DINAMIKA Vukojevic Ekinovic

7/25/2019 DINAMIKA Vukojevic Ekinovic

1/449

Dr. Duan Vukojevi Dr. Elma Ekinovi

DINAMIKA

Zenica, 2008.


2/449

DINAMIKA Dr. Duan Vukojevi, redovni professor na Mainskom fakultetu Univerziteta uZenici Dr. Elma Ekinovi, docent na Mainskom fakultetu Univerziteta u Zenici Recenzenti: Prof.dr. Nermina Zaimovi-Uzunovi, dipl.in. Prof.dr. Avdo Voloder, dipl.in. Izava Mainski fakultet Univerziteta u Zenici Naslovna strana Dr. Elma Ekinovi Tehnikaobrada: Dr. Elma Ekinovi Marina Matanovi tampa MELIGRAF Zenica Tira 300 primjeraka IP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosne iHercegovine, Sarajevo 531.3(075.8) VUKOJEVI, Duan Dinamika / Duan Vukojevi, Elma Einovi. Zenica : Mainski fakultet, 2008. - X, 300 str. : graf. prikazi ; 24 cm Bibliografija: str. 299-300 ISBN 978-9958-617-40-9 1. Ekinovi, Elma COBISS.BH-ID 16665350 Na III sjednici Senata Univerziteta u Zenici, odranoj dana 26.3.2008. godine, Odlukom broj 01-108-313-0295/08-33 odobreno je izdavanje ovog udbenika kao univ

erzitetskog.


3/449

PREDGOVOR

PREDGOVOR

Univerzitetski udbenik Dinamika izraen je prema nastavnom programu Mainskog fakultUniverziteta u Zenici. Stoga je u prvom redu namijenjen studentima ovog fakulteta, ali moe posluiti i studentima svih drugih tehnikih fakulteta i inenjerima koji e u praksi susreu sa dinamikim problemima. Udbenik je nastao u namjeri da se studentima u preglednom i sadrajnom obliku ponude sve bitne i neophodne informacije zarazumijevanje dinamikih pojava i problema. U kojoj mjeri se u tome i uspjelo, neka itaoci prosude sami, a svaka eventualna primjedba i sugestija mogu doprinijeti

tome da naredno izdanje bude kvalitetnije. Metodika izlaganja je zasnovana na viegodinjem iskustvu prof.dr. Duana Vukojevia kao profesora na predmetu Dinamika, takoda su kao osnova za izlaganje posluila dva prethodna izdanja njegovog udbenika Dinamika. Ovom prilikom se elimo zahvaliti recenzentima, dr. Nermini Zaimovi-Uzunovi, edovnom profesoru Univerziteta u Zenici, i dr. Avdi Voloderu, vanrednom profesoru Univerziteta u Sarajevu, na korisnim sugestijama u pogledu terminologije i naina izlaganja. Posebnu zahvalnost upuujemo Marini Matanovi, radnici Mainskog fakulteta Univerziteta u Zenici, koja je otipkala tekst sa puno panje i strpljenja.

Zenica, 1. februara 2008. godine Autori

iii


4/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

iv


5/449

SADRAJ

SADRAJ

11.1. 1.2.

UVODKratak historijski pregled razvoja dinamike Sistemi jedinica mjerenja

1 1 3 5 5 6 9 11 11 11 11 12 13 14 16 16 17

22.1. 2.2. 2.3.

DINAMIKA MATERIJALNE TAKEOsnovni pojmovi i definicije Osnovni zakoni dinamike Pojam veze

3

DIFERENCIJALNE JEDNAINE KRETANJA MATERIJALNE TAKE

3.1. Kretanje slobodne materijalne take 3.1.1. Diferencijalna jednaina kretanja materijalne take u vektorskom obliku Diferencijalna jednaina kretanja materijalne tak

e u Descartesovim 3.1.2. koordinatama Diferencijalna jednaina kretanja materijalne take u prirodnim 3.1.3. koordinatama Diferencijalna jednaina kretanja materijalne take u polarnim 3.1.4. koordinatama 3.1.5. Zadaci dinamike za slobodnu materijalnu taku 3.2. Neki sluajevi kretanja materijalne take 3.2.1. Pravolinijsko kretanjematerijalne take 3.2.1.1. Kretanje materijalne take pri djelovanju konstantne sile

v


6/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

3.2.1.2. Kretanje materijalne take pri djelovanju sile koja zavisi od vremena 3.2.1.3. Kretanje materijalne take pri djelovanju sile koja zavisi od rastojanja 3.2.1.4. Kretanje materijalne take pri djelovanju sile koja zavisi od brzine 3.2.1.5. Slobodan pad u vazdunom prostoru (otpornoj sredini) 3.2.2. Krivolinijsko kretanje take 3.2.2.1. Kosi hitac u bezvazdunom prostoru 3.3. Kretanje neslobodne materijalne take 3.3.1. Kretanje take po nepominoj krivoj liniji 3.4. Primjeri

19 19 20 21 23 24 27 33 34 49 49 49 50 52 55 56 57 58 59 59 60 61 61 62 63 65 6868 75 75 77 80 80 85 86 89

4

OPI ZAKONI KRETANJA MATERIJALNE TAKE

4.1. Uvod 4.2. Impuls sile 4.3. Koliina kretanja materijalne take 4.4. Moment koliine kretanja (kinetiki moment) 4.5. Rad sile 4.5.1. Snaga 4.5.2. Rad sile Zemljinetee 4.5.3. Rad elastine sile 4.5.4. Rad sile trenja klizanja 4.6. Kinetika energija materijalne take 4.7. Potencijalno polje sile 4.7.1. Polje sile 4.7.2. Funkcijasile 4.7.3. Uvjeti konzervativnosti sile 4.7.4. Potencijalna energija 4.7.5. Ekvipotencijalne povrine 4.7.6. Zakon o odranju mehanike energije 4.8. Primjeri

55.1.

KRETANJE TAKE PRI DJELOVANJU CENTRALNE SILE

Centralna sila, zakon povrine Diferencijalna jednaina kretanja materijalne take pridjelovanju centralne 5.2. sile 5.2.1. Bineova jednaina 5.3. Kretanje take pod dejstvom Newtonove privlane sile 5.3.1. Keplerovi zakoni 5.3.2. Prva i druga kosmikabrzina 5.4. Primjeri

vi


7/449

SADRAJ

6

D'ALEMBERTOV PRINCIP ZA MATERIJALNU TAKU

91 91 93 93 96 96 98 99 100 103 103 105 107 111 112 115 116 118 119 124 129 129131 132 134 135 136 137

6.1. D'Alembertov princip za materijalnu taku 6.2. Dinamika relativnog kretanja materijalne take 6.2.1. Diferencijalna jednaina kretanja Relativno kretanje materij

alne take za razliite sluajeve prijenosnog 6.2.2. kretanja 6.2.2.1. Obrtanje pokretnog sistema 0 xyz oko nepomine ose 6.2.2.2. Translacija pokretnog sistema 0 xyz 6.2.3. Zakon o promjeni kinetike energije pri relativnom kretanju 6.3. Primjeri

77.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7.10.

DINAMIKA SISTEMA MATERIJALNIH TAAKA I KRUTOG TIJELAPodjela sila Geometrija masa Momenti inercije Steinerova (Huygensova) teorema Odreivanje momenta inercije za proizvoljnu osu koja prolazi kroz koordinatni poetakElipsoid inercije Glavne ose i glavni momenti inercije Momenti inercije za proizvoljnu osu Primjeri za izraunavanje momenata inercije homogenih tijela Momenti inercije za neka pravilna geometrijska tijela

8

OPI ZAKONI KRETANJA MATERIJALNOG SISTEMA

8.1. Diferencijalne jednaine kretanja materijalnog sistema 8.2. Zakon o kretanjusredita masa 8.3. Zakon o odranju kretanja sredita masa 8.4. Koliina kretanja materjalnog sistema 8.4.1. Zakon o promjeni koliine kretanja materijalnog sistema 8.4.2. Zakon o odranju koliine kretanja materijalnog sistema 8.5. Primjeri

vii


8/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

99.1. 9.2. 9.3.

KRETANJE TIJELA PROMJENLJIVE MASE.Tijelo promjenljive mase Formula Ciolkovskog Primjeri

139 139 142 144 149 149 150 152 153 154 156 158 160 162 164 165 171 171 174 176

180 183 183 183 186 190 195 1981010.1. 10.2.

GLAVNI MOMENT KOLIINE KRETANJA MATERIJALNOG SISTEMA

Glavni moment koliine kretanja materijalnog sistema Zakon o promjeni momenta koliine kretanja materijalnog sistema Kinematska interpretacija zakona o promjeni kinetikog momenta 10.3. Rezalova teorema 10.4. Kinetiki moment krutog tijela koje seobre oko nepokretne ose 10.5. Matematiko klatno 10.6. Fiziko klatno 10.6.1. Reducirana duina fizikog klatna 10.6.2. Eksperimentalno odreivanje momenata inercije krutog tijela 10.7. Ravno kretanje krutog tijela 10.7.1. Diferencijalne jednaine ravno

g kretanja 10.8. Primjeri1111.1. 11.2. 11.3. 11.4.

KINETIKA ENERGIJA MATERIJALNOG SISTEMAKinetika energija materijalnog sistema Odreivanje kinetike energije za razliita kreanja krutog tijela Neki sluajevi izraunavanja rada Primjeri

12

D'ALEMBERTOV PRINCIP ZA MATERIJALNI SISTEM

12.1. Klasifikacija principa 12.2. D'Alembertov princip za sistem 12.3. Glavni vektor i glavni moment sila inercije 12.4. Dinamike reakcije u leitima pri obrtanjukrutog tijela oko nepomine ose 12.4.1. Dinamiko uravnoteenje masa 12.5. Primjeri

viii


9/449

SADRAJ

13

DINAMIKA KRUTOG TIJELA KOJE SE OBRE OKO NEPOKRETNE TAKE

203 203 207 210 211 215 217 217 219 222 224 227 229 231 231 232 234 237 239 242244 247 249 251 254 257 257 258 259 261

13.1. Osnovni pojmovi 13.2. Kinetiki moment krutog tijela koje se obre oko nepokretne take 13.3. Kinetika energija tijela koje se obre oko nepokretne take 13.4. Eule

ove dinamike jednaine 13.4.1. Osnovne postavke klasinih rjeenja1414.1. 14.2. 14.3. 14.4. 14.5. 14.6.

PRIBLINA TEORIJA IROSKOPSKIH POJAVAPriblina teorija iroskopskih pojava iroskop sa tri stepena slobode Regularna precesija tekog iroskopa iroskop sa dva stepena slobode Diferencijalna jednaina kretanja lobodnog krutog tijela Primjeri

1515.1. 15.2. 15.3. 15.4. 15.5. 15.6. 15.7. 15.8. 15.9. 15.10. 15.11.

TEORIJA UDARAOsnovni pojmovi Osnovna jednaina teorije udara Zakon o promjeni koliine kretanja materijalnog sistema pri udaru Zakon o promjeni kinetikog momenta materijalnog sistema pri udaru Udar tijela o nepokretnu podlogu. Koeficijent uspostavljanja (restitucije) Kosi udar take o nepominu podlogu Upravni centralni sudar dva tijela Carnotova teorema. Gubitak kinetike energije pri sudaru dva tijela Odreivanje impulsnih reakcija tijela koje se obre oko nepokretne ose Centar udara Primjeri

1616.1. 16.2. 16.3. 16.4.

