Dalla logica alla decisione - hykel...

Dalla logica alla decisione

Hykel Hosni

http://homepage.sns.it/hosni/

18/03/13

Hykel Hosni Dalla logica alla decisione 18/03/13 1 / 44

http://homepage.sns.it/hosni/

L’idea

We statisticians, with our specific concern for uncertainty,are even more liable than other practical men to encounterphilosophy, whether we like it or not. For my part I like itcomparatively well. Though my background makes myknowledge and idiom somewhat different from your own.1

1Savage, L. J. (1967). Difficulties in the theory of personal probability.Philosophy of Science, 34(4), 305–310.


Ragionamento incerto

Normativo Agenti (completamente) idealizzati

Descrittivo Agenti soggetti a (vari gradi di) limitazioni cognitive

Puro Problemi astratti: il problema di scelta è dato in modocompletamente formale (problema di de Finetti)

Applicato Problemi ‘reali’: il problema di scelta è dato a vari gradidi astrazione


Probabilità come prezzo equo

Il principio di ammissibilitàNel caso di agenti idealizzati che affrontano il problema di de Finettila probabilità è l’unica misura adeguata dell’incertezza (gradi diconvinzione razionale).

1 Come (non) si devono scegliere i gradi di probabilità

2 Come si usa la probabilità nella decisione?

3 Cos’è ammissibile in problemi meno astratti di quello di deFinetti?


Estensione dell’ammissibilità

Fatto I problemi interessanti (dal cambiamento climatico, alrischio sistemico in finanza, dall’incertezza sullequestioni etiche al rischio politico) non arrivano nellaforma massimamente astratta

Sfida È possibile ragionare preservare le virtù del ragionamentoprobabilistico quando non siamo nella posizione diragionare probabilisticamente?

Massima metodologicaPer farci guidare dalla probabilità, dobbiamo tenere distinti ilproblema logico e quello epistemologico della probabilità



1 Valori di probabilità: logica

2 Valori di probabilità: Epistemologia

3 Probabilità nella decisione

4 Apertura


Vincoli logici sui gradi di probabilità

(P1) |= θ ⇒ P(θ) = 1(P2) θ⊥φ ⇒ P(θ ∨ φ) = P(θ) + P(φ)

Vincolo derivato(MON) θ |= φ ⇒ P(θ) ≤ P(φ)


Esempio

Siano

I θ := il lonfo spiruleggia

I φ := il palfalco attualla

I Tutto quello che sapete è che

θ |= φ.

Anche se non avete la più pallida idea di cosa sia un lonfo, nonpotete (pena l’inammissibilità del vostro comportamento di scelta)ritenere che P(φ) < P(θ).


Linda (Kahnemann e Tverski 1982)

Linda is 31 years old, single, outspoken, and very bright. She majoredin philosophy. As a student, she was deeply concerned with issues ofdiscrimination and social justice, and also participated in anti-nucleardemonstrations. Please rank the following statements by theirprobability, using 1 for the most probable and 8 for the least probable.

(a) Linda is a teacher in an elementary school.(b) Linda works in a bookstore and takes Yoga classes.(c) Linda is active in the feminist movement.(d) Linda is a psychiatric social worker.(e) Linda is a member of the League of Women Voters.(f) Linda is a bank teller.(g) Linda is an insurance salesperson.(h) Linda is a bank teller and is active in the feminist movement.

Dati sperimentali85% dei soggetti ritiene P(h) > P(f ).


Linda (Kahnemann e Tverski 1982)

Linda is 31 years old, single, outspoken, and very bright. She majoredin philosophy. As a student, she was deeply concerned with issues ofdiscrimination and social justice, and also participated in anti-nucleardemonstrations. Please rank the following statements by theirprobability, using 1 for the most probable and 8 for the least probable.(a) Linda is a teacher in an elementary school.(b) Linda works in a bookstore and takes Yoga classes.(c) Linda is active in the feminist movement.(d) Linda is a psychiatric social worker.(e) Linda is a member of the League of Women Voters.(f) Linda is a bank teller.(g) Linda is an insurance salesperson.(h) Linda is a bank teller and is active in the feminist movement.

