Cuadernillo de Lineales II

8/18/2019 Cuadernillo de Lineales II

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PROGRAMA DE ESTUDIO

PLAN DE ESTUDIO VIGENTECLAVE IEE-93

_____________________________________________________________________________________ ___

CARRERA: INGENIERIA ELECTRÓNICASEMESTRE: VIIMATERIA: SISTEMAS LINEALES IIOBJETIVO: EL ALUMNO APRENDERA A DISEÑAR SISTEMAS DE CONTROLDIGITAL, APLICADO A SISTEMAS DINAMICOS INDUSTRIALES. CLAVE: SSLI-12610

UNIDAD ISISTEMAS DE CONTROL DE TIEMPO DISCRETO

1.1 .-SEÑALES Y SISTEMAS1.2 .-SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL1.3 .-CUANTIFICACIÓN1.4 .-SISTEMAS DE ADQUISICIÓN, CONVERSIÓN Y

DISTRIBUCIÓN DE DATOS1. .-RETENEDORES1..1.-DE ORDEN CERO1..2.-DE PRIMER ORDEN

1..3.-POLIGONAL Y DE RETRASOUNIDAD II

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO(BASADO EN EL PLANO “!"

2.1 .-TIPOS DE MUESTREO2.2 .-RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES ORIGINALES A PARTIR DE

SEÑALES MUESTREADAS2.3 .-FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA2.3.1.-DE PULSO

!.- ELEMENTOS EN CASCADA ".- SISTEMAS DE LA#O CERRADO2.3.2.-SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL !.-DE LA#O CERRADO ".-CONTROL PID2.4 .-CONTROLADORES


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UNIDAD IIIDISE#O DE CONTROL DE TIEMPO DISCRETO

3.1 .-CONCEPTOS B$SICOS3.2 .-CORRESPONDENCIA ENTRE EL PLANO %S& Y %#&

3.3 .-AN$LISIS DE ESTBILIDAD DE SISTEMAS DE LA#OCERRADO3.4 .-AN$LISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA Y SU ESTADO

PERMANENTE3.4.1.-M'TODO BASADO EN EL LUGAR GEOM'TRICO DE LAS

RAICES3.4.2.-M'TODO BASADO EN LA RESPUESTA A LA FRECUENCIA3.4.3.-M'TODOD ANAL(TICO

UNIDAD IV

ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE ESTADO

4.1 .-CONCEPTOS4.2 .-ESPACIO DE ESTADO4.2.1.-REPRESENTACIÓN PARA SISTEMAS DE TIEMPO

DISCRETO4.2.2.-SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO4.2.3.-MATRI# DE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO4.2.4.-DISCRETI#ACIÓN DE LAS ECUACIONES EN EL ESPACIO

!.-DE ESTADO ".-DE TIEMPO CONTINUO

4.3 .-AN$LISIS DE ESTABILIDAD DE LIAPUNOV

UNIDAD VPOLOS

.1 .-CONCEPTOS.2 .-CONTROLABILIDAD.3 .-OBSERVABILIDAD.4 .-TRANSFORMACIONES. .-UBICACIÓN DE POLOS


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UNIDAD ISISTEMAS DE CONTROL DE TIEMPO DISCRETO$

1$1 $-SE#ALES % SISTEMAS$

INTRODUCCION

CONTROLES DIGITALES PRODUCTIVIDAD. BENEFICIO. DESEMPEÑO COSTO MINIMO. UTILI#ACION

MINIMA DE ENERGIA.

MOVIMIENTO INTELIGENTE DEROBOTS INDUSTRIALES.

DOMOTICA ILUMINACION INTERIOR.

MAQUNAS DE COSER . LAVADORAS. ETC.

VENTA)AS DE UN SISTEMA TOMA DE DESICIONES.DE CONTROL DIGITALFLE*IBILIDAD DEL PROGRAMA

DE CONTROL.

DISPONIBILIDAD DE COMPUTADORASA BA)O COSTO.

TENDENCIA VENTA)AS DE TRABA)AR CONSEÑALES DIGITALES, EN LUGARDE SEÑALES ANALOGAS +SEÑAL DE CONTROL.


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TIPOS DE SE#ALES UTILIADAS EN LOS SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO$

SE#ALES EN TIEMPO CONTINUO

ESTA SE DEFINE SOBRE UN INTERVALO CONTINUO DE TIEMPO. LA AMPLITUDPUEDE TENER UN INTERVALO CONTINUO DE VALORES O SOLAMENTE UN

NUMERO FINITO DE VALORES DISTINTOS.

SE#AL ANALOGICA

ES UNA SEÑAL DEFINIDA EN UN INTERVALO CONTINUO DE TIEMPO CUYAAMPLITUD PUEDE ADOPTAR UN INTERVALO CONTINUO DE VALORES

SEÑAL ANALOGICA

SE#AL DE DATOS MUESTREADOS

ES UNA SEÑAL EN TIEMPO DISCRETO CON VALORES DE AMPLITUD EN UNINTERVALO CONTINUO. ESTA SEÑAL SE PUEDE GENERAR MUESTREANDO UNASEÑAL ANALOGICA EN VALORES DISCRETOS DE TIEMPO. ES UNA SEÑAL DEPULSOS MODULADA EN AMPLITUD.

SEÑAL DE MUESTREO

CUANTI&ICACION

PROCESO DE REPRESENTAR UNA VARIABLE POR MEDIO DE UN CON)UNTO DEVALORES DISTINTOS.

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Sampled_signal.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Analog_signal.png


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VALORES CUANTI&ICADOS

SON LOS VALORES DISTINTOS RESULTANTES DEL PROCESO DE CUANTIFICACION.LA VARIABLE CUANTIFICADO SOLO CAMBIA EN UN CON)UNTO FINITO DEVALORES DISTINTOS.

SE#AL EN TIEMPO DISCRETO

ES UNA SEÑAL DEFINIDA SOLO EN VALORES DISCRETOS DE TIEMPO, ESTO ESAQUELLOS EN LOS CUALES LA VARIABLE + INDEPENDIENTE ESTACUANTIFICADA.

SE#AL DIGITAL

ES UNA SEÑAL EN TIEMPO DISCRETO CON AMPLITUD CUANTIFICADA, EN LAPRACTICA SE OBTINE MUESTREANDO SEÑALES ANALOGICAS, QUE DESPUES SECUANTIFICAN, ESTA CUANTIFICACION ES LO QUE PERMITE QUE LAS SEÑALESANALOGICAS SEAN LEIDAS COMO PALABRAS BINARIAS FINITAS.

1$2 $-SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL

SISTEMA DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO ( TD"$

SON AQUELLAS SISTEMAS EN LAS CUALES UNA O MAS VARIABLES, PUEDENCAMBIAR SOLO EN VALORES DISCRETOS DE TIEMPO, ESTOS INSTANTES DETIEMPO SE DENOTA POR O / + 0 , 1, 2,.


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PROCESO DE MUESTREO

DE LAS SEÑALES EN TIEMPO CONTINUO REEMPLA#A POR UNA SECUENCIA DEVALORES EN PUNTOS DISCRETOS DE TIEMPO. UN CONTROLADOR DIGITALREQUIERE DE MUESTREO Y LA CUANTIFICACION.

LOS TERMINOS COMO SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO, SISTEMADE CONTROL DE DATOS MUESTREADOS, Y CONTROL DIGITAL IMPLICAN ELMISMO TIPO O TIPOS MUY SIMILARES DE SISTEMAS DE CONTROL. ESTOSSISTEMAS NO SE DEBEN DE TOMAR COMO SINONIMOS, YA QUE E*ISTENDIFERENCIAS. POR E)EMPLO, EN UN SISTEMAS DE CONTROL DE DATOSMUESTREADOS, E*ISTEN TANTO SEÑALES EN TIEMPO CONTINUO COMO ENTIEMPO DISCRETO, LAS SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO ESTAN MODULADAS ENAMPLITUD POR UNA SEÑAL DE PULSOS.

C56!78!D99!; D=78 A?6!78 P;!>!S@Y

A8!7!

R=;

C>8;!78 P8=!;9=>!7

P=868"!?9> 8697

S!;97!

F9;8 T8!>76?8

=>8

R697


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DE&INICIONES EN CONTROL EN TIEMPO DISCRETO

MUESTREO O DISCRETIACION: OPERACIÓN QUE TRANSFORMA LAS SEÑALESEN TIEMPO CONTINUO Y LOS DATOS EN TIEMPO DISCRETO.

RETENCION DE DATOS: OPERACIÓN INVERSA AL MUESTREO QUE TRANSFORMADATOS EN TIEMPO DISCRETO EN UNA SEÑAL EN TIEMPO CONTINUO. SE

MANTIENE LA SEÑAL CONSTANTE O SE UTILI#AN METODOS DEE*TRAPOLACION.

CODI&ICACION: PROCESO DE CONVERSION ANALOGICO A DIGITAL.

DECODI&ICACION: PROCESO DE CONVERSION DIGITAL A ANALOGO.

MUESTREADOR- RETENEDOR (SAMPLE AND 'OLD$ S' ": ES EL TERMINO QUESE UTILI#A PARA UN AMPLIFICADOR DE MUESTREO Y DE RETENCION. ESTECIRCUITO RECIBE COMO ENTREDA UNA SEÑAL ANALOGA Y MANTIENE DIC@ASEÑAL EN UN VALOR CONSTANTE DURANTE UN TIEMPO ESPECIFICO.

CONVERTIDOR ANALOGICO-DIGITAL (AD": DISPOSITIVO QUE CONVIERTE UNASEÑAL ANALOGA EN UNA SEÑAL DIGITAL, USUALMENTE EN UNA SEÑALCODIFICADA NUMERICAMENTE. SE NECESITA UNA INTERFA# ENTRE UNCOMPONENTE ANALOGICO Y UNO DIGITAL. CON FRECUENCIA UN CIRCUITO S


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TRANSDUCTOR ANALOGICO: ESTE MANE)A SEÑALES QUE SON FUNCIONESCONTINUAS EN EL TIEMPO. LAS MAGNITUDES PUEDEN TOMAR CUALQUIER VALOR DENTRO DE LAS LIMITACIONES FISICAS DEL SISTEMA.

TRANSDUCTOR DE DATOS MUESTREADOS: EN ESTE SE PRESENTAN VALORESDISCRETOS DE TIEMPO Y MAGNITUDES NO CUANTIFICADAS.

TRANSDUCTOR DIGITAL: ESTE TOMA VALORES DISCRETOS DE TIEMPO Y TIENEMAGNITUDES CUANTIFICADAS EN LA SEÑAL.

1$3$-CUANTI&ICACI)N$

CUANTI&ICACION % ERRORES DE CUANTI&ICACION

CUANTIFICACION DE AMPLITUD: PROCESO DE REPRESENTACION DE UNA SEÑALCONTINUA O ANALOGICA MEDIANTE UN NUMERO DE ESTADOS DISCRETOS

CUANTIACI)N:

ES EL PROCESO DE CONVERTIR VALORES CONTINUOS E.G VOLTA)ESH EN SERIESDE VALORES DISCRETOS.

POR E)EMPLO EL AUDIO DIGITAL E.G. MP3, AV, ETCH TIENEN DOSCARACTER(STICAS BIEN IMPORTANTES, EL MUESTREO +TIEMPO Y LACUANTI#ACIÓN +NIVEL.

MIENTRAS QUE EL MUESTREO REPRESENTA EL TIEMPO DE CAPTURA DE UNASEÑAL, LA CUATI#ACIÓN ES EL COMPONENTE AMPLITUD DE EL MUESTREO. EN

OTRAS PALABRAS, MIENTRAS QUE EL MUESTREO MIDE EL TIEMPO +POR INSTANCIA 44,1 MUESTRAS POR SEGUNDO, LA CUANTI#ACIÓN ES LA T'CNICADONDE UN EVENTO ANALÓGICO ES MEDIDO DADO UN VALOR NJMERICO.

PARA @ACER ESTO, LA AMPLITUD DE LA SEÑAL DE AUDIO ES REPRESENTADA ENUNA SERIE DE PASOS DISCRETOS. CADA PASO EST$ DADO ENTONCES POR UN

NJMERO EN CÓDIGO BINARIO QUE DIGITALMENTE CÓDIFICA EL NIVEL DE LASEÑAL. LA LONGITUD DE LA PALABRA DETERMINA LA CALIDAD DE LAREPRESENTACIÓN. UNA VE# M$S, UNA PALABRA M$S LARGA, ME)OR LACALIDAD DE UN SISTEMA DE AUDIO +COMPARANDO UNA PALABRA DE K BITSCON UNA DE 1 BITS O 32 BITS +VER FIGURA.

