore Salvemini je bil prvi, ki je v 18. stoletju do-kumentirano uporabil besedo kardioida. S kardioido so se ukvarjali že prej,zato se večkrat postavljajo vprašanja, komu gredo dejanske zasluge. La Hireje na primer leta 1708 prvi izračunal dolžino kardioide. Étienne Pascal, ki ježivel v letih od 1588 do 1651, je proučeval Pascalovega polža, katerega po-sebna oblika je ravno kardioida. Sin Étienna Pascala je bil sloviti matematikBlaise Pascal (1623 – 1662).

Kardioida je ravninska algebrska krivulja 4. stopnje. Lahko jo zapišemoz različnimi oblikami enačb. Lažjemu razumevanju obravnave kardioide innjenih lastnosti je namenjen začetni del diplomskega dela, kjer najdemo ne-kaj teorije in razlage najnujnejših matematičnih pojmov, kot so ravninskakrivulja, algebrska krivulja, kartezični in polarni koordinatni sistem.

Ker kardioido uvrščamo med cikloidne krivulje, je v 5. poglavju namenjenihnekaj besed tudi obravnani le-teh. Spoznamo, kako take krivulje nastanejoin kateri so njihovi osnovni tipi ter njihove enačbe.

Celotno 6. poglavje je namenjeno obravnavi kardioide. Spoznamo njenesplošne lastnosti, različne nastanke in konstrukcije. Vključeni so tudi kon-kretni izračuni, med njimi ploščina, dolžina loka ter površina in prostorninatelesa, ki nastane z vrtežem kardioide. Ugotovimo, da jo najdemo tudi vpovezavi z novejšo vejo matematike, fraktali. Svoje mesto ima namreč v zelo

1

znani Mandelbrotovi množici.

V 7. poglavju poiščemo splošno povezavo kardioide z drugo naravoslovnovedo, fiziko. Povežemo pa jo tudi z vsakdanjim življenjem.

Na koncu se posvetimo še obravnavi kardioide v osnovni šoli. Ker je snov zaosnovnošolce pretežka, je podanih nekaj predlogov dejavnosti, kako lahko nanjihovi ravni ustvarimo prvi stik med njimi in kardioido.

2

2 Krivulje

2.1 Kaj je krivulja?

Preprosto razlago pojma krivulje lahko zaznamo že v naravi okoli nas. Vmatematiki bi pojem definirali kot premo ali krivo črto, ki je lahko tako vravnini kot tudi v prostoru. [21] Če poleti opazujemo mornarja, ki vlečesidro iz morja, nas vrv spominja na ravno črto, če pa se ozremo v nebo,vidimo sled, ki jo za seboj pušča letalo. Primer krive črte lahko v naravizlahka opazimo pri cvetovih rož, listih raznih rastlin ali vejah dreves . . . Toje preprosta razlaga, ki jo lahko ponudimo tudi otrokom. Tudi osnovnošolcise že srečajo s pojmom krivulje. V njihovih učbenikih lahko pogosto zaznamotabelo (slika 1), ki jim s sliko ponazori preproste lastnosti krivulj, ki jih oniimenujejo kar črte.

Slika 1: Tabela krivulj v osnovnošolskem učbeniku [1]

Prav tako pa te oziroma podobne tabele uporabljajo tudi razni leksikoni inpriročniki, kot na primer leksikon Matematika, ki ga je prevedel G. Lešnjak.[10]Krivulja pa ni pojem, ki bi ga uvrščali le v moderno dobo, temveč so gapoznali že davno. To dokazujejo jamske slike (slika 2), na katerih vidimo, daso pri slikanju na stene uporabljali razne črte, ki bi jih danes lahko imenovalikar krivulje.

3

Slika 2: Jamske slike [33]

Vse stare civilizacije so se ukvarjale z matematiko in prihajale do novih spo-znanj. Poznali so predvsem premico in krožnico. Stari Grki pa so od krivuljže zelo dobro poznali stožnice, torej elipso, parabolo in hiperbolo. Večji ra-zvoj je matematika doživela kasneje, v 17. stoletju. Takrat so na krivuljogledali kot na neko ”idealno tanko” in v splošnem krivo črto. [12] Evklid,eden izmed starogrških matematikov, je v svojem največjem delu Elementizapisal definicijo črte, ki pravi, da gre za dolžino brez širine. [2, 12] Danesv leksikonih najdemo drugačno definicijo. V že prej omenjenem leksikonudefinirajo krivuljo kot ukrivljeno ali ravno črto, ki jo lahko pretečemo brezodmikanja. Opisujejo še, da krivulja pravzaprav prikazuje sled točke, ki sepremika po ravnini ali prostoru. Poleg definicije je podana tudi tabela, ki kri-vuljo razvršča v 4 razrede: enostavne, neenostavne, sklenjene in nesklenjenekrivulje. Krivulje so enostavne, če nimajo dvojnih točk. [10]

2.2 Ravninske krivulje

Že samo ime nam pove, da gre za krivulje, ki ležijo v ravnini. Ravninskokrivuljo lahko opišemo z enačbami različnih oblik.

4

V kartezičnih koordintah lahko zapišemo krivuljo v:

• implicitni obliki: F (x, y) = 0,

• eksplicitni obliki: y = f(x, y),

• parametrični obliki: x = x(t), y = y(t).

Lahko pa jo zapišemo tudi v polarnih koordinatah: ρ = f(ϕ). [3]

2.3 Algebrske krivulje

Krivulje lahko delimo na algebrske in transcendentne. Če krivulja ni algebr-ska, je transcendentna. [20] V splošnem pa so algebrske krivulje tiste, ki jihlahko zapišemo v implicitni obliki F (x, y) = 0 in je F pravzaprav polinomdveh spremenljivk. [4] Krivulji potem pravimo algebrska, ko so koeficientipolinoma, ki krivuljo opiše, realna števila. Stopnja polinoma nam pove sto-pnjo oziroma red krivulje. Tako ločimo krivulje na:

• krivulje I. reda (premica);

• krivulje II. reda (stožnice);

• krivulje III. reda (kubične krivulje);

• krivulje IV. reda (kvartične);

• krivulje VI. reda (sekstične) . . .

Algebrske krivulje so torej lahko ravninske, prostorske ali pa so tudi krivuljev večrazsežnih prostorih. Pojem algebrske krivulje so začeli vpeljevati v 19.stoletju. [20]

Primeri algebrskih krivulj: kardioida, Descartesov list (slika 3), asteroida,štiriperesna deteljica (slika 4) . . .

5

Slika 3: Descartesov list Slika 4: Štiriperesna deteljica

Primeri transcendentih krivulj: cikloida (slika 5), Arhimedova spirala (slika6), logaritemska spirala . . . [4]

Slika 5: Cikloida Slika 6: Arhimedova spirala

6

3 Koordinatni sistemKoordinatni sistem v matematiki predstavlja neke vrste okolje, v kateremlahko ponazorimo točke in s tem posledično premice, krivulje, like, telesa,skratka vse geometrijske objekte. Poznamo več vrst koordinatnih sistemov:

• kartezični koordinatni sistem,

• polarni koordinatni sistem,

• cilindrični ali valjni koordinatni sistem,

• sferni ali krogelni koordinatni sistem.

Kartezični koordinatni sistem lahko uporabljamo za prikaz objektov tako vravnini kot tudi v prostoru. Nekoliko drugače je pri ostalih, saj je polarni ko-ordinatni sistem primeren le za prikaz objektov v ravnini, cilindrični in sfernikoordinatni sistem pa uporabljamo le za prikaz v prostoru. [23] V diplom-skem delu se bomo osredotočili na upodabljanje točk v ravnini, zato bomonekaj več besed namenili ravno kartezičnemu in polarnemu koordinatnemusistemu.

3.1 Kartezični koordinatni sistem

Kartezični koordinatni sistem ali tudi pravokotni koordinatni sistem je dobilime po francoskem matematiku in filozofu Renéju Descartesu, ki je uporabljallatinski vzdevek Cartesius, Kartezij.Omenili smo že, da ga lahko uporabljamo za upodobitev točk v ravnini ali vprostoru. Ravnino, ki je opremljena s kartezičnim koordinatnim sistemom,imenujemo tudi kartezična ravnina in jo lahko zapišemo tudi s kartezičnimproduktom R × R. Kartezični koordinatni sistem v ravnini torej določatadve med seboj pravokotni osi skozi isto točko (slika 7), v tridimenzionalnemprostoru pa tri med seboj pravokotne osi, ki prav tako potekajo skozi istotočko.

7

Slika 7: Kartezični koordinatni sistem

V ravnini imamo abscisno os ali os x in ordinatno os ali os y. Tretjo os vprostoru pa imenujemo aplikata ali os z. Presečišče osi imenujemo koordina-tno izhodišče in ga označimo s črko O. Vsaki točki, ki jo želimo upodobiti vravninskem kartezičnem koordinatnem sistemu, priredimo urejen par realnihštevil (x, y). [24] Z ravninskim koordinatnim sistemom se srečajo tudi osnov-nošolci v 8. razredu devetletke. Poleg osnovnih elementov pa vedo tudi, dakoordinatni osi razdelita ravnino na 4 kvadrante.

