DERIVATIF DAN ANTIDERIVATIF DARI SUATU BILANGAN (Skripsi ...digilib.unila.ac.id/58398/3/SKRIPSI...

DERIVATIF DAN ANTIDERIVATIF DARI SUATU BILANGAN

(Skripsi)

Oleh

Yuniarti

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2019

http://www.kvisoft.com/pdf-merger/

ABSTRACT

DERIVATIVE AND ANTIDERIVATIVE OF A NUMBER

Oleh

Yuniarti

The derivative of a prime number is one and for real numbers are converted into

prime factors using the Leibnizt Rule. Derivative rules for determining from of

the rational numbers by using the quotient rule. The results obtained show that not

all rational numbers have integrals. The same number can have different integrals.

Key word: Derivative, Prime Number, Leibnizt Rule, Integrals.

ABSTRAK


Oleh

Yuniarti

Derivatif dari suatu bilangan prima adalah 1 dan untuk bilangan asli diubah menjadi

faktor prima dengan menggunakan aturan Leibniz. Aturan derivatif diperluas ke dalam

bentuk bilangan rasional dengan menggunakan aturan hasil bagi. Hasil yang diperoleh

menunjukkan bahwa tidak semua bilangan rasional memiliki integral. Bilangan yang

sama bisa mempunyai integral yang berbeda.

Kata kunci: Derivatif, Bilangan Prima, Aturan Leibniz, Integral.


Oleh

Yuniarti

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2019

Judul Skripsi : DERIVATIF DAN ANTIDERIVATIF DARI

SUATU BILANGAN

Nama Mahasiswa : Yuniarti

Nomor Pokok Mahasiswa : 1517031172

Program Studi : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI

1. Komisi Pembimbing

Amanto, S.Si., M.Si. Dr. Asmiati, S.Si., M.Si.

NIP.197303142000121002 NIP.197604112000122001

2. Ketua Jurusan Matematika

Prof. Dra. Wamiliana,MA, Ph.D.

NIP. 196311081989022001

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Amanto, S.Si., M.Si. ……………

Sekretaris : Dr. Asmiati, S.Si., M.Si. ……………

Penguji

Bukan Pembimbing : Dr. Notiragayu, S.Si., M.Si. .....…………

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Drs. Suratman, M.Sc.

NIP. 196406041990031002

Tanggal Lulus Ujian Skripsi :Agustus 2019

PERNYATAAN

Yang bertanda tangan di bawah ini :

Nama : Yuniarti

Nomor Pokok Mahasiswa : 1517031172

Jurusan : Matematika

Dengan ini menyatakan bahwa skripsi saya yang berjudul“DERIVATIF

DAN ANTIDERIVATIF DARI SUATU BILANGAN” adalah hasil

pekerjaan saya sendiri. Apabila kemudian hari terbukti bahwa skripsi ini

merupakan hasil salinan atau telah dibuat orang lain, maka saya bersedia

menerima sanksi sesuai dengan ketentuan akademik yang berlaku.

Bandar Lampung, Agustus 2019

Penulis

Yuniarti

NPM.1517031172

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama Yuniarti lahir pada tanggal 28 Juli 1997 di Tekad, anak

perempuan dari lima bersaudara pasangan Bapak Arhamuddin dan Ibu Tumiyati.

Penulis menempuh pendidikan di Taman Kanak-Kanak (TK) Akhlakul Karima

Tekad 2002-2003, kemudian melanjutkan sekolah dasar di SD Negeri 1 Tekad

pada tahun 2003-2009. Lulus dari Sekolah Menengah Pertama tahun 2012 di

SMPN 1 Pulau Panggung, dan lulus dari SMAN 13 Bandar Lampung pada tahun

2015.

Pada tahun 2015 penulis melanjutkan kuliah di Universitas Lampung mengambil

Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung melalui jalur SBMPTN. Selama menjadi mahasiswi, penulis

bergabung sebagai anggota BEM FMIPA Unila periode 2015-2016.

Pada bulan Januari sampai dengan Februari 2018, penulis melaksanakan Kerja

Praktik (KP) di kantor PELAYANAN PAJAK PRATAMA KEDATON dan pada

tahun yang sama penulis juga telah melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di

Desa Wanna, Kecamatan Melinting, Kabupaten Lampung Timur selama 40 hari

pada bulan Juli sampai dengan Agustus.

