Comandos Fisca

7/26/2019 Comandos Fisca

1/20

\documentclass[12pt, spanish]{article}\usepackage{graphicx}\usepackage[spanish]{babel}\addtolength{\textwidth}{1in}\addtolength{\textheight}{1in}\addtolength{\evensidemargin}{0!in}\addtolength{\oddsidemargin}{"0!in}\addtolength{\topmargin}{"0!in}

\begin{document}\title{#raba$o %inal \\ &$ercicios cap '(\\)esumen * e$ercicios cap (}\author{+armen +h\ave- .at 2!/10\\aira randa .at 2!334\\5eorgina+asas .at 2!/134\\+arolina #orres .at 2!604\\&ma &scobar .at2!673\\}\date{.ateria" %\isica ' \\8ombre del 9ro:esor" ;a-iel oto \\

%acultad de 'ngenier\ia\\ue act\uan sobre un cuerpo pueden a:ectar su movimiento detraslaci\on, pero tambi\en su movimiento rotacional ?@u\e aspectos deuna :uer-a determinan >u\e tan eAca- es \esta para provocar o modiAcareste \ultimo movimientoB la magnitud, direcci\on * la posici\on del puntode aplicaci\on =a medida cuantitativa de la tendencia de una :uer-a paracausar o alterar la rotaci\on de un cuerpo se denomina torca o momento detorsi\on\\

=a tendencia de una :uer-a C\vec{%}C >ue act\oa sobre un cuerpo a causaruna rotaci\on alrededor de CDCEorigenF, depende de sumagnitud * tambi\en de la distancia perpendicular ClCEbra-o de palanca de

: alrededor de C0CF entre CDC * la l\inea de acci\on de la :uer-a =a torcaC#C de una :uer-a alrededor de un punto es el producto d la magnitud de la:uer-a C%C * su bra-ao de palanca ClCG\begin{e>uation}\tauH%=\end{e>uation}&xisten dos posibilidades respecto al sentido en el >ue una :uer-a hace rotara un cuerpo 9ara distinguirlas, se elige un sentido de rotaci\on positivo, *asea antihorario u horario=a unidad de la torca en el ' es el newton"metro\begin{e>uation}\vec{\tau}H%=Hr%sen\thetaH%I{tan}r

\end{e>uation}


2/20

\subsubsection{=a torca como vector}&s posible representar la torca como vector =a cantidad Cr%sen\thetaC es lamagnitud del producto vectorial C\vec{r} x \vec{%}C 9ara entenderseme$or tenemos >ueG si una :uer-a C\vec{%}C act\ua en un punto >ue tieneun vector de posciciJn C\vec{r}C con respecto a un origen CDC, la torcaC\vec{\tau}C de la :uer-a con respecto a CDC es la cantidad vectorial\begin{e>uation}\tauHrx%\end{e>uation}+omo podemos observar la ecuaci\on E2F nos indica solo la magnitud deC#C, mientras >ue la ecuaciJn E7F nos indica ademKs su direcciJnC\vec{\tau}C\\

\subsection{\textb:{102 #D)+ L +&=&)+'D8 M& ue conocer >ue el cuerpo se compone de un gran numero departiculas &ntonces se tomara en cuenta el e$e - como el de rotacionN laprimera particula tiene una m1 * distancia r1 con respecto a este e$e =a:uer-a total %1 >ue actua sobre la particula tiene una componente en ladireccion radial %1rad, una componente %1 tan >ue es tangente al circulo der1 en >ue se mueve la particula al girar el cuerpo, * una componente %1-sobre el e$e de rotacion=a segunda le* de 8ewton para la componente tangencial esG

\begin{e>uation}

%I{1tan}HmI{1}aI{1tan}\end{e>uation}

9odemos expresar la aceleracion tangencial de la primera particula enterminos de la aceleracion angular O-, entonces\begin{e>uation}\alphaI{1tan}HrI{1}\alpha I{-}\end{e>uation} \\+onesta relacion * multiplicando ambos miembros de la ecuacion de la 2da le*de 8ewton por r1 obtenemosG\begin{e>uation}%I{1tan}rI{1}HmI{1}rI1P2\alphaI-

\end{e>uation}

&ntonces C%1 tan r1C no es mas >ue la torca de la :uer-a total con respectoal e$e de rotacion &l subindice C\tauC indica >ue la torca a:ecta la rotacionen torno con el e$e de las -* de la misma manera >ue el subindice %i- es la:uer-a >ue a:ecta el movimiento dela particula a lo largo del e$e -=as componentes restantes %1rad * %1- no contribu*en a la torca alrededordel e$e - pues ninguna tiende a modiAcalrla rotacion de la particulaalrededor de ese e$e\begin{e>uation}\tauH %I{1tan} rI{1}\end{e>uation}

es la torca >ue actua sobre la particula con respecto al e$e rotacion


3/20

demas CmI1rI1P2C es C'I1C, el momento de inercia de la particulaalrededor del e$e de rotacion\\

&ntonces reescribiendo en la ecuacion pasada >uedaria \begin{e>uation}%I{1tan} rI{1}H 'I{1} \alphaI{-} H mI{1} rI1P2 \alphaI{-}\end{e>uation}

