Chapter2 Limits and Derivatives

Chapter 2: LIMITS AND DERIVATIVES (GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM)

2.1 THE TANGENT AND VELOCITY PROBLEMS (BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VÀ BÀI TOÁN VẬN TỐC)

TANGENT PROBLEM (BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN)

Example 1: Find an equation of the tangent line t to the parabola 2y x at the point 1,1P .

Giải: Trước hết cần tìm hệ số góc (slope) m của tiếp tuyến t:

Lấy điểm 2,Q x x thuộc parabola thì hệ số góc của cát tuyến (secant)

PQ là 2 1

1PQ

xm

x

. Xem bảng tính giá trị của PQ

VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/ of 23

m tại các điểm x

nhận giá trị gần với giá trị 1x ta thấy khi 1x (thì Q P hay cát tuyến PQ vị trí của tiếp tuyến t) thì 2PQm m

Ta nói: hệ số góc của tiếp tuyến là giới hạn (limit)

của hệ số góc của cát tuyến và viết:

lim PQQ Pm

m hay

2

1

1lim 2

1x

x

x

Vậy phương trình của đường tiếp tuyến t tại điểm P(1,1) là: 1 2 1 2 1y x y x

THE VELOCITY PROBLEM (BÀI TOÁN VẬN TỐC)

Example 2: Suppose that a ball is dropped from the upper observation deck of the CN Tower in Toronto, 450 m above the ground. Find the velocity of the ball after 5 seconds.

Giải:

Theo định luật Galileo, khoảng cách rơi sau t giây của vật rơi tự do (không xét đến lực cản không khí) là: 24.9s t t

Vấn đề của ta là tìm vận tốc của quả bóng sau 5 giây, tức là vận tốc tức thời tại thời điểm 5t

Trước hết ta tìm vận tốc trung bình trong một khoảng thời gian ngắn 1

s10

từ đến 5t 5.1t :

2 25.1 5 4.9 5.1 4.9 5

49.49 /5.1 5 0.1tb

s sv m

s

s

5t

Bảng bên là những kết quả tính toán tương tự cho vận tốc trung bình trong các khoảng thời gian khác rất gần thời điểm , ta thấy vận tốc trung bình trở nên gần với giá trị , điều đó cho ta kết

luận vận tốc tức thời tại thời điểm

5t 49 /m

là . 49 /v m s

Giải quyết hai bài toán trên, đòi hỏi phải thực hiện các phép tính giới hạn. Trong các mục sau ta sẽ từng bước tìm hiểu rõ hơn về phép tính giới hạn

2.2 THE LIMIT OF A FUNCTION (GIỚI HẠN HÀM SỐ)

Để có cái nhìn trực quan về giới hạn hàm số, ta xét ví dụ:

Cho hàm số 2 2f x x x . Tính giá trị của f x khi x gần 2.

Xem bảng tính giá trị của f x khi x gần 2 nhưng x không bằng 2.

Từ bảng giá trị và đồ thị hàm f ta thấy, khi x dần về 2 (từ hai phía của 2) thì f x dần về

4. Có nghĩa, giá trị của f x có thể gần 4 một

cách tùy thích nếu chọn x đủ gần 2. Khi đó ta nói: “giới hạn của hàm số 2 2f x x x khi x dần đến 2 bằng 4”, viết: 2

2lim 2 4x

x x


DEFINITION: Giới hạn của hàm số f x khi x d bần đến a ằng L nếu giá trị của f x có

thể gần L ột cách tùy ý khi lấy giá trị của x đ a ) nhủ gần a (về cả hai phía của ưng xm không bằng , và viết: lim

x af x L

a

Lưu ý: trong định nghĩa trên ta chỉ quan tâm đến giá trị của hàm số f x khi x nhận những giá

trị gần a nhưng x a . Vậy ta không cần quan tâm đến hàm số có xác định tại a hay không

Example 1: Guess the value of 21

1lim

1x

x

x

Giải: Hàm f không xác định khi 1x , tuy nhiên ta chỉ quan tâm đến giá trị của f x khi

x gần 1 và 1x . Bảng bên là giá trị của f x

Dựa vào bảng ta dự đoán được 21

1lim 0.5

1x

x

x

Nếu thay đổi hàm f bởi hàm như sau: g

2

11

12 1

xkhi x

g x xkhi x

Hàm vẫn có giới hạn bằng khi g 0.5 x dần đến 1 (xem hình bên)

Một lần nữa ta thấy không cần quan tâm đến giá trị của hàm số tại điểm cần tính giới hạn.

Example 2: Guess the value of 0

sinli

xm

x x

Giải: Hàm sin xf x

x không xác định

tại 0x .

Bảng bên đưa ra những giá trị của f đúng đến tám chữ số thập phân. Dựa vào

bảng ta dự đoán 0

sinlim 1x

x

x

Example 3: Investigate .

0limsinx x


Giải: Hàm số sinf x

x không xác định tại 0x . Tính các giá trị của f x khi x gần 0:

1 1 14 0

41 sin 0, sin 2 0, 0, sin

2 3f f f

sin 3f

0.1 sin10 0, 0.01 sin100 0, 0.001 0.0001 0f f f f

Dựa vào các tính toán trên có thể dự đoán 0

limsin 0x x

. Tuy nhiên dự đoán này không đúng.

Lý do để dẫn đến dự đoán không đúng là vì ta chọn tính các giá trị của hàm f không bao quát,

Xét thêm đồ thị của hàm f để thấy rõ điều này.

Nhìn vào đồ thị ta thấy có những đường gần như thẳng đứng và rất dày ở gần trục tung, có nghĩa

các giá trị của sinx

dao động giữa -1 và 1 vô

hạn lần khi x dần đến 0. Vì giá trị của f x

không dần đến một số cố định khi x dần đến 0 nên 0

li

msinx x

không tồn tại.

ONE-SIDED LIMITS (GIỚI HẠN MỘT PHÍA)

Một kết quả hiển nhiên suy từ các định nghĩa:

limx a

f x

L khi và chỉ khi limx a

f x

L và limx a

f x L

Example 4: The graph of a function is shown. Use it to state the values (if they exist) of the following:

g

22 2

a. lim b. lim c. limxx x

g x g x g x

55 5

d. lim e. lim f . lim xx xg x g x g x

Giải: Dựa vào đồ thị ta có:

2

a. lim 3x

g x

2

b. lim 1x

g x

c. Vì giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của là khác nhau nên g 2

limx

g x

không tồn tại.

