Cuadernillo 7 matematica-1 parte

1996

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sO¡ LfL RENO~---..IÓN CURRICULAR

lA ~I .tl~1~,'A;..~u14~9-at~~----------------~~ Segunda parte

DIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA

Administrador

Sello

Administrador

Sello

Administrador

Sello

LA MATEMÁTICA EN EL NIVEL INICIAL (N.I) Y EN EL PRIMER CICLO DE LA EDUCACiÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B)

Este Fascículo No 7 "La Matemática en el Nivel Inicialy Primer Ciclo de la Educación General Básica", (2da par-te) fue elaborado por:

- María Judith Alderete- Eisa Bergadá- Ketty Ana Iturrioz- Mima Santander

Colaboración :- Juan Carlos Nieva - Marta Blanco de Rodriguez

- Equipo Técnico Curricular, de Capacitación, de Pro-ducción y Publicaciones Científicas y Pedagógico-Didácticas en MATEMÁTICA, de la DGE.

GobernadorArturo I".afalla

Director General de EscuelasDomingo V. de Cara

Directores AdjuntosIrene G. de WildeEfiglo Concatti

COMISiÓN CURRICULAR

·Directora de EC!. Inicial y PrimariaMarta Slanco de Rodriguez

·Coordinador GeneralJuan Carlos Nieva

*LenguaCoordinadora General

Alicia Romero de CutropiaEquipo Técnico curncuiar, de Capacita-ción. de Producción y Publicaciones Cien-tíficas y Pedagógico-Didácticas en LEN-GUA

GOBIERNO DE MENDOZA 3

""MatemáticaCoordinadora General M. JudithAldereteEquipo Técnico curncuíar; de Capacita-ción, de Producción y Publicaciones Cien-tíficas y Pedagógico-Didácticasen MATE·MÁTICA

Gobierno de MendozaDirección General de EscuelasFebntro de 1996-----------------------~

DIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS


Equipo Técnico Cunicular, de Capacitacitación, de Producción y Publicaciones Científi-cas y Pedagógico-Didácticas en MATEMATICA, de la DGE

Por orden alfabético

Susana CarusoStella CirrineioneAriana DalveloMónica Di BiaggioMirta Di CésareMaria Inés FaglianoBeatriz GalvoSilvia GareiaMónica Ghilardi

Eisa GoieoeeheaNelly GonzalezEdith de MiguelElizabeth MolinaAna María Nuí\ezSilvia OrtegoMarisa PorearMaria Fernanda SelvaCatalina Suarez

Agradecemos a Gloria Tapia y a Luey Eehevarrieta, la lectura y valiosas observaciones de losmateriales elaborados para esta publicación

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Con fa tarea cumplida, nuevamente con ustedes

En el Fascículo 5 comenzamos a abordar conustedes algunas cuestiones claves:¿Qué enseñar en Matemática?¿Cómo hacerío?¿Cuáles son las Expectativas de Logros?

menzar a intercambiar opiniones.

En el presente Fascículo completamos esapropuesta de la siguiente manera:

En esa oportunidad presentamos el trabajo endos partes:

IAI Problemas y situaciones-problema des-de el Nivel Inicial en el aula de Matemática

g La Matemática en el Nivel Inicial y en elPrimer Ciclo : el apartado Actividades Nu-méricas.Explicitamos las Expectativas de logros deese Apartado en el- Nivel Inicial;- Primer Grado;- Primer Ciclo de la Educación General Bá-sica(EGB)- Les ofrecimos una propuesta de reorgani-zación, apertura y secuenciación de los con-tenidos conceptuales y procedimentales, re-lativos a cuestiones numéricas, que pudieraser usados como material básico para co -

- En la parte A, avanzamos en el tratamien-to de los otros dos procedimientos genera-les (el Razonamiento y la Comunicación)que están vinculados con el quehacer ma-temático, y que hasta ahora no han sido con-siderados explícitamente.Volvemos a tratar la situación-problemamediante un ejemplo que ilustra las relacio-nes con los otros dos procedimientos- En la parte B, cumplimos con la propues-ta relativa a los otros dos Apartados, esdecir, Actividades Lógicas y de la Comuni-cación y Actividades Geométricas, tantopara el Nivel Inicial como para PrimerGra-do de la EGB, con sus correspondientesExpectativas de logros.Completamos la propuesta correspondien-te a los grados 2 y 3, en los tres apartados.Les presentamos una Separata¿Se dan cuenta por qué les decimos Conla tarea cumplida, otra vez con ustedes?

DIRE~CIÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA 5


Proponemos fa siguiente

Razonamiento, Comunicación y Pro-blemas desde el Nivel Inicial

Completemos la propuesta del Di-seno Curricular de Matemática parael Nivel Inicial y Primer Ciclo de laEGB

rnLos bloques de contenidos de Matemática yuna propuesta de organización curricular-Consideraciones generales.

[2] El apartado ACTIVIDADES LÓGICAS Y DELA COMUNICACiÓN para el Nivel Inicial y elPrimer graclo

[3] El apartado ACTlVlDADES GEOMÉTRI-CAS para el Nivel Inicial y el Primer grado.

~ Propuesta de los diseños curriculares delos tres apartados, para los grados 2 y 3

~ Las opiniones: Lo positivo, las inquietu- [5] Las opiniones: Lo positivo, las inquietu-des o dudas y las sugerencias. des o dudas y las sugerencias.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ SEMR~ron~~lapro~e~ªDIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA

[1J Comentemos algo sobre los procedimien-tos vinculados con el quehacer matemático.

(a) Hablemos sobre el RAZONAMIENTO

(b) Hablemos sobre la COMUNICACiÓN

(e) Relación entre las tres categorías de proce-

dimientos. Un ejemplo.

7


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DIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA 9


[]Comentemos algo más sobre los procedi-mientos vinculados con el quehacer mate-mático.

Nuevamente proponemos hacer algunas re-flexiones acerca de los contenidos procedi-mentales que están relacionados con el que-hacer matemático.Tanto para el Nivel Inicial como para la Educa-ción General Básica (EGB), hay en los CBC unbloque denominado Contenidos Procedimen-tales. Esos contenidos han de trabajarse no sóloen relación con los bloques de ContenidosConceptuales del mismo Capítulo Matemática,sino en relación con los otros Capítulos (len-gua, Ciencias Sociales, Artística, etc.)¿Recuerdan los diagramas arbolares que pre-sentamos en las páginas 24 y 25 del Fascículo5? En esa diagramación pusimos en eviden-cia que los Contenidos Procedimentales, peromás aún los Contenidos Actitudinales, sonintegradores y, partanto, "atraviesan" todos losContenidos Conceptuales (Saber y Saber-Ha-cer) que propusimos reorganizados en tresapartados.Volvamos a los Contenidos Procedimentales.En los CB,C, se presentan agrupados en trescategorías, según que estén vinculados a :- la resoluciónde problemas; .- el razonamiento;- la comunicación.

En el mencionado Fascículo 5, comenzamosa abordar el tratamiento de una situación-problema, y mencionamos algunos de losrequisitos que debe reunir para que puedaser considerada como tal.Mediante un diagrama presentamos un ca-mino interesante para el aprendizaje de cier-tos contenidos curriculares que, por su im-portancia, merecen su presentación con si-tuaciones-problema, convenientemente ele-gidas.Sobre las situaciones-problema y sobre laforma de trabajarlas en el aula, hay muchopor decir. Sin embargo, antes de volver ahablar sobre ellas, vamos a referimos a los .otros dos Procedimientos Generales vincu-lados con el quehacer matemático.

a) Hablemos sobre el RAZONAMIENTO.

¿Cómo llega el matemático al conocimien-to?No descarta ninguna de estas formas posi-bles: intuitiva, inductiva y deductiva.Si un matemático procede de esa manera,parece lógico pensar que con los niños nodebemos desdeñar ninguna de esas formaspara que lleguen al conocimiento.

10 DIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA


La matemática escolar debe desarrollar la in-tuición y, simultáneamente, el razonamiento yla creatividad. De esa manera, los niños po-drán encontrar buenas ideas y estrategias enel momento de tener que enfrentar y resolversituaciones-problema, cada vez más comple-jas.El hecho de que el razonamiento se mencio-ne explícitamente como uno de los procedimien-tos vinculados con el quehacer matemático, nodebe interpretarse como que en el transcursode la escolaridad obligatoria el docente debedesarrollar cursos de Lógica.Entonces, ¿cuál es la intención?La respuesta está en la misma la Síntesis Ex-plicativa del Bloque Contenidos Procedimen-tales. En efecto, se lee: "La intención es quea través de estos procedimientos y de la re-flexión que suscite dicha práctica, los alum-nos vayan comprendiendo los fundamentoslógicos en que se sustentan".Desde el Nivel Inicial, se sugiere introducir, através de juegos, el uso de los conectivos lógi-cos (no, y, o), los cuantificadores (todos, algu-nos), los ejemplos y contraejemplos, etc., queson algunas de las herramientas del razona-miento lógico que los alumnos deberían adqui-rir, gradualmente, a lo largo de la EGB.