ANALITIKA MEHANIKAUvodna razmatranja Veze materijalnog sistema Stepen slobode kretanja Generalisan

e (poopene) koordinateix


10/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

16.5. Virtualna (mogua) pomjeranja 16.6. Idealne veze 16.6.1. Rad sila na virtualnim (moguim) pomjeranjima 16.6.2. Princip virtualnih pomjeranja (Opa jednaina statike) 16.7. Generalisane sile 16.8. Lagrange-D'Alembertov princip (Opa jednaina dinamike) 16.9. Lagrangeova jednaina druge vrste 16.9.1. Kinetika energija sistema 16.9.2. Lagrangeove jednaine druge vrste za konzervativni sistem 16.10. Primjeri

263 267 267 270 272 274 277 281 284 285 291 291 291 293 294 294 295 295 296 296

297 29917

PREGLED METODA RJEAVANJA ZADATAKA IZ DINAMIKE

17.1. Uvodne napomene 17.2. Zadaci iz dinamike materijalne take 17.3. Zadaci iz dinamike sistema materijalnih taaka 17.4. Zadaci iz dinamike krutog tijela 17.4.1.Translatorno kretanje krutog tijela 17.4.2. Obrtanje krutog tijela oko nepomineose 17.4.3. Ravno kretanje krutog tijela 17.4.4. Obrtanje krutog tijela oko nepomine take 17.4.5. Kretanje slobodnog krutog tijela 17.5. Ope napomene o rjeavanju zdataka iz dinamike

18LITERATURA

x


11/449

1. UVOD

1

UVOD

1.1. Kratak historijski pregled razvoja dinamikePriroda i njene pojave, svijet u kojem ivimo vezani su za materiju i kretanje. Sciljem opisivanja i definiranja kretanja, kao i njegovog uzroka, tokom historijese razvila nana disciplina mehanika. Danas mehanika u irem smislu zauzima centralno mjesto u razvoju prirodnih nauka. Kretanje nastaje kao posljedica meusobnog dj

elovanja tijela i okoline. Osnovni zakoni mehanike kretanja na egzaktan nain definirani su u relativno bliskoj prolosti. Do poetka ovog vijeka smatralo se da su postignuta dostignua na polju klasine mehanike dostigla svoju kulminaciju, poto su postojee spoznaje bile dovoljna za opisivanje i definiranje fizikih pojava. Otkriem radioaktivnosti, atoma i njegove strukture, ova miljenja su iz osnove promijenjena. Razvojem atomske fizike i uvoenjem pojma velikih brzina znatno su ogranieni prostori djelovanja klasine mehanike, to je doprinijelo razvoju relativistike mehanike,kvantne mehanike i slino. No, i pored razvoja ovih novih naunih disciplina, klasina mehanika nije izgubila svoj znaaj. Ona je zadrala svoje mjesto u nauci i tehniciza rjeavanje problema kretanja i ostalih fizikih pojava materijalnih sistema kojise kreu umjerenim brzinama. U okviru mehanike, znaajno podruje zauzima dinamika, koja je vezana za pojam sile, mase i zakone kretanja materijalnog sistema. Kroz krai pregled, pokuat e se dati uvid u razvoj dinamike kao naune discipline. Mada je

ristotel (384 322) prvi uveo pojam mehanike, njenim temeljnim osnivaem smatra seArhimed (287 212) jer je uveo i postavio osnovne zakone ravnotee tijela. U naucizatim nastaje zastoj sve do doba renesanse, kada se problemima mehanike poinju baviti Leonardo da Vinci (1452-1519) i Nicolaus Copernicus (1473-1543), koji nisuotkrili gravitacionu privlanu silu, ali su je naslutili i na drugi nain interpretirali.

1


12/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

U historijskom razdoblju razvoja mehanike sve do Galileo Galileia (1564-1642) pojam sile posmatran je statiki. Kod prouavanja problema slobodnog pada tijela, zatim horizontalnog i kosog hica, Galileo Galilei je uveo pojam ubrzanja i doveo gau vezu sa silom, na osnovu ega mu je i pripala slava da se smatra osnivaem dinamike. Rezultate prouavanja Galileja dopunio je i razradio holandski naunik ChristianHuygens (1629-1695), koji je izveo zakone kretanja matematikog klatna i uveo pojam centrifugalne sile. Ovdje svakako treba istaknuti veliki doprinos Johannesa Ke

plera (1571-1630) razvoju mehanike, koji je uveo pojam privlane sile pri odreivanju zakonitosti kretanja planeta Sunevog sistema. Robert Hooke (1635-1703) je jo viei konkretnije razradio postavku o privlanoj meusobnoj sili planeta i postavio tezuda su privlane sile obrnuto proporcionalne kvadratu rastojanja, to znai da se planete kreu oko Sunca po eliptinim putanjama. Engleski naunik Isaac Newton (1643-1727)je svojim djelom Matematiki principi filozofije prirode objavljenim 1687. godine udario temelje egzaktnom prouavanju dinamike. Uvoenjem novih matematikih metoda diferencijalnog i integralnog rauna, a posebno njihovom primjenom u dinamici, ova nauna disciplina je dobila bri razvoj. Uporedo sa Newtonom, na ovom matematikom poljuradio je i njemaki naunik Gottfried Leibnitz (1646-1716), u vezi s im se i danas vode naune rasprave o tome kome pripadaju vee zasluge. U najveem dijelu naunih krugovta prednost se daje Newtonu. Teorijska mehanika ili Newtonova mehanika, odnosnoklasina mehanika, vrsto se oslanjala na postojea saznanja i iskustva itave plejade

naunika, to je na kraju uoblieno osnovnim Newtonovim zakonima. Nakon Newtonovog perioda, itav niz znamenitih naunih imena, kao to su braa Bernoulli, Euler, D,AlembertLagrange, doprinijeli su intenzivnom razvoju mehanike. Treba svakako spomenutii znaajan doprinos razvoju mehanike vrsnih ruskih mehaniara, meu kojima su najpoznatiji ukovski, Ciolkovski, Meerski i drugi. Pojavom Alberta Einsteina (1879-1955) injegovog djela Teorija relativiteta modificirani su opi Newtonovi zakoni gravitacije, ime je dopunjena klasina mehanika i data mogunost svestranijem razvoju mehanike.Einsteinova teorija potvrdila je da za brzine kretanja koje su mnogo manje od brzine svjetlosti vrijede Newtonovi zakoni, dok se za brzine bliske brzini svjetlosti moraju koristiti zakoni ope teorije relativiteta za odreivanje kretanja. Daljnja izlaganja e se zadrati u domenu klasine mehanike, koja je sauvala svoju vrijednst i do danas, jer razlike u rezultatima na osnovama zakona klasine i relativistike mehanike dolaze do izraaja tek u podruju velikih brzina bliskih brzini svjetlost

i.2


13/449

1. UVOD

1.2. Sistemi jedinica mjerenjaVeliine koje karakteriu fizike pojave ili njihova svojstva nazivaju se fizikim veliama. Mjerenje fizikih veliina svodi se na njihovo uporeivanje sa vrijednou koja jevojena kao standard za jedinicu mjere te veliine. U dosadanjoj tehnikoj praksi korien je vei broj sistema jedinica, naprimjer CGS, tehniki sistemi jedinica i slino. Ufizici, odnosno u mehanici, danas se koristi samo jedan - SI sistem jedinica, koji e se predstaviti u daljem izlaganju. Meunarodni sistem jedinica (SI) * usvojenje na 11. Generalnoj konferenciji za mjere 1960. godine. U naoj dravi zakonom jedefiniran definitivni prelazak na mjerne jedinice SI sistema od 01.01.1981. godi

ne. Osnovne veliine i jedinice SI sistema su: Fizika veliina duina vrijeme masa jaelektrine struje temperatura jaina svjetlosti koliina materije Naziv jedinice metar sekunda kilogram amper kelvin kandela mol Oznaka jedinice m s kg A K cd mol

Izvedene jedinice nastaju od osnovnih mjernih jedinica pomou algebarskih izraza upotrebom matematikih simbola dijeljenja i mnoenja. Tako naprimjer, jedinica za brzinu je m/s, za ubrzanje m/s2 i slino. Neke izvedene jedinice su dobile i svoje nazive i ima ih ukupno 45. Ovo su samo neke od njih: Fizika veliina ugao uestalost (frekvencija) sila pritisak, napon energija, rad snaga Naziv izvedene jedinice radijan herc njutn paskal dul vat Oznaka jedinice rad Hz (s-1) N (kg m /s2) Pa (N/m)J (Nm) W (J/s)

* Zakon o mjernim jedinicama i mjerilima usaglaen je sa preporukama Meunarodne org

anizacije za metrologiju 1975.godine, kao i sa Meunarodnim standardima ISO 31/1975.

3


14/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

Decimalni umnoci SI jedinica su decimalni dijelovi ili decimalni umnoci mjernih jedinica, a nastaju stavljanjem meunarodno prihvaenih prefiksa ispred oznake mjernejedinice i to: Prefiks jokto zepto ato fempto piko nano mikro mili centi deci Oznaka y z a f p n m c d Vrijednost 10-24 10-21 10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 10-2 10-1 Prefiks deka hekto kilo mega giga tera peta eksa zeta jota Oznaka da hk M G T P E Z Y Vrijednost 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024

Dio SI-sistema koji se odnosi na klasinu mehaniku esto se naziva MKS (metar-kilogramsekunda). Sve jedinice su, kao to je ve reeno, definirane meunarodnim dogovorima,a njihovi uzorci nazivaju se etaloni. Tako naprimjer, etalon za masu definiran je 1889.g.

4


15/449

2. DINAMIKA MATERIJALNE TAKE

2

DINAMIKA MATERIJALNE TAKE

2.1. Osnovni pojmovi i definicijeDinamika je dio mehanike u kojem se prouavaju zakoni kretanja materijalnih tijelapod dejstvom sila. Kretanja tijela prouavana su u kinematici i pri tome se nijeuzimao u obzir utjecaj sile na tijelo, odnosno na njegovu masu. Poto je kretanjetijela usko povezano sa njegovim uzrokom, odnosno silom, to se u dinamici posmat

raju masa tijela, kao i sile koje djeluju na tijelo. U problemima iz statike sile su u posmatranom okviru vremena bile konstantne veliine. U dinamici su sile veliine koje se mijenjaju tokom vremena bilo po intenzitetu, pravcu ili smjeru. Podpojmom promjenljivosti sile podrazumijeva se njena zavisnost od brzine kretanja(npr. sila otpora nekog medija), poloaja (sila gravitacije) i vremena (pogonska sila motora). Po prirodi svog djelovanja sile mogu biti aktivne i reaktivne. Osnovni zadatak dinamike svodi se na utvrivanje kretanja materijalnih taaka tijela podutjecajem sile. Dok se u kinematici odreivanje kretanja geometrijskih oblika izvodilo ne vodei rauna o materijalnosti tijela, pa ak ni o vremenu u kojem se kretanje odvija, dinamika obuhvata upravo i taj dio, ime realnije postavlja i analizirakretanje materijalnih sistema u stvarnosti. Osnovni zadaci koji se rjeavaju u dinamici mogu se podijeliti u dvije grupe, i to: zadaci koji se postavljaju u ciljudefiniranja sila koje proizvode data kretanja i zadatke kojima se definiraju kr

etanja koja proizvode poznate sile. U dinamici se uvodi se jedan sasvim novi pojam, a to je pojam mase, za koju je neposredno vezan i pojam inertnosti tijela. Ako na dva tijela razliitih masa djeluju iste sile, nakon prestanka njihovog djelovanja tijela e se kretati razliitim brzinama i prei e razliite puteve. Iz jednostah eksperimenata uoljivo je da e tijelo vee mase imati veu inertnost, to je u neposnoj vezi sa koliinom materije u tom tijelu. Masa je po svojoj prirodi skalarna pozitivna veliina i u veini sluajeva konstantnog intenziteta. Generalno posmatrano, kretanje tijela ne zavisi samo od mase tijela i sila koje na njega djeluju, ve i od njegovog geometrijskog oblika i rasporeda masa.

5


16/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

Iz praktinih razloga u dinamici se vrlo esto uvodi pojam materijalne take. Ukolikosu preene putanje tijela daleko vee od dimenzija posmatranog tijela, ovakva tijelase mogu smatrati materijalnim takama (naprimjer, pri prouavanju kretanja planetaoko Sunca i slino). Takoer, ukoliko sve take tijela imaju iste karakteristike kretanja, ovakvo tijelo se moe smatrati materijalnom takom, to je sluaj kod translacije ijela. Drugim rijeima, ukoliko se dimenzije i oblik tijela mogu zanemariti, ondase problem svodi na posmatranje kretanja materijalne take koja ima konanu masu. Iz

ovoga proizilazi da se prouavanjem kretanja materijalne take istovremeno ulazi uproblem prouavanja kretanja sistema materijalnih taaka, odnosno krutog tijela, tako da e se problemi koje rjeava dinamika svesti na prouavanje dinamike take i dinamie sistema materijalnih taaka.