&scribimos una ecuacion similar para cada particula del cuerpo * luegosumamos todas las ecuacionesG

\begin{e>uation} \tauI{1-} Q \tauI{2-} QR 'I{1}\alphaI{-}Q'I{2}\alphaI{-}QR mI{1}rI1P2\alphaI{-}QmI{2}rI2P2\alphaI{-}QR \end{e>uation}&s decir\begin{e>uation} \sum{\tau}I{i-}H E\sum mI{i}rI{i}P2F\alphaI{-}\end{e>uation}

&l miembro i->uierdo de la ecuacion esla suma de todas las torcas en tornoal e$e de rotacion >ue actuan sobre las particulas C'H \sum mI{i}r{i}P2C ,el momento de inercia total alrededor del e$e de rotacionl, multiplicado porla aceleracion angular C\alphaI{-}C, la cual es la misma para todas lasparticulas por >ue se trata de un cuerpo rigidosi para el cuerpo rigido entero, tenemos el analogo rotacional de lasegunda le* de 8ewtonG\begin{e>uation} \sumI{\tau}I{-}H ' \alphaI{-} \end{e>uation}

&ntonces podemos explicar >ue asi como al segunda le* de 8ewton dice>ue la :uer-a >ue actua sobre una particula es igual a la masa de la

particula multiplicada por su aceleracin, la ecuac ion >ue acabamos dededucir dice >ue la torca >ue actua sobre un cuerpo rigido es igual almomento de inercia del cuerpo alrededor del e$e de rotacion multiplicadopor su aceleracion angular

egSn la tercera le* de 8ewton sobre cada particula se debe a la :uer-aneta >ue actua sobre esa particula, la cual es la suma vectorial de :uer-asexternas e internas egSn la tercera le* de 8ewton las :uer-as internas>uen cual>uier par de particulas del cuerpo rigido e$ercen una sobre la otrason iguales * opuestas i estas :uer-as actuan sobre la linea >ue las une lasdos particulas, sus bra-os de palanca son iguales * opuestos * suman cer

&ntonces todas las torcas internas suman cero * las :ormulas pasadas soloinclu*en las torcas delas :uer-as externas &l peso de una particula esimportante * se toma como :uer-a externa, este no se concentra en un solopunto si no en cada una de las particulas debido a >ue si la gravedad esconstante siempre obtendremos la torca correcta \\

\subsection{\textb:{107 )D#+'D8 M&


4/20

traslacional del centro de masa * rotacion alrededor de un e$e >ue pasa porel centro de masa &sto se cumple aun si el centro de masa se acelera

\subsubsection{#raslacion * rotacion combinadasG )elaciones de energia}&l movimiento de un cuerpo rigido siempre puede dividirse, en movimientosindependientes de traslacion del centro de masa * rotacion alrededor delcentro de masa 9odemos comprobar >e es cierto para la energia cinetica deun cuerpo rigido con movimieno tanto traslacional como rotacional =aenergia cinetica del cuerpo es la suma de una parte V .v2 asociada almovimiento del centro de masa * una parte CV 'I{cm} wP2C asociada a larotacion alrededor de un e$e >ue pasa por el centro de masaG

\begin{e>uation}WH1X2 .UI{cm}P2Q V 'I{cm}YP2 \end{e>uation}cuerpo rigido con traslacion * rotacion

9ara demostrar esto, imaginamos otra ve- >ue el cuerpo rigido se componede particuloas +onsideramos una particula representativa de masa mi su

elodicada vi relativa a un marco inercial es la suma vectorial de la velocidadvcm del centro de masa * la velocidad CUI{i}C de la particula relativa alcentro de masaG\begin{e>uation} UI{i}HUI{cm}QvZI{i} \end{e>uation}

=a energia cinetica Wi de esta particula en el marco inercial es CVmI{i}UI{i}P2C >ue tambien se puede expresar como CV mI{i}EvI{i}QvI{i}FC entonces sustitu*endo en la ecuacion anterior tenemosG\begin{e>uation}WI{i}H V mI{i}EUI{cm}QUZI{i}F EUI{cm}QvZI{i}F \end{e>uation}\begin{e>uation}WI{i}H V mI{i}EUI{cm}P2Q2UI{cm}vZI{i}QUI{i}P2F\end{e>uation}

=a energia cinetica total es la suma Wpara todas las particulas del cuerpo iexpresamos los tres terminos de la ecuacion como sumas individuales G

\begin{e>uation}WH \sum kI{i}H \sumE1X2 mI{i}UI{cm}P2F Q\sumEmI{i}UI{cm}QvZI{i}F Q \sumE1X2 mI{i}vZiF \end{e>uation}&n el primer termino C\sum mI{i}C es la masa total . &l segundo terminoes cero por >ue C\sum mI{i}vZI{i}C es . multiplicada por la velocidad delcentro de masa relativa al centro de masa >ue es cero por deAnicion &lultimo termino es la suma de las energias cineticas de las particulas,calculada usando sus rapideces con respecto al centro de masaN esta es la

energia cinetica de rotacion alrededor de ese centro

uation}WH V .UI{cm}P2Q1X2 'I{cm} wP2 \end{e>uation}

\subsubsection {)odamiento sin despla-amiento}


5/20

=a rueda es simetrica asi >ue su centro de masa esta en su centrogeometrico &n el cual la superAcie debe estar instantaneamente en reposopara >ue no resbale 9or lo tanto la vZi del punto de contacto, relativa alcentro de masa, debe tener la mima magnitud pero direccion opuesta >ue lavelocidad del centro de masa vcm i el radio de la rueda es ) * su rapide-angular alrededor del centro de masa es w, la magnitud de vZi es )w, porello debemos obtener\begin{e>uation}UI{cm}H )w \end{e>uation} condicion para rodar sin resbala