KATA INSPIRASI

Belajarlah dari masalalu

dan hiduplah hari ini untuk lebih baik

(Yuniarti)

Boleh jadi kamu membenci sesuatu

padahal ia amat baik bagimu

dan boleh jadi pula kamu menyukai sesuatu

padahal ia amat buruk bagimu,

Allah mengetahui

Sedang kamu tidak mengetahui.

(Q.S. Al-Baqarah : 216)

Bermimpilah setinggi langit.

Jika engkau jatuh,

engkau akan jatuh diantara bintang-bintang.

(Bung Karno)

PERSEMBAHAN

Dengan mengucap Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT

Kupersembahkan karya kecil yang sederhana

Dengan kerendahan hati kepada :

Orang tuaku bapak Arhamuddin dan ibu Tumiyati atas tiap untaian kata

untukku dalam tiap doanya,

kakak-kakakku dan adikku yang selalu memberikan kasih,

dukungan baik moril maupun materil,

nasihat maupun motivasi disetiap langkah kaki .

Semoga bisa menjadi kebanggaan dalam keluarga.

Sahabat-sahabat

yang selalu membantu disaat-saat sulit,

motivasi dan semangat saat mulai patah,

serta dukungan disaat penulis goyah.

Dosen pembimbing, dan penguji yang berjasa dalam

mengarahkan, membimbing, dan memotivasi.

Teman –teman seperjuangan.

Almamater tercinta Universitas Lampung.

SANWACANA

Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah

melimpahkan rahmat dan hidayah,sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi

yang berjudul “Derivatif dan Antiderivatif dari Suatu Bilangan”adalah salah satu

syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Lampung.Dalam

kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing pertama yang telah

membimbing, mengarahkan, memberikan ide, kritik, saran, dan motivasi,

selama proses penyusunan skripsi, sehingga dapat menyelesaikan skripsi

dengan baik.

2. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si.,selaku dosen pembimbing kedua yang juga telah

memberikan pengarahan, koreksi, masukan, dan saran dalam proses

penyusunan skripsi ini.

3. Ibu Dr. Notiragayu, S.Si., M.Si., selaku penguji atas saran, kritik, dan

kesediaannya untuk menguji dalam penyelesaian skripsi ini.

4. Ibu Dr. Notiragayu, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing akademik yang

telah memberikan arahan dan masukkan selama menempuh pendidikan di

Jurusan Matematika.

5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, MA., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6. Bapak Drs. Suratman, M.Sc., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Orang tuaku atas perjuangannya yang telah menyekolahkan, hingga

menempuh jenjang sarjana. Kakak, sepupu, dan saudara atas dukungan dan

doa agar penulis cepat menyelesaikan tugasnya.

8. Teman-teman seperjuangan, Mona, Rizka, Tiwi, Akika, Desun, Dai, atas

dukungan dan pertemanan dalam sulit dan senang.

9. Teman-teman kecil, Aulia, Bella, Joanita, atas bantuan dan semangat yang

telah diberikan disaat penulis mulai goyah.

10. Seluruh rekan Matematika angkatan 2015, serta kakak dan adik tingkat atas

bantuan, informasi, dan dukungannya selama menjadi keluarga dijurusan,

organisasi, maupun Universitas Lampung.

11. Semua pihak yang berperan dalam menyelesaikan skripsi ini.

Akhir kata, penulis menyadari bahwa banyak kekurangan atas skripsi ini.

Namun,penulis mengharapkan semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi

kita semua, terkhusus bagi yang membaca.

Bandar Lampung, Agustus 2019

Penulis

Yuniarti

NPM. 1517031172

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ........................................................... 1

1.2 Tujuan Penelitian ............................................................................ 2

1.3 Manfaat Penelitian .......................................................................... 2

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Bilangan .......................................................................................... 4

2.2 Modulo ............................................................................................ 5

2.3 Fungsi Logaritma Asli .................................................................... 9

2.4 Limit .............................................................................................. 10

2.5 Derivatif ........................................................................................ 12

2.6 Integral ......................................................................................... 18

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ....................................................... 20

3.2 Metode Penelitian ......................................................................... 20

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Derevatif Bilangan ........................................................................ 21

4.2 Derivatif Tingkat Tinggi dan Derivatif Logaritma ...................... 22

4.3 Integral Bilangan Asli dan Rasional .......................................... 23

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR Tabel

Tabel Halaman

1. Nilai-nilai derivatif logaritma untuk tujuh bilangan prima pertama ......... 23

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Secara umum matematika merupakan ilmu yang mempelajari pola dari struktur

dan perubahan. Salah satu cabang dari ilmu matematika yang banyak

dipelajari adalah kalkulus. Kalkulus mempunyai dua cabang utama, yaitu

kalkulus diferensial (derivatif) dan kalkulus integral (antiderivatif).