EL BIT DE RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DEFINE EL RANGO DIN$MICO DE ELSISTEMA. DB ES GANADO POR CADA BIT.

POR E)EMPLO:

* BITS EQUIVALE A 2+6 ESTADOS 0 4K DB +DECIBELES16 BITS EQUIVALEN A 6+,+36 ESTADOS 0 DB.

ENTONCES, SE DEBE DE TOMAR MUESTRAS A TIEMPOS MENORES Y SE DEBE DECUANTI#AR A MAYORES NIVELES +BITS, SI SUCEDE LO CONTRARIO SUCEDENERRORES DE CUANTIACI)N.

Q 0 FSR < 2


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Q: NIVEL DE CUANTIFICACION.

FSR: INTERVALO A ESCALA COMPLETA.

>: TAMAÑO DE PALABRA.

LSB0 Q

ERROR DE CUANTI&ICACION:

EN LA PALABRA DIGITAL, EL NUMERO DE BIT ES FINITO, LA CONVERSION A BITS Y DEESTE MODO, SIEMPRE E*ISTE ALGUN ERROR DEBIDO A LA CUANTIFICACION

1$.$-SISTEMAS DE AD/UISICI)N, CONVERSI)N %DISTRIBUCI)N DE DATOS$

CON EL CRECIMIENTO RAPIDO EN EL USO DE COMPUTADORAS PARA E)ECUTAR LAS ACCIONES DE UN CONTROL DIGITAL, TANTO LOS SISTEMAS DE ADQUISICIONDE DATOS COMO LOS DE DISTRIBUCION, SE @AN CONVERTIDO EN PARTEIMPORTANTE DE TODO SISTEMA DE CONTROL.


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AD/UISICI)N DE DATOS

LA AD/UISICI)N DE DATOS CONSISTE EN TOMAR UN CON)UNTO DE VARIABLESF(SICAS, CONVERTIRLAS EN TENSIONES EL'CTRICAS Y DIGITALI#ARLAS DEMANERA QUE SE PUEDAN PROCESAR EN UNA COMPUTADORA. SE REQUIERE UNAETAPA DE ACONDICIONAMIENTO QUE ADECUA LA SEÑAL A NIVELES

COMPATIBLES CON EL ELEMENTO QUE @ACE LA TRANSFORMACIÓN A SEÑALDIGITAL. EL ELEMENTO QUE @ACE DIC@A TRANSFORMACIÓN ES LA TAR)ETA DEADQUISICIÓN DE DATOS. UNA VE# QUE LAS SEÑALES EL'CTRICAS SETRANSFORMARON EN DIGITALES DENTRO DE LA MEMORIA DE LA PC, SE LASPUEDE PROCESAR CON UN PROGRAMA DE APLICACIÓN ADECUADO AL USO QUEEL CLIENTE DESEA, Y


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BD9!8!! 7= ";6= 7= 6> 9=! 7= 7989"6?9> 7= 7!

EN LA FIGURA A SE MUESTRA EL DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA DEADQUISICION DE DATOS Y EN LA FIGURA B SE MUESTRA EL DIAGRAMA ABLOQUES DE UN SISTEMA DE DISTRIBUCION DE DATOS.

EN EL SISTEMA DE ADQUISICION DE DATOS LA ENTRADA DEL SISTEMA ES UNAVARIABLE FISICA, TAL COMO POSICION, VELOCIDAD, ACELERACION,TEMPERATURA, ETC. DIC@AS VARIABLES FISICAS PRIMERO SE CONVIERTEN ENUNA SEÑAL ELECTRICA, YA SEA DE VOLTAGE O DE CORRIENTE, MEDIANTE UN

TRANSDUCTOR APROPIADO. UNA VE# QUE LA VARIABLE FISICA SE CONVIERTEEN UNA SEÑAL DE VOLTAGE O CORRIENTE, EL RESTO DEL PROCESO DEADQUISICION DE DATOS SE @ACE POR MEDIOS ELECTRONICOS.

EN LA FIGURA A EL AMPLIFICADOR QUE SIGUE DEL TRANSDUCTOR, E)ECUTAUNA O MAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES: AMPLIFICA EL VOLTAGE DE SALIDADEL TRANSDUCTOR, CONVIERTE LA CORRIENTE EN VOLTAGE, AISLA LA SEÑAL.EL FILTRO PASABA)AS, ATENUA LAS COMPONENTES DE ALTA FRECUENCIA DE LASEÑAL, TALES COMO LAS SEÑALES DE RUIDO.

POSTERIORMENTE, ESTA SEÑAL SE ALIMENTA AL MULTIPLE*OR ANALOGICO. LASALIDA DEL MULTIPLE*OR SE ALIMENTA AL CIRCUITO DE MUESTREO YRETENCION Y POSTERIORMENTE COMO SIGUE EN EL DIAGRAMA.

DISTRIBUCION DE DATOS

EL PROCESO INVERSO AL DE LA ADQUISICION DE DATOS, ES LA DISTRIBUCIONDE DATOS , COMO SE OBSERVA EN LA FIGURA B, ESTA COMPUESTO DE UNREGISTRO, DEMULTIPLE*OR, CONVERTIDOR D=8978

A=78

A; !?6!78 D=; ?>8;!78 799!;

R=98 D=6;95;=8 C>=8978

A=78


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REPRESENTE DE MANERA PRECISA LA SEÑAL DE ENTRADA EN EL INSTANTE DEMUESTREO.

EL CIRCUITO DE MUESTREO-RETENCION, ES UN CIRCUITO ANALOGICO, QUE ESSIMPLEMENTE UN DISPOSITIVO DE MEMORIA DE VOLTAGE, EN EL

QUE SE ADQUIERE UNA ENTRADA DE VOLTAGE Y SE ALMACENA EN UNCAPACITOR DE ALTA CALIDAD CON CARACTERISTICAS DE ABSORCION Y FUGASBA)AS DIELECTRICAMENTE.

EL ESQUEMA B$SICO DE UN CIRCUITO DE CAPTURA Y MANTENIMIENTO, AS(COMO SU REPRESENTACIÓN SIMPLIFICADA, SE OFRECEEN LA FIGURA:

C


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E*ISTEN 2 MODOS DE OPERACIÓN PARA EL CIRCUITO DE MUESTREO YRETENCION:

1.- EL MODO DEL SEGUIMIENTO.

2.- EL MODO DE RETENCION.

CUANDO EL INTERRUPTOR ESTA CERRADO, EL MODO DE OPERACIÓN ES DESEGUIMIENTO. LA CARGA EN EL CAPACITOR, EN EL CIRCUITO SIGUE AL VOLTAGEDE ENTRADA. CUANDO EL INTERRUPTOR SE ABRE, EL MODO DE OPERACIÓN ESEL DE RETENCION Y EL VOLTAGE DEL CAPACITOR SE MANTIENE CONSTANTE POR UN TIEMPO ESPECIFICO. COMO PUDO OBSERVARSE EN LA FIGURA LA OPERACIÓNDE MUESTREO Y RETENCION ESTA CONTROLADA POR UN PULSO DE RELO).

CONVERTIDOR ANALOGO DIGITAL$

EN LA AUTOMATI#ACIÓN E INSTRUMENTACIÓN INDUSTRIAL, SE PRODUCENSEÑALES ANALÓGICAS QUE VAR(AN CONSTANTEMENTE, CON VARIACIONES QUEPUEDEN SER MUY R$PIDAS O LENTAS.ESTAS SEÑALES NO SON F$CILES DE TRATAR, COMO SUMAR ALMACENAR,COMPARAR ETC. POR LO QUE SE RECURRE A ESTOS DISPOSITIVOS EN CIRCUITOINTEGRADO. REALI#AN EL PASO DE SEÑALES ANALÓGICAS A DIGITALES ASIGNANDO A CADA

NIVEL DE TENSIÓN UN NJMERO DIGITAL PARA SER UTILI#ADO POR EL SISTEMADE PROCESAMIENTO. LAS CARACTER(STICAS FUNDAMENTALES DE UNCONVERTIDOR AD SON LA PRECISIÓN Y LA VELOCIDAD. EN EL $MBITOINDUSTRIAL SON BASTANTE COMUNES LOS CONVERSORES DE 4, K, 1 Y 12 BITSAUNQUE LA TENDENCIA ES A CONVERTIDORES DE MAYOR PRECISIÓN +14 Ó 1BITS. LA VELOCIDAD DE CONVERSIÓN DEPENDE DE LAS NECESIDADES DE LAAPLICACIÓN PERO @AY QUE TENER EN CUENTA QUE EST$ EN CONTRAPOSICIÓNCON LA PRECISIÓN. POR JLTIMO, UN FACTOR A TENER EN CUENTA EN LAELECCIÓN DE UN CONVERTIDOR AD ES LA TECNOLOG(A UTILI#ADA+APRO*IMACIÓN SUCESIVA, FLAS@, PIPELINE, SIGMA-DELTA QUE DEPENDER$DE LAS NECESIDADES DE PRECISIÓN Y VELOCIDAD.

LOS CONVERTIDORES DE ESTE TIPO SE REPRESENTAN EN UN GRAFICO DE,

VOLTA)E DE ENTRADA ANALÓGICA VS. PALABRA EN LA SALIDA DIGITAL, Y ESTAPALABRA DEPENDER$ DEL NUMERO DE BITS DEL CONVERTIDOR. CONOCIENDOEL NUMERO DE BITS, SE PUEDE ENCONTRAR EL NUMERO M$*IMO DE PALABRASDIFERENTES QUE PUEDE PROPORCIONA LA SALIDA DIGITAL. LA RESOLUCIÓN ES ENTONCES 0 2

DONDE A 0 NUMERO DE BITS. AS( QUE PARA UN CONVERTIDOR DE 4 BITS ENLA SALIDA A 0 4 : Y SER$N 1 DIFERENTES PALABRAS INCLUYENDO EL CERO.

NOTA: ES EL NJMERO DE BITS QUE TIENE LA PALABRA DE SALIDA DELCONVERTIDOR, Y POR TANTO ES EL NJMERO DE PASOS QUE ADMITE ELCONVERTIDOR. AS( UN CONVERTIDOR DE K BITS SÓLO PODR$ DAR A LA SALIDA2K 0 2 VALORES POSIBLES.


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E*ISTE OTRA RESOLUCIÓN QUE SE DEFINE COMO LA RA#ÓN DE CAMBIO DELVALOR EN EL VOLTA)E DE ENTRADA, VENT. QUE SE REQUIERE PARA CAMBIAR EN 1LSB LA SALIDA DIGITAL. ESTO ES CUANDO SE

CONOCE EL VALOR DE VIN, A ESCALA COMPLETA. EL VOLTA)E DE ENTRADA AESCALA COMPLETA VIN, ES PROPORCIONADO POR EL FABRICANTE EN SUS @O)ASDE ESPECIFICACIONES.ENTONCES VIN ES EL VALOR M$*IMO PRESENTE EN LA ENTRADA AN$LOGA,PARA PROPORCIONAR UNOS LÓGICOS EN TODAS LAS SALIDAS DE BIT DIGITALES.

Vin Resolución =

2ª - 1

RESTANDO SOLO LA MANERA DE ENCONTRAR UNA ECUACIÓN DE ENTRADA SALIDA, PARA FACILITAR R$PIDAMENTE LA PALABRA DIGITAL, INCLUSO ENFORMA DECIMAL, QUE ENTREGA EL CONVERTIDOR $

VentD = Vent = voltaje análogo presente en el instante Resolución D = Valor decimal de la salida digital

NOTA: LA TENSIÓN DE FONDO DE ESCALA DEPENDE DEL TIPO DECONVERTIDOR, PERO NORMALMENTE SE FI)A A NUESTRO GUSTO, EN FORMA DEUNA TENSIÓN DE REFERENCIA E*TERNA, +AUNQUE EN ALGUNOS CASOS, COMOEL DEL CONVERTIDOR ADC K4 LA TENSIÓN DE FONDO DE ESCALA ES EL DOBLEDE LA TENSIÓN DE REFERENCIA. POR E)EMPLO, UN CONVERTIDOR DE K BITSCON UNA TENSIÓN DE FONDO DE ESCALA DE 2V TENDR$ UNA RESOLUCIÓN DE:

paso

mV V VK4.

12

2K =−

EN CAMBIO, PARA EL MISMO CONVERTIDOR, SI CAMBIAMOS LA TENSIÓN DEREFERENCIA, Y POR TANTO LA DE FONDO DE ESCALA, LA RESOLUCIÓN SER$ DE:

Paso

mV V 1M.