3.1.1 Parametrična oblika

V kartezičnem koordinatnem sistemu lahko krivulje podamo tudi v parame-trični obliki. Tako potem koordinate točk na krivulji definiramo kot:

x = f(t), y = g(t),

kjer je t neka spremenljivka, ki ji pravimo parameter. Parameter je definiranna nekem intervalu, to lahko zapišemo kot t ∈ [α, β]. Lahko si predstavljamo,da se točka (f(t), g(t)) giblje po ravnini glede na čas t. [5]

3.1.2 Polarni koordinatni sistem

Kot že vemo, gre pri polarnem koordinatnem sistemu za ravninski koordina-tni sistem. Uporablja pa se tudi v drugih vedah, na primer v fiziki in astro-

8

nomiji. Za upodobitev polarnega koordinatnega sistema si moramo izbratipolarno os in pol O. Tudi točko v polarnem koordinatnem sistemu podamoz dvema koordinatama, ki ju imenujemo kar polarni koordinati. Vsaki točki,razen izhodišču, priredimo urejen par realnih števil (r, ϕ). Prva koordinata,ki ima oznako r, se imenuje radij, včasih pa lahko zasledimo tudi oznako ρ(slika 8).

Slika 8: Polarni koordinatni sistem

Radij nam pove razdaljo točke od izhodišča oziroma od pola O. V izhodiščuje r = 0, drugače pa je praviloma večji od 0. Drugo polarno koordinato, kijo označimo z grško črko ϕ, imenujemo polarni kot. Pove nam, kolikšen kotoklepa zveznica od izhodišča do točke na krivulji z vodoravno polarno osjo.Polarni kot je pozitiven, če ga merimo v matematično pozitivni smeri, torejv obratni smeri urinih kazalcev, in negativen, če ga merimo v matematičnonegativni smeri.

Če poznamo polarni koordinati točke, lahko zlahka izračunamo tudi njenikartezični kooridnati x in y (slika 9). Izhodišči kartezičnega in polarnegakoordinatnega sistema postavimo v isto točko, prekrijemo pa tudi polarno osin pozitivni del abscisne osi ter tako dobimo povezavo med koordinatnimasistemoma [12, 25]:

9

x = r cosϕ, y = r sinϕ. (1)

Slika 9: Povezava med kartezičnim in polarnim koordinatnim sistemom

10

4 Ogrinjača ali ovojnicaOgrinjača ali ovojnica, s tujko envelopa, enoparametrične družine krivulj vravnini je taka krivulja v tej ravnini, ki je tangentna na vse člane družine vneki točki. [26] Velikokrat lahko vidimo kakšen vzorec, na pogled včasih tudiabstrakten, v resnici pa se večkrat ponovi le krivulja iste vrste, ki daje obču-tek, kot da bi vso to množico enakih krivulj ogrinjala druge vrste krivulja. Zalažjo predstavo si lahko torej pogledamo primer v kartezičnem koordinatnemsistemu, ki ga navaja tudi M. Razpet v [12]. Imamo torej krožnice z enakimradijem R, središče pa imajo na abscisni osi (slika 10).

Slika 10: Enoparametrična družina krožnic

Splošno torej zapišemo, da je središče krožnic S(t, 0), njihova enačba pa seglasi (x − t)2 + y2 = R2. Pri tem je t poljuben realni parameter. Če pogle-damo vzorec teh krožnic (slika 9), vidimo, da sestavljata ogrinjačo te družinepremici y = −R in y = R, saj ti dve, tako kot smo prej rekli, ogrinjata dru-žino krožnic. To je hkrati tudi primer enoparametrične družine krivulj, saj jeodvisna le od enega parametra. Parametrov bi lahko bilo več, a za potrebodiplomskega dela bo to dovolj.

V splošnem bi torej rekli, da enačba F (x, y, t) = 0 predstavlja celo enopa-rametrično družino krivulj, ki so odvisne od parametra t z nekega intervala.Iskano ogrinjačo bomo poiskali v parametrični obliki: x = f(t), y = g(t). Za

11

parameter bomo uporabili kar parameter t. Ogrinjačo v parametrični oblikidobimo, ko rešimo naslednji sistem enačb na x in y:

F (x, y, t) = 0,

∂F

∂t(x, y, t).

Na koncu dobimo rešitvi x in y, izraženi s parametrom t.

Z ogrinjačami enoparametričnih družin krivulj lahko torej pridemo do novihkrivulj, lahko pa si z njimi pomagamo tudi pri iskanju negativnih nožiščnihkrivulj in katakavstik danih krivulj. O katakavstiki še nekoliko več v poglavjuKardioida kot kavstika.Opomba: Ni nujno, da ima vsaka enoparametrična družina krivulj ogrinjačo.Primer take družine so koncentrične krožnice (slika 11). [12]

Slika 11: Koncentrične krožnice

12

5 Cikloidne krivuljeCikloidne krivulje so lahko algebrske ali transcendentne. Dobimo jih na pre-prost način. Izberemo si neko točko na krožnici, to pa brez drsenja zakotalimopo drugi krivulji, ki je ponavadi premica ali neka druga krožnica. Sled iz-brane točke na krožnici pa predstavlja cikloidno krivuljo. Glede na to, dalahko kotalimo krožnico po različnih krivuljah, so tudi sledi izbrane točkedrugačne. Poznamo torej različne cikloidne krivulje: cikloido, asteroido, epi-cikloido, kardioido . . .

• CikloidaCikloida je ravninska krivulja. Dobimo jo tako, da krožnico brez drse-nja zakotalimo po dani premici. Poljubno izbrana točka na krožnici pamed kotaljenjem izrisuje sled, ki je pravzaprav krivulja, ki jo imenujemocikloida (slika 12).

Slika 12: Nastanek cikloide

Poimenoval jo je Galilei leta 1599. Cikloido so proučevali že mnogimatematiki, med njimi tudi Descartes, Fermat, Leibniz . . .

13

Parametrični enačbi cikloide:

x = r(t− sin t), y = r(1− cos t),

pri čemer je r polmer krožnice, t pa neodvisni parameter. Krivulja jeperiodična s periodo 2πr.

• HipocikloidaHipocikloida je ravninska krivulja. Nastane pri kotaljenju krožnice ponotranji strani druge krožnice. Oblika krivulje je odvisna od vrednostimodula m, ki nam pove, kakšno je razmerje med polmeroma obehkrožnic. Denimo, da ima notranja krožnica polmer r in zunanja polmerR, tedaj je modul m definiran kot m = R

r.

Parametrični enačbi hipocikloide:

x = (1−m)R cosmt+mR cos(1−m)t,

y = (1−m)R sinmt−mR sin(1−m)t.

Primeri hipocikloide glede na različne module:

Slika 13: Hipocikloida glede na modul m [34]

Najbolj znana med njimi je hipocikloida z modulom m = 14 . Drugače

jo imenujemo asteroida ali astroida, saj spominja na zvezdo. [12]

14

• EpicikloidaNastanek epiciklode je zelo podoben nastanku hipocikloide. Tudi vtem primeru kotalimo krožnico okoli druge krožnice, le da tokrat pozunanjem robu. Prav tako je oblika epicikloide odvisna od vrednostimodula m, za katerega še vedno velja, da nam pove, kakšno je razmerjepolmerov obeh krožnic.

Parametrični enačbi epicikloide:

x = (1 +m)R cosmt−mR cos(1 +m)t, (2)y = (1 +m)R sinmt−mR sin(1 +m)t. (3)

Primeri epicikloide glede na različne module:

Slika 14: Epicikloida glede na modul m [35]

Najbolj znana med njimi je epicikloida z modulomm = 1, ki jo drugačeimenujemo kardioida. [12]

15

6 Kardioida

6.1 Splošno o kardioidi

Kardioida ali z drugim imenom srčnica je matematična algebrska krivulja,katere ime izhaja iz grške besede καρδíα, kar pomeni ”srce”. [27] Je ravnin-ska krivulja 4. reda, kar vidimo iz kartezičnega zapisa enačbe. [9]

Zapis krivulje z različnimi vrstami enačb [3]:

• kartezični zapis kardioide

(x2 + y2)2 − 2ax(x2 + y2) = a2y2;

• parametrični zapis kardioide

x = a cosϕ(1 + cosϕ), y = a sinϕ(1 + cosϕ);

• polarni zapis kardioide

r = a(1 + cosϕ).

Slika 15 prikazuje kardioido pri nekaterih zasukih. Zasuk zapišemo s pomočjopolarnih koordinat.

Slika 15: Kardioida

16

6.2 Lastnosti kardioide

6.2.1 Ploščina

Ploščino lika, omejenega s kardioido, lahko izračunamo s pomočjo določe-nega integrala, saj je geometrijski pomen le-tega ravno ploščina pod inte-grirano funkcijo oziroma krivuljo. [9] Za izračun ploščine lika, ki je omejenz dvema poltrakovoma in krivuljo, ki je dana v polarnih koordinatah (slika16), poznamo obrazec. Preden ga napišemo, se moramo zavedati še drugihpogojev. Funkcija f mora biti zvezna in pozitivna na intervalu [α, β], kjer je0 ≤ α ≤ β ≤ 2π. Tako je krivulja oziroma izsek le-te definiran kot

κ = {(r, ϕ) : 0 ≤ r ≤ f(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β} .

Za izračun ploščine lika κ uporabimo naslednji obrazec:

p(κ) = 12

∫ β

α[f(ϕ)]2dϕ.

Slika 16: Ploščina krivočrtnega izseka

Na koncu pa le še izračunamo ploščino lika, omejenega s kardioido, če vemo,da je enačba kardioide v polarnih koordinatah r(ϕ) = a(1 + cosϕ):

p(κ) = 12

∫ β

α[f(ϕ)]2dϕ =

17

= 12

∫ 2π

0a2(1 + cosϕ)2dϕ =

= 12 a2

∫ 2π

0(1 + 2 cosϕ+ cos2 ϕ)dϕ.

Uporabimo enakost cos2 ϕ = 12(1 + cos 2ϕ):

p(κ) = 12 a2

∫ 2π

0(1 + 2 cosϕ+ 1

2 + 12 cos 2ϕ)dϕ =

= 12 a2

∫ 2π

0(32 + 2 cosϕ+ 1

2 cos 2ϕ)dϕ =

= 12 a2(3

2 ϕ+ 2 sinϕ+ 12

sin 2ϕ2 )

∣∣∣∣2π0

=

= 12 a2(3

2 2π + 0 + 0− 0− 0− 0),

p(κ) = 3πa2

2 .

