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daniel alejandro molano moreno

T E O R Í A D E P E RT U R B A C I O N E S C O S M O L Ó G I C A SE N T E O R Í A S D E G R AV E D A D M O D I F I C A D A f (R )

T E O R Í A D E P E RT U R B A C I O N E S C O S M O L Ó G I C A S E N T E O R Í A SD E G R AV E D A D M O D I F I C A D A f (R )

daniel alejandro molano moreno

Tesis de maestría sometida como requisito parcial para optar al grado de Magísteren Ciencias - Astronomía

director:Leonardo Castañeda Colorado

Observatorio Astronomico NacionalFacultad de Ciencias

Universidad Nacional de Colombia

Junio de 2015 – version 1.0

Daniel Alejandro Molano Moreno: Teoría de Perturbaciones Cosmológi-cas en Teorías de gravedad modificada f(R), Tesis de maestría sometidacomo requisito parcial para optar al grado de Magíster en Ciencias -Astronomía, Bs. C. Fisica y Bs. C. Matematicas , Junio de 2015

director:Leonardo Castañeda Colorado

lugar:Bogotá, Colombia

N O TA D E A C E P TA C I Ó N

Los abajo firmantes certifican que han leído y aprueban el tra-bajo de grado titulado Teoría de Perturbaciones Cosmológicas en Teoríasde Gravedad Modificada f(R), presentado por Daniel Alejandro MolanoMoreno como requisito parcial para optar al grado de Magíster en Cien-cias - Astronomía.

Firma del director: Leonardo Castañeda Colorado

Firma del jurado: Eduardo Rodriguez Salgado

Firma del jurado: Juan Manuel Tejeiro Sarmiento

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A la memoria del maestro Jesús Hernando Perez “Peluza”.

A mis padres y hermanos.

R E S U M E N

Recientes observaciones astronómicas de supernovas (SNIa) y Os-cilaciones Bariónicas Acústicas (por sus siglas en ingles) (BAO) indicanque el Universo se encuentra en una etapa de expansión acelerada.En el marco de la Relatividad General (RG), esta expansión es expli-cada por una constante cosmológica positiva o modelos de materiaexótica conocida en la literatura como energía oscura. Sin embargo,hay una alternativa para explicar esta expansión acelerada sin mod-elos de materia exótica. Modificaciones de la RG como teorías degravedad escalar-tensor o teorías de gravedad de derivadas de ordensuperior, ofrecen una explicación natural a la expansión aceleradacomo un fenómeno geométrico. Una de estas teorías de orden su-perior es gravedad modificada f(R). En este trabajo usamos algunosresultados matemáticos correspondientes a expansiones de Taylor decampos tensoriales bajo la acción de una familia uniparamétrica dedifeomorfismos en el contexto de teorías de gravedad modificadaf(R) con el universo en expansión. Aquí usamos el formalismo deinvariante gauge de segundo tipo siguiendo el trabajo de Nakamuraobteniendo ecuaciones generales a primer y segundo orden invari-ante gauge en gravedad modificada f(R). Como ejemplo, nosotrosescribimos estas ecuaciones a primer y segundo orden en el espaciotiempo perturbado de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW).Las ecuaciones perturbadas invariantes gauge escalares, vectoriales,tensoriales invariantes gauge son obtenidas en teorías de gravedadmodificada f(R) y se dan caracteristicas de sus soluciones. En adi-ción, desarrollamos una teoría para estudiar las características de lassoluciones en el vacío en teorías de gravedad modificada f(R) y lasaplicamos a dos modelos en particular.

A B S T R A C T

Recent astronomical observations of supernovae (SNIa) and bari-onic acoustic oscilations (BAO) indicate that the Universe is in anaccelerated expansion period. Interpreted within the framework ofRG, the acceleration is explained by a positive cosmological constantor exotic matter models known in the literature as dark energy. How-ever, there is an alternative approach to explain the acceleration with-out exotic matter models. Modifications of GR such as scalar-tensorgravity and high-order derivative gravity theories, naturally offer theexplanation for the accelerated phase coming from the geometricalside. One of this higher-order theories is f(R) modified gravity. In this

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work, we use some mathematical results concerning to the Taylor ex-pansions of tensor fields under the action of one-parameter familiesof diffeomorphism in the context of f(R) theories in the expandinguniverse. We mean gauge invariant in the sense of the second-kindgauge following the work exposed in Nakamura. We obtain the gen-eral gauge invariant at first-order and second-order equations in f(R)gravity. As an example, we write these first-order equations in f(R)gravity for a perturbed FLRW space-time. The gauge invariant scalar,vector and tensor FLRW perturbations equations for first order are ob-tained explicitly in f(R) gravity and we obtain solution features. Inaddition, we develop a theory of which goal is give solution character-istic in the vacuum on modified gravity theories f(R) and we appliedthis in two particular models.

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P U B L I C A C I O N E S Y E V E N T O S

Algunos resultados y figuras aparecieron previamente en la sigu-iente publicación :

Daniel Molano y Leonardo Castañeda Some Mathematical Aspects in theExpanding Universe, Analysis, Modelling, Optimization, and Numer-ical Techniques. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics,Volume 121 (2015). ISBN 978-3-319-12582-4, ISBN 978-3-319-12583-1(eBook)

Algunos resultados de este trabajo fueron presentados en los sigu-ientes eventos:

“Teoría de perturbaciones en teorías de gravedad modificada f(R)”. III Con-greso Colombiano de Astronomía. Bucaramanga, Colombia, Noviem-bre 2012.

Mathematical aspects in the expanding universe. International Confer-ence on applied mathematics and informatics (ICAMI). Noviembre2013.

Aspectos matemáticos de un universo en expansión. Primera Escuela Colom-biana de Astroestadística. (Métodos bayesianos en cosmología.) Juniode 2014.

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A G R A D E C I M I E N T O S

En primer lugar quiero agradecer al profesor Leonardo Castañedapor todos estos años de enseñanzas, de paciencia, de gran corazóncon sus estudiantes y con la sociedad. Por ayudarme a adquirir ha-bilidades para el desarrollo de mi formación como científico. Por laconfianza y la libertad para dejarme desarrollar algunas de mis ideasen este trabajo. Por el apoyo y la motivación en momentos difíciles yen general por ayudarme a cumplir mis sueños, ser un gran maestroy gran amigo. Quiero agradecer a la beca de estudiante sobresalientede posgrado o beca BESP, porque sin ella este trabajo y sus resultadosno hubiesen sido posibles de lograr. También hay que agradecer a laformación recibida en el Observatorio Astronómico Nacional OAN yal entusiasmo de sus docentes. Y a la formación recibida en el depar-tamento de física.

Quiero agradecer a mi familia en especial a Andrea, Luis Guillermo,Paula, Aleja y Simón por su motivación, confianza, consejos y por elpatrocinio en incontables oportunidades. A mi papá por manteneruna biblioteca con libros que me motivaron en alguna ocasión y enespecial a mi madre quien nunca a dejado de confiar en mi y me haguiado, apoyado y motivado todos estos años, por sus oraciones, poraguantarse el desorden en la biblioteca y por enseñarme a cumplirsiempre la misión encomendada.

A mis compañeros del grupo de gravitación y cosmología en es-pacial a Angela por que me ha ayudado desde el pregrado hasta lamaestría en innumerable cantidad de ocasiones. También a Alejo porayudarnos con el articulo, a Javier por sus conocimientos y consejos, aMonica Rincon, Carlos Benavides y Jose Gabriel por enriquecedorasdiscusiones en relatividad y a la ayuda de Miller, Jonathan, CarlosOrduz, Fernando Fandiño, Fernando Velez, Roger, William, DanielContreras, Daniel Peralta y don Alberto.

A mis compañeros de la Universidad Sergio Arboleda (USA) Ed-ward, Andrés, Ivonne, Vivi, Bibi, Mayer, German por toda la moti-vación al final de este proceso y en general a todo el equipo de laEMF-USA. A la USA por mi formación en matemáticas y en especiala la profesora Luz Myriam Echeverry, quien ha sido como una madrepara mi, en todo este proceso de formación. Al Ing. Jorge Soliz porel apoyo y solidaridad estos últimos años. A todos mis estudiantesporque que he aprendido mucho de ellos.

A mis amigas Bel, Caro, Carmen, Andrea por tanta motivación yconfianza. Y agradezco a todos los que hicieron parte de este proceso

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y no alcanzo a nombrar. ¡A todos muchas gracias por hacer de estauna mejor sociedad!.

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C O N T E N I D O

1 introducción 1

i relatividad general 3

2 relatividad general 5

2.1 Formulación Lagrangiana 6

2.1.1 Mecánica Clásica 6

2.1.2 Teoría de Campos 7

2.1.3 Relatividad General 9

2.1.4 Teorías de gravedad modificada f(R) 10

2.1.5 Formulación Lagrangiana 10

2.1.6 Equivalencia con la teoría de Brans-Dicke 12

2.1.7 Transformación Conforme 13

2.2 Ecuaciones de campo en el vacío y simetría esférica enRG 14

2.3 Ecuaciones de campo en el vacío y simetría esférica enTGM f(R) 16

3 teoría de perturbaciones en relatividad general 19

3.1 Definición de perturbación 20

3.2 Grado de libertad gauge en relatividad general 22

3.2.1 Gauge de primer tipo 22

3.2.2 Gauge de segundo tipo 23

3.2.3 Invariancia gauge y transformaciones gauge 23

3.2.4 Transformación de coordenadas inducida por latransformación gauge 27

3.3 Ecuaciones de Campo 28

3.3.1 Cantidades geométricas en N 29

3.3.2 Perturbaciones de las cantidades geométricas 31

3.4 Teoría de perturbaciones invariante gauge 35

3.4.1 La métrica 36

3.4.2 Cantidades geométricas 39

4 teoría de perturbaciones en cosmología 43

4.1 Espacio tiempo background 43

4.2 Perturbación de la métrica en cosmología 44

4.3 Perturbaciones del tensor momento-energía 52

4.4 Ecuaciones de campo perturbadas a primer orden encosmología 56

4.5 Ecuaciones de campo perturbadas a segundo orden encosmología 59

ii teorías de gravedad modificada f(R) 67

5 teoría de perturbaciones en teorías de gravedad

modificada f(R) 69

xv

xvi contenido

5.1 Definición de perturbación en gravedad modificada 69

5.2 Ecuaciones de Campo en f(R) 70

5.3 Invariante Gauge 74

6 teoría de perturbaciones cosmológicas en teorías

de gravedad modificada f(R) 81

6.1 Espacio tiempo background 81

6.2 Ecuaciones de campo perturbadas a primer orden encosmología 81

6.2.1 Gauge Newtoniano 88

6.2.2 Gauge Síncrono 88

6.2.3 Transformación conforme 90

7 teoría post einstein 93

7.1 Definición 93

7.2 Ecuaciones de Campo en TGM f(R) a orden n 94

7.3 Caso f(R) = R + λR2 96

7.4 Caso f(R) = R + λΨλ(R) 98

8 formulación covariante 1 + 3 en f(R) 101

8.1 El formalismo covariante 101

8.1.1 Descomposición Espacio-Tiempo 102

8.2 Las cantidades cinemáticas 103

8.3 Identidades de Ricci 104

8.4 El tensor de momento-energía 105

8.4.1 Las leyes de conservación 105

8.5 Ecuaciones de campo de Einstein en el formalismo 1 +3 106

8.5.1 La ecuación de Ehlers-Raychaudhuri 107

8.6 Cantidades en el formalismo 1 + 3 en teoría de pertur-baciones 108

8.6.1 Fluidos Magnetizados 111

9 conclusiones 115

iii apéndices 117

a aspectos matemáticos 119

a.1 Transformaciones inducidas sobre tensores 119

a.2 Derivada de Lie y expansiones de taylor de campostensoriales 119

a.3 Derivada covariante 125

b formulas útiles 127

b.1 Propiedades Perturbaciones cosmológicas 128

bibliography 131

Í N D I C E D E F I G U R A S

Figure 1 La variedad N (4+1)-dimensional. M0 lo lla-maremos espacio tiempo background 22

Figure 2 El gauge de segundo tipo es una identificaciónde puntos entre el espacio tiempo perturbadoMλ y el espacio tiempo background M0 en lavariedad extendida N. Asumiremos la exis-tencia de esta identificación de puntos sin em-bargo esta identificación no es única. 25



A C R Ó N I M O S

RG Relatividad General

TGM Teorías de Gravedad Modificada

PIG Parte Invariante Gauge

PVG Parte Variante Gauge

FLRW Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

CMB Radiación Cósmica de Fondo (por sus siglas en ingles)

BAO Oscilaciones Bariónicas Acústicas (por sus siglas en ingles)

MHD Magneto Hidro Dinámica (por sus siglas en ingles)

xvii

N O TA C I Ó N Y C O N V E N C I O N E S

Usaremos la signatura de la métrica −+++, el tensor de Riemann∇a∇bωc −∇b∇aωc = Rabc

dωd y el tensor de Ricci Rac = Rabcb.

En nuestra notación los índices latinos a,b, . . . no representan lascomponentes de un tensor en una base determinada, representan altensor en si, así como la flecha sobre una letra representa un vectoren un espacio vectorial. También usaremos la negrilla para describirtensores. Los índices griegos α,β, . . . en cambio si representan lascomponentes de un tensor en una base determinada y los índiceslatinos i, j, . . . serán usados para denotar las componentes espaciales.Trataremos que no haya confusión en la notación de los índices latinosa lo largo del texto y que el uso de estos sea inferido por el contexto.Esta es la lista de símbolos mas usados:

Símbolo Descripción

∪ Denota la operación de unión entre conjuntos.

∩ Denota la operación de intersección entre conjuntos.

R El conjunto de los números reales.

× El Producto cartesiano.

xα Coordenadas arbitrarias en una variedad M.

φ,α = ∂αφ = ∂φ∂xα Derivada parcial. con respecto a xα

Aα;β = ∇βAα Derivada covariante.

N N =M×R

f ≡ f(R) por simplicidad en algunos casos lo llamaremos solo f

f ′ ≡ f ′(R) ≡ ∂f∂R por simplicidad en algunos casos lo llamaremos solo f ′

f, f ′, ∇a, T estas cantidades no tiene indicador i. e.(1)

f .

Por tanto están en el background

xix

1I N T R O D U C C I Ó N

Recientes observaciones muestran una gran evidencia de que elUniverso se encuentra en una etapa de expansión acelerada[36], estoen el contexto del modelo estándar de la cosmología en RG, es ex-plicado con la existencia de una componente de presión negativa lla-mada energía oscura, pero no tenemos evidencia directa de la exis-tencia de esta. Esto ha motivado modelos alternativos a la RG loscuales son modificaciones de la acción de Einstein-Hilbert. Un impor-tante subconjunto de estos están basados en Lagrangianos no linealesescritos en forma genérica como f(R) donde f es una función diferen-ciable del escalar de Ricci R. Estas son llamadas teorías de gravedadgeneralizada.

Por otro lado la RG es equivalente a un sistema de ecuaciones difer-enciales parciales de segundo orden no lineales. En RG, como en lamayoría de teorías físicas, no tenemos un método general para re-solver estas ecuaciones diferenciales, pero, como en la mayoría deteorías físicas, recurrimos a una teoría de perturbaciones la cual con-siste en hacer “pequeñas” variaciones a soluciones conocidas con elfin de entender escenarios físicos menos ideales. Como caso partic-ular esta la teoría de perturbaciones cosmológicas en RG y teoríasextendidas de la gravedad la cual es un campo de investigación muyactivo actualmente. Uno de los principales objetivos es clarificar es-cenarios del universo temprano con datos cosmológicos como laRadiación Cósmica de Fondo (por sus siglas en ingles) (CMB) y suanisotropia en el espectro de potencias de la temperatura [17]. Lateoría de perturbaciones cosmológicas es la herramienta para inves-tigar la fenomenología en la CMB y la relación con la función de cor-relación galáctica y así entender la formación de estructura del uni-verso. Así, teniendo una teoría gravitacional alterna a la RG, que enprincipio podría dar una explicación de la expansión acelerada sinnecesidad de energía oscura, es importante estudiar todo su formal-ismo y en particular la teoría de perturbaciones cosmológicas.

Este trabajo consta de tres partes. En la primera parte en el Capit-ulo 2 presentamos la RG y las Teorías de Gravedad Modificada (TGM)f(R) y su formulación lagragangiana. Se hace un pequeño recuentode la formulación lagrangiana desde la mecánica clásica hasta lasTGM f(R) y presentamos también la equivalencia entre las teorías deBrans-Dicke y TGM f(R) y la transformación conforme. Presentare-mos también algunas propiedades de las ecuaciones de campo en

1

2 introducción

el vacío y una forma de llegar a la solución de Schwarzschild paradespués compararla con propiedades de las ecuaciones de campoen el vacío en TGM f(R) y como quedan las ecuaciones diferencialesen simetría esférica. Después, en el Capitulo 3 definimos con masprecisión perturbación y el problema gauge tratando de mantenerla generalidad hasta restringirnos a RG y descomponemos las canti-dades perturbadas en Parte Invariante Gauge (PIG) y Parte VarianteGauge (PVG) y obtenemos las ecuaciones de campo perturbadas enRG a primer y segundo orden. En el Capitulo 4 aplicamos todo lamaquinaria teórica del capitulo anterior para aplicarla a cosmologíay obtenemos las ecuaciones perturbadas a primer orden siguiendo elformalismo de Nakamura[32].

Los resultados presentados en la segunda parte de la tesis son pro-pios del trabajo. El Capitulo 5 y Capitulo 6 son reflejos del Capitulo 3

y del Capitulo 4 pero en TGM f(R). Aquí en adición presentamos lasecuaciones en un gauge particular y también definimos dos nuevosinvariantes y los relacionamos con un marco de Einstein de la teoríaabriendo nuevos posibles campos de investigación de la teoría invari-ante gauge en esa dirección. En el Capitulo 7 definimos una nuevaforma de perturbar el espacio-tiempo, pero en este caso partiremosde una solución conocida en RG y las comparamos con soluciones enTGM f(R) estudiando los casos f(R) = R+ λR2 y f(R) = R+ λΦλ(R) yfinalmente en el Capitulo 8 presentamos la formulacion 1+ 3 covari-ante invariante gauge en RG y TGM f(R).

En la tercera parte de la tesis presentamos los apendices. En elApéndice A presentamos los aspectos matemáticos mas importantescomo las expansiones de Taylor, los difeomorfismos Knight y algunosoperadores matemáticos sobre variedades. En el Apéndice B presen-tamos las formulas que se usaron a lo largo de este trabajo. Algunasson formulas bien conocidas, otras las presenta Nakamura[30], otrasson generalizaciones de Nakamura y finalmente las otras son propiasde la tesis.

Part I

R E L AT I V I D A D G E N E R A L

2R E L AT I V I D A D G E N E R A L

El científico no estudia la naturaleza porque sea útil; la estudia porque sedeleita en ella, y se deleita en ella porque es hermosa. Si la naturaleza no

fuera hermosa, no valdría la pena conocerla, y si no valiera la pena conocerla naturaleza, no valdría la pena vivir la vida..

— Henri Poincaré

El espacio tiempo es modelado por el par (M,gab) dondeM es unavariedad Hausdorff y paracompacta y gab es una métrica Lorentzianacon signatura con signatura −+++ sobre M. La métrica gab debesatisfacer las ecuaciones de campo de Einstein,

Rab −1

2Rgab = 8πGTab, (1)

en unidades de (c = 1), donde Tab es el tensor de momento energíaque describe la distribución de materia, R ≡ Rabgab es el escalar decurvatura y el tensor de Ricci Rac ≡ Rabcb. Para definir el tensor de cur-vatura de Riemann Rabcd, consideremos primero un campo vectorialdual ωc [44] y así

∇a∇bωc −∇b∇aωc ≡ Rabcdωd, (2)

aquí ∇a es un operador derivada definido sobre M llamado derivadacovariante (donde consideramos el caso sin torsión, véase el Sección A.3).

Dadas dos derivadas covariantes ∇a y ∇a existe un campo tenso-rial Ccab tal que,

∇aωb = ∇aωb −Ccabωc (3)

donde

Ccab =1

2= gcd

(∇agbd + ∇bgac − ∇cgab

).

Podemos considerar en particular el caso en que ∇a sea el operadorderivada ∂a y en este caso Ccab es notado como Γcab y es llamadosímbolo de Christoffel1. Entonces la ecuación (3) queda

∇aωb = ∂aωb − Γbacωc, (4)

1 En esta escogencia el símbolo de Christoffel depende del sistema de coordenadasusado para definir ∂a, pero si cambiamos de coordenadas el operador ∂a cambiapor ∂ ′a y así nuestro tensor Γcab cambia a un nuevo tensor Γ ′cab y se puede verque no cumple la ley de transformación de tensores.

5

6 relatividad general

conΓcab =

1

2gcd

[∂agbd + ∂bgad − ∂dgab

],

y así en una base coordenada local las componentes del símbolo deChristoffel son

Γρµν =1

2gρσ

[∂gνσ

∂xµ+∂gµσ

∂xν−∂gµν

∂xσ

],

entonces, la ecuación (2) en una base coordenada local queda como,

Rµνρσ =

∂

∂xνΓσµρ −

∂

∂xµΓσνρ + Γ

αµρΓ

σαν − Γ

ανρΓ

σαµ. (5)

De estas ultimas dos ecuaciones se puede ver que las ecuacionesde Einstein (1) son equivalentes a un sistema acoplado de ecuacionesdiferenciales parciales de segundo orden no lineales para las compo-nentes de la métrica gµν. La mayor parte de este trabajo consisteen estudiar las soluciones de estas ecuaciones “cerca” a solucionesconocidas, tanto para RG como para TGM f(R).

El lado izquierdo de la ecuación (1) es conocido como el tensor deEinstein Gab, es decir Gab ≡ Rab − 1

2Rgab.

2.1 formulación lagrangiana

Veamos ahora como podemos obtener las ecuaciones (1) a partir deun principio de acción. Una teoría debe ser derivable de un principiode acción debido a que es la única manera conocida de incorporar au-tomáticamente cantidades conservadas como la energía, el momentolineal y angular entre otras.

Primero vamos ver como se hace en mecánica clásica luego enteoría de campos y finalmente RG.

2.1.1 Mecánica Clásica

Consideremos una función diferenciable L : R3 ×R3 ×R −→ R,y sea γ = (t,q)|q = (qx(t),qy(t),qz(t)), t1 6 t 6 t2 una curvadiferenciable en R3. Una función L(q, q, t) donde q ≡ dq/dt y q(t)pertenece a una curva γ se llama Lagrangiana. Consideremos ahorauna función real S cuyo dominio es el espacio de las curvas en R3

así:

S(γ) =

∫t2t1

L(q, q, t)dt. (6)

2.1 formulación lagrangiana 7

Tales funciones son denominadas acciones funcionales. Consideremosahora una variación de la curva q(t) −→ q(t)+ δq(t), donde δq(t1) =δq(t2) = 0 pero diferente de cero en el intervalo t1 < t < t2. La curvaγ en donde δS = 0 se llama extremal o estacionaria.

Teorema 1. La curva γ es un extremal de la funcional (6) sobre el espaciode curvas que pasan por los puntos q(t1) y q(t2) si y solo si

d

dt

(∂L

∂q

)−∂L

∂q= 0 (7)

a lo largo de la curva γ.

Prueba 1. El cambio en la acción esta dado por

δS =δ

∫t2t1

Ldt∫t2t1

δLdt

=

∫t2t1

(∂L

∂qδq+

∂L

∂qδq

)dt

=∂L

∂qδq|t2t1+

∫t2t1

(d

dt

(∂L

∂q

)−∂L

∂q

)δqdt,

donde, en la ultima igualdad integramos por partes y usamos el hecho queδq = d(δq)/dt.

Las ecuaciones (7) son conocidas como ecuaciones de Euler-Lagrange.Ahora compararemos estas ecuaciones con la dinámica de Newton:

d

dt(miri) +

∂U

∂ri= 0. (8)

Teorema 2. Los movimientos de un sistema mecánico (8) coinciden con losextremales de la funcional

S(γ) =

∫t2t1

L(q, q, t)dt (9)

donde L = T −U, es la diferencia entre la energía cinética y la potencial.

Prueba 2. Ya que U = U(r) y T = Σmir2i /2, tenemos ∂L/∂ri = ∂T/∂ri y∂L/∂ri = −∂U/∂ri. [1]

2.1.2 Teoría de Campos

Consideremos un campo escalar φ definido sobre una variedad.Sea una región de la variedad V con frontera suave, orientable y


cerrada ∂V. Tenemos también en este caso una densidad lagrangianaL(φ,φ,µ), entonces la acción funcional en este caso sera:

S(φ) =

∫V

L(φ,φ,µ)√−gdx4, (10)

donde g ≡ det(gµν) es el determinante de la métrica. Las ecuacionesde Euler-Lagrange en este caso se obtienen al hacer la variación dela acción respecto a los campos escalares. Esto es, consideremos unavariación del campo escalar δφ, donde δφ es cero en la frontera ∂V.

Teorema 3. El campo escalar φ es un extremal de la funcional (10) sobre elespacio de los campos escalares que se mantienen fijos en la frontera ∂V si ysolo si

∇α(∂L

∂φ,α

)−∂L

∂φ= 0. (11)

Prueba 3. El cambio de la acción esta dado por,

δS =

∫V

δL√−gdx4

=

∫V

(∂L

∂φδφ+

∂L

∂φ,µδφ,µ

)√−gdx4

=

∫V

(∂L

∂φδφ+

(∂L

∂φ,µδφ

);µ−

(∂L

∂φ,µ

);µδφ

)√−gdx4

=

∫V

(∂L

∂φ−

(∂L

∂φ,µ

);µ

)δφ√−gdx4 +

∮∂V

(∂L

∂φ,µ

)δφdΣµ,

donde el teorema de Gauss fue usado en el ultimo paso y el ultimo terminose anula por las condiciones impuestas en la frontera.

Estas son las ecuaciones de Euler-Lagrange para un campo escalarφ.

Comparemos ahora estas ecuaciones con el potencial gravitacionalen el modelo de Newton:

∇2Φ = 4πGρ, (12)

esta es conocida como ecuación de Poisson.

Teorema 4. El potencial gravitacional Newtoniano Φ coincide con los ex-tremales de la funcional

S(Φ) =

∫V

Ldx3. (13)

donde L = 18πG(∇Φ)2 + ρΦ

Prueba 4. Tenemos entonces ∂L/∂Φ,i = Φ,i/4πG y ∂L/∂Φ = ρ.

La cantidad (∇Φ)2/8πG puede ser interpretada como la densidadde energía del campo gravitacional y ρΦ la densidad de energía deinteracción campo y materia.


2.1.3 Relatividad General

En RG la variación se hace con respecto al campo tensorial gµν enuna variedad M a una acción S(g) donde:

S(g) =

∫V

L(gµν,gµν,α ,gµν,αβ)√−gdx4. (14)

Veamos primero algunas propiedades del determinante de la métricay el elemento de volumen en una variedad con una métrica lorentzianaarbitraria. Sea g ≡ det(gµν) el determinante de la métrica, J =

det[∂xµ/∂x ′ν] el Jacobiano de la transformación xµ → x ′ν(xµ) y con-siderando la transformación de la métrica

g ′µν =∂xα

∂x ′µ∂xβ

∂x ′νgαβ (15)

entonces del análisis matemático, tenemos dx4 = Jdx ′4 y de (15)g ′ = gJ2. Consideremos entonces una transformación de una marcode Lorentz en P a un sistema arbitrario de coordenadas xµ. El ele-mento de volumen cuadridimencional d4x ′ = J−1d4x =

√g/g ′dx4.

Pero g ′ = −1, así,√−gd4x es un elemento de volumen invariante al

rededor de un punto arbitrario P.

El campo tensorial gµν coincide con los extremales de la funcional(14) sobre el espacio de los campos tensoriales que se mantienen fijosen la frontera ∂V si y solo si

∂L

∂gαβ− ∂µ

∂L

∂(∂µgαβ)+ ∂µ∂ν

∂SL

∂(∂µ∂νgαβ)= 0. (16)

estas son las ecuaciones de Euler-Lagrange y la derivada simétricaesta definida por

∂S

∂(∂µ∂νgαβ)∂δ∂λg

αβ = δµ(δδνλ) (17)

El campo gravitacional gµν en RG esta descrito por las ecuacionesde campo de Einstein (1)

Teorema 5. El campo gravitacional gµν en RG coincide con los extremalesde la funcional

S(g) =

∫V

Ldx4 + SGYH. (18)

donde L = 116πGR

√−g + LM(gµν,ϕ,ϕ,µ)

√−g. El primer termino es

conocido como acción de Einstein-Hilbert y el segundo es la acción de los cam-pos de materia. La funcional SGYH es el termino de Gibbons-York-Hawking.


Demostración: vease d’Inverno[14]

En cada caso hemos hecho una variación de una acción con unadensidad Lagrangiana cuyo resultado es un conjunto de ecuacionesdiferenciales donde las condiciones iniciales o condiciones de fronteraestán dadas por la frontera de la acción y las condiciones que allí seimpongan. Diremos que la acción esta bien definida si la solución deestas ecuaciones diferenciales es única. Es posible que exista un con-junto de condiciones iniciales donde la solución no sea única. Si esteconjunto es de medida cero entonces en este caso también diremosque la acción esta bien definida.

2.1.4 Teorías de gravedad modificada f(R)

Aquí, como en RG el espacio tiempo es modelado por el par (M,gab)donde M es una variedad Hausdorff y paracompacta y gab es unamétrica lorentziana con signatura con signatura −+++ sobre M. Ladiferencia es que la métrica gab debe satisfacer las ecuaciones decampo en teorías de gravedad modificada f(R):

f ′(R)Rab −1

2f(R)gab −∇a∇bf ′(R) + gabf ′(R) = 8πGTab, (19)

donde R es el escalar de curvatura, Rµν es el tensor de Ricci y f esuna función f : R −→ R la cual consideraremos aquí C∞ y analítica.2

También tenemos que f ′(R) ≡ ∂f/∂R y Tab es el tensor momentoenergía.