12

K

=−

E)EMPLO:

U> ?>=8978 !>!;9? ! 799!; 7= 4 "9, =>=8! ;!=>= %6>& ?6!>7 V9 0 2. V.

E>?6=>8= ;! 8=;6?9> => 6 7 8!, 6 !;97! 799!; ?6!>7 V9 0 1.2KV

!.- 24

0 1 !;97! 79=8=>= 9>?;6=>7 .


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".- R=;6?9> 0 LSB

mV V 1

12

.24 =−

?.- E?6!?9> D 0 soluciónVi

R= 0 LSBmV V


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EN LUGAR DE 'STE SE EMPLEA UN OSCILADOR LINEAL CONTROLADO POR VOLTA)E QUE PRODUCE COMO SALIDA UNA FRECUENCIA QUE ESPROPORCIONAL AL VOLTA)E APLICADO EN SU ENTRADA. UNA DE LAS PRINCIPALES APLICACIONES DE ESTE TIPO DE CONVERTIDOR SE

ENCUENTRA EN AMBIENTES INDUSTRIALES CON MUC@O RUIDO Y DONDE SETIENEN QUE TRANSMITIR SEÑALES ANALÓGICAS DE POCA AMPLITUD DESDE

LOS CIRCUITOS TRANSDUCTORES @ACIA LA COMPUTADORA DE CONTROL.

ADC DE DOBLE PENDIENTE : ES UNO DE LOS QUE TIENEN MAYOR TIEMPODE CONVERSIÓN, PERO OFRECE LA VENTA)A DE UN COSTO RELATIVAMENTEBA)O YA QUE NO REQUIERE DE COMPONENTES DE PRECISIÓN TALES COMO UNDAC O UN VCO.

LA OPERACIÓN B$SICA DE ESTE CONVERTIDOR SE APOYA EN LA CARGA YDESCARGA, AMBAS EN FORMA LINEAL, DE UN CAPACITOR MEDIANTE EL USO DECORRIENTES DE VALOR CONSTANTE. OTRA VENTA)A ES SU BA)A SENSITIVIDAD AL RUIDO Y LAS VARIACIONES EN LOS

VALORES DE SUS COMPONENTES CAUSADOS POR LOS CAMBIOS DE

TEMPERATURA.

CONVERTIDOR ANAL)GICO-DIGITAL$ AD

LA CONVERSIÓN ANALÓGICA A DIGITAL TIENE SU FUNDAMENTO TEÓRICO EN ELTEOREMA DEL MUESTREO Y EN LOS CONCEPTOS DE CUANTIFICACIÓN YCODIFICACIÓN.

UNA PRIMERA CLASIFICACIÓN DE LOS CONVERTIDORES A


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.

CUANDO LA SEÑAL ANALÓGICA DE ENTRADA VI E*CEDA A LA TENSIÓN DEREFERENCIA DE CUALQUIER COMPARADOR, 'STE REFLE)AR$ EN SU SALIDADIC@O CAMBIO. UN CONVERTIDOR A


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CONVERTIDORES AD CON INTEGRADOR O RAMPA$

ESTE TIPO DE CONVERTIDORES SON M$S SENCILLOS QUE LOS ANTERIORES YAQUE NO UTILI#AN CONVERTIDORES INTERMEDIOS D


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EN ESTE TIPO DE CONVERTIDOR @AY DOS FASES: LA PRIMERA, QUE CONSISTEEN DETERMINAR LA RAMPA PARA Vi EN LA ENTRADA, EN UN TIEMPO FI)OW LASEGUNDA, EL TIEMPO QUE TARDA, CON PENDIENTE FI)A Y TENSIÓN DEREFERENCIA CONOCIDA, VR")* EN PASAR DEL VALOR M$*IMO DE LA ANTERIOR

FASE A CERO FIGURA B.

EL CICLO DE CONVERSIÓN SE INICIA CON LA RAMPA Y CONTADORES A CERO Y ELCONMUTADOR ELECTRÓNICO EN LA ENTRADA ANALÓGICA Vi+ LA RAMPA SEGENERA @ASTA UN PUNTO M$*IMO V, QUE VENDR$ DADO POR EL NIVEL DETENSIÓN DE ENTRADA Vi Y SIEMPRE EN UN MISMO TIEMPO t 1

V x = -(V i / RC).t 1

CUANDO EL DETECTOR DE CUENTA INCORPORADO EN EL CONTADOR DETECTAQUE CONCURRE EL TIEMPO PREDETERMINADO t1* LA UNIDAD DE CONTROLBORRA DIC@O CONTADOR Y CONMUTA LA ENTRADA A LA TENSIÓN DEREFERENCIA VR")+ A@ORA EL INTEGRADOR GENERAR$ UN RAMPA DESDE - V x ACERO, DURANTE UN TIEMPO t2 QUE SER$ CONTABILI#ADO POR EL CONTADOR.

V x = (V ref / RC).t 2 +

LA CONVERSIÓN TERMINA CUANDO V, ES CERO, YA QUE A TRAV'S DELCOMPARADOR, BLOQUEAR$ LA PUERTA DEL RELO). LA COMBINACIÓN DELCONTADOR SE CORRESPONDER$ CON EL EQUIVALENTE DIGITAL A LA TENSIÓNANALÓGICA DE ENTRADA.


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#O$V"RT%DOR D" 'RO.%'#%O$"S S/#"S%V'S+ ESTE TIPO DE CONVERTIDOR ES EL M$S UTILI#ADO CUANDO SE REQUIEREN VELOCIDADES DE CONVERSIÓNENTRE MEDIAS Y ALTAS DEL ORDEN DE ALGUNOS MICROSEGUNDOS A D'CIMASDE MICROSEGUNDOS.

EL DIAGRAMA DE BLOQUE PUEDE VERSE EN LA ANTERIOR FIGURA, ES MUYPARECIDO AL CONVERTIDOR ANTERIOR, EN EL QUE SE @A CAMBIADO ELCONTADOR Y EL CIRCUITO DE CONTROL, POR UN SISTEMA DE CONTEO POR APRO*IMACIONES SUCESIVAS, QUE B$SICAMENTE, EST$ FORMADO POR UNREGISTRO DE DESPLA#AMIENTO DE N BITS CONTROLADOS POR UN CIRCUITODIGITAL. ESTOS CIRCUITOS SUELEN SUMINISTRARLOS LOS FABRICANTES DECIRCUITOS INTEGRADOS.


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EL PROCESO DE CONVERSIÓN PARA ESTE TIPO DE CONVERTIDORES SE BASA ENLA REALI#ACIÓN DE COMPARACIONES SUCESIVAS DE MANERA DESCENDENTE OASCENDENTE, @ASTA QUE SE ENCUENTRA LA COMBINACIÓN QUE IGUALA LATENSIÓN ENTREGADA POR EL D


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CONVERTIDOR POR CUENTA CONTINUA.

TENIENDO COMO BASE EL CONVERTIDOR POR CONTADOR, BASTARA CONEVITAR PONER A CERO EL CONTADOR PARA CADA CONVERSIÓN DE ANALÓGICO

A DIGITAL, PARA ACELERAR EL TIEMPO EN DIC@A CONVERSIÓN. BASTAR(A CONAÑADIR UN CONTADOR REVERSIBLE Y UN CIRCUITO LÓGICO QUE DETECTE ELSENTIDO DE CONTEO: DESCENDENTE O ASCENDENTE +UP/DOWN . EL CONTADOR EN ESTE CASO COMEN#AR(A LA CUENTA DESDE LA JLTIMA CONVERSIÓN. A ESTETIPO DE CONVERTIDOR SE LE DENOMINA POR CUENTA CONTINUA Y SUDIAGRAMA DE BLOQUE SE REPRESENTA EN EL ESQUEMA SIGUIENTE.

ESTE CONVERTIDOR, CUANDO LA SEÑAL ANALÓGICA PROCEDENTE DE LA

ENTRADA Vi ES SUPERIOR A LA GENERADA POR EL D('* COMO CONSECUENCIADE LA COMBINACIÓN BINARIA A SU ENTRADA, @ACE QUE EL COMPARADOR @ABILITE LA CUENTA ASCENDENTE, @ASTA QUE AMBAS ENTRADAS EN ELCOMPARADOR VUELVAN A IGUALARSE Y PARA EL CONTEO. POR EL CONTRARIO *SI Vi ES INFERIOR A LA TENSIÓN SUMINISTRADA POR EL D


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CONVERTIDOR DIGITAL-ANALOGO

A LA SALIDA DEL CONTROLADOR DIGITAL, LA SEÑAL DIGITAL SE DEBECONVERTIR EN UNA SEÑAL ANALOGICA.

MEDIANTE EL PROCESO CONOCIDO COMO CONVERSION DIGITAL ANALOGICA.UN CONVERTIDOR D


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LA TENSIÓN DE SALIDA DEL AMPLIFICADOR OPERACIONAL SER$:

V0 -R L$V45 (1R 0$S0 1R 1$S1 $$ 1R 7-1$S7-1"

DONDE S i TOMAR$ EL VALOR 0 1, SEGJN SEA EL VALOR DEL BITCORRESPONDIENTE.

LA E*ACTITUD DE ESTE SENCILLO CONVERTIDOR, DEPENDE DE LA PRECISIÓNDE LAS RESISTENCIAS, SIENDO ADEM$S NECESARIO QUE EL VALOR DE DIC@AS

RESISTENCIAS NO VAR(E CON LA TEMPERATURA. UN GRAVE PROBLEMA DE ESTECONVERTIDOR ES TENER QUE DISPONER DE UN GRAN NJMERO DERESISTENCIAS DE MUC@A PRECISIÓN, QUE ADEM$S DEBER$N TENER VALORESBASTANTES ELEVADOS.

CONVERTIDOR DA EN ESCALERA (RESISTENCIAS R-2R"$

ESTE TIPO DE CONVERTIDO PUEDE VERSE EN EL SIGUIENTE ESQUEMA.RESUELVE EL PROBLEMA PLANTEADO CON EL CONVERTIDOR ANTERIOR, EN LAQUE LA RED DE RESISTENCIAS EST$ CONSTITUIDA E*CLUSIVAMENTE POR DOSVALORES DE RESISTENCIAS, NORMALMENTE R Y 2R .


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ESTE TIPO DE CONFIGURACIÓN DE RESISTENCIAS POSEE VARIAS PROPIEDADESINTERESANTES.

UNA DE ELLAS CONSISTE EN QUE LA RESISTENCIA QUE SE APRECIA DESDE CADAUNO DE LOS NUDOS 1, 2, ..., >-1, MIRANDO @ACIA CUALQUIER DIRECCIÓN ESSIEMPRE LA MISMA E IGUAL A 2R. +SEGJN EL TEOREMA DE T'EVENIN. ESTO DA

LUGAR A QUE CUALQUIER CORRIENTE PROCEDENTE DE LOS CONMUTADORES,EN ESTADO 1, A TRAV'S DE UNA RESISTENCIA 2R, DE DIVIDE EN LOS NUDOS ENDOS CORRIENTES IGUALES DE VALOR MITAD A LA CORRIENTE ENTRANTE. CADAVE# QUE ESTA CORRIENTE, EN PROGRESIÓN @ACIA EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL, ATRAVIESE UN NUEVO NUDO, SE VOLVER$ A DIVIDIR, ENTRANDOAL AMPLIFICADOR OPERACIONAL CON UN VALOR INVERSAMENTEPROPORCIONAL A UNA POTENCIA DE 2, DEPENDIENDO DEL NJMERO DE NUDOS.

LA TENSIÓN DE SALIDA SER$:

V0 -VR 27 (S7-1$27-1 S7-2$27-2 $$ S1$21 S0$20"

SIENDO S i DE VALOR 0 1, SEGJN LOS VALORES DE LOS BITS DE ENTRADA.

OTRA VENTA)A DE ESTE CONVERTIDOR ES QUE, LA IMPEDANCIA DESDE ELOPERACIONAL ES CONSTANTE +3R, CUALQUIERA QUE SEA EL CONTENIDO DELAS ENTRADAS, CON LO QUE SE CONSIGUE UN ME)OR FUNCIONAMIENTO DELAMPLIFICADOR OPERACIONAL AL CONTROLAR M$S F$CILMENTE LOS OFFSET,COLOCANDO EN LA ENTRADA NO INVERSORA UNA RESISTENCIA DE VALOR 3R.