6.2.2 Obseg

Obseg kardioide bomo izračunali s pomočjo obrazca za dolžino loka krivulje.Pri dolžini loka gre pravzaprav za dolžino loka krivulje med dvema točkama.Za lažjo predstavo bi lahko rekli, da gre za dolžino, ki jo dobimo, če krivuljoraztegnemo v premico.Dolžino loka torej lahko izračunamo po naslednjem obrazcu:

l(κ) =∫ b

a

√1 + f ′(x)2 dx,

kjer je y = f(x) enačba krivulje, a in b pa sta točki, med katerima naszanima dolžina loka (slika 17).

18

Slika 17: Dolžina loka

Če pa imamo krivuljo podano v polarnih koordinatah in želimo izračunatidolžino le-te, poznamo za dolžino loka naslednji obrazec:

l(κ) =∫ a

b

√(dxdϕ

)2 + ( dydϕ

)2 dϕ. (4)

Do tega obrazca pravzaprav pridemo na preprost način, saj smo za majhendel krivulje lahko za približno dolžino loka dl uporabili kar Pitagorov izrek(slika 18). [28]

Slika 18: Pitagorov izrek in diferencial loka

Ta obrazec pa lahko preoblikujemo še v nekoliko prijaznejšo obliko, tako dauporabimo zvezo med kartezičnimi in polarnimi koordinatami. To zvezo smodefinirali že v podpoglavju Polarni koordinatni sistem, in sicer:

19

x = r cosϕ, y = r sinϕ.

Enačbi diferenciramo in dobimo:

dx = (r′ cosϕ− r sinϕ)dϕ,

dy = (r′ sinϕ+ r cosϕ)dϕ.

Dobljeni enačbi kvadriramo ter seštejemo in po kratkem računu je pred nami:

dx2 + dy2 = (r′ 2 + r2)dϕ2.

Rezultat zdaj vstavimo v enačbo (4) in dobimo obrazec za izračun loka kri-vulje, ki je podana v polarnih koordinatah:

l(κ) =∫ β

α

√r′ 2 + r2 dϕ.

Zdaj pa le še izračunajmo, kolikšen je obseg kardioide, če vemo, da je enačbakardioide v polarnih koordinatah r(ϕ) = a(1 + cosϕ):

l(κ) =∫ β

α

√r′ 2 + r2 dϕ =

=∫ 2π

0

√a2(1 + cosϕ)2 + (−a sinϕ)2 dϕ =

=∫ 2π

0

√a2(1 + 2 cosϕ+ cos2 ϕ) + a2 sin2 ϕ dϕ =

=∫ 2π

0

√a2(1 + 2 cosϕ+ cos2 ϕ+ sin2 ϕ) dϕ =

=∫ 2π

0

√1 + 2 cosϕ+ 1 dϕ =

=∫ 2π

0a√

2 + 2 cosϕ dϕ.

Vemo, da je cos2 ϕ = 12(1 + cos 2ϕ), vemo tudi, da je 2 + 2 cosϕ = 4 cos2 ϕ

2 ,to uporabimo v nadaljnjem izračunu:

20

l(κ) = a∫ 2π

0

√4 cos2 ϕ

2 dϕ =

= a∫ 2π

02∣∣∣∣ cos ϕ2

∣∣∣∣ dϕ.Upoštevamo simetričnost kardioide glede na polarno os:

l(κ) = 2 · 2a∫ π

0cos ϕ2 dϕ =

= 4asin ϕ

212

∣∣∣∣∣π

0=

= 8a sin ϕ2

∣∣∣∣π0

= 8a · 1,

l(κ) = 8a.

6.2.3 Površina vrtenine

Površino vrtenine lahko izračunamo s pomočjo določenega integrala. Povr-šino vrtenine določa graf pozitivne funkcije, ki jo vrtimo okoli koordinatne osina nekem določenem intervalu. Izračunati želimo površino telesa, ki nastanez rotacijo kardioide okoli osi x. Kardioida je podana v polarnih koordinatahz enačbo r(ϕ) = a(1 + cosϕ), zato uporabimo temu primeren obrazec [6]:

P = 2π∫ β

αr(ϕ) sinϕ

√r2(ϕ) + r′ 2(ϕ) dϕ.

P = 2π∫ π

0a(1 + cosϕ) sinϕ

√a2(1 + cosϕ)2 + a2 sin2 ϕ dϕ =

= 2π∫ π

0a(1 + cosϕ) sinϕ · a

√1 + 2 cosϕ+ cos2 ϕ+ sin2 ϕ dϕ =

= 2πa2∫ π

0(1 + cosϕ) sinϕ

√2 + 2 cosϕ dϕ =

= 2√

2πa2∫ π

0(1 + cosϕ) sinϕ

√1 + cosϕ dϕ.

21

Za nadaljevanje uporabimo substitucijo t = 1 + cosϕ, dt = − sinϕ dϕ, pričemer moramo paziti tudi na zamenjavo mej:

P = −2√

2πa2∫ 0

2t√t dt =

= 2√

2πa2∫ 2

0t

32 dt =

= 2√

2πa2 2t 52

5

∣∣∣∣∣∣2

0

=

= 2√

2πa2 2 t 42 t

12

5

∣∣∣∣∣∣2

0

=

= 4√

2πa2

5 22 ·√

2,

P = 32πa2

5 .

6.2.4 Volumen vrtenine

Volumen oziroma prostornino vrtenine lahko izračunamo s pomočjo določe-nega integrala. Volumen vrtenine določa graf pozitivne funkcije, ki jo vrtimookoli koordinatne osi na nekem določenem intervalu. Izračunati želimo pro-stornino kardioide, ki je podana v polarnih koordinatah, zato uporabimotemu primeren obrazec [6]:

V = 2π3

∫ β

αr3(ϕ) sinϕ dϕ.

Vemo, da je enačba kardioide v polarnih koordinatah r(ϕ) = a(1 + cosϕ),zato se kar lotimo izračuna volumna:

V = 2π3

∫ π

0a3(1 + cosϕ)3 sinϕ dϕ.

Za nadaljevanje uporabimo substitucijo t = 1 + cosϕ, dt = − sinϕ dϕ, pričemer moramo paziti tudi na zamenjavo mej:

V = −2π3 a3

∫ 0

2t3 dϕ = 2π

3 a3 t4

4

∣∣∣∣∣2

0= πa3

6 · 24,

22

V = 8πa3

3 .

6.2.5 Kot med tangento in radij vektorjem kardioide

Kot na vsako krivuljo lahko tudi na kardioido narišemo neskončno tangent.V polarnem koordinatnem sistemu opazujmo kardioido in tangento t (slika19). Imamo trikotnik ODP , pri čemer so točka O pol, D dotikališče tangentena kardioido in P presečišče tangente s polarno osjo. Tangenta naj z osjo xoklepa kot α.

Slika 19: Kot med tangento in radij vektorjem kardioide

Zanima nas, kolikšen je kot µ. To je kot med tangento kardioide in radijvektorjem dotikališča. Velja namreč ϕ+µ = α, iz česar sledi, da je µ = α−ϕ.Imamo torej:

tanµ = tan(α− ϕ).

Uporabimo adicijski izrek za tangens in dobimo:

tanµ = tan(α− ϕ) = tanα− tanϕ1 + tanα tanϕ =

dydx− y

x

1 + dydx· yx

.

23

Vstavimo polarne koordinate y = r sinϕ in x = r cosϕ:

tanµ =r′ sinϕ+r cosϕr′ cosϕ−r sinϕ −

sinϕcosϕ

1 + (r′ sinϕ+r cosϕ) sinϕ(r′ cosϕ−r sinϕ) cosϕ

=

= (r′ sinϕ+ r cosϕ) cosϕ− (r′ cosϕ− r sinϕ) sinϕ(r′ cosϕ− r sinϕ) cosϕ+ (r′ sinϕ+ r cosϕ) sinϕ.

Ko vse med seboj zmnožimo in poračunamo, nam ostane:

tanµ = r

r′.

Vzemimo kardioido, ki ima v polarnih koordinatah enačbo r = a(1− cosϕ),in zdaj še to uporabimo za nadaljnji izračun:

tanµ = a(1− cosϕ)a sinϕ .

Uporabimo znani pravili cos 2x = cos2 x− sin2 x in sin 2x = 2 sin x cosx:

tanµ =1− cos2 ϕ

2 + sin2 ϕ2

2 sin ϕ2 cos ϕ

2=

sin ϕ2

cos ϕ2

= tan ϕ2 ,

arctan(tanµ) = arctan(tan ϕ2 ),

µ = ϕ

2 .

Iz tega sledi, da je kot med tangento kardioide in radij vektorjem enak polo-vici kota, ki ga radij vektor oklepa s polarno osjo. [15, 13]

6.2.6 Kot med tangentama v krajiščih kardioidne tetive skozi pol

Imamo torej poljubno tetivo, ki poteka skozi pol kardioide. Zanima nas,kolikšen je kot δ med tangentama, ki potekata skozi krajišči dane kardioidnetetive (slika 20).

24

Slika 20: Kot med tangentama v krajiščih kardioidne tetive skozi pol

Ker smo v prejšnjem podpoglavju pokazali, da je kot med tangento kardioidein radij vektorjem enak polovici kota, ki ga radij vektor oklepa s polarno osjo,lahko zapišemo:

µ1 = ϕ1

2 ,

µ2 = ϕ1

2 = 12(ϕ1 + π).