La capacidad para razonar crece con laedad, y a medida que el niño avanza en laescolaridad se deben ampliar los contextosde aplicación de la misma, así como el rigorcon que se la utilice.Resumiendo: para que los niños lleguen alconocimiento no debemos desdeñar ningu-na de las formas que utilizan los matemáti-cos, y es sabido que el aprendizaje de esaciencia debe empezar por la intuición, talcomo lo afirma el destacado matemático LuisA. Santaló.Además de la intuición mencionamos la in-ducción o método inductivo y la deducción,o método deductivo .. Sobre ellas, propone-mos algunas breves consideraciones.

- La inducción es el método que utilizan lamayoría de las ciencias experimentales.Se basa en la elaboración de conjeturas ohipótesis, nacidas de la generalización depropiedades que se dan en un conjunto deobservaciones.A lo largo de la EGB se pretende introducira los niños en el conocimiento del mismo,mediante la formulación de generalizacio-nes en base a lo observado, a la experien-cia o la intuición.

DIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS , GOBIERNO DE MENDOZA 11


No estamos hablando de la "inducción mate-mática", que es un método específico de de-mostración que tiene la Matemática, asociadocon el número natural.- En cuanto a la "deducción", o método deduc-tivo, le permite a la Matemática la demostra-ción de la verdad de sus proposiciones, como"conclusiones" que derivan lógicamente, de las"premisas" .Nos interesa destacar la diferencia que existeentre el método deductivo y el método experi-mental, llamado también inducción, que no esun método de razonamiento, pero que a vecestambién podemos usar en Matemática.Ya dijimos que se trata de un camino similar alempleado por los científicos en el laboratorio.¿Cómo es posible recurrir a él , siendo que laMatemática no es una ciencia experimental?La razón es fácil de entender. Nos permite for-mular conjeturas sobre propiedades, que acep-tamos intuitivamente, aún cuando no estén de-mostradas por el método lógico-deductivo.

dieron a demostrar en la escuela secunda-ria.Veamos ahora cómo podemos acercarnos,en cierta etapa de la escolaridad, a dichapropiedad, sin demostrar el teorema. Recu-rriendo a la intuición es posible hacer quelos niños la "acepten", y ello es muy válidoen el proceso de enseñanza y aprendizaje.El docente, sin embargo, debe ser conscien-te de que la propiedad en cuestión no estádemostrada por el método deductivo, quees el único camino capaz de asegurarnos lavalidez. Dibujamos sobre una cartulina al-gunos triángulos, de diferentes medidas. Acontinuación recortamos porciones de losángulos interiores (sectores angulares) ubi-cándolos como ilustra la figura siguiente.

b{3

a~ ~

Lo mejor es avanzar sobre un ejemplo.¿Recuerdan la propiedad relativa a la suma delas medidas de los ángulos interiores de un trián-gulo?Seguramente fue uno de los teoremas que apren-

La figura muestra que dos de los sectoresangulares (a y (3)se "apoyan"sobre el di-bujo de una recta. De manera experimental,conjeturamos que la unión de los tres ángu-los es un ángulo sectorial "ano, cuya medi-da es, en grados sexagesimales,180.En virtud de ello, aceptamos intuitivamente,



que" La suma de las medidas de los ángulosinteriores de un triángulo es igual a la medidade un ángulo llano" .La propiedad anterior, "descubierta" de mane-ra experimental, es verdadera. Debemos tenerclaro que, sólo rhediante una demostración es-tamos en condiciones de asegurarla.Sin embargo nadie aprende demostrando todo,y está muy bien que en Matemática aceptemospropiedades sin haber recurrido al método ló-gico-deductivo. Pero una cosa es aceptar algointuitivamente (sabiendo que puede demostrar-se), y otra muy distinta es creer que ese cami-no experimental es suficiente para asegurar esapropiedad relativa a los triángulos.Veamos otro ejemplo que clarifica aún más loque estamos diciendo. Decimos, y se lo deci-mos a nuestros niños, que la suma entre nú-meros naturales es conmutativa. La propiedades muy evidente. Basta con mostrar ejemplosnuméricos para que la misma sea aceptada sinreparos. Otra vez, estamos recurriendo a la in-tuición. Aceptamos la propiedad sin haber he-cho una demostración formal.Está muy bien que asi procedamos en la es-colaridad obligatoria. No obstante insisti-mos en que el docente debe saber que veri-ficar una propiedad con ejemplos no es una

demostración.Más aún, no siempre las conjeturas son ver-daderas y hay que tener cuidado, no seacosa que pretendamos generalizar todo,partiendo de casos particulares.Como curiosidad presentamos un "error" queaparece, precisamente, por la tentación depretender generalizar un supuesto.

2x2 = 43/2 x 3 = 9/24/3 x 4 = 16/35/4 x 5 = 25/4

2 +2 = 43/2 + 3 = 9/24/3 + 4 = 16/35/4 + 5 = 25/4

Tal como dijimos aparece una gran tenta-ción : generalizar a partir de los casos parti-culares presentados. Pareciera que suman-do o multiplicando los mismos números,obtenemos los mismos resultados.Sin embargo, la intuición nos engaña. Bas-ta con presentar un contraejemplo:

7/6 x 6 = 42/6; 7/6 + 6 = 43/6Evidentemente:

42/6 ;t. 43/6

En síntesis:- Hay que desarrollar la intuición en los

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niños pero, progresivamente debemos dis-tinguir intuición de razonamiento deductivo,aún cuando ésto ocurra mucho más adelan-te.

b) Hablemos sobre la COMUNICACiÓN.

La Lógica es la ciencia que estudia las leyesdel razonamiento válido.Un razonamiento es válido, cuando supuestasverdaderas todas las premisas, la conclusiónse deduce, necesariamente, de ellas.La Matemática usa la inducción como punto departida, pero la verdad de sus proposicionesse demuestra a través de la deducción.

Nos vamos a referir a la tercera categoríade procedimientos es decir, a los que estánvinculados a la COMUNICACiÓN.Existen muchas razones que nos permitenafirmar que se trata de un importante pro-cedimiento relacionado con el quehacer ma-temático.En efecto, transcribimos del bloque referidoa los Contenidos Procedimentales:

Todavía queremos agregar lo siguiente:

Todo lo dicho, s610es para el docente. ~I niñoestá ajeno a los problemas relativos a tipos derazonamiento y es mejor que así sea.Sin embargo, pensamos que ésta es una oca-sión para distinguir intuición, método experi-mental y método deductivo.Pero una cosa es lo que el docente .tiene quesaber y otra, muy distinta, es lo que debe de-cirle a sus alumnos. Pensamos que un buendocente, en cualquier nivel de la enseñan-za, es aquél que no dice todo I~ que sabe.

"Posibilita establecer conexiones entre lasdiferentes formas de representación: con-cretas, gráficas, simbólicas, verbales y men-tales, tanto de conceptos como de relacio-nes matemáticas""Posibilita la necesidad de precisar el voca-bulario y compartir definiciones para evitarla ambigüedad que existe en el lenguajecomún".

Sabemos que las ideas matemáticas admi-ten diversos marcos de representación; sinembargo, su lenguaje es el resultado de lacombinación de signos y símbolos, así comode términos que son esfecíficos del voca-bulario de esta ciencia.

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"El lenguaje conjuntista es un buen recurso paraaplicar con sencillez ideas matemáticas. Peronunca ha de ser tomado como objeto de estu-dio en sí mismo".Por otra parte, el lenguaje gráfico, las repre-sentaciones pictóricas, las tablas y losdiagramas, en general, son recursos cuyo usofrecuente se debe potenciar desde el Nivellni-cial.Reiteramos que la comunicación es muy impor-tante en Matemática, y también sabemos quehay muchos aspectos de ella que pueden afec-tar el aprendizaje.Por ejemplo, hay dificultades que aparecen porel mismo vocabulario específico, o que surgencomo consecuencia de los símbolos y signospropios de la disciplina y que los niños debenaprender como una prolongación del lenguajecotidiano.¿Nos hemos puesto a pensar que el aprendi-zaje de la Matemática se hace con el empleode una segunda lengua?¿Hemos reflexionado acerca del hecho, nadatrivial, de que la lectura de los textos matemá-ticos es diferente de la que se hace en otrasdisciplinas, o en diarios y revistas, o en la pan-talla del televisor y la computadora, que estánal alcance de la mayoría de los niños?