=a velocidad de un punto en la rueda es la suma vectorial de la velocidaddel centro de masa * velocidad del punto relativa al centro de masa simientras el punto de contacto esta momentaneamente en reposo, el puntode arriba se mueve hacia adelante con el doble de la rapide- del centro demasa, * los dos puntos de los lados tienen velocidades a 4! con lahori-ontal=a energia cinetica de la rueda es CWH V 'wP2C \\

\subsubsection{#)=+'D8 L )D#+'D8 +D.T'8MG M'8.'+}#ambien se puede anali-ar los movimientos traslacional * rotacionalcombinados de un cuerpo rigido desde la prespectiva de la dinamica 9araun cuerpo total . la aceleracion acm del centro de masa es igual a la deuna masa puntual . sobre la >ue actuan todas las :uer-as externas a las>ue esta su$eto el cuerpoG\begin{e>uation}\sumI%I{ext}H .aI{cm}\end{e>uation}&l movimiento rotacional alrededor del centro de masa se describemediante el analogo rotacional de la segunda le* de 8ewton

\begin{e>uation}\sumI\tauH 'I{cm} \alphaI{-}\end{e>uation}&sta ultima :ormula es valida aun si el e$e de rotacion se mueve siempre *cuando se satis:agan las siguientes condicionesG1" &l e$e >ue pasa por el centro de masa debe ser un e$e de simetria2" el e$e no debe de cambiar de direccion\\

\subsection{\textb:{104 #raba$o * potencial en movimiento rotacional}}\\+uando pedaleamos una bicicleta, aplicamos :uer-as a un cuerpo enrotaci\on * e:ectuamos traba$o sobre \el lgo similar ocurre en algo como

el e$e de un motor >ue gira, e impulsa una herramienta de potencia o unveh\iculo 9odemos expresar el traba$o en t\erminos de la torca * eldespla-amiento angular\\uponga >ue una :uer-a tangencial C\vec{%}tanC act\ua en el borde de undisco pivoteandoN por e$emplo una ni\^na >ue corre empu$ando un carruselsencillo =a rueda gira un \angulo inAnitesimal Cd\thetaC alrededor de une$e A$o durante un tiempo inAnitesimal CdtC &l traba$o CdCY e:ectuado porC\vec{%}tanC mientras un punto del borde se mueve una distancia CdsC esCdCY H %tan CdsC i Cd\thetaC se miede en radianes, entonces CdsC H )Cd\thetaC

\begin{e>uation}

dY H %tan ) d\theta\end{e>uation}


6/20

hora %tan ) es la CtorcaC C\tauC- debido a la :uer-a C\vec{%}tanC, as\i>ueG\begin{e>uation}dYH\tauI- d\theta\end{e>uation}

&l traba$o total CYC e:ectuado por la torca durante un despla-amientoangular C\thetaI1C a C\thetaI2C esG\begin{e>uation}YH\displa*st*le\intI{\thetaI1}P{\thetaI2} \tauI- d\theta \\ E#raba$oe:ectuado por una torcaF\end{e>uation}

i la torca es CconstanteC * el cambio del \angulo es Anito C\MeltaCC\thetaCH C\thetaI2C " C\thetaI1C\begin{e>uation}

YH \tauI- E\thetaI2 " \thetaI1F H \tauI-\Melta\theta\end{e>uation}

&l traba$o e:ectuado por una torca es CconstanteC es el producto de la torca* el despla-amiento angular i la torca se expresa en 8m * eldespla-amiento angular en radianes, el traba$o est\a en ;oules\\i una torca e:ect\ua traba$o sobre un cuerpo r\igido >ue gira, la energ\iacin\etica cambia en una cantidad igual a ese traba$o\\ea C\tauC la torca neta sobre el cuerpo, de modo >ue por la ecuaci\onC\tauC HC'CCaI2C, suponiendo >ue el cuerpo es r\igido * por lo tanto, tienemomento de inercia C'C constante\\ #rans:ormamos el integrado de laecuacion 7 en una integral sobre C\omegaCI- as\iG

\begin{e>uation}\tauI- d\thetaH '\:rac{d\omegaI-}{dt}d\theta H '\:rac{d\theta}{dt}d\omegaI- H '\omegaI- d\omegaI-\end{e>uation}

Mado >ue C\tauC es la torca total, la integral de la ecuaci\on 7 es el traba$oCtotalC e:ectuado sobre el cuerpo r\igido en rotaci\on s\i, la ecuaci\on seconvierte enG\begin{e>uation}YtotH\displa*st*le\intI{\omegaI1}P{\omegaI2} '\omegaI- d\omegaI- H\:rac{1}{2}'\omegaI2P2 " \:rac{1}{2}'\omegaI1P2