Zdaj lahko še poračunamo kot δ:

δ = π − µ1 − (π − µ2) = µ2 − µ1 = 12(ϕ1 + π)− ϕ1

2 = π

2 .

Iz tega sledi, da je kot med tangentama v krajiščih kardioidne tetive, kipoteka skozi pol kardioide, enak π

2 . [15, 13]

6.3 Giovanni Francesco Melchiore Salvemini

Giovanni Francesco Melchiore Salvemini je bil italijanski matematik in astro-nom. Rodil se je 15. januarja 1704 v italijanski pokrajini Toskana v občiniCastiglion Fibocchi očetu Guiseppe Salveminiju in materi z imenom MariaMaddalena Lucia Braccesi. Šolal se je doma, dokler se ni vpisal na Univerzov Pisi, kjer je študiral matematiko in pravo ter leta 1729 doktoriral. Nekaj

25

časa je še ostal v Italiji, kjer je delal kot prevajalec. Kmalu zatem je odšelv Švico, kjer si je iz neznanega razloga spremenil ime in se začel imenovatipo rojstnem kraju. Tako ga poznamo tudi po imenu Johann Castillon. Po-učeval je v mestu Vevey, na severni obali Ženevskega jezera. Kasneje, leta1937, je postal tudi direktor humanistične šole. Ne glede na to je še vednopoučeval retoriko, humanistiko in matematiko. V tem obdobju je objavilsvoja prva članka o matematiki, ki sta bila napisana v latinščini. V prvemje preučeval krivuljo, kardioido, katero je sam tudi poimenoval. Leta 1745se je poročil z Elisabeth du Frésne, s katero sta imela tri otroke, a dva staumrla že pred Castillonom. Elisabeth je umrla leta 1757. Dve leti kasneje seje Castillon znova poročil, in sicer z Madeleine Raven. Umrl je 11. oktobra1791 v Berlinu. [16, 17]

6.4 Različni nastanki kardioide

6.4.1 Kotaljenje

Omenjali smo že cikloidne krivulje, med njimi tudi epicikloido. Kardioidaje namreč ravno poseben primer le-te. Kot že vemo, za nastanek epicikloidepotrebujemo dve krožnici. Da dobimo kardioido, pa moramo imeti dve enakikrožnici. V tem primeru je torej parameter m, ki nam določa razmerje medpolmeroma teh dveh krožnic, ravno 1. Da dobimo kardioido, mora biti enaizmed teh dveh krožnic fiksna, druga pa se brez drsenja kotaliti po zunanjemrobu te fiksne krožnice (slika 21). Izbrana točka na krožnici, ki se kotali,nariše kardioido.Ker poznamo splošni parametrični enačbi epicikloide (2), (3) in vemo, da jemodul m = 1, iz tega dobimo za kardioido:

x = R(2 cos t− cos 2t), (5)

y = R(2 sin t− sin 2t). (6)

26

Slika 21: Nastanek kardioide

Iz teh dveh enačb pa lahko izhajamo, če želimo zapisati enačbo krivulje še vpolarnih koordinatah. Za lažje nadaljnje izračune postavimo središče fiksnekrožnice v izhodišče kartezičnega koordinatnega sistema, kot kaže (slika 22).

Slika 22: Središče fiksne krožnice v izhodišču

27

Krivulja ima ost, ki leži na abscisni osi. Označimo jo s Q, ki ima koordinateQ(R, 0). Premer krožnic pa označimo s črko a, torej a = 2R.Najprej preoblikujmo prvi izraz (5):

x = R(2 cos t− cos 2t),

x−R = R(2 cos t− cos 2t)−R,

x−R = R(2 cos t− cos 2t− 1).

Upoštevamo cos 2t = cos2 t− sin2 t in sin2 t+ sin2 t = 1:

x−R = R(2 cos t− cos2 t+ sin2 t− sin2 t− cos2 t),

x−R = R(2 cos t− 2 cos2 t),

x−R = 2R cos t(1− cos t).

Upoštevamo a = 2R:

x−R = a cos t(1− cos t). (7)

Preoblikujmo zdaj še drugi izraz (6):

y = R(2 sin t− sin 2t).

Upoštevamo sin 2t = 2 sin t cos t:

y = R(2 sin t− 2 sin t cos t),

y = 2R sin t(1− cos t).

Upoštevamo a = 2R:

y = a sin t(1− cos t). (8)

Oba izraza (7) in (8) kvadriramo:

(x−R)2 = a2 cos2 t(1− cos t)2,

28

y2 = a2 sin2 t(1− cos t)2.

Izraza zdaj še seštejemo:

(x−R)2 + y2 = a2 cos2 t(1− cos t)2 + a2 sin2 t(1− cos t)2,

(x−R)2 + y2 = a2(1− cos t)2(cos2 t+ sin2 t),

(x−R)2 + y2 = a2(1− cos t)2. (9)

Da lahko s to enačbo pridemo do polarne oblike enačbe, postavimo pol po-larnega koordinatnega sistema v točko Q in pri tem upoštevamo, da je štiri-kotnik OQTS enakokraki trapez. Ugotovimo, da daljica QT , katere dolžinooznačimo z r, d(Q, T ) = r, oklepa s polarno osjo nek kot, ki je enak kotu,za katerega se je pri kotaljenju krožnica zavrtela, torej t = ϕ. Ta podatekvstavimo v izraz (9) in dobimo:

(x−R)2 + y2 = a2(1− cosϕ)2.

Ker velja r2 = (x − R)2 + y2 = a2(1 − cosϕ)2, dobimo enačbo kardioide vpolarnih koordinatah:

r = a(1− cosϕ).

Če kardioido zavrtimo za kot π okoli pola Q, moramo to upoštevati tudi venačbi. V tem primeru se enačba kardioide glasi [12]:

r = a(1 + cosϕ).

6.4.2 Poseben primer Pascalovega polža

Pascalov polž je konhoidna krivulja. Splošna konhoidna krivulja ima zaosnovnico poljubno dovolj lepo krivuljo, v posebnem primeru je to lahko tudikrožnica. Nastane tako, da za vsako točko krivulje povečamo ali zmanjšamokrajevni vektor za l, ki je konstanta. Če imamo podano enačbo krivulje v po-larnih koordinatah r = f(ϕ), potem je enačba konhoide enaka r = f(ϕ)± l.

29

Pascalov polž je torej konhoidna krivulja, ki ima za osnovnico krožnico inza pol točko na tej krožnici. Tako je splošna enačba Pascalovega polža vpolarnih koordinatah zapisana kot

r = a cosϕ± l,

v parametrični obliki kot

x = cos2 ϕ± l cosϕ, y = a cosϕ sinϕ± l sinϕ

in v običajnih kartezičnih koordinatah kot

(x2 + y2 − ax)2 = l2(x2 + y2),

kjer je a premer krožnice. Iz zadnje oblike enačbe lahko razberemo, da greza krivuljo 4. reda. Oblika Pascalovega polža je odvisna od vrednosti a in l.Kot poseben primer, ko je a = l, dobimo kardioido.Nekaj primerov Pascalovega polža vidimo na sliki 23.

Slika 23: Primeri Pascalovega polža

30

6.4.3 Kardioida kot inverzna krivulja parabole

Parabola je krivulja 2. reda. Dobimo jo s presekom pokončnega stožca zravnino, ki je vzporedna s stranico stožca, zato sodi med krivulje, ki jimpravimo stožnice (slika 24). Med stožnice pa poleg parabole sodita še elipsain hiperbola. [14]

Slika 24: Stožnica [14]

Slika 25 kaže osnovne elemente parabole. Če koordinatno izhodišče posta-vimo v teme parabole, tako da abscisna os in os parabole sovpadata, dobimoza parabolo enačbo y2 = 2px, kjer je p goriščni parameter. Goriščni parame-ter je enak polovici dolžine tetive, ki gre skozi gorišče in je pravokotna na osparabole. [3]Parabolo pa lahko drugače opišemo tudi kot trajektorijo točke, ki se gibljetako, da je ves čas enako oddaljena tako od gorišča kot tudi od vodnice.Vodnica in gorišče sta fiksna. [14] Enačbo parabole lahko zapišemo tudiv polarnih koordinatah. Poznamo namreč splošno enačbo, ki velja za vsekrivulje 2. reda:

r = p

1 + ε cosϕ,

kjer je p goriščni parameter, ε pa ekscentričnost. Ekscentričnost je definiranakot razmerje med razdaljo točk na paraboli do gorišča in med razdaljo točkna paraboli do vodnice. Ker vemo, da sta pri paraboli ti dve razdalji enaki,

31

Slika 25: Parabola

je ekscentričnost parabole enaka 1. Torej velja za parabolo enačba

r = p

1 + cosϕ.

Paraboli pa lahko določimo tudi njen inverz. Vsak inverz parabole nam neda enakega rezultata. Med njimi pa je eden, ki je za nas zelo pomemben, sajdobimo za inverz parabole ravno kardioido.