De ahí que el lugar ocupado por la expre-sión oral y el intercambio de opiniones en-tre alumnos y entre docentes y alumnos, conmotivo del trabajo matemático en el aula, nosestán exigiendo una atenta reflexión.Resulta crucial la relación que existe entreel aprendizaje de la Matemática y todos losprocedimientos que están vinculados a lacomunicación.Debemos tomar conciencia de esos proble-mas potenciales, tanto de la forma como deluso. Pueden surgir inconvenientes en el ni-vel superficial de la comunicación, peromucho más grave aún, pueden aparecer enel nivel profundo del significado.

e) Relación entre las tres categoñas deprocedimientos. Un ejemplo.

Llegados a este punto tenemos formuladasalgunas consideraciones, aunque breves,con respecto a las tres categorías de proce-dimientos.En el fascículo S, en la página 12, consig-namos un diagrama que a continuación rei-teramos con una ligera modificación.Comparen aquel diagrama con el siguiente.



Procedimientosvinculados a

la resolucl6n el razonamien la comunlca-de problemas - lo t-- clón

¿ Se dieron cuenta cuál es esa diferencia?La línea gruesa que indica conexión entre lastres categorías de procedimientos.¿Por qué? , se estarán preguntando.La razón es la siguiente: es impensable que enel Nivel Inicial o en la EGB, dediquemos clasesespeciales a tratar cualesquiera de los proce-dimientos generales, como objetos por sí mis-mos. A ningún docente se le ocurre decir a susalumnos:- Hoy vamos a hablar de razonamiento.- En esta clase tratamos la comunicación.- Mañana abordamos el significado de proble-ma o de situación-problema.Se trata de procedimientos que se aprendenhaciendo; es el SABER-HACER que se presen-ta cada día; son los contenidos procedimentalesque atraviesan todos los contenidos concep-tuales (SABER), que en esta propuesta, loshemos presentado en tres apartados.

¿Cómo hacer en clase?

Lo mejor es que presentemos un ejemploque ilustre las relaciones a que hacemos re-ferencia. Pero, antes de presentarlo, insisti-mos en que:

La situación-problema consignada en lapágina siguiente, admite variantes que eldocente puede tener en cuenta según elgrado y el propósito que le asigne.



Pamela llevó al aula dos bolsas contenien-do cuadraditos hechos en cartulina, todosde Igual área, o sea, congtUent •• entre ,s.

Le cl61a ptlmera bolsa a JOIfI/fO, con la con-signa slgu/ent. :"formar" todos los "rectángulos" posibles,con 12cuadrad/tos.

Lasegunda bolsa se le cl6 a Pedro, con unaconsigna similar:"formar" todos los "rectángulos" posiblescon 22 cuadradltos.

- ¿Cuál de los dos chicos pudo''formar'' un

La respuesta es :Jorgito pudo armar 3 rectángulos "distintos"con 12 cuadraditos.Pedro formó 2 rectángulos con 22 cuadra-ditos.

En esta situación-problema queremos des-tacar el razonamiento que está presente, .poniendo en juego procedimientos que im-plican : comparar, relacionar, inferir, etc.También se requieren procedimientos derutina, como calcular. Pero, es evidente queel niño no puede enfrentarla y resolverlavaliéndose únicamente de cálculos huérfa-nos de razonamiento.

Para poder la respuesta, los niños debenhaber formulado, entre otras, las siguientesconclusiones:- Jorgito pudo "formar' los rectángulos de 3por 4 cuaoraditos, (o de 4 por 3), de 1 por12 cuadraditos (o de 12 por 1), y de 6 por 2cuadraditos (o de 2 por 6)

mayor número de rectángulos diferentes? i,.,

- ¿CUántos pudo ''formar'' cada uno?

I II I I ti ti 8101 1 II



- Pedro formó dos rectángulos solamente: elde 2 por 11 cuadraditos (o de 11 por 2), y el de1 por 22 cuadraditos (o de 22 por 1).

- Sólo interesa el número de cuadraditos.- Aunque 12 < 22, Jorgito pudo formar más rec-tángulos que Pedro, porque todo depende delnúmero de divisores o factores que tienen losnúmeros propuestos por Pamela.En efecto, 12 tiene seis factores o divisores: 1,2,3,4,6,12, pero sólo hay tres productos dife-rentes

3 x 4 = 4 x 3; 2 x 6 = 6 x 2 ; 1 x 12 = 12 x 1,

en virtud de la conmutatividad de la multiplica-ción entre números naturales.

Algo similar ocurrió en el caso de Pedro : 22tiene cuatro factores o divisores: 1, 2, 11, 22 Ysólo hay dos productos distintos

1 x 22 = 22 x 1 ; 2 x 11 .= 11 x 2.

Es muy posible que los niños expresen otrasconsideraciones, que pueden dar lugar aotras situaciones-problema.

Además del razonamiento deductivo nece-sario para obtener la respuesta, cabe des-tacar la importancia de la comunicación .Para que los chicos puedan comunicar lasestrategias que emplearon, aún los tanteosiniciales, así como las respuestas obtenidasy su justificación, deben conocer y manejardistintos lenguajes: simbólico, coloquial,numérico, gráfico, concreto, ...Sin ellos no es posible comunicar qué hi-cieron, cómo lo hicieron y cuáles son lasconclusiones a las que llegaron.

Cuántos veces nos encontramoscon alumnos que no pueden co-municar qué es lo que han hechopara enfrentar y resolver un proble-ma 11I

GOBIERNO DE MENDOZA18 DIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS

LA MATEMÁTICA EN EL NIVEL INICIAL (N.I) Y EN EL PRIMER CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B)

[2] Las opiniones : Lo positivo y lasdudas o inquietudesHemos empezado a procesar las opiniones formuladaspor Supervisores, Directivos y docentes, referidas a laspartes A del Fascículo 5, tanto en los aspectos positivos,como en lo que hace a las inquietudes o dudas y suge-rencias.

© Lo positivo

- La propuesta es orientadora y vátida, áe fácil com-prensión. 'Elpartir áe una situacion-ptobíema facilitaei aprendizaje ref~o.- Consideran. que sáto en camino de aplicación áe fapro-puesta podrán. elaborar situaciones-problema

® Las inquietudes, las dudas.

- 'Es una propuesta mouilizadora, orqanizada, posi-6fe en Io institucionalq fo áufico, que replantea y optimiza elproceso de enseñanza y aprendizaje.

- 'Encuentran en esta propuesta una verdadera mani-festación de! modelo peáagógico4iááctico áe fa tría/a.

- 'llaforan que tanto ef docente, elalumno y ef conte-nido sean protagonistas áe[proceso.

- Se pone de manifiesto el rol mediador áel docente(no inftibiáor)y fa construcción áe[ aprendizaje por parte áe[alumno.

- 'Es una propuesta ricaporque áeja que el niño actúelibremente.

- ~espeta fa áiversiáaá de procedimientos.

-Se crea un ámbito de áiscusión e iniercamñio de opi-niones.

-Se destaca fagran capacidad que áe6e tener el áo-cente para descontextualizar, desiemporaliear ydespersonalizar el saber matemático, Io cual ~e ungran conocimiento áe fa ciencia, un gran dominio paraabordar fa siruacián-problema y poder desarrollar fapropuesta con idoneidad y cf.ariáaá.

- Se duda de que todos fos contenidos puedan serabordados áe esa manera

- Preocupa fa necesidad de un saber amp [iopor par-te áe[ docente para seleccionar una sinuicion-proble-ma.

Se optimiza fo acritudinal

- Preocupa que el docente no descubra fa importan-cia áe cada paso del proceso de enseñanza y aprendiza-je



© Las sugerencias - Los requerimientos

Capacitación reaiizada por personal iáóneo.

9{ecibiT más situaciones-pro6fetm para que puedan. ser/Jevatfas a ras aulas.

Cambiar ei tJ3ofetín.áe clÚificaciones con tIDtÍVO áe roscambios propuestos.

Nota:

Capacitación ai.'alcance áe todos, reafizaáa por especialis-tas, siguiendo ros fineamientos propuestos.