La gravedad de Einstein sin constante cosmológica corresponde af(R) = R. La traza de la ecuación (19) viene dada por,

3f ′(R) + f ′(R)R− 2f(R) = 8πGT . (20)

Inspirados en el lado izquierdo de la ecuación (19) definimos el ten-sor Σab como Σab ≡ f ′(R)Rab − 1

2f(R)gab −∇a∇bf′(R) + gabf ′(R).

Las ecuaciones en TGM f(R) (19) son equivalentes a un sistemaacoplado de ecuaciones diferenciales parciales de cuarto orden nolineales para las componentes de la métrica gµν.

2.1.5 Formulación Lagrangiana

El campo gravitacional gµν en TGM f(R) esta descrito por las ecua-ciones de campo (19)

2 Estas restricciones podrían ser mas débiles, pero mas adelante las necesitamos parapoder hacer expansiones en series de Taylor (502).


Teorema 6. El campo gravitacional gµν en TGM f(R) coincide con los ex-tremales de la funcional

S(g) =

∫V

Ldx4 + S. (21)

donde L = 116πGf(R)

√−g+LM(gµν,ϕ,ϕ,µ)

√−g. El primer termino es

una generalización de la acción de Einstein-Hilbert y el segundo es la acciónde los campos de materia.

Esquema de la demostración: Como ya hemos visto en la Sec-ción 2.1.3 que de la variación de los campos de materia obtenemos eltensor momento energía, entonces nos concentraremos en el primertermino de la acción. Tenemos

δ

∫V

f(R)√−gd4x =

∫V

[δ(f(R))√−g+ f(R)δ(

√−g)]d4x (22)

=

∫V

[f ′(R)Rµν −1

2gµνf(R)]δg

µν√−gd4x (23)

+

∫V

f ′(R)gµνδRµν√−gd4x. (24)

En un marco de referencia inercial tenemos,

gµνδRµν = gµν(δΓσµν),σ − gµσ(δΓνµν),σ ≡Wσ

,σ (25)

entonces∫V

f ′(R)gµνδRµν√−gd4x =

∫V

f ′(R)Wσ,σ√−gd4x (26)

=

∫V

[f ′(R)Wσ√−g],σd4x−∫V

[f ′(R)√−g],σW

σd4x (27)

en donde se ha integrado por partes. El primer integrando es unadivergencia se anula con el termino de frontera S ′GYH, para detallesvease [22] . Así,

∫V

f ′(R)gµνδRµν√−gd4x = −

∫V

[f ′(R)√−g],σW

σd4x (28)

Calculemos ahora el termino Wσ,

δΓσµν = δ

[1

2gσα(gαν,µ + gµα,ν − gµν,α)

](29)

=1

2[(δgαν),ν + (δgµα),ν − (δgµν),α], (30)

en el marco de referencia local considerado

∂αgµν = ∇αgµν = 0, (31)


también,

δΓνµν =1

2gνα(δgνα),µ (32)

combinando las ecuaciones (31) y (31), obtenemos

gµνδΓσµν =1

2gµν[−(gανδg

ασ),µ − (gµαδgσα),ν − g

σα(δgµν),α]

=1

2(gµνδg

µν),σ − (gαµδgνα),µ,

gµσδΓνµν =−1

2(gναδg

να),

del cual se sigue que

Wσ = (gµνδgµν),σ − (gµνδg

σν),µ, (33)

usando esta ecuación podemos escribir∫V

f ′(R)gµνδRµν√−gd4x

=

∫V

[(gµνδg

σν),µ − (gµνδgνν),σ][f ′(R)√−g],σd4x (34)

integrando por partes

∫V

f ′(R)gµνδRµν√−gd4x =

∫V

gµν∂σ∂σ[f

′(R)√−g]δgµνd4x

− gµν∂µ∂σ[

√−gf ′(R)]δgσν

(35)

Por lo tanto la variación de la acción (21) queda finalmente

f ′(R)Rab −1

2f(R)gab −∇a∇bf ′(R) + gabf ′(R) = 8πGTab (36)

como las ecuaciones de campo en teorías de gravedad modificadaf(R).

2.1.6 Equivalencia con la teoría de Brans-Dicke

La TGM f(R) puede ser escrita en la forma de la teoría de Brans-Dicke [7, 20] con un potencial para el grado de libertad escalar. Con-sideremos la siguiente acción con un nuevo campo escalar χ

S =1

16πG

∫V

[f(χ)+ f,χ(χ)(R−χ)+LM(gµν,ϕ,ϕ,µ)]√−gd4x. (37)

Variando esta acción con respecto a χ, tenemos

f,χχ(χ)(R− χ) = 0. (38)


Asumiendo que f,χχ(χ) 6= 0 entonces χ = R y así la acción (37) quedacomo la acción (21) . Ahora, si definimos φ ≡ f,χ(χ), la acción (37)puede ser expresada como

S =

∫V

[1

16πGφR−U(φ) +LM(gµν,ϕ,ϕ,µ)

]√−gd4x, (39)

donde U(φ) es el potencial del campo dado por

U(φ) =χ(φ)χ− f(χ(φ))

16πG. (40)

Mientras que la acción de Brans and Dicke[7] con un potencial U(φ)esta dado por

S =

∫V

[1

2φR−

ωBD2φ

(∇φ)2−U(φ)+LM(gµν,ϕ,ϕ,µ)

]√−gd4x, (41)

donde ωBD es el parámetro de Brans-Dicke y (∇φ)2 ≡ gµν∂µφ∂νφ.Comparando la ecuación (37) con (41) se sigue que la TGM f(R) esequivalente a la teoría de Brans-Dicke con parámetro ωBD = 0.

2.1.7 Transformación Conforme

Es posible derivar una acción en el marco de Einstein bajo la trans-formación conforme

gµν = Ω2gµν (42)

donde Ω2 es el factor conforme y la tilde representa representa canti-dades en el marco de Einstein. Los escalares de Ricci R y R en los dosmarcos tienen la siguiente relación

R = Ω2(R+ 6ω− 6gµν∂µω∂νω) (43)

donde

ω ≡ lnΩ, ∂µω ≡∂ω

∂xµ. (44)

Si reescribimos la acción (21) en la forma

S =

∫V

[1

16πGf ′R−U+LM(gµν,ϕ,ϕ,µ)

]√−gd4x (45)

donde

U =f ′R− f

16πG(46)

usando (43) y la relación√−g = Ω−4

√−g, la acción (45) se trans-

forma


S =

∫V

[1

16πGf ′Ω−2(R+ 6ω− 6gµν∂µω∂νω) −Ω−4U

+LM(Ω−2gµν,ϕ,ϕ,µ)

]√−gd4x.

(47)

y así obtenemos una acción lineal en R si escogemos

Ω2 = f ′. (48)

Esto es claramente consistente siempre que f ′ > 0. Introduciremosun nuevo campo escalar φ definido por

√8πGφ ≡

√3/2 ln f ′. (49)

de la definición de ω en (44) tenemos que ω =√8πGφ/

√6. También

tenemos que la integral∫ω√−gd4x se hace cero usando el teorema

de Gauss y así la acción en el marco de Einstein es

SE =

∫V

[1

16πGR−

1

2gµν∂µφ∂νφ− V(φ)LM(Ω−2gµν,ϕ,ϕ,µ)

]√−gd4x

(50)

donde

V(φ) =U

f ′2=f ′R− f

16πGf ′2(51)

2.2 ecuaciones de campo en el vacío y simetría esférica

en rg

Existen una gran cantidad de situaciones físicas en donde nos in-teresa describir los fenómenos por fuera de una distribución de ma-teria y energía. Las ecuaciones de campo en el vacío proveen unadescripción adecuada a estas situaciones físicas (El sol, sistemas devarios cuerpos y cuerdas cósmicas entre otros). Vamos a estudiaralgunas propiedades importantes de las ecuaciones de campo de Ein-stein en el vacío y algunos resultados matemáticos de la simetría es-férica que usaremos mas adelante para describir propiedades en TGM

f(R).

Teorema 7. Las ecuaciones de campo en el vacío sin constante cosmológicason equivalentes a la anulación de las componentes del tensor de Ricci yescalar de Ricci.

Prueba 5. Si se esta en un punto de la variedad donde no hay distribuciónde materia, entonces, el tensor momentum-energía se anula y (1) nos queda:

Rαβ −1

2Rgαβ = 0, (52)

2.2 ecuaciones de campo en el vacío y simetría esférica en rg 15

entonces al calcular la traza tenemos,

gαβ(Rαβ −1

2Rgαβ) = 0,

R− 2R = 0,

R = 0.

Y reemplazando este resultado en (52) tenemos que Rαβ = 0.

Schwarzschild (1916) a pocos meses de que Einstein publicara lasecuaciones de campo, encontro una solución al problema de la simetríaesférica3, dando una de las mas importantes soluciones exactas en RG,la cual predice diferencias con la teoría Newtoniana para el movimientode los planetas en el sistema solar (corrimiento del perihelio) y tam-bién el fenómeno de lente gravitacional, corrimiento al rojo de la luzy efectos de retardo temporal. Estos efectos han sido medidos conmucha precisión [45]. Nuestro siguiente paso sera deducir la soluciónde Schwarzschild y en el marco de esta deducción en la Sección 2.3encontraremos una expresión general para TGM f(R).

La métrica mas general estática, esfericamente simétrica en unavariedad pseudo-Riemanniana puede ser escrita de la forma [44]

ds2 = −eη(r)dt2 + eα(r)dr2 + r2dΩ2. (53)

Usando el Teorema 7 para el tensor de Ricci nos queda

0 = R00 =e−α+η

4(2η+ η ′2 − ηα) +

e−α+ηη

r(54)

entonces de la componente 00 del tensor de Ricci tenemos,

1

4(2η+ η2 − ηα) +

η

r= 0, (55)

ahora para las componentes 11 y 22 del tensor de Ricci,

0 = R11 = −1

4(2η+ η2 − ηα) +

α

r, (56)

0 = R22 = 1+(−ηr+ αr− 2)

2e−α, (57)

donde ˙ ≡ ddr . Sumando las ecuaciones (55) y (56) tenemos

η

r+α

r= 0, (58)

3 Un espacio tiempo se dice esféricamente simétrico si la métrica se mantiene invari-ante bajo rotaciones (SO(3))


esto es,

η = −α+K0, (59)

donde K0 es una constante. Entonces, eη = K1e−α donde K1 = eK0 y

haciendo un reescalamiento en el tiempo t→ K1/21 t la métrica queda,

ds2 = −e−α(r)dt2 + eα(r)dr2 + r2dΩ2. (60)

Usando este resultado en la componente 22 del tensor de Ricci (57),nos da una ecuación diferencial para α(r),

1+ (αr− 1)e−α = 0 (61)

haciendo los cambios de variable adecuados (eα = u = z−1 por ejem-plo), encontramos la solución,

eα =

(1+

C

r

)−1

(62)

donde C es una constante. La solución estática y esfericamente simétrica,

ds2 = −

(1+

C

r

)dt2 +

(1+

C

r

)−1

dr2 + r2dΩ2. (63)

Es de notar que la solución de Schwarzschild es asintoticamente plana,i.e, cuando r → ∞ la solución tiende a Minkowski. Lo que noshace pensar que corresponde a el campo gravitacional de un cuerpoaislado. Bajo la aproximación de “campo débil” se puede ver queC = −2MG (o tambien C = −2MG/c2)[44] donde M puede ser in-terpretada como la masa del campo de Schwarzschild. Finalmente lamétrica de Schwarzschild queda de la forma

ds2 = −

(1−

2GM

r

)dt2 +

(1−

2GM

r

)−1

dr2 + r2dΩ2. (64)

2.3 ecuaciones de campo en el vacío y simetría esférica

en tgm f(R)

De igual forma a como lo hicimos en RG en Sección 2.2 aquí tam-bién estudiaremos los fenómenos por fuera de una distribución demateria y energía. En esta sección se expondrán los resultados dela manera mas general posible para TGM f(R). Comenzaremos conun resultado similar al Teorema 7 , pero en este caso asumiremos unespacio de curvatura constante, i. e., R = R0 .

Teorema 1. Sea f : R −→ R con f ∈ Cr, r > 1. Supongamos tambiénque el escalar de Ricci R = R0 es una constante y f ′(R) 6= 0. Entonceslas ecuaciones de campo para las teorías de gravedad modificada f(R) en elvacío se reducen a:

2.3 ecuaciones de campo en el vacío y simetría esférica en tgm f(R) 17

1. Relatividad general sin constante cosmológica, si R0 = 0.

2. Relatividad general con constante cosmológica, si R0 6= 0.

Demostración: Dado que R0 es constante f(R0) y f ′(R0) también loson, por lo tanto ∇µ∇νf ′(R) = 0, f ′(R) = 0. Así las ecuaciones decampo y la traza en el vacío quedan respectivamente como:

f ′(R0)Rµν −1

2f(R0)gµν = 0, (65)

f ′(R0)R0 − 2f(R0) = 0. (66)

1. Si R0 = 0 entonces de (66), f(R0) = 0, y por (65) Rµν = 0, lo quese reduce a GR sin constante cosmológica.

2. Si R0 6= 0 entonces de (66) f(R0) = f ′(R0)R0/2 por lo tanto (65)queda como

f ′(R0)Rµν −1

2

(f ′(R0)R0

2

)gµν = 0

f ′(R0)

(Rµν −

1

4R0

)gµν = 0

es decir

Rµν −1

4R0gµν = 0 (67)

que equivale a RG con constante cosmológica Λ = 14R0.

Al considerar el caso en el que f ′(R) = 0 tenemos que f(R) tambiénes cero y (65) implica que no se tienen ecuaciones de campo. La únicainformación de la geometría del sistema se tiene de la definición delescalar de Ricci y de imponer que este sea constante. Es decir quesolo se tiene una ecuación diferencial en cuyo caso la solución existey es única en casos de simetría muy especiales.

En el Capitulo 7 demostraremos usando teoría de perturbacionesque los modelos del tipo f(R) = R+ λΨ(R) bajo ciertas condicionesequivalen a RG.

Veamos entonces el caso de simetría esférica. Consideremos latraza (20) en el vacío,

f ′(R) =2f(R) − f ′(R)R

3. (68)

Con esto, una posibilidad para las ecuaciones de campo en TGM

f(R) (19) en el vacío quedan como,

f ′Rµν +gµν

3

(1

2f− f ′R

)−∇µ∇νf ′ = 0 (69)


Ahora reemplazando (55), (56) y (55) en (69) tenemos,

0 = Σ00 =eη

[e−α

4(2η+ η2 − ηα) +

e−αη

r

]f ′

−1

3

(1

2f− f ′R

)+1

2ηe−αRf ′′

0 = Σ11 =

[−1

4(2η+ η2 − ηα) +

α

r

]f ′

−eα

3

(1

2f− f ′R

)− f ′′′R2 − f ′′R+

1

2αe−αRf ′′

0 = Σ22 =

(1+

−ηr+ αr− 2

2e−α

)f ′

+r2

3

(1

2f− f ′R

)− rRf ′′e−α

Consideremos la ecuación

0 = e−ηΣ00 + e−αΣ11 =e

−α

[f ′

r(η+ α) +

1

2(η+ α)f ′′R

− f ′′′R2 − f ′′R

]entonces la formula análoga a (58) aquí es,

η+ α =f ′′′R2 + f ′′Rf ′

r + f ′′R2

=2r∂2rf

′

2f ′ + r∂rf ′. (70)

Consideremos ahora el modelo f(R) = R+ λR2, entonces

−R ′′ +1

2(η ′ +α ′)R ′ −

R

r(η ′ +α ′) =

(η ′ +α ′)

2λr, (71)

R ′′ + R ′[1

2(η ′ −α ′) +

2

r

]−Reα

6λ= 0, (72)

R =1

2

2r2η ′′ + r2η ′2 − r2η ′α ′ + 4η ′r− 4α ′r− 4eα + 4

r2eα, (73)

donde la ecuación (71) se obtiene de (70), la ecuación (72) se obtienedel termino Σ22 y la ecuación (73) es el escalar de Ricci. Si observa-mos cuidadosamente la ecuación (72) tiene la forma de un osciladorarmónico. Si λ es negativo y tiende a cero, bajo ciertas condicionesiniciales, esperamos que esta ecuación se comporte como un osciladorcon una frecuencia muy alta. Sin embargo λ no puede ser negativopor que viola la estabilidad local [12]. Ahora, si λ es positivo y tiendea cero, claramente no tenemos un sistema de ecuaciones que tiendaa una solución como Schwarzschild, siempre y cuando λ aparezca enel denominador como lo presentamos aquí. Si multiplicamos por λ aambos lados de las ecuaciones (71) y (72) y hacemos tender λ a cero,si tenemos un sistema de ecuaciones que tienda a Schwarzschild, estonos hace conjeturar que para este modelo de f(R) las soluciones sondisconexas. En el Capitulo 7 discutiremos esto en detalle pero por elcamino de la teoría de la perturbaciones.

3T E O R Í A D E P E RT U R B A C I O N E S E N R E L AT I V I D A DG E N E R A L

Cada día sabemos más y entendemos menos.

— Albert Einstein

La teoría de la relatividad general provee una completa descrip-ción de la estructura del espacio tiempo y la gravitación, mediante lasolución de las ecuaciones de campo de Einstein (1). Estas son equiva-lentes a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales, acopladas yno lineales, pero como en la mayoría de las ecuaciones diferencialesparciales no lineales aun no conocemos un método general para re-solverlas. Como vimos en el capitulo anterior, con la solución deSchwarzschild, existen soluciones exactas de las ecuaciones de campo(1), algunas diferentes son, las soluciones de Kerr y FLRW, pero en lamayoría de situaciones físicas de interés no tenemos soluciones exac-tas. Sin embargo hay situaciones donde la física del espacio tiempoque queremos describir no se aleja mucho de la física de las solu-ciones exactas conocidas. Por ejemplo, podríamos tener casos enlos que la simetría no sea perfectamente esférica como la Tierra o,como veremos mas adelante, en la solución de FLRW que describe laevolución del universo a gran escala (& 100Mpc) el cual es homogé-neo e isotrópico, pero como sabemos el universo a escalas menoresposee una estructura mas compleja (cúmulos de galaxias, galaxias,etc) y esperamos que en estos casos las soluciones a estas situacionesfísicas no sean muy diferentes a las soluciones de Schwarzschildo FLRW. En principio no podemos comparar estas dos solucionesporque estrictamente hablando cada una esta en variedades difer-entes. A la variedad en donde conocemos la solución exacta la lla-maremos espacio tiempo background y la otra será el espacio tiempofísico. Se puede entonces establecer una correspondencia entre estosdos espacio-tiempo para poder comparar los objetos matemáticos encada punto del espacio físico con los objetos matemáticos en cadapunto del espacio-tiempo background (ver Apéndice A). A esta cor-respondencia se le conoce como escogencia gauge de tipo II. La escogen-cia define las variables en las cuales se expresan las cantidades físicas.Como estrategia metodológica es conveniente trabajar con cantidadesinvariantes gauge, tarea realizada por Bardeen[3] y de la cual se de-sprende que estas cantidades tienen un inherente significado físico.Sin embargo, lo anterior no significa que no sea posible trabajar enun gauge específico, y construir cantidades físicas, a partir de las can-tidades propias del gauge, de manera que sean escalares del espaciofísico [6].

19

20 teoría de perturbaciones en relatividad general

3.1 definición de perturbación

Consideremos una variedad espacio tiempo como el par (M,g)donde M es una variedad diferenciable de cuatro dimensiones, tipoHausdorff y g es una métrica Lorentziana definida sobre M. Una per-turbación de un espacio tiempo (M,g) es un espacio tiempo (M,g ′)donde estos dos espacios tiempo están conectados continuamente enun espacio de espacios tiempos. En esta situación introduciremosuna variedad (4+1)-dimensional N foliada por subvariedades difeo-morfas a M, esto es, N =M×R, etiquetaremos cada copia de M conel parámetro λ , esto es (M,gλ) ≡ (Mλ,gλ). Aquí λ = 0 correspondeal espacio tiempo sin perturbar, a el cual llamaremos espacio tiempobackground.

En algunas aplicaciones físicas λ es un parámetro que nace natu-ralmente del problema físico, en otros λ es un parámetro puramenteformal que puede ser tomado como λ = 1 para el espacio tiempoperturbado. Hay situaciones también donde es mas conveniente con-siderar dos o mas parámetros según el problema (vease [11, 21, 19]).

Es de notar que esta suposición restringe el rango de aplicabilidadfísica. Por ejemplo no estamos teniendo en cuenta singularidades enel espacio tiempo sin perturbar las cuales podrían presentar dificul-tades en el proceso de linealización [41]. Otra opción es consideraruna familia continua uniparametrica de estructuras en una mismavariedad, pero el problema de la dependencia gauge es mas transpar-ente cuando las variedades y las estructuras en ellas, se mantienendiferentes (véase la discusión de Stewart and Walker en [41] y tam-bién Geroch donde considera el limite cuando λ tiende a cero de estasestructuras en [21]).

Nuestro nuevo conjunto N es una variedad, solo basta con tomaruna carta coordenada local xµ de M y añadirle la nueva coordenadax5 = λ. Aquí tenemos un campo tensorial gλ asociado a cada var-iedad Mλ, pero podemos generalizar y tener un campo tensorialcualquiera Tλ en cada variedad Mλ.

Procederemos así a construir un campo tensorial en esta variedadN suponiendo que tenemos un campo tensorial en cada variedad Mλ.Primero escojamos en N una carta coordenada local en la cual xµ concoordenadas en cada Mλ y x5 = λ. Si un campo tensorial Tλ estadado en Mλ tenemos un nuevo campo tensorial T definido en N porla relación T(p, λ) := Tλ(p) con p ∈Mλ.

Queremos entonces comparar Tλ y T0 de algún modo tensorial T enN. Vamos a identificar los puntos de Mλ y M0 y para esto definire-

3.1 definición de perturbación 21

mos el difeomorfismo Xλ : N −→ N tal que su campo vectorial gen-erador X (véase Apéndice A) sea trasversal a cada variedad Mλ esdecir que la componente X5 = 1 del campo vectorial1, mientras quelas otras componentes pueden permanecer arbitrarias. ClaramenteXλ puede ser asumido como un flujo en N. Véase la Figura 1.

Vamos a suponer además que el campo tensorial es suave en todoN. Esta suposición es fuerte pero nos permitirá usar el Lema 18 y asícomparar los tensores en N.

De esta manera usando el Lema 18 el pullback de Tλ en M0 quedarepresentado como

X∗λTλ =(0)

T +λ(1)

T +λ2

2!

(2)

T + · · · , (74)

en donde hemos definido las cantidades

(n)

T ≡ LnXT |λ=0. (75)

Entonces una perturbación puede ser definida como

∆Tλ ≡ X∗λTλ − T0, (76)

esto es, ∆Tλ = λ(1)

T +λ2

2!

(2)

T + · · · .Por simplicidad llamaremos

X∗λTλ ≡ T . (77)

esto quiere decir que

T =(0)

T +λ(1)

T +λ2

2!

(2)

T + · · · . (78)

Debemos prestar atención a las ultimas dos ecuaciones debido aque estas serán usadas a lo largo del documento. También del ladoizquierdo de la ecuación (75) cuando n = 1, n = 2 , etc., llamare-mos primer orden de la perturbación, segundo orden, etc., respecti-vamente.

1 esto, para esta elección de las coordenadas. En otra elección de coordenadas, X5

puede tomar otro valor pero siempre positivo.


Figure 1: La variedad N (4+1)-dimensional. M0 lo llamaremos espacio tiempobackground

3.2 grado de libertad gauge en relatividad general

Antes de entrar a estudiar la invariancia gauge en teoría de pertur-baciones, vamos a presentar la noción de gauge en relatividad gen-eral. Hay dos tipos de gauges en relatividad general, los cuales Sachs[37] llamo gauges de primer y segundo tipo.

3.2.1 Gauge de primer tipo

El gauge de primer tipo es un sistema de coordenadas en una var-iedad M. Observemos que esta definición esta intrínseca en la defini-ción de variedad. Cuando definimos una variedad en geometría difer-encial [15], necesitamos unos abiertos Oα ⊂ M y unos difeomorfis-mos φα : Oα −→ Rn, esto es introducir un sistema de coordenadasen una variedad. Este difeomorfismo o escogencia de coordenadas esllamada un gauge de primer tipo. También de la definición de variedadtenemos que si escogemos otro abierto Oβ de tal forma que algúnpar α, β Oα ∩Oβ = W 6= φ y un difeomorfismo φβ : Oβ −→ Rn

entonces la transformación φβ φ−1α es un difeomorfismo el cual es

justamente una transformación de coordenadas la cual es llamadatransformación gauge de primer tipo.

De la escogencia gauge y la transformación gauge el principio decovariancia esta automáticamente incluido en la teoría de relatividad

3.2 grado de libertad gauge en relatividad general 23

general si consideramos a M como la variedad que contiene todos loeventos del espacio tiempo.

3.2.2 Gauge de segundo tipo

Retomando el problema de teoría de perturbaciones recordemos ladefinición de perturbación en relatividad general en donde tomamosun espacio tiempo sin perturbar (M0,g0) y un espacio tiempo pertur-bado (Mλ,gλ) y queremos comparar las cantidades físicas del espaciotiempo perturbado con el espacio tiempo sin perturbar. Esto es, dadoun punto pλ ∈ Mλ y un punto p0 ∈ M0 con sus respectivo espa-cios tangente, la idea es comparar los elementos de estos espaciosvectoriales que en principio son diferentes. Para esto es necesarioun difeomorfismo entre estas dos variedades y las transformacionesinducidas por este difeomorfismo (véase Apéndice A), para poder”transportar“ las cantidades físicas de un espacio tiempo a otro o deun modo matemático transportar los elementos de un espacio vecto-rial a otro para poderlos comparar. A este difeomorfismo se le conocecomo gauge de segundo tipo. También como en los gauges de primertipo en los gauges de segundo tipo el gauge no es único debido ala covariancia general de la teoría de la relatividad general y esto seconoce como grado de libertad gauge de segundo tipo. Se puede iden-tificar el punto pλ ∈ Mλ con un punto p0 ∈ M0 pero también conun punto q0 ∈ M0 donde p0 6= q0 y esto define un gauge diferente.En las siguientes secciones definiremos las transformaciones gauge aprimer y segundo orden y sus propiedades mas importantes.

3.2.3 Invariancia gauge y transformaciones gauge

Supongamos dos campos vectoriales X y Y sobre N tal que X5 =

Y5 = 1 en todo N, es decir que estos campos vectoriales son trasver-sales a cada foliación Mλ. Ahora consideremos los flujos correspon-dientes Xλ y Yλ, entonces dado un campo tensorial T podemos con-struir dos nuevos campos tensoriales X∗λT y Y∗λT para algún valordado de λ. En particular en M0 tenemos tres campos tensoriales,T0, XTλ = X∗λT|λ=0 y YTλ = Y∗λT|λ=0. Tenemos que X∗λ y Y∗λ songrupos uniparamétricos de difeomorfismos y entonces admiten unaexpansión de Taylor como en Lema 18 y (74), esto es,

XTλ = T0 + λ(1)

XT+λ2

2

(2)

XT+ · · · (79)

YTλ = T0 + λ(1)

YT+λ2

2

(2)

YT+ · · · (80)

Si XTλ = YTλ para cada par de gauges X y Y (abusando del lenguajellamaremos a los campos vectoriales de este tipo gauges) entoncesdiremos que T es totalmente invariante gauge. Esta es una condición


muy fuerte e implica por las ecuaciones (79) y (80) que(k)

XT =(k)

YT paratodos los gauges X y Y y para todo k ∈N. Es conveniente definir uncaso mas débil, como perturbaciones a orden fijo n, es decir, diremos

que T es invariante a orden n sii(k)

XT =(k)

YT para todo par de gauges X yY y para todo k 6 n. Veamos entonces el siguiente resultado

Teorema 8. Un campo tensorial T es invariante gauge a orden n si y solo

si Lξ(k)

T = 0 para cualquier campo vectorial ξ en M y todo k 6 n.

Prueba 6. Veamos primero el caso n = 1, entonces, usando (75)

(1)

XT =(1)

YT,

LXT∣∣λ=0

= LYT∣∣λ=0

,

LX−YT∣∣λ=0

= 0.

Como X y Y son vectores arbitrarios entonces X− Y = ξ es un vector arbi-trario y ξ5 = 0 entonces es tangente a M. Supongamos que el teorema se

cumple para n y veamos que se cumple para n+ 1. esto es,(n+1)

XT =(n+1)

YT

por lo tanto, LX−Y(n)

XT |λ=0 = 0 por hipótesis de inducción.

Vamos entonces a enunciar el lema original de Stewart and Walker[41].

Corolario 1 (Lema de Stewart y Walker). La perturbación lineal(1)

T deuna cantidad T0 es invariante gauge si y solo si se tiene una de la siguientescondiciones:

1. T0 es cero.

2. T0 es un escalar constante.

3. T0 es una combinación de productos de deltas de Kronecker.

Prueba 7. Caso n = 1 en el Teorema 8.