5

d. lim 2x

g x

5

e. lim 2x

g x

5

f . lim 2x

g x

DEFINITION: Giới hạn của f x khi x dần đến từ bên trái

bằng

a

L limx a

f x L

nếu giá trị của hàm số f x có thể gần

L một cách tùy ý khi lấy giá trị của x đủ gần và a x nhỏ hơn a

f x xDEFINITION: Giới hạn của khi dần đến từ bên phải

bằng

a

L limx a

f x L

f x nếu giá trị của hàm số có thể gần

L x một cách tùy ý khi lấy giá trị của đủ gần và a x lớn hơn a

INFINITE LIMITS (GIỚI HẠN VÔ CÙNG)

Example 5: Find 20

1limx x

if it exists.


Giải: Khi x dần đến 0 thì 2x cũng dần đến 0 và

2

1

x trở nên rất lớn (xem bảng bên). Nhìn

vào đồ thị của hàm 2

1f x

x ta thấy rằng

giá trị của f x có thể lớn một cách tùy ý

khi x đủ gần 0. Vậy giá trị f x không

thể dần đến một số nào đó, ta nói 20

1limx x

không tồn tại, và viết 20

1limx x

[ không phải là một

số, đẳng thức này chỉ là hình thức, nó mang ý nghĩa giới hạn không tồn tại và

2

1

x có thể trở nên

lớn tùy ý khi x đủ gần 0]

Chẳng hạn ta có ví dụ sau:

20

1limx x

Một cách tương tự ta có thể định nghĩa các giới hạn một phía:

lim

lim

limxx a

a

a

xf x

f xf x

limx a

f x

Các hình sau minh họa thêm cho các giới hạn trên:

DEFINITION: Đường thẳng x a gọi là tiệm cận đứng (vertical asymptote) của đồ thị hàm số y f x nếu ít nhất một trong các điều sau xảy ra:

lim

li

limli

m m mli li

mx axx a

x a x aa

a

x

f x

f

f x

f x x

f x

f x

xác định về hai phía điểm a, trừ điểm a. fDEFINITION: Cho hàm

f x limx a

f x

nếu giá trị có thể lớn tùy ý khi x đủ gần , a x a

f x xlimx a

f x

nếu giá trị có thể âm, lớn tùy ý khi đủ gần , a x a

Example 6: Find 3

2lim

3x

x

x and

3

2lim

3x

x

x .


Giải:

Khi thì và 3x 63 0x 2x . Vậy 3

2lim

3x

x

x

.

Tương tự, 3

2lim

3x

x

x

.

Đường thẳng 3x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm 3

2lim

3x

xy

x

Example 7: Find the vertical asymptotes of tanf x x

Giải:

Vì sin

tancos

xx

x nên có khả năng có nhiều tiệm cận đứng

tại các giá trị làm cho cos x bằng 0.

Ta có cos khi 0x

2x

và

khi cos 0x

2x

Mặt khác khi sin 0x x gần 2

.

/2lim tan

xx

/2lim tan

xx

và . Vậy đường thẳng

2x

là tiệm cận đứng.

Tương tự, các đường thẳng 2 1 , 2

x n n

đều là các đường

tiệm cận đứng của hàm số . tany x

Một ví dụ khác, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy, có phương trình

lny x0x , vì

. 0

lim lnx

x

Kết quả trên cũng đúng cho hàm logay x với tùy ý. 1a

2.3 CALCULATING LIMITS USING THE LIMIT LAWS (LUẬT TÍNH GIỚI HẠN)

Lưu ý: các luật trên cũng đúng cho giới hạn một phía

LIMIT LAWS: Giả sử tồn tại các giới hạn lim , limx a x a

f x g x

và là một hằng số thì: c

1. lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x 2. lim lim

x a x acf x c f x

3. lim lim .limx a x a x a

f x g x f x g x

lim

4. lim lim 0limx a

x a x a

x a

f xf xif g x

g x g x

5. lim lim , nn

x a x af x f x n

6. lim

x ac c

7. lim

x ax a

8. lim ,n n

x ax a n

9. lim , n n

x ax a n

[Nếu n chẵn, ta giả sử ] 0a

10. lim lim , n nx a x a

f x f x n

lim 0x a

f x

] [Nếu n chẵn, ta giả sử

Example 1: Use the Limit Laws and the graphs of f and to evaluate the following limits, if they exist.

g

2

a. lim 5x

f x g x

1

b. limx

f x g x

2

c. limx

f x

g x

Giải:

a. Ta có: 2 2

lim 1, lim 1x x

f x g x

, vậy

2 2 22 2

lim 5 lim lim 5 lim 5 lim 1 5 1 4x x xx x

f x g x f x g x f x g x

b. Ta có: 1 1 1

lim 2, lim 1, lim 2x x x

f x g x g x

.

Giới hạn 1

limx

g x

không tồn tại nên ta không thể áp dụng luật 3 trực tiếp được. Ta sẽ áp dụng

luật 3 cho giới hạn một phía:

1 1 1

lim lim .lim 2. 2 4x x x

f x g x f x g x

1 1 1

lim lim .lim 2. 1 2x x x

f x g x f x g x

Vì giới hạn bên trái và bên phải không bằng nhau nên 1

limx

f x g x không tồn tại.

c. Đồ thị chỉ ra rằng 2 2

lim 1.4, lim 0x x

f x g x

. Vậy ta không thể áp dụng luật 4. Tuy nhiên

ta kết luận được giới hạn không tồn tại vì mẫu số tiến đến 0 còn tử số tiến về một số khác 0.

Example 2: Evaluate the following limits and justify each step.

2

5a. lim 2 3 4

xx x

3 2

2

2 1b. lim

5 3x

x x

x

Giải:

a. 2 2

5 5 5lim 2 3 4 lim 2 lim 3 lim 4x x x

x x x x

5x

5

(luật 1)

(luật 2) 2

5 52lim 3lim lim 4

x x xx x

22 5 3 5 4 39 (luật 6, 7,8)

b.