- Compartimos en su totalidad las opiniones. En-tre todos buscaremos soluciones.

- Se harán llegar ejemplos de situaciones-pro-blema y de actividades.

Capacitación acerca áe fa manera áe preparar al.alumnopara que enfrente !I resue{va situaciones-pro6fema. - La capacitación se está organizando de mane-

ra de seguir los lineamientos propuestos.

1JibBografta para proJutufizar fa propuesta peáagógico-áiááctica..

- Pensamos como ustedes con respecto a la im-posibilidad de abordar todos los temas con si-tuaclones-problema.

Capacitación en dS~ preoia a fa consideracián. áeras sinuuiones-prditema:

1Jib{iografta para seleccionar sinuuiones-problena:

En una próxima entrega les haremos llegar másinformación sobre las situaciones-problema, delos distintos momentos de cómo tratar las en elaula y la opinión de destacados especialistas enel tema.



.PtU eBe ~ UHCi- ~

~,a,~Jekcud,~~-4¿d-J¿CCÜÚteLa,bevta,4¿ út. J¿d.eiio~'1~~a,LoJ.~

~~~.



[!] Los bloques de contenidos de Ma-temática y una propuesta de organiza-ción curricular.

Los Contenidos están clasificados en trescategorías: Conceptuales, Procedimenta-les y Actitudinales.¿Recuerdan los diagramas arbolares en loscuales señalamos los apartados, mostran-do al mismo tiempo, que los Contenidosprocedimentales y actitudinales atraviesanlos Contenidos conceptuales?Actualmente, se piensa que los Contenidosconceptuales no son suficientes, sino queen todo proceso de construcción de cono-cimientos son imprescindibles las habilida-des y destrezas que implican el "aprendera hacer", en este caso, en Matemática.

a) Una propuesta de organización en apar-tados (2da parte)

Dijimos en el Fascículo 5 que los CSC no pres-criben una organización de los contenidos con-signados. Cada provincia elaborará su propues-ta curricular especificando, reorganizando,profundizando y completando los CSC."Cada jurisdicción producirá diseños para elNivel Inicial y la EGS, dando lugar para que elcurrículo de cada establecimiento responda, porun lado, a su pertenencia nacional y provincialy por otro, a su propia identidad institucional".En esta parte S continuamos con la propuestainiciada en el Fascículo anterior.Hemos presentado los contenidos, organizadosen tres apartados:ACTIVIDADES NUMÉRICASACTIVIDADES LÓGICAS Y DE LA COMUNICA-CiÓNACn~DADESGEOMÉT~CAS

Surgen así los Contenidos procedimenta-les como el conjunto de reglas, estrategias,pautas, modos de aproximación y métodosque tiene la Matemática para acercarse asu objeto de estudio e investigarlo.

Como muy importante aparecen los Conte-nidos actitudinales que "ponen de manifies-to los valores, actitudes y comportamien-tos significativos para la vida de relaciónde todo ser humano" .



En este Fascículo proponemos: Hay también una propuesta de secuen-ciación de Expectativas de logros, formula-das en términos del SABER y el SABER-HACER adquirido y disponible por el alum-no (SABER-HERRAMIENTA).

Sabemos que la presentación de los tresapartados en forma separada no es sufi-ciente, y hasta puede dar una idea erróneade que hay que yuxtaponer los contenidosque entran en juego en el proceso de ense-ñanza y aprendizaje.Sin embargo, no es así. Todavía debemospensar en la articulación vertical dentro decada grado, o sea, de Nivel Inicial y cadagrado del Primer Ciclo para que sea posi-ble una organización de la tarea anual, in-tegrando y relacionando los distintos con-tenidos, no sólo dentro de la Matemática,sino con otros campos del saber que sonobjeto de aprendizaje.Hemos puesto especial atención en estosprimeros años de la escolaridad obligato-ria porque en ellos, los niños toman el pri-mer contacto con la disciplina.

• Los apartados:- Actividades lógicas y de la comunica-ción-Actividades geométricaspara• Nivel Inicial y• los grados: Primero, Segundo y

Tercero- Actividades numéricaspara• los grados : Segundo y Tercero

Las Expectativas de logros corres pondientes a los apartados mencionados

b) Sobre los apartados

Al tratar cada apartado abordamos una se-cuenciación de :- Contenidos conceptuales (SABER);- Contenidos procedimentales (SABER-HACER)



No olvidemos lo que hemos explicitado en lasanteriores entregas: del modelo pedagógico dela tríada surgen entre otras, dos metas comple-mentarias, de naturaleza diferente:- por un lado, revalorizar y enriquecer el conte-nido (en sentido amplio), valorando la potenciaunificadora y simplificadora del pensamientomatemático, de manera de elevar el nivel decomprensión de cada individuo y el dominio yconocimiento del mundo exterior, que la Mate-mática favorece;- por otro, mejorar el proceso de aprendizaje decada niño e introducir, desde temprana edad,actividades de componente matemática que sonla base de la construcción de nociones mate-máticas.

1Iil!J qru inu¡¡rar!l ani-'cu/4r- en. d seno le f4 misma

tnnática¡ernatnt!nte, con.otros

c.a",os Id saber!l le sumun./o¡

- fIertic.a{!Ifrorizotttalinen.-te, en. fos lifmtrús nive-fLs le f4 escof4ri4aá

¿Y el docente?Tal como lo expresamos en la parte A de esteFascículo, el docente juega en distintos nive-les, un rol importantísimo.Es sin duda, un protagonista irreemplazablepara el logro en sus alumnos,de estas dos me-tas complementarias y de naturaleza diferente.

24 DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA


~ Hablemos del apartado ACTIVI-DADES LOGICAS y DE LA COMUNICA-CiÓN en el NIVEL INICIAL

a) Expectativas de logros para el NIVEL INI-CIAL, correspondientes al apartadoACTIVIDADES LÓGICAS Y DE LA COMUNI-CACiÓN.

Nos propusimos tener en cuenta los Pro-cedimientos generales, que están orienta-dos a promover los procesos de organiza-ción del pensamiento que permiten al niñodescubrir y formular relaciones.En la Síntesis Explicativa que figura en losCBC se mencionan:

Comencemos recordando con qué contenidos(en sentido amplio) hemos conformado esteapartado para el Nivel Inicial.Volvamos al Fascículo 5. En esa ocasión seña-lamos que tuvimos en cuenta una parte del Blo-que 4 de los CBC para el Nivel Inicial, denomi-nado Contenidos Procedimentales.¿Por qué dijimos una parte?Fundamentalmente, porque es casi imposible yademás no conveniente, establecer límites muyprecisos para abordar ciertas cuestiones (con-ceptos y procedimientos) que se presentan muyrelacionados entre sí.En efecto, otra parte del mismo Bloque fue inclui-da en el apartado Actividades Numéricas y aho-ra, aparecen situaciones que están naturalmen-te vinculadas con aquéllas, por lo cual las vol-vemos a considerar.

• "El análisis de la información disponibleen un juego, en una situación de la cual seencontrará una estrategia de resolución enfunción de los datos que se presentan".

· "Inferir de los datos conocidos qué otrosse necesitan para resolver una situación".

• "El análisis de las propiedades de los ob-jetos. (Afirmación y negación de propieda-des)"

· "El establecimiento de relaciones direc-tas, inversas (juntar, separar) y contrarias(contraponer atributos)".

· "Interpretación de consignas".


LA MATEMÁTICA EN EL NIVEL INICIAL (N.I) Y EN EL PRIMER CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL BASICA (E.G.B)

Tomando lo dicho como punto de partida, asícomo lo que ya tenemos reorganizado en losotros apartados, formulamos una propuesta de

o Resolver sttuacton""ProbIemaque Impliquen en I_dlferentescontextos de u.o:

Tran.mltlrlnforiTaaClón 1'0-cllI.(ma •. ,

,,"í

EXPECTATIVAS DE LOGROS para el Nivellni-clal (correspondientes al apartado ACTIVIDA-DES LóGICAS Y DE LA COMUNICACIÓN).

Interpretar y comuniCar unmensajé. . .

(2) .Reconocer un. o doe proplectadesen los Ob}etos d. una colecci6n.

(3) aMlftcar y ordenar objetos poruna propiedad.

(4) R••• ~r ein.rpretar algorItmosalmpI •• ,

5) Recoriocerobjetospor la ~6nde una ptopItdady pordoe Pl!lpie-jd.4••• d_8. .

Insistimos una vez más:

DIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS

Los apartados están, por el momento, pro-puestos en forma independiente, lo cual noimplica que haya que yuxtaponer conoci-mientos.Por otra parte, el orden en que han sidotratados tampoco supone prioridad .

GOBIERNO DE MENDOZA 27


b) Reflexiones generales para el Nivel Inicial grandes recursos didácticos que deben serpotenciados y usados;- si en las acciones que el niño ha de reali-zar sobre el material y los juegos, no llega enun momento dado, a distinguir la experien-cia física de la de tipo lógico-matemática,toda la enseñanza se verá comprometida,sea en el plano sicológico-didáctico, seasobre el plano verdaderamente científicometodológico, que sigue siendo la meta denuestro quehacer educativo;- la corrección y el rigor admiten diferentesniveles, de acuerdo con la edad de los alum-nos.