Vamos entonces a considerar las reglas de transformación gaugeentre diferentes escogencias de gauge. Si T no es invariante gaugees importante saber como cambia bajo diferentes representaciones enM0. Para este propósito vamos a definir un conjunto uniparamétricode difeomorfismos Ψλ : M0 −→ M0 dado por Ψλ ≡ X−λ Yλ (véaseFigura 2). Este no es un grupo uniparamétrico de difeomorfismos, dehecho, Ψ−1

λ 6= Ψ−λ y Ψλ+σ 6= Ψσ Ψλ. Pero , el Teorema 20 garan-tiza la existencia de un grupo uniparamétrico de difeomorfismos decaballo de rango n cuya composición se aproxima a Ψλ. Ahora, como


YT = Y∗λT∣∣M0

=(Y∗λ(Xλ X−1

λ )∗T)T∣∣M0

= (X−1λ Yλ)

∗(X∗λT)∣∣M0

= Ψ∗λXT.(81)

Así por el Teorema 20 y Lema 19 podemos escribir la formula para latransformación gauge a un orden arbitrario n:

YT =Ψ∗λXT =∞∑l1=0

· · ·∞∑lk=0

· · · λl1+2l2+···+klk+···

2l2 · · · (k!)lk · · · l1!l2! · · · lk! · · ·Ll1ξ(1)· · ·Llkξ(k) · · ·XT

(82)

A tercer orden tenemos,

YTλ =XTλ + λLξ(1)XTλ +λ2

2(L2ξ(1) +Lξ(2))XTλ

+λ3

3!(L3ξ(1) + 3Lξ(1)Lξ(2) +Lξ(3))XTλ + · · ·

(83)

Figure 2: El gauge de segundo tipo es una identificación de puntos entre elespacio tiempo perturbado Mλ y el espacio tiempo backgroundM0 en la variedad extendida N. Asumiremos la existencia deesta identificación de puntos sin embargo esta identificación noes única.

Teorema 9. Dado un campo tensorial T, las relaciones entre el primer, se-gundo y tercer orden de perturbación de T en dos diferentes gauges son:


1.(1)

YT−(1)

XT = Lξ(1)T0

2.(2)

YT−(2)

XT = (Lξ(2) +L2ξ(1))T0 + 2Lξ(1)(1)

XT

3.

(3)

YT−(3)

XT =(Lξ(3) + 3Lξ(1)Lξ(2) +L3ξ(1))T0

+ 3(Lξ(2) +L2ξ(1))(1)

XT+3Lξ(1)

(2)

XT(84)

Prueba 8. Usando (75) y reemplazando las ecuaciones (79) y (80) dentro de(83) tenemos

T0+λ(1)

YT+λ2

2!+

(2)

YT+λ3

3!

(3)

YT+ · · · =

T + λ(1)

XT+λ2

2!+

(2)

XT+λ3

3!

(3)

XT+ · · ·

+ λLξ(1)

(T + λ

(1)

XT+λ2

2!+

(2)

XT+λ3

3!

(3)

XT+ · · ·)

+λ2

2!(L2ξ(1) +Lξ(2)

)(T0 + λ

(1)

XT+λ2

2!+

(2)

XT+λ3

3!

(3)

XT+ · · ·)

+λ3

3!(L3ξ(1) + 3Lξ(1)Lξ(2) +Lξ(3)

)(T0 + λ

(1)

XT+λ2

2!+

(2)

XT+λ3

3!

(3)

XT+ · · ·)

=T0 + λ[(1)

XT+Lξ(1)T0] +λ2

2![(2)XT+Lξ(1)

(1)

XT+(Lξ(1) +Lξ(2))T0]

+λ3

3![(3)XT+3Lξ(1)

(2)

XT+3(Lξ(1) +Lξ(2))(1)

XT

+ (L3ξ(1) + 3Lξ(1)Lξ(2) +Lξ(3))T0].

Comparando los términos, orden por orden, se tienen las formulas del teo-rema.

Teorema 10. Los tres primeros generadores de la familia uniparamétrica dedifeomorfismos Ψλ son:

1. ξ(1) = Y −X,

2. ξ(2) = [X, Y],

3. ξ(3) = [2X− Y, [X, Y]].

Prueba 9. Del teorema anterior tenemos que

(1)

YT−(1)

XT = Lξ(1)T0

LYT|λ=0 −LXT|λ=0 = Lξ(1)T0

LY−XT|λ=0 = Lξ(1)T0.


Como Y5−X5 = 0 entonces tenemos la primera parte del teorema. De nuevousamos la segunda ecuación del teorema anterior y así

(2)

YT−(2)

XT = 2Lξ(1)

(1)

XT+(Lξ(2) +L2ξ(1))T0

L2YT|λ=0 −L2XT|λ=0 = 2LY−XLXT|λ=0 +L2Y−XT|λ=0 +Lξ(2)T0

De esta forma despejando L2ξ(1)T0 de la ecuación anterior, tenemos,

L2YT|λ=0 −L2XT|λ=0 − 2LY−XLXT|λ=0 −L2Y−XT|λ=0 = Lξ(2)T0

L2YT|λ=0 −L2XT|λ=0 − 2LYLXT|λ=0 + 2L2XT|λ=0−(L2X −LYLX −LXLY +L2Y)T|λ=0 = Lξ(2)T0

y asi se puede ver que algunos términos se eliminan y finalmente,

(LXLY −LYLX)T|λ=0 = L2ξ(1)T0.

dado que [X, Y]5 = 0 entonces queda demostrado la segunda parte del teo-rema. Análogamente, encontramos que

L[2X−Y,[X,Y]]T|λ=0 = Lξ(3)T0.

Pero como [2X− Y, [X, Y]]5 = 0 entonces queda la tercera parte del teorema.

3.2.4 Transformación de coordenadas inducida por la transformación gauge

Sea p un punto en M0 con coordenadas xµ(p) y consideremos ungauge Xλ tal que Xλ(p) = pλ ∈ Mλ. Consideremos otro gauge Yλel cual le asigna a otro punto en el background el mismo puntopλ ∈ Mλ, es decir, Yλ(q) = pλ ∈ Mλ para algún q ∈ M0 con co-ordenadas xµ. Entonces una transformación gauge induce una trans-formación de coordenadas xµ(q) = Ψµλ(x

α(p)), que por los resultadosde la sección anterior puede ser escrita a segundo orden como:

xµ = xµ + λξµ(1) +λ2

2(ξµ(1),νξ

ν(1) + ξ

µ(2)) + · · · . (85)

Esta se conoce como la transformación activa de coordenadas Figura 2.

Consideremos ahora un conjunto de abiertos Oα ⊂ M0 en dondeintroduciremos un sistema de coordenadas (Oα,ψα) donde ψα sondifeomorfismos de Oα a un abierto en R4. Entonces los gaugesXλ y Yλ inducen dos sistemas de coordenadas en Mλ dados por(Xλ(Oα),ψα X−1

λ ) y (Yλ(Oα),ψα Y−1λ ) donde Xλ(Oα),Yλ(Oα) ⊂

Mλ.2 Así una transformación gauge induce una transformación de

2 Como Xλ y Yλ son difeomorfismos entonces envían abiertos en abiertos y la com-posición de difeomorfismos es también difeomorfismo.


coordenadas dada por xµ(q) ≡ xµ(p) = [(Ψ−1λ )∗λx

µ(q)], entonces entérminos de una expansión de Taylor tenemos

xµ = xµ − λξµ(1) +λ2

2(ξµ(1),νξ

ν(1) − ξ

µ(2)) + · · · . (86)

La cual es conocida como transformación pasiva de coordenadas (véasetambién [28]).

3.3 ecuaciones de campo

Finalmente vamos a restringir nuestras cantidades tensoriales encada subvariedad Mλ de N a ecuaciones diferenciales, en este casolas ecuaciones de campo de Einstein o ecuaciones en TGM.

La herramienta matemática que construimos en la sección ante-rior la usaremos en diferentes situaciones para entender las solu-ciones de las ecuaciones de campo tanto en la teoría de gravedadde Einstein como en TGM. A continuación y a lo largo de este doc-umento mostraremos algunas formas de como se puede usar estaherramienta.

Una es considerar una familia uniparamétrica de ecuaciones deEinstein el cual induce una familia de uniparamétrica de solucionesexactas gλ en N. En la mayoría de aplicaciones siempre conocemos lasolución en el background, es decir, siempre sabemos explícitamentecomo es g0 en M0 y tratamos de entender como es la evolución degλ restringido por como cambiamos continuamente las ecuacionesde campo, o mas explícitamente el tensor de momento energía. Otraopción3 es considerar una solución conocida en unas ecuaciones decampo en TGM estudiar la evolución de gλ variando el tensor mo-mento energía cuya discusión la ampliaremos en el Capitulo 5. Otraopción4 es cambiar continuamente las ecuaciones de campo pero sinvariar el tensor momento energía, esto es, considerar ecuaciones decampo de Einstein en M0 y TGM de cualquier tipo en Mλ. En elCapitulo 7 ampliaremos la discusión, presentaremos un ejemplo enTGM f(R) y veremos sus consecuencias en las ecuaciones de campo enTGM f(R) en el vacío. Por ahora presentaremos la primera forma dehacerlo [41, 44, 10, 32].

Consideremos una ecuación

E(g0, τ0) = 0 (87)

3 Aunque ya se ha trabajado en teoría de perturbaciones en f(R) esta, es la primeravez que se presenta de esta manera

4 Este es otro de los aportes de este trabajo

3.3 ecuaciones de campo 29

Donde g0 es la métrica del espacio tiempo en el background yE es la ecuación de Einstein y τ0 es tensor momento energía en elbackground. Supongamos que g0 es una solución exacta conocida.Construiremos una familia uniparamétrica, continua, diferenciable yanalítica de soluciones exactas gλ tal que,

E(gλ, τλ) = 0. (88)

Algunos resultados para al problema de Cauchy en espacios tiem-pos planos, han mostrado que los espacios tangentes de una familiade soluciones exactas, i. e. las soluciones linealizadas, generan unespacio vectorial de soluciones cuando la superficie de Cauchy es nocompacta. En otro caso si la superficie es compacta hay solucioneslinealizadas las cuales no son tangentes a una familia uniparamétricade soluciones exactas Brill and Deser[8].

3.3.1 Cantidades geométricas en N

En esta sección compararemos las cantidades geometricas en el es-pacio tiempo fisico Mλ con las cantidades geométricas en el espa-cio tiempo background M0 para poder relacionar explicitamente lasecuaciones (87) y (88) [44, 30, 31, 32].

3.3.1.1 El operador ∇a

Para poder establecer una relacion entre las curvaturas en el espa-cio tiempo fisico Mλ y en espacio tiempo background M0 primeroveremos como es la relacion entre las derivadas covariantes ∇a enMλ y ∇a en M0.

Así, la relacion entre las derivadas covariantes asociadas con lamétrica en el espacio tiempo físico Mλ y el espacio tiempo de back-ground M0 esta dado por la relación del operador X∗λ∇a(X

−1λ )∗ de

la derivada covariante ∇a asociada con la métrica gab en Mλ y laderivada covariante ∇a asociado con la métrica gab en M0. Lapropiedad del operador derivada X∗λ∇a(X

−1λ )∗ como derivada covari-

ante en Mλ esta dada por

X∗λ∇a((X−1λ )∗ X∗λgab

)= 0. (89)

Denotaremos el operador X∗λ∇a(X−1λ )∗ por ∇a. También denotare-

mos el pull-back de la métrica X∗λgab por gab. Así tenemos dosoperadores diferenciales en M0.

El operador ∇a − ∇a define una función del espacio dual en p alos tensores del tipo (0, 2) en p ∈M0. Por la propiedad 1) Sección A.3


esta función es lineal y como consecuencia define un tensor del tipo(1, 2) en p, el cual denotaremos como Ccab. Esto es,

∇aωb = ∇aωb −Ccabωc, (90)

donde ωa es una uno-forma en M0. Una propiedad de simetría sesigue de la condición 5) Sección A.3. Sea ωb = ∇bf = ∇bf, así

∇a∇bf = ∇a∇bf−Ccab∇cf. (91)

Por lo tanto si ∇a∇bf y ∇a∇bf son simétricos en a y b entonces

Ccab = Ccba. (92)

Veamos ahora como calcular la diferencia de ∇a y ∇a en camposvectoriales y tensores de rango mayor. Debido a que ωbtb es un es-calar y usando la propiedad 5) Sección A.3, tenemos que ∇a(ωbtb) =∇a(ωbtb), por lo tanto

(∇a −∇a)(ωbtb) = 0 (93)

Ahora por la regla de Leibniz, tenemos

(∇a −∇a)(ωbtb) = (−Ccabωc)tb +ωb(∇a −∇a)tb (94)

Así, cambiando índices contraídos, tenemos

ωb((∇a −∇a)tb −Cbactc

)= 0 (95)

para todo ωb. Lo cual implica

∇atb = ∇atb +Cbactc (96)

Continuando de manera similar, podemos derivar la formula generalpara la acción de ∇a en un campo tensorial arbitrario en términos de∇a y Ccab. Para T ∈ T(k, l), encontramos

∇aTb1···bkc1···cl = ∇aTb1···bkc1···cl +∑i

CbiadTb1···d···bkc1···cl −

∑j

CdacjTb1···bkc1···d···cl

(97)

Veamos ahora como expresar Ccab en términos de ∇a y gab. Comosabemos de (89)

∇agab = 0 (98)

Pero por otro lado, tenemos

∇agab = ∇agbc −Cdabgdc −Cdacgbd (99)


Ahora de (98) y (99) y reordenando índices, tenemos

Ccab +Cbac = ∇agbc, (100)

Ccba +Cabc = ∇bgac, (101)

Cbca +Cacb = ∇cgab. (102)

Sumando (100) y (101) y restando (102) y usando las propiedades desimetría (92), encontramos

2Ccab = ∇agbc +∇bgac −∇cgab, (103)

es decir,

Ccab =1

2gcd(∇agbd +∇bgad −∇dgab). (104)

3.3.1.2 Tensor de Riemann

El tensor de Riemann Rdabc asociado a gab puede ser calculado entérminos de Rdabc y Ccab, reemplazando el operador ∇a (90) en ladefinición del tensor de Riemann.

Rdabcωd = ∇a∇bωc − ∇b∇aωc (105)

Así,

Rdabcωd = ∇a(∇bωc −Cdbcωd) − ∇b(∇aωc −Cdacωd)= ∇a(∇bωc −Cdbcωd) −Ceab(∇eωc −Cdecωd)−Ceac(∇bωe −Cdbeωd) −∇b(∇aωc −Cdacωd)+Ceba(∇eωc −Cdecωd) +Cebc(∇aωe −Cdaeωd).

En la ultima igualdad el segundo y quinto termino son iguales perocon signos opuestos, por lo tanto se eliminan y asi

Rdabcωd = Rdabcωd −∇a(Cdbcωd) +∇b(Cdacωd) −Ceac∇bωe+Cebc∇aωe +CeacCdbeωd −CebcCdaeωd,

el resultado de aplicar la regla de Leibniz en el segundo y tercer ter-mino usando también la simetría de Ccab, elimina el cuarto y quintotermino de la derecha y nos queda finalmente,

Rdabc = Rdabc − 2∇[aC

db]c + 2C

ec[aC

db]e (106)

3.3.2 Perturbaciones de las cantidades geométricas

Vamos entonces a usar la serie de Taylor (Lema 18) para descom-poner la métrica y con los resultados anteriores (como la ecuación(106)) descomponer el tensor de Riemann y finalmente el tensor deEinstein. Aquí es importante recordar la ecuación (77) y (78)


3.3.2.1 La métrica

La perturbación de la métrica queda

X∗λgab ≡ gab = gab + λhab +λ2

2lab +O(λ

3), (107)

donde gab es la métrica en M0. Claramente la expansión (107) dela métrica depende completamente de la escogencia gauge X∗λ. Siexpandimos también la inversa de la métrica gab en la forma

gab = gab + λ(1)

gab+λ2

2

(2)

gab+O(λ3). (108)

Ahora como

δac = gabgbc =(gab + λ(1)

gab+λ2

2

(2)

gab+O(λ3))

· (gbc + λhbc +λ2

2lbc +O(λ

3))

=δac + λ(hac +

(1)

gac ) +λ2

2(lac + 2

(1)

gab hbc +(2)

gac )

+O(λ3)

entonces cada termino de la expansión de la inversa de la métricaesta dada por,

(1)

gab = −hab (109)(2)

gab = 2hach bc − lab (110)

3.3.2.2 Perturbación del tensor Ccab

Consideremos los resultados (104) y también (109), (110).

Ccab =1

2

(gcd − λhcd +

λ2

2(2hcehde − l

cd)

)[∇a(gbd + λhbd +

λ2

2lbd) +∇b(gad + λhad +

λ2

2lad)

−∇c(gab + λhab +λ2

2lab)

]=1

2gcd(

:0∇agbd +:0∇bgad −

:0∇dgab)

+ λ

[1

2gcd(∇ahbd +∇bhad −∇dhab)

]+λ2

2

[1

2gcd(∇albd +∇blad −∇dlab)

− hcd(∇ahbd +∇bhad −∇dhab)]


Como vemos el termino a orden cero de Ccab se anula y para lostérminos a primer y segundo orden tenemos,

(1)

Ccab =1

2gcd(∇ahbd +∇bhad −∇dhab) ≡ Hcab[h] (111)

(2)

Ccab =1

2gcd(∇albd +∇blad −∇dlab) (112)

− hcd(∇ahbd +∇bhad −∇dhab) (113)

=Hcab[l] − 2hcdHdab[h] (114)

donde el operador Hcab[A] actúa sobre un campo tensorial arbitrarioAab en el espacio tiempo backgroundM0 y esta definido comoHcab[A] =12gcd(∇aAbd +∇bAad −∇dAab).

3.3.2.3 Riemann

El tensor de Riemann del espacio tiempo físico también puede serexpandido como,

Rdabc = Rabcd + λ

(1)

Rabcd+

λ2

2

(2)

Rabcd+O(λ3). (115)

Por otro lado, del resultado (106) y de la expansión

Ccab = λ(1)

Ccab+λ2

2

(2)

Ccab+O(λ3), tenemos

Rdabc = Rabcd−λ(2∇[a

(1)

Cdb]c)+λ2

2(−2∇[a

(2)

Cdb]c+4(1)

Cec[a

(1)

Cdb]e)+O(λ3),

(116)

por lo tanto la perturbación del tensor de Riemann a primer y se-gundo orden esta dada por

(1)

Rabcd = −2∇[a

(1)

Cdb]c = −2∇[aHdb]c[h] (117)

(2)

Rabcd = −2∇[a

(2)

Cdb]c+4(1)

Cec[a

(1)

Cdb]e (118)

= −2∇[aHdb]c[l] + 4h

de∇[aHb]ce[h] + 4H[ade[h]Hb]ce[h]

(119)

3.3.2.4 Tensor de Einstein

El tensor de Ricci definido como la traza del segundo y cuartoíndice,

Rab = Racbc (120)

y de las propiedades del tensor de Riemann, tenemos

Rac = Rcb, (121)


y el escalar de curvatura definido como la traza del tensor de Ricci

R = Raa, (122)

por lo tanto de la expansión (115) tenemos,

Rab = Rab + λ(1)

Rab+λ2

2

(2)

Rab+O(λ3), (123)

R = R+ λ(1)

R +λ2

2

(2)

R +O(λ3), (124)

(¿la operación contracción es distributiva en una serie infinita?). Delos resultados obtenidos en (117) y (119), los términos a primer ysegundo orden del tensor de Ricci quedan,

(1)

Rab =(1)

Raebe = −2∇[aH

ee]b[h] (125)

(2)

Rab =(2)

Raebe = −2∇[aH

dd]b[l] + 4h

de∇[aHd]be[h] + 4H[ade[h]Hd]be[h]

(126)

usando el resultado (109), (110), la expansión (123) y remplazandoloen la definición del escalar de curvatura (122) obtenemos,

R = gabRab =

(gab − λhab +

λ2

2(2hachc

b − lab) +O(λ3)

)·

(Rab + λ

(1)

Rab+λ2

2

(2)

Rab+O(λ3)

)

=R+ λ(gab(1)

Rab−habRab)

+λ2

2

(gab

(2)

Rab−2hab

(1)

Rab+(2hachcb − lab)Rab

)+O(λ3),

y comparando esto con la expansión (124), tenemos el termino deprimer y segundo del escalar de curvatura,

(1)

R = gab(−2∇[aHdd]b[h]) − h

abRab (127)

(2)

R =gab(−2∇[aH

dd]b[l] + 4h

de∇[aHd]be[h]

+ 4H[ade[h]Hd]be[h]

)+ (2hachbc − l

ab)Rab

− 2hab(−2∇[aHdd]b[h]).

(128)

3.4 teoría de perturbaciones invariante gauge 35

Vamos a usar ahora las expansiones (123), (124) y (107) para encontrarlos términos a primer y segundo orden del tensor de Einstein definidocomo Gab ≡ Rab − 1

2gabR. Así,

Gab =Rab −1

2gabR =

(Rab + λ

(1)

Rab+λ2

2

(2)

Rab+O(λ3)

)

−1

2

(gab + λhab +

λ2

2lab +O(λ

3)

)(R+ λ

(1)

R +λ2

2

(2)

R +O(λ3)

)=Rab −

1

2gabR+ λ

((1)

Rab−1

2(gab

(1)

R +habR)

)

+λ2

2

((2)

Rab−1

2gab

(2)

R −hab(1)

R −1

2labR

)+O(λ3).

Por lo tanto de los resultados (125), (126), (127) y (128) y comparán-dolos con la expansión,

Gab = Gab + λ(1)

Gab+λ2

2

(2)

Gab+O(λ3) (129)

encontramos los términos a primer y segundo orden del tensor deEinstein,

(1)

Gab =− 2∇[aHd]bd[h]

−1

2

(habR+ gab(−2∇[cHd]

cd[h] − hdeRde)) (130)

(2)

Gab =− 2∇[aHc]bc[l] + 4hc

d∇[aHd]bc[h]

+ 4H[ade[h]Hd]be[h]

−1

2

labR+ 2hab(−2∇[cHd]

cd[h] − hcdRcd)

+ gab

[−2∇[cHd]

cd[l] + 4hce∇[cHd]ed[h]

+ 4H[cde[h]Hd]

ce[h]

+ (2hdchec − lde)Rde − 2h

ce(−2∇[cHd]ed[h])

](131)

3.4 teoría de perturbaciones invariante gauge

Nosotros hemos asumido que (Mλ,gλ) es nuestro espacio tiempofísico, nuestra naturaleza en si, y no el espacio tiempo backgroundque como tal es ficticio. Todos los experimentos y observaciones sonllevados acabo en Mλ y deben ser independientes de la escogencia


gauge. Esto quiere decir que la escogencia gauge es un grado de lib-ertad no físico el cual esta presente en las perturbaciones y solamentelas cantidades invariantes gauge tienen significado físico [3, 32]. Enesta sección vamos a descomponer las cantidades tensoriales en unaparte invariante gauge y en otra parte variable gauge basados en elTeorema 9.

3.4.1 La métrica

Comenzaremos construyendo variables invariantes gauge partiendode la suposición que nosotros conocemos el procedimiento para en-contrar variables invariantes gauge para perturbaciones lineales de lamétrica tal y como lo hace Nakamura en [29, 30, 31, 32]. Descompon-dremos una perturbación lineal de la métrica como

hab := Hab +LXgab (132)

Donde Hab y Xa son las partes invariantes y variantes de las per-turbaciones lineales de la métrica, esto es, bajo las transformacionesgauge (parte 1 del Teorema 9),

YHab − XHab = 0

Ya −Xa = ξa1(133)

La perturbación de la métrica a primer orden (132) satisface la reglade transformación gauge (parte 1 del Teorema 9) para la perturbaciónde la métrica a primer orden, esto es,

Yhab − Xhab = Lξ1gab (134)

Este procedimiento depende completamente del espacio-tiempo back-ground (M0,gab) [29, 30, 31, 32]. Sin embargo como veremos masadelante este procedimiento existe al menos en el caso de perturba-ciones cosmológicas en un universo homogéneo e isotrópico. Una vezaceptamos esta suposición para perturbaciones lineales de la métricapodemos encontrar cantidades invariantes gauge para perturbacionesde orden superior. Como sabemos la perturbación a segundo ordende la métrica lab transforma como,

Ylab − Xlab = 2Lξ1Xhab +(Lξ1 +L2ξ2

)gab (135)

bajo la regla de transformación gauge Φλ = (Xλ)−1 Yλ : Xλ −→ Yλ

Introduciremos primero la variable Lab definida como,

Lab = lab − 2LXhab +L2Xgab (136)

Proposición 1. YLab − XLab = Lσgab donde σa = ξa2 + [ξ1,X]a


Prueba 10. De la definición (136)

YLab−XLab = Ylab−Xlab−2LYYhab+2LXXhab+L2Xgab−L2Xgab

(137)

Usando (135) y (132)

YLab − XLab =2Lξ1Xhab +(Lξ1 +L2ξ2

)gab − 2LY(YHab +LYgab)

+ 2LX(XHab +LXgab) +L2Ygab −L2Xgab.

Reemplazando (132) en el primer termino de la derecha y usando la linealidadde la derivada de Lie en el tercer y cuarto termino, tenemos

YLab − XLab =2Lξ1(XHab +LXgab) +(Lξ1 +L2ξ2

)gab

− 2LYYHab + 2LXXHab −L2Ygab +L2Xgab

Ahora usando el hecho que ξa1 = Ya−Xa y la propiedad (133) tenemos que,

2Lξ1(XHab +LXgab) =2Lξ1XHab + 2Lξ1LXgab

=2LY−XXHab + 2Lξ1LXgab

=2LYXHab − 2LXXHab + 2Lξ1LXgab.

Asi,

YLab − XLab =2

:0

LY(XHab − YHab) + 2Lξ1LXgab +(L2X −L2Y

)gab

+(Lξ1 +L2ξ2

)gab

Ahora

L2ξ1gab =(Lξ1LY−X

)gab =

(Lξ1LY −Lξ1LX

)gab

=LY−XLYgab −Lξ1LXgab

=L2Y −LXLYgab −Lξ1LXgab

Reemplazando este resultado tenemos

YLab − XLab =Lξ2gab +Lξ1LXgab +L2Xgab −LXLYgab

=Lξ2gab +Lξ1LXgab +LX(LX −LY

)gab

=Lξ2gab +Lξ1LXgab −LXLY−Xgab

=Lξ2gab +Lξ1LXgab −LXLξ1gab

=Lξ2gab +L[ξ1,X]gab = Lξ2+[ξ1,X]gab.

Aplicando el procedimiento anterior podemos descomponer Labcomo

Lab = Lab +LYgab (138)


donde Lab es la parte invariante gauge de la variable Lab o equiva-lentemente de la perturbación a segundo orden de la métrica lab, yYaes la parte variante gauge de Lab es decir la parte variante gaugede lab. Bajo la transformación Φλ = (Xλ)

−1 Yλ, las variables Lab yYa se transforman como,

YLab − XLab = 0

YYa − XYa = σa(139)

Así la perturbación a segundo orden de la métrica se descomponecomo

lab := Lab + 2LXhab +(LY −L2X

)gab (140)

Como se muestra en [29, 30, 31, 32], usando las partes variantes aprimer y segundo orden de las perturbaciones de la métrica, las vari-ables invariantes gauge para un campo arbitrario Q diferente de lamétrica esta dado por

Teorema 11. i)(1)

Q =(1)

Q −LXQ0.

ii)(2)

Q =(2)

Q −2LX(1)

Q −(LY −L2X

)Q0

Prueba 11. i)

(1)

YQ−(1)

XQ =(1)

YQ−(1)

XQ−LYQ0 +LXQ0 (141)

=Lξ1Q0 −Lξ1Q0 = 0 (142)

ii) Veamos primero que la variable

Q =(2)

Q −2LX(1)

Q +L2XQ0 (143)

y de la misma forma como demostramos en la Proposición 1 encon-tramos que

YQ− XQ = Lσgab (144)

con σa = ξa2 + [ξ1,X]a, por lo tanto podemos descomponer

Q =(2)

Q ′ +LYgab (145)

donde(2)

Q ′ es la parte invariante gauge de la variable Q. Esto es

(2)

YQ′−

(2)

XQ′ =0

YYa − XY

a =ξa2 + [ξ1,X]a(146)


comparando (143) y (145) tenemos

(2)

Q ′ +LYgab =(2)

Q −2LX(1)

Q +L2XQ0 (147)(2)

Q ′ =(2)

Q −2LX(1)

Q −(LY −L2X

)Q0 =

(2)

Q (148)

por lo tanto(2)

Q es la parte invariante gauge de un campo tensorial Q asegundo orden.

3.4.2 Cantidades geométricas

Veamos entonces como se descomponen las cantidades geométricascon esta descomposición. Primero consideremos el operador Habc[h],esto es,

Habc[h] =1

2(∇ahbc +∇bhac −∇chab)

=1

2

[∇a(Hbc +LXgbc) +∇b(Hac +LXgac)

−∇c(Hab +LXgab)

]=Habc[H] +

1

2

(∇aLXgbc +∇bLXgac −∇cLXgab

)=Habc[H] +

1

2

[(∇a∇bXc +∇a∇cXb) + (∇b∇aXc +∇b∇cXa)

− (∇c∇aXb +∇c∇bXa)]

=Habc[H] +1

2

(∇a∇bXc +∇b∇aXc + RacbdXd + RbcadXd

)=Habc[H] +

1

2

(∇a∇bXc +∇b∇aXc − RbacdXd − RcbadXd

+ RbcadXd

)=Habc[H] +

1

2

(∇a∇bXc +∇b∇aXc −∇b∇aXc +∇a∇bXc

+ RbcadXd + Rbca

dXd)

=Habc[H] +∇a∇bXc + Rbcad

Esto es

Habc[h] = Habc[H] +∇a∇bXc + Rbcad (149)

3.4.2.1 Descomposición del Tensor de Riemann

La descomposición del tensor de Riemann en su parte invariante yvariante gauge la presentaremos a continuación a primer orden.