3 23 22

2

2

lim 2 12 1lim

5 3 lim 5 3x

x

x

x xx x

x x

(luật 4)

3 2

2 2

2 2

lim 2 lim lim1

lim 5 3limx x x

x x

x x

x

2 (luật 1, 2)

3 22 2 2 1 1

5 3 2 11

(luật 6, 7, 8)

Example 3: Find 0

sin 7lim

4x

x

x.

Giải: Đặt 7x , ta có 0 khi 0x . Vậy:

0 0 0

sin 7 7 sin 7 7 sin 7 7lim lim lim .1

4 4 7 4 4x x

x x

x x

4


fDIRECT SUBSTITUTION PROPERTY: Nếu là một đa thức hay một hàm hữu tỷ và thuộc miền xác định của

af thì lim

x af x f

a

Example 4: Find 2

1

1lim

1x

x

x

Giải:

Đặt 2 1

1

xf x

x

. Đây là hàm hữu tỷ nhưng không thể tính giới hạn bởi việc thay thế giá trị

1x vào hàm số được vì 1f không xác định.

Ta có 2 1 11

11 1

x xxx

x x


( 1 0x do 1 ). Vậy 2

1 1

1lim lim 1 1 1 2

1x x

xx

x

x .

lim limx a x a

f x g x

f

Example 5: Find 1

limx

g x

, where 1 if 1

if 1

x xg x

x

Giải: Vì 1, 1g x x x nên 1 1

lim lim 1 2x x

g x x

Để ý với 1x , hàm g x là hàm f x trong ví dụ 3 nên 1 1

lim lim 2x x

g x f x

Example 6: Evaluate 2

0

3 9limh

h

h

.

Giải:

Đặt 23 9h

F hh

. Ta có

2 29 6 9 66 0

h h h hF h h h

h h

Vậy: 0 0

lim lim 6 6h h

F h h

Example 7: Find 2

20

9 3limt

t

t

.

Giải: Vì:

22 2 2

2 2 2 22 2

9 99 3 9 3 9 3 1. 0

9 3 9 39 3

tt t tt

t t t tt t

Vậy:

2

2 20 0 2

0

9 3 1 1 1 1lim lim

3 3 69 3 lim 9 3t t

t

t

t t t

Example 8: Show that 0

lim 0x

x

Giải:

Ta có 0

0

x xx

x x

0 0 lim lim 0

x xx x

,

0 0lim lim 0x x

x x

. Vậy: 0

lim 0x

x

.

Nếu , x g x x a và các giới hạn limx a

f x

, limx a

g x

tồn tại thì

Example 9: Prove that 0

limx

x

x does not exist.

Giải: 0 0 0

lim lim lim1 1x x x

x x

x x ,

0 0 0lim lim lim 1 1x x x

x x

x x

. Vậy

0limx

x

x không tồn tại.

Example 10: If 4 if

8 2 if 4

xf x

x x

4x , determine whether

4limx

f x

exists.

Giải: Ta có: 4 4

lim lim 4 4 4 0x x

f x x

, 4 4

lim lim 8 2 8 2.4 0x x

f x x

.

Vậy 4

lim 0x

f x

Example 11: The greatest integer function is defined by x the largest integer that is less

than or equal to x . (For instance, 14 4, 4.8 4, 3, 2 1, 1

2

). Show that

3

limx

x

does not exist.

Giải:

Ta có 3x nếu 3 4x 3 3

lim lim 3 3x x

x

.

Và 2x nếu 2 3x 3 3

lim lim 2 2x x

x

.

Vậy 3

mxli x

không tồn tại.

f x g x xTHEOREM: Nếu khi gần (có thể trừ điểm )

và

a a

lim , limx a x a

f x g x

lim limx a x a

f x g x

đều tồn tại thì:

f x g x h x xTHE SQUEEZE THEOREM: Nếu khi gần (có thể trừ

điểm ) và

a

a


Example 12: Show that 2

0

1lim sin 0x

xx .

Giải: Ta không thể viết 2 2

0 0 0

1 1lim sin lim .limsinx x x

x xx x vì

0

1limsinx x

không tồn tại. Giới hạn này

được tính như sau:

Vì 1

1 sin 1x

2 2 1sin 2x x

x x . Mặt khác, 2 2

0 0m 0, lim 0

x xx x

li .

Áp dụng định lý Squeeze Theorem ta có 2

0

1lim sin 0x

xx .

2.4 THE PRECISE DEFINITION OF A LIMIT (ĐỊNH NGHĨA CHÍNH XÁC GIỚI HẠN):

Định nghĩa giới hạn một cách trực giác như trong mục 2.2 là rất mơ hồ ở các thuật ngữ “ f x

gần L một cách tùy ý” và “x đủ gần 2”. Để đưa ra định nghĩa chính xác giới hạn, ta xét hàm:

2 1, 3

6, 3

x xf x

x

lim limx a x a

f x h x L

limx a

g x L

thì: .

Trực giác nhận thấy khi x dần đến 3 nhưng 3x thì f x dần đến 5, vì vậy 3

lim 5x

f x

Để biết chi tiết hơn f x thay đổi như thế nào khi x dần đến 3, ta trả lời câu hỏi sau:

f x x gần 3 như thế nào để sai khác giữa và 5 nhỏ hơn 0.1?

Khoảng cách từ x đến 3 là 3x , khoảng cách từ f x đến 5 là 5f x , vậy vấn đề của

chúng ta là tìm số sao cho:

5 0.1f x nếu 3x và 3x , hay nếu 0 3x

Ta có, với 0 3 0.1 / 2 0.x 05 thì 5 2 1 5 2 3 2 0.05 0.1f x x x

Vậy nếu khoảng cách từ x đến 3 nhỏ hơn 0.05 thì khoảng cách từ f x đến 5 nhỏ hơn 0.1, số

cần tìm là 0.05.

Nếu thay đổi số 0.1 bởi số nhỏ hơn 0.01, lập luận như trên ta có:

5 0.0f x 1 nếu 0 3 0.005x

Tương tự,

5 0.001f x nếu 0 3 0.0005x

Những con số 0.1, 0.01, 0.001 ở trên thể hiện mức độ “ f x gần 5” hay đây chính là sai số

giữa f x và 5 mà ta tùy chọn. Để có thể nói chính xác giới hạn của f x khi x dần đến 3 là 5

ể cta không hỉ xét khoảng cách giữa th f x và 5 nhỏ hơ

vài con số nhỏ cụ t à cần xét tại bất kỳ một khoảng cách dương nhỏ nào. Nếu viết (epsilon) là số dương nhỏ tùy ý, với cách tìm như trên ta có:

n

hể, m


5f x nếu 0 32

x .