Después de haber presentado las Expectativasde logros para el Nivel Inicial, pasamos a for-mular algunas reflexiones generales que cree-mos van a permitir que el docente interpretemejor, tanto dichas Expectativas, como la orga-nización del mismo apartado.Con los CSC del Capítulo de Matemática parael Nivel Inicial, se pretende que los niños queasisten a los Jardines de Infantes, se inicien enla actividad matematizante o sea, en el apren-dizaje de la matematización de situaciones.Este proceso es fundamental, siempre que eldocente tenga en cuenta, entre otras cosas, que:- es conveniente partir de situaciones que le sonfamiliares al niño;- la experiencia de un niño que asiste a un Jar-dín de Infantes, es suficiente para suministrarun gran número de variadas y ricas situacionesde las que puedan ser extraídas las primerasnociones matemáticas;- el juego, las construcciones, las actividadesgráficas, los elementos concretos que tiene asu alrededor (que el niño puede manipular) ylas imágenes que ve permanentemente, son los

En síntesis:El niño no solamente tiene que ocuparsede lo concreto, sino que debe iniciarse enedificar un conocimiento abstracto. No lle-gamos a comprender profundamente algo,hasta que no somos capaces de abstraerla estructura. El pensamiento abstracto estáen el hombre más cerca de él, que lo con-creto que le es exterior.En una situación nueva de aprendizaje, esmuy importante la actividad física con obje-



• Símbolos y signos

pasando del signo personal a los signosuniversales, conocidos por todos (al menosen su país, en su lengua).Hay que tener en cuenta el problema de laconstrucción del lenguaje materno, el rol dela representación en Matemática y el pro-ceso de simbolización.De ah í que comencemos haciendo una ore-ve referencia a signos y símbolos.No pretendemos hacer un tratamiento so-bre los mismos. Sólo proponemos algunasreflexiones.Símbolos y signos implican una represen-tación, una clara diferenciación entresignificante y significado, aunque cada unode ellos lo hace de manera diferente.El símbolo constituye una elaboración indi-vidual, mientras que el signo tiene caráctersocial; el símbolo conserva una relación,aunque sea subjetiva, con la realidad quequiere representar; el signo, en cambio, esarbitrario y convencional.Tanto la Lingüística como la Semiótica abor-dan el problema de los conceptos de sím-bolo y signo, a través de los múltiples sis-temas de comunicación.

tos reales.Sin embargo, pensamos que no es recomenda-ble que los referentes concretos se exijan todoel tiempo.Conocemos que existe abundante y muy buenabibliografía que aborda tanto los contenidoscomo la metodología o las situaciones de apren-dizaje que tienen que ver con lo que propone-mos en este apartado.No obstante, formulamos algunas consideracio-nes relacionadas con :- Símbolos y signos- Algoritmos- Nociones lógicas y conjuntistas- Clases y órdenes- La comunicación (en distintos lenguajes).

En su vida diaria el niño está rodeado de imá-genes simbólicas, de signos, de consignas, decódigos, que su entorno social le imponen co-nocer: cómo se señala una escuela, una far-macia, un hospital, cuáles son las señales detránsito, etc., por dar algunos ejemplos.El niño debe aprender a usar signos figurativos


LA MATEMÁTICA EN EL NIVEL INICIAL (N.!) Y EN EL PRIMER CICLO DE LA EDUCACiÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B)

Ambos conceptos nacieron ligados, especial-mente, a la ciencia dedicada al estudio del len-guaje humano: la Lingüística.las acepciones que en este campo han ido te-niendo estos conceptos, se basan en las ideasde Saussure (1916), quien elaboró las nocio-nes de símbolo y signo; nociones que han pa-sado a formar las bases de una nueva ciencia:la Semiótica.Al igual que Saussure, CH. Pierce (1958 Y1965)estudia las relaciones entre significante y signi-ficado, constituyendo uno de los pilares de laSemiótica.Cabe destacar que, tanto la Lingüística como laSemiótica, abordan el estudio de los signoscomo una entidad ya elaborada, que es inter-pretada y clasificada según el uso convencio-nal de nuestra cultura.El hecho de que formulemos estas considera-ciones, no debe pensarse como una pretensiónde incursionar en lo que es propio de la len-gua.Pero, tratándose la Matemática de una cienciaque tiene su propio lenguaje, como resultadode una combinación de símbolos y signos y tér-

minos específicos, no pudimos soslayaresta cuestión, más aún, considerando queel niño requiere de esta segunda lenguapara realizar sus aprendizajes matemáticos.Es la Psicología genética la ciencia queaborda el desarrollo de la función simbóli-ca infantil, dedicando buena parte al estu-dio de la elaboración, por parte de los ni-ños, de símbolos y signos.Dicho de otra manera, los signos y símbo-los son estudiados desde una perspec-tiva genética : se analizan las conductassimbólicas del niño que tienen una signifi-cación distinta según el momento evolutivoen que se encuentran, y según la forma enque se manifiestan.Podemos concluir entonces, que la Semio-logía y la Psicología genética, tratan losconceptos de signo y símbolo desde ópti-cas diferentes.¿Qué tienen en común ambos estudios?Para ambos, el dato fundamental en el aná-lisis de los símbolos y signos, es el de larelación que se establece entre significantey significado.



En el marco de la Psicología genética, el térmi-no significante difiere del dado por Saussure,puesto que para aquélla, se trata no sólo de laimagen acústica que forma parte de la lenguaoral, sino también de cualquier maqnifestaciónque pueda representar un objeto, un hecho, etc.Así entendido, debemos considerar comosignificantes gráficos a los rasgos que sobre elpapel constituyen un dibujo, o un objetosimbolizante de otro y al que sustituye o repre-senta.Supongamos que en un juego, un niño utilicepiedritas, porotos, fichas, ... para representarautomóviles. Esos objetos concretos son parael niño significantes o representantes de la rea-lidad automóvil, o del concepto automóvil.Piaget, entre otros, señala distintos tipos designificantes, siendo el símbolo y el signo, al-gunos de ellos. Al signo le atribuye un caráctersocial, arbitrario y convencional.No podemos dejar de tener en cuenta los traba-jos de destacados autores como Vygostky y H.Sinclair, que señalan que los significantes y lossignificados infantiles siguen un proceso cons-tructivo antes de adaptarse a la forma conven-cional. Agregan que los significantes que expre-

san los niños pueden aparentar una simili-tud total con los convencionales, ocultandoen realidad, conceptos a veces muy distin-tos de los que un adulto sospecha.Por todo lo dicho, nos damos cuenta de quela cuestión de los simbolos y signos esmuy importante en los primeros años dela escolaridad obligatoria, por lo cual debeser objeto de especial atención por partede los docentes, y muy especialmente, porlos del Nivel Inicial.Signos y símbolos matemáticos solo debenser presentados a los niños como la etapafinal de un proceso de enseñanza y apren-dizaje de ideas matemáticas, de maneraque se facilite su asimilación con el conoci-miento conceptual existente.Para ello se requiere que el niño realicemuchas actividades previas empleando ellenguaje oral; de esa manera podrá vincu-larlo con una idea u objeto. De lo contrario,el signo está vacío y sin sentido.Es importante que realice muchos juegosde designación, a través de los cuales co-mience a sentir la necesidad del uso de sig-nos escritos como medio de comunicación,



y advierta la arbitrariedad de los mismos. Esanecesidad de los signos aparece por ejemplo,cuando la clase debe comunicarse con el exte-rior. El niño se da cuenta de que el signo elegi-do por la clase es incomprensible para los de-más. Entonces, es la oportunidad para que elmaestro presente el signo convencional que usala sociedad.Pueden inventar y dibujar signos para represen-tarse , o para representar objetos, como puedeser una pelota, un coche, una muñeca, y gra-dualmente advierten la necesidad de reempla-zar sus dibujos por algún signo que sea mássimple y más fácil de dibujar.Con la realización de estas actividades se lefacilita la comprensión de la arbitrariedad y laconvencionalidad de los signos matemáticosque necesitan empezar a usar.

