Chapter 8 다양한 적분법의 응용

Chapter 8 다양한 적분법의 응용

이문배

건국대학교 수학과

Chapter 8 다양한 적분법의 응용

Contents

8.1 호의 길이

8.2 회전곡면의 넓이

Chapter 8 다양한 적분법의 응용

8.1 호의 길이

한 곡선 C가 y = f(x), 단 f는 연속이고 a ≤ x ≤ b로 정의 된다고 하자.

폐구간 [a, b]를 끝점이 x0, x1, · · ·xn 이고 동일한 폭 ∆x를 갖는 n개의소구간으로 분할함으로써 C에 근접하는 다각형을 얻는다. yi = f(xi)라 하면점 Pi(xi, yi)는 C 위에 있고 P0, P1, · · · , Pn을 꼭지점으로 하는 다각형은 C에근접하게 된다.

곡선 C : y = f(x), a ≤ x ≤ b의 길이 L을 이런 내접하는 다각형의 길이의극한 (만약 극한이 존재한다면)으로 정의한다. 즉

L = limn→∞

n∑i=1

|Pi−1Pi|

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8.1 호의 길이

만약 ∆yi = yi–yi–1이라 하면

|Pi−1Pi| =√

(xi − xi−1)2 + (yi − yi−1)

2 =

√(∆x)2 + (∆yi)

2

폐구간 [xi–1, xi] 위에서 f에 평균값 정리를 적용하면

∆yi∆x

=f(xi)− f(xi−1)

xi − xi−1= f ′(xi

∗)

인 x∗i가 개구간 (xi–1, xi) 에 존재한다. 그러므로

|Pi−1Pi| =√

1 +(∆yi∆x

)2

∆x =

√1 + [f ′(xi

∗)]2∆x

따라서,

L = limn→∞

n∑i=1

|Pi−1Pi| = limn→∞

n∑i=1

√1 + [f ′(xi

∗)]2∆x

이 식은 정적분의 정의에 의해∫ b

a

√1 + [f ′(x)]2dx

로 표시됨을 알 수 있다.

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8.1 호의 길이

Theorem함수 f가 폐구간 [a, b]에서 연속이면 곡선 y = f(x), a ≤ x ≤ b의 길이는∫ b

a

√1 + [f ′(x)]2dx

Example

두 점 (1, 1) , (4, 8) 사이의 반 삼차 포물선 (semicubical parabola ) y2 = x3의

호의 길이를 구하여라.

풀이.

Chapter 8 다양한 적분법의 응용

8.1 호의 길이

Example

(0, 0)에서 (1, 1)까지 포물선 y2 = x의 호의 길이를 구하여라.

풀이.

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8.1 호의 길이

곡선 C : y = f(x), a ≤ x ≤ b에서 시점 P0(a, f(a))로 부터 점 Q(x, f(x))까지C를 따라 잰 거리를 s(x)라 하자. 그러면 s는 호의 길이 함수(arc lengthfunction)라 부르는 x의 함수가 되고

s(x) =

∫ x

a

√1 + [f ′(t)]2dt

▶ 피적분 함수가 연속이므로 미적분학의 기본정리 1 을 사용하여 위 식을미분하면

ds

dx=

√1 + [f ′(x)]2 =

√1 +

(dy

dx

)2

▶ 호의 길이의 미분(differential)은

ds =

√1 +

(dy

dx

)2

dx

▶ 위식은 흔히 대칭형인

(ds)2 = (dx)2 + (dy)2

으로 쓴다.

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8.1 호의 길이

Example

곡선 y = x2– ln x8에서 시점 P0(1, 1)로 부터 호의 길이 함수를 구하여라.

풀이.

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8.2 회전곡면의 넓이

함수 f가 양수 함수이고 연속인 도함수를 가질 때, 곡선 y = f(x), a ≤ x ≤ b을 x축 주위로 회전시킴으로써 얻어지는 곡면을 생각하자.

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8.2 회전곡면의 넓이

폐구간 [a, b]를 끝점이 x0, x1, · · ·xn 이고 동일한 폭 ∆x를 갖는 n개의소구간으로 분할하면, 곡면의 넓이의 근사값은 다음과 같다.

n∑i=1

2πf(xi∗)

√1 + [f ′(xi

∗)]2∆x,

여기서 x∗i는 구간 xi–1과 xi 사이의 적당한 점이다.

그러므로 함수 f가 양수함수이고 연속인 도함수를 가지는 경우에 곡선y = f(x), a ≤ x ≤ b 를 x축 주위로 회전시킴으로써 얻어지는 곡면의곡면적을

S =

∫ b

a

2πf(x)

√1 + [f ′(x)]2dx

로 정의한다.

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8.2 회전곡면의 넓이

Remark

▶ 호의 길이의 미분

ds =

√1 +

(dy

dx

)2

dx

을 이용하면 위 식은 다음과 같이 요약할 수 있다.

S =

∫2πy ds

▶ x축 주위로 곡선을 회전시켰을 때 그 곡선 위의 점 (x, y)에 의해그려지는 원주로서 2y를 생각함으로써 기억할 수 있다.

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8.2 회전곡면의 넓이

Example

곡선 y =√4− x2, (–1 ≤ x ≤ 1)은 원 x2 + y2 = 4의 호이다. 이 호를 x축

주의로 회전시켰을 때 생기는 곡면적을 구하여라.

풀이.

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8.2 회전곡면의 넓이

Example

(1, 1)에서 (2, 4)까지의 포물선 y = x2의 호를 y축 주위로 회전시켰을 때생기는 곡면의 넓이를 구하여라.

풀이.