PD6 - PD7 - PD8

“Matrices - Eliminacion Gaussiana

Determinante - Rango - Inversa”

27 de mayo de 2019

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PD6 - PD7 - PD8

Matriz cuadrada. Una matriz cuadrada de orden n, es una matriz de orden n×n denotada

por An en vez de An×n,

An =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...

an1 an2 · · · ann

Los elementos a11, a22, . . . , ann forman la diagonal principal de la matriz.

Traza de una matriz cuadrada. La traza de una matriz cuadrada de orden n, es la suma

de los elementos de la diagonal principal,

traza(A) =n∑

j=1

ajj = a11 + a22 + · · ·+ ann

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Propiedades.

� traza(A+B) = traza(A) + traza(B)

� traza(αA) = αtraza(A)

� traza(AB) = traza(BA)

� traza(A) = traza(AT )

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Matriz triangular superior. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Decimos que A es

una matriz triangular superior cuando

∀i, j ∈ {1, 2, . . . , n},[i > j → aij = 0

]

a1 ∗ ∗ · · · ∗0 a2 ∗ · · · ∗0 0 a3 · · · ∗...

......

. . ....

0 0 0 · · · an

triangular superior

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Matriz triangular inferior. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Decimos que A es

una matriz triangular inferior cuando

∀i, j ∈ {1, 2, . . . , n},[i < j → aij = 0

]

a1 0 0 · · · 0

∗ a2 0 · · · 0

∗ ∗ a3 · · · 0...

......

. . ....

∗ ∗ ∗ · · · an

triangular inferior

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Matriz diagonal. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Decimos que A es una matriz

triangular inferior cuando es triangular superior e inferior.

∀i, j ∈ {1, 2, . . . , n},[i 6= j → aij = 0

]

a1 0 0 · · · 0

0 a2 0 · · · 0

0 0 a3 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · an

diagonal

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Transpuesta de una matriz. Sea A = (aij)m×n una matriz de orden m× n. Definimos la

matriz transpuesta de A como la matriz definida por

AT = (bij)n×m donde bij = aji

es decir, el resultado de intercambiar filas por columnas.

1 2

3 4

5 6

T

=

[1 3 5

2 4 6

]

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Propiedades.

� (A+B)T = AT +BT

� (αA)T = αAT

� (AB)T = BTAT

� (A)TT = A

PD6 - PD7 - PD8

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Decimos que A es una

matriz simetrica cuando AT = A.

matriz antisimetrica cuando AT = −A.

matriz idempotente cuando A2 = A.

matriz involutiva cuando A2 = I.

matriz nilpotente de ındice p cuando Ap = 0.

matriz periodica de periodo p cuando Ap+1 = A.

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Producto matricial.

col1 col2 col3

fila1 a11 a12 a13

fila2 a21 a22 a23

fila3 a31 a32 a33

fila4 a41 a42 a43

col1 col2

fila1 b11 b12

fila2 b21 b22

fila3 b31 b32

=

col1 col2

fila1 c11 c12

fila2 c21 c22

fila3 c31 c32

fila4 c41 c42

c32 =3∑

k=1

a3kbk2 = a31b12 + a32b22 + a33b32

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Representacion Matricial de un Sistema Lineal. El sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...

.... . .

......

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

(m ecuaciones, n incognitas)

se puede escribir como Ax = b, donde

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...

am1 am2 · · · amn

, x =

x1

x2...

xn

, b =

b1

b2...

bm

matriz de coeficientes incognitas terminos independientes

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Matriz aumentada. Dado el sistema lineal Ax = b

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...

.... . .

......

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

(m ecuaciones, n incognitas)

se define la matriz aumentada asociada a dicho sistema como

[A|b] =

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2...

.... . .

......

am1 am2 · · · amn bm

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Fila nula y pivote de una fila.

� Una fila de una matriz se dice nula cuando todos sus elementos son ceros.

� El pivote de una fila no nula es el primer elemento no nulo de dicha fila.

Matriz escalonada.

Una matriz se dice escalonada cuando cumple las siguientes condiciones:

� Las filas nulas estan por debajo de las filas no nulas.

� El pivote de cada fila esta a la derecha del pivote de la fila anterior.