POR JLTIMO RESULTA M$S SENCILLO CONSEGUIR RESISTENCIAS PRECISAS YESTABLES DE UN PAR DE VALORES O TRES, QUE UN ALTO NJMERO DE VALORES.

1$+$- RETENEDORES

RECONSTRUCCION DE LA SE#AL DE ENTRADA MEDIANTE CIRCUITOS DERETENCION

LA OPERACIÓN DE MUESTREO PRODUCE UNA SEÑAL DE PULSOS MODULADOS ENAMPLITUD. LA FUNCION DE LA OPERACIÓN DE RETENCION ES RECONSTRUIR LASEÑAL ANALOGICA QUE @A SIDO TRANSMITIDA COMO UN TREN DE PULSOSMUESTREADOS. ESTO ES, EL PROPOSITO DE LA OPERACIÓN DE RETENCION ES

RELLENAR LOS ESPACIOS ENTRE LOS PERIODOS DE MUESTREO Y ASIRECONSTRUIR EN FORMA APRO*IMADA LA SEÑAL ANALOGICA DE ENTRADAORIGINAL.

EL CIRCUITO DE RETENCION SE DISEÑA PARA E*TARPOLAR LA SEÑAL DE SALIDAENTRE PUNTOS SUCESIVOS DE ACUERDO CON ALGUNA MANERAPREESTABLECIDA.

1$+$1$- RETENEDOR DE ORDEN CERO (O'"$

EN UN MUESTREADOR CONVENCIONAL, UN INTERRUPTOR SE CIERRA CADA

PERIODO DE MUESTREO T PARA ADMITIR UNA SEÑAL DE ENTRADA. EN LAPR$CTICA, LA DURACIÓN DEL MUESTREO ES MUY CORTA EN COMPARACIÓN CONLA CONSTANTE DE TIEMPO M$S SIGNIFICATIVA DE LA PLANTA. UN


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MUESTREADOR CONVIERTE UNA SEÑAL EN TIEMPO CONTINUO EN UN TREN DEPULSOS QUE SE PRESENTA EN LOS INSTANTES DE MUESTREO t 0 , T , 2T , . . ., 7>7=T ES EL PERIODO DE MUESTREO. +OBSERVE QUE ENTRE DOS INSTANTES DEMUESTREO CONSECUTIVOS EL MUESTREADOS NO TRANSFIERE INFORMACIÓN.DOS SEÑALES CUYOS RESPECTIVOS VALORES EN LOS INSTANTES DE MUESTREOSON IGUALES DAR$N COMO RESULTADO LA MISMA SEÑAL MUESTREADA.

LA RETENCIÓN DE DATOS ES UN PROCESO DE GENERACIÓN DE UNA SEÑALEN TIEMPO CONTINUO h+t A PARTIR DE UNA SECUENCIA EN TIEMPO DISCRETO

x+kT . EL RETENEDOR DE DATOS M$S SENCILLO ES EL RETENEDOR DE ORDENCERO.

EN LA FIG. SE OBSERVA UN MUESTREADOR Y RETENEDOR DE ORDEN CERO.LA SEÑAL DE ENTRADA x+t SE MUESTREA EN INSTANTES DISCRETOS Y LA SEÑALMUESTREADA SE PASA A TRAV'S DEL RETENEDOR DE ORDEN CERO. EL CIRCUITORETENEDOR DE ORDEN CERO SUAVI#A LA SEÑAL MUESTREADA PARA PRODUCIR LA SEÑAL h+t , LA CUAL ES CONSTANTE DESDE EL JLTIMO VALOR MUESTREADO

@ASTA QUE SE PUEDE DISPONER DE LA SIGUIENTE MUESTRA.

LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Gh DEL RETENEDOR DE ORDEN CERO EST$DADA POR:

s

G

Ts

h

−−=

1

&8$ MUESTREADOR % RETENEDOR DE ORDEN CERO

1$+$2$- RETENEDOR DE PRIMER ORDEN$

ESTE RETENEDOR MANTIENE EL VALOR DE LA MUESTRA ANTERIOR, ASICOMO LA DE LA PRESENTE, Y MEDIANTE E*TRAPOLACION PREDICE EL VALOR DE LA MUESTRA SIGUIENTE. ESTO SE LOGRA MEDIANTE LA GENERACION DE LAPENDIENTE DE SALIDA IGUAL A LA PENDIENTE DE UN SEGMENTO DE LINEA QUECONECTA LA MUESTRA ACTUAL CON LA ANTERIOR Y PROYECTANDO ESTADESDE EL VALOR DE LA MUESTRA ACTUAL, COMO SE PUEDE APRECIAR EN LA

FIGURA SIGUENTE:


27/65

&IGURA: S;8


28/65

PERIODO DE MUESTREO IGUAL A T Y LA MAGNITUD DE CADA IMPULSO IGUAL ALVALOR MUESTREADO DE LA SEÑAL EN TIEMPO CONTINUO EN EL INSTANTE DEMUESTREO CORRESPONDIENTE. SE OBSERVA EN LA FIGURA UN DIAGRAMA DEMUESTREADOR MEDIANTE IMPULSOS, DONDE SE SUPONE QUE x+t 0

PARA X , PUESTO QUE, EN FORMA MATEMATICA, UN IMPULSO ESTADEFINIDO COMO UNA FUNCION QUE TIENE UNA AMPLIYUD INFINITA CONDURACION CERO, ESTO SE REPRESENTA GRAFICAMENTE MEDIANTE UNAFLEC@A CON UNA AMPLITUD QUE REPRESENTA LA MAGNITUD DEL IMPULSO.

SI LA SEÑAL DE TIEMPO CONTINUO x+t SE MUESTREA MEDIANTE IMPULSOSEN FORMA PERIÓDICA, LA SEÑAL MUESTREADA SE PUEDE REPRESENTAR DEMANERA MATEM$TICA MEDIANTE

∑∞

=

−=

,+,+,+Yk

kT t t xt x δ

EN EL MUESTREADOR MEDIANTE IMPULSOS SE PUEDE PENSAR QUEINTERRUPTOR SE CIERRA INSTANT$NEAMENTE CADA PERIODO DE MUESTREO T Y GENERA IMPULSOS x+kT δ+t kT . DIC@O PROCESO DE MUESTREO SE CONOCECOMO MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS. EL MUESTREADOR MEDIANTEIMPULSOS SE PRESENTA POR CONVENIENCIA MATEM$TICAW 'STE ES UNMUESTREADOR FICTICIO QUE NO E*ISTE EN EL MUNDO REAL.

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA SEÑAL MUESTREADA MEDIANTEIMPULSOS x+t @A MOSTRADO SER LA MISMA QUE LA TRANSFORMADA ! DE LASEÑAL x+t SI Ts SE DEFINE COMO " , O Ts 0 "

FIG. MUESTREADOR MEDIANTE IMPULSOS

∑∞

=

−=

,+,+,+Yk

kT t t xt x δ

O SEA

+ 0 +δ+t# % x+T δ+t T %&&&% x+kT δ+t kT %&&&


29/65

E/UIVALENCIA DEL RETENEDOR DE ORDEN CERO

EN EL ESQUEMA DEL SISTEMA DIGITAL DE CONTROL DADO EN LA FIG. ,VEMOS QUE EL SISTEMA DIGITAL DE CONTROL CONTIENE AMBOS PARTESDISCRETAS Y. AL DISEÑAR UN SISTEMA DIGITAL DE CONTROL, NECESITAMOSENCONTRAR EL EQUIVALENTE DISCRETO DE LA PARTE CONTINUA A FIN DE QUE

SÓLO NECESITAMOS OCUPARNOS DE FUNCIONES DISCRETAS.

PARA ESTA T'CNICA, CONSIDERAREMOS LA SIGUIENTE PARTE DEL SISTEMADIGITAL DE CONTROL Y REACOMODAREMOS COMO SIGUE.

REACOMODO DE LA PARTE CONTINUA

ELRELOJ

CONECTADO A LOSCONVERTIDORES

D


30/65

CONSTANTE 6[!+ SOBRE EL TIEMPO DE MUESTREO ES LLAMADO RETENEDOR DE ORDEN CERO.

E; 8==>=78 7= 87=> ?=8 !5;9?! ;! =\!; 6[!+ 6= ! ! 8!] 7= @2+ A9>6! 6+ 5!= ! 8!] 7=@+ 5!8! 5876?98 ;! !;97! ?>9>6! +.

SE#ALES DIGITALES % CONTINUAS


31/65

A[8! ;=8= ! 79"6!8 =; =6=^9?!, ?>97=8!>7 @Z[ +Z => ;6!8 7= ;! 58?9>?>9>6!.

DIAGRAMA DE BLO/UES CON UN RETENEDOR DE ORDEN CERO

COLOCANDO A @Z[ +Z, PODEMOS DISEÑAR SISTEMAS DIGITALES DECONTROL OCUP$NDOSE SÓLO FUNCIONES DISCRETAS.

NOTA: @AY CIERTOS CASOS DONDE LA RESPUESTA DISCRETA NO @ACE )UEGO

CON LA RESPUESTA CONTINUA DEBIDO A UN CIRCUITO DE AGARREIMPLEMENTADO EN LOS SISTEMAS DIGITALES DE CONTROL.


32/65

UNIDAD II

ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO (BASADO EN ELPLANO .

2$1$-TIPOS DE MUESTREO

TIPOS DE OPERACIONES DE MUESTREO

1$- MUESTREO PERIODICO:

ES EL QUE TINE INSTANTES DE MUESTREO ESPACIADOS DE MANERA UNIFORMEO /0 T + 0 , 1, 2, 3, 4 ES EL MAS CONVENCIONAL.

2$-MUESTREO DE ORDEN MULTIPLE:

ES EL PATRON DE LOS / SE REPITE PERIODICAMENTE, ESTO ES /8-/ ES

CONTANTE PARA TODA /.3$-MUESTREO DE TAA MULTIPLE:

SE EMPLEA EN LOS SISTEMAS DE CONTROL EN LA#OS MULTIPLES QUE TIENENCONSTANTES DE TIEMPO DIFERENTES. ES RECOMENDABLE TENER DIFERENTESPERIODOS DE MUESTREOS EN DIFERENTES TRAYECTORIAS DEREALIMENTACION.

2$2$- RECONSTRUCCION DE SE#ALES ORIGINALES A PARTIR DE SE#ALESMUESTREADAS$

TEOREMA DE MUESTREO: SI LA FRECUENCIA DE MUESTREO ESSUFICIENTEMENTE ALTA, COMPARADA CON LA COMPONENTE DE MAS ALTAFRECUENCIA QUE SE INCLUYE EN LA SEÑAL EN TIEMPO CONTINUO, LASCARACTERISTICAS DE AMPLITUD DE LA SEÑAL EN TIEMPO CONTINUO SEPUEDEN PRESERVAR EN LA ENVOLVENTE DE LA SEÑAL MUESTREADA.

PARA RECONSTRUIR LA SEÑAL ORIGINAL A PARTIR DE UNA SEÑAL MUESTREADA,E*ISTE UNA FRECUENCIA MINIMA QUE LA OPERACIÓN DE MUESTREO DEBESATISFACER. DIC@A FRECUENCIA MINIMA SE ESPECIFICA EN EL TEOREMA DEMUESTREO.

COMO SE VIO ANTERIORMENTE, EN EL TEMA DE MUESTREO MEDIANTE IMPULSO


33/65

2$3$- &UNCION DE TRANS&ERENCIA$

2$3$1$- DE IMPULSO$

LA FUNCION DE TRANFERENCIA DEL RETENEDOR DE ORDEN CERO, INVOLUCRAAL MUESTREADOR DE IMPULSO UNITARIO.

+/T [+

+

T

NOS INTERESA LA RELACION QUE E*ISTE ENTRE LA SEÑAL [+ CON +.

CONSIDEREMOS AL MUESTREADOR Y RETENEDOR DE ORDEN CERO COMO SEVIO EN LAS GRAFICAS Y SUPONGASE QUE LA SEÑAL + ES PARA X ENTONCES LA SALIDA [+ ESTA RELACIONADA COMO SIGUE:

SABEMOS QUE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCION IMPULSO ES

A" ELEMENTOS DE CASCADA

SON SEÑALES QUE SE OBSERVAN EN UN SISTEMA DE CONTROL MUESTREADO.