2.2. Osnovni zakoni dinamikeOsnovne zakone klasine dinamike ine Newtonovi zakoni (principi) koji su definirani1687. godine. Ovi zakoni prirode utvreni su nizom eksperimenata i, uvaavajui i koristei postignute rezultate svojih prethodnika, u konanu formu uobliio ih je Newton.Prvi Newtonov zakon (zakon inercije) otkrio je, ustvari, Galilei i glasi: Materijalna taka, izdvojena od ostalih utjecaja, nalazi se u stanju mirovanja ili ravnomjernog pravolinijskog kretanja sve dotle dok je sile ne primoraju da to stanjepromijeni. Ovim je definirana osnovna osobina materije sadrana u tome da nema pr

omjene kretanja, odnosno mirovanja materijalne take ukoliko nema vanjskog utjecaja. To znai da se tijelo kree po inerciji. Inercija se moe shvatiti kao otpor promjeni stanja kretanja tijela, koji se javlja zbog njegove materijalnosti. Za promjenu stanja kretanja ili mirovanja vee mase potrebna je vea sila i obrnuto. Koordinatni sistemi u kojima vrijedi zakon inercije nazivaju se inercijalni sistemi (Galilejevi trijedri). Tako naprimjer, Sunev sistem sa sreditem u Suncu moe se smatratiinercijalnim, pri emu su ose usmjerene ka zvijezdama nekretnicama. Prema tome, ukoliko se materijalna taka ne kree ravnomjerno ili pravolinijski, onda mora postojati neki uzrok u okruenju te take. Uzrok kretanja se u mehanici naziva silom. Silaje vektorska veliina i karakterizira se intenzitetom, pravcem i smjerom. Galileije u svojim eksperimentima zapazio da sila istih karakteristika daje istom tijelu uvijek isto ubrzanje. Drugi Newtonov zakon (osnovni zakon dinamike) glasi: Promjena kretanja materijalne take proporcionalna je sili koja djeluje na nju i vri

se u pravcu i smjeru djelovanja sile.6


17/449


Iz ovoga slijedi da se sila moe iskazati kao proizvod mase i ubrzanja:

r r F =ma

(2.1)

Ovim zakonom obuhvaeno je i ono to se konstatira prvim zakonom. Naime, ukoliko namaterijalnu taku koja se kree ne djeluje spoljna sila i imajui u vidu da je masa uvijek r pozitivna veliina, to je njeno ubrzanje jednako nuli ( a = 0) . Ovo znai da

je brzina konstantnog intenziteta (v = const ) , odnosno materijalna taka (tijelo) kree se pravolinijski konstantnom brzinom usljed inercije. Drugi Newtonov zakon izveo je naknadno i Euler na osnovu definicije pojma koliine kretanja. Ako na materijalnu taku djeluje istovremeno vie sila, onda se prema drugom zakonu dinamikezadatak rjeava primjenom zakona o paralelogramu sila. Dakle, ako na materijalnutaku djeluju dvije ili vie sila, onda se one slau po pravilu o slaganju sila, odnosno vektora, slika 1.

r

r Fn -1

r Fn

r F1 r F2

r F12

r Fn - 2

Slika 1. Djelovanje vie sila na materijalnu taku

Ako na masu m djeluje vei broj sila F , njihova rezultanta je jednaka njihovom geometrijskom zbiru:

r

r n r ma = Fi .i =1

(2.2)

Ovaj stav esto se u literaturi prikazuje kao poseban zakon. Treba jo jednom istaknuti da oba zakona (prvi i drugi) vae samo za inercijalni referentni sistem. Ako ista sila djeluje na dvije razliite mase, ona e im dati razliita ubrzanja, to znai je masa glavno mjerilo inertnosti tijela:

r r r F = m1 a1 = m 2 a 2 .

(2.3)7


18/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

Iz ovog izraza se mogu utvrditi odnosi masa tijela i ubrzanja, odnosno mase dvatijela su obrnuto srazmjerne njihovim ubrzanjima:

r a2 m1 = r . m2 a1

(2.4)

Galilei je na osnovu svojih eksperimenata uoio da tijela koja slobodno bez otporapadaju pod utjecajem Zemljine tee imaju isto ubrzanje. To znai da je na osnovu drugog zakona mogue odrediti masu tijela u istim uvjetima, poto je odnos konstantan:

r r m=G g.r

(2.5)

Veliina g je ubrzanje Zemljine tee i na Zemljinoj povrini iznosi priblino g = 9,81 s-2. Pravac sile

r G je okomit na Zemljinu povrinu.

Trei Newtonov zakon (zakon akcije i reakcije) utvruje meusobno djelovanje dvije materijalne take, slika 2, i glasi: Dvije materijalne take djeluju jedna na drugu tako da su im sile istih intenziteta i pravaca, a suprotnih smjerova, slika 2a.

r F2 r F1m1

r F2m2

m2

r r r F1 = F2 = Fr F1m1

r r F1 > F2

a) Slika 2. Uzajamno djelovanje dva tijela

b)

Treba napomenuti da pri slobodnom djelovanju materijalnih taaka, sistem ne mora uvijek biti uravnoteen, slika 2b. Prema ovom zakonu, koji dopunjuje zakon inercije

, tvrdi se da za postojanje sile moraju postojati najmanje dva izvora (dva tijela), od kojih je jedno izvor sile. Pored ostalog, ovaj zakon je takoer u direktnojvezi sa teinom tijela, koja je posljedica privlane sile Zemljine tee, a odnosi sena meusobno djelovanje tijela na Zemlji.

8


19/449


2.3. Pojam vezeAko na materijalnu taku M, mase m, koja nije ograniena u prostoru, djeluje sistemsila

r Fi ,

( i = 1,2,3,... ), ona e se kretati slobodno pod utjecajem tih sila, slika 3a. Sdruge strane, ukoliko je materijalna taka prinuena da se kree u ogranienom dijelu postora, ona nije slobodna, slika 3b. z

r Fn r Fn -1 m

M

r F1 r F2y

r Fn r Fn -1

M m

r F1 r F2

0

x a) Slika 3. Slobodna i vezana materijalna taka Ograniavanje kretanja materijalnetake naziva se veza. Ova ogranienja su obino izvedena pomou drugih materijalnih tiela (povrina, linija), to sainjava mehanizam veze. Jednaina povrine, odnosno linijo kojoj je materijalna taka prinuena da se kree naziva se jednaina veze. Veze koje u izraene jednainom nazivaju se dvostranim vezama, jer se koordinate take koja se kree i povrine, odnosno linije, koja ograniava njeno kretanje poklapaju. Ukoliko materijalna taka moe vezu napustiti, tada je veza nezadravajua ili jednostrana i izrase nejednainom. Naprimjer, ukoliko se taka kree po nekoj povrini u Descartesovom kordinatnom sistemu, jednaina veze je ujedno i jednaina povrine, slika 4: b)

f ( x, y , z ) = 0 .(2.6)

Ukoliko materijalna taka moe da napusti osnovno ogranienje dato povrinom, onda se togranienje definira nejednainom, naprimjer:

f ( x, y , z ) 0

.

(2.7)

9


20/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

z M

r Fi

r r ( t)z 0 x x y y

Slika 4. Vezana materijalna taka Takoer, veze se mogu podijeliti i prema njihovojpostojanosti. Ukoliko se veze ne mijenjaju tokom vremena, one se nazivaju stacionarnim (skleronomnim) vezama, dok veze koje se mijenjaju u toku vremena, naprimjer: f x, y , z , t = 0 (2.8) nazivaju se nestacionarnim (reonomnim) vezama.

(

)

Ukoliko veza u prostoru ne ograniava brzinu take, ona se naziva holonomnom vezom (geometrijskom). Meutim, ako veza pored pomjeranja ograniava i brzinu take, ona se naziva neholonomnom vezom (neintegrabilnom). Slobodna materijalna taka u prostoruima tri stepena slobode. Ako je kretanje take ogranieno vezom, onda se smanjuje br

oj moguih kretanja materijalne take. To znai da taka koja se kree po povrini ima tepena slobode, dok taka koja se kree po liniji ima jedan stepen slobode kretanja.Kretanje materijalne take odvija se usljed djelovanja sila. S obzirom na to da se veze u odreenom dijelu suprostavljaju tom kretanju, jednaina ukupnog djelovanjaza vezanu materijalnu taku, uzimajui u obzir i aktivne i reaktivne sile, glasi:

r r gdje je F - aktivna sila, a FN - otpor veze.

r r r ma = F + FN

(2.9)

U tehnikoj praksi se vrlo esto zanemaruje utjecaj trenja na kretanje materijalne t

ake po podlozi. U tom sluaju veze se nazivaju idealnim, dok u sluaju kada se uzimau obzir utjecaj trenja na kretanje materijalne take, veza se naziva realnom.

10


21/449

3. DIFERENCIJALNE JEDNAINE KRETANJA MATERIJALNE TAKE

3

DIFERENCIJALNE JEDNAINE KRETANJA MATERIJALNE TAKE

3.1.

Kretanje slobodne materijalne take

3.1.1. Diferencijalna jednaina kretanja materijalne take u vektorskom obliku

Poloaj materijalne take M , mase m , koja se kree odreen je vektorom poloaja r (t odnosu na ishodite koordinatnog sistema. Prema Drugom zakonu, kretanje materijalne take odreeno je izrazom

r

r r r F = ma = m&& . rr

(3.1)

Sila F u opem sluaju moe zavisiti od vremena t , vektora poloaja r i brzine take

odnosno F = F (t , r , v ) . Jednaina (3.1) je osnovna diferencijalna jednaina kretanja materijalne take u vektorskom obliku.

r

r

r

r r

r v,

3.1.2.Diferencijalna jednaina kretanja Descartesovim koordinatama

materijalne

take

u

Projiciranjem diferencijalne jednaine (3.1) u vektorskom obliku u pravcu osa Descartesovog koordinatnog sistema mogu se dobiti tri skalarne diferencijalne jednaine kretanja slobodne materijalne take. Ako se sa X , Y i Z oznae projekcije sile ko

ja djeluje na taku na pravce osa koordinatnog sistema, tj.r r F i = X,

r r F i = Y,

r r F i = Z,

11


22/449


23/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

tada su diferencijalne jednaine kretanja take:

& & & m&& = X (t , x, y, z , x, y, z ) x & & & m&& = Y (t , x, y, z , x, y, z ), y & & & m&& = Z (t , x, y, z , x, y, z ) zgdje su &&, &&, && projekcije vektora ubrzanja na koordinatne ose. x y z

(3.2)

Ukoliko se kretanje vri u ravni ili pravolinijski, dio komponenti i osnovnih nezavisno promjenljivih, koje nisu potrebne za definiranje ovog kretanja, otpadaju.

3.1.3. Diferencijalna jednaina kretanja materijalne take u prirodnim koordinatamaAko se osnovna vektorska jednaina (3.1) projicira na ose prirodnog trijedra ( T ,N , B ), dobie se tri skalarne jednaine koje definiraju kretanje u pravcu jedininih vektora, slika 5:

r r r

maT = FT , ma N = FN , ma B = FB ,gdje su:

(3.3)

aT tangencijalno ubrzanje, a N normalno ubrzanje, a B binormalno ubrzanje.

r Bm

r T

s r ar N0

Mo

r F

Slika 5. Kretanje materijalne take posmatrano u prirodnim koordinatama

12


24/449


Iz kinematike je poznato da su prirodne komponente ubrzanja take:

& v2 s2 dv d 2 s aT = = 2 = &&, a N = s = , a B = 0, dt dt Rk Rk

(3.4)

pa se diferencijalne jednaine slobodnog kretanja take u prirodnim koordinatama mogu napisati u obliku:

md 2s = FT , dt 2

m

v2 = FN , Rk

FB = 0.