Dati sperimentali85% dei soggetti ritiene P(h) > P(f ).


Questione logica

È fondamentale tenere ben salda la distinzione tra adeguagezzanormativa (Lonfo) e descrittiva (Linda) del nostro modello.

I Designamo con ATL l’insieme degli atomi di L, cioè degliinsiemi di enunciati di EL della forma

α = p�11 ∧ p�22 ∧ . . . ∧ p�nn ,

dove �i ∈ {0, 1}, i = 1, . . . , n.


T. di Rappresentazione (Paris 1994)

1 Sia P una funzione di probabilità su EL. Allora i suoi valori sonocompletamente determinati dai valori sugli atomi dell’algebra diLindenbaum su L, fissati dal vettore

〈P(α1),P(α2), . . . ,P(αJ)〉 ∈ DL = {~x ∈ RJ | ~x ≥ 0,J∑

i=1

xi = 1}.

2 Viceversa, preso ~a ∈ DL possiamo definire P ′ : SL→ [0, 1]attraverso

P ′(θ) =∑

α∈Mθ={α∈ATL|α|=θ}

ai .

P ′ cos̀ı definita è una funzione di probabilità.


La scelta dei valori

I Il teorema di rappresentazione ci dice cosa determina i valori diprobabilità (ammissibili!) sugli enunciati

I ma non ci dice niente sulla scelta di questi valori

Questo è un problema epistemologico la cui soluzione dipendedall’interpretazione che si dà del concetto di probabilità.






4 Apertura


Interpretazioni della probabilità

Oggettiva La probabilità è una proprietà degli oggetti su cuiragioniamo

Soggettiva La probabilità è una proprietà dei soggetti cheragionano sul mondo

Classica La probabilità è una proprietà dei problemi


Probabilità classica

I Jacob Bernoulli 1713

I Laplace 1812

DefinizioneLa probabilità di un evento è data dal rapporto tra i casi in cui sirealizza l’evento e la totalità dei casi equipossibili o equiprobabili.

I Si tratta della definizione naturale per i casi in cui è ovvia lapartizione fondamentale, quella su cui dobbiamo distribuire la‘massa di incertezza’,

I dadi, urne, carte, ecc.


Probabilità classica

I Jacob Bernoulli 1713

I Laplace 1812

DefinizioneLa probabilità di un evento è data dal rapporto tra i casi in cui sirealizza l’evento e la totalità dei casi equipossibili o equiprobabili.

I Si tratta della definizione naturale per i casi in cui è ovvia lapartizione fondamentale, quella su cui dobbiamo distribuire la‘massa di incertezza’,

I dadi, urne, carte, ecc.Hykel Hosni Dalla logica alla decisione 18/03/13 15 / 44

La costruzione dell’interpretazione

Il passaggio dai giochi (dadi, carte, ecc.) all’urna di Bernoulli èconforme a un processo di astrazione.

Prendiamo un dado a sei facce, che chiamiamo1,2,3,4,5,6.

I 0 ≤ P(i) ≤ 1, per n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.I P(7) = 0

I P(1 ≤ n ≤ 6) = 1I P(n = pari ) = P(2) + P(4) + P(6)

I P(n = dispari ) = 1−(P(2)+P(4)+P(6))

P(n) =1

n

Non uno ovvio, però!Leibniz nel 1768 sostiene che 11 sia altrettanto probabile di 12 condue dadi!