Kalkulus diferensial merupakan ilmu yang mempelajari tentang turunan suatu

fungsi atau biasa disebut derivatif. Derivatif juga merupakan salah satu bagian

terbesar dari kalkulus selain integral. Definisi dari derivatif dapat ditemukan

dengan menggunakan konsep limit. Turunan fungsi f pada bilangan a dinyatakan

dengan

( )

( ) ( )

asalkan limit ini ada. Jika limit ini ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan

di .

Aritmatika adalah ilmu tentang sifat dan hubungan bilangan-bilangan nyata serta

operasi perhitungannya. Operasi-operasi perhitungan dalam aritmatika adalah

penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi-operasi ini disebut

operasi dasar karena merupakan dasar dari operasi-operasi aritmatika tingkat

2

kompleks. Dalam perkembangannya, derivatif dapat di selesaikan dengan

menggunakan operasi aritmatika dalam bentuk yang kompleks.

Pada umumnya derivatif yang dipelajari pada matematika merupakan turunan

fungsi ( ) dimana ( ) ( ). Jika ingin mempertahankan linieritas dimana

bilangan bulat didefinisikan jika bilangan berpangkat maka

( ) dimana maka tetapi jika mengabaikan linieritas

dan hanya menggunakan aturan Leibnitz maka didefinisikan dengan untuk

bilangan prima, dimana ( ) dan ( ) . Untuk bilangan bulat positif

lainnya diubah menjadi faktor prima dengan menggunakan aturan Leibniz.

Aturan Leibniz tersebut dinyatakan dalam bentuk:

( ) ( ) ( )

dengan bilangan bulat positif. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk

mengkaji sifat derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan (Ufnarovski and

Ahlander, 2003).

1.2 Tujuan penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Mengkaji sifat derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan.

2. Membuktikan sifat derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan.

1.3 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Mengetahui karakteristik dari sifat derivatif dan antiderivatif suatu bilangan.

3

2. Menambah pengetahuan tentang derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan.

3. Sebagai bahan referensi tentang derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk

pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan

untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang

bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun

lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif,

bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks (Spiegel, 1983).

Terdapat berbagai macam bilangan yang sering digunakan.

1. Himpunan bilangan-bilangan bulat positip atau bilangan asli, :

(2.1)

2. Himpunan bilangan-bilangan bulat, :

(2.2)

3. Himpunan bilangan-bilangan bulat positip genap :

(2.3)

4. Himpunan bilangan-bilangan rasional :

(2.4)

5

Himpunan bilangan-bilangan real yaitu himpunan bilangan-bilangan rasional

dan irasional. Bilangan irasional yaitu bilangan-bilangan yang tidak dapat

disajikan dalam bentuk

dengan . Sebagai contoh bilangan irasional

adalah √ .

Dalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari ,

yang faktor pembaginya adalah dan bilangan itu sendiri. Bilangan dan

adalah bilangan prima. Bilangan bukan bilangan prima sebab bisa dibagi

atau bisa disebut bilangan komposit yaitu bilangan yang mempunyai faktor lebih

dari dua. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah

dan (Spiegel, 1983).

2.2 Modulo

Definisi 2.2.1 (Grillet, 2007)

Misalkan bilangan bulat. Operasi mod (dibaca “ modulo ”)

memberikan sisa jika dibagi dengan Notasikan dengan mod

sedemikian sehingga , dengan . Bilangan

disebut modulo, dan hasil aritmatika modulo terletak di dalam

himpunan – .

Definisi 2.2.2 (Grillet, 2007)

Misalkan dan adalah bilangan bulat dan dikatakan kongruen

dengan modulo atau ditulis jika habis membagi –

Jika tidak kongruen dengan dalam modulo , maka ditulis .

6

Kekongruenan dapat pula dituliskan dalam hubungan

yang dalam hal ini adalah bilangan bulat.