entender los mecanismos que la sostienen.Esos mecanismos eran muy complejos has-ta hace pocos años, pero no sin asombroadvertimos que se van simplificando rápi-damente y van quedando al alcance de to-dos, gracias a los progresos de la técnica(en especial de la electrónica) y de su sos-tén matemático.Los algoritmos son mecanismos no trivia-les que simulan algún proceso.¿Qué es un algoritmo?- Un algoritmo es una lista de instruccionespara efectuar paso a paso, algún proceso.- Un algoritmo es un conjunto de pasos oprocesos elementales para resolver un pro-blema.-Un algoritmo es una secuencia simple designos (orales, gráficos, gestuales, ...)

• Algoritmos

Su tratamiento dentro de la enseñanza para to-dos, aparece cada día como una necesidadmayor. No es un secreto el avance de la infor-mática en muchos sentidos, por lo que los futu-ros ciudadanos deben estar preparados para

Los algoritmos siempre desempeñaron unpapel importante en la Matemática escolar.Por ejemplo, los mecanismos de las opera-ciones son algoritmos,(hay reiteración deuna regla), aunque raramente se practicael análisis de los mismos.

32 DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA


El método que se usa en la escuela para restardos números enteros proporciona un ejemplode algoritmo. Con respecto a la resta (posible)entre dos números naturales también se empleaotro algoritmo, diferente de aquél. Si se aplicacorrectamente, en uno u otro caso, cada uno delos pasos del método, el algoritmo dará siem-pre la solución correcta. Lo más importante esque una vez aprendido el algoritmo, podemosaplicarlo a un conjunto infinito de problemas desustracción. Estos mismos algoritmos se alma-cenan también en la memoria de una computa-dora, o se incorporan a una calculadora elec-trónica, y podemos determinar la resta entre dosnúmeros enteros cualesquiera.Hay problemas en Matemática para los que exis-ten algoritmos y, en principio, todo problemapara el que es posible diseñar un algoritmo pue-de resolverse mecánicamente.La eficiencia de los algoritmos para una com-putadora es tema de indudable importancia.Tanto en la Matemática como en la Lógica exis-ten problemas para los que nunca podrán es-cribirse algoritmos. Por otra parte, se conocenalgoritmos rápidos y eficientes para muchos pro-blemas importantes. A su vez, puede haber más

de un algoritmo que resuelva un problemadado. Por ejemplo, en algunos lugares deEuropa, los niños aprenden a dividir de ma-nera ligeramente distinta que en nuestropaís. No obstante, ambos algoritmos danresultados iguales y requieren el mismotiempo de ejecución. Algo parecido pasacon la resta. Pero no ocurre invariablementeasí con los distintos algoritmos que resuel-ven un mismo problema. Hay problemasmuy conocidos que se resuelven bien, tan-to por un algoritmo "rápido"como por un al-goritmo "lento".Los niños deben desde el Nivel Inicial,aprender adiseñar algoritmos simples einterpretar los ideados por los demás.Hay que desarrollar una actitud algorítmica,lo cual favorecerá el uso de una calculado-ra y de una computadora y en general, lesirven para preparar todas las actividadesnuméricas que requieren de la aplicaciónde reglas reiterativas.¿Qué se sugiere?La presentación de situaciones que les per-mitan comprender que para ejecutar una or-den o cumplir alguna tarea, deben realizar

DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA 33


una sucesión de acciones.Por ejemplo, por la mañana apenas levantados,debemos lavamos los dientes.¿Cuál es el orden correcto de la secuencia?

También se les puede indicar que comple-ten una secuencia (de figuras, de objetos,de acciones, ...), como la siguiente.

1-' 1-1,----Lo importante es que descubran la consig-na y se den cuenta que (el patrón) se man-tiene constante. Por ejemplo, cuáles son lospasos de los algoritmos propuestos por suscompañeros, tanto para realizar juegos enel patio, como para hacer actividades en elaula, sea con material concreto, sea condibujos propuestos por ellos, o con figurasrecortadas, calcadas, etc. La consigna pue-de darse en forma verbal o en forma gráfi-ca. A veces se usa un lenguaje formal (pro-grama).La realización de algoritmos, le sirven a losniños, entre otras cosas, para adquirir me-jor los mecanismos de las operaciones, opara que ante una situación-problema re-suelta, puedan comunicar cuáles son los"pasos"que siguieron, o para que compren-dan el aspecto algoritmo de la numeracióndecimal, ...

a) Enjuagarsela boca

CeplnarseIosdlenfes c)

Poner el dentífrl-b) Tomar el cepillo d) co sobre el cepl.-

y el dentitrico.110.

Si bien, según las personas, puede variar el or-den de algunas acciones, hay otras que sonimposibles de alterar, como por ejemplo, ponerel dentífrico sobre el cepillo y después, tomar eldentífrico y el cepillo.Hay muchas actividades que a los niños lesgustan, con relación a los algoritmos. Se tratade las que obedecen a una cierta ley derecurrencia.Por ejemplo, se les presenta una secuencia defiguras (u objetos) como la siguiente._.- •Una propuesta puede consistir en que coloquenfiguras (u objetos) similares, en ese orden.



• Nociones conjuntistas y lógicas cífico de la Matemática, con el objeto dedarle a éste, una gran sencillez y generali-dad.Una de las ventajas de adoptar la nomen-clatura del lenguaje conjuntista es que sir-ve para eliminar imprecisiones del lengua-je ordinario. Una vez adoptado se requiereser consecuente para no provocar desorien-tación. Mostramos con un ejemplo sencilloalgunos inconvenientes que se presentanprecisamente, por no serio.La escritura

Desde el' Nivellr'licial se sugiere la introducciónpaulatina de cierta nomenclatura que tiene q-uever por un lado, con el lenguaje conjuntista ypor el otro, con la Lógica.Se trata de una terminología y un simbolismobásico que el niño debería empezar a conocerdesde muy temprana edad.

El lenguaje conjuntista juega un papel uni-ficador en todas las ramas de la Matemática.Desde un comienzo se advierte su ventaja en eluso, porque además de dar coherencia a cual-quier exposición resulta ser un buen recursopara explicar con sencillez ideas matemáticas.

Al respecto, todos sabemos del uso y abuso que seha hecho en ese sentido. De ahí que creemos opor-tuno destacar que, como tantas veces lo hemos acon-sejado, no debe ser tomado como objeto de estudioen sí mlsmo.

x=yexpresa que x e y son dos símbolos dife-rentes para denotar la misma cosa. Se es-cribe x = y toda vez que un objeto, alconsiderárselo de dos maneras diferentes,recibe dos denominaciones, pero luego seadvierte que se trata del mismo objeto.Por ejemplo, si se llama x al número 4 + 2e y al número 3 x 2, al notar que x e yson el mismo número pondremos

x = y ó 4+2 = 3 x 2Vamos a recordarles algo que fue muy co-mún en la escuela secundaria y que ilustrade qué manera un mismo signo se usa con

La nomenclatura conjuntista debe presentarseen primer lugar en forma verbal. Sólo cuando eldocente lo crea necesario aparecen los signos.Se trata de un lenguaje que el niño debe incor-porar como parte del lenguaje simbólico espe-

DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA) 35

LA MATEMÁTICA EN El NIVEL INICIAL (N.I) y EN El PRIMER CICLO DE LA EDUCACiÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B)

distinto significado al señalado, provocando eldesconcierto entre los alumnos.Para expresar que un número entero a esmúltiplo de un entero b se usaba antigüamentela notación

a=6leyendo "a es igual a un múltiplo de b".Por ejemplo •• 6 = 2 (1)Entonces, 2 denota "un múltiplo de 2"; uno cual-quiera, no determinado. Por tanto, en la "igual-dad" (1) el segundo miembro no indica un nú-mero determinado, sino uno cualquiera de en-tre varios (por ejemplo, 2, 6, 12, 24, etcétera); yla "igualdad" denota tan sólo que uno de elloses el mismo número que está anotado en el pri-mer miembro.Entonces la "igualdad" no es una igualdad en elsentido auténtico mencionado. Sólo tiene laapariencia de una igualdad debido a la presen-cia del signo = ; pero este signo está usado en(1) con un significado diferente del que le he-mos asignado previamente.Por supuesto que el ejemplo anterior no es elúnico que muestra inconvenientes por la impre-