ói rằng f x

á trị c

dầ ến 5 khi x dần n đĐây là cách chính xác để n

đến 3 vì chúng ta có thể làm cho gi ủa f x gần 5 một

khoảng cách nhỏ tùy ý bằng cách lấy những giá trị của x cách 3 một khoảng /2 ( 3x ).

DEFINITION: Gi sử hàm f xác ả định trên khoảng mở chứa điểm a, có thể trừ điểm a.

limx a

f x L nếu với mỗi số 0

, tồn tại số 0 thỏa 0 x a thì f x L .

x a x a a x a Lưu ý:

và f x L f x L L f x L


ậy ta có thể phát biểu lại định nghĩa giới hạn như sau: limx a

f x L

V nếu với mỗi số 0 , có

thể tìm số 0 để với x thuộc khoảng ,a a thì f x thuộc khoảng ,L L

Example 1 a graph to find a numbe

: Use r such that

if 1x then 3 5 6 2 0.2x x . In other words, find a

mber that corresponds to nu 0.2 in the definition of a limit for the function 3 5 6f x x x 1a with and 2L .

Giải: Từ bất lity): đẳng thức (inequa

3 5 6 2 0.2 1.8x x 3 5 6 2.2x x

y ta cần xác định giá trị của x để đường cong Vậ 3 5 6y x x

nằm giữa các đường nằm ngang 1.8y và 2y .2

Hoành độ giao điểm của đường và y1.8y 3 5x x 6 là 0.911x

và của đường 2.2y và 3y x là 5 6x 1.1124x . Ta có th u ể nói nế 0.92 1.12x thì

Vì khoảng

31.8 5x x 6 2.2

1x không đối xứng qua điểm : khoảng cách từ 1 đến điểm cuối bên 0.92,1.12

trái là 1 0. à khoảng cách từ 1 đến điểm cuối bên phải là 1.12 1 0.12 , vậy ta chọn trong hai số 0.08 và 0.12 là 0.08, khi đó ta viết:

Nếu

92 0.08 vố nhỏ hơn là s

1 0.08x thì 3 5 6 2 0.2x x

Exam e that 3

lim 4 5 7x

x

.ple 2: Prov

tích sơ bộ ban đầu để dự đoán :

Giải:

- Phân

Cho 0 , ta sẽ tìm số thỏa mãn:

nếu 0 3x thì 4 5 7x

Vì 4 5 7 4 12 4 3x x x khi 34

x

Đến đây ta dự đoán 4

- Chứng minh: Với 0 , chọn 4

. Nếu 0 3x thì:

4 5 7 4 12 4 3 4 44

x x x

.

Vậy theo định nghĩa giới hạn: 3

lim 4 5 7x

x

.

nghĩa giới hạn một phía như sau: Tương tự ta chính xác các định

limx a

f x L

nếu với mỗi số 0 , tồn tại số 0 thỏa a x a thì f x L

lix a

m f x L

nếu với mỗi số 0

, tồn tại số 0 thỏa a x a thì f x L .

VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits

xample 3: Use Definition to prove that E0

lim 0x

x

.

tích để dự đoán :

Giải:

- Phân

0, 0a L . Ta sẽ tìm số thỏa mãn: nếu 0 x Cho 0 , ở bài toán này thì 0x

Có ngh ếu 0 x ĩa n x thì đây ta có nếu 0 x thì x. Từ

and Derivatives/ of 23

2 oán . Dự đ 2

- Chứng minh: V 0ới , ch 2ọn . Nếu 0 x thì x 2 ta

có 0x . Theo nghĩa n bên định giới hạ phải điểm 0, ta có 0

lim 0x

x

.

INFINITE LIMITS (GIỚI HẠN VÔ HẠN)

Example 4: Use Definition to prove that

DEFINITION: Giả sử hàm f xác định trên khoảng mở chứa điểm a, có thể trừ điểm a. lim f x nếu với mỗi số 0

x aM , tồn tại

số 0 thỏa 0 x a f x M . thì

20

1limx x

.

Giải: Cho 0M , ta sẽ tìm số thỏa mãn: nếu 0 x thì 2

1M

x

2

2

1 1 M x x

x M

1

M . Vậy nếu chọn

1

M và

10 x

M Vì thì

2

1M

x . Điều này nói rằng

2

1

x khi 0x .

2.5 ONTINUITY (LIÊN TỤC)

Lưu ý: có 3 điều kiện trong định nghĩa để hàm f liên tục tại a:

DEFINITION: Giả sử hàm f xác định trên khoảng mở chứa điểm a, có thể trừ điểm a. lim f x nếu với mỗi số 0

x aN , tồn

tại số 0 thỏa 0 f x N . x a thì

C

DEFINITION: Hàm f liên tục tại điểm a (continuous at a number a) nếu

f a được xác định (a thuộc miền xác định của f);

Tồn tại limx a

f x ;

limx a

f x f a .

Hàm số f không liên tục, ta nói f gián đoạn (discontinuous) tại a

f không liên tục tại

Đồ thị của hàm số liên tục tại một điểm không bị đứt tại đó.

Example1: Figure shows the graph of a function f. At whichnumbers is f discontinuous? Why?