Teorema 2.2.3 (Grillet, 2007)

Misalkan adalah bilangan bulat positif

1. Jika dan adalah sebarang bilangan bulat maka

(i)

(ii)

(iii) untuk suatu bilangan bulat tak negatif

2. Jika dan , maka

(i)

(ii)

Bukti:

1. (i) berarti untuk suatu

untuk sebarang , diperoleh

mod

(ii) berarti:

, dengan

7

(iii) berarti dengan

( ) (

) (

)

( ) (

) (

)

mod

2. (i)

Jadi,

, untuk suatu

, untuk suatu

mod ■

8

Teorema 2.3.4 (Burton, 1980)

Jika p adalah bilangan prima dan adalah bilangan bulat positif dimana tidak

bisa membagi , maka .

Bukti:

Diasumsikan bilangan positif pertama kelipatan dari , yaitu bilangan

bulat. Sehingga terdapat barisan sebagai berikut:

(2.12)

Tidak ada satu pun suatu bilangan dari barisan di atas yang habis dibagi p,

karena barisan tersebut terbentuk dengan pola ka dimana . Oleh

karena tidak bisa membagi , dan tidak bisa membagi , maka tidak bisa

membagi . Kemudian, dari barisan tersebut tidak ada dua bilangan yang

kongruen . Dengan kata lain, jika bilangan-bilangan tersebut dibagi

dengan p, maka sisa pembagiannya akan selalu berbeda satu sama lain.

Diasumsikan bahwa ada dua bilangan kongruen , yaitu ra dan sa

sehingga untuk – . Karena (greatest

common divisor) gcd (a,p) = 1, maka diperoleh

(2.13)

Karena dan harus lebih besar dan harus lebih kecil dari maka ini

menyatakan Persamaan kontradiksi dengan asumsi awal bahwa

dan harus berbeda. Oleh karena itu, himpunan barisan pada persamaan

harus kongruen terhadap . Selanjutnya jika

himpunan tersebut dikalikan dan dikenai modulo, maka diperoleh :

9

sehingga,

Gcd maka

2.3 Fungsi Logaritma Asli

Definisi 2.3.1 (Purcell, 2003)

Fungsi logaritma asli ditulis sebagai yang didefinisikan sebagai berikut:

∫

| | , dengan syarat . Daerah definisinya adalah

himpunan bilangan riil positif. Turunan logaritma asli:

Sifat-sifat logaritma asli:

10

2.4 Limit


Diberikan bilangan riil , jika dan hanya jika untuk

setiap terdapat sehingga | | , berlaku:

| |

Teorema 2.4.2 (Purcell, 2003)

Misalkan bilangan bulat positif, konstanta, serta dan adalah fungsi-fungsi

yang mempunyai limit di . Maka:

1.

2.

3. .

4.

5.

6.

7.

8. √ √ asalkan ketika genap.

Bukti:

1.

Dimana dan maka:

11

2. Misalkan maka

| | | |

| |

| | |

| || | | |

| |

3. Misalkan

dan dimana sebarang bilangan

positif maka

adalah positif. Karena

maka bilangan

positif .

| | | |

| | | |

Pilih maka | |

| | |[ ] [ ]|

| | | |

| | | |

Jadi

Untuk

[ ]

12

2.5 Derivatif


Turunan fungsi f adalah fungsi lain (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada

sebarang bilangan c adalah

(2.14)

asalkan limit ini ada dan bukan atau .


Jika ada, maka kontinu di

Bukti:

Perlu diperhatikan bahwa

karenanya,

*

+

13

Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan, yakni

dengan menyusun hasil bagi selisih dan menghitung limitnya (Purcell, 2003).

(2.15)


Jika dengan suatu konstanta maka untuk sembarang

yakni

Bukti:


Jika maka yakni

Bukti:

14


Jika , dengan bilangan bulat positif, maka yakni :

(2.16)

Bukti :

[


Jika suatu konstanta dan suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka

yakni,

[ ] (2.17)

Bukti:

Misalkan Maka:

15


Jika dan fungsi yang terdeferensialkan, maka

[ ] (2.18)

Bukti :

Misalkan Maka

[ ]

[ ]


Jika dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan , maka

yakni,

[ ] (2.19)

Teorema 2.5.9 (Purcell, 2003).