\end{e>uation}

&l cambio de energ\ia cin\etica rotacional de un cuerpo Cr\igidoC es igualal traba$o e:ectuado por :uer-as e$ercidas desde a:uera del cuerpo idividimos ambos miembros de la ecuaci\on 2 entre el intervalo CdtCdurante el >ue se da el despla-amiento angular, in embargo dYXdt es larapide- con >ue se e:ect\ua traba$o, o potencia C9C, * dC\theta C X dt esvelocidad angular C\omegaI{-}C, as\i >ueG\\\begin{e>uation}9H\tauI- \omegaI-\end{e>uation}i una torca C\tauI{-}C act\ua sobre un cuerpo >ue gira con velocidad

angular C\omegaI_{-}C , su potencia es el producto de C\tauI{-}C *


7/20

C\omegaI{-}C &sto es an\alogo de la relacion 9HC\vec{%}C C\vec{v}C >uedesarrollamos en la secci\on para el movimiento de part\iculas\\

\subsection{10! .omento ngular}&l anKlogo del momento lineal o cantidad de movimiento de una part`culaen movimiento rotacional, es el momento lineal, una cantidad vectorialdenotada con C\vec{=}C u relaciJn con el momento lineal p esexactamente la misma >ue entre la torca * la :uer-a, C\vec{#} H \vec{)}x \vec{%}C 9ara una part`cula de masa m, velocidad C\vec{v}C, momentolineal C\vec{p}C H mC\vec{v}C, * vector de posiciJn C\vec{r}C relativo alorigen 0 de un marco inercial, deAnimos el momento angular = comoG\begin{e>uation} \vec{=} H \vec{r} x\vec{p} H \vec{r} x m\vec{v}\end{e>uation}&l valor de C\vec{=}C depende del origen 0 elegido, *a >ue en l intervieneel vector de posiciJn de la part`cula relativo al origen =as unidades sonkgm2Xs

\begin{Agure}[h]\centering\includegraphics[widthH!\textwidth]{.;95}\end{Agure}

%igura 1 E+Klculo del momento del momento angular C\vec{=} H \vec{r}x \vec{p} H \vec{r} x m\vec{v}C de una part`cula de masa m >ue semueve en el plano x*F&n la %igura, una part`cula se mueve en el plano x*N se muestran su vectorde posiciJn C\vec{r}C * su momento lineal C\vec{p} H m\vec{v}C &l vectormomento angular C\vec{=}C es perpendicular al plano x* =a regla de lamano derecha para productos vectoriales nos indica >ue su direcciJn es en

el e$e Q-, * su magnitud esG\begin{e>uation}= H mv rsen\#heta H mvl\end{e>uation}donde l es la distancia perpendicular desde la l`nea de C\vec{v}C a 0 &stadistancia hace las veces de bra-o de palanca para el vector de momentolineal i una :uer-a neta actSa sobre una part`cula, cambian su velocidad *su momento lineal, * tambin puede cambiar su momento angular9odemos demostrar >ue la rapide- de cambio del momento angular es iguala la torca de la :uer-a neta Merivamos la ecuaciJn E1F con respecto altiempo usando la regla de la derivada de un productoG

\begin{e>uation}d\vec{=}Xdt H EEd\vec{r}FXdt x m\vec{v} FQ E\vec{r} x mEd\vec{v}FXdtFHE\vec{v} x m\vec{v}FQ E\vec{r} x m\vec{a}F\end{e>uation}

&l primer trmino es cero por>ue contiene el producto vectorial de C\vec{v}Hd\vec{r}XdtC consigo mismo &n el segundo trmino sustituimosCm\vec{a}C por la :uer-a neta C\vec{%}C, obteniendo\begin{e>uation} Ed\vec{=}FXdtH \vec{r} x \vec{%}H\vec{#}\end{e>uation} E7F=a rapide- de cambio del momento angular de una part`cula es igual a latorca de la :uer-a neta >ue actSa sobre ella

%igura 2 E+alculo del momento de una part`cula de masa CmI{i}Cen uncuerpo rigido >ue gira con rapide- angular F


8/20

9odemos usar la ecuaciJn E2F para calcular el momento angular total de uncuerpo r`gido >ue gira en torno al e$e - con rapide- angular v +onsideremosprimero una rebanada del cuerpo >ue estK en el plano x* E%igura 2F +adapart`cula de la rebanada se mueve en un c`rculo centrado en el origen, * encada instante su velocidad C\vec{v}C es perpendicular a su vector deposiciJn C\vec{r}C como se indica 9or consiguiente, en la ecuaciJn E2F,C\varphiH 30C para toda part`cula ue estKa una distancia CrI{i}C de 0 tiene una rapide- CvI{i}C igual CarI{i} C9or la ecuaciJn E2F, la magnitud C=I{i}C de su momento angular esG\begin{e>uation} =I{i}HmI{i}ErI{i}wFrI{i}HmI{i}rIiP2w \end{e>uation}

=a direcciJn del momento angular de cada part`cula, dada por la regla de lamano derecha para el producto vectorial, es sobre el e$e Q-&l momento angular total de la rebanada >ue estK en el plano x* es la sumaC\sum=I{i}C de los momentos angular es C=I{i}C de las part`culasfaciendo la sumatoria de la ecuaciJn, tenemosG\begin{e>uation} =H\sum=I{i}HE\summI{i}rIiP2FwH'w \end{e>uation}

donde ' es el momento de inercia de la rebanada alrededor del e$e -

%igura 7 E&n la rotaciJn alrededor de un e$e de simetrà, C\vec{=} * \vec{w}C * son paralelas * estKn sobre el e$e =as direcciones de ambos vectoresestKn dadas por la regla de la mano derechaF