Giải:

- Hàm 1x vì 1f không xác định

limx a

f x f a

(đồ thị bị đứt tại đó)


ục tại vì không tồn tại 3

limx

f x

3 3

lim limx x

f x f

3x - Hàm f không liên t x

- Hàm f không liên tục tại vì 5

5x

( 5

limx

f x

5x 5flim f x f và

đều tồn tạ ).

of th llowing functions discontinuous?

i

Example 2: Where are each e fo

2 2

a. x x

f x

2

1, 0

b. x

f x x

1, 0x

2x

2 2

, 2c. 2

1, 2

x xx

f x xx

f d. x x (số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hay bằng x)

Giải:

m f không xác định tại 2x . Vậy f không liên tục tại 2x a. Hà .

b. Ta có 0 1f nhưng 20

1limx x

không tồn tại. Vậy f không liên tục tại 0x .

c. Ta có 2 1 và f

2 2 12lim lim lim lim 1

x xx xf x x

2 2 2 22 2x x x xx x 3

Vì 2

lim 2x

f x f

do đó f không liên tục tại 2x .

d. Hàm f x x limx n

x

k ố nguyên n vì hông liên tục tại tất cả các s không tồn tại.

i

ỗ àm

Quan sát đồ thị các hàm trên, ta thấy các đường biểu diễn đồ thị không liền, hoặc là nó có lỗ (hole), hoặc là nó bị đứt (break), hoặc là nó có bước nhảy (jump). Điểm không liên tục trong hình (a) và (c) gọi là gián đoạn bỏ được (removable) vì ta có thể bỏ nó bằng cách xây dựng lạhàm f. Gián đoạn trong hình (b) gọi là gián đoạn vô hạn (infinite discontinuity). Gián đoạn trong hình (d) gọi là gián đoạn có bước nhảy (jump discontinuity) vì hàm nhảy từ giá trị này sang giá trị khác.

Example 3: Tại m i số nguyên n, h f x x liên tục bên phải nhưng không liên tục bên

trái vì limx n

x n f n

, limx n

1x n f n

.

DEFINITION: Hàm f liên tục bên phải điểm a nếu flimx a

x f a

, liên tục bên trái

điểm a nếu limx a

f x f a

DEFINI tụTION: Hàm f liên c trong một khoảng (interval) nếu f liên tục tại mọi điểm ự thuộc khoảng (Nếu f chỉ được xác định về 1 phía của điểm đầu/cuối của khoảng, ta hiểu s

liên tục tại các điểm ấy theo nghĩa liên tục bên phải/bên trái)


xample 4: Show that the function 21 1f x x E is continuous on the interval 1,1 .

Giải: Nếu 1 1a , sử dụng luật giới hạn ta có:

2lim 1 1x a x a x a

2 2lim 1 1 lim 1 1f x x x a f a

.

V f liên tục tại a với

tự

ậy 1 1a

Ngoài ra, tính toán tương 1

lim 1 1x

f x f

và 1

lim 1 1x

f x f

. Vậy f liên tục bên

phải điểm -1, bên trái điểm 1 . Do đó f liên tục trên 1 . 1,

hứng minh: Ta chứng minh kết luận 1, các kết luận khác chứng minh tương tự

THEOREM: Nếu f và g là các hàm liên tục tại a, và mc là ột hằng số thì các hàm sau cũng liên tục tại a:

1. f g

C

Vì f, g liên tục tại a, ta có: lim , limx a x a

f x f a g x g a

lim lim lim limx a x a x a x a

f g x f x g x f x g x f a g a f g a

Vậy f g liên tục tại a

Example 5: Find

3 22 1x x2

lim5 3x x

.

Giải: Xét hàm hữu tỷ

3 22 1

5 3

x xf x

x

có miền xác định là

5/

3x x

Vậy f liên tục tại điểm -2, do đó

3 23

2

2 12 1 1lim 2

5 3 5 3 2 11x

x xf

x

2 2 2

.

Example 6: Where is the function 1

2

ln tan

1

x xf x

x

continuous?

ới Giải: Ta có hàm lny x liên tục v 0x ậy hà

, hàm trên

ác giá trị của x

1n x liên tục tay đã cho liên

, 1ln tany x x trên (0,). V m f(x) tục trên (0,) trừ c

y 1

liên tục

mà 2 1 0x ha x . Nói cách khác f liên tục trên (0,1) và (1,).

Exa Evaluate mple 7: sin

mli2 cosx

x

x

Giải: Hàm số

.

sin

2 cos

xf x

x

xác định với mọi x nên liên tục trên . Vậy:

sinlim lim 0

2 cosx x

xf x f

x

.

2. cf 3. fg 4. 0g af 0g a g

THEOREM: Các hàm sau liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó:

lượng giác Hàm đa thức Hàm hữu tỷ Hàm căn thức Hàm

Hàm lượng giác ngược Hàm mũ Hàm logarithm

THEOREM: Nếu f liên tục tại b và limx a

g x b

thì lim limx a x a

f g x f g x f b


ệ quả: H lim limn nx a x a

g x g x

Example 8: Evaluate 1

1limarcsin

1x

x

x

.

liên tục, do đó: Giải: Vì arcsin là hàm

1 1 1

1limarcsin arcsin lim

x 1 1 1arcsin lim arcsin

1 1 2 61x x x

x

x x x

.

ứng minh: g liên tục tại a:

THEOREM: Nếu g liên tục tại a và f liên tục tại g liên tục tại a fg a thì hàm hợp

limx a

g x g a

f liên tục tại b g a :

Ch

lim limx a x a

f g x g a f g x f g a

f

f g lVậy hàm hợp iên ục tại a

Exam re th nctions continuous?

t

ple 9: Where a e following fu

2 sina h x x b F x ln 1 cos x

Giải:

(a) Ta có h x f g x , trong đó 2g x x và sinf x x

Vì g và f nên h x l n liên tục trên iên tục trê .

(b) ln 1 cos x xác đị khi 1 s 0nh co x hà km hông xác 3 ,...định 1 , khi cos x x

Vậy, F x ủa gián đoạn khi x là bội lẻ c và liên tục trên các

g nằm

ác hình vẽ bêịnh lý giá trị trung gian

ông bị

khoản giữa các giá trị này (xem hình bên).

INTERMEDIATE VALUE THEOREM (ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN):

Giả sử f liên tục trên khoảng đóng ,a b và N là số bất kỳ ở giữa f a và f b với

f a f b . Khi đó tồn tại số ,bc a thỏa f c N

Cđ

n mô hình cho

Về mặt hình học, đồ thị của hàmsố liên tục không có lỗ, khđứt nên bất kỳ đường thẳng nằm ngang y N nằm giữa

y f a và y f b phải cắt

đồ thị. Tính chất liên t c là cần th nói ông đúng

Example 10: Show that there is a root of the equation 3 24 6 3 2 0x x x

ụ iết trong định lí trên, đối với hàm gián đoạn, định lí giá trị trung gian chung kh .

between 1 and 2.