Slika 26: Inverz parabole na kro-žnici, ki ima središče v gorišču

Slika 27: Inverz parabole na kro-žnici, ki nima središča v gorišču

32

Če poiščemo inverz parabole glede na krožnico, ki ima središče ravno v goriščuparabole, vedno dobimo nam že znano kardioido (slika 26), katere ost leži vsredišču krožnice. Ne glede na velikost zrcala oziroma krožnice vedno dobimokardioido, če pa središče krožnice ni v gorišču, potem inverz parabole nikardioida (slika 27). Na sliki 26 imamo parabolo z enačbo y2 = 2x + 1 inkrožnico s polmerom 1. Enačbo parabole zapišemo v polarnih koordinatahin dobimo r = 1

1−cosϕ . Za inverz potem dobimo enačbo ρ = r−1 = 1− cosϕ,ki pa jo že dobro poznamo in predstavlja enačbo kardioide. [27]

6.4.4 Kardioida kot nožiščna krivulja

Za nastanek nožiščne krivulje najprej potrebujemo neko ravninsko krivuljo κ(slika 28). Da pridemo do njene nožiščne krivulje, si v ravnini krivulje κ izbe-remo neko točko, recimo točko P . To točko nato pravokotno projiciramo navse tangente krivulje κ. Presečišče, kjer se sekata tangenta t in pravokotnicana tangetno p, ki poteka skozi točko P , imenujemo nožišče N . Množica vsehnožišč N pa nam da novo krivuljo, ki ji pravimo nožiščna krivulja krivulje κglede na pol P . Ime je seveda dobila po nožišču.Če poiščemo nožiščno krivuljo najbolj preproste krivulje, premice, dobimokar točko, saj je premica že kar sama sebi tangenta. Za nas pa je nekolikobolj zanimiva nožiščna krivulja krožnice.

Nožiščno krivuljo neke dane krivulje glede na izbrani pol O dobimo, ko točkoO pravokotno projiciramo na vse tangente dane krivulje. Poglejmo si torejnožiščno krivuljo krožnice, ki je od pola O v desno premaknjena za r. V temprimeru je enačba dane krožnice enaka x2 + y2 − 2rx = 0. Dana krožnicaima središče v točki S(r, o), njen polmer pa je enak r. Vzemimo poljubnotangento na krožnici. Presečišče naj imata v točki T (s, t). V nadaljevanjuželimo dobiti enačbo tangente. Najprej zapišemo splošno enačbo krožnice:

(x− p)2 + (y − q)2 = r2.

Da dobimo enačbo tangente na krožnico, ki imata skupno dotikališče v točki

33

Slika 28: Nastanek nožiščne krivulje

D(x1, y1), uporabimo naslednjo enačbo [8]:

(x− p)(x1 − p) + (y − q)(y1 − q) = r2.

Ker vemo, da gre tangenta čez točko T (s, t), vstavimo x1 = s in y1 = t:

(x− p)(s− p) + (y − q)(t− q) = r2,

xs− xp− ps+ p2 + yt− yq − qt+ q2 = r2.

Ker vemo, da je krožnica premaknjena in ima središče v točki S(r, 0), vnadaljevanju upoštevamo, da je p = r in q = 0:

xs− xr − rs+ r2 + yt = r2,

xs− xr − rs+ yt = 0. (10)

S tem smo dobili enačbo tangente, ki pa jo lahko še preoblikujemo:

y = r − st

x+ rs

t.

34

Iz te oblike lahko razberemo koeficient tangente, ki je enak kt = r−st. To pa

nam pomaga priti do enačbe za pravokotnico na tangento. Najprej izraču-najmo koeficient pravokotnice na tangento kp po enačbi kt · kp = −1:

kp = − 1kt

= − t

r − s.

Ker projiciramo na tangento pol, ki leži v koordinatnem izhodišču, lahkozapišemo splošno enačbo pravokotnice v obliki y = kpx in dobimo:

y = − t

r − sx. (11)

Koordinate projekcije pola O na tangento dobimo tako, da izračunamo pre-sečišče med tangento in pravokotnico nanjo, ki gre skozi pol O. Iz enačbe(11) izrazimo y in dobimo:

y = tx

s− r. (12)

Dobljeni izraz zdaj vstavimo v enačbo tangente (10):

sx+ t · tx

s− r− rx− rs = 0,

xs(s− r) + xt2 − xr(s− r)− rs(s− r) = 0,

xs2 − xsr + xt2 − xrs+ xr2 − rs2 + r2s = 0,

x(s2 − 2sr + t2 + r2)− rs2 + r2s = 0,

x = rs2 − r2s

s2 − 2sr + t2 + r2 ,

x = rs(s− r)s2 − 2sr + t2 + r2 .

Ker točka T leži na krožnici, velja s2 + t2 − 2rs = 0. To upoštevamo indobimo:

x = s(s− r)r

.

35

S tem smo dobili prvo koordinato presečišča. Zdaj dobljeno rešitev x vsta-vimo še v enačbo (12) in dobimo:

y = tx

s− r= ts(s− r)

(s− r)r = st

r.

Tangenta in pravokotnica nanjo se torej sekata v točki s koordinatama:

x = s(s− r)r

, y = st

r. (13)

Da bomo lahko kaj več povedali o tem presečišču, s pomočjo parametrizacijekrožnice x2 + y2 − 2rx = 0 oziroma (x − r)2 + y2 = r2 zapišemo x = s iny = t:

s− r = r cosϕ, t = r sinϕ.

Parametrizacijo vstavimo v koordinati presečišča (13) in dobimo:

x = r(1 + cosϕ) cosϕ,

y = r(1 + cosϕ) sinϕ.

Če dobljeni x in y vstavimo v obrazec ρ =√x2 + y2, dobimo:

ρ =√r2(1 + cosϕ)2 cos2 ϕ+ r2(1 + cosϕ)2 sin2 ϕ =

=√r2(1 + cos2 ϕ)2(cos2 ϕ+ sin2 ϕ),

ρ = r(1 + cosϕ).

Krivulja, ki smo jo dobili, nam je znana, predstavlja namreč kardioido, zakatero lahko rečemo, da je nožiščna krivulja krožnice za katero koli njenotočko. Zopet smo dobili kardioido. [11, 12]

6.4.5 Poseben primer sinusoidne spirale

Sinusoidne krivulje spadajo v družino krivulj, za katero lahko v polarnihkoordinatah zapišemo splošno enačbo:

rn = an cos(nϕ),

36

kjer je a konstanta, n pa racionalno število. Oba, tako a kot n, sta različna od0. Prvi je sinusoidne spirale preučeval škotski matematik Colin Maclaurin,ki je živel v letih od 1698 do 1746. [30] Med sinusoidne spirale spada velikorazličnih krivulj, ki jih ločimo glede na vrednost parametra n:

• če je n = 1, dobimo enačbo r = a cosϕ, ki predstavlja krožnico;

• če je n = −1, dobimo enačbo r = acosϕ , ki predstavlja premico;

• če je n = 2, dobimo enačbo r2 = a2 cos 2ϕ, ki predstavlja Bernoullijevolemniskato;

• če je n = −2, dobimo enačbo r2 = a2

cos 2ϕ , ki predstavlja hiperbolo . . .

Slika 29 prikazuje dva primera sinusoidnih spiral:

Slika 29: Primera sinusoidne spirale [30]

Med posebnimi primeri sinusoidne spirale pa najdemo še en primer, ki nasnajbolj zanima:

• če je n = 12 , dobimo enačbo r = a cos2 ϕ

2 , ki predstavlja kardioido. Veljanamreč r = a

2(1 + cosϕ). [13]

6.4.6 Kardioida kot ogrinjača

Splošno smo o ogrinjači nekaj povedali že v poglavju Ogrinjača ali ovojnica.Rekli smo, da z ogrinjačami enoparametričnih družin krivulj lahko pridemo

37

do novih krivulj. V ta namen si poglejmo, kaj lahko povemo o ogrinjači,ko imamo družino krožnic, ki jo sestavljajo vse krožnice, ki gredo skozi ko-ordinatno izhodišče, njihova središča pa so na neki drugi krožnici z enačbox2 +y2 = ax, a pa je neka pozitivna konstanta. Nadaljnji izračuni bodo naje-nostavneje potekali v polarnih koordinatah, zato v enačbo krožnice vstavimopolarne koordinate (1) in dobimo:

r2 cos2 ϕ+ r2 sin2 ϕ = ar cosϕ,

r = a cosϕ.

To krožnico, ki jo bomo imenovali krožnica κ, postavimo v koordinatni sistemtako, da se dotika koordinatnega izhodišča O. Druga točka, ki je presečiščekrožnice κ z abscisno osjo, je točka A (slika 30) in a je definiran kot a = |OA|.

Slika 30: Krožnica v koordinatnem izhodišču

Na tej krožnici κ si izberemo še točko T , ki ji ustreza kot t. Če potem vza-memo še neko krožnico K iz družine krožnic, lahko rečemo, da ima premer:

|OP | = 2 |OT | = 2r = 2a cos t,

38

saj vemo, da krožnica K poteka skozi izhodiče O in ima središče v točki T ,saj je družina krožnic tako definirana.Naj bo ϕ polarni kot točke Q ∈ K. Točka Q pa je izbrana tako, da dobimopravokotni trikotnik OQP in tako velja:

cos(ϕ− t) = |OQ||OP |

,

kjer je |OQ| polarni radij r točke Q in je tako enak |OP | cos(ϕ− t). Enačbakrožnice K v polarnih koordinatah se torej glasi:

r = 2a cos t cos(ϕ− t).

Zdaj ko imamo enačbo krožnice K v polarnih koordinatah, se lotimo iskanjaenačbe ogrinjače. Uporabimo že znan postopek. Enačbo ogrinjače družinekrivulj s parametrom t bomo dobili, če parameter t izločimo iz sistema enačb:

F (r, ϕ, t) = 0,

∂F

∂t(r, ϕ, t) = 0.

Dobimo:

r − 2a cos t cos(ϕ− t) = 0, (14)

2a sin t cos(ϕ− t)− 2a cos t sin(ϕ− t) = 0. (15)

Iz enačbe (15) dobimo po adicijskem izreku sin(x−y) = sin x cos y−cosx sin y:

sin(2t− ϕ) = 0.

Temu pogoju lahko zadostimo takrat, ko je 2t − ϕ = 0. Iz tega sledi, da jet = ϕ

2 . To vstavimo v enačbo (14) in dobimo:

r = 2a cos ϕ2 cos(ϕ− ϕ

2 ) = 2a cos2 ϕ

2 .