&l vector de velocidad angular C\vec{}Ctambin estK sobre el e$e derotaciJn s`, para un cuerpo r`gido >ue gira alrededor de un e$e de simetrà,C\vec{=} * \vec{w}C tienen la misma direcciJn E7F, * tenemos la relaciJnvectorial

\begin{e>uation} \vec{=}H '\vec{w} \end{e>uation} Epara un cuerpo r`gido

>ue gira alrededor de un e$e de simetràF

9or la ecuaciJn E7F, la rapide- de cambio del momento angular de unapart`cula es igual a la torca de la :uer-a neta >ue actSa sobre ella 9aracual>uier sistema de part`culas Eincluidos cuerpos r`gidos * no r`gidosF, larapide- de cambio del momento total es igual a la suma de las torcas detodas las :uer-as >ue actSan sobre todas las part`culas =as torcas de las:uer-as internas suman cero si las :uer-as actSan sobre la l`nea >ue va deuna part`cula a otra, as` >ue la suma de las torcas sJlo inclu*e las torcas delas :uer-as externas i el momento angular total del sistema de part`culasesC\vec{=}Cla suma de las torcas externas es entonces

\begin{e>uation}\:rac\sum#Hd\vec{l}Xdt \end{e>uation} Epara cual>uier sistema de part`culasF

i el sistema de part`culas es un cuerpo r`gido >ue gira alrededor de un e$ede simetrà Eel e$e -F, C=I{-}H 'I{-}C e ' es constante i el e$e tienedirecciJn A$a en el espacio, los vectoresC\vec{=} * \vex{w}C sJlocambian en magnitud, no de direcciJn &n tal caso Cd\vec{=}X dt H 'dI{-}Xdt H 'OI{-} C, es decir,

\begin{e>uation} \sum\tauH'\alphaI{-} \end{e>uation}


9/20

>ue es otra ve- nuestra relaciJn bKsica para la dinKmica de la rotaciJn deun cuerpo r`gido i el cuerpo no es r`gido, ' puede cambiarN en tal caso, =cambiarK aun si v es constante 9ara un cuerpo >ue no es r`gido, la ecuaciJnEF seguirK siendo vKlida

\subsection{10 +onservaciJn del momento angular}cabamos de ver >ue el momento angular puede servir para expresar deotro modo el principio dinKmico bKsico del movimiento rotacional #ambines la base del principio de conservaciJn del momento angular l igual >uela conservaciJn de la energ`a * del momento lineal, este principio es una le*de conservaciJn universal, vKlida en todas las escalas, desde los sistemasatJmicos * nucleares hasta los movimientos de las galaxias &ste principioes consecuencia directa de la ecuaciJn C\sum\vec{#}Hd\vec{=}XdtC iC\sum\vec{#}HDC * C\vec{=}C es constante

i la torca externa neta >ue actSa sobre un sistema es cero, el momentoangular total del sistema es constante Ese conservaFuponga >ue una trapecista acaba de separarse de un columpio con losbra-os * las piernas extendidos, * girando en sentido antihorario alrededorde su centro de masa l encoger los bra-os * las piernas, su momento deinercia C'I{cm}Ccon respecto a su centro de masa cambia de un valorgrandeC 'I{1}C a uno mucho menor C'I{2}C =a Snica :uer-a externa >ueactSa sobre ella es su peso, >ue no tiene torca con respecto a un e$e >uepasa por su centro de masa s`, su momento angular C=I{}H 'I{cm}I{-}C permanece constante, * su velocidad angular CI{-}Caumenta aldisminuir C'I{cm}C &sto esG

\begin{e>uation} 'I{1}YI{1}H'I{}YI{2-} \end{e>uation}Etorcaexterna neta ceroF

i un sistema tiene varias partes, las :uer-as internas >ue esas partese$ercen entre s` causan cambios en sus momentos angularesN pero elmomento total no cambia +onsidere dos cuerpos * T, suponga >ue elcuerpo e$erce una :uer-a sobre el cuerpo T egSn la ecuaciJn EF, estatorca es igual a la rapide- de cambio del momento angular de TG

\begin{e>uation} \vec{#}I{ sobre T}H \:rac {d=I{T}}{dt}

\end{e>uation}l mismo tiempo, el cuerpo T e$erce una :uer-a sobre el cuerpo , con unatorca correspondiente *\begin{e>uation}\vec{#}IET sobre FH \:rac{d\vec{=}I{}}{dt} \end{e>uation}

9or la tercera le* de 8ewton, C\vec{%}I{T sobre }H \vec{"%}I{ sobre T}C demKs, si las :uer-as actSan en la misma l`nea, sus bra-os de palancacon respecto al e$e elegido son iguales s`, las torcas de estas dos :uer-asson iguales * opuestos, * C\vec{#}I{T sobre }H \vec{"#}I{ sobre T}C9or lo tanto, si sumamos las ecuaciones anteriores tenemos

\begin{e>uation} \:rac {d\vec{=}I{}}{dt}Q \:rac{d\vec{=}I{T}}{dt}H0 \end{e>uation}


10/20

o bien, dado >ue C=I{}Q =I{T}C es el momento angular total C\vec{=}Cdel sistema,

\begin{e>uation} \:rac{d\vec{=}}{dt} H 0 \end{e>uation} Etorca externaneta ceroF E6F