CONSIDERE EL SISTEMA QUE SE MUESTRA

+

x+t 6+ 6+ + +

δΤ δΤ δΤ

A PARTIR DEL DIAGRAMA SE OBTIENE

U+ 0G+ *+ Y+ 0 @+ U+

AL TOMAR LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ASTERISCO DE CADA UNA DE LASFUNCIONES SE OBTINE:

U+ 0G+ *+

Y + 0 @ + U+

RETENEDORDE ORDEN

CERO

G+

@+


34/65

ENTONCES:

Y + 0 @ + G+ *+H

ACOMODANDO LA FUNCION QUEDA:

Y + 0 G+ @ + *+

EN TERMINOS DE LA NOTACION DE LA TRANS&ORMADA SE TIENE:

Y +Z 0 G+Z @+Z *+#

,+,+,+

,+ " ' " G

" (

" ) =

B" SISTEMAS DE LAO CERRADO

EN UN SISTEMA DE LA#O CERRADO LA E*ISTENCIA O NO DE UN MUESTREADORDE SALIDA EN EL LA#O, @ACE QUE EL COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA SEADIFERENTE

OBSERVE QUE EN EL SISTEMA, EL ERROR ACTUANTE ESTA MUESTREADO.

2$3$2$-SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL$

&UNCI)N DE TRANS&ERENCIA PULSO EN LAO CERRADO DE UN SISTEMA DECONTROL DIGITAL

EN LA FIG. A SE MUESTRA UN DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA DECONTROL DIGITAL. AQU( EL MUESTREADOR, EL CONVERTIDOR A


35/65

FIGURA A DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITALW B

DIAGRAMA DE BLOQUES EQUIVALENTE QUE MUESTRA LAS FUNCIONES DETRANSFERENCIA DE LOS BLOQUES

EN EL PRESENTE SISTEMA LA SEÑAL DE SALID A c+t SE ALIMENTA DE REGRESOPARA SER COMPARADA CON LA SEÑAL DE ENTRADA +t . LA SEÑAL DE ERROR +t 0 +t c+t SE MUESTREA, Y LA SEÑAL ANALÓGICA SE CONVIERTE EN DIGITAL ATRAV'S DE UN DISPOSITIVO A


36/65

EMPLEAMOS LA NOTACION G1G2+ PARA DENOTAR UNA SOLA FUNCION, QUE ESG1+ G2+, DESPUES DE EVALUAR EL PRODUCTO, EN CONSECUENCIA :

# _ G1+ G2+ ` 0 # _ G1G2+ 0 G1G2+Z a G1+Z G2+Z `

&ORMAS BASICAS DE DATOS MUESTREADOS (SISTEMAS DE DATOS

MUESTREADOS % SUS TRANS&ORMADAS "$

CON EL USO DE LAS FORMAS BASICAS, PODEMOS ENCONTRAR LATRANSFORMADA # DE LOS SISTEMAS DE CONTROL REALIMENTADOS. SE @AMOSTRADO QUE CUALQUIER SISTEMA G+, CON ENTRADA MUESTREADA YSALIDA MUESTREADA, COMO LOS QUE SE VIERON ANTERIORMENTE, SE PUEDENREPRESENTAR COMO UNA FUNCION DE TRANSFERENCIA DE DATOSMUESTREADOS G+Z, ENTONCES SE BUSCA EFECTUAR MANIPULACIONES DEDIAGRAMAS DE BLOQUES QUE DE POR RESULTADO SUBSITEMAS, ASI COMOTODO EL SISTEMA CON REALIMENTACION QUE TENGA ENTRADASMUESTREADAS Y SALIDAS MUESTREADAS. ENTONCES PODEMOS @ACER LA

TRANSFORMACION A FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE DATOS MUESTREADOS.

E)EMPLO: ENCUENTRE LA TRANSFORMADA # DEL SIGUIENTE SISTEMA

C+

R+

R+

R+

R+

R+

R+

R+

G+

G1+

G1+

C+ C+

C+ C+

G1+ R+ G1+

R+ G1+H

G2+ C+ C+

G2+ C+

S

R+Z C+ZG+Z

R+Z C+ZG2 G

1+Z

R+Z C+ZG2+ZG

1+Z

R+Z C+ZG2+Z

G2+

R+R+Z

R+

"

"

@"


37/65

A

UNA OPERACIÓN QUE SE PUEDE @ACER ES PONER UN MUESTREADOR bFANTASMAb A LA SALIDA DE CUALQUIER SUBSISTEMA QUE TENGA UNAENTRADA MUESTREADA, SIEMPRE QUE LA NATURALE#A DE LA SEÑAL ENVIADAA CUALQUIER OTRO SUBSISTEMA NO CAMBIE.

B

COMO PODEMOS VER, COLOCAMOS UN MUESTREADOR FANTASMA S4, LA)USTIFICACION PARA ESTO, DESDE LUEGO, ES QUE LA SALIDA DEL SISTEMA DEDATOS MUESTREADOS SOLO SE PUEDE ENCONTRAR EN LOS INSTANTES DE

MUESTREO DE TODOS MODOS, Y LA SEÑAL NO ES ENTRADA A NINGUN OTROBLOQUE.

OTRA OPERACIÓN QUE SE PUEDE EFECTUAR, ES SUMAR LOS MUETREADORESFICTICIOS S2 Y S3 A LA ENTRADA A UN PUNTO SUMA, CUYA SALIDA ESMUESTREADA. LA )USTIFICACION PARA ESTA OPERACIÓN ES QUE LA SUMAMUESTREADA ES EQUIVALENTE A LA SUMA DE ENTRADAS MUESTREADAS,SIEMPRE QUE TODOS LOS MUESTREADORES ESTEN SINCRONI#ADOS

R+

-G+ C+

@+

R+

-G+ C+

@+

R+ C+

S4

S3

S2 S1

R+

-

C+R+ C+

S4

S3

S2 G+S1

G+@+

S1


38/65

C

A CONTINUACION MUEVA EL MUESTREADOR S1 Y G+ A LA DEREC@A DEL PUNTODE LA UNION. EL MOTIVO PARA ESTE MOVIMIENTO ES OBTENER UNMUESTREADOR A LA ENTRADA DE G+ @+ PARA COMPARARSE CON B DELMISMO MODO, SE COMPARA EL G+ CON EL MUESTREADOR S1 A LA ENTRADA YEL MUESTREADOR S4 A LA SALIDA CON LA FIGURA A. EL SISTEMA EN LA#OCERRADO TIENE A@ORA UNA ENTRADA MUESTREADA Y UNA SALIDAMUESTREADA.

LA G+ @+ SON LOS MUESTREADORES S1 Y S3 SE CONVIERTE EN G@+Z Y G+CON LOS MUESTREADORES S1 Y S4 , SE CONVIERTE EN G+Z.

D

TAMBIEN CONVIRTIENDO R+ EN R+Z Y C+ EN C+Z, TENEMOS A@ORA EL

SISTEMA REPRESENTADO TOTALMENTE EN EL DOMINIO DE #PODEMOS APLICAR LOS MODELOS BASICOS DE S PARA # NOS QUEDA:

E F

CON&IGURACIONES TPICAS DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPODISCRETO EN LAO CERRADO

R+Z

-

C+Z

G+Z

G@+Z

R+Z C+ZG+Z 1 .1G@+Z R+Z C+Z

G+Z .1G@+Z


39/65

,+1

,+,+,+

" G'

" R " G " ,

+=

,+,+1

,+,+,+

" ' " G

" R " G " ,

+=

,+,+,+1

,+,+,+,+

21

21

" ' " G " G

" R " G " G " ,

+=

,+1

,+,+,+

21

12

" ' GG

" RG " G " ,

+=

B" CONTROLADOR PID DIGITAL

EL ESQUEMA DE CONTROL PID ANALÓGICO @A SIDO USADO DE MANERAE*ITOSA EN MUC@OS SISTEMAS DE CONTROL INDUSTRIAL POR M$S DE MEDIOSIGLO. EL PRINCIPIO B$SICO DEL ESQUEMA DE CONTROL PID ES QUE ACTJASOBRE LA VARIABLE A SER MANIPULADA A TRAV'S DE UNA APROPIADACOMBINACIÓN DE LAS TRES ACCIONES DE CONTROL: ACCIÓN DE CONTROLPROPORCIONAL +DONDE LA ACCIÓN DE CONTROL ES PROPORCIONAL A LA SEÑALDE ERROR ACTUANTE, LA CUAL ES LA DIFERENCIA ENTRE LA ENTRADA Y LASEÑAL DE REALIMENTACIÓNW LA ACCIÓN DE CONTROL INTEGRAL +DONDE LAACCIÓN DE CONTROL ES PROPORCIONAL A LA INTEGRAL DE LA SEÑAL DE ERROR ACTUANTE Y LA ACCIÓN DE CONTROL DERIVATIVA +DONDE LA ACCIÓN DE

CONTROL ES PROPORCIONAL A LA DERIVADA DE LA SEÑAL DE ERROR ACTUANTE.

G+s# R+s# ,+s#

'+s#

.%

,+"#

G+s# R+s# ,+s#

'+s#

.%

,+"#

G0+s #

,+s#

'+s#

R+s#

.%

,+"#G

1+s#

G0+s#

,+s#

'+s#

R+s#

.%

,+"#G

1+s#


40/65

EN SITUACIONES DONDE MUC@AS PLANTAS SE CONTROLAN DIRECTAMENTEMEDIANTE UNA SOLA COMPUTADORA DIGITAL +COMO UN ESQUEMA DECONTROL EN EL QUE SE CONTROLAN DESDE UNOS CUANTOS LA#OS @ASTACIENTOS DE 'STOS MEDIANTE UN SOLO CONTROLADOR DIGITAL, LA MAYOR(ADE LOS LA#OS DE CONTROL SE PUEDEN MANIPULAR MEDIANTE ESQUEMAS DECONTROL PID.

LA ACCIÓN DE CONTROL PID EN CONTROLADORES ANALÓGICOS EST$ DADA POR

++= ∫

t

2

i 2t

t 2T 2t t

T t 3 t m

,+,+

1,+,+

DONDE +t ES LA ENTRADA AL CONTROLADOR +SEÑAL DE ERROR ACTUANTE,m+t ES LA SALIDA DEL CONTROLADOR +SEÑAL MANIPULADA, 3 ES LAGANANCIA PROPORCIONAL, T i ES EL TIEMPO INTEGRAL +O TIEMPO DE REA)USTEY T 2 ES EL TIEMPO DERIVATIVO +O TIEMPO DE ADELANTO.

LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PULSO PARA EL CONTROLADOR PID DIGITALEST$ DADA POR:

,1+1,+

,+,+

1

1

1 −

− −+

−+== " 3

"

3 3

" -

" M " G

D P D

DONDE

NÓTESE QUE LA GANANCIA PROPORCIONAL 3 p PARA EL CONTROLADOR PIDDIGITAL ES M$S PEQUEÑA QUE LA GANANCIA 3 PARA EL CONTROLADOR PIDANALÓGICO POR UN FACTOR DE 3 4


41/65

&IGURA DIAGRAMA DE BLO/UES DE LA REALIACI)N DEL ES/UEMA DECONTROL PID EN LA &ORMA DE VELOCIDAD$

LAS LEYES DE CONTROL LINEALES EN LA FORMA DE ACCIONES DE CONTROLPID, SON B$SICAS EN CONTROLES DIGITALES DEBIDO A QUE CON FRECUENCIADAN SOLUCIONES SATISFACTORIAS A MUC@OS PROBLEMAS PR$CTICOS DECONTROL, EN PARTICULAR A PROBLEMAS EN CONTROL DE PROCESOS. OBSERVEQUE, EN LOS CONTROLADORES DIGITALES, LAS LEYES DE CONTROL SE PUEDENIMPLEMENTAR MEDIANTE SOFTARE, Y POR LO TANTO LAS RESTRICCIONES DE@ARDARE DE LOS CONTROLADORES PID SE PUEDEN IGNORAR POR COMPLETO.

2$.$-CONTROLADORES

DISEÑO DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO

EL DISEÑO EN SISTEMAS DE CONTROL EN TD, ES SIMILAR EN PRINCIPIO ALDISEÑO DE SISTEMAS EN TC, EL OB)ETIVO DEL DISEÑO COMO SE VIOANTERIORMENTE ES DETERMINAR EL CONTROLADOR PARA QUE EL SISTEMATENGA UN DESEMPEÑO SEGJN LAS ESPECIFICACIONES, DE @EC@O EN LAMAYORIA DE LAS SITUACIONES EL PROCESO CONTROLADO ES EL MISMOE*CEPTO EN SISTEMAS EN TD EL CONTROLADOR ESTA DISEÑADO PARAPROCESAR DATOS DIGITALES O MUESTREADOS.

E*ISTEN 2 TIPOS DE DISEÑO DE UN SISTEMA DE CONTROL CONCONTROLADORES DIGITALES:

1.- EN CASCADA

2.-POR REALIMENTACION DEL ESTADO DIGITAL.