39

Uporabimo enakost cos2 u = 12(1 + cos 2u) in dobimo:

r = a(1 + cosϕ).

Dobljena enačba pa nam je zopet znana. Dobili smo namreč enačbo kardioidev polarnih koordinatah. Lahko torej rečemo, da je kardioida ogrinjača vsehkrožnic, ki imajo središče na neki dani krožnici κ in potekajo skozi izbranotočko O ∈ κ (slika 31). [12]

Slika 31: Kardioida kot ogrinjača

6.5 Še nekaj konstrukcij kardioide

6.5.1 Konstrukcija z zrcaljenjem točke čez premico

Imejmo krožnico K. Na njej si izberemo poljubno točko, npr. točko T . Kotočko T zrcalimo čez vse tangente krožnice K, dobimo množico točk Ti, kinam da kardioido (slika 32).Zakaj je res tako, si oglejmo podrobneje na dveh krožnicah. Imejmo krožnicok s središčem S1 in krožnico K s središčem S2 (slika 33). Obe imata enakpolmer in se dotikata v točki T . Krožnica K naj miruje, krožnico k pa

40

Slika 32: Zrcaljenje točk čez tangento

zakotalimo okoli mirujoče krožnice. Na krožnici k imamo še točko M , kipred kotaljenjem sovpada s točko T . Ko krožnico k nekoliko zakotalimo,dobimo novo dotikališče krožnic, npr. D. Opazujemo, kaj se dogaja s sledjotočk T in M .

Slika 33: Izris sledi zrcalnih točk

Opazimo, da sta loka T̂D in M̂T ves čas kotaljenja enako dolga. Zato lahko

41

rečemo, da se točka M obnaša kot zrcalna slika točke T glede na tangentoobeh krožnic, ki poteka skozi dotikališče D. S tem, ko točka D preteče celokrožnico K, točka M kot zrcalna slika točke T opiše kardioido. [15]

6.5.2 Konstrukcija s pomočjo modula

Konstrukcija z modulom je še ena od možnosti, kako lahko pridemo do kar-dioide. Od drugih se nekoliko razlikuje, a je ravno zato zanimiva.Imejmo neko krožnico, ki jo razdelimo na 36 enakih delov. To pomeni, dabi na obodu kroga dobili 36 enakih krožnih lokov. Vsako točko na oboduoznačimo s številko od 0 do 35. Za konstrukcijo kardioide moramo upošte-vati naslednje. Izberemo si n-to točko na obodu ter jo povežemo s številko,ki jo dobimo, ko izračunamo, koliko je (2n) po mod 36. To naredimo z vsemitočkami in dobimo kardioido (slika 34). Daljice, ki jih dobimo, ko med sebojpovezujemo točke, predstavljajo tangente na kardioido. [36]

Slika 34: Slika kardioide po modulu

42

6.6 Mandelbrotova množica

Mandelbrotovo množico predstavlja množica točk v kompleksni ravnini. Kotneka meja te ravnine pa tvori fraktal. Za začetek povejmo nekaj več o tem,kaj fraktal sploh je.Fraktal lahko najpreprosteje opišemo kot nepravilni lik ali površino, skratkakot geometrijski vzorec, ki se ponavlja v vedno manjši obliki. Je nekako samasebi podobna geometrijska oblika, lahko bi rekli tudi, da je simetrična. Koopazujemo fraktale pri različnih povečavah, je vzorec le-tega vedno videti pri-bližno ali pa celo popolnoma enako. Evklidsko geometrijo dobro poznamo.Opisujejo jo točke, premice, krožnice . . . , vendar pa vseh fraktalov na tanačin ne moremo opisati, saj gre za veliko bolj zapleteno strukturo. Tedajuporabimo fraktalno geometrijo, ki pa jo opisujejo algoritmi, se pravi nekanavodila, pravila, ki jih računalniki prevedejo in nam dajo te nenavadne, ab-straktne in lahko bolj ali manj zapletene vzorce. Modernejši fraktali v svojostrukturo vključujejo tudi barve. Če fraktal poskušamo opisati še na nekolikobolj matematičen način, bi rekli, da gre za grafično rešitev neke matematičneenačbe ali algoritma v kompleksni ravnini. V splošnem fraktale uporabljajoza računalniško modeliranje nepravilnih vzorcev in struktur v naravi, upora-bljajo se pri izdelavi modelov geografskih ali bioloških procesov, ali pa tudi vračunalniški umetnosti. Delimo pa jih na linearne in na nelinearne fraktale:

• Osnova linearnih fraktalov je evklidska geometrija, kjer fraktali struk-turo pridobijo z lomljenjem, dodajanjem ali preoblikovanjem raznihdaljic ali likov. Primer linearnega fraktala je trikotnik Sierpińskega(slika 35). Dobimo ga na preprost način. Najprej narišemo trikotnik.V drugem koraku med seboj povežemo razpolovišča trikotnika in takodobimo štiri trikotnike. Sedaj postopek ponovimo na vseh štirih triko-tnikih in dobimo še novih trikotnikov. Ta postopek lahko ponavljamov nedogled. Postopku, ki temelji na ponavljanju, drugače rečemo tudiiteracija.

43

Slika 35: Trikotnik Sierpińskega

• Nelinearni fraktali pa temeljijo na fraktalni geometriji. Za generira-nje fraktalov najprej potrebujemo funkcijo, v kompleksnih številih nanjej pa nato izvajamo iteracijo. Eden izmed najbolj znanih nelinearnihfraktalov je Mandelbrotova množica ali Mandelbrotov fraktal (slika 36).Množica se imenuje po francosko-ameriškem matematiku, rojenemu naPoljskem, Benoitu B. Mandelbrotu. Živel je v letih 1924 – 2010. Bil jeprvi, ki je s pomočjo računalnika leta 1975 generiral fraktal v komple-ksni ravnini.

Slika 36: Mandelbrotova množica ali Mandelbrotov fraktal [31]

Mandelbrotova množica je zanimiva predvsem zato, ker ima zelo zapletenostrukturo, ki pa da neverjetno obliko. Za nas pa je zelo posebna še zato, ker

44

v njeni strukturi najdemo tudi kardioido. Množico opiše kvadratna enačbav kompleksnih številih:

zn+1 = z2n + c,

kjer je c kompleksno število, ki leži v Mandelbrotovi množici, če začnemo zz0 = 0 in ponavljamo iteracijo. Kot rezultat dobimo štiridimenzionalen pro-stor. Da definiramo in narišemo Mandelbrotovo množico, je treba izračunati6.000.000 računov. Poleg tega je treba računati tudi s števili, ki imajo 10decimalnih mest. To sta dva večja razloga, zaradi katerih se ta veja matema-tike ni mogla razvijati že prej, saj takrat tudi razvoj računalniške tehnologijeni bil tako napreden, kot je danes. [14, 32, 29, 31]

45

7 Kardioida v naravi

7.1 Kavstika

Ehrenfried Walther von Tschirnhaus je bil prvi, ki je uvedel in proučevalpojem kavstike. Bil je nemškega rodu, ukvarjal pa se je z matematiko, fizikoin filozofijo. [18] Kaj pa kavstika pravzaprav sploh je, lahko opišemo na večnačinov. Ta pojem lahko srečamo v različnih vejah naravoslovja. Ena izmedteh je na primer optika, ki je del fizike, ki se ukvarja s svetlobo, in tako bilahko razložili, da je kavstika ovojnica odbitih ali lomljenih svetlobnih žarkovna ukrivljeni ploskvi, na katero pada snop vzporednih žarkov, ali pa iz neketočke v končnosti (slika 37).

Slika 37: Kavstika

Če v razlago vpeljemo tudi matematiko, bi pojem kavstike lahko razložili kotkrivuljo oziroma površino, na katero je vsak žarek svetlobe tangenta. [19]Ločimo različne primere kavstike, in sicer katakavstiko in diakavstiko. Kata-kavstika je primer kavstike, ki nastane pri zrcalih, torej z odbojem žarkov,diakavstika pa nastane pri lečah zaradi loma žarkov svetlobe. [7]

46

Primera kavstike:

Slika 38: Kavstika v kozarcu,foto: lasten arhiv

Slika 39: Kavstika v krožniku,foto: lasten arhiv

7.1.1 Kardioida kot kavstika

Poglejmo si primer katakavstike krožnice, kjer žarki izhajajo iz neke točkena tej krožnici.Imamo torej krožnico s polmerom R in s središčem v izhodišču koordinatnegasistema (slika 40).

Slika 40: Odboj žarkov na krožnici

47

Brez škode za splošnost lahko privzamemo, da žarki izhajajo iz točkeA(−R, 0).Žarek izhaja iz točke A in je usmerjen proti točki T , ki ravno tako leži nakrožnici. Žarek se širi pod kotom t. V točki T se žarek odbije od krožnice,saj katakavstika nastane z odbojem žarkov in naprej nadaljuje svojo pot dodruge točke na krožnici. Če točko T povežemo z izhodiščem O, dobimo tri-kotnik ATO, ki je enakokrak, saj je dolžina obeh krakov AO in TO ravnopolmer krožnice. Če poleg tega upoštevamo še znani izrek iz geometrije, kipove, da je zunanji kot trikotnika enak vsoti dveh notranjih nepriležnih ko-tov, lahko sklepamo, da je kot, ki ga oklepa daljica OT z abscisno osjo, enak2t. Isti izrek uporabimo tudi pri ugotavljanju kota med abscisno osjo in od-bitim žarkom in dobimo, da je ta kot enak 3t. Točka T ima torej koordinati(R cos 2t, R sin 2t). Zdaj lahko zapišemo enačbo premice, ki gre skozi točkoT in seka abscisno os in pravzaprav nosi odbiti žarek. Uporabimo splošnoenačbo za zapis premice:

y − y1 = k(x− x1).