&s decir, el momento angular total del sistema es constante =as torcas delas :uer-as internas pueden trans:erir momento angular de un cuerpo alotroN pero no pueden cambiar el momento angular total del sistema

\subsection{\textb:{10/ 5ir\oscopios * precesi\on}}\\&n todas las situaciones >ue hemos examinado en este cap\itulo, el e$e derotaci\on se ha mantenido A$o o, si se ha movido, ha mantenido sudirecci\on e presentan diversos :en\omenos :\isicos nuevos, algunosinesperados, si el e$e de rotaci\on puede cambiar de direcci\on 9or

e$emplo, considere un gir\oscopio de $ueguete apo*ado en un extremos ilo sostenemos con el e$e del volante hori-ontal * lo soltamos, el extremolibre del e$e cae debido a la gravedadG si el volante CnoC esta girando 9erosi el volante CgiraC, lo >ue sucede es mu* distinto uinas giratorias como los gir\oscopios &n estemomento la tierra misma est\a en precesi\onG su e$e de rotaci\on cambialentamente de direcci\on, completando un ciclo de precesi\on cada 2,000aos\\Mebemos recordar >ue la velocidad angular, el momento angular * la torca

son cantidades CvectorialesC &n particular, necesitamos la relacion generalentre la torca neta Eumatoria de C\vec{\tau}CF >ue act\ua sobre un cuerpo* la rapide- de cambio del momento angular del cuerpo C\vec{= }C, dadapor la ecuacionG\\\begin{e>uation}\sum \vec{\tau} H \:rac{d\vec{=}}{dt}\end{e>uation}pli>uemos primero esta ecuaci\on al caso en >ue el volante CnoC gira

#omamos el origen CDC en el pivote * suponemos >ue el volante essim\etrico, con masa C.C * momento de inercia C'C alrededor de su e$e &le$e del volante inicialmente est\a sobre el e$e x =as :uer-as externas >ue

act\uan es la :uer-na normal C\vec{n}C >ue act\ua en el pivote * el pesoC\vec{w}C del volante >ue act\ua en su centro de masa, a una distancia rdel pivote l principio no ha* rotaci\on * el momento angular inicialC\vec{=}C es cero &l cambio dC\vec{=}C el momento angular en unintervalo corto CdtC despu\es de este instante esG\\\begin{e>uation}d\vec{=}H\vec{\tau}dt\end{e>uation}&ste cambio es en la direcci\on * l transcurrir cada intervalo adicionalCdtC, el momento angular cambia en incrementos dC\vec{=}C en ladireccion * por>ue la torca es constante\\

hora veamos >ue pasa cuando el volante Cest\aC girando, de modo >ue elmomento angular inicial C\vec{=}C no es cero +ada cambio de momento


11/20

angular dC\vec{=}C es perpendicular al e$e, por >ue la torca C\vec{\tau}C HC\vec{r}C x C\vec{w}C tambi\en lo es &sto hace >ue cambie laCdirecci\onC de C\vec{=}C pero no su magnitud =os cambios siempreest\an en el plano hori-ontal x*, as\i >ue el vector de momento angular * ele$e del volante $unto con el cual se mueve siempre son hori-ontales &l e$eno caeN s\olo tiene precesi\on\\

'maginen una pelota atada a un cord\on i la pelota est\a inicialmente enreposo * tiramos del cord\on, la pelota se mover\a hacia nosotros 9ero si labola se est\a moviendo inicialmente * tiramos continuamente del cord\onen una direcci\on perpendicular al movimiento de la pelota, \esta semover\a en un c\irculo alrededor de nuestra mano no se acercar\a a ella

\section{9roblemas +apitulo '(}\textb:{9roblema 32}


12/20

ue describe el carrusel al giraravaria con el tiempo segun C\thetaEtFH\gammatQ\betatP7C dondeC\gammaH400radXs * \betaH0120radXsP7C\\aF+alcule la velocidad angular del carrusel en :uncion del tiempo\\C\omegaH\:rac{d\theta}{dt}C\\CE400radXsFQ7E0120radXsP7FEtP2FC\\CE400radXsFQ07radXsP7tP2C\\

bF@ue valor incial tiene la velocidad angular\\C \omegaI{o-}H400 radXsC\\

cF+alcule el valor instantaneo de la velocidad angular en tH!seg\\C\omegaI{-}H400radXs Q 7radXsP7E!sFP2C\\C\omegaI{-}H17radXsC\\

dFMemuestre >ue la velocidad angular * la velocidad media son distintas\\C \omegaI{med-}H\:rac{7!"0}{!"0}H/radXsC\\

C\omegaI{prom}H\:rac{17"400}{2}H4! radXsC\\

\textb:{9roblema 3/}&l \angulo C\thetaC >ue describe una unidad de disco al girar est\a dadoporC\thetaEtFH aQbt"ctP7C, donde CaC, CbC * CcC son constantes positivas,CtC est\aen segundos * C\thetaC est\a en radianes +uando CtH0C, C\thetaH\piX4radC * la velocidadangular es 200 radXs, * cuando CtH1!0sC, la aceleraci\on angulares C12! radXsP2C aF +alcule CaC, CbC * CcC con sus unidades bF ?+u\al esla

aceleraci\on angular cuando C\thetaH\piX4radCB cF ?+u\ales son * lavelocidadangular cuando la aceleraci\on angular es C7!0 radXsP2CB

aF\\C\thetaEtFHaQbtQctP7C\\C\piX4radHaQbE0F"cE0FP7C\\CaH\piX4radC\\

C\omegaHb"7ctP2C\\C2radXsHb"7E0FP2C\\

CbH2radXsC\\

C\alphaH"ctC\\C12!radXsP2H"cE1!FC\\CcH"027radXsP7C\\

bF\\C\alphaH"ctC\\C\alphaH0mXsP2C\\

cF\\C\alphaH"ctC\\

CtH\:rac{\alpha}{"c}H\:rac{7!radXsP2}{"cE"0173radXsP7F}H\:rac{7!radXsP2}{0674radXsP7}CHC41sC\\