Veamos primero la cantidad∇[aHb]ce[h] = ∇aHbce[h]−∇bHace[h]

∇aHbce[h] −∇bHace[h] =∇aHbce[H] +∇a∇b∇cXe +Xf∇aRcebf

+ Rcebf∇aXf −∇bHace[H]

−∇b∇a∇cXe −Xf∇bRceaf + Rceaf∇bXf=2∇[aHb]ce[H] + (∇a∇b −∇b∇a)∇cXe+Xf∇aRcebf + Rcebf∇aXf −Xf∇bRceaf

− Rceaf∇bXf

=2∇[aHb]ce[H] + Rabcd∇dXe + Rabcd∇dXe

+ Rabed∇cXd +Xf∇aRcebf −Xf∇bRceaf

+ Rceaf∇bXf

Usando las propiedades del tensor de Riemann tenemos

∇aHbce[h] −∇bHace[h] =∇[aHb]ce[H] + Rabc

d∇dXe − Rabde∇eXd

+Xf∇aRbfce −Xf∇bRafce − Rfbce∇aXf

− Rafce∇bXf

=∇[aHb]ce[H] +Xf∇fRbace − Rfbce∇aXf

− Rafce∇bXf − Rabfe∇cXf + Rabce∇dXe

=2∇[aHb]ce[H] −LXRabc

e

Por lo tanto el tensor de Riemann a primer orden queda como:

(1)

Rabcd = −2∇[a

(1)

Cdb]c = −2∇[aHb]cd[h] = −2∇[aHb]c

d[H] +LXRabcd

(150)

Podemos entonces expresar la perturbación del tensor de Riemann aprimer orden en su parte invariante y variante gauge. Esto es

(1)

Rabcd =

(1)

Rabcd+LXRabc

d (151)

donde(1)

Rabcd = −2∇[aHb]c

d[H].

Vamos ahora a considerar la perturbación en la curvatura a se-gundo orden. Como en el caso lineal vamos a evaluar el terminoHab

c[L]. Como sabemos

Lab = lab − 2LXhab +L2Xgab = lab +L(−2hab +LXgab

)(152)

Usando la descomposición (132) tenemos

Lab = lab −LX(hab +Hab

)(153)


tomando tab ≡ hab+Hab, usando el operadorHabc[·] y las propiedadesdel tensor de Riemann entonces

Habc[L] = Habc[l] −LX(Habc[t]) − tcd∇a∇bXd + tdcReabdXe

(154)

esto es,

Habc[L] =Hab

c[l] −Habd[t]LXgcd −LX(Hab

c[t]) (155)

− tcd(∇a∇bXd − ReabdXe) (156)

Por lo tanto usando las propiedades del tensor de Riemann, tenemos,

(2)

Rabcd =− 2∇[aHb]c

d[L] + 4H[ade[H]Hb]ce[H]

+Hed(LXR

eabc − Rabc

e) + 2LX((1)

Rabcd−

1

2Rabc

d)

(157)

pero como Lab = Lab +LYgab entonces (149)

−2∇[aHdb]c[L] = −2∇[aH

db]c[L] +LYRabc

d (158)

Finalmente la descomposición del tensor de Riemann en su PIG ysu PVG queda como,

(2)

Rabcd =− 2∇[aHb]c

d[L] + 4H[ade[H]Hb]ce[H]

+ 4Hde∇[aHb]ce[H] + 2LX

(1)

Rabcd+(LY −L2X)Rabc

d

(159)

definiremos así la PIG del tensor de Riemann como,

(2)

Rabcd ≡ −2∇[aHb]c

d[L] + 4H[ade[H]Hb]ce[H] + 4Hde∇[aHb]c

e[H]

(160)

3.4.2.2 Tensor de Ricci y escalar de curvatura

De las ecuaciones (150) y (159) la descomposición del tensor deRicci en su PIG y PVG queda como

(1)

Rab =− 2∇[aHc]bc[H] +LXRab,

(2)

Rab =− 2∇[aHc]bc[L] + 4H[a

cd[H]Hc]bd[H]

+ 4Hcd∇[aHb]cd[H] + 2LX

(1)

Rab+(LY −L2X)Rab.

(161)


Aquí vamos a definir entonces las PIG como,

(1)

Rab =− 2∇[aHc]bc[H],

(2)

Rab =− 2∇[aHc]bc[L] + 4H[a

cd[H]Hc]bd[H]

+ 4Hcd∇[aHb]cd[H].

(162)

Usando la formula perturbativa para el escalar de Ricci a primerorden (127),

(1)

R = gab(−2∇[aHcc]b[H] +LXRab)−HabRab−RabLXg

ab (163)

Reordenando y aplicando la regla de Leibniz tenemos

(1)

R = −2∇[aHb]ab[H] −HabRabLXR (164)

ahora aplicando la formula perturbativa (128) y la regla de Leibniz

(2)

R =− 2∇[aHb]ab[L] − Rab(2HcaHb

c −Lab)

+ 4H[acd[H]Hc]

ad[H] + 4Hc

a∇[aHacb] [H]

+ 2LX(1)

R +(LY −L2X)R

(165)

3.4.2.3 Tensor de Einstein

De nuevo en con la formula perturbativa (130) y la regla de Leibniztenemos la descomposición en las PIG y PVG del tensor de Einsteincomo,

(1)

Gab =− 2∇[aHd]bd[H] + gab∇[cHd]

cd[H]

−1

2HabR+ gabRcdH

cd +LXGab

(166)

(2)

Gab =− 2∇[aHd]bd[L] + 4H[a

cd[H]Hc]bd[H]

+ 4Hcd∇[aHd]b

c[H]

−1

2gab

(−2∇[cHd]

cd[L] + (2HecHcd −Lde)Rde

+ 4H[cde[h]Hd

ee[H]

+ 4Hce∇[cHd]ed[H] + 4He

d∇[cHdce[H]

)+ 2Hab∇[cHd]

cd[H] +HabHcdRcd −

1

2RLab

2LX(1)

Gab+(LY −L2X)Gab

(167)

4T E O R Í A D E P E RT U R B A C I O N E S E N C O S M O L O G Í A

4.1 espacio tiempo background

Para el espacio tiempo background M0, vamos a considerar ununiverso homogéneo e isotrópico, foliado por unas hiper superficiesde tres dimensiones las cuales están parametrizadas por η que es eltiempo conforme y cada hiper superficie es maximalmente simétrica,esto es,

gab = a2(η)(−(dη)a(dη)b + γji(dxi)a(dx

j)b), (168)

donde a(η) es el factor de escala, γij es la métrica del tri-espacio elcual por ser maximalmente simétrico tiene una curvatura constanteK y

3Rijkl = K(γikγjl − γilγjk), (169)

por lo tanto

3Rij = 2Kγij, 3R = 6K, (170)

aquí el súper índice 3· indica que son cantidades geométricas asoci-adas a la geometría de la trimétrica espacial, es decir, a la hipersuper-ficie tres dimensional.

Resumiendo, las componentes de la curvatura del espacio tiempoy componentes del tensor de Einstein,

Rηη =− 3∂ηH, (171)

Rij =(∂ηH+ 2H2 + 2K)γij, (172)

R =6

a2(∂H+H2 +K), (173)

Gηη =−

3

a2(H2 +K), (174)

Gij =−

1

a2(2∂ηH+H2 +K)γi

j, (175)

donde H =∂ηaa . Aquí usamos (540)

El tensor momento energía en el espacio tiempo background, paraun fluido perfecto con densidad de energía ε y presión p

Tab = εuau

b + p(δab + uau

b), (176)

43

44 teoría de perturbaciones en cosmología

donde ua es la cuadrivelocidad del fluido,

ua =− a(dη)a, (177)

ua =1

a

(∂

∂η

)a. (178)

Entonces las ecuaciones de campo de Einstein Gab = 8πGTab para

un espacio tiempo background lleno de un fluido perfecto están dadaspor,

H2 +K =8πG

3a2ε, (179)

2∂ηH+H2 +K =− 8πGa2p. (180)

4.2 perturbación de la métrica en cosmología

Vamos entonces a desarrollar la teoría de perturbaciones en cos-mológia i. e.vamos a usar la perturbación de la métrica definida en(107) donde el espacio tiempo background es (168). Primero veamoscomo es el tratamiento a primer orden. En este caso vamos hacer dosdescomposiciones de la perturbación de la métrica a primer ordenhab. La primera consiste en hacer una descomposición 3+1, esto es,

hab = hηη(dη)a(dη)b+ 2hηi(dη)(a(dxi)b)+hij(dx

i)a(dxj)b. (181)

La descripción de los fenómenos físicos no es tan clara si trabajamossolo con esta descomposición1. Vamos entonces a hacer una segundadescomposición de hηi y hij. La descomposición de hηi en sus partesescalar y vectorial es bien conocida con los nombres de Beltrami yHodge. Usando las técnicas de York[46] es posible descomponer hijen una parte que depende de campos escalares, otra parte que de-pende de un campo vectorial y otra parte tensorial. Aquí vamos aver como es la construcción y un esquema de la demostración de laexistencia y unicidad de esta descomposición [42].

Vamos a denotar a Di como la derivada covariante en el triespacioasociada a la métrica γij y ∆ ≡ γijDiDj el Laplaciano. Decimos tam-bién que un campo escalar es armónico si este pertenece al núcleode ∆. Esto es, dado un campo escalar φ si ∆φ = 0 llamaremos a φharmónico.

Veamos primero una propiedad importante de estas funciones. Supong-amos que φ es armónico en un dominio D con frontera ∂D, entoncespor el teorema de gauss [16, 39].

∫D

Di(φDiφ)dV =

∫∂D

φDiφdSi, (182)

1 perturbaciones “Newtonianas“, fenómenos de arrastre, ondas gravitacionales, etc

4.2 perturbación de la métrica en cosmología 45

donde dV y dSi son medidas covariantes. Usando la regla de Leibnitzal lado izquierdo de (182), despejando y usando la suposición que φes harmónico tenemos,

0 =

∫D

φ∆φdV =

∫∂D

φDiφdSi −

∫D

γijDiφDjφdV . (183)

Sea D todo el espacio, entonces para K = 1, no tenemos fronteraentonces tenemos

0 = −

∫D

γijDiφDjφdV . (184)

pero el integrando nunca va ser negativo por tanto φ es constante.Para K 6 0, ∂D es una esfera infinita y como φ es armónica entoncesφ es asintótica [2] y así la integral de superficie se hace cero. Por lotanto las funciones armónicas acotadas son constantes.

Ahora dado un campo escalar acotado y diferenciable φ se puedeconstruir un campo vectorial Ai = γijDjφ el cual no es solenoidal,i. e.DiAi 6= 0. Si es solenoidal tenemos que 0 = DiAi = ∆φ por tantoφ seria armónica y como vimos φ seria constante por lo tanto Ai = 0.

Sea Ai un campo vectorial arbitrario donde en el caso no compactoK 6 0 impondremos que decae en el infinito y vamos a mirar unasolución para la ecuación,

∆φ = DiAi. (185)

Para que φ sea regular y acotado∫DiA

idV debe converger. Solu-ciones de (185) existen y son únicas hasta φ→ φ+ constante. Ahoraes mas claro que si definimos Bi = Ai − γijDjφ, este es solenoidaly único. Así hemos obtenido nuestra descomposición de un campovectorial acotado, como:

Ai = Diφ+Bi, (186)

donde Bi es solenoidal y único y φ esta definido hasta φ → φ+

constante. Esta es una construcción no local, por ejemplo si Ai tienesoporte compacto entonces DiAi también tiene soporte compacto,pero φ no tendrá soporte compacto.

Ahora veamos un resultado similar pero para campos tensoriales.Consideremos un campo tensorial simétrico al cual le podemos restarla traza [46],

T ij → T ij −1

3γijTkk, (187)


T ij se dice transversa si DiT ij = 0 y TT si es transversa y libre detraza. Sea Dij = DiDj − γij(∆+ 2K) el cual actuando sobre escalaresy usando las identidades de Ricci se puede ver que es trasversoDjD

ijφ = 0. Ahora sea T ij un campo tensorial suave simétrico ylibre de traza el cual si el dominio no fuera compacto este decae asin-toticamente. Veamos entonces que se puede descomponer como:

T ij = Dijχ+ 2D(iAj) +Wij, (188)

donde Wij es TT, Ai es un campo vectorial y χ en un campo escalar.La divergencia de (188) es

DjTij = 2DjD

(iAj). (189)

Definamos ρi ≡ DjT ij. Ahora, si Ci es el núcleo del lado derecho de(189) entonces integrando sobre todo el espacio de manera similar a(183)

0 =

∫CiDjD

(iCj)dτ =

∫CiD

(iCj)dSj −

∫(D(iCj))

2dτ, (190)

En el caso no compacto asumiremos que Ci decae suficientementerápido de tal manera que la superficie integral (esfera infinita) se hacecero, así el núcleo consiste de vectores de Killing y en el caso nocompacto es vacío porque no hay vectores de Killing no acotados entodo el espacio. Tambien en el caso compacto es fácil verificar que ρi

es ortogonal al núcleo∫ρiCidτ =

∫(DjT

ij)Cidτ = −

∫T ij(D(jCi))dτ = 0. (191)

Así (189) se puede siempre resolver. En el caso no compacto el requer-imiento de estar acotado fija Ai y lo hace único. En el caso compactoAi es fijo hasta Ai → Ai + Ki, donde Ki en un campo de Killing. Latraza de (188) es

(∆+ 3K)χ = DiAi. (192)

En el caso no compacto la suposición de que esta acotado hace queel núcleo sea vacío y en el caso compacto el núcleo tiene dimensióncuatro. Finalmente definiendo

Wij = T ij −Dijχ− 2D(iAj), (193)

el cual es TT y único. Así tenemos (188). Ahora usando la descom-posición (186) para el vector Ai, tenemos que

T ij = [DiDj − γij(∆+ 2K)]χ+ 2DiDjφ+ 2D(iBj) +Wij (194)


y ahora comparando (185) con (192) vemos que (∆+ 3K)χ = ∆φ. Ha-ciendo ψ = χ+ 2φ tenemos finalmente

T ij = (DiDj −1

3γij∆)ψ+ 2D(iBj) +Wij, (195)

donde Wij es TT y único, Bi es solenoidal y si K 6 0 este es único,pero en otro caso este esta definido hasta Bi → Bi+Ki con Ki Killing.En el caso no compacto ψ es único en otro caso este esta definidohasta ψ→ ψ+ χ donde (∆+ 3)χ = 0.

Usando los resultados (186) y (195) vamos entonces a descomponerhηi y hij como [31, 32]

hηi = Dih(VL) + h(V)i, Dih(V)i = 0 (196)

hij = a2(h(L)γij + h(T)ij), hi(T)i

≡ γijh(T)ij = 0 (197)

h(T)ij = (DiDj −1

3γij∆)h(TL) + 2D(ih(TV)j) + h(TT)ij,

Dih(TV)i = 0, Dih(TT)ij = 0.(198)

Mostraremos las relaciones inversas de esta descomposición, paraesto primero vamos a considerar que las suposiciones de arriba semantienen para asegurar la unicidad de la descomposición. Tambiénconsideremos la relación de conmutación entre el Laplaciano y ladivergencia,

Di∆ti −∆Diti =D

i(3Rijtj) = 2KDiti, (199)

Di∆tij −∆Ditij =D

i(3Rietej +

3Rlijktlk) +

3RikjlDktil (200)

=4K(Dit(ij) −1

2Djti

i), (201)

donde hemos usado (169), (170) y (522). Entonces en un espa-cio maximalmente simétrico el Laplaciano preserva la condición detransversalidad

Dj∆h(V)j = (∆+ 2K)Djh(V)j = 0. (202)


Por lo tanto las relaciones inversas de (196), (197) y (198) estándadas por:

h(VL) = δ−1Djhηj, (203)

h(V)i = hηi −Di∆−1Djhηj, (204)

h(L) =1

3a2hii, (205)

h(T)ij =1

a2

(hij −

1

3hkkγij

), (206)

h(TL) =3

2(∆+ 3K)−1∆−1DiDjh(T)ij, (207)

h(TV)i =(∆+ 2K)−1Dkh(T)ik

− (∆+ 2K)−1Di∆−1DkDlh(T)kl,

(208)

h(TT)ij =h(T)ij

−3

2

(DiDj −

1

3γij∆

)(∆+ 3K)−1∆−1DkDlh(T)kl

− 2D(i(∆+ 2K)−1Dkh(T)j)k

+ 2D(i(∆+ 2K)−1Dj)∆−1DkDlh(T)kl.

(209)

Vamos ahora a considerar la transformación gauge Teorema 9, en-tonces

Yhab − Xhab = Lξgab = 2∇(aξb) (210)

para perturbaciones lineales de la métrica. En la ecuación (210) elgenerador ξa de la transformación gauge es un campo vectorial arbi-trario en el espacio tiempo background M0. Aplicando las descom-posiciones arriba mencionadas, tenemos,

ξa = ξa(dη)a + ξi(dxi)a, (211)

con la descomposición 1+ 3 y de la descomposición vectorial,

ξi = Diξ(L) + ξ(T)i, Diξ(T)i = 0, (212)

entonces en términos de la descomposición 1+ 3 tenemos

Yhηη − Xhηη =∇ηξη +∇ηξη = 2(∂η −H)ξη (213)

Yhηi − Xhηi =∇ηξi +∇iξη = Diξη + (∂η − 2H)ξi, (214)

Yhij − Xhij =2∇(iξj) = 2D(iξj) − 2Hγijξη. (215)

Ahora de la descomposición vectorial del vector ξa tenemos

Yhηi − Xhηi =Di[(∂η − 2H)ξ(L) + ξη] + (∂η − 2H)ξ(T)i, (216)

Yhij − Xhij =2(1

3∆ξ(L) −Hξη)γij + 2(DiDj −

1

3γij∆)ξ(L)

(217)

+ 2D(iξ(T)j). (218)


Ahora de la descomposición tensorial (196-198) y las relaciones in-versas (203-209), tenemos,

Yh(VL) − Xh(VL) =ξη + (∂η − 2H)ξ(L), (219)

Yh(V)i − Xh(V)i =(∂η − 2H)ξ(T)i, (220)

a2Yh(L) − a2Xh(L) =− 2Hξη +

2

3∆ξ(L), (221)

a2Yh(TL) − a2Xh(TL) =2ξ(L), (222)

a2Yh(TV)i − a2Xh(TV)i =ξ(T)i, (223)

a2Yh(TT)ij − a2Xh(TT)ij =0. (224)

De la ecuación (224) vemos que la parte transversa y libre de trazah(TT)ij es invariante gauge y la vamos a notar como

(1)χij ≡ h(TT)ij. (225)

Debido a que(1)χij =

(1)χji,

(1)

χij = 0 y Di

(1)χij = 0, el tensor

(1)χij tiene

dos componentes independientes llamados modos tensoriales en el con-texto de las perturbaciones cosmológicas. Este tensor es bien cono-cido como las ondas gravitacionales en un universo homogéneo eisotropico. Vamos a considerar ahora las partes vectoriales (220) y(223) de las cuales definiremos una cantidad vectorial como:

a2(1)νi ≡h(V)i − (∂η − 2H)(a

2h(TV)i) (226)

=h(V)i − a2∂ηh(TV)i, (227)

la cual es invariante gauge y satisface la ecuación Di(1)νi = 0 y esto im-

plica que el modo vectorial(1)νi tiene dos componentes independientes.

Ahora para la parte escalar tenemos dos modos escalares invariantesgauge. Para ver cuales son definamos primero la variable Xη como,

Xη ≡ h(VL) −1

2(∂η − 2H)(a

2h(TL)) = h(VL) −1

2a2∂ηh(TL) (228)

el cual transforma como

YXη − XXη =Yh(VL) − Yh(VL) −1

2(∂η − 2H)(a

2(Yh(TL) − Xh(TL)))

=∂ηξ(L) + ξη − 2Hξ(L) −1

2(∂η − 2H)(2ξ(L))

=ξη.(229)

Así podemos definir nuestro primer modo escalar como

−2a2(1)

Φ ≡ hηη − 2(∂η −H)Xη, (230)


el cual por la regla de transformación (213) se puede ver que esinvariante gauge. Ahora por las reglas de transformación (205), (206)

y (229), la variable(1)

Ψ definida por

−2a2(1)

Ψ ≡ a2(h(L) −1

3∆h(TL)) + 2HXη, (231)

es invariante gauge. Resuminedo, tenemos dos componentes tensori-ales, dos componentes vectoriales y dos escalares, por lo tanto comohab tiene diez componentes independientes, entonces 4 deben corre-sponder a la parte variante gauge de la perturbación de la métrica.

Así usando las partes invariantes gauge(1)

Ψ ,(1)

Φ ,(1)νi y

(1)χij las compo-

nentes de la perturbación de la métrica hab quedan como,

hηη = −2a2(1)

Φ +2(∂η −H)Xη, (232)

hηi = a2 (1)νi +a

2∂ηh(TV)i +Dih(VL), (233)

hij =− 2a2(1)

Ψ γij + a2 (1)χij+a

2DiDjh(TL)

− 2HXηγij + 2a2D(ih(TV)j).

(234)

Ahora de la descomposición lineal de la métrica en su PIG y PVG

(132) en términos de la descomposición 3+1 las componentes quedancomo,

hηη =Hηη + 2(∂η −H)Xη, (235)

hηi =Hηi +DiXη + ∂Xi − 2HXi, (236)

hij =Hij + 2D(iXj) − 2HγijXη. (237)

Por lo tanto comparando con las ecuaciones (232), (233) y (234) pode-mos identificar las relaciones

Hηη ≡ −2a2(1)

Φ , Hηi ≡ a2(1)νi , Hij ≡ −2a2

(1)

Ψ γij+a2(1)χ ij,

(238)

y también

2(∂η −H)Xη =2(∂η −H)Xη, (239)

DiXη + (∂η − 2H)Xi =a2∂ηh(TV)i +Dih(VL), (240)

2D(iXj) − 2HγijXη =a2DiDjh(TL) − 2HXηγij + 2a2D(ih(TV)j).

(241)

De la ecuación (239), tenemos,

Xη = Xη + aCη, (242)


donde Cη es una función escalar que satisface la ecuación ∂ηCη = 0.Ahora reemplazando (242) y (228) en (240)

Xi = a2

(h(TV)i +

1

2Dih(TL)

)−DiCηa

2

∫dη

a+ a2Ci, (243)

donde Ci satisface la condición ∂ηCi = 0. Ahora reemplazando (242)y (243) en (241), tenemos

a2D(iCj) −DiDjCηa2

∫dη

a−HγijaCη = 0. (244)

Así, hemos encontrado PVG de la perturbación de la métrica Xa yesta dado por,

Xη =Xη +Cη + h(VL) −1

2a2∂ηh(TL) +Cη, (245)

Xi =a2(h(TV)i +

1

2Dih(TL)

)+Ci, (246)

donde Cη y Ci están definidos por

Cη ≡aCη, (247)

Ci ≡−DiCηa2

∫dη

a+ a2Ci. (248)

Definamos el campo vectorial en el background

Ca ≡ Cη(dη)a +Ci(dxi)a (249)

entonces,

Teorema 12. El campo vectorial Ca es un campo vectorial de Killing en elbackground.

Demostración: Debido a que ∂ηCη = 0, entonces,

2∇(ηCη) = 2(∂η −H)Cη = 0, (250)

y de la definición (248)

2∇(ηCi) = ∂Ci +DiCη − 2HCi = 0, (251)

de la restricción (244) tenemos,

2∇(iCj) = 2D(iCj) − 2HγijCη = 0, (252)

así, finalmente,

∇(aCb) = 0. (253)

Ahora como no estamos considerando el núcleo de los operadores∇, ∇+ 2K y ∇+ 3K la PVG Xa de la perturbación de la métrica no


tiene el grado de libertad del campo vectorial de Killing Ca, es decir,Xa esta definido sin ambigüedad. Veamos este hecho. Para tener laecuación (244) para cualquier factor de escala a, las componentes Cηy Ci deben satisfacer las ecuaciones

Cη = 0, D(iCj) = 0. (254)

Esto implica que Cj es un vector de Killing en la hiper superficie Σ(η).Se puede ver que (∆+ 2K)Ci = 0. Por lo tanto el campo vectorial Cino esta en el dominio de las perturbaciones considerados aquí. Así,Cj = 0.

Siguiendo el mismo argumento que en el caso lineal, las compo-nentes de las variables invariantes gauge a segundo orden Lab (140)están dadas por

Lab =− 2a2(2)

Φ (dη)a(dη)b + 2a2(2)ν i(dη)(a(dη)b)

+ a2(−2

(2)

Φ γij +(2)χ ij

)(dxi)a(dx

j)b,(255)

donde(2)ν i y

(2)χ ij satisfacen las ecuaciones

Di(2)ν i = 0,

(2)χi

i = 0 Di(2)χ ij = 0. (256)

Las PIG(2)

Φ y(2)

Ψ son los modos escalares de las perturbaciones a se-

gundo orden y(2)ν i y

(2)χ ij son los modos vectoriales y tensoriales de

la perturbación de la métrica a segundo orden respectivamente.

4.3 perturbaciones del tensor momento-energía

Vamos a considerar las perturbaciones a primer y segundo ordendel tensor momento energía para un fluido perfecto y vamos a uti-lizar el Teorema 11 para descomponer sus componentes en una PIG yPVG. Como se discutió en (176) el tensor de momento energía de unfluido depende de su densidad de energía ε, la presión p y la cuadriv-elocidad ua, así la representación del tensor momento energía en elespacio tiempo físico Mλ esta dado por:

Tba = (ε+ p)uaub + pδa

b + πba, (257)

donde πba es el tensor de stress anisotropico el cual πaη = πηa = πaa = 0.Pero nosotros podemos asumir que esta ecuación tiene una repre-sentación en el background por medio del pull-back de Xλ, esto es,

4.3 perturbaciones del tensor momento-energía 53

ε ≡X∗λε = ε+ λ(1)ε +

λ2

2

(2)ε + · · · , (258)

p ≡X∗λp = p+ λ(1)p +

λ2

2

(2)p + · · · , (259)

ua ≡X∗λua = ua + λ(1)u a +

λ2

2

(2)u a + · · · , (260)

πba ≡X∗λπba = πba + λ(1)π a +

λ2

2

(2)π a + · · · . (261)

Como la componente del stress anisotropico en el background es cerotenemos

πba = 0. (262)

La cuadrivelocidad del fluido satisface la condición de normalización,esto es,

gabuaub = gabuaub = −1. (263)

La condición (263) da las restricciones para las perturbaciones a primer

y segundo orden de la cuadrivelocidad(1)u a y

(2)u a,

ua(1)u a =

1

2habuaub, (264)

ua(2)u a = habua

(1)u a − g

ab(1)u a

(1)u b − h

achcbuaub +

1

2labuaub.

(265)

Por un lado tenemos que la expansión de la cuadrivelocidad ua =

ua + λ(1)ua

+ λ2

2

(2)ua

y por otro lado de la ecuación ua = gabub y desu expansión perturbativa tenemos

(1)ua

=gab(1)u b − h

abub, (266)(2)ua

=gab(2)u b − 2h

ab(1)u b + (2hachc

b − lab)ub. (267)


Siguiendo entonces los resultados del Teorema 11 vamos entoncesa descomponer ε, p y ua en sus partes PIG y PVG, esto es

(1)

E ≡(1)ε −LXε, (268)

(1)

P ≡(1)p −LXp, (269)

(1)

U a ≡(1)u a −LXua, (270)

(1)

Π

b

a ≡(1)πb

a, (271)(2)

E ≡(2)ε −2LX

(1)ε −(LY −L2X)ε, (272)

(2)

P ≡(2)p −2LX

(1)p −(LY −L2X)p, (273)

(2)

U a ≡(2)u a − 2LX

(1)u a − (LY −L2X)ua, (274)

(2)

Π

b

a ≡(2)πb

a − 2LX(1)πb

a, (275)

donde los campos vectoriales Xa y Ya son las PVG del primer y se-gundo orden de la perturbación respectivamente. De la ecuacion (262)tenemos que la perturbación a primer orden del stress anisotropicoes invariante gauge (271).

A primer orden la perturbación (265) queda entonces como

ua(1)

U a =1

2Habu

aub −LX

(1

2uaua

)(276)

=1

2Habu

aub, (277)

y a segundo orden queda como

ua(2)

U a =2Habuagbc

(1)

U c − gab

(1)

U a(1)

U b −HacHdbgdcuaub

+1

2Labu

aub − 2LX

(ua

(1)u a −

1

2habu

aub)

− (LY −L2X)

(1

2uau

a

)=2Habu

agbc(1)

U c − gab

(1)

U a(1)

U b −HacHdbgdcuaub

+1

2Labu

aub.

Vamos ahora a descomponer también la cuadrivelocidad ua a primery segundo orden en sus partes invariantes y variantes gauge, esto es,

(1)ua

=gab(1)

U b −Habub +LXua,

(2)ua

=gab(2)

U b − 2Hab

(1)

U b + 2HacHcbu

b

−Labub + 2LX

(gab

(1)u b − h

abub

)+ (LY −L2X)u

a.

4.3 perturbaciones del tensor momento-energía 55

Finalmente al considerar la expansión del tensor momento energía

Tba ≡ Tab + λ(1)

T a

b

+1

2

(2)

T a

b

+ · · · (278)

donde

(1)

T a

b

=

((1)ε +

(1)p

)uau

b + (ε+ p)ua(1)ub

+ (ε+ p)(1)u au

b +(1)p δa

b,

(2)

T a

b

=

((2)ε +

(2)p

)uau

b + (ε+ p)ua(2)ub

+ (ε+ p)(2)u au

b

(2)p δa

b + 2

((1)ε +

(1)p

)ua

(1)ub

+ 2

((1)ε +

(1)p

)(1)u au

b + 2(ε+ p)(1)u a

(1)ub

.