I 0 ≤ P(i) ≤ 1, per n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

I P(7) = 0

I P(1 ≤ n ≤ 6) = 1I P(n = pari ) = P(2) + P(4) + P(6)

I P(n = dispari ) = 1−(P(2)+P(4)+P(6))

P(n) =1

n






I 0 ≤ P(i) ≤ 1, per n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.I P(7) = 0

I P(1 ≤ n ≤ 6) = 1I P(n = pari ) = P(2) + P(4) + P(6)

I P(n = dispari ) = 1−(P(2)+P(4)+P(6))

P(n) =1

n






I 0 ≤ P(i) ≤ 1, per n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.I P(7) = 0

I P(1 ≤ n ≤ 6) = 1

I P(n = pari ) = P(2) + P(4) + P(6)

I P(n = dispari ) = 1−(P(2)+P(4)+P(6))

P(n) =1

n






I 0 ≤ P(i) ≤ 1, per n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.I P(7) = 0

I P(1 ≤ n ≤ 6) = 1I P(n = pari ) = P(2) + P(4) + P(6)

I P(n = dispari ) = 1−(P(2)+P(4)+P(6))

P(n) =1

n



Probabilità oggettiva

Dalla seconda metà dell’800 comincia ad affermarsi l’interpretazioneoggettiva della probabilità che si articola in

Frequentista La probabilità è una caratteristica fisica degli eventie si misura in relazione alla loro ripetizione

Logica La probabilità è una relazione logica tra enunciati


Interpretazione frequentista

I Venn 1866-88

I von Mises 1928

I Reichenbach 1935

La probabilità di un particolare attributo in un fenomeno di massa è ilvalore al limite della sua frequenza relativa.

I Si cominciano a raccogliere dati sui fenomeni sociali e naturali(nasce la statistica)

I Critica empirista al razionalismo francese (Laplace)


Interpretazione logica

I Keynes 1921

I Jeffreys 1931-1939

I Carnap 1950

La probabilità di un evento φ alla luce di una conoscenza di sfondo θè definita come il grado con cui φ segue logicamente da θ.

I Si tratta di una generalizzazione diretta del concetto diconseguenza logica (partial entailment)

I La probabilità esprime una relazione logica tra eventi (enunciatio proposizioni)


Ramsey: Truth and probability (1926)

Ramsey, F. P. (1931). “Truth and probability” (1926). In R. B.Braithwaite (Ed.), The Foundations of Mathematics and otherLogical Essays (pp. 156–198). Kegan, Paul & Co, London.

1 Frequency theory

2 Mr Keynes’ theory

3 Degrees of belief

4 The logic of consistency

5 The logic of truth

Frank P. Ramsey(1903 – 1930)


T & P: contesto

The general difference of opinion between statisticians whofor the most part adopt the frequency theory of probabilityand logicians who mostly reject it, renders it likely that thetwo schools are really discussing different things and thatthe word ‘probability’ is used by logicians in one sense andby statisticians in another.


T & P: Keynes

But let us now return to a more fundamental criticism ofMr. Keynes’ views, which is the obvious one that therereally do not seem to be any such things as theprobability relations he describes. He supposes that, atany rate in certain cases, they can be perceived; butspeaking for myself I feel confident that this is not true.

Ido not perceive them, and if I am to be persuaded thatthey exist it must be by argument; moreover I shrewdlysuspect that others do not perceive them either, becausethey are able to come to so very little agreement as towhich of them relates any two given propositions.


T & P: Keynes

But let us now return to a more fundamental criticism ofMr. Keynes’ views, which is the obvious one that therereally do not seem to be any such things as theprobability relations he describes. He supposes that, atany rate in certain cases, they can be perceived; butspeaking for myself I feel confident that this is not true. Ido not perceive them, and if I am to be persuaded thatthey exist it must be by argument;

moreover I shrewdlysuspect that others do not perceive them either, becausethey are able to come to so very little agreement as towhich of them relates any two given propositions.


T & P: Keynes

But let us now return to a more fundamental criticism ofMr. Keynes’ views, which is the obvious one that therereally do not seem to be any such things as theprobability relations he describes. He supposes that, atany rate in certain cases, they can be perceived; butspeaking for myself I feel confident that this is not true. Ido not perceive them, and if I am to be persuaded thatthey exist it must be by argument; moreover I shrewdlysuspect that others do not perceive them either, becausethey are able to come to so very little agreement as towhich of them relates any two given propositions.


