dinamika kristal.pptx
Transcript of dinamika kristal.pptx
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 1/50
GELOMBANG BUNYI
VIBRASI KISI KRISTAL 1D
Rantai atom identik
Rantai dua tipe atom
VIBRASI KISI KRISTAL 3D
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 2/50
Dinamika Kristal
Terkait dengan spektrum vibrasi karakteristik kristal padat.
Melingkupi;
Pertimbangan syarat-syarat permbatan gelombang
dalam kisi periodik, Energi yang terkandung di dalamnya,
Kalor jenis gelombang kisi,
Aspek partikel dari vibrasi kisi terkuantisasi (fonon)
Akibat-akibat harmonik gabungan antara ato-atom.
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 3/50
Dinamika Kristal
Ini memperkenalkan kita dengan konsep Jangkauan frekuensi yang dilarang dan
diperbolehkan,
Spektrum elektronik zat padat
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 5/50
Dinamika Kristal Perhitungan tentang dinamika kristal ini dibatasi hanya pada vibrasi
kisi dengan amplitudo kecil. Karena zat padat berada pada posisikesetimbangr harmonik sederhana. Batas amplitudo kecil inidinamakan batas harmonik.
Pada daerah linear (daerah deformasi elastik), gaya pemulih pada
tiap atom sebanding dengan perpindahannya (Hukum Hooke).
Ada beberaa efek ketidaklinearan atau „anharmonicity‟ untukperpindahan atom-atom besar.
Efek Anharmonik penting untuk interaksi antara fonon dan foton.
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 6/50
Dinamika Kristal
Gerak atom dipengaruhi oleh gaya yang diberikan pada atomketika atom-atom tersebut dipindahkan dari posisi
setimbangnya.
Untuk menghitung gaya itu, perlu ditentukan fungsi gelombang
dan energi elektron dalam kristal. Untungnya banyak sifat-sifat
pengerak atom yang dapat disimpulkan tanpa perhitungan ini.
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 7/50
Hukum Hook
Salah satu sifat elastisitas adalah bahwa dibutuhkan dua kalilipat gaya untuk meregangkan pegas sepanjang dua kali
panjang semula. Kelinearannya bergantung pada
pertambahan panjang pegas yang dinamakan hukum Hooke.
xk F spring .
F Spring constant k
It takes twice
as much force
to stretch a
spring twiceas far.
F 2
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 9/50
GELOMBANG BUNYI
Gelombang mekanik adalah gelombang yang merambatmelalui sebuah medium (padat, cair, atau gas) pada lajugelombang yang bergantung pada sifat-sifat elastis dankelembaman medium itu. Ada dua tipe dasar gerakgelombang untuk gelombang mekanik: gelombanglongitudinal dan gelombang transversal.
Gelombang Longitudinal
Gelombang Transversal
• Gelombang bunyi berhubungan dengan vibrasi atomdengan panjang λ.
• Kehadiran atom tidak begitu penting dalam batas panjanggelombang, karena λ>>a, sehingga tidak akan ada
hamburan yang berkaitan dengan kehadiran atom.
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 10/50
GELOMBANG BUNYI
Gelombang bunyi merambat melalui zat padat. This tells usthat wavelike lattice vibrations of wavelength long compared tothe interatomic spacing are possible. The detailed atomicstructure is unimportant for these waves and their propagationis governed by the macroscopic elastic properties of thecrystal.
We discuss sound waves since they must correspond to thelow frequency, long wavelength limit of the more general latticevibrations considered later in this chapter.
At a given frequency and in a given direction in a crystal it ispossible to transmit three sound waves, differing in theirdirection of polarization and in general also in their velocity.
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 11/50
Gelombang Elastik
A solid is composed of discrete atoms, however when thewavelength is very long, one may disregard the atomic natureand treat the solid as a continous medium. Such vibrations arereferred to as elastic waves.
• At the point x elastic displacement isU(x) and strain „e‟ is defined as thechange in length per unit length.
dU e
dx
x x+dx
A
Elastic Wave Propagation (longitudinal) in a bar
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 12/50
Berdasarkan Hukum Hooke tegangan S (gaya per satuan luas)
is sebanding dengan regangan e.
Untuk menguji dinamika batang, dipilih segmen panjang dx
sembarang seperti gambar di atas. Menggunakan hukum kedua
Newton, gerak segmen ini dapat ditulis,
.S C e
2
2( ) ( ) ( )
u Adx S x dx S x A
t
x x+dx
A
C = Young modulus
Massa x Percepatan Gaya yang dihasilkan dari tegangan
Gelombang elastik
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 17/50
• Ini dapat dikarakterisasikan oleh
– Kecepatan perambatan, v
– Panjang gelombang atau vektor gelombang
– Frekuensi
atauor frekuensi sudut ω=2π
• Persamaan gerak setiap perpindahan dapat dihasilkan
dengan mempertimbangkan gaya pemilih perpindahan
atom-atom.
Gelombang vibrasi kisi dalam kristal merupakanrangkaian repetitif dan sistematik perpindahan atom darigelombang
longitudinal,
transversal, atau
Kombinasi keduanya
• Akibatnya hubungan relasi dispersi antara frekuensi dan
panjang gelombang atau antara frekuensi sudut dan
vektor gelombangdapat digunakan.
Laju gelombang bunyi
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 18/50
Vibrasi kisi kristal 1D
Rantai atom-atom identik
Atom-atom berinteraksi dengan potensial V(r) yangdapat ditulis dalam deret Taylor.