(3.5)

3.1.4. Diferencijalna jednaina kretanja materijalne take u polarnim koordinatama

U sluaju kretanja take u ravni mogu se koristiti polarne koordinate. Za ovaj ravninski r problem, odreuju se brzina i ubrzanje take M u radijalnom ro i poprenom (cirkularnom) pravcu p o , slika 6.

r

y

r FM

r rr po r ro

x 0 Slika 6. Kretanje take u polarnim koordinatama Projekcije ubrzanja u radijalnom i poprenom pravcu su:

& && && a r = && - r 2 i a = r + 2r . r

13


25/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

Projiciranjem osnovne jednaine (3.1) na radijalni i popreni pravac, dobijaju se diferencijalne jednaine u polarnim koordinatama:

& Fr = m a r = m ( && - r 2 ) , r && && F = m a = m ( r + 2r ) ,gdje su

(3.6)

Fr i F projekcije sile na pravce polarnog koordinatnog sistema.

3.1.5. Zadaci dinamike za slobodnu materijalnu takuZadaci iz dinamike za slobodnu materijalnu taku obino se svrstavaju u dva osnovnazadatka. a) Prvi zadatak dinamike take obuhvata one tipove zadataka u kojima su poznati zakoni kretanja materijalne take, a treba odrediti uzrok njihovog kretanja, to jest silu. Rjeavanje ovakvih problema svodi se na diferenciranje zadatih konanih jednaina kretanja take. Ako se kretanje materijalne take mase m posmatra u Desartesovom inercijalnom koordinatnom sistemu u kojem je poloaj take definiran jednainama

x = x(t ), y = y(t ), z = z (t ) ,

(3.7)

tada drugi izvod po vremenu ovih jednaina daje komponente vektora apsolutnog ubrzanja na koordinatne ose pravouglog sistema

&& = &&(t ), x x

&& = &&(t ), && = &&(t ) . y y z z

(3.8)

Na osnovu ovoga mogu dobiti projekcije sile u pravcu osa:

X = m&&(t ), Y = m&&(t ), Z = m&&(t ) . x y zIntenzitet rezultujue sile odreen je izrazom

(3.9)

F=r

X 2 +Y 2 + Z2 ,

(3.10)

dok su uglovi koje gradi pravac sile F sa osama koordinatnog sistema jednaki:cos a =

X Y Z , cos b = , cos g = , F F F

(3.11)

14


26/449


27/449


ime je ujedno zadovoljena i jedna od osnovnih trigonometrijskih relacija:

cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1 .Iz ovo se vidi d se rjeenje pro lem koji sp d ju u rupu prvo z d tk din mike t ke svodi na diferenciranje jednaina kretanja. b) Drugi zadatak dinamike take obuhvata probleme kod kojih su poznate sile Fi koje djeluju na slobodnu materijalnu taku mase m, a treba odrediti zakon kretanja take. U opem sluaju, kako je reenoezultanta sila koje djeluju na materijalnu taku zavisi od vremena t, poloaja take injene brzine. To znai da se rjeavanje ovakvih problema svodi na rjeavanje sistema

diferencijalnih jednaina:r

& & & m&& = X ( t , x , y , z , x , y , z ) x & & & m&& = Y ( t , x , y , z , x, y , z ) . y & & & m&& = Z ( t , x , y , z , x , y , z ) z

(3.12)

Integriranjem diferencijalnih jednaina (3.12), koje opisuju slobodno kretanje materijalne take, dobija se zakon kretanja take u pravcu pojedinih osa koordinatnog sistema:

x = x (t , C1 , C 2 , C 3 , C 4 , C5 , C 6 ) y = y (t , C1 , C 2 , C 3 , C 4 , C5 , C 6 ) . z = z (t , C1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 )S obzirom na to da jednaine (3.12) predstavljaju tri diferencijalne jednaine drugog reda, to e se u opim rjeenjima pojaviti est integracionih konstanti C1 , C 2 , C , C 4 , C 5 , C 6 . Ove integracione konstante se posebno odreuju za svaki zadatak iz poetnih uvjeta kretanja materijalne take. Poetni uvjeti u Descartesovom koordinatnom sistemu obino su dati u obliku: (3.13)

t=0

x = xo y = yo z = z o

& & x = xo & & y = yo . & & z = zo

(3.14)

Stavljanjem poetnih uvjeta (3.14) u ope rjeenje diferencijalnih jednaina i njihov pvi izvod dobie se ukupno est algebarskih jednaina iz kojih se odredi est integracioih konstanti

C1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 .15


28/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

Konano, uvrtavanjem vrijednosti dobijenih integracionih konstanti u opa rjeenja (33), dobijaju se partikularni integrali sistema osnovnih diferencijalnih jednaina,odnosno zakon kretanja materijalne take u obliku:

x = x(t ), y = y(t ), z = z (t ) .3.2. Neki sluajevi kretanja materijalne take 3.2.1. Pravolinijsko kretanje materijalne take

(3.15)

Posmatrat e se problem pravolinijskog kretanja materijalne take koje izaziva silaF . Da bi materijalna taka zadrala pravolinijsko kretanje, ova sila, kao i poetna brzina take, mora biti kolinearna sa zamiljenim pravcem kretanja, slika 7. Za odreivanje poloaja materijalne take M odabrat e se jedna od Descartesovih koordinatnih osa, naprimjer osa x.

r

z M

0 yr F

x

x = x(t )

Slika 7. Pravolinijsko kretanje materijalne take

Zadatak se sastoji se u tome da se odredi zakon kretanja materijalne take take glase:

x = x(t ) ukoliko je r poznata sila F koja djeluje na materijalnu taku. Diferencijalne jednaine kretanja materijalnem&& = X = Fx , x m&& = Y = 0 , y m&& = Z = 0 zr

(3.16)

i uspostavljaju vezu izmeu sile F i koordinata x, y i z take koja se kree.

16


29/449


Prva diferencijalna jednaina u (3.16) naziva se diferencijalnom jednainom pravolinijskog kretanja materijalne take. Druga i trea jednaina u izrazu (3.16) pokazuju daje kretanje pravolinijsko i orijentirano u pravcu ose x. U opem sluaju, desna strana prve diferencijalne jednaine (3.16), odnosno intenzitet sile, zavisi od vremena, preenog puta i brzine i moe se izraziti na sljedei nain:

d 2x & x = && = f (t , x, x) . dt 2

(3.17)

Dvostrukim integriranjem izraza (3.17), to u nekim sluajevima moe biti dosta komplicirano, dobija se opi integral u obliku x = f ( t , C1 , C2 ) , (3.18) gdje su

C1 i C2 integracione konstante koje se odreuju na osnovu poetnih uvjeta.

Poetni uvjeti za pravolinijsko kretanje take obino su dati u sljedeem obliku:

t=0

{ x = xo ,

& & x = xo = vo .

(3.19)

Iz poetnih uvjeta odreuju se integracione konstante (3.16) dobija konaan oblik

C1 i C2 , pa ope rjeenje jednaine(3.20)

x = f ( t , xo , vo )3.2.1.1. Kretanje materijalne take pri djelovanju konstantne sileAko na materijalnu taku djeluje sila F konstantnog intenziteta F u pravcu ose ubrzanje materijalne take biti konstantno:

rx , onda e i

r && = a = const . xU tom sluaju diferencijalna jednaina (3.16) dobija sljedei oblik:

mPoto se trai zakon kretanja jednaine ostavi

& dx = X = F = const . dt

(3.21)

x(t ) , izraz (3.21) transformirat e se tako da se na lijevoj strani

& dx , a ostale vrijednosti prebace na desnu stranu.17


30/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

Integriranjem takve jednaine dobija se

& x=Jo jednom integracijom dobija se

F t + C1 . m

(3.22)x=

1F 2 t + C1 t + C 2 , 2m

(3.23)

to predstavlja ope rjeenje diferencijalne jednaine. Uz zadate poetne uvjete u obli

& & t = 0, x = xo , x = xo = vo , dobijaju se iz (3.22) i

(3.23) vrijednosti integracionih konstanti:

C1 = vo i C 2 = xo .Unoenjem vrijednosti integracionih konstanti u ope rjeenje (3.23) dobija se partikularni integral u obliku:

x=

1F 2 t + vo t + xo . 2m

(3.24)

Iz jednaine (3.24) se vidi da materijalna taka M vri jednako ubrzano pravolinijskokretanje. U sluaju kretanja materijalne take u polju Zemljine tee, na nju djeluje v

ertikalna sila tee F = G usmjerena prema povrini Zemlje, a ubrzanje take jednako jegravitacionom ubrzanju g = F / m = G / m , slika 8. y M

r r F =Gvoyo 0 z x y

Slika 8. Kretanje materijalne take u polju Zemljine tee

18


31/449


Pri razmatranju pravolinijskog kretanja slobodne materijalne take pod utjecajem sile tee, za relativno male visine privlana sila se moe smatrati konstantnom. U ovomsluaju, uz zanemarivanje otpora zraka, mogu se javiti tri posebna sluaja kretanjatake, i to: vertikalni hitac navie, vertikalni hitac nanie i slobodan pad. Osnovnajednaina pravolinijskog kretanja (3.24) du ose x moe se transformirati u novi oblik zbog prelaska na pravolinijsko kretanje take u pravcu ose y, slika 8, pa e se dobiti:

y = y o

vo t -

1 2 t . 2

(3.25)

Veliina yo predstavlja poetni poloaj take u trenutku t = 0, a

vo poetnu brzinu u pravcu

okomitom na povrinu Zemlje. Znak (

) uz lan koji sadri poetnu brzinu uzima se u ovisti od smjera poetne brzine, i to: znak (+) za hitac prema gore, a znak () za hitac prema dolje. Za slobodan pad vrijedi ista osnovna jednaina (3.25), s tim to je utom sluaju vo = 0 .

3.2.1.2.

Kretanje materijalne take pri djelovanju sile koja zavisi od vremena

Za pravolinijsko kretanje take u pravcu ose diferencijalna jednaina glasi: gdje je

x pri djelovanju sile zavisne od vremena,(3.26)

F (t ) = Fx (t ) = X .

m&& = F (t ) , x

Integriranjem jednaine (3.26) dobija se:

& x=a jo jednom integracijom:

F (t ) dt + C1 , m

(3.27)

F (t ) x = dt dt + C1t + C 2 , m gdje su

(3.28)C1 i C2 integracione konstante koje se odreuju iz poetnih uvjeta.Kretanje materijalne take pri djelovanju sile koja zavisi od rastojanja

3.2.1.3.

Ukoliko sila koja djeluje na materijalnu taku zavisi od preenog rastojanja, diferencijalna jednaina kretanja se moe napisati u obliku:


32/449

19


33/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

gdje je

F ( x ) = Fx ( x ) = X .

m&& = F ( x ), x && u obliku x

(3.29)

Koritenjem prikladnijeg izraza za drugi izvod

&& = x

& & & dx dx dx dx dx & = =x , dt dx dx dt dx

(3.30)

jednaina (3.29) se moe, nakon razdvajanja promjenljivih, pisati u vidu

& & x dx =Integriranjem ove jednaine dobija se

F (x ) dx . m

(3.31)

& x2 F (x ) dx + C1, = m 2odnosno

(3.32)

& x =

2ili

F (x ) dx + C1 m(3.33)

dt =

dx = f (x, C1 ) dx. F (x ) 2 dx + C1 m

(3.34)

Ponovnim inte rir njem izr z (3.34) do ie se

t = f ( x, C1 ) dx + C2 ,

rje

v

njem ove jedn

ine po obliku(3.35)

x dobija se konana jednaina kretanja materijalne take ux = f ( t , C1 , C 2 ) .(3.36)

3.2.1.4.


34/449

Kretanje materijalne take pri djelovanju sile koja zavisi od brzine

Neka materijalna taka vri pravolinijsko kretanje pod djelovanjem sile koja zavisiod brzine & & take F ( x ) = Fx ( x ) = X .