V našem primeru sta koordinati x1 in y1 koordinati točke T . Kot že vemo,je naklonski kot premice 3t, smerni koeficient pa je definiran kot tangensnaklonskega kota. Dobimo torej:

y −R sin 2t = tan 3t(x−R cos 2t).

Enačbo poskušamo dalje preoblikovati v prijaznejšo obliko. Najprej imamoenačbo

y −R sin 2t = sin 3tcos 3t(x−R cos 2t),

ki jo pomnožimo s cos 3t in dobimo:

y cos 3t−R cos 3 sin 2t = x sin 3t−R sin 3t cos 2t,

x sin 3t− y cos 3t = R sin 3t cos 2t−R cos 3t sin 2t,

x sin 3t− y cos 3t = R(sin 3t cos 2t− cos 3t sin 2t).

48

Uporabimo adicijski izrek: sin(u− v) = sin u cos v − cosu sin v:

x sin 3t− y cos 3t = R sin(3t− 2t),

x sin 3t− y cos 3t = R sin t.

S tem smo prišli do enačbe z enim parametrom, torej do enoparametričneenačbe, in hkrati smo prišli do enoparametrične družine krivulj. O temsmo že nekaj povedali v poglavju Ogrinjača ali ovojnica. Najprej formalnozapišimo enačbo za dobljeno enoparametrično dužino krivulj:

F (x, y, t) = x sin 3t− y cos 3t−R sin t = 0. (16)

Odvajamo po parametru:

∂F

∂t(x, y, t) = 3x cos 3t+ 3y sin 3t−R cos t = 0. (17)

Da dobimo ogrinjačo te enoparametrične družine krivulj, moramo rešiti sis-tem enačb (16) in (17).Iz enačbe (16) izrazimo y in dobimo:

y = x sin 3t−R sin tcos 3t . (18)

Izražen y (18) vstavimo v enačbo (17):

3x cos 3t+ 3 · x sin 3t−R sin tcos 3t · sin t−R cos t = 0.

Enačbo pomnožimo s cos 3t:

3x cos2 3t+ 3x sin2 3t− 3R sin t sin 3t−R cos t cos 3t = 0,

3x− 3R sin t sin 3t−R cos t cos 3t = 0,

x = R sin t sin 3t+ R

3 cos t cos 3t,

x = R

3 (3 sin t sin 3t+ cos t cos 3t). (19)

49

S tem smo dobili prvo neznanko sistema. Zdaj vstavimo (19) v enačbo (18),da dobimo še drugo neznanko sistema:

y =R3 (3 sin t sin 3t+ cos t cos 3t) sin 3t−R sin t

cos 3t .

Enačbo še preoblikujemo v prijaznejšo obliko:

y =R3 (3 sin t sin2 3t+ cos t cos 3t sin 3t)−R sin t

cos 3t ,

y = R sin t(1− cos2 3t)cos 3t +

R3 cos t cos 3t sin 3t

cos 3t − R sin tcos 3t ,

y = R sin tcos3t −

R sin t cos2 3tcos 3t + R

3 cos t sin 3t− R sin tcos3t .

Na koncu dobimo še drugo neznanko:

y = R

3 (cos t sin 3t− 3 sin t cos 3t). (20)

Obe rešitvi (19) in (20) lahko zapišemo v še manj zapleteni obliki.Najprej se lotimo rešitve (19), pri tem uporabimo znani trigonometrični pra-vili cos 3u = 4 cos3 u− 3 cosu in sin 3u = 3 sin u− 4 sin3 u:

x = R

3 (cos t(4 cos3 t− 3 cos t) + 3 sin t(3 sin t− 4 sin3 t)),

x = R

3 (4 cos4 t− 3 cos2 t+ 9 sin2 t− 12 sin4 t),

x = R

3 (4(cos2 t)2 − 3 cos2 t+ 9 sin2 t− 12(sin2 t)2).

Uporabimo še pravili cos2 x = 12(1 + cos 2x) in sin2 x = 1

2(1− cos 2x):

x = R

3 (4[12(1+cos 2t)]2−312(1+cos 2t)+91

2(1− cos 2t)−12[12(1− cos 2t)]2),

x = R

3 (4 · 14(1 + 2 cos 2t+ cos2 2t)− 32 −

32 cos 2t+ 9

2−

−92 cos 2t− 12 · 14(1− 2 cos 2t+ cos2 2t)).

50

Še enkrat uporabimo pravili cos2 u = 12(1 + cos 2u) in sin2 u = 1

2(1− cos 2u):

x = R

3 (1 + 2 cos 2t+ 12(1 + cos 4t)− 3

2 −32 cos 2t+ 9

2−

−92 cos 2t− 3(1− 2 cos 2t+ 1

2(1 + cos 4t))),

x = R

3 (1 + 2 cos 2t+ 12 + 1

2 cos 4t− 32 −

32 cos 2t+ 9

2−

−92 cos 2t− 3 + 6 cos 2t− 3

2 −32 cos 4t).

Na koncu dobimo končno obliko za x:

x = R

3 (2 cos 2t− cos 4t).

Zdaj se analogno lotimo še preoblikovanja neznanke y (18). Tudi tokrat pritem uporabimo znani trigonometrični pravili cos 3u = 4 cos3 u − 3 cosu insin 3u = 3 sin u− 4 sin3 u in dobimo še izraz za y:

y = R

3 (2 sin 2t− sin 4t).

Če rešitvi primerjamo s parametrično obliko enačbe epicikloide, lahko ugo-tovimo, da je katakavstika za žarke, ki izhajajo iz točke na krožnici, ravnokardioida. [12]

7.2 Problem kotaljenja

Imamo dva enaka kovanca, dve enaki kolesi ali na splošno dva enaka kroga.Eden izmed njiju je v mirujočem stanju, drugi pa se brez drsenja zakotali okolitega. Vprašanje, ki predstavi problem, je preprosto. Lahko bi ga zastavlilitako mlajši kot starejši populaciji, odgovori pa verjetno ne bi bili enaki.Zanima nas namreč, koliko obratov naredi krog, ki se kotali okoli mirujočega,da pride nazaj v začetno točko kotaljenja? Odgovore na vprašanja bi lahkohitro preverili tako, da vzamemo dva kroga enake velikosti in si na obehoznačimo začetno točko kotaljenja (slika 41). Nato eden od krogov miruje,

51

drugega pa kotalimo. Vidimo, da se točki zopet srečata, ko kotaleči nareditočno en obhod okoli mirujočega. Da bomo lahko najbolje odgovorili nazastavljeno vprašanje, pa je dobro, če imamo na kotalečem krogu vzorec, kiga med kotaljenjem spremljamo. Opazimo, da se je vzorec, v našem primerusmeško, še enkrat obrnil na pravo stran, še preden je kotaleči krog prišel vzačetno točko kotaljenja.

Slika 41: Kotaljenje kroga

Iz tega lahko sklepamo, da je kotaleči krog naredil dva obrata. S tem smoodgovorili na vprašanje, hkrati pa lahko s to metodo vsakomur potrdimoresničnost tega odgovora.Zdaj pa se lotimo tega vprašanja še iz matematičnega vidika. Imamo torejdva kroga, ki sta enaka, torej imata enak polmer (slika 42). Ker vemo,da eden izmed njiju miruje, drugi pa se kotali okrog tega, nas to spomnina nastanek kardioide, saj je postopek popolnoma enak. Imamo torej dvekrožnici. Mirujoča naj bo krožnica K s središčem S, krožnica, ki se kotali, panaj bo krožnica k s središčem S1. M pa je začetna točka, kjer se kotaljenjezačne. Poglejmo, kaj lahko rečemo o legi točke M in o legi središča krožnicek po tem, ko ta opravi četrtino poti okoli mirujoče krožnice K.

52

Slika 42: Vrtenje krožnice

Vidimo, da se točka M zavrti za 180◦, radij vektor ~SS1 pa se zavrti za 90◦.Ko se torej radij vektor ~SS1 zavrti za 360◦, kar pomeni, da naredi krožnica ken obhod okoli krožnice K, se točka M zavrti za 720◦. Da se točka M zavrtiza 720◦, pa nam pove, da krožnica k pri tem naredi dva obrata, kar je tudiodgovor na naše vprašanje. Točka M pa, kot smo pričakovali pri kotaljenju,opravi neko pot, ki je ravno kardioida.

7.3 Primerjava z listi rastlin

Kot smo že razlagali v poglavju Kaj je krivulja?, lahko za pojem krivulje hitronajdemo asociacijo v vsakdanjem življenju. Tudi med samim sprehodom vnaravi. Tako sem tudi sama našla nekaj listov rastlin, ki so me spominjalina kardioido. Tri vrste sem našla v gozdu:

Slika 43: Ciklama, foto: lasten ahiv

53

V ime naslednje rastline nisem popolnoma prepričana, pa vendar mislim, daima veliko podobnost s kardioido:

Slika 44: Navadni kopitnik, foto: lasten arhiv

Lapuh prav tako spominja na kardioido, vendar zunanji rob ni tako gladekkot pri prejšnjih dveh:

Slika 45: Lapuh, foto: lasten arhiv

Poleg teh treh primerov sem kardioido našla tudi kar na domači okenskipolici med vijolicami:

54

Slika 46: Vijolica, foto: lasten arhiv

Primerjamo liste še s pravo krivuljo:

Slika 47: Ciklama v primerjavi skardioido

Slika 48: Navadni kopitnik v pri-merjavi s kardioido

Slika 49: Lapuh v primerjavi skardioido

Slika 50: Vijolica v primerjavi skardioido

55

Če na kratko povzamemo primerjavo, lahko rečemo, da lapuh res najboljizstopa po tem, da njegov zunanji rob ni gladek, kot je gladek rob kardioidein ostalih listov. Pri navadnem kopitniku najbolj izstopa ost lista, saj jepreveč pomaknjena v notranjost. V ”zavojih”, ki naredijo kardioido srčasto,pa se ji najbolj približa vijolica, saj imajo ostali listi ”zavoje” preveč izbočene.Pri vijolici vidimo nekaj pomanjkljivosti pri simetriji, ki pa pri ciklami nedela večjih težav. Pri vsakem listu lahko vidimo, da seveda je odstopanje,pa vendar lahko najdemo veliko podobnost s kardioido.