Giải: Xét 1, 2a b và 0N

Ta có: 1 2f f 1 0, 12 0 và 0 1,12N , do đó theo định lý tồn tại 1,2c

để 0f c của p . . Vậy c là một nghiệm hương trình cần tìm

2.6. (GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC; LIMITS AT INFINITY; HORIZONTAL ASYMPTOTES

TIỆM CẬN NGANG) 2

2

1

1

xBắt đầu với hàm số f x

x

, quan sát hình vẽ và bảng giá trị

hấy khi x càncủa hàm f, ta nhận t g lớn, giá trị của hàm f càng tiến gần về 1, nói cách khác giá trị f x có thể gần 1 tùy ý với x đủ lớn

ta nói hàm f có giới hạn là 1 kh ần ra vô cùng

,

i x d

ồ thị hàm số


DEFINITON:

Đ 2

2

1

1

xf x

x

có đường thẳng 1y là tiệm cận ngang vì

2

2

1lim 1

1x

x

x

.

g có thể có ha có hai Một đường con i đường tiệm cận ngang, ví dụ đường cong y x1tan

đường tiệm cận ngang2

y

và 2

y

xample 1: Find the infinite limits, limits at infinity, and

Easymptotes for the function f whose graph is shown.

Giải: Giới hạn vô cùng

1 2 2

, limx x x

f x

lim , limf x f x

Các đường 1, 2x x là tiệm cận đứng c a f ủ

DEFINITION: Đường y L gọi là tiệm cận ngang (horizontal asymptote) của đường cong

y f x nếu limx

f x L

hoặc limx

f x L

1 1 llim ta im tan2

nx

x x2x

Cho hàm f xác định trên ,a .

limx

f x L nếu với mỗi 0

số , tồn

tại số N thỏa x N thì f x L

DEFINITION:

định trên Cho hàm f xác ,a .

limx

f x L nếu với mỗi sô 0

ồn

tại số N thỏa

, t

x N thì f x L


cùng limx x

f

2, lim 4x f x

Giới hạn tại vô

Các đường 2,y y f 4 là tiệm cận ngang của

e DefinitioExample 2: Us n to prove that 1

lim 0x x

.

10

x Giải: Cho 0 , tìm N thỏa: nếu x N thì

Giả sử 0x , ta có 1 1 1

0 xx x

1N

, với

1x N

. Vậy chọn thì

1 1 1lim 0x x

0x x

. Theo định nghĩa ta được

Example 3: Evaluate

THEOREM:

ỷ dương thì

2

2

3 2lim

5 4x

x x

1x x

.

Giải:

22 2 2

22

22

1 2 1 23 lim3 lim lim3 2 3 0 0lim lim

4 14 15 4 1 5 0 0lim5 lim lim5

x x x

x x

x x x

xx x x x x xx x x

x xx x

3

5

.

Example 4: Find the horizontal and vertical asymptotes of the graph of the function

22 1x

f x

. 3 5x

Giải: 2 2 2

1 12 2

2 1lim lim lim

5 53 5 33 3x x x

xx x xx x

x x

2

.

Và

2 2 2

1 12 2

2 1lim lim lim

5 53 5 33 3x x x

xx x xx x

x x

2

Vậy các đường thẳng 2

3y và

2

3y là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số f

Nếu r là số hữu t1

lim 0x

rx

Nếu r là số hữu tỷ dương và rx xác định với mọi x thì 1

lim 0x

rx

2 2

5/3 5/3

2 1lim , li

x x

, nên tiệm cận đứng của hàm số là


Hơn nữa, 1 2

m3 5 3 5x xx x

5x

3 .

Example 5: Compute 2lim 1x

x x

Giải:

2 222

2 2 2

11 1lim 1 lim lim

1 1 1x x x

x xx xx2lim 1

xx x x

x x x x x x

2

1 10

lim lim 01 1 0 11 1 1

x x

x xx x

xx

xy e có tiệm cận ngang là 0y Đồ thị của hàm số mũ (điều này cũng đúng cho mọi hàm số mũ có cơ số ). 1a

lim 0x

xe

1

Example 6: Evalua0

lim x

xe

. te

1Giải: Khi 0x thì

x . Vậy

1

0lim lim 0tx

txe e

Example 7: limsinx

x

Evaluate .

iá trị củGiải: Khi x tăng, các g a sin x dao động giữa -1 và 1, chúng không dần v tại giới

ề 1 giá trị xác định. Do đó không tồn hạn lim

xsin x

.

INFINITE LIMITS AT INFINITY (GIỚI HẠN VÔ CỰC TẠI VÔ CỰC).

Ký hiệu lim f x có nghĩa giá t f x càng lớn khi x càng lớn. Cácrị của ký hiệu sau có x

nghĩa tương tự: lim lim limf x f x f x x x x

Các hàm y 3x và xy e dần ra vô cùng khi x dần ra vô cùng,

nhưng hàm xy e

lim

dầ

n ra vô cùng nhanh hơn khi x lớn

xex

Example 8: Find 2limx

x x

.

c viếtGiải: Ta không đượ 2 2lim lim limx x x

x x x x

ng cho các giới hạn vô cùng và

vì các

ụluật giới hạn không áp d cũng nhiên, ta có thể viết không được định nghĩa. Tuy

2lim lim 1x x

x x x x

vì khi x và 1x lớn tùy ý t h hì tíc 1 x x

cũng vậy

Example 9: Find 2

lim3x

x x

x

.

Giải: Ta có:

DEFINITION: Cho f xác định trên ,a limx

f x

. Giới hạn

ếu với mỗi 0

M , tồn tại số 0N thỏa mãn x N thì f x M n

2 1 1lim

3x x

x x

x

lim lim

3 31 1

x

x x x

xx x

vì


3

11 , 1xx

x khi .

le 10: Sketch the graph of Examp 4 32 1y x x 1x by

finding its intercepts and its limits as x and x .

Giải: Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là 0 1f 6 ,1

và

h độcắt trục hoành tại các điểm có hoàn 2, 1x . Hàm số khô

đổi dấu khi qua 2

ng x .Hơn nữa,

4 3lim 2 1 1x

x x x

và 4lim 2x

x x

31 1x .