Vamos entonces a descomponer el tensor momento energía en suspartes PIG y PVG a primer y segundo orden en la perturbación. Estoes,

(1)

T a

b

≡(1)

T a

b

+LXTab, (279)

(2)

T a

b

≡(2)

T a

b

+ 2LX(1)

T a

b

+ (LY −L2X)Tab, (280)

donde las PIG del tensor momento energía de las perturbaciones aprimer y segundo orden están dado por

(1)

T a

b

≡(

(1)

E +(1)

P

)uau

b +(1)

P δab

+ (ε+ p)

(ua

(1)

U

b

−Hbcucua +(1)

U aub

),

(2)

T a

b

≡(

(2)

E +(1)

P

)uau

b + 2

((1)

E +(1)

P

)ua

((1)

U

b

−Hbcuc

)+ (ε+ p)ua

(gbc

(2)

U c − 2Hbc

(1)

U c + 2HbcHcdu

d

− gbcLcdud

)+ 2

((1)

E +(1)

P

)(1)

U aub + 2(ε+ p)

(1)

U a

(gbc

(1)

U c −Hbcuc

)+ (ε+ p)

(2)

U aub +

(2)

P δab.


4.4 ecuaciones de campo perturbadas a primer orden

en cosmología

Vamos a presentar primero las componentes de la PIG del escalarde curvatura y el tensor de Ricci a primer orden. Teniendo en cuenta(542), (543), (544), (545), (546), (547), (548) y (549) tenemos, las compo-nentes del tensor de Ricci

(1)

R η

η

= −1

a2

[(6∂ηH+ 3H∂η +∆)

(1)

Φ + (3H∂η + 3∂2η)

(1)

Ψ]

(281)

(1)

R i

η

= −1

a2

[2HDi

(1)

Φ + 2Di∂η(1)

Ψ −1

2(2K+∆)

(1)νi (282)

(1)

R η

i

= −1

a2

[2HDi

(1)

Φ + 2Di∂η(1)

Ψ −1

2(4H2 − 4∂ηH+ 2K+∆)

(1)

νi

(283)

(1)

R i

j

=1

a2

[DiD

j((1)

Ψ −(1)

Φ )

+((−4H2 − 2∂ηH−H∂η)

(1)

Φ +(4K− 5H∂η − ∂2η +∆)

(1)

Ψ)γij

−1

2∂η(Di

(1)

νj ) +Dj(1)νi −H(D

j (1)νi +Di

(1)

νj )

+1

2(∂2η + 2H∂η + 2K−∆)

(1)

χij

(284)

y el escalar de curvatura

(1)

R =−1

a2

[(12H2 + 12∂ηH+ 6H∂η + 2∆)

(1)

Φ

+ (−12K+ 18H∂η + 6∂2η −∆)

(1)

Ψ] (285)

Considerando los resultados anteriores y (166), la parte invariantegauge del tensor de Einstein a primer orden queda como,

4.4 ecuaciones de campo perturbadas a primer orden en cosmología 57

(1)

G η

η

=−1

a2[(−6H∂η + 2∆+ 6K)

(1)

Ψ −6H2(1)

Φ ],

(1)

G i

η

=−1

a2

[2∂ηDi

(1)

Ψ +2HDi(1)

Φ −1

2(∆+ 2K)

(1)νi],

(1)

G η

i

=1

a2

[2∂ηD

i(1)

Ψ +2HDi(1)

Φ +1

2(−∆+ 2K+ 4H2 − 4∂ηH)

(1)

νi],

(1)

G i

j

=1

a2

DiD

j((1)

Ψ −(1)

Φ )+[(−∆+ 2∂2η + 4H∂η − 2K)

(1)

Ψ

+ (2H∂η + 4∂ηH+ 2H2 +∆)(1)

Φ]γij

−1

2a2∂η[a2(Di

(1)

νj +Dj(1)νi )]

+1

2(∂2η + 2H∂η + 2K−∆)

(1)χ i

j.

Para un universo lleno con un fluido perfecto, vamos primero a

considerar la PIG de la cuadrivelocidad del fluido(1)

U a. Teniendo encuenta (277), las componentes de de la cuadrivelocidad se descompo-nen como

(1)

U a = −a(1)

Φ (dη)a +(Di

(1)v +

(1)

V i)(dxi)a, Di

(1)

V i = 0, (286)

por lo tanto la PIG del tensor momento-energía a primer orden quedacomo

(1)

Tηη =−(1)

E ,(1)

Tiη =(ε+ p)[(1)νi −(Di

(1)v +

(1)

Vi)],

(1)

Tηi =(ε+ p)

[Di

(1)v +

(1)

Vi],

(1)

Tji =

(1)

P γij +

(1)

Π(T)ij .

(287)

Finalmente la PIG de las ecuaciones de Einstein linealizadas.

La componente(1)

G η

η

= 8πG(1)

Tηη

4πGa2(1)

E = (−3H∂η +∆+ 3K)(1)

Ψ −3H2(1)

Φ . (288)

La componente(1)

G i

η

= 8πG(1)

Tηi

4πGa2(ε+ p)[Di

(1)v +

(1)

Vi]= ∂ηDi

(1)

Ψ −HDi(1)

Φ

−1

4(∆+ 2K)

(1)νi .

(289)


La componente(1)

G i

j

= 8πG

(1)

Tji

4πGa2((1)P γi

j +(1)

Π(T)ij)=1

2DiD

j((1)

Ψ −(1)

Φ )

+[(−1

2∆+ ∂2η + 2H∂η −K)

(1)

Ψ

+ (H∂η + 2∂ηH+H2 +1

2∆)

(1)

Φ]γij

−1

4a2∂η[a2(Di

(1)

νj +Dj(1)νi )]

+1

4(∂2η + 2H∂η + 2K−∆)

(1)χ i

j

,

(290)

donde la componente(1)

G η

i

= 8πG(1)

Tiη es idéntica a (289) debido alas ecuaciones de Einstein en el background (180).

Vamos ahora a descomponer las ecuaciones en sus partes escalares,vectoriales y tensoriales de manera similar a como lo hicimos con lasperturbaciones de la métrica hab. Primero podemos descomponerel tensor de stress anisotropico en sus partes escalares vectoriales ytensoriales,

(1)

Π(T)ij =

(DiD

j −1

3γij∆) (1)

Π(TL)+2D(i

(1)

Π(TV)j)+

(1)

Π(TT)ij . (291)

Así las ecuaciones de campo para los modos escalares

4πGa2(1)

E =(−3H∂η +∆+ 3K)(1)

Ψ −3H2(1)

Φ ,

4πGa2(ε+ p)Di(1)v =∂ηDi

(1)

Ψ −HDi(1)

Φ ,

4πGa2(1)

P γij =(−

1

3∆+ ∂2η + 2H∂η −K)

(1)

Ψ

+ (H∂η + 2∂ηH+H2 +1

3∆)

(1)

Φ ,

4πGa2[(DiD

j−1

3γij∆) (1)

Π(TL)

]=1

2DiD

j((1)

Ψ −(1)

Φ ),

(292)

las ecuaciones para los modos vectoriales

4πGa2(ε+ p)(1)

Vi =1

4(∆+ 2K)

(1)νi ,

4πGa2(2D(i

(1)

Π(TV))j)=−

1

4a2∂η[a2(Di

(1)

νj +Dj(1)νi )],

(293)

y la ecuación para el modo tensorial

4πGa2(1)

Π(TT)ij =

1

4(∂2η + 2H∂η + 2K−∆)

(1)χ i

j

, (294)

4.5 ecuaciones de campo perturbadas a segundo orden en cosmología 59

esta ultima ecuación describe la evolución de las ondas gravitacionales.Si despreciamos el tensor de stress anisotropico, la ultima ecuaciónde (292) induce

(1)

Ψ =(1)

Φ , (295)

y con esta relación las ecuaciones nos quedan finalmente como:

4πGa2(1)

E =(−3H∂η +∆+ 3(H2 −K)

) (1)Φ , (296)

4πGa2(ε+ p)Di(1)v =− ∂ηDi

(1)

Φ −HDi(1)

Φ , (297)

4πGa2(1)

P =(∂2η + 3H∂η + 2∂ηH+H2 −K)(1)

Φ . (298)

Como vemos la ecuación (296) se reduce a la ecuación de Poissonen el limite Newtoniano. Si el tensor de stress anisotropico es difer-ente de cero se puede ver de las ecuaciones (293) y (294) que estegeneraría contribuciones en la vorticidad del fluido y generaría on-das gravitacionales.

4.5 ecuaciones de campo perturbadas a segundo orden

en cosmología

Presentaremos las PIG de las componentes del tensor de Einstein asegundo orden en cosmología. Aquí usaremos las PIG de la métricaa segundo orden Lab dados por (255). Dando un tensor T usare-mos la notación ∂ηT ≡ T para indicar la derivada con respecto eltiempo conforme η. En los siguientes cálculos nos apoyamos del pa-quete de álgebra tensorial elaborado para teoría de perturbaciones encosmología desarrollado por Pitrou et al. [34] llamado xPand el cualusa herramientas del paquete xTensor y una extensión para perturba-ciones llamada xPert [27, 9]. Los paquetes xTensor y xPert son partede la distribución xAct que funciona en Wolfram Mathematica.

La PIG de la componente η− η del tensor de Einstein(2)

G η

η

estadado por


La PIG de la componente η− j del tensor de Einstein(2)

G η

j

esta dadopor


La PIG de la componente i− j del tensor de Einstein(2)

G i

j

esta dadopor

Part II

T E O R Í A S D E G R AV E D A D M O D I F I C A D A f (R )

5T E O R Í A D E P E RT U R B A C I O N E S E N T E O R Í A S D EG R AV E D A D M O D I F I C A D A f (R )

La teoría de perturbaciones cosmológicas en TGM f (R ) es un campode investigación muy activo actualmente [25, 4, 35, 24, 13]. Sin em-bargo algunos aspectos teóricos importantes se han quedado sin es-tudiar. En este capitulo presentaremos las perturbaciones desde elmarco de las series de Taylor y la formulación invariante gauge paraperturbaciones en general. En el siguiente capitulo presentaremos lateoría de perturbaciones cosmológicas invariante gauge en TGM f (R ) .Aunque ya se ha trabajado teoría de perturbaciones cosmológicas enteorías generalizadas de gravedad [23], esta es la primera vez que seaborda desde la formulación invariante gauge de Nakamura.

5.1 definición de perturbación en gravedad modificada

Consideremos una variedad N como se definió en el Capitulo 3 yen ella consideremos una subvariedad M 0 y una métrica respectivag 0 . Esta métrica es ahora una solución conocida de las ecuacionesde campo en TGM y vamos a estudiar la evolución de gλ en cada fo-liación Mλ de N a medida que vamos cambiando el tensor momentoenergía.


E ′ (g 0 , τ 0 ) = 0 , (299)

donde g 0 es la métrica del espacio tiempo en el background yE ′ son las ecuaciones de campo en TGM y observe que aquí no hasido necesario especificar cual. Se pueden considerar teorías comof (R ) , escalar-tensor o escalar-vector-tensor [20, 5], entre otras, bajolas respectivas consideraciones. Y τ 0 es el tensor momento energía enel background. Supongamos que g 0 es una solución exacta conocida.Construiremos una familia uniparamétrica, continua, diferenciable yanalítica de soluciones exactas gλ tal que,

E ′ (gλ , τλ ) = 0 . (300)

69

70 teoría de perturbaciones en teorías de gravedad modificada f(r)


5.2 ecuaciones de campo en f(R)

Vamos entonces a asumir que E ′ son las ecuaciones de campo enteorías de gravedad modificada f(R) (Véase Figura 3). Esto es,

f ′(R)Rab −1

2f(R)gab −∇a∇bf ′(R) + gabf ′(R) = κTab , (301)

o también

Gab + (f ′(R) − 1)Rab −1

2(f(R) − R)gab

− ∇a∇bf ′(R) + gabf ′(R) = κTab .(302)

Esta ultima ecuación tiene la ventaja que esta en la forma, tensor deEinstein Gab mas otros términos que dependen de f(R) y f ′(R). Conesto podemos analizar y diferenciar como son los términos “extra” enestas teorías y compararla con RG.

Ahora supongamos que en Mλ tenemos el campo tensorial (Σab)λque depende de gλ y en M0 tenemos un campo tensorial (Σab)0 que

5.2 ecuaciones de campo en f(R) 71

depende de g0 . Consideremos un gauge X y su respectivo pull-backX∗λ. Teniendo en cuenta la definición (77) y el resultado (78) entonces

Σab = Σab + λ(1)

Σab +λ2

2 !

(2)

Σab +λ3

3 !

(3)

Σab + · · · . (303)

Procederemos a calcular los términos perturbativos en TGM f(R).Primero expandimos los terminos f(R) y f ′(R) en la forma

f(R) = f(R) + λ(1)

f(R)+λ2

2

(2)

f(R)+ · · · (304)

f ′(R) = f ′(R) + λ(1)

f ′(R)+λ2

2

(2)

f ′(R)+ · · · . (305)

Ahora las perturbaciones del segundo, tercer, cuarto y quinto ter-mino de la izquierda de (302). Aquí vamos a ver explícitamente comoes el primer orden y segundo orden del las ecuaciones en TGM f(R).

El segundo termino de la izquierda de (302) queda como

(f ′(R) − 1)Rab =f ′(R)Rab − Rab

=(f ′ + λ(1)

f ′ +λ2

2

(2)

f ′ + · · · )

· (Rab + λ(1)

Rab+λ2

2

(2)

Rab+ · · · )

− (Rab + λ(1)

Rab+λ2

2

(2)

Rab+ · · · )

=f ′Rab − Rab + λ

((1)

f ′ Rab + f′

(1)

Rab−(1)

Rab

)

+λ2

2

((2)

f ′ Rab + f′

(2)

Rab+2(1)

f ′(1)

Rab−(2)

Rab

)+ · · ·

=(f ′ − 1)Rab + λ

((1)

f ′ Rab + (f ′ − 1)(1)

Rab

)

+λ2

2

((2)

f ′ Rab + 2(1)

f ′(1)

Rab+(f ′ − 1)(2)

Rab

)+ · · · ,


donde f ′ ≡ f ′(R). Así, continuando con el tercer termino y definiendof ≡ f(R) tenemos,

f(R)gab − Rgab =(f+ λ(1)

f +λ2

2

(2)

f + · · · )

· (gab + λhab +λ2

2lab + · · · )

− (R+ λ(1)

R +λ2

2

(2)

R + · · · )

· (gab + λhab +λ2

2lab + · · · )

=(f− R)gab + λ[((1)

f −(1)

R )gab + (f− R)hab]

+λ2

2[((2)

f −(2)

R )gab + 2((1)

f −(1)

R )hab

+ (f− R)lab] + · · · ,

para el cuarto termino tenemos usaremos los resultados del Capit-ulo 3, particularmente (90)

∇a∇af ′(R) =∇a∇bf ′(R) = ∇a∇bf ′(R) −Ccab∇cf ′(R)

=∇a∇bf ′ + λ∇a∇b(1)

f ′ +λ2

2∇a∇b

(2)

f ′ + · · ·

−

(λ

(1)

Ccab+λ2

2

(2)

Ccab+ · · ·

)

· ∇c

(f ′ + λ

(1)

f ′ +λ2

2

(2)

f ′ + · · ·

)

=∇a∇bf ′ + λ(∇a∇b(1)

f ′ −(1)

Ccab∇cf ′)

+λ2

2(∇a∇b

(2)

f ′ −2(1)

Ccab∇c(1)

f ′ −(2)

Ccab∇cf ′) + · · · ,

finalmente el ultimo termino,

5.2 ecuaciones de campo en f(R) 73

gabf ′(R) =gabgcd∇c∇df ′(R)

=(gab + λhab +λ2

2lab + · · · )

· (gcd − λhcd + λ2

2(2hcfhf

d − lcd) + · · · )

· [∇c∇df ′ + λ(∇c∇d(1)

f ′ −(1)

Cfcd∇ff ′)

+λ2

2(∇c∇d

(2)

f ′ −2(1)

Cfcd∇f(1)

f ′ −(2)

Cfcd∇ff ′) + · · · ]

=gabf′ + λ(gab

(1)

f ′ −gabgcdCfcd∇ff ′

− gabhcd∇c∇df ′ + habf ′)

+λ2

2

[gab

(2)

f ′ −gabgcd

(1)

Cfcd∇f(1)

f ′

− gabgcd

(2)

Cfcd∇ff ′

− 2gabhcd(∇c∇d

(1)

f ′ −(1)

Cfcd∇ff ′)+ gab(2h

cfhfd − lcd)∇c∇df ′

− 2habhcd∇c∇df ′ + labf ′

]+ · · · .

Con estos resultados y comparando con (303) obtenemos los términosa primer y segundo orden de las ecuaciones de campo en teorías degravedad modificada f(R) en términos del primer y segundo ordendel tensor de Ricci y el escalar de curvatura.

(1)

Σab =(1)

Gab+(1)

f ′ Rab + (f ′ − 1)(1)

Rab

−1

2[((1)

f −(1)

R )gab + (f− R)hab]

−∇a∇b(1)

f ′ +(1)

Ccab∇cf ′ + gab(1)

f ′

− gabgcd

(1)

Cfcd∇ff ′ − gabhcd∇c∇df ′ + habf ′

(306)


(2)

Σab =(2)

Gab+(2)

f ′ Rab + 2(1)

f ′(1)

Rab+(f ′ − 1)(2)

Rab

−1

2[((2)

f −(2)

R )gab + 2((1)

f −(1)

R )hab + (f− R)lab]

+∇a∇b(2)

f ′ −2(1)

Ccab∇c(1)

f ′ −(2)

Ccab∇cf ′

+ gab(2)

f ′ −gabgcd

(1)

Cfcd∇f(1)

f ′ −gabgcd

(2)

Cfcd∇ff ′

− 2gabhcd(∇c∇d

(1)

f ′ −(1)

Cfcd∇ff ′)+ gab(2h

cfhfd − lcd)∇c∇df ′

− 2habhcd∇c∇df ′ + labf ′

+ 2hab((1)

f ′ −gcd(1)

Cfcd∇ff ′)

(307)

5.3 invariante gauge

Para poder descomponer las ecuaciones de campo en TGM f(R) noes necesario especificar la función f. El escalar f(R) puede descom-ponerse en una PIG y PVG a primer y segundo orden y también f ′(R)para cualquier función f ∈ C∞, como veremos en el siguiente resul-tado.

Teorema 13. Sea f una función f : R −→ R en C∞, entonces f(R) y f ′(R)admiten una descomposición en PIG y PVG a primer y segundo orden. Estoes

(1)

f =(1)

F +LXf,(1)

f ′ =(1)

F ′ +LXf′, (308)

(2)

f =(2)

F +2LX(1)

f +(LY −L2X)f,(2)

f ′ =(2)

F ′ +2LX

(1)

f ′ +(LY −L2X)f′,

(309)

donde

(1)

F = f ′(R0)(1)

R ,(1)

F ′ = f ′′(R0)(1)

R , (310)

(2)

F = f ′′(R0)((2)R)2

+ f ′(R0)(2)

R ,(2)

F ′ = f ′′′(R0)((2)R)2

+ f ′′(R0)(2)

R .(311)

siendo(1)

R y(2)

R la PIG a primer y segundo orden del escalar de curvatura.

Prueba 12. Sobre la variedad N definida en el Capitulo 3 tenemos un campotensorial R (escalar de curvatura) y hemos definido un nuevo campo escalarf(R). Dado un gauge X, definimos f(R) ≡ X∗λf(R), entonces

f(R) = f(R0) + λLXf(R)

∣∣∣∣M0

+λ2

2L2Xf(R)

∣∣∣∣M0

+ · · · (312)

5.3 invariante gauge 75

entonces(1)

f ≡(1)

f(R) ≡ LXf(R)

∣∣∣∣M0

= Xf(R)

∣∣∣∣M0

= Xµ(f(R)),µ

∣∣∣∣M0

= XµR,µf′(R)

∣∣∣∣M0

= f ′(R)LXR∣∣∣∣M0

= f ′(R0)(1)

R

donde(1)

R es la parte lineal de la perturbación del escalar de curvatura y estese puede descomponer en sus partes PIG y PVG, entonces

(1)

f = f ′(R0)(1)

R = f ′(R0)((1)

R +LXR0)

= f ′(R0)(1)

R +f ′(R0)LXR0

= f ′(R0)(1)

R +LXf(R0).

Por lo tanto(1)

f se puede descomponer en una PIG y PVG y(1)

F = f ′(R0)(1)

R .

La demostración para(1)

f es igual y(1)

F ′ = f ′′(R0)(1)

R . Ahora veamos para elsegundo orden de la perturbación. De (312) tenemos

(2)

f ≡(2)

f(R) ≡ L2Xf(R)

∣∣∣∣M0

= LX(f′(R)LXR)

∣∣∣∣M0

= (LXf′(R))LXR

∣∣∣∣M0

+ f ′(R)L2XR∣∣∣∣M0

= f ′′(R)(LXR)2∣∣∣∣M0

+f ′(R)L2XR∣∣∣∣M0

= f ′′(R0)((1)

R )2 + f ′(R0)(2)

R ,

como se vio del Capitulo 3(1)

R y(2)

R se puede descomponer en PIG y PVG,entonces

(2)

f =((1)

R +LXR0)2f ′′(R0) + f

′(R0)((2)R +2LX

(1)

R +(LY −L2X)R0)

=((1)

R )2f ′′(R0) + f′(R0)

(2)

R +2(1)

R (LXR0)f′′(R0) + (LXR0)

2f ′′(R0)

+ 2f ′(R0)LX(1)

R +f ′(R0)(LY −L2X)R0

haciendo(2)

F ≡ ((1)

R )2f ′′(R0) + f′(R0)

(2)

R y(1)

R =(1)

R −LXR0 tenemos

(2)

f =(2)

F +2(1)

R LXf′(R) + 2f ′(R0)LX

(1)

R −(LXR0)(LXf′(R0))

− f ′(R0)L2XR0 +LYf(R0)

=(2)

F +2LX(f′(R0)

(1)

R ) −LX(f′(R0)LXR0) +LYf(R0)

=(2)

F +2LX(1)

f +(LY −L2X)f(R0).


La demostración para(2)

F es similar.

Para el segundo termino de la ecuación (302) y usando el Teo-rema 13 tenemos

((1)

F ′ +LXf′)Rab + (f ′ − 1)(

(1)

R ab +LXRab)

=(2)

F ′ Rab + (f ′ − 1)(1)

R +LX((f′ − 1)Rab),

aquí reorganizamos y usamos la regla de Leibniz de la derivada deLie (515) y así el segundo termino de (302) queda en como una PIG

mas una PVG. El tercer termino queda

((1)

F −(1)

R )gab + (f− R)Hab +LX[(f− R)gab]

El cuarto termino

∇a∇b((1)

F ′ +LXf′) − (Hcab[H] +∇a∇bXc + RacbdXd)∇cf ′

∇a∇b(1)

F ′ −Hcab[H]∇cf ′ +LX∇a∇bf ′.

donde hemos usado las propiedades del tensor de Riemann (525),(525) y (525) y la propiedad (535) del Apéndice B. Para el cuartotermino con (539) tenemos finalmente

gab[

(1)

F ′ −Hcce[H]∇e −Hcd∇c∇df ′

]+Habf

′ +LX(gabf′)

Con estos resultados tenemos finalmente la descomposición del ten-

sor(1)

Σab en una PIG y PVG, esto es

(1)

Σab =(1)

Gab+(1)

F ′ Rab + (f ′ − 1)(1)

Rab−1

2[((1)

F −(1)

R )gab + (f− R)Hab]

−∇a∇b(1)

F ′ +Hcab[H]∇cf ′ + gab(1)

F ′ −gabgcdHfcd[H]∇ff ′

− gabHcd∇c∇df ′ +Habf

′ +LXΣab.(313)

Observemos que la formula perturbativa del tensor(1)

Σab

Σba = gbcΣac, (314)

usando la experion (107) y Gba = Gba + λ(1)

Gba+λ2

2

(2)

Gba+ · · · entonces

(1)

Σab = gbc

(1)

Σac−hbcΣac (315)

(2)

Σab = gbc

(2)

Σba−2hbc

(1)

Σac+(2hadhcd − lac)Σac. (316)


y descomponiendo(1)

Σab en sus parte PIG y PVG

(1)

Σab =

(1)

Sab+LXΣa

b

tenemos

(1)

Sab =

(1)

Gba+(1)

F ′ Rba + (f ′ − 1)(1)

Rba−1

2((1)

F −(1)

R )fba

−∇a∇b(1)

F ′ +Hbc∇a∇bf ′ +Habd[H]∇df ′

+ γab(

(1)

F ′ −Hcce[H]∇ef ′ −Hcd∇c∇df ′

)(317)

o también

(1)

Sab =

(1)

F ′ Rba + f′(1)

Rba−1

2

(1)

F fba

−∇a∇b(1)

F ′ +Hbc∇a∇bf ′ +Habd[H]∇df ′

+ γab(

(1)

F ′ −Hcce[H]∇ef ′ −Hcd∇c∇df ′

)(318)

que es la PIG de(1)

Σab en la forma (301). Y con los resultados del

Capitulo 3 podemos escribir la PIG a primer orden del escalar de

curvatura y el tensor de Ricci(1)

R y(1)

Rab en términos de la PIG de laperturbación lineal de la métrica Hab, con esto (313) queda

(1)

Σab =− 2∇[aHf]bf[H] + gab∇[eHf]

ef[H] −1

2RHab

+1

2gabRefH

ef +(1)

F ′ Rab − 2(f′ − 1)∇[aHf]a

f[H]

−1

2

[((1)F +2∇[cHd]

cd[H] + RcdHcd)gab + (f− R)Hab

]−∇a∇b

(1)

F ′ +Habc[H]∇cf ′ + gab

(1)

F ′

− gabgcdHcd

f[H]∇ff ′ − gabHcd∇c∇df ′

+Habf′ +LXΣab.

Vamos a ver ahora como es la PIG y la PVG del tensor Σab a segundoorden. Como en el caso del primer orden y en la sección anterior, estu-diaremos termino por termino del tensor Σab. Del segundo termino


de (302) y usando las descomposiciones (308) y (309) del Teorema 13

tenemos

(2)

f ′ Rab + 2(1)

f ′(1)

Rab+(f ′ − 1)(2)

Rab

=(1)

F ′ Rab + 2(1)

F ′(1)

Rab+(f ′ − 1)(2)

Rab+2LX((1)

f ′ Rab + (f ′ − 1)(1)

Rab)

+ (LY −L2X)((f′ − 1)Rab).

Aquí usamos las propiedades (527), (528),(529), (530) y (531) delApéndice B.