T & P: gradi di convinzione

The subject of our inquiry is the logic of partial belief, and Ido not think we can carry it far unless we have al leastan approximate notion of what partial belief is, andhow, if at all, it can be measured. It will not be veryenlightening to be told that in such circumstances it wouldbe rational to believe a proposition to the extent of 2/3unless we know what sort of a belief in it that means.


T & P: opinioni e decisioni

[W]hen we seek to know what is the difference betweenbelieving more firmly and believing less firmly, we can nolonger regard it as consisting in having more or less ofcertain observable feelings; at least I personally cannotrecognize any such feelings.The difference seems to meto lie in how far we should act on these beliefs: thismay depend on the degree of some feeling or feelings, but Ido not know exactly what feelings and I do not see that it isindispensable that we should know.


T & P: analogia fisica

Just the same thing is found in physics; men found that awire connecting plates of zinc and copper standing in aciddeflected a magnetic needle in its neighbourhood.Accordingly as the needle was more or less deflected thewire was said to carry a larger or a smaller current. Thenature of this ‘current’ could only be conjectured: whatwere observed and measured were simply its effects. [. . .]

Ido not want to discuss the metaphysics or epistemology ofthis process, but merely to remark that if it is allowable inphysics it is allowable in psychology also.


T & P: analogia fisica

Just the same thing is found in physics; men found that awire connecting plates of zinc and copper standing in aciddeflected a magnetic needle in its neighbourhood.Accordingly as the needle was more or less deflected thewire was said to carry a larger or a smaller current. Thenature of this ‘current’ could only be conjectured: whatwere observed and measured were simply its effects. [. . .] Ido not want to discuss the metaphysics or epistemology ofthis process, but merely to remark that if it is allowable inphysics it is allowable in psychology also.


T & P: interpretazione

The old-established way of measuring a person’s belief is topropose a bet, and see what are the lowest odds which hewill accept. This method I regard as fundamentally sound;but it suffers from being insufficiently general and frombeing necessarily inexact.


La sintesi soggettivista di de Finetti

Il calcolo delle probabilità è la logica del probabile. Come lalogica formale insegna a dedurre la verità o falsità di certeconseguenze dalla verità o falsità di certe premesse, cos̀ı ilcalcolo delle probabilità insegna a dedurre la maggiore ominore verosimiglianza o probabilità di certe conseguenzedalla maggiore o minore verosimiglianza o probabilità dicerte premesse.

Per chi attribuisca alla probabilità unsignificato obbiettivo, il calcolo delle probabilità dovrebbeavere un significato obiettivo, i suoi teoremi esprimere delleproprietà che nel campo del reale risultano soddisfatte.


La sintesi soggettivista di de Finetti

Il calcolo delle probabilità è la logica del probabile. Come lalogica formale insegna a dedurre la verità o falsità di certeconseguenze dalla verità o falsità di certe premesse, cos̀ı ilcalcolo delle probabilità insegna a dedurre la maggiore ominore verosimiglianza o probabilità di certe conseguenzedalla maggiore o minore verosimiglianza o probabilità dicerte premesse. Per chi attribuisca alla probabilità unsignificato obbiettivo, il calcolo delle probabilità dovrebbeavere un significato obiettivo, i suoi teoremi esprimere delleproprietà che nel campo del reale risultano soddisfatte.


Ma è inutile fare simili ipotesi.Basta limitarsi alla concezionesoggettiva, considerare cioè laprobabilità come grado di fiduciasentito da un dato individuonell’avverarsi di un dato evento, e sipuò dimostrare che i noti teoremi delcaclolo delle probabilità sonocondizioni necessarie e sufficientiperché le opinioni di un dato individuonon siano intrinsecamentecontraddittorie e incoerenti.

