Cuadratura Gaussiana

Cuadratura Gaussiana

Diego F. Chavez Henao

[email protected]

20 de enero de 2015

PreliminaresCuadratura Gaussiana

Polinomios de Legendre y Cuadratura GaussianaProgramacion y ejemplos del metodo de cuadratura Gaussiana

Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrarioBibliografa

Problemas con los nodos equiespaciados

Contenidos

1 PreliminaresProblemas con los nodos equiespaciados

2 Cuadratura GaussianaQue hace la Cuadratura Gaussiana?Ejemplo de Cuadratura gaussiana

3 Polinomios de Legendre y Cuadratura GaussianaPolinomios de Legendre

4 Programacion y ejemplos del metodo de cuadratura GaussianaCodigo Matlab del metodo metodo de cuadratura GaussianaEjemplo de aplicacion del metodo de cuadratura Gaussiana

5 Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrarioTraslacion del metodo de cuadratura GaussianaEjemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo [1, 3]

6 BibliografaD. Chavez, [email protected] Cuadratura Gaussiana slide 2/28






En todas las formulas de Newton-Cotes previas usan valores de lafuncion evaluados en puntos igualmente espaciados. Esta restricciones conveniente cuando las formulas se combinan para formar reglascompuestas, pero esto puede disminuir significativamente la precisionde la aproximacion.

Ademas, recordemos que en las formulas compuestas se requiere eluso de nodos equidistantes, pero esto no es adecuado cuando seintegra una funcion en un intervalo que contiene regiones convariacion funcional grande y pequena.

D. Chavez, [email protected] Cuadratura Gaussiana slide 3/28






Por ejemplo, considere lo que sucede al aplicar la regla del Trapeciopara determinar la integral de las funciones que se muestran en lafigura 4. La regla Trapezoidal aproxima la integral de la funcion alintegrar la funcion lineal que une los extremos de la grafica de lafuncion.

Figura 1: Ejemplo de una situacion donde la integracion con nodos

equidistantes puede ser inapropiada.







Sin duda la lnea que une los extremos no es la mejor lnea paraaproximar la integral. Las lneas que se muestran en la figura 5seguramente produciran mejores aproximaciones.

Figura 2: Mejoras en la precision de la integral por usar una lnea mejor.





Que hace la Cuadratura Gaussiana?Ejemplo de Cuadratura gaussiana

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Que hace la Cuadratura Gaussiana?

La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de la evaluacion demanera optima y no en una forma igualmente espaciada. Se escogenlos nodos x1, x2, . . . , xn en el intervalo [a, b] y los coeficientesc1, c2, . . . , cn para reducir en lo posible el error esperado que seobtiene al efectuar la aproximacion b

af(x) dx

ni=1

ci f(xi) .

Tenemos 2n parametros. Si los coeficientes de un polinomio seconsideran parametros, la clase de polinomios de grado maximo2n 1 tambien contiene 2n parametros. Usaremos estos polinomiospara mejorar la exactitud de la aproximacion.






Ejemplo de Cuadratura gaussiana

Ejemplo con un polinomio de grado 2.

Suponga que queremos determinar c1, c2, x1 y x2 de modo que la formulade integracion 1

1f(x) dx c1 f(x1) + c2 f(x2)

de el resultado exacto siempre que f(x) sea un polinomio de grado2(2) 1 = 3 o menor, es decir, cuando

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3,

para algun conjunto de constantes a0, a1, a2 y a3.






Ejemplo de Cuadratura gaussianaEjemplo con un polinomio de grado 2.

Dado que(a0+a1x+a2x

2+a3x3) dx = a0

1 dx+a1

x dx+a2

x2 dx+a3

x3 dx,

esto equivale a demostrar que la formula produce resultados exactoscuando f(x) es 1, x, x2 y x3. Por lo tanto, necesitamos c1, c2, x1 y x2 demodo que

c1 1 + c2 1 = 11

1 dx = 2, c1 x1 + c2 x2 = 11

x dx = 0,

c1 x21 + c2 x22 = 11

x2 dx =2

3, y c1 x31 + c2 x32 =

11

x3 dx = 0.






Ejemplo de Cuadratura gaussianaEjemplo con un polinomio de grado 2.

Con un poco de algebra se puede demostrar que este sistema deecuaciones tiene solucion unica

c1 = 1, c2 = 1, x1 = 3

3y x2 =

3

3,

con lo que se obtiene la formula de aproximacion 11

f(x) dx f(3

3

)+ f

(33

).

Esta formula tiene un grado de precision tres, esto es, produce el resultadoexacto con cada polinomio de grado tres o menor.





Polinomios de Legendre

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1 Con la tecnica del ejemplo podramos determinar los nodos ycoeficientes de las formulas que proporcionan resultados exactos conlos polinomios de grado superior, pero tambien podemos aplicar unmetodo alterno para obtenerlos mas facilmente.

2 El conjunto {P0(x), P1(x), . . . , Pn(x), . . .} es un conjunto depolinomios ortogonales es tal que sus races se encuentran en (1, 1)y son tales que los nodos x1, x2, . . . , xn necesarios para porducir unaformula de la aproximacion a la integral, que proporcione resultadosexactos para cualquier polinomio de un grado a lo sumo 2n 1 sonlas races del polinomio de Legendre de grado n.







Figura 3: Valores tabulados de los nodos x1 (races de los polinomios de Legendre)

y de los coeficientes ci.





Codigo Matlab del metodo metodo de cuadratura GaussianaEjemplo de aplicacion del metodo de cuadratura Gaussiana

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Codigo Matlab (basado en el libro de Mathews y Fink [MF])







Figura 4 Subprograma definido para hacer la cuadratura Gaussiana.






Enunciado

Aproxime la integral 11 e

x cos(x) dx usando cuadratura Gaussianacon N = 3. La integracion por partes puede ser usada para mostrarque el valor real de la integral es 1.9334214. Compare este valor conel obtenido.






Codigo Matlab usado para correr la funcion gauss.m

Figura 5: Codigo Matlab usado en la cuadratura Gaussiana.






Consola de Matlab con resultados

Figura 6: Salidas de Matlab mostradas en consonla.





Traslacion del metodo de cuadratura GaussianaEjemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo [1, 3]

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Traslacion del metodo de cuadratura Gaussiana

1 Para aplicar la cuadratura Gaussiana en un intervalo [a, b], se puedeusar el cambio de variable

t =2x a b

b a x = (b a)t+ (b+ a)

2,

con lo que tenemos baf(x) dx =

11

f

((b a)t+ (b+ a)

2

)b a2

dt .






Traslacion del metodo de cuadratura Gaussiana

Figura 7: Traslacion del metodo de cuadratura Gaussiana.






Enunciado

Aproxime la integral 31 x

6 x2 sin(2x) dx = 317,3442466 usandocuadratura Gaussiana con N = 3.






Codigo Matlab usado para correr la funcion gauss.m

Figura 8: Codigo Matlab usado en la cuadratura Gaussiana en [1, 3].






Consola de Matlab con resultados

Figura 9: Salidas de Matlab mostradas en consonla.





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Bibliografa

Burden, R.L. and Faires, J.D., Numerical Analysis, 9th Ed.,CENGAGE Learning, Boston, 2011.

Chapra, S.C. y Canale, R.P., Metodos numericos para ingenieros, 5taEd., McGraw-Hill, Mexico, 2007.

Mathews, J.H. and Fink, K.D., Numerical Methods Using MATLAB,3th Ed., Prentice Hall, New Jersey, 1999.

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