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Matriz escalonada. Las siguientes matrices son escalonadas:

2 4 1

0 −2 6

0 0 0

,

1 0 1

0 1 6

0 0 2

,

1 1 2 1

0 0 1 3

0 0 0 0

,

0 4 0 1 −1 3

0 0 −1 1 3 6

0 0 0 0 4 0

0 0 0 0 0 0

Observe que los elementos pivote forman un patron en escalera. En particular, en cualquier

columna que contenga un elemento pivote, todas las entradas bajo el elemento pivote son

ceros.

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Matriz reducida. Una matriz escalonada se dice reducida cuando cumple las siguientes

dos condiciones:

� Todos los pivotes son iguales a 1.

� Los otros elementos de una columna que contiene un pivote son ceros.

1 0 ∗ 0 ∗ ∗0 1 ∗ 0 ∗ ∗0 0 0 1 ∗ ∗0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

5× 6

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Operaciones elementales en las filas. Una operacion elemental en las filas de una matriz

es cualquiera de las siguientes operaciones.

� Intercambiar dos filas.

� Re-escalar una fila por una constante diferente de cero.

� Re-escalar una fila y sumarla a otra.

Matrices equivalentes por filas. Dos matrices se dicen equivalentes por filas cuando

realizando operaciones elementales en una, se obtiene como resultado la otra.

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Teorema. Toda matriz es equivalente por filas a una unica matriz reducida.

Teorema. La matriz A es equivalente por filas a la matriz B si y solamente si ambas tienen

la misma matriz reducida.

Variables dependientes e independientes (libres). El proceso de reducir una matriz

se conoce como eliminacion Gaussiana. Cuando la matriz esta reducida es muy sencillo

describir el conjunto solucion. Las variables correspondientes a las columnas que contienen

pivotes son dependientes y el resto son independientes.

Observacion: Si al reducir una matriz aumentada obtenemos una fila con pivote en la

ultima columna eso quiere decir que el sistema no tiene solucion. En efecto, si tuviesemos

una fila de la forma [0 · · · 0|1] eso quiere decir que 0x1 + · · ·+ 0xn = 1 pero entonces 0 = 1.

Esta contradiccion nos dice que el sistema no tiene solucion.

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Eliminacion Gaussiana. Cuando se aplica la reduccion a la matriz aumentada de un

sistema de ecuaciones lineales, se crea un sistema equivalente. Todo el proceso se conoce

como eliminacion Gaussiana. Los Pasos a seguir son los siguientes:

� Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.

� Use operaciones elementales para reducir la matriz aumentada a su forma escalonada.

La eliminacion Gaussiana es un proceso que nos permite resolver un sistema lineal de ecua-

ciones de forma sistematica.

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Matriz menor. Si An es una matriz cuadrada, la matriz menor (i, j) de A denotada por

Mij(A) se define como la matriz de orden (n− 1)× (n− 1) que resulta de eliminar la i-esima

fila y la j-esima columna. Por ejemplo si

A =

12 5 6

−2 −3 −6

5 −7 3

M11(A) =

12 5 6

−2 −3 −65 −7 3

, M12(A) =

12 5 6−2 −3 −65 −7 3

, M13(A) =

12 5 6−2 −3 −65 −7 3

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Determinante. Si denotamos porMn×n al conjunto de matrices cuadradas de orden n×n.

Se define el determinante de una matriz cuadrada como la aplicacion

det :Mn×n → RA 7→ detA

Notacion: detA o |A|

definida inductivamente como:

detA =

a11 , si n = 1n∑

j=1

(−1)1+ja1j|M1j(A)| , si n ≥ 2(1)

Observacion: La ecuacion (1) es la expansion del determinante en la primera fila. Es

posible demostrar que la expansion del determinante en cualquier fila o columna nos da el

mismo numero.

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Determinante de matrices de orden dos y tres.

�

∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

�

∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣= a11

∣∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣− a12∣∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣∣a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣∣

�

∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣= −a12

∣∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣∣+ a22

∣∣∣∣∣a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣∣− a32∣∣∣∣∣a11 a13

a21 a23

∣∣∣∣∣

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Propiedades. Sea A y B matrices cuadradas de orden n y α ∈ R, entonces

� |In| = 1

� |At| = |A|

� |αA| = αn|A|

� |A ·B| = |A| · |B|

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Propiedades.