cisión o la falta de claridad.Si en el Nivel Inicial, el maestro realiza fre-cuentes y variadas actividades para que elniño comprenda la noción de igualdad(como identidad), e introduce en un momen-to dado el signo que representa ese con-cepto, ¿por qué no ser sistemático en eluso del mismo? Más aún, la introduccióndel signo = se propone en el Nivel Inicialcomo una necesidad para representar unmismo objeto, y ese significado es el quedebe mantenerse a lo largo de toda la es-colaridad.Además del signo = , aparecen más ade-lante otros, como E (pertenece) y e (in-cluido o parte de), pero en esta etapa sólohay que ir preparando su significado.

- En el Nivel Inicial el niño "trabaja"con elreconocimiento de las propiedades que tie-nen los objetos de una colección. Puedeser el color, la forma, el tamaño, etc. Parareconocer los atributos o las propiedadesde los objetos (más fácilmente distin-guibles), sólo basta tener en cuenta losobjetos mismos.


LA MATEMÁTICA EN EL NIVEL INICIAL (N.!) Y EN EL PRIMER CICLO OE LA EDUCACiÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B)

Es muy probable que los niños aprendan adiferenciar, en primer lugar, el color y la for-ma. No ocurre lo mismo con el tamaño por-que, si bien se trata de una propiedad tan re-lativa como las anteriores, es indispensablepara su reconocimiento tener en cuenta otrosobjetos.Las variables de los atributos se forman en lamente del niño por comparación; y con estacomparación la mente toma analogías y con-trastes. Por ejemplo, comparando cuerpos dedistinta forma, observa que ésta es una ca-racterística de los mismos; al comparar lascaras de los de la misma forma, adquiere laidea de formas planas, etc.La mente humana tiene el poder de prescin-dir de algunos atributos de los cuerpos y defijar su atención sólo en algunos.Convengamos en considerar los atributos olas propiedades de los objetos de una colec-ción, como propios de los objetos mismos, sintener en cuenta aquellas características queen determinadas situaciones podría tener, porejemplo, debido su posición relativa con res-pecto a los demás.

La palabra colección se usa en este con-texto para aludir a conjuntos finitos cuyoselementos son objetos concretos.- Junto con~I reconocimiento de las pro-piedades de objetos aparece el uso de losconectivos lógicos:no, para negar una propiedad,y, comoconjunción de dos propiedades,o, comodisyunción de dos propiedades,(en dos sentidos, como veremos ensegui-da).Al respecto, creemos necesario formularlas siguientes observaciones.En el Nivel Inicial se comienzan a intro-ducir los conectivos lógicos, como partedel lenguaje simbólico que usa ISI Mate-mática. Ello es necesario por cuanto losconectivos gramatica'les (y, o) están enocasiones, usados con cierta ambigüe-dad. .Nos vamos a referir a cada uno de ellos.(i) Para negar una propiedad basta conanteponer el conectivo no. 'Por ejemplo: María es alta; María no esalta.



El conectivo lógico no está relacionado con lacomplementación de conjunros.(ii) Si decimos por ejemplo,

María es alta y estudiosatenemos una conjunción de dos propiedades.Queremos significar que María tiene simultá-neamente Ja propiedad de ser alta y, al mis-mo tiempo, la de ser estudiosa.En ese caso, el término y es el conectivo lógi-co de la conjunción.Otro ejemplo:El número 2 es natural y es par.El conectivo y está vinculado con la intersec-ción de conjuntos.Observen que al decir

María y Clarita son hermanas,el término y está usado con otro significado:no alude a una conjunción de dos propieda-des. No se trata del conectivo lógico de la con-junción. Hay que distinguir ambos significados.(iii) ¿Cómo interpretas las siguientes afirma-ciones?

Quiero comprar una blusa roja o azulEs obvio que excluyo la posibilidad de compraruna blusa roja y azul.

En cambio, en esta otra,Se hacen descuentos a maestros oestudiantes

es evidente que también están conside-rados los maestros que son estudiantesal mismo tiempo.Venimos de ver que el conectivo gramati-cal o admite dos usos que son llamadosexcluyente e inclusivo. Se trata de un de-fecto de nuestro idioma; no ocurre así conel Latín.Insistimos que en nuestro idioma el térmi-no o tiene dos significados :

'o' excluyente ; 'o' inclusivoEn Matemática y en Lógica no es posi-ble mantener esa ambigüedad. Adoptaruno u otro es cuestión de convención,pero hay que decidirse por uno de ellos.Resulta más cómodo, sobre todo por lasaplicaciones a la Matemática el uso in-clusivo. Cuando nada se diga, debe es-tar sobreentendido que se trata del o in-clusivo.El o inclusivo está relacionado con launión de conjuntos.



No obstante insistimos en que un térmi- Es ImpensaDTe IOTroauclr estas nocionesno o un signo, s610 debe ser presentados de implicación y de doble implicación. (encuando aparece la necesidad de su uso y el sentido formal) tanto en el Nivel Inicialel níñe tenga comprendido su significado. como en los primeros anos de .a escolari-

dad elemental. Solamente las hemos con-- Quedan por considerar dos signos : ~ (Si signado para destacar su significado.

... entonces ... ) y <=> (Si Y sólo si) El docente debe conocerlos para evitar suintroducción de manera incorrecta.

El primero puede usarse como una simple co- I

¿Cómo hacemos si queremos usar el o ex-cluyente en forma verbal?Es muy simple. Basta con decir

o bien rojo, o bien redondolo cual pone en evidencia que se excluye laposibilidad de que sea al mismo tiempo, rojoy redondo.Cuando el niño avance en la escolaridad, re-currirá a los signos correspondientes y, en esemomento, quedará eliminada toda la ambi-güedad que estamos mencionando. Se com-prende entonces, porqué dijimos que losconectivos gramaticales deben ser reempla-zados por los conectivos lógicos.El alumno dispone de muchos años para com-prender bien su significado, pero estamosconvencidos de que su introducción debe co-menzar a tem rana edad.

nexión entre dos proposiciones. Pero esta-mos interesados en el caso que indica re-lación de causa a efecto. Tiene que ver conlos razonamientos deductivos de los cua-les hablamos. Es la implicación lógica.Ejemplo

Si un triángulo tiene un ángulo recto, en-tonces es un triángulo rectángulo.

Con respecto al segundo, ocurre lo mismo.A veces se usa como una simple conexiónentre dos afirmaciones. Pero también sig-nifica relación entre dos proposiciones :cada una se deduce de la otra. Es la equi-valencia lógica.Ejemplo:Un número natural es par, si y solo si, esmúltiplo de 2.



Hablemos algo de los cuantificadores.Hay dos:- el cuantificador universal- el cuantificador existencial .La idea que expresa el cuantificador univer-sal es simple en lo que se refiere a los con-juntos finitos. Para poder usarlo es necesarioque primero delimitemos en forma precisa cuáles la "amplitud" del dominio sobre el que lepedimos al niño que actúe. A ese dominio esel que llamaremos conjunto base, referencial,universo.Supongamos que le presentamos una colec-ción de fichas azules. En ese caso es lícitodecir:

Todas las fichas son azules.La locución "todas" quiere significar que cadaobjeto de esa colección tiene la propiedad deser azul. Es el cuantificador universal.

• O ••oeePodemos decir que "hay algunas fichasblancas"La locución "hay algunas" corresponde alcuantificador existencial. Hace referenciaa una parte de un todo.No existen otros cuantificadores que losque venimos de mencionar.A veces, se confunden ciertas expresio-nes como "pocos" ,"muchos", "más que" ,etc., con los cuantificadores de la lógica.Pero tales expresiones sólamente consti-tuyen referencias a cantidades que se ca-racterizan por ser relativas, "no absolu-tas". No son cuantificadores.

-ee_e_e • Clases y órdenes

¿Qué ocurre si colocamos en esa colección al-gunas fichas blancas?

- Trabajando con abundante material con-creto o gráfico, el niño realiza el análisisde las propiedades de los objetos (forma,color, tamaño, etc) y comienza, de mane-



seso En cada clase pone las de un mismocolor.

ra natural, a realizar intentos por vincular en-tre sí, objetos dotados de dichas propiedades.Puede decir, por ejemplo, que una bolita es delmismo color que otra, o que un árbol es másalto que otro árbol, teniendo en cuenta las pro-piedades de esos objetos.También espontáneamente realiza actividadesde clasificaciones y ordenamientos, que másadelante lo llevarán a comprender nociones ma-temáticas básicas.Hemos mencionado dos procedimientos fun-damentales. clasificación y ordenamientoLas clasificaciones están vinculadas con lasrelaciones de equivalencia. A su vez, toda rela-ción de equivalencia definida en un conjunto,permite formar clases, o sea, permite clasificarlos objetos o elementos que lo formanVeamos un ejemplo. Se le presenta al niño unacolección (universo) de bolitas de tres colores:rojo, azul y verde.Como consecuencia deuna actividad natural se-para las bolitas por suscolores, o sea, las clasifi-ca. Puede formar tres cla-