Del tercer termino de (302)

((2)

f −(2)

R )gab + 2((1)

f −(1)

R )hab + (f− R)lab

= ((2)

F ′ −(2)

R ))gab + 2((1)

F ′ −(1)

F ′)Hab + (f− R)Lab

+ 2LX[(f− R)hab + (

(1)

f −(1)

R )gab]+ (LY −L2X)[(f− R)gab]

Para el cuarto termino es necesario también las propiedades (522),(535), (536) y (538) del Apéndice B para tener

∇a∇b(2)

f ′ −2(1)

Cabc∇c

(1)

f ′ −(2)

Cabc∇cf ′

= ∇a∇b(2)

F ′ −2Habc[H]∇c

(1)

F ′ −(Habc[L] − 2HcdHabd[H])∇cf ′

+ 2LX(∇a∇b((1)

f ′ −Habc[h]∇cf ′) + (LY −L2X)∇a∇bf ′

y finalmente para el cuarto termino usamos también (539) y (539)

gab

[

(2)

f ′ −2(1)

Cccd∇d

(1)

f ′ −(2)

Cccd∇df ′ − 2hcd(∇c∇d

(1)

f ′

−(1)

Ccde∇ef ′) + (hceh

de − l

cd)∇c∇df ′]

− 2habhcd∇c∇df ′ + labf ′ + 2hab(

(1)

f ′ −(1)

Ccce∇ef ′)

= gab

[

(2)

F ′ −2Hccd[H]∇d

(1)

F ′ −Hccd[L]∇df ′ +HdeHc

ce[H]∇df ′

2Hcd(∇c∇d(1)

F ′ −Hcde[H]∇ef ′) + (2HceHde −Lcd)∇c∇df ′

]− 2HabH

cd∇c∇df ′ +Labf′ + 2Hab

(

(1)

F ′ −Hcce[H]∇ef ′

)+ 2LX

[gab(

(1)

f ′ −Hccd[h]∇df ′ − hcd∇c∇df ′) + habf ′

]+ (LY −L2X)gabf

′


Con estos resultados, con (316), descomponiendo(2)

Σab en sus partes

PIG y PVG

(2)

Σab =

(2)

Sab+2LX

(1)

Σab+(LY +L2X)σab

y entonces de manera análoga a (317) tenemos las ecuaciones decampo en TGM f(R) a segundo orden invariantes gauge como

(2)

Sab =

(2)

Gab+((2)F ′ Ra

b + 2(1)

F ′(1)

Rab+(f ′ − 1)

(2)

Rab)−1

2

((2)F −

(2)

R)fab

−∇a∇b(2)

F ′ +2Habd[H]∇d

(1)

F ′ +(Habd[L] − 2HdeHa

be[H])∇df ′

2Heb(∇a∇e(1)

F ′ −Haed[H]∇df ′) − (2HedHd

b −Leb)∇a∇ef ′

fab[

(2)


(1)


ce[H]∇df ′

−Hcd(∇c∇d(1)

F ′ −Hcde[H]∇ef ′) + (2HceHe

d −Lcd)∇c∇df ′

(319)

o tambien como en (318)

(2)

Sab =

(2)

F ′ Rab + 2

(1)

F ′(1)

Rab+f ′

(2)

Rab−

1

2

(2)

F fab −∇a∇b

(2)

F ′

+ 2Habd[H]∇d

(1)

F ′ +(Habd[L] − 2HdeHa

be[H])∇df ′

2Heb(∇a∇e(1)

F ′ −Haed[H]∇df ′) − (2HedHd

b −Leb)∇a∇ef ′

fab[

(2)


(1)


ce[H]∇df ′

−Hcd(∇c∇d(1)

F ′ −Hcde[H]∇ef ′) + (2HceHe

d −Lcd)∇c∇df ′

(320)

y con los resultados del Capitulo 3 podemos escribir la PIG delescalar de curvatura y el tensor de Ricci a primer y segundo orden(1)

R ,(1)

Rab,(2)

R y(2)

Rab en términos de la PIG de la perturbación de lamétrica a primer y segundo orden Hab y Lab,


(2)

Σab =− 2∇[aHf]bf[L] + 4H[a

ef[H]He]bf[H] + 4Hfe∇[aHf]be[H]

−1

2gab

(−2∇[eHf]

ef[L] + 2RfgHfeH

ge − RfgLfg + 4H[e

fg[H]Hf]eg[H]

+ 4Hfg∇[eHf]eg[H] + 4Heg∇[eHf]g

f[H])+ 2Hab∇[eHf]

ef[H]

+HabHefRef −

1

2RLab + Rab

(2)

F ′ +(f ′ − 1)(−2∇[aHe]b

e[H]

+ 4H[aef[H]He]bf[H] + 4Hef∇[aHb]e

f[H])− 4

(1)

F ′ ∇[aHf]bf[H]

−1

2

[((2)F +2∇[cHd]

cd[L] − Rcd(2HecHed −Lcd) − 4H[c

ef[H]He]cf[H]

− 4Hde∇[cHd]ce[H] − 4Hcd∇[cHf]d

f[H])gab

+ 2( (1)F +2∇[cHd]

cd[H] + RcdHcd)Hab + (f− R)Lab

]+∇a∇b

(2)

F ′ −2Habc[H]∇c

(1)

F ′ −(Hab

c[L] − 2HcfHabf[H])∇cf ′

+ gab

[

(2)

F ′ +gcd(−2Hcd

f[H]∇f(1)

F ′ −Hcdf[L]∇ff ′ +HfeHcde[H]∇ff ′

)− 2Hcd

(∇c∇d

(1)

F ′ −Hcdf[H]∇ff ′

)+(2HcfHdf −Lcd

)∇c∇df ′

]− 2HabH

cd∇c∇df ′ +Labf′ + 2Habg

cd(∇c∇d

(1)

F ′ −Hcdf[H]∇ff ′

)+ 2LX

(1)

Σab+(LY −L2X)Σab

6T E O R Í A D E P E RT U R B A C I O N E S C O S M O L Ó G I C A SE N T E O R Í A S D E G R AV E D A D M O D I F I C A D A f (R )

6.1 espacio tiempo background

Para el espacio tempo background M 0 vamos a hacer la mismasconsideraciones que en la Sección 4.1. La métrica es como en (168) yel tensor momento energía es como en (176). Entonces las ecuacionesde campo en TGM f (R ) Σa

b = 8πGTab para un espacio tiempo

background lleno de un fluido perfecto están dadas por,

(−∂ηH + H∂η ) f′ +

a 2 f

6=8πGa 2 ε

3(321)

( 2H 2 + ∂ηH + 2K − ∂ 2η − H∂η ) f′ −

a 2 f

2= 8πGa 2 p

(322)

donde f ≡ f (R ) , f ′ ≡ f ′ (R ) y R es como en (173).

6.2 ecuaciones de campo perturbadas a primer orden

en cosmología

Ahora vamos a usar los resultados de Capitulo 4 y Capitulo 5 paraver como son las ecuaciones de campo perturbadas en TGM f (R )

invariantes gauge en cosmología a primer y segundo orden. Reem-plazando entonces la PIG a primer orden del tensor de Ricci (281),(282), (283) y (284), la PIG a primer orden del escalar de curvatura(285) en (317), la PIG tensor de Einstein perturbado a primer ordeny los operadores (550), (551), (552), (553) y (554) entonces la PIG del

tensor(1 )

Σab queda como sigue:

81

82 teoría de perturbaciones cosmológicas en teorías de gravedad modificada f(r)

(1 )

Sηη = −

1

a 2[ (− 6H∂η + 2∆ + 6K )

(1 )

Ψ − 6H 2(1 )

Φ ] +3 H

(1 )

F ′

a 2

−( f ′ − 1 )

a 2

[( 6 H + 3H∂η + ∆ )

(1 )

Φ +( 3H∂η + 3 ∂ 2η )(1 )

Ψ]

−1

2

((1 )

F +1

a 2

[( 1 2H 2 + 1 2 H + 6H∂η + 2∆ )

(1 )

Φ

+ (− 1 2K + 1 8H∂η + 6 ∂ 2η − 4∆ )(1 )

Ψ]

+1

a 2(∆ − 3H∂η )

(1 )

F ′ +1

a 2( 6H

(1 )

Φ + 3 ∂η(1 )

Ψ )∂η f′ ,

(1)

Siη =−

1

a2

[2∂ηDi

(1)

Ψ +2HDi(1)

Φ −1

2(∆+ 2K)

(1)νi]

−(f ′ − 1)

a2

[2HDi

(1)

Φ +2∂ηDi(1)

Ψ −1

2(∆+ 2K)

(1)νi]

+1

a2(∂ηDi −HDi)

(1)

F ′ −1

a2Di

(1)

Φ ∂ηf′,

(1)

Sηi =

1

a2

[2∂ηD

i(1)

Ψ +2HDi(1)

Φ +1

2(−∆+ 2K+ 4H2 − 4∂ηH)

(1)

νi]

+(f ′ − 1)

a2

[2HDi

(1)

Φ +2∂ηDi(1)

Ψ +1

2(4H2 − 4H+ 2K−∆)

(1)

νi]

−1

a2(∂ηD

i −HDi)(1)

F ′ +1

a2(Di

(1)

Φ +2H(1)

νi −(1)

νi ∂η)∂ηf′,

(1)

Sij

i 6=j=1

a2

DiD

j((1)

Ψ −(1)

Φ ) −1

2a2∂η[a2(Di

(1)

νj +Dj(1)νi )]

+1

2(∂2η + 2H∂η + 2K−∆)χi

j

+

(f ′ − 1)

a2

DiD

j((1)

Ψ −(1)

Φ )

−1

2a2∂η[a2(Di

(1)

νj +Dj(1)νi )]+1

2(∂2η + 2H∂η + 2K−∆)χi

j

−1

a2DiD

j(1)

F ′ −1

2a2

[(Di

(1)

νj +Dj(1)νi ) − ∂ηχi

j]∂ηf′,


(1)

Sii =−

1

a2

∆(

(1)

Ψ −(1)

Φ ) + 3[(−∆+ 2∂2η + 4H∂η − 2K)

(1)

Ψ

+ (2H∂η + 4∂ηH+ 2H2 +∆)(1)

Φ]

+3(1)

F ′

a2(2H2 + ∂ηH+ 2K)

+(f ′ − 1)

a2

∆(

(1)

Ψ −(1)

Φ ) + 3[(−4H2 − 2∂ηH−H∂η)

(1)

Φ

+ (4K− 5H∂η − ∂2η +∆)

(1)

Ψ]

−3

2

(1)

F

+[12H2 + 12∂ηH+ 6H∂η + 2∆)

(1)

Φ

+ (−12K+ 18H∂η + 6∂2η − 4∆)

(1)

Ψ]

−1

a2(3∂2η − 2∆+ 3H∂η)

(1)

F ′

+3

a2

[(∂η + 2H)

(1)

Φ +2∂η(1)

Ψ +2(1)

Φ ∂η]∂ηf′.

Estas ecuaciones están en la forma de (302) i. e.tensor de Einsteinmas contribuciones debidas a la teoría extendida. Ahora las mismasecuaciones pero en la forma tradicional (301), donde quedan de man-era mas compacta,

(1)

Sηη =−

f ′

a2

[(6H+ 3H∂η +∆)

(1)

Φ +(3H∂η + 3∂2η)

(1)

Ψ]−1

2

(1)

F

+3H

(1)

F ′

a2+1

a2(∆− 3H∂η)

(1)

F ′ +1

a2(6H

(1)

Φ +3∂η(1)

Ψ )∂ηf′,

(323)

(1)

Siη =−

f ′

a2

[2HDi

(1)

Φ +2∂ηDi(1)

Ψ −1

2(∆+ 2K)

(1)νi]

+1

a2(∂ηDi −HDi)

(1)

F ′ −1

a2Di

(1)

Φ ∂ηf′,

(324)

(1)

Sηi =

f ′

a2

[2HDi

(1)

Φ +2∂ηDi(1)

Ψ +1

2(4H2 − 4H+ 2K−∆)

(1)

νi]

−1

a2(∂ηD

i −HDi)(1)

F ′ +1

a2(Di

(1)

Φ +2H(1)

νi −(1)

νi ∂η)∂ηf′,

(325)


(1)

Sij

i 6=j=f ′

a2

DiD

j((1)

Ψ −(1)

Φ ) −1

2a2∂η[a2(Di

(1)

νj +Dj(1)νi )]

+1

2(∂2η + 2H∂η + 2K−∆)χi

j

−1

a2DiD

j(1)

F ′

−1

2a2

[(Di

(1)


j]∂ηf′,

(326)

(1)

Sii =

3(1)

F ′

a2(2H2 + ∂ηH+ 2K)

+3f ′

a2

[(−4H2 − 2∂ηH−H∂η −

1

3∆)

(1)

Φ

+ (4K− 5H∂η − ∂2η +

4

3∆)

(1)

Ψ]

−3

2

(1)

F

−1

a2(3∂2η − 2∆+ 3H∂η)

(1)

F ′

+3

a2

[(∂η + 2H)

(1)

Φ +2(∂η −H)(1)

Ψ +2(1)

Φ ∂η]∂ηf′.

(327)

Vamos a considerar ahora las ecuaciones de Einstein linealizadasde un universo homogéneo e isotropico lleno con un fluido perfectocuyas componentes de la PIG del tensor momento energía a primerorden están dadas por:

(1)

Tηη =−(1)

E ,(1)

Tiη =(ε+ p)[(1)νi −(Di

(1)v +

(1)

Vi)],

(1)

Tηi =(ε+ p)

[Di

(1)v +

(1)

Vi],

(1)

Tji =

(1)

P γij +

(1)

Π(T)ij .

(328)

Por lo tanto las ecuaciones de campo linealizadas las obtenemos deigualar (323), (325), (324), (326) y (327) con (328)

8πGa2(1)

E =f ′[(6H+ 3H∂η +∆)

(1)

Φ +(3H∂η + 3∂2η)

(1)

Ψ]

+a2

2

(1)

F −3H(1)

F ′ −(∆− 3H∂η)(1)

F ′

− (6H(1)

Φ +3∂η(1)

Ψ )∂ηf′

(329)


8πGa2(ε+ p)[Di

(1)v +

(1)

Vi]=− f ′

[2HDi

(1)

Φ +2∂ηDi(1)

Ψ

−1

2(∆+ 2K)

(1)νi]

+ (∂ηDi −HDi)(1)

F ′

−Di(1)

Φ ∂ηf′

(330)

Aquí la componente(1)

Sηi = 8πG

(1)

Tiη es igual a (330) al comparar conlas ecuaciones de campo en el background.

8πGa2(1)

Π(T)ij =f ′

DiD

j((1)

Ψ −(1)

Φ ) −1

2a2∂η[a2(Di

(1)

νj +Dj(1)νi )]

+1

2(∂2η + 2H∂η + 2K−∆)χi

j

−DiD

j(1)

F ′

−1

2

[(Di

(1)


j]∂ηf′

(331)

24πGa2(1)

P =3(1)

F ′(2H2 + ∂ηH+ 2K)

+ 3f ′[

(−4H2 − 2∂ηH−H∂η −1

3∆)

(1)

Φ

+ (4K− 5H∂η − ∂2η +

4

3∆)

(1)

Ψ]

−3a2

2

(1)

F −(3∂2η − 2∆+ 3H∂η)(1)

F ′

+ 3[(∂η + 2H)

(1)

Φ +2∂η(1)

Ψ +2(1)

Φ ∂η]∂ηf′

(332)

Consideremos también el termino i− j en general, es decir, i puedeser igual a j, esto es

8πGa2( (1)

Π(T)ij+

(1)

P γij

)= f ′

(1)

Gij

+1

a2

−(DiD

j − γijH∂η)

(1)

F ′ −1

2(Di

(1)

νj +Dj(1)νi )

+1

2∂η

(1)

χij

+ γij[(∂ηH+ 2H2 + 2K− ∂2η − 2H∂η +∆)

(1)

F ′

+ ((2H+ ∂η)(1)

Φ +2∂η(1)

Ψ +2(1)

Φ ∂η)∂ηf′]

(333)


Donde(1)

Gij es la PIG de la componente i− j del tensor de Einstein y

aquí usamos también el resultado del Teorema 13.

Vamos ahora a descomponer las ecuaciones (329), (330), (331), (332)y (333) de igual manera a como lo hicimos con (292), (293) y (294) parala perturbación de la métrica hab cuya relación inversa esta definidapor (203), (204), (205), (206), (207), (208) y (209). Así las ecuacionespara la parte escalar queda como,

8πGa2(1)

E =f ′[(6H+ 3H∂η +∆)

(1)

Φ +(3H∂η + 3∂2η)

(1)

Ψ]+a2

2

(1)

F

− (3∂ηH+∆− 3H∂η)(1)

F ′ −(6H(1)

Φ +3∂η(1)

Ψ )∂ηf′

(334)

8πGa2(ε+ p)Di(1)v =− f ′

(2HDi

(1)

Φ +2∂ηDi(1)

Ψ)

+ (∂ηDi −HDi)(1)

F ′ −(Di(1)

Φ )∂ηf′

(335)

8πGa2∆(∆+ 3K)(1)

Π(TL) =∆(∆+ 3K)[f ′(

(1)

Ψ −(1)

Φ ) −(1)

F ′] (336)

8πGa2(1)

P =f ′[(−4H2 − 2∂ηH−H∂η −

1

3∆)

(1)

Φ

+ (4K− 5H∂η − ∂2η +

4

3∆)

(1)

Ψ]

−a2

2

(1)

F +(2H2 + ∂ηH+ 2K− ∂2η +2

3∆−H∂η)

(1)

F ′

+[(∂η + 2H)

(1)

Φ +2∂η(1)

Ψ +2(1)

Φ ∂η]∂ηf′

(337)

las ecuaciones para las perturbaciones vectoriales

8πGa2(ε+ p)(1)

Vi =f ′

2(∆+ 2K)

(1)νi (338)

16πGa4((∆+ 2K)

(1)

Πj(TV)

)=− ∂η

[a2(∆+ 2K)

(1)

νj f ′] (339)

y las ecuaciones para las perturbaciones tensoriales

8πGa2(1)

Π(TT)ij =f ′

2(∂2η + 2H∂η + 2K−∆)χi

j +1

2∂ηχi

j∂ηf′

(340)


vamos ahora a describir algunas características importantes de estasecuaciones. Comenzaremos con las perturbaciones para los modos

escalares. Usando el resultado del Teorema 13 donde(1)

F = f ′(1)

R

entonces (334) y (337) quedan como

8πGa2(1)

E =f ′[−6H2

(1)

Φ +(−6H∂η + 6K+ 2∆)(1)

Ψ]

− (3∂ηH+∆− 3H∂η)(1)

F ′ −(6H(1)

Φ +3∂η(1)

Ψ )∂ηf′

(341)

8πGa2(1)

P =2f ′[(H2 + 2∂ηH+H∂η +

1

3∆)

(1)

Φ

+ (2H∂η + ∂2η −K−

1

3∆)

(1)

Ψ]

+ (2H2 + ∂ηH+ 2K− ∂2η +2

3∆−H∂η)

(1)

F ′

+[(∂η + 2H)

(1)

Φ +2∂η(1)

Ψ +2(1)

Φ ∂η]∂ηf′

(342)

De la ecuación (336) si el modo escalar del tensor de stress anisotrop-

ico es cero,(1)

Π(TL) = 0, entonces,(1)

Φ 6=(1)

Ψ , cuyo resultado clara-

mente diverge de relatividad general donde,(1)

Φ =(1)

Ψ en este caso.Si el tensor de stress anisotropico en general es diferente de cero

i. e.(1)

Π(T)ij 6= 0 se puede ver de las ecuaciones (338), (339) y (340) queeste generaría contribuciones en la vorticidad del fluido y generaría

ondas gravitacionales. Entonces si(1)

Π(T)ij = 0

tenemos

(1)νi = 0,

(1)χij = 0 (343)

también

f ′((1)

Ψ −(1)

Φ ) =(1)

F ′ (344)

de esta manera las ecuaciones para la parte escalar (341), (335) y (342)quedan como:

8πGa2(1)

E =f ′[(−6H2 + 3∂ηH+∆− 3H∂η)

(1)

Φ

+ (−3H∂η + 6K− 3∂ηH+∆)(1)

Ψ]

− (9H(1)

Φ +(3∂η − 3H)(1)

Ψ )∂ηf′

(345)


8πGa2(ε+ p)Di(1)v =− f ′

(HDi(

(1)

Φ +(1)

Ψ ) + ∂ηDi((1)

Φ +(1)

Ψ ))

+Di((1)

Ψ −2(1)

Φ )∂ηf′

(346)

8πGa2(1)

P =f ′[(3∂ηH− 2K−H∂η + 2∂

2η)

(1)

Φ

+ (7H∂η + ∂2η +H

2 + ∂ηH)(1)

Ψ]

+[(∂η + 2H)

(1)

Φ +2∂η(1)

Ψ +2(1)

Φ ∂η]∂ηf′

(347)

Estos resultados son los análogos a (296), (297) y (298). La ventajade esta forma de presentar las ecuaciones es que TGM f(R) es unateoría de cuarto orden en sus derivadas y aquí hemos derivado unconjunto de ecuaciones de segundo orden en sus derivadas para lasperturbaciones escalares.

6.2.1 Gauge Newtoniano

En esta sección presentaremos las ecuaciones en un gauge particu-lar para comparar nuestros resultados con la literatura y mostrar lageneralidad y potencialidad de nuestra formulación.

El primer gauge que presentaremos es conocido como gauge New-toniano. De las ecuaciones (196), (197) y (198) consideraremos sololas partes escalares y hagamos h(TL) = h(VL) = 0, hηη = −2a2ψ y

h(L) = −2φ, por lo tanto las ecuaciones (230) y (231) quedan(1)

Φ = ψ

y(1)

Ψ = φ. Consideremos también un universo con curvatura nulaK = 0. Así la componente η− η de las ecuaciones en TGM f(R) (341)queda como

−8πGa2E = f ′[−2∆φ+ 6H(∂ηφ+Hψ)

]+ 3∂ηHf

′′ (1)R +(f ′′∆− 3H∂ηf

′′)(1)

R

− 3Hf ′′∂η(1)

R +(6H∂ψ+ 3∂ηφ)∂ηf′

(348)

y las componentes i− j de las ecuaciones de TGM f(R) (336) quedacomo

−∆2(f ′(ψ−φ) + f ′′

(1)

R)= 8πGa2∆2Π(TL). (349)

Estas ecuaciones coinciden con los resultados de Bean et al.[4]

6.2.2 Gauge Síncrono

Veamos ahora como quedan nuestras ecuaciones en el gauge sín-crono. De las ecuaciones (196), (197) y (198) consideraremos solo


las partes escalares y hagamos h(L) = h3 , h(TL) = −6

(η + h

6

)y

hηη = h(VL) = 0.1 Así

(1)

Φ = 3(∂2η +H∂η)η+1

2(∂2η +H∂η)h, (350)

también,

(1)

Ψ = −(∆+ 3H∂η)η− (1

6+1

6∆+

1

2H∂η)h (351)

Por lo tanto

(1)

Ψ −(1)

Φ =(−∆η−

1

2(∂2ηh+ 6∂2ηη) −H(∂ηh− 6∂ηη)

)+(−1

6−∆

6

)h,

(352)

Ahora consideremos el invariante escalar(1)

F ′ ,

(1)

F ′ =(1)

f ′ −LXf′ =

(1)

f ′ −Xη∂ηf′

=f ′′(1)

R +(3∂ηη+1

2∂ηh)∂ηf

′(353)

Por tanto en un universo con curvatura nula K = 0, tenemos que lacomponente i− j con i 6= j, de las ecuaciones de campo perturbadasa primer orden en TGM f(R) queda como:

∆2f ′[−∆η−

1

2(∂2ηh+ 6∂2ηη) −H(∂ηh− 6∂ηη) + (−

1

6−∆

6)h]

− (3∂ηη+1

2∂ηh)∂ηf

′ − f ′′(1)

R

= 8πGa2∆2

(1)

Π(TL) .

(354)

Para la componente η−η vamos a considerar, termino por termino,esto es

−6H(1)

Φ = (−18H∂2η − 18H2∂η)η+ (−3∂2η + 3H

2∂η)h (355)

también

(−6H∂η + 2∆)(1)

Ψ =(18H∂ηH∂η + 18H2∂2η − 2∆

2)η

+ (3H∂ηH∂η + 3H2∂2η −∆H∂η)h+ R,

(356)

donde R = −(13∆+ 1

3∆2)h. Ahora usando el resultado (353) tenemos,

1 Aquí usamos la notación de Ma and Bertschinger[26]. Esperamos también que nohaya confusión de la función escalar η, con el tiempo conforme.


−(3∂ηH+∆− 3H∂η)(1)

F ′ =[f ′′

(1)

R +(3∂ηη+1

2∂ηh)∂ηf

′]− 3∂Hf ′′

(1)

R −f ′′∆(1)

R +3H∂ηf′′ (1)R +3Hf ′′∂η

(1)

R[(−9∂ηH∂η − 3∂η∆+ 9H∂2η)η

+ (−3

2∂ηH∂η −

1

2∂η∆+

3

2H∂2η)h

]∂ηf′

+ (9H∂ηη+3

2∂ηh)∂

2ηf′,

(357)

ahora

−(6H(1)

Φ +3∂η(1)

Ψ )∂ηf′ = [(−9H∂2η − 18H

2∂η + 3∆∂η)η

+ (−3

2H∂2η − 3H

2∂η +∂η

2+∂η∆

2−3

2∂ηH∂η)h]∂ηf

′(358)

Consideremos también la PVG de la componente η− η de las ecua-ciones de campo en TGM f(R), es decir,

−LXΣηη =

1

a2

[(−18H2∂ηH∂η + 18H

3∂η)η

+ (−3h∂ηH∂η + 3H3∂η)h

]f ′

1

a2(18H2∂ηη+ 3H

2∂ηh)∂ηf′

+1

a2(−9H∂ηη−

3

2H∂ηh)∂

2ηf′.

(359)

Al reemplazar (355), (356), (357), (358) y (359) en (341) y adicio-nando le la PVG de la componente η− η a ambos lados de las ecua-ciones de campo en TGM f(R) tenemos

8πGa2(1)ε =f ′(−2∆2η+H∂ηh) + f

′(−1

3∆−

1

3∆2)h

− 3∂ηHf′′ (1)R −f ′′∆

(1)

R +3H∂ηf′′ (1)R

+ 3Hf ′′∂η(1)

R +1

2∂ηh∂ηf

′

(360)

6.2.3 Transformación conforme

Otra opción puede ser definir dos nuevos invariantes inspiradospor la ecuación (344) como:

(1)

Φ ≡f ′(1)

Φ +

(1)

F ′

2, (361)

(1)

Ψ ≡f ′(1)

Ψ −

(1)

F ′

2, (362)


entonces, sin tensor de stress anisotropico, tenemos

(1)

Ψ −

(1)

Φ = f ′((1)

Ψ −(1)

Φ ) −(1)

F ′ = 0, (363)

esto es

(1)

Ψ =

(1)

Φ . (364)

Por otro lado consideremos la transformación conforme gab =

Ω2gab, y como vimos en la Sección 2.1.7, Ω2 = f ′ entonces gab =

f ′gab. Vamos a asumir que estas cantidades están en Mλ entonces,

f ′gab =(f ′ + λ(1)

f ′ +λ2

2

(2)

f ′ + · · · )

· (gab + λ(1)gab+

λ2

2

(2)gab+ · · · )

=f ′gab + λ(f ′

(1)gab+

(1)

f ′ gab)+ · · ·

por lo tanto la parte lineal de la perturbación de la métrica ¯gab queda,

(1)

gab = f ′ gab+ f′ gab = f ′hab +

(1)

f ′ gab (365)

ahora al descomponer f ′ y hab en sus PIG y PVG y teniendo encuenta (343) tenemos,

(1)

gab =f ′(Hab +LXgab) + ((1)

F ′ +LXf′)gab

=f ′Hab +(1)

F ′ gab +LX(f′gab)

que es la PIG mas PVG de la parte linear de la perturbación de lamétrica ¯gab. Vamos ahora a definir

(1)

gab = Hab +LXgab,

es decir

Hab ≡ f ′Hab +(1)

F ′ gab

veamos entonces como son las componentes de la PIG Hab

Hηη = f ′(−2a2(1)

Φ ) +(1)

F ′(−a2)

= −2a2(f ′

(1)

Φ +

(1)

F ′

2

)= −2a2

(1)

Φ ,


Hij = f′(−2a2

(1)

Ψ γij) +(1)

F ′(a2γij)

= −2a2(f ′

(1)

Ψ −

(1)

F ′

2

)γij

= −2a2(1)

Ψ = −2a2(1)

Φ .

Esto quiere decir que en un marco de Einstein y con un tensor deanisotropias igual a cero podemos escribir la parte invariante de la

parte lineal de la métrica(1)

gab en términos de un solo invariante(1)

Φ .

7T E O R Í A P O S T E I N S T E I N

7.1 definición

En los modelos de TGM f(R) cuando f es no lineal tenemos ecua-ciones de campo de cuarto orden en sus derivadas y queremos en-contrar soluciones exactas o diferencias con respecto a soluciones deRG. Aquí desarrollaremos una técnica para ver como se diferencianlas soluciones en TGM con respecto a RG o incluso si se pueden com-parar.

Supongamos por ejemplo que tenemos dos teorías de gravedadcomo por ejemplo f(R) = R que es la gravedad de Einstein y f(R) =R + λR2 el cual contiene el modelo de Starobinsky [40]. Si λ = 0

entonces recobramos la teoría de Einstein, entonces es de esperarseque si tenemos una solución gλ en el modelo de f(R) = R+ λR2 estatienda a una solución en RG cuando λ tienda a cero, pero esto no vaa ser así como demostraremos mas adelante.

Consideremos una variedad N como se definió en el Capitulo 3 y enella consideremos una subvariedad M0 y una métrica respectiva g0.Esta métrica es una solución conocida de las ecuaciones de campode Einstein y consideremos también una subvariedad Mλ con unamétrica gλ que es una solución exacta de las ecuaciones de campoen TGM y vamos a estudiar la evolución de gλ en cada foliación Mλ

de N a medida que vamos cambiando las ecuaciones de campo quedependen de una parámetro λ.


E0(g0, τ) = 0 (366)

Supongamos que g0 es una solución exacta conocida de las ecua-ciones de campo de Einstein E0. Construiremos una familia unipara-metrica, continua, diferenciable y analítica de soluciones exactas gλ,tal que

Eλ(gλ, τ) (367)

donde Eλ son las ecuaciones de campo en TGM véase la Figura 4.

93

94 teoría post einstein


7.2 ecuaciones de campo en tgm f(R) a orden n

Sean P y Q dos tensores como en (78), esto es

P =(0)

P +λ(1)

P +λ2

2 !

(2)

P + · · · (368)

Q =(0)

Q +λ(1)

Q +λ2

2 !

(2)

Q + · · · (369)

de aquí se puede ver que

P Q =

∞∑n=0

λn

n !

n∑i=0

(n

i

)(i)

P(n−i)

Q (370)

Por lo tanto el n-esimo orden de la multiplicación de P y Q es

(n)

PQ =

n∑i=0

(n

i

)(i)

P(n−i)

Q . (371)

7.2 ecuaciones de campo en tgm f(R) a orden n 95

donde(n

i

)=

n !i !(n − i) !

. (372)

Aplicando este resultado a las ecuaciones de campo en TGM f(R)

Σµν = f ′Rµν −1

2fgµν − ∇µ∇νf ′ + gµνf ′ (373)

Donde

f =(0)

f +λ(1)

f +λ2

2!

(2)

f + · · · (374)

f ′ =(0)

f ′ +λ(1)

f ′ +λ2

2!

(2)

f ′ + · · · (375)

gµν =(0)gµν+λ

(1)gµν+

λ2

2!(2)gµν+ · · · (376)

Rµν =(0)

Rµν+λ(1)

Rµν+λ2

2!

(2)

Rµν+ · · · (377)

También observemos que

∇µ∇νf ′ = ∇µ∇νf ′ −Cµνδ∇δf ′ (378)

donde

Cµνδ =

1

2gαδ(∇µgαν +∇νgαµ −∇αgµν) (379)

observemos que por la propiedad (376) Cµνδ lo podemos expandircomo:

Cµνδ =

(0)

Cµνδ+λ

(1)

Cµνδ+

λ2

2!

(2)

Cµνδ+ · · · (380)

En el background es claro que ∇a(0)gbc = 0 por esto

(0)

Cµνδ = 0 sin

embargo lo seguiremos escribiendo por conveniencia en los próxi-mos resultados. Usando estos resultados obtenemos las ecuacionesde campo en TGM f(R) a orden n como,

(n)

Σµν =

n∑i=0

[(n

i

) (i)

f ′(n−i)

Rµν −1

2

(n

i

)(i)

f(n−i)gµν

]

−∇µ∇ν(n)

f ′ +

n∑i=0

(n

i

)(n−i)

Cµνα∇α

(i)

f ′

+

n∑i=0

i∑k=0

(n

i

)(i

k

)(n−i)gµν

(i−k)

gαβ

·[∇α∇β

(k)

f ′ −

k∑l=0

(k

l

) (k−l)

Cαβδ∇δ

(l)

f ′]

(381)


7.3 caso f(R) = R + λR2

Consideremos ahora el caso f(R) = R + λR2 . Aquí f ′(R) = 1 +

2λR donde R =(0)

R +λ(1)

R + λ2

2 !