CONTROL DIGITAL EN CASCADA.

-

D+

T

8+

ROC

=+ =+ +

G5+

D+#

C>8; D99!; P8?=C>8;!7

R=9> 7= ?>=8=>?9! 5!8!6= > =! 9>=!";=


42/65

CONTROL DIGITAL CON REALIMENTACION DE ESTADO.

@OY EN DIA EL 1c DE LOS CONTROLADORES QUE FUNCIONAN EN LAINDUSTRIA SONDIGITALES, EL SIGUIENTE ESQUEMA REPRESENTA UN SISTEMADE CONTROL DIGITAL TAMBIEN LLAMADO POR COMPUTADOR. +CONMICROCONTROLADOR Y MICROPROCESADOR.

VENTA)AS DEL CONTROL POR COMPUTADOR RESPECTO DEL CONTROLANALÓGICO:

• DETERMINE COMUNICACIÓN EN RED +CONTROL CENTRALI#ADOINCORPORA OTRAS FUNCIONES, COMO:

-MONITORI#ACIÓN-ALMACENAMIENTO DE VARIABLES +GENERACIONES DE INFORMES-INCORPORACIÓN DE ALARMAS

-FACIL SUPERVISION• PERMITE CONTROLES MAS AVAN#ADOS QUE REQUIERE DE CALCULOS

MAS COMPLE)OS.

-CONTROL BASADO EN LÓGICA DIFUSA-CONTROLES NO LINEALES

IMPLEMENTACION DIGITAL DEL CONTROLADOR PID

PARA PODER IMPLEMENTAR EN UN COMPUTADOR UN CONTROLADOR PID

CONTINUO ES NECESARIO OBTENER UNA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS DISCRETAA PARTIR DE LA EC. DIFERENCIAL CONTINUA. SE LLAMA DISCRETI#ACION A LA

C>8;D99!;

+/T

8+/T=+/T U+/T 6+

C>8; D99!;

S=>8

R==>=78

+Dd>6

+

+A8;!78

ROCD+#

T

8+/

P8?=C>8;!7

6+/+/


43/65

ACCION DE OBTENER UN ECUACIÓN EN DIFERENCIAS QUE APRO*IME ELCOMPORTAMIENTO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.

LA ECUACIÓN DIF. DE UN PID CONTINUO

U+0 5=+ =+τ7 τ /5 T7.

PASANDO ESTA ECUACION A LA TRANSFORMADA DE LAPLACE NOS QUEDA

CPID+ 0 P + 1 + T7.

LA APRO*IMACION DISCRETA CONSISTE EN APRO*IMAR LA ECUACIONDIFERENCIAL, OBTENIENDO 6+T A PARTIR DE LOS VALORES DE =+ EN LOSPERIODOS DE MUESTREO.

LA APRO*IMACION DE LA DERIVADA ES:

MIENTRAS QUE LA INTEGRAL SE PUEDE APRO*IMAR COMO:

A 5!898 PID ?>9>6

U+0 5 =+ = +τ 7 +τ 5.T7

5Ti

∫

D=+7

7 =+T7 ≈ = +T = + +-1 TT

L! 7=89!7! 7=; =8886=8=!7

L! =\!; 6=8=!7

M6=8! !>=898

P=897 7= 6=8=

-1

∫

= + 7≈ Σ

0

= + T .T

5Ti ∫

1 . Ti.

O5=8!78 9!9>!89

S0 )e

)2π0e

7=+7


44/65

DE ESTA FORMA SE TENDRIA:

U+T 0 5 =+T =+T.T 5T7 =+>T = + + 1 T T

=+ 7 =+T.T

LA COMPONENTE PROPORCIONAL 5 SE IMPLEMENTA EN FORMA DIGITAL ENUNA GANANCIA CONSTANTE 5, YA QUE UNA COMPUTADORA O PROCESADOR,

TIENE UNA LONGITUD, DE PALABRA FINITA LA CONSTANTE 5 NO PUEDEREALI#ARSE CON RESOLUCION INFINITA

E=5;: K "92 ?"9>!?9>=

5Ti

-1

Σ0

∫

≈-1

Σ0

7 = +T7

≈ = +T =+ 1 T T


45/65

UNIDAD III

DISE#O DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO

3$1 CONCEPTOS BASICOS$

EL DISEÑO EN SISTEMAS DE CONTROL EN TD, ES SIMILAR EN PRINCIPIO ALDISEÑO DE SISTEMAS EN TC. EL OB)ETIVO DEL DISEÑO COMO SE VIOANTERIORMENTE ES DETERMINAR EL CONTROLADOR PARA QUE EL SISTEMATENGA UN DESEMPEÑO SEGJN LAS ESPECIFICACIONES. DE @EC@O EN LAMAYORIA DE LAS SITUACIONES EL PROCESO CONTROLADO ES EL MISMO,E*CEPTO EN SISTEMAS EN TD, EL CONTROLADOR ESTA DISEÑADO PARAPROCESAR DATOS DIGITALES O MUESTREADOS.

3$2 CORRESPONDENCIA ENTRE PLANO “S! % “!

LAS TRANSFERNCIAS BILINEALES NOS DAN LA CAPACIDAD DE APLICAR NUESTRAS TECNICAS DE ANALISIS Y DISEÑO DEL PLANO %S& AL PLANO %#&.

LAS TRANSFORMACIONES BILINEALES DE LA FORMA

# 0

Y SU INVERSA

S 0

ESTAS SE @AN DEDUCIDO PARA OBTENER VARIABLES LINEALES EN S #.DIFERENTES VALORES DE !, ", ? 7 SE @AN DEDUCIDO PARA APLICACIONES ENPARTICULAR Y DAN VARIOS GRADOS DE PRECISION CUANDO SE COMPARAN LASPROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Y MUESTRADAS.

VERE MOS COMO LA TRANSFORMACION BILINEAL QUE RELACIONA LOS PUNTOSDEL E)E e +IMAG DEL PLANO S, CON LOS PUNTOS DEL CIRCULO UNITARIO DELPLANO #. ADEM$S, LA TRANSFERENCIA RELACIONA PUNTOS DEL SEMIPLANODEREC@O DEL PLANO %S& CON PUNTOS FUERA DEL CIRCULO UNITARIO DELPLANO #. POR ULTIMO, LA TRANSFORMACION RELACIONA PUNTOS DEL

SEMIPLANO I#QUIERDO DEL PLANO S CON PUNTOS DENTRO DEL CIRCULOUNITARIO DEL PLANO #.

S 0 # 0

! "? 7

-7Z "?Z - !

# 1# - 1

S 1S - 1


46/65

3$3 ANALISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE LAO CERRADO CON ELPLANO $

CRITERIOS PARA LA ESTABILIDAD.

1. PARA QUE EL SISTEMA SEA ESTABLE, LOS POLOS EN LA#O CERRADO O LAS

RAICES DE LA ECUACION CARACTERISTICA DEBEN PRESENTARSE EN ELPLANO # DENTRO DE CIRCULO UNITARIO. CUALQUIER POLO EN LA#OCERRADO E*TERIOR AL CIRCUITO UNITARIO @ACE INESTABLE ALSISTEMA.

2. SI UN POLO SIMPLE SE PRESENTA EN #01, ENTONCES EL SISTEMA SECONVIERTE EN CRITICAMENTE ESTABLE. TAMBIEN EL SISTEMA SECONVIERTE ESTABLE SI UN SOLO PAR DE POLOS COMPLE)OS CON)UGADOSSE PRESENTAN SOBRE EL CIRCULO UNITARIO EN EL PLANO #. CUALQUIER POLO MULTIPLE EN LA#O CERRADO SOBRE EL CIRCUITO UNITARIO ALSISTEMA INESTABLE.

3. LOS CEROS EN LA#O CERRADO NO AFECTAN LA ESTABILIDAD ABSOLUTA YPOR LO TANTO PUEDEN QUEDAR LOCALI#ADOS EN CUALQUIER PARTE DELPLANO #.

ENTONCES UN SISTEMA DE CONTROL DE LA#O EN TIEMPO DICRETO LINEAL EINVARIANTE CON EL TIEMPO DE UNA ENTRADA8; D99!;

G+0 1 =-

S 1 .S+S1

%Q6=8= =>?>8!8 !&G+Z


47/65

APLICAMOS LA FUNCION #

G+0 1 =- 1 .

S2+S1

G+0 1 =- 1 .

S2

+S1

A5;9?!8 =5. F8!??. 5!8?9!;=

0 1 =- 1 .S2

1 .S

1 .S1

-

1 .S2

1 .S

1 .S1

- 0S2 +S1

)699?!?9>

+1--+-1H 2 02 +1

1- 2 - 2 0 1 .

2+1 2+1

#G+S0 1 =- 1 .S2

1 .S

1 .S1

-

G+#0+1-#1

T#-1 .+1-#-1

1 .1-#-1

1 .1-=-T #-1

-

S!? !?8 ?f>

TZ-1 - 1 . 1 0 .+1- Z-12 1-#-1 1-=-T#-1 +1-#-12 +1-=-T #-1

TZ -1 +1- = -T # -1 - +1-# -1 +1- = -T #-1 +1-#-1 2

+1-#-1 2 +1-=-T#-1

G+#0+1-#1 TZ+1-=-T#-1 +1-#-1+ 1-=-T#-1 +1-#-12+1-#-1 2 +1-=-T#-1

TZ+1-=-T#-1 +1-#-1+ 1-=-T#-1 +1-#-12+1-#-1 2 +1-=-T#-1

G+#0

F!?89Z!7


48/65

FACTORI#O

N 6=7!

+ 1- = -T # -1 T Z -1 +1-#-1 H +1-# -1 2+1-#-1 +1-=-T#-1G+#0

M6;95;9? ]89? 58 ]89>

G+#0 T# -1 -1 # -1 -T# -2 = -T = -T # -1 - = -T #-2 +1-#-1 2

+1-#-1 +1-=-T#-1

D=!88;;! =; "9>!89

1-#-1

1-# -1

1-#-1

-#-1 #-2 1-2#-1 #-2

S!?! ? !?8 ?f> ! #-1 #-1

T# -1 -1 # -1 -T# -2 = -T = -T # -1 - = -T #-2 1 -2#-1 #2 +1-#-1 +1-=-T#-1G+#0

+T1 = -T -2 # -1 +-T = -T - = -T -# -2 0+1-#-1 +1-=-T#-1G+#0

G+#0 +T-1 = -T # -1 +-T = -T - = -T 1#-2+1-#-1 +1-=-T#-1

-21

S9 T 0 1 =>>?= =-T 0 .3K

#-10 1 #

G+#0 +T-1 = -T # -1 +-T = -T - = -T 1#-2+1-#-1 +1-=-T#-1

G+#0.3K # -1 .244#-2

+1-#-1 +1-.3K #-1

1.3K .244 # #2

+#-1 + 1 .3K# #

+#-1 +#-.3K# #

.3K#.244#2 G+#0

+#-1 +#- .3K #2

.3K# .244+#-1 +# .3K

0


49/65

DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA

LA ECUACION CARACTERISTICA PARA LOS POLOS ES

P+# 0 1 G+# 0

SUSTITUIMOS

1 0

SACAMOS COMUN DENOMINADOR

+#-1 +#-.3K .3K# - .244 0

#2 - .3K# # .3K .3K# .244 0

#2 # .322 0

ENCONTRAMOS LOS POLOS CON LA FORMULA GENERAL

#1 0 -" √ "2

4!? 2

#1 0 -+-1 √ +-1 2 4+1 +.322 2 +1

#1 0 1 √ 1 2. 0 2C:gFh?=;6;!8.Z95

#1 0 1 √ 1. 0 0 . .12

#1 0 1 - √ 1. 0 - 0 . - .12

S!?! =; !;8 !";6

#1 0 √+.2 +.122 0 √ .2 .34 0 √.24

#1 0 .

C+#R+#

G+#1 G+#

.3K# .244+#-1 +# .3K

1 .3K# .244 0 +#-1 +#-.3K .3K# .244 0

1 +#-1 +# .3K +#-1 +#- .3K

-

-

-

12 √ 1.

2

12

√ 1. 2


50/65

ANALISIS DE LA RESP$ TRANS$ % SU ESTADO PERMANENTE.

DEFINICIONES DE LAS ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA.

EN MUC@OS CASOS PRODUCTOS LAS CARACTERISTICAS DE DESEMPEÑO

DESEADAS DEL SISTEMA DE CONTROL SE ESPEDIFICAN EN TERMINOS DECANTIDADES EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.