Jika dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka

yakni

[ ] (2.20)

16

Bukti:

Misalkan . Maka:


Misalkan dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan dengan ,

maka

(

)

yaitu,

(

)

17

Dengan kata-kata: turunan suatu hasil bagi adalah sama dengan penyebut

dikalikan turunan fungsi pembilang dikurangi fungsi pembilang dikalikan turunan

fungsi penyebut, seluruhnya dibagi dengan kuadrat penyebut.

Bukti :

Misalkan , maka

[

]

{[

]

}

[ ]

18

Berikut ini akan diberikan sifat-sifat derivatif dari suatu fungsi.

Jika suatu konstanta, dan fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, dan

fungsi-fungsi dalam sehingga dan maka berlaku :

1. Jika maka

2. Jika maka

3. Jika maka

4. Jika maka

5. Jika

maka

(Purcell, 2003).

2.6 Integral

Definisi 2.6.1 (Purcell, 2003).

merupakan anti-turunan pada interval jika pada , yakni

jika untuk .

Teorema 2.6.2 (Purcell, 2003).

Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka:

∫

Bukti

*

+

Selanjutnya akan diberikan definisi derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan

19

Definisi 2.6.3 (Barbeau, 1961)

Derevatif bilangan didefinisikan sebagai fungsi yang ditentukan oleh:

untuk setiap bilangan prima

untuk dengan menggunakan aturan Leibnitz

untuk

Menurut (Ufnarovski and Ahlander, 2003) derivatif diperluas ke bilangan

rasional maka diperoleh rumus sebagai berikut :

(

)

(2.21)

Definisi 2.6.4 (Ufnarovski and Ahlander, 2003)

Untuk setiap disebut integral dari . Himpunan semua integral tersebut

dilambangkan sebagai . Bilangan yang sama dapat memiliki integral yang

berbeda.

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2018/2019 bertempat di

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Berikut adalah langkah-langkah penelitian yang dilakukan:

1. Mengkaji derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan yang dituliskan dalam

bentuk sifat.

2. Membuktikan derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan berdasarkan sifat.

3. Menarik kesimpulan terhadap derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan

yang telah dibuktikan.

V. KESIMPULAN

Adapun kesimpulan dari penelitian ini adalah:

1. Derivatif dari bilangan prima sama dengan 1. Untuk bilangan bulat positif di

ubah dalam faktorisasi prima dan selanjutnya diturunkan dengan

menggunakan aturan Leibniz

( ) ( ) ( ).

2. Bilangan bulat berpangkat ∏

diselesaikan menggunakan aturan:

( ) ∑

3. Fungsi L disebut derivatif logaritma dimana ( )

( )

untuk

setiap ∏

, sehingga L memenuhi syarat:

L (x) =∑

.

4. Untuk setiap , maka adalah integral dari yang dilambangkan

sebagai ( ). Integral dari suatu bilangan nilainya tidak tunggal seperti pada

integral tak tentu untuk kasus fungsi.

DAFTAR PUSTAKA

Barbeau, E. J. 1961. Remarks on Arithmetic Derivative. Canad. Math Bull, 4,

117–122.

Brown, J.W. and Churchill, R.V. 1996. Complex Variables and Applications.

McGraw-Hill, New York.

Burton, D. M. 1980. Elementary Number Theory. University Of New

Hampshire, United State of Afrika.

Grillet, P.A. 2007. Graduate Text In Mathematics. Second Edition. Springer,

New York.

Kovic, Jurij. 2003. The Arithmatic Derivative and Antiderivative. J. Integer

Seq., 6, 12.3.8.

Purcell, E.J., Varberg, D., and Rigdon, S.E. 2003. Kalkulus Jilid 1 Edisi

Kedelapan. Erlangga, Jakarta.

Spiegel,M.R. 1981. Theory and Problems of Complex Variables with An

Introduction to Conformal Mapping. McGraw-Hill International Book

Company, Singapore.

Spiegel, M.R. 1983. Advanced Mathematics for Engineer and Scientists.

Erlangga, Jakarta.

Ufnarovski,V and Ahlander, B. 2003. How to Differentiate a Number. J.

Integer Seq., 6 , 03.3.4.

DERIVATIF DAN ANTIDERIVATIF DARI SUATU BILANGAN (Skripsi ...digilib.unila.ac.id/58398/3/SKRIPSI...

Documents

Transcript of DERIVATIF DAN ANTIDERIVATIF DARI SUATU BILANGAN (Skripsi ...digilib.unila.ac.id/58398/3/SKRIPSI...