20


35/449


Diferencijalna jednaina kretanja materijalne take glasi:

& m&& = F (x ) . xOva jednaina se moe pisati u sljedeem obliku

(3.37)

ma njenim integriranjem dobija se

& dx = dt , & Fx ( x )

(3.38)

m

& dx + C1 = t . & Fx (x )

(3.39)

Iz ove jednaine se moe nai brzina take zakon kretanja take

x( t , C1 , C 2 ) .& x , a njenom ponovnom integracijom nalazi se

3.2.1.5.

Slobodan pad u vazdunom prostoru (otpornoj sredini)

Slobodan pad tijela u sredini (mediju) u kojem postoji otpor nije isti kao u bezvazdunom prostoru. Na materijalnu taku u tom sluaju, pored sile tee ( F = G = mg ),djeluje i sila otpora sredine. Otpor sredine kroz koju se tijelo kree odreuje se eksperimentalno, a zavisi od brzine kretanja, gustine medija i oblika tijela. Pribrzinama koje su manje od brzine zvuka otpor sredine izraunava se prema formuli

Fw = c r A v 2 ,gdje su: A pov

ina p

ojekcije tijela u

avni no

malnoj na p

avac k

etanja, c konstanta koja zavisi od oblika tijela, r gustina medija. Posmat

ae se slobodno padanjematerijalne take u otpornoj sredini, slika 9. Kretanje materijalne take odvija sepod utjecajem sile tee G = mg i otpora medija djeluje suprotno od smjera kretanja (za poetnu brzinu jednaku nuli). Diferencijalna jednaina pravolinijskog kretanjau pravcu ose y (usmjerene prema dolje) glasi

Fw koji

& m&& = G - Fw = G - crAy 2 . y

(3.40)

21


36/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

0

r Fwr G

y

y Slika 9. Kretanje tijela u otpornoj sredini Radi lakeg rjeavanja diferencijalnejednaine, && e se napisati u prikladnijem obliku y

&& = y

& & & dy dy dy dy dv & & y= = = v , y = vy = v . dt dy dt dy dy

(3.41)

Na osnovu ovog diferencijalna jednaina (3.40) glasi

G dv v = G - c r A v2 . g dyUvoenjem oznake a =

2(3.42)

G cr A

i mnoenjem sa

g G , jednaina (3.42) prelazi u oblik .

v

v2 dv = g 1 - 2 a dy Razdvajanjem promjenljivih i mnoenjem sa (-2) dobija se

- 2vto nakon integ

i

anja daje

dv g = -2 2 dy , 2 a -v a2

(3.43)

1n a 2 - v 2 = -2

g y + C1 . a2

(3.44)

22


37/449


Uz poetne uvjete

yo = 0

i

vo = 0 , dobija se vrijednost integracione konstante

C1 = ln a .

2Uvrtavanjem vrijednosti

C1 u (3.44) dobija se1n a2 - v2 g = -2 2 y , 2 a a(3.45)

a odavde slijedi zavisnost b

zine tijela od p

eenog puta y-2g a2 y

v = a 1- e

- 2g2

.

(3.46)

tei nuli, to znai da se brzina padanja Poveanjem preenog puta y , izraz e a povporastom y i tei svojoj graninoj vrijednosti a . Ovo znai da tijelo ne moe dostii inu veu od granine brzine. Sve gore navedeno vrijedi uz pretpostavku da sila otpora

y

r r Fw nije vea od G .

3.2.2.

Krivolinijsko kretanje take

Kako se moglo vidjeti iz dosadanjeg razmatranja, pri analizi kretanja materijalnetake na koju djeluju proizvoljne sile polazi se od osnovne diferencijalne jednaine

r r ma = Fi .

Sile koje djeluju na taku mogu biti zavisne od vie nezavisno promjenljivih veliinar r r r F = F (t , r , v ) , pa i njihove projekcije na ose Descartesovog koordinatnog sistema openitor

zavise od istih tih veliina. Pri analizi krivolinijskog kretanja materijalne takepodesno je ralaniti rezultujuu silu F na njene komponente u pravcima koordinatnih osa, naprimjer:


38/449

r r r r r r r r r r F = Fx + Fy + Fz = Fx i + Fy j + Fz k = X i + Y j + Z k .Zatim se za svaku projekciju formiraju se posebne diferencijalne jednaine drugogreda koje opisuju kretanje take u pravcima pojedinanih koordinatnih osa.

23


39/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

Pravolinijsko kretanje se moe shvatiti kao poseban sluaj krivolinijskog kretanja.Integriranjem pojedinanih diferencijalnih jednaina dobijaju se opa rjeenja, na osnou kojih se uz zadate poetne uvjete nalazi zakon kretanja materijalne take u pravcusvake koordinatne ose posebno.

3.2.2.1. Kosi hitac u bezvazdunom prostoruAnalizirat e se kretanje materijalne take M, mase m, koja je izbaena sa povrine Zem

je r poetnom brzinom vo u pravcu koji sa horizontalnom ravni gradi ugaoa . Pretpos

t vlj se d n m terij lnu t ku djeluje samo sila tee mg = const . i da se otporvazduha moe zanemariti. Problem e se posmatrati u ravni y 0 z , slika 10. Na slici10 su naznaene sljedee veliine: a elev cioni u o, D domet, penj nj , E tjemele koj predst vlj put nju t ke. Poetni uvjeti kretanja za posmatrani sluaj glase:

r

h visina

xo = 0, t = 0 yo = 0, z = 0, o

& xo = 0 & yo = vo cos a . & zo = vo sin a

N t ku tokom kretanja djeluje samo sila tee, tako da diferencijalna jednaina kretanja glasi

r r ma = G .Projiciranjem ove jednaine na ose Descartesovog koordinatnog sistema dobijaju setri skalarne jednaine: (3.47) m&& = 0, m&& = 0, m&& = -G = - mg . x y z P

va integ

acija dife

encijalnih jednaina (3.47) daje

& x = v x = C1 ,

& y = v y = C2 ,

& z = - gt + C 3 .

(3.48)

Uv

tavanjem zadanih poetnih uvjeta u jednaine (3.48) dobie se vrijednosti integracinih konstanti: C1 = 0, C 2 = vo cos a , C 3 = vo sin a .

24


40/449


Unoenjem vrijednosti integracionih konstanti u jednaine (3.48) dobijaju se projekcije brzina pokretne take na koordinatne ose:

& & & x = 0, y = vo cos a , z = - t + vo sin a .E

(3.49)

z M

r v

r r G = m

h

r voa 0 y x D

Slik 10. Kosi hit c Inte r cijom jedn ina (3.49) dobija se

x = C 4 , y = v o t cos a + C 5 , z = -

t 2 + vo t sin a + C 6 . 2

(3.50)

Koritenjem poetnih uvjeta koji se odnose na poetni poloaj take, dobijaju se vrijedti C 4 = C5 = C 6 = 0 , pa su konane jednaine kretanja take:

x=0 ,

y = vo t cos a ,

t 2 z = vo t sin a - . 2

(3.51)

Posm tr nje projekcije kret nj u pr vcu ose x , s o zirom n to d je pro lem r vninski (u r vni y 0 z ), mo lo se jo u poetku izostaviti, to pokazuje i prva jednaina u (3.51). Eliminiranjem parametra

t iz sistema jednaina (3.51) dobija se jednaina trajektorije take gy 2 z = y tga - 22vo cos 2 a(3.52)

25


41/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

Jednaina (3.52) predstavlja parabolu sa osom simetrije koja je paralelna osi

0 z , slika 10.

Prema izrazima (3.51) vidi se da je kretanje projekcije take u pravcu ose y ose jednoliko (konstantnom brzinom v o cos a ). U pr vcu ose z kret nje je jedn ko usporeno do trenutk k d projekcij rzine u pr vcu ose z post ne jedn k nuli ( vz t

ka dostii svoj najvii poloaj u vrhu E parabole. Iz izraza (3.49), uvrtavanjem& = z = 0 ). U tom trenutku e

& z = 0, dobie se vrijeme penjanja take do vrha EtE = vo sin a .

U t ki E nastaje promjena kretanja (horizontalni hitac), a taka se nadalje kree jednako ubrzano. Maksimalna visina penjanja materijalne take h dobie se uvrtavanjem vremena jednainu (3.51):

t E u treu(3.53)

h = z max =

2 vo sin 2 a 2

.

Pri z d toj poetnoj brzini taka e postii najveu visinu ako se izbaci pod uglom onaznositi

a=p 2 i

hmax =

2 vo , 2g

to ustvari redstavlja vertikalni hitac u bezvazdunom rostoru. Poto je trajektorija take simetrina, domet D e iznositi2 vo sin 2a . ostv ruje se kosim hicem pod u lom a = p 4 i iznosi

D = 2 y E = 2vo t E cos a =

(3.54)

M ksim lni domet

Dm

x

Dm x

2 vo = .

(3.55)

26


42/449


43/449


3.3. Kretanje neslobodne materijalne takeU dosadanjem prouavanju posmatrano je kretanje slobodne materijalne take, to znai se taka kretala i zauzimala poloaj u prostoru bez ikakvih ogranienja. Ukoliko se, meutim, kretanje materijalne take ogranii unaprijed zadatim mehanikim ili nekim drugm vezama, koje ne potjeu od poetnih uvjeta, tada se govori o neslobodnom kretanjumaterijalne take. U tehnikoj praksi, maine i ureaji najveim dijelom rade i kreu sunaprijed odreenim i ogranienim povrinama, a to obezbjeuje ostvarivanje osnovne zali i funkcioniranje maine (pumpe, alatne maine, vozila i slino). Ove povrine u sutpredstavljaju veze koje primoravaju materijalnu taku da se kree neslobodno. Ako s

e posmatra kretanje materijalne take po nepokretnoj povrini, slika 11, ija je jednana data u Descartesovom koordinatnom sistemu u obliku

f (x , y , z ) = 0 ,r r r ma = F + FN , r r gdje su: F - rezultanta vanjskih aktivnih sila, FN - reakcija veze.z

(3.56)

tada se moe napisati osnovna diferencijalna jednaina kretanja neslobodne materijalne take u obliku (3.57)

r FNr Fn

r FTr k

M

r F

r ix

0

r r( t) r jy

z x

y

Slika 11. Kretanje neslobodne materijalne take Iz jednaine veze (3.56) jasno je daje u ovom sluaju veza zadravajua, stacionarna i holonomna.

27


44/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

Ukoliko je povrina hrapava, tada reakcija veze tangencijalnu i normalnu:

r FN ima dvije osnovne komponente,(3.58)

r r Komponenta FT nastaje kao posljedica trenja, a kako je kolinearna sa brzinomtake v i

suprotnog smjera, to se moe pisati u vektorskom oblikur r r FN = Fn + FT .

r r v FT = - Fn . vPrema tome, diferencijalna jednaina kretanja take (3.57) dobie oblik:

(3.59)

r r r r ma = F + Fn + FTili

(3.60)

r r r r r d 2r v m 2 = ma = F + Fn - Fn . dt v

(3.61)

Ako se vektorska jednaina kretanja materijalne take (3.60) projicira na ose Descartesovog koordinatnog sistema, dobie se diferencijalne jednaine kretanja materijalne take u skalarnom obliku:

m&& = Fx + Fnx + FTx x m&& = Fy + Fny + FTy y

.

(3.62)m&& = Fz + Fnz + FTz zSistem jednaina (3.62) ima devet nepoznatih veliina i to: tri koordinate take x, y, z i est reakcija: Fnx , Fny , Fnz , FTx , FTy , FTz . Poto je taka M pri kretanjustalno u dodiru sa povrinom, to njene koordinate moraju zadovoljiti uvjet (3.56): f x, y, z = 0 .

(

)

Poznato je da se smjer spoljanje normale na povrinu poklapa sa smjerom vektora

grad f =

f r f r f r i+ j+ k , z x y

(3.63)

koji se naziva gradijentom skalarne funkcije

f ( x, y , z ) .