LOS SISTEMAS QUE PUEDEN ALMACENAR ENERGIA NO RESPONDENINSTANTANEAMENTE Y PRESENTAN RESPUESTAS TRANSITORIAS CADA VE# QUEESTEN SU)ETOS A ENTRADAS O PERTURBACIONES.

CON FRECUENCIA, LAS CARACTERISTICAS DE DESEMPEÑO DE UN SISTEMA DECONTROL SE ESPECIFICAN EN TERMINOS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA PARAUNA ENTRADA ESCALON UNITARIO, PUESTO QUE ESTA ES FACIL DE GENERAR, SISE CONOCE LA RESPUESTA A UNA ENTRADA A ESCALON, ES MATEMATICAMENTE

POSIBLE CALCULAR LA RESPUESTA PARA CUALQUIER ENTRADA.

LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UN SISTEMA DE CONTROL PRACTICO MUESTRACON FRECUENCIA OSCILACIONES AMORTIGUADAS ANTES DE ALCAN#AR ELESTADO ESTACIONARIO AL ESPECIFICAR LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UNSISTEMA DE CONTROL PARA UNA ENTRADA ESCALON UNITARIO, ES COMUNESPECIFICAR LO SIGUIENTE.

1. TIEMPO DE RETARDO, TD2. TIEMPO DE SALIDA, TR 3. TIEMPO PICO, TP4. SOBRE ENLONGACION, MP. TIEMPO DE ASENTAMIENTO, TS

RECORDANDO

EL ANALISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE 1ER. Y 2DO. ORDEN

EN LOS SISTEMAS DE 2DO. ORDEN QUE ESTA MUC@O MAS ENFOCADO A LOS

CONTROLADORES, DEBEMOS RECORDAR LOS TERMINOS DE L COEFICIENTE DEAMORTIGUAMIENTO

>0 FRECUENCIA NATURAL 867

C+SE+S

C+R+

0 . > 2 .S2 2 L>S >2


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X ℒ X 1 SUBAMORTIGUADO Y AL RESPUESTA TRANSITORIA ES OSCILATORIA.

ℒ >

1 SOBREAMORTIGUADO

ℒ 0 1 AMORTIGUAMIENTO CRITICO

FIGURAS DE LA RESPUESTA TRANS. CON R+0

E)EMPLO i1 EN MATLAB: CONSIDERE EL SIGUIENTE SISTEMA DE CONTROL ENTIEMPO DISCRETO DEFINIDO POR LA SIG. FUNCION:

OBTENGA LA RESP. TRANSITORIA A PARTIR DE UNA ENTRADA ESCALÓNUNITARIO.

>6 0 .43 -.333H: ;!"=;+jk7=>0 -1.32 .HW ;!"=;+l?+k8 0 >= +1, 41W

0 4 . HW!9 +VW 0 :4W

C+ 0R+

>2 .

+S ℒ> )e7 +S ℒe> )e7

C+0 >2 .

S+S ℒ> )e7 +S ℒe> )e7

M6;95;9?!8 58 =; =?!;>

1S

C+

1

R=5. T8!>989T. C

C+T

1

T

R=5. T8!>989T. D

C+# 0R+#

.43# .333 .#2 1.32# .


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C 0 9;=8 +>6, 7=>, 8 WP; +, C jOkG897T9;= +jR=56=! ! 6> ! E>8!7! =?!;> U>9!89k

E)EMPLO 2. REPRESENTE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE LA RESPUESTA A UN

ESCALON UNITARIO DE UN SISTEMA CUYA F.T. ES:

" 0 .14 .2K1K .14HW! 0 1 -1.24 .K1KHW60 >= +1, 11 W 0 1 1.4 HW!9 +VW 0 :1W

0 9;=8 +", !, 6WP; +, , jk, 897, 9;= +jR=56=! ! 6> =?!;> 6>9!89k*;!"=; +ll, ;!"=; +j+k

F6>?9> 9;8 799!; P!8! ?8=!8 6> 8!Z ?>9>6P; +, j-j

0 F9;=8 +

1. TIEMPO DE RETARDO, 7 : ES EL TIEMPO REQUERIDO PARA QUE LARESPUESTA ALCANCE LA PRIMERA VE# LA MITAD DEL VALOR FINAL.

2. TIEMPO DE SUBIDA, 8 : ES EL TIEMPO REQUERIDO PARA QUE LARESPUESTA PASE DEL 1 AL c, DEL AL c O DEL AL 1c DE SUVALOR FINAL. PARA SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS, SUELE USARSE ELTIEMPO DE LEVANTAMIENTO DE 1 A c.

3. TIEMPO PICO, 5 : TIEMPO REQUERIDO PARA QUE LA RESPUESTA ALCANCEEL PRIMER PICO DE SOBREELONGACION.

4. SOBREENLONGACION M$*IMA +PORCENTA)E M5 : ES EL M$*IMO VALOR DEL PICO DE LA CURVA DE RESPUESTA, MEDIDO A PARTIR DE LA UNIDAD.SI EL VALOR FINAL ES ESTADO ESTACIONARIO DE LA RESPUESTA ESDIFERENTE DE LA UNIDAD, ES FRECUENTE UTILI#AR EL PORCENTA)E DESONREENLONGACION M$*IMA. SE DEFINE COMO:

c DE SOBREENLONGACION M$*IMA 0 * 1c

Y+# 0U+#

.14 .2K1K#-1 .14#-.1 1.24#-1 .K1K #-2

Y+# 0*+#

"+#!+#

C+5 C+!C+!


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LA CANTIDAD DE SOBREENLONGACION M$*IMA +EN PORCENTA)E INDICA DEMANERA DIRECTA LA ESTABILIDAD RELATIVA DEL SISTEMA.

. TIEMPO DE ASENTAMIENTO, : ES EL TIEMPO QUE SE REQUIERE PARA QUELA CURVA DE RESPUESTA ALCANCE UN RANGO ALREDEDOR DEL VALOR FINAL DEL TAMAÑO ESPECIFICADO POR EL PORCENTA)E ABSOLUTO DELVALOR FINAL, POR LO GENERAL DEL 2 c.

EL TIEMPO DE ASENTAMIENTO SE RELACIONA CON LA MAYOR CONSTANTE DETIEMPO DEL SISTEMA DE CONTROL. LOS OB)ETIVOS DEL DISEÑO DEL SISTEMAEN CUESTION DETERMINAN QUE CRITERIO DE ERROR EN PORCENTE A UTILI#AR.

LAS ESPECIFICACIONES EN EL DOMINIO DEL TIEMPO QUE SE @ANPROPORCIONADO SON MUY IMPORTANTES, YA QUE TODOS LOS SISTEMAS DECONTROL SON SISTEMAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPOW ES DECIR DEBEN

PRESENTAR RESPUESTAS DE TIEMPO ACEPTABLES, ESTO SIGNIFICA QUE ELSISTEMA DE CONTROL DEBE MODIFICARSE @ASTA QUE LA RESPUESTATRANSITORIA SEA SATISFACTORIA.

.

1

C+

M5

7

T;=8!>?9! P=8997!

.

.2

8

5

C68! 7= 8=56=! ! =?!;>U>9!89 ?> 7, 8, 5, M5


54/65

3$.$1 METODO BASADO EN LUGAR DE LAS RAICES$

LA CONSTRUCCIÓN DE LAS GRAFICAS DEL LUGAR DE LAS EN EL PLANO # SONE*ACTAMENTE IGUALES A LOS DEL PLANO S. LA UNICA DIFERENCIA EN LOSDIBU)OS DE ESTOS 2 PLANOS ES LA INTERPRETACIÓN DE LA REGION DE

ESTABILIDAD.

LA ECUACIÓN CATACTERISTICA DEL LUGAR DE LAS RAICES, ES MUY PARECIDA ALA FORMULA DE LA ESTABILIDAD DONDE:

F+# 0 GD+#G+#

LA ECUACIÓN CARACTER(STICA DE L DE LAS RAICES ES:

1 F+Z 0

m F+Zm 0 1

E)EMPLO MATLAB i3:

GRAFIQUE EL LUGAR DE LAS RAICES DEL SIGUIENTE SISTEMA

GD+#G+#0>6 0 1 .KHW 7=> 0 1 -1.243 .243HWV 0 -4 4 -4 4HW !9 +V8;?6 +>6, 7=>WA9 ?!;= !6 8!>=7A9 ?!;= 8Z=>G897 9;= +jL6!8 7= ;! R!9?=k.

3.4.2 METODO BASADO EN LA RESPUESTA A LA FRECUENCIA.

RECUERDE QUE #0 =)T => G+ZEN UN SISTEMA ESTABLE EN TIEMPO DISCRETO LINEAL E INVARIANTE CON ELTIEMPO.

ESTOS AN$LISIS SE UTILI#AN EN SISTEMAS UTÓPICOS CON UNA ENTRADA DETIPO SINOIDAL.LA ENTRADA PARA UN SISTEMA.

U+0 S=> 6+T *+T

-

GD+#

G+#

.1 +# .K+# .243 +# 1

S9=! =!";==> T.D. ;9>=!; =

9>!89!>= => =;9=5


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SE CONSIDERA LA SIGUIENTE FUNCION +APLICA PLANO

U+0 S=>DONDE PARA UNA SEÑAL MUESTREADA U+T ES:

U+0 S=>TPARA LA TRANSF. BILINEAL ES: # 0

RESOLVIENDO LA EC. NOS QUEDA

= H H

3.4.3 METODO ANAL(TICO

CONSISTE EN EL DISEÑO DE CONTROLADORES DIGITALES PARA UN TIEMPO DEASENTAMIENTO MINIMO CON UN ERROR CERO EN ESTADO PERMANENTE.

CONSIDERE EL SIGUIENTE SISTEMA.

A@ORA CONSID'RELO EN #

CUYA FUNCIÓN ES G+# 0 # G5+ H

APLICANDO EL MODELO BASICO NOS QUEDA :

0 0 F+#

UNIDAD IV

ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE ESTADO

.$1 CONCEPTOS$

1 +T=78 7=87=> ?=8

8+ =+ =+T U+T U+ GP+ C+

T

- GD+# G+#R+# E+# U+# C+#

1 E -T

S

C+#R+#

GD+# G+#1 GD+# G+#


56/65

SE BASA EN LA DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA EN TERMINOS DE >- ECUACIONES ENDIFERENCIAS O DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN, QUE PUEDEN COMBINARSEEN UNA ECUACIÓN MATRICIAL EN DIFERENCIAS O DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN. LA UTILI#ACIÓN DE LA NOTACIÓN MATRICIAL SIMPLIFICA EN GRANMEDIDA LA REPRESENTACIÓN MATEM$TICA DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES.

.$2 ESPACIO DE ESTADO$

ESTADO O VARIABLES DE ESTADO EN UN SISTEMA DINAMICO SON LAS QUECONFORMAN EL CON)UNTO MAS PEQUEÑO DE VARIABLES QUE DETERMINAN ELESTADO DIN$MICO. PARA DESCRIBIR EN SU TOTALIDAD EL COMPORTAMIENTODE UN SISTEMA DINAMICO SE REQUIERE DE POR LO MENOS [ VARIABLES * 1,*2, .......*> DE TAL FORMA QUE UNA VE# DADA LA ENTRADA PARA > Y ELESTADO INICIAL EN 0 Y EL ESTADO FUTURO DEL SISEMA QUEDA ANTICIPADO,ENTONCES LAS [ VARIABLES SE CONSIDERAN UN CON)UNTO DE VARIABLES DEESTADO.

ESPACIO DE ESTADO. EL ESPACIO DE > DIMENSIONES CUYOS E)ESCOORDENADOS ESTAN FORMADOS POR EL E)E *1, E)E *2, ..... E)E *6, ESTO SECONOCE COMO ESPACIO DE ESTADO.