� Si una columna es cero el determinante es cero (lo mismo para filas).

∣∣∣∣∣∣∣

a 0 x

b 0 y

c 0 z

∣∣∣∣∣∣∣= 0

� Si una columna es multiplo de otra columna, entonces el determinante es cero (lo mismo

para filas). ∣∣∣∣∣∣∣

a x α · ab y α · bc z α · c

∣∣∣∣∣∣∣= 0

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Propiedad. Si a una columna le sumamos un multiplo de otra columna, entonces el deter-

minante no cambia de valor (lo mismo para filas).

Por ejemplo en el siguiente determinante, si a la columna 2, le sumamos la columna 1

multiplicada por −3.

∣∣∣∣∣∣∣

a x m

b y n

c z p

∣∣∣∣∣∣∣=

C2+(−3)C1−−−−−−−−−→

∣∣∣∣∣∣∣

a x− 3a m

b y − 3b n

c z − 3c p

∣∣∣∣∣∣∣

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Propiedad. Podemos factorizar una columna (o fila) en un determinante.

�

∣∣∣∣∣∣∣

a α · x m

b α · y n

c α · z p

∣∣∣∣∣∣∣= α ·

∣∣∣∣∣∣∣

a x m

b y n

c z p

∣∣∣∣∣∣∣

�

∣∣∣∣∣∣∣

α · a α · x α ·mα · b α · y α · nc z p

∣∣∣∣∣∣∣= α2 ·

∣∣∣∣∣∣∣

a x m

b y n

c z p

∣∣∣∣∣∣∣

�

∣∣∣∣∣∣∣

α · a α · x α ·mα · b α · y α · nα · c α · z α · p

∣∣∣∣∣∣∣= α3 ·

∣∣∣∣∣∣∣

a x m

b y n

c z p

∣∣∣∣∣∣∣

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Propiedad. Si intercambiamos dos columnas (o dos filas) el determinante queda multipli-

cada por −1, no es lo mismo que eliminacion gaussiana. Por ejemplo si intercambiamos la

primera y segunda columna del siguiente determinante:

∣∣∣∣∣∣∣

a x m

b y n

c z p

∣∣∣∣∣∣∣= −

∣∣∣∣∣∣∣

x a m

y b n

z c p

∣∣∣∣∣∣∣

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Propiedad. El determinante de una matriz triangular superior o inferior es el producto de

los elementos de su diagonal principal.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 ∗ ∗ · · · ∗0 a2 ∗ · · · ∗0 0 a3 · · · ∗...

......

. . ....

0 0 0 · · · an

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= a1 · a2 · a3 · · · an

triangular superior

Observacion: Para calcular el determinante de una matriz en general, el metodo es reducirla

a una matriz triangular superior o inferior, mediante propiedades de determinantes.

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Teorema. Sea A una matriz cuadrada de orden n. El sistema lineal

Ax = b (A es la matriz de coeficientes)

admite solucion unica si y solamente si detA 6= 0.

Teorema. Sea A una matriz cuadrada de orden n. El sistema

Ax = 0b=0

(A es la matriz de coeficientes)

admite infinitas soluciones si y solamente si detA = 0.

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Sistema de Cramer. Un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de

Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:

� El numero de ecuaciones es igual al numero de incognitas (la matriz de coeficientes es

cuadrada).

� El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

Un sistema de Cramer es por definicion compatible determinado, es decir, tiene solucion

unica.

PD6 - PD7 - PD8

Regla de Cramer. Consideremos el sistema de Cramer

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...

.... . .

......

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

(1)

el cual se puede escribir como Ax = b, donde

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...

an1 an2 · · · ann

, x =

x1

x2...

xn

, b =

b1

b2...

bn

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Se llama matriz asociada a la variable xj y la denotaremos por Aj a la matriz que se obtiene

al sustituir en la matriz de coeficientes la columna j por la matriz columna de los terminos

independientes. Es decir:

Aj =

a11 a12 · · · b1 · · · a1n

a21 a22 · · · b2 · · · a2n...

.... . .

.... . .