45/449

28


46/449


Kako je normalna komponenta reakcije veze se iz kolinearnosti vektora

r Fn i grad f moe pisati:

r Fn usmjerena u pravcu normale na povrinu, to

r Fn = l grad f ,gdje je

(3.64)

l Lagrangeov mnoite j (mu tip ikator), koji openito zavisi od koordinata x, y i z r Fn na vektorske komponente dobie se r r r r f r f s f r Fn = Fnx i + Fny j + = l i + j + k , x y z

Rastavljanjem

(3.65)

to u skalarnom smislu znai da se mogu dobiti dopunske jednaine:

Fnx = l

f f f , Fny = l , Fnz = l . z x y

(3.66)

Na osnovu ovoga, diferencija na jednaina kretanja neslobodne materijalne take u vektorskom smislu dobie oblik

m

r r r r d 2r v = ma = F + l grad f - Fn . v dt 2

(3.67)

Jednaina (3.67) naziva se diferencijalnom jednainom kretanja neslobodne materijalne take ili Lagrangeovom jednainom prve vrste. Projiciranjem vektorske jednaine (3.67) na ose Descartesovog sistema dobie se tri skalarne jednaine:

m&& = Fx + l x

F f - n x v F f - n m&& = Fy + l y y v F f - n m&& = Fz + l z z v

dx dt dy . dt dz dt

(3.68)

Diferencija

ne jednaine (3.68), koje se odnose na realnu vezu, zajedno sa dopunskim jednainama f x , y , z = 0 i FT = Fn formiraju sistem od pet jednaina sa pet

(

)

nepoznatih

x , y , z , Fn i l .


47/449

29


48/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

U sluaju idealne veze, odnosno kretanja po glatkoj povrini ( = 0 ), iz izraza (3.68) dobijaju se diferencijalne jednaine kretanja neslobodne take u obliku:

f x f m&& = Fy + l y y f m&& = Fz + l z zm&& = Fx + l xUz datu jednainu veze

.(3.69)

f (x , y , z ) = 0 , dobija se sistem od etiri jednaine sa etiri nepoznate veliine , y , z i l .Reakcija Fn idea ne veze u vektorskom ob iku g asi

r Fn = l grad f ,

(3.70)

odak e se dobija intenzitet reakcije jednak

2 2 2 Fn = Fnx + Fny + Fnz = l grad f .

(3.71)

Uvjet za brzinu materija ne take pri neslobodnom kretanju. U sluaju zadravajue promenljive (nestacionarne) veze, taka je prinuena da se kree po povrini jednaine

f ( x , y , z ,t ) = 0 .Poto koordinate zavise od vremena, prvi izvod ove funkcije e biti

(3.72)

f f f df f & & & = = 0, x+ y+ z+ dt x y z t

to se preko gradijenta skalarne funkcije moe napisati u obliku(3.73)

r f v grad f + = 0. tOdavde je

(3.74)

r f v ( grad f ) cos (v , grad f ) = - , t

30


49/449


odnosno

gdje je

r n vektor normale povrine koji je kolinearan sa pravcem gradijenta, a (grad f )je2

r r rr f v cos (v , n ) = v n = v n = - t

(grad f )

,

intenzitet gradijenta ska arne funkcije koji iznosi

(grad f ) = f + f + f . x y z Dakle, kod ovakve promjenljive dvostrane veze ogranienju podlijee samo projekcijabrzine na pravac gradijenta, odnosno na pravac normale povrine. Druga projekcijabrzine koja lei u tangencijalnoj ravni ne podlijee nikakvom ogranienju.

2

2

f (x , y , z ) = 0 , izostaje r lan f t , pa je skalarni proizvod vektora brzine vi gradijenta povrine grad f jednakU sluaju dvostrane stacionarne veze, odnosno kada je jednaina veze nuli:

r v grad f = 0 .

(3.75)

Skalarni proizvod u (3.75) pokazuje uvjet ortogonalnosti vektora, odnosno brzinapokretne take kod ovakve veze uvijek lei u tangencijalnoj ravni (okomita je na gr

adijent povrine), slika 12.z

grad fM

r v f ( x, y , z ) = 0y

0 x

r r ( t)

Slika 12. Ortogonalnost vektora

r v i grad f

31


50/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

Uvjet za ubrzanje materijalne take pri neslobodnom kretanju. Ako se izraz (3.73)derivira po vremenu, dobie se uvjet

d 2 f f f f t && + && + && + D2 ( f )(*) = 0 . = x y z 2 dt x y zto se moe pisati u obliku

(3.76)

r t a grad f + D2 ( f ) = 0 .

(3.77)

Jednaina (3.77) pokazuje ogranienje kojem podlijee komponeta ubrzanja koja je kolinearna sa gradijentom povrine. Projekcija ubrzanja u tangencijalnoj ravni ne podlijee nikakvom ogranienju. U sluaju dvostrane stacionarne holonomne veze, vektor brzine se stalno nalazi u tangentnoj ravni, tj. zadovoljen je uvjet r (3.78) v gradf = 0 , odakle se deriviranjem dobija

r r d ( grad f ) (3.79) a grad f + v =0 . dt r Jednaina (3.79) pokazuje uvjet zavektor ubrzanja a u sluaju dvostrane stacionarne

holonomne veze i on se moe pisati slino (3.77):

r a grad f + D2 ( f ) = 0 ,t

(3.80)

pri emu je D2 ( f ) operator slinog oblika kao D2 ( f ) , s tom razlikom to se u njemu ne pojavljuju izvodi po vremenu, odnosno

& & & D2 ( f ) je kvadratna forma projekcija brzina x, y, z .

Dakle, pri neslobodnom kretanju materijalne take postoje ogranienja za vektor brzine v i r vektor ubrzanja a . Drugim rijeima, vektor brzine i ubrzanja mogu biti samo oni vektori koji ispunjavaju uvjete iz izvedenih izraza. ___________________

_________________________________________________________ (*) Literatura D.Rakovit D2 ( f ) =

r

2 f 2 f 2 2 f 2 2 f 2 2 f 2 f & & && && && & x + 2 y + 2 z + 2 xy + xz + yz2 f 2 f 2 f & & & + 2 z + x+ y+ xt yt zt t 2

32


51/449


3.3.1. Kretanje take po nepominoj krivoj linijiNeka je kriva linija po kojoj se kree taka formirana presjekom dvije povrine u Descartesovom koordinatnom sistemu. Njena jednaina, odnosno jednaina veze, dobija se iz presjeka jednaina povrina

f1 (x , y , z ) = 0 ii predstavlja trajektoriju take, slika 13.

f 2 (x , y , z ) = 0 ,

r Fn(3.81)

f 2 (x , y , z ) = 0z

r Fn1M

r Fn 2

r r ( t)

0 xf1 ( x , y , z ) = 0y

Slika 13. Kretanje take po nepominoj krivoj liniji Reakcija idealne veze iznosie

r r r Fn = Fn1 + Fn 2 .

Diferencijalna jednaina kretanja materijalne take po idealnoj vezi, odnosno glatkoj nepokretnoj krivoj liniji, moe se napisati u obliku

r r r r r r d 2r ma = m 2 = F + Fn1 + Fn 2 = F + l1 grad f1 + l 2 grad f 2 . dt

(3.82)

I ovdje postoje odreeni uvjeti koje moraju ispuniti vektori brzine i ubrzanja dabi se ostvarilo kretanje ( f 1, 2 odnosi se na povrinu "1" i na povrinu "2"):

r v grad f 1,2 = 0

(3.83)

33


52/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

r a grad f 1,2 + D2 ( f1,2 ) = 0 .

(3.84)

Ovo znai da vektor v mora biti upravan na normale povrina, odnosno leati na zajednioj tangenti obje povrine.

r3.4. PrimjeriPrimjer 1. Malj teine G, koji slui za razbijanje troske, podie se pomou elinog ue se namotava na vitlo poluprenika R. Bubanj vitla pokree elektromotor preko reduktora i pogonskog vratila konstantnim ugaonim ubrzanjem e = const . Odr diti silu uu tu i maksimalnu t inu malja Gm , ako j sila kidanja u ta Sm , slika 3.1.

&& e =R

x

r G0 0

r && x0

r S0

0

r r G = mg

Slika 3.1.Slika 3.2.

Rjeenje. Malj koji se kree translatorno prema gore moe se smatrati materijalnom takm mase m. Malj e se osloboditi od ueta tako to e se ue presijei, a njegovo djelovzamijeniti odgovarajuom silom S , slika 3.2. Prema drugom Newtonovom zakonu, diferencijalna jednaina kretanja materijalne take u ovom sluaju bie

r

r n r r r ma = Fi = S + G .Projiciranjem ove jednaine na osu

(a)

x , proizvoljno usmjerenu prema gore, dobie sem&& = S - G . x(b)

i =1

34


53/449


54/449


Ue se namotava na vitlo ugaonim ubrzanjem e , tako da j ubrzanj svih nj govih taaka jednako tangencijalnom ubrzanju vitla, odnosno

au = aT = Re .Ovo ubrzanj e se prenijeti i na malj, tako da je ubrzanje malja

(c)

&& = au = R e . xUvrtavanj m ov vrij dnosti u j dna

inu (b), dobija se(d)

mRe = S - mg ,odnosno

( )

Ovo j int nzit t sil S u u tu u svakom vr m nskom tr nutku i vidi s da ona zavisi od t in malja G = mg . Sila u u tu S n smij pr i vrijednost granine sile Sm ri kojoj se kida ue. Dakle, maksimalna vrijednost teine malja se dobije iz

r Re . S = mg + mRe = mg 1 + g

(f)

Re < Sm , S = Gm 1 + g odnosno

(g)

Gm E . p pIz ovog odnosa s mo zakljuiti da je sila smanjivanja potencijalne energije.

r F konzervativnog polja usmjerena u pravcu

Polje sile tee uzima se najee kao primjer potencijalnog polja, pa e se stoga detalje razmotriti u narednom tekstu. Za silu polja tee usvaja se da je konstantna napovrini Zemlje i iznosi se naziva homogenom silom.

r r G = mg . Zbog toga

Pravougli koordinatni sistem postavie se tako da mu je poetak na povrini Zemlje, a

osa 0 z usmjerena vertikalno. Ravan koordinatne ose su:r 0 xy je ovom sluaju referentna ravan. Projekcije sile G na

X =-

E p x

= 0, Y = -

E p y

= 0, Z = -

E p z

= -G .

(4.56)

Poto pot ncijalna n rgija zavisi samo od koordinat z, na osnovu pr thodn j dnaine dobija se:


104/449

dE p dzIntegriranjem (4.57) se dobija

= G dE p = m g dz .

(4.57)

Ep = m g z + C .Konstanta C odredie se iz poetnog uvjeta: za

(4.58)

z=0

{E

p

= 0.

(4.59)

67


105/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

Ovo daje vrijednost konstante C = 0 , pa su jednaine ekvipotencijalnih ravni u obliku:

m g z = const . , odnosno z = const .

(4.60)

Dakle, ekvipotencijalne povrine u polju tee su horizontalne ravni z = const (zanemarujui zakrivljenost Zemljine povrine). Sila polja, odnosno sila tee, usmjerena jeokomito na te ravni u smjeru smanjenja potencijalne energije, tj. ka sreditu Zemlje.

4.7.6. Zakon o odranju mehanike energijeZakon o promjeni kinetike energije pri kretanju materijalnog sistema glasi

Ek 2 - Ek1 = A1, 2 ,a s obzirom na to da j u rad sila u konz rvativnom polju

(4.61)

A1, 2 = E p1 - E p 2to proizilazi slj d e:

Ek1 + E p1 = Ek 2 + E p 2 = E = const .

(4.62)

Jednaina (4.62) iskazuje zakon o odranju energije, koji glasi: pri kretanju materijalnog sistema pod dejstvom konzervativnih sila zbir kinetike i potencijalne energije ostaje konstantan. Zbir kinetike i potencijalne energije sistema E naziva semehanikom energijom. U realnim uvjetima, na mehaniki sistem mogu djelovati i silekoje nisu konzervativne (npr. sila trenja), pa tako dolazi do promjene mehanikeenergije sistema.