(2)

R + · · · y así tenemos

(0)

f =(0)

R para n = 0 (382)

(n)

f =(n)

R +n

n−1∑i=0

(n − 1

i

)(i)

R(n−i−1)

R para n > 1 (383)

también

(0)

f ′ = 1 para n = 0 (384)(n)

f ′ = 2n(n)

R para n > 1 (385)

Lema 14. Sea(i)

Rµν = 0 para todo i = 1, . . . ,n − 1, entonces(n)

R =(n)

Rαβ

(0)

gαβ

Demostración: Como sabemos R = Rαβgαβ y aplicando la formula

(371) tenemos

(n)

R =

n∑i=0

(n

i

)(i)

Rαβ

(n−i)

gαβ (386)

pero como(i)

Rαβ = 0 para todo i = 1, . . . ,n− 1, entonces

(n)

R =(n)

Rαβ

(0)

gαβ . (387)

Teorema 2. Sea Σab = 0 las ecuaciones de campo en TGM f(R) en el vacíopara el modelo f(R) = R+ λR2, entonces Σab = Gab en el vacío.

Demostración: Demostraremos primero que(n)

Σµν =(n)

Gµν. Por in-ducción tenemos que

1. Caso n=0,

(0)

Σµν =(0)

f ′(0)

Rµν−1

2

(0)

f(0)gµν−∇µ∇ν

(0)

f ′ +gµν(0)

f ′ (388)

reemplazando (382) y (384)

(0)

Σµν =(0)

Rµν−1

2

(0)

R(0)gµν−∇µ∇ν1+gµν1 =

(0)

Rµν−1

2

(0)

R(0)gµν =

(0)

Gµν

(389)

Tomando la traza y bajo la suposición que es en el vacío tenemos

que(0)

Rµν = 0 y(0)

R = 0.

7.3 caso f(R) = R + λR2 97

2. Caso n=1

(1)

Σµν =(1)

f ′(0)

Rµν+(0)

f ′(1)

Rµν−1

2

((1)f

(0)gµν+

(0)

f(1)gµν)

−∇µ∇ν(1)

f ′ +(1)

Cµνα∇α

(0)

f ′

+(1)gµν

(0)

f ′ +(0)gµν

(1)

gαβ∇α∇β(0)

f ′

+(0)gµν

(0)

gαβ[∇α∇β(1)

f ′ +(1)

Cαβδ∇δ

(0)

f ′ ]

Dado que(0)

Rµν = 0 y(0)

R = 0 y usando (383) y (385) entonces

(1)

Σµν =(1)

Rµν−1

2

(1)

R(0)gµν =

(1)

Gµν (390)

tomando la traza y teniendo en cuenta el Lema 14 tenemos que(1)

Rµν = 0 y(1)

R = 0

3. Supongamos que(i)

Σµν =(i)

Gµν y para todo i = 0, . . . ,n y veamos

que(n+1)

Σµν =(n+1)

Gµν . Tomando la traza en las ecuaciones(i)

Gµν = 0

tenemos que(i)

Rµν = 0 y(i)

R = 0 para todo i = 0, . . . ,n. Ree-

scribiremos (381) sacando los términos que contienen(0)

f y(0)

f ′

(n)

Σµν =

n∑i=1

[(n

i

) (i)

f ′(n−i)

Rµν −1

2

(n

i

)(i)

f(n−i)gµν

]

−∇µ∇ν(n)

f ′ +

n∑i=1

(n

i

)(n−i)

Cµνα∇α

(i)

f ′

+

n∑i=1

i∑k=1

(n

i

)(i

k

)(n−i)gµν

(i−k)

gαβ

·[∇α∇β

(k)

f ′ −

k∑l=1

(k

l

) (k−l)

Cαβδ∇δ

(l)

f ′]

+(0)

f ′(n)

Rµν−1

2

(n)gµν

(0)

f −n(n)

Cµνα∇α

(0)

f ′

+

n∑i=0

(n

i

)(n−i)gµν

(i)

gαβ∇α∇β(0)

f ′

−

n∑i=0

i∑k=0

(n

i

)(i

k

)(n−i)gµν

(i−k)

gαβ(k)

Cαβδ∇α

(0)

f ′


Ahora reemplazando (383) y (385) en el termino n+ 1

(n+1)

Σµν =

n+1∑i=1

[(n+ 1

i

)2i

(i−1)

Rµν(n−i−1)

Rµν

−1

2

(n+ 1

i

)((i)

R +i

i∑m=0

(i− 1

m

)(m)

R(i−m−1)

R

)(n−i+1)gµν

]

− 2(n+ 1)∇µ∇ν(n)

R +

n+1∑i=1

(n+ 1

i

)(n−i+1)

Cµνα ∇α2i

(i−1)

R

+

n∑i=1+1

i∑k=1

(n+ 1

i

)(i

k

)(n−i+1)gµν

(i−k)

gαβ

·[∇α∇β2k

(k−1)

R −

k∑l=1

(k

l

) (k−l)

Cαβδ∇δ2l

(l−1)

R

]

+(n+1)

Rµν −1

2

(n)gµν

(0)

R

Aplicando la hipótesis de inducción, es decir usando el hecho que(i)

Rµν = 0 y(i)

R = 0 para todo i = 0, . . . ,n, entonces tenemos(n+1)

Rµν −1

2

(0)gµν

(n+1)

R =(n+1)

Gµν (391)

y por lo tanto aplicando la traza,(n+1)

Rµν = 0 y(n+1)

R = 0. Hemos

demostrado que(n)

Σµν =(n)

Gµν, por lo tanto

Σµν =(0)

Σµν+λ(1)

Σµν+λ2

2!

(2)

Σµν+ · · · =(0)

Gµν+λ(1)

Gµν+λ2

2!

(2)

Gµν+ · · · = Gµν(392)

7.4 caso f(R) = R + λΨλ(R)

Trataremos de generalizar ahora al caso f(R) = R + λΨλ(R) dondeΨλ es una función continua, diferenciable y analítica alrededor de

λ = 0. Podemos entonces expandir Ψ =(0)

Ψ +λ(1)

Ψ + λ2

2 !

(2)

Ψ + · · · , así

(0)

f =(0)

R para n = 0 (393)(n)

f =(n)

R +n(n−1)

Ψ para n > 1 (394)

también(0)

f ′ = 1 para n = 0 (395)(n)

f ′ = n(n−1)

Ψ ′ para n > 1 (396)

7.4 caso f(R) = R + λΨλ (R) 99

Ahora

Ψ(R) =Ψ((0)

R +λ(1)

R +λ2

2 !

(2)

R + · · · )

=Ψ((0)

R ) + λ∂Ψ

∂R

(1)

R +λ2

2 !

[∂2Ψ

∂R2

(1)

R2 +∂Ψ

∂R

(2)

R

]+λ3

3 !

[∂3Ψ

∂R3

(1)

R3 +3∂2Ψ

∂R2

(2)

R(1)

R +∂Ψ

∂R

(3)

R

]+ · · ·

Entonces

(0)

f =(0)

R(0)

f ′ = 1,

(1)

f =(1)

R +Ψ((0)

R )(1)

f ′ = Ψ ′((0)

R ),

(2)

f =(2)

R +Ψ ′((0)

R )(1)

R(2)

f ′ = 2Ψ ′′((0)

R )(1)

R

.......

(397)

El termino n esimo de(n)

f sera(n)

R mas una combinación sumas deproductos de derivadas de Ψ con respecto R y diferentes ordenes del

escalar de curvatura(i)

R para i = 0, . . . ,n− 1. Así mismo el termino n-

esimo de(n)

f ′ sera combinaciones de sumas de productos de diferentes

ordenes del escalar de curvatura(i)

R para i = 0, . . . ,n− 1.

Teorema 3. Sea Σab = 0 las ecuaciones de campo en TGM f(R) en el vacíopara el modelo f(R) = R+ λΨ(R) donde Ψ(0) = 0, entonces Σab = Gab enel vacío.

Demostración: veamos por inducción que(n)

Σµν =(n)

Gµν. Así a ordencero en Σµν tenemos

(0)

Σµν =(0)

Rµν−1

2

(0)gµν

(0)

R =(0)

Gµν (398)

A primer orden

(1)

Σµν =(1)

Rµν−1

2

(0)gµν(

(1)

R +(0)

Ψ ) −∇µ∇ν(0)

Ψ ′ +(0)gµν

(0)

Ψ ′ (399)

Si Ψ(0) = 0 entonces

(1)

Σµν =(1)

Rµν−1

2

(0)gµν

(1)

R =(1)

Gµν (400)

Ahora supongamos que se cumple para n y veamos que se cumple

para n+1, esto es, asumamos que(i)

Σµν =(i)

Gµν y para todo i = 0, . . . ,n

y veamos que(n+1)

Σµν =(n+1)

Gµν . Tomando la traza en las ecuaciones


(i)

Gµν = 0 tenemos que(i)

Rµν = 0 y(i)

R = 0 para todo i = 0, . . . ,n. Asípor las propiedades (397) tenemos,

(0)

f = 0(0)

f ′ = 1,

(i)

f =(i)

R(i)

f ′ = 0,

(401)

para i = 1, . . . ,n. Para n+ 1 de la formula (381) se tiene

(n+1)

Σµν =

[(n+ 1

0

) (0)

f ′(n+1)

Rµν −1

2

(n+ 1

n+ 1

)(n+1)

f(0)gµν

]=

(n+1)

Rµν −1

2

(n+1)

R(0)gµν =

(n+1)

Gµν .

Así(n)

Σµν =(n)

Gµν y también(n+1)

Rµν = 0 y(n+1)

Σ = 0. Finalmente

Σµν =(0)

Σµν+λ(1)

Σµν+λ2

2!

(2)

Σµν+ · · · =(0)

Gµν+λ(1)

Gµν+λ2

2!

(2)

Gµν+ · · · = Gµν(402)

Si g0 es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein enel vacío entonces lo es en las ecuaciones de campo en TGM f(R) =

R+ λΨ(R) en el vacío, sin embargo esto no implica que sea la únicasolución en este modelo de f(R), es decir si hay otra solución en estemodelo, esta no va a tener un limite hacia g0 cuando λ tienda a cero.Esto implica que en el vacío las soluciones diferentes de las de RG sondisconexas con las soluciones de RG.

8F O R M U L A C I Ó N C O VA R I A N T E 1 + 3 E N f (R )

En este capítulo presentaremos los resultados mas relevantes de laformulación Covariante No-lineal e Invariante Gauge en la teoría de per-turbaciones cosmológicas. Los resultados son aplicables a cualquierteoría de gravedad incluyendo f (R ) .

El formalismo 1 + 3 o formalismo covariante lagrangiano está basadoen la escogencia de una congruencia de curvas con cuadrivector tan-gente ua .

8.1 el formalismo covariante

Las componentes de materia en el universo definen un movimientopreferencial. Es usual usual escoger el sistema referido al CMB dondela radiación dipolar desaparece como el sistema natural en cosmología.Pero la escogencia no es única. Cada sistema escogido define un4−campo de velocidades ua con líneas de mundo preferenciales.El campo de 4−velocidades es un campo vectorial como de tiempoy normalizado por la condición gabu

aub = − 1 . Las líneas demundo preferenciales están dadas en términos de coordenadas localesxµ = xµ ( τ ) , con τ el tiempo propio a lo largo de las líneas demundo, la 4−velocidad preferencial obedece

ua =dxa

dτ, (403)

y a partir del intervalo espacio-temporal (d s 2 = gµν dxµ dxν )

τ =

∫ [− (dxa /dτ )

(dxb /dτ

)gab

] 1/2dτ =

∫ (− uaua

)dτ ,

(404)

encontramos la normalización del campo de 4−velocidades

uaua = − 1 . (405)

Las consideraciones anteriores son muy poderosas cuando uno debeafrontar el problema de la teoría de perturbaciones cosmológicascomo se verá adelante en éste capítulo. En coordenadas comóvilesnormalizadas ua =

(dsdτ , dy

i

dτ

)= δa0 . En la siguiente sección,

las cantidades cinemáticas asociadas con las líneas del fluido son uti-lizadas para definir sistemas de reposo en cada punto de M .

101

102 formulación covariante 1 + 3 en f(r)

8.1.1 Descomposición Espacio-Tiempo

Dado cualquier 4−campo de velocidades ua , el operador proyec-ción hab está definido por1

hab ≡ gab + uaub , (406)

donde gab es el tensor métrico y

habub = gabu

b + uaubub = ua − ua = 0, (407)

esto significa que hab proyecta en el tri-espacio instantáneo de un ob-servador con 4−velocidad ua. El campo vectorial ua induce dos op-eradores diferenciales para un tensor general a partir de la derivadacovariante a lo largo de las líneas preferenciales. El primer operadores la derivada temporal general a lo largo de las líneas de flujo del fluido

Tabcdefg ≡ ul∇lTabcdefg, (408)

y el segundo operador es la derivada covariante tri-dimensional proyec-tada

∇lTabcef ≡ hpl h

arhbmh

csh

qe h

gf ∇pT

rsmqg. (409)

El proyector (406) satisface la siguiente álgebra,

habhbc = g

abhbc + u

aubhbc = h

ac , (410)

y

haa = gaa + uaua = 4− 1 = 3. (411)

El campo vectorial ua define una descomposición natural para loscampos tensoriales, el tensor métrico se puede escribir

g⊥ab = h cahdb gcd = hab, (412)

perpendicular a ua y a la parte paralela

g‖ab = U caUdb gcd = (−uau

c)(−ubud)gcd = uaubucu

c = −uaub = Uab,

(413)

con Uab ≡ −uaub. Estos resultados implican

gab = g⊥ab + g‖ab = hab +Uab. (414)

La ecuación (414) permite escribir cualquier campo vectorial de laforma

Va = gabVb = habV

b − uaubVb, (415)

1 Aquí esperamos que no exista confusión con la parte lineal de la perturbación de lamétrica, expuesta en los capítulos anteriores.

8.2 las cantidades cinemáticas 103

donde podemos observar la descomposición ortogonal para el campovectorial. La ecuación (414) exhibe un resultado importante, el invari-ante

ds2 = gabdxadxb = habdx

adxb−uaubdxadxb = habdx

adxb−(uadxa)2 ,

(416)

define la separación espacial entre dos eventos por(habdx

adxb)1/2 y

la separación temporal (uadxa) para un observador con 4−velocidadua. Una vez mas, podemos observar que hab y ua separa cualquiertensor en parte espacial y parte temporal correspondientes a la formacomo un observador moviéndose con 4−velocidad ua debe medirestos campos. El formalismo 1 + 3 covariante en cosmología haceuso de este hecho escogiendo en cada punto la velocidad promedio enel universo. En otras palabras, el formalismo 1+ 3 es un formalismocovariante lagrangiano.

8.2 las cantidades cinemáticas

Uno puede descomponer la derivada covariante de ua usando (414),a partir de la identidad

ua;b = g ca gdb uc;d = gacuc;dh

db − g ca uc;du

dub, (417)

y utilizando (406) la expresión (417) es escrita de la forma

g ca uc;dhdb = (hca − u

cua)uc;dhdb = hcah

dbuc;d−uau

cuc;dhdb, (418)

el último término del lado derecho de (418) es nulo debido a la condi-ción de normalización ucuc = −1 y ∇d(ucuc) = 2ucuc;d = 0. Final-mente podemos escribir (417) como

ua;b = h ca hdb uc;d − uaub. (419)

La ecuación (419) es la descomposición natural de la primera derivadacovariante de ua. Podemos definir las cantidades

ua;b ≡ σab +1

3habΘ+ωab − uaub, (420)

donde σab = σ(ab), σabub = 0 y σaa = 0 es el tensor de shear. Lavorticidad ωab = ω[ab] satisface ωabub = 0. A partir de (420), laexpansión del volumen es definida por ua;a = Θ. El término temporalen (420) es uaub donde ua es el vector aceleración; este representa losefectos de fuerzas no-gravitacionales y satisface uaua = 0. De unamanera mas explícita, las definiciones para cada componente son

ωab ≡ hcahdbu[c;d], (421)


σab ≡ hcahdbu(c;d) −1

3uc;chab. (422)

A partir de (421) el vector vorticidad ωa es definido por

ωa := −1

2curlua =

1

2ηabcω

bc. (423)

Donde ηabc es el tensor de Levi-Civita. A partir de las ecuaciones decampo de RG o de cualquier teoría extendida de gravedad, se tienela dinámica para las variables en una teoría de gravedad. Existenresultados provenientes de la geometría diferencial que son válidosindependiente de la teoría de gravedad. Usaremos algunos de dichosresultados para obtener las ecuaciones de movimiento de las variablescinemáticas en (420).

8.3 identidades de ricci

A partir de la descomposición 1+ 3 para la 4−velocidad y emple-ando las identidades de Riemann podemos derivar los siguientes re-sultados

uc [∇c,∇d]ua = Rabcdubuc, (424)

y utilizando∇d (uc∇cua) = uc∇d∇cua+∇duc∇cua la ecuación (424)se escribe como

(∇dua)˙−∇dua + (∇duc) (∇cua) = Rabcdubuc. (425)

Tomando la contracción de (425) finalmente obtenemos

(∇aua). −∇aua + (∇auc) (∇cua) = −Rbcubuc. (426)

La ecuación (426) en términos del shear y la vorticidad es

Θ+1

3Θ2 + 2

(σ2 −ω2

)−∇aua = −Rbcu

buc, (427)

donde se ha usado el resultado

(∇duc) (∇cua) = 2(σ2 −ω2

)+1

3Θ2, (428)

con 2σ2 = σacσca, −2ω2 = ωacωca = −ωacωac. Algunas veceses conveniente utilizar ∇aua = ∇aua + uau

a. La ecuación (427)es la ecuación maestra para estudiar los modelos cosmológicos en elformalismo 1+ 3. Otro resultado importante proveniente del tensor deRiemann tensor es

∇c∇duc −∇d∇cuc = Rbdub, (429)

8.4 el tensor de momento-energía 105

y tomando la proyección espacial de (429) obtenemos en dos formasequivalentes

h ba∇c(σcb +ω

cb

)−2

3∇aΘ− (ωab + σab)u

b = h ba Rbdud,

(430)

∇bσab − curlωa −2

3∇aΘ+ 2ηabcω

buc = R<a>bub.

(431)

La ecuación (425) proporciona importantes restricciones acerca de lavorticidad, desde

Ra[bcd]ua = 0 =⇒ u[b;cd]=0, (432)

o en términos de las variables cinemáticas, la divergencia del vectorvorticidad es

h ba∇bωa = ωaua, (433)

y la ecuación de propagación para la misma

ω〈e〉 = −2

3Θωe + σedωd −

1

2curl ue. (434)

Los resultados resumidos en esta sección son generales para cualquierespacio-tiempo debido a que son derivados de las propiedades deltensor de Riemann. El único punto especial es la utilización de ladescomposición de la derivada covariante del campo de velocidades∇bua.

8.4 el tensor de momento-energía

En el formalismo covariante 1+ 3 un fluido relativista medido porun observador medido por un observador con 4−velocidad está de-scrito por el tensor simétrico:

Tab = ρuaub + qaub + qbua + phab +Πab. (435)

con ρ = Tabuaub la densidad de energía relativista, p = 1

3habTab

la presión relativista, qa = −hcaTcbub la densidad de momentum

relativista (difusión y conducción de calor) y Πab = h c(ahdb)Tcd −

13habh

cdTcd el tensor anisotrópico (sin traza) y describe efectos comoviscosidad y campos magnéticos. Las 10 componentes de Tab estánrepresentados por dos campos escalares (ρ,p), las tres componentesdel vector qa y cinco componentes del tensor Πab.

8.4.1 Las leyes de conservación

La identidad de Bianchi

∇bTab = 0, (436)


en el formalismo covariante 1 + 3 determina la tasa de cambio deenergía relativista a lo largo de las líneas de mundo

ua∇bTab = ρ+ (ρ+ p)Θ+Πabσab +∇aqa + 2uaqa = 0, (437)

para la parte temporal y la proyección ortogonal

hac∇bTab =

q〈c〉 +4

3Θqc + (ρ+ p)uc +∇cp+∇

bΠcb + u

aΠca

+(σcb + ηcbdω

d)qb = 0, (438)

donde se ha utilizado Πab = hadhbfΠdf. La ecuación (438) describe

la acceleración causada por diferentes contribuciones de presión yconstituye la generalización de la ecuación de Euler en la mecánicade fluidos.

8.5 ecuaciones de campo de einstein en el formalismo

1 + 3

Las ecuaciones de campo de Einstein o para el caso de f(R) puedenescribirse con el uso de los operadores Uab y h ba , para el caso de RGson:

Rabuaub −

1

2Rgabu

aub = 8πGTabuaub + Λgabu

aub , (439)

y a partir de la normalización de la cuadrivelocidad uaua = −1

tenemos

Rabuaub +

1

2R = 8πGTabu

aub − Λ . (440)

Para ahondar un poco, el lado derecho de (440) utilizando comofuente el tensor del fluido general proporciona

Tabuaub = ρuaubu

aub

+ qaubuaub + uaqbu

aub + phabuaub + Πabu

aub ,(441)

y de las propiedades qa = h ca qc = q〈a〉, Πab = h ca hdb Πcd =

Π〈ab〉 y reemplazando la traza del tensor momentum energía T aa =

−ρ + 3p la ecuación (440) finalmente queda

Rabuaub = 4πG

(ρ + 3p

)− Λ . (442)

La ecuación (442) es una de las ecuaciones fundamentales para es-tudiar la dinámica de los modelos cosmológicos. A partir de laspropiedades de los proyectores, el resto de las ecuaciones de campoen RG son:

Rabuahbc = −8πGqc , (443)

8.5 ecuaciones de campo de einstein en el formalismo 1 + 3 107

y

Rabhachbd =

(4πG(ρ − p) + Λ

)hcd + 8πGΠcd . (444)

El conjunto de ecuaciones (442), (443), (444) son las ecuaciones decampo en RG en el Formalismo Covariante para un fluido relativistacomo fuente. Las ecuaciones de campo para f(R) están en [33], nue-stro interés en esta tesis consiste en dar la forma general para lasperturbaciones cosmológicas.

8.5.1 La ecuación de Ehlers-Raychaudhuri

La ecuación (442) puede ser transformada usando la identidad deBianchi Bianchi

−Rabuaub = Θ+

1

3Θ2 + 2

(σ2 −ω2

)−∇aua − uaua, (445)

como

Θ+1

3Θ2+2

(σ2−ω2

)−∇aua− uaua+4πG (ρ+ 3p)−Λ = 0. (446)

La ecuación (446) es la dinámica para las cantidades cinemáticas ycontiene todos los modelos cosmológicos posibles los cuales incluyenshear (σab) y vorticitidad (ωab). Diferentes importantes característi-cas pueden ser estudiadas desde (446). Para un fluido general, pode-mos definir una escala representativa l(τ) con τ el tiempo propio a lolargo de las líneas de fluidos. La longitud está definida por

l(τ)

l≡ 13Θ. (447)

La ecuación (447) determina l(τ) salvo una constante a lo largo de laslíneas de mundo. El cambio del volumen a lo largo de las líneas defluido está caracterizado por V ∝ l3. En el caso muy especifíco delespacio-tiempo FLRW, la longitud l corresponde al factor de escala a.The parámetro de Hubble es generalizado como

H ≡ ll=1

3Θ, (448)

y el parámetro de desaceleración generalizado

q ≡ −

(l

l

)1

H2. (449)

La ecuación (446) en términos de l es

3l

l= −2

(σ2 −ω2

)+∇aua + uaua − 4πG (ρ+ 3p) +Λ. (450)


La ecuación (450) claramente muestra los efectos de las diferentescontribuciones en l(τ). Mientras el shear, la densidad de energía yla presión actúan haciendo contribuciones positivas al colapso de lamateria, la vorticitidad y una constante cosmológica positiva hacenun efecto repulsivo sobre la materia. La aceleración es un términocon signo indefinido. La ecuación (450) aplica para diferentes es-cenarios astrofísicos y cosmológicos con fuente un tensor de fluido.Soluciones a (450) pueden ser encontradas en [43, 18] para un mod-elo cosmológico con vorticidad diferente de cero (Universo de Gödel).la ecuación (446) es también fundamental en el estudio de los teore-mas de singularidades [43, 44]. En la siguiente sección se utiliza laextensión de (446) en el caso de modelos en f(R) [22].Una de las consecuencias mas importantes que se pueden llevar acabo desde (446) es hacer su evaluación hoy. Esto es hecho deno-tando los parámetros con el suníndice (0) y esto significa escoger elvalor inicial para el valor t0 cuando las coordenadas son escogidas.Podemos reescribir (446) de la forma

q0 =2

3

(σ02

H20−ω0

2

H20

)−

(∇aua + uaua

)0

3H20+Ω02

+3Ωp0

2−ΩΛ0, (451)

donde las definiciones para (451) son q0 = 1H20

(ll

)0

, el parámetro de

Hubble Θ = 3(ll

)0= 3H0 y l el factor de escala. Para las densidades

Ω0 = 8πGρ03H20

, Ωp0 = 8πGp03H20

y ΩΛ0 = Λ3H20

. Para algunos aspectosobservacionales de (451) ver [18]. En las siguientes secciones se en-cuentran las ecuaciones para las perturbaciones cosmológicas en elformalismo covariante, algunas consecuencias como la inclusión decampos magnéticos en la teoría f(R) son mencionados como posiblesextensiones del presente trabajo dentro del grupo de gravitación.

8.6 cantidades en el formalismo 1 + 3 en teoría de per-turbaciones

La diferencia fundamental en el formalismo 1 + 3 y la teoría es-tándar de perturbaciones cosmológicas consiste en que en que enel primer método se parte del conjunto completo no-lineal de ecua-ciones para las variables del problema en contraste con la descomposi-ción de las cantidades físicas como variables de fondo (background)mas perturbaciones. Un conjunto de ecuaciones no-lineales exactases encontrado y de esta forma se puede escoger un conjunto de vari-ables físicamente motivada por la descomposición 1 + 3 escogida. Enlas siguientes secciones, las variables son definidas con el propósitode tomar ventajas del lema de Stewart-Walker (Corolario 1).

8.6 cantidades en el formalismo 1 + 3 en teoría de perturbaciones 109

El gradiente de la expansión es definido por

Za ≡ a∇aΘ , (452)

de lo cual se sigue directamente

Z〈a〉 = ahba∇bΘ = ah ba h

db ∇dΘ = ah da∇dΘ = Za. (453)

La ecuación de movimiento para (452) toma la forma

Za =(a∇aΘ

)= a∇aΘ+ a

(∇aΘ

), (454)

y de la identidad

(∇aΘ

)= ∇aΘ+

(ub∇bΘ

)ua+ uaΘ−

1

3Θ∇aΘ−σab∇

bΘ+ηabcω

b∇cΘ,

(455)

lo cual implica

Za = a∇aΘ+ ubZbua + auaΘ− σabZb + ηabcω

bZc (456)

o para la proyección

Z〈a〉 = a∇aΘ+ auaΘ− σabZb + ηabcω

bZc. (457)

Interesantes consecuencias se pueden obtener de (457) y observarel efecto en TGM f(R). Para este propósito tomamos ventaja de laecuación de Raychaudhuri

auaΘ = aua

(−1

3Θ2 − 2

(σ2 −ω2

)+∇bub + ubub − Rdeudue

)(458)

y para el caso de f(R)

auaΘ = aua

(−1

3Θ2 − 2

(σ2 −ω2

)+∇bub + ubub

−1

f ′[−f

2+ f ′′hde∇d∇e R+ f ′′′hde∇d R∇e R+ κ Tedueud

]).

(459)

Podemos escribir (452) cercano a la literatura [18], para tal propósitousamos

a∇a(−1

3Θ2)= −

2

3ΘZa, (460)

−2a∇a(σ2 −ω2) = −2a∇a(σ2 −ω2), (461)

a∇a(ubu

b)= 2aub∇aub. (462)


La expresión final para (452) es

Z〈a〉 = −2

3ΘZa − 2a∇a(σ2 −ω2) + 2aub∇aub + a∇a∇bub

+ aua

(−1

3Θ2 − 2

(σ2 −ω2

)+∇bub + ubub

−1

f ′[−f


])−a∇a

[ 1f ′

−f

2+ f ′′hde∇d∇e R+ f ′′′hde∇d R∇e R+κ Tedueud

]−(σba +ωba

)Zb. (463)

Ahora, procedemos con el gradiente en la densidad de energía de laforma

∆a ≡a∇aρρ

. (464)

La ecuación de movimiento para (464) es

∆a =( aa∆a

)−ρ

ρ∆a +

a

ρ

(∇aρ

)·. (465)

Los terminos en (465) son

( aa∆a

)=1

3Θ∆a, (466)

ρ

ρ∆a = −

[(ρ+ p)Θ+Πcdσcd +∇cqc + 2ucqc

ρ

]∆a, (467)

donde debemos notar que en (467) las leyes de conservación para eltensor de momento-energía satisfacen Tabmat ;b = 0. Si asumimos unaecuación de estado

p = ωmρ, (468)

la ecuación se (467) se convierte

ρ

ρ∆a = −

[(1+ωm)ρΘ+Πcdσcd +∇cqc + 2ucqc

ρ

]∆a. (469)

El término

a

ρ

(∇aρ

)=a

ρ

∇aρ+

(ub∇bρ

)ua+ uaρ−

1

3Θ∇aρ−σab∇

bρ+ηabcω

b∇cρ

,

(470)


junto con las leyes de conservación y (468)(i.e. ωm = const) per-miten (465) como

∆a = ωmΘ∆a − (1+ωm)Za +aΘ

ρ

[q<a> +

4

3Θqa

]+aΘ

ρ

[σba +ωba

]qb +

aΘ

ρ∇bΠab

−a

ρ∇a(Πcdσcd + 2ucq

c)−a

ρ∇a∇cqc −

(σba +ωba

)∆b

+a

ρΘubΠab +

1

ρ

(σcdΠcd + 2ucq

c)(∆a − aua

)+(aρub∇bρ

)ua, (471)

o de forma equivalente

∆〈a〉 = hba ∆b = ωmΘ∆a − (1+ωm)Za +

aΘ

ρ

[q〈a〉 +

4

3Θqa

]+aΘ

ρ

[σba +ωba

]qb +

aΘ

ρ∇bΠab

−a

ρ∇a(Πcdσcd + 2ucq

c)−a

ρ∇a∇cqc −

(σba +ωba

)∆b

+a

ρΘubΠab +

1

ρ

(σcdΠcd + 2ucq

c)(∆a − aua

).