Gradualmente se irá dando cuenta que nohay ninguna bolita que esté en dos clasesa la vez, y que reuniendo todas las bolitasreencuentra la colección de la cual partió.¿Cuál es la relación de equivalencia que lepermitió hacer esa clasificación?Es la relación cuyo requisito es :

... "tiene el mismo color que" ...Hablar de clasificación equivale a formarclases y, formar clases, significa pensar enuna relación de equivalencia.Por supuesto que el niño no necesita va-lerse del significado "clasificar". Basta conque ante un material determinado que pue-de manipular, concluya recurriendo a estaactividad elemental, mediante la cual deci-


1••__ 1 •••••••


de, de manera natural y espontánea, agruparentre sí los objetos que están a su alcance y enlos cuales reconoce alguna propiedad (percep-tible o no), que los hace diferentes de los de-más.

- Trabajando con material concreto o gráfico tam-bién realiza ordenamientos (de porotos, deautitos, de piedritas, de varillas, etc.)¿Qué lo lleva a efectuar esos ordenamientos? .Previamente ha comparado dos objetos y lue-go, los ubica en una "cadena", siguiendo el cri-terio que él o su maestra deciden, pudiendo sertotalmente arbitrario. Es muy posible que en elcomienzo de estas actividades no pueda comu-nicar cuál es el criterio que le permite ordenar.Así como las clasificaciones están vinculadascon las relaciones de equivalencia, los or-denamientos 10están con las relaciones de or-den. Por éjemplo, manipulando tres varillas dedistinta 10l)gitud, el niño realiza ordenamientos,sea en forma creciente, sea en forma decrecien-te, usando los criterios Intulti~os:..."es más larga que" ..." " á rt ".. es m s co a que ...

respectivamente.

Ordenamiento creciente Ordenamiento decreciente(se dice en aumento) (se dice en disminución)

Todas las actividades mencionadas prepa-ran al niño para el posterior uso de los sig-nos < (menor) y > (mayor) con los cua-les primero va a comparar dos números y.luego, va a realizar ordenamientos crecien-tes como

1 < 2 < 3 < 4,o deaecientes, tales como

4>3>2>1.En estos ordenamientos subyace la nociónde relación de orden (en el conjunto de losnúmeros naturales).Aprenderá que los mismos signos puedenser usados en contextos distintos, o sea,con respecto a diferentes relaciones .las relaciones de equivalencia y las rela-ciones de orden son de gran importancia

42DIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA

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Nuevamente debe quedar claro que lo dichoestá destinado sólo al docente.

- el tratamiento de un mensaje, realizandopor ejemplo, conjeturas, análisis de infor-mación, etc.- la emisión de un mensaje, para lo cual esconveniente la producción de un dibujo, ungráfico, una justificación, etc.Debe el niño acostumbrarse a analizar lainformación disponible en un determinadojuego o situación planteada por el maestro,lo cual le permite, en el momento de tenerque enfrentar y resolver una situación-pro-blema, encontrar una estrategia de resolu-ción en función de los datos que se pre-sentan, e inferir de los datos conocidos quéotros necesita para ese fin.b) "Evolucionar de las expresiones in-formales de los niftos hasta el lenguajede la Matemática".Si bien es cierto que las ideas matemáticasadmiten diversos marcos de representa-ción, su lenguaje específico es una combi-nación de signos, símbolos y términos es-peciales que muchas veces tienen un sig-nificado diferente al que se le da en el len-guaje común. El niño debe aprenderlo gra-dualmente y sin presiones que lo traumen.

Es él quien debe conocer las nociones ma-temáticas que subyacen en las actividadesde clasificación y ordenamientos, pero deninguna manera son para explicitarlas a suspequeftos alumnos.

• Comunicación.

Uno de los procedimientos generales vincula-dos con el quehacer matemático, es la co-municación, sobre la cual formulamos algunasconsideraciones en la parte A de este Fascícu-lo.Se trata de un procedimiento fundamental por-que, posibilita entre otras cosas:a) "Recibir y transmitir información" ..Ello hace que desde el Nivel Inicial haya queprestar atención a:- la recepción de un mensaje, para lo cual sesugieren actividades que tengan que ver con lalectura de enunciados, de gráficos, de tablas ocuadros, de dibujos, de situaciones con mate-rial concreto, etc.



Más aún, antes de llegar a manejar ese lengua-je transcurren muchos años de escolaridad y,por consiguiente, hay tiempo para el aprendi-zaje del mismo. La comprensión del lenguajede la Matemática, tiene un problema crítico quees la falta de comprensión o entendimiento delas estructuras profundas, por lo cual hay queprestarle tanta atención como el concebido paraestimular la formación de un concepto.

d) "Ver la necesidad de precisar el voca-bulario y compartir definiciones paraevitar la ambigüedad 'que en muchasocasiones existe en el lenguaje común" .

c) "Establecer conexiones entre las dife-rentes formas de representación de concep-tos y relaciones matemáticas".Esa es la razón por la cual se deben estimulartodas las formas de representación : concreta,verbal, simbólica, mental, gráfica, pictórica, etcEn los intentos de comunicación los niños em-plean el lenguaje corriente (oral o escrito), lasrepresentaciones pictóricas de diversas clases,símbolos, etc. Las representaciones pictóricasdejan en la mente humana una impresión másprofunda ,que las abstracciones, de ahí la con-veniencia de estimularlas desde el Jardín. deInfantes. Algo similar ocurre con las represen-taciones gráficas, que también producen un im-pacto inmediato en los niños.

El lenguaje matemático del niño irá ganan-do rigor ante las discusiones que crea eluso del lenguaje común o cotidiano por suambigüedad y faita de precisión para ex-presar ciertas nociones. Eso irá mostrandola "necesidad" de expresar tales nocionescon el lenguaje específico.Estas breves consideraciones con respec-to a la comunicación tienen como propósi-to poner en evidencia que se trata de unavariable importante. El maestro debe favo-recer en las clases de Matemática, tanto lacomunicación oral como la escrita así comoel uso de los distintos lenguajes que permi-ten expresar las ideas y las relaciones pro-pias de esta ciencia.Tengamos en cuenta los Contenidos acti-tudinales vinculados con el quehacer ma-temático que están referidos al tema quenos ocupa: Desarrollo de la expresión yla comunicación

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Propuesta de organización para el apartadoACTIVIDADES LÓGICAS Y DE LA COMUNICACiÓN

correspondiente al NIVEL INICIAL

En el momento de tener que organizar todas las compo-nentes que convergen en el apartado:contenidos en sen-tido amplio (Contenido conceptual -SABER y Conteni-dos procedimentales - SABER-HACER), SABER-HE-RRAMIENTA, Propuestas de Secuencias de enseñan-za y aprendizaje y Contenidos actitudinales, nos incli-namos por una organización que no responde a losagrupamientos tradicionales.Parte de esa organización quedó en evidencia cuandopresentamos los bloques de los CBC para el Nivel Ini-cial y el Primer Ciclo de la EGB en tres apartados,visualizados en diagramas arbolares.

Luego, surgió la segunda cuestión: cómo or-ganizar las otras componentes de cada unode los apartadosNos pareció que una forma clara de organi-zación es la que adoptamos mediante cuatrocolumnas en las que consignamos: unasecuenciación de contenidos conceptuales(SABER) , una propuesta de secuenciaciónde procedimientos específicos (SABER-HA-CER), una tercera, del SABER-HERRAMIEN-TA) Y una cuarta columna que tiene carácterfigurativo. Quisimos significar que, con la in-formación de las tres columnas de los tresapartados, hay que confeccionar secuenciasde aprendizaje destinadas al aula, y para ello,contamos con las propuestas que nos sugie-ran los mismos docentes interesados en par-ticipar.:s.fOrma.:depres..ntaCiÓft no •• definitiva.

en18nc:len,le sólo como una primera propu •• " pro-ducida een e,propósi1;o de ,generar un intercam,.bio de opinio~s."uQeren~ias para mejorar1a yenr:lquecerla.


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Cuadernillo 7 matematica-1 parte

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