4.8. PrimjeriPrimjer 1. Startni motori aviona razvijaju vunu silu izrazom:

F iji se intenzitet priblino moe dati

F = Fo = const. , t < 1 s , F = Fo + k (t - 1) 7 / 3 , t 1s gdje je k zadata konstanta. Odrediti brzinu aviona nakon vremena polijetanja T ako je masa aviona m . Zanemariti otpor zraka i podloge.

68


106/449

4. OPI ZAKONI KRETANJA MATERIJALNE TAKE

Rjeenje. Kretanje aviona se moe smatrati pravolinijskim kretanjem materijalne takekoja u poetnom trenutku ima brzinu jednaku nuli, a nakon vremena T dostigne brzinu v koja se trai. Za rjeavanje ovog problema moe se primijeniti zakon o promjeni koliine kretanja, koji u vektorskom obliku glasiT r r r K - K o = F dt . 0

(a)

Projiciranj m na pravac kr tanja aviona dobija s skalarna j dnaina:

K - K o = F dt = Fo dt + Fo + k (t - 1)0 0 1

T

1

T

[

7/3

] dt .

(b)

Odavd j

mv - 0 = Fo tpa j brzina aviona

1 0

+ Fo t

T 1

k (t - 1) + 10 / 3

10 / 3 T

= Fo T +1

3 10 / 3 k (t - 1) , 10

(c)

v=

1 3 10 / 3 Fo T + 10 k (t - 1) . m

(d)

Primjer 2. Zemlja se kree oko Sunca po eliptinoj putanji ije su poluose a i b ( a >b ). Ako se Sunce nalazi u jednoj ii elipse ( c = a - b ) , odr diti odnos brzina vA v B koj Z mlja ima u najblioj i najdaljoj taki od Sunca, slika 4.1.


107/449

2 2

c

A

S

r vA r KA

r F gA

ab

r KB r vB

r F gB

B

Slika 4.1.

69


108/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

Rjeenje. Ovdje e se primijeniti zakon o promjeni momenta koliine kretanja materijalne take (Zemlje) oko Sunca kao pola:

r r dLS i = n F = MS i . dt i =1

(a)

Na Zemlju (materijalnu taku) djeluje samo privlana gravitaciona sila koja ne pravimoment za osu koja prolazi kroz S , pa je

r dLS = 0. dt

(b)

Ovo znai da je

r LS = const. ,

(c)

odnosno da je moment koliine kretanja Zemlje oko Sunca konstantan. To znai da je njegova vrijednost ista, bilo da se Zemlja nalazi u A , B ili u nekoj drugoj takina putanji, tj.

r r LS( A) = LS( B ) .Uvrtavanjem odgovarajuih vrijednosti u (d) dobija se

(d)

r r SA

K A = SB

K B ,to skalarno daje

(e) (f)

(a - c )m v A sin 900 = (a + c )m vB sin 900 .v A (a + c ) a + a 2 - b 2 . = = vB (a - c ) a - a 2 - b 2

Tra ni odnos brzina j

(g)

Primj r 3. Izraunati rad sile F = 2 xy i + x take M 1 (1,1) .

r

r

2

r j du linije y = x od take M 0 (0,0) do

Rjeenje. Poto je Fx = X = 2 xy ,

Fy = Y = x 2 , Fz = 0 , to je

i r rotF = x 2 xy 70


109/449

j y x2

k r r r = 0 i + 0 j + (2 x - 2 x ) k = 0 , z 0

(a)


110/449


to znai da je sila F konzervativna, pa njen rad ne zavisi od oblika krive linije,ve samo od razlike poloaja taaka M 0 i M 1 . Stoga je rad posmatrane sile jednak(1,1)

r

A0,1 =(1,1)

( 0, 0)r r (F dr ) = (2 xy i + x r( 0,0 ) (1,1) 2

(1,1)

2

r r r j )(dx i + dy j =(1, 1)

)

(b)

=

( 0,0 )

(2 xy dx + x dy ) =

( 0,0 )

d (x2

y) = x y2 ( 0, 0 )

=1

Poto je sila Kako je

r F konzervativna, ona ima funkciju sile U.U = X = 2 xy , x

2U = Y = x2 , y

(c)

lako se moe nai da je U = x y . Rad se moe odrediti i preko funkcije sile na nain

A0,1 = U 1 - U 0 = 1 .


111/449

(d)

Primj r 4. Pomou elinog ueta 2 prebaenog preko koturae 1 vri se povlaenje vagonloaja A u poloaj B . Intenzitet sile F kojom se djeluje na ue je konstantan, a njena napadna linija prolazi stalno kroz taku C , slika 4.2.

r

r F izvri dok vagon pree iz poloaja A u poloaj B . Data su rastojanja: AB = a i BC b .Potrebno je izraunati rad koji sila Rjeenje. Sa slike se vidi da je sila F promjen

ljivog pravca. U proizvoljnom poloaju izmeu taaka A i B , sila F gradi sa osom x ugao vagon kree du ose x .

r

r

q

. Koordinatni sistem e se odabrati tako da se

71


112/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

yC

1

Rad sile iznosi:B

r F na preenom putu od A doBa

2

r F

A = Fx dx = F cos q dx .A 0

(a)

r FA

r F

b

qx aSlika 4.2.

B

xU integralu (a) su dvije promjenljive: x i q . One su u meusobnoj vezi koja je dataizrazom

3

a-x

cos q =

a-x b 2 + (a - x )2

.

(b)

Na osnovu ovoga j dnaina (a) daje

(a - x ) dx A = F 2 b 2 + (a - x ) oa b2


113/449

b 2 + (a - x ) = z 2 = = - 2 (a - x )dx = 2 zdz2 b2

=F

b2 +a2

- zdzz2

b2

.

(c)

=F

b2 +a2

- dz = - Fz

= Fa 2

b2 +a2

Primj r 5. Pr tovar uglja na visinu od 20 m vri s pomou dizalice. Kaika za prenoene ima teinu

20 kN i moe nositi teret od 100 kN . Ako je ukupna koliina uglja

60 000 kN , odrediti ukupan rad potreban za podizanje tereta na ovu visinu i teorijsku snagu motora ne raunajui otpor. Vrijeme dizanja iznosi 1 minuta.Rjeenje. Jasno je da za pretovar

60 000 kN uglja treba n = 600 puta podii teret od

G = 120 kN (teina kaike i tereta).Ukupan rad je: Auk = n Gh = 600 120 20 = 1 440 000 kNm = 144 10 kNm7

(a) (b)

Pri jednom dizanju izvri se rad:

A = Gh = 120 20 = 2 400 kNm .

72


114/449


Ovaj rad se izvri u vremenu t = 60 s , pa je snaga motora

N=

A 2400000 = = 40 000 Nm s = 40000 W = 40 kW 60 t

(c)

Primjer 6. Tijelo mase m se moe klizati po glatkoj povrini u pravcu ose x . Tijelo

je vezano za taku A elastinom oprugom krutosti c (N/m), slika 4.3. Odrediti rad elastine sile u opruzi ako se tijelo pomjeri iz take M o u taku M 1 .

l

lo

l r 0 Fx 0

x

A

Moc

Fx

cx o xoSlika 4.3.

cx1 x

Rjeenje. Sila u opruzi proporcionalna je izduenju opruge l , koje se mjeri od nedeformiranog poloaja opruge. Ako se poetak ose x postavi u poloaj 0-0, tada je izduen

e jednako koordinati x , odnosno sila u opruzi u proizvoljnom poloaju jednaka jeFx = c l = cx .Dijagram na slici 4.2 predstavlja promjenu sile u opruzi sa izduenjem x . Ova sila, promjenljivog intenziteta, na putu od x o do x1 izvri rad

(a)

x2 A = Fx dx = cx dx = c 2 xo xo

x1

x1

x1

x0

x - xo . =c 1 2

2

2


115/449

(b)

73


116/449

DINAMIKA

Vukoj vi, Ekinovi

Rad se mogao odrediti i na osnovu dijagrama. Rad je jednak rafiranoj povrini ispodfunkcije sile, odnosno2 x12 - xo 1 . A = ( x1 cx1 - xo cxo ) = c 2 2

(

)

(c)

Primj r 7. Izraunati rad sile F = ( x - y ) i du luka parabol y = x od take x = 0 d2 22

r

r

take x = 2 , slika 4.3.

y4

M

Rjeenje. Koristei analitiki nain izraunavanja rada dobija se

M

A=x0

(F dx + F dy + F dz ) = F dx = (xx y z x 0 0 0

M

M

2

- y 2 dx =

)

2Slika 4.4.

= x 2 - x 4 dx =

(

)


117/449

x3 x5 - 3 5

2

=0

23 2 5 56 - =- 3 5 15

74


118/449

5. KRETANJE TAKE PRI DJELOVANJU CENTRALNE SILE

5

KRETANJE TAKE CENTRALNE SILE

PRI

DJELOVANJU

5.1. Centralna sila, zakon povrine

Pod centralnom silom podrazumijeva se sila iji pravac neprestano prolazi kroz neku nepominu taku prostora (centar). Najvanija kretanja u prirodi, kao naprimjer kretanje planeta i kretanja sitnih estica u atomskoj fizici, ostvaruju se pod dejstvom centralnih sila. Zbog toga se ovakva kretanja prouavaju ve dugi niz godina, izmeuostalog i metodama klasine mehanike. Dosadanja istraivanja ukazuju na to da u skoro svim sluajevima centralna sila zavisi iskljuivo od rastojanja, poloaja sredinje te 0 (centra) i napadne take sile M , slika 22. Centralna sila se u vektorskoj formi moe predstaviti izrazom

r r r r r r F = F (r ) = Fr (r ) r( 0 ) = Fr ( r ) . r

(5.1)

Teorija kretanja materijalne take pri djelovanju centralne sile temelji se na zakonu o promjeni momenta koliine kretanja materijalne take. Neka taka M , mase r brzinu v , slika 22.

r m , na koju djeluje centralna sila F , ima u posmatranom trenutku

Koliina kretanja materijalne take M odreena je vektorom sile F za taku

rr r r 0 odreen je izrazom M 0F = r

F , dok e moment koliine kretanja r r r r r r K = mv take M za centar 0 biti L0 = M 0K = r

K . r r rF r r r dL0 Izmeu vektora M0 i L0 , prema jednaini (4.19), postoji zavisnost: = M 0F . dtr

r r K = mv . Moment centralne75


119/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

r Lo0 r

r( 0)

r F

r r K = mvr r MSlika 22. Kretanje take pri djelovanju centralne sile

Kako sila F prolazi kroz centar

r

0 , to je njen moment za centar 0 jednak nuli rr M 0F = 0 .r rr L0 = M 0K = const .(5.2)

pa se dobija:Moment koliine kretanja tj. kinetiki moment take M za nepokretni pol (centar) je konstantan, to znai da se taka M kree ravnomjerno po putanji koja je kriva linija i nlazi se u jednoj ravni. Jednaina (5.2) daje nadalje

r r r r r r r dr L0 = r

K = r

mv = m r

= const . dt

(5.3)

Na slici 23 prikazana su dva bliska poloaja take M koja se kree pod dejstvom centralne sile.

M1 r r1r dr

d0

r r(0 )

r r

M

Slika 23. Definicija sektorske brzine

76


120/449


Povrina trougla 0MM 1 konstruiranog nad vektorima r i intenziteta vektorskog proizvoda

r

r dr jednaka je polovini

dA =Ovu povrinu

r 1 r r dr . 2

r dA "prebrie" radijus-vektor r u toku vremenskog intervala dt .

Promjena ove povrine u vremenu

dA dt naziva se sektorska brzina i ona je jednakar r & = dA = 1 r

d r S dt 2 dt. (5.4)

Uporedbom izraza (5.4) sa izrazom (5.3) dobija se da je sektorska brzina konstantna, odnosno

dA & = S = const. = C dtZanemarivanjem malih veliina drugog reda, povrina trougla krunog isjeka

(5.5)

0M 1M jednaka je povrini

dA =& pa je sektorska brzina S

1 2 r d , 2(5.6)

& dA = 1 r 2 d = 1 r 2 = C = const . & S= dt 2 dt 2

Iz jednaine (5.5) slijedi

A = Ct + Ao .