VECTOR DE ESTADO. SI SE NECESITAN > VARIABLES DE ESTADO PARA DESCRIBIR COMPLETAMENTE EL COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA DADO, ENTONCESESTAS > VARIABLES DE ESTADO SE PUEDEN CONSIDERAR COMO LOS >COMPONENTES DE UN VECTOR *. UN VECTOR DETERMINA EN FORMA UNICA ELESTADO *+ DEL SISTEMA PARA CUALQUIER TIEMPO > UNA VE# DADO ELESTADO EN 0 Y ESPECIFICA LA ENTRADA 8+ PARA >

*+ ES EL VECTOR DE ESTADO EN EL INSTANTE +DIMENSION >

U+ ES EL VECTOR DE ENTRADA EN EL INSTANTE +DIMENSIÓN

Y+ ES EL VECTOR DE SALIDA EN EL INSTANTE +DIMENSIÓN 5

A+ ES LA MATRI# DEL SISTEMA +DE DIMENSIÓN > >B+ ES LA MATRI# DE ENTRADAS DEL SISTEMA +DE DIMENSIÓN >

C+ ES LA MATRI# DE SALIDAS DEL SISTEMA +DE DIMENSIÓN 5 >

D+ ES LA MATRI# DE TRANSMISIÓN DIRECTA ENTRADA-SALIDA +DE DIMENSIÓN 5

.$2$1 REPRESENTACI)N PARA SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO$

PARA SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES EN TIEMPO DISCRETO VARIANTES EN

EL TIEMPO, LA EC. SE DESCRIBE


57/65

* + 1 0 A+ * + 1B+ U+

Y + 0 C+ * + 1D+ U +

PARA SISTEMAS VARIANTES EN EL TIEMPO +LA VARIAN#A, LA EC. DE ESTADO YDE SALIDA SE DESCRIBE

* + 1 0 A * + 1BU+

Y+ 0 C * + 1DU +

DONDE LAS MATRICES A, B, C D SON CTES. INDEPENDIENTES.

.$2$2 SOLUCI)N DE ECUACIONES DE ESTADO

LA PRIMERA OBSERVACIÓN NECESARIA PARA A OBTENCIÓN DE MODELOS DEESTADO ES QUE EL POSIBLE CON)UNTO DE VARIABLES DE ESTADO NO ES UNICO.POR E)EMPLO, SI PARA UN SISTEMA LAS VARIABLES _* 1, *2 ` DETERMINAN ELESTADO, TAMBIEN _*1, *2 *2 ` LO DETERMINAN, YA QUE CONOCIDO UNCON)UNTO ES DE INMEDIATA DETERMINACIÓN EL OTRO.

A PARTIR DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA EN T.D.

0

DONDE !i "i PUEDEN SER NULOS.

.$2$3 MATRI DE &UNCI)N DE TRANS&ERENCIA

PARTIENDO DE LA MISMA E*PRESIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EN #QUE EN EL CASO ANTERIOR, SE REALI#A LA DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONESSIMPLES DE LA FORMA:

0 $ $ $ ">

DONDE: λ1 0 VALORES PROPIOS DE LA MATRI# A

C+#R+#

B># > ">-1#>-1 ... B1# "#> !> 1# >-1 !1 # !

Y+#U+# 1 +

#- λ

1 +#- λ

T9=>= 6;95;9?97!7 6>6 "!= = 95;=

6>9!89!


58/65

P1 0 VARIABLE )ORDAN

"> 0 > VARIABLE

EN DESCOMPOSICIÓN SE OBTIENE EL SIGUIENE MODELO DE ESTADO.

*1 +# 0

*1 +# 0

*1 +# 0

*> +# 0

ES DECIR

*1 + 1 0 λ1 *1 + U+

*> + 1 0 λ> *> + U+

EN FORMA MATRICIAL

*1 + 1 λ1 $$$ *1 + 1

*1 + 1 λ1 $$$ *2 + 1

*> + 1 $$$ λ> *> + 1

Y 0 P1 P2 $ $ $ P> H ">U+

.$2$. DISARETIACI)N DE LAS ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO$

U+## - λ1

U+## - λ2

U+## - λ3

U+## - λ>

DONDEU+# 0 R+#Y+# 0 C+#

0 U+

*1 +*2 + $ $ $*> +


59/65

TODO ESPACIO VECTORIAL DE DIMENSION > QUEDA DETERMINADO PORCUALQUIER CON)UNTO DE > VECTORES DE DIC@O ESPACIO QUE SEANLINEALMENTE INDEPENDIENTES.

SI +*1, *2 . . . . *> SON LAS COMPONENTES DE UN VECTOR RESPECTO DE UNABASE:

*0 *1 , U1 *2 U2 . . . *> U>

Y SE TOMA UNA SEGUNDA BASE FORMADA POR LOS VECTORES LINEALMENTEINDEPENDIENTES +1 , 2 . . . > ENTONCES EL VECTOR * SE PUEDE E*PRESARCOMO:

*0 1 1 2 2 . . . > >

DENOMINADO n A LA MATRI# FORMADA POR COMPONENTES DE LOS VECTORESDE LA NUEVA BASE RESPECTO DE LA ANTIGUA:

n 1 m 2 m . . . m > H

* 0 n

.$3$ANALISIS DE ESTABILIDAD DE LIAPUNOV

EL ESTADO DE EQUILIBRIO DADO *ε 0 ES ESTABLE EN EL SENTIDO DELYAPUNOV , O SIMPLEMENTE ESTABLE, SI PARA CUALQUIER ESCALAR DADO

εo, E*ISTE UN ESCALAR δ +, ε o TAL QUE mm *O mm X δ, IMPLICA mm*+mmX ε, PARATODO ≥

12 - - ->

0


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SISTEMA ASINTOTICAMENTE ESTABLE

EL ESTADO DE EQUILIBRIO *ε0 ES ASINTITICAMENTE ESTABLE SI:

ES ESTABL +EN SENTIDO DE LIAPUNOVPARA CUALQUIER TIEMPO Y PARA CUALQUIER ESTADO INICIAL *SUFICIENTEMENTE CERCANO AL ORIGEN DEL ESPACIO DE ESTADO, EL ESTADO*+ TIENDE AL ORIGEN EN CANTO TIENDE A INFINITO.

PARA EL CASO CONTINUO

*+ 0 A+ $ *+ B+ 5 U+

Y+ 0 C+ $ *+ D+ 5 U+

PARA EL CASO DISCRETO

*+1 0 A+ $ *+ B+ 5 U+

Y+ 0 C+ $ *+ D+ 5 U+

ENCUENTRE DEL SIGUIENTE CONTROL DIGITAL EL MODELO DE ESTADO PORMEDIO DE LA VARIABLE DE )ORDAN.

APLICAR MODELO BASICO

G +1 G+

SE OBTIENE PRIMERAMENTE LA T.T.

F6>?9> 7= 8=56=! E!7 C=8.T. ?>9>6

+0 ∫ [+, τ.U+τ.7τ

5!8! ≥ => T D9?8=

+ 0 ∑ [+ T. U +

5!8! / ≥

/-1

0/

- 1 .# - 1 .# .

R+# C+#


61/65

#2 . # - 1# . .

. # 1# 0 -. #

APLICADO A LA VARIABLE DE )ORDAN

PARTIENDO DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA Y TENIENDO EN CUENTA LOSPOLOS DEL SISTEMA

#2 .# p1 0 p2 0 .

REALI#AMOS LA DESCOMPOSICION EN DRACCIONES SIMPLES:

1 .# - 1

.# .C+# .0

R +#

1 .

# - 1

.

# .

1

1 .1

. 0.+# 1 +# .

+# 1 +#. . 0.+# 1 +# .

C+# .0R +#

1 .# - 1

.# .

+# 1 +#. . 0.+# 1 +# .

0

+# 1 +#. . 0.+# 1 +# .

. .+# 1 +# .

0

. .0+# 1 +# . .

. .0#2 . #

Y+# . V +#

C+# . 0R+#

. .0#2 . #

P1 . #

P2 .0#- .

# P1 -. P1 P2 # .0#2 . #


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DONDE OBTENEMOS

. 0 -. P1 P1 0 -1

0 P1 P2 P2 0 1

SE ELIGEN LAS VARIABLES DE ESTADO:

*1+# 0 *1 +/ 1 0 6+/

*2+# 0 *2 +/ 1 . *2 +/0 6+/

LA SALIDA SE E*PRESA

C+# 0 P1 *1 +# P2 *2 +# C+/ 0 - *1+/ *2 +/

E*PRESADA EN FORMA MATRICIAL

C+/ 0 -1 1

UNIDAD V

POLOS

+$1 CONCEPTOS$

LO QUE SE BUSCA CONOCER EN QU' SISTEMAS ES POSIBLE TRANSFERIR ELESTADO O LA SALIDA DE UN PUNTO A OTRO DE SUS RESPECTIVOS ESPACIOS EN

R+##

R+## .

*1+/*2+/


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UN NUMERO FINITO DE ELEMENTOS DE SUS SECUENCIAS O SI NO PUEDEALCAN#AR ESTOS PUNTOS CUALES SON LOS MAS ALCAN#ABLES + SE REFIERE ALOS VALORES PARA LA ESTABILIDAD

+$2 CONTROLABILIDAD

SE DICE QUE UN PUNTO DEL ESPACIO DE ESTADOS *, DE UN SISTEMA DISCRETOES CONTROLABLE EN , 1 H SI E*ISTE UNA SECUENCIA DE ENTRADA, U+ U+ 1. . . U+ 1 1, TAL QUE TRANSFIERA EL ESTADO DEL SISTEMA DONDECUALQUIER PUNTO * DE INDICE A *1 DE INDICE 1 FINITO.

LA FUNCION DE CONTROLABILIDAD ESTA DADA.

* + 1 0 q + 1, *+ 1 r q + 1, L 1 B +L 6+L

L 0 V!;8 9>9?9!; >6;

q 0 V!89!";= 7= ?>8;!"9;97!7.

+$3 OBSERVABILIDAD$

DETERMINA SI LAS VARIABLES DE ESTADO NO INFLUYAN SOBRE LA SALIDA YPOR LO TANTO NO DETERMINABLES MEDIANTE EL CONOCIMIENTO DE LASMISMAS, Y POR OTRO LADO EN SISTEMAS DE VARIAS SALIDAS, DETERMINARCUALES DE ESTAS SON NECESARIAS PARA DEDUCIR ES ESTADO DEL SISTEMA.

LA OBSERVABILIDAD SE DEFINE:

SE DICE QUE UN PUNTO EN EL ESPACIO DE ESTADO, DE UN SISTEMA DISCRETO *ES OBSERVABLE, SI PARA TODO INDICE INICIAL E*ISTE UN INDICE 1 FINITO,TAL QUE EL CONOCIMIENTO DE LAS SECUENCIAS DE ENTRADA 6+ Y DE SALIDAY+, PARA s t 1 PERMITE EL ESTADO INICIAL * DE INDICE

ESTA DADA POR LA FUNCION

Y + 0 Y+ C+ r q + 1, L 1 B+L 6 +L D+ 6+

0 C+ q +, *+

1 - 1

0 O

1 - 1

0 O


64/65

+$. TRANS&ORMACIONES$

SE UTILI#AN PARA TRANSFORMAR ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO ENFORMAS CANONICAS.

SE CONSIDERA PRIMERAMENTE LA ECUACION DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETOY ECUACION DE SALIDA.

*+ 1 0 G*+ @6+

Y+ 0 C*+ D6+

UTILI#ANDO LA FORMA CANONICA CONTROLABLE:

UTILI#ANDO LA MATRI# DE TRANSFORMACION

T 0 M

M0 @ G@ G>-1 @

a> -1 a>-2 a1 1

a> -2 a>-3 1

a1 1

1

LOS ELEMENTOS DE a1 MOSTRADOS EN LA MATRI# SON CO@EFICIENTES DELA ECUACION CARACTERISTICA

u# I G u 0 #> a1 # >-1 . . . a>-1 # a> 0

+$+ UBICACION DE POLOS$

$$$

$$$

$$$

$ $ $

$$$

$$$

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

0


65/65

TODAS LAS VARIBLES DE ESTADO SON MEDIBLES Y DISPONIBLES PARA LAREALIMENTACION. SI EL SISTEMA ES COMPLETAMENTE CONTROLABLE,ENTONCES LOS POLOS DEL SISTEMA EN LA#O CERRADO PUEDEN UBICARSE ENCUALQUIER LOCALI#ACION DESEADA MEDIANTE UNA REALIMENTACION DELESTADO, A TRAVES DE UNA MATRI# DE GANANCIA DE REALIMENTACION DELESTADO APROPIADA.

CONSIDERANDO LA SIGUIENTE ECUACION.

* + 1 0 G* + @6+

*+0 VECTOR DE ESTADO +DIMENSION EN EL -ESIMO INSTANTE DEMUESTREO.

6+ 0 SEÑAL DE CONTROL +ESCALAR ENEL -ESIMO INSTANTE DE MUESTREO.

G 0 MATRI# > * >

@ 0 MATRI# > * I

SISTEMA DE CONTROL LA#O CERRADO PARA UBICACIÓN DE POLOS.

@ - #-1 I

G

-

+6u

Cuadernillo de Lineales II

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