Kết hợp các thông tin trên, ta sẽ p

hát họa được đồ thị của hàm số

2.7 DERIVATIVES AND RATES OF CHANGE (ĐẠO HÀM VÀ TỶ LỆ BIẾN THIÊN)

TANGENT LINE (TIẾP TUYẾN):

DEFINITION: Tiếp tuyến với đường cong ( )y f x tại điểm P(a, f(a)) là đường thẳng đi qua điểm ố góc P với hệ s

limx a

f x f am

nếu giới hạn này tồ

x a n tại.

Đặt thì h x a x a h

0hlim

f a h f a

h

m

Example 1: equation of the tangent line to the parabola Find an 2y x at the point (1,1)P .

Giải: Ở đây 1a ,

211 1 1

1lim lim lim 1 2

1 1x x x

f x f xm x

x x

2f x x . Hệ số góc là:

equation ne to the hyperbola

Vậy phương trình đường tiếp tuyến: y – 1 = 2(x – 1) y = 2x – 1.

3y

xExample 2: Find an of the tangent li at the point . (3,1)

Giải: Đặt 3f x

x , hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (3,1):

0 0 0

lim lim lim3 3h h h

mh h

313 3 1 13f h f h

h

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (3,1):

11 3 3 6

3y x x y 0

VELOCITIES (VẬN TỐC):

Giả sử một vật di chuyển trên một ường thẳng có phương trình chuyển động:

đ( )s f t . Trong khoảng thời gian h từ

ột quãng đường: t a đến t a h vật đi được m

( ) ( )f a h f a với vận tốc trung bình: ( ) ( )f a h f a

h

.

Khi h càng nhỏ (h → ốc tức thời v(a) tại thời điểm 0), vận t

VLU/Calculus1_

i hạn củ

t a là giớ a vận tốc trung bình:

0

( ) (( ) lim

h

)f a h f av a

h

Vậy vận tốc tức thời tại thời điểm t a bằng hệ số góc của tituyến tại P.

ếp

Suppose that a ball is dropped from the upper observation deck of the CN Tower, 450m above the ground. Example 3:

(a) What is the velocity of the ball after 5 seconds?

(b) How fast is the ball traveling when it hits the ground?

Giải: Phương trình chuyển động của quả bóng: ( ) 4.9

TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/ of 23

2s f t t , vận tốc tức thời tại thời điểm t a là:

2 2( ) ( ) 4.9( ) 4.9( ) lim lim 9.8

f a h f a a h av a a

0 0h hh h

n tốc

a. Vậ tức thời sau 5s: .

b. Vì tầng quan sát cách mặt đất 450m nên quả bóng chạm mặt đất tại thời điểm thỏa mãn

phương trình: hay .

ả bóng lúc c m đất là:

(5) 49m/sv

1t

1( ) 450s t 21 14.9 450 9.6st t

1 1( ) 9.8 94m/sv t t Vậy vận tốc tức thời của qu hạ .

DERIVATIVES (ĐẠO HÀM):

DEFINITION: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký f a hiệu là:

Lưu ý: Đặt x a h h x a , khi đó: ( ) ( )

( ) limx a

f x f af a

x a

xample 4: Find the derivative of tE he function 2 8 9f x x x at the number a.

ải: Theo định nghĩa Gi

28 9a h a h

2 8 98

a af a h f aa

h

Example 5: Find an equation of the tangent line to the parabola 2 at the point (3, 6) .

3 ta có:

0 0lim lim 2h h

f ah

8 9x x

iải: Từ ví dụ

y

G 8y a ( ) 2a

Hệ số góc của tiếp tuyến tại (3, 6) : (3) 2f

ủa tiếp tuyến mPhương trình c tại điể (3, 6) là: 2y x .

(TỶ LỆ BIẾ ÊN):RATES OF CHANGE N THI

. Khi x thay đổi từGiả sử y là một hàm theo x: (x)y f 1x sang 2x thì s

1

ự thay đổi (còn gọi là

số gia (increment)) của x là 2x x ự thx và s ay đổi t ng ứ a yươ ng củ là 2 1y f x f x .

0

( ) (( ) lim

h

)f a h f af a

h

, nếu giới hạn này tồn tại

Tiếp tuyến với đường cong ( )y f x tại điểm (a, f(a)) là đường thẳng đi qua (a, f(a)), có hệ số góc a và có phương trình: f y f a f a x a

Tỷ số số gia:


2 1

2 1

f x f xy

x x x

là tỷ lệ ên trung bình của y t ơng

ứng với x

biến thi ư

trên đoạn 1 2,x x v hư là hệ số góc của

cát tuyến PQ trong hình bên.

ương tự như vận tốc

à có thể hiểu n

T tức thời, giới hạn của tỷ lệ biến thiên trung

bình y

x

khi 0x à tỷ lệ biến thiên tức thời của y đối vớ

x tại

gọi l i

1x x , đây là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong

( )y f x tại điểm 1 1,P x f x

Tỷ l n thiên tức thời: instantaneous rate of change =

Giới hạn trên chính là đạo hàm 1( )f x , vậy:

hệ số a tiếp tuyến với đường hính là

Vì tỷ lệ thay đổi tức thời tại a là góc củcong ( )y f x tại a, hay cũng c ( )f a nên khi đạo hàm tại một

iểm l g cong dốc, như tại điể ng hình vẽ) thì giá trị của y thay đổi nhanh. Khi đạo hàm tại một điểm nhỏ (đường cong phẳng,

2.8

đ ớn (đườn m P tro

như tại điểm Q trong hình vẽ) thì giá trị của y thay đổi chậm.

THE DERIVATIVE AS A FUNCTION (ĐẠO HÀM LÀ MỘT HÀM)

Trong mục trước chúng ta xét đạo hàm của hàm f tại điểm a: 0

limh

f a h f af a

h

Xem a là biến x, ta có thể viết lại: 0

limh

f x h f x f x

h

Cứ mỗi x, nếu giới hạn trên tồn tại, ta có ( )f x . Ta có thể xem f như là một hàm mới và gọ là đạo hàm (derivative) của hàm f . Miề nh của hàm

i n xác đị f là tập các giá trị của x sao cho

( )f x tồn tại, nó có thể nhỏ hơn miền xác ủa f định c

Example 1:

a. If 3f x x x , find a formula for ( )f x .

strate by comparing the graphs of f and b. Illu f .