56

8 Kardioida v šoliKot sem že omenila v poglavju Kaj je krivulja?, se že osnovnošolci srečajo spojmom krivulje, le da takrat govorijo še o črtah. Kardioida je ena izmedkrivulj, a je za osnovno šolo težek pojem, saj veliko pomembnih matematič-nih pojmov spoznajo šele kasneje, v srednji šoli in potem na fakulteti. V temprimeru bi se lahko v osnovni šoli kardioidi približali na kakšnem matema-tičnem krožku ali pa pri pouku z učenci na 3. nivoju. Kot je že predlagala V.Vogrin v svojem diplomskem delu [15], bi se na začetku ure za uvodno moti-vacijo posvetili pogovoru o sledeh, ki jih puščajo za seboj razni predmeti, kopadajo, ko jih vržemo v loku, ali pa letala, avtomobili, ki se vozijo po ravnicesti, ovinkasti cesti . . .Nadaljevali bi lahko s kotaljenjem dveh krožnic oziroma s problemom, ki semga izpostavila v poglavju Problem kotaljenja. Najprej bi jih spodbudila, dami sami po občutku napovejo odgovor, koliko obratov mora narediti kova-nec ali kolo, da pride okoli enakega kovanca oz. kolesa. Odgovori bi biliverjetno različni, zato bi lahko nadaljevali z delom v parih, kjer bi jim raz-delila kovance ali nepopisane lepenke v obliki kroga in flomastre. Najprej bise pogovorili o idejah za metodo, s katero lahko preverimo, kolikšno številoobratov je potrebnih.Na koncu pa bi se posvetili še samemu risanju kardioide. Uporabili bi dvanačina, s katerima bi lahko tudi sami prišli do le-te. Pri prvem bi imeli že pri-pravljeni dve lepenki v obliki kroga, ki bi ju razdelili na 36 enakih delov, takoda bi na obodu kroga dobili 36 enako dolgih krožnih lokov (slika 51). Vsakotočko na obodu označimo s svojo številko od 0 do 35, kot imamo številke ozna-čene na urah. Nato kroga iz lepenk postavimo na večjo podlago enega polegdrugega tako, da se oba stikata v eni izmed označenih točk. Dogovorimo se,da mora en krog mirovati, drugi pa se bo kotalil okoli mirujočega. Ves časpa bomo opazovali sled iste točke, ki si jo izberemo na kotalečem se krogu(lahko si jo tudi označimo z drugačno barvo). Krožni loki so na obeh krogihenako dolgi, zato točke na obodih sovpadajo in vsakič, ko se srečata dve novištevilki, narišemo točko na podlagi. Ko za vseh 36 številk narišemo svojo

57

točko, je kotaleči se krog naredil en obhod. Nato odstranimo oba kroga izlepenke in povežemo točke, ki smo jih označili na plakatu. Dobimo kardioido.

Slika 51: Risanje kardioide v šoli, foto: lasten arhiv

Na drug način pa bi konstruirali kardioido s pomočjo tangent. Res je, datega pojma ne poznajo, poznajo pa zrcaljenje točk čez premico. Na velikplakat bi narisali krožnico, nato pa bi si na njej izbrali neko poljubno točkoin jo označili z drugo barvo. Nato bi morali narisati čim več premic, ki bise krožnice le dotikale. Čez te premice pa bi morali zrcaliti točko, ki so sijo izbrali na začetku. Da bi bila slika pregledna in da se ne bi med delomizgubili, bi uporabljali svinčnik in različne barve. Zopet bi dobili kardioido.Delo z risanjem kardioide bi potekalo skupinsko. [15]

58

9 ZaključekPred začetkom pisanja diplomskega dela sem za kardioido že slišala, a o njejnisem vedela veliko. S to krivuljo sem se prvič srečala na predavanjih nafakulteti, zato si nisem predstavljala, da je vseeno dosti razširjena. Mojenajvečje spoznanje ob pisanju diplomskega dela je bilo, ko sem ugotovila, dalahko do kardioide pridemo na res veliko različnih načinov.

Do kardioide lahko pridemo preko različnih krivulj. Kardioida je namrečposeben primer cikloidne krivulje, epicikloide. Definiramo pa jo lahko tudikot poseben primer Pascalovega polža ali sinusoidne spirale. Poleg tega palahko do kardioide pridemo tudi z drugimi konstrukcijami.

Pri konstrukcijah si lahko pomagamo s poznavanjem različnih matematičnihpojmov. Kardioido lahko konstruiramo s pomočjo tangent krožnice, na ka-teri leži ost kardioide, ali pa se lotimo njene konstrukcije s pomočjo modula.

Ugotovili smo, da lahko kardioido srečamo tudi na drugih področjih nara-voslovja, predvsem pri fiziki, kjer lahko predstavlja kavstiko. Kardioido palahko srečamo tudi med samim sprehodom v naravi.

Spoznala sem, da lahko takšno snov vpeljemo tudi v delo v osnovni šoli.S posebnimi prilagoditvami lahko tudi učencem predstavimo kardioido in totako, da lahko tudi sami veliko sodelujejo in jo sami skonstruirajo. Res je,da ne poznajo še veliko matematičnih pojmov, ki so potrebni pri konstukcijikardioide, a jim nekatere korake lahko predstavimo tako, da lahko uporabijože pridobljeno znanje.

59

Literatura[1] Berk J., Draksler J., Robič M. (2006): Skrivnosti števil in oblik 6, Za-

ložba Rokus Klett, Ljubljana

[2] Berk J., Draksler J., Robič M. (2005): Skrivnosti števil in oblik 9, Za-ložba Rokus Klett, Ljubljana

[3] Bronštejn I. N., Semandjajev K. A. in drugi (1997): Matematični pri-ročnik, Tehniška založba Slovenije, Ljubljana

[4] Cedilnik A. (2006): Matematični priročnik, Didakta, Radovljica

[5] Globevnik J., Bojan M. (2012): Analiza 1, Zapiski predavanj, Ljubljana

[6] Guljaš B. (2012): Matematička analiza I & II, Zapiski predavanj, Zagreb

[7] Guštin A., Mohorič A, Strnad J. (2008): Fizika – leksikon, Cankarjevazaložba, Ljubljana

[8] Kac M. (1973): Logaritmi, Založba Obzorja, Maribor

[9] Kavkler I., Potočnik P., Vadnal A. (2008): Matematika – leksikon, Can-karjeva založba, Ljubljana

[10] Lešnjak G. (2002): Matematika, Učila International, založba d.o.o., Tr-žič

[11] Razpet M. (1999): Nožiščne krivulje krožnice, Presek, letnik XXVI, št.4, str. 198 – 201

[12] Razpet M. (1998): Ravninske krivulje, DMFA, Ljubljana

[13] Savelov A. A. (1979): Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb

[14] Umek Venturini A. (2000): Leksikon matematike, Založba Mladinskaknjiga, Ljubljana

60

[15] Vogrin V. (2003): Cikloidne krivulje, Diplomsko delo, Ljubljana: Uni-verza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta

[16] http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830900816.html (1. 8. 2012)

[17] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Castillon.html(1. 8. 2012)

[18] http://sl.wikipedia.org/wiki/Kavstika (matematika) (8. 8. 2012)

[19] http://sl.wikipedia.org/wiki/Kavstika (matematika) (8. 8. 2012)

[20] http://sl.wikipedia.org/wiki/Algebrska krivulja (5. 9. 2012)

[21] http://sl.wikipedia.org/wiki/Krivulja (5. 9. 2012)

[22] http://sl.wikipedia.org/wiki/Evklid (11. 9. 2012)

[23] http://sl.wikipedia.org/wiki/Koordinatni sistem (11. 9. 2012)

[24] http://sl.wikipedia.org/wiki/Kartezični koordinatni sistem(11. 9. 2012)

[25] http://sl.wikipedia.org/wiki/Polarni koordinatni sistem (11. 9. 2012)

[26] http://sl.wikipedia.org/wiki/Ovojnica (matematika) (12. 9. 2012)

[27] http://sl.wikipedia.org/wiki/Srcnica (16. 9. 2012)

[28] http://sl.wikipedia.org/wiki/Dolžina loka (18. 9. 2012)

[29] http://www.dijaski.net/matematika/referati.html?r=mat ref fraktali 02.doc(28. 9. 2012)

[30] http://sl.wikipedia.org/wiki/Sinusoidna spirala (29. 9. 2012)

[31] http://sl.wikipedia.org/wiki/Mandelbrotova mnozica (30. 9. 2012)

61

[32] http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/2002/ura/Mozek/travnik/MinJ.html (9. 10. 2012)

[33] http://maximumadventure.net/2012/07/13/perigord-in-july-2012-prehistoric-art/ (9. 10. 2012)

[34] http://sl.wikipedia.org/wiki/Hipocikloida (9. 10. 2012)

[35] http://sl.wikipedia.org/wiki/Epicikloida (9. 10. 2012)

[36] http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves dir/Cardioid dir/cardioid.html(9. 10. 2012)

62