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Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수


이문배

건국대학교 수학과


Contents

6.1 역함수

6.2* 자연로그함수

6.3* 자연지수함수

6.4* 일반적인 로그함수와 지수함수


6.1 역함수

Definition함수 f가 같은 값을 두 번 갖지 않으면, 즉 x1 ̸= x2 일 때 f(x1) ̸= f(x2)이면함수 f를 일대일 함수라고 한다.

Definitionf가 정의역이 A이고 치역이 B인 일대일 함수라고 하자. 그러면 f의 역함수f−1는 정의역이 B이고 치역이 A이며, B에 있는 임의의 y에 대하여,

f−1(y) = x ⇐⇒ f(x) = y

와 같이 정의된다.

Remark

▶ 정의에 따르면, 만약 f에 의해 x가 y로 대응되면, f−1는 거꾸로 y가 x로대응된다.

▶ f−1의 정의역 = f의 치역, f−1의 치역 = f의 정의역

▶ f−1(x)은 1f(x)이 아니다. 그러나, 1

f(x)은 [f(x)]−1로 쓸 수 있다.

▶ f−1(f(x)) = x, f(f−1(x)) = x


6.1 역함수

일대일 함수 f의 역함수를 찾는 방법

1. y = f(x)로 놓는다.

2. 이 방정식을 풀어서 x를 y의 식으로 나타낸다. (가능하다면)

3. x와 y를 서로 바꾼다. 이결과가 y = f−1(x)이다.

Example

f(x) = x3 + 2의 역함수를 구하여라.

풀이. 함수 f(x)를 y = x3 + 2로 다시 쓰고 x에 대하여 이방정식을 풀면

x3 = y − 2, 즉 x = 3√

y − 2

마지막으로 x와 y를 서로 바꾸어 쓰면, y = 3√x− 2이므로 역함수는

f−1(x) = 3√x− 2


6.1 역함수

(b, a)는 (a, b)를 직선 y = x에 대하여 대칭이동시킴으로써 얻을 수 있다.

따라서, f−1의 그래프는 y = x에 대하여 f의 그래프를 대칭이동시켜 얻는다.


6.1 역함수

Example

함수 f(x) =√−1− x의 그래프를 y = x에 대하여 대칭이동시켜서 f−1의

그래프를 그릴 수 있다.

역함수의 정확한 식은 f−1(x) = −x2 − 1, (x ≥ 0)이다.


6.1 역함수

함수 f가 일대일 함수이고 연속함수라고 가정하자. 연속함수는 그래프가끊어지지 않은 것으로 생각할 수 있다. f−1의 그래프는 f의 그래프를 직선y = x에 대하여 대칭이동시켜서 얻어지므로, f−1의 그래프도 끊어지지

않는다. 이와 같이 f−1도 연속함수라는 것을 기대할 수 있다.

Theorem만약 f가 어떤 구간에서 정의된 일대일 연속함수이면, 그 역함수 f−1도

연속이다.


6.1 역함수

Theorem함수 f가 역함수 g = f−1를 가지며 일대일 미분가능한 함수이고,f ′(g(a)) ̸= 0이면, 역함수도 a에서 미분가능하고

g′ (a) =1

f ′ (g (a))

또는 (f−1)′ (a) = 1

f ′ (f−1 (a))


6.1 역함수

증명. 도함수의 정의에 의하여(f−1)′ (a) = lim

x→a

f−1 (x)− f−1 (a)

x− a

이다.f−1(x) = y ⇐⇒ f(y) = x

f−1(a) = b ⇐⇒ f(b) = a

이며, f가 미분가능하므로 연속이다. 따라서 f−1도 연속이다. 그러므로x → a이면 f−1(x) → f−1(a), 즉, y → b이다. 따라서

(f−1)′ (a) = lim

x→a

f−1 (x)− f−1 (a)

x− a= lim

y→b

y − b

f (y)− f (b)

= limy→b

1f(y)−f(b)

y−b

=1

limy→b

f(y)−f(b)y−b

=1

f ′ (b)=

1

f ′ (f−1 (a))


6.1 역함수

Remark만약 y = f−1(x)이면 f(y) = x이다. 따라서 위의 정리는 다음과 같이 표현할수 있다.

dy

dx=

1dxdy

Example

f(x) = 2x+ cosx일 때 (f−1)′(1) 을 구하여라.



Definition자연 로그함수는 다음과 같이 정의된다:

lnx =

∫ x

1

1

tdt x > 0

만약 x > 1이면, 기하적으로 lnx는 t = 1부터 t = x까지 x축과 y = 1/t사이의 면적이다.

예를 들면 x = 1에 대하여

ln 1 =

∫ 1

1

1

tdt = 0



그리고 구간 0 < x < 1에서는,

lnx =

∫ x

1

1

tdt = −

∫ 1

x

1

tdt < 0

이므로 lnx는 그림에서 음영부분의 넓이의 음의 값이다.