(472)

La ecuación (471) o (472) tiene la misma forma funcional en RG y enf(R), pero es importante anotar que las variables cinemáticas juntocon las identidades de Bianchi evolucionan de forma diferente encada teoría.

8.6.1 Fluidos Magnetizados

Los fluidos magnetizados son importantes en varias aplicacionesen cosmología. Una posibilidad para estudiar el problema de fluidosmagnetizados es utilizar el formalismo 1+ 3 en el lenguaje de RG ysu extensión a teorías f(R). Para este propósito, podemos observarque la contribución en (463) proveniente de los campos de materia enTab. La inclusión de los campos magnéticos se realiza de la forma

Tab = Tabmat + Tabem. (473)

Para escribir expresamente el tensor electromagnético en (473) una delas suposiciones físicas válida es trabajar en el límite de la MagnetoHidro Dinámica (por sus siglas en ingles) (MHD), la cual es expresadapor la ley de Ohm de la forma

ja = σEa (474)

con la condición σ → ∞. La condición de MHD implica Ea → 0 y lasleyes de conservación

∇b(Tabmat + Tabmag) = 0, (475)


para un fluido perfecto y los campos electromagnéticos

ρ+Θ(ρ+ p

)= Eaja = 0, (476)

y (ρ+ p

)ua +∇ap = µEa + ηabcj

bBc = ηabcjbBc. (477)

El lado derecho de (477) es la densidad de fuerza de Lorentz. Para es-cribir las expresiones para las cantidades (464) y (457) incluyendo loscampos magnéticos debemos usar en (459) el tensor de momentum-energía

Tab =(ρ+ p+

1

2B2)uaub +

(p+

1

6B2)hab +Πabmag (478)

Ahora podemos generalizar las ecuaciones de propagación para Zay ∆a con las expresiones

Z〈a〉 = −2

3ΘZa − 2a∇a(σ2 −ω2) + 2aub∇aub + a∇a∇bub

+ aua

(−1

3Θ2 − 2

(σ2 −ω2

)+∇bub + ubub

−1

f ′[−f


])−a∇a

[ 1f ′

−f

2+ f ′′hde∇d∇e R+ f ′′′hde∇d R∇e R+κ Tedueud

]−(σba +ωba

)Zb. (479)

Donde Tab incluye las componentes de materia y las componentesdel campo electromagnético. Para un fluido perfecto con ecuación deestado p = ω(ρ)ρ y en el límite de MHD ideal , la ecuación (479) paraRG es

Z〈a〉 = −2

3ΘZa −

(ρ∆a +B

2Ba

)+12πGaηabcB

bcurlBc + a∇a∇bub

+2aub∇aub +[123R− 3

(σ2 −ω2

)+∇bub + ubub

]aua

−(σba +ωba

)Zb + 12πGaΠ

magab u

b − 2a∇a(σ2 −ω2

),

(480)

con Ba definido en (482) y

∆a = ωΘ∆a − (1+ω)Za +aΘ

ρηabccurlBc

+2

3

B2

ρ−(σba +ωba

)∆b +

aΘ

ρΠ

magab u

b.(481)

Las inhomogeneidades asociadas con el campo magnético pueden serdescritas mediante la definición del gradiente fraccional comóvil

Ba ≡a

B2∇a B2, (482)


y con la misma metodología usada para (482)

Ba =1

3ΘBa −

(B2)

B2Ba +

a

B2

(∇a B2

), (483)

las contribuciones en (483) en el límite de MHD ideal y utilizando lasecuaciones de Maxwell se convierten en

˙(B)2= (BcB

c)˙ =

2B〈c〉B〈c〉 = 2

(σcbB

bBc+ηcbdωdBbBc−

4Θ

3BcB

c)= −2σcdΠ

cdmag −

4Θ

3B2.

(484)

La ecuación (483) finalmente se convierte en

Ba =2a

B2σbcΠ

cbBa −2a

B2σcb∇aΠcdmag −

2a

B2Π

magcb ∇aσ

cd

−4

3Za + (ubBb)ua + ηabcω

bBc − σabBb

−2a

B2σcdΠ

cdmagua −

4

3aΘua.

(485)

9C O N C L U S I O N E S

En el Capitulo 3, Capitulo 5 y Capitulo 7 definimos una variedad N

basados en la propuesta de Stewart and Walker[41], Bruni et al.[10] yNakamura[29][30][31][32] la cual es una foliación de espacios-tiempoN = R×M donde M0 ≡ 0×M es lo que llamamos espacio-tiempobackground donde conocemos la métrica explícitamente y Mλ ≡λ×M es el espacio-tiempo que queremos modelar. En esta variedadN definimos un campo tensorial suave restringido por tres escenariosdistintos:

En el primer escenario la estructura tensorial de cada foliacióndel espacio-tiempo Mλ esta restringida por las ecuaciones decampo de Einstein y aquí presentamos los desarrollos mas gen-erales de los últimos 40 años abordando el problema gaugecon detenimiento desde los trabajos de Stewart and Walker[41]hasta Nakamura[32] pasando por Bardeen[3]. Y se definen losaspectos mas relevantes de la estructura teórica de la teoría deperturbaciones para usarla en TGM f(R).

En el segundo escenario la estructura tensorial de cada foliacióndel espacio-tiempo Mλ esta restringida por las ecuaciones decampo en TGM f(R). Aunque ya se ha trabajado teoría de per-turbaciones en TGM f(R) esta es la primera vez que se abordadesde este punto de vista. En este escenario encontramos lasecuaciones de campo perturbadas en TGM f(R) a primer y se-gundo orden (306) y (307) y posteriormente usamos los resul-tados de la teoría invariante gauge desarrollada por Nakamura.Encontramos las ecuaciones invariantes gauge para perturba-ciones en general a primer y segundo orden en f(R). Estosresultados junto con el resultado original de este trabajo Teo-rema 13 son usados en cosmología tal como se hizo en RG yencontramos ecuaciones perturbadas a primer orden y medi-ante el teorema de descomposición encontramos las ecuacionesescalares (334,335,336,337) las ecuaciones vectoriales (338,339) ylas ecuaciones para las perturbaciones tensoriales (340). Aquíencontramos características generales de las soluciones y en elmarco de estas características reducimos las ecuaciones a se-gundo orden en sus derivadas. También definimos dos nuevosinvariantes escalares intentando recobrar los resultados de RG,encontrando que estos invariantes coincidirían con invariantesen un marco de Einstein. Esto abre las posibilidades al desar-rollo de una teoría invariante gauge en un marco de Einstein

115

116 conclusiones

que podría dar características generales de las soluciones y enparticular de estos invariantes en TGM f(R). Finalmente, en esteescenario particularizamos a el gauge Newtoniano para mostrarla potencialidad y generalidad de esta formulación en contrastecon lo desarrollado por Bean et al.[4].

En el tercer escenario consideramos una familia uniparamétricade funciones fλ(R) donde f0(R) = R y fλ(R) es holomorfa1, esdecir que la estructura tensorial de la foliación M0 esta regidapor la ecuaciones de campo en RG y la estructura tensorial decada foliación Mλ esta regida por las ecuaciones de campo enTGM f(R). Bajo estas condiciones presentamos las ecuacionesde campo en TGM f(R) a orden n. De aquí es posible con-struir un algoritmo computacional como xPert para encontrarperturbaciones a cualquier orden en TGM f(R). Usamos estasecuaciones para encontrar propiedades de las soluciones en elvacío en modelos como fλ(R) = R + λR2 y en general comof(R) = R + λφ(R) donde φ es una función real C∞. Aquí en-contramos que las soluciones diferentes a RG en el vacío paraestos modelos no van a tener limite cuando λ −→ 0. En el vacíolas soluciones de RG implican que el escalar de curvatura seanule R = 0 por tanto estas soluciones también son solucionesen TGM f(R), pero como esta teoría es de cuarto orden en susderivadas esperamos que hayan mas soluciones linealmente in-dependientes a las de RG pero el tratamiento en el Capitulo 7

muestra que estas soluciones son disconexas a las de RG comose sospechaba por la forma de las ecuaciones Sección 2.3 y muyprobablemente estas soluciones son no integrables.

Finalmente, en el Capitulo 8 presentamos la formulación covari-ante 1 + 3 en RG y TGM f(R), este formalismo esta basado enla escogencia de una congruencia de curvas con cuadrivectortangente ua. Aquí presentamos como es la descomposicióndel espacio-tiempo, de las cantidades vectoriales, tensoriales,las cantidades cinemáticas y finalmente de las ecuaciones decampo y el tensor momento energía. Este formalismo tiene laventaja de ser mas claro intuitivamente hablando y que las ecua-ciones pueden ser expresadas de manera exacta o no aproxima-tiva. También dejamos el campo abierto para la inclusión decampos magnéticos en TGM f(R) como posibles extensiones delpresente trabajo dentro del grupo de gravitación [33].

1 Ejemplo:fλ(R) = R+ λR2

Part III

A P É N D I C E S

AA S P E C T O S M AT E M ÁT I C O S

a.1 transformaciones inducidas sobre tensores

Consideremos un difeomorfismo φ : M −→ N y sea f : N −→ R

donde M es una variedad de dimensión m y N es otra variedad dedimensión n. Sea p ∈M y q ∈ N tal que φ(p) = q.

Consideremos ahora una función φ∗ : F(N) −→ F(M) tal que

(φ∗f)(p) := f(φ(p)) = f(q) (486)

Este se conoce como el pull-back de la función f por φ.

Consideremos ahora una función definida entre TpM y TqN =

Tφ(p)N y un vector−→Y ∈ TpM,

φ∗ :TpM −→ TpN−→Y p 7−→ φ∗

−→Y (f φ)p = Y(φ∗f),

este es el push-foward de vectores contravariantes.

Sea θ ∈ T∗φ(p)N y vamos a definir ahora la función,

φ∗ :T∗φ(p)N −→ T∗pM

θq 7−→ φ∗θq := θq(φ∗(−→Y p)) = θq

(−→Y p(f φ)p

),

este es el pull-back de vectores covariantes.

Para tensores arbitrarios se puede generalizar y la aplicación sellama pull-back,

φ∗ :T∗φ(p)N −→ T∗pM

Tq 7−→ φ∗Tq := Tq(φ−1∗ (−→v i1),φ

−1∗ (−→v i2), . . . ,φ

−1∗ (−→v ir),φ

∗(ωj1), . . . ,φ∗(ωjs)),

donde−→v i1 , . . . ,−→v ir ,ωj1 . . .ωjs son vectores cualesquiera del es-

pacio tangente y cotangente

a.2 derivada de lie y expansiones de taylor de cam-pos tensoriales

Antes de entrar en la definición de la derivada de Lie y suspropiedades vamos a definir la derivada exterior y sus propiedades.Con la derivada exterior y la derivada de Lie mostraremos que

119

120 aspectos matemáticos

el único operador diferencial que preserva el rango del tensory que cumple la regla de Leibniz es la derivada de Lie. Laderivada exterior es una operación sobre formas diferencialesque generaliza los operadores vectoriales conocidos como gra-diente, divergencia y rotacional.

Definición 1. Sea ω una p-forma diferencial y se define la derivadaexterior dω como la p+1 forma diferencial como

dω = (ωα1···αp,σdxσ)∧ dxα1 ∧ · · ·∧ dxαp (487)

Lema 15. Sean α, β y γ p formas diferenciales, entonces,

1. d(α+β) = dα+ dβ.

2. d(α∧β) = dα∧β+ (−1)pα∧β

3. d(dα) = 0

Sea M una variedad diferenciable y sea X un campo vectorialen M, este campo vectorial genera un flujo φ : R×M → M,donde para todo p ∈ M, φ(0,p) = p y X = d

dλφ|λ=0. Laexistencia de este flujo la asegura el teorema de existencia yunicidad ecuaciones diferenciales ordinarias. Dado un λ ∈ R

definimos φλ(p) := φ(λ,p). Así, podemos definir el pull-backφ∗λ : T∗φλ(p)M → T∗pM en M, el cual para un campo tensorialT en M, define un nuevo campo tensorial φλT. La observaciónmas importante aquí es que dado un tensor T ∈ T∗pM en unpunto p ∈M el pull-back φ∗λT es función de λ...

Definición 2. Sea un campo tensorial del tipo (r, s) definido sobreM y sea X un campo vectorial sobre M y sea φ su respectivo flujo.Entonces la derivada de Lie respecto a este campo vectorial de untensor T ∈ T∗pM es otro tensor del mismo rango definido como

LXT = limλ→0

φ∗λT − Tλ

(488)

Lema 16. Dados T1 y T2 dos campos tensoriales del tipo (r, s) so-bre M, X y Y campos vectoriales sobre M y f ∈ F(M), entonces laderivada de Lie cumple las siguientes propiedades:

1. LX es lineal:

LX(T1 +αT2) = LX(T1) +αLX(T2) (489)

2. LX satisface la regla de Leibniz:

LX(T1 ⊗T2) = LX(T1)⊗T2 + T1 ⊗LX(T2) (490)

3. LX : (T∗pM)rs −→ (T∗pM)rs

A.2 derivada de lie y expansiones de taylor de campos tensoriales 121

4. LX conmuta con la operación de contracción.

5. LX = Xf = df(X)

6. Definiendo el conmutador de dos campo vectoriales por [X, Y]f :=X(Yf) − Y(Xf), entonces el conmutador satisface la identidad deJacobi

[[X, Y],Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X], Y] = 0 (491)

7. LXY = [X, Y]

8. LX+λYT = LXT + λLYT

9. L[X,Y]T = [LX,LY ] = LX LY −LY LX10. Las siguientes proposiciones son equivalentes:

a) [X, Y] = 0.

b) LX LY = LY LX.

c) Si φs y φt sin difeomorfismos generados por los campos Xy Y respectivamente, entonces:

φs ψt = ψt φs (492)

11. Dada una base coordenada,

(LXT)α1···αrβ1···βs =Tα1···αrβ1···βs,σXσ

− Tσα2···αrβ1···βs Xα1,σ − · · ·− Tα1···αr−1,σ

β1···βs Xαr,σ

+ Tα1···αrσβ2···βsXσ,β1 + Tα1···αrβ1···βs−1σX

σ,βs

Teorema 17. Sea D un operador diferencial actuando en el conjunto detodos los campos tensoriales definidos en una variedad M y que satisface lassiguientes condiciones:

1. Es lineal y satisface la regla de Leibniz.

2. Preserva el rango del tensor.

3. Conmuta con las contracciones.

4. Conmuta con la derivada exterior d.

Entonces existe un campo vectorial X tal que D es equivalente a LX.

Demostración: Para cualquier funcion f ∈ F(M) tenemos que (D)

define un campo vectorial X en M,

Df := X(f) = LXf. (493)

Veamos que para un campo tensorial arbitrario T,

DT = LXT . (494)


Si la ecuación (494) es cierta para un campo tensorial arbitrarioentonces lo es también para una campo vectorial. Así

DV = LXV . (495)

y aplicando (495) a una función arbitraria f tenemos

(DV)(f) = X[V(f)] − V[X(f)]. (496)

Vamos a considerar la acción del operador D en la función V(f).Usando (494) tenemos,

D[V(f)] = X[V(f)]. (497)

Por otro lado usando las propiedades 1.-4. de D tenemos

D[V(f)] = D(df(V)) = D[C(df⊗ V)]= C[d(Df⊗ V + df⊗DV)

= d(Df)V + df(DV)

= V(Df) + (DV)(f),

(498)

así obtenemos

(DV)(f) = X(V(f)) − V(X(f))

= [X,V](f)

= (LX)V(f),

(499)

es decir, que para cualquier función arbitraria f

DV = LXV . (500)

Entonces a través de las ecuaciones (494) y (500) podemos recursi-vamente probar que

DT = LXT, (501)

para cualquier campo tensorial T. La definición de la derivada deLie da lugar a una expresión para el pull-back de un tensor cualquiera.

Lema 18. El campo tensorial φ∗λT admite la siguiente expansión alrededorde λ = 0:

φ∗λT =

∞∑k=0

λk

k!LkXT (502)

Demostración: vease Schouten[38]

A.2 derivada de lie y expansiones de taylor de campos tensoriales 123

Vamos ahora a definir una clase de difeomorfismos llamados difeo-morfismos de caballo o difeomorfismos Knight en ingles[10]. Laidea consiste en desplazar un punto en la variedad por medio deun flujo una distancia para luego desplazarlo por medio de otro flujootra distancia, inspirado en el movimiento del caballo en un tablerode ajedrez. Consideremos dos campos vectoriales X(1) y X(2) sobreM. Por la discusión al principio de esta sección sabemos que estoscampos vectoriales generan un flujo dos flujos φ(1) y φ(2) respec-tivamente. Vamos a combinar estos flujos para definir una familiauniparametrica de difeomorfismos Ψ : R×M −→ M definida comoΨλ := φ

(2)

λ2/2φ(1)

λ llamada difeomorfismo de Knight. Entonces, Ψλ de-splaza un punto de M una distancia parametrica λ a lo largo del flujoφ(1), para luego desplazar el punto una distancia parametrica λ2/2 alo largo del flujo φ(2).Así, podemos generalizar este concepto a n flujos definidos en M.Consideremos n campo vectoriales X(1), . . . ,X(n) sobre M y sus cor-respondientes flujos φ(1), . . . ,φ(n). Vamos entonces a definir una fa-milia uniparametrica de difeomorfismos Ψ : R×M −→M de caballode rango n como:

Ψλ := φ(n)λn/n! · · · φ

(2)

λ2/2φ(1)

λ . (503)

Este conjunto de difeomorfismos uniparametricos no forman ungrupo, incluso Ψλ Ψσ 6= Ψσ+λ, por lo tanto el Lema 18 no puede seraplicado en este caso para el pull-back de estos difeomorfismos, peropodemos puede ser expandido de la siguiente manera.

Lema 19. El pull-back Ψ∗λT de un campo tensorial T de una familia unipara-metrica de difeormofismos de caballeroΨλ con generadores X(1), . . . ,X(k), . . .puede ser expandida alrededor de λ = 0 como:

Ψ∗λT =

∞∑l1=0

· · ·∞∑lk=0

· · · λl1+2l2+···+klk+···

2l2 · · · (k!)lk · · · l1!l2! · · · lk! · · ·Ll1X(1)· · ·LlkX(k)

· · ·T

(504)

Demostración:

Ψ∗λT = φ(1)∗λ φ

(2)∗λ2/2

· · ·φ(k)∗λk/k! · · ·T

=

∞∑l1=0

λl1

l1!Ll1X(1)

(φ(2)∗λ2/2

· · ·φ(k)∗λk/k! · · ·T).

Y aplicando sucesivamente el resultado del Lema 18 queda de-mostrado el lema.


Veamos como es el termino a tercer orden el λ

Ψ∗λT =T + λLX(1)T +

λ2

2!(LX(2)

+L2X(1))T

+λ3

3!(LX(3)

+ 3LX(2)LX(1)

+L3X(1))T + · · ·

Hasta ahora no es claro la aplicabilidad de los difeomorfismosde caballero, sin embargo, como veremos en el siguiente resultado,cualquier familia uniparametrica de difeomorfismos equivale a unafamilia uniparametrica de difeomorfismos Knight.

Teorema 20. Sea Ψ : R×M −→ M una familia uniparametrica de difeo-morfismos. Entonces existen un grupo uniparametrico de difeomorfismosφ(1), . . . ,φ(k), . . . de M, tal que,

Ψλ = · · · φ(k)

λk/k! · · · φ(2)

λ2/2φ(1)λ (505)

Demostración: Consideremos una expansión de Taylor de Ψ∗λf parauna funcion f ∈ F(M)

(Ψ∗λf)(p) = f(p) + λ∂

∂λ(Ψ∗λf)

∣∣∣∣λ=0

+λ2

2!∂2

∂λ2(Ψ∗λf)

∣∣∣∣λ=0

+ · · · (506)

Veamos las siguientes propiedades,

∂2

∂λ2(Ψ∗λf)

∣∣∣∣λ=0

=∂

∂λ

∂

∂λ(Ψ∗λf)

∣∣∣∣λ=0

(507)

∂

∂λ(Ψ∗λf)

2

∣∣∣∣λ=0

= 2Ψ∗λf∂

∂λ(Ψ∗λf)

∣∣∣∣λ=0

(508)

Estas propiedades indican que el operador ∂/∂λ es la derivada par-cial usual en R. Por lo tanto con estas propiedades y el Teorema 17

implican que debe existir un campo vectorial X1, tal que,

∂

∂λ(Ψ∗λf)

∣∣∣∣λ=0

= LX1f (509)

Las condiciones 2.-4. en el Teorema 17 se cumplen debido a que Ψ∗λes el pull-back de un difeomorfismo Ψλ y 1. se cumple debido a lapropiedad (508).

Veamos ahora el termino a segundo orden de (506). Como es de es-perarse el termino a segundo orden debe incluir a L2X1 y otro terminoque definiremos como L2, esto es,

∂2

∂λ2(Ψ∗λf)

∣∣∣∣λ=0

= (L2 + aL2X1

)f (510)

donde a y L2 son de tal forma que deben cumplir las condiciones delTeorema 17. Debido a que Ψ∗λ es el pull-back de un difeomorfismo

A.3 derivada covariante 125

Ψλ las condiciones 2.-4. Teorema 17 se cumplen. Veamos que L2satisface la regla de Leibniz, esto es

L2(f2) = 2fL2f. (511)

De las propiedades (507) y (508), podemos ver que la regla de Leibnizse cumple si y solo si a = 1 y podemos asumir que L2 como laderivada de Lie respecto a algún campo vectorial que llamaremos X2,esto es,

L2f :=LX2f (512)

∂2

∂λ2(Ψ∗λf)

∣∣∣∣λ=0

:=(LX2 +L2X1)f. (513)

Recursivamente de esta manera recobramos (505) para una funciónarbitraria f. La prueba para un campo vectorial arbitrario es comple-tamente paralela y asi para una campo tensorial arbitrario.

a.3 derivada covariante

Otro operador que se puede definir sobreM es el operador derivadacovariante ∇. Este toma un campo vectorial de tipo (r, s) y lo con-vierte en un campo de tipo (r, s + 1). Expresando en notación deíndices, las condiciones que debe satisfacer este operador son:

1. Linealidad: Para todo T, S2 ∈ (TM)rs y α,β ∈ R,

∇c(αTa1···arb1···bs+βSa1···ar

b1···bs)

= α∇cTa1···arb1···bs +β∇cSa1···ar

b1···bs .(514)

2. Regla de Leibnitz: Para todo T ∈ (TM)rs, S ∈ (TM)kl ,

∇c(Ta1···arb1···bsSa1···ak

b1···bl) =

(∇cTa1···arb1···bs)Sa1···ak

b1···bl + Ta1···ar

b1···bs(∇cSa1···ar

b1···bs).(515)

3. Conmutatividad con la contracción: Para todo T ∈ (TM)rs,

∇c(Ta1···d···arb1···d···bs) = ∇cTa1···d···ar

b1···d···bs (516)

4. Consistencia con la noción de vectores tangentes como derivadasdireccionales en campos escalares: Para todo f ∈ F(M) y todota ∈ TM,

t(f) = ta∇af. (517)


5. Libre de torsión: Para todo f ∈ F(M),

∇a∇bf = ∇b∇af (518)

Es posible quitar la ultima condición y tener un tipo de TGM llamadasde Palatini pero originalmente propuestas por Einstein. Sin embargoen RG y a lo largo de este trabajo vamos a asumir que esta condi-ción se satisface. Hay otras maneras de definir este operador. Paradefiniciones mas sofisticadas véase [15]. Veamos entonces la relaciónentre la derivada covariante y la derivada de Lie así como también larelación de la derivada covariante con la derivada exterior.

Teorema 21. Sea T ∈ (TM)rs un campo tensorial en M y X ∈ TM uncampo vectorial en M, entonces

(LXT)a1···arb1···bs =Xc∇cTa1···arb1···cs −

r∑i=1

Ta1···c···arb1···bs ∇cXai

+

s∑j=1

Ta1···arb1···c···bs∇bjXc,

(519)

ahora para una p-forma A, tenemos

dA = (∇dAa1···ap)dxd ∧ dxa1 ∧ · · ·∧ dxap (520)

BF O R M U L A S Ú T I L E S

En este apéndice resumiremos las formulas mas importantes quehan sido usadas en todo el documento. Tensor de Riemann

(∇a∇b −∇b∇a)ωc = Rabcdωd (521)

(∇a∇b −∇b∇a)Tc1···crd1···ds =−

r∑i=1

RabeciTc1···e···crd1···ds

+

s∑j=1

RabdjeTc1···crd1···e···ds

(522)

Propiedades del tensor de Riemann

R[abc]d = 0 (523)

Rabcd = −Rbac

d, Rabcd = −Rabdc, Rabcd = Rcdab (524)

∇[aRbc]de = 0 (525)

(526)

Regla de Leibniz

L2X(TS) = SL2XT + 2LXTLXS + TL2XS (527)

gacgbdLXgcd = −LXgab (528)

gecLXgde = −gdeLXgec (529)

gacgbdL2Xhcd = L2Xhab − hcd(LXg

acgbd) (530)

gacgbdL2Xgcd = −L2Xgab − (LXg

acgbd)(LXgcd) (531)

127

128 formulas útiles

Propiedades de Nakamura

∇aLXtb = LX∇atb +XcRacbdtd + tc∇a∇bXc (532)

∇aLXtbc =LX∇atbc +XdRadbetec +XdRadcetbe+ tdc∇a∇bXd + tbd∇a∇cXd

(533)

∇aLXtbc =LX∇atbc +XdRadbetec −XdRadectbe

+ tdc∇a∇bXd + tbd∇a∇dXc

(534)

∇aLXtb1···bsc1···cr = LX∇atb1···bs

c1···cr

+Xds∑i=1

Radbiftb1···f···bs

c1···cr

−Xdr∑j=1

Radfbitb1···f···bs

c1···cr

+

s∑i=1

tb1···f···bsc1···cr∇a∇bsX

f

−

r∑j=1

tb1···bsc1···f···cr∇a∇fXcj

(535)

Propiedades de la tesis

∇a∇bL2Xf = LX(∇a∇bf) + Labc[X]LX∇cf+LX(Labc∇cf)

(536)

LXf = LXf−∇a∇bfLXgab + gab∇cfLabc[X] (537)

∇a∇b(LY −L2X)f =(LY −L2X)∇a∇bf+∇cfLabc[Y]− Lab

c[X]LX(∇cf) −LX(Labc[X]∇cf)

(538)

(LY −L2X)f =(LY −L2X)f−∇a∇bf(LY −L2X)gab

+LXgabLX∇a∇bf+ Laac[Y]∇cf

− 2Laac[X]LY∇cf− gab∇cfLX(Labc[X])

(539)

b.1 propiedades perturbaciones cosmológicas

Background simbolos de Christoffel

Γηηη = H, Γηiη = 0 = Γ iηη, Γ

ηij = Hγij

Γjiη = Hγi

j, Γkij =3Γkij.

(540)

Componentes PIG de la métrica índices arriba

Hηη = −2(1)

Φ

a2, Hηi = −

(1)

νi

a2, Hij =

−2(1)

Ψ γij +(1)

χij

a2(541)

B.1 propiedades perturbaciones cosmológicas 129

Componentes de Habc[H]

Hηηη[H] = −

1

a2∂ηΦ, (542)

Hiηη[H] = −

1

a2(DiΦ+Hνi), (543)

Hηiη[H] =

1

a2(DiΦ+Hνi), (544)

Hijη[H] = −

1

a2

[(2H(Ψ+Φ) + ∂ηΦ)γi

j

+1

2(Diν

j +Djνi) −1

2(∂η + 2H)χi

j],

(545)

Hηηi[H] = −

1

a2[DiΦ+ (∂η +H)ν

i], (546)

Hjηi[H] =

[∂ηΨγj

i +1

2(Diνj −Djν

i) −1

2∂ηχj

i], (547)

Hηij[H] =

1

a2

[−∂ηΨγ

ij +D[iνj] +1

2∂ηχ

ij], (548)

Hjki[H] =

1

a2

[−γikDjΨ+ 2γ[ijD

i]Ψ−Hγkjνi

+1

2Djχ

ki +D[kχji]

].

(549)

operadores sobre escalares

∇η∇η = (∂2η −H∂η), (550)

∇η∇i = (∂ηDj −HDj), (551)

∇i∇j = (DiDj −Hγij∂η), (552)

∇i∇i =1

a2(∆− 3H∂η), (553)

= −1

a2(∂2η −∆+ 2H∂η) (554)

otra mas

Hcd∇c∇df ′ =2

a2

[(1)Φ (1− ∂η) + 3

(1)

Ψ H]∂ηf′ (555)

B I B L I O G R A P H Y

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http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/341/1624/49#related-urls

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