13/20

C\thetaHaQbt"ctP7H\piX4radQE2radXsFE41sF"E"0173radXsP7FE41sFP7H1646radC\\

C\omegaHb"7ctP2H2radXs"7E"0173radXsP7FE41sFP2H3radXsC\\

\textb:{9roblema 33\\}


14/20

C\omegaI2H\omegaI{0-}Q\alphaI2tP2C\\C\omegaI2H24radXsQE70radXsP2FE2sFH64radXsC\\C\thetaH\omegaI{0-}tQ\:rac{1}{2}\alphaI2tP2H24radXsE2sFQ\:rac{1}{2}70radXsP2E2sFP2H106radC\\C106radQ472radH!40radC\\

bF\\C\theta"\thetaI0H\:rac{1}{2}E\omegaI{02}Q\omegaI2FtC\\CtH\:rac{2\theta}{\omegaI{02}}H\:rac{2E472radF}{64radXs}H102sC\\C102sQ2sH122sC\\

cF\\C\omegaI2P2H\omegaI{02}P2Q2\alphaI2E\theta"\thetaI0FC\\C\alphaI2H\:rac{\omegaI2P2"\omegaI{02}P2}{2\theta}H\:rac{"/0!radP2XsP2}{64rad}H"61radXsP2C\\

\textb:{9roblema 32!\\}

ue una centr\i:uga s\olo ocupa 012/ metros de

espacio en una mesa, pero puede producir una aceleraci\on radial de


15/20

C7000C gramos a C!000C rpm CaFC+alcula el radio >ue debe tener lacentr\i:ugaCbFC &s veros\imil la aArmaci\on del anuncioB\\MatosG\\abemos >ue debe ocupar 012/ metros de diametro * su aceleraci\onradial >ue es 7000g a !000rpm\\&l radio, * si es veros\imil el anuncio\\CaFC)adio\\

CaradH\omegaP2 rC\\

CrH\:rac{arad}{\omegaP2}H\:rac{E7000FE360\:rac{m}{sP2}F}{EE!000\:rac{rev}{min}FE\:rac{\pi}{70}\:rac{radXs}{revXmin}FFP2}H10/cmC\\

CbFC&s veros\imil la aArmaci\onB\\=a aArmaci\on no seria veros\imil *a >ue no coinciden, sobre pasa por 2

centimentros\\

\textb:{9roblema 370\\}&n tH 700 seg, un punto en el borde de una rueda con radio de 0200mtiene una rapide- tangencial de !0 mXs, mientras la rueda :rena conaceleraci\on tangencial de magnitud constante de C10 mXsP2C\\aF +alcule la aceleraci\on angular constante de la rueda\\bF +alcule las velocidades angulares en tH 700s * tH 0\\cF ?@u\e \angulo gir\o la rueda entre tH 0 * #H 700sB\\dF ?&n >u\e instante la aceleraci\on radial es igual a CgCB\\

aF\\

CaI{tan} H r \alphaC\\C\alpha H \:rac{aI{tan}}{r} H \:rac{"10mXsP2}{0200m} H "!0 radXsP2C\\

bF\\tH 700s\\CvI{tan} H r\omegaC\\C\omega H \:rac{v}{r} H \:rac{!0 mXs}{200 m} H 2!0 radXsC\\tH 0\\C\omegaI- H \omegaI{0-} Q \alphaI-tC\\C2!0 radXs " E"!0 mXsP2FE700 sF H \omegaI{0-}C\\C\omegaI{0-} H 400 radXsC\\

cF\\C\theta H \:rac{\alpha tP2}{2} H \:rac{E!0 radXsP2FE700 sFP2}{2} H 22!radC\\

dF\\CaI{rad} H \:rac{vP2}{r} H \omegaP2rC\\Cv H \s>rt{aI{rad}r} H \s>rt{E361 mXsP2FE0200mF}C\\CEaI{rad} HgF cuando EvH 140 mXsFC\\

\textb:{9roblema 33\\}


16/20

aF?@ue aceleracion angular tieneB\\\alphaH\:rac {aI{tan}}{r}\\\alphaH\:rac{7}{0}\\\alphaH0!0radXsP2\\

bF@ue rapide- angular tiene seg despues de arrancar\\\omegaI{-}Q\alphat\\\omegaHEo!0FEFH7radXs\\

cF@ue aceleracion radial tiene en este instante\\aI{rad}HwP2r\\aI{rad}HE7FP2E0mFH !4mXsP\\

dF@ue magnitud de aceleracion total tiene\\vH16mXsI{tot}H1//mXs\\

\textb:{9roblema 36\\}ue se encuentra !m antes degolpear el piso\\CrH10C C'H460kgmP2C CvI{tan}H)YC\\reposoH kI{i}Q