B. de Finetti, ‘Fondamenti logici del ragionamento probabilistico’, Boll. Un. Mat.Ital., 9, 258-261, 1930


(Alcuni) modi del soggettivismo

Radicale de Finetti, Savage: l’ammissibilità è l’unico vincolologico dei gradi di convinzione razionale

Empirico D. Lewis: i gradi di probabilità devono esserelogicamente vincolati dalle frequenze (principal principle)

Logico R. Carnap, J. Paris: i gradi di probabilità devono essereinvarianti rispetto alle simmetrie logiche del problema

Caratterizzazione Paris-Vencovska (1997)

L’unica funzione di probabilità (soggettiva!) che soddisfa i requisiti disimmetria logica è quella la cui entropia è massima.


R. Jeffrey: Probable Knowledge (1968) I

The central problem of epistemology is often taken to bethat of explaining how we can know what we do, but thecontent of this problem changes from age to age with thescope of what we take ourselves to know;

and philosopherswho are impressed with this flux sometimes set themselvesthe problem of explaining how we can get along, knowing aslittle as we do.For knowledge is sure, and there seemsto be little we can be sure of outside logic andmathematics and truths related immediately toexperience.



The central problem of epistemology is often taken to bethat of explaining how we can know what we do, but thecontent of this problem changes from age to age with thescope of what we take ourselves to know;and philosopherswho are impressed with this flux sometimes set themselvesthe problem of explaining how we can get along, knowing aslittle as we do.

For knowledge is sure, and there seemsto be little we can be sure of outside logic andmathematics and truths related immediately toexperience.



The central problem of epistemology is often taken to bethat of explaining how we can know what we do, but thecontent of this problem changes from age to age with thescope of what we take ourselves to know;and philosopherswho are impressed with this flux sometimes set themselvesthe problem of explaining how we can get along, knowing aslittle as we do.For knowledge is sure, and there seemsto be little we can be sure of outside logic andmathematics and truths related immediately toexperience.


R. Jeffrey: Probable Knowledge (1968) II

It is as if there were some propositions –that this paper iswhite, that two and two are four– on which we have a firmgrip, while the rest, including most of the theses of science,are slippery or insubstantial or somehow inaccessible to us.

Outside the realm of what we are sure lies the puzzlingregion of probable knowledge – puzzling in part because thesense of the noun seems to be cancelled by that of theadjective. The obvious move is to deny that thenotion of knowledge has the importance generallyattributed to it, and try to make the concept ofbelief do the work that philosophers have generallyassigned the grander concept. I shall argue that this isthe right move.



It is as if there were some propositions –that this paper iswhite, that two and two are four– on which we have a firmgrip, while the rest, including most of the theses of science,are slippery or insubstantial or somehow inaccessible to us.Outside the realm of what we are sure lies the puzzlingregion of probable knowledge – puzzling in part because thesense of the noun seems to be cancelled by that of theadjective.

The obvious move is to deny that thenotion of knowledge has the importance generallyattributed to it, and try to make the concept ofbelief do the work that philosophers have generallyassigned the grander concept. I shall argue that this isthe right move.



It is as if there were some propositions –that this paper iswhite, that two and two are four– on which we have a firmgrip, while the rest, including most of the theses of science,are slippery or insubstantial or somehow inaccessible to us.Outside the realm of what we are sure lies the puzzlingregion of probable knowledge – puzzling in part because thesense of the noun seems to be cancelled by that of theadjective. The obvious move is to deny that thenotion of knowledge has the importance generallyattributed to it, and try to make the concept ofbelief do the work that philosophers have generallyassigned the grander concept. I shall argue that this isthe right move.






4 Apertura


La scelta nel problema di de Finetti

[P]er la trattazione formale dell’argomento presenteremo[un dispositivo] in cui si cerca di obbligare il soggetto ascegliere consapevolmente, svincolandolo dall’inerziae preservandolo dal capriccio.2

I il criterio di ammissibilità che porta all’identificazione dei gradidi convinzione con quelli di probabilità si basa sul concetto diopinione rivelata dal comportamento di scelta

I l’unica assunzione nel problema di de Finetti è che gli agentipreferiscano “più guadagno” a “meno guadagno” da cui

sup {p | Fp(θ) � Ap(θ)}.

Il rapporto tra scelta e preferenza ci apre circolo virtuoso che legaincertezza e razionalità.