...

an1 an2 · · · bn · · · ann

Luego

xj =|Aj||A| , j ∈ {1, 2, . . . , n}

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Regla de Cramer para n = 2. Si Ax = b es un sistema de Cramer donde

A =

[a11 a12

a21 a22

], b =

[b1

b2

]

entonces dicha solucion se puede calcular mediante la formula

x =

∣∣∣∣∣b1 a12

b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣

, y =

∣∣∣∣∣a11 b1

a21 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣

PD6 - PD7 - PD8

Regla de Cramer para n = 3. Si Ax = b es un sistema de Cramer donde

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, b =

b1

b2

b3

entonces dicha solucion se puede calcular mediante la formula

x =

∣∣∣∣∣∣∣

b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣

, y =

∣∣∣∣∣∣∣

a11 b1 a13

a21 b2 a23

a31 b3 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣

, z =

∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 b1

a21 a22 b2

a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣

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Inversa de una Matriz. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Si B es una matriz

cuadrada de orden n tal que

A ·B = B · A = In

entonces decimos que B es una matriz inversa de A.

Teorema. Sea A una matriz cuadrada de orden n. A admite inversa si y solamente si

detA 6= 0.

En este caso, dicha inversa B es unica y se denota por A−1,

A · A−1 = A−1 · A = In

PD6 - PD7 - PD8

Metodo de Gauss - Jordan. Para calcular la inversa de una matriz cuadrada A de orden

n, primero construimos la matriz [A|In]. Luego usando eliminacion gaussiana es posible

reducir la matriz a la forma [In|B]. Luego se prueba que B es la inversa de A.

a11 a12 · · · a1n 1 0 · · · 0

a21 a22 · · · a2n 0 1 · · · 0...

.... . .

......

.... . .

...

a1n a2n · · · ann 0 0 · · · 1

EG−−→

1 0 · · · 0 a11 a12 · · · a1n

0 1 · · · 0 a21 a22 · · · a2n...

.... . .

......

.... . .

...

0 0 · · · 1 a1n a2n · · · ann

A In In A−1

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Rango de una matriz. El rango es una funcion que asigna a una matriz el numero de

pivotes de la matriz reducida obtenida al aplicar eliminacion gaussiana. Denotamos este

numero por rango(A).

rango :Mm×n → {0, 1, 2, . . .}A 7→ rango(A)

Propiedades.

� rango(A) ∈ {0, 1, 2, . . .}

� 0 ≤ rango(A) ≤ min{m,n}

� El rango(A) es el numero de pivotes de la matriz escalonada .

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Ejemplo.

� rango

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= 3

� rango

2 4 1 1

0 −2 6 2

0 0 0 0

= 2

� rango

0 0

0 0

0 0

= 0

� rango

0 4 0 1 −1 3

0 0 −1 1 3 6

0 0 0 0 4 5

0 0 0 0 0 0

= 3

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Conjunto solucion de un sistema de ecuaciones lineales Ax = b.

Dado el sistema:

Am×n · x = b

m: numero de ecuaciones

n : numero de variables

[Am×n|bm×1]rango[A] < rango[A|b]sistema inconsistente

no existe solucion

rango[A] = rango[A|b]sistema consistente

existe solucionrango[A] = rango[A|b] < n

infinitas soluciones

rango[A] = rango[A|b] = n

solucion unica

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Observaciones:

(a) Recordemos que existe una correspondencia entre las columnas de la matriz de coeficien-

tes y las variables del sistema. Si reducimos la matriz aumentada y obtenemos un pivote

por cada columna esto significa que cada variable queda completamente determinada y

por lo tanto la solucion es unica.

(b) Vimos anteriormente que si una matriz aumentada tiene una fila de la forma [0 · · · 0|1]

el sistema no tiene solucion. Esta fila aumenta el rango y por lo tanto el sistema es

inconsistente.

(c) Si escalonamos la matriz ampliada [A|b], al mismo tiempo tambien estamos escalonando

la matriz A.

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Problema. Analice bajo que condiciones el sistema

x− z = 2

x+ y + (k + 1)z = k + 3

x+ y + z = 3

−x+ y + (k + 3)z = −k

tiene solucion unica, infinitas soluciones, o no tiene solucion.