(5.7)

Jednaina (5.7) definira zakon povrine koji glasi: pri kretanju take pod dejstvom centralne sile, povrina koju prebrie vektor poloaja pokretne take mijenja se proporcinalno vremenu.

5.2. Diferencijalna jednaina kretanja materijalne take pri djelovanju centralne sile r Kako je ve ranije navedeno, taka M pod dejstvom centralne sile F opisuje putanju koja se nalazi u jednoj ravni. Za prouavanje kretanja take M usvojie se polarnikoordinatni sistem sa poetkom u centru C , slika 24. 77


121/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

r v

r F

r r

M

r p(0 )C

r r(0 )

r ro

p Mo

r vo

ar

z to o = 0 Slika 24. Kretanje take posmatrano u polarnom koordinatnom sistemu Potni uvjeti kretanja take M su: za to = 0

{

r r r r r = ro , v = vo ,

gdje su: vo - poetna brzina take, ro - vektor poloaja take u trenutku to = 0 kojem dgovara intenzitet ro i polarni ugao

r

r

= o = 0 .r r

Na slici 24, radijalni pravac je oznaen sa r , p je popreni (cirkularni) pravac, ar( 0 ) i p( 0 ) su pripadajui jedinini vektori. Projekcije poetne brzine vo na osepolarnog koordinatnog sistema su:

r

& (vo )r = vo cos a = ro

i

& (vo )p = vo sin a = ro o

,

(5.8)


122/449

pri emu su koriteni izrazi za radijalnu i poprenu (cirkularnu) projekciju brzine upolarnom koordinatnom sistemu poznati iz kinematike. Da bi se odredilo kretanjetake M , poi e se od osnovne diferencijalne jednaine kretanja u dinamici

r r ma = F ,

78


123/449


koja, kad se projicira na ose polarnog koordinatnog sistema, daje dvije skalarnediferencijalne jednaine:

ma r = Fr

ma p = F pgdje su:

,

(5.9)

ar radijalna projekcija ubrzanja, Fr radijalna projekcija sile, a p poprenar

projekcija ubrzanja, Fp poprena projekcija sile. Centralna sila F moe biti privlanili odbojna. Projekcije ove sile na ose polarnog koordinatnog sistema su: a) zasluaj privlaenja: b) za sluaj odbijanja:

Fr = - F , Fp = 0 , Fr = F , Fp = 0 .(5.10)

Ako s

u j

dnaine (5.9) uvrste vrijednosti projekcija iz (5.10) i izrazi za projekcije ubrzanja poznati iz kinematike, dobie se:

& m (&& - r 2 ) = Fr . r m d 2 && & && m(r + 2r ) = (r ) = 0 . r dtIz druge jednaine izraza (5.11) slijedi

(5.11)

& r 2 = const. = C ,odnosno

(5.12)

& & & r 2 = ro2 o = ro (roo ) = ro (vo ) p = ro vo sin a .S o zirom n de

iniciju sektorske rzine d tu jedn inom (5.6), to je

(5.13)

1 1 & & & S = C = r 2 = ro2 o , 2 2a uz jednakost (5.13) se dobija

(5.14)

1 & S = C = ro vo sin a . 2D kle, sektorsk rzin je u potpunosti odreena poetnim uvjetima kretanja.

(5.15)79


124/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

5.2.1. Bineova jednainaKoristei izraz

& =

& 2C 2S = 2 , r2 r

& r koji slijedi iz (5.14), odredie se izvodi r i && :& r=&& = r

dr dr d dr dr 2C d 1 & = = = -2C = , 2 dt d dt d d r d r & & & & dr dr d dr dr 2C 2C d d 1 4C 2 d 2 1 & = = = 2 = - 2C =- 2 d 2 r

(5.16)

(5.17)

Uvrtavanjem ovih izraza u prvu jednainu (5.11), dobija se

4C 2 d 2 1 4C 2 m - 2 - r 4 = Fr , 2 r r d r ili

(5.18)

d2 d 2

r 2 Fr 1 1 . + =- 4m C 2 r r

(5.19)

Jednaina (5.19) predstavlja Bineovu jednainu putanje take. Kada je taka izloena de

vu centralne privlane sile, tada je desna strana jednaine (5.19) pozitivna zbog Fr< 0 , a to znai da e putanja take u odnosu na centar C biti okrenuta

Fr > 0 , na desnoj strani jednaine e ostati znak minus, a putanja e biti okrenuta uodnosu na centar Ckonkavnom stranom. U suprotnom, kada na taku djeluje odbojna sila, konveksnom stranom.

5.3. Kretanje take pod dejstvom Newtonove privlane silePrethodna razmatranja se mogu primijeniti i na sluaj kretanja take pod dejstvom Newtonove gravitacione sile kojom meusobno djeluju dva tijela i koja iznosi

r r mmo r F =-f 2 , r r

80

(5.20)


125/449


m masa tijela koje se kree oko centralne take (planete), mo masa tijela (planeta)koje se nalazi u centru i oko koje se kree masa m , r r r r r rastojanje izmeu sredita masa ova dva tijela, = r( 0 ) - jedinini vektor u pravcu r . r r r Projiciranjem gravitacione sile F na vektor r , dobie segdje su: f gravitaciona konstanta,

Fr = - f

mmo . r2

(5.21)

Uno nj m ovih vrij dnosti u Bin ov obrazac (5.19) dobija s

m d2 1 1 + = f o2 . 2 d r r 4CPoto je lan na desnoj strani konstanta, moe se oznaiti sa

(5.22)

fm f mo 1 1 = 2 2 o2 , , odnosno = 2 p ro vo sin a p 4Cp izr z (5.22) do ij o lik:

(5.23)d2 1 1 1 + = . d2 r r pU ovoj jednaini

(5.24)

1 je argument, a traena funkcija. r

Opi integral linearne nehomogene diferencijalne jednaine drugog reda (5.24) jednakje zbiru opeg integrala homogene jednaine i partikularnog integrala nehomogene jednaine

1 1 1 = + , r r h r pgdje su:

(5.25)

1 = C1 cos + C2 sin r hDakle, opi integral jednaine (5.24) glasi

i

1 1 = . r p p

81


126/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

1 1 = C1 cos + C 2 sin + , p rgdje su

(5.26)

C1 i C2 integracione konstante koje se odreuju iz poetnih uvjeta.

Diferenciranjem izraza (5.26) po parametru dobie se prvi integral jednaine (5.24):(5.27)

d 1 1 dr = -C1 sin + C 2 cos . =- 2 d r r dNa osnovu poetnih uvjeta

to = 0

{

& & r = ro , o = 0, ro = vo cos a , roo = vo sin a

i pomou jednaina (5.26) i (5.27) odredie se integracione konstante Zamjenom poetnihvrijednosti u jednainu (5.26) dobie se:

C1 i C2 .

1 1 = C1 + , ro pKoritenjem odnosa

odnosno

C1 =

1 1 - . ro p(5.28)

dr & r dr = dt = , & d d dtjednaina (5.27) se moe pisati u vidu

(5.29)

-

& 1 r = -C1 sin + C2 cos . 2 & r

(5.30)Unoenjem vrijednosti iz poetnih uvjeta u izraz (5.30), dobija se

-

& 1 ro = C2 , 2 ro o

a koristei relacije iz poetnih uvjeta, vrijednost


127/449

C2 se moe izraziti u obliku

82


128/449


C2 = -Uvrtavanj m vrij dnosti za konstant

vo cos a ct a . =- ro vo sin a ro

(5.31)

C1 i C2 u jedn inu (5.26) dobija se(5.32)

ctg a 1 1 1 1 = - cos - sin + . r r o p ro pJednainom (5.32) odreena je putanja tijela (take) mase

m koje se kree pod dejstvom

Newtonove privlane sile u odnosu na tijelo mase mo koje se nalazi u centru privlaenja. Jednaina putanje se donekle moe pojednostaviti uvoenjem u (5.32) novih konstanti D i koje su funkcije starih konstanti na nain:

e,

1 1 - = D cos e ro p

i

-

ctg a = D sin e . rodobie se:

(5.33)

Rjeavanjem ove dvije jednaine po D , odnosno

e,

1 1 = D cos( - e ) + . r pOvdj su nov konstant j dnak2

(5.34)

1 1 ctg 2a 1 1 2 D= - + 2 = 2 2 + 2 - , r ro ro sin a p ro p o p(5.35)

tg e =Uz novu konstantu i novu promj nljivu j dnaina (5.34) postaje

p ctg a ro - p

ili

e = arc tg

p ctg a . ro - p (5.36) (5.37) (5.38)


129/449

e = pD

y = -e ,1 1 = cosy + , r p p

83


130/449

DINAMIKA

Vukoj vi, Ekinovi

to daje jednainu putanje take u obliku

r=

p . 1 + e cosy

(5.39)

Izraz (5.39) pr dstavlja j dnainu konusnog presjeka u kanonskom obliku. Ovdje sup i e osnovni parametri konusnog presjeka koji odreuju njegov oblik. U zavisnostiod vrijednosti ekscentriciteta e , mogu se dobiti oblici konusnih presjeka prikazani na slici 25.

r vohiperbola e >1

R

parabola e = 1

0elipsa e


131/449


r v

Mr a b

y 0

A

0eMo

P

2c = 2a

Slika 26. Kr tanj tij la po liptinoj putanji

5.3.1. Keplerovi zakoniPovrina koju opie vektor poloaja planete pri svom kretanju oko Sunca je ustvari pov

rina elipse koja je jednaka A = abp , (5.42) a vrijeme obilaska

lanete oko Sunca Tmoe se nai iz ranije date jednaine (5.7)

A = CT .Uz

A = CT = abp i uvrtavajui vrijednosti za poluose a i b dobie seCT = a 2p 1 - e 2 ,(5.43)

odnosno

T2 =

Kako je

= 4C2

p 2a3 C2

.

(5.44)

fm o , to je

T2 =

4p 2 3 a . fmo

(5.45)

Iz ovoga se moe izvesti sljedei zakljuak: kvadrati perioda vremena obilaska planetaoko Sunca proporcionalni su kubovima veih poluosa njihovih eliptikih orbita.

85


132/449


133/449

DINAMIKA

Vukojevi, Ekinovi

Kepler * je formulirao svoje zakone i oni glase: 1. 2. 3. Sve planete se kreu okoSunca po eliptinim putanjama; Povrine koje prebriu vektori poloaja planeta u odnosna Sunce proporcionalne su vremenu; Kvadrati vremena obilaska planeta oko Suncaodnose se kao kubovi veih poluosa njihovih orbita, odnosno:3 T22 a2 = 3 . T12 a1

(5.46)

5.3.2. Prva i druga kosmika brzinaSva tijela koja krue oko Zemlje, ukljuujui i satelite, kreu se pod djelovanjem centalne sile

r F Zemljinog privlaenja, slika 25. Vrijednost privlane sile iznosi:

F= fgdje su: mo masa Zemlje,

mo m r2

,

(5.47)

m masa satelita, r rastojanje izmeu teita Zemlje i satelita,

f gravitaciona konstanta.Konstantu f odredio je engleski fiziar Henry Cavendish 1798. godine i ona iznosi:

f = 6,6672 10-11

Nm 2 . kg 26

Kad s

tij

lo nalazi na povrini Z

mlj

, tada j

r = R ( R = 6.378 10 m

polupr

nik Zemlje), pa je:

F = G = mg = fa odavde je

mo m , R2

(5.48)

f =

g R2 . mo

(5.49)

*

Zakone kretanja planeta otkrio je njemaki astronom Johannes Kepler (1571-1630) prije nego to je Newton otkrio zakone svemirskog privlaenja. Svojim otkriima Kepler je omoguio i olakao put Newtonu da doe do svojih zakona svemirskog privlaenja.

86


134/449


135/449


Postavlja se pitanje koliku poetnu brzinu treba dati tijelu da bi ono postalo Zemljin satelit. Pretpostavie se da je

DINAMIKA Vukojevic Ekinovic

Documents

Transcript of DINAMIKA Vukojevic Ekinovic