Giải:

a. 3

x h f x 3

23 1x h x h x xf

xh

thị hai hàm f và

0 0lim limh h

f xh

b. Vẽ đồ f p tuy

ươ

, ta khi f có tiế ến nằm

khi các đường ti góc d ng. Các ồ thị này giúp ta kiểm tra lại kết ả của phần a.

có f x

đqu

( ) 0 ngang, và ếp tuyến có h

( ) 0f x ệ số

ệ biế2 1

2 1

02 1

limx x

flim

x

x f x

x x x

y

Đạo hàm a là tỷ lệ biến thiên tức thời của ( )y f x khi x a . f

Example 2: If f x xderivative of

, find the

f . State ain of the dom f .

Giải:

0

limh

f x h f x

h

f x

0

1li

x h xm

2h h x

( )f x xác định khi 0x . Vậy miền xác định của f là (0,) [miền xác a f : ]

Example 3: Find

định củ [0, )

f if 1

2

x

x

f x

.

Giải: 20 0h h

1 ( ) 1)

(2 )

x h xx x

h h x

32 ( 2lim lim

f h f x x hf x

OTHER NOTATIONS (NHỮNG KÝ HIỆU KHÁC):

Cho hàm s trong đó x là biến độc lập, y là biến phụ thuộc, thì đạo hàm c thể được ký hiệu bằng nhiều cách khác như sau:

ủa y theo x ố ( )y f xcòn có

x

dy df df x y f x Df x D f x

dx dx dx

Để ký hiệu giá trị của đạo hàm dy

dx tại x = a, ta có thể viết

x a

dy

dx

EFINITION: Hàm f gọi là khả vi (differentiable) tại a n u D ế f a tồn tại. f khả vi trong

khoảng (hoặc , hoặc ) ( , )a b ( , )a ( ,a hoặc )( , ) n khả vi tại mỗi số thuộc ếu nó khoảng đó.

Example 4: where is the function ( )f x x differentiable?

iải: Nếu 0x G , ta chọn h ỏ để có thể đủ nh 0h


thì x x x , do đó x h x h .

0 0 0

lim lim lim1 1h h h

f xh h h

. Vậ0

limh

x h x x h x h

y f khả vi với 0x .

ới Tương tự v 0x x , ta có thể chọn h đủ nh 0h thì x ỏ để x , do đó x h x h

0 0 0

( )lim lim lim( 1) 1. Vậy f khả vi vớ 0h h h

x h x x h xf x

h h

i x .

Với 0x : 0 0

0 0lim lim

hf (nếu giới hạn tồn 0

h h

h

h h

tại)

Vì 0 0

1, 0 lim 1, lim 1

1, 0 x x

hh h

h

h

h h

.

ồn tại hay f không khả vi t

Kết luận: f khả vi trên các khoảng )

h

Vậy không t ại điểm 0. (0)f

( ,0 và (0, ) .


khả vChứng minh: Vì f i tại a nên

TH a

limx a

f x ff a

a

x a

a có:

f x f af x f a x a

x a

T

lim lim lim .lim .0 0x a x a x a x a

f x f a f x f af x f a x a x a f a

x a

x a

lim limx a x a

lim lim 0x a x a

f x f a f x f

f a f a x f a f a f a

Vậy f liên tục tại a

Hàm số liên tục tại a chưa chắc kh ại a (Lưu ý: ả vi t y x liên tục tại 0, không khả vi tại 0)

NHẬN BIẾT HÀM KHÔNG KHẢ VI:

a. Nếu đồ thị của hàm f có góc (corner) tại a thì nó sẽ không có tiếp tuyến tại a do đó không hả vi tại a.

ục tại a thì f không khả vi tại a.

i a và

k

b. Nếu hàm f không liên t

c. Đường cong có tiếp tuyến đứng tại a (f liên tục tạ limx a

f x

).

EOREM: Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại

HIGHER DERIVATIVES (ĐẠO HÀM CẤP CAO):

ho f là hàm khả vi. Đạo hàm của f C (nếu có) gọi là đạo hàm cấp 2 (the second derivative) của

àm f, ký hiệu: 2

2

d dy

dx

d yf f

dx dx .

xample 5: If

h

3f x x x . Find and interpret ( )f xE ?

Giải: Ta đã tính 23 1f x x (example 2)

0h

limf x h x

ff x f x

h

0 0

lim lim 6 3 6h h

2 23 1x3 1x hx h x

h

Có thể hiểu ( )f x góc của đường như là hệ số cong ( )y f x tại điểm ( , ( ))x f x . Nói cách ( )f x là tỷ lệ biến thiên của hệ số góc của đường cong ( )y f x . ( ) 0f x khi ( )y f x khác

có h khi ệ số góc âm, ( ) 0f x ( )y f x có hệ số góc dương.


Nếu ( )s s t là phương trình của một vật chuyển động trên một đường thẳng, như ta đã biết

( )s t là vận tốc tức thời của vật: ( ) ( )ds

v t s tdt

. Tốc độ b n thiên tức thời của vận tốc theo iế

2

2thời g i là gia tốc (acceleration) ( ) ( ) ( )a t v t s t hay viết ian gọ

dv

t

Đạo hàm cấp 3 (the third derivative) c a hàm f là đạo hàm c

d sa

d dt .

ủ ủa đạo hàm cấp 2:

2 3

2

d d y d yf f

dx dx

Đạo hàm cấp n (the nth derivative) là o hàm cấp

3dx

đạo hàm của đạ 1n :

1

1

1n nf f

dx dx dx

n nn n d d y d y

ample 6: If

3f x xEx x . Find ( )x and (4) ( )f xf ?

Giải: Trong example 6 ta đã có: ( ) 6f x x . Đồ thị của đạo hàm cấp hai có phương trình đó đ hàm cấp ba

. Đồ thị của

6y x , đây là phương trình của đường thẳng có hệ số góc là 6. Do ạo

( )x 6 f f (4) ( ) 0f x là mộ ng nằm ngang nên đạo hàm cấp bốn t đường thẳ .

Chapter2 Limits and Derivatives

Documents

Transcript of Chapter2 Limits and Derivatives