미적분학의 기본정리 1에 의하여

d

dx

∫ x

1

1

tdt =

1

x

이다. 따라서d

dx(lnx) =

1

x



Theorem (로그법칙)

만약 x, y가 양수 이고, r이 유리수 이면,

▶ ln (xy) = lnx+ ln y

▶ ln(

xy

)= lnx− ln y

▶ ln (xr) = r lnx

증명.



Theorem (극한정리)

▶ limx→∞

lnx = ∞

▶ limx→0+

lnx = −∞

증명.



만약 y = lnx, x > 0이면

dy

dx=

1

x> 0,

d2y

dx2= − 1

x2< 0

이로부터 lnx는 증가함수이고 아래로 오목하다는 것을 알 수 있다.

Definitione는 ln e = 1인 수이다.

수치적인 방법을 사용하여, 소수 20자리까지 계산하면

e ≈ 2.71828182845904523536

위 소수는 순환하지 않는다.



Example

함수 y = ln(x3 + 1)의 도함수를 구하시오.

풀이.

Exampled

dxln (sinx)를 구하여라.

풀이.



Example

f(x) = ln |x|의 도함수를 구하시오.

풀이.

Remark

d

dx(ln |x|) = 1

x∫1

xdx = ln |x|+ C



Example∫x

x2 + 1dx를 구하여라.

풀이.

Example∫ e

1

lnx

xdx를 구하여라.

풀이.



Example∫tanx dx를 구하여라.

풀이.

Example (로그미분법)

y =x

34√x2 + 1

(3x+ 2)5를 미분하여라.

풀이.



Definition함수 ln은 증가 함수이므로 일대일 함수이다. 따라서 exp로 표기하는역함수를 갖는다.

exp(x) = y ⇔ ln y = x

이 함수를 자연지수함수라 한다.

Remarkexp(lnx) = x 이고 ln(expx) = x

▶ ln 1 = 0이므로 exp(0) = 1

▶ ln e = 1이므로 exp(1) = e



Remark유리수 r에 대하여 로그의 법칙으로부터

ln(er) = r ln e = r

을 얻는다. 그러므로

▶ exp(r) = er

▶ exp(x) = ex (x는 유리수).

이것은 x가 무리수일 때도 ex를 정의할 수 있게 한다.

exp(x) = ex

다시 말하면, ex를 lnx의 역함수로서 정의하고

ex = y ⇔ ln y = x

가 성립한다.eln x = x, x > 0

ln(ex) = x, x ∈ R



Theorem (지수의 법칙)

실수 x, y와 유리수 r에 대하여

1. ex+y = exey 2. ex−y =ex

ey3. (ex)r = erx

증명.

Theorem (미분법)

d

dx(ex) = ex

증명.



Example

함수 y = e tanx를 미분하여라.

풀이.

Example

함수 f(x) = xe−x의 최대값을 구하여라.

풀이.



∫exdx = ex + C

Example∫x2ex

3

dx를 구하여라.

풀이.



Definitiona > 0이고 r이 임의의 유리수이면

ar = (eln a)r = er ln a

이므로 무리수 x에 대해서도 다음과 같이 정의할 수 있다.

ax = ex ln a

이 함수 f(x) = ax를 밑수 a를 갖는 지수함수라고 한다.

Remark이 정의는 로그법칙 가운데 하나의 성질을 확장할 수 있게 한다.

▶ 유리수 r에 대하여 ln(ar) = r ln a임을 알고 있다.

▶ r 을 임의의 실수라 하면 지수함수의 정의로 부터

ln ar = ln(er ln a) = r ln a

이다. 따라서ln ar = r ln a, r ∈ R



Theoremx, y가 실수이고 a, b > 0이면

1. ax+y = axay 2. ax−y =ax

ay3. (ax)y = axy 4. (ab)x = axbx

증명.

Theorem

d

dx(ax) = ax ln a

증명.



만약 a > 1이면 ln a > 0이고 ddx

ax = ax ln a > 0이므로 y = ax는

증가함수이다.

0 < a < 1 이면 ln a < 0이므로 y = ax는 감소함수이다.



∫ax dx =

ax

ln a+ C a ̸= 1

Example

다음 정적분을 계산하시오. ∫ 5

0

2x dx

풀이.



Theoremn이 임의의 실수이고 f(x) = xn이면

f ′(x) = nxn−1

증명.

Example

y = x√

x을 미분하여라.

풀이.



Definitiona > 0이고 a ̸= 1이면 지수함수 f(x) = ax는 일대일 함수이다. 따라서 f는역함수를 가지며 그 역함수를 밑수가 a인 로그함수라고 부르고 loga로표기한다.

loga x = y ⇐⇒ ay = x

특히, loge x = lnx이다.

로그법칙은 자연로그법칙과 유사하며 지수 법칙으로부터 얻어질 수 있다.



Theorem임의의 양수 a(a ̸= 1)에 대하여

loga x =lnx

ln a

증명.

Theorem

d

dx(logax) =

1

x ln a

증명.



Example (극한값으로서의 수 e)

e = limx→0

(1 + x)1/x

풀이.

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