2 2
2( ) ( ) ...........
2r a
r a d V V r V a
dr
rR
V(R)
0 r0=4
Repulsive
Attractivemin
Persamaan ini seperti pada energi potensial
yang berhubungan dengan konstanta pegas :
ar dr
V d K
2
2
K berhubungan dengan modulus elastik C:
KaC
a
ar C Force
)( ar K Force
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 21/50
0)2( 11
..
nnnn uuu K um
Gaya pada atom ke- n;
)( 1 nn uu K
•Gaya di sisi kanan;
•Gaya di sisi kiri;
)( 1 nn uu K
•Gaya total = gaya di sisi kanan – gaya di sisi kiri
Rantai Monoatomik
a a
Un-1 Un Un+1
Persaman gerak semua atom dalam bentuk in i , hanya
nilai ‘n’ yang bervar iasi
R t i M t ik
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 22/50
Semua atom berosilasi dengan amplitudo A and frekuensi ω.
Sehingga diperoleh;
.
0expnn nduu i A i kx t dt
Rantai Monoatomik
0expn nu A i kx t
2..2 2 0
2
expnn
n
d uu i A i kx t
dt
..2
nn
u u
na xn
0
nn una x
Undisplaced
position
Displaced
position
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 23/50
R t i M t ik
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 24/50
Rantai Monoatomik
2 e 2 eika ikam K 2cosix ixe e x
e e 2cosika ika ka
2 2cos 2
2 (1 cos )
m K ka
K ka
21 cos 2sin
2
x x
22 4 sin
2
kam K
242 sin
2
K ka
m
4 sin2
K kam
Nilai Maksimumnya 1
max
4 K
m
R t i M t ik
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 25/50
Hubungan ω versus k ;
max 2
/ s
K
m
V k
0 л / a 2 л / a –л / a k
Rantai Monoatomik
• Frekuensi mode normal rantai1D
Titik A, B and C mempunyai frekuensi yang sama, oleh karena itu
titik-titik ini mempunyai perpindahan atom yang sama.
Relasi dispersinya adalah periodik dengan periode 2π/a.
k
C AB
0
Rantai Monoatomik
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 26/50
Perhatikan bahwa:
Pada persamaan di atas n saling menghilangkan, artinya persamaangerak semua atom menyebabkan persamaan aljabar yang sama. Inimenunjukkan bahwa fungsi Un sesungguhnya merupakan solusi untukpersamaaan gerak atom ke-n.
Persamaan ini dimulai dari persamaan gerak osilator harmonik kopel N. jika satu atom mulai bergetar, atom tersebut tidak berlanjut denganamplitudo konstan, tapi energi terhadap atom lain dengan cara yangrumit; vibrasi atom-atom individu bukan merupakan harmonik sederhanakarena pertukaran energi ini antar atom.
Our wavelike solutions on the other hand are uncoupled oscillationscalled norm al modes; each k has a definite w given by above eqn. andoscillates independently of the other modes.
Jadi, jumlah mode diharapkan sama dengan jumlah persamaan N.
4sin
2
K ka
m
Rantai Monoatomik
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 27/50
Monoatomic Chain
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 28/50
What is the physical significance of wave numbers
outside the range of ?2π/a
x
Monoatomic Chain
un
un
x
a
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 30/50
At th b i i f th h t
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 31/50
At the beginning of the chapter,
in the long wavelength limit, the
velocity of sound waves has
been derived as
Using elastic properties, let‟s see
whether the dispersion relationleads to the same equation in the
long λ limit.
1kaIf λ is very long; so sin ka ka
c Ka
2 K am
m
a
K V a s k m
2 22 44
k am K
cV s
Monoatomic Chain
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 32/50
Since there is only one possible propagation directionand one polarization direction, the 1D crystal has onlyone sound velocity.
In this calculation we only take nearest neighborinteraction although this is a good approximation for theinert-gas solids, its not a good assumption for manysolids.
If we use a model in which each atom is attached by
springs of different spring constant to neighbors atdifferent distances many of the features in abovecalculation are preserved.• Wave equation solution still satisfies.
• The detailed form of the dispersion relation is changed but ω is still periodic function of k with period 2π/a
• Group velocity vanishes at k=(±)π/a• There are still N distinct normal modes
• Furthermore the motion at long wavelengths corresponds tosound waves with a velocity given by (velocity formulü)
Monoatomic Chain
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 33/50
Chain of two types of atom Two different types of atoms of masses M and m are
connected by identical springs of spring constant K;
Un-2 Un-1 Un Un+1 Un+2
K K K K
M Mm Mm a)
b)
(n-2) (n-1) (n) (n+1) (n+2)
a
• This is the simplest possible model of an ionic crystal.
• Since a is the repeat distance, the nearest neighbors
separations is a/2
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 35/50
Chain of two types of atom
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 36/50
Chain of two types of atom
M m M m M
Un-2 Un-1 Un Un+1 Un+2
0
/ 2n x na
0
expn nu A i kx t
Offer a solution for the mass M
For the mass m;
α : complex number which determines the relative amplitudeand phase of the vibrational wave.
0expn nu A i kx t
..
2 0expn nu A i kx t
-1
7/27/2019 dinamika kristal.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 49/50
Transverse optical mode for
diatomic chain
Amplitude of vibration is strongly exaggerated!