2B. de Finetti, (1970). Teoria delle probabilità, Vol 1 Einaudi (p.93)Hykel Hosni Dalla logica alla decisione 18/03/13 33 / 44

Generalizzazione a tutta la scelta

Ammissibilità e massimizzazioneI scegliamo a caso oppure secondo un ‘criterio’

I il criterio centrale è la massimizzazione

No, no... allora non vengo. Che dici vengo? Mi si nota di più se vengo e me nesto in disparte o se non vengo per niente?


Preferenze inammissibili

+ 1 Euro = + 1 Euro = + 1 Euro =



+ 1 Euro =

+ 1 Euro = + 1 Euro =



+ 1 Euro = + 1 Euro =

+ 1 Euro =



+ 1 Euro = + 1 Euro = + 1 Euro =


Dalla certezza all’incertezza: I

Fortuna lancia un dado (con sei facce) e vi promette n Euro se ildado mostra la faccia n (e nulla altrimenti) quanto paghereste?

I sotto l’ipotesi che il dado non sia truccato, è ragionevoleassegnare 1/6 a ogni faccia

I il vostro guadagno in euro previsto

X = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + 3 · 1/6 + 4 · 1/6 + 5 · 1/6 + 6 · 1/6= 1/6 + 1/3 + 1/2 + 2/3 + 5/6 + 1

= 3.5


Previsione

IdeaLa previsione di una variablile aleatoria X si calcola sommando il suovalore pesato per la sua probabilità in ogni caso possibile.

I Nel caso del problema di de Finetti la previsione di Allibratoresullo schema (Γ, ω) è

m∑i=1

σi(v(θi)− ω(θi))

.


Dalla certezza all’incertezza: II

in orario ritardo

treno c; r c, rautobus e; r e; s

I orario; ritardo sono stati di natura

I treno; autobus sono azioni

I trasporto costoso (c) economico (e) e arrivare riposati (r) sonoconseguenze

IdeaSotto determinate ipotesi di ammissibilità è possibile attribuire valorinumerici alla desiderabilità delle conseguenze e alla verosimiglianzadegli stati in modo da poter calcolare la scelta massimizzante.


Idealizzazione e astrazione: la

matrice di Savage

Le seguenti proprietà caratterizzano l’ammissibilità delle preferenze inuna matrice di Savage

Id1 Le preferenze degli agenti sonoordini completi

Id2 Ammissibilità ‘stato a stato’

A1 le preferenze sono indipendentidagli stati

A2 le convinzioni sono indipendentidagli atti

A3 condizioni tecniche

s1 . . . sj . . . sna1 c11 . . . c1j . . . c1n...

......

...ai ci1 . . . cij . . . cin...

......

...am cm1 . . . cmj . . . cmn


T. di rappresentazione di Savage (1952)

Un agente idealizzato ha preferenze ammissibili sulle azioni se e solose esistono

I un’unica funzione di probabilità P sugli stati

I una classe di equivalenza di funzioni di utilità u sulle conseguenze

tali chea % b ⇔ EU(a) ≥ EU(b),

dove

EU(a) =∑i

P(ai)u(ai).


de Finetti e Savage






4 Apertura


Logica e razionalità

I assiomi come proprietàI eliminazione del nonsenso basato sulla connotazione semantica

delle parole ‘utilità’, ‘massimizzazione’ ecc.

I identificazione dei limiti al potere espressivo

I analisi normativa del concetto di razionalitàI se accettiamo gli assiomi come normativamente ragionevoliI allora dobbiamo accettare le loro conseguenze come

normativamente vincolanti

I questo raffina la nostra concezione pre-formale (o intuizioni)sulla razionalità


Il circolo virtuoso

ipotesi di razionalità

incertezza

decisione

de FinettiRamsey

Bernoulli

von NeumannSavage

raffina


Il circolo virtuoso

ipotesi di razionalità

incertezza

decisione

de FinettiRamsey

Bernoulli

von NeumannSavage

raffina


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