17/20

\textb:{9roblema 10\\}uinista usa una llave inglesa para ajo$ar una tuerca =a llave tiene2!0 cm de longitud * \el e$erce una :uer-a de 1/0 8 en el extremo delmango, :ormando un \angulo de 7/ con \este\\aF ?@u\e torca e$erce el ma>uinista alrededor del centro de la tuercaB\\bF ?+u\al es la torca m\axima >ue el ma>uinista podr\ia e$ercer con esta:uer-aB

aF\\C\tauH r%sen\thetaC\\C\tauH E02!mFE1/ 8FEsen 7/FC\\C\tauH 2!! 8mC\\

bF\\C\tauH ErFE%FC\\C\tauH E02!mFE1/ 8FC\\

C\tauH 42! 8mC\\

\textb:{9roblema 10/}\\&l volante de un motor tiene momento de inercia de C2!0 WgmP2Calrededor de su e$e de rotaci\on ?@u\e torca constante se re>uiere para>ue alcance una rapide- angular de 4000 revXmin en 600 seg, partiendo delreposoB\\C\omegaH 400 revXmin H 4166 radXsC\\

C\alphaH \omegaEtF H E4166 radXsFE600sF H 77!10 radXsP2C\\

C\tauH '\alphaC\\C\tauH E2!0 WgXmP2FE77!10 radXsP2FC\\C\tauH 67//! 8mC\\\textb:{9roblema 1017\\}


18/20

)esultadosG\\&l coeAciente de :ricci\on ignorando la :ricci\on de los co$inetes es igual a0462\\

\textb:{9roblema 1020\\}e enrrolla un cordel varias veces en el borde de un aro pe>ueo de 600cm de radio * masa de 0160 Wg &l extremo libre del cordel se sostiene A$o* el otro se suelta del reposo Mespu\es de >ue el aro ha descendido /! cm,calcule,\\aF =a rapide- angular del aro al girar\\bF =a rapide- de su centro\\

\textb:{9roblema 1021\\}@ue :raccion de la energia cinetica total es rotacional para lo siguientesob$etos >ue ruedan sin resbalar por una superAcie\\

CWH1X2mvI{cm}P2Q1X2'I{cm}wP2C

aF


19/20

\textb:{9roblema 107!}\\ue describe un \angulo con respecto al suelo de 73 gradosaF ?@u\emomento angular tiene con respecto a CDC en ese instanteB bFuponiendo>ue la \unica :uer-a >ue act\ua sobre la piedra es su peso, calcule larapide- del cambio en su momento angular en ese instante\\

aF\\C= H m U r\sin\phiC\\C= H E20 kgF E12 mXsF E6 m \sinE73FFC\\C= H 11!26 mP2XsC\\

bF\\C\:rac{d=}{dt} H \tau H %\iota H % r\sin\phiC\\C\tau H % r\sin\phiC\\

C\tau H E2 kgF E36 8XkgF E6m \sinE30"73FFH 12!7 kg EmP2XsP2FC\\

\textb:{9roblema 107/\\}+\alculre la magnitud del momento angular del segundero de un relo$alrededor de un e$e >ue pasa por el centro de la car\atula, si tal manecillatiene una longitud de 1! cm * masa de gramos #rate la manecilla comouna varilla delgada >ue gira con velocidad angular constante alrededor deun extremo\\MatosG\\=ongitud de la manecillaH 1!cm\\mHgramos\\C\omegaCHconstante\\

.agnitud el momento angular\\9rocedimientoG\\

C\vec{=}H'\vec{\omega}C\\

C=H '\omega H \:rac{.}{7}'P2 \:rac{2\pi}{#}C\\

C=HE\:rac{0x10P"7 Wg}{7}FE1!0x10P"2 mF \:rac{2\pi}{0s} H4/1 x10P" kgmP2XsC\\

)esultadosG\\&l momento angular del relo$ esH 4/1 x 10 a la .enos kgm2 Xs\\

\textb:{9roblema 10!4\\}ue pueda girar libremente sobre su e$e e e$erce una torca netaconstante de !00 C8 mC a la rueda durante 200CsC aumentando la rapide-angular de la rueda de 0 a 100 CrevXminC =uego se de$a de aplicar la torcaexterna * la :ricci\on en los co$inetes de la rueda la detiene a \esta en 12!CsC +alculeG aF el momento de inercia de la rueda alrededor del e$e de

rotaci\onN bF la torca de :ricci\on cF el n\mero total de revoluciones >ue larueda gira en ese lapso de 12! CsC\\


20/20

aF\\C' H \:rac{\tau}{\alpha} H \:rac{\tau \Melta t}{\Melta\omega}C\\C' H \:rac{E!0 8 mFE20 sF}{E100 revXminFE\:rac{\pi}{70}E\:rac{radXs}{revXmin}F}C\\C' H 03!! kg mP2C\\

bF\\C\tauI{Anal} H E!0 8 mF \:rac{2 s}{12! s}C\\C\tauI{Anal} H 0060 8 mC

cF\\C\omegaI{prom}\Melta t H E!0 revXminF [E12! sFE1minX0 sF]C\\CH 1042 revC

\end{document}

Comandos Fisca

Documents

Transcript of Comandos Fisca